Escuela de Ingeniería Química Facultad de Ingeniería
Universidad de Costa Rica
Gerardo Chacón Valle
2012
Apuntes de clase sobre FENÓMENOS DE TRANSPORTE
Cantidad de movimiento, calor y masa
En este documento se presenta el desarrollo teórico general sobre el análisis macroscópico y microscópico sobre los Fenómenos de transporte de la cantidad de movimiento, calor y masa de una sustancia, es complemento de las obras clásicas sobre el tema. El material está dirigido a las y los estudiantes de un primer grado en Ingeniería, como funda-mento y entrenamiento en los conceptos, teorías y modelos que son util izados en las Operaciones y Procesos unitarios. En los ejercicios se presentan los equipos más empleados; se describen la forma, la función y las tecnologías. Se plantean las técnicas y los criterios tradicionales usados por los ingenieros para su análisis y su dimensionamiento. Tam-bién, se analizan los instrumentos de medición de que ut il izan propiedades de estado en forma directa.
Apuntes de clase sobre FENÓMENOS DE TRANSPORTE
Cantidad de movimiento, calor y masa
Escuela de Ingeniería Química Facultad de Ingeniería Universidad de Costa Rica
Apuntes de clase sobre FENÓMENOS DE TRANSPORTE
Cantidad de movimiento, calor y masa Gerardo Chacón Valle
2012
Fenómenos de Trasporte ii G. Chacón V.
660.284.2 Ch431a Chacón Valle, Gerardo
Apuntes de clase sobre FENÓMENOS DE TRANSPORTE Cantidad de movimiento, calor y masa San José, C. R. : G. Chacón V. , 2007-2012. 648 p. ; 22 cm ISBN 1. Fenómenos de transporte. 2. Transferencia de cantidad de movimiento
calor y masa.
Fenómenos de Trasporte iii G. Chacón V.
ÍNDICE Índice ii Bibliografía v Presentación vi 1 Glosario de principios científicos 1.1 Conceptos matemáticos 1 1.2 Escalares, vectores y tensores 8 1.3 Conceptos físicos 13 1.4 Propiedades fundamentales 19 1.5 Propiedades de estado 24 1.6 Difusión 29 1.7 Fenómenos de transferencia superficiales 37 2 Leyes de conservación para un volumen de control 2.1 Introducción 49 2.2 Teorema del trasporte 50 2.3 Ecuación de la conservación de la masa (total) 54 2.4 Ecuación de la conservación de la masa de una sustancia, A 57 2.5 Ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento 61 2.6 Ecuación de la conservación de la energía 69 3 Naturaleza del flujo de fluidos 3.1 Fluido 79 3.2 Cinemática de un elemento de fluido 82 3.3 Regímenes de flujo de fluidos 86 4 Estimación de propiedades Para gases 94 Para líquidos 104
Fenómenos de Trasporte iv G. Chacón V.
5 Balances Globales o microscópicos 5.1 Balance de masa total 118 5.2 Balance de cantidad de movimiento 128 5.3 Balance de energía 165 5.4 Balance de combinados 210 5.5 Balance de momento de la cantidad de movimiento 234 6 Difusión unidimensional de la energía y la masa 6.1 Modelos para la difusión de calor y masa 245 6.2 Paredes 248 6.3 Aletas 279 7 Estática de los fluidos 7.1 Fuerza y presión en un fluido 305 7.2 Fuerza sobre un cuerpo sumergido 308 7.3 Manometría tubo-líquido 309 7.4 Manómetro de depósito 310 7.5 Fuerza que ejerce un fluido 312 7.6 Ejercicios 316 7.7 Movimiento estable para un fluido en reposo relativo 370 8 Transferencia de calor en fluidos en reposo 8.1 Introducción 373 8.2 Convección libre o natural 373 8.3 Modelo para la convección libre 378 8.4 Ejercicios 385 9 Transferencia de masa en fluidos en reposo 9.1 Introducción 397 9.2 Convección libre o natural 397 9.3 Modelo en variables adimensionales 398 9.4 Modelo unidimensional 400 9.5 Ejercicios 405
Fenómenos de Trasporte v G. Chacón V.
10 Transferencia de masa entre fases 10.1 Coeficientes locales o individuales 417 10.2 Coeficientes globales o totales 418 10.3 Teoría de las dos resistencias 419 10.4 Ejercicios 421 11 Análisis dimensional 11.1 Metodología 433 11.2 Ejercicios 427 12 Flujo externo de los fluidos 12.1 Definición de capa límite 453 12.2 Analogías entre los fenómenos de transportes 454 12.3 Modelo para flujo en régimen laminar sobre una placa plana 455 12.4 Modelos de Prandtl o “exacto” para la capa límite 460 12.5 Modelos para la capa límite flujos sobre esferas y cilindros 469 12.6 Ejercicios 474 13 Flujo de fluidos en conductos rectos 13.1 Introducción 505 13.2 Modelo para el régimen de flujo laminar 512 13.3 Modelos para el régimen de flujo turbulento 517 13.4 Otros efectos de la fricción y de la irrever- sibilidad de los procesos 523 13.5 Ejercicios 529 Cuadros 597
Fenómenos de Trasporte vi G. Chacón V.
BIBLIOGRAFÍA Bird, R.B., Steward, W.E. y Lighfoot, E.N. Transport
Phenomena. 2a. Ed. Wiley, New York, 2002 (2a. Ed. Prentice Hall, México, 2006).
Carslaw, H.S y Jeager, J.C. Conduction of Heat in Solids. 2a. Ed. Oxford University Press, Fair Lawn, N. J., 1959.
Costa Novella, E. Ingeniería Química. 2. Fenómenos de transporte”. Alhambra, Madrid, 1984.
Coulson, J.M. y Richardson, Chemical Engineering. Volumen One 3a. Ed. Pergamon Press, London 1977.
Fox, R.W. y McDonald, A.T. Introducción a la Mecánica de Fluidos. 4a. Ed. McGraw-Hill. México, 1995
Himmelblau, D.M. y Bischoff, K.B. Process Analysis and Simulation (Determinastic Syst.). Wiley, New York, 1968.
Holman J. P. Transferencia de Calor. CECSA, México, 1988.
Kessler, D. P y Greenkorn R. A. Momentum, Heat and Mass Transfer Fundamentals. Marcel Dekker Inc., New York, 1999.
Mc. Cabe, W.L., Smith, J.C y Harriot, P. Operaciones unitarias en Ingeniería Química. 6a. Ed., Mc. Graw-Hill Interamericana, México, 2002.
Mills A. F. Transferencia de Calor. McGraw-Hill-Irwin, Bogotá, 1998.
Green, D.W. y Perry, R, H. Perry's Chemical Engineers Handbook. 8a. Ed., McGraw-Hill Book Company, New York, 2008. (7a – 19987)
Potter, M.C., Wiggert, D.C. y Hondzo, M. Mecánica de fludios. 2a. Ed. Prentice Hall, México, 1998.
Reid, R.C.; Prausnitz, J.H y Sherwood, T.K. The Properties of Gases and Liquids. 3a. Ed., McGraw-Hill Book Company, New York, 1977.
Rouse, H. y Howe, J. W. Basic Mehanics of Fluids. Wiley, New York, 1953.
Streeter, V.L. y Wylie, E.B. Mecánica de los fluidos. 8a. Ed., McGraw-Hill, México, 1996.
Fenómenos de Trasporte vii G. Chacón V.
Treybal, R.E. Operaciones de transferencia de masa. 3a. Ed., Mc. Graw-Hill, México, 1988.
Welty, J.C. et all. Fundamentos Transferencia de Momento, Calor y Masa. 2a. Ed., Limusa-Wiley, México, 1994.
Welty, J.C. et all. Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer. 5a. Ed., John Wiley & Sans Inc. New York, 2008.
Fenómenos de Trasporte viii G. Chacón V.
PRESENTACIÓN Como su nombre lo dice, este documento es de apoyo didáctico para las exposic iones, en clase, del profesor, no incluye muchos de los detal les y explicaciones; de tal manera, que permita al expositor realizarlas y trasmit ir la tradición y los cri ter ios de la Ingeniería. Por otro lado, es complemento de las obras clási-cas sobre los Fenómenos de transporte de la cantidad de movimiento, el calor y la masa de una sustancia. El mater ial está dir igido a las alumnas y los alumnos de un primer grado en Ingeniería, como fundamento y entrenamiento en los conceptos, las teorías y los modelos que son ut i l izados en las Operaciones y procesos unitarios. El desarrol lo teórico del tema, es lo más gene-ral posible y se plantean las relaciones sobre el anál isis macroscópico, para enfatizar el sentido fís ico de los términos, aunque parezca contra-dictor io por la maquinaria matemática que uti l iza. La forma diferencial de las ecuaciones, se obtienen con recursos matemáticos y no con el anál isis microscópico, pues es típico que existan cursos anteriores de anális is di ferencial de procesos y cursos de Cálculo con variables múlt iples. En los ejercicios se presentan los equipos más empleados; se describen la forma, la función y las tecnologías. Se plantean las técnicas y los cri terios tradicionales usados por los ingenieros para su anál is is y su dimensionamiento. Tam-bién, se anal izan los instrumentos de medición que uti l izan propiedades de estado en forma directa.
Fenómenos de Trasporte 1 G. Chacón V.
Capítulo 1
GLOSARIO DE PRINCIPIOS CIENTÍFICOS para el análisis de procesos con
fenómenos de trasporte 1.1 CONCEPTOS MATEMÁTICOS
1.1.1 FUNCIÓN Sea una función continua f de una variable independiente x y de valores y , de la variable dependiente.
La función representa la regla de la dependencia, en forma analítica, de cuadros o de gráficos, mediante los valores o datos de una variable, dependiente, efecto o respuesta, con respecto a una variable independiente, causa o estímulo.
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x0 x0 + x
tanxy
f (x)yxo + x y0 + y
y fx
y0
y
x
x
Capítulo. 1. Principios científicos 2 G. Chacón V.
1.1.2 CAMPO Campo, es la descripción con respecto a la posición
(x,y,z) y el tiempo (t) de una propiedad intensiva (escalar, vectorial, etc.), definida por una función continua f , de variables independientes x , y , z y t , de valores w .
w = f(x,y,z,t)
Ejemplos: latitud, altitud, presión, temperatura, velocidad,
concentración · · ·. Usos: Flujo de fluidos, Mapas, modelos, analíticos,
gráficos o numéricos, teoría del caos, teoría de fractales · · ·.
x
y
z
w1,1w2,1
w3,1 w3,2
w2,2
w1,2w2,3
w3,3
w1,3
ISOLÍNEA
Fenómenos de Trasporte 3 G. Chacón V.
1.1.3 DERIVADA Incremento finito, perturbación o cambio de una variable Variable dependiente f y fxx fx Variable independiente x Derivada: se define para una función continua f , de
una variable independiente x , de valores y , como el l ímite de la razón del cambio de la variable dependiente al cambio de la inde-pendiente cuando este úl t imo se hace muy pequeño. Que es el efecto de la variable independiente sobre la dependiente.
xy
xxxx
xyx
xx δδlím
δfδflím
ddf
0δ0δ
Derivada parcial, es el efecto de una sola, de la variables
independientes, sobre la dependiente; se define para una función continua f , de variables inde-pendientes x , y , z y t , de valores w , como
xtzyxtzyxx
xw
x x δ,,,f,,,δflímf
0δ
Diferencial: es la variación o perturbación infinitesimal de
una variable df dy ; dx
Diferencial (total): es la suma de todos los efectos
tt
zz
yy
xx
dfdfdfdfdf
Fórmula de Leibnitz:
2 2
2 11 1
2 1, ,
d ff d f f dd
V t V t
V t t V t tV t V t
V t V tV V
t t t t
Capítulo. 1. Principios científicos 4 G. Chacón V.
1.1.4 TEOREMA O FÓRMULA DE TAYLOR El valor de una función, f, de una variable, x, en un punto dado más un incremento finito, x, en términos de las derivadas en ese punto, es:
0
2
000 f!2
δf!1
δfδf xxxxxxx
0
3
f!3
δ xx
En forma reducida 0)(
00 f
!δδf xnxxx n
n
(n) indica orden de derivación. Es vál ida si la ser ie converge. Es úti l si converge rápidamente, si después del tercer término, éstos se hacen despreciables. Se puede generalizar para una función, f, de más variables; para dos variables: 0000 ,fδ,δf yxyyxx
yy
yxx
xyx
δ,f
δ,f
!11 0000
yxyx
yxx
xyx
δδ,f
2δ,f
!21 00
22
200
2
22
002
δ,f
yy
yx
En general nnkk δ,,δf 0,0,
n
n
n
k
kk
nkk
n
0 0
0,0,)(
δ,,f
!1
Fenómenos de Trasporte 5 G. Chacón V.
1.1.5 PROMEDIO Para una variable y , que se relaciona por medio de una función, f , continua con una variable s , (región o extensión) y modif icada por una fun-ción de peso p , el promedio se define como:
p f d
p dPROM
sy y y
s
Los promedios, valores globales, de cazo o de bulto, se emplean para faci l i tar la descripción de los procesos, ya sea, con modelos teóricos, empíricos o cual i tat ivos. Ejemplos
Media (estadística) Centroide
p d
p d
x xx
x
d
d
A
A
Fuerza promedio esfuerzo de arrastre
d
d
F tF
t
, d
d
r z SSS
S
A
A
Velocidad media Concentración
d
d
v Av
A
d
d
A
A
C v AC
v A
Capítulo. 1. Principios científicos 6 G. Chacón V.
Promedios binarios Para facilitar los cálculos, se emplean los siguientes promedios usando dos puntos o valores de una variable.
< y <
Promedio ari tmético 2
AMy
Promedio logarítmico
ln
LMy
Promedio geométr ico GMy
Promedio armónico 11
2
IMy
0,88
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1,001,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Prom. logarítmicoProm. geométricoProm. armónico
Comparación de los diferentes promedios binarios con la media aritmética.
Fenómenos de Trasporte 7 G. Chacón V.
1.1.6 APROXIMACIONES ÚTILES
21
lím
0
0
DD
0
0
0
21ln2
límD
D
D
Si: Tkk 10 ; el parámetro k varía linealmente, La integral
00
00
0 221d
0
TTkk
TTTT
kTkT
T
Se puede evaluar con
000 1d0
TTkTTTkTk AMAM
T
T
La integral
0
0
00 ln
ln1d
0
TTTTTT
kTTk
T
T
Se puede evaluar con
000 lnln1d0
TTkTTTkTTk
LMTLM
T
T
Para una pendiente, formada por un arco s s(x,y), muy pequeña
Con 2122 δδδ yxs si 1
δδ
xy
1δδ
xs
xs
entonces tansen
xy
sy
Para el área de un anillo cilíndrico
RRR 2lím 22
0
Nota: ver definición de promedios en la Sec. 1.1.5.
Capítulo. 1. Principios científicos 8 G. Chacón V.
1.2 ESCALARES, VECTORES Y TENSORES
1.2.1 TENSOR Escalar, se define como la
magnitud que posee un valor dado. Es un ten-sor de orden cero.
ss Vector, se define como la
magnitud que posee un cierto valor y una direc-ción. Es un tensor de primer orden.
zyxi
iizzyyxx ererererr,,
ˆˆˆˆ
Tensor de segundo orden, se
define como la magni-tud que posee un valor con dirección y sentido.
jzyxi zyxj
iji
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
ee ˆˆˆ,, ,,
,
1.2.2 PRODUCTOS CON VECTORES Producto escalar por vector, produce un vector.
zzyyxx evevevv ˆˆˆ
Producto escalar (producto punto) entre dos vectores,
produce un escalar.
Avzzyyxx AvAvAvAvAv
cos
x
s
x
r
y
z
x
z
y
xx xy
Fenómenos de Trasporte 9 G. Chacón V.
Producto vectorial (producto cruz o aspa) entre dos vectores, produce un vector.
vrvr
zyx
zyx
zyx
vrvvvrrreee
vr
ˆsenˆˆˆ
Producto diádico, es el producto entre dos vectores que
produce un tensor de segundo orden.
jzyxi zyxj
iji
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
eevuvuvuvuvuvuvuvuvuvu
vu ˆˆ,, ,,
1.2.3 PRODUCTOS CON TENSORES
DE ORDEN DOS Producto escalar por tensor, produce un tensor.
zyxi zyxj
iji ess,, ,,
, ˆˆ
Producto escalar (producto doble punto) entre dos
tensores, produce un escalar.
zyxi zyxj
ijji,, ,,
,,ˆ:ˆ
Producto tensorial (producto punto simple) entre dos
tensores, produce un tensor.
zyxiik
zyxk zyxjkjji ee
,, ,, ,,,, ˆˆˆˆ
Producto vectorial (producto punto) entre un tensor y un
vector, produce un vector.
izyxi zyxj
jji evv ˆˆ,, ,,
,
Capítulo. 1. Principios científicos 10 G. Chacón V.
1.2.4 OPERADORES DIFERENCIALES Gradiente, para un campo o una función, continua, f ,
de variables independientes x , y y z , es la operación
zyx ezfe
yfe
xff ˆˆˆ
Divergencia, para un campo o función vectorial,
continua, r , de variables espaciales inde-pendientes x , y y z , es la operación
zr
yr
xr
r zyx
Diferencial de un campo tensorial, existe la opera-
ción
kzyxk
kzkykx ezyx
ˆˆ,,
,,,
Rotacional, para un campo o función vectorial, continua,
v , de variables espaciales independientes x , y y z , es la operación
zyx
zyx
vvvzyx
eee
v
ˆˆˆ
zxy
yzx
xyz e
yv
xv
exv
zve
zv
yv ˆˆˆ
Laplaciana
Laplaciana de un campo escalar, para una función
continua, f , de variables independientes
Fenómenos de Trasporte 11 G. Chacón V.
x , y y z , es la operación, producto escalar del gradiente,
2
2
2
2
2
22
zf
yf
xff
Laplaciana de un campo vectorial, para un vector
representado por una función continua v , de variables espaciales independientes x , y y z , es la operación
zzyyxx evevevzv
yv
xvv ˆˆˆ 222
2
2
2
2
2
22
Por su dificultad para aplicarla a coordenadas curvilíneas, es preferible usar la fórmula del cálculo vectorial,
vvv
2
Derivada sustancial o material
Derivada sustancial o material de un campo escalar,
para una función continua, f , de variables independientes x , y y z , es la operación de la derivada total respecto al t iempo
ffffffDDf
v
ttzv
yv
xv
t zyx
Derivada sustancial o material de un campo vectorial,
para un vector representado por una función continua r de variables espaciales inde-pendientes x , y y z , es la derivada total respecto al t iempo
rvtr
tr
zrv
yrv
xrv
tr
zyx
DD
Capítulo. 1. Principios científicos 12 G. Chacón V.
Por la dificultad de expresar esta relación en coordenadas curvilíneas, es preferible usar la fórmula del cálculo vectorial,
vrvrrvrvrv
La interpretación de derivada sustancial o total, es que expresa la variación o efecto con respecto a un “obser-vador” fijo, mientras que la derivada parcial lo hace con respecto a un observador que se mueve con la velocidad del volumen de control.
1.2.5 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Para un campo vectorial v , que actúa en una región ocupada por un volumen V y cerrada por una superf ic ie A , se cumple que
dV A
v V v dA
Se debe a Gauss, Ostrogradski i y Green. Para un campo tensorial, :
ˆ ˆdV A
V dA
Para un campo escalar, f:
dV A
f V f dA
vx tdvx dt
Fenómenos de Trasporte 13 G. Chacón V.
1.3 CONCEPTOS FÍSICOS
1.3.1 CONCEPTOS BÁSICOS Espacio , es la formulación conceptual de aque-
l lo que, a los sentidos, se manif iesta como grande o pequeño, al to o corto, ancho o delgado, etc.
Materia , es la idea que concretiza la presencia
de una cosa que uno observa ocupando un espacio y se puede determinar por los senti-dos: si cambia de forma, color o se mueve, si impide el paso, si se manif iesta un aroma, si v ibra, etc.
Sustancia: es una materia que está formada por
una especie química pura. Puede ser un elemento o compuesto.
Mezcla: es un conjunto de sustancias presentes en un espacio dado.
Estado , se dice que una materia posee un esta-
do dado, cuando se intuyen o se t iene una idea concreta de las condiciones o circuns-tancias que definen su situación, modo de ser, etc.
Ejemplos:
Atributos: ánimo, color, edad, calidad, geome-tría, sabor
Movimiento: Posición, rapidez, cantidad de movimiento
Energía: e. cinética, e potencial, e interna, e. de vibración, etc.
Consistencia: aglomeración, espesamiento, forma, resistencia al movimiento o la defor-mación, etc
Etc.
Capítulo. 1. Principios científicos 14 G. Chacón V.
Medida , patrón establecido, que representa una unidad de una característ ica o atr ibuto, que define un t ipo de estado de la materia. Se uti l iza para comparar cuantas veces cabe el valor de una condición, que define un estado dado, con ese patrón. Ejemplos: frecuencia de onda (color), años (edad), velo-cidad (movimiento), fracción de no conformes (calidad), temperatura (energía), viscosidad (movimiento), etc.
Cambio de estado, se dice que una materia realiza un
cambio de estado, cuando cambia al menos una de sus característ icas o atr ibutos.
Proceso o transformación: se dice que una materia
realiza un proceso, cuando efectúa uno o más cambios de estado en secuencia.
Movimiento , es aquella característ ica que uno
observa cuando una materia cambia o pasa de una posición (punto, lugar o espacio) a otra.
Forma , es aquella característ ica que uno obser-
va que determina el espacio que ocupa una materia, se nota cuando el espacio ocupado cambia de tamaño.
1.3.2 PROPIEDAD Propiedad de estado, es aquella característica o atributo
que define uno y sólo un estado dado y se puede (o podría) evaluar cuantitativamente (medida). Ejemplos: ancho, volumen, posición, concentración, temperatura, tiempo, esfuerzo, velocidad, color, etc. Propiedad intensiva: la que no depende de la masa Propiedad extensiva: la que es proporcional a la masa
Fenómenos de Trasporte 15 G. Chacón V.
Equilibrio, es un estado en el cual las propiedades que lo definen no denotan cambio. En Ciencia e Ingeniería, se evalúan y definen las propie-dades en el equilibrio. En Ingeniería, se considera el estado estacionario, como un estado en pseudo equilibrio. En Ingeniería Química, se aprovechan los estados de equilibrio para realizar procesos, de separación o con reacción química, en etapas.
1.3.3 PROPIEDAD DE TRANSPORTE Propiedad de transporte, es aquella propiedad que se
transporta (traslada, transfiere, mueve). Se manifiesta como una propiedad extensiva, que depende del área a través de la cual pasa. Se evalúan, por cálculo, como flujos o razones de variación con respecto al tiempo. Se definen como una función continua o campo, escalar o vectorial, sobre el modelo de una masa continua o continuo.
tzyxP ,,,P o tzyxP ,,,P
Diferencias entre las propiedades de estado y de transporte
Característica
de la Propiedad de
propiedad estado transporte Extensiva por Volumen (masa) Área
Evaluación Por medición al inicio y al final
Por cálculo en un punto, instantánea
Su valor depen-de de como se realice el pro-ceso (“camino”)
no sí
Se manifiesta como Una cantidad Un flujo
Capítulo. 1. Principios científicos 16 G. Chacón V.
Las propiedades de transporte se clasifican como: Propiedades por advección, son las transportadas o
empujadas dentro del sistema, por el flujo de masa que lo atraviesa. Ejemplos: flujo, a través de un volumen de control, de: masa, cantidad de movimiento, energía, masa de una sustancia, entalpía, entropía, · · · .
Propiedades mutuas o por difusión, son las que se
transmiten de un punto a otro del sistema, debido a diferencias o gradientes de potenciales energéticos. Ejemplos: difusión de masa de una sustancia por un gradiente de concentración, calor por conducción por gradiente de temperatura, fricción interna por gradiente de velocidad, · · · .
Propiedades de contacto, son las que actúan entre la
superficie de frontera del sistema o una porción de ella, interfase, y un cuerpo o un medio externo. Ejemplos: calor por radiación, potencia, · · · .
Propiedades externas, son las causadas por campos externos y que actúan sobre el sistema. Ejemplos: campo gravitatorio, campo electrostático, · · ·
NOTA:
En los procesos con flujo de masa, las otras pro-piedades de transporte (sin advección) se afectan por las propiedades por advección (convección); por lo cual, las transferencias de propiedades, son fenómenos en los que se manifiestan varias propiedades de transporte a la vez.
Fenómenos de Trasporte 17 G. Chacón V.
1.3.4 SISTEMA Sistema , es el conjunto de elementos, concre-
tos o abstractos, separados arbi trariamente del universo por fronteras fís icas o imagi-narias y que interaccionan entre sí y con el ambiente, ut i l izado para efectuar un análisis con un objetivo o problema definido.
Volumen de control, en un espacio fijo, delimitado por
una superficie dada, que se define como sistema y que contiene una cantidad de materia, masa, aunque la materia en sí cambie.
Masa de control, cantidad de materia, masa, fija que se
utiliza como sistema. Prototipo, ente real o imaginario, del cual se está defi-
niendo un sistema. Insumos, elementos materiales, recursos financieros,
tecnología, materia prima, personal, equipo de medición, etc., con lo que cuenta el prototipo para obtener un producto dado.
Productos, objetos, materiales o intangibles, o beneficios
generados por un prototipo.
INSUMO PRODUCTOSISTEMA
AMBIENTE
Capítulo. 1. Principios científicos 18 G. Chacón V.
Análisis, se dice que se realiza un análisis cuando para un sistema dado, se estudia el efecto de las pro-piedades, variables, interacciones o insumos, sobre el producto del sistema o el proceso que realiza.
Propósito, la definición del uso que se le va a dar al
análisis (evaluación, modelo, control, diseño, etc.).
Recursos (para el análisis), tiempo, dinero, medios
de obtener la información, instrumentos de medición, con los que se cuenta para desarrollar el análisis. También, herramientas de trabajo, matemáticas, tecnológicas, estadísticas, etc. pa-ra realizar los cálculos y analizar la información.
Modelo, es la descripción, en forma simbólica, del
sistema definido, utilizando las variables, pro-piedades e insumos más significativos, de los que están involucrados, y las interacciones entre ellos, con el medio y con el producto.
Diseño, se dice que se realiza un diseño, cuando para un
insumo, un producto o problema dado se propone un sistema.
Evaluación, es la medición de las variables del proceso y
las características del producto que efectúa un proto-tipo, su archivo, manipuleo y análisis. Se utiliza para compararlo con un estándar de calidad, un patrón de comportamiento del prototipo, un modelo del sistema o el diseño del sistema; con el propósito de efectuar controles (calidad, proceso, producción, inventarios, etc.), calcular eficiencias y obtener otros parámetros para la toma de decisiones.
Fenómenos de Trasporte 19 G. Chacón V.
1.4 PROPIEDADES FUNDAMENTALES
1.4.1 ESPACIO Longitud: es el espacio o distancia entre dos puntos,
establecido operacionalmente con un patrón de medida. Su unidad es el m.
Ángulo: es el espacio o distancia entre dos puntos de un
arco, establecido operacionalmente como la fracción de un círculo. Su unidad es el rad.
Área: es el espacio delimitado por dos longitudes que se
intersecan, y se intuye como la proyección de un cuerpo o cantidad de materia. Su unidad es el m2.
Volumen: es el espacio delimitado por tres longitudes
que se cruzan, y se intuye como el espacio ocupado por un cuerpo o cantidad de materia, con una forma dada. Su unidad es el m3
1.4.2 TIEMPO Tiempo : es aquella magnitud que, a los
sentídos, se manif iesta como que ha transcurr ido, al i r cambiando el estado de la mater ia, las cosas, personas, hechos, fenómenos, etc.
El tiempo es establecido operacionalmente con un patrón de medida, como el intervalo en que se repite un fenómeno (frecuencia).
Capítulo. 1. Principios científicos 20 G. Chacón V.
1.4.3 MOVIMIENTO Posición, es aquella característ ica que uno
observa cuando un objeto cambia o pasa de un punto a otro . En forma operacional se define, como la longitud entre un punto dado y uno de referencia, 0, y su dirección (ángulo).
Desplazamiento, es la longitud en que se traslada un objeto, en una dirección dada.
Velocidad, es la razón por cociente
de un desplazamiento dado, entre el tiempo (diferencia) en que transcurre el mismo.
Conceptualmente, se define primero la velocidad y con ella el tiempo.
Aceleración, es la razón por co-
ciente de la variación de una velocidad dada, con respecto al tiempo.
z
m
t
m
r
x
y
r
rδ
trv
dd
r
tva
dd
Fenómenos de Trasporte 21 G. Chacón V.
1.4.4 MASA Masa, es la magnitud que representa una cantidad de
materia; se manifiesta a los sentidos como una resistencia al movimiento o inercia.
Densidad o intensidad de la masa , es el incremento o decremento de una masa con respecto al respectivo volumen (el que ocupa dicha cantidad de materia).
Vm
VVLim
δδ
δδ
Gravedad específica densidad relativa 0
.. DReg
Peso específico
g
Compresibilidad isotér-mica, módulo de compresibilidad
1 1
T T
VV P P
Expansión isobárica, dilatación térmica
1 1
P P
VV T T
m
m V
V es el volumen más pequeño posi-ble cuya masa se comporta como un continuo
Capítulo. 1. Principios científicos 22 G. Chacón V.
Velocidad de acumulación de masa, es cuando la masa contenida dentro de un volumen de control varía, se dice que se acumula o des acumula.
Flujo de masa, cuando la masa cambia de posición
dentro de un volumen de control, como un chorro, con una velocidad dada, se dice que fluye.
1.4.5 CANTIDAD DE MOVIMIENTO Cantidad de movimiento , es una medida que
representa la capacidad que posee una masa para moverse. Operacionalmente se define como la masa por la velocidad
Cantidad de movimiento
Partícula Acumulación Flujo (Fluido)
vm
t
vmd
d
vAv
Avm
δ 0
δ δδt
lím r At
t
r
v
A
tm
dd
δ 0 δ 0
δ δδ δt t
m m m mlím límt t
m t m + m
m
Fenómenos de Trasporte 23 G. Chacón V.
1.4.6 ENERGÍA Energía , es una medida, que representa la
capacidad que una materia posee para mantenerse en movimiento, con una forma dada o en una posición dada; o bien, para mantener sus partículas juntas, en movi-miento interno, etc.
Energía cinética
La energía asociada con el movimiento
Partícula 2
0
221 vvm
Acumulación 2
0
221
dd vvmt
Flujo (Fluido) 2
0
221 vvAv
Energía potencial
La energía asociada con la posición, perpendicular a la superficie de la tierra
Partícula 0zzgm
Acumulación 0dd zzgmt
Flujo (Fluido) 0zzgAv
Energía interna
La energía asociada con la materia; como una representación métrica de la suma de las energías cinéticas y potenciales de las moléculas que forman la materia en cuestión: atracciones, movimientos, rotaciones, etc.
Partícula 0uum
Acumulación 0dd uumt
Flujo (Fluido) 0uuAv
Capítulo. 1. Principios científicos 24 G. Chacón V.
1.5 PROPIEDADES DE ESTADO
1.5.1 FUERZA (Leyes de Newton)
Fuerza , es la propiedad que mide la capacidad
de mover, deformar o levantar una masa (campo vectorial). Se manif iesta a los sen-t idos como empuje, pesado o apretado .
Equilibrio mecánico. Cuando la posición de
un sistema no cambia (con el tiempo), se dice que el sistema está en equilibrio mecánico con el medio.
0δ F
0F
Potencial mecánico. Se postula que, en el
equilibrio, existe una “fuerza motriz” igual y contraria en todo el sistema, llamada fuerza de reacción, R.
FR
tvm
dd
Trabajo. Si el sistema no está en equilibrio
mecánico, se produce una transferencia de energía llamada trabajo. Se mani-fiesta como levantar un peso.
rF
d
Potencia. Para un volumen de control, se manifiesta como “flujo de trabajo” que es transportada por una masa o que gira un eje
vF
d
M
F
R
A
tvmF
dd
F
R
Sistema
FF
δ
Medio
Fenómenos de Trasporte 25 G. Chacón V.
Esfuerzo , es la intensidad de la fuerza reactiva con respecto al área en que actúa.
Esfuerzo directo o normal
Es la razón de la componente normal de la reacción al área normal, al sistema. n
nnn A
RAA δδ
δδlim
Esfuerzo cortante o tangencial
Es la razón de la componente tangencial o de cizalla de la reacción al área, normal al sistema.
n
ssn A
RAA δδ
δδlim
Presión interna Es un promedio de los esfuer-zos directos en todas las direcciones.
3zzyyxxP
Vv
sT
Presión externa Es un promedio de la inten-sidad de la fuerza que actúa sobre el sistema, en todas las direcciones.
ACδδ
δδlim
AF
AAPAC
Tensor esfuerzo
Si Pnnnn entonces
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
Rs
Rn
An
Capítulo. 1. Principios científicos 26 G. Chacón V.
1.5.2 TEMPERATURA Temperatura , es la propiedad que mide la
capacidad de modif icar la energía interna de la materia (campo escalar). Se mani-f iesta a los sentidos como cal iente o fr ío .
Equilibrio térmico
Cuando la temperatura de un sistema no cambia (con el tiempo), se dice que está en equilibrio. 0δ T
Si el cuerpo está en equi-librio, la temperatura es uniforme en toda la masa
Potencial térmico
Se postula que, en el equili-brio, existe una “fuerza motriz” igual en todo el sistema llamada temperatura, T.
VV T
uC
Vu
sT
Calor
Si el sistema no está en equi-libro térmico, se produce una transferencia de energía, llamada calor. Se manifiesta como un intercambio de energía, en forma de flujo, del sistema de mayor temperatura al de menor temperatura.
ATThQ fs
d
SistemaT
TTT f δ
MedioST
Fenómenos de Trasporte 27 G. Chacón V.
1.5.3 CONCENTRACIÓN Concentración , es la densidad de partículas de
una de las especies químicas o sustancias de una mezcla (es un campo escalar). Se manif iesta a los sentidos por los cambios de color, textura, espesamiento, olor, etc .
Equilibrio másico
Cuando la concentración de cada una de las sustancias, que forman el sistema no cambia (con el tiempo), se dice que está en equilibrio 0δ A
Potencial químico Se postula que, en el equilibrio, existe una “fuerza motriz”, igual en todo el sistema, llamado poten-cial químico, A
njPTi
i nG
,,
njnsnvinnu
,,
Energía libre
Si el sistema no está en equilibrio se produce una transferencia de energía libre (de Gibbs). Que se manifiesta como un movimiento de masa de una sustancia dada, i, entre el sistema y el medio o bien, por una reacción química; que son “acompañadas” con una transferencia de energía: calor, trabajo, etc
vPunG insT
Molécula de A
Vm
VVA
A δδ
δδlim
Vn
VVC
δδ
δδlim
AA
A
sistema
medio
Capítulo. 1. Principios científicos 28 G. Chacón V.
Actividad El potencial químico se pre-fiere expresar en términos de la actividad y ésta en térmi-nos de la concentración.
0AA
AaTR ln AxTR fln
Formas de expresar la concentración Nomenclatura
V volumen total de la mezcla, m3 m masa total de la mezcla, kg densidad total de la mezcla, kg/m3 n moles totales de la mezcla, kmol C densidad molar total de la mezcla, kmol/m3
MA masa molecular de la sustancia A kg A/kmol A mA masa de la sustancia A, en la mez-
cla kg de A
nA moles de A, en la mezcla, mA/MA kmol de A
Concentración Vm
VVA
A δδ
δδlim
Concentración molar A
AAA MV
nVV
C
δδ
δδlim
Fracción peso o masa AA
A mmw
Fracción molar CC
nnx AA
A
Relaciones entre las formas de expresar la concentración
II
AAA Mw
Mwx
II
AAA Mx
Mxw
Fenómenos de Trasporte 29 G. Chacón V.
1.6 DIFUSIÓN
1.6.1 DIFUSIÓN Difusión , es el movimiento de una propiedad
extensiva de la materia (de transporte), a través de una masa, en una dirección dada, mientras la masa, como un todo, no se tras-lada en la dirección del f lujo de la propiedad en cuestión.
Se cumple que:
El valor del flujo de la propiedad de transporte es proporcional al área transversal y al negativo de la diferencia de concentración de la propiedad de estado correspondiente e inversamente proporcional al cami-no recorrido
En forma matemática
xC
AFf
x
xx d
d
En general Cf
Para fx y constantes CCAKF oC 00, C: concentración de la propiedad, cantidad de propiedad
por unidad de volumen : difusividad, m2/s KC,0: coeficiente total de transferencia, de la propiedad,
evaluado en un punto escogido 0, m/s. Correspon-diente al área en ese mismo punto. A0, m2
Gradiente de
concentración =
Coeficiente de
difusión
Área
transversal
Flujo de
Propiedad
xo
Co
C
Fx
Ax
Capítulo. 1. Principios científicos 30 G. Chacón V.
1.6.2 DIFUSIÓN DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA Ley de Fick
El fenómeno que se manifiesta cuando un flujo de una sustancia A, componente de una mezcla, se mueve de la zona de mayor concentración de A a la de menor concentración, mientras el resto de la masa no se traslada en la dirección del flujo de A, se denomina difusión de masa. Se cumple que: el flujo de la masa de A es directamente proporcional al área transversal al flujo y a la diferencia de concentración de la sustancia A (o al potencial químico) e inversamente proporcional al camino recorrido.
x
CDAjJ A
ABx
AxAx d
d
Ley de Fick En general AABA CDJ
Para jAx y DAB constantes ,0,00, AACA CCAKj mA: masa de la sustancia A, en el sistema, kmol CA: concentración de A, ( mA/V) kmol/m3 jA: flujo de la sustancia A, kmol/s JA: intensidad de flujo, “flux” de la sustancia A, kmol/s m2 DAB: difusividad másica de A en B, m2/s KC: coeficiente total de transferencia de masa, m/s.
xo
CAo
CA
jAx
Ax
Fenómenos de Trasporte 31 G. Chacón V.
1.6.3 DIFUSIÓN DE LA ELECTRICIDAD Ley de Ohm
El fenómeno que se presenta cuando un flujo de carga eléctrica se mueve de la zona de mayor concen-tración de carga a la de menor concentración, mientras la masa no se traslada en la dirección del flujo de carga, se define como difusión de carga o corriente eléctrica. Se cumple que: el flujo de carga es directa-mente proporcional al área transversal al flujo y a la diferencia de concentración de carga eléctrica (o al potencial eléctrico) e inversamente proporcional al camino recorrido.
x
CAiJ Q
x
xx d
d
En general QCJ
Para Jx y constantes ,0,00, QQC CCAKi Definición de potencial eléctrico Q = C·E con lo que EJ
Para i y constantes EER
i 01
Ley de Ohm
Q: carga eléctrica, A s Coulomb CQ: concentración de carga ( Q/V), A s/m3 i: flujo de carga o corriente, A Ampere J: intensidad de flujo, “flux”, de carga o densidad de corriente, A/m2 : difusividad eléctrica, m2/s KC: coef. total de transferencia de electricidad, m/s E: potencial eléctrico, V Volt C: capacidad eléctrica, A s /V Faraday : conductibilidad eléctrica (·C/V), A/m V R: resistencia eléctrica, V/A Ohm
xo
CQo
CQ
Jx Ax
Capítulo. 1. Principios científicos 32 G. Chacón V.
1.6.4 DIFUSIÓN (Conducción) DE CALOR Ley de Fourier
El fenómeno en el cual un flujo de energía térmica, o calor, se mueve de la zona de mayor concentración de energía interna a la de menor concentración, mientras la masa no se traslada en la dirección del calor, se denomina difusión de energía térmica o calor por conducción. Se cumple que: el flujo de calor es directamente proporcional al área transversal al flujo y a la diferencia de concentración de energía interna (o al potencial térmico) e inversamente proporcional al camino recorrido.
x
CAQq U
x
xx d
d
En general UCq
Para qx y constantes ,0,00, UUC CCAKQ Definición de temperatura U = V CV T con lo que Tkq
Ley de Fourier
Para q y k constantes TTAhQ 00
Ley de enfriamiento de Newton U: energía interna, J Joule CU: concentración de energía interna ( U/V), J/m3 Q : flujo de calor, W Watt q: intensidad de flujo, “flux”, de calor, W/m2 : difusividad térmica, m2/s KC: coeficiente total de transferencia de calor, m/s T: temperatura o potencial térmico, K Kelvin CV: capacidad calorífica o calor especifico, J/kg K k: conductibilidad o conductividad térmica, W/m K (·CV/) h: coeficiente de transf. de calor o de película, W/m2 K
xo
CUo
CU Qx
Ax
Fenómenos de Trasporte 33 G. Chacón V.
1.6.5 DIFUSIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Ley de viscosidad de Newton El fenómeno producido por la fuerza de fricción que actúa sobre una masa, que fluye, en régimen de flujo laminar, crece de la zona de mayor concentración de cantidad de movimiento a la de menor concentración, mientras la masa no se traslada en la dirección de la fuerza de fricción, se denomina difusión de cantidad de movimiento, pérdidas por fricción o fuerzas viscosas. Se cumple que: la fuerza de fricción es directamente proporcional al área transversal al flujo y a la diferencia de concentración de la cantidad de movimiento (o al potencial mecánico) e inversamente proporcional al camino recorrido.
x
C
AR yM
x
xxy d
d
En general MC ˆˆ Para y constantes ,0,0,0, YY MMxCx CCAKR Cantidad de movimiento My = V vy con lo que v
Ley de viscosidad de Newton Para y constantes ,0,0,,0, yyxyFx vvAvCR M: cantidad de movimiento, kg m/s CM: conc. de cantidad de movimiento ( M/V), kg/s m2 R: fuerza viscosa, de fricción o rozamiento, N Newton : difusividad mecánica o "viscosidad cinemática", m2/s KC: coef. total de transf. de cantidad de movimiento, m/s
xo
xy Ax
vy
CMy,
CMy,o
Rx
Capítulo. 1. Principios científicos 34 G. Chacón V.
v: velocidad o potencial mecánico, m/s Nota: la capacidad mecánica sería unitaria y adimensional
: conductibilidad mecánica o viscosidad ("dinámica") (·), kg/m s CF: coeficiente de arrastre o de fricción, Adim. : esfuerzo cortante viscoso, Pa Pascal Es de naturaleza tensorial
zv
yv
xv
zv
yv
xv
zv
yv
xv
v
zzz
yyy
xxx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
ˆ
Fenómenos de Trasporte 35 G. Chacón V.
1.6.6 RELACIONES DE LAS DIFUSIVIDADES Las difusividades dependen de las materias que conforman el s istema, la temperatura, la presión y la concentración, del mismo.
(sust. , T, P, xI) Los coefic ientes totales de transferencia de-penden, también, de la geometría del sistema y de las característ icas del f lujo de f luidos del s istema.
Kc = K(sust. , geom., , v , T, P, xI , etc.) Las di fusividades t ienen correspondencia entre sí, lo que genera números, adimensionales, que representan razones entre las di ferentes fuerzas motrices y que describen la naturaleza del f luido en movimiento. Se emplean para: Escalamiento:
Sistemas dinámicamente semejantes, característ icas semejantes de los mate-r iales, usados para la correspondencia entre equipos de tamaño di ferente o de procesos de magnitud de su producción di ferente, etc.
Generalización
Extender los datos de protot ipos en la simulación fís ica, analógica o matemática, mejorar los modelos teóricos de procesos o sistemas con ayuda de la respuesta experimental , etc.
Anál is is dimensional
Encontrar relaciones empíricas del compo-rtamiento de los procesos en sistemas dados, para evaluar parámetros de trans-porte (Kc, CF, h, kC, etc .) .
Capítulo. 1. Principios científicos 36 G. Chacón V.
RELACIONES ENTRE PARÁMETROS DIFUSIONALES
No. de Lorenzo, para sól idos
TkLo
eléctrica lidadconductibi térmicalidadconductibi
Para metales puros: Lo 3 ( /e ) = 2,23 10- 8
No. de Prandtl
kCPr P
térmicaddifusividamecánica ddifusivida
Para gases monoatómicos Pr (0,65-0,90) 1 No. de Schmidt
ABAB DDSc
másicaddifusivida
mecánica ddifusivida
Para gases monoatómicos Sc (0,67-0,83) 1
No. de Lewis
ABPAB DCk
DLe
másica ddifusivida
térmicaddifusivida
Fenómenos de Trasporte 37 G. Chacón V.
1.7 FENÓMENOS DE TRANSFERENCIA SUPERFICIALES
1.7.1 PÉRDIDAS POR FRICCIÓN EN UN FLUIDO
Transferencia de cantidad de movimiento La fricción en un fluido , es el fenómeno de transferencia de esfuerzo o de cantidad de movimiento entre una superf ic ie sól ida y un f luido adyacente, que se desplaza en forma paralela al mismo. Es provocado por el roce entre las partículas en movimiento, tanto dentro del f luido como con la pared. Se ve afectado por varias causas.
El esfuerzo de fricción disminuye, en la zona, entre la pared sólida, con una velocidad vs, y la del seno del fluido, con velocidad vf, llamada capa, película, límite. A partir de la cual, se considera que la velocidad es homo-génea y no varía en forma perpendicular a la superficie. El esfuerzo cortante debido a la fricción, difusión de cantidad de movimiento, se suele expresar, sobre la base de que la difusión de cantidad de movimiento, es, aproximadamente, proporcional a la diferencia entre la velocidad en la superficie y la del seno del fluido.
vf vs
Fluido
Sólido
tx vx
SSuperficie Interfase
Capítulo. 1. Principios científicos 38 G. Chacón V.
fsfF vvvC : esfuerzo cortante, Pa = N/m2 vs: velocidad del fluido, paralela a la superficie, en contacto con la superficie, m/s vf: velocidad del fluido, paralela a la superficie, m/s CF: coeficiente de fricción o arrastre Adim.
Nota: K = CF··vf , es el coeficiente de transferencia de cantidad de movimiento, kg/m2 s
No debe confundirse este fenómeno con la advección de cantidad de movimiento, debido al flujo de masa
0 movimiento de cantidad de flujo vvAv
1.7.2 CONVECCIÓN DE CALOR Convección de calor , es el fenómeno de trans-ferencia de calor entre una superf ic ie sól ida y un f luido que lo rodea, en el cual, la di fusión o conducción de calor se ve afectada por el movi-miento de energía, arrastrada por el f lu jo de masa, advección de energía, en dirección del f lu jo de calor. Es provocado por diferentes causas.
Tf Ts
Fluido
Sólido
convQ radiQ
S
v
Superficie Interfase
Fenómenos de Trasporte 39 G. Chacón V.
La convección de calor se da en una zona, entre la pared sólida, a una temperatura Ts, y el seno del fluido, con temperatura Tf, llamada capa, película, límite. A partir de la cual, se considera que la temperatura es homogénea y no varía en forma perpendicular a la superficie. El fluido puede estar en movimiento, en dirección perpen-dicular a la transferencia de calor (paralelo a la dirección de la pared), el fenómeno lleva el nombre de convección forzada; y la transferencia se debe, principalmente, a ondas del fluido, remolinos y otras turbulencias. El fluido puede estar en reposo, la transferencia de calor se llama convección libre o natural; y, el fenómeno se debe, principalmente, al empuje provocado por la dife-rencia de densidad, que es efecto de la diferencia de temperatura, provocado por la fuerza boyante. Cuando la velocidad del f lu jo es “muy baja”, régimen de f lujo laminar, puede dominar este fenómeno con respecto al de las turbulencias, mencionada en la convección forzada. El flujo de calor, en el caso de la convección, se suele expresar, sobre la base de la difusión de calor, como, aproximadamente, proporcional a la diferencia de tempe-ratura entre la de la superficie y la del seno del fluido. fs TThq Ley de enfriamiento de Newton q: intensidad de flujo (flux) de calor, W/m2 Ts: temperatura en la superficie del sólido, K Tf: temperatura en el seno del fluido, K h: coeficiente de transferencia de calor o de película, W/m2 K
No se debe confundir este fenómeno con la advec-ción de energía debido al flujo de masa
0energía de flujo uuAv
Capítulo. 1. Principios científicos 40 G. Chacón V.
1.7.3 RADIACIÓN TÉRMICA Radiación térmica , es el fenómeno de transfe-rencia de calor entre una superf icie y otra, s in que interf iera un medio entre el las. Se con-sidera que se real iza en forma de ondas, radiación electro-magnética o por fotones, cuantos de energía. Se definen los siguientes términos Emisión de radiación , es el f lu jo de radiación
térmica que sale de una superf icie (de un cuerpo).
Reflexión de la radiación , es el f lujo de radia-ción térmica que la superf ic ie recibe, pero que vuelve a sal ir , es decir la ref le-ja.
G : I rradiación, es el f lu jo de radiación térmica que la superf ic ie (cuerpo) recibe.
J : Radiosidad, es el f lu jo de radiación térmica
que sale de una superf ic ie por emisión y reflexión.
: Absorbancia, es la fracción de la radiación
que recibe la superf icie (cuerpo) y que es absorbida por la misma.
: Reflectancia, es la fracción de la radiación
que recibe la superf icie (cuerpo) y que es ref lejada por la misma.
: Emitancia o emisividad, es la fracción o efi-
c iencia de la radiación que emite un cuerpo con respecto a lo que emite un cuerpo negro.
Para un objeto opaco o no transparente:
1 .
Fenómenos de Trasporte 41 G. Chacón V.
Superf icie negra o cuerpo negro , es la super-f ic ie o cuerpo, ideal , que absorbe toda la radiación incidente o i rradiación, sin ref lejar nada.
La radiación que proviene, irradiación, de una superficie negra se describe por
4sTJ Ley de Stefan Boltzmann
J: radiosidad o potencia del cuerpo negro, W/m2
Ts: temperatura en la superficie irradiante, K solamente en Kelvin
: constante de Stefan Boltzmann, 5,6705 10-8 W/m2 K4
Transferencia de calor por radiación entre dos superficies grises grandes
Superficie gris , es la superf icie o cuerpo, para la cual la absorbancia y la emitancia son cons-tantes e iguales
Constante Superficie gris La transferencia de calor entre dos superficies grises finitas, se representa por:
42
4111
42
4111212 TTATTAQ radi
: Factor de transferencia.
Irradiación
12QCuerpo
gris
Radiosidad
Superficie gris
T1 1 A1
T2 2 A2
Capítulo. 1. Principios científicos 42 G. Chacón V.
1.7.4 EQUILIBRIO ENTRE FASES Fase : es una cantidad de materia totalmente
homogénea en sus propiedades.
Cuando un sistema consti tuido por var ias sus-tancias o especies químicas, distr ibuidas entre varias fases, está en equil ibr io, las activ idades (ai) de cada uno de el las, en todas las fases, son iguales. N
iIIi
Ii aaa i
ai= a(sustancias , T , P , i)
Para l íquidos iii xa
Para gases 0/ˆ
iii ffa
En la práctica iii xmy
0 xA*
if
fase II
fase I
yi
xi límite de fase
1
fi
xAL
fA*
fAG
x
Fenómenos de Trasporte 43 G. Chacón V.
Relaciones para el cálculo
l íquidos gases iii xa 0/ˆ
iii ffa
Solución di luiday0 iii H (1) iii yKf ˆ
Solución concentrada y1 10 ii iii yff 0ˆ (2)
Solución ideal 1i iii yff ˆ
Solución de gases perfectos o ideales P0 iii PyPf ˆ (3)
(1) Ley de Henry , (2) Le y d e Lewis y Randa l l , (3). Ley de Da l ton Nomenclatura: ai : act iv idad de la sustancia i en la mezcla i : coefic iente de act iv idad de la sustancia i en la
mezcla f i : fugacidad de la sustancia i pura f i
0 : fugacidad de la sustancia i en condiciones estándar
m i : coefic iente de distr ibución o reparto para la sustancia i
P : presión del s istema Hi , K i , i : coefic ientes x i : composic ión molar de la sustancia i en la fase
l íquida y i : composic ión molar de la sustancia i en la fase
gaseosa 0 : supraíndice, se ref iere a un estado estándar o
de referencia, (Por lo general , de la sustancia i a la temperatura de la mezcla) .
E jemplos , cuando se usa la forma iii xmy
So luc ión gaseosa ideal y l íqu ida ideal iii ffm /0 So luc ión gaseosa ideal , de gases ideales y l íqu ida normal PPm iii /0
So luc ión gaseosa ideal , de gases ideales y l íqu ida ideal PPm ii /0
Ley de Roult
Capítulo. 1. Principios científicos 44 G. Chacón V.
1.7.5 TRANSFERENCIA DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA EN LA INTERFASE
Transferencia de masa entre fases, es el fenó-meno de transferencia de una sustancia A , que pasa de una fase (por ejemplo l íquida) a otra fase (por ejemplo gaseosa) debido a la di feren-cia de potencial químico entre las dos fases. Nota : En esta secc ión se t ra tará e l tema tomando como
e jemplo e l equi l ib r io l íqu ido vapor , es dec i r las fases son una l íqu ida y la o t ra gaseosa, pero se puede ap l icar para fases só l ido gas, só l ido l íqu ido, só l ido só l ido, l íqu ido l íqu ido.
La transferencia de masa entre fases se da en una zona entre la interfase, con una concentración CAi, PAi, etc., y el seno del fluido, a una concentración CAL, PAG, etc., llamada capa, película, límite. A partir de la cual, se con-sidera que la concentración es homogénea y no varía en forma perpendicular a la superficie. El fluido puede estar en movimiento, en dirección perpendicular a la transferencia de masa de A, y la transferencia se debe, principalmente, a ondas del fluido, remolinos y otras turbulencias.
No se debe confundir este fenómeno con la advección de A debido al flujo de masa
ACAv
A de flujo
Superficie Interfase
Gas, PAG
Líquido, CAL
AN
S
v
PAi CAi
Fenómenos de Trasporte 45 G. Chacón V.
El fluido puede estar en reposo, la transferencia de masa de A se debe, principalmente, al empuje provocado por la diferencia de densidad, que es efecto de la diferen-cia de concentración, provocado por la fuerza boyante. Cuando la velocidad del f lujo es “muy baja”, régimen de f lujo laminar, puede dominar este fenómeno con respecto al de las turbulen-cias, mencionada para la convección forzada. Para cuando se tienen dos fases, insolubles entre sí, en contacto y una sustancia, A, se distribuye entre ellas, si no está en equilibrio, el flujo de la masa de A, se suele expresar, sobre la base de la difusión de masa, como, aproximadamente, proporcional a la diferencia de con-centración, dentro de la fase: entre la de la interfase y la del seno del fluido. Flujo en la fase gaseosa AiAGGAiAGyA PPkyykN Flujo en la fase líquida AiALLAiALxA CCkxxkN NA: intensidad de flujo, flux, de masa de A, kmolA/s m2 CAi: concentración de A en la interfase líquida, kmolA/m3 CAL: concentración de A en el seno del líquido, kmolA/m3 PAi: presión parcial de A en la interfase gaseosa, Pa PAG: presión parcial de A en el seno del gas, Pa x, y: concentración molar kmolA/kmolA k…: coeficiente local de transferencia de masa de A, unidades según corresponda
Capítulo. 1. Principios científicos 46 G. Chacón V.
Coeficiente globales o totales de transferencia de masa
Como es difícil medir las concentraciones en la interfase (CAi, PAi, xAi, yAi.), se definen los coeficientes globales de transferencia de masa, con base en el equilibrio de fases así: Flujo en la fase gaseosa **
AAGGAAGyA PPKyyKN Flujo en la fase líquida **
AALLAALxA CCKxxKN K…: Coeficiente global o total de transferencia de masa
de A, unidades según corresponda Con las relaciones de equilibrio definidas como:
AiAi xmy ALA xmy * myx AGA * ALA CmP * mPC AGA *
Fenómenos de Trasporte 47 G. Chacón V.
RELACIONES ENTRE LOS COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA
Los fenómenos de transferencia en la superficie son muy complejos y dependen de:
- La velocidad paralela a la superficie del fluido (y su turbulencia)
- La diferencia de temperaturas y/o de densidades entre la pared y el seno del fluido
- la geometría del sistema - Las asperezas (“roughness”) de la pared - Las propiedades de estado (T, P, , C) - las propiedades termofísicas (k, , DAB) - los accesorios, curvaturas, etc., del conducto donde
se traslada el fluido
Kc = K(sust. , geom., , v, T, P, CI, k, . DA B, etc.)
La complejidad de los fenómenos de transferencia en la superficie, hace que sea difícil desarrollar modelos mecani-cistas sobre ellos, por lo que se utilizan modelos empíricos (correlaciones de datos experimentales) o semi empíricos; con las características de éstos: existen varios modelos para un mismo fenómeno, que van cambiando con el tiem-po al desarrollarse mejores y más costosos experimentos y tecnología del tratamiento de datos. Las desviaciones (“errores”) alcanzan del 10 al 15 %, para fricción, del 10 al 30 %, para transferencia de calor y del 10 al 100 % para transferencia de masa.
Los coeficientes de transferencia t ienen corres-pondencia entre sí, lo que genera números, adimensionales, que representan razones entre las diferentes fuerzas motrices que describen la naturaleza del f lu ido en movimiento. Se emplean igual que las di fusividades para: escalamiento, general ización, modelos, y el anál isis dimensional.
Capítulo. 1. Principios científicos 48 G. Chacón V.
No. de Froude
gvFo
2
nalgravitacio fuerza
inercial fuerza
No. de Euler
PvEu
2
Presión
inercial fuerza
Coefic iente de fr icción
2vC f cortante fuerzainercial fuerza
No. de Grashof
2
32
gGr inercial fuerzaboyante fuerza
No. de Reynolds
vRe
viscosafuerzainercial fuerza
No. de Nusselt
khNu
molecular érmicadifusión tconvectiva érmicadifusión t
No. de Sherwood o No. de Nusselt de masa
AB
CD D
kNuSh
molecular másicadifusión convectiva másicadifusión
Fenómenos de Trasporte 49 G. Chacón V.
Capítulo 2 LEYES DE CONSERVACIÓN PARA UN VOLUMEN
DE CONTROL 2.1 INTRODUCCIÓN
2.1.1 ALCANCE El propósito de este capítulo es: formular las leyes científicas, que han sido planteadas para una masa de control o sistema de masa fija, para ser usadas en un volumen de control.
2.1.2 VOLUMEN DE CONTROL El volumen de control es un sistema que consiste en un espacio físico o marco fijo, delimitado arbitrariamente, el cual contiene una masa determinada que circula continuamente a través de mismo, cambia su estado y produce transformaciones e interacciones con el medio. El volumen de control, generalmente, representa un conjunto de recipientes o dispositivos, empleados para obtener algún beneficio material. La definición de un sistema como volumen de control se emplea en la Ingeniería, para el análisis, evaluación, control y diseño de los procesos en los que se mani-fiestan transporte de la masa de una sustancia, de la cantidad de movimiento y de la energía. El interés de emplear el volumen de control es:
Evaluar el efecto que causa el movimiento de un fluido, sus transformaciones energéticas y los insumos, sobre algún dispositivo y en el beneficio del mismo. Evaluar los cambios en el contenido energético (velocidad, temperatura, concentración) de la masa que fluye a lo largo de un espacio dado. Es la primera etapa en el balance de transporte de masa (total), masa de una sustancia, cantidad de movimiento y energía. Y sus aplicaciones económicas y de ingeniería.
Capítulo. 2. Leyes de Conservación 50 G. Chacón V.
2.1.2 PROPIEDAD EXTENSIVA La propiedad extensiva es aquella que es proporcional a la masa. La masa está asociada al volumen, por lo que para una elemento de volumen
Vm dd Para una propiedad extensiva, P, se puede obtener la propiedad intensiva, correspondiente, si se divide por la masa
mP
mP
mPp
mmδm dd
δδlím
δδlím
0δδ
Nomenclatura:
p: propiedad extensiva por unidad de masa : densidad, kg/m3 V: volumen, m3 L: desplazamiento, m A: área, m2
2.2 TEOREMA DEL TRANSPORTE Para la demostración, se toma un sistema de masa cons-tante, que se mueve dentro de un volumen de control; el cual incluye la entrada o la salida de masa y la que ocupa el volumen de control. La zona AB: Es la masa del sistema de masa constante en
el tiempo t; que representa la masa que está entrando en ese instante y la masa ocupada por el volumen de control
La zona B: Es la masa ocupada dentro del volumen de control; volumen constante, para ambos ins-tantes.
La zona BC: Es el sistema de masa constante en el tiempo t + t; que representa la masa que está saliendo en ese instante y la masa ocupada por el volumen de control.
Fenómenos de Trasporte 51 G. Chacón V.
El teorema establece, para una propiedad extensiva dada, de la materia, una relación entre la ley científica, que se postula para un sistema de masa constante o masa de control, análisis de Lagrange, y la corres-pondiente ecuación de conservación, para la propiedad en cuestión, en tránsito, dentro de un volumen de control fijo o inercial, el cual puede intercambiar masa u otra propiedad de transporte a través de sus fronteras o área de control, análisis de Euler. La propiedad extensiva del sistema de masa constante, S, se conserva por lo que control de vol.δδδ δδ BttBtentradaAtsalidatCtsistemaSttSt PPPPPP Expresándolo como el cambio de propiedad extensiva con respecto al tiempo transcurrido, t, es decir la rapidez de propiedad,
control de vol.
δδδ
δδδ
δδ
δ
tPP
tP
tP
tPP BttBt
entrada
At
salida
tCt
sistema
SttSt
salida
t
Sistema masa constante
S = ABC
Volumen de control
B
A B C
A B C
t
t+t
PSt
PSt+t PBt+t + PCt+t
PAt + PBt
entrada
t+t
Propiedad extensiva
Tiempo
El inventario o conservación de la propiedad extensiva, P
Balance de Propiedad extensiva PSt+t PSt PBt+t PCt+t PAt PBt ahora antes ahora salida entrada antes
Capítulo. 2. Leyes de Conservación 52 G. Chacón V.
Obteniendo el límite cuando t 0
control devolumen entrada flujo0δ
salida flujo0δ δ
δlímδδlím
dd
tP
tP
tP
tP
ttsistema
El término control de área del travésa flujoδ
δ
tP
es el flujo de la propiedad que atraviesa la superficie (del volumen) de control. Este último término, no es un diferencial exacto, pues se refiere a una propiedad que depende del camino o trayectoria, típico de una pro-piedad de transporte (y no de las condiciones iniciales y finales del proceso, como las propiedades de estado). En la figura se observa el esquema de la salida, del cual se considera un elemento del volumen de control, que contiene el fluido que pasa a través del área de control diferencial, A
Entonces, para un flujo de una propiedad que atraviesa el área de control (entrada y salida), se plantea, la inte-gral de contorno
..
δCA L
ALpP
El término control devolumen
tP
δ δP p V
δ δ δP p L A
A
δ
v
L
δ
V
Fenómenos de Trasporte 53 G. Chacón V.
es la tasa de cambio de la propiedad extensiva almace-nada o acumulada en el volumen de control con respecto al tiempo. Una propiedad que actúa en el volumen se puede expresar, en términos de su respectiva propiedad intensiva como:
. .d
V CP p V
Sustituyendo estas expresiones, se tiene
. .volumen decontrol
dV C
P p Vt t
Sustituyendo en la relación de para conservación de P
....0δdδδ
δδlím
dd
CVCA Ltsistema
Vpt
ALptt
P
La velocidad lineal se expresa como,
tLL
tv
tLt δδlímδ
δδlím
0δ0δ
Por otro lado, el volumen de control V =V(x,y,z), y el área de control A = A(x,y,z) son independientes del tiempo, con lo que, usando el teorema de Leibnitz,
. . . .
d d dd A C V C
sistema
pP p v A Vt t
La propiedad p, puede ser un escalar, un vector, un ten-sor de orden dos, etc. La expresión se puede describir en palabras, así:
Que es conocido como el Teorema del transporte de Reynolds.
Velocidad de cambio de la propiedad extensiva para una masa de control
Flujo de neto de la propiedad extensiva
a través del área de control (lo que entra lo que sale)
Velocidad de acumulación de la propiedad extensiva en el volumen de control
= +
Capítulo. 2. Leyes de Conservación 54 G. Chacón V.
2.3 ECUACIÓN DE LA CONSERVACIÓN DE LA MASA (TOTAL)
La Ley de conservación de la masa dice que
La masa no se crea ni se destruye Esto es, que para un sistema de masa constante o masa de control, que la masa, m, no varía con el tiempo,
0dd
sistematm
Para un volumen de control, con el teorema del trans-porte, si
La ley científica de la conservación de la masa, se con-vierte en
. . . .
d d d 0d A C V C
sistema
m v A Vt t
Con lo que se obtiene la
Ecuación de la conservación de la masa para un volumen de control, o ecuación de continuidad
0dd....
CACVAvV
t
(2.1)
x
z
y
vx dV : densidad del fluido, kg/m3
v: velocidad lineal del fluido, m/s V: volumen, m3 A: área transversal al flujo, m2.
flujo de masa acumulación de masa
Fenómenos de Trasporte 55 G. Chacón V.
Forma global de la ecuación de conservación de la masa para un volumen de control
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m d
d (2.2)
Donde la velocidad promedio es
. .
. .
d
dA C
A C
v Av
A
Aplicando el teorema de la divergencia a la ecuación 2.1, del balance de masa, se tiene
. .
d 0V C
v Vt
por lo que
0vt
Efectuando la derivada del producto y arreglando, se llega a la
Forma diferencial de la ecuación de conservación de la masa para un volumen de control
0 vv
t
(2.3)
El desarrollo en coordenadas se muestra en los cuadros 26 a 28 del apéndice. Aplicando la definición de la derivada sustancial o material
0DD1
vt
Capítulo. 2. Leyes de Conservación 56 G. Chacón V.
Casos específicos - Fluido estático: es el fluido, que ocupa un volumen de
control y que no posee movimiento criterio 0v
forma global 0d
d
tmVC
forma diferencial 0
t
- Flujo de masa (total) en estado estacionario: en el
volumen de control no se acumula masa
criterio 0d
d
tmVC o 0
t
forma global
salidasss
entradaeee AvAv
forma diferencial 0v
- Flujo de masa (total) incompresible: la densidad den-
tro del volumen de control no cambia con el tiempo ni con la posición
criterio 0DD
t
forma global
salida
ssentrada
eeVCVC AvAvt
Vt
md
dd
d1
forma diferencial 0 v
- etc.
Fenómenos de Trasporte 57 G. Chacón V.
2.4 ECUACIÓN DE LA CONSERVACIÓN DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA A
La ley de conservación de la masa para una sustancia, componente de una mezcla, establece que La masa (moles) de una sustancia, en una mezcla, no se
crea ni se destruye, sólo se transforma. Para un sistema de masa constante o masa de control, la velocidad con que la masa molar nA, de una de las sustancias, A, que lo componen, se produce o consume, equivale a la rapidez, (rA), de generación o degradación, llamada reacción química.
d 0d
AA
sistema
n r mt
Para un volumen de control, la ley científica de la conser-vación de la masa para una sustancia (especie química), A, si
Con el teorema del transporte se expresa como
0ddd
d....
CV ACA A
sistema
A VCt
AvCt
n
Pero el flujo de masa a través del volumen de control se debe al flujo por advección y al flujo por difusión
AAA JvCN
CA dV vx CA JAx
y
z
(-RA)dV
CA: concentración de A, kmol A/m3 v: velocidad lineal del fluido, m/s V: volumen, m3 A: área transversal al flujo, m2. (-RA): tasa de generación volumétrica
de la sustancia A, kmol A/m3 s : factor de rendimiento o conversión JA: difusión de la sustancia A, a través
del resto de la masa, kmol A/m2s x
Capítulo. 2. Leyes de Conservación 58 G. Chacón V.
La difusión de la sustancia A, a través del resto de la masa, se expresa por la Ley de Fick (....), que establece que es proporcional al gradiente de concentración de la sustancia en cuestión.
AABA CDJ
Y se obtiene la
Ecuación de la conservación de la masa de una sustancia A, para un volumen de control
. . . . . .d d dA
A AV C A C A C
C V C v A J At
(2.5)
. .
d 0AV CR V
Forma global de la ecuación de conservación de la cantidad de una sustancia A para un volumen de control
d
dA VC
Ae e e As s sentrada salida
C VC v A C v A
t
C AC Aw Af A VCk A C C R V (2.6)
El término <kC AAC (CAw – CAf)> representa el intercam-bio, en promedio, de la sustancia A, debido al gradiente de concentración, entre la pared, w, del volumen de control, y el medio, f.
ACAAsAw CCC MEDIOAAAf CCC
Aplicando el teorema de la divergencia, a la ecuación 2.5, del balance de masa de una sustancia A, se tiene que
acumulación de A flujo de A
por difusión
Generación, (), o degradación, (), de A
flujo de A por advección
Fenómenos de Trasporte 59 G. Chacón V.
. .
d 0AA A AV C
C C v J R Vt
Por lo que
0AA A A
C C v J Rt
Desarrollando el producto y arreglando, se obtiene la Forma diferencial de la ecuación de conservación de una
sustancia A para un volumen de control
0AA A A A
C v C C v J Rt
(2.7)
El desarrollo en coordenadas se muestra en los cuadros 26 a 28 del apéndice. Aplicando la definición de derivada sustancial o material
D 0D
AA A A
C C v J Rt
Casos específicos - Movimiento de una sustancia, A, a través de una
masa estática o sólida: es un material cuya masa total no posee movimiento
Criterio 0v forma global
ddA VC
C AC Aw Af A Vc
C Vk A C C R V
t
forma diferencial 0AA A
C J Rt
Capítulo. 2. Leyes de Conservación 60 G. Chacón V.
- Flujo de masa (total) en estado estacionario: en el volumen de control no se acumula masa
criterio 0d
d
tmVC o 0
t
forma global
salidassAs
entradaeeAe
VCA AvCAvCtVC
dd
C AC Aw Af A VCk A C C R V forma diferencial
D 0D
AA A A
C C v J Rt
Nota: quedan igual - Flujo de masa (total) incompresible: la densidad den-
tro del volumen de control no cambia con el tiempo ni la posición
criterio 0DD
t
con lo que 0 v
forma global
salidassAs
entradaeeAe
VCA AvCAvCtVC
dd
C AC Aw Af A VCk A C C R V forma diferencial
D 0D
AA A
C J Rt
- Etc.
Fenómenos de Trasporte 61 G. Chacón V.
2.5 ECUACIÓN DE LA CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
La ley de conservación de la cantidad de movimiento (“momentum”) establece que
La cantidad de movimiento de una masa (cuerpo) no se crea ni se destruye, sólo se transforma.
Para un sistema de masa constante o masa de control, la rapidez con que cambia su cantidad de movimiento, relativa a un punto fijo, equivale a la suma de las fuerzas, o fuerza neta, que actúan sobre el sistema.
0d
d
F
tvm
sistema
Primera ley de Euler o Segunda ley de Newton. (1687)
Para un volumen de control, la ley científica de la conser-vación de la cantidad de movimiento, si
: densidad de la materia en el sistema, kg/m3 v: velocidad lineal del fluido, m/s V: volumen, m3 A: área transversal al flujo, m2. g: aceleración de la gravedad, m/s2 P: presión a lo largo de la masa, Pa : esfuerzo viscoso, cortante, a través de la masa, en
dirección paralela a y perpendicular a , Pa : esfuerzo directo, a través de la masa, Pa F: fuerza sobre el sistema, N
con el teorema del transporte, se convierte en
vvx
xx , xx
x
y
zVv d
xy
zx
xz
yz
zy
yx
Vg d
Capítulo. 2. Leyes de Conservación 62 G. Chacón V.
. . . .
d d dd A C V C
sistema
mv vv A v Vt t
Por otro lado, las fuerzas, internas o de reacción, que actúan a través de un volumen de control, son:
ˆd d d dinternasF A P A g V
La difusión de la cantidad de movimiento, está expresada por la Ley de viscosidad de Newton ( · · · ) y establece que el esfuerzo cortante, debido a la fricción, es propor-cional a la variación de la velocidad con la posición.
ˆ v
- Esfuerzo normal vxvx
xx
322
- Presión interna zzyyxxP 3
1 - Con lo que, el esfuerzo directo xxxx P 3/
y 0 zzyyxx En un plano, según Stokes,
- Esfuerzo cortante
xv
yv yx
yxxy
Notas:
vv y v : productos diádicos, tensores de orden dos
: es un tensor de orden dos dvv A
: el resultado es un vector
A
d : el resultado es un vector
vv , v
y
: no son divergencias simples, por su natura-
leza tensorial, pero su interpretación física o mate-mática es la misma que la divergencia, el gradiente o la derivada normal
g g z conversión de la gravedad
Fenómenos de Trasporte 63 G. Chacón V.
Con lo que se tiene la
Ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento, para un volumen de control
. . . .d d
V C A C
v V vv At
(2.8)
. . . . . .
ˆ d d d 0A C A C V C
A P A g V
Forma global de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento para un volumen de control
dd
VCe e e e e e
entrada
mvv v A P A
t
s s s s s ssalida
v v A P A
AC VC EXTERNASA m g F
(2.9)
Notas:
- velocidad promedio
. .
. .
d
dA C
A C
v Av
A
- factor de corrección de la cantidad de movimiento
2
. .
. .
d
dA C
A C
v A
v A
Para un conducto cilíndrico de radio R, con área A = r2 Si v = vmax 1(r/R)2, laminar, entonces = 4/3 Si v = vmax (1r/R)1/7, turbulento, entonces = 1,02
flujo por advección de cantidad de movimiento
Fuerza debido a la difusión de la cant. movi.
Fuerza debida a la gravedad
Fuerza debido a la presión
acumulación de cantidad de movimiento
Capítulo. 2. Leyes de Conservación 64 G. Chacón V.
Aplicando el teorema de la divergencia, a la ecuación 2.8, del balance de cantidad de movimiento
. .ˆ d 0
V C
v vv P g Vt
se obtiene ˆ 0v vv P gt
Desarrollando las derivadas o divergencias de los pro-ductos y arreglando
ˆ 0vv v v v v P gt t
Acomodando términos
vv v v v vt t
ˆ 0P g
El término entre paréntesis cuadrado es la ecuación de continuidad, 2.3, por lo tanto se anula, con lo que se llega a la Forma diferencial de la ecuación de conservación de la
cantidad movimiento para un volumen de control
0ˆ gPvv
tv
(2.10)
Ecuación de Navier (1822) y Stokes (1845) El desarrollo en coordenadas se muestra en los cuadros 26 a 28 del apéndice. Aplicando la definición de derivada sustancial o material
0ˆDD
gPtv
Ecuación de continuidad, término nulo
Fenómenos de Trasporte 65 G. Chacón V.
Usando el resultado del cálculo vectorial para el producto
21 12 2v v v v v v v
y definiéndose como rotación v
y vorticidad. vv
0ˆ1221
gPvvv
tv
(2.11)
Casos específicos - Fluido estático: es un sistema cuya masa total no
fluye, (no posee movimiento relativo a un eje de referencia)
criterio 0v con lo que 0ˆ
forma global EXTERNASVC
VC Fgmtvm
dd
forma diferencial 0 gP
Si z = z, es la plomada: 0 0dd
P g T T gz
- Sistema fijo o volumen de control inercial criterio 0VCv forma global
salida
ssssssentrada
eeeeee APAvvAPAvv
0 EXTERNASVCAC FgmA
forma diferencial queda la ecuación original, Ec. 2.10 o Ec. 2.11
Capítulo. 2. Leyes de Conservación 66 G. Chacón V.
- Flujo de masa (total) en estado estacionario: en el volumen de control no se acumula masa.
Criterio 0
t
mVC 0
t
forma global
dd
VCVC VC
vm m a
t
e e e e e eentrada
v v A P A
s s s s s ssalida
v v A P A
AC VC EXTERNASA m g F
forma diferencial queda la original, Ec. 2.10 o Ec. 2.11 - Velocidad del volumen de control constante
Criterio 0d
d
tvVC
y 0
tv
Forma global dd
VCVC
mv
t
e e e e e eentrada
v v A P A
s s s s s ssalida
v v A P A
AC VC EXTERNASA m g F
forma diferencial vvvvv
2
21
gP
ˆ1
Fenómenos de Trasporte 67 G. Chacón V.
- Flujo de masa (total) incompresible: la densidad den-tro del volumen de control no cambia con el tiempo ni con la posición
criterio 0DD
t
con lo que 0 v
forma global queda la original, Ec. 2.9 forma diferencial queda la ecuación original, Ec. 2.10 o Ec. 2.11 - Flujo no rotacional: no se producen rotaciones del flui-
do dentro del volumen de control.
Criterio 0 v
forma global queda la original, Ec. 2.9 forma diferencial
212
1 ˆv v P gt
- Flujo no viscoso: se desprecian las fuerzas viscosas,
como modelo de comportamiento del volumen de control.
criterio 0ˆ τ (por lo que no rota 0 v
)
forma global
dd
VCe e e e e e
entrada
mvv v A P A
t
s s s s s s VC EXTERNASsalida
v v A P A m g F
forma diferencial
gzPvgPvtv
11 2
212
21
Ecuación de Euler (1775)
Capítulo. 2. Leyes de Conservación 68 G. Chacón V.
