Download pdf - Exponential & Logarithmic Function V53.4.29

CONTENT

Top Map

Exponential Function 1

สมการ Exponential 14

อสมการ Exponential 21

Logarithmic Function 28

สมการ Logarithm 43

อสมการ Logarithm 57

Character ของยาย Mantissa 63

Antilog 64

Graph of Exponential & Logarithmic Function 67

Exponential Function Club Educate Pathumwilai C.E.P.W....

1

Exponential Function สมบัติของเลขยกกําลัง (Must ! Very important for Expo)

ถา a, b, am , bn เปนจํานวนจริง และ a, b ≠ 0 และ m, n เปนจํานวนตรรกยะ จะไดวา

am ∙ an = am+n

am

an = am−n

(am )n = amn

(ab)n = am ∙ an เนนนะ (a + b)n ≠ an + bn

(a − b)n ≠ an−bn

�ab�

n= an

bn โดยที่ b ≠ 0

a−n = 1an โดยที่ a ≠ 0

a0 = 1 โดยที่ a ≠ 0

0อะไรไมรู ไมนิยามทางคณิตศาสตร

Fear Factor

a2 − b2 = (a − b)(a + b)

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 2ab + 2bc + 2ac


2

Problems : ซอมมือ

1. จงทําใหอยูในรูปอยางงาย

1.1 �49n + 142n

7n +28n �1n

1.2 �53n +1+52n +1

52n +1+5n +1 �1n

2. รากที่สามของ 218 − 21236 + 26311 − 315 คือ


3

3. จงหาคาของ (Lead! ออกขอสอบแนนอน)

3.1 �2�2�2√2 … … …

3.2 �2 + �2 + �2 + √2 … … …

3.3 �3 + �3 −�3 + √3 − … … …

4. จงเรียงลําดับจากนอยไปมาก

4.1 100010 , 101000 , 100100


4

4.2 234 , 243 , 423 , 432

5. ขอใดเรียงลําดับจากนอยไปมากไดถูกตอง

1. √2 , √33 , √54

2. √33 , √54 ,√2

3. √54 , √33 ,√2

(Hardcore : Make your Brain Brighter The Brain)

6. จงทําใหอยูในรูปอยางงาย

6.1 �2 + √3�2 + �2 + √3�2 + �2 + �2 + √3�2 −�2 + �2 + √3

6.2 � m�m 2+1

−1��√m2+1+m�+�m−√m2+1�� m�m 2+1

+1�

�√m2+1+m��√m2+1−m�


5

7. จงหาคาของ 1

1+xa−b +xa−c + 11+xb−c +xb−a + 1

1+xc−a +xc−b

8. ถา (2x)3 = (3y)3 = (4z)3 และ 1x

+ 1y

+ 1z

= 1 จงหาคาของ �8x2 + 27y2 + 64z23

9. กําหนดให a3

= b2

= k จงหาคาของ ��a2 − √b233� ��a2 + √b233

� − √a2b23 �

ในรูปของ k


6

การหารากท่ีสองของ 𝐱𝐱 ± 𝟐𝟐�𝐲𝐲

ทวนอดีต รากที่ 2 ของ 4 เทากับ ±2 รากที่ 2 ของ 9 เทากับ ±3

√4 เทากับ 2 √9 เทากับ 3

สูตรลัด รากที่ 2 ของ (a + b) ± 2√ab คือ ±�√a ± √b�

�(a + b) ± 2√ab คือ √a ± √b

พิสูจน จาก �√a + √b�2

= a + 2√ab + b = (a + b) + 2√ab

ดังนั้น รากที่ 2 ของ (a + b) + 2√ab = ±�√a + √b�

และจาก �√a − √b�2

= a − 2√ab + b โดยที่ a > 𝑏𝑏

�√a − √b�2

= (a + b) − 2√ab

ดังนั้น รากที่ 2 ของ (a + b) − 2√ab = ±�√a − √b�

Problems

1. �5 + 2√6

2. �5 − 2√6

3. จงหารากที่ 2 ของ 8 + 2√15


7

4. จงหารากที่ 2 ของ 3x − 1 + 2√2x2 − 3x − 2

5. จงหาคาของ �18 + 8√5

6. กําหนดให �5 − √21 = √x −�y จงหาคาของ x และ y

7. จงหารากที่สองของ √32 − √24

8. a และ b เปนจํานวนเต็มบวกซึ่ง a < b ถา a และ b สอดคลองกับสมการ

�10 + √84 = √a + √b แลว a2 + b2 เทากับเทาไร (โอลิมปก)


8

9. จงหาคาของ �4 − √5 −�17 − 4√15

10. จงหาคาสําเร็จของ 10√2

√18−�3+√5− √10+√18

√8+�3−√5 (เตรียมอุดม)

Problems Equation of Trick Mark Rider (Check คําตอบทุกครั้ง)

1. x−1√x−1

= 6x

2. √2x2 − 7x + 1 − √2x2 − 9x + 4 = 1


9

3. √2x − 1 + √3x − 2 = √4x − 3 + √5x − 4

4. √4x2 − 10x + 19 − √4x2 − 10x + 3 = 2

5. √2x2 − 11x + 69 + √2x2 − 11x + 14 = 11

6. ผลบวกรากคําตอบของสมการ 3(x2 − 7x) + 26 = 4√x2 − 7x + 10 ผลบวกรากคําตอบของสมการ

