Exercícios Resolvidos sobre:
I - Conceitos Elementares
Grupo I – Análise da Evolução de Séries Temporais
Questão 1
a) No quadro temos uma série temporal relativa ao período entre 0 e 4 para a variável
X.
Comecemos por calcular as taxas de crescimento simples para cada período
para em seguida calcular a respectiva média aritmética. t.c.t
1 01
0
120 100. .100
X Xt cX− −
= = =0,2
2 12
1
132 120. .120
X Xt cX− −
= = =0,1
3 23
2
264 132. .132
X Xt cX− −
= = =1
4 34
3
277, 2 264. .264
X Xt cX− −
= = =0,05
A média aritmética das taxas de crescimento é dada pela soma de todas as
taxas a dividir pelo número total de taxas:
1 2 3 4. . . . . . . . 0, 2 0,1 1 0,05Média aritmética t.c. 0,33754 4
t c t c t c t c+ + + + + += = =
Em média, a nossa variável cresceu à taxa de 33,75% ao ano.
b) A média geométrica das taxas de crescimento somadas à unidade, t.c.g, é dada pela
raiz do produto de todas as taxas somadas à unidade sendo o radical igual ao número
total de taxas:
441 2 3 41 . . (1 . . ) (1 . . ) (1 . . ) (1 . . ) (1 0,2) (1 0,1) (1 1) (1 0,05) 1, 29gt c t c x t c x t c x t c x x x+ = + + + + = + + + + =
Vamos deixar a interpretação deste valor para a alínea seguinte.
c) Na alínea c pedem-nos para calcular taxas de crescimento médio e não médias,
aritméticas ou geométricas, das taxas de crescimento, como fizemos nas alíneas
anteriores.
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 2
Para calcular a taxa média de crescimento temos que atender à definição da
mesma: é a taxa de crescimento, igual para todos os períodos, que aplicada ao valor
inicial da variável e assim sucessivamente período após período permite obter o valor
final da mesma.
Vamos calculá-la pelos dois processos que conhecemos embora só
necessitássemos de utilizar um deles. Pela forma como os dados são fornecidos o
processo mais fácil é aquele que se baseia nos valores inicial e final da variável.
( i ) Para o período entre 0 e 3, a taxa de crescimento médio é dada por:
Processo 1
3 330 30
264. . . 1 1 1,382 1 0,382100
Xt c mX− = − = − = − =
Processo 2
30 3 1 2 3. . . (1 . . )(1 . . )(1 . . ) 1t c m t c t c t c− = + + + −
30 3
30 3
. . . (1 0,2)(1 0,1)(1 1)(1 0,05) 1
. . . 2,64 1 0,382
t c m
t c m−
−
= + + + + −
= − =
Entre o período 0 e o período 3 a variável cresceu à taxa média de 38,2% por
período, ou seja, se aplicarmos esta taxa ao valor inicial (X0=100) da variável e assim
sucessivamente até ao período 3 vamos obter o valor final, X3=264.
( ii ) Para o período entre 0 e 4, a taxa de crescimento médio é dada por:
Processo 1
4 440 40
277,2. . . 1 1 1, 2903 1 0,29100
Xt c mX− = − = − = − =
Processo 2
40 4 1 2 3 4. . . (1 . . )(1 . . )(1 . . )(1 . . ) 1t c m t c t c t c t c− = + + + + −
40 4
40 4
. . . (1 0, 2)(1 0,1)(1 1)(1 0,05) 1
. . . 2,772 1 0,29
t c m
t c m−
−
= + + + + −
= − =
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 3
Entre o período 0 e o período 4 a variável cresceu à taxa média de 29% por
período, ou seja, se aplicarmos esta taxa ao valor inicial (X0=100) da variável e assim
sucessivamente até ao período 4 vamos obter o valor final, X4=277,2 (o mesmo
raciocínio pode ser feito entre 0 e 3).
Se compararmos este resultado com o da alínea a) verificamos que a taxa
média de crescimento não é uma média aritmética das taxas de crescimento simples.
Com efeito, se aplicarmos a média aritmética das taxas ao valor inicial da variável e
assim sucessivamente período após período não obtemos o valor final da mesma.
Por outro lado, se compararmos o resultado com a alínea b) verificamos que a
taxa média de crescimento é igual à média geométrica das taxas de crescimento
simples somadas à unidade.
Podemos ainda constatar que a taxa média de crescimento para o período entre
0 e 3 é superior à taxa média de crescimento para o período entre 0 e 4. Isto acontece
porque a taxa de crescimento simples do período 4 é inferior às dos restantes períodos
o que vai puxar a média geométrica das taxas de crescimento simples somadas à
unidade ou taxa média de crescimento para baixo, entre o período 0 e o período 4.
Questão 2
Consideremos o gráfico seguinte que contém uma série temporal relativa à
produção, com observações trimestrais para 6 anos, de 2010 a 2105.
Produção Industrial
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
i ii iii iv i ii iii iv i ii iii iv i ii iii iv i ii iii iv i ii iii iv
trimestres2010-2015
índi
ces
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 4
Cada ponto do gráfico refere-se à observação da produção relativa a um
trimestre de um determinado ano.
Através da análise do gráfico podemos efectuar diferentes análises da
evolução da produção:
a) Podemos querer saber a tendência da evolução da produção ao longo do conjunto
dos 6 anos em análise.
A tendência de evolução de uma série pode ser interpretada como a característica
dominante da evolução anual, crescente ou decrescente.
Apesar da informação ser trimestral, se verificarmos que em todos os trimestres
entre dois anos consecutivos a produção cresceu, então entre os dois anos também terá
crescido (um ano é soma dos quatro trimestres).
