トポロジー
LastUpdate: 2003.4.12
目 次
1 ホモロジーとコホモロジー 5
1.1 鎖複体のホモロジーとコホモロジー . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 ホモロジー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 コホモロジー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 普遍係数定理とKunnethの定理 . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Torと Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 普遍係数定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Kunnethの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 位相空間のホモロジーとコホモロジー . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 単体的（コ）ホモロジー . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 特異（コ）ホモロジー . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2.1 定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2.2 普遍係数定理 . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2.3 空間対の（コ）ホモロジー完全系列 . . . 14
1.3.2.4 切除定理とMayers-Vietorisの定理 . . . . 16
1.3.3 CW複体の（コ）ホモロジー . . . . . . . . . . . . 17
1.3.4 Cechの (コ)ホモロジー . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.5 様々な (コ)ホモロジーの関係 . . . . . . . . . . . . 20
1.3.6 局所系の (コ)ホモロジー . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.7 無限チェインのホモロジー . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.8 コンパクト台のコホモロジー . . . . . . . . . . . . 23
1.4 (コ)ホモロジーの積演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1 積の (コ)ホモロジー . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.2 カップ積とキャップ積 . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5.1 Euler数と Lefschetz数 . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5.2 多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.2.1 連結和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.2.2 RP n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
2 ホモトピー 31
2.1 Lie群のホモトピー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.1 コンパクト Lie群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Manifolds 33
3.1 位相多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 微分位相幾何学 34
4.1 歴史 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 モース関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 5次元以上の多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.1 h同境定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.2 Poincare予想 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 ４次元多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4.1 基本事項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4.2 Rokhlinの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4.3 ４次元位相多様体の分類 . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4.4 Donaldson理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5 同境理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 ファイバー束 43
5.1 ベクトル束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.1 K理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.2 乗法列とChern指標 . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1.3 Clifford束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.4 スピノール束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.5 Dirac作用素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.6 Rnの擬微分作用素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.7 ベクトル束の擬微分作用素 . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.8 Atiyah-Singer指数定理 . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1.8.1 整数型指数定理 . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1.8.2 楕円型作用素の族 . . . . . . . . . . . . . 67
6 特性類 67
6.1 分類空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1.1 実ベクトルバンドル . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1.2 複素ベクトルバンドル . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2
6.1.3 分類空間の位相 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2 ベクトルバンドル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2.1 Poincare-Hopfの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2.2 Euler類とThom同型 . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2.3 Z2-Euler類とThom同型 . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2.4 Stiefel-Whitney類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.5 Chern類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2.6 Pontrjagin類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2.7 障害類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2.8 スピン構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7 Knots and Links 87
7.1 正則表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.1.1 数論的不変量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.1.1.1 最小交点数 . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.1.1.2 絡み数 (linking number) . . . . . . . . . . 88
7.1.1.3 橋指数 (bridge index) . . . . . . . . . . . . 88
7.1.1.4 組み紐指数 (braid index) . . . . . . . . . . 89
7.1.1.5 結び目解消数 (unknoting number) . . . . 89
7.2 Seifert曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2.1 数論的不変量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.2.1.1 種数 (genus) . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.2.1.2 符号数 (signature)と退化次数 . . . . . . . 90
7.3 絡み目群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.4 不変多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.4.1 Alexander-Conway多項式 . . . . . . . . . . . . . . 92
7.4.1.1 Skein関係による定義 . . . . . . . . . . . 92
7.4.1.2 構成的定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.4.2 Jones多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.4.2.1 Skein関係による定義 . . . . . . . . . . . 94
7.4.2.2 Stateモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.4.3 Homfly多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.4.3.1 Skein関係による定義 . . . . . . . . . . . 96
7.4.4 Q-多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.4.4.1 Skein関係による定義 . . . . . . . . . . . 97
7.4.5 Kauffman多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3
7.4.5.1 Skein関係による定義 . . . . . . . . . . . 98
7.5 抽象テンソルとYang-Baxter方程式 . . . . . . . . . . . . . 98
7.5.1 抽象テンソル表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4
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1 ホモロジーとコホモロジー[LastUpdate: 2005.12.30]
1.1 鎖複体のホモロジーとコホモロジー
1.1.1 ホモロジー
【定義 1.1 (チェイン複体の圏)】 次数付R加群C∗ = (Cj)とその準同型 ∂ = (∂j),
· · · ∂j+2−−−→ Cj+1∂j+1−−−→ Cj
∂j−−−→ Cj−1∂j−1−−−→ · · ·
は ∂2 = 0を満たすとき，チェイン複体といい，C∗ = (Cj, ∂)と表す．２つのチェイン複体の次数付 R加群の準同型 φ : C∗ → D∗ が∂φ = φ∂を満たすとき，φをチェイン写像といい，対象をチェイン複体，射を複体写像とする圏をチェイン複体の圏と呼ぶ． �
【定義 1.2 (チェインホモトピー)】 チェイン複体C∗, D∗の射 f, g :
C∗ → D∗に対して，R線形写像の列Φn : Cn → Cn+1が存在して，
f − g = ∂n+1 ◦ Φn + Φn−1 ◦ ∂nが成り立つとき，Φ∗を f と gを結ぶチェインホモトピーという．このとき，f∗ = g∗ : H∗(C∗) → H∗(D∗)となる． �
【定義 1.3 (ホモロジー関手)】 チェイン複体C∗に対して，
H∗(C∗) = Z∗(C∗)/B∗(C∗); Z∗(C∗) = Ker ∂, B∗(C∗) = Im ∂
により，次数付きR加群H∗(C∗) = (Hj(C∗)), Z∗(C∗) = (Zj(C∗)), B∗(C∗) =
(Bj(C∗))を定義する．H∗(C∗)をC∗のホモロジー群，その元をホモロジー類，Z∗の元をサイクル，B∗の元をバウンダリーと呼ぶ．さらに，任意のチェイン写像 φ : C∗ → D∗に対して，ホモロジー写像と呼ばれるR準同型 φ∗ : H∗(C∗) → H∗(D∗)が φ∗([c]) = [φ(c)]により誘導される．チェイン複体にそのホモロジー群を，チェイン写像にそれから誘導されるホモロジー群のR準同型を対応させることにより定義される，チェイン複体の圏から次数付きR加群の圏への関手をホモロジー関手H∗と呼ぶ． �
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【命題 1.4 (連結準同型とホモロジー完全系列)】
1) 3つのチェイン複体 (A, ∂′), (X, ∂), (Y, ∂′′)の間の完全系列を
0 −−−→ Af−−−→ X
g−−−→ Y −−−→ 0
とする．このとき，y ∈ Zn(Y )に対して，
∂∗[y] = [f−1 ◦ ∂ ◦ g−1(y)]
によりR-線形写像 ∂∗ : Hn(Y ) → Hn−1(A)が定まる．この写像を，連結準同型という．さらに，次の完全系列が成り立つ：
· · · ∂∗−−−→ Hn(A)f∗−−−→ Hn(X)
g∗−−−→ Hn(Y )∂∗−−−→ Hn−1(A)
f∗−−−→ · · ·
2) ２組の完全系列の間の可換図式
0 −−−→ A −−−→ X −−−→ Y −−−→ 0⏐⏐�φ ⏐⏐� ⏐⏐�ψ0 −−−→ A′ −−−→ X ′ −−−→ Y ′ −−−→ 0
に対して，∂′∗ ◦ ψ∗ = φ∗ ◦ ∂∗ : H∗(Y ) → H∗(A)が成り立つ．
�
1.1.2 コホモロジー
【定義 1.5 (コチェイン複体)】 次数付R加群C∗ = (Cj)とその準同型 δ = (δj),
· · · δj−2−−−→ Cj−1 δj−1−−−→ Cj δj−−−→ Cj+1 δj+1−−−→ · · ·は δ2 = 0を満たすとき，コチェイン複体といい，C∗ = (Cj, δ)と表す．２つのコチェイン複体の次数付 R加群の準同型 φ : C∗ → D∗がδφ = φδを満たすとき，φをコチェイン写像といい，対象をコチェイン複体，射をコチェイン写像とする圏をコチェイン複体の圏と呼ぶ．
�
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【定義 1.6 (コホモロジー関手)】 コチェイン複体C∗に対して，
H∗(C∗) = Z∗(C∗)/B∗(C∗); Z∗(C∗) = Ker δ, B∗(C∗) = Im δ
により，次数付きR加群H∗(C∗) = (Hj(C∗)), Z∗(C∗) = (Zj(C∗)), B∗(C∗) =
(Bj(C∗))を定義する．H∗(C∗)をC∗のコホモロジー群，その元をコホモロジー類，Z∗の元をコサイクル，B∗の元をコバウンダリーと呼ぶ．さらに，コチェイン写像 φ : C∗ → D∗は，φ∗[u] = [φ(u)]によりコホモロジー群の間のR準同型 φ∗ : H∗(C∗) → H∗(D∗)を誘導する．コチェイン複体にそのコホモロジー群を，コチェイン写像にそれから誘導されるコホモロジー群のR準同型を対応させることにより定義される，コチェイン複体の圏から次数付きR加群の圏への関手をコホモロジー関手H∗と呼ぶ． �
【命題 1.7 (連結準同型とコホモロジー完全系列)】
1) 3つのコチェイン複体 (Y, δ′), (X, δ), (A, δ′′)の間の完全系列を
0 −−−→ Yf−−−→ X
g−−−→ A −−−→ 0
とする．このとき，a ∈ Zn(A)に対して，
δ∗[a] = [f−1 ◦ δ ◦ g−1(a)]
によりR-線形写像 δ∗ : Hn(A) → Hn+1(Y )が定まる．この写像を，連結準同型という．さらに，次の完全系列が成り立つ：
· · · δ∗−−−→ Hn(Y )f∗−−−→ Hn(X)
g∗−−−→ Hn(A)δ∗−−−→ Hn+1(Y )
f∗−−−→ · · ·
2) ２組の完全系列の間の可換図式
0 −−−→ Y −−−→ X −−−→ A −−−→ 0⏐⏐�φ ⏐⏐� ⏐⏐�ψ0 −−−→ Y ′ −−−→ X ′ −−−→ A′ −−−→ 0
に対して，δ′∗ ◦ ψ∗ = φ∗ ◦ δ∗ : H∗(A) → H∗(Y )が成り立つ．
�
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1.2 普遍係数定理とKunnethの定理
1.2.1 TorとExt
【定義 1.8 (加群のねじれ積)】 Rを単項イデアル整域とする．
1) R-加群Aに対して，R-自由加群F0, F1とR線形写像d : F1 → F0, ε :
F0 → Aが存在して，
0 −−−→ F1d−−−→ F0
ε−−−→ A −−−→ 0
が完全系列となるとき，この短完全系列をAの左自由分解という．
2) R加群A,BおよびAの左自由分解 1)に対して，チェイン複体
0 −−−→ F1 ⊗R Bd⊗1−−−→ F0 ⊗R B −−−→ 0
の１次ホモロジー群をAとBのねじれ積とよび，TorR(A,B)と表す：
TorR(A,B) = ker d⊗ 1
このとき，次の完全系列が成り立つ．
0 −−−→ TorR(A,B) −−−→ F1 ⊗R B −−−→ F0 ⊗R B −−−→ A⊗R B −−−→ 0
ねじれ積は自由分解の取り方によらず同型を除いて一意的である．
�
【命題 1.9 (加群のねじれ積の性質)】 加群のねじれ積は次の性質を持つ．
i) C をR加群の圏とするとき，TorはC × C からC への関手で，いずれの変数についても共変的である．
ii) Tor(A,B) = Tor(B,A).
iii) Tor(A⊕ B,C) = Tor(A,C)⊕ Tor(B,C).
iv) Aが自由加群の時，TorZ(A,B) = 0.
v) Kが標数 0の体，Aが有限生成加群のとき，TorZ(K,A) = 0.
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vi) TorZ(Zm,Zn) ∼= Zd (m,n > 0, d =GCD(m,n)).
vii) Kが体の時，TorK(A,B) = 0.
�
【定義 1.10 (Ext)】 Rを単項イデアル整域，A,BをR加群とする．Aの左自由分解
0 −−−→ F1d−−−→ F0
ε−−−→ A −−−→ 0
から誘導されるコチェイン複体
0 −−−→ HomR(F0, B)dT−−−→ HomR(F1, B) −−−→ 0
の１次コホモロジー群をExtR(A,B)と定義する：
ExtR(A,B) = HomR(F1, B)/Im dT .
このとき，次の完全系列が存在する．
0 −−−→ HomR(A,B) −−−→ HomR(F0, B) −−−→ HomR(F1, B) −−−→ ExtR(A,B).
ExtR(A,B)は，Aの自由分解の取り方によらず同型を除いて一意的に定まる． �
【命題 1.11 (Extの性質)】 加群の Ext積は次の性質をもつ．
i) C をR加群の圏とするとき，ExtはC ×C からC への関手を与え，第１変数について反変的，第２変数について共変的である．
ii) 任意のR加群A,B,Cに対して，
ExtR(A⊕B,C) ∼= ExtR(A,C)⊕ ExtR(B,C),
ExtR(A,B ⊕ C) ∼= ExtR(A,B)⊕ ExtR(A,C).
iii) 任意の加群Aに対して，
ExtZ(Z, B) = 0, ExtZ(Zm, B) ∼= B/mB (m > 0).
�
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1.2.2 普遍係数定理
【定理 1.12 (普遍係数定理 (ホモロジー))】 Rを単項イデアル整域，C∗を自由R加群のチェイン複体，GをR 加群とするとき，自然な短完全系列が存在する：
0 −−−→ Hn(C∗)⊗G −−−→ Hn(C∗ ⊗G) −−−→ TorR(Hn−1(C∗), G) −−−→ 0.
この完全系列は分解する． �
【定理 1.13 (普遍係数定理 (コホモロジー))】 Rを単項イデアル整域，C∗を自由R加群のチェイン複体，GをR 加群とするとき，次の短完全系列が存在する：
0 −−−→ ExtR(Hn−1(C∗), G) −−−→ Hn(HomR(C∗, G))
−−−→ HomR(Hn(C∗), G) −−−→ 0.
この短完全系列は分解する． �
1.2.3 Kunnethの定理
【定理 1.14 (Kunnethの定理 (ホモロジー))】 Rは単項イデアル整域，C∗は自由R加群のチェイン複体，D∗はR加群のチェイン複体とする．このとき，短完全系列
0 −−−→ ∑p+q=nHp(C∗)⊗R Hq(D∗)
×−−−→ Hn(C∗ ⊗R D∗)
−−−→ ∑p+q=n−1 TorR(Hp(C∗), Hq(D∗)) −−−→ 0
が存在する．D∗も自由R加群のチェイン複体のときには，この間全系列は分解する． �
【定理 1.15 (Kunnethの定理 (コホモロジー))】 Rは単項イデアル整域，C∗は自由R加群のコチェイン複体，D∗はR加群のコチェイン複体とする．このとき，短完全系列
0 −−−→ ∑p+q=nH
p(C∗)⊗R Hq(D∗) ×−−−→ Hn(C∗ ⊗R D
∗)
−−−→ ∑p+q=n+1 TorR(Hp(C∗), Hq(D∗)) −−−→ 0
が存在する．D∗も自由R加群のコチェイン複体のときには，この間全系列は分解する． �
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1.3 位相空間のホモロジーとコホモロジー
1.3.1 単体的（コ）ホモロジー
【定義 1.16 (単体複体)】
1) 集合Kとその部分集合の属Σが次の２条件を満たすとき，組 (K,Σ)
を単体複体という：
i) s ∈ Σに対して，s′ ⊂ s(s′ = ∅)なら，s′ ∈ Σ.
ii) 任意の v ∈ Kに対して，{v} ∈ Σ．さらに，∅ ∈ Σ.