มีคาเทาใด


10

7. จงหาคา x จากสมการ √x+48+√x√x+48−√x

= √x−4+√3√x−4−√3

(โอลิมปก)

8. จงหาเซตคําตอบของสมการ 2x2 − 3√2x2 − 7x + 7 = 7x − 3 (โอลิมปก)

9. จงหาคา x จากสมการ �x − 1 + 2√x − 2 −�x − 1 − 2√x − 2 = 1

10. ถา �1 − x + √1 − 2x + �5 − x − √9 − 18x = 4√2 แลว x มีคาเทาใด


11

11. จงหาผลบวกของคําตอบของสมการ √x + 1 = √2x − 63 + 2

Homework : ทําก็ไดไมทําไมได

1. ถา p ,q ,r เปนจํานวนเต็ม a ≠ 0 ,1 แลว � ap

aq �p+q

∙ � aq

ar �q+r

∙ � ar

ap�r+p

มีคาเทาไร

2. a ≥ 1 และ x ∈ R จงหาคา x ที่สอดคลองกับ �a − √a + x = x (ยากดีเหมือนกัน)


12

3. รากที่สามของ 218 + 21636 + 26311 + 315 คือเทาไร

4. x เปนจํานวนจริงบวก x + 1x

= k จงหาคา k ที่ทําให x3 + 1x3 = 2704

5. �√5√6− √2

√15�

2 มีคาเทาใด (O-Net 51)

6. �√18 + 2√−1253 − 3√44 � มีคาเทาใด (O-Net 51)


13

7. 8

23

√1444 ∙ 1812

√6 มีคาเทาใด (O-Net 50)

8. ถา �1 − √2�2�2 + √8�

2�1 + √2�

3�2 − √8�

3 มีเทาเทาใด (O-Net 50)


14

Exponential Function

นิยาม เรียกความสัมพันธ f = {(x, y) ∈ R × R+|y = ax ; a > 0 และ a ≠ 1}

วาฟงกชันเอกซโพเนนเชียล

ขอสังเกต...

1. ฐานของฟงกชันเอกซโพเนนเชียล ตองเปนจํานวนจริงบวกและไมเทากับ 1

2. โดเมนของฟงกชันเอกซโพเนนเชียล คือ R

3. เรนจของฟงกชันเอกซโพเนนเชียล คือ R+

4. ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลเปนฟงกชันแบบ 1-1

Must to Jum @ Kow Jai Naa

ถาเราจํากรอบ เก่ียวกับ Expo ขางบนได ไมตองจํานิยามใหมันมากมายแลว

ตรงน้ีตองไดนะครับ เพราะ จะนําเรื่องฟงกชันเพิ่มฟงกชันลดไปใชใน อสมการ Expo และ กราฟ Expo


15

Problems : บอกหนอยวาแตละขอตอไปนี้เปนฟงกชันเพิ่มหรือฟงกชันลด

1. y = 2x

2. y = (sin 30°)2

3. y = 2x+1

4. y = −22x

5. y = √1100000000 x

Equation of Exponential Function

• พยายามทําฐานใหเทากัน ถาฐานเทากันจับเลขชี้กําลังมาเทากันไดเลยนะ

• ถาทํายังไงฐานมันก็ไมเทาแลวเหลือบมาเห็นวา “เลขชี้กําลังมันเทากัน” ใหจับเลขชี้กําลัง = 0

เพราะ ไมวาจะเปนจํานวนอะไรก็ตาม ยกเวน 0 แลว เมื่อยกกําลัง 0 จะเทากับ 1 เสมอ ที่สําคัญ

ของ การแกสมการ Expo Function คือ ไมตอง ตรวจสอบคําตอบ ยกเวน ระหวางทางเดินอันยาว

ไกลท่ีมีการยกกําลัง คู ระหวางทางตองตรวจคําตอบ

Problems : อันย่ิงใหญ

1. 2x = 4 → x =

2. 2x = −4 → x =

3. �3 + 38�

3x= 16

81 x มีคาเทาไร (O-NET)

4. ถา 4x−y = 128 และ 32x+y = 81 คาของ y คือ (PAT1 มี.ค. 52)


16

Solve Top Map Service

5. √6 + √5 =

6. √11 + √10 =

7. √12 − √11 =

8. √13 + √12 =

9. √8 − √7 =

10. √7 + √5 =

11. �√3 − √2�5x−1

= �√3 + √2�10x−2

จงหาคา x

12. �11 − 2√30 �x2 = √6 + √5 แลว x มีคาเทาไร

13. 72x + 4 ∙ 7x − 5 = 0


17

14. 5(5x + 5−x) = 26

15. 6(25x) + 11(23x) − 3(2x) = 25x+1

16. 3x2+2 − 3x2+1 − 9x+1 + 27 = 0 (ทุน King)