Os valores do primeiro trimestre crescem em todos os anos excepto em 2013 em
que estagnam. Os valores do segundo trimestre crescem em todos os anos excepto em
2014. Os valores do terceiro crescem em todos os anos. Os valores do quarto trimestre
crescem excepto em 2014. 2010 a 2011 2011 a 2012 2012 a 2013 2013 a 2014 2014 a 2015
1ºTrimestre cresce cresce estagna cresce cresce 2ºTrimestre cresce cresce cresce decresce cresce 3ºTrimestre cresce cresce cresce cresce cresce 4ºTrimestre cresce cresce cresce decresce cresce Ano=Soma dos trimestres
CRESCE CRESCE CRESCE ESTAGNA/ DECRESCE
CRESCE
Olhando para o quadro e lendo coluna a coluna constatamos que houve:
crescimento em todos os trimestres em 2011 (relativamente a 2010); crescimento em
todos os trimestres em 2012 (relativamente a 2011) e crescimento em todos os
trimestres em 2013 (relativamente a 2012), logo neste três primeiros anos a produção
industrial cresceu em todos os anos. Em 2014 (relativamente a 2013), nos primeiro e
terceiro trimestres a produção industrial cresce, mas nos segundo e quarto trimestre
decresce, pelo que em termos anuais terá havido uma estagnação caso as variações de
sinal contrário se compensem exactamente, ou um decrescimento caso a diminuições
registadas seja mais fortes do que o aumentos. Em 2015 (relativamente a 2014), a
produção volta a crescer em todos os trimestres e logo em termos anuais.
Temos para o período de 2010 a 2015, quatro anos de crescimento e apenas um de
decrescimento pelo que podemos concluir que a tendência de evolução da série foi
crescente.
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 5
b-i) Podemos também querer saber como se comporta a produção em cada ano, ou
seja, de trimestre para trimestre.
Verificamos que a produção cresce no segundo trimestre, decresce no terceiro e
torna a crescer no quarto em todos os anos. 2010 2011 2012 2013 2014 2015
1ºT-2ºT cresce cresce cresce cresce cresce cresce 2ºT-3ºT decresce decresce decresce decresce decresce decresce 3ºT-4ºT cresce cresce cresce cresce cresce cresce
Se observarmos os seis anos verificamos que a evolução trimestral se repete em
todos eles.
Este fenómeno é conhecido por sazonalidade: variações que ocorrem entre os sub-
períodos do ano e que se repetem ano após ano, podendo resultar, por exemplo, de
factores climatéricos ou culturais (Verão, Natal,etc.).
Por exemplo, em Setembro, período em que se inicia um novo ano lectivo,
verifica-se um aumento da procura de livros relativamente aos restantes meses do ano.
Temos aqui um factor cultural a determinar uma variação da procura de livros que se
repete todos os anos. Nos meses de Verão aumenta a produção de frutas relativamente
aos restantes meses do ano o que deriva de um factor climatérico.
b-ii) Além das flutuações em cada ano podemos analisar as flutuações ao longo do
período total com base na nossa análise anual inicial.
Olhando para o primeiro quadro constatamos que:
- entre 2010 e 2013 todos os trimestres crescem excepto o primeiro em 2013
pelo que podemos dizer que foi um período de crescimento;
- em 2014, o primeiro e terceiro trimestre crescem mas o segundo e o quarto
decrescem: se as duas evoluções opostas se compensam temos estagnação se o
decrescimento é mais forte temos decrescimento;
- em 2015 todos os trimestres voltam a crescer.
Temos então crescimento de 2010 a 2013, decrescimento em 2014 e
novamente crescimento em 2015.
c) Já sabemos que a tendência de evolução da produção entre 2010 e 2015 foi de
crescimento (alínea a). Mas também sabemos que determinados anos se comportaram
de forma diferente (alínea b-ii).
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 6
No período total podemos então identificar sub-períodos de evolução, isto é,
identificar os anos em que a produção cresceu, aqueles em que estagnou e aqueles em
que decresceu. Atendendo à análise da alínea anterior, os sub-períodos de crescimento
são dois: 2010 a 2013 e 2015; e temos também um sub-período de decrescimento (ou
estagnação), 2014.
d) Para concluir, face às diversas análises que realizámos podemos dizer que, se o
nosso objectivo é efectuar uma análise da evolução anual da produção mas as
observações referem-se a subperíodos do ano, a trimestres, então temos que comparar
os mesmos trimestres dos diferentes anos.
Se utilizássemos trimestres diferentes de anos consecutivos estaríamos a
enviesar a nossa análise devido ao fenómeno da sazonalidade: diferentes trimestres
estão sujeitos a influências diferentes, para além daquelas que afectam anualmente
todos os trimestres e que variam de ano para ano.
Questão 3
Consideremos o quadro com os valores trimestrais de X para dois anos, 1998 e
1999. Como os valores são trimestrais e queremos uma análise da evolução anual
temos que calcular as respectivas taxas de crescimento homólogas anuais: Trimestre/ano X Trimestre/ano X t.c.h.s(t)
I/1998 100 I/1999 135 (1999)
(1999)(1998)
135. . . 1 1100
II
I
Xt c h
X= − = − =0,35
II/1998 110 II/1999 150 (1999)
(1999)(1998)
150. . . 1 1110
IIII
II
Xt c h
X= − = − =0,36
III/1998 125 III/1999 170 (1999)
(1999)(1998)
170. . . 1 1125
IIIIII
III
Xt c h
X= − = − =0,3
6 IV/1998 130 IV/1999 175
(1999)(1999)
(1998)
175. . . 1 1130
IVIV
IV
Xt c h
X= − = − =0,35
Como podemos verificar as taxas homólogas anuais são semelhantes dado que
tivémos em conta o fenómeno da sazonalidade. Já se tivéssemos comparado o valor
do quarto trimestre do ano 1999 com o do primeiro trimestre do ano 1998 tínhamos
obtido uma taxa de 0,75 enviesada para cima uma vez que X cresce trimestre a
trimestre em cada ano.