s ∈ ΣがKの (n+ 1)この元からなるとき，sを n(次元)単体，とくに 0単体を頂点という．また，Kの濃度が有限，可算，任意の頂点を含む単体が有限個，可算個のとき，それぞれ有限，可算，局所有限，局所可算単体複体という．
2) 単体複体 (K,Σ), (K0,Σ0)に対して，K0 ⊂ KかつΣ0 ⊂ Σが成り立つとき，K0をKの部分複体という．
3) K,Lを単体複体とし，φ : K → Lを頂点集合の写像とする．K の任意の単体 s = {v0, · · · , vn}に対して，{φ(v0), · · · , φ(vn)}から重複する頂点を取り除いたものが Lの単体となるとき，φを単体写像という．さらに，単体複体K,Lの間の全単射φで，φと φ−1が共に単体写像となるものが存在するとき，Kと Lは同型であるという．
3) Kを単体複体とし，その q単体 sとする．sの頂点の列の集合において偶置換で移り合うものは同値という同値関係を与えたとき，各同値類を sの向きという．向きの与えられた q単体を向きのついたq単体と呼び，σと表す．sの頂点が {v0, · · · , vq}のとき，対応する向きのついた単体を σ = [v0, · · · , vq]と表記しする．
�
【定義 1.17 (単体的ホモロジーとコホモロジー)】
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1) 単体複体K の各単体に向きを与え，向きのついた q単体全体から生成される自由 Abel群を Cq(K)とする．さらに，線形写像 ∂q :
Cq(K) → Cq−1(K)を
∂q([v0, · · · , vq]) =
q∑k=0
(−1)k[v0, · · · , vk−1, vk+1, · · · , vq]
により定義する．ただし，σqの向きを反転した単体は−σq と同一視する．これにより定義されるチェイン複体 C∗ = (Cq, ∂q)のホモロジー群をHq(K)と表し，単体複体K の整係数ホモロジー群という．また，R加群Gに対して，R加群のチェイン複体C∗⊗Z Gから定義されるホモロジー群H∗(K;G)をK の G係数ホモロジー群という．さらに，R 加群のコチェイン複体 C∗ = HomZ(C∗, G)のコホモロジー群H∗(K;G)をG係数コホモロジー群という．
2) 単体分割可能な位相空間Xに対して，Kをその単体分割とするとき，H∗(K;G), H∗(K;G)は単体分割Kの取り方によらない．H∗(K;G)
およびH∗(K;G)をXの単体的ホモロジー群，単体的コホモロジー群という．
�
1.3.2 特異（コ）ホモロジー
1.3.2.1 定義
【定義 1.18 (特異チェイン複体)】
1) 位相空間Xに対して，Rn+1の標準単体ΔnからXへの連続写像
σ : Δn → X
を X の n-特異単体という．その全体から生成される自由加群をSn(X) として，その直和として定義される次数付加群を S∗(X) =
(Sn(X))とおく．ただし，n < 0に対してSn(X) = 0．∂n : Sn(X) →Sn−1(X)を
∂n(σ) =
n∑j=0
(−1)jσ◦εj , σ ∈ Sn(X)
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により定義する．ここで εjは，Δn−1の頂点 ek(k = 0, n− 1)にΔn
の頂点 ek(k ≤ j)，ek+1(k > j)を対応させることにより定義される，Δn−1からΔnへのアファイン写像である．S∗(X) = (Sj(X), ∂)はチェイン複体をなし，特異チェイン複体と呼ばれる．
2) 位相空間の対 (X,A)（A ⊂ X）に対して，チェイン複体 S∗(X)，S∗(A)から新たなチェイン複体
S∗(X,A) := S∗(X)/S∗(A)
が定義され，自然に位相空間の対の圏からZ-チェイン複体の圏への共変関手 S∗が得られる．また，R加群Gに対して，チェイン複体C∗に C∗ ⊗ Gおよび HomZ(C∗, G)を対応させると，それぞれ自然にチェイン複体の圏からR-チェイン複体への共変関手⊗G，およびR-コチェイン複体への反変関手Hom(∗, G)が得られる．関手の結合H∗◦⊗G◦S∗で得られる共変関手をG係数特異ホモロジー関手，それによる (X,A)の像H∗(X,A;G)を空間対 (X,A)のG係数特異ホモロジー群と呼ぶ．同様に，H∗◦Hom(∗, G)◦S∗で得られる反変関手をG係数特異コホモロジー関手，それによる (X,A)の像H∗(X,A;G)
を空間対 (X,A)のG係数特異コホモロジー群と呼ぶ．すなわち，
H∗(X,A;G) = H∗((S∗(X)/S∗(A))⊗G),
H∗(X,A;G) = H∗(Hom(S∗(X)/S∗(A), G))
である．以下，
S∗(X,A;G) = (S∗(X)/S∗(A))⊗G,
S∗(X,A;G) = Hom(S∗(X)/S∗(A), G)
と略記する．また，R = G = Zの時，Gを省略する．
�
【注 1.19】
1. c ∈ Sn(X)に対して，[c] ∈ Zn(X,A) ⇔ ∂c ∈ Sn(A)，[c] ∈ Bn(X,A) ⇔ ∃c′ ∈ Sn+1(X) s.t. c− ∂c′ ∈ Sn(A)
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2. 一般に，R加群の短完全列 0 → A→ B → Cに対して，Hom(C,G) →Hom(B,G) → Hom(A,G) → 0はやはり短完全列となる．これより，Sn(X,A;G)の元はu ∈ Hom(Sn(X), G)で u|Sn(A) = 0となるものと一対一に対応する．この対応の元で，< δ[u], [c] >=< u, ∂c >．よって，[u] ∈ Zn(X,A;G) ⇔ < u, ∂c >= 0∀c ∈ Sn+1(X)，[u] ∈ Bn(X,A;G) ⇔ ∃[u′] ∈ Hom(Sn−1(X), G) s.t. < u, c >=<
u′, ∂c > ∀c ∈ Sn−1(X)．
�
1.3.2.2 普遍係数定理
【定理 1.20 ((コ)ホモロジーの普遍係数定理)】 (X,A)を空間対，Gを加群とする．
1) 空間対のホモロジーに対して，自然な短完全系列
0 → Hn(X,A; Z)⊗G→ Hn(X,A;G) → TorZ(Hn−1(X,A; Z), G) → 0
が存在する．この短完全系列は分裂する．
2) 空間対のコホモロジーに対して，自然な短完全系列
0 → ExtZ(Hn−1(X,A; Z), G) → Hn(X,A;G) → Hom(Hn(X,A; Z), G) → 0
が存在する．この短完全系列は分裂する．
�
1.3.2.3 空間対の（コ）ホモロジー完全系列
【定理 1.21 (空間対のホモロジー完全系列)】
14 目次へ
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1. 空間対 (X,A)に対して，次の完全系列が成り立つ：
· · · −−−→ Hn+1(X,A;G)∂∗−−−→ Hn(A;G)
i∗−−−→ Hn(X;G)
j∗−−−→ Hn(X,A;G)∂∗−−−→ · · · .
特に，A = ∅のとき次の完全系列が成り立つ：
· · · −−−→ Hn+1(X,A;G)∂∗−−−→ Hn(A;G)
i∗−−−→ Hn(X;G)j∗−−−→ Hn(X,A;G)
∂∗−−−→ · · · .これらの完全系列は，空間対の連続写像に対して共変的関手性をもつ．
2. 空間の三つ組みB ⊂ A ⊂ Xに対して，次の完全系列が成り立つ：
· · · −−−→ Hn+1(X,A;G)∂∗−−−→ Hn(A,B;G)
i∗−−−→ Hn(X,B;G)j∗−−−→ Hn(X,A;G)
∂∗−−−→ · · · .この完全系列は，空間の３つ組の連続写像に対して共変的関手性をもつ．
�
【定理 1.22 (空間対のコホモロジー完全系列)】
1. 空間対 (X,A)に対して，次の完全系列が成り立つ：
· · · −−−→ Hn−1(A;G)δ∗−−−→ Hn(X,A;G)
j∗−−−→ Hn(X;G)
i∗−−−→ Hn(A;G)δ∗−−−→ · · · .
特に，A = ∅のとき次の完全系列が成り立つ：
· · · −−−→ Hn−1(A;G)δ∗−−−→ Hn(X,A;G)
j∗−−−→ Hn(X;G)
i∗−−−→ Hn(A;G)δ∗−−−→ · · · .
これらの完全系列は，空間対の連続写像に対して反変的関手性をもつ．
15 目次へ
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2. 空間の三つ組みB ⊂ A ⊂ Xに対して，次の完全系列が成り立つ：
· · · −−−→ Hn−1(A,B;G)δ∗−−−→ Hn(X,A;G)
j∗−−−→ Hn(X,B;G)
i∗−−−→ Hn(A,B;G)δ∗−−−→ · · · .
この完全系列は，空間の３つ組の連続写像に対して反変的関手性をもつ．
�
1.3.2.4 切除定理とMayers-Vietorisの定理
【定義 1.23 (切除的)】 位相空間X の部分空間X1, X2に対し，包含写像
S(X1) + S(X2) → S(X1 ∪X2)
がチェインホモトピー同値写像であるとき，組 {X1, X2}は切除的であるという．Y = X1 ∪X2におけるXiの内部を intYXiと書くとき，
Y = intYX1 ∪ intYX2
ならば，{X1, X2}は切除的である． �
【定理 1.24 (Mayers-Vietoris完全系列)】 Xを位相空間，{X1, X2}をXの切除的な空間の組とするとき，関手性をもつ次の加群の完全系列が存在する：
· · · Δ−−−→ Hn(X1 ∩X2;G)i1∗⊕(−i∗2)−−−−−−→ Hn(X1;G)⊕Hn(X2;G)
j1∗+j2∗−−−−→ Hn(X1 ∪X2;G)Δ−−−→ Hn−1(X1 ∩X2;G) −−−→ · · · ,
· · · Δ−−−→ Hn(X1 ∪X2;G)j∗1⊕(j∗2 )−−−−→ Hn(X1;G)⊕Hn(X2;G)
i∗1−i∗2−−−→ Hn(X1 ∩X2;G)Δ−−−→ Hn−1(X1 ∪X2;G) −−−→ · · ·
また，X1 ∩X2 = ∅であるときは，Hq(Hq)を簡約ホモロジー（コホ
モロジー）Hq(Hq)で置き換えた完全系列が存在する． �
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【定理 1.25 (切除定理)】 U ⊂ A ⊂ Xを位相空間Xの部分空間の列とし，部分空間 V で V A
◦かつ，X − V からX − U への変位レト
ラクション rtで rt(A− V ) ⊂ A− V となるものが存在するなら，包含写像 i : (X −U,A−U) → (X,A)は任意の係数群Gに対してホモロジー群とコホモロジー群の同型
i∗ : Hn(X − U,A− U ;G) −−−→∼= Hn(X,A;G),
i∗ : Hn(X,A;G) −−−→∼= Hn(X − U,A− U ;G)
を誘導する． �
1.3.3 CW複体の（コ）ホモロジー
【定義 1.26 (CW複体)】
1) Hausdorff空間の部分集合eに対して，相対同相写像φ : (Dn, Sn−1) →(e, e)が存在するとき，eを n(次元)胞体，φをその特性写像という．
2) Hausdorff空間Xの胞体の集合 {eλ | λ ∈ Λ}は，次の条件を満たすときXの胞体分割という．
i) eμ ∩ eν = ∅(μ = ν).
ii) X = ∪λ∈Λeλ.iii) Xq := ∪μ:dim eµ≤qeμとおくとき，dim eμ = q+1ならば eμ ⊂ Xq.
3) 胞体分割の与えられたHausdorff空間Xを胞体複体，その０胞体を頂点，Xqを q切片という．また，Xの部分集合Aと交わるXの胞体 eに対して e ⊂ Aが成り立つならば，Aと交わる胞体の全体はA
の胞体分割を与える．この胞体分割をもつ AをX の部分複体という．Xの胞体の数が有限，可算のときそれぞれ有限複体，可算複体という．また，各点 x ∈ Xに対して，x ∈ intAとなる有限（可算）部分複体Aが存在するとき，Xは局所有限（可算）であるという．
4) 胞体複体Xから胞体複体Y への連続写像 fは，f(Xq) ⊂ Y qを満たすとき，胞体写像という．
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5) 胞体複体Xは，次の２条件を満たすときCW複体という：
C) Xの各胞体 eに対して eを胞体として持つ有限部分複体が存在する．
W) X の集合 U は，X の各胞体 eに対して U ∩ eが eの開集合のときしかもそのときに限り開集合である．
�
【命題 1.27 (CW複体の性質)】 CW複体は次の性質を持つ．
1) 局所有限な胞体複体はCW複体である．（逆は成り立たない．）
2) CW複体X の胞体複体としての部分複体Aは閉集合であり，再びCW複体となる．
3) CW複体はパラコンパクトな正規空間で，局所可縮である．
4) (胞体近似定理) CW複体の間の任意の連続写像に対して，それとホモトープな胞体写像が存在する．
5) CW複体とその部分複体との対は，任意の位相空間に対してホモトピー拡張性質をもつ．
6) CW複体は任意のファイバー空間に対して被覆ホモトピー性を持つ．
7) CW複体X, Y の積複体X × Y は，X と Y のいずれかが局所有限ないし両方が局所可算ならば，CW複体となる．
8) CW複体X, Y に対して，その積複体X ×Y はあるCW複体にホモトピー同値である．
9) 多面体 |K|はその開単体全体の集合を胞体分割として，正則 (eq ∼=Dq)なCW複体となる．逆に，任意のCW複体に対して，それとホモトピー同値な多面体が存在する．
�
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【命題 1.28】 CW複体Xとその部分複体 Aの対 (X,A)に対して，Xq = Xq ∪ Aとおく．任意の係数群Gに対して
Hq(Xn, Xn−1;G) = 0 (q = n),∑
λ∈Λn
φλ∗ :∑λ∈Λn
Hn(Dnλ, S
n−1λ ;G)
∼=−→ Hn(Xn, Xn−1;G)
が成り立つ．特に，Hn(Xn, Xn−1)は自由加群となる． �
【定義 1.29 (CW複体のチェイン複体)】
1) 加群Cn(X,A)を
Cn(X,A) := Hn(Xn, Xn−1)
により定義する．さらに，∂ : Cn(X,A) → Cn−1(X,A)を空間対(Xn, Xn−1)に対する連結準同型 ∂∗と射影準同型 j∗を用いて
∂ : Hn(Xn, Xn−1)
∂∗−→ Hn−1(Xn−1)
j∗−→ Hn−1(Xn−1, Xn−2)
により定義する．このとき，(C∗(X,A), ∂)はチェイン複体となる．これをCW対 (X,A)のチェイン複体という．
2) CW対 (X,A)に対して，そのチェイン複体C∗(X,A)から定義されるホモロジー群H∗(C∗(X,A)⊗G)およびコホモロジー群H∗(Hom(C∗(X,A), G)
をCW対の胞体ホモロジー群および胞体コホモロジー群という．
�
1.3.4 Cechの (コ)ホモロジー
【定義 1.30 (Cechの（コ）ホモロジー)】 位相空間Xの開被覆U に対して，U に属する各開集合を頂点，共通部分が空でないnコの開集合の組をn単体と定義すると，U から単体複体K(U )が作られる．Xとその部分空間Aに対して，このようにして得られる単体複体の対を(K(U ), L(U ′))とすると，そのホモロジー群 H∗(K(U ), L(U ′);G)
19 目次へ
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およびコホモロジー群H∗(K(U ), L(U ′);G)が定義される．次に，Xの開被覆全体の属は，細分により擬有向集合となり，これらのホモロジー群とコホモロジー群はこの擬有向集合に対して，それぞれ射影系および帰納系となる．それらの射影極限および帰納極限をそれぞれ，空間対 (X,A)に対するCechのホモロジー群およびコホモロジー群という：
H∗(X,A;G) = lim←H∗(K(U ), L(U ′);G),
H∗(X,A;G) = lim→H∗(K(U ), L(U ′);G)
�
1.3.5 様々な (コ)ホモロジーの関係
【定義 1.31 (Eilenberg-Steenrodの公理)】
1) 次の３つの関数の集合をH∗で定義する：
i) 各位相空間対 (X,A)と各整数 qに対して，Abel群Hq(X,A)を対応させる関数．
ii) 各連続写像 f : (X,A) → (Y,B)と各整数 qに対して，準同型f ∗ : Hq(Y,B) → Hq(X,A)を対応させる関数．
iii) 各位相空間対 (X,A)と各整数 qに対して，準同型 δ∗ : Hq →Hq+1(X,A)を対応させる関数．
H∗が次の７つの公理を満たすとき，H∗を位相空間対の圏上のコホモロジー理論という．
I) 1∗ = 1
II) f : (X,A) → (Y,B)，g : (Y,B) → (Z,C)ならば，(g ◦ f)∗ =
f ∗ ◦ g∗．III) (ホモトピー公理) f � g : (X,A) → (Y,B)ならば，f ∗ = g∗．
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IV) (完全性公理）つぎの系列は完全である：
· · · δ∗−−−→ Hq(X,A)j∗−−−→ Hq(X)
i∗−−−→ Hq(A)
δ∗−−−→ Hq+1(X,A)j∗−−−→ · · · .
ここで，i : A ⊂ X，j : (X, φ) ⊂ (X,A)．
V) f : (X,A) → (Y,B)に対して，f ∗ ◦ δ∗ = δ∗ ◦ (f |A)∗．
VI) (切除公理）Xの開集合U が U ⊂ intAを満たすとき，
i∗ : Hq(X,A) ∼= Hq(X − U,A− U).