17. 3 ∙ 4x + 6x + 2 ∙ 9x = 0


18

18. 4 ∙ 32x + 9 ∙ 22x = 13 ∙ 6x

19. 12x − 2(3x) − 9(4x) + 18 = 0

20. ถา x > 0 และ 8x + 8 = 4x + 2x+3 แลว คาของ x อยูในชวงใด (PAT1 ต.ค. 52)

1. [0,1)

2. [1,2]

3. [2,3)

4. [3,4)


19

21. หาผลบวกของคําตอบของสมการ 89x +3 = 1284∙3x

(ขอตอไปนี้ควรจดจําไวหนอยสวยดีนะ)

22. จงแกระบบสมการ 32x+y − 3x+2y = 72 โดยที่ 3x − 3y = 8

23. จงหาผลคูณคําตอบของสมการ 23x − 14 ∙ 22x + 56 ∙ 2x − 64 = 0


20

24. จงหาคา x จาก 3(30x) − 6(15x) − 3(6x) + 6(3x) + 2(5x) − 10x + 2x − 2 = 0

25. (25)2x−x2+1 + (9)2x−x2+1 = 34(15)2x−x2 จากสมการ

จงหากําลังสองของผลคูณของคําตอบของสมการ

26. จงหาคา tan xtan x ถา tan xcot xtan x cot x ...

= tan x


21

อสมการ Exponential

Trick!

1. กรณีฐานเหมือนกัน ใชสมบัติของ ฟงกชันเพิ่ม ฟงกชันลด

ถาเปนฟงกชันเพิ่ม am > an ใหปลดฐานออกจะได m > 𝑛𝑛

ถาเปนฟงกชันลด am > an ใหปลดฐานแลวเปลี่ยนเครื่องหมายได m < n

2. กรณีฐานตางกัน แตเลขชี้กําลังเทากันซะงั้น

ใหยายขางเอาตัวท่ีฐานตํ่าไปหารจะงายขึ้น แลวทําใหฐานเทา

หลังจากนั้นเวลาปลดก็ดู ฟงกชันเพิ่ม ฟงกชันลด ตามกรณีท่ี 1

Ex. 85x+1 > 95x+1

85x +1

95x +1 > 95x +1

95x +1 : กลานํา 95x+1 ไปหารท้ังสองขางเพราะ Expo บวกเสมอ ไมหวงเครื่องหมาย

�89�

5x+1> 1 → �8

9�

5x+1> �8

9�

0

ปลดแลวตองเปลี่ยนเพราะ 89

< 1 เปนฟงกชันลด จะได 5x + 1 < 0


22

Problems : เก็ง ๆ กันไป

1. Set of the answer from �12�

x2+3x+5< �1

8�

x+10 is ?

2. Set of the answer from 2x2(x−3) < 8(2 3−x) is ? (Ent)

3. 53x+2 < 73x+2

4. 2x − 2x−1 − 8 > 0


23

5. 23x2+2 − 5�23x2� ≤ 23x2 + 2x2+1 (ทุน King)

6. คา x จาก x2 ∙ 22x + 9(x + 2)2x + 8x2 ≤ (x + 2)2x + 9x22x + 8x + 16

คือ [a, b] ∪ [c, d] แลว �(a + b + c + d)2 มีคาเทาไร

7. จงหาชวงคําตอบของอสมการ (sin 0°)8x2−5x+10 ≥ (sin 0°)7x2−4x+8


24

Homework : ใครไมทําแชง

จงหาเซตคําตอบของอสมการตอไปนี้

1. (tan 40°)8x2−x−1 > (tan 40°)2x2−2x+1

2. 5(2x+2) ≤ (0.8)(5x+2)

3. 32x − 4 ∙ 3x+12 + 9 > 0


25

4. ถา a > 1 แลวเซตคําตอบของ �ax2�2x−7

< a2−7x ตรงกับเทาใด

5. จงหาคําตอบของอสมการ �3 + √7�2x2+3x+1

< �3−√72�

x2−8x+3

6. จงแกอสมการ 2x2 + 12 ∙ 2x + 32 ≤ 0

7. เซตคําตอบของ 23x−1 ∙ 6x ∙ 25x−1 ≥ 75x


26

8. จงแกอสมการ 4x

4x +3x < 4

9. จงแกอสมการ 4(2x2−4x−5) ≤ 132

(O-NET)

10. จงแกสมการ √2(x2)

= 2(4x )

44 (O-NET)

11. จงแกสมการ 32x+1 − 8(3x) = 3 (O-NET)


27

12. จงแกสมการ 24y ∙ 4y−3 = 8y+1 (O-NET)

13. จงแกสมการ (3x − 3)2 = 3x − 3 (O-NET)

14. ถา 27(x+y) = 36 และ 23x+y = 1 แลวคาของ 3x−1 + 3𝑦𝑦−1 คือเทาไร

จบ Expo เตรียมที่จะกาวไป Loga กันหรือยัง

Logarithmic Function Club Educate Pathumwilai C.E.P.W....