- Velocidad del volumen de control constante y no viscoso.
criterio 0
tvVC
, 0
tv
y 0ˆ τ
con lo que 0 v
forma global
dd
VCVC e e e e e e
entrada
mv v v A P A
t
s s s s s s VC EXTERNASsalida
v v A P A m g F
forma diferencial
2 21 12 2
1 0v P g v P g z
212
1 Ctev P g z
Ecuación de Bernouilli (17 · · · ) - Etc.
Fenómenos de Trasporte 69 G. Chacón V.
2.6 ECUACIÓN DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
La ley de conservación de la energía establece que La energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma.
Para un sistema de masa constante o masa de control, la rapidez con que cambia su energía, m·e, equivale a la transferencia de energía sobre él y la generación (o consumo) de energía dentro del sistema.
d 0d sistema
me Q W mGt
Primera Ley de la Termodinámica Joule (Kelvin, Clausius ~1850)
Por convención:
() significa entrada o generación (producción) () significa salida o degradación (consumo)
La ley científica de la conservación de la energía, se convierte, si
: densidad de la materia en el sistema, kg/m3 v: velocidad lineal del fluido, m/s e: energía contenida en la masa, J/kg e = u + v2/2 + g z + ··· (energía interna) + (energía cinética) + (energía potencial) + (etc.) V: volumen, m3 A: área transversal al flujo, m2. G: generación o consumo de energía, HRXN, i2R, etc., J/kg P: presión a lo largo de la masa, Pa : esfuerzo viscoso, cortante, a través de la masa, Pa q: flujo (“flux”) de calor, por unidad de área transversal al flujo,
W/m2.
x
y
z vx e qx P vx xx vx +
e dV
G dV
Capítulo. 2. Leyes de Conservación 70 G. Chacón V.
F: fuerza sobre el sistema, N Q: calor, transmitido por una diferencia de temperaturas entre
el sistema y el medio o entre dos puntos dentro del sistema, J.
W: trabajo, comunicada como un empuje, levantar un peso o girar un eje, J.
Flujo de calor tQQ
t
0δlím
o AdqQ W
Potencia o
flujo de trabajo tWW
t
0δlím
o FvW
d
MwW d W
Para un volumen de control, con el teorema del trans-porte,
dd sistema
me Q W mGt
. . . .d d 0
A C V Cev A e V Q W mG
t
El flujo de energía a través del volumen de control se debe a:
El flujo de energía por advección o energías que lleva la materia
212d dev A u v gz v A
El flujo de trabajo, interno, o potencia
ˆδ d d dW v F v P A v A
La difusión de la cantidad de movimiento, está expresada por la Ley de viscosidad de Newton ( · · · )
ˆ v
El flujo difusivo o calor por conducción AqQ
dδ
La difusión de la energía o intensidad del flujo de calor, a través del resto de la masa, se expresa por la Ley de Fourier (1822), que establece que es proporcional al gradiente de la temperatura en el sistema en cuestión.
Fenómenos de Trasporte 71 G. Chacón V.
Tkq
Con lo que se tiene la
Ecuación de la conservación de la energía, para un volumen de control
2 21 12 2. . . .
d dV C A C
u v gz V u v gz v At
. . . . . .
ˆd d dA C A C A C
q A P v A v A
(2.12)
. .
d 0V C
G V
Forma global de la ecuación de conservación de la energía
para un volumen de control
tzgvum
VC
dd 2
21
(2.13)
entradae
ee
e
eeeee zg
vPuAv2
2
entradas
ss
s
sssss zg
vPuAv2
2
f VCACv A H m G
VC VC OTRASQ W E
Notas:
flujo de energía por advección acumulación de energía
Generación o consumo de energía
flujo de trabajo reversible debi-do a la presión
flujo de energía difusivo o conduc-
ción de calor
flujo de trabajo irrever-sible debido a la fricción
o fuerzas viscosas
Capítulo. 2. Leyes de Conservación 72 G. Chacón V.
- velocidad promedio
..
..
d
d
CA
CA
A
Avv
- factor de corrección de la energía cinética
..
..
3
d
d
CA
CA
Av
Av
Para un conducto cilíndrico de radio R, con área A = r2 Si v = vmax 1(r/R)2, laminar, entonces = 2 Si v = vmax (1r/R)1/7, turbulento, entonces = 1,06
- pérdidas de energía por la fricción entre el fluido y las
paredes del sistema o área de control
2
21
..
..
d
dˆvC
AvAv
Av
AvH D
AC
ACAC
CA
CAf
- Intercambio, transferencia, de calor por contacto,
entre el sistema y el medio (a través de su área de control)
OTROSACEMACACACfACVC EATTATThQ
44 Difusión de calor Radiación de energía con convección - Intercambio, transferencia, de trabajo entre el sistema
y el medio
OTROSEXTERNAVC WMFvW
Mover una masa Girar un eje - Trabajo de flujo, empleado por el fluido en atravesar el
volumen de control y en expandirse (o comprimirse) dentro de él
APvWFlujo
- Entalpía, se define como
h; /ddd Puh
Fenómenos de Trasporte 73 G. Chacón V.
Aplicando el teorema de la divergencia, a la ecuación 2.12, del balance de energía.
2 21 12 2. .
dV C
u v gz u v gz v Vt
. .
ˆ d 0V C
q P v v G V
por lo que
2 21 12 2u v gz u v gz v
t
ˆ 0q Pv v G
Desarrollando las derivadas, gradientes o divergencias de los productos y arreglando
2 2 21 1 12 2 2u v gz u v gz u v gz v
t t
212v u v gz q P v v P
ˆ : 0v v G
Acomodando términos y derivando los términos de energía que posee la masa
uvtzg
tvv
tuv
tgzvu
2
21
Pvqgzvvvv
ˆ ˆ: 0P v v v G
El término entre paréntesis es la ecuación de continui-dad, 2.3, por lo tanto se anula, con lo que se obtiene la
Ecuación de continuidad, término nulo z independiente de t,
término nulo
Capítulo. 2. Leyes de Conservación 74 G. Chacón V.
Forma diferencial de la ecuación de conservación de la energía para un volumen de control
:u v u P v q G vt
(2.14)
ˆ 0vv v v v P v g vt
Notas: Los términos correspondientes a la energía mecánica, se pueden obtener al multiplicar escalarmente, la velocidad por los términos de la ecuación de Navier-Stokes, Ec. 2.10, que es la potencia del flujo.
ˆd vv F v v v P gt
La variación de la energía potencial es gzg
La variación de la energía cinética es, del cálculo vectorial
vvvvvvv
2
21
21
La rotación de un fluido y la vorticidad de un fluido v y vv
El flujo de energía irreversible que se convierte en energía interna, debido a la expansión o compresión P v
debido a la disipación viscosa o fricción : v
El flujo de trabajo, potencia, que se convierte en energía mecánica debido a la traslación Pv
debido a la disipación viscosa o fricción
v
Aplicando la definición de derivada sustancial o material
D :D
u P v q G vt
D ˆ 0D
vv v P v g vt
Energía térmica
Energía mecánica
Fenómenos de Trasporte 75 G. Chacón V.
Una forma práctica de presentar la ecuación de conser-vación de la energía, para un volumen de control, es usando el concepto de capacidad calorífica o calor específico, para evaluar la energía interna. De la Termodinámica, cuando no se presenta cambio de fase, se tiene que
d d dVV
Pmu mc T T P VT
Por la ecuación de continuidad
v
tttV
m
DD1
D
1D
DD1
2
dividiendo por el tiempo transcurrido y por la masa
t
PTPT
tTc
tu
V D
1D
DD
DD
vPTPT
tTcV
DD
Por otro lado, usando el resultado del cálculo vectorial
221 vvvvv
,
y, del álgebra vectorial, se tiene que 0 vvv
en consecuencia, cuando no se presenta cambio de fase,
D ˆ:DV
T Pc T v q G vt T
(2.15)
0ˆ221
vgvPvvv
tvv
El desarrollo en coordenadas se muestra en los cuadros 26 a 28 del apéndice.
Capítulo. 2. Leyes de Conservación 76 G. Chacón V.
Casos específicos - Sistema sin flujo o sólido: es un sistema cuya masa
total no se desplaza dentro de él criterio 0v con lo que 0ˆ forma global
212d
dVC
VC VC VC OTRAS
m u v gzQ W m G E
t
forma diferencial 0VTc q Gt
- Flujo de masa (total) en estado estacionario: en el
volumen de control no se acumula masa.
criterio 0d
d
tmVC o 0
t
forma global
tgzvu
m VCVC d
d 221
2
2ee
e e e e e eentrada e
vPv A u gz
2
2ss
s s s s s sentrada s
vPv A u gz
f VC VCACv A H m G Q
VC OTRASW E forma diferencial queda la original, Ec. 2.14 ó Ec. 2.15.
Fenómenos de Trasporte 77 G. Chacón V.
- Flujo de masa (total) incompresible: la densidad den-tro del volumen de control no cambia con el tiempo ni con la posición
criterio 0DD
t
con lo que 0 v
forma global queda la original, Ec. 2.13 con e s forma diferencial
1
VTc q Gt
0ˆ11
gzPTc
tvv V
Nota:
TCPTC PV
- Flujo isotérmico: Ecuación de la energía mecánica.
criterio 0DD
tT
forma global
entradae
ee
e
eeee
VC gzvPAv
tgzvm
2dd 22
21
2
2ss
s s s s s AC VCentrada s
vPv A gz v A W
forma diferencial
21
2 ˆ 0vv v v v P v g vt
Capítulo.3. Naturaleza del flujo… 78 G. Chacón V.
- Flujo ideal o Ecuación de Bernouilli (17..): se despre-cian las fuerzas viscosas, flujo isotérmico y en estado estacionario.
criterio 0ˆ τ , 0DD
tT
, 0
tv
forma global
entradae
ee
e
eeee
VCVC gz
vPAvt
gzvm
2dd 22
21
2
2ss
s s s s s VCentrada s
vPv A gz W
forma diferencial
0221 gzPvv
CtegzPv 221
- Etc.
Fenómenos de Trasporte 79 G. Chacón V.
Capítulo 3
NATURALEZA DEL FLUJO DE FLUIDOS 3.1 FLUIDO Se define como fluido, aquella cantidad de materia que se deforma continuamente bajo la acción de un esfuerzo (que posee la forma del recipiente).
Sustancias intermedias: vítreos, plásticos, elastómeros, pastas, lodos etc.
Nota: La presión de un fluido en un punto (centro de masa) de un fluido es igual en todas las direcciones, Arquímedes
Propiedad puntual
Las moléculas de un fluido (y de un sólido), están formadas por moléculas o partículas, que poseen una masa, m y ocupan un volumen V (infinitesimales). El estado de cada partícula se representa por sus propie-dades, asociadas a su centro de masa (T, P, , v, etc.).
Centro de masa, m
V
r
y y
Deformación elástica Deformación continua
Fluido SólidoEsfuerzoEsfuerzo
yv
tx
dd
dd
e
y
dd
x x
Capítulo.3. Naturaleza del flujo… 80 G. Chacón V.
Fluido como un continuo Se considera el fluido como un continuo, es decir, que se comporta como si las partículas forman una masa continua.
De esa forma sus propiedades de estado (T, P, r, v, etc.) pueden representarse como:
- Puntos de un dominio, lo que permite su trata-miento matemático
- Una función continua - Valores promedio y parámetros estadísticos.
Condición de no-deslizamiento Si un fluido se comporta como un continuo, su velocidad en el límite de una fase, es igual a la de la otra fase. Ejemplos Líquido - líquido: en la interfase, sendas velocidades son iguales. Sólido - líquido: en la interfase la velocidad del fluido es igual a la
del sólido. Líquido - gas: en la interfase la velocidad del gas es igual a la del
líquido. Nota: las pastas no cumplen con esta condición.
Mecánica Estadística
Mecánica Clásica
Vm
VV δδlim :densidad
δδ
n
s
AAsn ARδδ
lim :esfuerzoδδ
V
V
Fenómenos de Trasporte 81 G. Chacón V.
Campo de velocidad para un fluido La velocidad de un flujo de fluidos, se define como el desplazamiento del centro de masa de una partícula de volumen dV por unidad de tiempo, bajo la hipótesis del continuo.
),,,vδδlim
0δtzy(x
trv
t
Definiciones para un flujo de fluidos Trayectoria: Línea trazada por una partícula, del fluido,
en movimiento. Línea de corriente: Línea trazada por los puntos tangen-
tes a la velocidad de la partícula. Nota: La línea de corriente no corta la de la trayectoria.
Línea de trazador: Línea trazada por los puntos por don-de pasan un grupo de partículas dado o “canal”.
Flujo: Zona trazada por un grupo de partícula, de un
fluido, que se mueven como un continuo, en una dirección dada.
Trayectoria
Flujo
Tangente
Línea de trazador
Capítulo.3. Naturaleza del flujo… 82 G. Chacón V.
3.2 CINEMÁTICA DE UN ELEMENTO DE FLUIDO Un fluido sometido a un campo de velocidades, por la acción de un esfuerzo, se mantiene en movimiento, además de la traslación, se puede presentar deforma-ción, angular o lineal, y rotación.
Rapidez de deformación
ttttt
tyx
0,,
limdd
Deformación continua en el plano (x, y) (Plano de flujo)
Rapidez de rotación
2
RRz t
Rotación perpendicular al plano (x, y)
(Plano de rotación)
ry
vy vx
x
y
rx
RotaciónDeformación vy
vx x
y
y
x
El esfuerzo cortante es una cantidad tensorial
Si el elemento rota entonces se deforma (puede deformarse sin rotar)
xy
yx
vy
y
x
vx
Fenómenos de Trasporte 83 G. Chacón V.
Rapidez de deformación Rotación
td
d
tDD
tyx
220,,
lim
xxyy
D
arctan
xr
xr yy
R
arctan
yyxx
D
arctan
yr
yr xx
R
arctan
0,,lim
dd
tyxt
0,,
lim2
tyxz
tx
tvvxyxxy
tx
tvvxyxxy
ty
tvvyxyyx
ty
tvvyxyyx
dd
yx vvt y x
2 y xz
v vx y
En general
ˆˆ
t
2 : rotaciónv
Nota: es el tensor cuyas componentes cartesianas son: i,j = ( vi/ j) + ( vj/ i)
Capítulo.3. Naturaleza del flujo… 84 G. Chacón V.
Flujo incompresible (función de corriente ) Se define la función de corriente, un campo escalar, para describir en forma concisa, las líneas de corriente, que son las líneas tangentes a la trayectoria de un flujo de masa. Para lo cual se considera flujo incompresible y bidireccional.
yvxv xy dddΨ Si la función de corriente es continua debe cumplir que
dyy
dxx
ΨΨdΨ
y que xyyx
22
Como el flujo es incompresible
0yv
xvv yx
con lo que ambas ecuaciones se satisfacen si,
yvx
y
xvy
la deformación es : 2
2
2
2
dd
xytxy
la rotación es:
22
2
2
2
2yx
vz
Fenómenos de Trasporte 85 G. Chacón V.
Flujo irrotacional e incompresible (función potencial ) Se define la función potencial de velocidad, un campo escalar, para describir las líneas de trayectoria. Para lo cual se considera flujo irrotacional, incompresible y bidireccional.
yvxv yx ddd
Si el flujo es incompresible 0yv
xvv yx
Si el flujo es irrotacional 0yv
xv
v xy
Si la función de corriente es continua, debe cumplir que
dyy
dxx
d y que xyyx
22
Condiciones que se satisfacen si,
xvx
y
yvy
con lo cual
v
Que es una función análoga a las de los flujos de calor Tkq
masa de A AABA CDJ
electricidad EJ
La deformación es : yxt
xy
2
2d
d
Capítulo.3. Naturaleza del flujo… 86 G. Chacón V.
3.3 REGÍMENES DE FLUJO DE FLUIDOS Los siguientes son modelos del comportamiento de los fluidos en movimiento.
Régimen de flujo laminar
- Describe el flujo de un fluido que manifiesta un
movimiento con estructura de capas (moleculares) - Las líneas de corriente se confunden con las trayec-
torias - Dominan las fuerzas viscosas sobre las inerciales. Fluido newtoniano Cuando un fluido se mueve con régimen de flujo laminar, presenta una relación análoga a la Ley de Hook (1678, Young l807) para sólidos xy = E e La llamada Ley de viscosidad de Newton
yvx
yx dd
(flujo de tinta) Experimento de Reynolds 1883
Flujo interno (en un conducto)
Flujo externo (sobre un cilindro o una esfera)
Fenómenos de Trasporte 87 G. Chacón V.
Régimen de flujo turbulento
- Describe un flujo de un fluido que manifiesta un
movimiento de las partículas al azar - La masa se mueve con un flujo neto homogéneo, la
línea de trazador es estable - Dominan las fuerzas inerciales sobre las viscosas. Modelo de flujo de fluidos turbulento El fenómeno se puede representar como “remolinos” o “terroncitos” (“eddies”) que se trasladan con velocidades vx´, vy´, vz´, relativas, con respecto a la velocidad promedio o flujo.
zzyyxxxxx evevevevv ˆˆˆˆ
Efecto en el flujo neto:
0
1 dt
x xv t vt
0
1 d 0t
wv tt
w
Efecto en la fuerza de arrastre o frcción es
d dy y x x y xAC ACF v v v A v v A
Dado que 0 xy vv , son ortogonales, entinces el esfuerzo cortante turbulento o de Reynolds es
xyyx vv
(flujo de tinta)Experimento de Reynolds, 1883
Flujo interno (en un conducto)
Flujo externo (sobre un cilindro o esfera)
Estela
Capítulo.3. Naturaleza del flujo… 88 G. Chacón V.
El efecto en la energía cinética es
22221
zzyyxxC vvvvvvE dado que para todo 0 ii vv , con i = x, y, z, el efecto asignado a las pérdidas de energía por irreversibilidad, I, (fricción, expansión, mezclado, etc.) se consideran como
3
222zyx
f
vvvIH
Hipótesis de la longitud de mezclado, Prandtl 1925. Para convertir la expresión del esfuerzo, en términos de propiedades o variables de flujo, se propone el modelo de la longitud de mezclado. Sea un flujo en la dirección x, que presenta un gradiente de velocidad en la dirección y.
La perturbación vx, es la diferencia entre las dos velocidades netas, de sendos puntos, separados una distancia L.
yxLyxx vvv
por el teorema de Taylor, con L suficientemente pe-queño,
yvLv x
x dd
L
vxyL
vxyy
vx
y
x
Fenómenos de Trasporte 89 G. Chacón V.
Con lo que, si son del mismo orden de magnitud, vxO=vy y son independientes, vx vx 0, entonces
2 d dd d
x xyx y x
v vv v Ly y
El valor absoluto, se coloca para mantener el signo del gradiente de velocidad. Generalmente se considera que la longitud de mezclado es proporcional a la distancia a partir de la interfase
L k y
Para gases ideales o perfectos L = 2 (2/3) Z : paso libre medio Z : velocidad media molecular
Régimen de flujo crítico Existe una gama de valores de la velocidad y de las características del flujo de fluidos, en las cuales no se comporta ni como laminar ni como turbulento, llamado flujos de transición, de amortiguamiento o críticos.
Nota: Como en otros fenómenos afectados por mecanismos diferentes a la vez, la suma de ambos efectos no modela adecuadamente, este caso.
xyx
yx vvyv
dd
La transición, de laminar a turbulento, se ve afectada por - El gradiente de presión - La turbulencia de la corriente libre (zona de velocidad
constante) - Las asperezas (“roughness”) de la pared - La curvatura de la pared - La diferencia de temperatura o concentración entre la
pared y el medio.
Capítulo.3. Naturaleza del flujo… 90 G. Chacón V.
Flujo invíscido Es un modelo de flujo de fluidos, empleado para facilitar el manejo matemático y luego realizar correcciones empíricas, para el ajuste, sobre el mismo. Es útil en modelos semiempíricos, gráficos y simulación de proce-sos. Se considera que el flujo es:
- Bidireccional xy
vv
x
y
dd
- irrotacional 0 v
- no viscoso, no deformable, 0t
- incompresible 0 v
En este tipo de flujo las funciones de corriente y de potencial están relacionadas. Como se puede observar del análisis de las isolíneas de dichas funciones
dyvdxv yx d y
x
vv
dxy
d
dyvdxv xy d x
y
vv
dxy
d
Lo que indica, además, que las funciones
y son ortogonales.
= constante
= constante
En la figura se describe el flujo inviscido alrededor de un cilindro circular de long-itud infinita, mostrando las líneas de corriente y las de potencial a velocidad constante.
xyx
y
dd
1dd
Fenómenos de Trasporte 91 G. Chacón V.
Flujo en estado estacionario Se considera como flujo en estado estacionario, aquél cuya velocidad no varía con el tiempo, pero si con la posición. Por otro lado, las líneas de trazador son respectivamente coincidentes con las líneas de corriente. Entonces para:
flujo bidimensional xy
vv
x
y
dd
flujo tridimensional zyx vz
vy
vx ddd
Fluido no newtoniano Se define como aquel fluido cuyo comportamiento se desvía de la ley de viscosidad de Newton.
Uno de los modelos propuestos, es el de la potencia
yv
yvm x
n
xxy d
ddd
0
0 > 0 fluido deslizante n < 0 fluido pseudo plástico
n > 0 fluido dilatante
xy
dvx dy
0
newtoniano
Capítulo.3. Naturaleza del flujo… 92 G. Chacón V.
Patrones de las líneas de corriente típicas del flujo de fluidos sobre cuerpos sumergidos. Rouse y Howe, publicado por Wiley 1953.
Fenómenos de Trasporte 93 G. Chacón V.
Capítulo 4
ESTIMACIÓN DE PROPIEDADES La estimación de propiedades se usa cuando no se cuenta con datos experimentales de las mismas. Para escoger un valor de una propiedad se siguen los siguientes criterios, en ese orden de prioridades
- Propiedades experimentales de fuentes confia-bles
- Propiedades experimentales por métodos apro-ximados
- Interpolación a partir de datos experimentales - Modelos generales ajustados a partir de datos
experimentales - Estimadores de propiedades
En las siguientes bibliografías se encuentran estima-dores de propiedades y en los cuadros 21 al 23 del apéndice se presenta un resumen. Reid, R .C.; Prausnitz, J. H. y Sherwood, T. K. The Properties
of Gases and Liquids, 3a. Ed. McGraw-Hill Book Co., New York, (l977).
Perry’s Chemical Engineers Handbook, 7a. y 8a. Ed. Mc
Graw-Hill Book Co., New York, 1998 y 2008. Bird, R.B. et all. Fenómenos de Transporte. Reverté,
Barcelona, 2006. Welty, J. C. et all. Fundamental of Momentum, Heat and Mass
Transfer. 5a. Ed. Wiley, New York, 2008.
Capítulo 4. Estimación de Prop… 94 G. Chacón V.
ESTIMACIÓN DE PROPIEDADES PARA GASES Ejemplo 4.1. Estimación para gases Para el nitrógeno a 300 K y 1 atm., estime su: a) densidad, b) capacidad calorífica, c) viscosidad, d) conductividad térmica y e) difusividad en amoniaco. Compárelos con los valores experimentales:
1,138 2 kg/m3 CP 1,041 2 kJ/kg K 17,86 mg/m s k 26,06 mW/m K DN2:NH3 23,3 mm2/s
Respuesta 4.1
Parámetros
N2 NH3 M 28,013 17,031 kg/kmol 71,4 558,3 K 0,3798 0,2900 nm TC 126,2 K PC 3,39 MPa 0,040
4.1a) Densidad
TRzMPρ
C
C
CC TTPP
TTTTz 2,46,1
172,0422,0139,0083,01
12630039,30101,0
126300040,0172,0
126300422,0040,0139,0083,01 2,46,1z
z 1,0000
Fenómenos de Trasporte 95 G. Chacón V.
K 300K kmol s
m kg5,8314000,1
kmolkg013,28
m s kg 10013251
2
2
25
,
1,138 kg/m3 4.1 a) Diferencia 0,0 % 4.1b) Capacidad calorífica
J 1000 kJ
kmolkg013,282
K kmol J5,83147
27
MRCP
CP 1,039 kJ/kg K 4.1 b) Diferencia -0,2 % 4.1c) Viscosidad
2
21810669,2 TM
Interpolando (ln-ln) el potencial de Lennard Jones, del cuadro 4, con
202,44,71
300
T 9599,0
kgmg 6E1
960,0nm 3798,0
K 300kmol
kg013,288E669,2 2
21
17,7 mg/m s 4.1 c) Diferencia -1,0 %
Capítulo 4. Estimación de Prop… 96 G. Chacón V.
4.1d) Conductividad térmica
1 2
42
/8,328 10
k
T Mk
9599,0 k
1 2
2
kg300 K 28,0131000 mWkmol8,328E 4
W0,3798 nm 0,960k
mW19,68 m K
k
Con 1 k 19,7 mW/m K 4.1 d) Diferencia 24,4 %
Con 2 2 5 53 3 2 3
VCR
k 32,8 mW/m K 4.1 d) Diferencia 25,5 % Nota: El promedio da k 32,8 mW/m K, con una
diferencia se 0,7 % 4.1e) Difusividad másica
DABABAB MP
TD
221
23
kmolkg183,21
031,171013,2812
112
BA
AB MMM
Fenómenos de Trasporte 97 G. Chacón V.
nm 3349,02
2900,03798,02
BAAB
BAAB ; K 67,1993,5584,71 AB
Interpolando (ln-ln) el potencial de Lennard Jones, del cuadro 4, con
503,167,199
300
AB
T 197,1D
4E1183,21
996,0066,310996,0066,3 4
ABM
410856,2
2
2
23
21 mmm 1000
197.13349,0300
183,211013254E856,2
ABD
DAB 23,7 mm2/s 4.1 e) Diferencia 1,7 % Ejemplo 4.2. Estimación de parámetros Para el acetato de etilo gaseoso a 0 C y 1 atm., estime su: a) viscosidad y b) difusividad en aire, como si no se conociesen y . Compárelos con los valores experimentales
Vb 0,106 m3/kmol 6,7 mg/m s DAce:Air 7,12 mm2/s
Capítulo 4. Estimación de Prop… 98 G. Chacón V.
Respuesta 4.2
Parámetros
Acetato de etilo Código A Fórmula C4H8O2
TC 523,2 K PC 3,83 MPa 0,363 Tb 350,3 K
Estimación de los parámetros de Lennard-Jones para el acetato de etilo, usando el punto de ebullición. (lo cual se supone que es mejor que usando las relaciones con el punto crítico).
OésterOHCAiib VVVVVV 1184
3E19,914,717,388,144 bV Vb 0,1061 m3/kmol Diferencia 0,0 %.
nm 559,01061,018,118,1 3131 bA V
K 424K 3,35021,121,1 bT Estimación de los parámetros de Lennard-Jones para el acetato de etilo, usando el punto crítico.
31406,098,10 CCA PT
nm 558,06E83,3
2,523363,0406,098,1031
A
CT 1693,07915,0
K 446K 2,523363.01693,07915,0
Fenómenos de Trasporte 99 G. Chacón V.
4.2 a) Viscosidad
2
21810669,2 TM
2
21
K 273kmol
kg107,888E669,2
26E14,4
4.2 a)
Método Punto ebull.
Punto crítico
Svehla
A 0,559 0,558 0,5205 A 424 446 521,3 TA 0,644 0,612 0,524 1,991 2,044 2,207 , mg/m s 6,7 6,5 6,9 Dif. % 0 -3 3 4.2 b) Difusividad másica
DABABAB MP
TD
221
23
kmolkg8,43
1,291107,8812
112
BA
AB MMM
214 996,010066,3
ABM
DABABD
2
23
8,43101325
2734E18,43
996,0066,3
Capítulo 4. Estimación de Prop… 100 G. Chacón V.
DAB
ABD
26E96,1
2BA
AB
BAAB
Método Punto ebull.
Punto crítico
Svehla
AB 0,465 0,465 0,4458 AB 182,5 187,3 202,4 TAB 1,497 1,458 1,349 D 1,199 1,212 1,253 DAB mm2/s 7,6 7,5 7,9 Dif. % 6 6 11
4.2 b) Ejemplo 4.3. Estimación con un solo valor Estime la viscosidad del metanol (gaseoso) a 240 C: a) a partir de la las relaciones de estimación, b) conociendo un (uno solo) valor dado. A 35 C la viscosidad (como gas) es 0,101 mPa s. Valor experimental
(240 C) 169 mg/m s Respuesta 4.3
Parámetros para metanol
Svehla Tradic. M 32,042 kg/kmol 481,8 507 K 0,3626 0,3585 nm
4.3a) Viscosidad
2
21810669,2 TM
Fenómenos de Trasporte 101 G. Chacón V.
2
21
K 513kmol
kg042,328E669,2
Interpolando (ln-ln) el potencial de Lennard Jones, del cuadro 4.
Método Svehla Tradic. TA 1,065 1,012 1,5382 1,5775 169 169 mg/m s Dif. % 0 0
4.3b) Viscosidad (Conociendo un valor)
T
T
00
0
TT
21
Interpolando (ln-ln) el potencial de Lennard Jones, del cuadro 4.
T0 T T 308,2 513,2 K TA 0,6396 1,065 (Svehla) 1,9984 1,5382
kgmg 6E1
5382,19984,1
K 308K 513
s mkg4E01,1
21
169 mg/m s 4.3 b) Diferencia 0 %
Capítulo 4. Estimación de Prop… 102 G. Chacón V.
Ejemplo 4.4. Estimación con dos valores Estime la conductividad térmica del acetaldehído a: a) 60 C, b) 120 C, conociendo dos valores dados (experimen-tales de referencia), de su conductividad k:
k 40 C 12,60 mW/m K k 80 C 15,87 mW/m K
Valores experimentales k 60 C 14,24 mW/m K k 120 C 19,38 mW/m K
Respuesta 4.4
Partiendo de que mT
T TaTTkk 0
21
00
Con dos puntos 9194,1
353313ln
87,1560,12ln
lnln
21
21
TTkkm
1,9194 71 1 -2.9194
mW12,60 313 K 2,042 10m K
ma k T
a 2,042·10-7 mW/m K-2,9194 4.4a) Conductividad a 60 C
9194,17 K 333E042,2 k k 14,19 mW/m K 4.4 a) Diferencia -0,4 % 4.4b) Conductividad a 120 C
9194,17 K 393E042,2 k k 19,50 mW/m K 4.4 b) Diferencia 0,6 %
Fenómenos de Trasporte 103 G. Chacón V.
Ejemplo 4.5. Extrapolación con dos datos Estime la viscosidad del amoniaco a 400 C, conociendo dos datos (valores dados experimentales o de referen-cia), de su viscosidad :
0 C 90 mg/m s 80 C 13,1 mg/m s
Valore experimental
400 C 25 mg/m s Respuesta 4.5 Partiendo de que
TbTa
TT
T
T0
1
2121
00
Con dos puntos
5,1
1
2
2
1
TTc
112
c
TcTb
5,11
11
TTba
097,1273373
31,19,0 5,1
c , 1,758
1097,1273097,1373
b
2056,0273
2731,758s mg/m 905,1
a
6731,7581
6732056,0 21
25 mg/m s 4.5) Diferencia 0 %
Capítulo 4. Estimación de Prop… 104 G. Chacón V.
ESTIMACIÓN DE PROPIEDADES PARA LÍQUIDOS Ejemplo 4.6. Estimación para líquidos Estime, usando relaciones generalizadas, para el acetato de etilo líquido a 20 C, su: a) densidad b) viscosidad, c) conductividad térmica y d) difusividad en agua a dilución infinita. Valores experimentales
901 kg/m3 458 mg/m s k 0,147 W/m K D0
AB 0,001 mm2/s Respuesta 4.6
Parámetros
acetato de etilo Fórmula C4H8O2
M 88,107 kg/kmol TC 523,2 K PC 3,83 MPa VC 0,286 m3/kmol 0,363 zC 0,252 Tb 350,3 K Vb 0,106 m3/kmol 20 901 kg/m3 20 458 Mg/m s
4.6a) Densidad
CCC
zTT
ρρ ln1ln
72
Fenómenos de Trasporte 105 G. Chacón V.
33 kg/m 308/kmolm 0,286
kg/kmol 88,107
CC V
Mρ
252,0ln5232931
308ln
72
ρ
916 kg/m3 4.6 a) Diferencia 1,7 % 4.6b) Viscosidad
20
b
VT
T
8,3exp
1099,3 7
kgmg 6E1
901107,882933,3508,3exp7E99,3
383 mg/m s 4.6 b) Diferencia -16 % 4.6c) Conductividad térmica
2 3
2 31 2
3 20 11,11
3 20 1
C
b
C
TT
kM T
T
2 3
2 31 2
3 20 1 293 523, 21,1188,108 3 20 1 350,3 523, 2
k
k 0,137 W/m K 4.6 c) Diferencia –6,7 %
Capítulo 4. Estimación de Prop… 106 G. Chacón V.
4.6d) Difusividad másica, a dilución infinita
6,0
21160 10173,1
SbS
SAB V
TMD
2
6,0
210
mμm 6E1
106,0293
3E006,1016,186,216E173,1
ABD
D0
AB 899 μm2/s 4.6 d) Diferencia -10 % Ejemplo 4.7. Estimación con un solo valor Para el n butanol a 40 C obtenga la: a) densidad, b) viscosidad, c) conductividad térmica y d) difusividad en agua a dilución infinita, considerando que se conocen las propiedades a 20 C (solamente).
810 kg/m3 5,14 g/m s k 0,154 W/m K D0
AB 0,000 88 mm2/s Respuesta 4.7
Parámetros
n butanol Fórm. C4H9OH
M 74,123 kg/kmol TC 563,0 K PC 4,42 MPa 0,590 zC 0,259 Tb 390,9 K
Fenómenos de Trasporte 107 G. Chacón V.
Valores experimentales a 40 C
788 kg/m3 1,77 g/m s k 0,147 W/m K D0
AB 0,001 40 mm2/s 4.7a) Densidad
CCC
zTT
TTρρ ln11lnln
72
0
72
0
259,0ln5632931
5633131810lnln
7272
ρ
791 kg/m3 4.7 a) Diferencia 0,4 % 4.7b) Viscosidad
20
b
VTT
8,3exp1099,3 7
Se define
3
7
mkmol6E36,4
810123,747E99,31099,3
20VA
Aplicando la relación a un punto 0 y simplificando 3,8·Tb
kgg 1000
6E36,43E14,56E36,4
313293
0
0
TT
AA
3,27 g/m s 4.7 b) Diferencia 85 %
Capítulo 4. Estimación de Prop… 108 G. Chacón V.
Por otro lado si se define K 14859,3908,38,3 bTB Aplicando la relación a un punto 0 y simplificando 3,99·10-7V20
00
11expTT
B
kgg 1000
2931
31311485exp24,5
3,79 g/m s 4.7 b) Diferencia 114 % 4.7c) Conductividad térmica
2 3
0 2 3
3 20 1
3 20 1
C
b
C
TT
k kT
T
32
32
0,56329312030,5633131203
K mW154,0
k
k 0,148 W/m K 4.7 c) Diferencia 0,6 % 4.7d) Difusividad másica, a dilución infinita
0
00
TD
ConstanteT
D BABBAB
Valores experimentales de la viscosidad del agua, B
B0 20 C 1,0065 g/m s B 40 C 0,6544 g/m s
Fenómenos de Trasporte 109 G. Chacón V.
22
μm 1000mm
15,29315,313
6544,00065,1
smm00088,0
ABD
D0
AB 0,00145 mm2/s 4.7 d) Diferencia 3,6 % Ejemplo 4.8 Electrolito Estime la difusividad másica a dilución infinita en agua, a 24 C para a) el ácido clorhídrico, b) sulfato de amonio. Valor experimental para el HCl en agua
D0AB 0,00280 mm2/s
Respuesta 4.8 4.8 a) Difusividad másica, a dilución infinita para el HCl
00
140
11
11
10931,8
nnTDAB
Parámetros, Reid et all (1975), para el HCl
Fórm. HCl
0 349,80 76,3
2
0
mmm 1000
3,7618,349111112,29714E931,8
ABD
D0
AB 0,00332 mm2/s 4.8a) Diferencia 19 %
Capítulo 4. Estimación de Prop… 110 G. Chacón V.
4.8 b) Difusividad másica, a dilución infinita para el (NH4)2SO4
Parámetros, Reid et all (1975), para el H2SO4 Fórm. (NH4
)2SO4
0 73,40 80,0
mmm 1000
0,8014,73121112,29714E931,80
ABD
D0
AB 0,00104 mm2/s 4.8b) Ejemplo 4.9. Estimación con dos datos Estime, usando dos datos conocidos a sendas tempera-turas, las siguientes propiedades, a una temperatura dada. 4.9 a) Densidad del agua a 15 C, conociendo:
T, C , kg/m3 5 999,9637
25 997,0429 Valor experimental
15 C 999,0977 kg/m3 Forma sencilla
TBATCTBA 2 Suponiendo línea recta
Fenómenos de Trasporte 111 G. Chacón V.
5259637,9990429,997
12
12
TT
B
B 0,14604 kg/m3 C
514604,09637,99911 TBA A 1000,6939 kg/m3
1514604,06939,1000 998,5 kg/m3 4.9a) Diferencia -0,06 % Otra forma
72
1ln
CTTbaρ
TC 374,14 C
72
1
72
2
12
11
lnln
CC TT
TT
b
7272
29,64715.2781
29,64715,2981
9637,999ln0429,997ln
b
b 0,217511
72
11 1ln
CTT
bρa
72
15,37415,2781217511,09637,999ln
a
a 6,722454
Capítulo 4. Estimación de Prop… 112 G. Chacón V.
72
15,37415,2881217511,0722454,6ln
ρ
998,5 kg/m3 4.9a) Diferencia -0,06% 4.9 b) Capacidad calorífica del agua a 15 C, cono-
ciendo:
T, C CP, kJ/kg K 5 4,2022 25 4,1796
Valor experimental
CP 15 C 4,1858 kJ/kg K Con la relación
2ln TDTCBTACP Suponiendo línea recta
TBACP
5252022,41796,4
12
12
TTCCB PP
B 0,00113 kJ/kg K2
500113,02022,411 TBCA P A 4,20785 kJ/kg K
1500113,020785,4 PC CP 4,191 kJ/kg K 4.9b) Diferencia 0,12 %
Fenómenos de Trasporte 113 G. Chacón V.
4.9 c) La viscosidad de la acetona a 30 C, conociendo
T, C , mg/m s 0 389
60 226 Valor experimental
30 C 292 mg/m s Con la relación
TBA exp
2731
3331
389226ln
11
ln
12
1
2
TT
B
B 823,6 K
273
6,823389lnln1
1 TBA
A 19,07 mg/m s
3036,823exp07,19
289 mg/m s 4.9 b) Diferencia -1,2 % 4.9d) Conductividad térmica del etanol a 60 C, cono-
ciendo
T, C k, W/m K 20 0,165 74 0,135
Capítulo 4. Estimación de Prop… 114 G. Chacón V.
Valor experimental
k 60 C 0,142 W/m K Con la relación
TBAk
2074165,0135,0
12
12
TTkk
B
B -5,556 10-4 W/m K2
204E56,5165,011 TBkA A 0,1761 W/m K
604E556,51761,0 k k 0,143 W/m K 4.9 d) Diferencia 0,5 % 4.9e) La difusividad másica, a dilución infinita, del ácido
acético en acetona a 25 C, conociendo.
T, C DAB0, mm2/s
15 0,00292 40 0,00404
Valor experimental
k 25 C 0,00331 mm2/s Con la relación
mAB TAD 0
12
10
20
lnlnlnln
TTDD
m ABAB
288ln313ln00292,0ln00404,0ln
m 3,9021
Fenómenos de Trasporte 115 G. Chacón V.
9021,311
0 28800292,0 mAB TDA
A 7,373E-13
9021,31
0 29813E373,7 ABD D0
AB 0,00334 mm2/s 4.9 e) Diferencia 0,7 % 4.9f) La presión de vapor o de saturación del metil
estireno a 121,8 C, conociendo
T, C Psat, kPa 102,2 13,332 143,0 53,329
Valor experimental
Psat 121,8 C 26,664 kPa Con la relación
TBAPsat ln
4,3751
2,4161
332,13329,53ln
11
ln
12
1
2
TT
PP
B sat
sat
B 5307,4 K
4,3754,5307332,13lnln
11
TBPA sat
A 16,7300 lnPa
4,3944,53077300,16expsatP
Capítulo 4. Estimación de Prop… 116 G. Chacón V.
Psat 26,89 kPa 4.9 f) Diferencia 0,9 % 4.9g) La tensión superficial del benzoato de etilo a 40
C, conociendo
T, C , mN/m 20 35,04 60 30,81
Valor experimental
40 C 32,92 mN/m Con la relación
nn
C
n
C BTA
TT
TT
0
0
1
1
Con n 1
TBA
206004,3581,30
12
12
TT
B
B 0,105 75 mN/m K
2010575,004,3511 TBA A 37,155 mN/m
4010575,0155,37 32,93 mN/m 4.9 g) Diferencia 0,02 %
Fenómenos de Trasporte 117 G. Chacón V.
Capítulo 5
BALANCES GLOBALES o MACROSCÓPICOS Mediante casos se propone ilustrar y ejercitar los conocimientos obtenidos con la teoría de las leyes de conservación. Se presentan los conocimientos comple-mentarios y necesarios, para su aplicación. Se realiza el análisis de procesos, en equipos típicos de la Ingeniería, de los cuales se espera, que al final de esta actividad, el participante conozca la descripción y funcio-namiento, desde el punto de vista de los Fenómenos de transporte, de los mismos. Debido a que el balance de masa, es objeto de estudio en los cursos previos a este, y que son requisitos, y que es indispensable para el balance de cantidad de movi-miento, energía y la masa de una sustancia en una mezcla, se practica al mismo tiempo que éstos y no por aparte. Aunque un entrenamiento previo en balance termodi-námico y análisis diferencial de procesos es muy útil para facilitar el desarrollo de los problemas, no es un requisito, si el estudiante está consciente de la necesidad de dominar los conceptos y técnicas relacionados con estos aspectos.
Capítulo 5. Balances globales 118 G. Chacón V.
5.1 BALANCE DE MASA TOTAL Ejemplo 5.1. Depósito horizontal Para un depósito cilíndrico colocado horizontalmente, conteniendo un aceite mineral, determine la relación entre la altura del líquido (a partir del fondo) y el tiempo que resta para vaciarse, por completo, por medio de una bomba que dosifica a razón constante, desde un orifico practicado en el fondo. Datos conocidos: D : diámetro del tanque 1,20 m L : longitud del tanque 10,0 m V : flujo extraído por la bomba 50 L/h 1,39 10-5 m3/s g.e : densidad relativa o gravedad específica 0,8674/4C Respuesta 5.1 Diagrama del volumen de control
Relaciones geométricas
cos22DDh
Dh
21cos
21
2
244sen
Dh
Dh
hV
D
D2
Fenómenos de Trasporte 119 G. Chacón V.
cossen4
2
LDV
Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del tanque - Densidad constante - Curvatura, de las caras, de las bases despreciable;
bases planas - El flujo de salida no depende de la altura del líquido
en el tanque - Geometría perfecta. En términos del volumen (del volumen de control) y del flujo volumétrico d
dV
Vt
Considerando la densidad constante V
tV
dd
Integrando
teCtVV Al inicio, el recipiente está lleno, Vt 0 (·D24) L,
tVLDV
4
2
Despejando el tiempo
Capítulo 5. Balances globales 120 G. Chacón V.
VVL
VDt
4
2
Sea tr el tiempo que falta para que, el tanque, quede vacío
VVttt
VVVr
0
cossen4
2
V
LDtr
En términos de los valores del diámetro y la altura
Dh
VLDtr 21arccos
4
2
Dh
Dh
Dh 1212
Normalizando el resultado usando variables adimensio-les
rtLD
V
2
4
Dh
121221arccos
5.1 510592,2rt 6,3V En forma de cuadro
h/D h tr tr m h d:h:min
1,00 1,20 226,2 9:10:120,95 1,14 222,0 9:05:580,90 1,08 214,4 8:22:250,85 1,02 204,9 8:12:550,80 0,96 194,0 8:01:59
Fenómenos de Trasporte 121 G. Chacón V.
0,70 0,84 169,1 7:01:070,60 0,72 141,7 5:21:420,50 0,60 113,1 4:17:060,40 0,48 84,5 3:12:290,30 0,36 57,1 2:09:04
0,20 0,24 32,2 1:08:120,15 0,18 21,3 0:21:170,10 0,12 11,8 0:11:460,05 0,06 4,2 0:04:140,00 0,00 0,0 0:00:00
En forma gráfica
Ejemplo 5.2. Desalojo de un tanque por gravedad Para un flujo (máximo) de un fluido de 1 L/s determi-ne la altura en el estado estacionario, que alcanza el líquido almacenado en un tanque, vertical, de reserva (o de calma) de 2,5 m de diámetro, si se desaloja por gravedad a través de un orificio de 1” Céd 40. Evalúe el tiempo que dura en alcanzar dicha altura si origi-nalmente está vacío.
D
L
Capítulo 5. Balances globales 122 G. Chacón V.
Nota: La velocidad de paso de un fluido a través de un orificio está regida por la ecuación de Torricelli
hgvs 2 Donde: h: diferencia entre las alturas del nivel del líquido
en el recipiente y del orificio vs: velocidad lineal, a la salida : coeficiente de pérdidas por fricción, 0,38 – 0,50 g: aceleración de la gravedad.
Datos conocidos: D : diámetro del tanque 2,5 m h : altura del líquido en el tanque ¿ ? V : flujo de entrada al tanque 0,001 m3/s g.e : densidad relativa o gravedad específica Ds : diámetro interno de la salida del tanque 0,0266 m Respuesta 5.2 Relaciones geométricas 2
4 ss DA hDV 24
Ecuación de Torricelli hgvs 2 Diagrama del volumen de control
h
D
vs Ds
V
Fenómenos de Trasporte 123 G. Chacón V.
Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del tanque - Densidad constante - Curvatura de la base despreciable, plana - La velocidad del fluido a la salida depende de la
altura del líquido con la relación dada - Geometría perfecta. En términos del volumen de fluido y de los flujos
ss AvVtV
dd Considerando la densidad constante y las relaciones para el área y de Torricelli.
hgDVt
hDs
24d
4d
2
2
Arreglando hg
DDV
Dth s
24d
d2
2
2
Sea gD
Vhs
24
2
g
DDa s 22
2
hahath
dd
Resolviendo, con 0h a 0t
th
ahh
hh
21ln
Capítulo 5. Balances globales 124 G. Chacón V.
En el estado estacionario t hh
gD
Vhs
24
2
Sustituyendo valores
22
3
m/s 80665,938,02
1m 0266,0
/sm 001,04
h
21m 6591,0h La altura para un flujo de 1 L/s es h 0,5 m 5.2 Despejando el tiempo
hh
hh
ah
t 1ln2
22
m/s 80665,938,025,2
0266,0
a
/sm 10 091,3 21-4a Para el estado estacionario (0,99h)
s 1000
ks99,01ln99,0s m
m4E091,343,099,02
21
21
EEt
El tiempo para alcanzar el estado estacionario es tEE 18,3 ks tEE 5 h : 5 min 5.2
Fenómenos de Trasporte 125 G. Chacón V.
Ejemplo 5.3. Perfiles de velocidad En un experimento se mide la velocidad del líquido, que fluye a través de un conducto circular en estado estacio-nario; la medición se efectuó en el centro del conducto, a la entrada y salida, con un tubo de Pitot. Se considera que a la entrada el perfil de velocidad es parabólico (flujo en régimen laminar) y a la salida es del tipo de la poten-cia de Prandtl (flujo en régimen turbulento). Determine el parámetro del modelo de la potencia, n. Datos conocidos:
Modelo parabólico Modelo de la potencia
2
1Rrvv máx
n
máx Wwuu
1
1
R : radio a la entrada del conducto 440 51,1 mm vmáx: velocidad en el centro del conducto a la entrada 300,5 mm/s W: radio a la salida del conducto ¾40 10,5 mm umáx: velocidad en el centro del conducto a la salida 0,440,005 m/s Respuesta 5.3 Diagrama del volumen de control
R
r w
u W
v
Capítulo 5. Balances globales 126 G. Chacón V.
Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del conducto - Flujo incompresible - Flujo en estado estacionario - Perfiles de velocidad completamente desarrollados - Desviaciones, “errores”, por las mediciones, las
debidas al proceso y del modelo despreciables - Geometría perfecta. Como la velocidad es variable con el radio, a la entrada
R
máxee rrRrvAv
0
2
d21
Rr
rmáxee R
rrvAv
0
2
42
422
máxee vRAv 2
2
A la salida
1
01 2 d
nW
s s máxwv A u w wW
1 12 1
2 2
0
1 12
1 1 1 12 1
w W
n n
s s máx
w
w wW Wv A u
n W n W
Fenómenos de Trasporte 127 G. Chacón V.
2
222
1 3 2s s máxnv A W un n
Sustituyendo en el balance de masa, con constante
d1 0d
VCe e s s
m v A v At
Con lo que
2
222
2312
20
nnnuWvR máxmáx
Despejando para n
2
2 42131RW
vu
nn máx
máx
Resolviendo
224931
n
Sustituyendo valores
477,2mm 1,15mm 5,10
mm/s 30mm/s 4404
2
1514,02
477,224931
n
Con lo que el factor del modelo de la potencia es n 7 (6,606) 5.3
Capítulo 5. Balances globales 128 G. Chacón V.
5.2 BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Ejemplo 5.4. Sistema Fijo Un conducto, cilíndrico inclinado con una reducción, que se muestra en la figura, transporta un fluido. Evalúe la fuerza que ejerce el líquido sobre el conducto. Datos conocidos: V : flujo volumétrico, gasto o carga 2,5 L/s g.e: gravedad especifica o densidad relativa del fluido 0,8825/4C A la entrada (1) del conducto: D1: diámetro interno 54 mm v1: velocidad del fluido ¿? P1: presión absoluta 500 kPaabs T1: temperatura 26 C L1: longitud del conducto 2,5 m 1: ángulo del conducto 53º 1: coeficiente de fricción 0,0042 A la salida (2) del conducto: D2: diámetro interno 19 mm v: velocidad del fluido ¿? m/s P2: presión manométrica 310 kPaman T2: temperatura ¿? L2: longitud del conducto 6 m 2: ángulo del conducto 15º 2: coeficiente de fricción 0,0028 PAtm: presión atmosférica 93 kPa Pérdidas de esfuerzo en la contracción
ss
eC v
vvVB
1,2
102,0
Pérdidas de esfuerzo por la fricción 2vAC
Fenómenos de Trasporte 129 G. Chacón V.
Diagrama del volumen de control
Respuesta 5.4 Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de cantidad de movimiento
entradaeeeeee
VC APAvvtvm
d
d
salida
ssssss APAvv
EXTERNASVCAC FgmA
v1 P1
v2 P2
D1
1
2
L1
L2 D2
w v
y
x
P Pw
Fy
Fx
w
v P
Pw
m2g m1g
Capítulo 5. Balances globales 130 G. Chacón V.
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del sistema
de tuberías - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Flujo de masa en estado estacionario
0d
d
tmVC
- Volumen de control fijo 0VCv - Pérdidas de fuerza por fricción y contracción, las
indicadas - Geometría perfecta - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es
despreciable. vv El balance de masa se expresa
2221110 AvAv El balance de cantidad de movimiento x: xxxx APAPvAvvAv 2211222211110 1 1 2 2AC x AC x x VC x Cx xA A m g B F y: yyyy APAPvAvvAv 2211222211110
1 1 2 2AC y AC y VC y Cy yA A m g B F Sustituyendo y arreglando, con la densidad constante
2211 AvAvV
2211 coscos vvVFx
222111 coscos APAP
222
22112
11 coscos ACAC AvAv
Fenómenos de Trasporte 131 G. Chacón V.
2
1,2
2
1102,0 vvvV
2211 sensen vvVFy
1 1 1 2 2 2sen senP A P A
222
22112
11 sensen ACAC AvAv gLALA 2211 Sustituyendo valores, Velocidad
2
3
211
1 m 0,0544
L 0001m 1
sL 5,24
D
VAVv
m/s 09,11 v
23
222
2 m 0,0194
L 0001m 1
sL 5,24
D
VAVv
m/s 82,82 v
Nota SI: Para dar el resultado, hay que seguir las normas SI de unidades, que es diferente de la costumbre seguida para hacer los cálculos y análisis de unidades (dimensiones). Cantidad de movimiento
L 0001m 1
sL 5,2
mkg 972,99988,0
3
3xF
15cos
s m82,853cos
s m 09,1
53cosm 0,054kPa 93500 2
Capítulo 5. Balances globales 132 G. Chacón V.
15cosm 0,019kPa 103 2
kPa 1N/m 1000
4
2
2
3 sm 09,1
mkg972,99988,00042,0
53cosm 2,5m 0,054
2
3 sm 82,8
mkg972,99988,00028,0
15cosm 6,0m 0,019
L 0001m 1
sL 5,2
mkg 972,99988,002,0
3
3
sm82,8
sm82,8
sm09,1
1
1,2
294,026,66124,11,47629,17 xF
N 388xF
Nota: obsérvese los valores relativos de cada término, que dependen de la velocidad y el área.
L 0001m 1
sL 5,2
mkg 972,99988,0
3
3yF
15sen
s m82,853sen
s m 09,1
53senm 0,054kPa 93500 2
Fenómenos de Trasporte 133 G. Chacón V.
15senm 0,019kPa 103 2
kPa 1N/m 1000
4
2
2
3 sm 09,1
mkg972,99988,00042,0
53senm 2,5m 0,054
2
3 sm 82,8
mkg972,99988,00028,0
15senm 6,0m 0,019
m 2,5m 0,054
4mkg 972,99988,0 2
3
22 m/s 9,80665m 6,0m 0,019
09,6475,17492,12,767938,6 yF
N 726yF La fuerza que ejerce el líquido sobre el sistema es ˆ ˆ388 726 Nx yF e e 5.4 Ejemplo 5.5. Sistema Fijo Para un separador al que entra un líquido y tiene dos salidas, una de ellas vapor (gas), como se muestra en la figura, determine la fuerza necesaria para mantenerlo fijo. Considere que las variaciones de la presión dentro del sistema son despreciables.
Capítulo 5. Balances globales 134 G. Chacón V.
Datos conocidos:
VQ : flujo volumétrico, gasto o carga 0,5 m3/s VL: volumen de líquido dentro del volumen de control 5 m3
PAtm: presión atmosférica 87 kPa A la entrada (1) del sistema: D1: diámetro 635 mm v1: velocidad del fluido ¿? P1: presión 100 kPaabs T1: temperatura 18 C 1: ángulo del conducto 0 º 1: densidad del fluido 1,123 Mg/m3 A la salida (2) del sistema, líquido concentrado: D2: diámetro 254 mm v2: velocidad del fluido 4,5 m/s P2: presión de vacío 5,31 kPaman T2: temperatura 133 C 2: ángulo del conducto 30 º 1: densidad del fluido 1,327 Mg/m3 A la salida (3) del sistema, vapor: D3: diámetro 1,829 m v3: velocidad del fluido ¿? P3: presión de vacío 5,28 kPaman T3: temperatura 132 C 3: ángulo del conducto 45 º 3: densidad del fluido 1,598 kg/m3 Respuesta 5.5
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de cantidad de movimiento
entradaeeeeee
VC APAvvtvm
d
d
Fenómenos de Trasporte 135 G. Chacón V.
salida
ssssss APAvv
EXTERNASVCAC FgmA
Diagrama del volumen de control
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el fluido dentro del recipiente
evaporador - Flujo de masa en estado estacionario
- 0d
d
tmVC
- Volumen de control fijo 0VCv - Pérdidas de fuerza por fricción despreciables 0ˆ - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es
despreciable vv - Efectos de presión interna, cabeza hidráulica, des-
preciables - Geometría perfecta.
v1 D1 P1 1
v2 D2 P2 2
v3 D3 P3 3
1
3
2
VL
Capítulo 5. Balances globales 136 G. Chacón V.
El balance de masa se expresa
3332221110 AvAvAv
321 mmm El balance de fuerza cantidad de movimiento en x xx APvAv 1111110 xx APvAv 222222 xxx FAPvAv 333233
333222 coscos vmvmFx
22211 cosAPvm 11333 cos APAP El balance de fuerza cantidad de movimiento en y yy APvAv 1111110
yy APvAv 222222
yVCyy FgmAPvAv 333233
333222 sensen vmvmFy
gVAPAP L 2333222 sensen Sustituyendo valores A la entrada (1)
sQAvm
3
311111m 5,0
mkg1123
kg/s 5621 m
4m 0,6354 2211 DA
21 m 0,3167A
2
3
11 m 3167,0
1sm 5,0
AQv
Fenómenos de Trasporte 137 G. Chacón V.
m/s 58,11 v A la salida (2)
m/s 5,42 v
4m 0,2544 2222 DA
22 m 0507,0A
2
32222 m 0507,0m 5,4m
kg 1327 s
Avm
kg/s 3032 m A la salida (3)
ssmmm kg 303 kg 562 213
kg/s 592 3 m
4m 1,8294 2233 DA
23 m 6273,2A
2
3
33
33 m 6273,2
1g 598,1
ms
kg 259
A
mv
m/s 7,613 v Fuerza cantidad de movimiento
45cos
sm 7,61
skg 592 30cos
sm 5,4
skg 033
xF
2m 30cos0507,0Pa )5310(s
m 58,1s
kg 625
2m 45cos62732Pa )5280( ,
22
m/s kg 1000kN m 3167,0Pa 13000
Capítulo 5. Balances globales 138 G. Chacón V.
kN 6,2xF
45sen
sm 7,61
skg 59230sen
sm 5,4
skg 033
yF
Pa) 5280( m 30sen0507,0Pa) 5310( 2
2
33
2
sm 80665,9m 5
mkg 7213m 45sen62732,
2m/s kg 1000kN
kN 0,66yF
La fuerza necesaria para mantener el separador fijo es kN ˆ0,66 ˆ6,2 yx eeF 5.5 Ejemplo 5.6. Álabe fijo Un carrito en forma de álabe, recibe un chorro de aceite, desde una tobera estacionaria horizontal. Evalúe el ángulo de salida del flujo del fluido, del álabe, para que comience a moverse. Datos conocidos: V : flujo volumétrico, gasto o carga g.e: gravedad especifica o densidad relativa del fluido 0,79520/4 C v: velocidad del fluido a la salida de la tobera 32 m/s A: área de salida de la tobera que suministra el fluido al álabe 0,023 m2 : ángulo de salida del fluido, del álabe ¿? : coeficiente de fricción estático 0,15 MC: masa del carrito 85 kg PAtm: presión atmosférica 89 kPa
Fenómenos de Trasporte 139 G. Chacón V.
Diagrama del volumen de control
Respuesta 5.6 Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de cantidad de movimiento
dd
VCe e e e e e
entrada
mvv v A P A
t
s s s s s ssalida
v v A P A
AC VC EXTERNASA m g F
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del álabe - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Volumen de control fijo 0VCv
Ry
vC
1
2 v A P
x F WC
v1 A1 P1
v2 A2 P2
y
Capítulo 5. Balances globales 140 G. Chacón V.
- Flujo de masa en estado estacionario
0d
d
tmVC
- Geometría perfecta - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es
despreciable. vv - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP - Efecto de la presión, cabeza hidrostática interna,
despreciable 0 se zzg
y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables 0AC
- La fuerza de fricción entre el carrito y la placa, se representa por
xy FRF - La masa del fluido en el álabe es despreciable CCVC MMm - El movimiento sobre la placa es horizontal 0xg gg y - La reacción del piso es yCy FgMR - Los efectos de entrada y salida son despreciables. Nota: el signo , en todos estos casos, es una aproximación, aceptable para los cálculos de ingeniería; especialmente, en diseño, simulación, predicción y proyección de procesos. El balance de masa se expresa
2221110 AvAv
222111 AvAvAv Si vvv 21 entonces AAA 21
Fenómenos de Trasporte 141 G. Chacón V.
El balance de fuerza cantidad de movimiento en x
xxx vAvAPvAv 22221111110 xx FAP 22
1122 coscos vAvvAvFx
yx RAvF 1cos2 El balance de fuerza cantidad de movimiento en y yyy vAvAPvAv 22221111110
yyVCy FgmAP 22
sen2 AvFy Considerando que
sen2 AvgMFWR CyCy Sustituyendo este resultado en el balance de fuerzas en x y arreglando
01sencos2 gMAv C Arreglando para resolver para
AvgM C
21sencos
Sustituyendo valores
kg 85kg 998795,0
m15,01sen15,0cos3
22
2
m 023,01m 9,81
m 32s
s
sen15,099331,0cos
Resolviendo para 0º 90º e iniciando con 45º, se obtiene el ángulo de salida del flujo del fluido, del álabe, para que comience a moverse es º3,19 5.6
Capítulo 5. Balances globales 142 G. Chacón V.
Ejemplo 5.7. Álabe en reposo Un recipiente se encuentra fijo en un carro, el nivel del agua en él, se mantiene constante, mediante una tubería vertical. El agua sale del tanque a través de una tobera y el chorro, lo recibe un álabe, también montado en el carro. Determine a) la tensión en el cable que mantiene el carro en reposo y b) la fuerza que el álabe ejerce sobre el carro. Datos conocidos: v: velocidad del fluido a la salida del tanque 10 m/s A: área de salida de la tobera que suministra el fluido al álabe 600 mm2 : ángulo de salida del fluido, del álabe 60 º PAtm: presión atmosférica 95 kPa Diagrama del volumen de control
Ry
v A P
W
v1 A1 P1
x
y T
Volumen de control a) Volumen de control b)
V0 A0 P0
1
2
v2 A2 P2
Fenómenos de Trasporte 143 G. Chacón V.
Respuesta 5.7 Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de cantidad de movimiento
dd
VCe e e e e e
entrada
mvv v A P A
t
s s s s s ssalida
v v A P A
AC VC EXTERNASA m g F
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Flujo de masa en estado estacionario
0d
d
tmVC
- Volumen de control fijo 0VCv - Geometría perfecta - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es
despreciable vv - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP - Efecto de la presión, cabeza hidrostática interna,
despreciable 0 se zzg
y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables
0AC
Capítulo 5. Balances globales 144 G. Chacón V.
- La masa del fluido en el álabe es despreciable 0VCm - El movimiento sobre el piso es horizontal 0xg gg y - Los efectos de entrada y salida son despreciables. Respuesta 5.7 a) - Volumen de control: el líquido dentro del tanque y
el álabe. El balance de masa se expresa
2220000 AvAv 222000 AvAvAv El balance de fuerza cantidad de movimiento en x
xxxxx FAPvAvAPvAv 2222220000000
22 cos vAvFx 2 cosxF v A T Sustituyendo valores
º 60cosm 4E6sm 10
mkg 998 2
2
3
T
La tensión en el cable, que mantiene el carro en reposo, es N 30T 5.7 a)
Fenómenos de Trasporte 145 G. Chacón V.
Respuesta 5.7 b) - Volumen de control: el líquido dentro del álabe. El balance de masa se expresa
2221110 AvAv 222111 AvAvAv El balance de fuerza cantidad de movimiento en x xx APvAv 1111110 xxx FAPvAv 222222
1122 coscos vAvvAvFx 2 cos 1x xF v A R Sustituyendo valores
º 60cos1m 4E6sm 10
mkg 998 2
2
3
xF
N 30xF El balance de fuerza cantidad de movimiento en y yy APvAv 1111110
yyVCyy FgmAPvAv 222222 yy RAvF sen2 Sustituyendo valores
º 60senm 4E6sm 10
mkg 998 2
2
3
yF
N 52yF La fuerza que el álabe ejerce sobre el carro es ˆ ˆ30 52 Nx yF e e
5.7 b)
Capítulo 5. Balances globales 146 G. Chacón V.
Ejemplo 5.8. Sistema de velocidad constante Sobre un álabe, que forma parte de una máquina hidráu-lica, incide un chorro en dirección horizontal y tangente a su punto inferior, que proviene de una boquilla. El álabe se mueve con una velocidad constante en dirección horizontal. Evalúe la velocidad del álabe que maximiza la potencia del mismo. Datos conocidos: v: velocidad del fluido a la salida de la boquilla 27 m/s D: diámetro de la salida de la boquilla 52 mm : ángulo de salida del fluido, del álabe 153 º PAtm: presión atmosférica 89 kPa U: velocidad del álabe ¿? m/s FR: resistencia del mecanismo al movimiento
91,0
584
U
FR N
Diagrama del volumen de control
1
v A P
FRR v1 A1 P1
v2 A2 P2
y
x
2
U
Fenómenos de Trasporte 147 G. Chacón V.
Respuesta 5.8 Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de cantidad de movimiento
dd
VCe e e e e e
entrada
mvv v A P A
t
s s s s s ssalida
v v A P A
AC VC EXTERNASA m g F
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del álabe - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Flujo de masa en estado estacionario
0d
d
tmVC
- Volumen de control inercial 0VCv Uvve
- Pérdidas de fuerza por fricción y otros se repre-sentan por FR
- Geometría perfecta - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP - Efecto de la presión, cabeza hidrostática interna,
despreciable 0 se zzg
y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables
0AC
Capítulo 5. Balances globales 148 G. Chacón V.
con lo que vvv se - La masa del fluido en el álabe es despreciable 0VCm - El movimiento es horizontal 0xg gg y - Los efectos de entrada y salida son despreciables. El balance de masa se expresa
2221110 AvAv 222111 AvAvAv Por el concepto de volumen de control inercial
Uvvv 21 El balance de fuerza cantidad de movimiento en x
xx APvAv 1111110 Rxxx FFAPvAv 222222
UvAUvFx
91,0
584cos
U
UvAUv
91,0
5841cos2
UAUvFx
Potencia del álabe
UFW x El valor de la velocidad del álabe que da el máximo de potencia, se obtiene con
0
UF
UFUW x
x
Fenómenos de Trasporte 149 G. Chacón V.
Sustituyendo las respectivas variables
91,0
5841cos0 2
UAUv
291,0
5841cos12
U
UAUvU
Arreglando
391,0cos1391,0584
3 2
vUUvA
vU
Sustituyendo valores
º 135cos11
m 052,0mkg9983
smN 91,0584
3sm27
23
U
2
2
sm91,0
sm27
1
UU
291,02778,449
UU
U , m/s
Resolviendo, con el valor de prueba inicial de 9 m/s, el valor de la velocidad del álabe que maximiza su poten-cia es m/s 0,9U 5.8 Nota: Uv 3
máxima Potencia
Capítulo 5. Balances globales 150 G. Chacón V.
Ejemplo 5.9. Álabe con aceleración constante Un álabe se desplaza movido por un flujo de agua con velocidad constante; que incide horizontalmente, en la parte inferior del álabe y sale por la parte superior desviado un ángulo dado. El área de la boquilla de suministro es variable, con el propósito de mantener el sistema con aceleración constante, al inicio está comple-tamente abierta. Obtenga el valor del área con relación al tiempo y el tiempo requerido, desde el inicio, hasta que la boquilla quede cerrada; considerando las fricciones entre los diferentes materiales del sistema y las fuerzas reactivas insignificantes. Datos conocidos: v : velocidad del fluido a la salida de la tobera ¿? A A(t): área de salida de la boguilla que suministra el fluido al álabe ¿? A0 área mayor de la salida de la boguilla 0,001 m2 : ángulo de salida del fluido, del álabe 120 º ac : aceleración del álabe 2,5 m/s2 mc : masa del álabe 5 kg PAtm: presión atmosférica 85 kPa Respuesta 5.9 Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de cantidad de movimiento
dd
VCe e e e e e
entrada
mvv v A P A
t
s s s s s ssalida
v v A P A
AC VC EXTERNASA m g F
Fenómenos de Trasporte 151 G. Chacón V.
Diagrama del volumen de control
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del álabe - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Flujo de masa en estado estacionario
d
0d
VCmt
- Volumen de control inercial 0VCv ce vvv
- Pérdidas de fuerza por fricción y otros se repre-
sentan por FR - Geometría perfecta - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP - Efecto de la presión, cabeza hidrostática interna,
despreciable 0 se zzg
y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables
0AC con lo que vvv se
vc
1
v A P
ac v1 A1 P1
v2 A2 P2
y
x
2
Capítulo 5. Balances globales 152 G. Chacón V.
- La masa del fluido en el álabe es despreciable VCcc mmm - El movimiento es horizontal 0xg ggy - La aceleración del volumen de control es constante Constante ccR amFF - Las fuerzas resistivas y de fricción, despreciables cc amF tav cc - Los efectos de entrada y salida son despreciables. El flujo de masa que sale de la boquilla es constante (estado estacionario)
000 AvAv
00 A
vv
A
El balance de masa es
2221110 AvAv 222111 AvAv Por el concepto de volumen de control inercial
cvvvv 21 El balance de fuerza cantidad de movimiento en x
xxx vAvAPvAv 22221111110 xx FAP 22
cosccccx vvAvvvvAvvF cc am
cos12 Avvam ccc Valor de la velocidad inicial a 0t 0vv 0cv
Fenómenos de Trasporte 153 G. Chacón V.
cos100
Aamv cc
Despejando v, con el balance de cantidad de movimiento y el área, A.
ccc amvAvvv
cos1002
Con el valor de la velocidad inicial, v0 y la velocidad del álabe, vc
vvvv
Aamvv cc
c
000
2
cos1
vvtav c 0
2 Queda que
02 20
2 tavvtav cc Resolviendo
41
21
000
0
vta
vta
vv
AA cc 5.9 a)
Nota: Sólo el signo positivo tiene sentido físico. El valor de la velocidad inicial es
º 120cos1m 001,0
mkg998
sm 5,2kg 5 2
320v
m/s 9,20 v El tiempo que dura en cerrarse la válvula de entrada
A 0, t Considerando un 1 % de aproximación, con t T , para
001,0 AA
Capítulo 5. Balances globales 154 G. Chacón V.
41
sm9,2
sm5,2
21
sm9,2
sm5,2
10022
0TT
AA
010025,0865,05,0865,0 5,0 TT Resolviendo s 44:min 1s 1040
0
01,0
AA
AAtT 5.9 b)
Ejemplo 5.10. Sistema con aceleración constante y
masa variable Un carro cisterna abierto, se desplaza sobre una pista horizontal, con resistencia despreciable. El carro se impulsa con aceleración constante desde el reposo, mediante un chorro de líquido. El fluido incide en el recipiente desde un orificio de área A con velocidad V, constante, formando un ángulo con la horizontal. El tanque (sin líquido) tiene una masa de M0. Obtenga una expresión general para la razón de la velocidad del carro, U, con referencia a la del chorro, como función del tiempo. Datos conocidos: v V velocidad del fluido a la entrada del tanque A : área de salida de la tobera que suministra el fluido al tanque : ángulo de salida del fluido : densidad del fluido M0 : masa del tanque vacío PAtm: presión atmosférica
Fenómenos de Trasporte 155 G. Chacón V.
Variables intermedias aC: aceleración del carro M: masa del sistema carro fluido Variable incógnita vC U U(t): velocidad del carro Diagrama del volumen de control
Respuesta 5.10 Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de cantidad de movimiento
dd
VCe e e e e e
entrada
mvv v A P A
t
s s s s s ssalida
v v A P A
AC VC EXTERNASA m g F
x
y
Fx
vc
v A P M
Capítulo 5. Balances globales 156 G. Chacón V.
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del tanque - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Flujo de masa a la entrada uniforme (constante) Constantev V - Volumen de control inercial 0VCv UVve - Geometría perfecta - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP - Efecto de la presión, cabeza hidrostática interna,
despreciable 0 se zzg
y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables
0AC - El movimiento sobre el piso es horizontal 0xg gg y - Las fuerzas de fricción entre el carro y la pista son despreciables 0F - Los efectos de entrada son despreciables. - La aceleración del carro es constante Constante cR aMFF - Las fuerzas resistivas y de fricción, despreciables caMF El balance de masa se expresa
111dd AvAv
tM
ee
UVAt
M
dd
Fenómenos de Trasporte 157 G. Chacón V.
El balance de fuerza cantidad de movimiento en x
xxxx FAPvAvAP 221111110
ceeeex aMvAvF cos
cosUVAUVaM c Sustituyendo, con la definición de aceleración del carro
cosdd 2UVA
tUMaM c
Sustituyendo el balance de masa
cosd
ddd
tMUV
tUM
Simplificando
MUVUM dcosd Arreglando y separando variables
MM
UVU d
cosd
Integrando
1lnlnlncos
1 CMUV
Con la condición inicial, a t 0, U 0 y M M0, se evalúa la constante C1, y se obtiene
cos
0
UVV
MM
Sustituyendo la masa, M, en la ecuación del balance de cantidad de movimiento
Capítulo 5. Balances globales 158 G. Chacón V.
cosdd 2
cos
0 UVAt
UUV
VMaM c
Separando variables
t
VMA
UVU dcosd
cos0
cos2
Integrando
2cos0
cos1cos1
cos11 Ct
VMA
UV
Con la condición inicial, a t 0, U 0 se evalúa la constante C2, resultando
tVM
AVUV
cos
0cos1cos1
cos11cos11
Despejando para UV
cos1
1
0
cos1cos11
t
MVA
VU
5.10
Nota: Con el valor del ángulo 0 se obtiene un máximo para la velocidad U.
21
0
211
t
MVA
VU
Fenómenos de Trasporte 159 G. Chacón V.
Ejemplo 5.11. Flujo externo sobre un cuerpo esférico Se desea obtener la fuerza de arrastre que ejerce el aire sobre un cuerpo esférico, de diámetro D, expresada como un coeficiente de arrastre CD,
AvFC D
D
FD: fuerza de arrastre sobre el cuerpo v: velocidad, del fluido, característica o promedio A: área proyectada por el cuerpo : densidad del fluido
Considere, como condiciones del modelo, para interpre-tar los datos experimentales, que el flujo entra al túnel con un perfil de velocidad uniforme y sale con uno parabólico (sinusoidal), con amplitud a k·D,
aruu
2senmax
ar 0
vvu ra Para dos modelos: a) que la velocidad máxima del fluido a la salida es igual que la velocidad promedio con una caída de presión despreciable y b) que existe una caída de presión, entre la entrada y la salida, de tal forma que la velocidad máxima a la salida es diferente de la velocidad promedio; ambos casos se consideran como procesos isotérmicos. a) vvuu max 0P b) vuu max LhP Datos observados (conocidos): v1: velocidad del fluido a la entrada del túnel m/s 5,421 vvv k: coeficiente de amplitud de la velocidad a la salida 3 hL: diferencia de presión entre la entrada y la salida 42 mmH2O
Capítulo 5. Balances globales 160 G. Chacón V.
D: diámetro de la esfera 25 mm T: Temperatura del sistema 25 C Diagrama del volumen de control
Respuesta 5.11 Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de cantidad de movimiento
dd
VCe e e e e e
entrada
mvv v A P A
t
s s s s s ssalida
v v A P A
AC VC EXTERNASA m g F
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el gas dentro del conducto - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se
y
x
v1 v2u
r
a
v3
v4
D
Fenómenos de Trasporte 161 G. Chacón V.
- Flujo de masa en estado estacionario
0d
d
tmVC
- Volumen de control fijo 0VCv - Geometría perfecta - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP - Efecto de la presión, cabeza hidrostática interna,
despreciable 0 se zzg
y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables
0AC con lo que vve ; aunque, con el cuerpo si son apreciables y representadas por FD
- Perfil de salida según modelo - El movimiento es horizontal 0xg gg y - Los efectos de entrada y salida son despreciables. El balance de masa es
444333222111 d0 AvAvAvAv Definiendo 44433343 AvAvm
430 max2 d2
2sen0
mrr
aruav
a
Integrando
max432 2 umav
a
arra
ara
0
2
2cos2
2sen2
Capítulo 5. Balances globales 162 G. Chacón V.
Sustituyendo las condiciones de contorno
2max43
2 8 aumav
El balance de fuerza cantidad de movimiento en x
xxxx APvAvAPvAv 222222111111 d0
xxxxx FAPvAvAPvAv 444444333333
22 avFx
arr
aru
0
22max d2
2sen
2124433 aPPvmvm
Integrando, con xD FF
a
arr
ruavFD
24
2sen
42
22max
22
2124433
0
2
28
2cos
aPPvmvm
a
ar
a
Efectuando operaciones y simplificando
22
max22 2
2auavFD
2124433 aPPvmvm
Fenómenos de Trasporte 163 G. Chacón V.
Respuesta 5.11a) Caso de P 0 Otras consideraciones del modelo 12 PP ; vuu max ; vvv xx 43 Sustituyendo
243
8 avm
La fuerza de arrastre sobre el cuerpo es
2222 2
2avavFD
22 8 av
Simplificando
216
222
avFD
si 22
4DvCF DD
Con lo que
22
2 4317,01122 kkCD
5.11a) 9,3DC Respuesta 5.11b) Caso de P 0 Otras consideraciones del modelo LhgPP OH21 2
: vu max
yy vv 43 : 043 m
Capítulo 5. Balances globales 164 G. Chacón V.