VII) (次元公理）Hq(pt) = 0 (q = 0)．
コンパクトなHausdorff空間対のつくる圏上のコホモロジー理論も同様に定義される．また，双対的に，圏上のホモロジー理論が定義される．
2) CW対の圏上の（コ）ホモロジー理論が，公理VI)を次の切除公理に置き換えることにより定義される：X1, X2がある CW複体の部分複体ならば，
i∗ : Hq(X1 ∪X2, X2) ∼= Hq(X1, X1 ∩X2)
�
【定理 1.32】
1) 単体複体，CW複体，多様体に対して，特異およぼCeckの（コ）ホモロジー群は同型となり，単体複体およびCW複体に対しては，それぞれ単体的（コ）ホモロジー群および胞体的（コ）ホモロジー群と同型となる．
2) Gを係数に持つ特異（コ）ホモロジー群は，位相空間対の圏上の（コ）ホモロジー理論となる．
3) Gに係数をもつCeckコホモロジー群は，位相空間対の圏上のコホモロジー理論となる．体に係数を持つCeckホモロジー群は，コンパクトなHausdorff空間の作る圏上のホモロジー理論となる．
21 目次へ
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4) Gに係数をもつCeck（コ）ホモロジー理論はCW対の圏上の (コ）ホモロジー理論となり，同じ圏上で特異（コ）ホモロジー理論と同型である．
�
1.3.6 局所系の (コ)ホモロジー
【定義 1.33 (局所系)】
1) Xを位相空間として，Xの点 xを点 yにつなぐ道の空間Ω(X; x, y)
のホモトピー類をM(y, x)とおく．X の点を対象，M(y, x)を射とする圏をXの基本亜群とよび，Π(X)と表す．
2) X の基本亜群 Π(X)から圏 C への共変関手S を C に値を持つX
上の局所系という．
3) C に値をとる局所系S に対して，γ ∈M(x, x)にS (γ) ∈ Aut(Sx)
を対応させることにより定義される準同型
Sx : π1(X, x) → Aut(Sx)
を，S の xを基点とする特性準同型という．
�
【定理 1.34】
1) X を弧状連結な空間，x0 ∈ X, C を圏とする．C に値をもつX 上の局所系の同値類の全体と準同型 π1(X, x0) → Aut(A)(A ∈ C )の共役類の全体は特性準同型をとることにより１対１に対応する．
2) Xを弧状連結かつ局所弧状連結な空間とする．Xの弧状連結な開集合の基に対して定義された圏C に値をとる前層S は，その射影が常に同型射となるならば，そのストークSxが局所系を定義する．
22 目次へ
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�
【定義 1.35 (単純な局所系)】 X 上の局所系S は，特性準同型が自明となるとき単純であるという．これは，S (γ) : S (y) → S (x)
が γ ∈M(y, x)の取り方に依らないことと同値である． �
【定義 1.36 (n単純)】 位相空間Xが弧状連結で，その上の局所系{πn(X, x); x ∈ X}が単純であるとき，Xはn単純であるという． �
1.3.7 無限チェインのホモロジー
【定義 1.37】 X を局所コンパクトな空間，S を R加群に値をもつX上の局所系とする．このとき，X上の局所有限なS 係数特異qチェインの全体を Sq(X; S )とすると，S(X; S ) = (Sq(X; S ), ∂)
はチェイン複体となる．このXの無限特異チェイン複体，そのホモロジー群を H∗(X; S )と書き，Xの無限チェインのホモロジー群という． �
1.3.8 コンパクト台のコホモロジー
【定義 1.38】 Xを局所コンパクトな空間，S をその上の局所系とするとき，そのコンパクト集合の全体 {K}の帰納系 {S∗(X,X −K; S )}に対して，その帰納的極限
S∗(X; S ) := lim→K
S∗(X,X −K; S )
をコンパクトな台をもつコチェイン複体，そのコホモロジー群 H∗(X; S )
をコンパクトな台のコホモロジー群という． �
【定理 1.39】 Xを局所コンパクト空間，S をその上の局所系とするとき，
H∗(X; S ) = lim→K
H∗(X,X −K; S )
23 目次へ
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が成り立つ．さらに，自然な準同型
H∗(X; S ) → H∗(X; S )
が存在し，特にXがコンパクトであるときこの準同型は同型となる．�
1.4 (コ)ホモロジーの積演算
1.4.1 積の (コ)ホモロジー
【定義 1.40 (切除的)】 位相空間X の部分空間X1, X2に対し，線形写像 S(X1) + S(X2) → S(X1 ∪X2)がチェインホモトピー同値写像となるとき，(X1, X2)は切除的であるという． �
【定義 1.41 (クロス積)】
1) X × Y の特異 n単体 (σ, τ)に対して，
ρ(σ, τ) =n∑i=0
∂i+1 · · ·∂nσ ⊗ ∂0 · · ·∂i−1τ
で与えられる ρ : S(X × Y ) → S(X)⊗ S(Y )は，自然なホモトピー同値写像を与え，Alexander-Whitney写像と呼ばれる．ρのチェインホモトピー逆写像を κ : S(X)⊗ S(Y ) → S(X × Y )と表記する．
2) 空間対 (X,A), (Y,B)に対して，合成写像
× : Hp(X,A;G1)⊗Hq(Y,B;G2)×−→ Hp+q(S(X,A;G1)⊗ S(Y,B;G2))
κ∗−→ Hp+q(S((X,A)× (Y,B);G1 ⊗G2))
を特異ホモロジー群におけるクロス積という．{A× Y,X ×B}が切除的であるか，または (X,A), (Y,B)がCW対でいずれか一方が局所有限ならば，κ∗は同型写像である．
24 目次へ
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3) 空間対 (X,A), (Y,B)に対して，{A× Y,X × B}が切除的であるか，または (X,A), (Y,B)がCW対でいずれか一方が局所有限または有限型（各 q切片が有限）とする．このとき，合成写像
× : Hp(X,A;G1)⊗Hq(Y,B;G2)×−→ Hp+q(S∗(X,A;G1)⊗ S∗(Y,B;G2))
ρ∗−→ Hp+q(S∗((X,A)× (Y,B);G1 ⊗G2))
を特異コホモロジー群におけるクロス積という．
�
【定理 1.42 ((コ)ホモロジーに対するKunnethの公式)】 Rを単項イデアル整域であるとする．
1) 位相空間対 (X,A), (Y,B)に対して，{A× Y,X × B}が切除的であるとする．そのとき，標準的な短完全系列
0 −−−→ ∑p+q=nHp(X,A;R)⊗R Hq(Y,B;R)
×−−−→ Hn((X,A)× (Y,B);R)
−−−→ ∑p+q=n−1 TorR(Hp(X,A;R), Hq(Y,B;R)) −−−→ 0
が存在する．この短完全系列は分解する．
2) (X,A), (Y,B)はCW複体対で，Xは有限型のCW複体とする．そのとき，自然な短完全系列
0 −−−→ ∑p+q=nH
p(X,A)⊗Z Hq(Y,B)
×−−−→ Hn((X,A)× (Y,B))
−−−→ ∑p+q=n+1 TorZ(Hp(X,A), Hq(Y,B)) −−−→ 0
が存在する．この短完全系列は分解する．
�
1.4.2 カップ積とキャップ積
【定義 1.43 (カップ積)】 空間Xとその部分空間A1, A2を考える．{A1 ×X,X × A2}がX ×Xで切除的であるか，{A1, A2}がXで切除的であるとする．標準対角写像Δ : X → X×Xとクロス積の合成
�: Hp(X,A1;G1)×Hq(X,A2;G2)×−→ Hp+q((X,A1)× (X,A2);G1 ⊗G2)
Δ∗−→ Hp+q(X,A1 ∪A2;G1 ⊗G2)
25 目次へ
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をカップ積という．u ∈ Sp(X;G1), u2 ∈ Sq(X;G2)，σ ∈ Sp+q(X)に対して
〈σ, u � v〉 := 〈∂p+1 · · ·∂p+qσ, u〉〈∂0 · · ·∂p−1σ, v〉 ∈ G1 ⊗G2
とおくとき，
δ(u � v) = (δu) � v + (−1)pu � (δv),
[u] � [v] = [u � v]
が成り立つ． �
【命題 1.44 (カップ積の性質)】 u ∈ Hp(X,A1;R), v ∈ Hq(X,A2;R), w ∈Hr(X,A3;R)とし，カップ積 u � vなどがすべて定義されているものとする．
1) 連続写像 f : Y → X で f(Bi) ⊂ Ai(i = 1, 2)となるものに対して，f ∗u � f vが定義されていれば，
f ∗(u � v) = f ∗(u) � f ∗(v) ∈ Hp+q(Y,B1 ∪B2;R)
が成り立つ．
2) (結合律) (u � v) � w = u � (v � w)．
3) Rが単位元を持つとする．そのとき，1 ∈ H0(X;R)に対して，
u � 1 = 1 � u = u ∈ H0(X,A1;R)
4) Rは可換環であるとする．そのとき，
v � u = (−1)pqu � v ∈ Hp+q(X,A1 ∪ A2;R)
�
【定義 1.45 (キャップ積)】 G1, G2を加群として，c =∑
i σi ⊗ gi ∈Sn(X;G1), u ∈ Sp(X;G2)に対して，c � u ∈ Sn−p(X;G1 ⊗G2)を
c � u =∑i
∂0 · · ·∂p−1σi(gi ⊗ 〈∂p+1 · · ·∂nσi, u〉)
26 目次へ
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により定義する．このとき，
∂(c � u) = (−1)p(∂c � u− c � δu)
が成り立ち，A,BがXの中で切除的ならば，積演算
�: Hn(X,A ∪B;G1)×Hp(X,A;G2) → Hn−p(X,B;G1 ⊗G2)
が，[c] � [u] = [c � u]により定義される．この積をキャップ積という． �
【命題 1.46 (キャップ積の性質)】 Rは単位元をもつ可換環，X, Yは位相空間，A,AiはXの部分空間，Biは Y の部分空間とする．
1) {A1, A2}はXの中で切除的，{B1, B2}はY の中で切除的，f : X →Y は f(Ai) ⊂ Bi(i = 1, 2)となる連続写像とする．そのとき，c ∈Hn(X,A1 ∪ A2;R), v ∈ Hp(Y,B1;R)に対して，
f∗(c � f ∗v) = f∗(c) � v ∈ Hn−p(Y,B2;R)
が成り立つ．
2) c ∈ Hn(X,A1 ∪A2 ∪A3;R), u ∈ Hp(X,A1;R), v ∈ Hq(X,A2;R)に対し，c � uなどのキャップ積はすべて定義されているものとする．そのとき，
(c � u) � v = c � (u � v) ∈ Hn−p−q(X,A3;R)
3) 単位コホモロジー類 1 ∈ H0(X;R)と任意の c ∈ Hn(X,A;R)に対して，
c � 1 = c.
4) c ∈ Hn(X,A;R), u ∈ Hn(X,A;R)に対し，
ε∗(c � u) = 〈c, u〉 ∈ R
が成り立つ．ただし，ε∗は添加写像 ε : S0(X) → Zが誘導するホモロジーの準同型H0(X;R) → Rを表す．
�
27 目次へ
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1.5 例
1.5.1 Euler数とLefschetz数
【定義 1.47 (定義)】 (X,A)が有限型のホモロジーをもち，十分大きい nに対してHn(X,A) = 0となるとき，(X,A)は有限生成ホモロジーをもつという．このとき，Hn(X,A)の捻れ部分群を Tnとして，Hn(X,A) = Hn(X,A)/Tnとおくと，連続写像 f : (X,A) → (X,A)
から誘導される写像 f(n)∗ : Hn(X,A) → Hn(X,A)から定義される
整数
L(f) :=∞∑n=0
(−1)ntrf (0)∗
を f の Lefschetz数という．また，特に L(1)，すなわち
χ(X,A) :=
∞∑n=0
(−1)nbn
を空間対 (X,A)の Euler数という． �
【定理 1.48 (Hopf)】 (X,A)を有限 CW複体の対，f : (X,A) →(X,A)を胞体写像，それから誘導される Cn(X,A)の準同型を f
(n)�
とするとき，
L(f) =
n∑n=0
trf(0)�
が成り立つ．特に，f = idに対して，Xの n胞体でAに含まれないものの個数を cnとするとき，
χ(X,A) =∑n
(−1)ncn.
�
【定理 1.49 (和空間)】 Xを位相空間，{X1, X2}を切除的部分空間の組でX1, X2およびA = X1 ∩X2がすべて有限生成ホモロジーをもつとする．このとき，X = X1∪X2も有限生成ホモロジーをもち，連続写像 f : X → Xで f(Xi) ⊂ Xiとなるものに対し，
L(f) + L(f |A) = L(f |X1) + L(f |X2)
28 目次へ
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が成り立つ．特に，
χ(X) + χ(A) = χ(X1) + χ(X2).
�
【定理 1.50 (積空間)】 X, Y はともに有限生成ホモロジーをもつ空間とする．このとき，X × Y も有限生成ホモロジーをもち，連続写像 f : X ×X, g : Y × Y に対し，
L(f × g) = L(f)L(g)
が成り立つ．特に，
χ(X × Y ) = χ(X)χ(Y ).
�
1.5.2 多様体
1.5.2.1 連結和
【命題 1.51】 任意の位相空間Xに対して
Hq(X × I,X × ∂I) ∼= Hq−1(X),
Hq(X × I,X × ∂I) ∼= Hq−1(X).
�
【命題 1.52 (ホモロジー群)】 X, Y を n次元多様体（n ≥ 3）とするとき，
Hq(X�Y ) ∼= Hq(X)⊕Hq(Y ); 1 ≤ q ≤ n− 2
が成り立つ．さらに，X, Y が境界を持たないコンパクト多様体の時，
Hn−1(X�Y ) ∼= Hn−1(X)⊕Hn−1(Y )
�
29 目次へ
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【定理 1.53 (Euler数)】 X, Y を n次元多様体とするとき，
χ(X�Y ) =
⎧⎪⎨⎪⎩
χ(X) + χ(Y )− 1− (−1)n ;X, Y compact,
χ(X) + χ(Y )− 1 + (−1)n ;X, Y noncompact,
χ(X) + χ(Y )− 1 ; the other cases.
�
1.5.2.2 RP n
1 Snの CW分割と CWチェイン複体： 単位球体Dk ⊂ Rkの標準の向きを
uk : Δk = (0, 1, · · · , k) → (v1, · · · , vk, 0) ⊂ Dk
の定めるHk(Dk, Dk − (v1 + · · ·+ vk)/k) ∼= Hk(D
k, Dk − 0)の元と定義する．ここで，vjは j座標軸の単位点を表すベクトル．標準の入射列
· · · ⊂ Rn−1 ⊂ Rn ⊂ · · ·に対して，Sn ⊂ Rn+1の k胞体を
ek± = Sn ∩Rk± (k = 0, 1, · · · , n)
とおくと，Sn = e0+ ∪ e0− ∪ · · · en+ ∪ en−.
j : Rk+1 → Rk を標準射影 j(x1, · · · , xk+1) = (x1, · · · , xk)として，ek±の向きを
j∗[ek±, ∂ek±] = ±[Dk, ∂Dk]
により定めると，
∂Dk± ∼ ±∂(v1, · · · , vk−1,±vk, 0)
∼ ±(−1)k−1(v1, · · · , vk−1, 0)± (−1)k(v1, · · · , vk−1,±vk) + · · ·
において，
j∗(v1, · · · , vk−1,±vk) = (v1, · · · , vk−1, 0) ∼ Dk−1
30 目次へ
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より，∂∗[Dk
±, ∂Dk±] = ∓(−1)kDk−1 + (−1)kek−1
±
よって，
∂ek± = ±∂[Dk, ∂Dk−1] = ±(−1)k(ek−1+ + ek−1
− ) (k = 1, · · · , n).
2) T : Rn+1 → Rn+1を T (x) = −xにより定めると，
π : Sn → RP n = Sn/ {1, T} .
RP nの胞体をek = π∗(ek+)
により定めると，e0, · · · , enはRP nの胞体分割を与える：
RP n = e0 ∪ e1 ∪ · · · ∪ en.
このとき，π∗(ek−) = (−1)k+1ek
より，∂ek = (1 + (−1)k)ek−1.
すなわち，
0 → Cn×(1+(−1)n)−−−−−−−→ Cn−1 · · ·C2
×2−→ C10−→ C0 → 0.
よって，H0(RP
n) = Z,
H2k(RPn) = 0 (k > 0),
H2k−1(RPn) = Z2 (2k − 1 < n),
H2k−1(RPn) = Z (2k − 1 = n).
2 ホモトピー[LastUpdate: 2005.12.30]
31 目次へ
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2.1 Lie群のホモトピー
2.1.1 コンパクトLie群
【定理 2.1 (安定ホモトピー)】 nを kに対して十分大きく取れば，古典コンパクト単純Lie群Gのホモトピー群はnに依存しなくなる．具体的には，k ≥ 2のとき，
πk(U) = πk(U(n)) ∼= πk(SU(n)), n ≥ (k + 1)/2, (1)
πk(O) = πk(SO(n)), n ≥ k + 2, (2)
πk(Sp) = πk(Sp(n)), n ≥ (k − 1)/4. (3)
�
【定理 2.2 (Bottの周期性)】
πk(U) ∼={∞ ; k ≡ 1(mod2),
0 ; k ≡ 0(mod2).(4)
πk(O) ∼=
⎧⎪⎨⎪⎩∞ ; k ≡ 3, 7(mod8),
2 ; k ≡ 0, 1(mod8),
0 ; k ≡ 2, 4, 5, 6(mod8).
(5)
πk(O) ∼=
⎧⎪⎨⎪⎩∞ ; k ≡ 3, 7(mod8),
2 ; k ≡ 4, 5(mod8),
0 ; k ≡ 0, 1, 2, 6(mod8).
(6)
�
【定理 2.3 (低次のホモトピー群)】 Gをコンパクト連結Lie群とする：G = SO(n) (n ≥ 2), Spin(n) (n ≥ 3), U(n) (n ≥ 1), SU(n) (n ≥ 2),
Sp(n) (n ≥ 1), G2, F4, E2, E6, E8.