28

Logarithmic Function

Expo เปนฟงกชัน one-one หรือ หนึ่งตอหน่ึง (ดูจากกราฟ) จึงสามารถหาอินเวอรสไดและอิน

เวอรสของ Expo ก็เปนฟงกชัน 1-1 ดวย

Expo → f = {(x, y) ∈ R × R+ | y = ax; a > 0 และ a ≠ 1}

Log → g = {(x, y) ∈ R+ × R | x = ay; a > 0 และ a ≠ 1}

แอบทดหนอยนะ

Inv ของ y = ax คือ x = ay และ เนื่องจากนักคณิตศาสตรชาวโลกไมชอบเขียน x ในเทอมของ y จึง

บัญญัติศัพทใหมใหเราตองมาสอบกันคือ y = loga x โดยอานวา “log x ฐาน a”

∴ Log → g = {(x, y) ∈ R+ × R | y = loga x ; a > 0 และ a ≠ 1}

Must to Jum @ Kow Jai Naa

ถาเกิดเราไดนิยามจากกรอบขางบนแลว เราจะไมตองจําอะไรมากและไดนิยาม

ตรงน้ีตองไดนะครับ เพราะ จะนําเรื่องฟงกชันเพิ่มฟงกชันลดไปใชใน อสมการ Loga และ กราฟ Loga


29

Hua Kor Tor Pai Nee Taa Mai Dai Hmmm Don’t Walk ago !

1. loga 1 = 0 : “ถาหลัง log เปน 1 จะ = 0 ทันที”

2. loga a = 1 : “ถาฐานเทา log จะ = 1 เสมอ”

3. loga(mn) = loga m + loga n : “log ผลคูณ เทากับ ผลบวก log”

Ex. log10 10 = log10(5 ∙ 2) = log 5 + log 2

4. loga �mn� = loga m−loga n : “log ผลหาร เทากับ ผลตาง log”

5. logby ax = xy

logb a : “กฎการตบหัวท่ิมดิ้นกระจาย”

6. alog a m = m : “กฎการระเบิดตัดพวงพดดวง”

7. alog b m = mlog b a : “กฎการสลับท่ี”

8. logb a = log m alog m b

: m > 0 ,𝑚𝑚 ≠ 1 , 𝑏𝑏 ≠ 1 : “ใชเมื่ออยากเปลี่ยนฐาน”

9. logb a = 1log a b

: “กฎการกลับเศษเปนสวน”

ขอควรรูเพิ่มเติม

1. ลอการึทึมสามัญ (Common Logarithms) คือ log ที่ไมไดเขียนฐานตามหลักสากลท่ัวโลก ถือ

วา log นั้นเปน log ฐานสิบ

Ex. log10 2 = log 2

2. ลอการึทึมธรรมชาติ (Natural Logarithms) หรือ ลอการึทึมแบบเนเปยร คือ log ที่มีฐาน

เทากับ e ซึ่งเปนจํานวนอตรรกยะมีคาประมาณ 2.7182818

“นิยมเขียน ln x แทน loge x” โดย ใชสมบัติรวมกับ 9 ขอแรกดานบน

Part ดานบน เปน Part บรรยาย แตหลังจากนี้เปนภาคคํานวณแลวจะครับ Here we go !!!

log 5 = 1 − log 2

log 2 = 1 − log 5


30

Problems

1. เขียนสมการใหอยูในรูปของ log (Take คา log)

1.1 23 = 8

1.2 53 = 125

1.3 33 = 27

1.4 43 = 64

1.5 pq = r

2. เขียนสมการ log ใหอยูในรูปของ Exponential (สําคัญมาก เพราะอันนี้ใชบอย)

2.1 log5 25 = 2

2.2 log3 27 = 3

2.3 log 1000 = 3

2.4 p = logq r

3. จงหาคาของ 7log 7 52 + 5 log2 4−3 − 2 log9 33


31

4. จงหาคาของ 811

log 5 3 + 27log 9 36 + 34

log 7 9 (โควตา มข.)

5. จงหาคาของ log2 18 + 12

log213− 1

2log2 √123

6. จงพิจารณาวาขอตอไปนี้ถูกหรือผิด

6.1 log 6 < log 2 + log 3

6.2 16

log2 16 + 16

log 4 = 1

7. จงหาคาของ log14

164

+ 4log 4 3

8. กําหนดให a, b, c > 1 ถา loga d = 30, logb d = 50, logabc d = 15

แลวคาของ logc d มีคาเทากับขอใด (PAT1 ก.ค. 52)

1. 75

2. 90

3. 120

4. 150


32

9. จงหาคาของ log sin 10° × log sin 20° × log sin 30° × … × log sin 170°

10. จงหาคาของ log sin 1° × log sin 2° × log sin 3° × … × log sin 100 … 000° (Top C.E.P.W.)

11. จงหาคาของ log tan 1° × log tan 2° × log tan 3° × … × log tan 89° (Top C.E.P.W.)

