FEM勉強会（第 3回）

有限要素法にも応力法と変位法がある。

応力法： 未知数をつりあい力、変形適合条件より解を求める。

変形適合条件： 01 BB X

変位法：未知数を適合変位、つりあい条件により解を求める。

変形適合条件：支点A,Cではたわみがゼロ、支点Bではたわみがゼロ、かつたわみ角が連続する。

つりあい条件：

0H 0V 0M

変位法による近似解析とは何か？

ポテンシャルエネルギー π

s

s

L

i

PL

EIc

PdxW

3

2

0

2

ポテンシャルエネルギー極小の条件： 0/ s 22

2

2

))(

(2

22

x

xvEI

EIM

W xx

xe

EI

BMD PL/4

2

)()(

L

xLcxxv

試験関数

変位法による近似解の求め方

全ポテンシャルエネルギー

全ポテンシャルエネルギー極小の条件

0)(

xv

近似解：2

2 (x)),(

x

vEIMxv x

　

例： )()()( xbgxafxv とすれば、 0/,0/ ba 　既知関数

px

xpi Pdxx

vEIPdxW

22

2

)(2

1)(

π

変位場０

近似解

真の解つりあい点

つりあい点

ポテンシャルエネルギー極小の条件

)(xv

有限要素変位解析法とは？

UHu ˆ),,(),,( )()( zyxzyx aa

補間関数

節点変位ベクトル

UBε ˆ),,(),,( )()( zyxzyx aa

)()()()( aI

aaa τεCσ

RUK ˆ

CISB RRRRR

)()()(

)(

)( aaa

a aV

TaB dVBCBR

荷重ベクトル

全体剛性行列

要素分割

初期応力

近似解析法：解は一つでない。

xy

0

12

34

rs

0

(x1, y1)(x2, y2)

(x3, y3)

(x4, y4)

1(1, 1)2(- 1, 1)

3(- 1, - 1) 4(1, - 1)

ｘ－ｙ座標面 ｒ－ｓ座標面

写像

アイソパラメトリック有限要素法

ii

i xhx

4

1i

ii yhy

4

1

ii

iuhu

4

1i

iivhv

4

1

)1)(1(4

11 srh )1)(1(

4

12 srh

)1)(1(4

13 srh )1)(1(

4

14 srh

補間関数：

UHu ˆ),,(),,( )()( tsrzyx aa

補間関数とは何か？

f (x)

x1 x2線形補間

r

1. 0 1. 0

h1=(1-r)/2

h2=(1+r)/2

f(x)=h1f(x1)+h2f(x2)

f (x)

x1 x2x3

2次補間h1=r(1-r)/2

h2=r(1+r)/2

h3=1-r2

f(x)=h1f(x1)+h2f(x2)+h3f(x3)

x

ux

y

vy

x

v

y

uxy

平面ひずみ：

y

x

ys

hx

s

h

yr

hx

r

h

y

x

s

y

s

xr

y

r

x

s

ri

ii

ii

ii

ii

4

14

1

J 　 (ヤコビアン行列）

s

r

y

x 1J ひずみベクトル

ひずみ行列εCBεCσ

Ii τεCεεCσ )(初期ひずみ 初期応力 (温度、乾燥収

縮）

弾性ひずみ

応力 uBε ),( srT

xyyx

)()(

)(

)()( aaT

aV

aa dVCBBK

要素剛性行列：

RKU 全体剛性行列：

drdsdV Jdet

U ：全節点変位ベクトル

CISB RRRRR 荷重ベクトル：

)()(

)(

)( a

a

aB

aV

TaB dV fHR

)()(

)(

)( a

a

aS

aS

TaSS dS fHR

)()(

)(

)( a

a

aI

aV

TaI dV τBR

２次元問題での表面荷重

r

s

12

34

x, u

fysfxs

0000)812

10)1(

2

10

00000)1(2

10)1(

2

1

rr

rrSH

yS

xSS

f

ff

)()()(

)(

)( a

a

aaS

aS

TaSS dlt fHR

1

23

1

2 3

4

高次要素か低次要素か？

２次元：三角形要素 3次元：四面体要素

２次元：高次要素 3次元：高次要素

平面問題での高次要素補間関数

xy

0

12

34

rs

0

1(1, 1)2(- 1, 1)

3(- 1, - 1) 4(1, - 1)

ｘ－ｙ座標面 ｒ－ｓ座標面

写像5

65 ( - 1, 0) 6 (1, 0)

平面問題での高次要素の例

)1)(1(2

1 25 rsh )1)(1(

2

1 26 rsh

，

ii

iuhu

6

1i

iivhv

6

1

三角形要素や四面体要素などの低次要素では要素内のひずみが一定となり、応力分布も一定となる。

1

23

各要素内の応力は一定

自由辺

自由辺

HV

σ 1

σ３

σ２

一定ひずみ要素分割

p節点

高次要素の適用

4

14

1

ii

ii

i

ii

ii

ys

hx

s

h

yr

hx

r

h

J

ヤコビアン行列

sdrdaa

1

1

1

1

)()( FK

数値積分法（たとえば、 Gauss積分法）

JCBBF det)()()( aTaa

温度応力や乾燥収縮応力の取り扱い初期応力法

Ptb'Ptb'

Ptc' Ptc'

btb tEAP

ctc tEAP

初期荷重

εCBεCσ

Ii τεCεεCσ )(

FEM解析での取り扱い

温度問題： ti ε tI Cτ

乾燥収縮： shi ε shI Cτ

RKU U ：全節点変位ベクトル

CISB RRRRR 荷重ベクトル：

)()(

)(

)( a

a

aI

aV

TaI dV τBR

応力・ひずみ関係

剛性方程式

I ：初期応力

iε ：初期ひずみ