1) 基本群 π1(G):
π1(G) ∼=
⎧⎪⎨⎪⎩∞ ;G = U(n) (n ≥ 1), SO(2),
2 ;G = SO(n) (n ≥ 3),
0 ;その他(7)
32 目次へ
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2) π2(G):
π2(G) = 0. (8)
3) π3(G):
π3(G) ∼=
⎧⎪⎨⎪⎩
0 ;G = U (1) ∼= SO(2)
∞+∞ ;G = SO(4) Spin(4)
∞ ;その他(9)
4) π4(G):
π4(G) ∼=
⎧⎪⎨⎪⎩
2 + 2 ;G = SO(4) Spin(4)
2 ;G = Sp(n), SU(2), SO(3), SO(5), Spin(3), Spin(5)
0 ;G = SU(n) (n ≥ 3), SO(n) (n ≥ 6), G2, F4, E6, E7, E8
(10)
5) π5(G):
π5(G) ∼=
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
2 + 2 ;G = SO(4) Spin(4),
2 ;G = Sp(n), SU(2), SO(3), SO(5), Spin(3), Spin(5)
∞ ;G = SU(n) (n ≥ 3), SO(6), Spin(6)
0 ;G = SO(n), Spin(n) (n ≥ 7), G2, F4, E6, E7, E8
(11)
�
3 Manifolds
[LastUpdate: 2005.12.30]
3.1 位相多様体
【定義 3.1 (位相多様体)】 n次元Euclide空間Rnの半空間{x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn | xn ≥ 0}をHn，その部分空間 {x ∈ Hn | xn = 0}を ∂Hnと表す．
i) Hausdorff空間M の各点 pがHnの開集合と同相な近傍 U(p)をもつとき，M を n次元位相多様体という．
33 目次へ
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ii) n次元位相多様体M の開近傍 U と U からHnの開集合への同相写像 ψの組 (U, ψ)を，座標近傍という．さらに，座標近傍の族 S =
{Uα, ψα}α∈Aで {Uα}α∈AがM の開被覆となるものを，座標近傍系という．
iii) n次元位相多様体Mの座標近傍系S = {Uα, ψα}α∈Aに対して，∂M =
∪α∈Aψ−1α (∂Hn)をM の境界という．
�
4 微分位相幾何学[LastUpdate: 2005.12.30]
4.1 歴史
1934 Morse理論 [Morse M. (1934)]
1940 3角形分割定理 [Cairns SS (1935), Whitehead JHC (1940)]
1944 Whitneyの埋め込み定理，Whitneyトリック: n次元C∞多様体は，R2n−1にはめ込み可能，R2nに埋め込み可能 [Whitney H(1944)]
1952 Rokhlinの定理 [Rokhlin (1952)]
1954 同境群に対するThomの基本定理 [Thom R (1954)]
1960 Stiefe-Whitney数およびPontryagin数による同境条件の完全な特徴付け [Wall CTC (1960)]
1961 コンパクト多様体上のMorse関数の存在とハンドル体分解 [Smale S
(1961), Thom R, Wallace, Morse M]
n ≥ 5に対する一般Poincare予想の解決 [Smale S (1961)]
1962 h-同境定理: 5次元以上の単連結コンパクトC∞多様体に対する h-
同境定理 [Smale S(1962)]
34 目次へ
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単連結コンパクト５次元スピン多様体の微分同相類の決定 [Smale S
(1962)]
2連結コンパクト C∞ ６次元多様体の微分同相類の決定 [Smale S
(1962)]
1963 n− 1連結 2n次元多様体の微分同相類の決定 [Wall CTC (1962)]
• n− 1連結 2n + 1次元多様体の微分同相類の決定 [Tamura I(1963),
Wall CTC (1963)]
手術手法の開発 [Kervaire MA and Milnor JW (1963)]
Atiyah-Singerの指数定理 [Atiyah and Singer (1963)]
1981 4次元Poincare予想の解決 [Freedman MH(1982)]
1982 R4の異なる微分構造の存在 [Donaldson SK (1983)]
1985 Donaldson多項式 [Donaldson SK]
1987 4次元 h同境定理の反例 [Donaldson SK]
4.2 モース関数
【定義 4.1 (モース関数)】 M を n次元C∞多様体とする．
1. C1関数 f に対して，dfp = 0となる点 p ∈M を f の臨界点という．
2. p ∈M をC2関数 f の臨界点とする．このとき，
Hμν(p) = (∂μ∂νf)(p)
は pにおける２階の対称テンソルとなり，Hesse行列と呼ばれる．
3. p ∈ M をC2関数 f の臨界点とする．その点におけるHesse行列が正則であるとき，臨界点 pは非退化であるという．非退化な臨界点に対しては，Hesse行列の負固有値の数をその指数という．
4. M 上の C∞関数 f が非退化な臨界点しか持たず，かつ ∂M = ∅のときには ∂M 上に臨界点をもたないとき，f をMorse関数という．
35 目次へ
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�
【定理 4.2】 M を n次元 C∞多様体とするとき，M 上にMorse関数が存在する． �
【定義 4.3 (多様体の三つ組み)】
1. W をコンパクトなC∞多様体として（連結でなくてもよい），その境界 ∂W（空集合でもよい）を連結成分の和集合で表される２成分V0, V1の分解する：
∂W = V0 ∪ V1, V0 ∩ V1 = ∅.
このとき，(W ;V0, V1)をC∞多様体の三つ組という．
2. C∞多様体の三つ組み (W ;V0, V1)上のMorse関数が次の条件を満たすとき，f を (W ;V0, V1)に適合するMorse関数という：
i) f(W ) = [a, b] (a < b).
ii) V0 = ∅のとき，V0 = f−1(a)．V1 = ∅のとき，V1 = f−1(b)．
�
【定理 4.4】 C∞多様体の三つ組み (W ;V0, V1)に対して，それに適合するMorse関数が常に存在する． �
4.3 5次元以上の多様体
4.3.1 h同境定理
【定理 4.5 (h同境定理)】 W nをコンパクトな n次元 C∞多様体，(W n;V0, V1)をC∞多様体の３つ組とするとき，この３つ組が次の３条件を満たしていれば，W n = V0× Iが成り立つ．特に，V0 = V1である．
36 目次へ
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i) W n, V0, V1はすべて連結かつ単連結である．
ii) n ≥ 6.
iii) Hq(Wn, V0) = 0 (q = 0, 1, 2, · · · ).
�
【定義 4.6 (h同境)】 n次元閉（可微分）多様体V, V ′が同境V ∪V ′ =∂W n+1 でかつ，包含写像 V → W n+1，V ′ → W n+1が共にホモトピー同値写像となるとき，V と V ′は h同境であるという．このとき，H∗(W n+1, V ) = 0が成り立つ． �
【定理 4.7 (Smale:可微分多様体のh同境定理)】 V, V ′を連結かつ単連結な閉じたn次元C∞多様体とする．もしも，n ≥ 5であってV とV ′が h同境ならば，V と V ′はC∞同相である．[Smale, S.: On the
structure of manifolds, Amer. J. Math. 8, 387-399 (1962); Smale,
S.: Lectures on h-cobordism theorem,Princeton Univ. Press (1965)]
[田村一郎：微分位相幾何学] �
【定理 4.8 (Kirby-Siebenmann:位相多様体の h同境定理)】 V, V ′
を連結で単連結な n次元位相多様体とする．n ≥ 5で V と V ′ がh同境なら，V と V ′は同相である．[Kirby, R.C. and Siebenmann,
L.C.: Foundational Essays on Topological Manifolds, Smoothings,
and Triangulations, Ann. Math. Studies 88, Princeton (1977)] �
4.3.2 Poincare予想
【定理 4.9 (Stallings 1960; Zeeman 1961)】 Mn を次元 n ≥ 5の有限単体複体で Snと同じホモトピー型をもち，局所的に Euclid空間とPL同型であるとする．このとき，Mnは Snと同相で，１点以外ではPL同型となる同相写像が存在する．[Stallings J 1960[Sta60];
Zeeman CW 1961[?, ?]] �
37 目次へ
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【定理 4.10 (Smale 1960)】 W nを連結でコンパクトなn次元 C∞
多様体とする．このとき，次の３条件が満たされればW nは n次元球体DnとC∞同相である：
i) n ≥ 6.
ii) W nは単連結で，Hq(Wn) = Hq(D
n)(q = 0, 1, · · · ).
iii) ∂W nは単連結．
�
【定理 4.11】 Mnを連結かつ単連結で，Snと同じホモロジーをもつ n次元 C∞多様体とする．もし，n = 5または 6ならば，コンパクトで可縮な n+ 1次元C∞多様体W n+1で ∂W n+1 = Mnとなるものが存在する． �
【定理 4.12 (n ≥ 5に対する一般化されたPoincare予想 [Smale])】 Mnは連結で単連結な閉じた n次元C∞多様体で，Snと同じホモロジー群をもつとする．もし，n ≥ 5ならMn は Sn と C0同相である．特に，n = 5, 6ならMnはSnとC∞同相である．[Smale S 1960,
1961[Sma60, Sma61]] �
【定理 4.13】 W 5を連結でコンパクトな 5次元 C∞多様体とする．このとき，次の２条件が満たされればW 5は 5次元球体D5とC∞同相である：
i) W 5は単連結で，Hq(W5) = Hq(D
5)(q = 0, 1, · · · ).
ii) ∂W 5は S4とC∞同相．
�
【定理 4.14 (Schoenfliesの定理)】 f : Sn−1 → SnをC∞埋め込みとすと，f(Sn−1)はSnを２つの連結成分に分ける：Sn−f(Sn−1) = A1∪A2．もし，n ≥ 5なら，M1 = A1 ∪ f(Sn−1)とM2 ∪ f(Sn−1)は共にDn
にC∞同相である． �
38 目次へ
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4.4 ４次元多様体
4.4.1 基本事項
【定義 4.15 (整係数ユニモジュラー対称２次形式)】 Q : Zm×Zm → Z
を整数係数ユニモジュラー対称２次形式とする．
1) 任意の v ∈ Zmに対してQ(v, v) ≡ 0(mod2)が成り立つときQは II
型，II型でないとき I型という．
2) Qの正固有値の数と負固有値の差を符号数 (signature)という．
�
【命題 4.16 (整係数ユニモジュラー対称２次形式の性質)】 Qを整係数ユニモジュラー対称２次形式とするとき次の命題が成り立つ：
1) Qが II型なら，その符号数は８の倍数である．
2) Qが II型で不定値なら，Qはいくつかの (1)と (−1)の直和に同型である．
3) Qが I型で不定値なら，QはいくつかのE8と ( 0 11 0 )の直和に同型で
ある．
4) 正定値ないし負定値で既約な整係数ユニモジュラー対称２次形式の同型類は無限個ある．
�
4.4.2 Rokhlinの定理
【定理 4.17 (古典的Rokhlinの定理)】 向きのついた4次元C∞閉多様体がスピン多様体であれば，その符号数は 16で割り切れる． �
【定理 4.18】 E8を交点形式として持つ単連結な４次元C∞閉多様体は存在しない． �
39 目次へ
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4.4.3 ４次元位相多様体の分類
【定理 4.19 (ホモトピー類 [Milnor (1956)])】 単連結４次元閉多様体M,N がホモトピー同値であることと，交点形式が同型であることは同値である． �
【定理 4.20 ([Wall(1964)])】 単連結４次元閉多様体M,N がホモトピー同値なら，h同境である．また，M とN が h同境なら，ある自然数 kが存在して，M�k(S2 × S2) ≈ N�k(S2 × S2)となる． �
【定理 4.21 (Freedmanの定理 [Freedman (1982)])】 CassonハンドルはD2 × R2に同相である． �
【定理 4.22 (４次元位相h同境定理 [Freedman])】 Nを5次元境界付き単連結コンパクト位相多様体，∂N = M+∪M−，M+∩M− = ∅，M±は単連結，H∗(M−; Z) → H∗(N ; Z)が同型とすると，NはM−× [0, 1]
に同相である．[Freedman, M.H.: The topology of 4-dimensional
manifolds, J. Diff. Geom. 17 (1982), 357-453.] �
【定理 4.23 (固有 h同境定理 [Freedman(1982)])】 単連結４次元閉C∞多様体M,N が h同境なら，それらは同相である． �
【定理 4.24 (４次元Poincare予想の解決 [Freedman (1982))】 ] S4にホモトピー同値な４次元位相多様体はS4に同相である．[Freedman,
M.H.: The topology of 4-dimensional manifolds, J. Diff. Geom. 17
(1982), 357-453.] �
【注 4.25 (４次元異種球面)】 4次元異種球面が存在するかどうかは不明である． �
【定理 4.26 (Freedman-Quinnの定理 [Freedman (1982), Quinn (1982)])】 任意のユニモジュラー２次形式に対して，それを交叉形式とする単連結で閉じた４次元位相多様体が存在する．さらに，単連結閉４次元位相多様体X に対して，ks(X) ∈ H4(X; Z2)をそのKirby −Siebenmann類とするとき，次が成り立つ：
40 目次へ
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i) ks(X)と交叉形式で単連結閉４次元位相多様体の同相類が一意的に決まる．
ii) ks(X) = 0とX × S1が可微分構造を持つことは同値である．
iii) 交叉形式が I型の時，与えられた交叉形式に対して，ks(X) = 0, 1
となる２つの位相多様体が存在する．
iv) 交叉形式が II型の時，ks(X)の値は交叉形式の符号数の1/8倍となり，単連結閉４次元位相多様体の同相類が交叉形式のみで一意的に決まる．
[Freedman, M.H. and Quinn, F.: Topology of 4-manifolds, Princeton
Math. Ser. 39, Princeton, 1990] �
4.4.4 Donaldson理論
【定理 4.27 (Donaldsonの定理 [Donaldson(1983,1987)])】 閉じた４次元C∞多様体の交点形式 bが負定値ならば，b ∼= (−1)⊕ (−1)⊕· · ·⊕ (−1). bが正定値の場合についても同様の結果が成り立つ． �
【定理 4.28 (Donaldson(1983), Taubes(1986))】 R4に同相であるが微分同相でない４次元C∞多様体が非可算個存在する．（４次元以外では存在しない [Kirby and Siebermann (1977), Moise(1952)] �
4.5 同境理論
【定義 4.29 (有向同境)】
i) 向きの与えられた２つの閉 (可微分)多様体M1,M2に対して，(M1∩M2 = ∅として)その向きづけられた和M1 ∪M2をM1 +M2で表す．
ii) 向きづけられた (可微分)多様体M に対して，その向きを変えた多様体を−M で表す．
41 目次へ
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iii) 向きづけられた２つのn次元閉（可微分）多様体Mn, V nに対して，向きづけられたコンパクトな n+ 1次元（可微分）多様体W n+1で，
∂W n+1 = Mn + (−V n) 向きを保って同相
を満たすものが存在するとき，MnとV nは有向同境 (oriented cobor-
dant)であるという．ただし，∂W n+1にはW n+1の向きからホモロジー的に導入された向きを与えるものとする．
iv) M nを向きづけられた n次元閉（可微分）多様体全体の集合において，有向同境による同値類を有向同境類といい，有向同境類の集合をΩn，Ωn(n = 0, 1, · · · )の直和をΩ∗ =
∑Ωnと表す．
�
【命題 4.30】
i) Ωnの元 {Mn1 }, {Mn
2 }に対して，和を
{Mn1 }+ {Mn
2 } := {Mn1 +Mn
2 }
で定義すると，Ωnは {∅}をゼロ元とする可換群となる．これを有向同境群という．
ii) Ω∗の元 {Mn}, {Nm}の積を
{Mn} × {Nm} := {Mn ×Nm}
で定義すると，Ω∗は環となる．これを有向同境環という．
�
【定理 4.31 (Thom)】
可微分多様体のカテゴリーにおいて，有向同境群Ωnは,
i) n = 0mod4のとき，有限群である．
42 目次へ
目次へ
ii) n = 4mのとき，階数が nの分割数と一致する自由加群と有限群の直和である．
[田村一郎：微分位相幾何学] �
【定理 4.32】 可微分多様体のカテゴリーにおいて，テンソル積Ω∗⊗Q
は偶数次元射影空間 CP 2,CP 4, · · · により生成されるQ上の多項式環である．[田村一郎：微分位相幾何学] �
【定理 4.33 (Wall)】 向きづけられたn次元閉可微分多様体がゼロ同境であるための必要十分条件は，すべてのPontrjagin数およびすべての Stiefel-Whitney数がゼロとなることである．したがって，可微分多様体のカテゴリーにおける同境群Ωnは Pontrjagin数に対応する無限巡回群Zと Stiefel-Whitney数に対応する位数２の群Z2の直和である．[Wall, C.T.C: Determination of the cobordism ring, Ann.