12. จงหาคาของ log tan 1° + log tan 2° + log tan 3° + ⋯+ log tan 89°

13. กําหนดให x = 18 ∙ log2�2 ∙ �2 ∙ √233

และ y = log4(log3(log2 512 ))) ขอใดถูก

1. x + y = 13

2. x + y = 13.5

3. x + y = 14

4. x + y = 14.5


33

14. จงหาคาของ log3(log2(log5 625 ))) คือขอใด (Ent)

1. log2 3

2. 1

log 3 2

3. log 3log 2

4. log 2log 3

15. กําหนดให a > 0 และ a ≠ 1 ขอใดตอไปนี้มีคาเทากับ loga(2a)b

1. 2b

2. 2b

3. loga 2 + b

4. b ∙ loga 2 + b

16. กําหนดให log xa−b

= log yb−c

= log zc−a

จงหาคาของ xa+b ∙ yb+c ∙ zc+a (โหดดี)

17. จงหาคาของ log16 ��5 + √24 −�5 − √24�


34

18. กําหนดให logab b = 4 จงหาคาของ logab√b√a3 (สวยดียังเลย)

19. กําหนดให loga x = 12

, logb x = 13

, logc x = 14

, logd x = 15 จงหาคาของ logx (abcd)

20. กําหนดให x = log �1 − 15� , y = log(1 − 1

16), z = log(1 − 1

9) จงหาคาของ x+y+z

21. กําหนดให a2 = b3 = c4 = d12 จงหาคาของ logd8 a2 − logd4 b3 + logd6 c4


35

22. กําหนด log3 5 = 1.465 แลว log27 15 มีคาเทาไร

23. กําหนดให a = log27 5 , b = log 3 จงหา log3 4 มีคาเทาใดในรูป a, b (นารักดี)

24. จงหาคาของ log2 3 log3 4 log4 5 log6 7 log7 8 log8 9 log9 10 log10 2 (Top C.E.P.W.)

25. กําหนดให logabc a = 12 และ logabc ab = 3

2 เมื่อ a, b, c เปนจํานวนจริงบวกใดๆ

จงหาคาของ logabc (a2b3c4) (ขอนี้โหดรายมาก)

1. 0

2. 1

3. 2

4. 3


36

26. ถา log(x3 + y3) = a, log(x2 − y2) = b และ log(x − y) = c

จงหาคาของ logx−y(x2 − xy + y2) (เจอที แดกแกลบเลย ขอนี้)

1. a−b+c

c

2. a+b+c

c

3. a − b + c

4. a + b + c

27. กําหนดให a3 − b3 = 0 และ a ≠ b จงหาคาของ logab (a + b)

28. ถา a2 + b2 = 7ab จงหาคาของ log(a + b) − 12

(log a + log b)


37

29. กําหนดให log x2

a2−b2 = log y2

b2−c2 = log z2

c2−a2 จะได xyz มีคาเทาไร

1. 4

2. 2

3. 1

4. 0

30. ถา log9 a = log12 b = log16(a + b) จงหาคาของ ab (สวยมาก ๆ)

31. ให a, b ∈ R และ alog3 2 + b log9 4 = 1 จงหาคาของ (14)1−a−b (โหดดี)


38

32. กําหนด log 2 = 0.301, log 3 = 0.477 จงหาคาของ x จาก 102x+1 = 610 (Ent)

33. ถา log2 3 = 1.59 แลวคา x ที่สอดคลองกับสมการ 22x+1 ∙ 32x+2 = 12x มีคาเทาใด (Ent)

34. กําหนดให x เปนจํานวนจริงบวก ซึ่งสอดคลองสมการ

2x = 103− 2x และ y = log6 4 log8 6 log10 8 แลวคาของ xy มีคาเทากับเทาใด (Ent)

1. 2 ∙ log 3

2. −2 ∙ log 3

3. 2 ∙ log 2

4. −2 ∙ log 2


39

35. จงหาคา x, y จากระบบสมการตอไปนี้

2x = 3y และ 2y+1 = 3x−1

36. จงหาคาของ x และ y จากระบบสมการตอไปนี้

2x5y = 1 และ 5x+1 ∙ 2y = 2


40

Homework : ทําไมทันก็ตองทํา

1. log2(log3 178)− log2(log3 173) + log5 5log 2(38) มีคาเทาไร

2. จงหาคาของ loga+b(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) − loga+b+c(a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac)

3. log( log2 3) − log( log4 3) − log( log5 4) …− log( log32 31) มีคาตรงกับขอใด

1. 1

2. log 2

3. 1 − log 2

4. 1 + log 2

4. ให log2 56 = k + 1 แลว log49 64 มีคาเทาใด


41

5. กําหนด f(x) = log2 x , g(x) = log3 x , h(x) = log12

x จงหาคาของ f(4) + g(27) − h � 116�

6. a3 = b4 = c6 = d12 แลว logd (abc) มีคาเทาใด

7. ถา a = log 35 − log 7 + log 6 − log 3 + log 10

b = 4 log 400 + (log2 8)(log3 81) − log 256 ขอใดถูกตอง

1. a + b = 10

2. a − b = 18

3. a + b = 24

4. ab = 40

8. ขอใดถูก

1. log7 3 < log5 3 < log7 10

2. log5 3 < log7 3 < log7 10

3. log7 3 < log7 10 < log5 3

4. log7 10 < log5 3 < log7 3


42

9. log(4�2�2√2 … . .666) มีคาเทาใด

10. log 100mn มีคามากกวา log mn100

เทาใด


43

การแกสมการ Logarithm

1. พยายามทําฐาน log ใหเทา เพราะ loga x = loga y แลว x = y

2. ถาฐานทําใหเทากันไมไดพยายามแตเลขหลัง log เทากัน อางเสมอถา loga x = loga y

แลว x = 1 เสมอ เพราะ หลัง log เปน 1 จะได 0

3. Check คําตอบเสมอนะ

จําเปนตอง Check เสมอวา หลัง log ตองบวก และฐานของ log ตอง > 0 และ ≠ 1

ต้ังสติดีดีนะ ของมันกําลังข้ึนกะทิมันกําลังขน

Problems

1. ถา 3 log4 x2 = 4 log4 x2 แลว x มีคาเทาใด


44

2. เซตคําตอบของสมการ log2(2x2 − 1) = −3 เปนสับเซตของขอใดตอไปนี้ (Ent)

