CUADERNO DE TRABAJO

CÁLCULO INTEGRAL

ADAPTADO AL PROGRAMA DE ESTUDIO DE NIVEL

BACHILLERATO

NOMBRE DEL ALUMNO:

_____________________________________________________

NUMERO DE LISTA:

_____________________________________________________

GRUPO:

_______________________

PERIODO 2014-B

LA DIFERENCIAL

EJEMPLOS

𝟏. √𝟏. 𝟎𝟐

𝑦 = √𝑥 √1.02 = √1 + 0.2

𝑥 =1

2𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

2𝑥−1

2⁄ 𝑥 = 1 𝑑𝑥 = 0.2

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

2𝑥

12⁄

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

2√𝑥 𝑑𝑦 = (

1

2) (0.2)

𝑑𝑦 = (1

2√𝑥) (𝑑𝑥) √1.02 = √1 + 𝑑𝑥

= 1 + 0.1

𝟐. √𝟗. 𝟎𝟖

𝑦 = √𝑥 𝑑𝑦 = (1

2√𝑥) (𝑑𝑥)

𝑥 =1

2𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

2𝑥−1

2⁄ 𝑑𝑦 = (1

2√9) (0.08) = 0.0133

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

2𝑥

12 ⁄ 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

2√𝑥 √9.08 = √9 + 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = (1

2√𝑥) (𝑑𝑥) = 3 + 0.0133

√9.08 = √9 + 0.08

𝑥 = 9 𝑑𝑥 = 0.08

𝟑. √𝟔𝟑. 𝟕𝟑

√64 − 0.3 √63.73

= √64 − 0.33

𝑦 = √𝑥3

𝑥 = 64 𝑑𝑥 = 0.3

𝑥 = 𝑥1

3⁄ 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

3𝑥−1

3⁄ 𝑑𝑦 = (1

3 √6423 ) (0.3)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

3𝑥2

3⁄

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

3 √𝑥3 √63.7

3= √64 − 𝑑𝑦3

𝑑𝑦 = (1

3 √𝑥23 ) (𝑑𝑥) √63.73

𝟒. √𝟕. 𝟕𝟖𝟑

𝑦 = √𝑥3

𝑑𝑦 = (1

3 √(8)23 ) (0.22)

=1.01

= 3.0133

=3.993

𝑥 = 𝑥1

3⁄ 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

3𝑥−1

3⁄ 𝑑𝑦 = (1

3 √643 ) (0.22) =

(1

12) (0.22)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

3𝑥2

3⁄

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

3 √𝑥23 𝑑𝑦 = 0.018

𝑑𝑦 = (1

3 √𝑥23 ) (𝑑𝑥) √7.783

= √83

− 𝑑𝑥

√7.783

= √8 − 0.22 = √8 − 0.0183

𝑥 = 8 𝑑𝑥 = 0.22 √7.783

𝟓. √𝟔𝟒. 𝟎𝟐𝟔

𝑦 = √𝑥6

𝑑𝑦 = (1

6 √6456 ) (0.02)

𝑦 = 𝑥1

6⁄ 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

6𝑥−5

6⁄ 𝑑𝑦 = (1

6(32))(0.02)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

5

6𝑥5

6⁄

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

5

6 √𝑥56 𝑑𝑦 = (1

192)(0.02)

𝑑𝑦 = (5

6 √𝑥56 ) (𝑑𝑥)