Sustituyendo
08 2max
243 auavm
De donde
vu8
2
max
La fuerza de arrastre sobre el cuerpo es
22
222
82
2avavFD
212 aPP
Simplificando
212
22
1643 aPPvFD
22
4DvCF DD
Con lo que
212
222 4
43 PP
vkkCD
433
22
DC
m 042,0sm81.9
mkg997
sm5,42
mkg18,1
34232
3
2
7,11DC 5.11b)
Fenómenos de Trasporte 165 G. Chacón V.
5.3 BALANCE DE ENERGÍA 5.3.1 Balance de energía mecánica Ejemplo 5.12. Ecuación de Torricelli Un depósito en forma de cono invertido, de 3 m de alto por 3 m de diámetro, contiene un líquido que se desaloja por gravedad, a través de un orifico practicado en el fondo, que tiene 20 mm de diámetro. Demuestre que, si se desprecian los efectos de fricción y de salida, la velocidad de salida se puede evaluar por
hgvs 2 Donde: vs: velocidad de salida h: altura del líquido (diferencia entre el nivel superior del
líquido y el correspondiente a la salida) g: aceleración gravitacional
Determine el tiempo de vertido del líquido contenido en el tanque si el nivel inicial es de 3 m. Datos conocidos: H : Altura del tanque 3 m D : diámetro del tanque 3 m g : aceleración gravitacional 9,82 m/s PAtm : presión atmosférica 97 kPa Ds : diámetro del orificio de salida 0,02 m Variables h : nivel del líquido dentro del tanque vs : velocidad del fluido a la salida del tanque t : tiempo transcurrido Respuesta 5.12 Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Capítulo 5. Balances globales 166 G. Chacón V.
Balance de energía
212d
dVC
VC VC
m u v gzQ W
t
2
2ee
e e e e e eentrada e
vPv A u gz
2
2ss
s s s s s sentrada s
vPv A u gz
f VC OTRASACv A H m G E
Geometría
D
rzz
H
2; zz
zDzrV
H
d4
dd 22
2
Diagrama del volumen de control
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del tanque - Flujo incompresible (densidad constante) Constante s - Volumen de control fijo 0VCv
H h
zH
z
zs z0 0
D
r
Fenómenos de Trasporte 167 G. Chacón V.
- Proceso isotérmico Cte.T Cte.u
0d
d
tu VC 0Q 0G 0OTRASE
- Pérdidas de fuerza por fricción despreciables - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es
despreciable vv 1 - Trabajo de mover las frontera del sistema
tzAPvFW zz d
dd
Nota: de Termodinámica
VPW d :
VPt
límWt
dδδ
0δ
- La presión externa al sistema se mantiene cons- tante Constante atmexternase PPPP El balance de masa se expresa
sssVC Av
tV
dd
Sustituyendo y arreglando, en términos de los diámetros, con la densidad constante
222
4d
4dd
ss
z
zH
DvzzzD
t s
Realizando operaciones y simplificando
sHs vz
DD
tzz
22
dd
El balance de energía
VCVC
VCVC
VC zgVtt
uV
tV
u
dd
dd
dd
VC
ss
s
atmssss t
zAPgzvP
uAv
d
dd2
2
Capítulo 5. Balances globales 168 G. Chacón V.
Sustituyendo las relaciones geométricas (V Vh Vs), se tiene
22d d d
d d 4s
z
zHVC
V Du g z z zt t z
s
atmssssss
PAvuAv
t
VPzg
vDv VC
atmss
ss dd
24
22
Simplificando
s
ssH
s zgv
vzDD
tzzg
2dd
223
Sustituyendo el balance de masa
s
ssH
ssH
s zgv
vzDDvz
DDzg
2
222
Arreglando
2
2s
s
vg z g z
Con lo que hgzzgv ss 22 Ecuación de Torricelli
Tiempo de vertido Sustituyendo este resultado en el balance de masa
sHs zzgz
DD
tzz
2
dd 2
2
Fenómenos de Trasporte 169 G. Chacón V.
Con las aproximaciones szzz y HzH
tgHDD
zz s d2d2
23
Integrando CtetgHDD
z s
21
225 2
52
Evaluando la constante con las condiciones de contorno
Cuando 0t Hzz H 25
52 HCte
Sustituyendo
5221225
25
tgH
DD
Hz s
El tiempo de vertido, , es cuando 0 szz
szztt
221
25 251
HDD
gH
s
Simplificando
gH
DD
s
251
2
Con los datos del caso
s 1000
ks 1m/s 80665,9
m 32m 0,02
m 351
2
2
s 04 :min 58ks 52,3 5.12
Capítulo 5. Balances globales 170 G. Chacón V.
Ejemplo 5.13. Sifón Un depósito cilíndrico de 3 m de diámetro, se descarga mediante un sifón, que está formado por un tubo de 25 mm de diámetro. Al inicio, el nivel alcanza 3 m arriba de la salida del sifón y 1,5 m abajo de la curvatura del mismo. Considerando que las pérdidas de energía equivalen a 1,63 veces la energía cinética del flujo en el sifón, exprese el gasto y el nivel, en términos del tiempo, así como, calcule la presión en la curvatura del sifón (presión de sifón). Respuesta 5.13 Diagrama del volumen de control
Datos conocidos: H: altura del líquido en el tanque (t 0) 3 m D1: diámetro del tanque 3 m g: aceleración gravitacional 9,81 m/s2 PAtm: presión atmosférica 100 kPa
0
z1 – z0
v0 P0 z0
v1 P1 z1
z2 – z0
1
2
v2 P2 z2
vs Ps zs
S
Fenómenos de Trasporte 171 G. Chacón V.
D0: diámetro del tubo, del sifón 0,025 m h: altura del sifón 4,5 m k: coeficiente de pérdidas de energía en el sifón 1,63 Variables vs: velocidad del fluido a la salida del tanque t: tiempo transcurrido z: nivel instantáneo del líquido en el sistema tanque sifón Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de energía
212d
dVC
VC VC
m u v gzQ W
t
2
2ee
e e e e e eentrada e
vPv A u gz
2
2ss
s s s s s sentrada s
vPv A u gz
f VC OTRASACv A H m G E
Geometría del volumen del líquido en el tanque 4dd 2
1 zDV Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del tanque y
el sifón - Sifón lleno de líquido y el flujo, dentro de él, en
estado estacionario - Flujo incompresible (densidad constante) Constante s
Capítulo 5. Balances globales 172 G. Chacón V.
- Volumen de control fijo 0VCv - Proceso isotérmico Cte.T Cte.u 0Q 0G 0OTRASE
- Pérdidas de energía por fricción 220vkH f
- La variación de la velocidad con el radio (perfil) es despreciable vv 1
- Trabajo de mover las frontera del sistema
tzAPvFW zz d
dd
- La presión externa al sistema se mantiene cons-tante
Constante atmexternase PPPP El balance de masa en el tanque, se expresa como
sssVC Av
tV
dd
El balance de masa en el tubo de sifón
0000 AvAv sss Sustituyendo y arreglando, en términos de los diámetros,
200
21 4
d4d
d DvzDt
z
zs
Realizando operaciones y simplificando
0
2
1
0
dd v
DD
tz
El balance de energía
2
000 0 0 0
0
dd 2VC
vPV g z v A g zt
2
00 0 0 1
dd2 d VC
v zv A k P At
Fenómenos de Trasporte 173 G. Chacón V.
Sustituyendo las relaciones geométricas se tiene, con atmexterna PPPP 21
tV
PP
AvzgzDt
VCatm
atmz
zs dd
d4d
d00
21
224
20
0
202
00
vkzg
vDv
Simplificando
0
202
002
1 21
dd zg
vkDv
tzzgD
Sustituyendo el balance de masa
0
202
000
2
1
021 2
1 zgv
kDvvDD
zgD
Simplificando
0
20
21 zg
vkzg
Con lo que
00 12 zzg
kv
Que es la ecuación de Torricelli, modificada con pérdidas por fricción
Nivel en el tanque Utilizando este resultado en el balance de masa, con z0 0
zgkD
Dtz
12
dd
2
1
0
Capítulo 5. Balances globales 174 G. Chacón V.
Separando variables
tkg
DD
zz d12d
2
1
021
Integrando
Ctetkg
DD
z
122
2
1
021
Evaluando la constante con las condiciones de contorno Cuando 0t m 31 Hzz 212 HCte Sustituyendo
2212
1
021
12
21
t
kg
DD
Hz
Gasto o flujo volumétrico
zkgDAvV
12
42000
tkg
DD
HkgDV
12
21
12
4
2
1
020
Con los valores dados para el caso, para la altura del líquido
22122
kss 1000
63,11m 3m/s 81,92
m 0,02m 31m 3
tz
205474,013 tz ks 18,3 ksen y men tz 5.13: z
Fenómenos de Trasporte 175 G. Chacón V.
Para el flujo volumétrico
3
22
mL 1000m 3
63,11m/s 81,92m 0,025
4V
kss 1000
63,11m 3m/s 81,92
m 3m 0,025
211
2122
t
tV 05474,01322,2
ks 18,3 ksen y L/sen tV 5.13: V
Presión del sifón, en 2. El balance se efectúa entre los puntos 0 y 2. Para lo que se considera que no se acumula masa en el tubo del sifón y su área es constante. El balance de masa es
0002220d
dAvAv
tV VC
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0 5 10 15 20Tiempo, ks
altu
ra, m
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
flujo volumétrico, L/s
Altura
Flujo vol.
Capítulo 5. Balances globales 176 G. Chacón V.
02 AA 02 vv El balance de energía
2
222
22 20
dd zg
vPAvzgV
t VC
22
20
000
200
00v
kAvzgvP
Av
Despejando P2,
2
20
0202v
kzzgPP
Sustituyendo valores
2163,1
mkg 998m 5,4
sm81,9
mkg998 3232 atmPP
kg 1000s m kPa
L 1000m
sL
m 4025,0 05474,01322,2 223
22
t
2
2 05474,01197,1804,44 tP man ks 18,3 ksen y kPaen man2 tP man 5.13: P2 Ejemplo 5.14. Distribuidor de flujo Por un tubo vertical de 1,5 m de alto y 200 mm de diáme-tro, fluye agua hacia arriba, que se impulsa por una presión de 70 kPman. La salida del tubo tiene una rejilla, en forma de “T”, para desviar el flujo en ángulo recto, la cual tiene 12,5 mm de holgura (“luz”) y 300 mm de radio. Determine el flujo de agua por el sistema, si se despre-cian los efectos de fricción y de presión.
Fenómenos de Trasporte 177 G. Chacón V.
Diagrama del volumen de control
Datos conocidos: D: diámetro del conducto 0,2 m h: altura del conducto 1,5 m Pe: presión de entrada (al conducto) 70 kPaman W: holgura de la rejilla 0,0125 m : diámetro de la rejilla 0,6 m Ps: presión de salida (de la rejilla) PAtm PAtm: presión atmosférica 90 kPa Respuesta 5.14 Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de energía
VCVC
VC WQt
gzvum
dd 2
21
W
h
D ve, Pe
vs, Ps
Capítulo 5. Balances globales 178 G. Chacón V.
entradae
ee
e
eeeee gz
vPuAv
2
2
entradas
ss
s
sssss gz
vPuAv
2
2
OTRASVCfACEGmHAv
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del sistema
de tuberías - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Flujo de masa en estado estacionario
0d
d
tmVC
- Volumen de control fijo 0VCv y Cte.VCz - Proceso isotérmico Cte.T Cte.u 0Q 0G 0OTRASE - Pérdidas de energía por fricción y contracción des-
preciables
0
AC
ACACf Av
AvH
- La variación de la velocidad con el radio (perfil) es despreciable vv 1
- No se levanta un peso ni se mueve un eje, 0W . El balance de masa se expresa
ssseee AvAv 0 Sustituyendo y arreglando, con la densidad constante
WvDvV se
4
2
Fenómenos de Trasporte 179 G. Chacón V.
24 DVve ; WVvs El balance de energía
2
02ee
e e e ee
vPv A g z
2
2ss
s s s ss
vPv A g z
Simplificando
esesse zzg
PPvv
22
22
Sustituyendo los valores de la velocidad
hgPV
WDe
man
222
2 214
Despejando el flujo volumétrico
2
1
224man2 1162
WDP
hgV e
Sustituyendo valores
21
222244
3man22
m 0125,0m 6,01
m 2,016
mkg 998Pa000 70m 5,1
sm 81,9
2
V
/sm 38,0 3V 5.14
Capítulo 5. Balances globales 180 G. Chacón V.
Ejemplo 5.15. Bombeo Una bomba toma agua desde un depósito, por medio de un conducto No. 6 Ced. 40, cuyo extremo de succión se encuentra 1,5 m por debajo de la superficie (nivel) del agua, en el depósito. La bomba descarga el líquido por un conducto No. 3 Ced. 80, que desemboca 2,0 m arri-ba del nivel del agua en el tanque, contra una presión de 174 kPaman. Si el rendimiento de la bomba es de 75 % y las pérdidas en las tuberías es de 3,1 veces la de la energía cinética, correspondiente a la salida, determine la potencia de la bomba, para operarla con una velocidad de descarga de 3 m/s. Datos conocidos: V : flujo volumétrico, gasto o carga g.e: gravedad especifica o densidad relativa del fluido agua : eficiencia de la bomba 0,75 Pérdidas de energía 21,3 2
2vH f En el nivel (1) del depósito: D1: diámetro grande “ ” v1: velocidad del fluido ¿? z1: nivel del fluido (referencia) 0 P1: presión PAtm T1: temperatura ambiente L1: longitud del conducto ¿? A la salida (2) del conducto: D2: diámetro 0,0737 m v2: velocidad del fluido 3 m/s z2: nivel del fluido al salir 2 m P2: presión manométrica 174 kPaman T2: temperatura ambiente L2: longitud del conducto ¿? PAtm: presión atmosférica 89 kPa
Fenómenos de Trasporte 181 G. Chacón V.
Respuesta 5.15 Diagrama del volumen de control
Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de energía
212d
dVC
m u v gz
t
2
2ee
e e e e e eentrada e
vPv A u gz
2
2ss
s s s s s sentrada s
vPv A u gz
v2 P2 z2
v1 P1 z1
z2 - z1
Capítulo 5. Balances globales 182 G. Chacón V.
f VCACv A H m G
VC VC OTRASQ W E Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del sistema
de tuberías - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Flujo de masa en estado estacionario
0d
d
tmVC
- Volumen de control fijo 0VCv y Cte.VCz - Proceso isotérmico Cte.T Cte.u 0Q 0G 0OTRASE
- Pérdidas de fuerza por fricción 21,3 22vH f
- La variación de la velocidad con el radio (perfil) es despreciable vv 1
- Las pérdidas de energía en la bomba, por irrever-sibilidad (fricción, expansión, turbulencia, etc.) están representadas por la eficiencia o rendimiento de la bomba. SVC WW Donde:
: eficiencia (termodinámica). SW : potencia del eje de la bomba
- El nivel del agua en el tanque, corresponde a la condición extrema de operación (constante).
- Diámetro del tanque muy grande 1D . - Factor de seguridad 15% El balance de masa es
2221110 AvAv
Fenómenos de Trasporte 183 G. Chacón V.
Sustituyendo y arreglando, con la densidad constante
222111 AvAvV
m/s 0m 0737,0m/s 3 2
21
21
21
221
DDv
AAvv
El balance de energía
2221
21
1
1111 2
0 AvzgvP
Av
Sf WHAvzgvP
2222
22
2
2
2
Simplificando y despejando en términos de la potencia
122
224PPDvWS
15,12
1,32
22
12
21
22
vzzgvv
Sustituyendo valores
3
23 mkg 998
Pa 17400015,1m 0737,0s
m3mkg 998
75,04
SW
W1000
kW 1s
m3211,3m 02
s m81,90
s m3
21 2
2
2
kW 16,4SW La potencia requerida por la bomba es kW 5SW (6 H.P.) 5.15
Capítulo 5. Balances globales 184 G. Chacón V.
Ejemplo 5.16. Turbina para líquido Durante la operación de una turbina hidráulica, se entre-gan 450 kW con un gasto de 5 m3/s. La masa entra por un conducto de 0,5 m de diámetro con una presión de 80 kPaman. La salida está 4,4 m abajo del nivel del depósito, con un diámetro de 0,75 m. Si la eficiencia (coeficiente de desempeño) de la turbina es de 82 % y se desprecian las pérdidas de energía por fricción y otras irreversibili-dades, determine la presión a la salida de la turbina. Datos conocidos: V : flujo volumétrico, gasto o carga 5 m3/s g.e: gravedad especifica o densidad relativa del fluido agua Entrada (A) de la turbina: DA: diámetro 0,5 m vA: velocidad del fluido ¿? PA: presión 80 kPaman TA: temperatura ambiente zA: nivel o altura referencia A la salida (B) de la turbina: DB: diámetro 0,75 m vB: velocidad del fluido ¿? PB: presión ¿? TB temperatura ambiente zB: nivel o altura -4,4 m
SW : potencia suministrada 450 kW : coeficiente de desempeño, “eficiencia” 0,82 PAtm: presión atmosférica 88 kPa Respuesta 5.16 Diagrama del volumen de control
Fenómenos de Trasporte 185 G. Chacón V.
Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de energía
212d
dVC
m u v gz
t
2
2ee
e e e e e eentrada e
vPv A u gz
2
2ss
s s s s s sentrada s
vPv A u gz
f VCACv A H m G
VC VC OTRASQ W E
vA PA zA DA
zA – zB
vB PB zB DB
Capítulo 5. Balances globales 186 G. Chacón V.
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro de la turbina - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Flujo de masa en estado estacionario
0d
d
tmVC
- Volumen de control fijo 0VCv y Cte.VCz - Proceso isotérmico Cte.T Cte.u 0Q 0G 0OTRASE - Pérdidas de fuerza por fricción, despreciables 0fH - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es
despreciable vv 1 - Las pérdidas de energía en la turbina, por irrever-
sibilidad (fricción, expansión, turbulencia, etc.) están representadas por la eficiencia o coeficiente de desempeño de la turbina. SVC WW Donde: SW : potencia del eje de la turbina : eficiencia (termodinámica).
- El nivel del agua en el depósito, corresponde a la condición extrema de operación (constante).
El balance de masa es
AAAAAA AvAv 0 Sustituyendo y arreglando, con la densidad constante
BBBAAA AvAvV
2
4
AAA D
VAVv
2
4
BBB D
VAVv
Fenómenos de Trasporte 187 G. Chacón V.
El balance de energía
2
02AA
A A A AA
vPv A g z
2
2B SB
B B B BB
v WPv A g z
Simplificando y despejando en términos de la presión de salida
V
WzzgDD
VPP SBA
BAAB
442
2118
Sustituyendo valores
44
23
32 m 5,01
s m 5
mkg 9988kPa 8880
BP
m 4,40sm 81,9
mkg 998
m 75,01
2344
/sm 50,82
kW 450s kg/m 1000
kPa 132
La presión estática a la salida de la turbina es kPa 361estBP 273 kPaman. 5.16 Ejemplo 5.17. Sistema de conductos Un conducto, cilíndrico inclinado, con una reducción transporta un fluido. Evalúe la presión necesaria para que el fluido salga contra una presión de 310 kPaman. Datos conocidos: V : flujo volumétrico, gasto o carga 2,5 L/s
Capítulo 5. Balances globales 188 G. Chacón V.
g.e: gravedad especifica o densidad relativa del fluido 0,8825/4C Pérdidas de esfuerzo en la contracción
ss
eC v
vv
VB1,2
102,0
Pérdidas de esfuerzo por la fricción 2vAC A la entrada (1) del conducto: D1: diámetro 54 mm v1: velocidad del fluido ¿? P1: presión ¿? T1: temperatura 26 C L1: longitud del conducto 2,5 m 1: ángulo del conducto 53 º 1: coeficiente de fricción 0,0042 z1: nivel o altura referencia A la salida (2) del conducto: D2: diámetro 18 mm v2: velocidad del fluido ¿? m/s P2: presión manométrica 310 kPaman T2: temperatura ¿? L2: longitud del conducto 6 m z2: nivel o altura 2: ángulo del conducto 15 º 2: coeficiente de fricción 0,0028 PAtm: presión atmosférica 93 kPa Respuesta 5.17 Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de energía
Fenómenos de Trasporte 189 G. Chacón V.
212d
dVC
m u v gz
t
2
2ee
e e e e e eentrada e
vPv A u gz
2
2ss
s s s s s sentrada s
vPv A u gz
f VCACv A H m G
VC VC OTRASQ W E Diagrama del volumen de control
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del sistema
de tuberías - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Flujo de masa en estado estacionario
0d
d
tmVC
v2 P2
D1
v1 P1
1
2 L1
L2
D2
Capítulo 5. Balances globales 190 G. Chacón V.
- Volumen de control fijo 0VCv y Cte.VCz - Proceso isotérmico Cte.T Cte.u 0Q 0G 0OTRASE - Pérdidas de fuerza por fricción y contracción, las
indicadas y ACACfAC
AvHAv - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es
despreciable vv 1 - No se levanta un peso ni se mueve un eje 0W El balance de masa se expresa
2221110 AvAv Sustituyendo y arreglando, con la densidad constante
222111 AvAvV
2
3
211
1 m 0,054L 0001
m 1sL 5,244
DV
AVv
m/s 09,11 v
2
3
222
2 m 0,018L 0001
m 1sL 5,244
DV
AVv
m/s 82,92 v
El balance de energía
3
1111
21
1
1111 2
0 vzgvP
Av
Fenómenos de Trasporte 191 G. Chacón V.
2
22
2
222211 2
zgvPAvLD
22
1,2
2
12222
3222 102,0 v
vvVLDv
Simplificando y despejando para P1
2 22 1 21 2 1
2 1 1 11
42 2
v vP P Lg z g z vD
2,1
2 22 12 2 2
2 2
4 0,02 1L vv vD v
Sustituyendo valores
2
22
2
22
3
1
s2 m09,1
s2 m83,9
mkg 972,99988,0
Pa 3E193310P
5352819156819 sen,,sen,
m 0,054
m 6s
m09,10042,04 2
22
m 0,018
m 5,2s
m83,90028,04 2
22
2
221,2
s m83,9
83,909,1102,0
5,13,3609,06,192,156,03,48 4581P
232
2
s kg/m 6E1MPa
mkg 972,99988,0
s m
La presión a la entrada del sistema es MPa 8,01P 5.17
Capítulo 5. Balances globales 192 G. Chacón V.
Ejemplo 5.18. Tubería Se toma agua de un canal que mantiene un nivel de 0,8 a 1,0 m y se debe enviar una distancia de 25 m y 3,2 m de altura, desde la base del tanque, contra una presión de 25 kPaman. El fluido se traslada dentro de un conduc-to de acero al carbono de 2,” céd. 40, de 20 m de largo, donde está la bomba y luego por una de 1,” céd. 40, de 12 m de largo, unidas mediante una contracción. El sistema tiene dos válvulas de compuerta y una de globo, cuatro codos de 90 y 8 uniones, todas de brida. Calcule la potencia de la bomba, para un flujo de 50 litros por minuto. Considere las siguientes aproximaciones:
La presión atmosférica es de 665 a 672 mm Hg y la temperatura ambiente entre 23 y 27 C. La eficiencia de la bomba es de
0,96 (1 –542 Q1,2) I Las pérdidas de energía (irreversibilidad) debido a
la fricción del fluido dentro del conducto y los accesorios es
Hf kv22 II Donde:
Q : flujo o gasto volumétrico en m3/s v : velocidad promedio (ambos dentro del conducto)
La presión con la que sale, se toma como veinte por ciento
mayor que la resistiva (que se opone a la salida) NO : altura del líquido en el tanque 0,8 m OS: altura de la salida 3,2 m PAtm: presión atmosférica 665 mmHg 88,7 kPa T: temperatura atmosférica 23 C DAB: diámetro del primer tubo, 2” céd. 40 0,0525 m PCS: presión a resistiva a la salida 25 kPaman 1.2113,7 kPa DBC : diámetro del tubo de salida, 1” céd. 40 0,0266 m : eficiencia de la bomba Ec. I
Fenómenos de Trasporte 193 G. Chacón V.
Hf : pérdidas total de energía por fricción y accesorios Ec. II kAB : coeficiente de pérdidas en el tramo AB 4,8 kBC : coeficiente de pérdidas en el tramo BC 22,2 vR : velocidad del fluido en el canal 2 a 3 m/s V : flujo dentro del conducto, 50 L/min 8,3310-4 m3/s Respuesta 5.18 Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de energía
212d
dVC
m u v gz
t
2
2ee
e e e e e eentrada e
vPv A u gz
2
2ss
s s s s s sentrada s
vPv A u gz
f VCACv A H m G
VC VC OTRASQ W E Consideraciones, aproximaciones y suposiciones - Volumen de control: el líquido dentro de la tubería y
el tanque - Flujo incompresible (densidad constante) Constante s - Volumen de control fijo 0VCv y Cte.VCz
Capítulo 5. Balances globales 194 G. Chacón V.
- Flujo en estado estacionario 0d
d
tmVC
- Proceso isotérmico Cte.T Cte.u 0Q 0G 0OTRASE - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es
despreciable vv 1 - Pérdidas de energía por fricción y otras irreversibi-
lidades
22
2CS
BC
2AO
ABv
kv
kH f
- Eficiencia de la bomba que incluye todas las pérdidas de energía en ella, accesorios, fricciones, vibraciones, etc.
2,1542196,0 V - Velocidad de entrada al sistema 0AN v
TANQUED - Factor de seguridad 15 % Diagrama del volumen de control
El balance de masa, entre los puntos AN y CS
CSCSCSANANAN0 AvAv Sustituyendo y arreglando, en términos de los diámetros,
2ABAO
2BCCSTANQUEAN 444
DvDvDvV
N
O
S
DAB
vR N
O
PCS TCS
A
A
S B
B
C
C
PAtmosférica DBC
Fenómenos de Trasporte 195 G. Chacón V.
El balance de energía
CSCSAN
2AN
AN
ANANANAN 2
0 vzgvP
Av
fHVWzgvP
A
CS
2CS
CS
CSCS 2
Sustituyendo las relaciones del balance de masa y de las pérdidas de energía.
2
2AN
2CSANCS vvPP
VW
15,122
2CS
BC
2AO
ABANCS
vkvkzzg
Sustituyendo valores
/sm 4E33,8kg/m 537,9974E33,8542196,0
33
2,1 W
kPa 1
s kg/m 1000kg/mkPa
537,9977,887,1132.1 2
3
444
23
m1
""1
0266,01
sm4E33,84
21
m 8,02,3sm80665,9 2
15,1m1
0266,02,22
0525,08,4
sm 4E33,84
444
23
2222 /sm 12,1/sm 85,47kg//s ,83130
855,0 W
15,1/sm 31,25/sm 53,23 2222
Capítulo 5. Balances globales 196 G. Chacón V.
15,1/sm8,97855,0
kg//s ,83130 22 W
La potencia es de W109W ( H.P 51W ) 5.18 5.3.2. Balance de energía térmica
(Capacidad o capacitancia térmica global, Bi < 0,1) Ejemplo 5.19. Calor en estado transitorio Una placa de acero de 13 mm de espesor está, en un horno, a 900 K. Se retira del aparato y se apaga en un baño de aceite a 28 C. Determine el tiempo necesario para que se enfríe hasta 90 C, suponiendo que el coeficiente de película del medio es a) h Constante. b) h (Ts Tf)n. Donde: h: coeficiente de película del fluido que rodea la placa. n y : parámetros Ts: Temperatura de la superficie (externa) del sólido Tf: Temperatura del medio (que rodea) al sólido. Datos conocidos: h: Coeficiente de película del aceite a 323 K 400 W/m2 K : Parámetro 95 W/m2 K4/3 n: Parámetro 1/3 Ts0: Temperatura inicial de la placa 900 K Tf0: Temperatura inicial del aceite 301 K : Densidad del acero 7,8 t/m3 CV: Capacidad calorífica del acero 450 J/kg K k: Conductividad térmica del acero 50 W/m K
Fenómenos de Trasporte 197 G. Chacón V.
L: Espesor de la placa 13 mm H: Alto de la placa W: Ancho de la placa Respuesta 5.19 Geometría HWA 2 ; LHWV Termodinámica RefTTCVu V Transferencia de calor entre el límite de la, superficie, fase sólida, en contacto con la fase líquida fss TThq Diagrama del volumen de control
Balance de energía
212d
dVC
m u v gz
t
H
qs
A
W
L
T(t)
Tf
Medio
Placa
Capítulo 5. Balances globales 198 G. Chacón V.
2
2ee
e e e e e eentrada e
vPv A u gz
2
2ss
s s s s s sentrada s
vPv A u gz
f VCACv A H m G
VC VC OTRASQ W E Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: la placa dentro del líquido - Volumen de control fijo 0VCv y Cte.VCz
- La masa no se mueve 0v 0W - En las caras externas el proceso está regido por la
convección ACfACVC ATThQ - La radiación se considera como parte de la
evaluación del coeficiente de transferencia de calor por convención
044 ACEMACACnVCRadicaió ATTQ
0G 0OTRASE - Parámetros , CV, k y h constantes. - Número de Biot Resistencia interna a la conducción Bi Resistencia externa a la covección
1,0fhA
kVBi TTT SAC
Sustituyendo las relaciones en el balance de energía
dd VC
m uQ
t
Fenómenos de Trasporte 199 G. Chacón V.
Reemplazando las relaciones energéticas y geométricas ATTh
tTCV
fV
dd
Con los datos del problema, la longitud característica,
22L
HWLHW
AV
Se evalúa el número de Biot
k
hLhAkVBi f
f 2
K W/m50
K W/m400mm 1000
m 12mm 13 2
Bi
1,005,0 Bi Con lo que el modelo propuesto ofrece resultados acep-tables. 5.19a) Coeficiente de transferencia de calor, h, constan-
te Con el resultado anterior, considerando los parámetros constantes.
fV TTAhtTCV
dd
Separando variables y simplificando,
t
CVAh
TTT
Vf
dd
Integrando
TEV
f CtCV
AhTT
ln
Capítulo 5. Balances globales 200 G. Chacón V.
Con la condición inicial, t 0, en que la masa está a una temperatura T0, se obtiene la constante de integración y
tCV
AhTTTT
Vf
f
0
ln
O bien en forma adimensional, si
tCV
AhtV
* f
f
TTTT
T
0
*
Se obtiene
*exp* tT Despejando el tiempo de la ecuación del balance de energía y sustituyendo los valores conocidos.
f
fc
f
fV
TTTT
tTTTT
hCL
t00
lnln2
tc: Se define como constante de tiempo del sistema, s,
hCL
t Vc
2
Sustituyendo valores
W400K m
K kgJ450
mm 1000m 1
2mm 13
t1kg 1000
mt8,7
2
3ct
s 57ct Sustituyendo las temperaturas del proceso
K 301900
K 30127390ln57
t
s 9 :min 2 s 129 t 5.19a)
Fenómenos de Trasporte 201 G. Chacón V.
5.19b) Coeficiente de transferencia de calor variable: h (Ts Tf)n Con el resultado anterior, considerando la función para h.
1
dd n
fV TTAtTCV
Separando variables y simplificando,
t
CVA
TTT
Vn
f
dd1
Integrando, para n 0
TEV
nf Ct
CVA
nTT
Con la condición al inicio, t 0, en que la masa está a una temperatura T0, se obtiene la constante de integra-ción y
n
nf
Vf
f tTTCVnA
TTTT 1
00 1
O bien en forma adimensional, si
tTTCV
At nf
V
0*
f
f
TTTT
T
0
*
Se obtiene ntT 1*1* Despejando el tiempo de la ecuación del balance de energía y sustituyendo los datos del problema
310
31
112 ff
V
TTTTnCL
t
Capítulo 5. Balances globales 202 G. Chacón V.
Sustituyendo las temperaturas del proceso
W95K m
K kgJ450
mm 1000m 1
2mm 13
t1kg 1000
mt8,7
342
3t
3131 K 3019001
K 3012739013
s 63 :min 1s 4,96 t 5.19b)
Ejemplo 5.20. Eficiencia de un compresor Un compresor de 160 kW, impulsa aire desde el ambien-te (27 C y 100 kPa) hasta 200 kPa. En las condiciones normales de operación, mantiene un flujo de 1 kg/s. El gas sale a 147 C con una velocidad de 150 m/s. Considerando las pérdidas de calor y las debidas a la fricción, como parte del valor de la eficiencia, calcule:
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo t *, Adim.
Tem
pera
trua T
*, A
dim
.
3*1* tT
*exp* tT
Fenómenos de Trasporte 203 G. Chacón V.
a) la eficiencia mecánica. b) la eficiencia adiabática, termodinámica o de diseño. c) la eficiencia isotérmica, termodinámica.
Datos conocidos: m : flujo másico o carga 1 kg/s A la entrada (1) del compresor: D1: diámetro ¿? v1: velocidad del fluido 0 P1: presión 100 kPa T1: temperatura 300 K z1: nivel o altura referencia A la salida (2) del conducto: D2: diámetro ¿? v2: velocidad del fluido 150 m/s P2: presión 200 kPa T2: temperatura 420 K z2: nivel o altura 0 PAtm: presión atmosférica 87 kPa R: Constante Universal de los gases 0,2870 kJ/kg K CP: capacidad calorífica, promedio del aire 1,0035 kJ/kg K Respuesta 5.20 Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de energía
212d
dVC
m u v gz
t
2
2ee
e e e e e eentrada e
vPv A u gz
Capítulo 5. Balances globales 204 G. Chacón V.
2
2ss
s s s s s sentrada s
vPv A u gz
f VCACv A H m G
VC VC OTRASQ W E Diagrama del volumen de control
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el gas dentro del compresor - Flujo de masa en estado estacionario
0d
d
tmVC
- Volumen de control fijo 0VCv y CteVCz - No has generación ni entradas de energía de otro tipo 0G 0OTRASE - Pérdidas de en energía por fricción y compresión
del gas y de calor, expresadas por la eficiencia del equipo
daSuministraWWVC daSuministraWQPérdidas
daSuministraWHAv fAC
Wv1 P1 T1
v2 P2 T2
Volumen de control
Fenómenos de Trasporte 205 G. Chacón V.
- La variación de la velocidad con el radio (perfil) es despreciable vv 1
- Los efectos de presión y de nivel despreciables 012 zz - La velocidad de entrada es despreciable 212 vvv - Comportamiento de la masa como gas perfecto o
ideal
TR
PM
0
0
dT
P TTh C T h
0 0
0,
0
d lnT
PT PT
C Ps T R sT P
El balance de masa se expresa, como 2221110 AvAv Con lo que el flujo de masa es 222111 AvAvm El balance de energía
2
111 1 1 1 1
1
02
vPv A u g z
2
222 2 2 2 2
2 2vPv A u g z
f VC VCACv A H Q W
Simplificando, se obtiene, para el compresor, la
POTENCIA TEÓRICA Que es la potencia para un proceso, que realiza el volumen de control, sin pérdidas de energía por fricción ni de calor (adiabático perfecto)
Capítulo 5. Balances globales 206 G. Chacón V.
1
1
2
212
PPuumW
12
21
22
22zgzg
vv
En este caso particular
12
21
22
12 22zgzg
vvhhmW
Con los valores del problema, usando
1212 TTChhAMTP
K 3602
3004202
12
TTTAM
K 300420
K kgkJ010,1
skg 1W
sm 1000
kgkJs
m2
150222
22
La potencia teórica es kW 133W 5.20a) Eficiencia mecánica Se define como
ss W
W
eje del potenciarequerida potencia
kWkW
160133
s % 83s 5.20a)
Fenómenos de Trasporte 207 G. Chacón V.
5.20b) Eficiencia adiabática Se define como
WWA
requerida potenciarevesible adiabática potencia
Para un proceso reversible y adiabático, se cumple que VCVC STQ 0
Para el caso 120 ssm A (isentrópico) Para un gas ideal
1
201
02
1
212 lnlnd2
1 PPRss
PPRT
TCss A
T
TP
AA
Resolviendo para la entropía
0lnln1
2
1
212
PP
RT
TCss A
TPA LM
LMTPCR
A PP
TT
1
212
A manera de tanteo se supone K 4002 AT
K 6,347300400ln300400
ln 12
12
TTTT
TA
ALM
K 365kPa 100kPa 200K 300
009,1287,0
2
AT
Repitiendo para 365 K
Capítulo 5. Balances globales 208 G. Chacón V.
K 6,331300365ln300365
LMT
K 365kPa 100kPa 200K 300
008,1287,0
2
AT
La potencia adiabática reversible es, entonces,
2
22
12
vhhmW AA
K 300365
K kgkJ008,1
skg 1AW
sm 1000
kgkJs
m2
150222
22
kW 77AW Y la eficiencia, adiabática reversible, es
kWkW
13377
% 58 5.20b) 5.20c) Eficiencia isotérmica Se define como
WWT
T
requerida potenciarevesible isotérmica potencia
Para un proceso reversible y isotérmico, se cumple que VCVC STQ 0
y 210 TTT
Fenómenos de Trasporte 209 G. Chacón V.
Para un gas ideal
1
2
1
212 lnlnd2
1 PP
RPP
RTT
Css TT
TP
T
De la ecuación del balance de masa, la potencia isotér-mica reversible es, entonces,
VCVCT STv
mQv
mW 1
22
22
22
1
21
22 ln2 P
PTR
vmWT
sm kgkJ 1000
s m
2150
skg 1 222
22
TW
kPa 100kPa 200lnK 300
K kgkJ287,0
kW 71TW Y la eficiencia, isotérmica reversible, es
kWkW
13371
T
% 53T 5.20c) Nota: Obsérvese que estas dos eficiencias presentan una diferencia, entres sí, sólo, de 10 %, y que los casos reales no son completamente adiabáticos ni completamente isotérmicos.
Capítulo 5. Balances globales 210 G. Chacón V.
5,4. BALANCE COMBINADOS DE MASA, ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Ejemplo 5.21. Propulsión Un bote se desplaza con una velocidad de 10 m/s en un lago, usando una bomba que trasiega 60 L/s, del líquido, a través de un conducto Interno en el bote. Evalúe la fuerza y la eficiencia de propulsión del bote, si la veloci-dad dentro del conducto es de 25 m/s. Datos conocidos: V : Flujo volumétrico dentro de la tubería 0,060 m3/s vp: Velocidad de propulsión, flujo del fluido dentro del tubo 25 m/s vb: Velocidad del bote 10 m/s : Densidad del agua 998,2 kg/m3 FD: Fuerza ejercida, para la traslación, sobre el lago, ¿? Diagrama del volumen de control
Respuesta 5.21 Eficiencia de propulsión (mecánica)
WvF bD
dasuministra potencia
requerida potencia
vb
x FD
ve vs
Fenómenos de Trasporte 211 G. Chacón V.
Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de cantidad de movimiento
dd
VCe e e e e e
entrada
mvv v A P A
t
s s s s s ssalida
v v A P A
AC VC EXTERNASA m g F
Balance de energía
212d
dVC
m u v gz
t
2
2ee
e e e e e eentrada e
vPv A u gz
2
2ss
s s s s s sentrada s
vPv A u gz
f VCACv A H m G
VC VC OTRASQ W E Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el fluido dentro del conducto - Volumen de control inercial 0VCv y CteVCz be vv ps vv - Proceso isotérmico Cte.T Cteu
0Q 0G 0OTRASE - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se
Capítulo 5. Balances globales 212 G. Chacón V.
- Flujo de masa en estado estacionario
0d
d
tmVC
- Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despre-ciables FFAAC
- Pérdidas de energía por fricción están incluidas en la evaluación de la eficiencia de propulsión .
- La variación de la velocidad con el radio (perfil) es despreciable vv 1
- Fuerzas internas, en el conducto, de presión y cabeza hidrostática despreciables.
se PP 0 se zzg - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP - El movimiento horizontal 0xg gg y - Fuerza neta del volumen de control igual a la fuer-
za de arrastre. DFF - Velocidad del bote constante. El balance de masa se expresa, como
ssseee AvAv 0 Con lo que el flujo de masa es
ppeb AvAvV El balance de fuerza cantidad de movimiento en x exeexeee APvAv0 xsxssxsss FAPvAv
x b p DF V v V v F La fuerza ejercida por el bote sobre el agua o fuerza de arrastre es
Fenómenos de Trasporte 213 G. Chacón V.
bpD vvVF Sustituyendo valores
N1000
kN 1sm1025
L 1000m 1
sL60
mkg2,998
3
3 DF
kN 9,0DF 5.21 Expresando la velocidad de propulsión en términos de la del bote
VF
vv Dbp
El balance de energía
e
e
e
eeee zg
vPAv
20
2
VCss
s
ssss Wzg
vPAv
2
2
La potencia, teórica, suministrada es
2
22pb
VC
vvVWW
La energía requerida para la traslación es
bDRequerida vFW La eficiencia de propulsión es, entonces,
WvF bD
dasuministra potencia
requerida potencia
Capítulo 5. Balances globales 214 G. Chacón V.
Sustituyendo
22
2
pb
bbp
vvVvvvV
Simplificando
Sustituyendo valores
57,0
m/s 10m/s 251
2
La eficiencia es % 57 5.21 Ejemplo 5.22. Expansión súbita Para un fluido que atraviesa, incompresiblemente, una sección circular con un aumento del área en ángulo recto (expansión súbita o ensanchamiento brusco), evalúe las pérdidas de energía debidas a la irreversibilidad, por expansión y fricción. Si se expresan, dichas pérdidas, como proporcionales a la energía cinética en el punto de mayor velocidad (a la entrada), evalúe el coeficiente de proporcionalidad. Considere que los perfiles de velo-cidad del fluido a la entrada y salida del dispositivo son uniformes y se representan adecuadamente por su velocidad promedio.
Eficiencia de propulsión
b
p
vv
1
2
Fenómenos de Trasporte 215 G. Chacón V.
Datos conocidos: D1 : diámetro a la entrada . ½ 40 0,0158 m D2 : diámetro a la salida . 2 40 0,0525 m Diagrama del volumen de control
Otros datos útiles v1: velocidad mayor, a la entrada v2: velocidad menor, a la salida : densidad del fluido Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de cantidad de movimiento
dd
VCe e e e e e
entrada
mvv v A P A
t
s s s s s ssalida
v v A P A
AC VC EXTERNASA m g F
v1 D1 P1
v2 v1
v2 D2 P2
1 2
P0
P0
Fx
Capítulo 5. Balances globales 216 G. Chacón V.
Balance de energía
212d
dVC
m u v gz
t
2
2ee
e e e e e eentrada e
vPv A u gz
2
2ss
s s s s s sentrada s
vPv A u gz
f VCACv A H m G
VC VC OTRASQ W E Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el fluido dentro de la expan-
sión - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Volumen de control fijo 0VCv y Cte.VCz - Proceso isotérmico Cte.T Cte.u 0Q 0G 0OTRASE - Flujo de masa en estado estacionario
0d
d
tmVC
- Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables FFAAC
- Pérdidas de energía en la expansión, están inclui-das en la evaluación de Hf
2
20v
CH Df
- La variación de la velocidad con el radio (perfil) es despreciable vv 1
Fenómenos de Trasporte 217 G. Chacón V.
- Cabeza hidrostática despreciable. 0 se zzg - El movimiento horizontal 0xg gg y
- No se levanta un peso ni gira un eje 0VCW - Fuerzas netas debidas a la presión interna, en el
volumen de control, equivalen a la reacción del área anular, en la pared
120 AAPF - La presión en la pared anular es igual a la de la
entrada 01 PP
NOTA: Estas dos, últimas, consideraciones no repre-sentan la realidad física del proceso, pero son lógicas.
El balance de masa se expresa
2221110 AvAv Con lo que el flujo de masa
2211 AvAvV
2
112 A
Avv
El balance de fuerza cantidad de movimiento en x xx APvAv 1111110 xxx FAPvAv 222222
221121 APAPvvVFF x Considerando que
121120 AAPAAPF
221121121 APAPvvVAAP Simplificando 21212 vvVAPP
Capítulo 5. Balances globales 218 G. Chacón V.
El balance de energía
1
21
1
1111 2
0 zgvP
Av
2
22
2
2222 2
zgvP
Av
fACHAv
02
21
2212
fHvvPP
Sustituyendo la diferencia de presión, del balance de fuerzas,
0
2
21
22
2
21
fHvvA
vvV
Sustituyendo la relación de la velocidad, menor, v2, en términos del área, del balance de masa,
02
21
2
2
11
2
2
11111
fHv
AA
v
AAA
vvAv
Simplificando y despejando Hf,
21
21
2
2
1 vAAH f
Ecuación de Borda-Carnot
En la práctica se utiliza el coeficiente pérdidas de ener-gía, Kf (CD)
2
21vKH ff
Fenómenos de Trasporte 219 G. Chacón V.
Con lo que
Sustituyendo valores
22
m 0525,0m 0158,01
fK
83,0fK 5.22 Ejemplo 5.23. Salto hidráulico Un líquido fluye en un canal abierto horizontal en el cual se manifiesta un salto hidráulico. Considere, para el caso, que corre agua a razón de 8 m3/s m de ancho, sufriendo una alza repentina desde una altura del líquido de 0,6 m, provocado por un muro. Evalúe la profundidad de la escorrentía, posterior, y calcule las pérdidas de energía debido a la irreversibilidad del proceso. Datos conocidos: : Flujo volumétrico por unidad de ancho 8 m3/s m y1 altura de la capa de líquido anterior 0,6 m w: ancho del conducto ¿?
Coeficiente de pérdidas de energía en una expansión brusca
22
2
1
2
2
1 11
DD
AAK f
Capítulo 5. Balances globales 220 G. Chacón V.
Diagrama del volumen de control
Respuesta 5.23 Presión hidrostática La variación de la presión con la profundidad, y, está expresado por
gyP
dd
Integrando, considerando el punto de referencia en la parte superior del líquido, a 0y atmPP atmPygP Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de cantidad de movimiento
dd
VCe e e e e e
entrada
mvv v A P A
t
s s s s s ssalida
v v A P A
AC VC EXTERNASA m g F
x
y
v1 v2
1 2
y1 y2 w
Fenómenos de Trasporte 221 G. Chacón V.
Balance de energía
212d
dVC
m u v gz
t
2
2ee
e e e e e eentrada e
vPv A u gz
2
2ss
s s s s s sentrada s
vPv A u gz
f VCACv A H m G
VC VC OTRASQ W E Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el fluido dentro del conducto - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Volumen de control fijo 0VCv y CteVCz - Flujo de masa en estado estacionario
0d
d
tmVC
- Proceso isotérmico Cte.T Cte.u 0Q 0G 0OTRASE - Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fricción
dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables FFAAC
- La variación de la velocidad con el radio (perfil) es despreciable vv 1
- Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP - El movimiento horizontal 0xg gg y El balance de masa se expresa así
1111110 AvAv
Capítulo 5. Balances globales 222 G. Chacón V.
Con lo que el flujo de masa
wyvwyvwΓ 2211
2211 yvyvΓ El balance de fuerza cantidad de movimiento en x xx APvAv 1111110 xxx FAPvAv 222222 Nótese que la presión varía con la posición vertical, y, en ambos puntos, variación que no es despreciable en este caso. 11111 d0 APvAv
22222 d APvAv
1
0121 d0
yywygywv
2
0222 d
yywygywv
Integrando y simplificando
022
22
21
2221
21
yg
ygyvyv
Poniendo v2 en términos de v1 con el balance de masa
2
12
12 y
Γvyy
v
Y sustituyendo
02
22
2112
2
121
yygyy
yy
v
Factorizando (y1 - y2) y arreglando
02
1
21
1222
y
gv
yyy
Fenómenos de Trasporte 223 G. Chacón V.
Despejando para la velocidad
Nota: este aparato (vertedero) se utiliza para la medición de la velocidad (flujo).
Resolviendo par y2,
1
21
211
22
22y
gvyyy
El balance de energía
21
22
2121
2yygvvPPH f
Considerando la presión externa como la atmosférica y sustituyendo el área en términos de la altura.
2122
21
21 12
yygyyv
H f
Nota: Obsérvese la diferencia conceptual entre la pre-sión usada en la ecuación de la cantidad de movimiento y la ecuación de la energía mecánica.
Arreglando en términos de las alturas del líquido, susti-tuyendo los valores con el flujo de masa
212
2
21
22
1
122
22yyg
yyy
yyyyg
H f
Simplificando
121
21 2
yyyygv
Velocidad en un vertedero
Capítulo 5. Balances globales 224 G. Chacón V.
En términos de la altura o profundidad de la corriente después del muro
Sustituyendo valores
23
2
2
2
m2 8 s m0 6 m 0 6 m
m2 2 9,81 0 6 ms
, ,y,
m 442 ,y 5.23a) La pérdida de energía es
m 60m 4,44 m 60m 4,4 3
,,
gH f
m 1,5 ff h
gH
5.23b)
1
2211
22
22 ygΓyy
y
Altura de un salto hidráulico
12
312
4 yyyy
gH
h ff
Pérdidas por fricción en un salto hidráulico
Fenómenos de Trasporte 225 G. Chacón V.
Ejemplo 5.24. Contracción brusca Un hidrocarburo atraviesa, incompresiblemente, una sec-ción circular con una reducción del área en ángulo recto (contracción o reducción súbita o brusca). Considerando que las pérdidas de energía debidas a la irreversibilidad, por la contracción, se pueden expresar como
4
122
3
1
2 vAA
Pérdidas
evalúe la fuerza (horizontal) que el fluido ejerce sobre el aparato y necesaria para mantenerlo fijo. Diagrama del volumen de control
Datos conocidos: D1: diámetro a la entrada . 1 BWG 14 0,0212 m D2: diámetro a la salida . ½ BWG 16 0,0094 m V : flujo volumétrico, gasto 1 L/s 0,001 m3/s P1: presión a la entrada 314 kPaman P2: presión a la salida ¿ ? g.e.: densidad relativa o gravedad específica del hidrocarburo 0,78320/4C
v1
v1 D1 P1
v2 D2 P2
2
P0
P0
v2
1
x
y
Capítulo 5. Balances globales 226 G. Chacón V.
Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de cantidad de movimiento
dd
VCe e e e e e
entrada
mvv v A P A
t
s s s s s ssalida
v v A P A
AC VC EXTERNASA m g F
Balance de energía
212d
dVC
m u v gz
t
2
2ee
e e e e e eentrada e
vPv A u gz
2
2ss
s s s s s sentrada s
vPv A u gz
f VCACv A H m G
VC VC OTRASQ W E Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el fluido dentro de la contrac-
ción - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Volumen de control fijo 0VCv y CtezVC - Flujo de masa en estado estacionario
0d
d
tmVC
Fenómenos de Trasporte 227 G. Chacón V.
- Proceso isotérmico Cte.T Cte.u 0Q 0G 0OTRASE
- No se levanta un peso ni gira un eje 0VCW - Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fric-
ción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables
FFAAC
- Pérdidas de energía por fricción están incluidas en la evaluación de Hf
41
2
22
3
1
220 v
AAv
CH Df
- La variación de la velocidad con el radio (perfil) es despreciable
vv 1 - Fuerzas internas, en el conducto, de presión y
cabeza hidrostática despreciables. 0 se zzg - El movimiento horizontal 0xg gg y El balance de masa se expresa
2221110 AvAv Con lo que el flujo de masa
2211 AvAvV
1
1 AVv
2
2 AVv
El balance de fuerza cantidad de movimiento en x xx APvAv 1111110 xxx FAPvAv 222222
Capítulo 5. Balances globales 228 G. Chacón V.
221121 APAPvvVFx
112212
2 11 APAPAA
VFx
Se desconoce la presión a la salida, P2. El balance de energía
1
21
1
1111 2
0 zgvP
Av
2
22
2
2222 2
zgvPAv
fACHAv
02
21
2212
fHvvPP
Sustituyendo la relación dada para las pérdidas de energía,
04
12
22
3
1
221
2212
vAAvvPP
En términos del flujo volumétrico
02341
3
1
2
2
1
2
2
2
12
AA
AA
AVPP
Despejando la presión a la salida
3
1
2
2
1
2
2
212 23
4 AA
AA
AVPP
Fenómenos de Trasporte 229 G. Chacón V.
Sustituyendo valores
2
22
3
3man2
m0094,04
sm001,0
mkg
4783kP 314
P
2
64
s mkg1000kPa 1
m 0212,0m 0094,0
m 0212,0m 0094,023
man2 kPa 196P 5.24 La fuerza que ejerce el fluido sobre el aparato de con-tracción es
222
23
3 m1
0212,01
0094,014
sm001,0
mkg783
xF
2222 m kPa 0212,03140094,0196
4sm kg1000kN 1
kN 1,0xF 5.24 Ejemplo 5.25. Banda transportadora Una banda trasportadora, inclinada, se desplaza con una velocidad constante. Recibe arena que cae verticalmente desde una tolva. Determine, para la operación continua, la potencia del rodillo de tracción y la potencia necesaria para trasladar el sólido. Para lo cual, considere los efec-tos de carga, desde la tolva, y de salida despreciables, también, las pérdidas por rozamiento en las poleas, rodillos, soportes, etc.
Capítulo 5. Balances globales 230 G. Chacón V.
Diagrama del volumen de control
Datos conocidos: : densidad de la arena 1,6 t/m3 m : flujo másico de la arena 250 kg/s vt: velocidad de entrada de la arena (salida de la tolva) 3 m/s vb: velocidad de salida de la arena (salida de la banda) 3 m/s L: largo de la banda 175 m : inclinación de la banda 30 º Fb: Fuerza necesaria para la traslación de la arena, ¿? Se pregunta:
bW : Potencia (de tracción) de la banda (rodillo) W : Potencia utilizada por la arena. Respuesta 5.25 Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de cantidad de movimiento
z
vb
s
Fb
vt
1
Fenómenos de Trasporte 231 G. Chacón V.
d
dVC
e e e e e eentrada
mvv v A P A
t
s s s s s ssalida
v v A P A
AC VC EXTERNASA m g F
Balance de energía
212d
dVC
m u v gz
t
2
2ee
e e e e e eentrada e
vPv A u gz
2
2ss
s s s s s sentrada s
vPv A u gz
f VCACv A H m G
VC VC OTRASQ W E Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: masa de arena sobre la
banda, sin excesos - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Volumen de control fijo 0VCv y CteVCz be vv ps vv - Flujo de masa en estado estacionario
0d
d
tmVC
- Proceso isotérmico Cte.T Cte.u 0Q 0G 0OTRASE - Pérdidas de fuerza por fricción despreciables FFAAC
Capítulo 5. Balances globales 232 G. Chacón V.
- Pérdidas de energía por fricción despreciables - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es
despreciable vv 1 - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP - Fuerza neta del volumen de control igual a la
fuerza de arrastre por la banda trasportadora bx FF - Velocidad de la banda constante e igual a la de
entrada de la arena bt vv El balance de masa se expresa
bbbttt AvAv 0 Con lo que el flujo de masa
bbtt AvAvm El balance de fuerza cantidad de movimiento en s tsttsttt APvAv0 sbsbbsbbb FAPvAv
sen sens t b bF m v m v m g F
sensen1
gv
LmvmFb
bb
El balance de energía
t
t
t
tttt zg
vPAv
20
2
VCbb
s
bbbb Wzg
vPAv
2
2
Fenómenos de Trasporte 233 G. Chacón V.
La potencia, teórica, necesaria es sen LgmzzgmW tb La potencia de la tracción (por la banda transportadora) es bbbbbb RFvFW La eficiencia es, entonces,
W
vF bb
dasuministra potencia
requerida potencia
Sustituyendo valores
º30sen1
sm3
skg250bF
22 m/s kg 0001kN 1º30sen
m/s 3m 175
sm807,9
skg250
La fuerza necesaria para mover la arena es kN 73bF
sm3kN 73 bW
La potencia de tracción del rodillo kW 218bW 5.25
322 /sm kg 0001kW 1º30senm 175
sm807,9
skg250 W
La potencia requerida para mover la arena es kW 215W 5.25 Notas: - La eficiencia ideal, sin fricción, es: 99,0IDEAL
- Si 0 , horizontal, 0W y 2bb vmW
Capítulo 5. Balances globales 234 G. Chacón V.
5,5. BALANCE DE MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO La relación del momento para un sistema es
Flecha o Ejed TVgrFrT
Para un sistema de masa constante o masa de control, el momento de la cantidad de movimiento, relativa a un punto fijo, se expresa como
Vvrt
FrT d
Para un volumen de control, la ley científica de la conser-vación de la cantidad de movimiento, si F: fuerza sobre el sistema, N r: posición del centro de fuerza o masa del sistema : densidad de la materia en el sistema, kg/m3 v: velocidad lineal del fluido, m/s g: aceleración de la gravedad, m/s2 V: volumen, m3 A: área transversal al flujo, m2. Con el teorema del transporte, se convierte en
....
ddCVCA
Vvrt
AvvrT
vm
m
r
F
Fenómenos de Trasporte 235 G. Chacón V.
Ejemplo 5.26. Bomba centrífuga Una bomba centrífuga impulsa un fluido. Determine el par o “torque” ejercido por el fluido sobre el propulsor y la potencia necesaria para accionar la bomba. Diagrama del volumen de control
Datos conocidos: : densidad del fluido, agua de mar, 1025 kg/m3 V : flujo volumétrico dentro de la tubería 50 L/s 0,05 m3/s : velocidad angular de la bomba 20 revoluciones/s v1: velocidad a la entrada, axial r1: radio de la entrada, 50 mm 0,05 m 1 ángulo de la entrada 0 º t1: ancho de la entrada, 17,5 mm 0,0175 m v1: velocidad a la salida, radial, ¿? r2: radio de la salida, impulsor, 200 mm 0,20 m 1: ángulo de la salida 135 º t1: ancho de la salida, 125 mm 0,0125 m Respuesta 5.26
z
v1
v2
r1
y
x
y r
w
v2r
v2 2
r2
Capítulo 5. Balances globales 236 G. Chacón V.
Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de momento de la cantidad de movimiento
e e e e eentrada
T r v v A
dds s s s s VC
salida
r v v A r v Vt
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el fluido dentro de la bomba - Proceso isotérmico - Volumen de control fijo 0VCv - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Flujo de masa en estado estacionario
0d
d
tmVC
- Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despre-ciables FFAAC
- Fuerzas internas, en el conducto, de presión y cabeza hidrostática despreciables
0 se zzg - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP El balance de masa se expresa
2221110 AvAv Con lo que el flujo de masa
Vtrvrv 2222
11
Fenómenos de Trasporte 237 G. Chacón V.
El balance de momento de la cantidad de movimiento 11111 AveverT zr
222222 Avevever rrr
En la dirección z. VvrTz
22 Como es un movimiento angular, la velocidad centrífuga es 22 rv y 2
2rVTz
La potencia requerida es zTW Sustituyendo valores
s1202m 20,0
s m05,0
mkg1025 2
3
3 zT
El momento en la dirección z. m N 258zT 5.26 La potencia requerida es
m/sN1000
kW 1m N 258s 1202 W
kW 32W 5.26 Nota: Momento en la dirección . VvrT 11
Nm 171
2
r
VT
Capítulo 5. Balances globales 238 G. Chacón V.
Ejemplo 5.27. Placa inclinada Sobre una placa con una pendiente dada, incide un chorro de un líquido en dirección horizontal. El fluido proviene de una ranura del mismo ancho, que la placa. Calcule la fuerza necesaria para mantener la placa en posición y el punto de aplicación de la fuerza resultante, si de desprecian los efectos de fricción del líquido sobre la placa. Volumen de control
Datos conocidos: Fluido agua m : flujo másico 75 kg/s v1: velocidad a la entrada, horizontal, 25 m/s : ángulo correspondiente a la pen- diente de la placa arctan(4/3) s: espesor de la capa de líquido a la entrada de la placa, 20 mm 0,02 m w: ancho de la placa ¿? Respuesta 5.27
x
x
y
v1
v2
s
1
2
0 0
CP
v1
F
s1
s2
Fenómenos de Trasporte 239 G. Chacón V.
Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de cantidad de movimiento
dd
VCe e e e e e
entrada
mvv v A P A
t
s s s s s ssalida
v v A P A
AC VC EXTERNASA m g F
Balance de momento de la cantidad de movimiento
e e e e eentrada
T r v v A
dds s s s s VC
salida
r v v A r v Vt
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el fluido sobre la placa - Proceso isotérmico - Volumen de control fijo 0VCv - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se - Flujo de masa en estado estacionario
0d
d
tmVC
- Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables
FFAAC
- Fuerzas internas de presión y cabeza hidrostática despreciables.
0 se zzg
Capítulo 5. Balances globales 240 G. Chacón V.
- Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP - Masa del líquido en la placa despreciable - Centro de fuerza en una capa homogénea se
encuentra en el centro geométrico (centroide) - Flujo en la pared, como si fuese una capa de
espesor uniforme. Condición de velocidad
vvv 21 El balance de masa se expresa
2221110 AvAvAv
21 mmm El balance de fuerza cantidad de movimiento en eeeeee APvAv0
FAPvAv ssssss FvAv sen0
sen vmF El balance de fuerza cantidad de movimiento en eeeeee APvAv0
FAPvAv ssssss
1111cos0 vAvvAv FvAv 2222
vmvmvm 21cos0 cos21 mmm
Resolviendo esta ecuación con la del balance de masa
cos121 mm
cos122 mm
Fenómenos de Trasporte 241 G. Chacón V.
El balance de momento de la cantidad de movimiento
AveveveσeT
00
1111111 Aveveveσe
2222222 Aveveveσe
El momento en la dirección de z.
222
111
22mv
smv
sTz
El momento producido por la fuerza, F, en la dirección de z.
sen CPCPz vmFT Expresando las relaciones anteriores en términos de los espesores de las capas y la condición de velocidad. wsvm wsvm 11 wsvm 22
cos121 ss cos1
22 ss
222
221 2
121 vswvswTz
sen2 CPvsw Resolviendo para el centro de fuerza, CP.
sen2cos1cos12
sen2
22222
21
s
ss
ssCP
cot21
sCP Hacia abajo del punto 0.
Sustituyendo valores, la fuerza aplicada es
54
sm25
skg75F
N 5,1F 5.27
Capítulo 5. Balances globales 242 G. Chacón V.
En el centro de fuerza,
43mm 20
21
CP
mm 5,7CP a partir de 0 5.27 Ejemplo 5.28. Irrigador de jardín Un irrigador de jardín está formado por dos secciones curvas de tubo hueco, de 200 mm, de cuerda. Gira alre-dedor de un tubo eje, vertical, con una velocidad angular de y una área efectiva de A y una salida del tubo de 30º. Si el gasto es de 4 L/min, el fuido sale a una velocidad de 17 m/s y presenta un par resistivo al movimiento (fricción) de 0,18 N m, determine la velocidad del irrigador, . Diagrama del volumen de control
Datos conocidos: : densidad del fluido, agua 998 kg/m3
v
x
y
v
R
Fenómenos de Trasporte 243 G. Chacón V.
v: velocidad de salida del flujo 17 m/s Q: caudal, 4 L/min 6,6710-5 m3/s : velocidad angular del irrigador ¿? V0: velocidad a la entrada, axial, ¿? R: radio de la cuerda del irrigador 0,20 m : ángulo de la salida del flujo 30 º Tf: par (“torque”) resistivo 0,18 N m Respuesta 5.28 Balance de masa
salida
sssentrada
eeeVC AvAvt
m
dd
Balance de momento de la cantidad de movimiento
e e e e eentrada
T r v v A
dds s s s s VC
salida
r v v A r v Vt
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el fluido dentro del irrigador - Proceso isotérmico - Volumen de control fijo 0VCv - Flujo incompresible (densidad constante) Constante se
- Flujo de masa en estado estacionario 0d
d
tmVC
- Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, expresadas por el par dado
- Fuerzas internas, en el conducto, de presión y ca-beza hidrostática despreciables 0 se zzg
- Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables 0 atmsatme PPPP
Capítulo 5. Balances globales 244 G. Chacón V.
- Las fuerzas y la cantidad de movimiento se com-pensan por simetría y se desprecian.
El balance de masa se expresa
2221110 AvAvAv eee Con lo que el flujo de masa 22222111 QAvAvAv eee El balance de momento de la cantidad de movimiento 111221 AveveverT rrr
222222 Avevever rrr
AvesenveRveRT rr
cos
AvesenveRveR rr cos
En la dirección z. fz TQRvRT cos Despejando la velocidad angular,
2
cosRQ
TR
v f
Sustituyendo valores
23
3 m 2,0s
m5E67,6mkg998
m N 18,0m 2,0
º30cossm17
La velocidad angular del irrigador es Hz 95,0rad/s6 5.28
Fenómenos de Trasporte 245 G. Chacón V.
Capítulo 6
DIFUSIÓN UNIDIMENSIONAL DE LA ENERGÍA Y DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA
6.1 MODELO PARA LA DIFUSIÓN DE CALOR Y DE
LA MASA DE UNA SUSTANCIA, A TRAVÉS DE UNA MASA FIJA
6.1.1 Fundamento Se propone un modelo general para la transferencia de la energía o la masa de una sustancia que atraviesa una masa fija, es decir dicha masa no se mueve en la direc-ción del flujo de la energía o de la masa de la sustancia. El fenómeno se denomina transferencia de calor por conducción, en el caso de la energía y se aplica la ley de Fourier. Para la transferencia de masa de una sustancia, se denomina difusión de masa (de la sustancia en cuestión) y se aplica la ley de Fick. Los siguientes son los casos típicos de volúmenes de control, en la Ingeniería. Los modelos se definen en forma genérica, para realizar cálculos y para poder modelar sistemas de paredes y capas de fluidos, por otro lado para obtener parámetros experimentalmente.
Cilindro, n 1
r
D
qr NAr
x
qx NAx
Placa, n 0 Esfera, n 2
r
D qr NAr
Capítulo 6. Difusión unidimensional 246 G. Chacón V.
Consideraciones del modelo - Flujo de energía o de la sustancia A en estado
estacionario
0
tT
0
tC A
- Volumen de control fijo o inercial 0VCv - No hay flujo de masa total 0v - Material del volumen de control isótropo - Parámetros constantes ) ó ,constante( ACTrk ) ó ,constante( AAB CTrD - Flujo unidireccional
Placa 0
yT
, 0
zT
; 0
yC A , 0
zC A ó
Cilindro 0rT
, 0
zT
; 0r
C A , 0
zC A ó
Esfera 0rT
, 0sen
r
T;
0r
C A , 0sen
r
CA .
El balance diferencial de energía o de una sustancia, cuyas ecuaciones se muestran en los cuadros 26 al 28, se expresa mediante;
Conducción de calor Difusión de una sustancia
01
Gqrrr r
nn 01
AArn
n RJrrr
Ley de Fourier Ley de Fick
rTkqr
r
CDJ A
ABAr
Sustituyendo nn rG
rTrk
r
nA
AnAB rR
rC
rDr
Fenómenos de Trasporte 247 G. Chacón V.
Integrando las expresiones se llega al resultado operati-vo Para la conducción del calor
21 d1dd1d TEnTEn
n Crr
CrrrGr
Tk
(6.1) Para la difusión de masa de una sustancia A
21 d1dd1d TEnTEn
AnAAB Crr
CrrrRr
CD
(6.2) Con las condiciones adecuadas de contorno (de frontera, cotas o límites) de acuerdo con la naturaleza física (física, química, geométrica, etc.) del proceso que se lleva a cabo en el sistema, se evalúan la CTE1 y la CTE2 La transferencia de calor o masa de A se evalúa en algún punto de la pared denotado con un “sub 0” y
Calor: 2/
2/0
0Dr
Dr rTAkQ
o
Masa de A: 2/
2/0
0Dr
ADrABA r
CADN
Se define que flujo el flujo de calor o masa de A es proporcional a la diferencia de potencial (temperatura o concentración de A) entre el punto de referencia y otro de características conocidas.
Calor:
22
2200
0
D
rD
rE
Dr
TTAk
Q (6.3)
Masa de A:
22
2200
0
D
rADrA
E
DrAB
A CCAD
N (6.4)
El coeficiente U0 se conoce como coeficiente global o total de transferencia, evaluado en un punto 0, y su inverso
Capítulo 6. Difusión unidimensional 248 G. Chacón V.
incluyendo el área, como una resistencia, R (térmica o másica).
0
2/
00
01A
AkAR
U Dr
E
ó
0
2/
00
01A
ADAR
K Dr
E
ABC
El valor E se define como un espesor equivalente.
2
2,
2f 00
DD
E
6.2 PAREDES, DIFUSIÓN A TRAVÉS DE 6.2.1. Modelo, para paredes Representando en forma general el sistema con la siguiente figura, del esquema de una pared.
El modelo para el caso, común en Ingeniería, de pare-des, como aislantes, tuberías tanques, etc., se obtiene considerando parámetros constantes y que se conocen las condiciones de contorno en las caras extremas de las paredes; para luego incluir el modelo obtenido en mode-los más complejos según las necesidades.
D0
T0 CA0
T CA
Fenómenos de Trasporte 249 G. Chacón V.
Con las consideraciones adicionales
- Parámetros: Constantesy ABDk - No hay generación 0G
y las condiciones de contorno Cuando r = D0/2 entonces T = T0 ó CA = CA0 Cuando r = D0/2 + entonces T = T ó CA = CA Resolviendo las ecuaciones 6.1 y 6.2, para cada uno de los casos, y evaluando el flujo de calor o masa de una sustancia, según corresponda, con las ecuaciones, 6.3 y 6.4, se obtienen:
Placa plana, n = 0, D0 = 0 Flujo de Calor Flujo de la sustancia A
Perfil del potencial
rTTTT
0
0
rCCCC
AA
AA
0
0
espesor E área base LWA 0
Cilindro hueco, tubo, n = 1 Flujo de Calor Flujo de la sustancia A
Perfil del potencial
0
0
0
0
0
2ln
2ln
DD
Dr
TTTT
0
0
0
0
0
2ln
2ln
DD
Dr
CCCC
AA
AA
Espesor
0
0 21ln2 D
DE
Área base LDA 00
Capítulo 6. Difusión unidimensional 250 G. Chacón V.
Esfera hueca, n = 2 Flujo de Calor Flujo de la sustancia A
Perfil del potencial
00
0
0
0
12
1
12
1
DD
DrTTTT
00
0
0
0
12
1
121
DD
DrCCCC
AA
AA
Espesor
0
21D
E
área base 200 DA
6.2.2. Efectos combinados Cuando se tiene un sistema de varias paredes, de diferentes materiales, en contacto y a su vez sus paredes extremas están inmersas en medios fluidos,
se obtiene un modelo general, con las siguientes consi-deraciones: - Se cumple el modelo anterior para paredes - Parámetros constantes
TfI
T0 · · ·
TN TN-1
T2 TfE
N 2 1
T1
Fenómenos de Trasporte 251 G. Chacón V.
- Contacto entre paredes perfecto (sin burbujas, y los efectos de soldadura, aire, corrosión, asperezas, etc., se consideran como despreciables)
- La radiación a baja temperatura, se incluye como
parte del coeficiente de película. Para altas tempe-raturas, debe considerarse por aparte
- La transferencia de calor entre una fase fluida y una
sólida se representa adecuadamente por la ley de enfriamiento de Newton. En forma análoga, la transferencia de masa entre fases
21 TTAhQ ó 21 AACA CCAkN - La temperatura, Tf, o la concentración, CAf, en el
seno del fluido, se considera homogénea y cons-tante a partir de una distancia dada de la pared. El coeficiente de transferencia correspondiente, h o KC, se aproxima como constante.
Efectuando el balance de energía, en cada capa se obtiene
0101
100 TTAkTTAhQ
EfIfI
111212
2 NNN
EN
N
E
TTAkTTAk
fIfERRfENNfE TTAUTTAh Con lo que, para fIfERR TTAUQ
12
2
01
1
0
1AkA
AkA
AhA
URERE
fI
R
R
RiAh
AAk
A
NfE
R
NN
REN
1
(6.5)
Capítulo 6. Difusión unidimensional 252 G. Chacón V.
En forma análoga para la masa de una sustancia A Para fIAfEARRA CCAKM ,,
12;
2
01;
1
0;
1AD
AAD
AAk
AK AB
RE
AB
RE
fIC
R
R
NfEC
R
NNAB
REN
AkA
ADA
;1;
(6.6)
Para los espesores equivalentes se tiene
Espesor equivalente Razón de áreas Placa plana
1 iiEi xx 11
i
R
AA
(6.7)
Cilindro hueco, tubo
1
1 ln2 i
iiEi D
DD
11
i
R
i
R
DD
AA
(6.8)
Esfera hueca
211
ii
i
iEi
DDD
D
2
11
i
R
i
R
DD
AA
(6.9)
Nomenclatura usada UR: coeficiente total de transferencia de calor, con
referencia a un punto (área) R, m/s AI: área de transferencia de calor, en un punto i, m2 kI: conductividad térmica de la capa i, J/m s K h : coeficiente de película o conductancia térmica,
J/m2 s K hC : conductancia de contacto térmico, J/m2 s K KR: coeficiente total de transferencia de masa, de A,
con referencia a un punto (área) R, m/s DAB: difusividad másica de A en B, m2/s R : factor de resistencia térmica o másica F : factor de resistencia por la suciedad (“fouling”)
Fenómenos de Trasporte 253 G. Chacón V.
6.2.3 EJERCICIOS Ejemplo 6.1. Modelo simple para el coeficiente de pelí-
cula de un fluido Un modelo simplificado para la difusión de calor de una masa de un fluido en reposo desde un objeto esférico, suspendido en él, es considerar que el calor sólo se transmite por difusión (“pura”); es decir que se despre-cian los efectos convectivos provocados por la fuerza boyante debido a la diferencia de densidades y de otros tipos de flujo. Considerando que se conocen la tempe-ratura en la pared del objeto y la del seno del fluido, evalúe el número de Nusselt, es decir, el coeficiente de película. Respuesta 6.1 Diagrama del volumen de control
Datos conocidos: D : diámetro del sólido m Ts : temperatura en la superficie (externa, del sólido) (Ts TrD2) K Tf : temperatura en el seno del fluido (Tf Tr) K
Ts
Tf
r
D D
qr
Capítulo 6. Difusión unidimensional 254 G. Chacón V.
Relaciones de la transferencia de calor para paredes esféricas fEfIRR TTAUQ 2DAs
12
2
01
1
0
1AkA
AkA
AhA
URERE
fI
R
R
RiAh
AAk
A
NfE
R
NN
REN
1
211
ii
i
iEi
DDD
D
2
11
i
R
i
R
DD
AA
Lo que se pregunta es el coeficiente de transferencia de calor o de película, que se define como fss TTAhQ Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Las del modelo de la transferencia de calor en
paredes - Volumen de control: el fluido alrededor y cerca de
la esfera. Se considera como una esfera hueca o capa de fluido alrededor de la esfera
- El fluido no presenta movimiento (provocado por alguna fuerza)
- La conductividad térmica, k, del fluido es constante - La temperatura en el seno del fluido, Tf, se consi-
dera a una distancia muy grande (infinita). Expresando el flujo de calor en términos de los datos conocidos. fsss TTAUQ
211 ss
s
sE
s
DDDD
kAkA
U
Fenómenos de Trasporte 255 G. Chacón V.
Simplificando y obteniendo el límite cuando la distancia, radial, en el fluido es muy grande
kD
kD
DDD
klím
Usss
Ds
22
12
11
Las relaciones del calor para este caso son
fssfsssfss TTAD
kTTAUTTAhQ
2
Por lo que
D
kh
2
Y el número de Nusselt es
2
kDhNu 6.1
Nota: un modelo propuesto es Nu = 2 + 0,43 (GrD Pr)1/4 Para GrD Pr < 1 - 1011
Ejemplo 6.2. Pérdidas de masa por las paredes de un
tanque En un tanque, de acero, cilíndrico de 1 m de diámetro y 1,25 m de altura (internas) con 1,6 mm de espesor, se almacena hidrógeno a 1.3 MPa y 300 C. Calcule el tiempo trascurrido para que la presión del gas se reduzca a la mitad. Respuesta 6.2
Capítulo 6. Difusión unidimensional 256 G. Chacón V.
Diagrama del volumen de control
Datos conocidos: Sea: H Referente al hidrógeno M Referente al metal La solubilidad del hidrógeno (H2), SH, en la superficie del metal es proporcional a la raíz cuadrada de la presión del gas en el tanque, a una temperatura dada.
21
PS H SH (1 Atm.; 300C) = 1 p.p.m. = 10-6 kgHidro/kgAcero D : diámetro interno del tanque 1,00 m L : largo interno del tanque 1,25 m M: densidad del metal 7,3 Mg/m3 DHM: difusividad másica del hidrógeno en el acero a 300 C 510-6 m2/s T : temperatura del sistema 573 K Pi : presión inicial del hidrógeno en el tanque 1,3 MPa R = 8,31451 = kJ/kmol K Balance de masa del gas en el tanque
salida
sssAentrada
eeeAVCA AvCAvC
tmd
d
VCAAfAwACC VRCCAk
r
CHo CH
NAr D
L
NAr
Fenómenos de Trasporte 257 G. Chacón V.