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 7
Questão 4
Com o exercício 4 pretendemos comparar a evolução da produção de cimento
no país A e no país B que, como podemos constatar, têm valores com ordem de
grandezas muito diferentes (A na casa das centenas e B na casa das centenas de
milhares).
Podemos efectuar esta análise através de um gráfico. A questão é saber se esta
análise comparada é mais fácil utilizando um gráfico com valores absolutos ou com
valores relativos (índices).
Comecemos por desenhar o gráfico com valores absolutos. Como se trata da
representação gráfica de séries temporais, no eixo horizontal ou eixo das abcissas
inscrevemos os períodos aos quais se referem as observações, neste caso o ano, e no
eixo vertical ou eixo das ordenadas inscrevemos as toneladas de cimento.
Produção de cimento nos países A e B
0100000200000300000400000500000600000700000800000
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991
ano
tone
lada
s
País A
País B
Como podemos constatar, a diferença na ordem de grandeza dos valores da
produção de cimento nos dois países não permite a comparação da evolução da
mesma utilizando um único gráfico. Para representarmos ambas as evoluções no
mesmo gráfico, a escala utilizada faz com que a produção no país A pareça igual a
zero em qualquer dos anos e sem variação.
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 8
Vamos então calcular as séries de números índices e desenhar o respectivo
gráfico: It/85
País A País B I85/85=100 I85/85=100
I86/85= 100101111 x =109,9 I86/85= 100
398172437989 x =110
I87/85= 100101139 x =137,6 I87/85= 100
398172547486 x =137,5
I88/85= 100101142 x =140,6 I88/85= 100
398172558436 x =140,2
I89/85= 100101153 x =151,5 I89/85= 100
398172603111 x =151,5
I90/85= 100101176 x =174,3 I90/85= 100
398172693578 x =174,2
Utilizando números índices é então fácil de verificar que a evolução da
produção de cimento nos dois países é praticamente a mesma: relativamente ao ano
base, 1985, em qualquer dos países a produção de cimento aumentou na mesma
proporção em todos os anos. Apesar dos valores absolutos da produção de cimento
serem muito diferentes nos dois países a sua evolução neste período foi idêntica.
Passando agora à representação gráfica das séries em índices verificamos que
não existe já qualquer dificuldade em representar as duas séries no mesmo gráfico
sendo imediata a percepção de idêntica evolução das duas séries.
Produção de cimento nos países A e B (índices)
020406080
100120140160
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
ano
índi
ce (1
985=
100)
País A
País B
Note-se que quando dispomos apenas de séries em números índices apenas
podemos efectuar uma comparação da evolução das séries. Nada podemos dizer
acerca dos respectivos valores absolutos.
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 9
Exercício 5
a) Se quisermos comparar a evolução do peixe negociado na lota nos dois anos
podemos começar por representar graficamente os respectivos valores.
Como se trata da representação gráfica de séries temporais, no eixo horizontal
ou eixo das abcissas inscrevemos os períodos aos quais se referem as observações,
neste caso os meses do ano, e no eixo vertical ou eixo das ordenadas inscrevemos as
toneladas de peixe negociado em cada mês.
O gráfico vai ser composto por duas curvas, uma para o ano de 1990 e uma
para o ano de 1991 e terá o seguinte aspecto:
Evolução do peixe negociado na lota em 1990 e 1991
02468
101214
Jane
iro
Fevere
iro
Março
Abril
MaioJu
nho
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
Novem
bro
Dezem
bro
meses
tone
lada
s
Ano1990Ano1991
A partir do gráfico podemos ver que a quantidade de peixe negociado na lota
evolui de forma semelhante ao longo dos dois anos: diminui em Fevereiro, aumentou
até Julho/Agosto e em seguida diminui sempre até Dezembro.
b-i) Podemos também retratar a evolução da quantidade de peixe negociado
escrevendo as séries na forma de números índices. Se tomarmos como período de
referência ou período base o mês de Fevereiro de 1991 os índices para os restantes
meses virão:
10091
91/ xX
XIFev
tFevt =
sendo X a quantidade de peixe negociado em cada mês e t o mês em questão.
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 10
It/Fev91
IJan90/Fev91= 1007,75,8 x =110 IJul90/Fev91= 100
7,71,12 x =157 IJan91/Fev91= 100
7,76,8 x =112 IJul91/Fev91= 100
7,73,12 x =160
IFev90/Fev91= 1007,79,7 x =103 IAg90/Fev91= 100
7,74,12 x =161 IFev91Fev91=100 IAg91/Fev91= 100
7,76,11 x =151
IMar90/Fev91= 1007,73,9 x =121 ISet90/Fev91= 100
7,78,11 x =153 IMar91/Fev91= 100
7,73,8 x =108 ISet91/Fev91= 100
7,79,10 x =142
IAb90/Fev91= 1007,71,10 x =131 IOut90/Fev91= 100
7,73,10 x =134 IAb91/Fev91= 100
7,71,9 x =118 IOut91/Fev91= 100
7,711 x =143
IMaio90/Fev91= 1007,75,11 x =149 INov90/Fev91= 100
7,71,9
x =118 IMaio91/Fev91= 1007,7
12 x =156 INov91/Fev91= 1007,71,10 x =131
IJun90F/ev91= 1007,72,12 x =158 IDez90/Fev91= 100
7,77,8 x =113 IJun91/Fev91= 100
7,78,11
x =153 IDez91/Fev91= 1007,79,8 x =116
b-ii) Se, por qualquer razão, quisermos alterar o período base da série em números
índices apenas necessitamos dos valores na base antiga.
