FUNCIONES EXPONENCIALES
)]([)(/: xgaxff
}1{ a
1);0( aaxxff 2)(/:
xexff )(/:
23)(/: xxff
xx
exff12
)(/:
Caso I : a > 1
)]([)]([ xgDomxfDom
Klinsmann Vivas
FUNCIONES EXPONENCIALES
)]([)(/: xgaxff
}1{ a
1);0( aaxxff )()(/: 2
1
xexff )()(/: 1
23
1 )()(/: xxff
xx
exff12
)()(/: 1
Caso II : 0 < a < 1
)]([)]([ xgDomxfDom
Klinsmann Vivas
Cómo graficar la función exponencial f(x) = ax, con a > 1.
x y
-3 ⅛
-2 ¼
-1 ½
0 1
1 2
2 4
3 8
Por ejemplo: y = 2x
y = 2x
xxff 2)(/:
Eduardo Mijares
CARACTERÍSTICAS GENERALES
i. DDom[f(x)] = x ∊ 𝕽. El dominio de la función son todos los números reales.
ii. RRgo[f(x)] = x ∊ 𝕽+. Su rango son los números reales positivos.
iii. PPx = ∄.
Es asintótica al eje X.
iv. PPy = (0,1).
v. LLa función es Creciente para todo valor x a lo largo de su dominio.
vi. ff(x) > 0 | ⦡ x ∊ 𝕽. La función es positiva a lo largo de su domino.
xxff 2)(/:
y = 2x
Cómo graficar la función exponencial f(x) = ax, con 0 < a < 1.
Por ejemplo: y = (½)x
x y
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 ½
2 ¼
3 ⅛
y = (½)x
xxff )()(/: 21
María Valeria Aguilera
CARACTERÍSTICAS GENERALES
i. DDom[f(x)] = x ∊ 𝕽. El dominio de la función son todos los números reales.
ii. RRgo[f(x)] = x ∊ 𝕽+. Su rango son los números reales positivos.
iii. PPx = ∄.
Es asintótica al eje X.
iv. PPy = (0,1).
v. LLa función es Decreciente para todo valor x a lo largo de su dominio.
vi. ff(x) > 0 | ⦡ x ∊ 𝕽. La función es positiva a lo largo de su domino.
xxff )()(/: 21
y = (½)x
La función real de variable real que no necesariamente es una función exponencial:
y = k . ax+b + c
y = -3. (½)x+2 +3
Klinsmann Vivas
APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL:CRECIMIENTO POBLACIONAL
Una compañía nueva con 5 empleados espera que el número de empleados crezca a una tasa de 20% cada año. Determine el número de empleados dentro de 4 años.
Tenemos:
tiPtP )1.()( 0
Elementos de la fórmula:• Cantidad de empleados en función del tiempo ⇒ P(t)• Cantidad conocida de empleados ⇒ Po = 5• Porcentaje de crecimiento ⇒ i = 20% anual• Tiempo ⇒ t = 4 años Evaristo Solano
APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL:CRECIMIENTO POBLACIONAL
Tenemos:
tiPtP )1.()( 0
Datos:Po = 5i = 20% = 20/100 = 0,20t = 4 añosReemplazando: P(t) = 5.(1+0.20)4
P(t) = 5.(1,20)4
P(t) = 10,368
P(t)
t
11
9
7
5
ttP )20,1.(5)(
Evaristo Solano
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
)]([log)(/: xgxff a
}1{ a
1);0( aa xxff 2log)(/:
xxxff e lnlog)(/:
)2(log)(/: 3 xxff
)ln()(/: 12xxxff
Caso I : a > 1
}0)(/{:)]([ xgxxfDom
Klinsmann Vivas
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
}1{ a
1);0( aaxxff
21log)(/:
xxffe
1log)(/:
)2(log)(/:3
1 xxff
)(log)(/: 121 x
xe
xff
Caso II : 0 < a < 1
)]([log)(/: xgxff a}0)(/{:)]([ xgxxfDom
Klinsmann Vivas
Cómo graficar la función logarítmica f(x) = loga(x), con a > 1.
x y
⅛ -3
¼ -2
½ -1
1 0
2 1
4 2
8 3
Por ejemplo:
y = log2
(x)
y = log 2 x 2 y = x
y = log2 x 2 y
= x
xxff 2log)(/:
Orguimar Barrios
CARACTERÍSTICAS GENERALES
i. DDom[f(x)] = x ∊ 𝕽+. El dominio de la función son todos los números reales positivos.
ii. RRgo[f(x)] = x ∊ 𝕽. Su rango son los números reales.
iii. PPx = (1,0).
iv. PPy = ∄.
Es asintótica al eje Y.
v. LLa función es Creciente para todo valor x a lo largo de su dominio.
vi. ff(x) < 0 | ⦡ x ∊ (0 ; 1).
vii. ff(x) > 0 | ⦡ x ∊ (1 ; +∞).
xxff2
1log)(/:
y = log2
(x)
Cómo graficar la función logarítmica f(x) = loga(x), con 0 < a < 1.
x y
8 -3
4 -2
2 -1
1 0
½ 1
¼ 2
⅛ 3
Por ejemplo:
y = log (½ ) x (½ ) y = x
y = log(½)
x (½) y = x
y = log (½ )
x
y = log(½)
x
xxff2
1log)(/:
Carlos Escobar
CARACTERÍSTICAS GENERALES
i. DDom[f(x)] = x ∊ 𝕽+. El dominio de la función son todos los números reales positivos.
ii. RRgo[f(x)] = x ∊ 𝕽. Su rango son los números reales.
iii. PPx = (1,0).
iv. PPy = ∄.
Es asintótica al eje Y.
v. LLa función es Decreciente para todo valor x a lo largo de su dominio.
vi. f(x) > 0 | ⦡ x ∊ (0 ; 1).
vii. f(x) < 0 | ⦡ x ∊ (1 ; +∞).
xxff2
1log)(/:
La función real de variable real que no necesariamente es una función logarítmica:
y = k . loga (x – b) + c
y = - 3/2 . log3 (x + 2) + 1
Klinsmann Vivas
APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA:CRECIMIENTO POBLACIONAL
Si una comunidad que inicialmente tiene 200 habitantes mayores de edad y tienen una tasa de crecimiento de 50% anual. Determinar en cuanto tiempo alcanzara completar los 300 habitantes.
Tenemos:
tif kPP )1.(
Elementos de la fórmula:• Cantidad final de habitantes ⇒ Pf = 300• Cantidad conocida de habitantes ⇒ Pi = 200• P = Pf / Pi
• Porcentaje de crecimiento ⇒ k = 50% anual• Tiempo ⇒ t
i
fk P
Pt )1(log Pt k )1(log
Pedro Ramírez
APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA:CRECIMIENTO POBLACIONAL
Datos:Pf = 300
Po = 200i = 50% = 50/100 = 0,50Reemplazando: t = log(1+0,50)(300/200)
t = log(1,50)(3/2)
t = log(3/2)(3/2) = 1
Pt )( 23log
P
t
1.751.5 1.25
1
Tenemos:
tif kPP )1.(
i
fk P
Pt )1(log Pt k )1(log
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA:RELACIÓN ENTRE GRÁFICAS.
Las funciones logarítmicas y exponenciales de la misma base son mutuamente inversas. Esta relación afecta a sus respectivas gráficas y produce una especial disposición de las mismas en el plano cartesiano.
Para finalizar esta presentación veremos el por qué de tal disposición de las gráficas de estas dos funciones trascendentes.