Relaciones de la transferencia de masa para las paredes fIAfEARRA CCAKM ,,
12;
2
01;
1
0,
1AD
AAD
AAk
AK AB
RE
AB
RE
fIC
R
R
NfEC
R
NNAB
REN
AkA
ADA
,1;
Paredes cilíndricas
LDA
1
1 ln2 i
iiEi D
DD
11
i
R
i
R
DD
AA
Paredes planas
42DA 1 iiEi xx 11
i
R
AA
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones adicio-nales al modelo general. - Volumen de hidrógeno en el metal y volumen de
mezclado (VM) despreciables - No se acumula hidrógeno en la pared metálica - La concentración en la pared, interna, en contacto
con el gas, es su solubilidad o saturación y cumple con el modelo propuesto CH0 SH
- La concentración en la pared, externa es despre-ciable. El hidrógeno se “lava” al alcanzar la pared CH0 CH CH0
- El gas, hidrógeno, dentro del tanque se comporta como gas perfecto o ideal CH0 P/R T
- La temperatura del sistema se mantiene constante - Se desprecia la curvatura de las caras laterales
(bases) (se consideran planas) - No se manifiesta reacción química, (-RA) 0
Capítulo 6. Difusión unidimensional 258 G. Chacón V.
Balance de hidrógeno para el gas dentro del tanque como volumen de control.
DgasDAVCA M
tm
dd
Balance del hidrógeno dentro de las paredes (curva y las dos planas) de metal
,0, HHCaracurvaRRDparedesDA CCAKM
,0,2 HHCaralateralRR CCAK
Suponiendo la condición de continuidad
DparedesDADgasDA MM
Entonces
0,,2
dd
HHCaralateralRR
CaracurvaRR
VCA CCAKAKt
m
Considerando el gas en el tanque como gas perfecto y sustituyendo las relaciones constitutivas, con base en el diámetro interno
ii
R
DD
AA
21
0,,0, PSCCC HHHH
tTR
LDP
d4
d2
2
1
2
22
422ln
2
PDD
DD
DDD
LDD HMHM
Fenómenos de Trasporte 259 G. Chacón V.
Considerando la aproximación
DDD 2ln
2
Nota: m 0016,0m 1
m 0016,021ln2m 1
Reuniendo los términos constantes
LDTR
DHM
2114
Simplificando, la ecuación de la presión (Balance de hidrógeno), queda
tPP
dd2
1
Integrándola con la condición inicial a t 0 entonces P Pi
tPiP2
21
21
Cálculo de :
21atm) (1300K) atm, 1(
PSH
H
H
21
3M
M
H
kg 016,2mol 1000
Pa 101325
mk3E5,7
kgk6E10
gg
2
13H Pa /mmol 0117,0
Cálculo de :
Capítulo 6. Difusión unidimensional 260 G. Chacón V.
m 0016,0
s m10E5
Pa m
mol00117,042
213
H
m 25,12
1m 11K 15,573
K molJ31451,8H
/sPa 1076,9 2
15 El periodo trascurrido para alcanzar una presión dada en el tanque es:
2
12
12 PPit
Sustituyendo valores,
s 6E1
Ms1
/sPa 5E76,9
5,01Pa 6E3,12
21
21
21
t
Ms 8,6t h 5 :dias 79t 6.02 Ejemplo 6.3. Diámetro crítico Se desea probar un aislante, hecho con caolín y resinas sintéticas. Los datos experimentales sugieren que se puede utilizar entre 5 y 300 C y que su conductividad térmica es de 0,21 W/m K. La prueba de campo consiste en cubrir con una capa de 25 mm de espesor, de dicho aislante, un tubo de bronce No. 2” BWG 14. El ambiente está controlado a 20 C y presenta un coeficiente de película de 3,8 W/m2 K. Considerando que la temperatura en la capa interior del aislante se mantiene en 150 C, evalúe las pérdidas de calor y compárelas con las correspondientes al tubo sin aislante (a la misma temperatura en la pared).
Fenómenos de Trasporte 261 G. Chacón V.
Respuesta 6.3 Datos conocidos, para el aislante: D0 : diámetro interno 0,0508 m T0 : temperatura en la pared interna 150 C D : diámetro externo 0,1008 m T : temperatura en la pared externa ¿? Tf : temperatura en el seno del fluido 20 C k : conductividad térmica del material aislante 0,21 W/m K h : coeficiente de transferencia de calor del ambiente 3,8 W/m2 C Diagrama del volumen de control, del aislante
Relaciones de la transferencia de calor para paredes cilíndricas fEfIRR TTAUQ LDA
12
2
01
1
0
1AkA
AkA
AhA
URERE
fI
R
R
RiAh
AAk
A
NfE
R
NN
REN
1
1
1 ln2 i
iiEi D
DD
11
i
R
i
R
DD
AA
Tf
r
T0
T
2
2 qr
Capítulo 6. Difusión unidimensional 262 G. Chacón V.
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Las del modelo de la transferencia de calor en
paredes - Volumen de control: pared de material aislante - Las conductividad térmica, k, del material aislante
se considera constante - Se conoce la temperatura en el medio. Expresando el flujo de calor en términos de los datos conocidos. fTTAUQ 000
, LDA 00
DhD
DD
kD
U
0
0
0
0
ln2
1
Sustituyendo en la ecuación de la transferencia de calor.
DhD
DD
kD
TTLDQ f
0
0
0
00
ln2
Simplificando
DhDD
k
TTLQ f
1ln2
1
0
0
Sustituyendo valores, el flujo de calor es
m 1008,0K W/m,831
m 0508,0m 1008,0ln
K W/m21,021
K 20150
2
LQ
W/m3,96LQ
6.03 a)
Fenómenos de Trasporte 263 G. Chacón V.
Para el caso sin aislante
fTThDLQ
00
Con los valores del dados
K 20150K m
W83m 0508,0 2 ,LQ
W/m8,78LQ
6.03 b)
El aislante aumenta en un 22 % las pérdidas, transfe-rencia de calor al medio.
Generalización del modelo para el DIÁMETRO CRÍTICO
Consiste el establecer el diámetro (o el radio) que maxi-miza la transferencia de calor
01ln
21
0
0
DhDD
k
TTLQ f
Derivando con respecto al diámetro externo
2
0
20
1ln2
1
12
1
dd1
DhDD
k
DhDkTT
DQ
L
f
El diámetro crítico Dc se da cuando
0dd
D
Q para cDD
Capítulo 6. Difusión unidimensional 264 G. Chacón V.
Con lo que se obtiene el
Notas:
- 0
ln1dd1
2
0
20
22
2
DD
k
hTT
DQ
Lf
hkD
- Para el caso, en discusión,
m 1008,0m 11,0K m W83
K m W21022
,,DC
El diámetro del aislante es menor que el crítico, por lo tanto aumenta la transferencia de calor.
- Para una esfera, el diámetro crítico es h
kDc
4
Ejemplo 6.4. Espesor de un aislante Se propone aislar un tubo de acero No. 1½” cédula 40, por el cual fluye vapor de agua condensante a 275 kPa. Para lo que se utiliza una capa de magnesia al 85%. El ambiente se encuentra a 30 C. Determine el espesor de la capa de aislante para reducir la transferencia de calor a la cuarta parte de la correspondiente al sistema sin aislamiento. Respuesta 6.4 Diagrama del volumen de control
DIÁMETRO CRÍTICO
hk
Dc
2
Fenómenos de Trasporte 265 G. Chacón V.
Datos conocidos: hA : coeficiente de transferencia de calor (de película) del vapor condensante dentro del tubo (Coulson et All) 9,7 kW/m2 K P : presión del vapor condensante 275 kPa TA : temperatura del vapor condensante 130,6 C hB : coeficiente de transferencia de calor (de película) del aire 14,3 W/m2 K TB : temperatura del aire 30 C D0 : diámetro interno del tubo 0,0409 m D1 : diámetro externo del tubo 0,0483 m k1 : conductividad térmica del acero 42,9 W/m K D2 : diámetro externo del aislante ¿? k2 : conductividad térmica del material aislante 0,069 W/m K Relaciones de la transferencia de calor para paredes cilíndricas fEfIRR TTAUQ LDA
qr
D2
D0
D1
TA
TB
Capítulo 6. Difusión unidimensional 266 G. Chacón V.
12
2
01
1
0
1AkA
AkA
AhA
URERE
fI
R
R
RiAh
AAk
A
NfE
R
NN
REN
1
1
1 ln2 i
iiEi D
DD
11
i
R
i
R
DD
AA
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Las del modelo de la transferencia de calor en
paredes - Volumen de control: el medio Interno, las capas de
tubo metálico y de aislamiento y el fluido externo. Expresando el flujo de calor en términos de los datos conocidos. BA TTAUQ 00
0
0
0
1
1
0
0
0
0
ln2
1DD
DD
kD
DhD
U A
2
0
1
0
1
2
2
1 ln2 Dh
DDD
DD
kD
B
Sustituyendo y simplificando
22
12
1
01
0
12
ln2
ln1Dhk
DDk
DDDh
TTLQ
BA
BA
Evaluando el calor, para el caso del tubo sin aislamiento,
11
01
0
0 12
ln1Dhk
DDDh
TTLQ
BA
BA
Comparando los dos resultados
Fenómenos de Trasporte 267 G. Chacón V.
22
12
1
01
0
11
01
0
0 12
ln2
ln1
12
ln1
DhkDD
kDD
Dh
DhkDD
DhQQ
BA
BA
Sustituyendo valores, haciendo 21 DDx
K mW9,422
1
K mW9700m 0409,0
1
2Q
TTL BA
K mW3,14m 0483,0
K mW069,02
1lnm 0409,0m 0483,0ln
2
xx
y
K mW9,422
1
K mW9700m 0409,0
1
20Q
TTL BA
K mW3,14m 0483,0
1m 0409,0m 0483,0ln
2
Comparando
452,1
448,1ln246,700446,040 xxQQ
Resolviendo para x, 00093,4ln005,5 xx Con el valor inicial de 1, se obtiene 4956,021 DDx Con lo que m 0975,04956,0m 0483,02 D
Capítulo 6. Difusión unidimensional 268 G. Chacón V.
Y el espesor es
2
m 0483,0m 0975,02
12
DD
mm 25 (1 pulgada) 6.4 Ejemplo 6.5. Temperatura intermedia Un conducto de acero inoxidable 304 No. 1½” céd. 40, transporta una salmuera a –10 C (h = 570 W/m2 K). El sistema se encuentra en un ambiente a 22 C (aire en reposo h = 12 W/m2 K). Si se recubre con un aislante de fibra de vidrio de ½ pulgada, seguido de una capa de aislante orgánico, cuya temperatura de trabajo está entre 10 y 70 C (k = 0,075 a 0,094 W/m K), de 35 mm. Determine la temperatura en la interfase fibra inorgánica – aislante orgánico. Datos conocidos: hA : coeficiente de transferencia de calor del fluido interno 570 W/m2 K TA : temperatura del fluido interno -10 C D0 : diámetro interno del tubo No. 1½” céd. 40 0,0409 m D1 : diámetro externo del tubo No. 1½” céd. 40 0,0483 m k1 : conductividad térmica del acero 304 14 W/m K D2 : diámetro externo del aislante fibra de vidrio (12,7 mm) 0,0737 m k2 : conductividad térmica de la fibra de vidrio 0,030 W/m K D3 : diámetro externo del aislante orgánico (35 mm) 0,1437 m
Fenómenos de Trasporte 269 G. Chacón V.
k3 : conductividad térmica del material orgánico 0,085 W/m K hB : coeficiente de transferencia de calor del fluido externo 12 W/m2 K TB : temperatura del fluido externo 22 C Diagrama del volumen de control
Respuesta 6.4 Relaciones de la transferencia de calor para paredes cilíndricas fEfIRR TTAUQ LDA
12
2
01
1
0
1AkA
AkA
AhA
URERE
fI
R
R
RiAh
AAk
A
NfE
R
NN
REN
1
1
1 ln2 i
iiEi D
DD
11
i
R
i
R
DD
AA
qr
TB
D3
D0
D2 D1
TA
Capítulo 6. Difusión unidimensional 270 G. Chacón V.
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Las del modelo de la transferencia de calor en
paredes - Volumen de control: el medio interno, las capas de
tubo metálico y de aislamiento y el fluido externo. Expresando el flujo de calor en términos de los datos conocidos. BA TTAUQ 00
0
0
0
1
1
0
0
0
0
ln2
1DD
DD
kD
DhD
U A
1
0
1
2
2
1 ln2 D
DDD
kD
3
0
2
0
2
3
3
2 ln2 Dh
DDD
DD
kD
B
Sustituyendo y simplificando
1
01
0 2ln1
kDD
DhTTLQ
ABA
33
23
2
12 12
ln2
lnDhk
DDk
DD
B
Evaluando el calor, Q , para el caso en que se define (“conoce”) la temperatura intermedia fibra inorgánica – aislante orgánico, T2. Procediendo en forma análoga 200 TTAUQ A
II
1
0
1
2
2
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
ln2
ln2
1DD
DD
kD
DD
DD
kD
DhD
U AII
Sustituyendo y simplificando
Fenómenos de Trasporte 271 G. Chacón V.
2
12
1
01
0
2
2ln
2ln1
kDD
kDD
Dh
TTLQ
A
A
Comparando los dos resultados
33
23
2
12
1
01
0
2
12
1
01
02
12
ln2
ln2
ln12
ln2
ln1
DhkDD
kDD
kDD
Dh
kDD
kDD
DhTTTT
BA
A
BA
A
Sustituyendo valores
C 2210C 102T
K mW030,02
m 0483,0m 0737,0ln
K mW142
m 0409,0m 0483,0ln
m 0409,0K m
W570
1
2
K m
W030,02
m 0483,0m 0737,0ln
K mW142
m 0409,0m 0483,0ln
m 0409,0K m
W570
1
2
m 1437,0K m
W12
1
K mW085,02
m 0737,0m 1437,0ln
2
Con lo que
5799,09278,30429,70059,00429,00429,70059,00429,0C 32C 102
T
La temperatura en la interfase fibra inorgánica – aislante orgánico C 92 T 6.5
Capítulo 6. Difusión unidimensional 272 G. Chacón V.
Ejemplo 6.6. Variación de la conductividad térmica con la temperatura. Para una pared, con sección trasversal cuadrada (base) y en forma piramidal (el perímetro varía linealmente con la altura), que está sometida a una diferencia de tempe-raturas, evalúe el flujo de calor, considerando que: - La conductividad del material varía linealmente con la
temperatura - El flujo de energía está en estado estacionario (la
diferencia de temperaturas se mantiene constante) - El flujo de energía por las paredes laterales es
despreciable. Diagrama del volumen de control
Datos conocidos: a : lado de la base interna 0.05 m b : lado de la cara externa 0.10 m : espesor 0.15 m T0 : temperatura en la pared interna 600 K T : temperatura en la pared externa 300 K
Conductividad térmica del material T K 260 370 550 750 k W/m K 0,142 0,151 0,162 0,178
x
a
y
x0 x xx
b
z
T0 xQ h
T
Fenómenos de Trasporte 273 G. Chacón V.
Respuesta 6.6 Relaciones para la transferencia de calor En este caso como el área varía y está en coordenadas rectangulares, cartesianas, se debe partir de la relación básica:
.A.Cd AqQ
Relación para la conductividad térmica. Tkk 10 Ajustando los datos del cuadro de conductividad térmica dado, por medio del método de mínimos cuadrados, se tiene que k0 0,1235 W/m K 5,838310-4 1/K se 0.0011 W/m K r 0,9953 Relación para el área. 2hAx Por el teorema de Thales. axh
31
m 150m 05,01,0
,
ab
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: la pieza descrita - La conductividad térmica del material, k, varía
linealmente con la temperatura - El flujo de energía está en estado estacionario (la
diferencia de temperaturas se mantiene constante), por lo que Q es constante
- El flujo de energía por las paredes laterales es despreciable
- La temperatura no varía con y ni con z. Expresando el flujo de calor en términos de la tempera-tura y la distancia, con la ley de Fourier.
Capítulo 6. Difusión unidimensional 274 G. Chacón V.
..A.C
dddd
Ax xAxTkAqQ
xhy
y
xhz
zyz
xTTkQ dd
dd10
Integrando
20 d
d1 hxTTkQ
Sustituyendo, h en términos de x
20 d
d1 axxTTkQ
Separado variables
TTkax
xQ d1d02
Integrando con Q constante
0
20
0
12
T
T
Q k T Tx a
2 2
0 0 01 1
2Q k T T T T
a a
Arreglando
0
00 21
TTbaTTk
Q
Nota:
0GMTAM TTA
kQ
Fenómenos de Trasporte 275 G. Chacón V.
Con:
2
0A
TTT M
AM
0TA 2
kkk
k TTM
22
GM baA
Sustituyendo valores, el flujo de calor es
2K 600300
K110838,51
m ,150K m
W123,04Q
K 300600m 10,0m 05,0 W6,1Q 6.06 Ejemplo 6.7. Tubo empotrado Por un tubo empotrado en una pared se transporta un metal líquido. La pared tiene un espesor de 1,2 m y una conductividad térmica que se puede aproximar como
k (W/mK) = 0,073 [1 + 0,0054 T (K)] La superficie interna, de la pared, se mantiene en 925 K y su cara externa está expuesta al aire, con una temperatura de 300 K y un coeficiente convectivo de transferencia de calor de 23 W/m2 K. Evalúe la distancia, desde la superficie caliente, a la cual se debe colocar el tubo para que su temperatura no exceda 650 K. Datos conocidos: : distancia a la que debe estar el tubo ¿ ? : espesor de la pared 1,2 m T0 : temperatura en la pared interna 925 K T : temperatura en la pared externa ¿ ? Tf : temperatura del medio externo 300 K T : temperatura del tubo 650 K hS : coeficiente de transferencia de calor del fluido externo 23 W/m2 K
Capítulo 6. Difusión unidimensional 276 G. Chacón V.
Diagrama del volumen de control
Respuesta 6.7 Relación para la transferencia de calor, se parte de la relación básica:
.A.Cd AqQ
Para la pared externa (interfase sólido-gas) se cumple la ley de enfriamiento de Newton. ATThQ fxfx
Relación para la conductividad térmica. Tkk 10 k0 parámetro de conductividad térmica 0,073 W/m K coeficiente para la temperatura, de la conductividad térmica 0,0054 1/K Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: la pieza descrita
T0
x
y
T
xQ T
x0 x
Tf
Fenómenos de Trasporte 277 G. Chacón V.
- La conductividad térmica del material, k, varía linealmente con la temperatura
- El flujo de energía está en estado estacionario (la diferencia de temperaturas se mantiene constante), por lo que Q es constante
- El flujo de energía por las paredes laterales es despreciable
- La temperatura no varía con y ni con z - Geometría perfecta. Expresando el flujo de calor en términos de la tempe-ratura y la distancia, con la ley de Fourier.
..A.C
dddd
Ax xAxTkAqQ
A
AxTTkQ
0 0 ddd1
Integrando
AxTTkQ
dd10
Separado variables TTAkxQ d1d 0 Integrando con Q y A constantes
T
T
TTAkxQ0
20 2
xATTTTkQ
2
02
00 2
Aplicándolo en la pared externa, x , para evaluar el flujo de calor
ATThATTTTkQ ff
20
200 2
Capítulo 6. Difusión unidimensional 278 G. Chacón V.
Sustituyendo valores, la temperatura y el flujo de calor son, respectivamente
K 20054,0K 925
K mW073,0 T
AQ
K 300K m
W23m 2,1
1K 925 2222 TT
Al simplificarse y resolverse la ecuación, se obtiene 01032,41002,72 742 TT K 307T El flujo de calor es:
K 20054,0K 925307
K mW073,0
AQ
K 300307K m
W23m 2,1
1K 925307 2222
2 W/m162AQ La distancia, desde la superficie caliente, , a la cual se debe colocar el tubo para que su temperatura no exceda 650 K es
2
222
mW162
K 925650K 2
0054,0K 925650K m
W073,0
m 65,0 6.07
Fenómenos de Trasporte 279 G. Chacón V.
6.3 ALETAS, DIFUSIÓN A TRAVÉS DE SUPERFICIES EXTENDIDAS O ADICIONALES
6.3.1. Modelo, para superficies extendidas Las superficies extendidas se emplean para aumentar la transferencia de calor, o masa, de una pared al medio, aumentando, o proyectando, el área de transferencia de calor. Su uso se ve limitado, pues al aumentar el área de la aleta disminuye la temperatura (fuerza motriz) a lo largo de la misma. Por otro lado, también, para cuando la resistencia térmica del medio (fluido) es muy pequeña comparada con la resistencia térmica de la aleta (sólido). Representando en forma general el modelo de una aleta, con el esquema.
Nomenclatura: S: área lateral de la aleta A: área trasversal a la aleta A0: área de la base de la aleta L: largo de la aleta AF: área total de la aleta
W = 2 t
Tf = T T0
L
z
r r
Ar
Volumen de control diferencial
rQhQ
r
hQ
S Tr
S
Trr
Capítulo 6. Difusión unidimensional 280 G. Chacón V.
W: espesor de la aleta, W 2 t k: conductividad térmica del material de la aleta h: coeficiente de película o transferencia de calor
del medio que rodea la aleta T0: temperatura de la base en la aleta T Tf: temperatura del medio de la aleta
Consideraciones del modelo
- Flujo de energía en estado estacionario 0
tT
- Pared delgada 0L
W 0
zT
- Flujo unidireccional de calor 0r
T
- Parámetros constantes Ctek y Cteh - Resistencias térmicas, relativas,
medio/aleta pequeña 12 khW El balance diferencial de energía (Se puede hacer lo mismo para el balance de una sustancia);
δ δ 0fT Sk A r h r T T
r r r
Aproximando los parámetros como constantes y definiendo fTTΘ
0dd1
dd
dd1
dd
2
2
ΘrS
Akh
rΘ
rA
ArΘ
(6.10) La transferencia de calor se calcula en un punto dado, se escoge la base de la aleta (0)
0
00
0 dd
dd
RrRr
RrRr r
ΘAkrTAkQ
(6.11)
Fenómenos de Trasporte 281 G. Chacón V.
Condiciones de contorno Cuando r = R0 entonces T = T0 o = 0 La otra cota puede interpretarse de diferentes formas, cuando:
r = RL entonces fRreRr
TThrTk
LL
dd
o bien L
L
RreRr
hr
k
dd
Con los siguientes criterios a) he h b) he = h c) he 0 , W/L 0 ó 0 LRrA
Eficiencia Se define, como el rendimiento obtenido con respeto a la máxima capacidad física de la aleta, para transferir el calor.
0TQ = calor, que se transfiere como si toda la aleta se encontrase a la temperatura de la base de la aleta.
NA = área total de la pared sin aletas
FA = área total de las aletas (en contacto con el medio) Entonces el calor, si toda la aleta está a una misma temperatura, igual a la de la base, es fFT TTAhQ 00
La eficiencia se define como 0T
F QQ
(6.12)
Y el calor trasferido por una pared con aletas es: fFFN TTAAhQ 0 (6.13)
Transferencia de calor para
aletas
Capítulo 6. Difusión unidimensional 282 G. Chacón V.
Eficacia Otro término útil para evaluar las aletas es comparar el calor transferido con y sin aletas
0AQ = calor, que se transfiere, desde de la pared, si se ha retirado la aleta correspondiente, con área A0.
00 Rr
AA
= área sobre la pared, que ocuparía la aleta
fA TTAhQ 000
La eficacia se define como
FF
AA A
AQQ
00
0
(6.14)
6.3.2 Aleta rectangular de sección constante, Modelo
para Es la superficie extendida formada por una placa de área trasversal constante (recta) adherida a una pared plana.
W
Tf = T T0
Espina
L
r
W
Tf = TT0
L
Volumen de control semi diferencial
B
Fenómenos de Trasporte 283 G. Chacón V.
NOTA: El modelo sirve también como aproximación para paredes curvas con un ancho de la aleta muy grande (LB0). Balance de energía, diferencial
0dd1
dd
dd1
dd
2
2
ΘrS
Akh
rΘ
rA
ArΘ
(6.10)
Aleta rectangular Espina o aleta cilíndrica A = B·W A = ·W2/4 S = 2 (B + W) r S = ·W·r dS = 2 (B + W) dr dS = ·W dr
kWh
kWBhWBm
22
kWhm
4
(6.15)
AF = 2·B·L + 2·W·L + B·W 2·B·L
AF = ·W·L + ·W2/4 ·W·L
Con lo que queda
0dd 2
2
2
ΘmrΘ
Cuya solución, con las siguientes condiciones de contor-no, es cuando r = 0 entonces = 0
y cuando r = L Lre
Lr
ΘhrΘk
dd
Lmkm
hLm
rLmkm
hrLm
ΘΘ
e
e
senhcosh
senhcosh
0
El calor transferido, se evalúa en la base de la aleta,
r = 0 0
00
0 dd
dd
r
rr
r rΘAk
rTAkQ
Con lo que
Capítulo 6. Difusión unidimensional 284 G. Chacón V.
0 0
tanh0
1 tanh
e
fe
hm Lm kQ k m A T T h m L
m k
(6.16)
En el modelo usual, se desprecian los efectos de borde
0 km
he o 0BW
y se obtiene 0 0 tanhfQ k m A T T m L (6.17) Según Harper y Brown (1922) la aproximación se puede mejorar si se corrige para,
cuando 1Wm se cambia 2
WLL
Eficiencia La eficiencia se evalúa con el calor trasferido si toda la aleta estuviese a T0, despreciando la transferencia de calor por los bordes.
0 0 0 0
ddT f f
SQ h L T T k m A L T Tr
Obteniéndose
LmLm
F
tanh (6.18)
Que es la primera columna del cuadro 37 (RL/R0 = 1) Notas:
m L 0 F 1 (pero AF 0);
fF TTAkQ 0
m L (m L > 5) F 1/(m L) fF TTAmkQ 0
Eficiencia de la ateta recta
Fenómenos de Trasporte 285 G. Chacón V.
Eficacia
Lmhmk
A
tanh0
(6.19) Nota: Si h Ao 0: no vale la pena poner aletas
Longitud cítrica Pretende encontrar un valor de la longitud de la aleta, L, que ofrezca el máximo, “técnico”, para el calor trasferido. Derivando la ecuación para el flujo de calor, Ec 6.16
22
20 0 2
sech 10
1 tanhC
eC
fL L e
C
hm Lk mQ k m A T T
L h m Lk m
Por lo que 012
mkhe
El resultado no da información sobre la longitud de la aleta, pero sí de la eficacia para valores de
Si 12
khw
0
LQ
La aleta es eficaz
h pequeña, k grande, como el caso de una aleta de metal inmersa en aire.
Si 12
khw
0
LQ
La aleta produce efecto aislante
h grande, k pequeña, como el caso de una aleta de metal inmersa en vapor condensante.
Espesor crítico Se pretende evaluar el mínimo, técnico, del espesor para un área dada AP.
Capítulo 6. Difusión unidimensional 286 G. Chacón V.
Si LWAP entonces 3
2WkhALm P
Sustituyendo en la ecuación de transferencia de calor para la aleta recta
0 3
22 tanhPA f P
hQ B k h W T T Ak W
Para un máximo en W
30
2tanh2
12Wk
hAW
TThkBW
QPf
AP
32
5
2sech123Wk
hAWk
hAW PP
Igualando a cero la derivada con W WC, se tiene
CCC WkhL
WkhL
WkhL 2sech232tanh 2
Simplificando con CWk
hLx
2
xxx 2sech3tanh
La raíz es 4192,12
CWk
hLx
Con lo que khA
kLhW PC
998,0993,02
Y el calor es
0 00, 632T C fQ h B W T T La eficiencia para el espesor crítico es 63,0
WcF
Eficiencia de la ateta recta para el espesor crítico
Fenómenos de Trasporte 287 G. Chacón V.
6.3.3 Aleta anular de sección constante, Modelo para La aleta anular, es una placa que rodea un cilindro (conducto o varilla) para aumentar la transferencia de calor (o masa).
Balance, diferencial, de energía
0dd1
dd
dd1
dd
2
2
ΘrS
Akh
rΘ
rA
ArΘ
Aleta rectangular A = 2rW L = RL – R0 : largo de la aleta S = 2 (r2 – R0
2) R0 : radio de la base de la aleta dS = 4r dr RL : radio externo de la aleta
kWhm
2
(6.15)
AF = 2 (RL2 – R0
2) Con lo que queda
0dd1
dd 2
2
2
ΘmrΘ
rrΘ
r W = 2 t
Tf = T
T0
L
RL
r
R0
Capítulo 6. Difusión unidimensional 288 G. Chacón V.
Cuya solución, con las siguientes condiciones de contor-no, es
cuando r = R0 entonces = 0
cuando r = RL y RLre
RLr
ΘhrΘk
dd
0000
00
0 KIKI
RmCRmrmCrm
ΘΘ
con
Le
L
Le
L
Rmkm
hRm
Rmkm
hRm
C
00
01
KK
II
El calor transferido, se evalúa en la base de la aleta
r = R0 0
0Rr
Rr rTAkQ
En el modelo usual, se desprecian los efectos de borde
0 km
he o 0BW
y se obtiene
fo TTRmkQ 02 (6.20)
LL
LL
RmRmRmRmRmRmRmRm
100101
101101
KIIKKIIK
Se puede usar la corrección de Harper y Brown (1922), auque no sea aleta recta, que se cambia L L W2 Nota: Cuando R0 , es decir RL/R0 1
Rm
RmRm
2expIn
RmRmRm
2
expK n
Por lo que la ecuación para el flujo de calor se calcula como si fuese una aleta recta
00 tanh2 RRmTTRmkQ Lfo
Fenómenos de Trasporte 289 G. Chacón V.
Eficiencia La eficiencia se evalúa con el calor trasferido si toda la aleta estuviese a T0, despreciando los efectos de borde.
foLT TTRRhQ 20
220
Obteniéndose
20
202RRm
R
LF
LL
LL
RmRmRmRmRmRmRmRm
100100
101101
KIIKKIIK
(6.21) Nota: la normalización para hacer los cálculos, con = m (RL - R0) = m L y = RL/R0
1K
1I
1I
1K
1K
1I
1I
1K
12
1010
1111
F
(6.22) Cuyos valores se muestran en el cuadro 37
Figura 6.1 Eficiencias de aletas, de sección trasversal constante.
0,00,10,2
0,30,40,50,60,7
0,80,91,0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
(R L - R 0)(h /k W )1/2
Efic
ienc
ia,h
F
RL/R0 1 2 3 5
Capítulo 6. Difusión unidimensional 290 G. Chacón V.
Eficacia La eficacia se evalúa con el calor trasferido por el área de la base sin aleta.
foA TTRWhQ 020
Obteniéndose
LL
LLA RmRmRmRm
RmRmRmRmhwk
100100
101101
KIIKKIIK2
0
(6.23) 6.3.4 EJERCICIOS Ejemplo 6.8. Aleta rectangular de sección constante Una aleta rectangular de acero al carbono AISI 1010 tiene una longitud de 20 mm y de espesor 1,5 mm. Para una temperatura en la base de 200 C, evalúe la trans-ferencia de calor y la eficacia, si el ambiente está a 20 C y tiene un coeficiente de transferencia de calor de:
a) h = 16 W/m2 K b) h = 8,2 kW/m2 K
Datos conocidos: T0 : temperatura de la base de la aleta 200 C k : conductividad térmica del material (a 110 C) 55 W/m K h : coeficiente de transferencia de calor del fluido caso a) 16 W/m2 K hS : coeficiente de transferencia de calor del fluido caso b) 8,2 kW/m2 K Tf : temperatura del medio 20 C L : largo de la aleta 0,020 m W : espesor de la aleta 0,0015 m B : ancho de la aleta -
Fenómenos de Trasporte 291 G. Chacón V.
Respuesta 6.8 Relaciones de la transferencia de calor para aleta recta fFF TTAhQ 0
LBAF 2 WBA 0 Wkhm
2
Eficiencia
LmLm
F
tanh o cuadro 37 (RLR0 1)
Eficacia FFF
AA W
LAA
2
00
0
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Las del modelo de la transferencia de calor para
aletas - La conductividad se representa bien para su valor
promedio.
Caso a) Caso b) h = 16 W/m2 K h = 8,2 kW/m2 K
m 2/0015,0020,0ba LL
m 02075,0ba LL m 02075,0aLm
m 00150
2,
K W/m55K W/m16 2
m 02075,0bLm
m 00150
2,
K W/m55
K W/m8200 2
409,0a Lm 25,9b Lm 409,0
409,0tanha F
o del cuadro 37
25,91
25,925,9tanh
b F
948,0a F 108,0b F
Capítulo 6. Difusión unidimensional 292 G. Chacón V.
Caso a) Caso b)
948,0Km
W 16 2a
BQ
C 20200m 020,02
108,0Km
kW 2,8 2a
BQ
C 20200m 020,02
El flujo de calor por la aleta es
W/m109a B
Q kW/m 4,6b
BQ
6,8
La eficacia de cada caso es Caso a) Caso b)
948,00015,0
020,02a0
A
108,00015,0
020,02b0
A
25
a0A 3
b0A
8,8b
a
0
0 A
A
6.8
Criterio para usar o no aletas
Caso a) Caso b)
2m 00150
2,
khW
KW/m55K W/m16 2
00022,0
2m 00150
2,
khW
KW/m55
K W/m2008 2
11,0 Muy eficaz Poco eficaz
Fenómenos de Trasporte 293 G. Chacón V.
Ejemplo 6.9. Aleta anular de sección constante. Para el diseño de un conducto que transporta un líquido condensante, se desea escoger entre usar: a) Duraluminio o b) Acero inoxidable 304. El conducto es No. 2” céd. 80 con una temperatura en la pared externa que puede aproximarse en 150 C. El siste-ma se usa para precalentar un gas, con una temperatura media de 20 C y un coeficiente de película de 125 W/m2 K, con la ayuda de aletas de 2 mm de espesor, 15 mm de largo, separadas 10 mm entre sí. Como parte de la evaluación técnica y económica, se desea comparar la transferencia de calor de las aletas para cada material. Datos conocidos: T0 : temperatura de la base de la aleta 150 C h : coeficiente de transferencia de calor del fluido 125 W/m2 K Tf : temperatura del medio 20 C L : largo de la aleta 0,015 m W : espesor de la aleta 0,002 m R0 : radio externo del conducto 0,03015 m RL : radio de la aleta k : conductividad térmica de los materiales
Temperatura Acero inoxidable Duraluminio T, K k, W/m K
200 15 136 300 16 166 400 17 185 500 18 195
hC kW/m K 1,9 11
Respuesta 6.9 Relaciones para la transferencia de calor para aleta anular recta fFFN TTAAhQ 0
Capítulo 6. Difusión unidimensional 294 G. Chacón V.
20
22 RRA LF WRA 00 2 Wkhm
2
Número de aletas entero a Redondeo
1
CWL
N tubo
N : número de aletas Lt : longitud del tubo (Se toma como base 1 mtubo) ¿ ? C : separación entre aletas “claro” o “luz” 0,01 m Eficiencia 6.21 Ec.F o cuadro 37 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Las del modelo de la transferencia de calor para
aletas - La conductividad se representa bien para su valor
promedio.
Caso a) Caso b) Duraluminio Acero inoxidable
m 2/002,0015,0AD LL
m 016,0AD LL
W00011Km
W125Km1 22
D
h
W9001Km
W251Km1 22
A
h
K mW
6,1232D h
K mW
3,1172A h
m 016,0DLm
K W/m177m 0020K W/m23,612 2
,
m 016,0A Lm
K W/m5,61m 0020K W/m117,32 2
,
423,0D Lm 349,1A Lm
53,1mm
03015,0016,003015,0
0
RRL
del cuadro 37
9319,0D F 5967,0A F
Fenómenos de Trasporte 295 G. Chacón V.
Número aletas
tuboaleta/m 84m/aleta 01,0002,0
1
tLN
Área libre de aletas
WRLNLRA ttN 00 22
aletam 0020
maleta 841
m m 03015,02
tubo
,LA
t
N
/mm 1580 tubo2,
LA
t
N
Área de las aletas
tubo
222
m aleta 84
aleta m 03015,00455,02 FA
tubo
2 /mm 596,0FA El flujo de calor es
Caso a) Caso b) Duraluminio Acero inoxidable
,1580Km
W125 2D
tLQ
tubo
2
mm596,093,0
K 20150
,1580Km
W125 2A
tLQ
tubo
2
mm596,059,0
K 20150
tubo
D
mkW 6,11
tLQ
tubo
A
mkW 3,8
tLQ
6,9
Capítulo 6. Difusión unidimensional 296 G. Chacón V.
La comparación entre los dos materiales (diferencia de su conductividad térmica), es
4,1AD QQ La aleta de duraluminio es un cuarenta por ciento más eficaz que la de acero inoxidable, desde el punto de vista de la transferencia de calor. Ejemplo 6.10. Aleta cilíndrica (pin) Se desea colocar un tapón (cilindro) de 20 mm de diáme-tro en una pared, ambos de aluminio, que se mantiene a -10 C. El ambiente se encuentra a 30 C (h = 12 W/m2 K). Determine el largo de la pieza para que la transferencia de calor no sobrepase a cinco veces la correspondiente a la superficie plana. Considere que los efectos de contacto con la pared son despreciables, que la temperatura en el trozo de tapón dentro de la pared es igual que la de la pared, no se forman perfiles de temperatura con el radio (ni con el ángulo) y que se deben tomar en cuenta los efectos de borde. Diagrama de la vista lateral del volumen de control
L
TfT0
W
Fenómenos de Trasporte 297 G. Chacón V.
Datos conocidos: Tf : temperatura del medio 20 C h : coeficiente de transferencia de calor del fluido 12 W/m2 K T0 : temperatura de la base de la aleta -10 C L : largo de la aleta ¿ ? D : diámetro (espesor) de la aleta 0,02 m k : conductividad térmica del material
Temperatura Aluminio T, K k, W/m K
200 237 300 237 400 240 500 236
hC kW/m K 11
Respuesta 6.8 Relaciones de la transferencia de calor para aleta recta LWAF 42
0 WA
Wkhm
4
Whk
hmku
4
Lmu
uLmTTAmkQ f
tanh11
1tanh00
Calor sin aleta fA TTAhQ 000
Eficacia 0
0A
A QQ
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Las del modelo de la transferencia de calor para
aletas - La conductividad se representa bien para su valor
promedio
Capítulo 6. Difusión unidimensional 298 G. Chacón V.
- Los efectos de contacto con la pared son despre-ciables
- la temperatura en el trozo de tapón dentro de la pared es igual que la de la pared.
Para este caso la eficacia es de 5 (veces el calor correspondiente a la superficie plana)
LmuLmu
A
tanh11
tanh10
Despejando para L:
uuLm
A
A
0
01
tanh
Sustituyendo valores
1-2
m 18,3K W/m732K W/m12
m 02004
,
m
8,62 K W/m12K W/m732
m 02004
2 ,
u
Con lo que
064,08,628,625
5118,3tanh
L
El valor de la longitud del tapón es mm 20L 6.10 Ejemplo 6.11. Aletas en un tanque Se tiene un tanque de acero al carbono, que guarda aceite de soya caliente, agitada, que viene de un proceso de purificación con una temperatura de 100 C. El reci-piente tiene 2 m de diámetro externo por 2,5 m de alto, el
Fenómenos de Trasporte 299 G. Chacón V.
aceite alcanza 2,4 m. Se desea colocar aletas alrededor del tanque, cada 0,25 m, de 1/16. El medio se encuen-tra a 20 - 30 C ,12 - 28 W/m2 K. Formule un modelo del comportamiento del flujo de calor, con el tiempo. Datos conocidos: T0 : temperatura de la base de la aleta variable k : conductividad térmica del material
Temperatura Acero 1010 T, K k, W/m K
300 64 400 59
HT : altura del líquido en el tanque 2,4 m DT : diámetro del tanque 2,0 m R0 : radio externo del tanque 1 m L : largo de la aleta ¿? m W : espesor de la aleta 0,00159 m B : ancho de la aleta 2 m Claro : claro entre aletas 0,25 m RL : radio de la aleta ¿? m h coeficiente de transferencia de calor del fluido, medio 12-28 W/m2 K Tf : temperatura del medio 20-30 C T : temperatura del aceite variable CPA: capacidad calorífica del aceite 1,46-1,88 J/kg K A : densidad del aceite 0,89-0,82 Mg/m3 kA : conductividad térmica del aceite 0,095-0,097 W/m K Respuesta 6.11 Relaciones para la transferencia de calor para la aleta anular recta,
para 10
0
0
R
LRRRL
Capítulo 6. Difusión unidimensional 300 G. Chacón V.
fNFF TTAAhQ 0
LRRRA LF 020
2 42
Wkhm
2
; WRA 00 2
Número de aletas entero a Redondeo
1
laro
tubo
CWL
N
WRNLRA tN 00 22
Eficiencia
LmLm
F
tanh o cuadro 37
Eficacia FFF
AA W
LAA
2
00
0
Balance de energía para el aceite en el tanque
212d
dVC
m u v gz
t
2
2ee
e e e e e eentrada e
vPv A u gz
2
2ss
s s s s s sentrada s
vPv A u gz
f VCACv A H m G
VC VC OTRASQ W E Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Las del modelo de la transferencia de calor para
aletas - La conductividad se representa bien para su valor
promedio - La temperatura dentro del tanque es homogénea
Fenómenos de Trasporte 301 G. Chacón V.
- La temperatura en la base de la aleta es igual a la del tanque
0. TT - La relación de radios, es
10
0
0
R
LRRRL
se aproxima como aleta rectangular - La eficiencia se toma como 63,0F - Se toman los valores críticos de las propiedades y
parámetros - La transferencia de calor del aceite es la que se
desprende por las aletas y el área libre de la pared lateral (la otras pérdidas se consideran desprecia-bles)
VCQQ
- Temperatura de referencia K 0. REFT . Simplificando el balance de energía del aceite en el tanque
VCVC Q
tmu d
d
En términos de la temperatura
fNFF
PT TTAAht
TCHR
d
d 20
Simplificando y separando variables
PT
NFF
f CHRAAh
tT
TT 0dd1
Integrando, con la condición de contorno: a t = 0, T = T0 = TI
tTTTT
fI
f
exp
Capítulo 6. Difusión unidimensional 302 G. Chacón V.
El flujo de calor en cada instante es fNFF TTAAhQ
tTTAAh fINFF exp Evaluando numéricamente
6,15K W/m62m 001590
K W/m122 2
,m
El largo de la aleta, se estima con la eficiencia supuesta.
63,0tanh
Lm
LmF
m 408,1 Lm m 090,06,15/m 408,1 L Número de aletas
aletas 111m 25,0m 00159,0
m 5,2
entero a Redondeo
N
El área de, transferencia de calor, de las aletas 22 m 44,12m 09,0m 14aletas 11 FA El área de libre para la transferencia de calor WRNLRA tN 00 22 m 00159,0m 12aletas 11m 5,2m 12 NA 2m 60,15FA
1/s 0287,0
K kgJ 461m 4,2m 1
mkg 890
m15,6012,440,63K m
W 12
23
22
,
Fenómenos de Trasporte 303 G. Chacón V.
Con lo que se obtiene el flujo de calor
22 m15,6012,440,63
KmW 12Q
s
s0287,0expC 25100 t
El modelo para la transferencia de calor en el sistema es tQ 0287,0exp21 6.11 sen y kW en tQ
Duración del proceso
0, 01 kW 21 exp 0, 0287Q t
1 0,01 kWln0,0287 21 kW
t
min 5s 267 t
O bien, con la temperatura, tT
0287,0exp
2510025
1 25, 25 25ln
0, 0287 75t
min 5,3s 199 t
El estimado del calor total (integrando el resultado anterior para el flujo de calor) es 2000287,0exp1
0287,021
Q
kJ 73 Q 6.11
Capítulo 6. Difusión unidimensional 304 G. Chacón V.
Fenómenos de Trasporte 305 G. Chacón V.
Capítulo 7
ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS 7.1 FUERZA Y PRESIÓN EN UN FLUIDO La Estática de los fluidos se define como la disciplina que estudia los fluidos en reposo relativo. En la que se postula que la p PRamF f
resión y la fuerza
sobre una superficie se evalúan de acuerdo con la Ley de Newton.
La presión (Fuerza interna o reacción) se evalúa con la Ecuación de Navier Stokes
0ˆ gPvv
tv
(2.10)
Con las siguientes consideraciones
1.- No existe movimiento relativo, dentro del volumen de control, v 0
2.- Con lo que no existe deformación (fricción), 0 3.- Sólo se manifiestan fuerzas internas debido a la
presión 4.- La presión en un punto, del fluido, es igual en
todas las direcciones (escalar) Simplificando, se obtiene la fuerza por unidad de volu-men sobre una “partícula” de fluido 0 gP
(7.1)
Variación de la presión
Gravedad sobre el cuerpo
1 1 2
Capítulo 7. Estática de fluidos 306 G. Chacón V.
La presión dentro del fluido en reposo, relativo, es
gzP
(7.2)
La presión dentro del fluido, cuando el volumen de control se traslada como un todo (como si fuese un sólido, volumen de control inercial) con aceleración ax, es
xP ax
(7.3)
La fuerza ejercida por el fluido sobre una superficie, Sec. 1.5.1, y como no se tienen fuerzas cortantes (en un fluido) en reposo (consideración No. 2), se obtiene por
AAPF
d (7.4)
La fuerza, neta, tiene la misma dirección que el área y sentido contrario (La presión es un escalar y la fuerza ejercida es perpendicular a la superficie). El momento en un punto se expresa como
A
APrFrM
dd (7.5)
Presión manométrica y Presión absoluta Manómetro: Es un instrumento que mide la diferencia de
presión entre dos puntos. Barómetro: Es un instrumento que mide la Presión total
o absoluta en un punto dado, Pabsuluta.
Fenómenos de Trasporte 307 G. Chacón V.
Presión atmosférica, Patmosférica: Es la presión, absoluta en un punto de la atmósfera, terrestre. Nor-malmente el barómetro solo está diseñado para medir la presión atmosférica.
Notas:
- no se debe confundir Patmosférica con 1 Atm. - Patmosférica Patm
Presión manométrica, Pmanométrica o Pg: Es la diferencia de
la presión en un punto dado y la de atmós-fera terrestre.
La relación de la presión manométrica y la presión de vacío con respecto a la presión atmosférica se expresa mediante
Presión manométrica aatmosféricabsolutagman PPPP (7.6)
Presión de vacío amanométricaatmosféricvac PPP (7.7)
Relación de la densidad con T y P
Los siguientes coeficientes y sus aproximaciones para los cálculos son empleados en la Mecánica de los fluidos
Compresibilidad isotérmica Módulo de compresibilidad Ev Módulo de elasticidad
1 1
TEv P
TT EvPP
EvPP
00
00 1exp
Expansión isobárica Dilatación térmica
PT
1
PP TTTT 0000 1exp Ambos efectos juntos
TPEv
dd1d
(7.8)
Capítulo 7. Estática de fluidos 308 G. Chacón V.
7.2 FUERZA SOBRE UN CUERPO SUMERGIDO Para un cuerpo sumergido
Con: = densidad del fluido y C = densidad del cuerpo
AF
AF
AAP
dd
δδ
δδlim
Sec. 1.5.1
Mediante un balance de fuerzas en la dirección z, de la plomada, se tiene que (la fuerza neta, Fz, es):
AAz AzgAzzgPF dddd C0
A
AzgP d0
AAz VgVgF dd C (7.9) Cg dV: Es el peso o fuerza ejercida por el cuerpo g dV: Es la fuerza ejercida por el fluido fuerza boyante, de empuje o de flotación.
Principio de Arquímedes (220 A. C.): Un cuerpo sumergido experimenta una fuerza de empuje igual a la fuerza de gravedad (peso) del líquido desalojado (por el cuerpo).
V
Peso
Fuerza boyante
dz dV
dA
Volumen de control diferencial
Cg dV
P0g z
P0g (zdz)
Fenómenos de Trasporte 309 G. Chacón V.
7.3 MANOMETRÍA TUBO-LÍQUIDO Manómetro en U Es un manómetro formado por un tubo en U, cuyos extremos están colocados en los puntos de interés, al mismo nivel. Utiliza un liquido, líquido manométrico, para efectuar la medida; el cual es inmiscible con el fluido en contacto y más denso que éste.
Reglas para manómetros tubo-líquido En un tramo continuo de un, mismo, líquido (en el
tubo), la presión es igual en cualesquiera dos puntos que se encuentren en el mismos nivel (altura en dirección de la plomada).
La presión aumenta si se “baja” a lo largo de la columna de líquido (en dirección de la plomada).
Líquido manométrico
h
P1 P2
l
Altura manométrica
z0
zz
l
Capítulo 7. Estática de fluidos 310 G. Chacón V.
Con la Ec. 7.2 gzP
Integrando la ecuación entre los puntos de la columna izquierda
dzgdzgPlh
h
hP
P
0
1
0
d
Para la columna derecha
dzgdzgPlh
h
hP
P
0 m
2
0
d Donde
: densidad del fluido m: densidad del líquido manométrico
Efectuando las Integrales hgPPP m12Δ (7.10) 7.4 MANÓMETRO DE DEPÓSITO
Líquido manométrico
h
P1 P2
H
Lectura manométrica
l
zz0
zzh
zzl
zz
L
D
d
Manómetro en U estándar
Fenómenos de Trasporte 311 G. Chacón V.
El manómetro de depósito, micromanómetro o manóme-tro diferencial, se emplea para aumentar la sensibilidad de la medición con un depósito (columna) de diámetro grande y un tubo de diámetro pequeño e inclinado.
Con la Ec. 7.2 gzP
Integrando la ecuación entre los puntos del depósito (columna izquierda)
1 0
0
d l l
z
P z z z
P z z zP g dz g dz g dz
Para la columna derecha
dzgdzgP hl
hz
z
z
z
z
P
P m2 d
Donde
: densidad del fluido m: densidad del líquido manométrico L: lectura manométrica
Restando las Integrales
1 2 mΔ d dh hz z
z zP P P g z g z
Efectuando las Integrales y arreglando
2 1 mΔ hP P P g z z Por otro lado, con las altura en el depósito
Hhzzh Y la Ley de conservación de la masa:
La masa de líquido manométrico, que antes de la medida se encuentra en el recipiente de diámetro grande, se traslada al tubo de la derecha o brazo, en el momento de la medida.
Capítulo 7. Estática de fluidos 312 G. Chacón V.
44 2m
2m LdHD
Simplificando LDdH
2
Sustituyendo, con sen Lh , se tiene
2
m12 senΔDdLgPPP (7.11)
Nota: LKP Δ , como todos los términos diferentes de la
altura manométrica, L, dependen de las caracterís-ticas geométricas y de operación del aparato, se indica como “constante” del micro manómetro y se suele ofrecer por la casa fabricante o se calibra.
7.5 FUERZA QUE EJERCE UN FLUIDO SOBRE
UNA PARED (SÓLIDA) PLANA
h0
CP
0
z
CP
L
FLUIDO
ATMÓSFERA
ATMÓSFERA
x
Patm
z0
: densidad del fluido
wh L F zh0
zh
Micro manómetro estándar
Fenómenos de Trasporte 313 G. Chacón V.
Para una pared sumergida en un fluido, la fuerza que el fluido ejerce sobre ella, está relacionada con la presión, de la Ec. 7.4 A
APF
d Se usa como coordenada , que es perpendicular al área (fuerza) y con referencia en 0, en el borde superior de la pared analizada. Se supone que la fuerza aumenta al “bajar” en el fluido, a partir de dicha referencia. Con ayuda del esquema anterior se desarrollan las fórmulas. Presión, del fluido, sobre la pared
gzP
(7.2)
Con lo que
zgdzgPPPz
atm
P
Patm
0
d
Por la geometría del sistema, para z h0 sen0 hz Sustituyendo y efectuando la Integral
Fuerza, del fluido, sobre la pared
A atm APPF
d (7.4)
Presión de un fluido sobre una pared
atmPhgP sen0 (7.12)
Capítulo 7. Estática de fluidos 314 G. Chacón V.
Sustituyendo el valor de la presión (en la dirección z) y el área
LwhgF
0 0 dsen
Efectuando las Integrales
Momento, del fluido, con respecto al origen de la pared
( 0)
AAPrFrM
dd (7.5)
Sustituyendo el valor de la presión (en la dirección z) la posición y el área
L
z whgM0 0 dsen
Efectuando las Integrales
Momento del fluido sobre la pared, respecto al origen, 0
(7.14)
sen
32
2
00
LLhLwgM z
Fuerza del fluido sobre la pared
0 sen2LF g w L h
(7.13)
Fenómenos de Trasporte 315 G. Chacón V.
Centroide
Por definición
A
A
d
d
Sustituyendo el valor de la posición y el área
2d
d
0
0 L
w
wL
L
(7.15)
Momento de área respecto al origen ( 0)
Por definición
000 d2 AI
Sustituyendo el valor de la posición y el área
3
d3
0
200
LwwIL
Centro de fuerza con respecto al origen ( 0)
Por definición FMFr
FCP
d1 Sustituyendo el valor del momento, Ec. 7.14, y la de la fuerza, Ec. 7.13, se tiene
sen
sen
21
0
231
021
Lh
LLhCP (7.16)
Centro de fuerza del fluido sobre la pared, respecto al origen, 0
Centroide
Momento de área
Capítulo 7. Estática de fluidos 316 G. Chacón V.
Notas
0 cuando 0 h 32 entonces LCP
Latm APPLwgF
2sen2
323sen3 FLLwgM z L: Longitud húmeda de la placa, es la parte de la
placa en contacto con el líquido.
sen0 hLwgF La presión en el centroide de la longitud húmeda por el área mojada.
CPCPz FhLwgM sen0 7.6 EJERCICIOS Ejemplo 7.1. Presión atmosférica Se desea estimar la altitud (altura a partir del nivel del mar) y la presión atmosférica correspondiente a una temperatura promedio de 21 C. Esto, con el propósito de escoger el lugar de una planta que requiere agua de en-friamiento a 19 - 22 C, para un proceso de fermentación que trabaja a 26 - 30 C. Se conoce que, en el paralelo correspondiente, la temperatura promedio a nivel del mar es de 29 C y la presión de 762 mmHg y en la montaña a 2,5 km de altitud es de 12 C. Datos conocidos: P0 : presión barométrica a nivel del mar 101,6 kPa T0 : temperatura promedio a nivel del mar 302 K
Fenómenos de Trasporte 317 G. Chacón V.
L : altitud de referencia 2,5 km PL : presión barométrica a L ¿? TL : temperatura promedio a L 285 K h : altura de trabajo ¿? P : presión barométrica a h ¿? T : temperatura promedio a h 294 K R : constante universal de los gases 8,314 5 kJ/kmol K M : peso molecular del aire 29 kg/kmol Respuesta 7.1 Diagrama del volumen de control
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático (se desprecian las corrientes verticales
y horizontales del aire) - La presión disminuye a partir del nivel del mar (z 0) - El aire se comporta como gas ideal - La variación de temperatura con la altura es lineal. Presión (hidrostática) en el gas
gzP
h
h
P
P P
Capítulo 7. Estática de fluidos 318 G. Chacón V.
Fórmula de los Gases perfectos o ideales
TRMP
Temperatura atmosférica, según NACA TN 1428, para la Atmósfera estándar
zbTT 10 Sustituyendo la densidad, para evaluar la presión
TRMPg
zP
Luego la temperatura
zbz
TRMg
PP
10
Integrando y arreglando términos, con las condiciones a z = 0 T = T0 y P = P0 a z = L T = TL y P = PL
bTRMg
bTRMg
TTzb
PP 0
0
00
1
0
0
00 lnln11
PPTT
TRMg
LTTb
L
LL
zbTT 10 Sustituyendo valores
1km 0225,0km 5,2
1K 15,302K 15,2851
b
Presión y temperatura atmosférica, con la altura
Fenómenos de Trasporte 319 G. Chacón V.
10 km 0225,0
1K 302K 942 111
bTTzh
La altura de trabajo es de km 2,1h 7.1
kJ 31458K kmol
sm 80665,9
20 ,bTRMg
03,50,0225
kmK 023
1kmol
kg 29
kPa 6,101K 302K 294 03,5
P
La Presión a la altura de trabajo es kPa 88P 7.1 Ejemplo 7.2. Presión atmosférica (adiabática) Se desea estimar la altitud (altura a partir del nivel del mar) y la presión atmosférica correspondiente a una temperatura promedio de 21 C. Esto, con el propósito de escoger el lugar de una planta que requiere agua de enfriamiento a 19 - 22 C, para un proceso de fermen-tación que trabaja a 26 - 30 C. Se conoce que, en el paralelo correspondiente, la temperatura promedio a nivel del mar es de 29 C y 762 mmHg. Datos conocidos: P0 : presión barométrica a nivel del mar 101,6 kPa T0 : temperatura promedio a nivel del mar 302 K
Capítulo 7. Estática de fluidos 320 G. Chacón V.
h : altura de trabajo ¿? P : presión barométrica a h ¿? T : Temperatura promedio a h 294 K R : Constante universal de los gases 8,314 5 kJ/kmol K M : Peso molecular del aire 28,97 kg/kmol CP : Capacidad calorífica a presión constante 1,0035 kJ/kg K Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático (se desprecian las corrientes verticales
y horizontales del aire) - La presión disminuye a partir del nivel del mar (z 0) - El aire se comporta como gas ideal - Comportamiento reversible y adiabático del sistema - La capacidad calorífica a presión constante se consi-
dera aproximadamente constante con la altura y la temperatura y representada por su valor promedio.
Presión del gas
gzP
Fórmula de los Gases perfectos o ideales
TRMP
Relación termodinámica para la temperatura atmos-férica, reversible y adiabática
PCMR
PP
TT
00
Sustituyendo la densidad, para evaluar la presión
TRMPg
zP
Fenómenos de Trasporte 321 G. Chacón V.
Sustituyendo la temperatura con la relación de la Termodinámica, para un proceso adiabático reversi-ble para gases perfectos o ideales.
PP CMR
CMR
PTRPMg
zP 1
0
0
dd
Separado variables, integrando y arreglando términos
RMC
P
P
zTC
gPP
00
1
Para la temperatura
zTC
gTT
P 00
1
Sustituyendo valores
12
0
km 0323,0K 15,302
1kJ 0035,1
K kgs
m 80665,9 TC
g
P
10
0 km 0323,01
K 302K 942 11
gTC
TTzh P
La altura de trabajo es de km 82,0h 7.2
50,3kmol
kg 28,97kJ 31458K kmol
K kgkJ 0035,1
,RMCP
kPa 6,101K 302K 294 50,3
P
Capítulo 7. Estática de fluidos 322 G. Chacón V.
La presión a la altura de trabajo es kPa 5,92P 7.2 Ejemplo 7.3. Fuerza neumática Determine el diámetro del pistón de empuje de una ele-vadora neumática, para que con 1 kN, se pueda levantar 10 t (toneladas métricas) en la plataforma de 0,25 m de diámetro. Datos conocidos: F : Fuerza externa en 1 1 kN D1 : diámetro del pistón 1 ¿ ? M : masa de la carga en 2 10 000 kg W : peso de la carga en 2 D2 : diámetro de la carga en 2 0,25 m Diagrama del volumen de control
Respuesta 7.3 Principio de la presión para un gas
21 PP
Patm D2
F P1
P2
W h L2
D1
Fenómenos de Trasporte 323 G. Chacón V.
La fuerza ejercida sobre una superficie, Ec. 7.4
AAPF
d Área 42DA Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - Temperatura constante - La presión es homogénea - El efecto de la altura sobre la presión es desprecia-
ble - El aire se comporta como gas ideal. Sustituyendo
44 22
21 D
WDF
Despejando el diámetro D1 WFDD 21 Sustituyendo valores
2! sm 9,80665kg 10E3N E31m 25,0
D
El diámetro del pistón de empuje es mm 251 D (1 pulgada) 7.3
Capítulo 7. Estática de fluidos 324 G. Chacón V.
Ejemplo 7.4. Gas confinado El sistema mostrado en el diagrama muestra el gas confinado en dos cilindros, de diferente diámetro, separa-dos por un pistón de 10 kg. Evalúe la presión en B, si la presión en A es de 200 kPa. Respuesta 7.4 Datos conocidos: Patm: presión atmosférica 100 kPa PA : presión en A 200 kPa DA : diámetro del lado A del pistón 100 mm PB : presión en B ¿? DB : diámetro del lado B del pistón 25 mm m : masa del pistón 10 kg Diagrama del volumen de control
Patm
DA
Patm
PA
B
PB
DB
x
y
F
A
Fenómenos de Trasporte 325 G. Chacón V.
La fuerza ejercida sobre una superficie, Ec,7.4
AAPF
d Área 42DA Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - Temperatura constante - La presión es homogénea - El efecto de la altura sobre la presión es desprecia-
ble - El aire se comporta como gas ideal. Balance de fuerzas en y
0 BpesoatmA FFFF En términos de la presión
0ddd BBatmatmAA APgmAPAP Despejando para el punto B, con la presión homogénea con el área,
gmDDPDPDP BAatmA
AB
B
22
22
444
Simplificando
2
2241
BB
Aatm
B
AAB D
gmDDP
DDPP
Sustituyendo valores
1
mm 25mm 100kPa 100
mm 25mm 100kPa 200
22
BP
Capítulo 7. Estática de fluidos 326 G. Chacón V.
Pa 1000
kPa 1 m 1mm 25
mm 1000m/s 80665,9kg 104 22
kPa 1000
MPa 1 kPa 8,19915003200 BP
La presión en el cilindro B es MPa 9,1BP 7.4 Ejemplo 7.5. Espesor de una pared de un recipiente Estime el espesor de las paredes de un recipiente cilíndrico de acero al carbono que almacena nitrógeno comprimido a 20 MPa. El diámetro es de 0,25 m y la longitud de 1,3 m. Considere que la temperatura se mantiene constante de 16 a 20 C Respuesta 7.5 Diagrama del volumen de control
Datos conocidos: P : presión del fluido sobre la pared 20 MPa D : diámetro del tanque 0,25 m L : altura (longitud) del tanque 1,3 m
D
FC
L
Fenómenos de Trasporte 327 G. Chacón V.
C : esfuerzo crítico o permisible del metal 210 MPa t : espesor de la pared del tanque ¿ ?
Relaciones para las fuerzas La fuerza del fluido sobre una pared curva es la presión en el centroide por el área (de la pared) proyectada. Pared lateral LDPFF Tapa 42DPFF Las fuerzas de reacción del material del recipiente para las condiciones críticas son “Cascarón” cilíndrico LtF CC 2 “Cascarón” esférico DtF CC Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Paredes delgadas relativamente. Con lo que se
aplican las fórmulas de la Mecánica expuestas anteriormente
- Para un gas, se considera el efecto de la gravedad sobre la presión despreciable
- La fuerza ejercida por la presión de un fluido sobre una superficie cóncava se ejerce sobre el centroide del área proyectada
FC
PF
Pared lateral Pared de la tapa
FC
PF
Capítulo 7. Estática de fluidos 328 G. Chacón V.
- Las tapas se consideran esféricas (generalmente son achatadas o toroides).
Balance de fuerzas en la pared lateral.
FFuerza del fluido RFuerza resistiva 0 02 LtLDPFF CCF
C
DPt
2
Sustituyendo valores
MPa 2102
mm 250 MPa 20
t
El espesor del tanque (con base en la pared lateral) es mm 12t 7.5 Balance de fuerzas en las paredes de las tapas (esféricas).
FFuerza del fluido RFuerza resistiva 0 042 DtDPFF CCF
C
DPt
4
Como es menor que el espesor calculado con base en la pared lateral, se emplea el ya calculado. 7.5
Espesor de una concha cilíndrica
Espesor de una concha esférica
Fenómenos de Trasporte 329 G. Chacón V.
Ejemplo 7.6. Fuerza y presión en un punto Un depósito cilíndrico lleno de aceite, con densidad relativa de 0,8820/4C, colocado sobre el piso y abierto a la atmósfera, tiene una profundidad de 12,5 m. Evalúe el diámetro del recipiente para que la fuerza máxima en el fondo sea de 0,36 MN. Datos conocidos: P0 : presión barométrica 15 m de H20 (4 C) DR : densidad relativa del aceite 0,88 h : altura del líquido en el tanque 12,5 m Respuesta 7.6 Diagrama del volumen de control
Presión (hidrostática) en el fondo
gzP
Integrando entre el nivel (0) y el fondo (h)
0PhgPh
D
Ph
h
P0
Capítulo 7. Estática de fluidos 330 G. Chacón V.
Sustituyendo valores
m 5,12
sm80665,9
mkg720,99988,0 23hP
Pa 3E1
kPa 1OmH 1Pa 3E064,9OmH 15
22
La presión que ejerce el líquido en el fondo del tanque es kPa 255hP 7.6 Fuerza en el fondo
zhh
D
zhz APAPF 2
0d
42DPF hhz En este caso es la presión absoluta, pues la carga la recibe el piso (balance de fuerzas). Despejando el diámetro
h
hz
PF
D4
Con los datos, se tiene
kPa 552kN 3604
D
El diámetro del recipiente es m 3,1D 7.6
Fenómenos de Trasporte 331 G. Chacón V.
Ejemplo 7.7. Fuerza “hidráulica” Para una elevadora “hidráulica”, que utiliza aceite, con un diámetro del pistón de empuje de 25 mm y una fuerza 1 kN, determine el peso que se puede levantar sobre la plataforma, que es de 0,25 m de diámetro y 0,1 m de alto. Datos conocidos: F : Fuerza externa en 1 1 kN D1 : diámetro del pistón 1 0,025 m h1 : profundidad del líquido al pistón 1 - - L1 : alto del pistón 2 0,10 m W : peso de la carga en 2 ¿ ? D2 : diámetro del pistón 2 0,25 m L2 : alto del pistón 2 h2 : profundidad del líquido al pistón 2 - - P0 : presión barométrica 15 m de H20 (4 C) g.e 20/4: gravedad especifica (densidad relativa) 0,888 del aceite Respuesta 7.7 Diagrama del volumen de control
Presión (“hidrostática”) del líquido
gzP
Patm
F P1
P2
W h2
h1
L
D2
D1
Capítulo 7. Estática de fluidos 332 G. Chacón V.
La fuerza ejercida sobre una superficie, Ec. 7.4
AAPF
d
Área 42DA
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - Temperatura constante - La presión es homogénea, con el área - Densidad del fluido constante. Integrando entre los niveles 1 y 2
2121 hhgPP Balance de fuerzas, en el pistón, (en 2).
0d 2220 22 hAgAPWF y
A
yy
0
222211 yy AhgAhhgPW
02222121 yyy AhgAhgAPW
24212
2222
1
hhDgD
DFW
Sustituyendo valores
3
22 m
kg720,999888,0m 25,0m 025,0
kN 1W
N 1000
kN 1m 25,02m 0
4m 2
sm80665,9 2
2
Fenómenos de Trasporte 333 G. Chacón V.
kN 0,9kN 100 W La fuerza que ejerce el líquido sobre la carga es de kN 99W (10 t) 7.7 Notas: En los cálculos se considera h1 2 m y h2 0, en forma arbitraria, pues el efecto en la fuerza es despreciable y se redondea (en toneladas) por defecto, por seguridad. Ejemplo 7.8. Elevación del nivel de un líquido en un
capilar Un tubo abierto a la atmósfera, de diámetro pequeño (capilar), se sumerge en un líquido, el cual sube debido a su tensión superficial, manteniéndose un nivel dado. Encuentre una relación entre la altura del líquido en el capilar y el diámetro del mismo, entre 0,2 y 20 mm, para agua y para mercurio, a 25 C. Datos conocidos: P0 : presión barométrica ¿? T : temperatura ambiente 25 C : densidad del agua (a 25 C) 997,0429 kg/m3 : tensión superficial del agua (a 25 C) 71,97 mN/m : ángulo de contacto del agua (a 25 C) 0 : densidad del mercurio (a 25 C) 13 533,6 kg/m3 : tensión superficial del mercurio (a 25 C) 467 mN/m : ángulo de contacto del mercurio (a 25 C) 140 º h : altura del líquido en el capilar (a 25 C) ¿? D : diámetro interno del capilar (a 25 C) 0,5 a 50 mm
Capítulo 7. Estática de fluidos 334 G. Chacón V.
Respuesta 7.8 La fuerza debido a la tensión superficial (Ft) actúa sobre la pared (en su circunferencia).
DFt cos Balance de fuerzas en la pared, en la dirección z,
0 gMFt Diagrama del volumen de control
Sustituyendo
04
cos 2
ghDD
Despejando la altura del líquido (que sube) en el capilar, desde el nivel (h) del líquido
gD
h
cos4
h
·cos
z
r
D
P0
Altura del líquido en un capilar
Fenómenos de Trasporte 335 G. Chacón V.
Para el agua
2
33 m 1mm 00011
kg/m 80665,9kg/m 97,04299º0cosN/m 07197,04
D
h
La elevación del agua en un tubo capilar
D
h2
C 25 mm 9,442 7.8
Para el mercurio
2
33 m 1mm 00011
kg/m 80665,9kg/m 3533,61º140cosN/m 467,04
D
h
El descenso del mercurio en un tubo capilar
D
h2
C 25 mm 0,781 7.8
Capítulo 7. Estática de fluidos 336 G. Chacón V.
Ejemplo 7.9. Fuerza boyante Determine la densidad relativa o gravedad específica de una esfera de 30,1 L, que requiere 10,02 kg para quedar suspendida dentro de agua, a 25 C. Datos conocidos: M : masa que produce la tensión 10,02 kg T : tensión o fuerza : densidad del agua (a 25 C) 997,0429 kg/m3 VC : volumen del cuerpo 0,0301 m3 g.eC D.E.C: gravedad especifica o densidad relativa del cuerpo ¿? Respuesta 7.9 Diagrama del volumen de control
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - La presión aumenta a partir del nivel del líquido - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema - Equilibro térmico del sistema, a 25 C.
M
T
B
VC
W
Fenómenos de Trasporte 337 G. Chacón V.
Balance de fuerzas
0 WBTF Por Ec. 7.8, sustituyendo la fuerza boyante y el peso 0.. gVeggVT CCC Despejando para la gravedad especifica, g.eC, con gMT
C
C VMeg
1..
Sustituyendo valores
33 m 0301,0kg/m 97,04299kg 02,101..
Ceg
La gravedad específica de la esfera en cuestión 33,1.. Ceg 7.9 Referencias: Experimento de Arquímedes,
Balanza de Westfall Ejemplo 7.10. Densímetro de vástago Se tiene un densímetro de vástago o hidrómetro de 15,0 mL y de 6,0 mm de diámetro. La marca de 1,00 corresponde al nivel del agua destilada a 4 C. Formule una relación de la altura, a partir del nivel 1,00 y la superficie o nivel del líquido, con la gravedad específica, g.e.T/4 C o densidad relativa, D.R.T/4 C, desde 1,00 a 1,30.
Balanza de Arquímedes o
de Westfall
Capítulo 7. Estática de fluidos 338 G. Chacón V.
Datos conocidos: T : temperatura de la medición 4,0 C h : distancia entre la marca, 1,00 y el nivel del líquido durante la medición ¿? VC : volumen total del densímetro, hasta la marca de 1,00 1,50104 mm3 MC: masa del densímetro DC : diámetro del vástago del densímetro 6,0 mm H20 : densidad del agua (a 4,0 C) 999,9720 kg/m3 g.e.T/4 C: gravedad específica del fluido con respecto al agua, esta última a 4 C. ¿? Respuesta 7.10 Diagrama del volumen de control
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - La presión aumenta a partir del nivel del líquido - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema
h 1,00
B
Wh
Fenómenos de Trasporte 339 G. Chacón V.
- Equilibro térmico del sistema, a 4,0 C. Balance de fuerzas gMgVWBF C 0 Como el densímetro está calibrado para agua
CC VM H2O Por Ec. 7.8, sustituyendo la fuerza boyante y el peso
0.. H2OH2O gVeggVC En términos de la altura h,
04. 2H2OH2O ghDVeggV CCC
Despejando para la altura, h (en términos de la gravedad específica, g.e.),
T/4C2 ..11
4egD
Vh
C
C
Referencias: Gados Baumé y grados API
FF/606060 ..
11145ºeg
BéF
para g.e.>1
131
..140º FF/606060 eg
BéF para g.e.<1
5,131
..5,141º FF/606060 eg
APIF para g.e.<1
Altura o grados para el densímetro de vás-tago o hidrómetro
Capítulo 7. Estática de fluidos 340 G. Chacón V.
Sustituyendo valores
T/4C2
3
..11
mm 6mm 150004
egh
Para el densímetro la relación entre la altura y la grave-dad específica es
T/4C..
115,530mmeg
h
7.10
Ejemplo 7.11. Manómetro en U Una restricción tipo orificio se emplea para medir el flujo de un hidrocarburo que se traslada por una tubería. Se emplea un manómetro en U, colocado a los lados del ori-ficio, que contiene mercurio como líquido manométrico.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1,00 1,05 1,10 1,15 1,20g.e.T/4 C
altu
ra,
mm
0
10
20
30
ºBau
mé
Fenómenos de Trasporte 341 G. Chacón V.
Respuesta 7.11 Datos conocidos: KC : coeficiente de pérdidas de energía para el orificio 3,9 h : altura manométrica 105 mm de Hg g.e. m.20/4 C : gravedad específica del líquido manométrico 13,545 T : temperatura de la medición 20 C H20 : densidad del agua (a 4,0 C) 999,9720 kg/m3 g.e.20/4 C: gravedad específica del hidrocarburo 0.897 Hf : pérdidas por irreversibilidades en el orifico
2
9,32vH f
Diagrama del volumen de control
Líquido manométrico
P1 P2
l
h Altura manométrica
Capítulo 7. Estática de fluidos 342 G. Chacón V.
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático dentro del manómetro - Temperatura constante - La presión es homogénea, con el área - La altura o nivel es igual en las dos tomas del
manómetro - La velocidad del fluido se representa por su veloci-
dad promedio - El flujo de fluido se homogeniza después del orificio
y en los puntos de medida. Caída de Presión La diferencia de presión medida en el manómetro, es Ec. 7.10: manhgPPP m12Δ Sustituyendo valores
312 mkg 999,9720897,0545,13PP
22 s kg/m 1000kPa 1
mm 10001mmm 105
sm 80665,9
La caída de presión provocada por el orificio es man12 kPa 13 PP 7.11 Velocidad del fluido en el conducto, con el balance de
Energía mecánica
02 22
21
2212
fHzzgvvPP
Simplificando y sustituyendo
manDf hgPPvCH
1
2m12
2
Fenómenos de Trasporte 343 G. Chacón V.
Despejando la velocidad
D
man
D Chg
CPPv
2
12 m12
Sustituyendo valores
kPa 1s kg/m 1000
9,3mkg 999,9720897,0kPa 132 2
3man
v
La velocidad del fluido, dentro del conducto, es de m/s 7,2v 7.11 Ejemplo 7.12. Manómetro con depósito La presión del oxígeno que entra a un fermentador se controla con un manómetro de depósito. El diámetro del depósito es de 30 mm y el tubo es de 10 mm con una in-clinación de 46º. El líquido manométrico es rojo Meriam. Determine el desplazamiento o lectura manométrica, por cada milímetro de agua de presión diferencial, mano-métrica, (entre los dos punto de medida) de la corriente de oxígeno. Datos conocidos: D: diámetro del depósito del manómetro 0,030 m d: diámetro del brazo del manómetro 0,010 m L: lectura manométrica ¿ ? g.e.m.20/4 C : gravedad específica del líquido manométrico 0,927 T: temperatura de la medición 20 C H20: densidad del agua (a 4,0 C) 999,9720 kg/m3 hH2O: presión medida en términos de una altura de agua ¿ ? mmH2O a 4,0 C
Capítulo 7. Estática de fluidos 344 G. Chacón V.
Respuesta 7.12 Diagrama del volumen de control
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático dentro del manómetro - Temperatura constante - La presión es homogénea, con el área - La altura o nivel es igual en las dos tomas del
manómetro - La densidad del gas es despreciable comparada
con la del líquido mm Caída de Presión: La diferencia de presión medida en el manómetro es, Ec. 7.11:
2
m12 senΔDdLgPPP
Expresando la presión en términos de una altura en mm de H2O OHOH 22
Δ hgP
Lectura manométrica
Líquido manométrico
L
P1 P2
D
d
Fenómenos de Trasporte 345 G. Chacón V.
Sustituyendo, para la medición de la presión de un gas 2
mOHOH sen22
DdLghg Despejando para L,
2C 4OH sen..2
Ddeg
Lh T
m
Sustituyendo valores, suponiendo que la temperatura de la medición es alrededor de 20 C
2
2H O 10 mm0,927 sen 46 º
30 mmh
L
La presión del gas expresad en términos de mmH2O, es
2H O 21 mmH O1,301 mm manométrico
hL
7.12
Ejemplo 7.13. Sistema con manómetro en U Para el sistema manométrico mostrado, en la figura, calcule la presión en el punto A, para agua a 70 C. Datos conocidos: hA : altura en A 180 mm hB : altura en B 230 mm hC : altura en C 360 mm H2O : densidad del agua (a 70 C) 997,771 kg/m3 Hg : densidad del mercurio (a 70 C) 13,424 Mg/m3 Ker : densidad del keroseno (a 70 C) 736 kg/m3
Capítulo 7. Estática de fluidos 346 G. Chacón V.