1. �−1, 34�

2. �−2, 12�

3. �−3, 13�

4. �−4, 14�

3. จงหาคา x ที่สอดคลองกับ log3 √x − 5 + log3 √2x − 3 = 2 log9 3

4. กําหนด A = �x | √x − 4 = 2 –√x − 8�

B = {x | (loga x)(log2 a) = log5 125 ; a > 0} ขอใดถูก (Ent)

1. A ∩ B = ∅

2. A = B

3. A เปนสับเซตของ B และ A ≠ B

4. B เปนสับเซตของ A และ A ≠ B

5. จงหาคา x ที่สอดคลองกับสมการ log4 log3 log2(x2 − 2x) = 0


45

6. กําหนดใหคําตอบของสมการ log2 log4 log8 x = 1 คือ xp จงหาคา p

7. จงแกสมการ 4log 11 + 11log 4 = 22 × 11log x x มีคาเทากับเทาใด

1. 10

2. 4

3. 1

4. 25

8. จงหาเซตคําตอบของ log2(9x−1 + 7) = log2(3x−1 + 1)

9. กําหนดให a, b เปนคําตอบของ สมการ log3 x + 6 ∙ logx 3 = 5 โดย a > 𝑏𝑏

ถา A = {x ∈ I+| x ∈ [a, b] และ 3/x} จงหา n(A) (นาออกขอสอบ)


46

10. จงหาเซตคําตอบของสมการ log √x4 2 + log4 x2 + 4 = 0

11. ถา loga(ax) + 2 loga(a2x) + 3 loga(a3x) + ⋯+ 10 loga(a10x) = 110

แลว x มีคาเทาใด

12. เซตคําตอบของสมการ log4 log3 log2 5log 5(x2+2x) = 0 เปนสับเซตของขอใด

1. [−5, 1]

2. [−4, 3]

3. [−1, 5]

4. [0, 6]

13. log 2 x− 1

log 2x2

= 2 log2 √x + 3 − (log2 x)2 มีผลตางคําตอบเปนเทาใด


47

14. จงหาคา x จากสมการ log2(x + 2) + log2(x − 1) = 2

15. จงหาคา x จากสมการ log(2x + x − 4) = x(1 − log 5)

16. จงหาคา x จากสมการ log2 x3 + log4 x6 + log8 x9 = 8log 4 9


48

17. จงหาคา x จากสมการ 2 log3 0.5 ∙ log0.5 x = log3 4

18. จงหาคา x จากสมการ (log2 x)2 + 8 log16 x − 3 = 0

19. จงหาคา x จากสมการ

log3 x log4 x log5 x = log3 x log4 x + log4 x log5 x + log3 x log5 x

20. จงหาคา x จากสมการ 2(ln 10)(log|x − 2|) = ln(x2 + 1)


49

21. จงหาคา x จากสมการ 2 log3 x − 2 logx2 9 + 3 = 0

22. ถา A เปนผลคูณของคําตอบทั้งหมดของสมการ

log3 xlog 3 xlog 3 x − 6 log3 xlog 3 x + 11 log3 x − 6 = 0

จงหาคาของ log3 A + log9 A + log27 A

23. A, B เปนคําตอบของสมการ (log x)2 + (log 2)(log x) − log 5 = 0 จงหา 4AB


50

24. จงหาคา x จากสมการ 1

log 6(3+x)+ 2 log 0.25(4−x)

log 2(3+x)= 1

25. จงหาคา x จากสมการ 7log 3+log 7 ∙ xlog 2 = 2log 7+log 3 ∙ xlog 7

26. จงหาคา x จากสมการ 2log x ∙ xlog 2 − 2log x = 12

27. �xlog √x = 10

28. xlog x = 100x


51

29. xxlog x = x100x

30. กําหนดให logxy x = 9 จงหาคาของ logxy√𝑥𝑥23

�𝑦𝑦34 (สวยโคตร)


52

31. จงหาคา x จากสมการ log3(4x + 15 ∙ 2x + 27) − 2 log3(4 ∙ 2x − 3) = 0

32. กําหนดให logx y + 4 logy x = 4 และ x + y = 6 จงหา x − y (ขอน้ีสวยกวา....)

33. กําหนดให loga b + 4 logb a = 5, a2 + b = 272 และ a ≠ b แลว ab มีคาเทาใด


53

34. Let a, b, c, d be positive integers and loga b = 32

, logc d = 54 If a − c = 9 , then

b − d =?