of Math. 72 (1960)] �
5 ファイバー束[LastUpdate: 2005.12.30]
5.1 ベクトル束
5.1.1 K理論
【定義 5.1 (K群)】 空間X上の F -ベクトル束の同値類全体の作る可換半群 VF (X)に対して，そのGrothendiek可換群をK群といい，KF (X)と表す．KF (X) の元は仮想束と呼ばれる．特に，F = CおよびF = Rのとき，KF (X)をそれぞれK(X)，KO(X)と表す． �
【命題 5.2】 コンパクト空間XのK群KF (X)について次の性質が成り立つ：
i) KF (X)は束の直和⊕とテンソル積⊗により可換環となり，KF は（コンパクト）位相空間の圏から可換環の圏への反変関手となる．
43 目次へ
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ii) KF (X)の任意の元は適当なベクトル束V と自明なN 次元ベクトル束 θNF (N ≥ 0)を用いて，[V ]− [θNF ]と表される．
iii) KF (X)において [V ] − [W ] = 0となるための必要十分条件は，適当な自明ベクトル束 θNF に対して V ⊕ θNF
∼= W ⊕ θNF となることである．
�
【定義 5.3 (簡約Ｋ群)】 Xを基点 ptを持つ空間として，制限写像KF (X) → KF (pt) ∼= Zの核を簡約K群と呼び，KF (X)と表す． �
【定義 5.4 (安定同値)】 位相空間X上の２つのベクトル束V，W に対して，２つの自明なベクトル束 θm, θnが存在してV ⊕θm ∼= W⊕θnとなるとき，V とW は安定同値であるという． �
【命題 5.5】 コンパクト空間Xの簡約K群 KF (X)について次の性質が成り立つ：
i) KF (X)はKF (X)から誘導される和と積により可換環となり，KF
は（コンパクト）位相空間の圏から可換環の圏への反変関手となる．
ii) KF (X)の任意の元は，適当なベクトル束V と V と同じ次元Nの自明なベクトル束 θNF (N ≥ 0)を用いて，[V ]− [θNF ]と表される．
iii) KF (X)において [V ] = [W ]となるための必要十分条件は，V とW
が安定同値となることである．特に，KF (X)とX上のF -ベクトル束の安定同値類全体の集合は一対一に対応する．
�
【定義 5.6 (相対K群)】 空間Xとその空でない閉部分空間Y の組に対して，相対Ｋ群KF (X, Y )を
KF (X, Y ) := KF (X/Y )
により定義する．ただし，X/Y の基点を Y とする．Y = ∅ に対しては
KF (X, ∅) := KF (X)
と定義する． �
44 目次へ
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【定義 5.7 (L群)】 位相空間対 (X,A)(Aは X の閉部分空間)に対して，X 上のベクトル束 V0, V1 とその Aへの制限の間の束写像σ : V0|A → V1|A の組 V = (V0, V1; σ)からなる集合をL (X,A)とする．L (X,A)の２つの元 V ,V ′は，束同型 φi : Vi → V ′i で φ1◦σ =
σ′◦φ0となるとき同値といい，V ∼= V ′と表す．L (X,A) は束の直和から誘導される和により自然に可換半群となる．L (X,A) の元E = (E0, E1; σ)は，E0 = E1かつ σ = idのとき要素的であるという．さらに，L (X,A)の２つの元V ,V ′に対して，適当な要素的元E,E′が存在して
V ⊕E ∼= V ′ ⊕E ′
となるとき，同値とする．この同値関係によるL (X,A)の同値類[V0, V1; σ] の集合をL(X,A)と表す．L(X,A)は可換群である． �
【命題 5.8】 A = ∅のとき，χ([V0, V1]) = [V0]− [V1]
となる，関手の間の同値変換 χ : L(X,A) → K(X,A)が一意的に存在する．具体的には，一般の V = [V0, V1; σ] ∈ L(X,A)に対して，χ(V ) は次のように構成される．X0 = X × 0, X1 = X × 1をXのコピーとして，
[V ]− [θN ] = [V0 ∪σ V1]− [V1 ∪id V1] ∈ K(X0 ∪A X1)
を作ると，この元のX = X0への制限はK(X)でゼロとなる．これより，V はX1上で自明束安定同値となり，K(X/A)の元 χ(V ) を一意的に決定する． �
【定義 5.9】 X, Y を位相空間，pX : X×Y → X, pY : X×Y → Y を標準射影とする．このとき，a⊗ b ∈ K(X)⊗K(Y )に p∗X(a)p∗Y (b) ∈K(X × Y )を対応させることにより定義される群準同型 K(X) ⊗K(Y ) → K(X ×Y )をK群のクロス積という．これは，部分集合に制限することにより，K群のクロス積 K(X)⊗ K(Y ) → K(X × Y )
を誘導する． �
【命題 5.10】 X, Y を基点付き空間とするとき，そのブーケX ∨ Yおよびスマッシュ積X ∧ Y に対して次が成り立つ：
45 目次へ
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i) 包含写像 i : X ∨ Y ⊂ X × Y および射影 p : X × Y → X ∧ Y は次の完全列を誘導する：
0 → K(X ∧ Y )p∗−→ K(X × Y )
i∗−→ K(X ∨ Y ) → 0.
ii) クロス積と i∗の結合
K(X)⊗ K(Y ) → K(X × Y )i∗−→ K(X ∨ Y )
はゼロ写像である．
�
【定義 5.11 (K群のカップ積)】 上の命題より誘導される写像
K(X)⊗ K(Y ) → K(X ∧ Y )
を簡約K群のカップ積と呼ぶ．さらに，２つの空間対 (X,A)，(Y,B)
に対して K群のカップ積
K(X/A)⊗K(Y/B) → K((X/A)∧(Y/B)) = K((X×Y )/(X×B)∪(A×Y ))
から誘導される写像
K(X,A)⊗K(Y,B) → K(X × Y, (X ×B) ∪ (A× Y ))
を相対K群のカップ積という． �
【定義 5.12 (次数付きK群)】 iを非負整数として，基点を持つコンパクト空間Xに対して，
K−i(X) := K(Si ∧X),
コンパクト空間対 (X, Y )に対して，
K−i(X, Y ) := K−i(X/Y ),
基点を持たないコンパクト空間Xに対して，X+ = (X, ∗)(∗は仮想基点），ptを Siの基点として
K−i(X) ≡ K−i(X, ∅) := K−i(X+) = K(Si ×X, pt×X)
と定義する．特に，
K−i(pt) = K(Si)
である． �
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【命題 5.13】 位相空間X, Y と非負整数 i, jに対して，簡約K群のカップ積
K(Si ∧X)⊗ K(Sj ∧ Y ) → K((Si ∧X) ∧ (Sj ∧ Y ))
は次数付き簡約K群のカップ積
K−i(X)⊗ K−j(Y ) → K−i−j(X ∧ Y )
を誘導する．この積により，K∗(pt)は次数付き環となる．また，K∗(X)
は次数付きK∗(pt)-加群となる． �
【定理 5.14 (Bottの周期性定理：複素K群)】
i) 環K−∗(pt)は ξ ∈ K−2(pt) ∼= K(S2)を生成元とする多項式環に同型である：
K−∗(pt) ∼= Z[ξ].
ii) (X,A)を任意のコンパクト Hausdorff空間対とする．このとき，ξによるカップ積から誘導される準同型
μξ : K−i(X,A) → K−i−2(X,A)
は任意の非負整数 iに対して同型となる．
�
【定理 5.15 (Bottの周期性定理：実K群)】
i) 環KO−∗(pt)は，
η ∈ KO−1(pt), y ∈ KO−4(pt), x ∈ KO−8(pt),
として，
KO−∗(pt) ∼= Z[η, y, x]/ < 2η, η3, ηy, y2 − 4x > .
47 目次へ
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ii) (X,A)を任意のコンパクト Hausdorff空間対とする．このとき，xによるカップ積から誘導される準同型
μx : KO−i(X,A) → KO−i−8(X,A)
は任意の非負整数 iに対して同型となる．
�
【定義 5.16 (コンパクト台のK群)】 局所コンパクト空間Xに対して，X+をX の一点コンパクト化X+ = X ∪ {pt}として，X のコンパクト台のK群を
Kcpt(X) := K(X+),
K−icpt(X) := Kcpt(X ×Ri)
で定義する．また，空間対 (X,A)(Aは閉集合)に対して，コンパクト台の相対K群を
K−icpt := Kcpt((X −A)×Ri)
により定義する． �
【定理 5.17 (Kcptに対する Bottの周期性定理)】 任意の局所コンパクト空間Xに対して，次の関係が成り立つ：
Kcpt(X) ∼= Kcpt(X × C),
KOcpt(X) ∼= KOcpt(X × R8).
この同型は，それぞれ ξ ∈ Kcpt(C) ∼= K(S2)，x ∈ KOcpt(R8) ∼=
KO(S8)とのカップ積により誘導される． �
【命題 5.18】 W = W 0⊕W 1をZ2次数付きC−C�n加群，Ek = Dn×W k を n次元球体Dn(⊂ C�n)上の自明なベクトル束，μ : E0|Sn−1 →E1|Sn−1(Sn−1 = ∂Dn)を同型 μ(u, w) = (u, u · w)(|u| = 1)として，
φ(W ) := [E0, E1;μ] ∈ K(Dn, Sn−1)
48 目次へ
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とおくと，φは Z2次数付き C − C�n加群のGrothendieck環からK
群への準同型φ : M C
n → K(Dn, Sn−1)
を与える．このとき，包含写像 i : Rn → Rn+1 から誘導されるGrothendieck 環の準同型 i∗ : M C
n+1 → M Cn に対して，i
∗◦φ = 0
となる．よって，φは準同型
φn : M Cn /i
∗M Cn+1 → K(Dn, Sn−1) ∼= K−n(pt)
を与える．同様に，Z2次数付きClifford加群の実表現環に対して
φn : Mn/i∗Mn+1 → KO(Dn, Sn−1) ∼= KO−n(pt)
が定義される．ここで，
M Cn /i
∗M Cn+1
∼= M Cn−1/i
∗M Cn∼={
Z n : even
0 n : odd
および
Mn/i∗Mn+1
∼= Mn−1/i∗Mn
∼=
⎧⎪⎨⎪⎩
Z n ≡ 0, 4(mod8)
Z2 n ≡ 1, 2(mod8)
0 他の場合
が成り立つ． �
【定理 5.19 (Atiyah-Bott-Shapiro同型)】 次の次数付き環としての同型が成り立つ：
φ∗ : M C∗ /i
∗M C∗+1
∼=−→ K−∗(pt),
φ∗ : M∗/i∗M∗+1
∼=−→ KO−∗(pt)
�
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5.1.2 乗法列とChern指標
【命題 5.20 (Splitting Principle)】
i) Eを位相空間X 上の複素ベクトル束とする．このとき，次の性質を満たすファイバー空間 π : Y → Xが存在する：
a) 準同型 π∗ : H∗(X) → H∗(Y )は単射である．
b) ベクトル束 π∗Eは１次元複素ベクトル束の直和となる：
π∗E ∼= �1 ⊕ · · · ⊕ �n.
Xが多様体ならば，Y も多様体に取れ，πはなめらかな束射影とできる．
ii) EをX上の 2n次元の向きづけられた実ベクトル束とする．このとき，次の性質を満たすファイバー空間 π : Y → Xが存在する：
a) 準同型 π∗ : H∗(X) → H∗(Y )は単射である．
b) ベクトル束 π∗Eは
Ek ⊗ C ∼= �k ⊗ �k
となる向きづけられた２次元実ベクトル束Ekの直和となる：
π∗E ∼= E1 ⊕ · · · ⊕ En.
Xが多様体ならば，Y も多様体に取れ，πはなめらかな束射影とできる．
�
【定義 5.21 (乗法列)】 Q係数の f(0) = 1となる形式べき級数f(x) ∈ Q[[x]]に対して，σnをx1, · · · , xnのn次基本対称式とすると，
f(x1) · · ·f(xn) = 1 + F1(σ1) + F2(σ1, σ2) + · · ·により定義される Fj(σ1, · · · , σj)(xj に関して j次の同次式) は n →∞で nに依存しない多項式となる．これを f(x) より決まる乗法列と呼ぶ． �
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【命題 5.22】 次数付き代数 A = {Ak}の元の形式無限和 a = 1 +
a1 + a2 + · · · の全体の作る乗法群をAとする．乗法列 {Fk}に対して，写像F : A → A を
F (a) = 1 + F1(a1) + F2(a1, a2) + · · ·
と定義すると，F はAから自分自身への群の準同型となる：
F (ab) = F (a)F (b).
�
【例 5.23 (全Todd類)】 形式べき級数
td(x) =x
1− e−x= 1 +
1
2x+
1
12x2 + · · ·
から定義される乗法列TdをTodd乗法列と呼ぶ．特に，全Chern
クラス c(E)から定義される類TdC (E) = Td(c(E))を全Todd類，n次元コンパクト複素多様体に対して Td(X) := Tdn(TX)[X]をX
のTodd種数という． �
【例 5.24 (全 A類)】 形式べき級数
a(x) =
√x/2
sinh(√x/2)
= 1− 1
24x+
7
27 · 32 · 5x2 + · · ·
から定義される乗法列Aを A乗法列と呼ぶ．特に，全Pontrjaginクラス c(E)から定義される類 A(E) = A(c(E))を全 A類という．また，a(x) = a(16x)に対応する乗法列Am = 16mAmをA系列という．
�
【命題 5.25】 任意の向きづけられた実ベクトル束Eに対して次の関係が成り立つ：
T dC (E ⊗ C) = A(E)2
�
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【例 5.26 (全 L類)】 形式べき級数
l(x) =
√x
tanh(√x)
= 1 +1
3x− 1
45x2 + · · ·
から定義される乗法列 LをHirzebruchL乗法列と呼ぶ．特に，全Pontrjaginクラス c(E)から定義される類 L(E) = L(c(E))を全L類という．また，l(x) = l(x/4)に対応する乗法列 Lm = 4−mLmを L系列という． �
【例 5.27 (Chern指標)】 n次元複素ベクトル束Eの全Chernクラス c(E)を，Splitting Principle に従って形式的に
c(E) = 1 + c1 + · · ·+ cn =
n∏k=1
(1 + xk)
と因数分解するとき（すなわち cjは xの j次基本対称式），
ch(E) = ex1 + · · ·+ exn = n+ c1 + (c21 − c2) + · · ·
で定義されるH2∗(X; Q)の元をEのChern指標という． �
【命題 5.28】 Chern指標について次が成り立つ：
i) E,E ′をX上の複素ベクトル束とするとき，
ch(E ⊕ E ′) = ch(E) + ch(E ′),
ch(E ⊗ E ′) = ch(E)ch(E ′).
ii) 任意のコンパクトHausdorff空間Xに対して，Chern指標は次の環としての準同型を与える：
ch : K(X) → H2∗(X; Q).
�
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5.1.3 Clifford束
【定義 5.29】 空間X上の非退化な内積を持つ n次元ベクトル束E
に対して，そのテンソル束 T (E) =∑∞
r=0⊗jE の部分ベクトル束I (E)を，v ⊗ v+ < v, v >(v ∈ Ex)の形の元全体で生成されるイディアルとする．このとき，商束
C�(E) := T (E)/I (E)
を E のClifford束と呼ぶ．特に，X が擬 Riemann多様体のとき，接束 T (X)の Clifford束をX のClifford束といい，C�(X)と表す．
�
【命題 5.30】 Eのファイバーの計量が (p, q)型であるとする．PO(E)
をEの正規直交基底から作られるOp,q-主束，cl(ρp,q)をOp,qのRp,q
への標準表現 ρp,q から誘導されるC�(Rp,q)への表現
cl(ρp,q) : Op,q → C�(Rp,q)
とする．このとき，
C�(E) = PO(E)×cl(ρp,q) C�(Rp,q).
さらに，Eが向き付け可能のとき，PSO(E)を正の向きをもつ正規直交基底の作る SOp,q-主束とすると，
C�(E) = PSO(E)×cl(ρp,q) C�(Rp,q).
�
【命題 5.31】
i) Clifford束 C�(E)は，自然に X 上の Clifford 代数の束と見なされる．すなわち，a, b ∈ C�(Ex)に対して，ab ∈ C�(Ex)が定義され，v, w ∈ Ex ⊂ C�(Ex)に対して
vw + wv = −2 < v,w >
が成り立つ．
53 目次へ
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ii) Clifford代数の主自己同型に対応するClifford束の自己同型
α : C�(E) → C�(E)
が，α(v) = −v(v ∈ E ⊂ C�(E))により定義される．αは+1と−1
を固有値として持ち，その固有空間によりC�(E)は
C�(E) = C�0(E)⊕ C�1(E)
と直和分解される．
iii) e1, · · · , enをExの正規直交基底 (< ei, ej >= ηij) とするとき，φ ∈C�(Ex)に
L(φ) = −n∑
i,j=1
eiφejηij
を対応させる写像は，C�(E)の束写像
L : C�(E) → C�(E)
を定義する．
iv) 対応
v1 ∧ · · · ∧ vk ∈ ΛkEx �→ 1
k!
∑σ∈Sk
sign(σ)vσ(1) · · · vσ(k)
によりEの外積束からClifford束への標準ベクトル束同型
λ : Λ∗(E)∼=−→ C�(E)
が定義される．この対応に対して，
λ(ΛevenE) = C�0(E), λ(ΛoddE) = C�1(E),
λ(ΛpE) = {φ ∈ C�(E) | α◦L(φ) = (n− 2p)φ} p = 0, · · · , n
が成り立つ．
�
54 目次へ
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【命題 5.32】 多様体X上の向きづけられたRiemannベクトル束E
の Riemann接続は Clifford束 C�(E)の Riemann接続を一意的に誘導し，対応する共変微分∇は Γ(C�(E))の作る代数に対して微分作用素として作用する：
∇(φ · ψ) = (∇φ) · ψ + φ · (∇ψ).