Diagrama del volumen de control
Respuesta 7.13 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático dentro del manómetro - Temperatura constante - La presión es homogénea, con el área - La presión aumenta hacia abajo. Caída de Presión La diferencia de presión medida en el manómetro, Ec. 7.2, es
ghP
zP
Integrando entre dos puntos consecutivos, de un mismo líquido,
A
B
C
0
P0
PA hB
keroseno
mercurio
hC
hA
agua
A
B
C
0
Fenómenos de Trasporte 347 G. Chacón V.
BABA hhgPP H2O
CBCB hhgPP Ker
0Hg0 hhgPP CC Sumando ABA hhgPP H2O0 0HgKer hhghhg CBC Sustituyendo valores
mm )180()230(
mkg 977,771 30PPA
mm )230()360(mkg 736 3
mm )0()360(
mkg 13424 3
22 s kg/m 1000kPa 1
mm 1000m 1
sm 80665,9
La diferencia de presión medida es man0 kPa 46 PPA 7.13 Ejemplo 7.14. Fuerza de un fluido sobre una pared plana Para la superficie mostrada en la figura, que posee una articulación en A, si se desprecia el peso de la compuerta determine: a) La fuerza que ejerce el agua sobre la compuerta b) La presión en el centroide c) La fuerza reactiva en el punto de apoyo, B.
Capítulo 7. Estática de fluidos 348 G. Chacón V.
Diagrama del volumen de control
Datos conocidos: h0 : nivel del líquido sobre A 2,5 m L : largo de la placa 6,0 m w : ancho de la placa 10 m : ángulo entre placa y el piso 30 º : densidad del agua (a 25 C) 997,0429 kg/m3 Respuesta 7.14 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - La presión aumenta a partir del nivel - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema - Equilibro térmico del sistema, a 25 C - El peso de la compuerta se desprecia. Fuerza del fluido sobre la pared, Ec. 7.13,
sen
20LhLwgF
Sustituyendo valores
ATMÓSFERA
F
h0
CP
ATMÓ
SFERA
w
FLUIDO
A
B L
h
Fenómenos de Trasporte 349 G. Chacón V.
m 10sm80665,9
mkg 999,0429 23F
mkg 1E06
s MN 1m º30sen265,2m 6
2
La fuerza que ejerce el fluido sobre la pared es: MN 4,2 F 7.14a) Nota: compuertaAPF
Centroide, Ec. 7.15,
2d
d
0
0 L
w
wL
L
Sustituyendo valores
2m 6
m 3 7.14b) Presión de un fluido en un punto, Ec. 7.12,
sen0 hgPP atm Sustituyendo valores
23 sm80665,9
mkg 999,0429atmPP
mkg 1E03
s kPa 1m º30sen265,2
2
Capítulo 7. Estática de fluidos 350 G. Chacón V.
La presión que ejerce el fluido sobre el centroide es: mankP 2,39 atmPP 7.14a) Centro de fuerzas sobre la pared, con respecto al origen A, 0: Ec. 7.17,
sen
sen
21
0
231
021
Lh
LLhCP
Sustituyendo valores
º30senm6m5,2º30senm6m0,6m5,2
21
231
21
CP
m 4,3CP Balance de momentos (par de fuerzas) con respecto a A, 0,
LFFMMM BCPBexternoCPfluidoA 0
Sustituyendo valores
m6,0m3,4MN4,2
LFF CP
B
La fuerza en el punto de apoyo, B, es: MN 3,1BF 7.14c)
Fenómenos de Trasporte 351 G. Chacón V.
Ejemplo 7.15. Compuerta deslizable La compuerta de una represa se desliza en cada uno de sus lados, sobre la pared de la misma (según la figura), para librar el agua almacenada. Si la masa de la com-puerta es de 5 t y el coeficiente de rozamiento estático, entre la compuerta y la placa soporte, es de 0,4. Deter-mine la fuerza necesaria para iniciar el deslizamiento. Diagrama del volumen de control
Datos conocidos: L : nivel del líquido en la represa 1,5 m a : ancho de la compuerta 4 m m : masa de la compuerta 5 Mg : coeficiente de fricción estático 0,4 : densidad del agua (a 20 C) 997,0429 kg/m3 T : fuerza necesaria para levantar la compuerta ¿? Respuesta 7.15 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - La presión aumenta a partir del nivel - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema - Equilibro térmico del sistema.
T
F L
a
W y
Capítulo 7. Estática de fluidos 352 G. Chacón V.
Balance de fuerzas, perpendiculares (y) 0 FWT El peso gmW La fuerza que ejerce el fluido (F), sobre la pared, Ec. 7.13, Para el caso
2sen2
20 LwgLhLwgF
Sustituyendo y despejando para T. 22LwggmT Sustituyendo valores
32 m
kg 997,04294,0sm80665,9
t1kg 1000t5T
mkg 1000s kN 1
2m 1,5m 4
sm80665,9
22
2
La fuerza inicial requerida para levantar la compuerta es kN 67T 7.15 Ejemplo 7.16. Compuerta sostenida por un cable El nivel del agua contenida en un depósito, se controla con una compuerta de 2 t, de 3 m de ancho y 5 m de largo, mediante un contrapeso de 3 t, usando un cable, como se muestra en la figura. El agua se desborda cuando el nivel del líquido alcanza una altura dada, H, para una inclinación de la compuesta de 60º, Evalúe dicha altura.
Fenómenos de Trasporte 353 G. Chacón V.
Diagrama del volumen de control
Datos conocidos: H : nivel del líquido en la represa, a la salida del agua ¿ ? w : ancho de la compuerta 3 m L : largo de la compuerta 5 m mC : masa de la compuerta 2 Mg mT : masa del contrapeso 3 Mg : densidad del agua (a 20 C) 998,2 kg/m3 T : fuerza necesaria para levantar la compuerta ¿? Respuesta 7.16 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - La presión aumenta a partir del nivel - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema - Equilibro térmico del sistema - La fuerza ejercida por la placa (peso) está en su
cetroide.
F
L
ATMÓSFERA
ATMÓ
SFERA
AGUA
w
CP
T T
mT
P
S
WC··cos H
Capítulo 7. Estática de fluidos 354 G. Chacón V.
Fuerza del fluido sobre la pared, Ec. 7.14,
sen
20f
f
LhLwgF
Para el caso
sen
sen2senHHwgF
sen2
2
HwgF
Centro de fuerzas sobre la pared, a partir del origen, respecto al origen, S: 0 Ec. 7.16,
sen
sen
21
0
231
021
f
ffCP Lh
LLh
Para el caso
sen3
2 HCP
Balance de momentos (par de fuerzas) con respecto a P, en la rótula ( 0: S), 0 ContrapesoCompuertaFluidoP
MMMM
02
cossen
LgmLgmHF TCCP
Sustituyendo el valor de F y CP,
sen32
sensen2
2 HHHwg
02
cos LgmLgm TC
Despejando par el nivel, H,
Fenómenos de Trasporte 355 G. Chacón V.
31
2sen2cos6
C
Tm
mwLH
Sustituyendo valores
3000
m3kg/m 2,998m56
3H
31
2º60senkg 2
º60cos2000
El nivel del agua (para el desagüe) es: m 7,2H 7.16 Ejemplo 7.17. Compuerta superior (tapa) La siguiente figura describe el sistema que representa una compuerta, de acero, que está colocada y articulada a 1 m de profundidad y tiene 2 m de ancho y ¼" de espesor Calcule la fuerza necesaria, en el punto libre, para mantener cerrada la compuerta. Datos conocidos: h : nivel del líquido en la represa, a la salida del agua ¿ ? h0 : nivel del líquido sobre A 1 m : densidad del agua (a 20 C) 998,2 kg/m3 w : ancho de la compuerta 2 m L : largo de la compuerta 2 m : espesor de la compuerta 0,00635 m : ángulo entre compuerta y el piso 30 º mC : masa de la compuerta ¿ ? C : densidad del material de la compuerta 7830 kg/m3
Capítulo 7. Estática de fluidos 356 G. Chacón V.
Diagrama del volumen de control
Respuesta 7.17 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - La presión aumenta a partir del nivel - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema - Equilibro térmico del sistema - La fuerza ejercida por la placa (peso) está en su
cetroide. Fuerza del fluido sobre la pared, Ec. 7.13,
sen
20LhLwgF
Sustituyendo valores
m 2sm80665,9
mkg 998,2 23F
mkg 1000
s kN 1m º30sen221m 2
2
La fuerza que ejerce el fluido sobre la pared es: kN 59 F 7.17
F
h A
FLUIDO
B
CP L
h0 w
ATMÓSFERA
Fenómenos de Trasporte 357 G. Chacón V.
Centro de fuerzas sobre la pared, con respecto al origen, A: 0, Ec. 7.16,
sen
sen
21
0
231
021
Lh
LLhCP
Sustituyendo valores
m 1,1º30senm2m1
º30senm2m2m1
21
231
21
CP
Balance de momentos (par de fuerzas) con respecto a A: 0, 0 PesoPlacaBexternoCPfluidoA
MMMM
02cos LgmLFF CBCP
2
cos
gmL
FF CCPB
Sustituyendo valores
m2m1,1kN59BF
2
23
s kN mkg 10002
30cossm80665,9m 00635,0m 2m 2
mkg 7830
kN845,0kN63,32 BF La fuerza en el punto de apoyo, B, es: kN 32BF 7.17
Capítulo 7. Estática de fluidos 358 G. Chacón V.
Ejemplo 7.18. Fuerza de un fluido sobre una pared plana El vertedor tipo compuerta, que se esquematiza en la figura, está articulado A y forma una presa que mantiene retenida el agua con una profundidad h, con los datos de la figura, calcule la profundidad que se necesita para permitir su salida. Respuesta 7.18 Diagrama del volumen de control
Datos conocidos: L : largo de la placa ¿ ? w : ancho de la placa ¿ ? xC : centro de fuerza de la placa 4,5 m M : masa de la placa por unidad de ancho 70 kg/mancho : ángulo entre placa y el piso 60 º : densidad del agua (a 20 C) 998,2 kg/m3 a : 1,8 m b : 3,0 m
ATMÓSFERA
F
FLUIDO a
b
= 0
CP
w
A
xC
B
h
Fenómenos de Trasporte 359 G. Chacón V.
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - La presión aumenta a partir del nivel - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema - El peso de la compuerta se desprecia - Centro de fuerza de la placa conocido. Fuerza del fluido sobre la pared, Ec. 7.13,
sen
20f
f
LhLwgF
Para el caso, con sen
hLf y 00 h
sen
sen2senhhwgF
sen2
2
hwgF Centro de fuerzas sobre la pared, con respecto al origen, 0: A, Ec. 7.16,
sen
sen
21
0
231
021
f
ffCP Lh
LLh
Para el caso
sen3
2 hCP
Balance de momentos (par de fuerzas) con respecto a A, en la rótula. gMdFrMMM CCompuertaFluidoA
0
Los momentos en z 0 WdFrFr Cxxyyx
Capítulo 7. Estática de fluidos 360 G. Chacón V.
Con ayuda del diagrama anterior, se sustituyen las dis-tancias y las componentes de la fuerza. coscos FLb CP 0sensen WxFLa CCP Sustituyendo los valores de F, L y de CP, en términos de h.
cos
sen32
senhhb
cossen2
2hwg
sen
sen32
senhha
0sensen2
2
gMxhwg C
Simplificando
B
a
b
= 0
CP
w
xC W
MA
A L
PATM
Fx Fy
F L-CP
L-CPsen L-CPcos
F +
x +
y +
h
Fenómenos de Trasporte 361 G. Chacón V.
2sencos
3sencos 22 hwghb
023
2
gMxhwgha C
Despejando para h,
w
Mxhhab C
2sen3tan
22
Sustituyendo valores numéricos
mkg70
mkg 998,2
m 5,42º 60sen3
m 8,1º 60tan
m 3
3
22
hh
0m 1631,0m 59067,04444,0 323 hh La profundad que se necesita para permitir su salida es: m 1,1h (1,18 m) 7.18
Nota: se redondea hacia abajo por seguridad. Ejemplo 7.19. Cuerpo suspendido En la figura siguiente se muestra un trozo de material, con una masa de 27 kg y un volumen de 25 L. El cual está sumergido en agua y colgado en el extremo de una barra de madera, que lo une a la pared, a una altura de 0,30 m partir del nivel del líquido. La barra es de 3 m de largo y de 20 cm2 de área transversal con una masa de 15 kg. Determine el ángulo de equilibrio del sistema.
Capítulo 7. Estática de fluidos 362 G. Chacón V.
Diagrama del sistema
Datos conocidos:
Subíndices: P : barra de madera C : pieza de material b : fuerza boyante
a : distancia desde nivel del líquido al apoyo en la barra 0,3 m : ángulo entre la barra y el cuerpo ¿ ? LP : largo de la barra 3 m AP : área de la barra 0,002 m2 : densidad del agua (a 20 C) 998,2 kg/m3 mC : masa del cuerpo 27 kg VC : volumen del cuerpo 0,025 m3 Respuesta 7.19 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - La presión aumenta a partir del nivel - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema - Equilibro térmico del sistema - La fuerza ejercida por la barra (peso WP) está en su
centroide.
a
LPC
Fenómenos de Trasporte 363 G. Chacón V.
Balance de momentos en (0,0)
0 Fr
Con las variables del sistema ybCCyx eFWeLeL ˆˆsenˆcos
ybPyx eFeLeL ˆˆsen2
ˆcos2
0ˆˆsen2
ˆcos2
yPyx eWeLeL
Efectuando los productos zbCC eLFW ˆcos
0ˆcos
2ˆcos
2
zPzbP eLWeLF
En términos de la masa zCC eLgVgm ˆcos
zP eLgAL ˆcos
2
0ˆcos2
zP eLgm
ATMÓSFERA
a
WC
FbC
FLUIDO
WP
FbP
L ½L
½L+
L-
Capítulo 7. Estática de fluidos 364 G. Chacón V.
Simplificando
022
22
LmLALVm PPCC
Despejando
LmVm
ALa
PCCP 2
12sen
2
El valor del ángulo queda
LAmVm
La
P
PCC
22
1
sen
Sustituyendo valores
m 3m 002,0mkg 998,2
kg 5,1m 025,0mkg 998,22kg 272
1
m 3m 3,0
sen
23
33
3873,0arcsen El ángulo de la barra en el equilibrio es: 23 7.19
Fenómenos de Trasporte 365 G. Chacón V.
Ejemplo 7.20. Sistema neumático Para el sistema mostrado en la figura, encuentre el mayor nivel del líquido, para el cual la compuerta, articulada en A, girará en dirección contraria a las mane-cillas del reloj, considerando la fricción despreciable, si el área transversal de la compuerta es: a) rectangular b) triangular, con la base en la articulación c) semicircular. Diagrama del volumen de control
Datos conocidos: L : alto de la compuerta 1 m a : ancho de la compuerta 1 m Pg : presión del aire 30 kPaman H : nivel del agua en EL depósito ¿ ? : densidad del agua (a 20 C) 998,2 kg/m3
AGUA L
h0
AIRE Fg
Pg
F
A
w
H
a
a
a
Capítulo 7. Estática de fluidos 366 G. Chacón V.
Respuesta 7.20 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - La presión aumenta a partir del nivel - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema - El peso de la compuerta se desprecia - Centro de fuerza de la placa conocido. La presión dentro del fluido en reposo, Ec. 7.2,
gzP
La fuerza ejercida sobre una superficie, Ec. 7.4,
AAPF
d
El momento en un punto se expresa como
AAPrFrM
dd El balance de momentos en A, para el caso, LHh 0
dd00
wPwLHgML
g
L
zA
a) Caso de la compuerta rectangular
constante aw
L
g
L
zA aPaLHgM00
dd
Fenómenos de Trasporte 367 G. Chacón V.
Integrando
232
0232 LaPLLLHag g
Despejando H
3L
gP
H g
Sustituyendo valores numéricos
3m 1
kPAPa 1000
sm80665,9
mkg 998,2
kPA 30
man23
man H
La altura para empezar a girar es: m 4,3H 7.20 a) b) Caso de la compuerta triangular
1
aL
wL
Lw
d0
LLHgML
zA
L
g LP0
d
Arreglando
d32
0LHLLLHgM
L
zA
L
g LP0
d
Capítulo 7. Estática de fluidos 368 G. Chacón V.
Integrando
4320
432 LLLHLLLLHg
32
32 LLLPg
Despejando H
2L
gP
H g
Sustituyendo valores numéricos
2m 1
kPAPa 1000
sm80665,9
mkg 998,2
kPA 30
man23
man H
La altura para empezar a girar es: m 6,3H 7.20 b) c) Caso de la compuerta semicircular
2 constantea D L
cos2D
12 2
2
4sen 1D
1
2 2
2
4sen 1wD
constante aw
0 0
d dL L
zA gM g H L w P w Arreglando y simplificando
Fenómenos de Trasporte 369 G. Chacón V.
1
2 22
20
41 dL
zA gM g H g L PD
12 2
320
41 dL
gD
zAM
22 2 220
22 d2
D
gDg H g D P
D
22 3 220
2 d2
D DgD
Integrando con la ayuda de un manual de integrales
42 2 10 arcsen 18 2
gg H g D P DD
5 32 2 22 22 1 1
5 2 3 2 2D D Dg
D
42
64 120gg H g D P Dg
D
58
2 15gPD DHg
Despejando H
5
2 15gP D DHg
5
2 15gP a aHg
Sustituyendo valores numéricos
Capítulo 7. Estática de fluidos 370 G. Chacón V.
5man
man3 2
1 m30 kPA 1000 Pa 1 mkg m kPA 2 15998,2 9,80665m s
H
La altura para empezar a girar es: 3,6 mH 7.20 c) 7.7 Movimiento estable para un fluido en reposo relativo
(cuerpo rígido) con aceleración rectilínea Ejemplo 7.21. Tanque cisterna en movimiento Se tiene un tanque, de 4 pies de diámetro por 25 pies de largo, que transporta kerosén. Determine el porcentaje de llenado (cuando el tanque está quieto) para que la altura del fluido alcance el diámetro del tanque con una aceleración, máxima, de 1 m/s2. Respuesta 7.21 Diagrama del volumen de control
PATM ATMÓSFERA
h
x = 0
D
L z = 0
(xP, zP) z+
y + F +
Fenómenos de Trasporte 371 G. Chacón V.
Datos conocidos: a = ax: :aceleración en la dirección del movimiento (x) 1 m/s2 h : altura del fluido en el tanque ¿ ? D : diámetro del tanque 1,22 m L : largo del tanque 7,62 m H2O : densidad del agua (a 60 F) 999,012 kg/m3 : densidad del kerosén 41,4 ºAPI 817 kg/m3 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control inercial: las partículas del fluido
se mantiene en reposo relativo, como las de un cuerpo rígido.
- Aceleración del vehículo, a, constante - La presión aumenta a partir del nivel - La densidad del fluido es constante y conocida - La presión no varía con el ancho, y. La presión dentro del fluido para el volumen de control inercial, Ec. 7.2 y Ec. 7.3
gzP
aa
xP
x
La presión total, es
zgxazzPx
xPP ddddd
Integrando, esta ecuación diferencial, con la condiciones de contorno: a 0x y hz entonces PatmP zhgxaPP atm El perfil de fluido (xP, zP), es cuando la presión es igual a la atmosférica.
Capítulo 7. Estática de fluidos 372 G. Chacón V.
PPatmP zhgxaPP 0 Despejando la altura
PP xgahz
El fluido tiene un perfil lineal, cuando el sistema se traslada con aceleración constante. Para el valor promedio, altura en reposo,
L
PP
L
PP dxxgah
Lxz
Lzz
00ReposoEn1d1
2L
gahz
Nota: el valor corresponde a xP L2 Cuando la altura sea igual al diámetro h D,
2L
gaDz
Sustituyendo valores
m 62,7sm 8066,9
sm 1 m 22,1 2
2
z
La altura del fluido, dentro del tanque en reposo es: m 44,0 z 7.21 Que corresponde al 36 % de diámetro
% 36
Dz
7.21
Fenómenos de Trasporte 373 G. Chacón V.
Ejemplo 7.22. Fluido en un recipiente que gira Un fluido con densidad y viscosidad constantes, llena parcialmente un recipiente cilíndrico, vertical, el cual gira alrededor de su eje con velocidad angular constante. Determine la forma de la superficie libre, en el estado estacionario. Respuesta 7.22 Diagrama del volumen de control
Datos conocidos: : velocidad angular del recipiente rad/s h : altura del fluido en el centro del tanque (r = 0) m D : diámetro del tanque m L : alto del tanque m : densidad del fluido kg/m3
h
ATMÓSFERA
F +
z+
r +PATM
(rP, zP)
r = 0
D z = 0
Capítulo 7. Estática de fluidos 374 G. Chacón V.
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. El sistema se describe mejor en coordenadas cilíndricas, en lugar que utilizar la ecuación 2.10, se utilizan las desarrolladas en el cuadro 27; con las siguientes consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control inercial: las partículas del fluido
se mantiene en reposo relativo, como las de un cuerpo rígido
- La presión aumenta a partir del nivel - La densidad del fluido es constante y conocida - La presión no varía con el ancho, r - Velocidad del tanque (paredes), , constante y
masa constante.
0
tρ
0
tv
- El fluido solo gira, no se desplaza 0rv 0zv
- 0θr
P, por simetría.
- Se desprecian las pérdidas de fricción con z, (L).
02
2
zvθ
Balance de masa, total,
0θrvρ θ
Con densidad constante
0
θr
vθ
Ecuaciones de Navier-Stokes
(Correspondientes a fluido newtoniano en régimen de flujo laminar con y constantes)
Fenómenos de Trasporte 375 G. Chacón V.
Componente r:
022
θrv
rμgρ
rP
rv
ρ θr
θ
Componente θ:
θθ
θ gρθr
Pθr
vvρ
01
2
2
22
2
zv
θrv
rvr
rrμ θθθ
Componente z:
0
zρgzP
Aplicando el balance de masa y las componentes de la aceleración de la gravedad.
Componente r: r
vρrP θ
2
I
Componente θ: 01
rvr
rrμ θ II
Componente z: gρzP
III
Resolviendo la ecuación II
221
2CrCvr θ
Cuando r 0 entonces 02 C Por el principio de no deslizamiento Cuando r D2, v vPared D 2 entonces 21C , con lo que,
Capítulo 7. Estática de fluidos 376 G. Chacón V.
rvθ Lo que indica que los elementos del fluido se mueven como los elementos de un cuerpo rígido. La presión dentro del fluido para el volumen de control inercial, es.
gρzP
rρr
vρ
rP θ 2
2
La presión total, es
zgrrρzzPr
rPP ddddd 2
Integrando, esta ecuación diferencial, con la condiciones de contorno: a 0r y hz entonces atmPP
zhgrρPP atm
22
2
El perfil de fluido (rP, zP), es cuando la presión es igual a la atmosférica.
pPatmP zhgrρPP
22
20
Despejando la altura
hrg
z Pp
22
2
7.22
El fluido tiene un perfil parabólico, cuando el sistema gira con velocidad angular constante.
Fenómenos de Trasporte 377 G. Chacón V.
Capítulo 8
TRANSFERENCIA DE CALOR EN FLUIDOS EN REPOSO
8.1 INTRODUCCIÓN El propósito de este capítulo, es formular un modelo para la evaluación (o estimación) del coeficiente de película o de transferencia de calor h, de la relación de enfriamiento de Newton, para el caso de fluidos en reposo global; para efectuar los cálculos de procesos en la Ingeniería, en forma general. El modelo pretende describir el fenómeno de convección libre. 8.2 CONVECCIÓN LIBRE O NATURAL Difusión de calor con advección Cuando un fluido está en reposo, pero sometido a una diferencia de temperatura entre la interfase o pared, Ts, y el seno del fluido o medio, T, se produce transferencia de calor entre la interfase y el medio por difusión (pura) de energía, térmica, o calor; además, se manifiesta una advección (movimiento, arrastre) de partículas (masa) que afecta la transferencia de energía por difusión. La diferencia de temperatura provoca un gradiente de densidad en la masa, que origina una fuerza de flotación debida al campo gravitacional. Lo que genera un empu-je, por el movimiento de masa, en la misma dirección que la transferencia de energía por difusión, modificándola. La presión en el seno de un fluido, P
gyP
Capítulo 8 Trans. calor en reposo 378 G. Chacón V.
La densidad, para cálculos de la Ingeniería, se puede aproximar como una variación lineal con la temperatura
gTTyP
AM
1
Nota: Se debe distinguir entre el mezclado, que consiste en
colocar las partículas en contacto por fuerzas mecáni-cas, y la difusión, debido al potencial térmico (Ts T).
8.3 MODELO PARA LA CONVECCIÓN LIBRE O NATURAL, A PARTIR DE UNA PLACA VERTICAL Considérese una “gran” masa de un fluido en reposo, global, con una temperatura en el seno del fluido o medio T, la cual está en contacto con una pared “caliente”, a Ts, en posición vertical. El fluido cercano a la pared vertical, comienza a moverse lentamente en la parte inferior y el movimiento se hace más rápido a medida que avanza, hacia la parte superior.
T T
Ts
y
Fluido
Interfase
Seno del Fluido
s
Paredq
PT
1
Fenómenos de Trasporte 379 G. Chacón V.
Como consecuencia, el perfil de temperatura, con la profundidad y, aumenta su pendiente con el incremento de la altura, x.
Condiciones del modelo 1- Fluido (global) en reposo
0
tvx , 0
tT
, 0t
2- La distancia en la dirección de z es muy grande 3- Flujo bidireccional yxvx ,v x ; yxv yy ,v
x
y
vx
vx
TS
vx
TS
TS
T
T
T
Capítulo 8 Trans. calor en reposo 380 G. Chacón V.
4- Las corrientes de reposición son despreciables 5- El fluido asciende en la proximidad de la pared
debido a las fuerzas de flotación
gTTxP
AM
1
6- La variación de la densidad y su efecto en el flujo de
masa es despreciable
0
y
vx
vv yx
7- La componente horizontal de la velocidad influye
poco en el movimiento
0
xv
yv yy y 0
yP
8- Parámetros termofísicos constantes
.Ctek , .CteCV y .Cte 9- La difusión de calor en la dirección x es despreciable
0
xT
10- Los efectos cinéticos y potenciales y de fricción (irre-
versibilidad) en el balance de energía se desprecian y no hay generación de calor
gv
,
vvtvv
,
v: ,
v , G
Las ecuaciones de variación, con ayuda del cuadro 26 y para las condiciones del modelo citadas, son:
Fenómenos de Trasporte 381 G. Chacón V.
Masa total (C. M.:1, 2, 3, 4 y 7)
0
yv
xv yx
Cantidad de movimiento, en la dirección x total (C. M.:1, 2, 3, 4, 6 y 8)
02
2
2
2
yv
xvg
xP
yvv
xvv xx
xx
yx
x
02
2
TTgyvv
xvv
yv x
yx
xx
Energía, térmica
PTCx
vyT
xTk Vx2
2
2
2
0
PTCy
v Vy
Desplazando la temperatura en T y como
(Entalpía) PTCTC VP
02
2
yTTv
xTTvC
yTTk yxP
La transferencia de calor, global, se evalúa en la pared
xy
TTkqy
d0
0
Capítulo 8 Trans. calor en reposo 382 G. Chacón V.
Números adimensionales El sistema de ecuaciones diferenciales se “resuelven” por el método de reducción con variables adimensionales ,análisis dimensional, como las siguientes Difusividad mecánica
Difusividad térmica PC
k
No. de Prandtl k
CPr P
d térmicaDifusividad mecánicaDifusivida
No. de Grashof
TTGr s
32
g inercialFuerza
boyanteFuerza
No. de Nusselt k
hNu
d térmicaDifusividaconvectivatérmicaDif .
No. de
Rayleigh
3
kCTTgPrGr P
s
Cambio de variables
x
x
yPrGrykCTTg P
sy41
411
TTTT
s
x
xP
sx
vPrGr
vkC
TTg
21211
Fenómenos de Trasporte 383 G. Chacón V.
y
yP
sy
vPrGr
vkC
TTg
41
413 1
Masa total
0
y
y
x
x
Cantidad de movimiento, en la dirección x total
012
2
y
xy
x
xx
y
x
Pr
Energía, térmica
02
2
yy
xx
x
Condiciones de contorno
cuando
y 0 vx vy 0 x y 0
entonces
T Ts 1
y vx vy 0 x y 0
T T
0
x vx vy 0 x y 0
T T
0 Sustituyendo los cambios en la transferencia de calor,
xy
TTkqy
d0
0
x
ys
y
PrGrTTkq
d0
1
0
41
Capítulo 8 Trans. calor en reposo 384 G. Chacón V.
Simplificando y con la definición de coeficiente de transferencia de calor o película, h de la Ley de enfriamiento de Newton,
TThPrGrTTksx
ys
y
d0
1
0
41
La integral definida es un valor numérico, que se deno-mina C
x
yy
C
d0
1
0
El modelo para el coeficiente de película o de transfe-rencia de calor es
41PrGrCk
hNu
(8.1)
El valor teórico para la placa Horizontal vy 0 C 0,458 Lorenz (1880) Vertical C 0,508 Schmidt y Beckman (1930) El modelo se generaliza como nPrGrCANu (8.2) En el cuadro 34 se muestran algunos de los valores típicos para esta relación.
Fenómenos de Trasporte 385 G. Chacón V.
8,4 EJERCICIOS Ejemplo 8.1. Conducto horizontal Una tubería de acero galvanizado No. 12” Ced. 120, que está colocada horizontalmente en una planta, cuya temperatura ambiente es de 28 C, produce una pérdida de energía de 1,5 kW/m de tubo. Evalúe la temperatura en la pared externa del conducto. Datos conocidos: D : diámetro externo del conducto No. 12” Ced. 120 0,324 m Ts : temperatura en la pared externa del sólido ¿? Tf : temperatura en el seno del fluido Tf T 301 K Q : flujo de calor entre el conducto y el medio 1,5 kW/m Respuesta 8.1 Relación de la transferencia de calor fss TTAhQ Área lateral de conducto LDAs Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Convección libre - Radiación despreciable (forma parte del valor de h) - La temperatura es homogénea a lo largo de la
pared.
Capítulo 8 Trans. calor en reposo 386 G. Chacón V.
Sustituyendo y despejando la temperatura de la pared,
Dh
LQTT fs
Con los valores dados
m 324,0
W/m1500K 301
h
Ts
2 W/m66,1473K 301h
Ts
Como no se conoce la temperatura en la pared, el primer intento se hace con
K W/m10 2h
K 448 W/mK W/m10
2,1473K 301 22 sT
La temperatura media o de película
K 375K 2
3014482
fs TTT
Datos para el aire a 375 K: g22 4,854107 1/m3 K Pr : número de Prandtl 0,6937 k : conductividad térmica 0,03186 W/m K Número de Rayleigh
PrDTTgPrGr fs 32
2
K301448K m
17E854,4 3PrGr
83 1069,16937,0m 324,0
Fenómenos de Trasporte 387 G. Chacón V.
Número de Nusselt
4153,0 PrGrkDhNu
Sustituyendo valores y despejando para h
m 324,0K W/m03186,01069,153,0 418
h
K W/m9,5 2h Continuado con la recurrencia
K 549 W/mK W/m,95
66,1473K 301 22 sT
K 254K 2
301549
T
Datos para el aire a 425 K: g22 2,791107 1/m3 K Pr 0,6866 k 0,03539 W/m K Número de Rayleigh
K301549K m
17E791,2 3PrGr
83 1062,16866,0m 324,0 Número de Nusselt
m 324,0K W/m03539,01062,153,0 418
h
K W/m53,6 2h
Capítulo 8 Trans. calor en reposo 388 G. Chacón V.
Realizando otra iteración para mejorar la aproximación
K 527 W/mK W/m53,6
66,1473K 301 22 sT
K 414K 2
301527
T
Datos para el aire a 414 K: g22 3,14107 1/m3 K Pr 0,688 k 0,0346 W/m K Número de Rayleigh
K301527Km
17E14,3 3PrGr
83 1066,1688,0m 324,0 Número de Nusselt
m 324,0K W/m0346,01066,153,0 418
h
K W/m42,6 2h Con lo que
K 531 W/mK W/m42,6
66,1473K 301 22 sT
C 257sT 8.1
Fenómenos de Trasporte 389 G. Chacón V.
Ejemplo 8.2. Fórmulas para aire Una tubería de acero galvanizado No. 12” Ced. 120, que está colocada horizontalmente en una planta, cuya temperatura ambiente es de 28 C, produce una pérdida de energía de 1,5 kW/m de tubo. Evalúe la temperatura en la pared externa del conducto. (es el mismo caso anterior, Ej. 8.1). Datos conocidos: D : diámetro externo del conducto No. 12” Ced. 120 0,324 m Ts : temperatura en la pared externa del sólido ¿? Tf : temperatura en el seno del fluido Tf T 301 K Q : flujo de calor entre el conducto y el medio 1,5 kW/m Respuesta 8.2 Relación de la transferencia de calor fss TTAhQ Área lateral de conducto LDAs Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Convección libre - Radiación despreciable (forma parte del valor de h) - La temperatura es homogénea a lo largo de la
pared. Sustituyendo y despejando la temperatura de la pared,
Dh
LQTT fs
Como primer intento se supone 910 PrGr
Capítulo 8 Trans. calor en reposo 390 G. Chacón V.
Y se usa la relación para el aire
41
32,1
DTT
h fs
NOTA: h en W/m2 K o W/m2 C y Ts Tf en K o C
Sustituyendo, h, en la relación del flujo de calor,
fs TD
LQT
54
4332,1
Sustituyendo valores
301
m 324,032,1 W/m1500
54
43
sT
C 247K 520 sT 8.2 Comprobación del número de Rayleigh
K 114K 2
301520
T
Datos para el aire a 411 K: g22 3,29107 1/m3 K Pr 0,688 Número de Rayleigh
688,0m 324,0K301520K m
17E29,3 33 PrGr
81069,1 PrGr
Fenómenos de Trasporte 391 G. Chacón V.
El coeficiente de película es
41
324,030152032,1
h
K W/m7,6 2h Ejemplo 8.3. pared vertical Una pared (placa) vertical dentro de un tanque, con un ancho de 2 m, se usa para calentar un aceite mineral que tiene una temperatura inicial de 20 C. La placa trasmite 2,5 kW y la temperatura de la pared es 150 C. Calcule la altura, necesaria, de la placa, para aprovechar todo el flujo de calor. Datos conocidos: L : alto, vertical, de la placa ¿? W : ancho de la placa 2 m Ts : temperatura de la placa 150 C Tf : temperatura en el seno del fluido Tf T 20 C Q : flujo de calor entre la placa y el medio 10 kW Respuesta 8.3 Relación de la transferencia de calor fss TTAhQ Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Convección libre - Radiación despreciable (forma parte del valor de h) - La temperatura es homogénea a lo largo de la
pared.
Capítulo 8 Trans. calor en reposo 392 G. Chacón V.
La temperatura media o de película
C 85C 2
201502
fs TTT
Datos para el aceite a 85 C: : densidad 849,0 kg/m3 : viscosidad cinemática 3,110-5 m2/s k : conductividad térmica 0,14 W/m K Pr : número de Prandtl 4,1102 : 7,010-4 1/K Número de Rayleigh
PrLTTgPrGr fs 32
1
2sm80665,9
K14E0,7PrGr
2E1,4C20150ms
5E1,31 3
2
2
L
3311 /m108,3 LPrGr Número de Nusselt
3110,0 PrGrk
LhNu
Sustituyendo valores y despejando para h
W1000
kW1K m
W14,0m11078,310,0 31311
LLh
K W/m5,101 2h
Fenómenos de Trasporte 393 G. Chacón V.
El flujo de calor
kW 5,2C20150m 2Km
W5,101 2 LQ
Despejando el largo y haciendo los cálculos m 09476,0L La altura de la placa calentadora es m 1,0L 8.3 Ejemplo 8.4. Placa caliente Una placa de cobre de 20 mm de ancho por 3 m de largo y 2 mm de espesor, se sumerge en un tanque con agua en reposo a 15 1 C. La placa se utiliza como calentador (por los dos lados) con una temperatura de 115 5 C. Determine el flujo de calor, del sistema, si la placa está colocada en forma:
a) horizontal b) vertical
Datos conocidos: a : ancho de la placa 0,02 m L : largo de la placa 3, m Ts : temperatura de la placa 115 C Tf : temperatura en el seno del fluido Tf T 15 C Q : flujo de calor entre la placa el agua ¿?
Capítulo 8 Trans. calor en reposo 394 G. Chacón V.
Respuesta 8.4 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Convección libre - Radiación despreciable (forma parte del valor de h) - La temperatura es homogénea a lo largo de la
pared - Se desprecia el flujo de calor por el espesor. La temperatura media o de película
C 65C 2
151152
fs TTT
Datos para el agua a 65 C: : densidad 980,5 kg/m3 CP : capacidad calorífica 4,18710-3 J/kg K : viscosidad 4,3710-4 kg/m s k : conductividad térmica 0,660 W/m K Pr : número de Prandtl : 5,510-4 1/K Número de Rayleigh
PrTTgPrGr fs 32
2
32
fs
P TTkCgPrGr
kgsm
4E37,41
mkg5,980
sm807,9
K14E5,5
2
32
PrGr
3C15115K kg
J3E187,4W
C m660,01
3312 /m105,7 PrGr
Fenómenos de Trasporte 395 G. Chacón V.
a) Caso de la placa horizontal
m 02,0m 3m 02,0m 32
aLaL
PA
a m 02,0m 0199,0 Número de Rayleigh 3312 /m02,0105,7 PrGr 7109,5 PrGr Número de Nusselt
4154,0 PrGrk
hNu arar
4127,0 PrGrk
hNu abab
La transferencia de calor fsabar TTLahhQ
fs TTLakPrGrQ
4127,054,0
417109,527,054,0 Q
W1000
kW 1C 15115m 3m 02,0m 02,0
K mW660,0
El flujo de calor para la placa horizontal es kW 14Q 8.4 a)
Capítulo 8 Trans. calor en reposo 396 G. Chacón V.
b) Caso de la placa vertical m 3 L Número de Rayleigh 3312 /m3105,7 PrGr 14100,2 PrGr Número de Nusselt
3110,0 PrGrk
LhNu
La transferencia de calor fs TTLahQ 2
fs TTLLakPrGrQ 3110,02
3114100,210,02 Q
W1000
kW 1C 15115m 0,02K m
W660,0
El flujo de calor para la placa vertical es kW 16Q 8.4 b) La diferencia entre ambos casos es de 9%.
Fenómenos de Trasporte 397 G. Chacón V.
Capítulo 9
TRANSFERENCIA DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA, UNIDIMENSIONAL, EN FLUIDOS EN
REPOSO 9.1 INTRODUCCIÓN El propósito de este capítulo, es formular dos modelos para la evaluación (o estimación) de la transferencia de la masa de una sustancia, para el caso de fluidos en reposo global. Los modelos pretenden describir el fenó-meno de la convección libre. 9.2 CONVECCIÓN LIBRE O NATURAL Difusión de masa con advección Cuando un fluido está en reposo, pero sometido a una diferencia de concentración entre la interfase, CAi, y el seno del fluido o medio, CA, se produce transferencia de masa, de A, entre la interfase y el medio, por difusión (pura); además, se manifiesta una advección (por movi-miento de partículas o masa) de A que afecta la transferencia de masa por difusión.
CA CA
CAi
y
Fase
Interfase
Seno del Fluido
i
PAC
1
Fase NA
Capítulo 9 Trans. masa en reposo 398 G. Chacón V.
La diferencia de concentración provoca un gradiente de densidad, que origina una fuerza de flotación debida al campo gravitacional. Lo que genera un movimiento de masa, en la misma dirección que la transferencia de masa por difusión, modificándola. La presión en el seno de un fluido, P
gyP
La densidad, para cálculos de la Ingeniería, se puede aproximar como una variación lineal con la concentración
gCCyP
AAAM
1
Nota: Se debe distinguir entre el mezclado, que consiste en
colocar las partículas en contacto por fuerzas mecáni-cas, y la difusión, debido al potencial (CAs CA).
9.3 MODELO EN VARIABLES ADIMENSIONALES PARA LA CONVECCIÓN LIBRE O NATURAL DE UN FLUJO DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA En forma similar a la transferencia de calor. En un fluido en reposo, se puede desarrollar un modelo para la transferencia de la masa de una sustancia en una “gran” masa de un fluido en reposo, global, con una concen-tración en el seno del fluido o medio CA, la cual está en contacto con una interfase, presentándose una concen-tración, en la interfase, de CAi. Masa total
0
xvx
Cantidad de movimiento, en la dirección x total
Fenómenos de Trasporte 399 G. Chacón V.
yvv
xvv
yv x
yx
xx 2
2
0 gCC AAAM Balance de masa de la sustancia A
02
2
2
2
x
CvyC
xCD A
xAA
AB
Condiciones de contorno
cuando
y 0 vx vy 0
entonces
CA CAi y vx vy 0 CA CA
x vx vy 0 CA CA
Usando los siguientes Números adimensionales, las ecuaciones diferenciales se “resuelven” por el método de reducción con variables adimensionales (análisis dimen-sional, Difusividad mecánica
Difusividad másica ABD
No. de Schmidt ABD
Sc
d másicaDifusividad mecánicaDifusivida
No. de Grashof
AiCGr
32
gC A inercialFuerzaboyanteFuerza
No. de Sherwood
AB
C
Dk
Sh
d másicaDifusivida
convectivamasaDif .
El modelo para el coeficiente de transferencia de masa es
41ScGrCD
kShAB
C
(9.1)
Capítulo 9 Trans. masa en reposo 400 G. Chacón V.
9.4 MODELO UNIDIMENSIONAL PARA LA CONVEC-CIÓN LIBRE O NATURAL DE UN FLUJO DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA, EN UNA MEZCLA BINARIA
Otro modelo para la transferencia de la masa de una sustancia dentro de masa de un fluido en reposo, se obtiene por balance global de masa; considerando el flujo en una dirección y en estado estacionario, ya que la velocidad se puede evaluar con el mismo flujo total. Condiciones del modelo 1- Fluido (global) en reposo
0
tvx , 0
tC A , 0
t
2- La distancia en la dirección de z es muy grande 3- Flujo unidireccional
0xv ; 0yv 4- La variación de la densidad y su efecto en el flujo de
masa es despreciable
0
z
vy
vx
vv zyx
5- Difusividad constante
.CteDAB y BAAB DD 6- La difusión de la masa de A en las direcciones x y y
son despreciables
0
xC A , 0
yC A
Fenómenos de Trasporte 401 G. Chacón V.
Definiciones de la concentración, para líquidos
CCx A
A ;
1221
CACAAM MMMC
2
1
21,
lnAAM
AAM
AALMB
CMCM
CCC
;
2
1
21,
11ln
A
A
AALMB
xxxx
x
Para gases ideales
PP
CC
y AAA ;
TRPC
2
1
21,
lnA
A
AALMB
PPPPPP
P ;
2
1
21,
11ln
A
A
AALMB
yyyy
y
La ecuación de variación, con ayuda del cuadro 26 y para las condiciones del modelo citadas, son: Masa total
0
zvz
constantevz Balance de masa de la sustancia A
0
zCv
zJ A
zAz
Integrando, con constantevz ,
ConstanteNNCvJ AAzAzAz El flujo total de masa, N, se expresa, en términos de la densidad molar (total de la mezcla) como
CvNNN zBA
Capítulo 9 Trans. masa en reposo 402 G. Chacón V.
Sustituyendo esta ecuación y la ley de Fick
Constante
ABAA
ABA CC
NNz
CDN
Separando variables e integrando
0
2
1
zNCCNN
CDCA
A
C
CAABA
AAB
9.4.1 Modelo para el flujo binario, en general Con las condiciones del modelo y
0 BABzAzz NNNNN Integrando
CNCNNCNCNN
NNDC
AABA
AABA
BA
AB
1
2ln
Multiplicando en ambos lados por NA y arreglando.
CC
NNN
CC
NNN
DCNN
NN
A
BA
A
A
BA
A
AB
BA
AA
1
2
ln
(9.2)
Para líquidos
1
2
lnA
BA
A
ABA
A
AM
AB
BA
AA
xNN
N
xNN
N
MD
NNNN
AM
A
BA
A
AM
A
BA
A
AM
AB
BA
AA
MC
NNN
MC
NNN
MD
NNNN
1
2
ln
Fenómenos de Trasporte 403 G. Chacón V.
Para gases ideales
1
2
lnA
BA
A
ABA
A
AB
BA
AA
yNN
N
yNN
N
TRPD
NNN
N
PP
NNN
PP
NNN
TRPD
NNNN
A
BA
A
A
BA
A
AB
BA
AA
1
2
ln
9.4.2 Modelo para el flujo binario con B no difundente Con las condiciones del modelo y
0 BBz NN con lo que 1 BA
A
NNN
Para líquidos
2121,
AAxAAAMLMB
ABA xxkxx
MxDN
2121,
AALAAAMLMB
ABA CCkCC
MCD
N
Para gases ideales
2121,
AAyAALMB
ABA yykyy
TRP
yDN
2121,
AAGAALMB
ABA PPkPP
TRP
PDN
Capítulo 9 Trans. masa en reposo 404 G. Chacón V.
9.4.3 Modelo para el flujo en contra difusión molecular Con las condiciones del modelo y
0 BABzAzz NNNNN Partiendo de la ecuación
ABAA
ABA CC
NNz
CDN
Constante
z
CDN AABA
Separando variables e integrado
0
2
1
zN
CDA
A
C
CA
AAB
Realizando la operación integral
2121 AACAAAB
A CCkCCDN
(9.3)
Para líquidos
2121 AAxAAAM
ABA xxkxx
MD
N
2121 AALAAAB
A CCkCCD
N
Para gases ideales
2121 AAyAAAB
A yykyyTR
PDN
21211
AAGAAAB
A PPkPPTR
DN
Fenómenos de Trasporte 405 G. Chacón V.
9.5 EJERCICIOS Ejemplo 9.1. Difusión con reacción instantánea En un catalizador en forma de malla sólida, se degrada (“craked”) amoniaco, mediante la reacción
2 NH3 N2 3 H2 En un lugar del aparato, donde la presión es de 1 atm. abs. y la temperatura es de 200 C, el análisis químico en el seno de gas es de 33,33 % de NH3, 16,67 % de N2 y 50,00 % de H2, por volumen. Estime el flujo local de amoniaco, suponiendo, que la masa se difunde a través de una capa de un milímetro. El fenómeno consiste en que, el amoniaco se difunde desde el seno del fluido hacia la superficie catalítica y los productos de la reacción en sentido contrario. Datos conocidos Nomenclatura Composición en el fluido (en 1) A : NH3 amoniaco yA : 1/3 f.m B : N2 nitrógeno yB : 1/6 f.m C : H2 hidrógeno yC : 1/2 f.m. P : productos Reacción química 2 A B 3 C 4 P
Difusividad (DAP) Corrección por temperatura
DT
DTTAPTAP T
TPDPD o
23
0o
I A B C NH3 N2 H2
/ K 558,3 71,4 59,7 AI/ K 199,7 182,6
T0 K 293 K DAI PTo N/s 2,441 8,600
Capítulo 9 Trans. masa en reposo 406 G. Chacón V.
T0/AI 1,468 1,606 DTo 1,209 1,165
T 473 K T/AI 2,370 2,592 DT 1,016 0,9888 DAI PT N/s 5,954 20,784
Difusividad de la mezcla Fórmula para ponderar la difusividad de la mezcla
PDy
PDyPD
AC
C
AB
BAP
1
25,02161
61
By 75,0
216121
Cy
N/s 808,12
784,2075,0
954,525,0
1
PDAP
Respuesta 9.1 Flujo de masa de amoniaco, A
1
2
lnA
PA
A
APA
A
AP
PA
AA
yNN
N
yNN
N
TRPD
NNNN
El flujo total en reposo 024 PA NN Con lo que AP NN 2
y 12
AA
A
PA
A
NNN
NNN
Fenómenos de Trasporte 407 G. Chacón V.
Sustituyendo valores
311
01lnK 15,473
1K J/mol 3145,8m 001,0
N/s 808,121AN
Con lo que el flujo de masa del amoniaco, por difusión es s mmol 94,0 2
NH3AN 9.1
Ejemplo 9.2. Difusión en líquidos Evalúe el flujo de cloruro de sodio que se difunde a través de una capa de 1 mm de agua estancada a 18 C. Las concentraciones en cada lado de la capa son 20 % y 10 %, respectivamente. Datos conocidos Nomenclatura A : NaCl cloruro de sodio, MA 58,45 B : H2O agua, solvente, MB 18,02
Composiciones y difusividad()
kgA/kg 0,2 0,1 Prom. xA kmolA/kmol 0,07154 0,03311 M kgA/kmol 20.909 19,355 kg/m3 1148,7 1071,4 1110 C kmol/m3 54,94 55,36 55,1 CA kmolA/m3 3,9305 1,8330 DAS m3/s 1,4310-9 1,2910-9 1,3610-9
() Interpolación lineal, tomado del Perry y del Welty
BBAA
AAA MM
Mx
CxC AA
Capítulo 9 Trans. masa en reposo 408 G. Chacón V.
BBAA MxMxM M
C
Corrección por temperatura
0o
oo
00
TTDD
ST
ST
ST
STTAsTAS
298291
0,9976,998
4E57,104E93,8
sm9E36,1 2
0ASD
/sm 1012,1 290 ASD Respuesta 9.2 Flujo de masa de la sal, A
1
2
11ln
A
A
AM
ASA x
xCDN
Sustituyendo valores
03311,0107154,01ln
m 3E1kmol/m 155/sm 9E12,1 32 ,N A
kmol
mmol 6E1
Con lo que el flujo de masa de la sal, por difusión es s mmmol5,2 2
sal AN 9.2 s mg15,0 2
sal AN
Fenómenos de Trasporte 409 G. Chacón V.
Ejemplo 9.3. difusión de CO Se difunde monóxido de carbono a través de una capa de 1,5 mm de oxígeno en reposo a 500 K y 1 MPa, con un flujo de 0,5 kg de CO/m2 ks. Si en un lado de la capa se tiene 5 % de CO en volumen, determine la concentra-ción al otro lado de la capa. Datos conocidos Nomenclatura A : CO monóxido de carbono A 91,7; MA 28,010 B : O2 oxígeno B 106,7; MB 31,999
Difusividad (DAB)
Corrección por temperatura Se cuenta con dos datos, y se interpola
DT
DTTAPTAP T
TPDPD o
23
0o
T K 273 723 500
DAB PT N/s 1,87 10,1 T/AB 2,761 7,311 5,054 DT 0,9709 0,7836 0,8404
DAB P500K N/s 5,35 5,41
Difusividad del CO en el oxígeno N/s 38,5 PDAB
Capítulo 9 Trans. masa en reposo 410 G. Chacón V.
Respuesta 9.3 Flujo de masa de CO, A , Ec.9.2
1
2
lnA
BA
A
ABA
A
AB
BA
AA
yNN
N
yNN
N
TRPD
NNNN
Oxígeno no difundente 0BN
1
2
11ln
A
AABA y
yTR
PDN
21,
AALMB
AB yyTR
Py
D
Despejando la concentración yA2
PDTRNyy
ABAAAexp11 12
Sustituyendo valores
A
A3
A2 kg 010,28
mol 1000s 1000 m
kg5,0exp05,011Ay
K 500
K molJ3148
N/s 38,5m 0015,0 ,
La concentración de monóxido de carbono es en volumen %3.f.m 03,02 Ay 9.3
Fenómenos de Trasporte 411 G. Chacón V.
Ejemplo 9.4 Celda de Arnold La celda de Arnold es un instrumento para la medición de la difusión másica de un vapor en un gas en reposo. Consiste en un tubo tipo chimenea, en cuyo fondo está el líquido, del vapor que se desea medir, y su nivel se mantiene constante. El vapor se difunde a través del gas, de la otra sustancia, dentro del tubo. Por la boca del tubo fluye dicho gas en forma perpendicular, disper-sando y arrastrando la mezcla.
Datos del aparato:
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Convección libre - Aire, B, no difundente - La difusividad es constante a lo largo del tubo - Se desprecia la concentración en la salida.
Aire
Líquido
A
Capítulo 9 Trans. masa en reposo 412 G. Chacón V.
Para una experiencia que utiliza un sistema formado por un tubo de 100 mm de longitud con un diámetro interno de 20 mm, en el que se dosifica el líquido por medio de una microbureta de 5 mm de diámetro externo, de tal for-ma que su nivel se mantiene constante, en el depósito. Evalúe la difusividad para el etanol en el aire. En la medición se consumen 1,56 mL de etanol (líquido) en 60 horas, mientras la temperatura se mantiene en 24 0,1 C y la presión en 90 0,05 kPa. Respuesta 9.4 Nomenclatura A : etanol B : aire Datos para el etanol a 24 C: MA : peso molecular 46,069 T : temperatura 297 K : densidad 785,9 (805,0) kg/m3 P0 : presión de saturación o vapor 7,13 (7,43) kPa
: altura del tubo 0,100 m A : área del tubo 2,945104 m2
4005,002,0 22 A Flujo del etanol, A, por difusión, Ec. 9.2, para B no difun-dente,
PPPP
TRPDN
A
AABA
011ln
Fenómenos de Trasporte 413 G. Chacón V.
Flujo de masa (por difusión) del etanol A.
h601
mkg 9,785
mL 6E1m 1mL 56,1 3
3
AN
mol
mmol 1000m 4E9452
1kg 069,46
mol 1000s 3600
h 12,
s mmmol 418,0 2
AAN Despejando para la difusividad del etanol, A, en el aire, B.
PPPPTRN
PD
A
A
AAB
011
ln
9013,710,01ln
K 15297K J/mol ,314518m 100,0s mol/m 4E183,4 2 ,PDAB
La difusividad del etanol en aire es N/s 25,1 PDAB a 297 K 9.4
Capítulo 9 Trans. masa en reposo 414 G. Chacón V.
Ejemplo 9.5 Celda de Arnold modificada La celda de Arnold modificada es un conducto, en que se permite variar las fronteras del sistema, para no tener que reponer el líquido que se difunde como vapor. Un sistema está formado por un tubo de 150 mm de longitud y de 20 mm diámetro interno. Si el sistema es etanol y se difunde en aire, que se encuentra a 297 K y 90 kPa, DAB P 1,25 m2 Pa/s, y el nivel del etanol es de 10 mm a partir de la boca del conducto evalúe la posición del nivel del líquido al cabo de 60 horas y la masa difundida. Respuesta 9.5 Datos conocidos Nomenclatura A : etanol B : aire Datos para el etanol a 24 C: MA : peso molecular 46,069 T : temperatura 297 K : densidad 785,9 (805,0) kg/m3 P0 : presión de saturación o vapor 7,13 (7,43) kPa L : altura del tubo 0,150 m D : diámetro del tubo 0,020 m Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Convección libre - Aire, B, no difundente - Área del conducto constante - La difusividad es constante a lo largo del tubo - Se desprecia la concentración en la salida - Temperatura y presión constantes.
Fenómenos de Trasporte 415 G. Chacón V.
Flujo del etanol, A, por difusión, Ec. 9.2, para B no difun-dente,
PPPP
TRP
zDN
A
AABA
011
ln
Gasto de la masa (difundida) líquida en el recipiente, Ec 2.6.
salida
ssAsentrada
eeAeVCA AvCAvC
tVC
dd
VcAAfAwACC VRCCAk El alcohol está, aproximadamente, puro, por lo que, con AAA MCC
ANCCAkt
MVAAfAwACC
AA
dd
Con la geometría del sistema
Aire
Líquido zL
zz0 z0
zz
Capítulo 9 Trans. masa en reposo 416 G. Chacón V.
AN
tzLA
M AA
A
dd
Comparando los dos flujos
PPPP
TRP
zD
tzL
M A
AAB
A
A
011ln
dd
Arreglando y separando variables
tPPPP
TRPDMzz
A
AAB
A
A d11lnd
0
Integrando con las condición de contorno 0t m 01,00 zz
20
0
2
11ln2 zt
PPPP
TRPDMz
A
AAB
A
A
Sustituyendo los valores
K 2297K J/mol 3145,8
N/s 251kg/m 9785
mol 1000kg/ 069.462 32
.,
,z
2m 01,0h 1
s 3600h 609013,71
0,01ln
22 m 001157,0z El nivel del líquido a partir de la boca es mm 43m 034,0 z 9.5 Masa (volumen) transferida
2
3
0,02 m 0,034 0,010 m 1E 6 mL4 m
V A z
mL 6,7V 9.5
Fenómenos de Trasporte 417 G. Chacón V.
Capítulo 10
TRANSFERENCIA DE MASA ENTRE FASES 10.1 COEFICIENTES LOCALES O INDIVIDUALES
DE TRANSFERENCIA DE MASA El propósito de este capítulo, es formular un modelo para la evaluación de los coeficientes transferencia de masa, para cuando se transfiere la masa de una sustancia A, de una fase a otra.
Aunque la teoría se desarrolla para las fases líquido–gas, se puede generalizar para otros tipos de fases.
Considérese dos fases en contacto e insolubles entre sí, entre las cuales se transfiere una sustancia A, compo-nente de una mezcla.
Nomenclatura NA : Intensidad de flujo de la masa de la sustancia de A
entre las fases kmol/m2 s
Gas Interfase
Líquido
NA
yAG
yAi
xAi
xAL
Capítulo 10. Trans. masa entre fases 418 G. Chacón V.
xA : concentración de la sustancia A en fracción molar, f. m. en la fase líquida kmolA/ kmol yA : concentración de la sustancia A en fracción molar, f. m. en la fase gaseosa kmolA/ kmol CA : concentración de la sustancia A kmolA/ m3 PA : presión parcial de la sustancia A kPa k : coeficiente local de trans. de masa de A variable Índices G : se refiere al seno del gas L : se refiere al seno del líquido i : se refiere a la interfase * : se refiere al equilibrio de la sustancia de una fase
con la correspondiente en el seno de la otra fase A A* L Ly m x LL CmP AA* A A* G Lx y m A A* G LC P m El flujo de masa, de la sustancia A, está regido por la diferencia de concentración dentro del seno del fluido, entre la correspondiente al seno del fluido y la de la interfase. Flujo en la fase gaseosa iGGiGy PPkyykN AAAAA Flujo en la fase líquida iLLiLx CCkxxkN AAAAA 10.2 COEFICIENTES GLOBALES O TOTALES DE
TRANSFERENCIA DE MASA Como es difícil medir las concentraciones en la interfase, se definen los coeficientes globales en términos de la “fuerza motriz” expresada con base en la concentración de la sustancia dada en el seno de una fase y la del equi-librio correspondiente a la concentración en la otra fase. Para lo cual se requiere de los datos del equilibrio de la sustancia, distribuida en ambas fases.
Fenómenos de Trasporte 419 G. Chacón V.
con K : coeficiente global de trans. de masa de A variable Flujo en la fase gaseosa ** AAAA PPKyyKN GGAGy Flujo en la fase líquida ** AAAAA CCKxxKN LLLx 10.3 TEORÍA DE LAS DOS RESISTENCIAS
De Lewis y Whitman El modelo supone que la resistencia en la interfase es despreciable, solo se presentan las resistencias en la fase líquida y en la gaseosa. Por lo que el balance de masa entre las fases o curva de operación es iLxiGy xxkyykN AAAAA
Gas
Curva del equilibrio líquido vapor.
Líquido
xA
yA
xAL
yA*
yAG
xA* 0 1
1
Capítulo 10. Trans. masa entre fases 420 G. Chacón V.
Con lo que se obtiene la recta de operación
iiLy
xG yxx
kky AAAA
En la interfase se cumple (la curva de equilibrio) ixi xmy AA
Relaciones entre los dos tipos de coeficientes de transferencia de masa
Sumando y restando yAi a la diferencia de concentración ** AA AAiAiGAG yyyyyy ALAiAiGAG xxmyyyy AA * Comparándolos con el flujo de masa, en términos de los coeficientes locales y globales de transferencia de masa
Gas
Líquido
xA
yA
xAL
yA*
yAG
xA*0 1
1
y
x
kk
m
m
(yAG, xAL)
(yAi, xAi)
Curva del equilibrio líquido vapor y curva de operación de la transferencia entre fases.
Fenómenos de Trasporte 421 G. Chacón V.
xyy k
mkK
11 también LGG k
mkK
11
En forma análoga
xyx kkmK
111
también
LGL kkmK111
Y, otras combinaciones. Relaciones entre las resistencias de una misma fase
fases ambasen totalaResistenci
gaseosa fase laen aResistenci
G
G
y
y
K
k
K
k1
1 o
1
1
fasesambasen totalaResistenci
líquida fase laen aResistenci
L
L
x
x
K
k
K
k1
1 o
1
1
10.4 EJERCICIOS Ejemplo 10.1. Absorción de amoniaco Una torre de absorción de pared húmeda, trabaja con una corriente de agua, sobre la pared, y una mezcla de amoniaco y aire, en la parte central, manteniendo una temperatura de 25 C y la presión en 97 kPa. El gasto es tal que el coeficiente de transferencia local en el líquido es de 3,110-5 kmol/m2 s kmol/m3 y en el gas de 9,510-4 kmol/m2 s fracción mol. En cierto nivel de la torre la concentración de amoniaco en el aire es de 0,65 f. m. de NH3 y la de la fase líquida de 0,07 f.m. de NH3. Evalúe la transferencia de masa, del amoniaco, entre las fases y su concentración en la interfase.
Capítulo 10. Trans. masa entre fases 422 G. Chacón V.
Datos conocidos:
Presión parcial del amoniaco sobre soluciones de NH3 en agua.(+)
xA PA
f. m. kPa kg/m3
0,05 6,7 976
0,07 8,7* 968*
0,10 12,6 9560,15 21,4 9370,20 34,90,25 55,9
0,261* 63,05
0,30 87,00,35 131,2
(+) Se tomaron del Perry, interpolando: la densidad en forma cuadrática y la presión con el modelo de Van Hoff
* Interpolado. Nomenclatura A : NH3 amoniaco B : aire f.m. fracción mol de A yAG : composición en la fase gaseosa 0,65 f.m. PAG : presión parcial de NH3 63 kPa ky : coeficiente de transferencia de masa local en la fase gaseosa 9,5104 kmolA/m2 s f.m. xAL : composición en la fase líquida 0,07 f.m. kL : coeficiente de transferencia de masa local en la fase líquida 3,1105 m/s Respuesta 10.1 Difusión de amoniaco, A, usando los datos conocidos:
iGy
iGy PPPk
yykN AAAAA
Fenómenos de Trasporte 423 G. Chacón V.
iLLiLL xxCkCCkN AAAAA Resolviendo para xAi
iLLiGy xxCkPP
Pk
AAAA
Con lo que
iLy
LiG xxPC
kkPP AAAA
La recta de operación es
GiLy
Li PxxPC
kkP AAAA
Evaluando, numéricamente, BAAA MxMxM 1 946,17015,1893,0031,1707,0 M
f.m. s /mkmol 4E5,9m/s 5E1,3
2Ay
L PCkk
kPa 97kg/kmol 946,17kg/m 968 3
kPa 7,170 PCkk
y
L
Sustituyendo valores 05,6307,07,170 AA ii xP Primer ensayo 17,02/)07,0261,0( Aix Interpolando en la curva de equilibrio líquido vapor, en la zona de trabajo, como si fuese lineal.
Capítulo 10. Trans. masa entre fases 424 G. Chacón V.
1A1AA1A2A
1A2AA Pxx
xxPPP ii
4,2115,015,020,04,219,34
AA
ii xP
4,2115,0270 AA ii xP
Preparando es sistema de ecuaciones, para su resolu-ción 0,757,170 AA ii xP 1,190,270 AA ii xP 5,38A iP 21,0A ix El flujo de masa de A, local, en el punto indicado es iGy yykN AAA
f.m. 97
38.5650f.m. s mkmol 4E5,9 2A
,N A
0
50
100
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
Concentración en la solución, f. m.
Pres
ión
parc
ial,
kPa
(0,07; 63)
(xAi; PAi)
Fenómenos de Trasporte 425 G. Chacón V.
s /mkmol 1042 24A A,N
Comprobando iLL xxCkN AAA
f.m. 210,070kg/kmol 946,17kg/m 968
sm513
3
A , E,N
s /mkmol 1042 24
A A,N Con lo que el flujo de masa del amoniaco, por difusión es s mmol 24,0 2
NH3AN 10.1
Ejemplo 10.2. Difusión entre fases, coeficiente de
distribución constante Para un sistema líquido gas, en el cual se transfiere una sustancia A, desde un líquido hacia el gas en contacto con él, la relación de equilibrio de fases, se representa adecuadamente por
AiAi xy 75,0 En un punto dado del aparato, el líquido contiene 90 por ciento molar de A y el gas posee una concentración de 45 por ciento molar de A. El coeficiente individual de transferencia de masa en el gas, en dicho punto, tiene un valor de 3 molA/(m2 s f.m.A) y el 70% de la resistencia global a la transferencia de masa se encuentra en la fase gaseosa. Evalúe el flujo molar de A y las composiciones en la interfase.
Capítulo 10. Trans. masa entre fases 426 G. Chacón V.
Datos conocidos: yAG : composición en la fase gaseosa 0,45 f.m. xAL : composición en la fase líquida 0,90 f.m. ky : coeficiente de transferencia de masa local en la fase gaseosa 3 molA/m2 s f.m. Proporción de la resistencia en la fase gaseosa 0,70 Respuesta 10.2 Difusión de A
*AAAAA yyKyykN GyiGy
*AAAAA xxKxxkN LxiLx Equilibrio de fases ALA* xmy A Resistencias en la fase gaseosa
7,011
y
y
Kk
Sustituyendo valores numéricos yy kK 7,0 El flujo de masa
ALAA xmyKN AGy
AA
2A
A f.m. 9,075,0450f.m. s m
mol 37,0 ,N
El flujo de masa de A, por difusión es s /mmol 470 2
A A,N 10.2
Fenómenos de Trasporte 427 G. Chacón V.
Las concentraciones en la interfase, de lado del gas
Gy
i ykN
y AA
A
AA
2
2
A f.m. 45,0f.m. s /mmol 3
s /mmol 470
A
Ai
,y
AA f.m. 61,0iy 10.2 En la fase líquida
,750f.m. 610 AA
A,
my
xA
ii
AA f.m. 81,0ix 10.2 Ejemplo 10.3 separación de benceno En una torre para la separación de benceno del tolueno, que trabaja a una temperatura de 360 K, y en un punto de ella la fase gaseosa contiene 50 por ciento molar de benceno y el líquido, en contacto, tiene una concentra-ción de 20 por ciento molar de benceno, el flujo de masa entre las fases es de 70 mmolde benceno/m2 s. Si se consi-dera que el 60 % de la resistencia se encuentra en la fase gaseosa y los calores molares latentes del benceno y del tolueno son iguales, determine las concentraciones en la interfase. Datos conocidos: Nomenclatura A : benceno B : tolueno f.m. fracción mol de A
Capítulo 10. Trans. masa entre fases 428 G. Chacón V.
ky : coeficiente de transferencia de masa local en la fase gaseosa kL : coeficiente de transferencia de masa local en la fase líquida P°A : presión de vapor del benceno 124,4 kPa P°B : presión de vapor del tolueno 48,90 kPa yAG : composición del benceno en la fase gaseosa 0,50 f.m. xAL : composición del benceno en la fase líquida 0,20 f.m. NA : Flujo de benceno entre las fases 70 mmolA/m2 s Proporción de la resistencia en la fase gaseosa 0,60 Respuesta 10.3 Difusión de benceno, A, usando los datos conocidos:
*AAAAA yyKyykN GyiGy
*AAAAA xxKxxkN LxiLx Equilibrio de fases, considerando - Solución líquida ideal MJ/kmol 3,34MJ/kmol 0,30 BA - Gases perfectos (ideales)
iA
iAi xP
Pxmy AAA
BLBLA xPxPP A Resistencias en la fase gaseosa
6,011
y
y
y
y
kK
Kk
2,019,482,04,1244,124
PPm A
A
Fenómenos de Trasporte 429 G. Chacón V.
94,1Am El flujo de masa
*AAAAA xmyKyykN AGyiGy Resolviendo para yAi,
ALAAA xmykK
yy AGy
yGi
f.m. 2,094,15,06,0f.m. 5,0A iy AA f.m. 43,0iy 10.3 En la fase líquida
,941
f.m. 430AA
,my
xA
ii
AA f.m. 22,0ix 10.2 Nota:
No se preguntan los coeficientes de transferencia de masa, pero se pueden calcular
A2 f.m. s /mmol 01 Ay , k
A2 f.m. s /mmol 03 Ax , k
Ejemplo 10.4 extracción de amoniaco Se requiere extraer amoniaco de una solución acuosa, que desciende dentro de una torre de pared húmeda, absorbiéndolo en una corriente de aire, que fluye por la parte central en contracorriente. En cierto nivel de la torre, la concentración de amoníaco es de 4 kmol/m3 en el líquido y la presión parcial de amoniaco en el aire de 3 kPa. La temperatura en el sistema es de 15 C y la
Capítulo 10. Trans. masa entre fases 430 G. Chacón V.
presión de 15 kPaman. El coeficiente local de trans-ferencia de masa en la fase líquida, del amoniaco en el agua, se estima en 2,110-6 (kmol/s m2)/(kmol/m3) y se considera que la fase gaseosa posee el 80% de la resistencia total a la transferencia de masa . Evalúe la transferencia de masa local y determine las concentra-ciones en la interfase. Datos y Nomenclatura: A : amoniaco CA : concentración de A en el líquido, kmolA/m3 PA : presión parcial de A en el vapor, kPa Equilibrio líquido vapor:
fequ equ equ equA A A AP P y C x
Sistema agua, aire, amoniaco a 288 K
xA kmolA/kmol 0 0,05 0,1 Tabulado
yA kmolA/kmol 0 0,04019 0,07767 Calculado
CA kmolA/m3 0 879,6 1721,4 Calculado
PA kPa 0 4,14 8 Tabulado
kg/m3 999,1 979,2 960,8 Tabulado
M kmol/kg 17,97 17,92 Calculado
C kmol/m3 17592 17214 Calculado Difusividad del amoniaco: en aire 2,17 Pa m2/s en agua líquida 1,7710-9 m2/s kG : coeficiente de transferencia de m/s masa local en la fase gaseosa kL : coeficiente de transferencia de masa local en la fase líquida 2,110-6 m/s f(xA) : relación de equilibrio de fases cuadro PAG : composición de amoniaco en la fase gaseosa 3 kPa. CAL : composición del amoniaco en la fase líquida 4 kmolA/m3
Fenómenos de Trasporte 431 G. Chacón V.
MA : peso o masa molecular del amoniaco 17,031 kmol/kg MB : peso o masa molecular del agua 18,015 kmol/kg M : peso o masa molecular de la mezcla : densidad de la mezcla kg/m3 T : temperatura 388 K P : presión dentro del sistema 103 kPa Patm : presión atmosférica 88 kPa Respuesta 10.3 Muestra del cálculos, para el equilibrio líquido gas
A 0,05x
A A B A(1 )L LM M x M x
17,031 0,05 18,015 (1 0,05) 17,9658M C M
33
kg kmol979, 2 17,9658 17,592 Mmol mm kg
C
A AC x C
3AA A3
kmol kmol0,05 17592 880 kmol mkmol m
C
AAPy
P A
34,14 kPa 0, 04019103 kPa
y
1 1
2 1 2 1
equ equ equ equA A A Aequ equ equ equ
A A A A
P P C CP P C C
3A
0 04,14 kPa 0 879,6 kmol /m 0
equ equA AP C
Con lo que
Capítulo 10. Trans. masa entre fases 432 G. Chacón V.
3A
kPa0,00471kmol /m
equ equA AP C
Difusión de amoniaco, A, usando los datos conocidos:
A A A A A *G G i G GN k P P K P P
A A A A *L L i L L AN k C C K C C Resistencias en la fase gaseosa
A A
A A
1 1 0,81 1 *
y G iG G
y G G G
k P Pk KK K k P P
A A A A *Gi G G
G
KP P P Pk
Sustituyendo
AA 3 3
A
kmolPa3 kPa 0,8 3 kPa 0,00471 4kmol /m miP
A 0,62 kPaiP 10.4
3Akmol /m0,615 Pa
0,00471 PaAiC
3
A130 kmol /mAiC 10.4
3
6 AA 3
kmolm 10 mol2,1 10 4 130,7s m kmol
N
2
A A0, 26 mol /m sN 10.4
Fenómenos de Trasporte 433 G. Chacón V.
Capítulo 11
ANÁLISIS DIMENSIONAL 11.1 METODOLOGÍA El análisis dimensional, es una técnica que consiste en obtener relaciones entre las variables que afectan un proceso (independientes, causa o perturbadas) sobre una variable de interés (dependiente, efecto o respues-ta), por medio de la consistencia entre sus dimensiones. La forma del modelo para la relación (modelo de regre-sión) se obtiene por conocimientos previos o por intuición y los parámetros de la función propuesta a partir de datos experimentales (ajuste). El método es sugerido por los modelos mecanicistas de los procesos, en cuanto que las relaciones obtenidas, permiten acomodarlas en grupos adimensionales. Tam-bién, por el principio de los criterios de semejanza, que establece que para aplicar una fórmula obtenida para una tamaño dado de un proceso a uno de mayor tamaño o a uno de menor tamaño, escalar, se debe mantener la relación entre las variables de interés: deben correspon-der y mantener el mismo valor. Ejemplos de criterios de semejanza Semejanza geo-métrica
21
LD
LD
Semejanza cine-mática para un flujo bidireccional 21
y
x
y
x
vv
vv
Semejanza en la potencia para la agitación de un fluido
1
53 dW
253
d
W
Capítulo 11 Análisis dimen. 434 G. Chacón V.
Teorema de Buckingham Las variables estudiadas quedan expresadas en térmi-nos de grupos adimensionales, con otras variables que afectan el proceso. Para lo cual se aplica el Teorema de Buckingham que se enuncia a continuación y cuya metodología se muestra mediante ejemplos. Si se tiene una variable relacionada por medio de función de varias variables independientes.
nxxxxxy ,,,f 4321 Con n : número de variables involucradas en la función
(incluyendo la dependiente) m : número de dimensiones primarias, en las n variables r : rango de la matriz formada por la n variables y las m
dimensiones. Es decir, el orden máximo del deter-minante que no sea nulo, que se puede encontrar en dicha matriz.
i : número de grupos adimensionales independientes, de la ecuación.
Entonces se puede formar una ecuación entre i grupos adimensionales
i ,,, 321 De tal forma que
rni Como regla (tiene excepciones) cuando se emplean solo unidades fundamentales,
mr El primer grupo, 1i , incluye la variable dependiente (efecto o respuesta)
Fenómenos de Trasporte 435 G. Chacón V.
Quedan r variables que se repiten, que deben cumplir las siguientes reglas a) El número de ellas es igual al rango r b) No deben tener (entre sí) las mismas dimensiones
netas Ejs.: CP y s; DAB y v
c) No se debe incluir la variable dependiente d) Deben incluir, entre los r números, todas las m
dimensiones primarias. Las variables en estudio se definen sobre la base de la experimentación, de criterios y modelos empíricos, técnicos y científicos y de la formulación de modelos mecanicista. 11.2 EJERCICIOS Ejemplo 11.1. Ecuación diferencial en variables adimen-
sionales Escriba la ecuación de Navier Stokes), para viscosidad constante, en variables adimensionales. Respuesta 11.1 La ecuación de Navier Stokes (Ec. 2.10), para viscosidad constante
02 gPvvv
tv
Se definen los números adimensionales simples
20*
vPP
P
vvv
*
Capítulo 11 Análisis dimen. 436 G. Chacón V.
tvt *
ggg
*
xx *
yy *
zz *
*
Sustituyendo en la ecuación diferencial para la cantidad de movimiento
***
** 22
vvvtvv
0*****2
22
ggPvvv
*****
** 2 v
vvv
tv
0*** 2
gv
gP
0*1****1***** 2
g
FrPv
Revv
tv
11.1
No. de Fraude
gvFr
2
No. de Reynolds
vRe
Fenómenos de Trasporte 437 G. Chacón V.
Ejemplo 11.2. Ecuación de calor en variables adimen-sionales
Escriba la ecuación de energía térmica, para un líquido, en variables adimensionales. Respuesta 11.2 La ecuación de la energía térmica (Ec. 2.15) para densi-dad, capacidad calorífica y viscosidad constantes,
TkTvtTCV
2
0: PvvvG
TCPTC PV
entalpía
Sustituyendo
GTkTvCtTC PV 2
0: vv
Se definen los números adimensionales simples
f
f
TTTT
T
*
tvt
*
vvv
*
xx *
yy *
zz *
*
Sustituyendo en la ecuación diferencial para la cantidad de movimiento
**
tTTTvC fV
*** Tv
TTvC fP
Capítulo 11 Análisis dimen. 438 G. Chacón V.