𝑑𝑦 = 1.041666667𝑥10−04

√64.026

= √64 + 0.026

√64.026

= √64 − 1.041666667𝑥10−046

𝑥 = 64 𝑑𝑥 = 0.02 √64.026

Calcular las siguientes diferenciales

𝟏. √𝟐𝟒. 𝟐𝟖

𝟐. √𝟑𝟏. 𝟒𝟓𝟑

𝟑. √𝟖𝟎. 𝟎𝟐𝟒

𝟒. √𝟓𝟎. 𝟑𝟑𝟑

𝟓. √𝟓. 𝟎𝟖𝟔

=1.82

= 2.000104167

6. √𝟗. 𝟎𝟖𝟔

7. √𝟓. 𝟎𝟐𝟒

8. √𝟐. 𝟎𝟖𝟐

9. √𝟏𝟐. 𝟎𝟖𝟒

10. √𝟏𝟐. 𝟐𝟖

INTEGRAL

1.- ∫ (2

√𝑥35 + 9√𝑥23 +

1

𝑥 +

1

3) dx = ∫(

2

𝑥35

+ 93

2 + 𝑥−1 + 1

3)dx = ∫(2𝑥−

3

5 + 93

2 + 𝑥−1 + 1

3)dx =

2

1 𝑥

25

2

5

+ 9

1𝑥

53

5

3

+ln |x|+ 1

3x + C =

10𝑥25

2 +

27𝑥53

5 + +ln |x| +

1

3x + C = 5𝑥

2

5 +27𝑥

53

5 + +ln |x| +

1

3 + C =

5√𝑥25 +

27

5√𝑥53

++ln |x|+ 1

3x + C

2.- ∫ (8𝑥−4 - 16

𝑥2 + 5𝑥3+23x – 8) dx =∫ (8𝑥−4 - 16𝑥2+ 5𝑥3+23x – 8) dx =8𝑥−3

3 -

16𝑥−1

1+

15𝑥4

4 +

23𝑥2

2 – 8 + C =

8𝑥−3

3 -16 𝑥−1 +

15𝑥4

4 +

23𝑥2

2 – 8 + C =

8

3𝑥3 - 16

𝑥 +

15𝑥4

4 +

23𝑥2

2 – 8

+C

3.- ∫(16𝑥1

4 + 8

𝑥−

12

+3

5𝑥−

27

+ 1

4x – 12 )dx = ∫(16𝑥

1

4 + 8𝑥−1

2 + 3𝑥

27

5 +

1

4x – 12dx =

16𝑥54

15

4

+ 8𝑥

12

11

2

+

3𝑥97

59

7

+ 1𝑥2

42

1

– 12x+ C = 64𝑥

54

5 +

16𝑥12

1 +

21𝑥97

45 +

1𝑥2

8 – 12x +C =

64𝑥54

5 + 16𝑥

1

2 + 7𝑥

97

15 +

1𝑥2

8 – 12x

+C

=64 √𝑥54

5 + 16√𝑥 +

7 √𝑥79

15 +

1𝑥2

8 – 12x +C

4.- ∫( 8𝑥5 + 3𝑥2 – 10x + 6) dx = 8𝑥6

6 +

3𝑥3

3 -

10𝑥2

2 +6x +C

= 4𝑥6

3 + 𝑥3 - 5𝑥2 +6x +C

5.- ∫ (1

8𝑥4 + 9

𝑥−3 +6

𝑥2 + 23

5𝑥) dx =∫(

1𝑥−4

8 +9𝑥3+ 6𝑥−2 +

23𝑥−1

5) =

1𝑥−3

83

1

+ 9𝑥4

4 +

6𝑥−1

1 +

23

5+

+ln |x| + C = 1𝑥−3

24 +

9𝑥4

4 - 6𝑥−1 +

23

5ln +𝑐 + C

=1

24𝑥−3 + 9𝑥4

4 -

6

𝑥 +

23

5ln |𝑥|

Resuelve las siguientes integrales:

1. ∫ (19𝑥−1

4 + 1

5𝑥−

13

+19

√𝑥 + 26√𝑥35

- 36

𝑥−5 + 8

𝑥-9) dx

2. ∫ (10

√𝑥 + 9𝑥3- 6√𝑥38

+14

𝑥8+

12

𝑥-2) dx

3. ∫ (9√𝑥8 + 1

4𝑥−

1 2

+ 5√𝑥5

7 +

23

7 √𝑥38 ) dx

4. ∫ (7√𝑥 + 13

2√𝑥5 +

1

4 √𝑥3 -

2 √𝑥37

3 - √3) dx

5. ∫(6𝑥2 - 8

𝑥2 + 6𝑥2+ 5

𝑥 +

1

𝑥−4) dx

6. ∫ (20𝑥−1

4 + 1

6𝑥−

13

+19

√𝑥 + 26√𝑥35

- 36

𝑥−5 +

8

𝑥-8) dx

7. ∫ (12𝑥−1

4 + 1

5𝑥−

13

+19

√𝑥 + 24√𝑥35

- 36

𝑥−5 + 8

𝑥-6) dx

8. ∫ (10

√𝑥 + 8𝑥3- 6√𝑥38

+12

𝑥8 +16

2𝑥-2) dx

9. ∫ (10

√𝑥 + 5𝑥3- 6√𝑥38

+24

3𝑥8 +22

𝑥-2) dx

10. ∫ (3√𝑥 + 11

2√𝑥5 +

1

4 √𝑥3 -

4 √𝑥37

3 - √5) dx

INTEGRAL POR CAMBIO DE VARIABLE

Ejemplo:

1- ∫ 𝟐𝑿𝒆𝒙𝟐

∫ 2𝑋𝑒𝑥2𝑑𝑥=∫2x𝑒𝑢

𝑑𝑢

2𝑥∫𝑒𝑢du=𝑒𝑢+c=𝑒𝑥2

+c

U=x2

𝑑𝑢

𝑑𝑥=2x

𝑑𝑢

2𝑥=dx

Resuelve las siguientes integrales

1-∫xcosx2dx

2-∫sen4xcosxdx

3-∫𝑒3𝑥dx

4-∫𝑑𝑥

6−𝑥

5-∫𝑥

3𝑥−1

6-∫2𝑥+7

𝑥+7𝑥−1

7-∫𝑑𝑥

(𝑥−2)2

8-∫𝑑𝑥

(2𝑥+5)3

9∫-𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥

10-∫𝑥

3𝑥−16dx

INTEGRACIÓN POR PARTES

Formula

∫ 𝒇(𝒙) . 𝒈´(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒇(𝒙). 𝒈(𝒙) − ∫ 𝒇´(𝒙)𝒈(𝒙)𝒅𝒙

Ejemplos

1. ∫ 𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙

Solución

Para comenzar la expresión f(x) la vamos a derivar y g´(x) dx la vamos a integrar

F(x) se deriva f(x)=x f´(x)=1

g´(x) dx se integra g´(x) dx = cosx dx

g(x) =∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 g(x)= senx +C

Se sustituyen los valores.

∫ 𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 =(x) (senx) ─∫(1)(𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑥

= x senx ─∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

Resultado =

2. 𝒙 𝒆𝒙𝒅𝒙

Solución

f(x) f(x)= x f´(x)= 1

g´(x)dx

g´(x) dx = 𝑒𝑥 𝑑𝑥

g(x) =∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

Sustituimos

𝒙 𝒆𝒙𝒅𝒙 = (X) (𝑒𝑥) – ∫(1)(𝑒𝑥)𝑑𝑥

= x 𝑒𝑥─∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥

Resultado=

X senx + cosx + C

x 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶

3. ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙

= ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

Encontrar f(x) y g(x)

f(x) f(x)= senx f´(x)= cosx

g´(x) dx

g´(x) dx = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

g(x)=∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

g(x) = ─cosx + C

Sustitución

= (senx) (─cosx) ─∫(𝑐𝑜𝑠𝑥)(−𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥

=─ senx. cosx ─∫(−𝑐𝑜𝑠2 𝑥) 𝑑𝑥

=─ senx cosx ─ (─𝑠𝑒𝑛2𝑥) 𝑑𝑥

= ─ senx cosx + (senx) (senx) + C

Resultado=

4. Hallar ∫ 𝒙 𝟏𝒏 𝒙 𝒅𝒙

Solución

Encontrar f(x) y g(x)

F(x) f´(x)= 1 n x

g´(x) dx g´(x) dx = x dx

g(x)= ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2

2

Sustitución

=∫ 𝑥 1𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 1𝑛 𝑥 . 𝑥2

2 ─ ∫

𝑥2

2 .

𝑑𝑥

𝑥

Resultado =

─ senx cosx +𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶

𝑥2

2 1𝑛 𝑥 –

𝑥2

4 + 𝐶

5. Hallar ∫ 𝒙 𝒆𝒂𝒙 𝒅𝒙

Encontrar f(x) y g´(x) dx

F(x)

F´(x) =𝑒𝑎𝑥 . 𝑎 𝑑𝑥 g´(x) dx

g(x)=∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2

2

Sustitución

∫ 𝑥 𝑒𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑎𝑥 .𝑥2

2 − ∫

𝑥2

2 𝑒𝑎𝑥 𝑎 𝑑𝑥

Resultado=

Ahora hazlo tú…

Resuelve los siguientes ejercicios

1.- Hallar ∫ 𝑥2 𝑒𝑎𝑥 𝑑𝑥

2. Demostrar ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 – 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶

3. Hallar ∫ 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥

4. Hallar ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥

5. Hallar∫ 𝑥𝑛 1𝑛 𝑥 𝑑𝑥

6.- Hallar ∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥

7.- Hallar ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

8.- Hallar ∫ 𝑥 2𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥

9.- Hallar ∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑒𝑥 𝑑𝑥

10.- Hallar ∫ 𝑠𝑒𝑛 2𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥

𝑥2 𝑒𝑎𝑥

2 −

𝑎

2 ∫ 𝑥2 𝑒𝑎𝑥 𝑑𝑥

SUMATORIA

Ejemplos:

1.-

∑ 𝑖3

𝑛=20

𝑖=1

− 6𝑖

-5 + -4 + 9 + 40 + 95 +… + 940

2.-

∑ 𝑖2

𝑛=20

𝑖=1

− 1

0 + 3+ + 8 + 15 + 24 +…. + 399

3.-

∑ 𝑖3

𝑛=10

𝑖=1

− 𝑖

0 + 6 + 24 + 60 + 120 +… + 990

4.-

∑1

𝑖

𝑛=20

𝑖=1

1 + 1

2 +

1

3 +

1

4 +

1

5 + ⋯ +

1

20

5.-

∑ 5𝑖2

𝑛=15

𝑖=1

5 + 20 + 45 + 80 + 125+ …. +

1125

Ejercicios a resolver:

1.-

∑ =

𝑛=

𝑖=1

2 + 5 + 10 + 17 + 26 + … + 101

2.-

∑ =

𝑛=

𝑖=1

6 + 13 + 32 + 69 + 130 +…+ 1005

3.-

∑ =

𝑛=

𝑖=1

0 + 9 + 16 + 25 + 36 +…+ 256

4.-

∑ =

𝑛=

𝑖=1

8 + 64 + 216 + 512 + 1000 +…+

216000

5.-

∑ =

𝑛=

𝑖=1

-3 + 27 + 237 + 1017 + 3112 +

… + 102399957

6.- Hallar el valor de la siguiente suma:

E = 249 + 251 + 253 +… + 317

7.- Hallar el valor de la siguiente suma:

E = 0,008 + 0,013 + 0,018 +… 0,158

8.- Hallar el valor de la siguiente suma:

E = 1/2 + 5/4 + 2 +… + 19/2

9.- En una autopista se colocan 51 marcadores de kilómetros, cada uno de los cuales se

distancian 3 kilómetros entre si. La cantidad total de kilómetros que ellos marcan es de 4233

kilómetros. Halle Ud. El producto de lo que marcaba el primero y el último marcador.

10.- Hallar el valor de la siguiente suma: E = 1 + 1/5 + 1/25 + 1/125 + 1/625 +… ∞

INTEGRAL DEFINIDA

Ejercicios:

1.- ∫ 2𝑥23

1=

2

4𝑥4 ∫ =

2

4[(3)4 − (1)4] =

2

4[(81 − 1)] =

2

4[80] = 𝟒𝟎𝒖𝟐3

2

2.- ∫ (2𝑥 − 2𝑥2 )𝑑𝑥1

0=

2𝑥2

2−

2𝑥3

3∫ = 𝑥2− 2𝑥3

3[(1)2 − (0)2] −

2

3[(1)3 −

1

0

(0)3] = [1 − 0] −2

3[1 − 0] = [1] −

2

3[1] = 1 −

2

3=

1

3𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝒖𝟐

3.- ∫ (𝑥2 − 2𝑥 )𝑑𝑥2

0=

1

3𝑥3 −

2

2𝑥2 ∫ =

1

3

2

0[(2)3 − (0)3] −

2

2[(2)2 − (0)2] =

1

3[8 − 0] −

2

2[4 − 0] =

1

3[8] −

2

2[4] = 2.66 − 4 = −1.34𝒖𝟐

4.- ∫2

𝑥𝑑𝑥

−1

−3= ∫ 2𝑥−1−1

−3𝑑𝑥 = ∫ 2𝑙𝑛 ∕ 𝑥 ∕

−1

−3 = 2𝑙𝑛 (−1)⁄ − (−3) ∕=

2𝑙𝑛 2 = 1.3862𝒖𝟐⁄⁄

5.- ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥𝜋

0∫ [(𝜋) − (0)] = − cos[𝜋] = −0.998𝒖𝟐𝜋

0

Resuelve los siguientes ejercicios:

1.- ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥𝜋

20

2.- ∫ (2𝑥2 − 2𝑥)𝑑𝑥4

2

3.- ∫ 𝑥3 𝑑𝑥2

−1

4.- ∫ (6𝑥2 − 4𝑥)𝑑𝑥4

2

5.- ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥𝜋

24

6.- ∫ (4𝑥2 − 3𝑥)𝑑𝑥5

3

7.- ∫ (4𝑥2 + 2𝑥)𝑑𝑥6

2

8.- ∫ (8𝑥2 − 7𝑥)𝑑𝑥8

4

9.- ∫ sen 𝑥 𝑑𝑥𝜋

25

10.- ∫ 𝑥4 𝑑𝑥2

−1