したがって，∇の具体的作用は，Eの局所基底 e1, · · · , en に対する作用
∇ei =
n∑j=1
ωji ⊗ ej
により決定される．さらに，∇の曲率形式を線形変換
R(V,W ) : C�(Ex) → C�(Ex)
と見なすとき，R(V,W )は微分作用素として働く：
R(V,W )(φ · ψ) = (R(V,W )φ) · ψ + φ · (R(V,W )ψ).
�
5.1.4 スピノール束
【定義 5.33 (ベクトル束のスピン構造)】 Eを位相空間X上の向きづけられたRiemannベクトル束，PSO(E) をEに随伴する SOn主束とする．このとき，PSO(E)が各ファイバー上で非自明となる２価の被覆空間
ξ : PSpin(E) → PSO(E)
を持つとき，PSpin(E)をEのスピン構造という．このとき，PSpin(E)
には一意的に Spinn主束の構造が入り，
ξ(ug) = uξ0(g) ∀u ∈ PSpin(E), ∀g ∈ Spinn
が成り立つ．ここで ξ0 : Spinn → SOnは標準被覆写像である． �
55 目次へ
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【定理 5.34 (スピン構造の存在条件)】 空間X 上のベクトル束E
がスピン構造を持つための必要十分条件は，Eの１次および２次のStiefel-Whitney類がゼロ，w1(E) = w2(E) = 0，となることである．この条件が満たされるとき，Eのスピン構造とH1(X; Z2)の元が一対一に対応する． �
【定義 5.35 (Riemann多様体のスピン構造)】 向きづけられたRiemann多様体X に対して，その接束 T (X)のスピン構造をX のスピン構造と呼ぶ．スピン構造が与えられた Riemann多様体を X
をスピン多様体という． �
【例 5.36 (スピン多様体)】 Stiefel多様体，リー群，３次元以下の向き付け可能多様体，K3面はスピン構造を持つ． �
【定義 5.37 (スピノール束)】 Eを向きづけられた Riemannベクトル束，ξ : PSpin(E) → PSO(E) をそのスピン構造，M を左C�(Rn)
加群とする．このとき，Spinn ⊂ C�0(Rn) ⊂ C�(Rn)から誘導されるSpinnの表現
μ : Spinn → SO(M)
により定義される，M をファイバーとする PSpin(E)の随伴ベクトル束
S(E) : PSpin(E)×μM
をEの実スピノール束 (real spinor bundle)という．また，左C�(Cn)
加群MCに対して同様に定義されるベクトル束
SC(E) : PSpin(E)×μ MC
をEの複素スピノール束 (complex spinor bundle)という． �
【命題 5.38】 向きづけられたRiemannベクトル束EのClifford束は
C�(E) = PSpin(E)×Ad C�(Rn)
と表される．これより，スピノール束 S(E)は左C�(E)加群となる．�
56 目次へ
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【命題 5.39 (スピノール束のRiemann接続)】 向きづけられたRiemannベクトル束 E の Riemann接続は，スピノール束 S(E)のRiemann接続を一意的に誘導する．この接続に対して，
i) Eの局所基底 [e1, · · · , en]の共変微分が
∇ei =
n∑j=1
ωji ⊗ ej
で与えられるとき，[ej ]に対応する S(E)の局所基底 [σα] の共変微分は
∇σα =1
2
∑i<j
ωjieiej · σα
と表される．さらに，曲率形式から誘導される変換
R(V,W ) : S(Ex) → S(Ex)
は
R(V,W )σ =1
2
∑i<j
< R(V,W )ei, ej > eiejσ
と表される．
ii) ∇は S(E)に対して，左C�(E)加群の微分作用素として働く：
∇(φ · σ) = (∇φ) · σ + φ · (∇σ).
R(V,W )も同様に左C�(E)加群の微分作用素として働く．
�
5.1.5 Dirac作用素
【定義 5.40】 XをRiemann多様体，Sを左C�(X)加群となるX上のRiemannベクトル束とする．Sの各Riemann接続∇に対して，
Dσ :=
n∑j=1
ej∇ejσ
57 目次へ
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で定義される Γ(S)上の一階の微分作用素
D : Γ(S) → Γ(S)
をDirac作用素と呼ぶ．ここで，e1, · · · , enは T (X)の局所正規直交基底であるが，Dはその取り方に依らない． �
【定義 5.41】 多様体X 上のベクトル束E のm階微分作用素D :
Γ(E) → Γ(E)が，点 xにおいてXの局所座標系xkとAα(x) : Ex →Exを用いて
D =∑|α|≤m
Aα(x)∂|α|
∂xα
と表されるとき，各 ξ =∑
k ξkdxk ∈ T ∗x (X)に対して定義される線形写像 σξ(D) : Ex → Ex，
σξ(D) := im∑|α|=m
Aα(x)ξα
をDの主シンボルという．特に，任意の ξ = 0に対して σξ(D)が常に同型写像となるときDは楕円型であるという． �
【定義 5.42】 Riemann多様体X 上の左 C�(X)-加群束 Sが次の２条件を満たすRiemann計量<,>と接続∇を持つとき，SをX上のDirac束という：
i) T (X)の任意の単位ベクトル eは Sのファイバーの等長変換を引き起こす．
< eσ1, eσ2 >=< σ1, σ2 > ∀e ∈ Tx(X)s.t. < e, e >= 1, ∀σ1, σ2 ∈ Sx.ii) 任意の φ ∈ Γ(C�(X))と σ ∈ Γ(S)に対して，
∇(φ · σ) = (∇φ) · σ + φ · (∇σ).
�
【定理 5.43】 Xを完備Riemann多様体，DをX上のDirac束 S上のDirac作用素とする．このときDはL2(S)(Sの２乗可積分断面の作るヒルベルト空間）で唯一の自己共役な拡張を持ち，
Ker D = Ker D2
が成り立つ．さらに，Xがコンパクの時，Ker Dは有限次元である．�
58 目次へ
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5.1.6 Rnの擬微分作用素
【定義 5.44 (シンボル)】 m ∈ Rを一つ固定し，p(x, ξ)を，行列に値を取るRn × Rn 上のなめらかな関数とする．各多重指数 α, α′に対して，
|DαxD
α′ξ p(x, ξ)| ≤ Cα,α′(1 + |ξ|)m−|α|
となる定数Cα,α′ が存在するとき，p(x, ξ)を階数mのシンボルといい，その全体を Symmと表す． �
【定義 5.45 (擬微分作用素)】 p ∈ Symmとする．u(x) ∈ §(§はRn
の急減少関数の作る Frechet空間)に対して，
u(x) = (2π)− n/2
∫ei<x,ξ>u(ξ)dξ,
に
Pu(x) = (2π)− n/2
∫ei<x,ξ>p(x, ξ)u(ξ)dξ,
を対応させる写像は，線形写像P : § → §となる．この写像をRn上の階数mの擬微分作用素といい，その全体をΨDOmと表す．さらに，シンボル p ∈ Symmを持つ擬微分作用素P ∈ ΨDOmに対して，
σ(P ) = [p] ∈ Symm/Symm−1
を P の主シンボルと呼ぶ． �
【定理 5.46】 擬微分作用素 P ∈ ΨDOm, Q ∈ ΨDOlに対して次が成り立つ：
i) P は任意の s ∈ Rに対して，有界作用素 P : L2s → L2
s−m に一意的に拡張される．
ii) 任意の開集合U ∈ Rnに対して
u|U ∈ C∞(U) ⇒ Pu|U ∈ C∞(U).
iv) Q◦P ∈ ΨDOm+l.
v) 主シンボル σ(P )は，Rnの微分同相写像に対して，T (Rn)上の関数として変換する．
59 目次へ
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�
【定義 5.47】 KをRnのコンパクト集合，P ∈ ΨDOmとする．任意の u ∈ C∞0 に対して supp(Pu) ⊂ K，かつ suppu ∩K = ∅なら常にPu = 0がなりたつとき，P をKに台を持つ擬微分作用素といい，その全体をΨDOK,m と表す． �
【命題 5.48】 φ : U → V を Rn の開集合 U, V の間の微分同相写像とする．このとき，任意のコンパクト集合 K ⊂ U に対して，(φ∗P )u = P (u◦φ)◦φ−1は線形写像
φ∗ : ΨDOK,m → ΨDOφK,m
を与える． �
【定義 5.49 (無限平滑作用素)】 線形写像 τ : § → §が任意の s,m ∈ R
に対して有界線形写像 τ : L2s → L2
s+mに拡張されるとき，無限平滑作用素とよぶ．また，２つの擬微分作用素P,Qの差が無限平滑作用素のとき，P とQ は同値であるという． �
【定義 5.50 (楕円型擬微分作用素)】 P ∈ ΨDOmをシンボル pを持つ擬微分作用素とする．ある定数 c > 0が存在して，|ξ| ≥ cとなる任意の ξに対して p(x, ξ)が逆行列を持ち，かつ
|p(x, ξ)−1| ≤ c(1 + |ξ|)−m
が成り立つとき，P を楕円型と定義する． �
【定理 5.51】 P ∈ ΨDOmを楕円型擬微分作用素とする．
i) P に対して次の式を満たすQ ∈ ΨDO−mが同値を除いて一意的に存在する：
PQ = Id− S ′, QP = Id− S.
ここで S, S ′は無限平滑作用素である．
ii) u ∈ L2sとする．このとき，Rnの任意の開集合U に対して
Pu|U ∈ C∞(U) ⇒ u|U ∈ C∞(U).
特に，m > 0のとき，Pu = λuが λ ∈ Cに対して成り立てば u ∈C∞(Rn)である．
�
60 目次へ
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5.1.7 ベクトル束の擬微分作用素
【定義 5.52 (擬微分作用素)】
i) X を n次元コンパクト多様体，E,F を X 上のなめらかな複素ベクトル束，Γ(E),Γ(F )をそれらのなめらかな断面の作る線形空間，L2s(E), L2
s(F )を断面の作る Sobolev空間とする．このとき，線形写像 P : Γ(E) → Γ(F )が任意の s,m ∈ Rに対して有界線形写像P : Lms (E) → L2
s+m(F )に拡張できるとき，P を無限平滑作用素という．
ii) 線形写像 P : Γ(E) → Γ(F )が，適当な局所座標系でコンパクトな台をもつ擬微分作用素Pα ∈ ΨDOmに一致する有限個の線形作用素と無限平滑作用素の和として表されるとき，P を階数mの擬微分作用といい，その全体を ΨDOm(E,F )と表す．２つの擬微分作用素は差が無限平滑作用素となるとき，同値とする．
�
【定理 5.53】 E,F,Gをコンパクト多様体X上のベクトル束とする．このとき，擬微分作用素 P ∈ ΨDOm(E,F ), Q ∈ ΨDOl(F,G)に対して次が成り立つ：
i) P は任意の s ∈ Rに対して，有界作用素 P : L2s(E) → L2
s−m(F ) に一意的に拡張される．
ii) 任意の開集合U ∈ Xに対して
u|U ∈ C∞(U) ⇒ Pu|U ∈ C∞(U).
iv) Q◦P ∈ ΨDOm+l(E,G).
v) φ : X → Xを微分同相写像とする．このとき，φ∗[(φ∗P )u] = P (φ∗u)は線形写像
φ∗ : ΨDOm(φ∗E, φ∗F ) → ΨDOm(E,F )
を与える．
61 目次へ
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�
【定義 5.54】 π : T ∗(X) → XによりX上のベクトル束E,Fから誘導されるT ∗(X)上の束をπ∗E, π∗F，pをT ∗(X)上の束Hom(π∗E, π∗F )
のなめらかな断面とする．pが適当な局所座標系でSymmの元となるとき，pを階数mのシンボルといい，その全体の作るベクトル空間を Symm(E,F )と表す． �
【定理 5.55】 各P ∈ ΨDOm(E,F )は主シンボルσ(P ) ∈ Symm(E,F )/Symm−1(E,F )
を定める． �
【定義 5.56 (楕円型擬微分作用素)】 P ∈ ΨDOm(E,F )に対して，σ(P )の適当な代表元が，T ∗(X)のコンパクト集合の外で可逆，かつX の適当な Riemann計量と適当な定数 C に対して |p(ξ)−1| ≤C(1 + |ξ|)−mを満たすとき，P は楕円型という． �
【定義 5.57 (Fredholm作用素)】 ヒルベルト空間の間の有界線形作用素 T : H1 → H2は，ran T が閉集合でKer T およびCoker T が有限次元のとき，Fredholm作用素といい，その指数を
T ) = dim(Ker T )− dim(Coker T )
で定義する． �
【定理 5.58】 P ∈ ΨDOm(E,F )をコンパクト多様体X上の楕円型擬微分作用素とする．このとき，次が成り立つ：
i) Q ∈ ΨDO−m(E,F )が同値を除いて一意的に存在し，
PQ = Id− S ′, QP = Id− S
が成り立つ．ここで S, S ′は無限平滑作用素である．
ii) u ∈ L2s(E)とする．このとき，Xの任意の開集合U に対して
Pu|U ∈ C∞(U) ⇒ u|U ∈ C∞(U).
62 目次へ
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iii) 任意のs ∈ Rに対して，PはFredholm作用素P : L2s(E) → L2
s−m(E)
に拡張される．さらに，その指数は sに依らない．
�
【定理 5.59】 P : Γ(E) → Γ(E)をコンパクトRiemann多様体X上の自己共役なm階擬微分作用素とする．
i) Γ(E)は L2(E)に関する直交分解
Γ(E) = Ker P ⊕ Im P
を持つ．
ii) H : Γ(E) → Ker P を直交射影とすると，次の性質をもつGreen作用素と呼ばれる擬微分作用素Q ∈ ΨDO−m(E)が存在する：
PG = GP = Id−H.
iii) m > 0のとき，P の固有値 λは離散的ですべて実数である．また，各固有空間Eλは有限次元で，なめらかな断面からなる．
d(Λ) := dim
⎛⎝⊕|λ|≤Λ
Eλ
⎞⎠
とおくと，d(Λ) ≤ cΛn(n+2m+2)/2m
を満たす定数 cが存在する．さらに，{Eλ}はL2(E)の完全系となる．
�
5.1.8 Atiyah-Singer指数定理
5.1.8.1 整数型指数定理
【定理 5.60】 F = F (H1, H2)をノルム位相をもつ Fredholm作用素の空間とする．このとき，写像F → ZはF の各連結成分で一定となり，一対一対応
π0(F ) → Z
を与える． �
63 目次へ
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【定理 5.61】 コンパクト多様体上のベクトル束に対する楕円型擬微分作用素 P の指数 P )は，その主シンボル σ(P )の正則ホモトピー類にのみ依存する． �
【定義 5.62 (位相的指数)】 コンパクト多様体X 上の複素ベクトル束 E から F への楕円型擬微分作用素 P : Γ(E) → Γ(F )を考える．接束 TX の球体部分束DX を適当にとると，主シンボル σ(P )
は ∂DX = SX 上の各点で E から F への同型写像を与える．したがって，σ(P )はKcpt(TX)の元を定義する：
σ(P ) := [π∗E, π∗F ; σ(P )] ∈ Kcpt(TX) ∼= K(DX,SX).
X の適当な埋め込み f : X → RN は，X の RN での管状近傍N への埋め込み f : X → N から誘導される Thom同型 Kcpt(TX) →Kcpt(TN) と自然な準同型 i! : Kcpt(TN) → Kcpt(TRN)の結合により，準同型
f! : Kcpt(TX) → Kcpt(TRN)
を定める．さらに，TRN を原点 ptの複素ベクトル束と見なして得られるThom同型を
q! : Kcpt(KRn) → K(pt) ∼= ZR
とする．これらを用いて，P の位相的指数 top− index(P )を次のように定義する：
top− index(P ) := q!f!σ(P ) ∈ Z.
�
【定理 5.63 (整数型Atiyah-Singer指数定理)】 n次元コンパクト多様体X上の楕円型作用素 P に対して，次が成り立つ：
i)
P ) = top− index(P ).
ii)
P = (−1)n{ch(σ(P )) · π∗A(X)2}[TX].
64 目次へ
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iii) Xが向きづけられているとき，
P = (−1)n(n+1)/2{π!ch(σ(P )) · A(X)2}[X].
�
【例 5.64 (Euler特性数)】 XをコンパクトRiemann多様体，SをそのClifford束とする：
S = C�(X) = C�0(X)⊕ C�1(X).
このとき，C�(X)のDirac作用素は楕円型微分作用素
D0 : Γ(C�0(X)) → Γ(C�1(X))
を与え，d+ d∗ : Γ(Λeven(X)) → Γ(Λodd(X))
と一致する．この作用素の指数は，H∗を調和微分形式の次数付き加群として，
D0 = dim Heven − dim Hodd = χ(X)
となる． �
【例 5.65 (符号数作用素)】 Xを4k次元のコンパクトで向きづけられたRiemann多様体とし，そのClifford 束の（体積要素ωC = (−1)kω
による）カイラル分解を
S = C�(X) = C�+(X)⊕ C�−(X)
とおく．このとき，Dirac束C�(X)のDirac作用素は，擬微分作用素
D+ : Γ(C�+(X)) → Γ(C�−(X))
を誘導し，その指数はXの符号数（H2k(X; R)のカップ積から誘導される対称２次形式の符号数）と一致する：
D+ = dim(H2k)+ − dim(H2k)− = sig(X).