GTTTk f
**2
2
0**:**2
2
vvv
*****
** 2 T
vCkTv
tT
CC
PP
V
vTTvC
GfP
0**:**2
vvTTC
vfP
**1***
**1 2 T
PrReTv
tT
0**:**1*
vvNtRe
G
11.2
Razón de Coeficientes V
P
CC
No. de Prandtl
k
CPr P
2
v
TTCNt fP
No. de Reynolds
vRe
No. de generación fP TTCvGG
*
Fenómenos de Trasporte 439 G. Chacón V.
Ejemplo 11.3. Pérdidas por fricción Formule mediante análisis dimensional, la relación de las pérdidas por ficción en un tramo recto de un conducto de un fluido en movimiento en régimen turbulento, expresa-do como una potencia, en términos de las variables del proceso. Considere que depende de la velocidad del fluido, la longitud y el diámetro del conducto, del valor de las asperezas del material del conducto y de las propie-dades del fluido, su densidad y su viscosidad. Proponga un grupo que contenga la energía cinética del flujo de fluidos. Respuesta 11.3 i ) Enlistar las variables ,,,,,f DLvW ii ) Desarrollar las variables en términos de sus
dimensiones primarias, en forma de matriz
m\n W v D L
3
2
sm kg
3mkg
sm
m m sm
kgm
kg 1 1 0 0 0 1 0
m 2 -3 1 1 1 -1 1
s -3 0 -1 0 0 -1 0
iii ) Evaluar el rango de la matriz Por prueba y rectificación (las calculadoras automáticas realizan esta operación), se toma el determinante con las tres primeras filas y columnas, pues tienen menos ceros que las otras.
Capítulo 11 Análisis dimen. 440 G. Chacón V.
01131Det 31121 33020 02 Det Por lo tanto el rango de la matriz es 3r Grupos adimensionales 437 i iv ) Definir las variables que se repiten En este caso particular, se pide que un grupo contenga la energía cinética del flujo
82
232 DvvAvcE
Entonces se escogen como variables que se repiten Dv,, v ) Obtener los grupos adimensionales
Primer grupo adimensional
WDv cba 1
3
2
3 sm kgm
sm
mkg1 c
ba
kg: a 1 0 m: 3a b c 2 0 s: b 3 0
Fenómenos de Trasporte 441 G. Chacón V.
Acomodando para resolver el sistema
1 a 0 b 0 c -1-3 a 1 b 1 c -20 a -1 b 0 c 3
Resolviendo a -1; b -3; c -2 Sustituyendo se obtiene el número adimensional
otPDv
W
231
(Pot : número de potencia)
Segundo grupo adimensional
cba Dv2
s mkgm
sm
mkg1 3
cba
kg: a 1 0 m: 3a b c 1 0 s: b 1 0 Acomodando para resolver el sistema
1 a 0 b 0 c -1-3 a 1 b 1 c 10 a -1 b 0 c 1
Resolviendo a -1; b -1; c -1 Sustituyendo se obtiene el grupo adimensional
ReDv1
2
Capítulo 11 Análisis dimen. 442 G. Chacón V.
Tercer grupo adimensional
LDv cba 3
mmsm
mkg1 3
cba
kg: a 0 m: 3a b c 1 0 s: b 0 Acomodando para resolver el sistema
1 a 0 b 0 c 0-3 a 1 b 1 c -10 a -1 b 0 c 0
Resolviendo a 0; b 0; c -1 Sustituyendo se obtiene el número adimensional
DL
3
Cuarto grupo adimensional
cba Dv4
mmsm
mkg1 3
cba
Por analogía con el caso anterior
D 4
La potencia en términos de las variables de interés es
Fenómenos de Trasporte 443 G. Chacón V.
DD
LDvDv
W
,,23
11.3
Referencia: Las pérdidas de energía se definen en términos del factor de fricción de Darcy
2
232 4,,1
2 DvDv
DDL
Rev
DLf
AvW
D
Comparando esta definición con el resultado, entonces
DRef D
,1θ
Sobre base semiteórica se obtiene la relación de Cole-brook
DfRef DD
269,052,2log2110
Ejemplo 11.4. Potencia en la agitación de un fluido
Obtenga por medio del análisis dimensional, una relación para la potencia consumida por la agitación de un fluido. Considere que depende del diámetro y la frecuencia de revolución del agitador y de las propiedades del fluido, su densidad y su viscosidad. Respuesta 11.4 i ) Enlistar las variables ,,,f DW
Capítulo 11 Análisis dimen. 444 G. Chacón V.
ii ) Desarrollar las variables en términos de sus dimensiones primarias, en forma de matriz
m\n W D
3
2
sm kg
3mkg
s1
m sm
kg
kg 1 1 0 0 1
m 2 -3 0 1 -1
s -3 0 -1 0 -1
iii ) Evaluar el rango de la matriz Se toma el determinante con las tres primeras filas y columnas. 05 Det Por lo tanto el rango de la matriz es 3r Grupos adimensionales 235 i iv ) Definir las variables que se repiten Se escogen como variables que se repiten. D,, v ) Obtener los grupos adimensionales
Primer grupo adimensional
WD cba 1
3
2
3 sm kgm
s1
mkg1 c
ba
Fenómenos de Trasporte 445 G. Chacón V.
kg: a 1 0 m: 3a c 2 0 s: b 3 0 Resolviendo a -1; b -3; c -5 Sustituyendo se obtiene el número adimensional
otPD
W
531
Segundo grupo adimensional
cba D2
s mkgm
s1
mkg1 3
cba
kg: a 1 0 m: 3a c 1 0 s: b 1 0 Resolviendo a -1; b -1; c -2 Sustituyendo se obtiene el grupo adimensional
ReD1
22
La potencia del agitador del un fluido en términos de las variables de interés es
253 DD
W
11.4
Capítulo 11 Análisis dimen. 446 G. Chacón V.
Ejemplo 11.5. Convección libre Obtenga por medio del análisis dimensional, una relación para el coeficiente de transferencia de calor, para la convección libre o natural. Considere que depende de la longitud de la placa, de la fuerza boyante del fluido y de las propiedades del fluido, su densidad, su viscosidad, su conductividad térmica y su capacidad calorífica. Respuesta 11.5 i ) Enlistar las variables kCgLh P ,,,,,f ii ) Desarrollar las variables en términos de sus dimen-
siones primarias, en forma de matriz
m\n h L g CP k
K3s
kgm 22 sm
kg3m
kgsm
kgK2
2
sm
K s m kg
3
kg 1 0 1 1 1 0 1
m 0 1 -2 -3 -1 2 1
s -3 0 -2 0 -1 -2 -3
K -1 0 0 0 0 1 -1
iii ) Evaluar el rango de la matriz Se toma el determinante con las cuatro primeras filas y columnas. 02 Det Por lo tanto el rango de la matriz es 4r
Fenómenos de Trasporte 447 G. Chacón V.
Grupos adimensionales 347 i iv ) Definir las variables que se repiten Se escogen, como variables que se repiten. ,,, Lk v ) Obtener los grupos adimensionales
Primer grupo adimensional
hLk dcba 1
K skg
s m kg
mkgm
K sm kg1 333
dcb
a
kg: a c d 1 0 m: a b 3 c d 0 s: 3 a d 3 0 K: a 1 0 Resolviendo a -1; b 1; c 0; d 0 Sustituyendo se obtiene el número adimensional
NukLh
1
Segundo grupo adimensional
gLk dcba
2
2233 sm
kgs m kg
mkgm
K sm kg1
dcb
a
Capítulo 11 Análisis dimen. 448 G. Chacón V.
kg: a c d 1 0 m: a b 3 c d 2 0 s: 3 a d 2 0 K: a 0 Resolviendo a 0; b 3; c 1; d -2 Sustituyendo se obtiene el número adimensional
GrLg
2
3
2
Tercer grupo adimensional
P
dcba CLk 3
K sm
s m kg
mkgm
K sm kg1 2
2
33
dcb
a
kg: a c d 0 m: a b 3 c d 2 0 s: 3 a d 2 0 K: a 1 0 Resolviendo a -1; b 0; c 0; d 1 Sustituyendo se obtiene el número adimensional
Prk
CP
3
El coeficiente de transferencia de calor (o de película) en términos de las variables de interés es
k
CLgkLh P
,2
3
11.5
Fenómenos de Trasporte 449 G. Chacón V.
Ejemplo 11.6 Transferencia de masa de una sus-tancia
Desarrolle mediante análisis dimensional, la relación para el coeficiente de transferencia de masa para el flujo de solvente en el secado de piezas recién pintadas, en régimen de flujo laminar. Considere que depende de la velocidad del aire, la longitud perpendicular al flujo de aire y la longitud en la dirección de dicho flujo y la presión del sistema; así como de las propiedades del fluido, su densidad, su viscosidad y su difusividad en el aire. Suponga que no depende de las concentraciones de la superficie ni la del medio y que el proceso es a temperatura constante. Respuesta 11.6 i ) Enlistar las variables PDLvk ABC ,,,,,,f ii ) Desarrollar las variables en términos de sus dimen-
siones primarias, en forma de matriz
m\n kC v L DAB P
sm
m 3mkg
sm
smkg
m s
m2
2smkg
kg 0 0 1 0 1 0 0 1
m 1 1 -3 1 -1 1 2 -1
s -1 0 0 -1 -1 0 -1 -2
iii ) Evaluar el rango de la matriz Se toma el determinante con tres filas y columnas en el medio. 01 Det
Capítulo 11 Análisis dimen. 450 G. Chacón V.
Por lo tanto el rango de la matriz es 3r Grupos adimensionales 538 i iv ) Definir las variables que se repiten Se escogen como variables que se repiten. ,, ABD v ) Obtener los grupos adimensionales
Primer grupo adimensional
Ccb
ABa kD 1
smm
sm
mkg1
2
3c
ba
kg: a 0 m: 3a 2 b c 1 0 s: b 1 0 Resolviendo a 0; b -1; c 1 Sustituyendo se obtiene el número adimensional
ShD
k
AB
C
1
Segundo grupo adimensional
vD cb
ABa 2
smm
sm
mkg1
2
3c
ba
Fenómenos de Trasporte 451 G. Chacón V.
kg: a 0 m: 3a 2 b c 1 0 s: b 1 0 Resolviendo a 0; b -1; c 1 Sustituyendo se obtiene el número adimensional
ScReD
v
AB
2
Tercer grupo adimensional
cb
ABa D3
s mkgm
sm
mkg1
2
3c
ba
kg: a 1 0 m: 3a 2 b c 1 0 s: b 1 0 Resolviendo a -1; b -1; c 0 Sustituyendo se obtiene el número adimensional
ScDAB
3
Cuarto grupo adimensional
LD cb
ABa 4
mms
mmkg1
2
3c
ba
Capítulo 11 Análisis dimen. 452 G. Chacón V.
kg: a 0 m: 3a 2 b c 1 0 s: b 0 Resolviendo a 0; b 0; c -1 Sustituyendo se obtiene el número adimensional
L 4
Quinto grupo adimensional
PD cb
ABa 5
2
2
3 s mkgm
sm
mkg1 c
ba
kg: a 1 0 m: 3a 2 b c 1 0 s: b 2 0 Resolviendo a -1; b -2; c 2 Sustituyendo se obtiene el número adimensional
2
2
5ABD
P
El coeficiente de transferencia de masa en términos de las variables de interés es
2
2
,,,ABABABAB
C
DP
LDDv
Dk
11.6
Fenómenos de Trasporte 453 G. Chacón V.
Capítulo 12
FLUJO EXTERNO DE LOS FLUIDOS 12.1 DEFINICIÓN DE CAPA LÍMITE Considérese un flujo, de un fluido, sobre una superficie sólida, cuyo movimiento se encuentra en estado estacio-nario, es decir la velocidad no cambia con el tiempo, sólo con la posición.
- De acuerdo con el principio de no deslizamiento, de la
teoría del continuo, la velocidad del fluido en contacto con el sólido es igual a la del sólido. Si la pared está en reposo, relativo, vs = vw = 0
Para y 0 : vx = vs = vw ; T = Ts = TW ; CA = CAs= CAW - La magnitud de la velocidad aumenta, a partir de la
pared, desde 0, hasta un valor dado por las carac-terísticas del flujo y del fluido. Por lo cual, debe existir un gradiente de velocidad, ejercido por un esfuerzo retardador, de arrastre o de fricción, yx. El esfuerzo decrece a medida que la velocidad aumenta. En forma análoga se manifiesta el cambio de temperatura con el flujo de calor y de la concentración de una sustancia A, componente de una mezcla, con la difusión de masa.
- En la capa límite se manifiestan los efectos más impor-
tantes de energía molecular (cantidad de movimiento, potencial térmico y potencial químico).
yvx
dd
v=v T=T CA=CA
v=vs T=Ts CA=CAs
corriente libre
capa límite
y
s qs NAs
Gradiente de velocidad
x
vx
Capítulo 12 Flujo externo. 454 G. Chacón V.
- Se presenta una subcapa laminar, entre el sólido y el seno del flujo del fluido en régimen turbulento. Si el flujo del fluido es laminar, toda la capa límite es laminar.
- A partir de cierta distancia, , perpendicular a la placa,
los efectos pierden significación y las propiedades se mantienen constantes, la fricción, yx, es despreciable.
Para y : vx = v = vf ; T = T = Tf ; CA = CA= CAf 12.2 ANALOGÍAS ENTRE LOS FENÓMENOS DE
TRANSPORTE En la capa límite de un fluido se observa que los fenóme-nos presentan un mismo mecanismo energético, como se muestra en el cuadro:
Relaciones globales Momentum Calor Masa de A
2/ vvvC sDs TThq ss AsACsA CCKN Relaciones suponiendo difusión “pura”
0d
d
y
ss y
vv
0dd
y
ss y
TTkq 0d
d
y
AsAABsA y
CCDN
Relaciones empíricas entre espesores de capa límiteV 31PrT 31ScC
Comparando los dos criterios
V
s
y
s
D
vvyvv
vC
0dd
2
T
s
y
s
TTyTT
Prkh
03/1
dd
C
sAA
y
sAA
AB
C
CCyCC
ScDk
,,
0
,
3/1
dd
Aproximando los perfiles (de v, T, o CA) como lineales
31312 ScReSh
PrReNuCD
(12.1)
Reynolds Prandtl Chilton Colburn
Fenómenos de Trasporte 455 G. Chacón V.
12.3 MODELO PARA EL FLUJO, DESARROLLADO, EN RÉGIMEN LAMINAR, SOBRE UNA PLACA PLANA (Pared húmeda)
Sea una película de líquido de espesor que des-ciende por una placa inclinada, con un ángulo (con la horizontal) y libremente (forzado sólo por la gravedad). Con las siguientes consideraciones adicionales: - Flujo del fluido en estado estacionario, para la
cantidad de movimiento, el calor y la masa de la sustancia A.
- Flujo del fluido en régimen laminar - Masa, fluida, como un continuo y homogénea - Fluido newtoniano (cumple la Ley de Newton en
régimen laminar) - Geometría perfecta y espesor, , constante - Las condiciones no cambian en la dirección z, per-
pendicular al plano del flujo (al plano del papel) - Variación despreciable de los parámetros (, , k y
DAB) con la temperatura y la posición (flujo incom-presible)
- El fluido sólo se desplaza en la dirección x. La
velocidad y la variación del esfuerzo en otras direc-ciones es despreciable, vy 0 y vz 0
- Efectos de contacto entre fases, regido por el prin-
cipio de masa continua o no deslizamiento Interfase líquido sólido vx y =0 0 Interfase líquido gas yxy =W 0
- No hay generación de calor ni reacción química - La difusión de calor y de la masa de A, son despre-
ciables en la dirección x, comparada con las debidas al movimiento del fluido en esa dirección.
Capítulo 12 Flujo externo. 456 G. Chacón V.
Balance de masa, total
0
xvx
Balance de cantidad de movimiento 0sen2
2
g
yv
xvv xx
x
Balance de energía térmica
2
2
22 2
yv
yTkg
xTC
xvv x
xPx
Balance de la masa de la sustancia A
2
2
yCD
xCv A
ABA
x
Resolviendo las ecuaciones, con las condiciones de contorno:
Para y 0 vx = 0 T = Ts CA = CAs Para y yx = 0 vx = vMAX T = T CA = CA
Perfil de velocidad
yygvx
22
21sen
(12.2)
vx, T, CA
g
g sen
Fx x
y
yxAncho B
Largo, L
Despreciables
Fenómenos de Trasporte 457 G. Chacón V.
La velocidad promedio
MAXx vgv32
3sen2
(12.3)
3
sen32 gvBm
x
(12.4)
31
2 sen3
g
(12.5)
44 xvRe (12.6)
Fuerza viscosa o de fricción, sobre la pared
L
y
xL
yxys xByvxBF
00
0 0dd
2
d2
2
0
2
x
ACD
Lx
DxsvACxBvCF
LBgxBgFL
s sendsen0
Coeficiente de fricción o arrastre para la capa en régimen de flujo laminar
LB
LBgAFvC
AC
sxD
sen2
2
Rev
Cx
D246
(12.7)
Las Ecs. 12.5 y 12.7, se cumplen para Re 2105
Número de Reynolds para el flujo sobre
una pared plana
Flujo de masa por unidad de ancho sobre una pared plana
Coeficiente de arrastre o fricción
para la capa en régimen laminar
Espesor de la capa en régimen
laminar
Capítulo 12 Flujo externo. 458 G. Chacón V.
Perfil de temperatura
12
2
32exp
n Pxnn
s
s
Ck
vxC
TTTT
(12.8)
Perfil de concentración de A
12
2
32exp
nAB
xnn
AsA
AsA Dv
xCCC
CC
(12.9)
Solución de Johnston Pigford (1952) C1 0,7857 1 5,1213 C2 0,1001 2 39,318 C3 0,03599 3 105,64 Números adimensionales
Prandtl: k
CPr P
Nusselt: k
hNu
Schmidt: ABAB DD
Sc
Sherwood:
AB
C
Dk
Sh
Flujos en la pared
Calor TThyTkq sx
yAB
0
Masa de A AAsLxy
AABA CCk
yCDN
0
Balances a lo largo de la placa Calor
xwTThxxTCwv sxPx δδ
Masa de A
xwCCkxwvxC
AAsLxxA δδ
Fenómenos de Trasporte 459 G. Chacón V.
Simplificando y separando variables
Calor xCv
hTT
TPx
x
s
dd
Masa de A xvk
CCC
x
Lx
AAs
A dd
Integrando, entre x 0 y x L con hx h y kLx kL, constantes en ese intervalo. Calor
7857,03
21213,5explnln
0
LPrReL
PrReNu
TTTT
s
sL
Masa de A
7857,03
21213,5explnln
0
LScReL
ScReSh
CCCC
AsA
AsAL
Con lo que Calor 41,3241,041,3 LPrReNu (12.10) Masa de A 41,3241,041,3 LScReSh (12.11) Se cumple para Re 100 y L 1 Para valores más grandes de Reynolds Calor
Masa de A ScReL
Sh
23
(12.12)
Se cumple para 100 Re 1200
Capítulo 12 Flujo externo. 460 G. Chacón V.
12.4 MODELO DE PRANDTL O “EXACTO” PARA LA CAPA LÍMITE
El modelo, parte de las ecuaciones de conservación (cantidad de movimiento, calor y masa de A, respectiva-mente) como consecuencia de suponer una capa límite muy delgada y un número de Reynolds grande. Con las siguientes consideraciones adicionales. - Flujo bidireccional - A medida que la posición se aleja de la entrada, de la
placa, en el sentido y dirección del flujo, la magnitud y forma del perfil de velocidad varía
xxxxx vv
δ
xxx δ
- Variación despreciable de los parámetros (, , k y
DAB) con la temperatura y la posición (flujo incom-presible)
- Flujo del fluido en estado estacionario, para la
cantidad de movimiento, el calor y la masa de la sustancia A.
0 v
- Flujo del fluido no rotacional (y en estado estacio-
nario), las líneas de corriente y de trayectoria no se cruzan
yx
vv
y
x
dd
- El esfuerzo cortante está representado por el gra-
diente de velocidad en la dirección del flujo con respecto la posición perpendicular al mismo
xv
yv yx
- Los efectos de cantidad de movimiento, térmicos y de
masa, son equivalentes ABD
Fenómenos de Trasporte 461 G. Chacón V.
AsA
AsA
s
s
s
sx
CCCC
TTTT
vvvv
- Los efectos energéticos en la dirección del flujo (x) son
despreciables, comparados con los respectivos en la dirección perpendicular (y)
0
xvy 0
xP
02
2
xvx
02
2
xT
02
2
xCA
- Los efectos mecánicos en la dirección perpendicular al
flujo (y), no aportan significativamente a las fuerzas viscosas y a la cantidad de movimiento
0
yP
02
2
yvy
- Los flujos de cantidad de movimiento, calor y masa de
una sustancia, se evalúan en la pared Esfuerzo viscoso o de arrastre
2
22
0
vvC
yv s
Dxy
x
Transferencia de calor
TThyTkq sx
y 0
Transferencia de masa de A
AAsCxy
AABA CCk
yCDN
0
- Se considera que la placa está en reposo
00
syx vv
Formulación del modelo, Prandtl (1904)
Capítulo 12 Flujo externo. 462 G. Chacón V.
Balance de masa, total
0
yv
xv yx
Balance de cantidad de movimiento
2
2
yv
yvv
xvv xx
yx
x
Balance de energía térmica
2
2
yTk
yTCv
xTCv PyPx
Balance de la cantidad de sustancia A
2
2
yCD
yCv
xCv A
ABA
yA
x
“Solución” mediante análisis dimensional, Blasius (1908) Las tres ecuaciones energéticas tienen la misma forma matemática, por lo que se convierten en ecua-ciones en variables adimensionales con base en una velocidad adimensional.
AsA
AsA
s
s
s
sx
CCCC
TTTT
vvvv
222dd
Como v, T y CA son valores asintóticos cuando y () y considerando que ABD , la forma sugerida para , es una variable global así
21
21
21
21
21
21
21
21
21
xy
Dv
xyv
xyv
AB
Las derivadas de la variable adimensional,
xx
yvx
221
21
23
21
Fenómenos de Trasporte 463 G. Chacón V.
21
21
xv
y
Entonces, la velocidad se define
dd
2
vvx
Con lo que
2
2
2
2
dd
42dd
2
xv
xv
xv
xv xx
2
22121
2
2
dd
421
dd
2
xvv
xvv
yv
yv xx
xvv
yv
yv
yv xxx
41
dd
20 3
32
2
2
2
2
2
2
3
32
2
2
dd
8
xv
yvx
Para la velocidad vy, en el punto y, con el balance de masa
2
2
dd
4
xv
xv
yv xy
Integrando
21
2
2
2
2
2dd
4dd
4 vx
xvy
xvvy
dd
21d
dd
21 21
2
221
xv
xv
vy
Sustituyendo estos resultados en la ecuación diferen-cial del balance de la cantidad de movimiento.
4dd
21
dd
4dd
2
21
2
2 vxv
xvv
3
32
2
221
dd
8dd
xv
xv
Capítulo 12 Flujo externo. 464 G. Chacón V.
Simplificando, queda
0dd
dd
2
2
3
3
Con las condiciones de frontera para 0 (0)= (0) = 0 (y 0; vx = 0) para () = 2 (y ; vx = v) Solución numérica de Howarth (1938) y validación de Nikuradse (1942).
xvy
2
2
2
v
vx
0,0 0,000 1,328 0,000 0,4 0,529 1,310 0,265 0,8 1,034 1,189 0,517 1,2 1,458 0,912 0,729 1,6 1,752 0,557 0,876 2,0 1,911 0,257 0,956 2,4 1,976 0,088 0,988 2,8 1,995 0,022 0,996 3,2 1,999 0,004 0,999 3,6 2,000 0,000 1,000 4,0 2,000 0,000 1,000 5,0 2,000 0,000 1,000
Con la que se obtiene
5,299,0
vvx
98,199,099,0
vvvx
24328,100
2
2
(12.13)
El espesor de la capa límite, , se considera que es la distancia a partir de la placa, en la que la velocidad es 99% de la que corresponde a la corriente libre, vx 0,99 v. De la definición de
Fenómenos de Trasporte 465 G. Chacón V.
21
21
99,0 21
x
yv yv
21
0,5
vx (12.14)
Coeficiente de fricción o arrastre Se evalúa la transferencia de cantidad de movimiento en la pared o interfase.
22
222
00
vCvvC
yv
Dxs
Dxy
x
02
221
0
2
,0 dd
42
x
vvyvvC
y
xxD
21
,
40
2
xvC xD
(12.15)
Número de Reynolds para el flujo sobre una pared plana
LvRe
(12.16)
El coeficiente global de arrastre o fricción
LL xDD xxvL
xC
LC
0
21
0
, d4
01d2
12
Efectuando la Integral
21
0
21
2012
401
2
vL
Lvx
LC
L
D
Número de Reynolds para el flujo sobre
una pared plana
Capítulo 12 Flujo externo. 466 G. Chacón V.
216641,0
2 ReCD (12.17)
Se cumple para Re 5 104 Otros modelos
Von Kármán Re < 5 104 216465,0
2 ReCD
Prandtl-Blasius Re < 5 104 51037,0
2 ReCD
Schultz y Grunow
Re < 5 105
64,2407,0log214,0
2
ReCD
Prandtl-Blasius
5 105 < Re < 5 107 ReReCD 850037,02 51
Schlichting (1960)
5 106 < Re < 5 109 ReReCD 4350
log2275,0
2 584,2
Coeficiente de transferencia de calor Se parte del principio de analogía de los procesos de transporte
s
s
s
sx
TTTT
vvvv
22dd
Y, el flujo de calor se evalúa en la pared o interfase
TThyTkq s
y 0
0
2
2
0 dd
dd
21
ys
y yTTk
yTkq
Coeficiente de fricción para la capa límite del flujo sobre
una pared plana
Fenómenos de Trasporte 467 G. Chacón V.
sxs TThx
vTTk
0
21
2
2
21
dd
21
Despejado en términos de coeficiente de transferen-cia de calor, h,
21
40
xvkhx
(12.18)
El coeficiente global de transferencia de calor
LL
x xx
vk
Lxh
Lh
0
21
0d
401d1
Efectuando la Integral
21
0
21
202
401
Lv
Lkxv
kL
hL
216641,0 Rek
LhNu
(12.19)
Con la modificación de Pohlhausen (1925)
31216641,0 PrRek
LhNu
(12.20)
Se cumple para Re 5 104 Con la misma modificación, a partir del modelo de Prandtl-Blasius Para Re 5 108 PrReNu 54036,0
25 calentamiento 13 enfriamiento
Número de Nusselt para la capa límite del flujo sobre una
pared plana
Capítulo 12 Flujo externo. 468 G. Chacón V.
Coeficiente de transferencia de masa de A Se parte del principio de analogía de los procesos de transporte
AsA
AsA
s
sx
CCCC
vvvv
22dd
Y, el flujo de masa de A se evalúa en la pared o interfase
AAsCy
AABA CCk
yC
DN0
0
2
2
0 dd
dd
21
yAsAAB
y
AABA y
CCDy
CDN
AsACxAsAAB CCkx
vCCD
0
21
2
2
21
dd
21
Despejado en términos de coeficiente de transferen-cia de masa de la sustancia A, kC,
21
40
xv
Dk ABxC
(12.21)
El coeficiente global de transferencia de masa
L
AB
L
xCC xx
vDL
xkL
k0
21
0d
401d1
Efectuando la Integral
21
0
21
202
401
Lv
LDxvD
Lk AB
L
ABC
216641,0 ReD
LkSh
AB
C
(12.22)
Con la modificación de Chilton y Colburn (1933-34)
Fenómenos de Trasporte 469 G. Chacón V.
31216641,0 ScReD
LkSh
AB
C
(12.23)
Con la misma analogía, a partir del modelo de Prandtl-Blasius Para Re 5 108 3154037,0 ScReSh Nota: al comparar las relaciones para los coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento (“momentun”), calor y masa de A se tiene
31312 ScReSh
PrReNuCD
(12.1)
12.5 MODELO PARA LA CAPA LÍMITE DE FLUJOS
SOBRE ESFERAS Y CILINDROS Considérese el flujo, en estado estacionario de un fluido sobre un una esfera sólida y perpendicular a un cilindro sólido.
v=v T=T CA=CA corriente
librecapa límite
r = 0
r = D/2
Punto de desprendimiento Punto de estancamiento
r
vx
Estela v=vs T=Ts CA=CAs
x
Número de Sherwood para la capa límite del flujo sobre
una pared plana
Capítulo 12 Flujo externo. 470 G. Chacón V.
- De acuerdo con el principio de no deslizamiento, de la teoría del continuo, la velocidad del fluido en contacto con el sólido es igual a la del sólido. Si está en reposo relativo, v = 0. para r D/2 vr = 0 T = Ts = TW CA = CAs= CAW
- Para el Punto de estancamiento
para 0 v = 0 - A partir de cierta distancia, perpendicular a la línea de
flujo, a partir del sólido para r v = vx = v = vf T = T = Tf CA = CA= CAf
- El flujo entra o choca contra la superficie, con un perfil de velocidad constante para 0 v = vx = v
- Flujo bidireccional - Flujo del fluido en estado estacionario, para la
cantidad de movimiento, el calor y la masa de la sustancia A.
0 v
- Flujo del fluido incompresible y no rotacional, en
términos de la función de corriente - Variación despreciable de los parámetros (, , k y
DAB) con la temperatura y la posición (flujo incom-presible)
- En la capa límite se manifiestan los efectos más impor-
tantes de energía molecular (cantidad de movimiento, potencial térmico y potencial químico).
Cantidad de movimiento 2
2
rv
vv rr
Difusión de calor 2
2
r
TTv
Difusión de una sustancia A 2
2
r
CDCv A
ABA
Fenómenos de Trasporte 471 G. Chacón V.
Los coeficientes de transferencia, de cantidad de movi-miento, calor y masa, se evalúan en forma semiempírica, con relaciones como las siguientes, que se resumen en el cuadro 36.
PARA LA ESFERA
sen2r
vr
y rr
v
sen
El balance de masa, Milne y Thomson (1955)
0sen
sen2
22
2
rr (12.24)
3
161
431cos
rD
rDvvr (12.25)
3
321
831sen
rD
rDvv (12.26)
Caída de presión
DCvPP
1
2
2
(12.27)
Paradoja de D’alembert, si el flujo es ideal, esto es: no presenta resistencia al flujo ni a la fricción, ni a la forma, CD = 0, la presión no varía con la posición, r.
Re < 0,1 D
D ReC 24
Stokes (1850)
Con el factor de forma
Re < 1
D
DD Re
ReC
163124 Osen (1910)
Capítulo 12 Flujo externo. 472 G. Chacón V.
Re < 100 21
163124
D
DD Re
ReC
2 < Re < 500 535,18
DD Re
C Schlichting (1960)
103 < Re < 2105 4444,0DC Newton
Re < 6103
221
5407,024
DD Re
C
Abraham (1970) y Van Dyke (1971) Re < 3103 312160,00,2 PrReNu D Ranz y Marshall (1952) 3121552,00,2 ScReSh D Fröessling (1939) 1 < Re < 3104 214,00,2 DReNu
523206,0 PrReD Schlichting (1960) RaD FScReSh
62,021347,00,2 Steinberger y Treybal (1960) GrSc 108 41569,0 ScGrF DRa
GrSc 108 244,0310254,0 ScScGrF DRa
PARA EL CILINDRO
r
vr
y r
v
Fenómenos de Trasporte 473 G. Chacón V.
El balance de masa
022
2
2
2
rrrr (12.28)
2
21cos
rDvvr (12.29)
2
21sen
rDvv (12.30)
Caída de presión
DCvPP
sen412
2
(12.31)
Re < 0,5
DDD ReRe
Cln002,2
18
Lamp (1932)
1 < Re < 1000 32431011,91
DDD ReRe
C
104 < Re < 3105 2,1DC Re < 1000 38,02150,043,0 PrReNu D Hsu (1963) 104 < Re < 3104 38,05325,0 PrReNu McAdams, Hilpert, Knudsen y Katz 44,053281,0 ScReSh D Bedigfield y Drew (1950) 0,1 < Re < 105 1 20.35 0,34 DNu Re
0,58 0,30,15 DRe Pr
Capítulo 12 Flujo externo. 474 G. Chacón V.
12.6 EJERCICIOS Ejemplo 12.1 Viscosímetro de bola Se tiene un viscosímetro de bola de 95,3 mm de diámetro, en el cual se usa una bola de acero (densidad certificada 7808,8 kg/m3) de 1,55 mm de diámetro. Evalúe la viscosidad de un fluido con gravedad especí-fica 0,870 20/4 C, con el cual, la bola alcanza una velocidad final de 3,22 mm/s, cuando el sistema está a 20 C. Datos conocidos: H2O: densidad del agua (a 4 C) 999,972 kg/m3 : densidad del líquido (a 20 C) 870 kg/m3
g.e. 0,870 20/4 C vM: velocidad final medida 3,22 mm/s v: velocidad final ¿? DM: diámetro del viscosímetro 0,0953 m D: diámetro de la bola 0,00155 m s: densidad de la bola (a 20 C) 7808,8 kg/m3 Respuesta 12.1 Diagrama del volumen de control El viscosímetro de bola consiste en un recipiente cilíndri-co, en el cual se coloca el líquido, para el que se desea realizar la medición. Se deja caer una esfera con densidad conocida (dentro del líquido) y se mide la velocidad final o constante. Se emplea para medir visco-sidades de fluidos con valores altos de dicha propiedad. Balance de fuerzas
PESOFORMAFRICCIÓNBOYANTE FFFFF
Fenómenos de Trasporte 475 G. Chacón V.
tvV
gVv
ACgV ssPD d
d2
2
En términos del diámetro de la esfera
0246
223 v
DCgD Ds
Resolviendo para la velocidad final de la caída de una partícula esférica dentro de un fluido
13
42
s
DCgDv
Sustituyendo el coeficiente de fricción o arrastre, consi-derando flujo de fluidos laminar
1
1631243
421
2
s
ReRe
gDv con
vD
Re
FFRICCIÓN
FBOYANTE
F PESO
FFORMA
v
D
DM
Capítulo 12 Flujo externo. 476 G. Chacón V.
212
1631
18
RegDv s
Despejando para la viscosidad
212
1631
18
Re
vgD
s
Sustituyendo valores, la corrección de la velocidad por las paredes del recipiente MM vDDv 4,21
s
mm22,3m 0953,0m 00155,04,21
v
smm 55,3v Sustituyendo y considerando Re 0,1
3
22
mkg8708,7808
m/s 3E55,318m/s 80665,9m 00155,0
La viscosidad del fluido evaluado es: s kg/m 71,2 12.1 Corrección por fuerzas inerciales de forma
s kg/m 71,2kg/m 870m/s 3E55,3m 00155,0 3
vDRe
1,0107,1 3 Re No es necesaria realizar la corrección, dentro del error experimental del equipo de medición.
Fenómenos de Trasporte 477 G. Chacón V.
Ejemplo 12.2 Sedimentación Para la sedimentación de tiza, 17 a 28 kN/m3, en partícu-las de 0,05 a 0,10 mm, en tolueno, de 20 a 30 C, evalúe la profundidad que alcanzan las partículas en cinco minutos. Respuesta 12.2 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Partículas perfectamente esféricas - La fuerza aumenta, F 0, hacia abajo - La posición aumenta, z 0, hacia abajo - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema, volumen de
control inercial - Velocidad final estable v = constante - Régimen de flujo laminar, con Re 0,1. Balance de fuerzas
PESOFORMAFRICCIÓNBOYANTE FFFFF
gVv
ACgVt
vVsPD
s
2dd 2
Velocidad final, del balance de fuerzas en el estado esta-cionario,
02
2
gVvACgV sPD
13
42
s
DCgDv con
vDRe
Sustituyendo el coeficiente de fricción o arrastre, consi-derando flujo de fluidos laminar, con Re 0,1.
sgDv
18
2
Capítulo 12 Flujo externo. 478 G. Chacón V.
Datos conocidos: Se utilizan las propiedades para las condiciones críticas, las que aseguren la sedimentación de todas las partícu-las (obsérvese la ecuación ): : densidad del tolueno (a 20 C, mayor viscosidad) 867 kg/m3 : viscosidad del tolueno (a 20 C, mayor viscosidad) 0,589 g/m s v: velocidad final ¿? D: diámetro de la partícula (menor diámetro) 0,05 mm s: peso especifico (densidad) de la partícula (el menor) 17 kN/m3 tee: tiempo en que se alcanza la velocidad final v ¿? hee: profundidad a la que se alcanza la velocidad final v ¿? t: tiempo en que se sedimenta la partícula 300 s h: profundidad a la que se sedimenta la partícula al tiempo t ¿? Simplificando el balance de fuerzas, para la etapa transi-toria: 0 v v.
VvAC
gtv
s
PD
s
21
dd 2
Sustituyendo el coeficiente de fricción o arrastre, consi-derando flujo de fluidos laminar, con Re 0,1
3
22
62
424
1d
d
D
vDvD
gtv
ss
2181
dd
Dvg
tv
ss
vgDt
vg ss
2181
dd
11
Fenómenos de Trasporte 479 G. Chacón V.
Definiendo gs 1 Entonces la ecuación se simplifica
vv
tv 1
dd1
Separando variables
t
vvv d
1d
Integrando
Ctetv
vv
1ln
Al inicio t 0 y v 0 (la partícula parte del reposo) y la Cte 0, con lo que
t
vvv exp1
Despejando la velocidad
tzt
vvv
ddexp1
La profundidad cuando se alcanza el estado estacionario es
teeheett
vvz
00dexp1d
1exp
2
eeeeee tv
vtvh
El tiempo cuando se alcanza el estado estacionario ( v 0,99 v) es
Capítulo 12 Flujo externo. 480 G. Chacón V.
01,099,01exp
vvtv ee
La profundidad para que se deposite el sedimento, eeee httvh 299,0 vtvh La velocidad final, sustituyendo valores,
m/s kg 000589,018
m/s 80665,9m 05000,0 22
v
32
3
mkg867
m/s 80665,9N/m 17000
La velocidad final de la partícula: mm/s 0,2m/s 0002,0 v
Se redondea hacia abajo, por seguridad
Cálculo del número de Reynolds
m/s kg 000589,0
mkg867m/s 0002,0m 05000,0 3
vDRe
15,0Re La corrección por factor de forma es
986,016
15,03116
312121
Corr
Rev
v
Queda dentro del redondeo de seguridad.
Fenómenos de Trasporte 481 G. Chacón V.
2
2
3
3m/s 80665,9
m/s 80665,9N/m 17000mkg867
11
g
s
2m/s 90,4 La profundidad de sedimentación en cinco minutos es
2m/s 90,4
m/s 0020,0,990s 003sm 0020,0h
m 4E43000020,0 h La profundidad alcanzada a los cinco minutos es: m 6,0h 12.2 Ejemplo 12.3 Elución (Clarificación) Un suelo finamente dividido de galena y piedra caliza con una proporción de 1 a 4, se elucida, clarifica, con una corriente hacia arriba, la cual fluye a 5 mm/s. Evalúe la proporción de galena en el material depositado. Respuesta 12.3 Datos conocidos: Se utilizan las propiedades para las condiciones críticas, aquellas que aseguren la sedimentación de todas las partículas (obsérvese la ecuación ): g.eG: gravedad especifica (densidad relativa) de la galena 7.5 g.eC: gravedad especifica (densidad relativa) de la piedra caliza 2,0 - 2,7
Capítulo 12 Flujo externo. 482 G. Chacón V.
: densidad del agua (a 20 C), 998,2 kg/m3 : viscosidad del agua (a 20 C), 1,006 g/m s v: velocidad final 0,005 m/s D: diámetro de la partícula ¿? La distribución de tamaños para cada material, tamizado, se muestra en el siguiente cuadro.
Diámetro Proporción de peso menor
μm %
20 15 30 28 40 48 50 54
60 64 70 72 80 78
100 88
Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.
El problema consiste en determinar el tamaño de la partícu-la que tiene una velocidad de sedimentación igual o mayor a la del flujo de agua hacia arriba.
- Partículas perfectamente esféricas - La fuerza aumenta, F 0, hacia abajo - La posición aumenta, z 0, hacia abajo - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema, volumen de
control inercial - Velocidad final estable, v = constante. Balance de fuerzas
PESOFORMAFRICCIÓNBOYANTE FFFFF
gVv
ACgVt
vVsPD
s
2dd 2
Fenómenos de Trasporte 483 G. Chacón V.
Velocidad final, del balance de fuerzas en el estado estacionario,
02
2
gVvACgV sPD
13
42
s
DCgDv
Sustituyendo el coeficiente de fricción o arrastre, consi-derando flujo de fluidos laminar y con
vDRe
Despejando el diámetro de la partícula
21
163118
Reg
vDs
Sustituyendo valores, en el número de Reynolds.
s kg/m 3E006,1kg/m 2,998m/s 005,0
DRe
DRe 3100,5 Diámetro para la galena
kg/m 2,99815,7m/s 80665,9m/s 005,0 kg/m 3E006,118
2D
21
163E0,531
D
1 21,4229 E 9 1 930, 2D D m El diámetro para la galena es DG 3,805110-5 m = 38 m (Re 0,2) Partículas de galena con DG 38 m, 44 %
Capítulo 12 Flujo externo. 484 G. Chacón V.
Diámetro para la piedra caliza
kg/m 2,99817,2m/s 80665,9m/s 005,0 kg/m 3E006,118
2D
21
163E0,531
D
212,93316E4002,5 DD m El diámetro para la piedra caliza es DC 7,4810-5 m = 74,8 m (Re 0,4) Partículas de piedra caliza con DP 74,8 m, 75 % Remoción de galena y piedra caliza Base: 100 kg de material de entrada Galena removida 20 0,44 8,8 kg galena100 kg Galena retenida 20 8,8 11,2 kg galena100 kg Piedra caliza removida 80 0,75 60 kg p. caliza100 kg Piedra caliza retenida 80 60 20 kg p. caliza 100 kg Entonces
100608,8
,88removida galena%
100202,11
1,21retenida galena%
Galena en el clarificado 13 % Galena en el sedimento 16 % 12.3
Fenómenos de Trasporte 485 G. Chacón V.
Ejemplo 12.4 Cilindro calentado Un conducto de 1 ced. 80, cuya cara externa se man-tiene entre 28 C, un extremo, y 35 C, el otro extremo, se calienta (externamente) con una corriente de gases de combustión a 150 C y 105 kPa, con una velocidad de 20 m/s, perpendicular al largo del conducto. Evalúe la transferencia de calor. Respuesta 12.4 Datos conocidos: Temperatura promedio o de película Se supone que para el proceso interno del conducto, la temperatura se comporta en forma logarítmica (y lo mismo la externa, Sec. 13.1, Ec. 13.4).
K 27328K 27335ln
K 27328K 27335ln 12
12
TTTTTT ws
C 531K 305 ,Ts Para evaluar las propiedades del fluido, de calentamien-to, se usa la temperatura promedio o de película
K 364C 7,902
C 5,31C 1502
TTT s
Y se considera que los gases de combustión tienen pro-piedades similares a las del aire puro. T: temperatura promedio o de película del aire 364 K : densidad del aire (1 atm) 0,966 kg/m3 : viscosidad del aire 21,4 mg/m s k: conductividad del aire 31,0 mW/m K Pr: número de Prandtl del aire 0,695 v: velocidad del aire 20 m/s
Capítulo 12 Flujo externo. 486 G. Chacón V.
D: diámetro del tubo (externo) 1 ced. 80 0,0334 m L: longitud del tubo ¿ ? Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Propiedades (parámetros) constantes - Estado térmico estacionario: el flujo de calor y las
temperaturas no varían con el tiempo. Número de Reynolds
m/s kg 5E14,2
mkg966,0m/s 20m 0334,0 3
vDRe
41002,3 Re Número de Nusselt
3,058,021 15,034,035,0 PrReRekDhNu
1 20,35 0,34 3,02E 4Nu
0,58 0,30,15 3,02 E 4 0,695
107Nu Nota: con otra fórmula 38,06,025,0 PrReNu 106695,04E02,325,0 38,06,0 Nu Con otra fórmula (McAdams, Hilpert, Knudsen y Katz) 31618,0193,0 PrReNu 100695,04E02,3193,0 31618,0 Nu El coeficiente de película es
K W/m99m 0334,0
K W/m0310,0107 2DkNuh
Flujo de calor TTAhQ s
Fenómenos de Trasporte 487 G. Chacón V.
W1000
kW 1C 1505,31m 0334,0Km
W 99 2 LQ
kW/m 2,1LQ 12.4 Ejemplo 12.5 Cable eléctrico Un cable de aluminio (con resistividad de 28,3 nV m/A) de 5 mm de diámetro, trasporta un corriente de 400 A. El elemento está cubierto con una capa de material aislante de 6,5 mm de espesor (cuya conductividad térmica es de 0,242 W/m K). El aire que lo rodea se encuentra a 290 K. Determine el coeficiente de transfe-rencia de calor o de película, entre la capa aislante y el medio, si el aire: a) Está en reposo. b) Se desplaza perpendicularmente al eje del cable, a
razón de 9 m/s. Datos conocidos: T: temperatura promedio o de película del aire ¿ ? : densidad del aire (1 atm) ¿ ? : viscosidad del aire ¿ ? k: conductividad del aire ¿ ? Pr: número de Prandtl del aire ¿ ? v: velocidad del aire 9 m/s DI: diámetro del cable, sin aislante 0,005 m D: diámetro del cable con aislante 0,018 m L: longitud del cable ¿ ? : resistividad eléctrica del cable 28,3 nV m/A i: corriente eléctrica 400 A
Capítulo 12 Flujo externo. 488 G. Chacón V.
Respuesta 12.5 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Propiedades (parámetros) constantes - Estado térmico estacionario: flujo de calor y las
temperaturas constantes con el tiempo. Flujo de calor, disipado por la resistencia eléctrica
2
4
IDLR
2
2 4
IDiLRiQ
El calor disipado al ambiente es TThLDTTAhQ ss Reuniendo las dos expresiones
2
4
Is D
iTThDLQ
Despejando la temperatura
hD
iD
TTI
s14
2
Sustituyendo valores
m 018,0
m/A V 9E3,284sT
K 2901A V 1
W1m 005,0
A 4002
h
K 290 W/m0784 2
h
Ts
Fenómenos de Trasporte 489 G. Chacón V.
a) Caso del aire en reposo Como primer intento se toma
K W/m10 2h Sustituyendo
K 698K 290K W/m10
W/m07842
2
sT
K 4942
K 290K 8692
TTT s
Propiedades T: temperatura promedio o de película del aire 500 K
Kg m110366,1/ 3722
TTDgPrGr s322 /
K 290869m 018,0K m17E366,1 33 PrGr
4102,3 PrGr Con lo que, el coeficiente de película para el aire es
412
2
41 1432,132,1
hDi
DDTT
hI
s
51254 432,1
IDD
ih
A V 1 W1
Am V 9E3,28432,1 54h
512
m 005,0m 018,0A 400
K W/m15 2h 12.5 a)
Capítulo 12 Flujo externo. 490 G. Chacón V.
b) Caso del aire en movimiento m/s 9v Como primer intento se toma
K W/m100 2h Sustituyendo
K 331K 290KW/m100
W/m07842
2
sT
K 3102
K 290K 3132
TTT s
Propiedades T: temperatura promedio o de película del aire 300 K : densidad del aire (1 atm) 1,1772 kg/m3 : viscosidad del aire 18,46 mg/m s k: conductividad del aire 26,24 mW/m K Pr: número de Prandtl del aire 0,7081 v: velocidad del aire 9 m/s D: diámetro externo del cable 0,018 m Número de Reynolds
m/s kg 5E846,1
mkg1772,1m/s 9m 018,0 3
vDRe
41003,1 Re Número de Nusselt
3,058,021 15,034,035,0 PrReRekDhNu
214E03,134,035,0Nu
3,607081,04E03,115,0 3,058,0
2 W/m88m 018,0
K W/m02624,03,60 DkNuh
Fenómenos de Trasporte 491 G. Chacón V.
Corrigiendo el primer valor de prueba
K 336K 290K W/m88
W/m07842
2
sT
K 3132
K 290K 363
T
Propiedades, a T = 313 K 1,129 kg/m3 18,9 mg/m s k 27,3 mW/m K Pr 0,705 v 9 m/s D 0,018 m
m/s kg 5E89,1mkg129,1m/s 9m 018,0 3
Re
3107,9 Re 213E7,934,035,0Nu
3,058,0 705,03E7,915,0 1,58Nu
m 018,0K W/m0273,01,58
DkNuh
K W/m88 2h 12.5 b)
Capítulo 12 Flujo externo. 492 G. Chacón V.
Ejemplo 12.6 Disolución de una pieza sólida Estime el flujo de masa de sal común, fundida, que se trasfiere de un cuerpo a una corriente de agua de 9 m/s y 300 K, si tiene la forma de: a) una esfera, de 15 mm de diámetro b) un cilindro, de 15 mm de diámetro por 15 mm de
largo, con sus caras planas tapadas y el flujo perpen-dicular al eje del mismo.
Datos conocidos: A NaCl B H2O MA: masa molecular de la sal 58,45 MB: masa molecular del agua 18,015 T: temperatura del sistema 300 K w*: solubilidad de la sal en agua a 300 K 36,2 g A/100 g B *: densidad a la saturación a 300 K 1198,4 kg/m3 DAB*: difusividad a la saturación a 300 K 1,5410-9 m2/s D: diámetro de la esfera y del cilindro 0,015 m º: densidad a dilución linfita a 291 K (agua) 998,6 kg/m3 º: viscosidad a dilución linfita a 291 K (agua) 1,0610-3 kg/m s DABº: difusividad a dilución linfita a 291 K 1,2610-9 m2/s º: viscosidad del agua a 300 K 8,5610-4 kg/m s º: densidad del agua a 300 K 996,5 kg/m3 CA: concentración de la sal en el agua ¿ ? v: velocidad del agua 9 m/s Respuesta 12.6 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.
Fenómenos de Trasporte 493 G. Chacón V.
- Propiedades (parámetros) constantes - Estado de flujo de masa estacionario y la tempe-
ratura y las concentraciones constantes con el tiempo.
Concentraciones en la saturación Fracción peso
A* 36, 2* 0, 266 kg /kg
* 100 36, 2 100w
w
Fracción mol
A
A B1Mx
M M
015,18834,045,58266,045,58266,0*
x
/kmolkmol 100,0* Ax Peso molecular medio 015,18100,0145,58100,0 M kg/kmol 07,22M Concentración molar, de saturación
AC x C xM
3
Akmol 1198, 4 kg/m* 0,100kmol 22,07 kg/kmol
AC
3
A* 5, 45 kmol /mAC Corrección de la difusividad por la temperatura
0
0
0
B BAB AB
B 0 B
º º TT
T
TD DT
Capítulo 12 Flujo externo. 494 G. Chacón V.
2 3
AB 3
m 1,06 E 3 kg/m s 996,5 kg/m s 300 Kº 1, 26 E 9s 8,56 E 4 kg/m 998,6 kg/m 291 K
D
9 2
AB º 1,605 10 m /sD Difusividad media entre los dos puntos del análisis
2
AB ABAB
1,54 E 9 1,60 E 9 m2 2 s
s fD D
D
/sm10571 29 ,DAB Número de Reynolds
B
B
ºº
D vD vRe
s kg/m 4E56,8kg/m 5,996m/s 9m 015,0 3
Re
51057,1 Re Número de Schmidt
B B
AB AB
º ºScD D
/sm9E571
1kg/m 5,996
s kg/m 4E56,823
,Sc
546Sc a) Caso de la esfera Número de Rayleigh
ScDgScGrB
B
AM
fsD
23
Fenómenos de Trasporte 495 G. Chacón V.
32 m 015,0
sm80665,9ScGrD
546
s kg/m 4E56,8kg/m 5,996
5,9964,1198kg/m 5,9964,11982
23
91051,4 ScGrD Número de Sherwood
62,021244,031 347,00254,02 ScReScScGrSh D
244,031 5469E51,40254,02Sh 3E08,419525465E57,1347,0 62,021 31028,4 Sh
m 015,0/sm9E5713E28,4
2
,D
DShk ABC
m/s 1048,4 4Ck Flujo de masa entre las dos fases A A A AC s fm N A k A C C Área de contacto 2DA
2 AA 3
kmolm4, 48 E 4 0,015 m 5, 45 "0"s m
m
kmol
mmol 6E1
A A1,7 mmol /sm 12.6 a)
Capítulo 12 Flujo externo. 496 G. Chacón V.
b) Caso del cilindro Se supone que se cumple la analogía de Chilton-Culburn, con el propósito de evaluar el número de Sher-wood a partir del de Nusselt.
HD JJ 51057,1 Re 546Sc Para Re > 103 y Sc >2,6 Número de Sherwood
213131 34,035,0 Re
PrReNu
ScReSh
3,058,015,0 PrRe
3158,021 15,034,035,0 ScReReSh Sustituyendo valores
215E57,134,035,0Sh
3158,0 5465E57,115,0
31037,2 Sh
2
AB 1 57 E 9 m /s2,37 E 30,015 mC
D ,k ShD
m/s 1048,2 4Ck Flujo de masa entre las dos fases A A A AC s fm N A k A C C Área de contacto LDA
Fenómenos de Trasporte 497 G. Chacón V.
Am2, 48 4 0,015 m 0,015 ms
m E
kmol
mmol 6E1"0"m
kmol 45,5 3
A
A0,96 mmol /sAm 12.6 b) Notas: - El área de transferencia de masa para el cilindro (del caso
b) es de igual valor que para la esfera (del caso a). - El coeficiente de transferencia de masa para el cilindro (del
caso b) es 55% del correspondiente a la de la esfera (del caso a).
Ejemplo 12.7 Placa plana Estime el flujo de estireno que se retira por medio de “secado” desde una placa plástica, durante su manufac-tura, con una corriente de nitrógeno que pasa a lo largo de la misma, a 290 K. Datos conocidos: A estireno B nitrógeno L: longitud en la dirección del flujo de gas 0,6 m v: velocidad del gas 30 m/s T: temperatura del gas 290 K P: presión del gas 101,3 kPa DAB: difusividad del estireno en nitrógeno a 290 K 710-6 m2/s PA
0: presión de saturación (vapor) del estireno a 290 K 670 Pa : densidad del nitrógeno a 290 K y 1 atm 1,199 kg/m3 : viscosidad del nitrógeno a 290 K 17,45 mg/m s
Capítulo 12 Flujo externo. 498 G. Chacón V.
Respuesta 12.7 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Propiedades (parámetros) constantes - Estado másico estacionario: flujo de masa y la tempe-
raturas constantes con el tiempo - Se toma como propiedades de la masa gaseosa las
correspondientes al gas solvente (nitrógeno) - Se considera el nitrógeno, B, no difundente - La corriente de nitrógeno suficientemente grande
como para tomar
A2 0y , A2 0P - En la interfase, del lado del gas, se supone saturado
0A AiP P .
Número de Schmidt
3 2AB
1,745E 5 kg/m s1,199 kg m 7 E 6 m /s
ScD
08,2Sc Número de Reynolds
s kg/m 5E745,1
mkg199,1m/s 30m 6,0 3
vLRe
61023,1 Re Número de Sherwood
318,0037,0 ScReD
LkSh
AB
C
318,0 08,26E23,1037,0Sh 3105,3 Sh El coeficiente de transferencia de masa es
Fenómenos de Trasporte 499 G. Chacón V.
2
AB 7 E 6 m /s3,5E 30,6 mC
Dk ShL
mm/s 41 m/s 041.0 Ck
BB
LMG LM C
Pk P kR T
K 290
1J 314,8
K molsm 041,0
TRkk C
G
sm μmol/Pa 17sm mol/Pa 1071,1 225
Gk Flujo de masa, de estireno, A, A A1 A2GN k P P
mol1mmol 1000Pa 0670
s m Pamol 5E71,1 2 AN
2
A 11 mmol/m sN 12.7 Ejemplo 12.8 Columna de pared húmeda Una columna de pared húmeda se emplea para oxigenar el agua, a 25 C y 140 kPa, a partir de una corriente de aire. La columna tiene un diámetro de 712 mm, un espesor de 11 mm y un alto de 1,38 m. El flujo de agua sobre la pared interna es de 15 mL/s. a) Evalúe, en un punto dado (de la columna), el flujo de
oxígeno por unidad de área (flux), si se desprecia la concentración de oxígeno en el seno del fluido.
b) Si se desprecia la concentración de oxígeno en el seno del fluido y la de la entrada a la columna, así como, la variación de la concentración del oxigeno en el (valor del) flujo de gas, evalúe la transferencia de oxígeno al agua, en toda la columna.
Capítulo 12 Flujo externo. 500 G. Chacón V.
Datos conocidos: A oxígeno B agua D: diámetro interno de la columna 0,712 m V : flujo de agua 1,510-5 m3/s T: temperatura del sistema 298 K P: presión del sistema 140 kPa DAB: difusividad del oxígeno en agua a 298 K 2,510-9 m2/s H: parámetro de Henry, para oxígeno en agua a 298 K 4,44109 Pa yA: composición del oxígeno en el aire 0,21 f. m. kG: coeficiente de transferencia de masa individual del oxígeno en el aire 3,910-10 kmol/m2 s Pa Propiedades del agua a 298 K : densidad 997,04kg/m3 : viscosidad 0,893 g/m s z: posición vertical en la columna L: altura de la columna 1,38 m Respuesta 12.8 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Propiedades (parámetros) constantes - Estado másico estacionario: flujo de masa y la tem-
peratura constantes con el tiempo - Se toma como propiedades de la masa gaseosa las
correspondientes al gas solvente (nitrógeno) - Se considera, la difusión del oxígeno en el agua en
contra difusión molecular - La composición de oxígeno en el seno del fluido
despreciable A2 0x ,
- En la interfase, del lado del líquido en equilibrio con el gas y se cumple la ley de Henry,
A A1y H x .
Fenómenos de Trasporte 501 G. Chacón V.
Número de Schmidt
3 2AB
8,93E 4 kg/m s997 kg m 2,5E 9 m /s
ScD
358Sc Flujo de masa, del líquido, por unidad de ancho
m 712,0
/sm 5E5,1mkg997 33
DVΓ
s kg/m 107,6 3Γ Número de Reynolds
s kg/m 4E93,8s mkg 3E7,644
ΓRe
30Re Espesor de la capa líquida
31
2
.3
gΓ
31
223 m/s 80665,9mkg 04997s kg/m 3E7,6 s kg/m 4E93,83
,
mm 12,0m 1022,1 4 Número de Sherwood
AB
3, 41Ck LShD
El coeficiente de transferencia de masa es
2
AB 2,5 E 9 m /s3, 411, 22 E 4 mL
Dk Sh
Capítulo 12 Flujo externo. 502 G. Chacón V.
m/s 1096.6 5Lk Cxkxk BLMLBLMx
kg 8,0151kmol
m kg 04997
sm 5E96.6 3
,M
kCkk LLx
s kmol/m 1085,3 23xk a) Flujo de masa, local, de oxígeno, A, *
A A A A Ax i L x LN k x x K x x
xyyx kkmK
111
BB
LMG LM y
Pk P kP
Pa 5E40,1Pasm
kmol 10E9,3 2 Pkk Gy s mmol/m 55s kmol/m 1046,5 225
yk
kmol 3E85,3
s mkmol 5E46,5
s m Pa 9E44,4Pa 5E40,11 22
xK
kmol
s m 6,259kmol
s m 58,01 22
xK
s mol/m 3,8s kmol/m 1084,3 223
xK
* AA
1, 40 E 5 Pa 0,214, 44 E 9 Pa
PxH
* 6
A 6,6 10 f.m.x
Fenómenos de Trasporte 503 G. Chacón V.
Con lo cual
A 2
kmol kmolA 1E9 μmol3,84 E 3 6,6 E 6 0m s kmol 1 kmol
N
2
A 25 μmol/m sN 12.8a) b) Flujo global o total de masa, de oxígeno, A, Balance de la masa de una sustancia en la columna A AdN A d m A A0
dz LL i Lz
k C C D z
ALx
xz CDv d0
En términos de la composición en equilibrio zDCCK ALAL d* Adz Lv D C Las definiciones
CK
K xL ;
Γvz ;
AA
CxC
; AMC C . Sustituyendo los respectivos valores
*A A Ad dx L L
ΓK x x z C x
Separando variables
A*A A
d dxL
L
Kx zΓ Cx x
Integrando con las condiciones de límites:
Capítulo 12 Flujo externo. 504 G. Chacón V.
0z A A 00L z
C C
Lz A AL z LC C
*A A*A A 0
ln L xz L
L z
x x M K Lx x Γ
Sustituyendo valores
A6,6E 6 f.m6,6E 6 f.m 0
L z Lx
m 38,1s mkmol 3E84,3
kg 3E7,6s m
kgkmol 015,18exp 2
6
A 6,6 10 f.m.L z Lx
Balance global de la masa de oxígeno A A Az L Lz L z L
m v D C C
A A AL Lz L z L
Γ Cm D x x
A6,7 E 3 kg kg0,712 m
m s 18,015 kmolm
kmol 1μmol 1E90f.m 6E6,6
El flujo total de masa de oxígeno es A 5,5 μmol/sm 12.8b)
Fenómenos de Trasporte 505 G. Chacón V.
Capítulo 13
FLUJO DE FLUIDOS DENTRO DE CONDUCTOS RECTOS
Flujo incompresible y en estado estacionario 13.1 INTRODUCCIÓN El flujo unidimensional en conductos rectos es una aplicación clásica de la Ingeniería. En las secciones siguiente se desarrolla la teoría en la que se basan los modelos para evaluar los coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento (“momentum”), calor y masa; que son necesarios para las ecuaciones de conserva-ción. También, se realiza la aplicación de las ecuaciones de conservación a casos sencillos y su análisis.
Nomenclatura r = Posición perpendicular al flujo, a partir del centro
del conducto = Posición en la dirección del flujo, axial, a partir de
la entrada A = Área transversal, perpendicular, a la dirección del
flujo (del espacio libre del conducto)
v=vmáx T=Tmáx CA=CAmáx
v=vs T=Ts CA=CAs P=PEst
r
s
Gradiente de velocidad: rv
dd
v
z
g qs NAs
=0 z=0 P=P0 T=T0 CA=CA0
Capa límite
Corriente libre
d
dsen zggg
=L z=zL P=PL T=TL CA=CAL
Líneas de flujo
Capítulo 13 Flujo en conductos 506 G. Chacón V.
S = Área lateral del flujo (interna del conducto)
S
= Perímetro del flujo (interno del conducto), mojado.
Definiciones varias Diámetro equivalente o hidráulico
4 Cuatro veces el área de flujod Perímetro mojadod
ADeSλ
L = Largo, en dirección axial del conducto Velocidad promedio
vA
Avv
A
0
d
Flujo volumétrico, caudal, gasto o carga.
0
dA
V Q v A v A Fuerza de fricción o arrastre, sobre la pared, en prome-
dio
d0 2/
L
DrrsSF
Esfuerzo de fricción o de piel
2
2 vC
SF
Ds
P
CD = Coeficiente de fricción o arrastre Presión dinámica y estática
2
2 vPP stadyn
Psta = Presión estática, es la medida en la pared del conducto, para r D/2, v = vs = vw= 0
Pdyn = Presión dinámica, es la medida en cualquier punto en el seno del fluido, para r r, v = v
Fenómenos de Trasporte 507 G. Chacón V.
Pérdidas por fricción Pérdidas de energía debido a la fricción y otros tipos de
irreversibilidad o pérdidas de energía no explica-das, de Darcy y Weisbach.
2
2
v
DLf
AvvFhgH D
sff
22
v
DLfF
fD = 4 fF = factor de fricción de Darcy fF = factor de fricción de Fanning
Otras formas de evaluar las pérdidas de energía:
Le = Longitud equivalente. Es la pérdida de ener-gía expresada en términos de una longitud de tubo recto.
Kf = Coeficiente de pérdida de energía. Se expresa en términos de la energía cinética por unidad de masa.
22
22
v
DeLefvKhgH Dfff
Curva de demanda del sistema, altura, carga o cabeza hidráulica o piezométrica
2
12 21)(
AVK
DLf
gzz
gHh fD
PSPS
Curva característica de operación de la bomba
gVWVcc
gHh BCPS
PB
)1( 3
21 C3 1,5 a 2,0
Números descriptores del flujo
Reynolds
24
DVDevDeRe
Capítulo 13 Flujo en conductos 508 G. Chacón V.
Flujo de Calor Nusselt Prandtl
khDeNu
k
CPr P
Flujo de Masa Sherwood Schmidt
AB
C
DkDeSh
ABAB DD
Sc
Ecuaciones de conservación Considérese un flujo, de un fluido, unidimensional, dentro de un conducto, con paredes sólidas, de área constante. Geometría
2
4DA
DS
dd
Balance total de masa
VAvAvAv LLL 000 (13.1)
Balance de cantidad de movimiento en
LLL
L
rr AvAvDD2
02
000d
2
L
LL gAPAP000 dsen (13.2)
Balance de energía mecánica
fLLL HzzgPPvv
VW
00
20
2
2
(13.3)
Balance de energía térmica
ddd
STThTAvcQ ssPs
Integrando a lo largo del conducto, entre 0 y L
Fenómenos de Trasporte 509 G. Chacón V.
DL
PrReNu
DL
vCh
TTTT
Ps
Ls
0
ln41
(13.4)
Balance de la sustancia A, componente de una mezcla
ddd
SCCkCAvm AAsLA
A
Integrando a lo largo del conducto, entre 0 y L
DL
ScReSh
DL
vk
CCCC L
AAs
ALAs
0
ln41
(13.5)
Consideraciones y aproximaciones para los modelos de
flujo de fluidos en conductos rectos - Masa, fluida, como un continuo y homogénea - Se presenta una capa límite (Cap. 12.). En la cual, se
manifiestan los efectos más importantes de energía molecular (potencial mecánico, potencial térmico y potencial químico)
- La magnitud de la velocidad aumenta, a partir de la
pared, desde 0, hasta un valor dado por las caracte-rísticas del flujo y del fluido. Por lo cual, debe existir un gradiente de velocidad, ejercido por un esfuerzo retardador, de arrastre o de fricción, y. El esfuerzo decrece a medida que la velocidad aumenta. En forma análoga, se manifiesta un cambio de temperatura con el flujo de calor o de la concentración de una sustancia A, componente de una mezcla, con la difusión de masa
- Se presenta una subcapa laminar, entre el sólido y el
seno del flujo del fluido en régimen turbulento (Si el flujo del fluido es laminar, toda la capa límite es laminar)
- Estado estacionario para la cantidad de movimiento, el
calor y la masa del la sustancia A, Es decir, no cambian con el tiempo, sólo con la posición
Capítulo 13 Flujo en conductos 510 G. Chacón V.
0
tv 0
tT
0
tCA
- Unidireccional, solamente existe flujo en la dirección
del conducto . La variación del esfuerzo y la velo-cidad en otras direcciones es despreciable
0rv y 0v
Estas dos condiciones se resumen como flujo unidi-mensional; la difusión de la cantidad de movimiento, del calor y de la masa de A, son despreciables en la dirección , comparada con las debidas al movi-miento del fluido en esa dirección
- Flujo incompresible
0DD
t
(Para gases, si 1,00
0 P
PPL )
- De acuerdo con el principio de no deslizamiento, de la
teoría del continuo, la velocidad del fluido en contacto con el sólido es igual a la del sólido. Si la pared está en reposo, relativo
r D/2 v = vs = vw= 0 T = Ts = TW CA = CAs= CAW - La variación de la velocidad, la temperatura y la
concentración a lo largo de la pared, son despre-ciables
r D/2 v = vs = vw = Constante
T = Ts = TW = Cte. CA = CAs= CAW = Cte. - Punto de simetría en el centro del conducto
r 0 0
rv 0
rT 0
rCA
- Variación despreciable de los parámetros (, k y
DAB) con la temperatura y la posición - Flujo completamente desarrollado. Los efectos de
entrada y salida son despreciables
Fenómenos de Trasporte 511 G. Chacón V.
- Variación de la presión con el radio y el ángulo des-preciables
0rP
0
rP
- Caída de presión constante
L
PPP L 0
- El flujo del fluido no gira ni rota
0
rv
0rT 0
r
CA - El movimiento y la variación de la presión, en r,
debido al efecto sobre la densidad, causada por las diferencias de temperatura o concentración, entre la pared y el seno del fluido, son despreciables
- Los efectos difusionales en la dirección del flujo, ,
son despreciables
02
2
v 02
2
T 02
2
AC
- No hay generación de calor ni reacción química - Geometría perfecta - Área constante, un solo tramo,
0A
- Se cumple la analogía entre cantidad de movimien-
to, calor y masa CD Re2 = Nu Pr-1/3 = Sh Sc-1/3 (13.6) - Los números de Reynolds, Nusselt y Sherwood, se
evalúan con base en el diámetro equivalente del conducto, De.
Capítulo 13 Flujo en conductos 512 G. Chacón V.
viscosidad, , constante
13.2 MODELO PARA EL RÉGIMEN DE FLUJO LAMINAR
Consideraciones adicionales, al modelo general - Flujo de un fluido newtoniano en régimen laminar - Se desprecian los efectos de fricción en el balan-
ce de energía térmica ledespreciabˆ v
- Se cumple para 2300,20002000Re Balance de masa, total
0
v ; 0v
Balance de cantidad de movimiento en la dirección del flujo, .
0
rvr
trzgPvv
0sen0
rvr
trg
LPPL
Balance de energía térmica
rTr
rrkTCv P
rCr
rrDCv A
ABA
Con las condiciones de contorno
r 0 0
rv
0
rT
0
rCA
r D/2 v = 0 T = Ts CA = CAs 0 v = <v> T = T0 CA = CA0
conductividad k, constante
Fenómenos de Trasporte 513 G. Chacón V.
P = P0 z = z0 L v = <v> T = TL CA = CAL P = PL z = zL
Balance de cantidad de movimiento Velocidad
LzgPzgPv LL 00
22 2116 D
rD
(13.7)
La velocidad máxima, en r 0
16
200 D
LzgPzgPv LL
MAX (13.8)
La velocidad promedio
32
200 D
LzgPzgPv LL (13.9)
MAXvv21
Flujo volumétrico, gasto o carga
128
400 D
LzgPzgPV LL (13.10)
2
4DvQV
Ecuación de Hagen (1839) Poiseuille (1840).
Desarrollo teórico por Weidemann (1856)
Capítulo 13 Flujo en conductos 514 G. Chacón V.
Fuerza viscosa o de fricción, sobre la pared
dd
02/
0 2/
L
Dr
L
DrrsS
rvSF
L
Dr
LLs Dr
LzgPzgPF
02/
00 d2
4
2
00DzgPzgPF LLs
LvF xs 8 (13.11) Coeficiente de fricción o arrastre
LD
LvAFCv
AC
sD
8
2
2
ReDv
CD1616
(13.12)
Coeficiente de fricción de Darcy, o coeficiente de pérdidas de energía por fricción
4/
82Dv
vLvAv
vFH sf
2
2
v
DLfhgH Dff
ReDv
fD6464
(13.13)
Fenómenos de Trasporte 515 G. Chacón V.
Balance de energía térmica Despreciando los efectos de fricción y sin generación de calor
rTr
rD
rD
rT
kCDv P
22121
Perfil de temperatura
10
2fn
nns
s
DrC
TTTT
(13.14)
P
n
Ck
DvDD
2
2
32exp
Escribiendo las variables y parámetros en términos de los números de Reynolds y de Prandtl, para r D/2 y L.
1
2
0 32expf
n
nnn
s
sL
PrReμ
DLC
TTTT
Comparando con el balance de energía en el conducto,
DL
PrReNu
DL
vch
TTTT
Ps
Ls
0
ln41
(13.15)
Se tiene que, Graetz (1885),
66,3
LDPrRe
LDPrReNu (13.16)
Sobre esta base, Seider y Tate (1936), proponen
14,031
86,1
wLDPrReNu
(13.17)
Las propiedades se miden a la temperatura media del flujo. El subíndice w indica que se mide a la temperatura de la pared. El cociente de visco-sidades es una corrección por el efecto de la convección, entre la pared y el seno del fluido.
Capítulo 13 Flujo en conductos 516 G. Chacón V.
Balance de la cantidad de sustancia A
A
AB
CD
Dv
r
Crr
Dr
Dr
A2212
1
Perfil de concentración de A
10
2fn
nnAsrA
AsA
DrC
CCCC (13.18)
ABn DDvD
D2
2
32exp
Escribiendo las variables y parámetros en términos de los números de Reynolds y de Schmidt, para r D/2 y L.
1
2
0 32expf
n
nnn
AsA
AsLA
ScReDLC
CCCC
(13.19) Comparando con el balance de masa de A en el con-ducto, Ec. 13.5
DL
ScReSh
DL
vk
CCCC L
AAs
ALAs
0
ln41
(13.20)
Se tiene que
LDScRe
LDScReSh (13.21)
Debido a este resultado, se propone utilizar la analogía de Chilton Colburn
3131 PrReNu
ScReSh
(12.1)
Fenómenos de Trasporte 517 G. Chacón V.
3.3 MODELOS PARA EL RÉGIMEN DE FLUJO TUR-BULENTO
Considérese un flujo de un fluido newtoniano en régi-men turbulento, dentro de un conducto cilíndrico de área constante. Se cumple para 400030003000 Re Con las condiciones de contorno
r 0 0rv 0
rT 0
rCA
r D/2 v = 0 T = Ts CA = CAs 0 v = <v> T = T0 CA = CA0 P = P0 L v = <v> T = TL CA = CAL P = PL Esfuerzo cortante Se utiliza la hipótesis de la longitud de mezclado de Prandtl (1925) (Sec. 3.3), para la capa límite (Sec. 12.1), con el propósito de evaluar las pérdidas por fricción, para las condiciones de fluido mencionado; la cual ofrece resultados aceptables para las aplica-ciones de la Ingeniería. Para la subcapa laminar
rv
r dd
RrR
Para la subcapa crítica o de amortiguamiento ?r RrR Para la subcapa turbulenta
El modelo de Prandtl está definido en térmi-nos de la distancia, y, a partir de la pared interna del conducto o interfase.
yv
yvykr d
dd
d2
2Dy R r
Capítulo 13 Flujo en conductos 518 G. Chacón V.
Consideraciones adicionales: - Toda la resistencia al movimiento se presenta en la
zona turbulenta - El esfuerzo de fricción es constante a lo largo del
radio 0 r 20 DrRy . Con lo que
01
dd
ykyv
Integrando, con las condiciones de contorno
y D/2 – r = 0 (r D/2) v = 0 y D/2 – r = D/2 (r 0) v = vMáx
NOTA:
El modelo presenta las siguientes inconsistencias - En el centro del tubo existe resistencia, a pesar de
que es un punto de simetría 22 DrDy 00 r - No permite evaluar el esfuerzo de fricción en la
pared, pues
2/0 d
ddd
Dry rv
yv
- El esfuerzo de fricción queda implícito y sólo se evalúa si se mide la velocidad máxima.
Se obtiene
2
1ln12
nl1
0 Dr
kDy
kvv Máx
(13.22)
La velocidad promedio
4
d2
ln12
2
2
20
D
yD
yk
vyD
v
D
Máx
Fenómenos de Trasporte 519 G. Chacón V.
Integrando
02
21
21
28
kyyDv
Dv Máx
2
22
412ln
21
22ln
2
Dy
y
yyD
yyDyD
yD
Re arreglando
22
2
00
2423121
DDkDvv Máx
DDDk2ln441 2
2
En forma resumida
2
ln210 D
CteCtev
(13.23)
Espesor de la capa no turbulenta, : Si se supone que en la capa laminar el esfuerzo de fricción es constante
r
vr d
d0
Despreciando el espesor de la capa de flujo crítico Despejando e integrando
22
022 DrDrDrDr
rrvv
Con la condición de no deslizamiento 0
2
Drv
El modelo propone que
0
2
Drv
La única justificación, de esta proposición, es que repre-senta un valor intermedio entre 0 y la vMáx y que el término de la derecha tiene unidades de velocidad. No está claro el sentido físico de la misma.
Capítulo 13 Flujo en conductos 520 G. Chacón V.
Con lo que, el espesor es
0
2
0
222
v
ReDD (13.24)
Sustituyendo, la Ec 13.24, en la relación 13.23
01 2 2
0
ln 2v Cte Cte Rev
(13.25)
Sustituyendo el coeficiente de fricción o arrastre
221
0
vCD
22ln2
21D
D
CReCteCteC
(13.26)
El modelo desarrollado por Prandtl (1927), fue eva-luado con datos experimentales para tubería lisa, por Nikuradse (1931) y obtuvo los siguientes parámetros, que fueron comprobados por Reichardt (1943).
4,01log4110
DD CReC (13.27)
Nótese que el coeficiente de fricción queda implícito
Otras relaciones para flujo turbulento, en tubería lisa
Re 4000 < Re < 100 000
BlasiusRe
v 2
00395.0
410791,0
ReCD (13.28)
Von Kármán
71
21
D
rvv Máx 51048,0
ReCD (13.29)
Fenómenos de Trasporte 521 G. Chacón V.
Asperezas Son las imperfecciones y variaciones que presentan las superficies de los materiales. Las cuales varían con el uso, de los mismos, por corrosión, erosión, sedimentación, etc.