35. จงหาคําตอบของระบบสมการ log x + log y = 2 และ x − y = 15


54

36. กําหนดระบบสมการ

log2 x + log4 x + log4 z = 2

log3 y + log9 z + log9 x = 2

log4 z + log16 x + log16 y = 2

จงหาคาของ 6x + 8y − 3z เทากับเทาใด (Olympic, มข, เตรียมอุดม)


55

Homework : อยากเกง ตองทําการบาน

1. จงหาเซตคําตอบของ 10log (√5x +5√5−x−In e5) = log[ 5(log 100)−22(log 5 √5−5−1)

]

2. จงหาคา x จากสมการ 2�5log 3 x� + 3�xlog 3 5� = 125

3. คําตอบของสมการ loga x ∙ logb c ∙ (1 + logc a) = logb x logc x loga c

1. ac

2. bc

3. ab

4. abc

4. คาของ xy เมื่อ x และ y สอดคลองกับสมการ 2 log8(3x − 2y) = log8 x + log8 y + 1

อยูในชวงใดชวงตอไปน้ี

1. [0, 1]

2. [1, 3]

3. [4.5, 6]

4. [6.5, 9]


56

5. จงหาคา x จากสมการ

(log2 x − 2)3 + {(log2 x)2 − 3}3 = {(log2 x)2 + log2 x − 6}3 (Top C.E.P.W.)


57

อสมการ Logarithm

1. พยายามทําฐานของ log ใหเหมือนกัน

ถา ฟงกชันเพิ่ม และ loga m > loga n จะได m > 𝑛𝑛

ถา ฟงกชันลด และ loga m > loga n จะได m < n

2. ตอง Check คําตอบเสมอ โดยการสราง อสมการเงื่อนไข

2.1 หลัง log > 0

2.2 ฐาน log > 0 แตตอง ≠ 1

Ex. log(3x + 4) > log(x − 1) + 1

log(3x + 4) > log(x − 1) + log 10

log(3x + 4) > log(x − 1) 10

ฐาน 10 ฟงกชันเพิ่ม : Take log ได ตัด log ได เพราะฐานเดียวกัน

3x + 4 > 10𝑥𝑥 − 10

x < 2

เช็คคําตอบยังไงมาดูกัน : สรางเงื่อนไข หลัง log > 0 : 3x + 4 > 0, 𝑥𝑥 − 1 > 0

ได x > − 43 และ x > 1 แลวจับมา อินเตอรเซ็กกัน จะได x ∈ (1, 2)

Part คํานวณแลว พยายามอยาลืม สรางเง่ือนไข Check คําตอบกันนะครับ


58

Problems

1. จงแกอสมการ log12

log4(x − 1) > 1

2. จงหาคา x จาก (13)log 2(x2+2) > (1

3)log 2(4x−1)

3. ถา A = {x| a < 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏} เปนเซตคําตอบของ log2(2x − 1) − log4(x2 + 12) < 1

2

แลว a + b มีคาเปนเทาใด (ออกสอบทีตายกันเปนแถว)


59

4. จงหาเซตคําตอบของอสมการ 4 ∙ 2log x2 − 9 ∙ 2log x + 2 ≤ 0

5. หาเซตคําตอบของอสมการ 4log 3 x + xlog 3 4 < 12

6. กําหนดใหชวง (a, b) เปนชวงคําตอบของอสมการ 3�2log x� > 2 + xlog 4 แลว a + b มีคาเทาใด


60

7. จงหาคา x จาก logx (x + 2) > 2

8. จงหาคา x จาก log2x+4(x2 + 1) ≤ 1

9. จงหาเซตคําตอบของ xx−2 > 1 เมื่อ x > 0 (Olympic)


61

10. กําหนดให A = �x โดยที่ x ∈ I และ (x + 1)log x < 𝑥𝑥� ผลบวกของสมาชิกทุกตัวใน A คือ

(Olympic)

11. กําหนด S = {x ∈ R | 2x log2 x + 8 > 2x+1 + log2 x4}

เซต S มีจํานวนเต็มซึ่งนอยกวา 20 ก่ีตัว (Olympic)

1. 14

2. 15

3. 16

4. 17

12. กําหนดให log 2 = a , log 3 = b เซตคําตอบของอสมการ 10x2 < 3x ∙ 2log 3−x คือขอใด

1. (−2a, b)

2. �– a, b�

3. �– b, 2a�

4. �– b, a�


62

Homework : กรุณาทําดวยนะครับขอละนา..