Tomando o mês de Agosto de 1990 como novo período base, os índices para
os restantes meses virão:
10091/90
91/90/ x
III
FevAg
FevtAgt =
It/Ag90
IJan90/Ag90= 100161110 x =69 IJul90/Ag90= 100
161157 x =98 IJan91/Ag90= 100
161112 x =69 IJul91/Ag90= 100
161160 x =99
IFev90/Ag90= 100161103 x =64
IAg90/Ag90=100 IFev91/Ag90= 100
161100 x =62 IAg91/Ag90= 100
161151 x =94
IMar90/Ag90= 100161121 x =75 ISet90/Ag90= 100
161153 x =95 IMar91/Ag90= 100
161108 x =67 ISet91/Ag90= 100
161142 x =88
IAb90/Ag90= 100161131 x =81 IOut90/Ag90= 100
161134 x =83 IAb91/Ag90= 100
161118 x =73 IOut91/Ag90= 100
161143 x =89
IMaio90/Ag90= 100161149 x =93 INov90/Ag90= 100
161118 x =73 IMaio91/Ag90= 100
161156 x =97 INov91/Ag90= 100
161131 x =81
IJun90/Ag90= 100161158 x =98 IDez90/Ag90= 100
161113 x =70 IJun91/Ag90= 100
161153 x =95 IDez91/Ag90= 100
161116 x =72
c) A partir dos valores mensais é possível calcular valores médios trimestrais, ou seja,
saber como é que se portou em média o mês de um determinado trimestre.
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 11
O valor médio trimestral é a média aritmética dos meses que fazem parte do
trimestre:
3
MarFevJanIa
XXXX
++=
3JunMaioAb
IIaXXX
X++
=
3SetAgJul
IIIa
XXXX
++=
3DezNovOut
IVaXXX
X++
=
Médias trimestrais 1990 1991
33,99,75,8 ++
=IaX =8,6 3
3,87,76,8 ++=IaX =8,2
32,125,111,10 ++
=IIaX =11,3 3
8,11121,9 ++=IIaX =10,9
38,114,121,12 ++
=IIIaX =12,1 3
9,106,113,12 ++=IIIaX =12,6
37,81,93,1 ++
=IVaX =9,4 3
9,81,1011 ++=IVaX =10
Temos uma nova série relativa ao peixe negociado na lota, agora composta por
valores médios trimestrais.
d) A série anterior pode também ser escrita na forma de números índices.
Para calcularmos a série de números índices vamos considerar como base não
um dos valores médios trimestrais mas o valor médio anual de 1990. Como o ano é
composto por doze meses ou quatro trimestres, o valor médio de 1990 pode ser
calculado de duas formas:
32,104
4,91,123,116,84
32,1012
7,81,93,108,114,121,122,125,111,103,99,75,8
12
9090909090
90
=+++
=+++
=
=+++++++++++
=
=+++++++++++
=
IVIIIIIIa
DezNovOutSetAgJulJunMaioAbMarFevJana
aXaXaXaXX
XXXXXXXXXXXXX
Já estamos em condições de calcular os índices trimestrais:
10090
90/ xaXaX
I tMédiat =
designando t os trimestres.
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 12
It/média90
II90/média90= 10010
6,8 x =82,97 II91/média90= 10010
2,8 x =79,6
III90/média90= 10010
3,11 x =109,12 III91//média90= 10010
9,10 x =106,2
IIII90/média90= 10010
1,12 x =117,2 IIII91/média90= 10010
6,11 x =112,3
IIV90/média90= 10010
4,9 x =90,72 IIV91/média90= 1001010 x =96,9
Questão 6
a) O quadro contém uma série temporal relativa à produção sob a forma de números
índices:
Tendo esta série e o valor absoluto da produção ou quantidade produzida de pelo
menos um dos anos é possível determinar as quantidades produzidas nos restantes
anos com base na fórmula do índice simples.
Se o valor absoluto fornecido fosse o do ano base podíamos de imediato
calcular o valor absoluto dos outros anos já que este valor entra no cálculo do índice
para todos eles.
Como o valor fornecido se refere a 1993 vamos começar por, com base na
fórmula do índice de 1993, calcular o valor absoluto da produção no ano base, 1988:
I1993/1988 =1988
1993
XX
x100
112,4=1988
1000X
x100
X1988=4,112
1000 x100
X1988=890 ton
Agora é então imediato calcular o valor absoluto da produção nos restantes
anos:
It/1988 =1988X
X t x100
Xt= 100
198888/ xXI t
Xt= 100
89088/ xI t
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 13
Valor absoluto ou quantidade produzida
X1985= 100
89088/85 xI=
1008905,77 x
=690 X1990= 100
89088/90 xI=
1008901,103 x
=918
X1986= 100
89088/86 xI=
1008902,89 x
=794 X1991= 100
89088/91 xI=
1008902,107 x
=954
X1987= 100
89088/87 xI=
10089098x
=872 X1992= 100
89088/92 xI=
1008908,109 x
=977
X1989= 100
89088/89 xI=
1008905,101 x
=903
b) Pode acontecer que haja necessidade de mudar o ano base de cálculo da série de
números índices (em geral porque a base antiga se vai desactualizando e deixa de ser
considerada como um período de referência).
A mudança de base é efectuada facilmente através da série de números índices
na base antiga.
Se b designar a base antiga e k a nova base, então o índice de t na nova base é
dado por,
It/k =bk
bt
II
/
/ x100
Ou seja, obtém-se dividindo o índice de t na base antiga pelo índice de k, a nova base,
na base antiga.