: Asperezas, (“roughness”), es la longitud media
de las alturas de las imperfecciones.
Su efecto en la fricción es despreciable en el régimen de flujo laminar, pero se vuelve importante a medida que au-menta la velocidad. Para flujo completamente turbulento, el valor de las pérdidas de energía por fricción debido a las asperezas son más significativas que las del fluido mismo.
Régimen de flujo completamente turbulento
4102 Re 100DCReD
Si se sustituye el valor de las asperezas en el modelo de fricción obtenido con la longitud de mezclado, Ec. 13.23, Si
entonces
2
ln210 D
CteCtev
(13.30)
Con los datos de Nikuradse (1931) y Reichardt (1943), se obtienen los coeficientes.
28,2log4110
DCD
(13.31)
Capítulo 13 Flujo en conductos 522 G. Chacón V.
Efectos de fricción combinados Colebrook y White (1938-1939) proponen combinar los efectos provocados por la fricción, en el fluido (tubería lisa) y por las asperezas, de la manera si-guiente, y que fue corroborada por Schlichting (1960).
DCReC DD
2698,02615,1log4110 (13.32)
Modificando, para que no quede el factor de fricción implícito, sustituyendo el valor del coeficiente de fric-ción en el argumento del logaritmo, con la ecuación obtenida por Von Kármán, Ec. 13.29, Churchill (1973) propone
DReCD
2698,0758,5log419,010 (13.33)
Coeficiente de fricción de Darcy, o coeficiente de pérdidas de energía por fricción,
Factor de fricción
DfRef DD
2698,0523,2log2110 (13.34)
Colebrook y White (1938-1939)
DRefD 7,37log21 9,0
10
(13.35)
Churchill (1973)
910
10 7,39,6log8,11
DRefD
(13.36)
Haaland (1983)
Fenómenos de Trasporte 523 G. Chacón V.
Coeficientes de transferencia de energía térmica y de la cantidad de sustancia A
En general, se modela los fenómenos de transferen-cia de calor y de masa con la teoría de capa límite y las analogías de Reynolds Prandtl y de Chilton Colburn. Con el modelo de fricción de von Kármán, Ec. 13.29
5024,0
82 13131DD
ReScReSh
PrReNufC
(13.37)
13.4 OTROS EFECTOS DE LA FRICCIÓN Y DE LA
IRREVERSIBILIDAD DE LOS PROCESOS
Régimen de flujo en transición Algunos autores definen un régimen de flujo en transi-ción, como aquél que es turbulento pero que dominan tanto las fuerzas inerciales y viscosas como las de las asperezas, para distinguirlo del completamente turbu-lento.
43 102103 Re 200DfReD
Régimen de flujo crítico Para el régimen de flujo crítico, que algunos autores lo llaman régimen de flujo de transición (laminar a tur-bulento), Sec. 7.4, Churchill (1977) recomienda una aproximación 30002000 Re 291068,5 RefD (13.38)
Capítulo 13 Flujo en conductos 524 G. Chacón V.
Efectos de entrada en un conducto Considérese un flujo de fluidos dentro de un conduc-to, supóngase que: - Entra con un perfil de velocidad uniforme - La velocidad en la pared, v, es cero, por la condición
de no deslizamiento - Se desarrolla una capa límite a partir de las paredes
del conducto - El efecto de la superficie es más pronunciado a medi-
da que se profundiza en el conducto - A una distancia, C, suficientemente grande, la capa
límite alcanza su máximo en el centro del tubo - Después de ese punto, el flujo continúa con el mismo
perfil de velocidad, es decir se mantiene un flujo com-pletamente desarrollado.
Se obtiene las siguientes relaciones empíricas, para la longitud necesaria, C, para alcanzar el flujo com-pletamente desarrollado
Flujo
Laminar ReD
0575,00
C Langhaar (1942) (13.39)
Turbulento 50,25500
C D
Deissler (1950) (13.40)
Los coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento, calor y de la masa de una sustancia, A, tienden a ser más altos que los previstos, por las relaciones, debido a la formación de vórtices, por desviaciones y bordes pronunciados y los efectos de las diferencias de temperatura o concentración, altas.
Fenómenos de Trasporte 525 G. Chacón V.
Pérdidas menores Son las pérdidas de energía producidas por fuerzas internas en accesorios, como válvulas, codos, expansiones, contracciones y otras causas de irrever-sibilidad. Pese a su nombre, representan valores significativos de energía, especialmente en tramos cortos de tubería (menores de cincuenta diámetros) y flujo grandes; para tramos mayores (de mil diámetros) se pueden “volver” despreciables. Se expresan en términos de la energía cinética, por unidad de masa, en el punto de mayor velocidad.
22
20
20
v
DeLefvKhgH Dfff
Expansión o ensanchamiento
Para la expansión súbita, se puede obtener a partir de los balances de masa, cantidad de movimiento y de energía, una relación mecanicista (ver ejercicio 5.20):
2
0
1
2
21
20
2
1
0 111
vv
DD
AAK fExp (13.41)
Que es la ecuación de Borda-Carnot El coeficiente de pérdidas de energía, varía ligera-mente con la velocidad de entrada, Brater y King (1976), presentan datos experimentales, que fueron relacionadas por Ulate (2003).
v0 D0
v1 D1
Expansión súbita
v0 D0
v1 D1
Expansión gradual
F
Capítulo 13 Flujo en conductos 526 G. Chacón V.
2
21
201
DDbaK fExp (13.42)
11998,008,0
0081,0
0
vv
a 197,0 b
Para la expansión gradual
67,01 41
40 Cp
DDK Exp (13.43)
D02/ D2 Cp (5 < < 10º)
0,80 0,35-0,30 0,75 0,45-0,35 0,50 0,53-0,42 0,25 0,70-0,50
En la obra de Brater y King (1976), se encuentran valores experimentales para el coeficiente de expan-sión gradual.
Contracción o reducción
No se ha propuesto un modelo con base teórica, Weisbach, propone, sobre la base del área transver-sal de la vena contracta un modelo general del tipo
2
11
CfCon C
K (13.44)
v0 D0
Contracción súbita
v1 D1
v0 D0
Contracción gradual
F
Vena contracta
vC DC
v1 D1
Fenómenos de Trasporte 527 G. Chacón V.
Los datos experimentales de Weisbach (1855), que son muy usados, se relacionan por
3
41
4028,062,0
DDCC (13.45)
También, se ajustan, Chacón (1993), por
2
41
4099,0137,0
DDK fCon (13.46)
El coeficiente de pérdidas de energía, varía ligera-mente con la velocidad de entrada, Brater y King (1976), presentan datos experimentales, que fueron relacionados por Ulate (2003)
23
031
1fConDKD
(13.47)
00,502 0,0116 0,5v ; 01,199 0,0243 1v Para la contracción gradual 05,0ConK (13.48)
KfCon
30 º 0,02 45 º 0,04 60 º 0, 07
En la obra de Brater y King (1976), se encuentran valores experimentales para el coeficiente de contrac-ción gradual.
Diámetro típico Como criterio de diseño para escoger el diámetro de una tubería se utiliza, el siguiente concepto de optimi-zación. I·D2·L: Inversión (costo de tubería basado en el
espesor, la longitud el material, etc.)
Capítulo 13 Flujo en conductos 528 G. Chacón V.
C·L/D5: Costo de operación o consumo (costo de las pérdidas de energía por fricción)
La función de costo u objeto
LDCDIO
2
52
El diámetro óptimo es
71
75
ICDOpt (13.49)
Las diferentes ediciones del manual de Perry, contienen un nomograma para el estimado del diámetro óptimo, basado en éste y otros criterios. También se puede usar una velocidad típica, en lugar del diámetro, Para líquidos: 7,1;3,1típicav m/s (12.50)
Factores de fricción, de Darcy Weisbach, para algunos casos, con la diferentes ecuaciones y los datos (○-□) de Nikuradse (1931) con asperezas artificiales, arena, y los simulados () para asperezas naturales a partir de los datos experimentales de Rouse y Howe (1953).
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07Re
f D
Lisa
200DfReD
Laminar
Crítico
Colebrook (1938), Ec 13.34Nikuradse (1931)
Simulación de datos experimentales
/D 0,003968
/D 0,01634
/D 0,01
/D 0,001
/D 0,0001
Churchill (1973), Ec 13.35
Haaland (1983), Ec 13.36
Churchill (1977), Ec 13.38
Fenómenos de Trasporte 529 G. Chacón V.
13.5 EJERCICIOS Ejemplo 13.1 Presión dinámica Un medidor de flujo, del tipo contracción, se emplea para inspeccionar el gasto de un hidrocarburo, que se transporta por un conducto número 6 cédula 80. La contracción es gradual y reduce el diámetro a un con-ducto número 4 cédula 80. La diferencia de presión se mide en un manómetro en U; cuyo extremo aguas arriba, está colocado en el centro del tubo y la toma que se encuentra aguas abajo mide la presión en la pared (interna) del mismo. El líquido manométrico es una sal-muera al 15% y marca en las condiciones de operación 215 mm. Evalúe el caudal en esas condiciones y la caída de presión provocada en el aparato. Diagrama del medidor tipo contracción
Respuesta 13.1 Datos conocidos: g.e60/60 ºF: densidad relativa del hidrocarburo 0,765 : viscosidad cinemática del hidrocarburo 3,4 mm2/s Std : densidad del agua a 60 °F 999,014 kg/m3 v : velocidad del fluido ¿?
v0 D0
Al manómetro
v1 D1
Pdyn1
P1
P0
Capítulo 13 Flujo en conductos 530 G. Chacón V.
L : longitud del conducto ¿? D1 : diámetro de la entrada 6 Céd. 80 0,1463 m D0 : diámetro de la salida 4 Céd. 80 0,0972 m : valor de las asperezas para el conducto ¿? Kf : coeficiente de pérdida de energía 0,024 P : caída de presión en el conducto ¿? g.e.m 20/4 C: Grav. Esp. del líquido manométrico 1,107 hm : altura manométrica 0,215 m Std : densidad del agua a 4 C 999,972 kg/m3 Consideraciones - Flujo incompresible - Estado estacionario - Las pérdidas se representan por Kf - La velocidad se representa por su valor promedio, <v> - La diferencia de alturas o diferencia de energía poten-
cial es despreciable No se levanta un peso ni se mueve un eje, no hay
potencia del volumen de control. Balance de masa
0d
d000111 AvAv
tmVC
Balance de energía mecánica
AvWHzgzgvvPP
f
10
21
20
1
1
0
0
22
Manometría mmdyn hgPPP 01 Presión dinámica 22
111 vPPdyn Pérdidas de energía 22
0 vKH ff
Fenómenos de Trasporte 531 G. Chacón V.
Resolviendo, con vv
022
201
200
vK
PvPf
dyn
mmdyn
fhgPPvK
012
0
21
Con lo que
f
mm
Khegeggv
1
1....20
Sustituyendo valores La velocidad
024,01m 215,01
765,0107,1m/s 80665,92 2
0
v
m/s 36,100 vv El flujo volumétrico del hidrocarburo, en el sistema, es
m/s 36,1m 0972,044
20
2000
vDAvV
L/s10/sm 0100 3 ,V 13.1 Caída de presión en el aparato, con el balance de energía mecánica
0222
20
21
20
1
1
0
0 v
KvvPP
f
Sustituyendo el balance de masa y arreglando 00011 AvAv
Capítulo 13 Flujo en conductos 532 G. Chacón V.
2
12
0
2
1
001
vK
DD
PPP f
024,01463,00972,01
mkg972,999765,0
2
3P
2
2
s kg/m 1000kPa 1
2m/s 36,1
La caída de presión en el medidor con reducción es kPa 41,0 P 13.1 Ejemplo 13.2 Orificio Un medidor de flujo, del tipo orificio, se emplea para medir el caudal de un hidrocarburo, que se transporta por un conducto número 6 cédula 80. El diámetro del orificio es de 4 (pulgadas). La diferencia de presión se mide en un manómetro en U; cuyo líquido manométrico es una salmuera al 15% y marca en las condiciones de operación 363 mm. Evalúe el flujo en esas condiciones y la caída de presión provocada por el aparato. Respuesta 13.2 Datos conocidos: g.e60/60 ºF. : densidad relativa del hidrocarburo 0,765 : viscosidad cinemática del hidrocarburo 3,4 mm2/s Std : densidad del agua a 60 °F 999,014 kg/m3 v : velocidad del fluido ¿? L : longitud del conducto ¿? D : diámetro del conducto 6 Céd. 80 0,1463 m DC : diámetro del orificio 4 0,1016 m
Fenómenos de Trasporte 533 G. Chacón V.
: valor de las asperezas para el conducto ¿? Kfo : coeficiente de pérdida de energía (Perry: A1A0 2) 3,4 P : caída de presión en el conducto ¿? g.e.m 20/4 C: Grav. Esp. del líquido manométrico 13,54 hm : altura manométrica 0,363 m Std : densidad del agua a 4 C 999,972 kg/m3 Diagrama del medidor tipo orificio
Consideraciones - Flujo incompresible - Estado estacionario - Las pérdidas se representan por Kf - La velocidad se representa por su valor promedio, <v> - La diferencia de alturas o diferencia de energía poten-
cial es despreciable - No se levanta un peso ni se mueve un eje, no hay
potencia del volumen de control. Balance de masa
0d
d111212 AvAv
tmVC
Al manómetro
P2 v2 D2
P1 v1 D1
P0 PC V0 VC D0 DC
Vena contracta
2
10
010 1
2AA
PPACQ C
CC 0,61; Re0 3104
Capítulo 13 Flujo en conductos 534 G. Chacón V.
Balance de energía mecánica
AvWHzgzgvvPP
f
10
21
20
1
1
0
0
22
Manometría mmC hgPPP 1 Pérdidas de energía 22
1 vKH ff Fórmula para el cálculo del flujo con un orifico (Perry)
12
401
011
DDPPCv C
CPP 0
Sustituyendo el valor de las presiones del manómetro
1
1....24
011
DDhegeggCv mm
C
Sustituyendo valores, la velocidad
11016,01463,0
m 363,01765,0107,1m/s 80665,9261,0 4
2
1
v
m/s 60,011 vv Número de Reynolds en el orificio 00011 AvAv
m/s 60,01016,01463,0
2
1
2
0
10
v
DDv
m/s 24,10 v
/sm 6E4,3
m/s 24,1m 1016,02
00
vDRe
40 107,3 Re
Fenómenos de Trasporte 535 G. Chacón V.
El flujo volumétrico del hidrocarburo, en el sistema, es
m/s 60,0m 1463,044
21
2111
vDAvV
L/s10/sm 0100 3 ,V 13.2 Caída de presión en el aparato, con el balance de energía mecánica
0222
22
21
22
1
1
2
2 vKvvPP
f
Sustituyendo el balance de masa y arreglando 02211 AvAv
2
21
21vKPPP f
2
2
3 s kg/m 1000kPa 1
2m 60,04,3
mkg972,999765,0 P
La caída de presión en el medidor de orificio, es kPa 47,0 P 13.2 Ejemplo 13.3 Pérdidas por fricción Para medir las pérdidas por fricción, de un material dado, se coloca un tubo de 18 m, con uniones soldadas cada 6 m de 1Ced 40. Para el ensayo se hace pasar agua a razón de 0,83 L/s, la temperatura se mantiene en 20 C. Se usa un manómetro, en U, con mercurio como líquido manométrico y las tomas se colocan a 2 m de la entrada y a 2 m de la salida. Si la lectura (altura manométrica) es de 138 mm, a) calcule el coeficiente de pérdidas por ficción y b) estime el valor medio de las asperezas (“roughness”).
Capítulo 13 Flujo en conductos 536 G. Chacón V.
Datos conocidos: : densidad del agua 998,2 kg/m3 : viscosidad del agua 1,006 g/m s V : flujo volumétrico 0,83 L/s L : longitud del conducto 14 m D : diámetro del conducto 1 Céd. 40 0,0266 m : valor de las asperezas para el conducto ¿? P : caída de presión en el conducto ¿? h : altura manométrica con una 138 mm g.e.20/4 C : Grav. Esp. del líquido manométrico 13,546 Respuesta 13.3 i ) Velocidad
33
21 m 0266,0
/sm 4E3,844
DVvv
m/s 49,1v ii ) Número de Reynolds
kg/m 3E006,1
kg/m 2,998m/s 49,1m 0266,0 3
vDRe
41094,3 Re iii ) Factor de fricción
DfRef DD
2698,0523,2log21
Queda en términos del valor de las asperezas . iv ) Pérdidas de energía, por fricción
2
2
vDLfH Df
Fenómenos de Trasporte 537 G. Chacón V.
v ) Balance de energía mecánica
AvWHzgzgvvPP
f
10
21
20
1
1
0
0
22
Para el caso
fHPPP
21
vi ) Manometría mm hgPPP 21 972,999546,13m/s 58066,9 2P (Pa)s kg/m 16980m 138,0kg/m 2,998 23 vii ) Conclusión
2
2
vDLfP
D
Lv
hgDLv
PDf mmD
2222
m 14m/s 49,1kg/m 2,998s kg/m 16980m 0266,02
23
2Df
El factor de fricción para el sistema es 029,0Df 13.3 a) Estimación del valor medio de las asperezas, despejando
2698,0
523,210 21
DfRe D
f D
2698,0
m 0266,0029,04E94,3
523,210 020,021
Capítulo 13 Flujo en conductos 538 G. Chacón V.
m 09859,04E76,3001156,0 El valor medio de las asperezas es mm 077,0m 107,7 5 13.3 b)
Nota: 20019 DfReD
Ejemplo 13.4 Viscosímetro con flujo provocado por el
peso
Un tipo de viscosímetro, para líquidos, consiste en un depósito relativamente grande, del cual, se deja correr el líquido (por gravedad), a través de un tubo delgado. La viscosidad se determina con el flujo o el tiempo en que baja el nivel del fluido en el depósito.
Diagrama del viscosímetro por gravedad
Para una muestra de aceite, con densidad constante, que fluye a razón de 273 mm3/s, por un conducto de 1,8 mm de diámetro, determine su viscosidad.
Capilar
h
L
P1, D1
P2, D1
z0
z1
z2
P0, D0
Depósito
Fenómenos de Trasporte 539 G. Chacón V.
Datos conocidos: g.e60/60 ºF.: densidad relativa ¿? : viscosidad cinemática ¿? v : velocidad del fluido ¿? V : flujo volumetrico 273 mm3/s D : diámetro del conducto 1,8 mm h : altura del líquido en el depósito 30 mm L : longitud del conducto capilar 0,550 m fD : coeficiente de pérdida de energía Respuesta 13.4 Consideraciones - Volumen de control, fluido en el conducto capilar (en
movimiento) - Flujo incompresible, constante - Estado estacionario - Las pérdidas se representan por fD - La velocidad se representa por su valor promedio, <v> - No se levanta un peso ni se mueve un eje, no hay
potencia del volumen de control - Las pérdidas de energía a la entrada del capilar (salida
del depósito) son despreciables Balance de energía mecánica en el recipiente
AvWHzgzgvvPP
f
10
21
20
1
1
0
0
22
21 0 1 0/2P P v g h P g h
Balance de masa
0d
d222111 AvAv
tmVC
Resolviendo, con el balance de masa en el conducto
2214
DVvvv
Pérdidas de energía
Capítulo 13 Flujo en conductos 540 G. Chacón V.
2
2
vDLfH Df
vDvDRe
fD
646464
Del balance de energía mecánica en el conducto
0222
2
12
21
2212
vDLfzgzgvvPP
D
Sustituyendo valores y considerado flujo laminar, con 02 PP y Lgzgzg 12
0322
D
vLLghg Con lo que
VDg
Lh
1281
4
Referencia: Viscosímetro de Oswald. Sustituyendo los valores numéricos
2m/s 80665,9
mm 550mm 301
2
3
4
m 1mm 1000
/sm 7E73,2128m 3E8,1
La viscosidad cinemática de la muestra líquida es /smm 8,9 2 13.4 Número de Reynolds
DVvDRe4
Fenómenos de Trasporte 541 G. Chacón V.
/sm 6E8,9m 3E8,1
/sm 7E73,242
3
Re
20Re es flujo laminar Ejemplo 13.5 sistema en flujo laminar Se dosifica ácido sulfúrico al 75% y 40 C a un reactor a 65 kPa, impulsado por una presión de 102 kPa y con un gasto másico de 10 g/s. La tubería es de acero al carbo-no (oxidada internamente) cédula 80 y de 20 m de largo. Determine el diámetro de la tubería, para no utilizar otra fuerza impulsora. Datos conocidos: : densidad del ácido sulfúrico al 75 % (a 40 C) 1650 kg/m3 : viscosidad del ácido sulfúrico al 75 % (a 40 C) 8,6 mPa s m : flujo del ácido sulfúrico 0,01 kg/s L : longitud del conducto 20 m D : diámetro del conducto ¿? Céd. 80 ¿? : valor de las asperezas para el conducto 0,5 mm P PLP0: caída de presión en el conducto -37 kPa Respuesta 13.5 i ) Velocidad
2
4D
mA
mv
Queda en términos del diámetro, D. ii ) Número de Reynolds
D
mvDRe
4
Capítulo 13 Flujo en conductos 542 G. Chacón V.
iii ) Factor de fricción, suponiendo flujo laminar,
m
DRe
fD
1664
Entrada contracción súbita 00 DD 5,0fK
Salida expansión súbita 00 DD 1fK
Válvula de globo media abierta 5,9fK iv ) Pérdidas de energía, por fricción y “menores”
22
22
vKKKvDLfH fvfsfeDf
2
24
2116
Dm
DL
mDH f
2
24
21
D
mKKK fvfsfe
2
2424
2128
DmKKK
DLmH fvfsfe
f
v ) Balance de energía mecánica
AvWHzgzgvvPP
fLL
L
L
0
220
0
0
22
Para el caso fL HPPP
0
vi ) Conclusión
4
214
2116
DmKKK
mLP
fvfsfe
fvfsfe KKK
mLD
164
Pm
24
21
Fenómenos de Trasporte 543 G. Chacón V.
Sustituyendo valores
5,915,0
kg/s 01,0m 20s kg/m 3E6,8164 D
Pa 3E37kg/m 1650
kg/m 1650kg/s 01,04
21 32
3
0446,06E72,75,05,915,06,864 24 D 44 m 9E1625,1 D mm 5,8m 0058,0 D El diámetro de la tubería es 80 Céd.41 D 13.5 S comprueba de la suposición de flujo laminar m 0077080 Céd.41 ,D
D
mvDRe
4
m 0,0077s kg/m 3E6,8
kg/s 01,04
Re
193Re es flujo laminar NOTA: despreciando las pérdidas en los accesorios. Se simplifica y se obtiene la ecuación de Hagen y Poiseuille, Ec. 13.10
24
4128DvD
LPmV x
Capítulo 13 Flujo en conductos 544 G. Chacón V.
m
PLD
1284
34
kg/m 1650kg/s 01,0
Pa 3E37 m 20s kg/m 3E6,8128
D
44 m 9E1479,1 D mm 5,8m 0058,0 D Ejemplo 13.6 Velocidad en régimen de flujo turbulento Un “crudo” se traslada por un oleoducto de acero comer-cial de 12” Céd. 40. Estime la velocidad del fluido, si la diferencia de presión entre dos puntos, de un tramo, se-parados 5 km y que están al mismo nivel, es de 323 kPa. Desprecie el efecto de las uniones. Datos conocidos: : densidad del hidrocarburo 913 kg/m3 : viscosidad cinemática del hidrocarburo 74 mm2/s v : velocidad del fluido ¿? L : longitud del conducto 5 km D : diámetro del conducto 12 Céd. 40 0,3032 m : valor de las asperezas para el conducto 0,046 mm P : caída de presión en el conducto -323 kPa Respuesta 13.6 i ) Velocidad
¿?42
DVv
Queda en términos de la velocidad, <v>.
Fenómenos de Trasporte 545 G. Chacón V.
ii ) Número de Reynolds
DVvDvDRe4
iii ) Factor de fricción Suponiendo flujo turbulento, con la Ec. 13.34 de Colebrook y White (1938-1939)
2
2698,0523,2log2
DfRef
DD
(i)
iv ) Pérdidas de energía
2
2
vDLfH Df
v ) Balance de energía mecánica
Av
WHzgzgvvPPf
12
21
22
1
1
2
2
22
Para el caso ff hgHPPP
21 (ii)
vi ) Conclusión
2
2
vDLfP
D
Multiplicando y dividiendo por el cuadrado del número de Reynolds.
22
2
vDRev
DLfP
D
Despejando para Re
2
3
2
DLPfRe D (iii)
Sustituyendo valores
Capítulo 13 Flujo en conductos 546 G. Chacón V.
32 kg/m 913
m 3032,0m 3E5
Pa 5E23,32/sm 5E4,7
m 3032,0
DfRe
849DfRe
2
3032,0m 5E6,42698,0
849523,2log2
Df
0393,0Df Nota: 20013,0 DfRe
D
El número de Reynolds
42790393,0
849Re
La velocidad
LfDPv
D
2
m 3E50393,0kg/m 913
m 3032,0Pa 5E23,323
v
La velocidad del “crudo” en el conducto es m/s 0,1 v 13.6 Swamee y Jain (1976) reunieron este procedimiento (algoritmo), Ecs i, ii y iii, en una sola fórmula (sólo se aplica para un tramo de conducto, con pérdidas menores despreciables o usando la Le respectiva)
DDhgL
LDhg
Qf
f
7,317,3ln965,0
21
3
215
Fenómenos de Trasporte 547 G. Chacón V.
Sustituyendo valores
21
3
5
m 3E5kg/m 913m 3032,0Pa 5E23,3965,0V
21
3
3
m 3032,0Pa 5E23,3m 3E5kg/m 91317,3ln
3032,07,3
m 5E6,4/sm 5E4,7 2
El flujo volumétrico es /sm 75,0 3V 13.6
23
2 m 3032,0/sm 75,044
D
Vv
La velocidad del “crudo” en el conducto es m/s 0,1 v 13.6 Ejemplo 13.7 descarga por gravedad Un depósito, de gran tamaño, está lleno de agua hasta un nivel de 5,00 0,05 m, la cual se desaloja por gravedad, a través de un orifico en el fondo. El conducto de salida es de hierro galvanizado con un diámetro nominal de 6 Céd 40 con 10 m de longitud. Estime la velocidad de salida. Datos conocidos: : densidad del agua 998,2 kg/m3 : viscosidad del agua 1,006 g/m s v : velocidad del fluido, en el conducto de salida ¿? h : nivel del agua en el tanque 4,95 m
Capítulo 13 Flujo en conductos 548 G. Chacón V.
L : longitud del conducto 10 m D : diámetro del conducto 6 Céd. 40 0,1541 m : valor de las asperezas para el conducto 0,15 mm P : caída de presión en el conducto ¿? Respuesta 13.7 Consideraciones - Volumen de control, fluido en el sistema - Flujo incompresible, constante - Estado estacionario - La velocidad se representa por su valor promedio, <v> - No se levanta un peso ni se mueve un eje, no hay
potencia del volumen de control - Los efectos energéticos en el tanque son despreciables
2 1 2salida entradav v v v v v La entrada y la salida están a la atmósfera
aatmosféricentradasalida PPP . Esquema del volumen de control
i ) Velocidad ¿? vv Queda en términos de la velocidad, v. ii ) Número de Reynolds
vDRe
h
L z 0
1
2
Fenómenos de Trasporte 549 G. Chacón V.
iii ) Factores de fricción Suponiendo flujo turbulento
2
2698,0523,2log2
DfRef
DD
Entrada contracción súbita 00 DD 5,0fK
Salida Expansión súbita 00 DD 1fK
Válvula de compuerta abierta 2,0fK Sea 7,1 fK iv ) Pérdidas de energía, por fricción y “menores”
22
22
vKKKvDLfH fvfcfeDf
v ) Balance de energía mecánica
Av
WHzgzgvvPPf
12
21
22
1
1
2
2
22
Para el caso 02
2
fHhgv
02
12
vK
DLfhg fD
vi ) Conclusión, despejando la velocidad, v.
fD KDLfhgv
12
Con los valores
7,1m 1541,0m 101m 95,4m/s 80665,92 2
Df
v
m/s 89,647,2
806,97Df
v
(i)
Capítulo 13 Flujo en conductos 550 G. Chacón V.
El número de Reynolds
s kg/m 3E006,1
kg/m 2,998m 1541,0 3
vvDRe
vRe 510529,1 (ii) El factor de fricción
2
1541,04E5,12698,0
5E529,1523,2log2
DD fv
f
2
6262,25E650,1log2
D
D fvf (iii)
Resolviendo, el sistema de tres ecuaciones i, ii y iii, por el método de sustituciones sucesivas, con un primer ensayo, de fD, 02,06262,2log2 2
Df
3,17,2
806,9702,089,647,2
806,97
v
m/s 5v Segunda iteración
0199,06262,202,05
650,1log22
Df
m/s 62,415,10199,089,647,2
806,97
v
La velocidad de salida del sistema depósito conducto, por gravedad, es m/s 4 2
1 v 13.7
Factor de seguridad
Fenómenos de Trasporte 551 G. Chacón V.
Ejemplo 13.8 Pérdidas por fricción en un tramo de conducto
Se requiere determinar la presión necesaria a la entrada de un tramo de conducto que traslada amoníaco líquido, para que en un punto, a 250 m de distancia cerca de la salida, se encuentre como líquido saturado. El flujo es de 2 m3/h con una temperatura de operación de 25 a 30 C. La tubería es de acero comercial de 2 Céd. 160. Considere las pérdidas en las uniones despreciables. Datos conocidos:
Se considera cítrico la mayor presión de saturación del amoníaco.
T : temperatura del sistema 30 C : densidad del NH3 595,2 kg/m3 : viscosidad del NH3 0,136 g/m s Psat: presión de saturación del NH3 11,665 kPa V : flujo volumétrico del fluido 2 m3/h 556 mm3/s L : longitud del conducto 250 m D : diámetro del conducto 2 Céd. 160 0,0428 m : valor de las asperezas para el conducto 0,046 mm P1 : presión a la entrada del conducto ¿?
Se considera ligeramente mayor, un 10% de la pre-sión de saturación del amoníaco.
P2 : presión a la salida del conducto 1,1Psat 12,83 kPa Referencia: Válvula de expansión Respuesta 13.8 i ) Velocidad
24
DVv
m/s 386,0
m 0428,0/sm 4E56,542
3
v
Capítulo 13 Flujo en conductos 552 G. Chacón V.
ii ) Número de Reynolds
DVvDRe
4
(i)
s kg/m 4E36,1m 0428,0
kg/m 2,955/sm 4E56,54 33
Re
4102,7 Re iii ) Factores de fricción Flujo turbulento, con la Ec. 13.35 de Churchill (1973)
29,0
7,37log2
DRefD
(ii)
023,0m 0428,07,3
m 5E6,44E2,7
7log2
29,0
Df
iv ) Pérdidas de energía, por fricción
2
2
vDLfH Df
v ) Balance de energía mecánica
Av
WHzgzgvvPPf
12
21
22
1
1
2
2
22
Para el caso ff hgHPPP
21
vi ) Conclusión, para el caso
52
22 82 D
VLfvDLfP D
D
(iii)
Con los valores numéricos
52
23
m 0428,0/sm 4E56,5m 250023,08
fHP
Fenómenos de Trasporte 553 G. Chacón V.
22/sm 17,10
fHP
La presión en el extremo de entrada 221 PhgPHP ff (iii)
kPa 665,111,1s kg/m 1000
kPa 1sm17,10
mkg 2,595 22
2
31 P
kPa 191 P 13.8 Swamee y Jain (1976) reunieron este procedimiento (algoritmo), Ecs i, ii y iii, en una sola fórmula (sólo se aplica para un tramo de conducto, con pérdidas menores despreciables o usando la Le respectiva)
29,0
5
2
7,362,4ln07,1
DQ
DDg
LQhf
Sustituyendo valores
5
23
m ,04280m 502/sm 4E56,507,1fHP
9,0
33 kg/m 2,955/sm 4E56,5s kg/m 4E36,1m 0428,062,4ln
2
0428,07,3m 5E6,4
La caída de presión o la pérdida de energía por fricción es
2 210 m /sfP H
Capítulo 13 Flujo en conductos 554 G. Chacón V.
Ejemplo 13.9 diámetro de un tramo de conducto Determine el diámetro, necesario, de una tubería BWG14, de bronce, que traslada tolueno, como líquido saturado entre 90 y 100 C, a razón de 1,75 L/s, de tal manera que en una distancia de 305 m, la caída de presión no sea mayor que 30 m. Considere las pérdidas en las uniones despreciables y que el nivel se mantiene constante. Datos conocidos:
Se considera cítrica la menor temperatura, pues el fluido posee un mayor valor de la viscosidad.
T : temperatura del sistema 90 C : densidad del fluido 800 kg/m3 : viscosidad del fluido 0,290 g/m s Psat: presión de saturación del fluido 54,13 kPa V : flujo volumétrico del fluido 1,75 L/s 1,7510-3 m3/s L : longitud del conducto 305 m D : diámetro del conducto BWG14 ¿? : valor de las asperezas para el conducto 0,0015 mm P : caída presión entre los dos puntos del tramo de conducto 30 m Respuesta 13.9 i ) Velocidad
2
3
2/sm 3E75,144
DDVv
Queda en términos del diámetro, D. ii ) Número de Reynolds
DVvDRe4
(i)
Fenómenos de Trasporte 555 G. Chacón V.
D
Re
s kg/m 4E90,2kg/m 800/sm 3E75,14 33
DRe 3101,6 iii ) Factor de fricción Suponiendo flujo turbulento, con la Ec. 13.34 de Cole-brook y White (1938-1939)
2
2698,0523,2log2
DfRef
DD
(ii)
2
6E5,12698,03E1,6
523,2log2
DfDf
DD
2
7E05,44E10,4log2
DfDf
DD
iv ) Pérdidas de energía, por fricción
2
2
vDLfH Df
v ) Balance de energía mecánica
Av
WHzgzgvvPPf
12
21
22
1
1
2
2
22
Para el caso ff hgHPPP
21
vi ) Conclusión, para el caso
52
22 82 D
VLfvDLfP D
D
f
D
HVLfD
2
25 8
(iii)
Capítulo 13 Flujo en conductos 556 G. Chacón V.
22
235
m/s 80665,9m 30/sm 3E75,1m 3058
DfD
2,00762,0 DfD Se itera con el factor de fricción de Darcy por ser más estable (matemáticamente) que el diámetro. 01,0Df 2,001,00762,0 D m 030,0D Mejorando el valor
2
m 030,07E05,4
01,0m 030,04E10,4log2
Df
0168,0Df Segunda iteración m 0337,00168,00762,0 2,0 D
2
m 0337,0705,4
0168,0m 0337,04E10,4log2
EfD
0162,0Df m 0334,00162,00762,0 2,0 D El diámetro nominal, que es igual al externo, es 84,1m 0376,0m 00211,02m 0334,0 D BWG14 "1 2
1D 13.9
Fenómenos de Trasporte 557 G. Chacón V.
Swamee y Jain (1976) reunieron este procedimiento (algoritmo), con la ecuación de Churchill (1973) - no usa la de Colebrook y White -, para calcular el factor de fricción de fD, y los pasos i y iii, en una sola fórmula (sólo se aplica para un tramo de conducto, con pérdidas menores despreciables o usando la Le respectiva)
04,075,42
25,1
2,5
4,966,0
ff hgLQ
hgLQD
Sustituyendo valores
3
32,5
2
4,93
kg/m 800/sm 4E90,2
m 03m/s 8079m 305/sm 3E75,166,0
,D
04,075,4
2
2325,1
m 03m/s 8079m 305/sm 3E75,1m 6E5,1
,
m 0339,0D Ejemplo 13.10 Trasiego de un fluido Se trasladan 15 L/s de ácido acético desde un tanque, de 2 m diámetro por 1,5 m de altura, abierto a la atmósfera, hasta otro cuya entrada está 3 m arriba de la base del recipiente y a una presión de 20 kPaman. El ambiente se mantiene a una presión de 90 kPa y su temperatura varía entre 20 y 26 C. El nivel del líquido en el depósito se mantiene en 1,1 0,1 m, (desde la base). El fluido lo impulsa una bomba centrífuga de 6 kW con una eficiencia de 68%. La tubería es de acero revestido con fibra de vidrio ( 0,06 mm) con un diámetro interno de 75 mm y 42 m de largo. El sistema tiene una válvula de compuerta, una T de paso, tres uniones, tres codos y una válvula de globo. Evalúe la cabeza total y la presión del fluido a la salida.
Capítulo 13 Flujo en conductos 558 G. Chacón V.
Respuesta 13.10 Esquema del sistema
Datos conocidos: : densidad del ácido acético 20 C 1060 kg/m3 : viscosidad del ácido acético 20 C 2,5 mPa s V : flujo volumétrico 0,015 m3/s L : longitud del conducto 42 m D : diámetro del conducto 0,075 m : asperezas para el conducto 0,06 mm z1 : nivel de entrada 1 1,0 m P1 : presión a la entrada 1 90 kPa z2 : nivel de salida 2 3,0 m P2 : presión a la salida 2 110 kPa i ) Velocidad
22 4
4 DVDvV
m/s 4,3
m 075,0/sm 015,042
3
v
ii ) Número de Reynolds
vDRe
53
1008,1 kg/m 3E5,2
kg/m 1060m/s 4,3m 075,0
Re
P1 T1 v1 z1 1
P2 T2 v2 z2
2
Fenómenos de Trasporte 559 G. Chacón V.
iii ) Factores de fricción y otras pérdidas de energía
29,0
7,37ln8686,0
DRefD
Entrada contracción súbita 00 DD 5,0fK
Salida expansión súbita 00 DD 1fK
Válvula de compuerta abierta 2,0fK
Válvula de globo ½ abierta 5,9fK
Te paso en línea 9,0fK Codos 90º estándar 8,03 fK
Uniones 04,03 fK
6,14 fK Las pérdidas en la entrada, en la salida, por las partes del equipo, etc., en la bomba, se consideran en su eficiencia
68,0 iv ) Pérdidas de energía, por fricción y “menores”
22
22
vKv
DLfH fDf
29,0
m 075,07,3m 5E6
5E08,17ln8686,0
Df
021,0Df
2
22vK
DLfH fDf
2m/s 4,36,14
m 075,0m 42021,0
2
fH
2222 /sm 153/sm 78,56,148,11 fH
Capítulo 13 Flujo en conductos 560 G. Chacón V.
v ) Balance de energía mecánica
Av
WHzgzgvvPPf
12
21
22
1
1
2
2
22
vi ) Cabeza total
Curva de demanda del sistema, altura, carga o carga hidráulica o piezométrica
)(2 12
21
2212 zz
gvv
gPP
gHh PS
PS
2
21
AVK
DLf
g fD
Con los valores numéricos
23
2
sm8067,9
mkg 1060Pa 3E90110
m 80665,9s
PSh
15,1sm153
sm
2"0"4,3m 13 2
2
2
222
15,1m/s 80665,9
/sm1538,56,199,182
22PSh
La cabeza total o piezométrica es m 23PSh 13.10 NOTA: La potencia requerida es
233
m/s 80665,9m 2386,0
kg/m015,0kg/m1060
PShgVW
kW 2,4W vii) Presión del fluido a la salida
2 22 1
2 2 12 2dynv vWP P P
V
2 1 fg z z H
Fenómenos de Trasporte 561 G. Chacón V.
Con los valores numéricos
2
22
332 sm
2"0"
mkg1060kPa 90
sm 015,0kW 668,0
dynP
m kg/s 1000
kPa 1sm153m 13
sm8067,9 22
2
2
La presión de salida es kPa 1802 dynP 13.10
Nota: la presión de salida es diferente y mayor que la externa y contraria.
NOTA: La presión estática, a la salida es 22
22 2 3 2
3, 4m/skg 1 kPa180 kPa 10602 m 2 1000 kg/s msta dyn
vP P
kPa 1732 staP Ejemplo 13.11 Tubería de condensador a caldera De un condensador, que trabaja a 60 C, se traslada el agua por medio de una bomba centrífuga, hasta una caldera que opera a 0,20 MPa y que su entrada está a 2,3 m más arriba de la salida del condensador. La bomba recibe el agua (líquido saturado) por un tubo de acero inoxidable 304 # 1 céd 80 de 3 m de largo y lo impulsa por un tramo de tubo # 2½ céd 160 de 8 m, con un codo, una T usada como codo (purga) y otra T de paso (donde se coloca una válvula de seguridad o alivio) y una válvula de paso. Para el sistema mencionado calcule la potencia, de la bomba, requerida para un gasto 5 L/s y una eficiencia, de la misma, de 70%. Datos conocidos:
Capítulo 13 Flujo en conductos 562 G. Chacón V.
: densidad del agua, 60 C 983,2 kg/m3 : viscosidad 0,47 g/m s PA
sat: presión de saturación del agua, 60 C 19,94 kPa V : flujo volumétrico 0,005 m3/s : aspereza para el material del conducto 0,01 mm
Conducto de acopio, 1 L1 : longitud del conducto 1 3 m D1 : diámetro del conducto 1 1 Céd. 80 0,0243m z1 : nivel de entrada 1 0,0 m P1 : presión a la entrada 1 19,94 kPa
Conducto de servicio, 2 L2 : longitud del conducto 2 8 m D2 : diámetro del conducto 2 2½ Céd. 160 0,0540 m z2 : nivel de salida 2 2,3 m P2 : presión a la salida 2 200 kPa Respuesta 13.11 Esquema del volumen de control
i ) Velocidad Balance de masa 2221110 AvAv VAvAv 2211
V
P1 T1 v1 z1
P2 T2 v2 z2
Condensador
Caldera
Fenómenos de Trasporte 563 G. Chacón V.
Con lo que
m/s 8,10m 0243,0
/sm 3E5442
3
21
1
D
Vv
m/s 18,2m 0540,0
/sm 3E5442
3
22
2
D
Vv
ii ) Número de Reynolds
vDRe
53
3
1 1048,5s kg/m 4E7,4
kg/m 983,2m/s 8,10m 0243,0
Re
53
3
2 1047,2s kg/m 4E7,4
kg/m 983,2m/s 18,2m 0540.0
Re
iii ) Factores de fricción
29,0
7,37ln8686,0
DRefD
Entrada contracción súbita 00 DD 5,0fK
Válvula de compuerta abierta 2,0fK
Te paso en línea 9,0fK
Te entrada lateral 0,1fK
Codo de 90º estándar 8,0fK
Salida Expansión súbita 00 DD 0,1fK
7,01 fK ; 7,32 fK Las pérdidas en la entrada, la salida las partes, etc., de la bomba, se consideran en su eficiencia 70,0 iv ) Pérdidas de energía, por fricción y “menores”
22
22
vKv
DLfH fDf
Capítulo 13 Flujo en conductos 564 G. Chacón V.
29,0
1 m 0243,07,3m 5E0,1
5E48,57ln8686,0
Df
0171,01 Df
29,0
2 m 0540,07,3m 5E0,1
5E26,27ln8686,0
Df
0166,02 Df v ) Balance de energía mecánica
Av
WHzgzgvvPPf
12
21
22
1
1
2
2
22
vi ) Conclusión, para el caso
2
21
22
1212 vvzzgPPVW
22
22
22
22
21
11
11
vKDLfvK
DLf fDfD
Con los valores numéricos
32
3
3 /sm kg 1000kW 1
70,01
sm3E5
mkg983,2W
Pa 3E94,19200
kgm
983,21 3
2
222
2 sm
28,1018,2m 03,2
sm8067,9
2
22
sm
28,107,0
m 0243,0m 30171,0
15,1
sm
218,27,3
0540,0m 80166,0 2
22
Fenómenos de Trasporte 565 G. Chacón V.
2
2
mskW 3E8,08W
kW 2,65sm7,145,1637,556,221,183 2
2
La potencia es kW 3W (4 H.P.) 13.11 Ejemplo 13.12 Bombeo Una bomba toma agua, a razón de 13 L/s, desde un depósito, colocada a 5 m del depósito, por medio de un conducto No. 6 Ced. 40, cuyo extremo de succión se encuentra por debajo de la superficie (nivel) del agua, en el depósito, tiene un codo y una válvula de compuerta. La bomba descarga el líquido por un conducto que desemboca 2,0 m arriba del nivel del agua en un evaporador, contra una presión de 60 kPavac. La tubería de salida es No. 3 Ced. 80, con dos codos y una válvula de globo. Ambas construidas con acero inoxidable 304. El medio se encuentra a la presión barométrica de 87 a 91 kPa. Y la temperatura entre 20 y 26 C. Considere que la eficiencia de la bomba es 75 %. Calcule la altura sobre el nivel del líquido, que debe tener la bomba, para que en su entrada se presente cavitación incipiente. Para 7 m de altura, (de la bomba sobre el nivel del líquido) determine la potencia de la bomba. Datos conocidos:
Se considera crítica la mayor temperatura, pues el fluido posee un mayor valor de la presión de saturación y menor valor de la viscosidad, produciendo menor caída de presión.
T1 : temperatura 26 C
Se considera ligeramente mayor, un 15 % de la presión de saturación, del amoníaco, como capaz de producir cavi-tación incipiente.
Capítulo 13 Flujo en conductos 566 G. Chacón V.
V : flujo volumétrico, gasto o carga 0,013 m3/s : densidad del agua 996,8 kg/m3 : viscosidad del agua 0,873 g/m s : asperezas del material de los conductos 0,01 mm Respuesta 13.12 Diagrama del volumen de control
A la entrada (0) de la bomba: D0 : diámetro, 6 Ced. 40, 0,1541 m v0 : velocidad del fluido en el conducto de entrada z0 : nivel de la bomba h m L0 : longitud del conducto, del depósito a la bomba, 5 + h m P0 : presión a la entrada de la bomba 1,15Psat 3,87 kPa Referencia:Cavitación, carga positiva neta de succión, NSPH. En el nivel (1) del depósito: D1 : diámetro grande “ ” v1 : velocidad del fluido z1 : nivel del fluido (referencia) 0 P1 : presión PAtm 87 kPa
v2 P2 z2
v1 P1 z1
z2 - z1v0 P0 z0
h
Fenómenos de Trasporte 567 G. Chacón V.
A la salida (2) del conducto: D2 : diámetro, 3 Ced. 80, 0,0737 m v2 : velocidad del fluido z2 : nivel del fluido al salir 2 m L2 : longitud del conducto 2 m P2 : presión (87 60) kPa 27 kPa
Primera parte, evaluación de la altura de la bomba, h i ) Velocidad Balance de masa 0001110 AvAv VAvAv 0011 Con lo que
042
11
DVv
m/s 70,0m 1541,0
/sm 013,0442
3
20
0
D
Vv
ii ) Número de Reynolds
vDRe
53
3
0 1023,1s kg/m 4E73,8
kg/m 996,8m/s 70,0m 1541,0
Re
iii ) Factores de fricción
29,0
7,37ln8686,0
DRefD
Capítulo 13 Flujo en conductos 568 G. Chacón V.
Entrada contracción súbita 00 DD 5,0fK
Válvula de compuerta abierta 2,0fK
Codo de 90º estándar 8,0fK
5,10 fK iv ) Pérdidas de energía, por fricción y “menores”
22
22
vKv
DLfH fDf
29,0
0 m 1541,07,3m 5E0,1
5E23,17ln8686,0
Df
0176,00 Df v ) Balance de energía mecánica
Av
WHzgzgvvPPf
12
21
22
1
1
2
2
22
vi ) Conclusión, para el caso
22
020
00
00
21
20
1010 vK
DLfvvzzgPP
fD
Con los valores numéricos
m 0sm8067,9
kg/m 996,8Pa 3E8787,30 23 h
2
22
2
222
sm
27,05,1
m 1541,0m 50176,0
sm
2"0"70,0
h
083,9368,0140,0245,0397,83 h m 8,4h 13.12
Fenómenos de Trasporte 569 G. Chacón V.
Segunda parte, potencia de la bomba, para una altura de 7 m.
i ) Velocidad Balance de masa 2221110 AvAv VAvAv 2211 Con lo que
042
11
DVv
m/s 05,3m 0737,0
/sm 013,0442
3
22
2
D
Vv
ii ) Número de Reynolds
vDRe
53
3
2 1056,2s kg/m 4E73,8
kg/m 996,8m/s 05,3m 0737,0
Re
iii ) Factores de fricción Válvula de globo ½ abierta 5,9fK
Salida expansión súbita 00 DD 0,1fK
Dos codos de 90º estándar 8,0fK
Sea 1,122 fK iv ) Pérdidas de energía, por fricción y “menores”
29,0
2 m 0737,07,3m 5E0,1
5E56,27ln8686,0
Df
0161,02 Df
Capítulo 13 Flujo en conductos 570 G. Chacón V.
v ) Balance de energía mecánica
Av
WHzgzgvvPPf
12
21
22
1
1
2
2
22
vi ) Conclusión, para el caso
2
21
22
1212 vvzzgPPVW
22
22
22
22
20
00
00
vKDLfvK
DLf fDfD
Con los valores numéricos
3
3
3 kg/m 996,8Pa 3E8727
75,01
sm013,0
mkg996,8W
2
222
2 sm
2"0"05,3m 072
sm8067,9
2
22
sm
270,05,1
m 1541,0m 750176,0
2
22
sm
205,31,12
0737,0m 20161,0
32/sm kg 1000kW 115,1
2
2
mskW 3E8,91W
2
2
sm2,587,06,43,882,60
kW 1,82W La potencia es kW 2W (2½ H.P.) 13.12
Fenómenos de Trasporte 571 G. Chacón V.
Ejemplo 13.13 Flujo de calor en régimen laminar Una solución de azúcar y otros compuestos, con 20° Brix, se calienta de 10 C a 40 C. El sistema lo forma un conjunto de conductos de acero inoxidable 304 de dos pulgadas cédula cuarenta, con un flujo de 30 mL/s, cada uno. El calentamiento es con vapor de agua, de tal forma que su pared se encuentra a 100 C. Evalúe la longitud de cada conducto y la caída de presión. Datos conocidos: : densidad cuadro : viscosidad cuadro CP: capacidad calorífica cuadro k: conductividad térmica cuadro V : flujo volumétrico 310-5 m3/s D: diámetro del conducto 0,0525 m L: longitud del conducto ¿? : aspereza para el conducto 0,01 mm h: coeficiente de película ¿? TW: temperatura de la pared 100 C T0: temperatura a la entrada 10 C TL: temperatura a la salida 40 C
T C 10 40 °Brix 20 20 kg/m3 1169 1097 mPa s 2,665 1,199CP kJ/kg K 4,13 4,32k W/m K 0,52 0,59
Respuesta 13.13 Consideraciones, las del modelo de transferencia de
calor en conductos.
Capítulo 13 Flujo en conductos 572 G. Chacón V.
Balance de energía térmica, (Ec. 13.4)
DL
PrReNu
DL
vch
TTTT
Ps
Ls
0
ln41
Resolviendo, con las propiedades a la temperatura loga-rítmica media entre los extremos del conducto.
25CK 9,297
15,2731015,27340ln
1040ln 0
0
TTTTT
L
LLM
T C 25 °Brix 20 kg/m3 1134
(*) kg/m s 1,74710-3
CP J/kg K 4,22103
k W/m K 0,55(*) Interpolación ln con 1/T(en K)
i ) Velocidad
23
21 m 0525,0
/sm 5E344
DVvv
m/s 014,0v ii ) Número de Reynolds
DVvDRe4
3 34 3E 5 m /s 1134 kg/m
0,0525 m 1,747 E 3 kg/m sRe
472Re Flujo laminar iii ) Coeficiente de transferencia de calor o de película
14,031
86,1
WLDPrReNu
Fenómenos de Trasporte 573 G. Chacón V.
(**) No se conoce la viscosidad de la solución a la temperatura de la pared, pero se considera que es mejor aproximación usar, para esta corrección, los valores correspondientes al agua pura que extrapolar con los valores dados de la solución.
19,2822,0893,086,1
14,0
K kW/m ,550
s kg/m 3E764,1K J/kg 3E22,4
kC
Pr P
4,13Pr iv ) Conclusión
DL
PrReLDPrRe
TTTT
W
LW
31
0
19,24ln
320
74,8ln
LDPrRe
TTTT
W
LW
Despejando para L,
23
0
ln74,81
TTTTDPrReL
W
LW
Con los valores
3 2
1 100 40472 13, 4 0,0525 m ln8,74 100 10
L
El largo de cada tubo es m 3 2
1L 13.13 El flujo de calor intercambiado, de la Termodinámica: LP TTVcQ 0
Capítulo 13 Flujo en conductos 574 G. Chacón V.
W1000
kW 1C 4010s
m 5E3 K kg
J3E22,4mkg1341
3
3 Q
El flujo de calor transferido por cada tubo es kW 3,4Q 13.13 Caída de presión
2
221
v
DLfHPPP
Df
14,0
64
WD Re
f
DL
RevP
W
14,02 642
2 0,14
3
0,014 m/skg 64 0,893 3,5 m1134m 2 472 0,822 0,0525 m
P
La caída de presión en cada tubo es Pa 2,1 P 13.13 Que representa una necesidad de energía mecánica de VPW
WμW 6E1
sm 5E3Pa 2,1
3
W μW 36W
Fenómenos de Trasporte 575 G. Chacón V.
Ejemplo 13.14 Analogía de los procesos de transfe-rencia
Por una tubería 1 BWG 12 de 1,5 m de largo, fluye agua con una rapidez de 1 kg/s. La temperatura a la entrada, para el fluido, es de 20 C y la temperatura de la pared, del conducto, se considera aproximadamente constante en 50 C. Si se conoce que la caída de pre-sión, entre los puntos de entrada y salida es de 7,0 kPa, estime la temperatura de salida (del agua). Datos conocidos: : densidad del agua Ref. : viscosidad constante Ref. CP: capacidad calorífica Ref. k: conductividad térmica Ref. m : flujo másico 1 kg/s L1: longitud del conducto 1,5 m D1: diámetro interno del conducto 1 BWG 12 0,0199 m : valor de las asperezas h: coeficiente de película ¿? TW: temperatura de la pared 50 C T0: temperatura a la entrada 20 C TL: temperatura a la salida ¿? P: caída de presión en el conducto 7 kPa Respuesta 13.14 Consideraciones, - Las del modelo de transferencia de calor en conductos - Se desprecia la variación de la temperatura a lo largo
del conducto interno (de bronce) - Se cumple la analogía de Chilton Colburn.
Capítulo 13 Flujo en conductos 576 G. Chacón V.
Balance de energía térmica, (Ec. 13.14)
DL
PrReNu
DL
vch
TTTT
Ps
Ls
0
ln41
Resolviendo, con las propiedades a la temperatura logarítmica media del conducto
0
0
ln TTTT
TL
LLM
Como primera iteración se toma la temperatura a la salida como
C 30LT
C 25K 1,298
15,2732015,27330ln
2030
LMT
T C 25 kg/m3 997,04 kg/m s 0,89310-3
CP J/kg K 4,1796103
k W/m K 0,610Pr 6,12
i ) Velocidad
24
Dm
Amvv
m/s 2,3
m 0199,0kg/m 04,997kg/s 14
23
v
ii ) Número de Reynolds
DmvDRe4
s kg/m 3E893,0m 0199,0
kg/s 14
Re
4102,7 Re Flujo turbulento
Fenómenos de Trasporte 577 G. Chacón V.
iii ) Coeficiente de transferencia de calor o de película
Por el principio de analogía entre los procesos de transferencia, ya que se conoce la caída de presión
318 PrReNufD
Caída de presión, con el balance de energía mecánica.
2
221
v
DLfHPPP
Df
31248 PrReNu
LD
vPfD
3124
PrReLD
vPNu
iv ) Conclusión, de la Ec. 13.4,
DL
LD
vP
PrRePrRe
TTTT
W
LW2
31
0 44ln
3220
lnPrv
PTTTT
W
LW
Despejando para TL,
3220 exp
PrvPTTTT WWL
Con los valores
3223 12,6m/s 2,3kg/m 04,997
Pa 3E7exp2050C 50LT
C 5,25LT “Refinando” el resultado
Capítulo 13 Flujo en conductos 578 G. Chacón V.
C 7,22K 9,29515,2732015,2735,25ln205,25
1
LMT
T C 22,7 kg/m3 997,57
(*) kg/m s 0,94710-3
CP J/kg K 4,1806103
k W/m K 0,606Pr 6,51
(*) Interpolación ln con 1/T Velocidad
232 m 0199,0kg/m 62,997kg/s 144
D
mvv
m/s 2,3v Valorando TL,
3223 51,6m/s 2,3kg/m 57,997
Pa 3E7exp2050C 50LT
La temperatura de salida del agua de enfriamiento es C 25LT 13.14 La transferencia de calor en el sistema, de la Termo-dinámica LPLP TTcmTTVcQ 00
W0001
kW 1C 2025K kg
J3E18,4s
kg1 Q
El flujo de calor transferido por cada tubo es kW 21Q 13.14
Fenómenos de Trasporte 579 G. Chacón V.
Ejemplo 13.15 Diámetro equivalente Un flujo de 2 L/s de agua para enfriamiento a 20 C, corre por el espacio anular entre dos tubos concéntricos, Intercambiador tubo-tubo. El conducto interno es de bronce 1 BWG 14 y el externo de PVC 3 Céd 40 y tienen 1,0 m de largo. La temperatura de la pared del tubo interno se mantiene en 150 C, constante aproxima-damente. Calcule la transferencia de calor al agua de enfriamiento. Datos conocidos: : densidad Ref. : viscosidad Ref. CP: capacidad calorífica Ref. k: conductividad térmica Ref. V : flujo volumétrico 0,002 m3/s L1: longitud de cada conducto 1 m D1: diámetro externo del conducto interno, de bronce 1 BWG 14 0,0254m D2: diámetro interno del conducto externo, de PVC 3 Céd 40 0,0779 m : valor de las asperezas para tubo liso 0,0015 mm h: coeficiente de película ¿? TW: temperatura de la pared 150 C T0: temperatura a la entrada 20 C TL: temperatura a la salida ¿? Respuesta 13.15 Consideraciones, - Las del modelo de transferencia de calor en conductos - Se desprecia la variación de la temperatura a lo largo
del conducto interno (de bronce) - Se desprecian las pérdidas del calor al medio (a través
de conducto externo)
Capítulo 13 Flujo en conductos 580 G. Chacón V.
- Se supone flujo turbulento y se puede usar el diámetro equivalente
- Volumen de control: el flujo de agua dentro del conducto anular.
Esquema del volumen de control
Balance de energía térmica, (Ec. 13.14)
DL
PrReNu
DL
vch
TTTT
Ps
Ls
0
ln41
Resolviendo, en términos del diámetro equivalente
12
12
21
224
4
dd4 DD
DD
DD
λSADe
m 0254,00779,0 De m 0525,0De Las propiedades a la temperatura logarítmica media, entre la entrada y la salida del conducto
0
0
ln TTTT
TL
LLM
Flujo agua de enfriamiento, conducto externo
V
D1 D2
Fenómenos de Trasporte 581 G. Chacón V.
Como primera iteración se toma la temperatura a la salida
C 30LT
C 25K 1,298
15,2732015,27330ln
2030
LMT
T C 25 kg/m3 997,04 kg/m s 0,89310-3
CP J/kg K 4,1796103
k W/m K 0,610Pr 6,12
i ) Velocidad
22
3
21
22 m 0254,0m 0779,0
/sm 002,044
DD
Vvv
m/s 47,0v ii ) Número de Reynolds
vDeRe
s kg/m 3E893,0
kg/m 04,997/sm ,470m 0525,0 33
Re
41075,2 Re Flujo turbulento iii ) Coeficiente de transferencia de calor o de película
41
5254023,0
WPrPrPrReNu
iv ) Conclusión.
415254
0
023,04ln
WW
LW
PrPr
DL
PrRePrRe
TTTT
Capítulo 13 Flujo en conductos 582 G. Chacón V.
41
6,02,00
092,0ln
WW
LW
PrPr
DL
PrReTTTT
Despejando para TL,
41
6,02,00092,0exp
WWWL Pr
PrDL
PrReTTTT
Con los valores
6,02,0 12,64E75,2
092,0exp20150C 150LT
41
16,112,6
m 0525,0m 1
C 3489,0130150 LT “Refinando” el resultado
C 0,27K 2,300
15,2732015,27334ln
2034
LMT
T C 27 kg/m3 996,49
(*) kg/m s 0,85410-3
CP J/kg K 4,1792103
k W/m K 0,613Pr 5,83
(*) Interpolación ln con 1/T Número de Reynolds
s kg/m 3E854,0
kg/m 49,996/sm ,470m 0525,0 33
Re
41087,2 Re Flujo turbulento
Fenómenos de Trasporte 583 G. Chacón V.
Valorando TL,
6,02,0 83,54E87,2
092,0exp20150C 150LT
41
16,183,5
m 0525,0m 1
La temperatura de salida del agua de enfriamiento es C 34LT 13.15 La transferencia de calor en el sistema, de la Termo-dinámica es: LP TTVcQ 0
W6E1
MW 1C 2034s
m 3E2 K kg
J3E18,4mkg49,996
3
3 Q
El flujo de calor transferido es MW 12,0Q 13.15 Ejemplo 13.16 Conducto aislado Una corriente de vapor de agua a 700 K y 3 MPa fluye dentro de un conducto de acero, horizontal 8 Céd 140, con un caudal de 5 t/h. El sistema se recubre, con un aislante, de conductividad térmica de 0,10 W/m K y se encuentra en un ambiente a 300 K. Estime el valor del espesor, necesario, del aislante, para que la temperatura de su cara externa, no sea mayor de 400 K. Datos conocidos: m : flujo másico 5 t/h D0: diámetro interno del conducto 8 BWG 140 0,1778 m
Capítulo 13 Flujo en conductos 584 G. Chacón V.
Vapor de agua, sobre calentando (Perry), en el conducto a 3 MPa
Ta: temperatura 700 K : densidad 9,63 kg/m3 : viscosidad 2,6010-5 kg/m s CP: capacidad calorífica 2,26103 J/kg K k: conductividad térmica 0,061 W/m K Pr: número de Prandtl 0,96
Metal, del conducto k0: conductividad térmica 40 W/m K : valor de las asperezas 0,046 mm D1: diámetro externo del conducto 8 BWG 140 0,2191 m
Aislante, para el conducto k1: conductividad térmica 0,10 W/m K D2: diámetro externo del aislante ¿?
Aire, que rodea el aislante TAM: temperatura media
K 3502
300400
AMT
g22: 6,482107 1/m3 K Pr: número de Prandtl 0,6972 Tf: temperatura 300 K Respuesta 13.16 Esquema del volumen de control
D1 D0D2 Ta
Tf
Fenómenos de Trasporte 585 G. Chacón V.
Consideraciones, - Las de los modelos de transferencia de calor en
conductos y en paredes, despreciando el efecto de la radiación.
i ) Velocidad del vapor
24
Dm
Amvv
m/s 8,5m 1778,0kg/m 63,9
s h/3600 1 tkg/1 1000 t/h5423
v
ii ) Número de Reynolds
DmvDRe4
5108,3s kg/m 5E60,2m 1778,0s h/3600 1 tkg/1 1000 t/h54
Re
Flujo turbulento iii ) Coeficiente de transferencia de calor o de pelícu-
la, para el vapor
41
3154023,0
WPrPrPrRe
kDhNu
m 17780
K W/m061,0196,05E8,3023,0 14,03154
,ha
K W/m228 2ah iv ) Coeficiente de transferencia de calor o de
película, para el aire, en reposo
PrTTDgPrGr fW 32
2
Considerando, como primer intento, un espesor del aislante de 0,1 m. m 0,42m 1,022191,02 D
Capítulo 13 Flujo en conductos 586 G. Chacón V.
6972,0K 30040042,0K m
17E482,6 33 PrGr
8103,3 PrGr
4141
2 42,030040032,132,1
DTT
h fWf
K W/m2,5 2fh Transferencia de calor K 4002 TTW
W1000
kW 1K 300400K W/m2,5 2 fWf TThq
2kW/m 52,0q Espesor del aislante, con el balance de energía en el sistema, Sec.6.2.2
2
12
1
01
0
2
2ln
2ln1
kDD
kDD
Dh
TTLQ
a
a
1
2
2
0
0
1
1
0
2
ln2
ln2
1DD
kD
DD
kD
h
TTq
a
a
Resolviendo para el diámetro externo del aislante, D2.
0
1
1
02
0
2
1
2 ln2
12lnDD
kD
hqTT
Dk
DD
a
a
2
2
W/m520K 400700
m 1778,0K W/m1,02
m 2191,0ln D
m 1778,0m 2191,0ln
K W/m402m 1778,0
K W/m2821
2
m 4177,02 D El espesor es mm 99
Fenómenos de Trasporte 587 G. Chacón V.
“Refinando” el resultado
K W/m19,54177,0
30040032,1 241
fh
Transferencia de calor W/m519K 300400K W/m19,5 2 q Espesor del aislante
2
2
W/m519K 400700
m 1778,0K W/m1,02
m 2191,0ln D
m 1778,0m 2191,0ln
K W/m402m 1778,0
K W/m2821
2
m 4174,02 D El espesor de la capa aislante es m 1,0 13.16 Ejemplo 13.17 Transferencia de masa en la corriente de
aire, en una columna de pared húmeda Por una columna de pared húmeda de 508 mm de diámetro interno, fluye una mezcla de aire y anhídrido carbónico a razón de 1 m/s, junto a una corriente de agua (que se desliza sobre la pared del conducto). La columna opera a 10 atm y 25 C, En un punto dado del tubo, se tiene una concentración de 0,1 fracción mol de dióxido de carbono en el flujo gaseoso. En ese mismo punto, en la interfase, en el líquido, se tiene una fracción mol del anhídrido de 0,005, que corresponde a una presión parcial de 0,83 MPa, al equilibrio, de dicha sustancia en el aire. Calcule el flujo, local (en ese punto) de la masa del anhídrido carbónico.
Capítulo 13 Flujo en conductos 588 G. Chacón V.
Respuesta 13.17 Nomenclatura A = CO2 B = aire Consideraciones, las del modelo de transferencia de
masa en conductos y se usan las propiedades de la mezcla gaseosa, como las ponderadas con los valo-res correspondientes a las sustancias puras.
Datos conocidos, interpolando (Welty, Perry) para una composición promedio T : temperatura 298 K P : presión 10 atm 1,01 MPa v : velocidad 1 m/s D : diámetro del conducto 0,508 m PA
* : presión parcial del CO2 en equilibrio con la fase líquida 0,83 MPa yAG : composición del CO2 en el seno de la corriente 0,1 f.m. *
AAi PP
82,0Pa 5E01325,1atm 10
Pa 5E3,8*
PP
PPy AAi
Ai
46,02
82,010,02
AiAGAM
yyy Densidad
atm 1atm 10kg/m 54,01842,146,0786,1 3
: densidad a 10 atm 14,6 kg/m3 Viscosidad s mg/m 54,038,1846,0896,14 : viscosidad 16,8 mg/m s DABP: ifusividad CO2 en el aire 1,57 Pa m2/s
Fenómenos de Trasporte 589 G. Chacón V.
Balance de masa local, AGAiyA yykN i ) Velocidad m/s 1 vv ii ) Número de Reynolds
vDRe
53
103,4s kg/m 5E68,1kg/m 6,14m/s 1m 508,0
Re
Flujo turbulento iii ) Número de Schmidt.
ABD
Sc
74,0/sm Pa 57,1kg/m 6,14Pa 6E01,1s kg/m 5E68,1
23
Sc
iv ) Coeficiente de transferencia de masa
P
TRD
DkD
DkScReSh
AB
y
AB
C
3183,0023,0
3183,0 74,05E3,4023,0yk
Pa 6E01,1K 298K J/mol 51314,8m 5080
Pa 6E01,1/sm Pa 57,1 2
,
s mol/m 2,1 2yk El flujo de masa de CO2 local entre el agua y el aire AGAiyA yykN
1,082,0s m
mol 2,1 2 AN
Capítulo 13 Flujo en conductos 590 G. Chacón V.
El flujo de masa de anhídrido carbónico transferido en ese punto (local) entre la solución acuosa y la gaseosa, es s mol/m 9,0 2AN 13.17 Ejemplo 13.18 Coeficiente local de transferencia de
masa Una tubería de 4 Céd 40 de diámetro, que se ha lavado, se seca mediante una corriente de aire. La tubería es de acero comercial muy usado. El flujo de aire es de 0,10 m3/s. En un punto dado la temperatura es de 20 C, la presión de 1,5 atm y la humedad es de 10% de la saturación. Considerando que la película en la pared es agua pura, calcule la transferencia local de la masa del agua al aire. Desprecie el efecto de la evaporación en la temperatura del sistema. Datos conocidos, interpolando: T : temperatura 293 K P : presión 1,5 atm 152 kPa : densidad del aire 1,5 atm 1,807 kg/m3
1,205 kg/m3 a 1 atm - Interpolación gas perfecto o ideal : viscosidad del aire 18,13 mg/m s DABP: difusividad del agua en el aire
T DABP K Pa m2/s
273 2,229 Perry 298 2,634 Welty 293 2,55
PA0 : presión de vapor o de saturación
del agua 2,339 kPa V : flujo volumétrico 0,1 m3/s D : diámetro del conducto 0,1023 m yAi : composición en la interfase ¿? yAG : composición en la corriente ¿?
Fenómenos de Trasporte 591 G. Chacón V.
Respuesta 13.18 Consideraciones, las del modelo de transferencia de
masa en conductos y se usan las propiedades del aire, seco, como si fuesen las de la mezcla aire agua.
Balance de masa local, AGAiyA yykN i ) Velocidad
m/s 12m 1023,0/sm 1,044
2
3
21
D
Vvv
ii ) Número de Reynolds
DVvDRe4
3 3
54 0,1 m /s 1,807 kg/m 1, 24 100,1023 m 1,813E 5 kg/m s
Re
Flujo turbulento iii ) Número de Schmidt.
60,0/sm Pa 55,2kg/m 807,1Pa 3E152s kg/m 5E813,1
23
ABDSc
iv ) Coeficiente de transferencia de masa 3183,0023,0 ScReSh
P
TRD
DkD
DkShAB
y
AB
C
0,83 1 3 20,023 1, 24 E 5 0,60 2,55 Pa m /s
0 1023 m 8,31451 J/mol K 293 Kyk,
s mol/m 3,3 2yk
Capítulo 13 Flujo en conductos 592 G. Chacón V.
El flujo de masa local entre el agua y el aire La composición del agua en la interfase, en la fase gaseosa, por ser agua “pura”, en la fase líquida, se considera la saturación, por las leyes de Roult y Dalton
0
* AAi
Py yP
f.m. 0154,0kPa 152kPa ,3392
Aiy
Composición del agua en el seno del aire, 10 % saturado
PPy A
AG
0
1,0
f.m. 00154,0kPa 152kPa ,33921,0 AGy
El flujo de masa de agua transferido al aire, es AGAiyA yykN
mol mmol 1E30015,00154,0
s mmol 3,3 2 AN
El flujo de masa de agua transferido en ese punto (local) es s mmol/m 46 2AN 13.18
Fenómenos de Trasporte 593 G. Chacón V.
Ejemplo 13.19 Tubo de diálisis Se propone separar etanol de una solución acuosa con proteínas. Para lo cual, se introduce la mezcla dentro de un conducto al que atraviesa. El tubo es de material semipermeable ( 0,1 mm) de 20 mm de diámetro externo, 1,55 mm de espesor y 0,5 m de largo. Dentro del cual, se hace pasar agua, que entra pura, a razón de 30 L/h. Si se considera que la concentración en la pared interna del tubo, es de 30 % (en peso) de etanol y se mantiene constante, aproximadamente, a lo largo del mismo, estime la concentración a la salida del conducto. Datos conocidos, a 25 C: T : temperatura 298 K : densidad del agua 997 kg/m3 : viscosidad del agua 0,893 g/m s Pr : No. de Prandtl del agua 6,12 V : flujo volumétrico 0,03 m3/h L : longitud del conducto 0,5 m D1 : diámetro del interno del conducto 0,0169 m : valor de las asperezas 0,1 mm ky : coeficiente de transferencia de masa del etanol ¿? xW : concentración del etanol en la pared 30 % p.p. x0 : concentración del etanol a la entrada 0 xL : concentración del etanol a la salida ¿?
14,0015,187,0069,463,0
069,463,0
Wx
Difusividad del etanol en agua a 25 C
x DAB
f.m. m2/s109 kg/m3
0,000 1,28 997,0 0,050 1,13 977,7 0,275 0,41 911,5 0,500 0,90 858,8 0,700 1,40 824,9 0,950 2,20 791,2
Capítulo 13 Flujo en conductos 594 G. Chacón V.
Respuesta 13.19 Consideraciones, las del modelo de transferencia de
masa en conductos y se usan las propiedades del agua como si fuesen las de la mezcla alcohol agua.
Balance de masa de una sustancia, (Ec. 13.15)
DL
ScReSh
DL
vk
CCCC L
AAs
ALAs
0
ln41
Resolviendo, La concentración logarítmica media del conducto, no funciona en este caso, a pesar de que el fenómeno presenta comporta-iento logarítmico para la concentración. Como primera iteración se toma la concentración a la salida, como f.m 05,0Lx
025,02
005,0
AMx
Del cuadro
/sm 1021,1 29ABD
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Concentración, fración mol
Difu
sivi
dad
700
800
900
1000
Den
sida
d
m2/s109 kg/m3
Fenómenos de Trasporte 595 G. Chacón V.
i ) Velocidad
24
DV
Amvv
m/s 037,0
s 3600h 1
m 0169,0/hm 03,04
2
3
v
ii ) Número de Reynolds
DVvDRe4
s 3600
h 1s kg/m 4E93,8m 0169,0
kg/m 997/hm 03,04 33
Re
701Re Flujo laminar iii ) Número de Schmidt.
740/sm 9E21,1kg/m 979
s kg/m 3E893,023
ABD
Sc
iv ) Coeficiente de transferencia de masa Como no existe relación para el número de Sherwood, para flujos en régimen laminar, se emplea el principio de analogía entre los procesos de transferencia de Chilton Colburn Reynolds
31318 ScReSh
PrReNufD
Usando 3186,1 LDPrReNu Al sustituirla queda 3186,1 LDScReSh
Capítulo 13 Flujo en conductos 596 G. Chacón V.
iv ) Conclusión.
DL
LD
ScReScRe
CCCC
AAW
ALAW3131
0
86,14ln
320
44,7lnLDScReCC
CCAAW
ALAW
Despejando para xAL CALCL
32044,7exp
LDScRexxxx AAWAWAL
Con los valores
32m 5,0m 0169,0740701
44,7exp014,014,0ALx
f.m 00159,0ALx La concentración a la salida del conducto es 0,00159 f.m.ALx 13.19 “Refinando” el resultado, no afecta apreciablemente el valor de DAB La transferencia de masa de alcohol en el sistema
ALAALAA xxM
VCCVM 00
3 3m 997 kg/m0,03 0,00159 0 f.m.
h 46,069 kg/kmolAM
kmol 1
mmol 6E1s 6003
h 1
El flujo de masa del etanol es mmol/s 28,0AM 13.19
Escuela de Ingeniería Química Facultad de Ingeniería Universidad de Costa Rica
Apuntes de clase sobre FENÓMENOS DE TRANSPORTE
Cantidad de movimiento, calor y masa
CUADROS CARACTERÍSTICAS DE LOS CUADROS - Son para apoyo didáctico y para las evaluaciones - Están incompletos (el usuario debe completarlos
para otros usos) - Las fórmulas y otros relaciones para el cálculo de
parámetros y propiedades son las que tienen apoyo teórico, no pretenden ser las más exactas (el lector puede usar otras, más “modernas”).
Gerardo Chacón Valle
2012
Fenómenos de Transporte 598 G. Chacón V.
Cuadro 1 Relaciones geométricas para cuerpos homogéneos
Prisma rectangular
Área transversal dwAx Superficie lateral hdwS yz 2
Momento de inercia (área) 3121 wdI x wdI y 3
121
Volumen hwdV Momento de inercia (masa) 22
121 dwmJ z
Cilindro
Área transversal 2
41 DAz
Superficie lateral hDS Momento de inercia (área) 4
641 DII yx
Volumen hDV 241
Momento de inercia (masa) 281 DmJ z
y
h z
D x
h
d
w z
y
x
Fenómenos de Transporte 599 G. Chacón V.
Cilindro Hueco
Área transversal 22
41 1 DAz
Superficie lateral hDS 1 Momento de inercia (área) 44
641 1 DII yx
Volumen hDV 22
41 1
Momento de inercia (masa) 2281 1 DmJ z
Cono
Área transversal 2rAz
Superficie lateral 22 zrrS
Relación (Thales) h
Dzr
2
Momento de inercia (área) 4641 DII yx
Volumen hDV 2121
Momento de inercia (masa) 2403 DmJ z
Esfera
z0
h z
y
x D
r
zh
D D
h z
y
x
Fenómenos de Transporte 600 G. Chacón V.