1. กําหนด 0 < 𝑎𝑎 < 1 และ 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦𝑦 แลวขอใดถูก

1. ax < ay และ loga x < loga y

2. ax < ay และ loga x > loga y

3. ax > ay และ loga x < loga y

4. ax > ay และ loga x > loga y

2. log12

(log3(x + 1)) > −1 จงหาชวงคําตอบของ x

3. log(log x) + log(9 − log x2) ≥ 1 จงหาคาคําตอบของ x


63

Character ของยาย Mantissa

ถาเรามองยอนกลับไปถึงตอนเราเรียนเลขยกกําลังเราจะสามารถเขียนจํานวนจริงใด ๆ ก็ตามในรูป

ของ A × 10n เมื่อ 1 ≤ A ≤ 10 และ n ∈ I

พูดงาย ๆ คือ เราเขียนจํานวนใหอยูในรูปลดรูปได

Ex. 0.00048 สามารถเขียนไดเปน 4.8 × 10−4

จากตรงนี้น่ีเองทําใหตองมารูจัก Character ของคุณยาย Mantissa

ถาเราให x = 4.8 × 10−4

แลวถาเรา Take log เขาไปจะไดอะไรออกมานะ !

log x = log(4.8 × 10−4) : log ผลคูณ เทากับ ผลบวก log

log x = log 4.8 + log 10−4

log x = log 4.8 − 4

ถาเราลองสังเกตดูจะทราบวา ไมวาจะเปนยังไงก็ตาม

ถา x = A × 10n : เมื่อ 1 ≤ A ≤ 10 และ n ∈ I

เราจะได 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝐱𝐱 = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐀𝐀 + 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝟏𝟏𝟏𝟏𝐧𝐧 เสมอ

ที่น้ีนักคณิตศาสตรจึงบัญญัติวา (Actsense นิดนึง)

log A เรียกวา Mantissa (แมนทิสซา)

log 10n เรียกวา Characteristic (แคแรกเทอรริสติก)

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝐱𝐱 = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐀𝐀 + 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝟏𝟏𝟏𝟏𝐧𝐧

Characteristic เปนจํานวนเต็มเสมอ เพราะ n เปนจํานวน

Mantissa เปนจํานวนบวก เสมอ เพราะ A อยูในชวง [1, 10]


64

Antilog

เขาบอกวา

Part : คํานวณและประโยชนของ Characteristic Mantissa & Antilog

Problems

1. จงหาคาของ log 0.00000309 กําหนด log 3.09 = 0.49

2. จงหาคาของ log 1200 กําหนด log 1.2 = 0.0792

3. จงหาคาของ log 0.00652 กําหนด log 0.00652

4. จงหาคาของ log 57200 กําหนด log 5.72 = 0.7574

Antilog(log N) = N แปลเปนไทยงาย ๆ Antilog(A) = อะไรเทากับ A


65

5. ถา log N = 4.4265 จงหาคา N เมื่อกําหนด log 2.67 = 0.4265

6. จงหาคาของ Anti log(−3.5918) เมื่อกําหนด log 2.56 = 0.4082

7. กําหนด log 789,000 = 5.8971 จงหาคาของ 10−5.1029

8. คาของ 7272 ประกอบดวยเลขโดดเขียนเรียงกันก่ีหลัก

โดยกําหนด log 2 = 0.3010 , log 3 = 0.4771

9. กําหนด 2 log2 x = y และ log2 2x = y − 4

จงหาวา logy x2 มีคาแคแรกเทอรริสติกเทาใด


66

10. กําหนด log 63.7 = 1.9041 จงหาคาของ 10−1.0959

11. คาแคแรกเทอรริสติกของ log9 987 คือขอใด

1. 2

2. 3

3. 4

4. ไมเอาแลวหนูงวง

12. กําหนดให log 2 = 0.30103 จงหาวา 2100 มีก่ีหลัก

13. กําหนดให log 2 = 0.30103, log 3 = 0.4771 จงหาจํานวนหลักของ 18200

อดทนอีกหนอย เหลืออีกนิดจะจบแลวนะ


67

Graph of Exponential & Logarithmic Function

Graph of Exponential Function

การเขียนกราฟตองแบง 2 กรณี

จะทําอะไรใหดู

Expo : y = 2x

X 0 1 2 -1 -2

Y 1 2 4 12

14

Y

X


68

Expo : y = (12)x

X 0 1 2 -1 -2

Y 1 12

14

2 4

การยายแกน Expo : จะอยูในรูปแบบ เมื่อ a > 0 และ a ≠ 1

Ex : y – 21 = 2x−1 C(h,k) = ( 1 , 21 ) Y = 2x C(h,k) = (0,0) Y + 2 = 2x+5 C(h,k) = ( - 5, - 2 )

Y

X

y – k = ax−h

Saroop :


69

Graph of Logarithmic Function

กราฟก็แบงไดเปน 2 กรณีจากฐานของ log

เน่ืองจาก Log เปนอินเวอรสของ Expo จึงมีแกน y = x เปนแกนสมมาตรเมื่อ C(h,k) ของกราฟ อยูท่ี (0,0)

1. Y = loga x เมื่อ 0 < a < 1 (ฟงคชั่นลด)

Y = ax Y = x

แกนสมมาตร

Y = loga x

Y

X


70

2. Y = loga x เมื่อ a > 1

การยายแกน Loga = จะอยูในรูปแบบ เมื่อ a > 0 และ a ≠ 1

Ex. Y – 5 = log2(x− 8) C(h,k) = ( 8 , 5 )

Y + 6 = log3(x + 4) C(h,k) = ( - 4 , - 6 )

Y = log2 x C(h,k) = ( 0,0 )

Y = ax

Y = x

แกนสมมาตร

Y = loga x

Y

X

y – k = loga(x − h)

Saroop :


71

Tam :


72

ขอขอบคุณสําหรับโจทยตาง ๆ จากทุก ๆ แหง