Para o nosso exercício, a base antiga é o ano de 1988 e a nova base o ano de
1985, pelo que os índices na nova base vêm:
It/85 =88/85
88/
II t x100
Índice de Produção (1985=100)
I85/85 =100 I90/85 =88/85
88/90
II
x100=5,771,103
x100=133
I86/85 =88/85
88/86
II
x100=5,772,89
x100=115,1 I91/85 =88/85
88/91
II
x100=5,772,107
x100=138,3
I87/85 =88/85
88/87
II
x100=5,77
98 x100=126,5 I92/85 =
88/85
88/92
II
x100=5,778,109
x100=141,7
I88/85 =88/85
88/88
II
x100=5,77
100 x100=129 I93/85 =
88/85
88/93
II
x100=5,774,112
x100=145
I89/85 =88/85
88/89
II
x100=5,775,101
x100=131
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 14
Questão 7
i) Sendo 1989 o ano base vamos comparar os valores da produção de cada um dos
sabonetes com o respectivo valor no ano base. Índices da Produção (1989=100)
Sabonete A Sabonete B I89/89 =100 I89/89 =100
I90/89 =89
90
)()(
AXAX
x100=12500001318000
x100=105,44 I90/89 =89
90
)()(
BXBX
x100=970000985000
x100=101,55
I91/89 =89
91
)()(
AXAX
x100=12500001189000
x100=95,12 I91/89 =89
91
)()(
BXBX
x100=970000
1070000 x100=110,31
I92/89 =89
92
)()(
AXAX
x100=12500001020000
x100=81,6 I92/89 =89
92
)()(
BXBX
x100=970000
1112000 x100=114,64
X(A) – produção do sabonete A; X(B) – produção do sabonete B
A produção de A cresceu em 1990 mas decresceu em 1991 e 1992,
relativamente a 1989. Já a produção de B cresceu sempre relativamente a 1989.
ii) Sendo 1989 o ano base vamos comparar os preços de cada um dos sabonetes com o
respectivo valor no ano base. Índices de Preço (1989=100)
Sabonete A Sabonete B I89/89 =100 I89/89 =100
I90/89 =89
90
)()(
APAP
x100=15
5,17 x100=116,67 I90/89 =
89
90
)()(
BPBP
x100=6068
x100=113,33
I91/89 =89
91
)()(
APAP
x100=1516
x100=106,67 I91/89 =89
91
)()(
BPBP
x100=6070
x100=116,67
I92/89 =89
92
)()(
APAP
x100=15
5,18 x100=123,33 I92/89 =
89
92
)()(
BPBP
x100=60
5,78 x100=130,83
P(A) – produção do sabonete A; P(B) – produção do sabonete B
O preço de A cresceu sempre relativamente a 1989. O preço de B também
cresceu sempre relativamente a 1989 e mais do que o de A excepto em 1990.
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 15
Questão 8
O valor da produção de um país designa-se por Produto Interno Bruto (PIB).
Como num país se produzem inúmeros bens e serviços, avaliados em termos físicos
em unidades diferentes, se queremos conhecer o valor da respectiva produção temos
que reduzir a produção dos diferentes bens a uma unidade comum, a unidade
monetária, no caso português o euro (€). O valor da produção de um país é então
função das quantidades produzidas e dos preços utilizados na avaliação das
quantidades produzidas. Consoante o ano a que se referem os preços utilizados na
avaliação das quantidades produzidas podemos ter três conceitos diferentes de PIB: o
PIB a preços correntes que utiliza, como o nome indica, os preços do ano corrente; o
PIB a preços constantes que utiliza sempre os mesmos preços de um ano escolhido
como referência; e o PIB a preços do ano anterior que utiliza, como o nome indica, os
preços do ano anterior.
Para respondermos à questão 8 vamos dividi-la em três alíneas
correspondentes a cada uma das três colunas que nos pedem para preencher.
Comecemos por interpretar os valores de cada coluna. Na primeira coluna temos o
PIB a preços correntes, ou seja, as quantidades produzidas num determinado ano
avaliadas a preços desse mesmo ano. Por exemplo, o PIB a preços correntes de 1995
corresponde às quantidades produzidas em 1995 avaliadas a preços de 1995, o PIB a
preços correntes de 1996 corresponde às quantidades produzidas em 1996 avaliadas a
preços de 1996, o PIB a preços correntes de 1997 corresponde às quantidades
produzidas em 1997 avaliadas a preços de 1997, e assim sucessivamente.
Na segunda coluna temos o PIB a preços do ano anterior, ou seja, as quantidades
produzidas num determinado ano avaliadas a preços do ano anterior. Por exemplo, o
PIB a preços do ano anterior de 1996 corresponde às quantidades produzidas em 1996
avaliadas a preços de 1995, o PIB a preços do ano anterior de 1997 corresponde às
quantidades produzidas em 1997 avaliadas a preços de 1996, o PIB a preços do ano
anterior de 1998 corresponde às quantidades produzidas em 1998 avaliadas a preços
de 1997, e assim sucessivamente.
Na terceira coluna temos a taxa de crescimento do PIB a preços constantes de
1995. O PIB a preços constantes de 1995 é um valor monetário que resulta de avaliar
as quantidades produzidas nos diferentes anos sempre aos mesmos preços, os preços
do ano de 1995 no nosso exercício. Assim, por exemplo, o PIB a preços constantes
para o ano de 1999 corresponde a avaliar as quantidades produzidas em 1999 a preços
Introdução à Economia – Licenciaturas em Sociologia e em Relações Internacionais (2006/2007) Exercícios sobre I – Conceitos Elementares
Exercícios Resolvidos – Marta Simões 16
de 1995; o PIB a preços constantes para o ano de 2000 corresponde a avaliar as
quantidades produzidas em 2000 a preços de 1995. Os valores da terceira coluna
correspondem então à taxa de crescimento anual desta variável, em percentagem. Em,
1996 o PIB a preços constantes aumentou 3,54%, em 1997 aumentou 3,96%, e assim
sucessivamente.
8.1. Como calcular o valor do PIB a preços constantes de 1995? Uma vez que
conhecemos a respectiva taxa de crescimento basta-nos conhecer um dos valores do
PIB a preços constantes para podermos calcular todos os outros.
Nenhum valor do PIB a preços constantes é dado directamente mas, atendendo à
definição de PIB a preços correntes e de PIB a preços constantes, sabemos que no ano
ao qual se referem os preços base, 1995 neste caso, o PIB a preços constantes coincide
com o PIB a preço correntes.