65 目次へ
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Atiyah-Singerの指数定理より，これはさらにL種数と一致する：
L(X) = sig(X).
一般に，Eを 2m次元の向きづけられたコンパクト多様体X上の勝手な複素ベクトル束とすると，楕円型作用素
D+E : Γ(C�+(X)⊗E) → Γ(C�−(X)⊗ E)
に対して，(D+
E) = {ch2(E) ·L(X)}[X]
が成り立つ．ここで，
ch2(E) :=∑k
2kchkE.
�
【例 5.66 (Atiyah-Singer A作用素)】 X を 2m次元のコンパクトRiemannスピン多様体として，その複素スピノール束 /SC とその上のDirac作用素Dを考える．複素体積要素による /SC のカイラル分解 /SC = /S+
C ⊕ /S−C は楕円型微分作用素
/D+ : Γ( /S+C ) → Γ( /S−C )
を与える．その指数はXの A種数と一致する：
( /D+) = A(X).
さらに，一般に，EをX上の勝手な複素ベクトル束とするとき，楕円型作用素
/D+E : Γ( /S+
C (X)⊗ E) → Γ( /S−C (X)⊗E)
に対して，( /D+
E) = {ch(E) · A(X)}[X].
�
66 目次へ
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5.1.8.2 楕円型作用素の族
参考文献[1] D. Husemoller: Fibre Bundles, 3rd edition (Springer, 1993).
[2] H.B. Lawson, Jr. and M-L. Michelsohn: Spin Geometry (Princeton
Univ. Press, 1989).
6 特性類[LastUpdate: 2005.12.30]
6.1 分類空間
6.1.1 実ベクトルバンドル
【定義 6.1 (実Grassmann多様体)】
1) Rn+k の n枠 (n個の一次独立なベクトル列)全体の集合を Vn,k =
Vn(Rn+k)とおく．Vn,k ⊂ Rn(n+k)と見なして，Vn,kにRn(n+k)からの
誘導位相を与えた空間をStiefel多様体という．Vn,kはC∞級n(n+k)
次元開多様体である．Vn,kと Vk,nはC∞同相である．
2) Rn+kの n次元線形部分空間の集合をGn,k = Gn(Rn+k)とおく．自
然な射影 π : Vn,k → Gn,kが連続となる極大位相を Gn,kに入れて得られる空間は，コンパクトな nk次元多様体となる．この多様体を実Grassmann多様体という．Gn,kとGk,nはC∞同相である．
3) 空間E(γnk ) =
{(P, v)
∣∣ P ∈ Gn,k, v ∈ P ⊂ Rn+k}
（位相は誘導位相）に対して，
π : E(γnk ) (P, v) �→ P ∈ Gn,k
とおくと，γnk = (E(γnk ), Gn,k, π)はGn,k上の n次元実ベクトルバンドルとなる．これをGn,kを底空間とする n次元標準ベクトルバンドルという．
67 目次へ
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4) 標準的な入射Rn+k ⊂ Rn+k+1から誘導される入射Gn,k ⊂ Gn,k+1に関して，(Gn,k)k≥0は帰納系をなす．この帰納的極限をGn = Gn,∞ =
Gn(R∞)と表し，無限次元実Grassmann多様体という．また，自然
な入射 γnk ⊂ γnk+1の帰納的極限を γnとおく．このとき，
E(γn) = {(P, v) | P ∈ Gn, v ∈ P ⊂ R∞} ⊂ Gn × R∞
が成り立つ．
�
【定義 6.2 (有向実Grassmann多様体)】
1) Rn+kの向きづけられたn次元線形部分空間の集合を Gn,k = Gn(Rn+k)
とおく．自然な射影 π : Vn,k → Gn,kが連続となる極大位相を Gn,k
に入れて得られる空間は，コンパクトな nk次元多様体となる．この多様体を有向実Grassmann多様体という．Gn,kと Gk,nはC∞同相である．また，Gn,kはGn,kの連結な２価の被覆空間である．
2) 空間E(γnk ) =
{(P, v)
∣∣∣ P ∈ Gn,k, v ∈ P ⊂ Rn+k}
（位相は誘導位相）に対して，
π : E(γnk ) (P, v) �→ P ∈ Gn,k
とおくと，γnk = (E(γnk ), Gn,k, π)は Gn,k上の n次元実ベクトルバンドルとなる．これを Gn,kを底空間とする n次元標準ベクトルバンドルという．
3) (Gn,k)k≥0は帰納系をなす．この帰納的極限を Gn = Gn,∞ = Gn(R∞)
と表し，無限次元有向実 Grassmann多様体という．また，自然な入射 γnk ⊂ γnk+1の帰納的極限を γnとおく．このとき，
E(γn) ={
(P, v)∣∣∣ P ∈ Gn, v ∈ P ⊂ R∞
}⊂ Gn ×R∞
が成り立つ．
68 目次へ
目次へ
�
【定理 6.3 (実ベクトルバンドルの分類空間)】
1) ξn = (E,B, π)をパラコンパクト Hausdorff空間B上の n次元実ベクトルバンドルとする．このとき，連続写像 f : B → Gnが存在し，ξn ∼= f ∗γnとなる．さらに，この対応により，B上の n次元実ベクトルバンドルの同型類とBからGnへの連続写像のホモトピー類が１対１に対応する．したがって，GnはパラコンパクトHausdorff空間上の n次元実ベクトルバンドルに対する分類空間，γnは普遍バンドルとなる．
2) 全く同様に，GnはパラコンパクトHausdorff空間上の向き付けられた n次元実ベクトルバンドルに対する分類空間，γnはその普遍バンドルとなる．
�
6.1.2 複素ベクトルバンドル
【定義 6.4 (複素Grassmann多様体)】
1) Cn+kのn枠 (n個の複素一次独立なベクトル列)全体の集合をV Cn,k =
Vn(Cn+k)とおく．V C
n,k ⊂ Cn(n+k)と見なして，V Cn,kに Cn(n+k)から
の誘導位相を与えた空間を複素 Stiefel多様体という．V Cn,kはC∞級
2n(n+ k)次元開多様体である．V Cn,kと V C
k,nはC∞同相である．
2) Cn+kの複素 n次元線形部分空間の集合をGCn,k = Gn(C
n+k)とおく．自然な射影 π : V C
n,k → GCn,kが連続となる極大位相を GC
n,kに入れて得られる空間は，コンパクトな 2nk次元多様体となる．この多様体を複素Grassmann多様体という．GC
n,kとGCk,nはC∞同相である．
69 目次へ
目次へ
3) 空間E(γn,Ck ) =
{(P, v)
∣∣ P ∈ GCn,k, v ∈ P ⊂ Cn+k
}（位相は誘導位相）に対して，
π : E(γn,Ck ) (P, v) �→ P ∈ GCn,k
とおくと，γn,Ck = (E(γn,Ck ), GCn,k, π)は GC
n,k上の n次元複素ベクトルバンドルとなる．これをGC
n,kを底空間とする n次元標準複素ベクトルバンドルという．
4) 標準的な入射Cn+k ⊂ Cn+k+1から誘導される入射GCn,k ⊂ GC
n,k+1に関して，(GC
n,k)k≥0は帰納系をなす．この帰納的極限をGCn = GC
n,∞ =
Gn(C∞)と表し，無限次元複素Grassmann多様体という．また，自
然な入射 γn,Ck ⊂ γn,Ck+1の帰納的極限を γn,Cとおく．このとき，
E(γn,C) ={(P, v)
∣∣ P ∈ GCn , v ∈ P ⊂ C∞
} ⊂ GCn × C∞
が成り立つ．
�
【定理 6.5 (複素ベクトルバンドルの分類空間)】 ωn = (E,B, π)をパラコンパクトHausdorff空間B上の n次元複素ベクトルバンドルとする．このとき，連続写像 f : B → GC
nが存在し，ωn ∼= f ∗γn,Cと
なる．さらに，この対応により，B上の n次元複素ベクトルバンドルの同型類とBからGC
nへの連続写像のホモトピー類が１対１に対応する．したがって，GC
nはパラコンパクトHausdorff空間上の n次元複素ベクトルバンドルに対する分類空間，γn,Cは普遍バンドルとなる． �
6.1.3 分類空間の位相
【定理 6.6 (コホモロジー環)】
70 目次へ
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1) c1, · · · , cnを無限次元複素Grassmann多様体Gn(C∞)のChern類と
するとき，
H∗(BU(n)) = H∗(BGL(n,C)) = Z[c1, · · · , cn], (12)
H∗(BSU(n)) = H∗(BSL(n,C)) = Z[c2, · · · , cn]. (13)
2) q1, · · · , qnをシンプレクティックPontryagin類とするとき，
H∗(BSp(n)) = Z[q1, · · · , qn]. (14)
3) w1, · · · , wnを Stiefel-Whitney類，p1, · · · , pnをPontryagin類，eをEuler類，K2を標数 2の体，Kは標数が 2でない体とするとき，
H∗(BO(n);K2) = H∗(BGL(n,R); Z2) = K2[w1, · · · , wn],(15)
H∗(BSO(n);K2) = H∗(BSL(n,R); Z2) = K2[w2, · · · , wn],(16)
H∗(BSO(2m+ 1);K) = K[p1, · · · , pm], (17)
H∗(BSO(2m);K) = K[p1, · · · , pm−1, e]. (18)
�
6.2 ベクトルバンドル
6.2.1 Poincare-Hopfの定理
【定義 6.7 (ベクトル場の指数)】 n次元 C∞多様体M 上の C∞ベクトル場をXとする．
1) Xが開集合Uにおいて点 pに孤立した零点をもつとする．Uにおけるベクトル場の基底 ea = (e1, · · · , en)を一つ取ると，eaはM の接バンドルT (M)のUにおける自明化 (π, π′) : T (U) → U ×Tp(M)を与える．このとき，pを含む球体Dnと同相な領域 V (⊂ U)を取ると，Xにより定まる V 上のT (M)の切断は，π′との合成により，写像 g : (V, V − p) → (Tp(M), Tp(M)− p)を定める（p ∈Mを Tp(M)
のゼロベクトルと同一視する）．gから誘導される写像
g∗ : Hn(V, V − p) → Hn(Tp(M), Tp(M)− p)
71 目次へ
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は，eaや V の取り方に依存しない．また，局所座標系を用いると，Hn(V, V − p) ∼= Hn−1(∂V ) ∼= Zの生成元 un（すなわち U の向き）は，Hn(Tp(M), Tp(M)− p) ∼= Zの生成元 u′n（すなわち Tp(M)の向き）を定める．そこで，Xの点 pにおける指数 Ind(X, p)を
g∗un = Ind(X, p) u′n
により定義する．
2) X がM 上で有限個の孤立したゼロ点 p1, · · · , pkを持つとき，X の指数 Ind(X)を
Ind(X) =
k∑j=1
Ind(X, pj)
により定義する．
�
【定理 6.8 (Poincae-Hopf)】 Mをコンパクトなn次元C∞多様体とし，XをM上のC∞ベクトル場でその零点は有限個であり，∂M = ∅のときには，i) Xの零点はM − ∂M に含まれる，ii) Xは ∂M では外向きであるという２条件を満たすとする．このとき，
Ind(X) = χ(M).
�
Proof. 概要 [田村一郎著「微分位相幾何学」(岩波書店，1992)]
1) M がRnの n次元部分多様体U であるとする．∂U の外向き法ベクトルW によりGauss写像
g : ∂U p→Wp/‖Wp‖ ∈ Sn−1
を定義するとき，
g∗ : Hn−1(∂U) → Hn−1(Sn−1)
に対してg∗[∂U ] = Ind(X)[Sn−1]
が成り立つ．すなわち，Ind(X)はU（の形）のみで決まる．
72 目次へ
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2) 一般のM に対して，M をRmに埋め込む．このとき，M のRmにおける法近傍N(M)において，次の条件を満たすベクトル場Y が存在する．
i) Y はM 上でXと一致し，N(M)−M に零点を持たない．
ii) Y は ∂N(M)において外向きの接ベクトルである．
iii) Xの各零点 pjにおいて，Ind(X, pj) = Ind(Y, pj)が成り立つ．
3) ３つ組 (M ; ∅, ∂M)に適合したMorse関数 f から（適当なRiemann
計量を用いて）定義されるベクトル場∇f に対して，
Ind(∇f) = χ(M)
が成り立つ．
4) 1)より，2)における Ind(X) = Ind(Y )は法近傍N(M)の形態にのみ依存し，Xによらない．したがって，3)より Ind(X) = χ(X)となる．
6.2.2 Euler類とThom同型
【定義 6.9】 ξ = (E,B, π)を n次元ベクトルバンドルとする．Bを ξのゼロ切断と同一視して，E − Bを ξの部分バンドルと見なしξ0 = (E0, B, π)と表す． �
【定理 6.10 (Thom類とThom同型)】 ξ = (E,B, π)を向きが与えられた n次元ベクトルバンドルとし，
jb : F = Rn → Fb = π−1(b) ⊂ E
を F の標準的向きを Fb の向きに写す同型写像，U ∈ Hn(F, F0; Z)
をFの標準の向きを表すHn(F, F0; Z)の生成元に対する双対コホモロジー類とする．このとき，(E,E0)の整係数コホモロジー群H∗(E,E0; Z)
およびカップ積�: H∗(E; Z)⊗H∗(E,E0; Z) → H∗(E,E0; Z)に対して，次の命題が成り立つ：
73 目次へ
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i) H i(E,E0; Z) = 0 (i < n).
ii) Hn(E,E0; Z)の元 U(ξ)で，任意の b ∈ Bに対して，j∗b (U(ξ)) = U
を満たすものが一意的に存在する．U(ξ)を ξのThom類ないし基本コホモロジー類という．
iii) 写像
φ : H i(B; Z) α→ φ(α) = π∗(α) � U(ξ) ∈ H i+n(E,E0; Z)
は同型である．この同型写像をThom同型という．
iv) Thom類はバンドル写像に対して自然性をもつ．すなわち，２つの向きの与えられた n次元ベクトルバンドル ξ = (E,B, π), ξ′ =
(E ′, B′, π′)の間の向きを保つバンドル写像 f : ξ → ξ′ に対して，f : B → B′を対応する底空間の写像とするとき，
U(ξ) = U(f−1ξ′) = f ∗(U(ξ′))
が成り立つ．
�
【定義 6.11 (Euler類)】 ξ = (E,B, π)を向き付けられたn次元ベクトルバンドルとする．ξのThom類U(ξ)と j : (E, ∅) ⊂ (E,E0)を用いて
e(ξ) = (π∗)−1 ◦ j∗(U(ξ)) ∈ Hn(B; Z)
により定義されるコホモロジー類を ξの Euler類という． �
【定理 6.12 (Gysin完全系列)】 ξ = (E,B, π)を向き付けられたn
次元ベクトルバンドルとする．このとき，空間対 (E,E0)に対するコホモロジー完全系列
· · · → Hq−1(E0)δ∗−→ Hq(E,E0)
j∗−→ Hq(E)i∗−→ Hq(E0) → · · ·
およびThom同型より次の (Thom-)Gysinの完全系列が成り立つ：
· · · → Hq−1(E0; Z)φ−1δ∗−−−→ Hq−n(B; Z)
�e(ξ)−−−→ Hq(B; Z)(π|E0
)∗−−−−→ Hq(E0; Z) → · · · .�
74 目次へ
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【定理 6.13 (Euler類の性質)】 ξ = (E,B, π), ξ′ = (E ′, B′, π′)を向き付けられた n次元ベクトルバンドルとする．このとき，次の命題が成り立つ．
i) Euler類はバンドル写像に対して自然性をもつ．すなわち，f : B′ →Bを任意の連続写像，f−1ξをB′上の誘導バンドルとするとき，
e(f−1ξ) = f ∗(e(ξ)).
ii) e(ξ) = φ−1(U(ξ) � U(ξ)).
iii) ξの向きを逆にしたベクトルバンドルを ξ−とするとき，
e(ξ−) = −e(ξ).
iv) nが奇数の時，2e(ξ) = 0.
v) ξが至る所ゼロでない切断をもてば，e(ξ) = 0.
vi) ξ と ξ′ の積バンドル ξ × ξ′ = (E × E ′, B × B′, π × π′)の向きをjb × j′b′ : F × F ′ → π−1(b) × π′−1(b′)が正の向きとなるように定める．このとき，
e(ξ × ξ′) = e(ξ)× e(ξ′),
e(ξ ⊕ ξ′) = e(ξ) � e(ξ′).
�
【定理 6.14 (多様体の Euler類)】 Mnを向きの与えられた n次元C∞多様体とする．このとき，Mnの接バンドルのEuler類をMnのEuler類という：
e(Mn) = e(τ(Mn)).
特に，Mnが閉多様体のとき，χ(Mn)をMnのEuler数，[Mn]をMn
の基本ホモロジー類とするとき，
χ(Mn) = 〈e(Mn), [Mn]〉
が成り立つ． �
75 目次へ
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【定理 6.15 (法バンドルのEuler類)】 向き付け可能なn次元C∞多様体Mnがn+k次元Euclid空間Rn+kの閉集合として埋め込まれているとき，Mnの向きの与えられた法バンドル νkに対して e(νk) = 0
が成り立つ． �
【定理 6.16 (CP nの整係数コホモロジー環)】
i) γ1,C = (E(γ1,C),CP∞, π)のEuler類をα ∈ H2(CP∞; Z)とするとき，
H∗(CP∞; Z) = Z[α].
ii) γ1,Ck ⊂ γ1,Cに対応する包含写像 ι : CP k ⊂ CP∞に対して，
H∗(CP k; Z) = Z[ι∗(α)]/(ι∗(α)k+1 = 0).