Área transversal 24 rAr Volumen 3
61 DV
Momento de inercia (masa) 2101 DmJr
Esfera hueca
Área transversal 24 rAr Volumen 33
61 1 DV
Momento de inercia (masa)
23
5
101
11 DmJ r
Concha esférica ( 1 ) 261 mDJr
x
z
y
D D
r
y
z
D x
r
Fenómenos de Transporte 601 G. Chacón V.
Cuadro 2 Propiedades moleculares de las sustancias
(R.A. Svehla 1962)
Sustancia Fórmula M K nm
01 Helio-4 He 4,003 10,22 0,2551 02 Neón Ne 20,180 32,8 0,2820 03 Argón Ar 39,948 93,3 0,3542 04 Criptón Kr 83,800 178,9 0,3655 05 Xenón Xe 131,300 231,0 0,4047 06 Aire 28,95 78,6 0,3711
07 Oxígeno O2 31,999 106,7 0,3467 08 Nitrógeno N2 28,014 71,4 0,3798 09 Flúor F2 37,997 112,6 0.3357 10 Cloro Cl2 70,905 316,0 0,4217 11 Bromo Br2 159,808 507,9 0,4296 12 Iodo I2 253,808 474,2 0,5160
13 Hidrógeno H2 2,016 59,7 0,2827 14 Ácido cianhídrco HCN 27,026 569,1 0,3630 15 Ácido clorhídrico HCl 36,461 344,7 0,3339 16 Ácido fluorhídrico HF 20,006 330 0,3148 17 Ácido bromhídrico HBr 80,912 449 0,3353 18 Ácido yodhidrico HI 127,912 288,7 0,4211
19 Agua H2O 18,015 809,1 0,2641 20 Peróxidohidrógeno H2O2 34,01 289,3 0,4196 21 Ácido sulfhídrico H2S 34,082 301,1 0,3623 22 Amoniaco NH3 17,031 558,3 0,2900 23 Hidrazina N2H4 32,045 24 Arsina AsH3 77,93 259,8 0,4145
25 Fosfina PH3 34,00 251,5 0,3981 26 Hidruro de silicio SiH4 32,09 207,6 0,4084 27 Óxido nitroso N2O 44,013 232,4 0,3828 28 Óxido de nítrico NO 30,006 116,7 0,3492 29 Cloruro de nitrosilo NOCl 65,459 395,3 0,4112 30 Dióxidonitrógeno NO2 46,006
Fenómenos de Transporte 602 G. Chacón V.
Cuadro 2. (Cont.) Propiedades moleculares de las sustancias Sustancia Fórmula M K nm 31 Dióxido de azufre SO2 64,065 335,4 0,4112 32 Trióxodo de azufre SO3 80,064 33 Monóxidocarbono CO 28,010 91,7 0,3690 34 Dióxido de carbono CO2 44,010 195,2 0,3941 35 Sulfurocarbonilo COS 60,070 336,0 0,4130 36 Formaldehído CH2O 30,026
37 Cloruro de boro BCl3 117.169 337,7 0,5127 38 Floruro de boro BF3 67,805 186,3 0,4198 39 Borato de metilo BC3H6O 68,89 396,7 0,5503 40 Mercurio Hg 200,590 750 0,2969 41 Bromuro mercúrico HgBr2 360,44 686,2 0,5080 42 Cloruro mercúrico HgCl2 271,52 750 0,4550
43 Yoduro mercúrico HgI2 327,53 695,6 0,5625 44 Hexafloruroazufre SF6 164,050 222,1 0,5128 45 Tetraflorur silicio SiF4 104,060 171,9 0,4880 46 Bromuro estánico SnBr4 483,306 563,7 0,6388 47 Cloruro estánico SnCl4 260,502 48 Hexaflorurouranio UF6 236,8 0,5967
49 Ácido fórmico CH2O2 46,026 50 Bromuro de metilo CH3Br 94,939 449,2 0,4118 51 Cloruro de metilo CH3Cl 50,488 350 0,4182 52 Metano CH4 16,043 148,6 0,3758 53 Metanol CH4O 32,042 481,8 0,3626 54 Tetraclorocarbono CCl4 153,822 322,7 0,5947
55 Tetrafluorcarbono CF4 88,005 134,0 0,4662 56 Fosgeno COCl2 98,916 57 Disulfurocarbono CS2 76,143 467 0,4483 58 Cloroformo CHCl3 119,377 340,2 0,5389 59 Tricloetileno C2HCl3 131,389 60 Clorurometileno CH2Cl2 84,933 356,3 0,4898
Fenómenos de Transporte 603 G. Chacón V.
Cuadro 2. (Cont.) Propiedades moleculares de las sustancias Sustancia Fórmula M K nm 61 Cianógeno C2N2 52,036 348,6 0,4361 62 Acetileno C2H2 26,038 231,8 0,4033 63 Etileno C2H4 28,054 224,7 0,4163 64 Acetaldehído C2H4O 44,053 65 Metil formato C2H4O2 60,053 66 Ácido acético C2H4O2 60,053
67 Cloruro de etilo C2H5Cl 64,514 300 0,4898 68 Etano C2H6 30,070 215,7 0,4443 69 Etanol C2H6O 46,069 362,6 0,4530 70 Éter metílico C2H6O 46,069 395,0 0,4307 71 Etilen amina C2H7N 45,084 72 Metil acetileno C3H4 40,065 251,8 0,4761
73 Propileno C3H6 42,081 298,9 0,4678 74 Ciclopropano C3H6 42,081 248,9 0,4807 75 Acetona C3H6O 58,080 560,2 0,4600 76 Acetato de metilo C3H6O2 74,079 469,8 0,4936 77 Propano C3H8 44,097 237,1 0,5118 78 Alcohol n propílico C3H8O 60,096 576,7 0,4549
79 1-3 butadieno C4H6 54,092 80 Acetato de etilo C4H8O2 88,106 521,3 0,5205 81 n Butano C4H10 58,123 531,4 0,4687 82 Isobutano C4H10 58,123 330,1 0,5278 83 Éter etílico C4H10O 74,123 313,8 0,5678 84 Dietil amina C4H11N 73,138
85 n Pentano C5H12 72,150 341,1 0,5784 86 2-2 Dimetil propano C5H12 72,150 193,4 0,6464 87 Benceno C6H6 78,114 412,3 0,5349 88 Ciclohexano C6H12 84,161 297,1 0,6182 89 n Hexano C6H14 86,177 399,3 0,5949 90 Tolueno C7H8 92,141
Fenómenos de Transporte 604 G. Chacón V.
Cuadro 3. Propiedades críticas de las sustancias (!)
Fórmula TC PC ZC Tb Vb K MPa K m3/kmol
01 He 5,2 0,23 0,305 -0,388 4,21 0,0685 02 Ne 44,4 2,67 0,300 -0,038 27.1 0,0168 03 Ar 150,9 4,90 0,292 0,000 87,3 0,0284 04 Kr 209,4 5,50 0,288 -0,002 119,8 0,0347 05 Xe 289,7 5,84 0,286 0,002 165,0 0,0447 06 Aire 132,5 3,79 0,318
07 O2 154,6 5,02 0,287 0,020 90,2 0,0282 08 N2 126,2 3,39 0,288 0,037 77,4 0,0347 09 F2 144,1 5,17 0,287 0,053 85,0 0,0252 10 Cl2 417,2 7,79 0,279 0,073 239,0 0,0454 11 Br2 584,2 10,28 0,286 0,128 331,9 0,0536 12 I2 819 11,7 0,266 0,229 457,5 0,0715
13 H2 33,2 1,30 0,304 -0,22 20,4 0,0286 14 HCN 456,7 5,35 0,195 0,407 298.9 15 HCl 324,7 8,36 0,253 0,134 188.1 0,0306 16 HF 461,2 6,49 0,117 0,383 292.7 17 HBr 363,2 8,46 0,280 0,069 206,1 18 HI 424,0 8,31 0,309 0,05 237,6
19 H2O 647,1 21,94 0,228 0,343 373,2 0,0188 20 H2O2 728 19,4 0,248 423,4 0,027 21 H2S 373,5 9,00 0,287 0,096 212,8 0,0329 22 NH3 405,7 11,30 0,241 0,253 239,7 0,0250 23 N2H4 653,2 14,73 0,429 0,315 386,7 24 AsH3 218
25 PH3 324 6,48 0,27 188 26 SiH4 269,7 4,86 16127 N2O 309,6 7,28 0,277 0,143 184,2 0,0364 28 NO 180,2 6,52 0,252 0,585 121,4 0,0236 29 NOCl 440 9,1 0,35 0,318 267,7 30 NO2 431,3 10,1 0,86 294,3
(!) Use el cuadro 2 para la nomenclatura de acuerdo con el número.
Fenómenos de Transporte 605 G. Chacón V.
Cuadro 3. (Cont.) Propiedades criticas de las sustancias (!) Fórmula TC PC ZC Tb Vb K MPa K m3/kmol
31 SO2 430,8 7,86 0,269 0,244 263 0,0439 32 SO3 490,9 8,19 0,255 0,423 318 33 CO 132,9 3,49 0,300 0,048 81,7 0,0355 34 CO2 304,2 7,38 0,274 0,225 subli 35 COS 375 5,9 0,26 0,099 222,9 0,0515 36 CH2O 408 6,59 0,223 0,282 254
37 BCl3 452,0 3,87 0,150 285,7 38 BF3 260,8 4,99 0,42 173.3 39 BC3H6O 40 Hg 629,8 0,0157 41 HgBr2 595 42 HgCl2 577
43 HgI2 44 SF6 318,7 3,76 0,281 0,286 209,3 45 SiF4 271,7 5,06 46 SnBr4 47 SnCl4 591,9 3,75 48 UF6
49 CH2O2 588 5,81 0,148 0,317 373,8 50 CH3Br 467 8,00 0,321 0,192 276,7 51 CH3Cl 416,3 6,69 0,275 0,154 249,2 0,0506 52 CH4 190,6 4,59 0,286 0,011 111,7 0,0378 53 CH4O 512,6 8,14 0,224 0,566 337,8 0,0427 54 CCl4 556,4 4,54 0,270 0,191 349,7 0,10
55 CF4 227,6 3,74 0,277 0,191 145,2 0,053856 COCl2 455 5,7 0,28 0,204 280,8 0,0695 57 CS2 552 8,04 0,280 0,118 319,4 58 CHCl3 536,4 5,55 0,296 0,228 334,3 59 CH2Cl2 513 6,10 0,277 0,193 313.0 60 C2HCl3 571 4,91 0,265 0,213 360,4
Fenómenos de Transporte 606 G. Chacón V.
Cuadro 3. (Cont.) Propiedades criticas de las sustancias (!) Fórmula TC PC ZC Tb Vb K MPa K m3/kmol 61 C2N2 400,2 5,94 0,348 0,276 252,5 62 C2H2 308,3 6,15 0,271 0,188 63 C2H4 282,3 5,03 0,283 0,086 169,4 0,0494 64 C2H4O 466 5,57 0,221 0,292 293,6 65 C2H4O2 487,2 5,98 0,255 0,254 304,9 0,0628 66 C2H4O2 592,0 5,74 0.208 0,463 391,1 0,0641
67 C2H5Cl 460,4 5,46 0,221 0,206 285,4 0,0713 68 C2H6 305,3 4,85 0,279 0,098 184,7 0,0522 69 C2H6O 513,9 6,12 0,240 0,643 351,5 70 C2H6O 400,1 5,27 0,271 0,192 248,3 0,0638 71 C2H7N 456,2 5,59 0,298 0,283 289,7 72 C3H4 402,4 5,62 0,276 0,216 250,0
73 C3H6 365,6 4,63 0,286 0,137 225,4 0,0689 74 C3H6 397,9 5,51 0,277 0,264 240,4 75 C3H6O 508,2 4,71 0,234 0,307 329,4 0,0775 76 C3H6O2 506,6 4,69 0,256 0,326 330,1 77 C3H8 369,8 4,21 0,273 0,149 231.1 0,075 78 C3H8O 536,8 5,12 0,252 0,617 370,4 0,0818
79 C4H6 425,2 4,30 0,268 0,192 268,7 0,0832 80 C4H8O2 523,3 3,85 0,254 0,363 350,3 0,106 81 C4H10 425,2 3,77 0,272 0,197 272,7 0,0967 82 C4H10 408.1 3,62 0,278 0,177 261,3 0,0979 83 C4H10O 466,7 3,64 0,264 0,281 307,7 84 C4H11N 496.6 3,67 0,268 0,300 328,6 0,109
85 C5H12 469,7 3,36 0,271 0,251 309,2 86 C5H12 433,8 3,20 0,269 0,197 282,687 C6H6 562,2 4,88 0,273 0,209 353,3 0,096 88 C6H12 553,6 4,10 0,274 0,212 353,9 0,117 89 C6H14 507,6 3,04 0,269 0,304 341,9 90 C7H8 591,8 4,10 0,262 0,262 383,8 0,118
Fenómenos de Transporte 607 G. Chacón V.
Cuadro 4 Integral de colisión para viscosidad y difusividad, basada
en los potenciales de Lennard Jones. (Hirschfelder, Curtis & Bird, 1954)
T/ D T/ D T/ D 0,30 2,785 2,662 1,65 1,264 1,153 4,0 0,9700 0,88360,35 2,628 2,476 1,70 1,248 1,140 4,1 0,9649 0,87880,40 2,492 2,318 1,75 1,234 1,128 4,2 0,9600 0,87400,45 2,368 2,184 1,80 1,221 1,116 4,3 0,9553 0,8694
0,50 2,257 2,066 1,85 1,209 1,105 4,4 0,9507 0,86520,55 2,156 1,966 1,90 1,197 1,094 4,5 0,9464 0,86100,60 2,065 1,877 1,95 1,186 1,084 4,6 0,9422 0,85680,65 1,982 1,798 2,0 1,175 1,075 4,7 0,9382 0,8530
0,70 1,908 1,729 2,1 1,156 1,057 4,8 0,9343 0,84920,75 1,841 1,667 2,2 1,138 1,041 4,9 0,9305 0,84560,80 1,780 1,612 2,3 1,122 1,026 5 0,9269 0,84220,85 1,725 1,562 2,4 1,107 1,012 6 0,8963 0,8124
0,90 1,675 1,517 2,5 1,093 0,9996 7 0,8727 0,78960,95 1,629 1,467 2,6 1,081 0,9878 8 0,8538 0,77121,00 1,587 1,439 2,7 1,069 0,9770 9 0,8379 0,75561,05 1,549 1,406 2,8 1,058 0,9672 10 0,8242 0,7424
1,10 1,514 1,375 2,9 1,048 0,9576 20 0,7432 0,66401,15 1,482 1,346 3,0 1,039 0,9490 30 0,7005 0,62321,20 1,452 1,320 3,1 1,030 0,9406 40 0,6718 0,59601,25 1,424 1,296 3,2 1,022 0,9328 50 0,6504 0,5756
1,30 1,399 1,273 3,3 1,014 0,9256 60 0,6335 0,55961,35 1,375 1,253 3,4 1,007 0,9186 70 0,6194 0,54641,40 1,353 1,233 3,5 ,9999 0,9120 80 0,6076 0,53521,45 1,333 1,215 3,6 ,9932 0,9058 90 0,5973 0,5256
1,50 1,314 1,198 3,7 0,9870 0,8998 100 0,5882 0,51301,55 1,296 1,182 3,8 0,9811 0,8942 200 0,5320 0,46441,60 1,279 1,167 3,9 0,9755 0,8888 400 0,4811 0,4170
= T/ 1,16145 ()-0,14874 + 0,52487 exp(-0,77320 ) + 2,16178 exp(-2,43787 ) 1,604 ()-1/2 D 1,06036 ()-0,15610 + 0,19300 exp(-0,47635 ) + 1,03587 exp(-1,52996 ) + 1.76474 exp(-3,89411 )
Fenómenos de Transporte 608 G. Chacón V.
Cuadro 5 Constantes fundamentales
Gravedad estándar g 9,806 65 m/s2 Atmósfera estándar PStd 101 325 Pa Temperatura estándar TStd 273,15 K Cte. Univ. gases R 8,314 51 kJ/kmol K Pto. triple agua Tw 273,16 K Vol. Std. del gas V Std 22,414 1 m3/kmol Dens. std. Agua 4 C Std 999,9720 kg/m3
Dens. std. Agua 60 °F Std 999,0121 kg/m3
Velocidad luz c 2,997 925 E 8 m/s No. Avogadro N 6,022 137 E 26 1/kmol Cte. Boltzmann k 1,380 66 E-23 J/K Cte. Planck h 6,626 076 E-34 J s Cte. Stefan-Boltzmann 5,6705 E-8 W/m2K4 Carga electrón e 1,602 177 E-19 A s Cte. de Faraday F 9,648 531 E 4 A s/mol
Cuadro 6 Densidad relativa o gravedad específica de fluidos
normalmente usados como líquidos manométricos a 20 C/4 C
g.e. / D.R.
Aceite azul E. V. Hill 0,797 Aceite rojo Meriam 0,927 Aceite azul Meriam, Bromoetilbenceno 1,75
Benceno 0,879 Dibultilftalato 1,04 Monocloronaftaleno 1.20
Tetracloruro de carbono 1,595 Tetrabromo metano 2,95 Mercurio 13,545 87 Mercurio 4 C 13,585 21 Mercurio 0 C 13,595 08 Mercurio 25 C 13,533 61
Fenómenos de Transporte 609 G. Chacón V.
Cuadro 7 Propiedades de metales a 300 K
Sustancia C TMP hI Mg/m3 J/kg K mm2/s K kW/
m2 K 01 Hierro Puro 7,870 447 22,8 1810 02 Hierro Armco, forjado 7,870 447 20,7 03 Acero al carbono 1010 7,830 434 18,8 04 Acero inoxidable 18-8 8,055 480 3,88 05 Acero inoxidable 304 7,900 477 3,98 1670 1,9 06 Acero inoxidable 316 8,238 468 3,37 3,8
07 Aluminio puro 2,702 903 97,1 933 11 08 Duraluminio 2,770 875 71,8 775 09 Aluminio-195, 4,5 Cu 2,790 883 68,1 10 Silumino 1,0 Cu 2,650 867 5,93 11 Alusil Al-Si 2,627 854 7,17 12 Al-Mg-Si 2,707 892 7,31
13 Cobre puro 8,933 385 117 1358 25 14 Cobre electrolítico 8,950 385 112 15 Bronce 8,800 420 14,1 1293 16 Latón 8,530 380 34,2 118817 Plata alemana 8,618 410 32,8 18 Constantán 40 Ni 8,92 420 6,06
19 Niquel puro 8,90 444 23,0 1728 20 Inconel X-750 8,51 439 3,13 1665 21 Hasteloy B 9,24 381 3,47 22 Cuproníquel 8,80 421 5,26 23 Platino puro 21,45 133 25,1 2045 24 Platino 40 Rh 16,63 162 174 1800
25 Oro 19,30 129 127 1336 26 Plata 10,50 235 174 1235 27 Cinc 7,14 389 41,6 693 28 Estaño 7,31 227 40,1 505 29 Magnesio 1,74 1024 87,6 929 30 Plomo 11,34 129 24,1 601
Fenómenos de Transporte 610 G. Chacón V.
Cuadro 8 Conductividad térmica de metales
T, K 200 300 400 600 800 1000 1200 Sustancia W/m K
01 Hierro Puro 83 71 66 53 42 37 35 02 Hierro Arm. 81 73 66 53 42 32 29 03 Acero C 1010 64 59 49 39 31 04 Acero in.18-8 15 17 20 23 25 05 Acero in. 304 13 15 17 20 23 25 06 Acero in. 316 13 15 18 21 24 07 Aluminio puro 237 237 240 231 218 08 Duraluminio 138 174 187 188 09 Aluminio-195 136 168 174 185 10 Silumino Cu 125 140 146 163 11 Alusil Al-Si 148 160 170 179 12 Al-Mg-Si 179 193 13 Cobre puro 413 401 393 379 366 352 339 14 Cobre electr. 15 Bronce 42 52 52 16 Latón 74 111 134 146 150 17 Plata alemana 116 135 147 18 Constantán 21 21 23 19 Niquel puro 105 91 80 66 68 72 76 20 Inconel X-750 10,3 11,7 13,5 17,0 20,5 24,0 27,6 21 Hasteloy B 9 10 11 22 Cuproníquel 23 Platino puro 73 72 72 73 76 79 83 24 Platino 40 Rh 25 Oro 323 317 311 298 284 270 255 26 Plata 420 429 425 412 396 379 361 27 Cinc 123 120 116 110 28 Estaño 73 67 62 29 Magnesio 159 156 153 149 146 30 Plomo 37 35 34 31
Fenómenos de Transporte 611 G. Chacón V.
Cuadro 9 Conductividad térmica de materiales inorgánicos
Refractarios C k T, K 300 400 600 800 1000 1300
Mgm
kJkgK
WmK
Ladrillo diatomea Cocido a 1330 C 2,0 0,86 1,04 1,06 1,08
Ladrillo diatomea Cocido a 1450 C 2,3 1,29 1,35 1,39
Missouri 2,6 0,90 1,39 1,67Magnesita 2,53 0,98 4,0 3,03 2,15Arcilla 2,65 0,938 0,9 1,4 1,8Sílica 1,32 1,52 1,87 2,22 2,60 Materiales varios C k
T, K 300 50 100 200 300 400
Pyrex 2,64 0,84 0,38 0,57 0,88 1,1 1,6PTFE teflón 2,20 1,05 0,32 0,62 1,00 0,35 0,45Hule caucho 1,23 1,74 0,14 0,17 0,20 0,22 0,24Concreto 2,31 0,65 0,93 - 1,41 Vidrio fundido 2,22 0,745 1,38Madera 0,5 2,6 0,10 - 0,35
Aislantes C k T, K 300 250 300 350 400 450
kg/m3 Magnesia 85% 270 0,98 0,066 0,069 0,073 0,077Poliestireno 30-60 1,21 0,023 0,028 0,033Fibra de vidrio 28 0,835 0,038 0,051 0,066Fibra de vidrio 40 0,026 0,035Vidrio celular 145 0,050 0,058 0,069Corcho 160 1.68 0,043Espuma uretano (1) 70 0,026 0,035Asbestos 0,58 1,05 0,162 0,197Celulosa 0,045 1,34 0,030 (1) Espuma de poliuretano con superficie externa aluminada
Fenómenos de Transporte 612 G. Chacón V.
Cuadro 10 Propiedades de agua líquida saturada
T CP k Pr (+) Pvap C kg/m3 kJ/kg K g/m s W/m K (1/K)103 Pa kJ/kg
0 999,8396 4,2177 1,791 0,563 13,42 -0,067 6,113 102 2501 2 999,9399 4,211 1,673 0,567 12,43 -0,033 7,056 102 2497 4 999,9720 4,205 1,568 0,571 11,55 0,002 8,131 102 2492 6 999,9399 4,200 1,473 0,575 10,76 0,032 9,349 102 2484 8 999,8477 4,196 1,387 0,579 10.05 0,060 1,0721 103 2482
10 999,6987 4,1922 1,309 0,583 9,41 0,089 1,2276 103 2478 15 999,0977 4,1858 1,141 0,592 8,07 0,151 1,7051 103 2466 20 998,2019 4,1819 1,006 0,602 6,99 0,206 2,339 103 2454 25 997,0429 4,1796 0,893 0,610 6,12 0,257 3,169 103 2442 30 995,6454 4,1785 0,800 0,618 5,41 0,303 4,246 103 2430
35 994,0296 4,1782 0,721 0,625 4,82 0,346 5,628 103 2419 40 992,2136 4,1786 0,654 0,632 4,32 0,384 7,384 103 2407 45 990,213 4,1795 0,598 0,638 3,92 0,42 9,593 103 2395 50 988,037 4,1807 0,549 0,644 3,56 0,45 1,2349 104 2382 55 985,696 4,1824 0,507 0,649 3,27 0,49 1,5758 104 2371
60 983,200 4,1844 0,470 0,655 3,00 0,52 1,9940 104 2358 70 977,771 4,1896 0,407 0,664 2,57 0,58 3,119 104 2334 80 971,799 4,1964 0,356 0,671 2,23 0,64 4,739 104 2309 90 965,321 4,2051 0,317 0,677 1,97 0,69 7,014 104 2283
100 958,365 4,2160 0,282 0,681 1,75 0,75 1,01325 105 2257
110 951,0 4,229 0,256 0,685 1,58 0,84 1,4327 105 2230 120 943,4 4,244 0,233 0,686 1,44 0,89 1,9853 105 2203 130 934,9 4,263 0,213 0,687 1,32 0,94 2,701 105 2174 140 926,2 4,285 0,195 0,687 1,22 1,00 3,613 105 2145 150 917,0 4,311 0,184 0,686 1,16 1,03 4,758 105 2114
160 907,5 4,341 0,172 0,684 1,09 1,04 6,178 105 2083 180 886,8 4,41 0,154 0,675 1,01 1,15 1,0021 106 2015 200 863,7 4,50 0,139 0,664 0,94 1,3 1,5538 106 1941 220 839 4,62 0,126 0,652 0,89 1,5 2,318 106 1858 240 812 4,76 0,116 0,63 0,88 1,7 3,344 106 1767
260 784 4,97 0,108 0,61 0,88 2,0 4,688 106 1662 280 751 5,28 0,101 0,58 0,92 2,6 6,412 106 1543 300 712 5,76 0,094 0,54 1,00 3,0 8,581 106 1405 320 667 6,58 0,084 0,51 1,08 4,2 1,1274 107 1238 340 610 8,19 0,075 0,46 1,34 5,7 1,459 107 1027
350 574 9,70 0,071 0,43 1,60 6,5 1,651 107 893 360 528 14,6 0,065 0,40 2,4 18 1,865 107 720 374,15 306,75 0,045 0,24 2,21297 107 (+) En este y los otros cuadros 10n, significa que toda la columna está multi-plicada por dicha cantidad, Ej.: para 180 C se lee = 1,1510-3 1/K
Fenómenos de Transporte 613 G. Chacón V.
Cuadro 11 Propiedades del etilen glicol líquido saturado
T CP k Pr (+) C Mg/m3 kJ/kg K mm2/s W/m K (1/K)104
0 1,129 2,283 54,05 0,248 562 6,5
10 1,122 2,333 31,47 0,250 329 20 1,115 2,382 18,66 0,253 196 6,5 30 1,108 2,430 12,51 0,255 132 40 1,100 2,479 8,49 0,258 89,9
50 1,093 2,527 6,45 0,259 68,8 60 1,086 2,574 4,22 0,260 45,4 80 1,074 2,668 2,89 0,261 31,7
100 1,057 2,761 1,96 0,263 21,8 6,5
Cuadro 12
Propiedades del tolueno líquido saturado
T CP k Pr Pvap C kg/m3 kJ/kg K g/m s W/m K kPa kJ/kg
-20 904 1,579 1,100 0,144 12,06 0,22-10 895 1,602 0,915 0,142 10,32 0,45
0 885 1,640 0,768 0,140 9,03 0,92 427,110 876 1,659 0,669 0,137 8,09 1,66 421,220 867 1,682 0,589 0,135 7,36 2,91 415,3
30 858 1,710 0,521 0,132 6,74 4,88 409,540 848 1,74 0,468 0,130 6,30 9,04 403,650 839 1,77 0,420 0,127 5,89 16,58 397,660 829 1,81 0,381 0,125 5,53 18,47 391,670 820 1,84 0,352 0,123 5,28 27,10 385,980 810 1,88 0,322 0,120 5,06 38,75 379,8
100 790 1,97 0,270 0,115 4,64 74,03 367,2120 769 2,06 0,294 0,111 5,45 131,00 354,1140 748 2,14 0,199 0,107 3,99 216,5 339,9160 726 2,22 0,102 341,3 324,9180 702 2,29 0,098 514,5 308,9
200 676 2,36 0,093 746,9 291,6240 617 2,50 0,083 1438 253,5280 537 2556 200,6300 476 3262 154,7
Fenómenos de Transporte 614 G. Chacón V.
Cuadro 13 Propiedades del aceite para motor SAE 50 (sin uso)
T CP k Pr(+) (+) C kg/m3 kJ/kg K mm2/s W/m K 10-3 (1/K)104
0 899,12 1,796 4280 0,147 47,1 7,0
20 888,23 1,880 900 0,145 10,4 7,0 40 876,05 1,964 240 0,144 2,87 60 864,04 2,047 83,9 0,140 1,05 80 852,02 2,131 37,5 0,138 0,49
100 840,01 2,219 20,3 0,137 0,276 120 828,96 2,307 12,4 0,135 0,175 140 816,94 2,395 8,0 0,133 0,116 160 805,89 2,483 5,6 0,132 0,084 7,0
(+) En este y los otros cuadros 10n, significa que toda la columna está multi-plicada por dicha cantidad, Ej.: para 80 C se lee Pr = 4,9102 1/K
Cuadro 14 Propiedades de la glicerina
T CP (+) k Pr (+) (+) C Mg/m3 kJ/kg K (m2/s)103 W/m K 10-3 (1/K)104
0 1,2760 2,261 8,87 0,282 90,7
10 1,2701 2,319 3,07 0,284 31,8 4,7 20 1,2626 2,389 1,18 0,285 12,5 30 1,2565 2,426 0,50 0,286 5,33 4,8 40 1,250 2,484 0,22 0,287 2,38
50 1,243 2,544 0,15 0,288 1,65 5,0 60 2,548 0,289 70 2,588 0,291 80 2,625 0,293 90 2,657 0,294
100 2,686 0,295
(+) En este y los otros cuadros 10n, significa que toda la columna está multi-plicada por dicha cantidad, Ej.: para 10 C se lee = 3,0710-3 m2/s
Fenómenos de Transporte 615 G. Chacón V.
Cuadro 15 Propiedades del aire a baja presión
T (*) CP k Pr g 2/2 K kg/m3 kJ/kg K mg/m s mW/m K 1/(m3 K) 100 3,6010 1,0266 6,924 9,246 0,7688 2,652 1010 150 2,3675 1,0099 10,283 13,735 0,7561 3,466 109 200 1,7684 1,0061 13,289 18,09 0,7391 8,683 108 250 1,4128 1,0053 15,99 22,27 0,7219 3,062 108
273 1,2931 1,0056 17,17 24,13 0,7157 2,037 108 298 1,1842 1,0062 18,38 26,10 0,7086 1,366 108 300 1,1772 1,0063 18,46 26,24 0,7081 1,329 108 325 1,0862 1,0076 19,63 28,16 0,7022 9,244 107
350 0,9980 1,0090 20,75 30,03 0,6972 6,482 107 375 0,9412 1,0116 21,85 31,86 0,6937 4,854 107 400 0,8826 1,0140 22,86 33,65 0,6889 3,655 107 425 0,8304 1,0176 23,88 35,39 0,6866 2,791 107
450 0,7833 1,0207 24,84 37,07 0,6840 2,167 107 475 0,7429 1,0255 25,78 38,77 0,6819 1,714 107 500 0,7048 1,0295 26,71 40,38 0,6810 1,366 107 550 0,6423 1,0392 28,48 43,60 0,6788 9,069 106
600 0,5879 1,0551 30,18 46,59 0,6835 6,202 106 650 0,5430 1,0635 31,77 49,53 0,6822 4,407 106 700 0,5030 1,0752 33,32 52,30 0,6850 3,193 106 750 0,4709 1,0856 34,81 55,09 0,6860 2,393 106
800 0,4405 1,0978 36,25 57,79 0,6886 1,810 106 850 0,4149 1,1095 37,65 60,28 0,6930 1,401 106 900 0,3925 1,1212 38,99 62,79 0,6962 1,104 106 950 0,3716 1,1321 40,23 65,25 0,6980 8,807 105
1000 0,3524 1,1417 41,52 67,52 0,7021 7,064 105 1100 0,3204 1,160 44,4 73,2 0,704 4,64 105 1200 0,2947 1,179 46,8 78,2 0,705 3,23 105 1300 0,2707 1,197 49,3 83,7 0,705 2,27 105
1400 0,2515 1,214 51,7 89,1 0,705 1,66 105 1500 0,2355 1,230 54,1 94,5 0,704 1,24 105 1600 0,2211 1,248 56,3 100 0,704 9,45 104 1700 0,2082 1,267 58,4 105 0,704 7,31 104
(*) está a una atmósfera.
Fenómenos de Transporte 616 G. Chacón V.
Cuadro 15. (Cont.) Propiedades del aire a baja presión T (*) CP k Pr g 2/2 K kg/m3 kJ/kg K mg/m s mW/m K 1/(m3 K)
1800 0,1970 1,287 60,7 111 0,704 5,74 104 1900 0,1858 1,309 62,9 117 0,704 4,50 104 2000 0,1762 1,339 65,1 124 0,704 3,60 104 2100 0,1682 1,372 67,2 131 0,704 2,93 104
2200 0,1602 1,419 69,3 139 0,707 2,38 104 2300 0,1538 1,482 71,4 149 0,710 1,98 104 2400 0,1458 1,574 73,5 161 0,719 1,61 104 2500 0,1394 1,688 75,7 175 0,730 1,33 104
Cuadro 16 Propiedades del hidrógeno a baja presión
T (*) CP k Pr DH2,B K kg/m3 kJ/kg K mg/m s W/m K m2 Pa/s
50 0,5096 10,50 2,52 0,0362 0,721 NH3: 7,74 100 0,2457 11,23 4,21 0,0665 0,712 N2: 6,95 150 0,1637 12,60 5,60 0,0981 0,718 Ar: 7,01 200 0,1227 13,54 6,81 0,1282 0,719 O2: 7,06 250 0,0982 14,06 7,92 0,1561 0,713
273 0,0904 14,46 8,42 0,175 0,696 300 0,0819 14,31 8,96 0,182 0,706 350 0,0702 14,44 9,95 0,206 0,697 400 0,0614 14,49 10,86 0,228 0,690450 0,0546 14,50 11,78 0,251 0,682
500 0,0492 14,51 12,64 0,272 0,675 600 0,0408 14,54 14,29 0,315 0,664 700 0,0349 14,57 15,9 0,351 0,659 800 0.0306 14,67 17,4 0,384 0,664 900 0,0272 14,82 18,8 0,412 0,676
1000 0,0245 14,97 20,2 0,440 0,686 1500 0,0164 16,00 25,6 0,587 0,697 2000 0,0123 17,05 30,9 0,751 0,701
DNH3,B: Difusividad del hidrógeno a 273 K en B
Fenómenos de Transporte 617 G. Chacón V.
Cuadro 17 Propiedades del amoniaco a baja presión
T (*) CP k Pr DNH3,B K kg/m3 kJ/kg K mg/m s W/m K m2 Pa/s 250 0,842 2,20 8,20 0,0198 0,91 Aire: 2,01 273 0,793 2,18 9,35 0,0220 0,90 N2: 2,20 300 0,703 2,20 10,1 0,0246 0,90 O2: 2,31 400 0,520 2,27 13,8 0,0364 0,86 H2: 7,74 500 0,413 2,42 17,6 0,0511 0,83
DNH3,B: Difusividad del amoniaco a 273 K en B
Cuadro 18 Propiedades del oxígeno a baja presión
T (*) CP k Pr DH2,B K kg/m3 kJ/kg K mg/m s W/m K m2 Pa/s 100 3,9918 0,9479 7,77 0,0091 0,815 Aire: 1,77 150 2,6190 0,9178 11,49 0,0137 0,773 NH3: 2,31 200 1,9559 0,9131 14,85 0,0182 0,745 N2: 1,83 250 1,5618 0,9157 17,9 0,0226 0,725 H2: 7,06 273 1,4402 0,9166 19,2 0,0247 0,696
300 1,3007 0,9203 20,6 0,0268 0,709 350 1,1133 0,9291 23,2 0,0307 0,702 400 0,9755 0,9420 25,5 0,0346 0,695 450 0,8682 0,9567 27,8 0,0383 0,694 500 0,7801 0,9722 29,9 0,0417 0,697
600 0,650 1,00 33,9 0,049 0,70 800 0.487 1,05 41,1 0,062 0,70
1000 0,390 1,85 47,6 0,074 0,70 1500 0,260 1,14 62,1 0,101 0,70 2000 0,195 1,18 74,9 0,126 0,70
DNH3,B: Difusividad del oxígeno a 273 K en B
Fenómenos de Transporte 618 G. Chacón V.
Cuadro 19 Propiedades del nitrógeno a baja presión
T (*) CP k Pr K kg/m3 kJ/kg K mg/m s W/m K
100 3,481 1,072 6,86 0,0095 0,79 150 2,276 1,050 10,3 0,0157 0,77 200 1,707 1,044 13,0 0,0189 0,75 250 1,366 1,043 15,5 0,0234 0,73 300 1,142 1,041 17,8 0,0264 0,71
400 0,834 1,046 22,0 0,0330 0,69 500 0,682 1,056 25,7 0,0384 0,68 600 0,569 1,076 29,1 0,0458 0,69 700 0,493 1,097 32,1 0,0512 0,69 800 0,428 1,123 34,8 0,0561 0,70
1000 0,314 1,168 40,0 0,065 0,72 1200 0,285 1,204 44,5 0,072 0,75 1500 0,228 1,244 51,5 0,091 0,70 2000 0,171 1,287 61,9 0,114 0,70
(*) está a una atmósfera.
Cuadro 20 Propiedades del argón a baja presión
T (*) CP k Pr K kg/m3 kJ/kg K mg/m s W/m K
150 3,471 0,527 12,5 0,0096 0,686 200 2,409 0,525 16,5 0,0125 0,671 250 2,006 0,523 19,5 0,0152 0,670
300 1,602 0,521 22,9 0,0177 0,668 400 1,159 0,520 28,9 0,0223 0,666 500 0,961 0,520 34,3 0,0264 0,663 600 0,801 0,520 39,0 0,0301 0,66
800 0.608 0,520 46,6 0,0369 0,66 1000 0,487 0,520 54,2 0,0427 0,66 1500 0,324 0,520 70,6 0,0551 0,67
Fenómenos de Transporte 619 G. Chacón V.
Cuadro 21 Estimadores para propiedades de la Interfase
(nm), T(K), P(Pa), (kg/m3), (kg/m s), k(W/m K), DAB(m2/s),
M(kg/kmol), V(m3/kmol). Subíndices indican condición o punto: C: crítico, B: ebullición normal, Std: estándar o normal, 0: referencia
Propiedades Críticas 084,0291,0Cz 21.01 BBC TTT 49,147,1 03,1
MTB 16,02,50 21.02
BBC VVV 76,241,2 954,0 21.03
Presión de vapor o saturación
TCTBA
CTBAPSAT lnln
21.04
SATPln
B
C
BC
CBC P
PTTTT
CTCTP lnln
Para: TB 125 K: C 0,19 TB – 17,71; otros: C 0,034 TB – 0,3
elementos: C 13; sust. orgánicas: C 43
Fenómenos de Transporte 620 G. Chacón V.
Cuadro 21 (Cont.). Estimadores para propiedades de la Interfase
Calor latente de vaporización
n
C
CfgVAP TT
TThH0
0 11
nTBA
21.05
n 0,378 Para: acetaldehído n 0,589 hidrógeno n 0,237
CB
BCBB TT
PPTR
930,01ln093,1 21.06
Tensión superficial
nn
C
C TBATTTT
0
0 11 21.07
Para agua y alcoholes n 0,81 hidrocarburos n 1,15 otras sust. orgánicas n 1,22
Fenómenos de Transporte 621 G. Chacón V.
Cuadro 22 Estimadores para propiedades para gases a baja presión
(nm), T(K), P(Pa), (kg/m3), (kg/m s), k(W/m K), DAB(m2/s),
M(kg/kmol), V(m3/kmol), CP(kJ/kg), R(kJ/kmol K). Subíndices indican condición o punto: C: crítico, B: ebullición normal, Std: estándar o normal, 0: referencia
Densidad
TRz
MPρ
139,0083,01z
C
C
CC TTPP
TTTT 2,46,1
172,06427
22.08
Se cumple para TTC 4 TTC 3 PPC 0,8 T TSaturación PPC 0,7
TTC 1,5 PPC 2,5 TTC 1,0 PPC 0,8 TTC 0,7 VVC 2,0
Capacidad calorífica MRTDTCTBACP 222
Para: monoatómicos: 5 diatómicos: 7 otros orgánicos: 8 a 9
22.09
Viscosidad
2
218106693,2 TM
Tb
TaTT
T
TT
1
21o
21
0o
22.10
Fenómenos de Transporte 622 G. Chacón V.
Conductividad o conductibilidad térmica
1 24
2
/8,328 10
k
T Mk
;
213
VCR
1 2
oo
0 0
m
kTT
kT
T Tk aT T
22.11
Difusividad másica
DASAS
AS MPTD 221
23
m
DT
DTTAS T
TaPP
TTD
0
o0
23
0o
22.12
4421 10662,210996,0066,3
ASM
SA
AS MMM
112
2SAAS y SAAS
Parámetros de escala del potencial de Lennard-Jones
31
406,098,10C
C
PT
3131
18,138,11 BC
C VPT
22.13
CT
1693,07915,0
BC TT 03,018,102,079,0
22.14
Fenómenos de Transporte 623 G. Chacón V.
Cuadro 23 Estimadores para propiedades para líquidos saturados
(nm), T(K), P(Pa), (kg/m3), (kg/m s), k(W/m K), DAB(m2/s),
M(kg/kmol), V(m3/kmol). Subíndices indican condición o punto: C: crítico, B: ebullición normal, Std: estándar o normal, 0: referencia
Densidad
CCC zTTρρ ln1lnln 72
CCC zTTTTρ ln11ln 720
720
23.01
21ln TCTBATTbaρ cC
Volumen especifico a la temperatura de ebullición (Le Bas)
Aiib VV i: número de átomos
VAi: volumen atómico de cada elemento (m3/kmol) 103
23.02
No ofrece buenas resultados para líquidos altamente asociados y moléculas simples.
Hidrógeno 3,7 Oxígeno 7,4Cloro 24,6 metil éster 9,1Flúor 8,7 metil éter 9,9Bromo 27,0 éster o éter más alto 11,0Iodo 37,0 ácido 12,0Azufre 25,6 Unido a S, P o N 8,3 Nitrógeno 15,6 Carbono 14,8 doble enlace. 15,6 Anillo (resta) amina primaria 10,5 tres at. -6,0 amina secundaria 12,0 cuatro at. -8,5 cinco at. -11,5 seis at. o bencénico -15,0 naftaleno -30,0 antraceno -47,5
Fenómenos de Transporte 624 G. Chacón V.
Capacidad calorífica 2/ln TDTCBTACP 23.03
Viscosidad
20C
B
VTT8,3exp1099,3 7
Tba exp 23.04
exp BAT C
; C 0,29TB 17,71
exp lnBA C T D TT
1 0,28610,2861
01
233CT T
Conductividad o conductibilidad térmica
2 3
2 31 2
3 20 11,113 20 1
C
B C
T Tk
M T T
2A B T C T
23.06
Difusividad másica, a dilución infinita
T
T
To
To
ToS
S
S
SASAS
TT
DD
0
00
m
SS
S TaV
TM
AT
6,0
211610173,1
23.07
, para solvente S: agua 2,6; metanol 1,9; etanol 1,5; no asociados 1,0
Para agua como soluto es mejor usar VsA 0,0756 en lugar de 0,0188
Fenómenos de Transporte 625 G. Chacón V.
Cuadro 24 Datos para conductos (pipes) estándar (acero)
ANSI, ASA
Diámetro No. Espesor Diámetro nominal externo cédula interno
m mm m
1/8 0,0103 10 1,2 0,0078 40 1,7 0,0068 80 2,4 0,0055
1/4 0,0137 10 1,7 0,0104
40 2,2 0,0092 80 3,0 0,0077
3/8 0,0171 10 1,7 0,0138
40 2,3 0,0125 80 3,2 0,0107
1/2 0,0213 5 1,7 0,0180
10 2,1 0,0171 40 2,8 0,0158 80 3,7 0,0139 160 4,8 0,0118 XX 7,5 0,0064
3/4 0,0267 5 1,7 0,0234
10 2,1 0,0225 40 2,9 0,0209 80 3,9 0,0188 160 5,5 0,0156 XX 7,8 0,0110
1 0,0334 5 1,7 0,0301 10 2,8 0,0279 40 3,4 0,0266 80 4,5 0,0243 160 6,4 0,0207 XX 9,1 0,0152
1 1/4 0,0422 5 1,7 0,0389
10 2,8 0,0366 40 3,6 0,0351 80 4,9 0,0325 160 6,4 0,0295 XX 9,7 0,0228
Fenómenos de Transporte 626 G. Chacón V.
Cuadro 24. (Cont.) Datos para conductos (pipes) estándar
Diámetro No. Espesor Diámetro nominal externo cédula interno
m mm m
1 1/2 0,0483 5 1,7 0,045010 2,8 0,0427
40 3,7 0,0409 80 5,1 0,0381 160 7,1 0,0340 XX 10,2 0,0279
2 0,0603 5 1,7 0,0570 10 2,8 0,0548 40 3,9 0,0525 80 5,5 0,0493 160 8,7 0,0428 XX 11,1 0,0382
2 1/2 0,0730 40 5,2 0,0627 80 7,0 0,0590 160 9.5 0,0540 XX 14,0 0,0450
3 0,0889 40 5,5 0,0779 80 7,6 0,0737 160 11,1 0,0666 XX 15,2 0,0584
4 0,1143 40 6,0 0,1023 80 8,6 0,0972 120 11,1 0,0920 160 13,5 0,0873 XX 17,1 0,0801
5 0,1413 40 6,6 0,1282 80 9,5 0,1223 120 12,7 0,1159 160 15,9 0,1096 XX 19,1 0,1032
6 0,1683 40 7,1 0,1541 80 11,0 0,1463 120 14,3 0,1397 160 18,3 0,1317 XX 21,9 0,1244
Fenómenos de Transporte 627 G. Chacón V.
Cuadro 25 Datos para tubos (tubing) estándar (cobre)
BS, ASTM DINDiámetro BWG Espesor Diámetro Diámetro Espesor
nominal externo interno externo mm mm mm mm mm
3/16 4,8 20 0,89 3,0
1/4 6,4 18 1,24 3,9 8,0 0,75
20 0,89 4,6 1,00 22 0,71 4,9 1,25 24 0,56 5,2 10,0 0,75 26 0,46 5,4 1,00 27 0,41 5,5 1,25
3/8 9,5 16 1,65 6,2 11,0 0,75
18 1,24 7,0 1,00 20 0,89 7,7 1,25 22 0,71 8,1 12,0 0,75 24 0,56 8,4 1,00 1,25
1/2 12,7 12 2,77 7,2 14,0 0,75
14 2,11 8,5 1,00 16 1,65 9,4 1,25 18 1,24 10,2 15,0 0,75 20 0,89 10,9 1,00 22 0,71 11,3 1,25
5/8 15,9 12 2,77 10,3 16,0 0,75
14 2,11 11,7 1,00 16 1,65 12,6 1,25 18 1,24 13,4 1,50 20 0,89 14,1
3/4 19,1 10 3,40 12,2 18,0 1,00
11 3,05 13,0 1,25 12 2,77 13,5 1,50 13 2,41 14,2 19,0 1,00 14 2,11 14,8 1,25 15 1,83 15,4 1,50 16 1,65 15,7 20,0 1,00 17 1,47 16,1 1,25 18 1,24 16,6 1,50 20 0,89 17,3 2.00
Fenómenos de Transporte 628 G. Chacón V.
Cuadro 25. (Cont.) Datos para tubos (tubing) estándar Diámetro BWG Espesor Diámetro Diámetro Espesor nominal externo interno externo
mm mm mm mm mm
7/8 22,2 10 3,40 15,4 22,0 1,00 12 2,77 16,7 1,25 14 2,11 18,0 1,50 16 1,65 18,9 2.00
18 1,24 19,7 23,0 1,00 20 0,89 20,4 1,25
1 25,4 8 4,19 17,0 1,50 10 3,40 18,6 2.00 11 3,05 19,3 24,0 1,00 12 2,77 19,9 1,25 13 2,41 20,6 1,50 14 2,11 21,2 2.00 15 1,83 21,7 25,0 1,00 16 1,65 22,1 1,25 18 1,24 22,9 1,50 20 0,89 23,6 2.00
1 1/4 31,8 10 3,40 24,9 28,0 1,00
12 2,77 26,2 1,25 14 2,11 27,5 1,50 16 1,65 28,4 2.00 18 1,24 29,3 30,0 1,00 1,25
1 1/2 38,1 8 4,19 29,7 1,50 10 3,40 31,3 2.00 12 2,77 32,6 32,0 1,00 14 2,11 33,9 1,25 16 1,65 34,8 1,50 18 1,24 35,6 2.00
2 50,8 8 4,19 42,4 35,0 1,00 10 3,40 44,0 1,25 12 2,77 45,3 1,50 14 2,11 46,6 2.00 16 1,65 47,5 18 1,24 48,3
Cuadro 26
Fenómenos de Transporte 629 G. Chacón V.
Ecuaciones de variación para un volumen de control diferencial
Coordenadas rectangulares
Masa total
0
zv
yv
xv
tzyx
Cantidad de movimiento (“Momentum”)
x:
zvv
yvv
xvv
tv x
zx
yx
xx
0
zyxg
xP zxyxxx
x
y:
zv
vyv
vxv
vt
v yz
yy
yx
y
0
zyxg
yP zyyyxy
y
z:
zvv
yvv
xvv
tv z
zz
yz
xz
0
zyxg
zP zzyzxz
z
Tensor esfuerzo
zv
yv
xv
xv zyxx
xx 312
zv
yv
xv
yv zyxy
yy 312
zv
yv
xv
zv zyxz
zz 312
Fenómenos de Transporte 630 G. Chacón V.
xv
yv yx
yxxy
zv
xv xz
xzzx
yv
zv zy
zyyz
Ecuaciones de Navier-Stokes correspondientes a fluido newtoniano en régimen de flujo laminar con y constantes
x:
zvv
yvv
xvv
tv x
zx
yx
xx
02
2
2
2
2
2
zv
yv
xvg
xP xxx
x
y:
zv
vyv
vxv
vt
v yz
yy
yx
y
02
2
2
2
2
2
zv
yv
xv
gyP yyy
y
z:
zvv
yvv
xvv
tv z
zz
yz
xz
02
2
2
2
2
2
zv
yv
xvg
zP zzz
z
Fenómenos de Transporte 631 G. Chacón V.
Energía
yPv
xPv
zvv
yvv
xvv
tv
yxzyx
2222
2
zzyyxxz gvgvgvzPv
zTv
yTv
xTv
tTC zyxV
zq
yq
xq
zv
yv
xv
TP zyxzyx
zv
yv
xvG z
zzy
yyx
xx
0
zv
xv
yv
zv
xv
yv xz
xzzy
yzyx
xy
xTkqx
yTkqy
zTkqz
Ecuaciones de energía correspondientes a fluido newtoniano en régimen de flujo laminar con parámetros, , , CV (CP) y k, constantes
zzyyxxV gvgvgvtTC
tv 2
2
G
zT
yT
xTk 2
2
2
2
2
2
PTCv
yvPTCv
xv VyVx 22
22
PTCv
zv Vz 2
2
Fenómenos de Transporte 632 G. Chacón V.
222
2zv
yv
xv zyx
0222
zv
xv
yv
zv
xv
yv xzzyyx
Masa de una sustancia A
yv
xvC
zCv
yCv
xCv
tC yx
AA
zA
yA
xA
0
AAzAyAxz Rz
Jy
Jx
Jzv
x
CDJ AABAx
y
CDJ A
ABAy
z
CDJ AABAz
Ecuaciones de continuidad para una sustancia A, con y DAB constantes
zCv
yCv
xCv
tC A
zA
yA
xA
02
2
2
2
2
2
AAAA
AB RzC
yC
xCD
Fenómenos de Transporte 633 G. Chacón V.
Cuadro 27 Ecuaciones de variación para un volumen de control
diferencial Coordenadas cilíndricas
Masa total
01
zρv
θrρv
rρrv
rtρ zθr
Cantidad de movimiento (“Momentum”)
r:
rP
zvv
rv
θrvv
rvv
tvρ r
zθr
θr
rr
2
01
zτ
rτ
θrτ
rrτ
rρg zrθθθrrr
r
θ:
θrP
zvv
rvv
θrvv
rvv
tvρ θ
zθrθ
θθ
rθ
01 2
2
zτ
θrτ
rτr
rρg zθθθrθ
θ
z:
zP
zvv
θrvv
rvv
tvρ z
zz
θz
rz
01
zτ
θrτ
rrτ
rρg zzθzrz
z
Tensor esfuerzo
zv
θrv
rrv
rrv
μτ zθrrrr
1312
zv
θrv
rrv
rrv
θrv
μτ zθrrθθθ
1312
zv
θrv
rrv
rzv
μτ zθrzzz
1312
Fenómenos de Transporte 634 G. Chacón V.
θrv
rrv
rμττ rθθrrθ
θr
vzv
μττ zθzθθz
zv
rvμττ rz
zrrz
Ecuaciones de Navier-Stokes correspondientes a fluido newtoniano en régimen de flujo laminar con y constantes
r:
rr
zθr
θr
rr ρg
rP
zvv
rv
θrvv
rvv
tvρ
2
0212
2
22
2
zv
θrv
rθrv
rrv
rrμ zθrr
θ:
θθ
zθrθ
θθ
rθ ρg
θrP
zvv
rvv
θrvv
rvv
tvρ
0212
2
22
2
zv
θrv
rθrv
rrv
rrμ θrθθ
z:
zz
zz
θz
rz ρg
zP
zvv
θrvv
rvv
tvρ
012
2
22
2
zv
θrv
rvr
rrμ zzz
Fenómenos de Transporte 635 G. Chacón V.
Energía
θrPv
rPv
zvv
θrvv
rvv
tvρ
θrzθr
2222
2
zzθθrrz gvgvgvρzPv
zTv
θrTv
rTv
tTCρ zθrV
zq
θrq
rrq
rzv
θrv
rrv
rTPT zθrzθr
ρ
11
zvτ
rv
θrvτ
rvτρεG z
zzrθ
θθr
rr
zv
rvτ
θrv
rrvrτ rz
rzrθ
rθ
0
θrv
zvτ zθ
θz
rTkqr
θr
Tkqθ
zTkqz
Ecuaciones de energía correspondientes a fluido newtoniano en régimen de flujo laminar con parámetros, , , CV (CP) y k, constantes
zzθθrrV gvgvgvρtTρC
tvρ 2
2
ρεG
zT
θrT
rTr
rrk 2
2
22
21
PTCv
θrρvPTCv
rρv VθVr 22
22
PTCv
zρv Vz 2
2
Fenómenos de Transporte 636 G. Chacón V.
222
2zv
rv
θrv
rvμ zrθr
0222
θr
vzv
zv
rv
θrv
rrvrμ zθrzrθ
Masa de una sustancia A
θrv
rrv
rC
zCv
θrCv
rCv
tC θr
AA
zA
θA
rA 1
01
AAzAθArz Rz
Jθr
Jr
rJrz
v
r
CDJ AABAr
θr
CDJ AABAθ
z
CDJ AABAz
Ecuaciones de continuidad para una sustancia A, con y DAB constantes
zCv
θrCv
rCv
tC A
zA
θA
rA
012
2
22
2
AAAA
AB RzC
θrC
rCr
rrD
Fenómenos de Transporte 637 G. Chacón V.
Cuadro 28 Ecuaciones de variación para un volumen de control diferencial
Coordenadas esféricas
Masa total
0
sinsinsin1 2
2
θrρv
θθrθρv
rvρr
rtρ θr
Cantidad de movimiento (“Momentum”)
r:
rP
rv
θrvv
rv
θrvv
rvv
tvρ rθr
θr
rr
22
sin
0sinsin
sin1 2
2
rτ
θrτ
rτ
θθrθτ
rτr
rρg rθθθrrr
r
θ: θrP
rθv
θrvv
rvv
θrvv
rvv
tvρ θθrθ
θθ
rθ
cot
sin
2
0cot
sinsinsin1 2
2
rθτ
θrτ
rτ
θθrθτ
rτr
rρg θrθθθrθ
θ
:
rθvv
rvv
θrv
vθr
vv
rv
vt
vρ θr
θr
cotsin
θrτ
rτ
rτr
rρg
θrP θrr
2
21
sin
0sin
cot2
θrτ
rθτθ
Tensor esfuerzo
θrv
θθrθv
rvr
rrvμτ θrr
rr sinsinsin1
312
2
2
θrv
θθrθv
rvr
rrv
θrvμτ θrrθ
θθ sinsinsin1
312
2
2
rθv
rv
θrv
μτ θr cotsin
2
θrv
θθrθv
rvr
rθr
sinsinsin1
31 2
2
Fenómenos de Transporte 638 G. Chacón V.
θrv
rrvrμττ rθ
θrrθ
θr
vθrθv
θμττ θθθ sin
sinsin
r
rvr
θrvμττ r
rr
sin
Ecuaciones de Navier-Stokes correspondientes a fluido newtoniano en régimen de flujo laminar con y constantes
r:
rrθr
θr
rr ρg
rP
rv
θrvv
rv
θrvv
rvv
tvρ
22
sin
222
22
2 sinsin
sin11
θrv
θrvθ
θrθrvr
rrμ rrr
0sin
2cot22222
θrv
rrθv
θrv
rrv θθr
:
rθv
θrvv
rvv
θrvv
rvv
tvρ θθrθ
θθ
rθ cot
sin
2
θrvθ
θrθrvr
rrμρg
θrP θθ
θ sinsin
11 22
0sin
cot2sin
2sin 22222
2
θθr
vrθ
θrv
θrv
rθrv θrθ
:
rvv
θrv
vθr
vv
rv
vt
vρ r
θr
sin
rv
rrr
μρgθrP
rθvv θ
2
21
sincot
θrv
θrv
θrv
θθrθ 22222
2
sinsinsin
sin1
0sin
cot2sin
2
θrv
rθ
θrv
rθr
Fenómenos de Transporte 639 G. Chacón V.
Energía
θrvv
θrvv
rvv
tvρ
θr sin2
2222
gvgvgvρ
θrPv
θrPv
rPv θθrrθr sin
θrTv
θrTv
rTv
tTρC θrV sin
θrv
θrθv
θrvr
rTPT θr
ρ sinsin
sin11 2
2
ρεGθr
qθrθq
θrqr
rθr
sinsin
sin11 2
2
rθv
rv
θrv
τrv
θrvτ
rvτ θrrθ
θθr
rrcot
sin
rv
θrv
rv
τrv
θrv
rvτ r
rθrθ
rθ
sin
0cot
sin
rθv
θrv
θrv
τ θθ
rTkqr
θr
Tkqθ
θrTkq
sin
Ecuaciones de energía correspondientes a fluido newtoniano en régimen de flujo laminar con parámetros, , , CV (CP) y k constantes
rTr
rrkgvgvgvρ
tTρC
tvρ
θθrrV2
2
2 12
ρεG
θrT
θrTθ
θrθ 222
2
sinsin
sin1
PTCv
θrρvPTCv
rρv VθVr 22
22
PTCv
θrv V2sin
2
Fenómenos de Transporte 640 G. Chacón V.
222 cotsin
2rθv
rv
θrv
rv
θrv
rvμ θrrθr
22
sin
θrv
rv
rv
θrv
rv
rvμ rrθθ
0sin
cot 2
θrv
rθv
θrv θ
Masa de una sustancia A
θrCv
θrCv
rCv
tC AA
θA
rA
sin
θrv
θvθrθr
vrr
C θr
A sinsin
sin11 2
2
0sin
sinsin
11 2
2
A
AAθAr ξRθr
JθrθJ
θrJr
r
rCDJ A
ABAr
θr
CDJ AABAθ
θrCDJ A
ABA sin
Ecuaciones de continuidad para una sustancia A, con y DAB constantes
rCr
rrD
θrCv
θrCv
rCv
tC A
ABAA
θA
rA 2
21
sin
0sin
sinsin
1222
2
AAA ξRθr
Cθr
Cθθrθ
Fenómenos de Transporte 641 G. Chacón V.
Cuadro 29 Densidad y concentración en una mezcla binaria
densidad másica total de la mezcla, kg/m3 C densidad molar total de la mezcla, kmol/m3
Vm
VV δδ
δδlim
MVn
VVC
δδ
δδlim
A densidad másica de la especie A, kgA/m3 CA densidad molar de la especie A, kmolA/m3
Vm
VVA
A δδ
δδlim
A
AAA MV
nVV
C
δδ
δδlim
A fracción másica del la especie A, kgA/kg xA fracción molar de la especie A, kmolA/kmol
AA
A mmw
CC
nnx AA
A
B densidad másica de la especie B, kgB/m3 CB densidad molar de la especie B, kmolB/m3 B fracción másica del la especie B, kgB/kg xB fracción molar de la especie B, kmolB/kmol 1BA 1BA xx
BBAA MxMxM Conversiones
BBAA
AAA MM
Mx
BBAA
AAA MxMx
Mx
Para mezcla de gases a baja presión
TRPM
AAA BA
BBAA
TRPMPM
AAA Y
TR
PC
AA BA
BA CCTRPP
TRPC
PPCCxy AAAA g.e DR 0 gravedad específica o densidad relativa g peso específico
Fenómenos de Transporte 642 G. Chacón V.
Cuadro 30 Módulos de expansión y compresión
Expansión isobárica,
dilatación térmica PP TT
VV
11
Compresibilidad isotérmi-ca, módulo de compre-sibilidad TT PP
VV
11
Compresibilidad isentró-pica, módulo de elas-ticidad volumétrica SS PP
VV
11
Módulo isentálpico de Young
HPT
Cuadro 31
Grupos adimensionales correspondientes
Cantidad de movimiento
Transferencia de calor
Transferencia de masa
sf
s
vvvv
sf
s
TTTT
AsAf
AsA
CCCC
No. de Fraude
gvFr
2
No. de Prandtl
kCPr P
No. de Schmidt
ABAB DDSc
No. de Reynolds No. de Nusselt No. de Sherwood
vRe
khNu
ABDkSh C
2F
DCJ 31H PrRe
NuJ
31D ScRe
ShJ
No. de Péclet Pe RePr Pe ReSc No. de Stanton St Nu(RePr) St Sh(ReSc) No. de Graetz Gz = RePrL No. de Match M = vc No. de Biot Bi = hmedio (VkA)sistema Módulo de Fourier Fo = t/(V/A)2sistema No. de Grashof 23 /Δ TgGr 23 /Δ gGr No. de Rayleigh Ra = GrPr
Fenómenos de Transporte 643 G. Chacón V.
Cuadro 32 Coeficientes de transferencia
222sf vvv sf TTT AiAf CCC
A
Avv
d
2sf
AM
TTT
2,AiAf
AMA
CCC
sf
sfLM TT
TTT
ln
AsAf
AsAfLMA CC
CCC
ln,
Coeficientes locales
2
22sf
Df
vvCH
2
2
vDLfH Df
sf TThq AiAfA CCkN AiAfA CCkN
k : para cuando B (no A) no se difunde. k : para contradifusión molecular, de A en B (no A).
Coeficientes globales para difusión de calor y masa fIfERR TTAUQ fIAfEARRA CCAKM ,,
01
1
0
1AkA
AhA
UR
fI
R
R
01;
1
0,
1AD
AAk
AK AB
R
fIC
R
R
112
2
NN
RNR
AkA
AkA
12;
2
ADA
AB
R
Ri
AhA
NfE
R
NfEC
R
NNAB
RN
AkA
ADA
,1;
Placa plana 1 iii xx 11
i
R
AA
Cilindro hueco, tubo
1
1 ln2 i
iii D
DD 11
i
R
i
R
DD
AA
Esfera hueca
211
ii
i
ii
DDD
D2
11
i
R
i
R
DD
AA
Fenómenos de Transporte 644 G. Chacón V.
Cuadro 33 Coeficientes de transferencia de masa en el
equilibro de fases
Coeficientes globales de transferencia de masa entre fases en equilibrio
Equilibrio iLixi Cmxmy AAA iLixi CmxmP AAA LxGxLxGy xmyKxmyKN AAAAA LLGLLLGG CmPKCmPKN AAAAA
x
x
yy km
kK
11 xyyx kkmK
111
etc.
L
L
GG km
kK
11 LGLL kkmK
111
etc.
Relaciones entre los coeficientes de
transferencia de masa Para gases: AAAA CkykPkN CyG AAA CkykPk CyG
TR
Pk
PP
kPkF ,LMC
,LMy,LMGG
BBB
CkTR
PkkPk CCyG
Para líquidos AxAxALAL xkxkCkCkN A CkMkkxCkxkF LLx,LML,LMxL BB
Fenómenos de Transporte 645 G. Chacón V.
Cuadro 34 Coeficientes de transferencia de calor para cuerpos
simples en fluidos en reposo, McAdams (1949) Convección libre o natural (◊)(#)
Nu = a (GrPr)n Para aire: h = b (T/)n (P/PStd)m
h, W/m2 K; T, K; , m GrPr a n b n m
A partir de superficies vertical (placa y cilindro)
104 - 109 0,59 14 L 1,42 14 L 12109 – 1013 0,10 13 L 0,95 13 1 23 0,021 25 L
A partir de superficies horizontales cilindro 104 - 109 0,53 14 D 1,32 14 D 12109 – 1013 0,10 13 D 1,24 13 1 23 Placa caliente hacia arriba o fría hacia abajo 104 - 109 0,54 14 2AP 1,32 14 2AP 12109 – 1012 0,14 13 2AP 1,43 13 1 23 Placa caliente hacia abajo o fría hacia arriba 105 – 1011 0,27 14 2AP 0,59 14 2AP 12 0,58 15 LaLb 0,61 15 LaLl 23
A partir de objetos espaciales General NuVA = 0,52 (GrVAPr)14 Esfera 1 – 1011 NuD = 2 + 0,43 (GrDPr)14
(◊) Las propiedades se calculan a la temperatura de película (promedio arit-mético entre la temperatura de la pared y la del seno del fluido) Coeficientes de transferencia unidimensional de masa en
fluidos en reposo, mezcla binaria (‼) B no difundente
2121,
AALAAAMLMB
ABA CCkCC
MCDN
Contra difusión molecular
2121 AACAAAB
A CCkCCDN
(‼) Para conversiones y definiciones ver cuadros 29 y 32
Fenómenos de Transporte 646 G. Chacón V.
Cuadro 35 Coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento
calor y masa para flujo de fluidos dentro de conductos cilíndricos, convección forzada (#)
NOTA: Coeficientes de transferencia promedio, para propiedades
constantes en la superficie (w). Se calculan con las propiedades del medio del fluido (f) y se hace la siguiente corrección:
w
f
Flujo Laminar Flujo Turbulento Sieder y Tate 0,14 (PrfPrw)1/4 Calentamiento 0,17 0,38 Enfriamiento 0,11 0,23
Notas:
Los coeficientes se basan en el diámetro interno del conducto, D 25 calentamiento 13 enfriamiento
f fF2 fD8 Re < 2000 (Laminar) RefD 64
Pr = 0,6 – 700 RePrDL > 10
3186,1 LDPrReNu
66,317,0 31 PrRe
PrDL < 1 31
075,1 NuLDPrReNu
34310 012,0 LDPrReGrNu
Para anillos concéntricos (Laminar), Con base en el diámetro
equivalente D2 D1 D1 D2, D2 D1
ln11
16422
2
RefD
567,6Nu Para conducto rectangular (Laminar) Con base en el diámetro equivalente. baba /2
ba / 0 1/8 1/4 1/3 1/2 5/7 1 RefD 96,0 82,3 72,9 68,3 62,2 58,3 56,9
Nu 7,54 5,60 4,41 3,95 3,39 3,10 2,98 Re = 2000 - 3000 291068,5 RefD
(Crítico)
Fenómenos de Transporte 647 G. Chacón V.
Cuadro 35 (Cont.). Coeficientes de transferencia Re > 3000 (Turbulento)
221 2698,0Re523,2log2
Dff DD
2109 7,37ln8686,0
DRe
29107,3Re9,6ln7817,0
D
Tubo liso; D 0 Re = 4103 – 6108
51024,08 RefD 4103955,0 Re
Pr = 0,6 – 160 3154023,0 PrReNu Sc = 0,6 – 3000 3183,0023,0 ScReSh
Re = 104 – 4105
Pr = 0,7 – 1,7104 PrReNu 54027,0 Sc > 100 3188,00149,0 ScReSh
Corrección por entrada LD 2 - 20 20 - 60 > 60
ma1 DL a 1 6 0 m 0,7 1 -
Pérdidas en accesorios, Kf Rosca Brida Leq/D Codos 90o estándar 0,7 - 0,8 0,3 32
90o radio largo 0 5 - 0,7 0,2 20 90o recto 1,3 - 1,5 0,3 45o estándar 0,3 - 0,4 15 180° de retorno, 1,2 - 1,7 0,2 75
Tes entrada lateral 1,0 paso en línea 0,4 - 0,9 0,2 20 salida lateral 1,3 - 2,0 1,0 67
Acoples y uniones 0,04 0.0 Válvulas compuerta abierta 0,13 - 0,20 0,10 7
½ abierta 3,8 - 4,5 200 globo abierta 6,0 - 7,5 5,0 350
½ abierta 8,5 - 9,5 en ángulo 2 - 4 170
tope, de bisagra 2 Medidores de flujo 6 - 15 Expansión brusca (1 v0v)2 Contracción súbita 0,50 [(1 (vv0)2]2
Fenómenos de Transporte 648 G. Chacón V.
Cuadro 35 (Cont.). Coeficientes de transferencia
Aspereza, “Roughness”, en conductos
mm
Acero estirado, soldado Nuevo 0,04 - 0,10 Usado 0,15 - 0,20 con capa de óxido 0,2 - 0,5 remachado 0,9 - 9,0 comercial 0,046 inoxidable 0,01
Hierro galvanizado 0,15 fundido 0,25 fundido asfaltado 0,12 forjado 0,05
Tubo liso (bronce, plomo, vidrio, PVC, etc.) 0,0015
Concreto normal 0.8 - 3,0 pulido 0.3 - 0,8
Madera nueva lijada 0,2 - 0,9 Polietileno D < 200 mm 0,1 Poliestireno, fibra de vidrio reforzada, D > 200 mm 0,05 - 0,85
(#) En este y los otros cuadros de coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento, calor o masa, las relaciones son las que están más asociadas con la teoría, por lo que el lector debe actualizarlas.
Fenómenos de Transporte 649 G. Chacón V.
Cuadro 36 Coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento
calor y masa para flujo de fluidos externo convección forzada (◊)(#)
Alrededor de esferas
Con base en el diámetro de la esfera, D y la velocidad final v Corrección de la
velocidad MM4,21 vDDv
Velocidad de caída estable
f
fs
DCgDv
342
Re 100 21
163124
ReRe
CD
Re = 2 – 500 535,18 ReCD
Re 106
221
5407,024
DD Re
C
Re = 103 – 2105 4444,0DC Re 103 38,02150,043,0 PrReNu 312160,00,2 PrReNu
Re = 3,5 – 8104 Pr = 0,7 – 380
214,00,2 ReNu 523206,0 PrRe
Re = 1 – 3103
Sc = 0,6 – 1,9 3121552,00,2 ScReSh
Re = 1 – 3104
Sc = 0,6 – 3200 62,021347,00,2 ScReSh
RaF
GrSc 108 41569,0 ScGrFRa
GrSc 108 244,0310254,0 ScScGrFRa
Fenómenos de Transporte 650 G. Chacón V.
Cuadro 36 (cont.) Coeficientes de transferencia …
Flujo perpendicular (alrededor) de cilindros
Con base en el diámetro del cilindro, D Re 0,5 ReReCD ln28 Re = 1 – 1000 431,91 ReCD 38,02150,043,0 PrReNu Re = 103 – 105 2,1DC Re = 4102 – 2,5104
Pr = 0,7 – 1,5103 38,05325,0 PrReNu Sc = 0,6 – 2,6 44,053281,0 ScReSh
Re = 0,1 – 105 2134,035.0 ReNu
0,58 0,30,15 Re Pr
Fenómenos de Transporte 651 G. Chacón V.
Cuadro 36 (cont.) Coeficientes de transferencia …
Flujo sobre placas planas, paralelo e ilimitado
Con base en la longitud de la placa, L La transferencia comienza en el lado principal Re 5104 21664,02 ReCD 3121664,0 PrReNu PrRe 2176,0 3121664,0 ScReSh
Re = 3105 –108 ReReCD 870037,02 51
584,2log2275,0 Re
Pr = 0,7 – 380 43,054037,0 PrReNu
PrRe 54036,0 Sc = 0,6 – 2500 3154037,0 ScReSh
Transferencia por ambos lados de la placa Re = 2104 – 5105 43,00027,0 PrReNu Gas confinado en una tubería, flujo paralelo a la placa Re = 2,6103 – 2,2104 3171,011,0 ScReSh
La transferencia en una pared húmeda (vertical) del líquido al gas (del lado del líquido)
Con base en el espesor de la película, sin agitación,
ΓRe 4 : flujo de masa por unidad de ancho
Re 1200 3123 gΓ ReCD 24 Re 100 41,3Sh
Re = 100 –1200 2123 LScReSh Re = 1300 –8300 21506,151076.1 ScReSh (◊) Las propiedades se calculan a la temperatura de película (promedio arit-mético entre la temperatura de la pared y la del seno del fluido)
Fenómenos de Transporte 652 G. Chacón V.
Cuadro 37 Eficiencias de aletas, de sección transversal constante
mL RLR0
1,00 1,25 1,50 2,00 2,50 3,00 4,00 5,00 0,00 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,05 0,9992 0,9991 0,9990 0,9988 0,9987 0,9986 0,9983 0,9982 0,10 0,9967 0,9963 0,9959 0,9953 0,9947 0,9943 0,9934 0,9927 0,15 0,9926 0,9917 0,9909 0,9895 0,9883 0,9872 0,9853 0,9838 0,20 0,9869 0,9853 0,9839 0,9815 0,9793 0,9775 0,9743 0,9716 0,25 0,9797 0,9773 0,9752 0,9714 0,9681 0,9653 0,9604 0,9564 0,30 0,9710 0,9677 0,9647 0,9594 0,9548 0,9508 0,9441 0,9385 0,40 0,9499 0,9442 0,9391 0,9302 0,9227 0,9161 0,9050 0,8960 0,50 0,9242 0,9160 0,9085 0,8956 0,8847 0,8753 0,8597 0,8470 0,60 0,8951 0,8840 0,8741 0,8571 0,8429 0,8307 0,8106 0,7944 0,70 0,8634 0,8495 0,8372 0,8163 0,7988 0,7840 0,7599 0,7407 0,80 0,8300 0,8135 0,7990 0,7743 0,7541 0,7370 0,7094 0,6878 0,90 0,7959 0,7769 0,7604 0,7325 0,7098 0,6908 0,6605 0,6370 1,00 0,7616 0,7405 0,7221 0,6915 0,6669 0,6464 0,6140 0,5891 1,10 0,7277 0,7048 0,6849 0,6521 0,6259 0,6043 0,5704 0,5446 1,20 0,6947 0,6702 0,6492 0,6146 0,5873 0,5649 0,5300 0,5038 1,30 0,6629 0,6371 0,6152 0,5793 0,5512 0,5283 0,4929 0,4665 1,40 0,6324 0,6057 0,5830 0,5463 0,5176 0,4945 0,4589 0,4326 1,50 0,6034 0,5760 0,5529 0,5156 0,4866 0,4634 0,4280 0,4020 1,60 0,5760 0,5482 0,5247 0,4871 0,4581 0,4349 0,3999 0,3742 1,70 0,5502 0,5220 0,4984 0,4607 0,4319 0,4089 0,3743 0,3492 1,80 0,5260 0,4977 0,4740 0,4364 0,4078 0,3851 0,3511 0,3266 1,90 0,5033 0,4749 0,4513 0,4140 0,3857 0,3634 0,3301 0,3061 2,00 0,4820 0,4537 0,4302 0,3933 0,3654 0,3435 0,3109 0,2876 2,25 0,4347 0,4069 0,3841 0,3484 0,3217 0,3009 0,2701 0,2484 2,50 0,3946 0,3678 0,3457 0,3115 0,2861 0,2664 0,2376 0,2173 2,75 0,3607 0,3348 0,3136 0,2810 0,2569 0,2383 0,2112 0,1923 3,00 0,3317 0,3068 0,2866 0,2555 0,2327 0,2151 0,1897 0,1720 3,25 0,3068 0,2830 0,2636 0,2340 0,2124 0,1957 0,1718 0,1551 3,50 0,2852 0,2624 0,2439 0,2157 0,1951 0,1794 0,1567 0,1411 3,75 0,2664 0,2445 0,2269 0,2000 0,1804 0,1654 0,1440 0,1292 4,00 0,2498 0,2289 0,2120 0,1863 0,1676 0,1534 0,1330 0,1191 4,50 0,2222 0,2029 0,1874 0,1638 0,1467 0,1338 0,1153 0,1027 5,00 0,2000 0,1822 0,1678 0,1461 0,1304 0,1185 0,1016 0,0901 5,50 0,1818 0,1652 0,1519 0,1318 0,1173 0,1063 0,0907 0,0801 6,00 0,1667 0,1512 0,1388 0,1200 0,1065 0,0963 0,0819 0,0721
kWhm
2