O PIB a preços correntes para o ano de 1995 corresponde às quantidades
produzidas em 1995 avaliadas a preços de 1995, o ano corrente. O PIB a preços
constantes para o ano de 1995, tomando como referência os preços do ano de 1995,
corresponde às quantidades produzidas em 1995 avaliadas aos preços do ano base que
é também 1995. Assim, e apenas no ano base para o cálculo do PIB a preços
constantes podemos escrever:
PIB a preços correntes em 1995=PIB a preços constantes em 1995=80827
Estamos já em condições de preencher a quinta coluna da tabela: Anos Tx.cresc.
PIB a preços constantes de 1995 (%)
PIB a preços constantes de 1995
1995 80827 1996 3,54 80827x(1+0,0354)=83688 1997 3,96 83688x(1+0,0396)=87002 1998 4,58 87002x(1+0,0458)=90987 1999 3,80 90987x(1+0,0380)=94445 2000P 3,69 94445x(1+0,0369)=97930 2001P 1,64 97930x(1+0,0164)=99536
8.2. Para calcular a taxa de crescimento do PIB a preços correntes temos apenas
que aplicar a fórmula da taxa de crescimento simples.
Introdução à Economia – Licenciaturas em Sociologia e em Relações Internacionais (2006/2007) Exercícios sobre I – Conceitos Elementares
Exercícios Resolvidos – Marta Simões 17
Anos PIB preços correntes
Tx.cresc. PIB a preços correntes
1995 80827 1996 86230 (86230/80827)-1=0,0668 ou 6,68% 1997 93014 (93014/86230)-1=0,0787 ou 7,87% 1998 100962 (100962/93014)-1=0,0854 ou 8,54% 1999 108030 (108030/100962)-1=0,0700 ou 7% 2000 115546 (115546/108030)-1=0,0696 ou 6,96% 2001 122978 (122978/115546)-1=0,0643, ou 6,43%
8.3. Como calcular a taxa de crescimento dos preços, t.c.p.t? Temos dois processos
de resolução desta questão.
Se, para cada ano, compararmos o valor do PIB a preços correntes com o valor do
PIB a preços do ano anterior temos a taxa de crescimento dos preços uma vez que
entre os dois valores apenas se alteram os preços, mantendo-se as quantidades
produzidas:
PIB a preços correntes do ano t-PIB a preços do ano anterior do ano t. . .PIB a preços do ano anterior do ano ttt c p =
Anos PIB preços
correntes PIB preçosano anterior
Tx. Cresc. preços
1995 80827 1996 86230 83692 86230-83692
83692=0,0304 ou 3,04%
1997 93014 89645 93014-8964589645
=0,0376 ou 3,76%
1998 100962 97274 100962-9727497274
=0,0379 ou 3,79%
1999 108030 104800 108030-104800104800
=0,0308 ou 3,08%
2000 115546 - - 2001 122978 - -
Uma vez que nos é dada a taxa de crescimento do PIB a preços constantes ou taxa
de crescimento do PIB real e calculámos já a taxa de crescimento do PIB a preços
correntes ou PIB nominal, podemos também resolver a questão atendendo à relação
entre as taxas de crescimento do PIB nominal, do PIB real e dos preços:
(1+t.c.n.t)=(1+t.c.r.t)x(1+t.c.p.t)
Resolvendo em ordem à taxa de crescimento dos preços:
Introdução à Economia – Licenciaturas em Sociologia e em Relações Internacionais (2006/2007) Exercícios sobre I – Conceitos Elementares
Exercícios Resolvidos – Marta Simões 18
tt
t
1+t.c.n.t.c.p. 11+t.c.r.
= −
Anos Tx.cresc. PIB a preços correntes
Tx.cresc. PIB a preços constantes
Tx. Cresc. preços
1995 1996 0,0668 0,0354 1+0,0668 1
1+0,0354− =
0,0304 1997 0,0787 0,0396 1+0,0787 1
1+0,0396− =
0,0376 1998 0,0854 0,0458 1+0,0854 1
1+0,0458− =
0,0379 1999 0,0700 0,0380 1+0,0700 1
1+0,0380− =
0,0308 2000 0,0696 0,0369 1+0,0696 1
1+0,0369− =
0,0315 2001 0,0643 0,0164 1+0,0643 1
1+0,0164− =
0,0471 Obtemos exactamente os mesmos resultados pelos dois processos de cálculo.
Questão 9
O salário pode ser entendido de duas formas:
- salário nominal (SN), ou seja, a quantidade de moeda que o trabalhador
recebe;
- salário real (SR), a quantidade de bens e serviços que o trabalhador pode
adquirir com o salário nominal que recebe.
A um trabalhador interessa que o seu salário real cresça pois isso significa que
pode adquirir mais bens e serviços com o seu salário nominal.
Mas para que o salário real cresça não basta que aumente o salário nominal. Se o
crescimento dos preços for superior ao crescimento do salário nominal o trabalhador
pode receber uma maior quantidade de moeda mas a quantidade de bens e serviços
que consegue adquirir com essa quantidade de moeda diminui.
Para conhecermos a evolução do salário real temos então que descontar à taxa de
crescimento do salário nominal a taxa de crescimento dos preços:
Introdução à Economia – Licenciaturas em Sociologia e em Relações Internacionais (2006/2007) Exercícios sobre I – Conceitos Elementares
Exercícios Resolvidos – Marta Simões 19
N tR t
t
1+t.c.St.c.S = -11+t.c.IPC
sendo o Índice de Preços no Consumidor um índice que traduz a evolução do preço
médio de um cabaz de bens e serviços considerado representativo dos hábitos de
consumo dos trabalhadores.
Para analisarmos a evolução do salário real na Indústria Transformadora e na
Construção necessitamos da taxa de crescimento do salário nominal e da taxa de
crescimento dos preços.
Como já conhecemos a taxa de crescimento dos preços (é a variação relativa do
IPC) e temos séries em números índices das remunerações nominais, a primeira coisa
a fazer é, utilizando os índices, calcular as taxas de crescimento do salário nominal.
Em seguida, podemos já utilizar a relação entre taxa de crescimento do salário real,
do salário nominal e dos preços para calcular a primeira.
Passo 1: calcular a taxa de crescimento simples do salário nominal1:
/ 80 1/ 80
1/ 80
t. . N t N t
N t
S SN
S
I It c S
I−
−
−=
t.c.SN t
Indústria Transformadora Construção
78 / 80
78
77 / 80
69,3. . 1 159,5
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,16 78 / 80
78
77 / 80
66,6. . 1 158,1
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,15
79 / 80
79
78 / 80
80, 4. . 1 169,3
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,16 79 / 80
79
78 / 80
79,6. . 1 166,6
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,20
80 / 80
80
79 / 80
100. . 1 180,4
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,24 80 / 80
80
79 / 80
100. . 1 179,6
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,26
81/ 80
81
80 / 80
121,7. . 1 1100
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,22 81/ 80
81
80 / 80
128,1. . 1 1100
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,28
82 / 80
82
81/ 80
143,5. . 1 1121,7
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,18 82 / 80
82
81/ 80
160,1. . 1 1128,1
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,25
83 / 80
83
82 / 80
169,1. . 1 1143,5
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,18 83 / 80
83
82 / 80
196,1. . 1 1160,1
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,22
1 Para calcular uma taxa de crescimento simples é indiferente utilizar os valores absolutos ou os valores em índices (de base fixa) da variável.
Introdução à Economia – Licenciaturas em Sociologia e em Relações Internacionais (2006/2007) Exercícios sobre I – Conceitos Elementares
Exercícios Resolvidos – Marta Simões 20
84 / 80
84
83 / 80
199,7. . 1 1169,1
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,18 84 / 80
84
83 / 80
218, 4. . 1 1196,1
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,11
85 / 80
85
84 / 80
240,5. . 1 1199,7
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,20 85 / 80
85
84 / 80
268,9. . 1 1218, 4
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,23
O salário nominal cresceu em todos os anos quer na Indústria Transformadora
quer na Construção. Mas os preços também cresceram sempre, logo o salário real
pode não ter aumentado.
Passo 2: Calcular a taxa de crescimento do salário real2:
N tR t
t
1+t.c.St.c.S = -11+t.c.IPC
t.c.SRt Indústria Transformadora Construção
N 78R 78
78
1+t.c.S 1 0,16t.c.S = -1 11+t.c.IPBC 1 0, 221
+= −
+=-0,05 N 78
R 7878
1+t.c.S 1 0,15t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,221
+= −
+=-0,06
N 79R 79
79
1+t.c.S 1 0,16t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,242
+= −
+=-0,07 N 79
R 7979
1+t.c.S 1 0, 20t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0, 242
+= −
+=-0,04
N 80R 80
80
1+t.c.S 1 0, 24t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,166
+= −
+=0,07 N 80
R 8080
1+t.c.S 1 0, 26t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,166
+= −
+=0,08
N 81R 81
81
1+t.c.S 1 0,22t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,20
+= −
+=0,01 N 81
R 8181
1+t.c.S 1 0, 28t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,20
+= −
+=0,07
N 82R 82
82
1+t.c.S 1 0,18t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0, 224
+= −
+=-0,04 N 82
R 8282
1+t.c.S 1 0,25t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0, 224
+= −
+=0,02
N 83R 83
83
1+t.c.S 1 0,18t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0, 255
+= −
+=-0,06 N 83
R 8383
1+t.c.S 1 0, 22t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,255
+= −
+=-0,02
N 84R 84
84
1+t.c.S 1 0,18t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0, 293
+= −
+=-0,09 N 84
R 8484
1+t.c.S 1 0,11t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,293
+= −
+=-0,14
N 85R 85
85
1+t.c.S 1 0, 20t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,193
+= −
+=0,01 N 85
R 8585
1+t.c.S 1 0, 23t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,193
+= −
+=0,03
Apesar do salário nominal ter crescido sempre foram mais os anos de
diminuição do salário real do que de aumento. Isto aconteceu devido ao forte
crescimento dos preços em qualquer dos anos.
Na indústria transformadora, o salário nominal cresceu sempre mas só em
1981, 82 e 85 se traduziu num crescimento do salário real. Nos outros anos o
2 Para calcular a taxa de crescimento do salário real temos que dividir a taxa de crescimento dos preços por 100 pois o valor que nos é dado está em percentagem.
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 21
crescimento dos preços foi superior ao crescimento do salário nominal do que resultou
uma diminuição do salário real.
Na construção, o salário nominal cresceu sempre mas só em 1980, 81, 82 e 85
se traduziu num crescimento do salário real. Nos outros anos o crescimento dos
preços foi superior ao crescimento do salário nominal do que resultou uma diminuição
do salário real.
Questão 10
Vamos designar por VN0 o capital inicial de que dispomos para emprestar e por iN
a taxa de juro que cobramos pelo empréstimo, ou seja, a taxa de juro nominal:
VN0=25 euros iN=0,06
a) Vamos emprestar os nossos 25 euros durante um ano e, no final desse ano, vamos
receber um montante superior, o montante inicial mais os juros:
VN0=25 euros VN1=?
0 1 VN1= VN0 (1+iN)=25x1,06=26,5
No final do ano recebemos 26,5 euros, um montante superior ao que tínhamos
inicialmente. Mas será que estes 26,5 euros nos permitem adquirir mais bens e
serviços do que os que adquiríamos no período 0 com os nosso 25 euros?
b) A inflação durante este ano foi de 15%. Isto significa que o preço dos bens em
geral cresceu 15%, ou seja, cresceram mais do que o nosso capital que só cresceu à
taxa de 6%. Assim, apesar de termos mais dinheiro no ano 1 o montante de bens e
serviços que conseguimos comprar é inferior ao que conseguíamos comprar com os
25 euros que tínhamos no ano 0.
Para verificar o que dissemos atrás acerca do poder de compra do estudante
podemos então calcular a taxa de juro real do seu empréstimo, que nos dá a evolução
da quantidade de bens e serviços que pode adquirir com o seu dinheiro:
111
−++
=P
NR i
ii = 115,0106,01
−++ =-0,08
A taxa de juro real é negativa logo esta aplicação não foi uma boa opção.
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 22
Assim, apesar de dispormos de um capital superior o nosso poder de compra
diminuiu pelo que não realizámos o objectivo da nossa aplicação que era aumentar a
quantidade de bens e serviços adquirida.
Este problema é conhecido por ilusão monetária: os agentes económicos
interpretam as variações nominais como equivalentes a variações reais não tendo em
atenção as variações dos preços e acabando por perder poder de compra quando os
preços aumentam a um ritmo superior ao dos valores nominais.
c) O estudante ao aplicar o seu dinheiro deve estipular um valor objectivo para a
evolução do seu poder de compra, ou seja, deve escolher a aplicação em função da
taxa de juro real pretendida e não da taxa de juro nominal.
Se ele tivesse fixado como objectivo aumentar o seu poder de compra em 3%
então a taxa de juro a que devia ter emprestado o dinheiro seria, partindo da expressão
da taxa de juro real:
111
−++
=P
NR i
ii , iP=0,15 e iR=0,03.
iN=(1+iR)x(1+iP)-1=1,03x1,15-1=0,1845
Para poder aumentar o seu poder de compra em 3%, a taxa de juro do
empréstimo teria de ser de 18,45%, face ao aumento registado nos preços.
Actualmente, caso o estudante realize poupança, deve escolher uma aplicação
com uma taxa de juro igual ou superior a 2% se não quiser ver o seu poder de compra
diminuir.
Questão 11
a)Este problema é semelhante ao anterior mas agora o prazo do empréstimo é
superior.
Fez-se um contrato de empréstimo por três anos, novamente com o objectivo
de, ao fim dos três anos, vermos o nosso poder de compra aumentado.
Conhecendo nós o problema da ilusão monetária sabemos que, para termos um
ganho real, a taxa de juro a ter em conta não é a taxa de juro nominal (8%) mas a taxa
de juro real.
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 23
No início do período do nosso empréstimo, ou seja, quando realizamos o
contrato, apenas dispomos de uma estimativa da taxa de juro real face à inflação
anunciada pela Governo.
Temos então que começar por calcular a taxa de juro real prevista para cada
um dos três anos e em seguida calcular a taxa de juro real prevista para o período,
problema semelhante ao do cálculo de uma taxa de crescimento médio.
8% 8% 8% iN 8% 6% 4% iP esperada
0 1 2 3
Passo 1
108,0108,011
11
1
1
1−
++
=−+
+=
P
NR i
ii =0
106,0108,011
11
2
2
2−
++
=−+
+=
P
NR i
ii =0,019
104,0108,011
11
3
3
3−
++
=−+
+=
P
NR i
ii =0,038
No primeiro ano o ganho real esperado com o empréstimo é nulo, nos
seguintes já é positivo. Mas o que interessa é a taxa de juro real média para o conjunto
dos três anos.
Passo 2
019,01019,11057722,1
1)038,01()019,01()01(1)1()1()1(3
33321
=−=−=
=−+++=−+++= xxixixii RRRR
A taxa de juro real prevista à data da realização do empréstimo é de 1,9% ano.
b-i) Ao fim dos três anos já podemos calcular qual foi efectivamente o nosso ganho
real face à inflação que na realidade se verificou.
Os passos para a resolução desta alínea são os mesmos da alínea anterior.
8% 8% 8% iN 10% 13% 15% iP efectiva
0 1 2 3
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Passo 1
11,0108,011
11
1
1
1−
++
=−+
+=
P
NR i
ii =-0,018
113,0108,011
11
2
2
2−
++
=−+
+=
P
NR i
ii =-0,04
115,0108,011
11
3
3
3−
++
=−+
+=
P
NR i
ii =-0,06
Efectivamente, ao contrário do esperado, em todos os anos houve uma perda
real e não um ganho. Novamente o que interessa é a taxa de juro real média para o
conjunto dos três anos.
Passo 2
04,019605,018861568,0
1)06,01()04,01()018,01(1)1()1()1(
3
33321
−=−=−=
=−−−−=−+++= xxixixii RRRR
A taxa de juro real efectiva foi de -4% ano, ou seja, as nossas expectativas no
início do período da realização do empréstimo foram totalmente frustradas.
b-ii) À medida que vão passando os anos do nosso empréstimo podemos ir revendo as
nossas expectativas iniciais, ou seja, podemos rever os nosso cálculos da taxa de juro
real média com base na inflação já verificada.
No final do segundo ano já conhecemos a inflação verificada nos dois
primeiros anos, respectivamente, 10% e 13%. Para o terceiro ano a inflação esperada
é de 4%.
8% 8% 8% iN iP efectiva: 10% iP efectiva: 13% iP esperada: 4%
0 1 2 3 Utilizando os resultados das alíneas anteriores sabemos que a taxa de juro real
efectiva para os dois primeiros anos foi de, respectivamente, -4,% e –6%, e a taxa de
juro real esperada para o terceiro ano foi de 3,8%.
Assim, a taxa de juro real média prevista no final do segundo ano é dada por:
007,01992796,0197854336,0
1)038,01()06,01()04,01(3
3
−=−=−=
=−+−−== xxiR
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 25
Ao fim do segundo ano e face à inflação prevista para o terceiro ano já se
prevê uma perda real de 0,7%.
c) Em situações deste género, em que a inflação efectiva se desvia muito da inflação
anunciada pelo Governo, os agentes económicos que dispõem de capital para aplicar
deixam de o fazer pois não conseguem fazer uma previsão fiável dos ganhos reais da
sua aplicação. Ora estas aplicações servem para financiar o investimento na economia
pelo que situações deste género podem pôr em causa a sua capacidade de crescimento.