�
6.2.3 Z2-Euler類とThom同型
【定理 6.17 (Thom類とThom同型)】 ξ = (E,B, π)を n次元ベクトルバンドルとし，
j′b : F = Rn → Fb = π−1(b) ⊂ E
を同型写像，U ′をHn(F, F0; Z2)の生成元とする．このとき，(E,E0)
のZ2係数コホモロジー群H∗(E,E0; Z2)およびカップ積�: H∗(E; Z2)⊗H∗(E,E0; Z2) → H∗(E,E0; Z2)に対して，次の命題が成り立つ：
i) H i(E,E0; Z2) = 0 (i < n).
ii) Hn(E,E0; Z2)の元 U ′(ξ)で，任意の b ∈ Bに対して，
j∗b (U′(ξ)) = U ′
を満たすものが一意的に存在する．U ′(ξ)を ξのZ2-Thom類ないしZ2基本コホモロジー類という．
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iii) 写像
φ : H i(B; Z2) α→ φ(α) = π∗(α) � U ′(ξ) ∈ H i+n(E,E0; Z2)
は同型である．この同型写像をZ2-Thom同型という．
iv) Z2-Thom類はバンドル写像に対して自然性をもつ．すなわち，２つn次元ベクトルバンドル ξ = (E,B, π), ξ′ = (E ′, B′, π′)の間のバンドル写像 f : ξ → ξ′に対して，f : B → B′を対応する底空間の写像とするとき，
U ′(ξ) = U ′(f−1ξ′) = f ∗(U ′(ξ′))
が成り立つ．
�
【定義 6.18 (Z2-Euler類)】 ξ = (E,B, π)を n次元ベクトルバンドルとする．ξの Z2-Thom類 U ′(ξ)と j : (E, ∅) ⊂ (E,E0)を用いて
e′(ξ) = (π∗)−1 ◦ j∗(U ′(ξ)) ∈ Hn(B; Z2)
により定義されるコホモロジー類を ξの Z2-Euler類という． �
【定理 6.19 (Gysin完全系列)】 ξ = (E,B, π)を n次元ベクトルバンドルとする．このとき，空間対 (E,E0)に対するコホモロジー完全系列
· · · → Hq−1(E0)δ∗−→ Hq(E,E0)
j∗−→ Hq(E)i∗−→ Hq(E0) → · · ·
およびThom同型より次の (Thom-)Gysinの完全系列が成り立つ：
· · · → Hq−1(E0; Z2)φ−1δ∗−−−→ Hq−n(B; Z2)
�e′(ξ)−−−→ Hq(B; Z2)(π|E0
)∗−−−−→ Hq(E0; Z2) → · · · .
�
【定理 6.20 (Z2-Euler類の性質)】 ξ = (E,B, π), ξ′ = (E ′, B′, π′)をn次元ベクトルバンドルとする．このとき，次の命題が成り立つ．
77 目次へ
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i) Z2-Euler類はバンドル写像に対して自然性をもつ．すなわち，f :
B′ → B を任意の連続写像，f−1ξ を B′ 上の誘導バンドルとするとき，
e′(f−1ξ) = f ∗(e′(ξ)).
ii) e′(ξ) = φ−1(U ′(ξ) � U ′(ξ)).
iii) ξが至る所ゼロでない切断をもてば，e′(ξ) = 0.
iv)
e′(ξ × ξ′) = e′(ξ)× e′(ξ′),
e′(ξ ⊕ ξ′) = e′(ξ) � e′(ξ′).
�
【定理 6.21 (多様体のZ2-Euler類)】 Mnを n次元C∞多様体とする．このとき，Mnの接バンドルのZ2-Euler類をMnのZ2-Euler類という：
e′(Mn) = e′(τ(Mn)).
特に，Mn が閉多様体のとき，χ(Mn)をMn の Euler数，[Mn]′ をMnの Z2基本ホモロジー類とするとき，
χ(Mn) ≡ 〈e′(Mn), [Mn]′〉 mod2
が成り立つ． �
【定理 6.22 (RP nの Z2係数コホモロジー環)】
i) γ1 = (E(γ1),RP∞, π)の Z2-Euler類を α ∈ H1(RP∞; Z2)とするとき，
H∗(RP∞; Z2) = Z2[α].
ii) γ1k ⊂ γ1に対応する包含写像 ι : RP k ⊂ RP∞に対して，
H∗(RP k; Z2) = Z2[ι∗(α)]/(ι∗(α)k+1 = 0).
78 目次へ
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�
【定理 6.23 (法バンドルのZ2-Euler類)】 n次元C∞多様体Mnがn + k次元 Euclid空間Rn+kの閉集合として埋め込まれているとき，Mnの法バンドル νkに対して e′(νk) = 0が成り立つ． �
6.2.4 Stiefel-Whitney類
【定義 6.24 (Stiefel-Whitney類の公理)】 次の５つの公理を満たす，パラコンパクトHausdorff空間を底空間とするベクトルバンドルに対する特性類を Stiefel-Whitney類という．
(SW I) 各ベクトルバンドル ξ = (E(ξ), B(ξ), π)に対して，コホモロジー類の列
wi(ξ) ∈ H i(B(ξ); Z2) (i = 0, 1, 2, · · · )
が対応する．ただし，w0(ξ) = 1 ∈ H0(B(ξ); Z2)で，ξが n次元ベクトルバンドルの時，wi(ξ) = 0(i > n)．wi(ξ)を ξの i次 Stiefel-
Whitney類，
w(ξ) = 1 + w1(ξ) + w2(ξ) + · · · ∈ H∗(B(ξ); Z2)
を全 Stiefel-Whitney類という．
(SW II) (自然性）f : ξ → ηをバンドル写像，f : B(ξ) → B(η)をf が定める底空間の間の写像とするとき，
w(ξ) = f ∗(w(η)).
(SW III) (Whitney積）ξと ξ′が同じ底空間上のベクトルバンドルの時，
w(ξ ⊕ ξ′) = w(ξ) � w(ξ′).
(SW IV) G1,1 = RP 1を底空間とする１次元標準ベクトルバンドルγ1
1に対して，αをH1(RP 1; Z2) ∼= Z2の生成元とするとき，
w1(γ11) = α ∈ H1(RP 1; Z2).
79 目次へ
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(SW V) ξ が n次元ベクトルバンドルであるとき，wn(ξ)は ξ のZ2-Euler類と一致する：
wn(ξ) = e′(ξ).
�
【定理 6.25 (Stiefel-Whiney類の存在と一意性)】 公理 (SW I)-(SW
V)を満たす Stiefel-Whitney類は存在し，一意的に決まる． �
【定理 6.26 (ベクトルバンドルの分類空間のコホモロジー)】 n次元ベクトルバンドルの分類空間GnのZ2係数コホモロジー環H∗(Gn; Z2)
は，対応する普遍ベクトルバンドル γnの Stiefel-Whitney類により生成される Z2上の多項式環である：
H∗(Gn; Z2) ∼= Z2[w1(γn), · · · , wn(γn)]
�
【定理 6.27 (ベクトルバンドルの向き付け可能性)】 ξをパラコンパクトHausdorff空間上のベクトルバンドルとするとき，ξが向き付け可能であるための必要十分条件は，w1(ξ) = 0. �
【定理 6.28 (ベクトルバンドルのフレーム断面)】 ξをパラコンパクトHausdorff空間上のn次元ベクトルバンドルとする．ξが各点で一次独立な q個の断面をもつならば，
wn(ξ) = wn−1(ξ) = · · · = wn−q+1(ξ) = 0
が成り立つ． �
【定理 6.29 (実射影空間の Stiefel-Whitney類)】 実射影空間RP k
に対して，１次元標準ベクトルバンドル γ1k の Z2-Euler 類を α ∈
H1(RP k; Z2)とするとき
w(RP k) = (1 + α)k+1.
�
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6.2.5 Chern類
【定義 6.30 (Chern類の公理)】 次の５つの公理を満たす，パラコンパクトHausdorff空間を底空間とする複素ベクトルバンドルに対する特性類をChern類という．
(C I) 各ベクトルバンドル ω = (E(ω), B(ω), π)に対して，コホモロジー類の列
ci(ω) ∈ H2i(B(ω); Z) (i = 0, 1, 2, · · · )
が対応する．ただし，c0(ω) = 1 ∈ H0(B(ω); Z)で，ωが n次元複素ベクトルバンドルの時，ci(ω) = 0(i > n)．ci(ω)をωの i次Chern類，
c(ω) = 1 + c1(ω) + c2(ω) + · · · ∈ H∗(B(ω); Z)
を全Chern類という．
(C II) (自然性）f : ω → θをバンドル写像，f : B(ω) → B(θ)を f
が定める底空間の間の写像とするとき，
c(ω) = f ∗(c(θ)).
(C III) (Whitney積）ωと ω′が同じ底空間上のベクトルバンドルの時，
c(ω ⊕ ω′) = c(ω) � c(ω′).
(C IV) GC1,1 = CP 1を底空間とする１次元標準複素ベクトルバンド
ル γ1,C1 に対して，αをH2(CP 1; Z) ∼= Zの生成元とするとき，
c1(γ1,C1 ) = α ∈ H2(CP 1; Z).
(C V) ωが n次元複素ベクトルバンドルであるとき，cn(ω)は ωの基礎実ベクトルバンドルωRの Euler類と一致する：
cn(ω) = e(ωR).
�
81 目次へ
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【定理 6.31 (Chern類の存在と一意性)】 公理 (C I)-(C V)を満たすChern類は存在し，一意的に決まる． �
【定理 6.32 (複素ベクトルバンドルの分類空間のコホモロジー)】 n
次元複素ベクトルバンドルの分類空間GCn の整係数コホモロジー環
H∗(GCn ; Z)は，対応する普遍複素ベクトルバンドル γn,CのChern類
により生成されるZ上の多項式環である：
H∗(GCn ; Z) ∼= Z[c1(γ
n,C), · · · , cn(γn,C)]
�
【定理 6.33 (複素ベクトルバンドルのフレーム断面)】 ωをパラコンパクトHausdorff空間上のn次元複素ベクトルバンドルとする．ωが各点で複素一次独立な q個の断面をもつならば，
cn(ω) = cn−1(ω) = · · · = cn−q+1(ω) = 0
が成り立つ． �
【定理 6.34 (複素射影空間のChern類)】 複素射影空間CP kに対して，１次元標準複素ベクトルバンドルγ1,C
k のEuler類をα ∈ H2(CP k; Z)
とするときc(CP k) = (1 + α)k+1.
�
6.2.6 Pontrjagin類
【定義 6.35 (Pontrjagin類)】 ξ = (E,B, π)をパラコンパクトHausdorff空間B上のn次元実ベクトルバンドルとするとき，ξの複素化 ξ ⊗ Cの Chern類 c2j(ξ ⊗ C)により ξの Pontrjagin類 pj(ξ)を次のように定義する：
pj(ξ) = (−1)jc2j(ξ ⊗ C) ∈ H4j(B; Z) (j = 0, 1, 2, · · · ).また，H∗(B; Z)の元 p(ξ)を
p(ξ) = 1 + p1(ξ) + · · ·で定義し，ξの全 Pontrjagin類という． �
82 目次へ
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【定理 6.36 (Pontrjagin類の性質)】 Pontrjagin類は次の性質をもつ．
(P I) 各ベクトルバンドル ξ = (E(ξ), B(ξ), π)に対して，ξの Pon-
tjagin類と呼ばれるコホモロジー類の列
Pi(ξ) ∈ H4i(B(ξ); Z) (i = 0, 1, 2, · · · )
が対応する．ただし，p0(ξ) = 1 ∈ H0(B(ξ); Z)で，ξが n次元ベクトルバンドルの時，i > [n/2]に対して，pi(ξ) = 0．
(P II) (自然性）f : ξ → ηをバンドル写像，f : B(ξ) → B(η)を f
が定める底空間の間の写像とするとき，
p(ξ) = f ∗(p(η)).
(P III) (Whitney積）ξ と ξ′が同じ底空間上のベクトルバンドルの時，
p(ξ ⊕ ξ′) = p(ξ) � p(ξ′) modA.
が成り立つ．ただし，AはH∗(B(ξ); Z)の位数 2の元すべてからなる部分環である．
(P IV) ξが向き付けられている 2n次元ベクトルバンドルのとき，
pn(ξ) = e(ξ)2.
�
【定理 6.37 (有向ベクトルバンドルの分類空間のコホモロジー)】 Λを 1/2を含む整域とする．
i) 2n + 1次元有向ベクトルバンドルの分類空間 G2n+1の Λ係数コホモロジー環H∗(G2n+1; Λ)は，対応する普遍ベクトルバンドル γ2n+1
の Pontrjagin類により生成されるΛ上の多項式環である：
H∗(G2n+1; Λ) ∼= Λ[p1(γ2n+1), · · · , pn(γ2n+1)]
83 目次へ
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i) 2n次元有向ベクトルバンドルの分類空間 G2nのΛ係数コホモロジー環H∗(G2n; Λ)は，対応する普遍ベクトルバンドル γ2nのPontrjagin
類およびEuler類により生成されるΛ上の多項式環である：
H∗(G2n; Λ) ∼= Λ[p1(γ2n), · · · , pn−1(γ
2n), e(γ2n)]
このとき，pn(γ
2n) = e(γ2n)2
がなりたつ．
�
【定理 6.38 (Chern類との関係)】 n次元複素ベクトルバンドルω
のChern類と ωRの Pontrjagin類の間には次の関係式が成り立つ：
1− p1(ωR) + p2(ωR)− · · ·+ (−1)npn(ωR) = c(ω)c(ω).
ここで，ωは ωの複素共役バンドルで，
c(ω) = 1− c1(ω) + c2(ω)− · · ·+ (−1)ncn(ω).
�
6.2.7 障害類
【定理 6.39 (Euler類)】 ξが CW複体Bを底空間とする向きの与えられた n次元ベクトルバンドル，ξをそれに同伴した球バンドルとする．nが偶数ならば，Bの n − 1切片上の ξの切断を n切片上に拡大するための障害類 o(ξ) ∈ Hn(B; Z)は ξの Euler類 e(ξ)と一致する． �
【定理 6.40 (Stiefel-Whitney類)】 ξが CW複体 B を底空間とする向きの与えられたn次元ベクトルバンドルとする．Bの q − 1切片上の正規直交n− q + 1粋を q切片上に拡大するためのZ2-障害類oq(ξ) ∈ Hq(B; Z2)は ξの Stiefel-Whitney類wq(ξ)と一致する． �
84 目次へ
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【定理 6.41 (Chern類)】 ωがCW複体Bを底空間とする向きの与えられた複素 n次元ベクトルバンドルとする．Bの 2q− 1切片上の複素（正規直交）n − q + 1粋を 2q切片上に拡大するための障害類oq(ω) ∈ H2q(B; Z)は ωのChern類 cq(ω)と一致する． �
【定理 6.42 (構造群の簡約)】
1) ξをCW複体B上のベクトルバンドルとするとき，ξが向き付け可能であるための必要十分条件は，w1(ξ) = 0である．(この定理は，Bが一般にパラコンパクトHaussdorf空間なら成り立つ．)また，向き付け可能であるとき，ξの向きはH0(X; Z2)の元と一対一に対応する．
2) ωをCW複体上の複素 n次元ベクトルバンドルとする．ωの構造群が SU(n)に簡約できるための必要十分条件は，c1(ω) = 0である．
�
Proof.
1) 一般に，主バンドルP (G,B)の部分主バンドルP ′(H,B)は，P (G,B)
に同伴したファイバーバンドル (P/H,B,G/H)の大域的切断と一対一に対応する．また，ξが向き付け可能であるための必要十分条件は，ξに同伴した主バンドルP (O(n), B)の部分主バンドルP ′(SO(n), B)
が存在すること，すなわちP の構造群O(n)を SO(n)に簡約できることである．ところが，O(n)/SO(n) ∼= Z2で，任意のZ2バンドルについて，そのB1の切断は常にB全体に拡張可能であるので，B(1)
上で ξが向き付け可能なら，B全体で向き付け可能となる．したがって，問題は B(1)上で考えればよい．まず，ξが向き付け可能なら，B(1)上で構造群のSO(n)への簡約が存在する．ところが，SO(n)は連結なので，このとき構造群はB(1)上で自明群に簡約できる．すなわち，B(1)上で ξのn粋が存在する．逆に，B(1)上で ξのn粋が存在すれば，明らかにB(1)上で ξは向き付け可能である．したがって，向き付けの障害は，障害類 o(ξ) ∈ H1(B; O(n)/SO(n)) = H1(B; Z2)，すなわちw1(ξ)のみとなる．次に，向き付け可能なら，B上のZ2バ
85 目次へ
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ンドルは自明となり，向きはBの各連結成分上で定数となるZ2値関数と一対一に対応する．この関数は明らかに，H0(B; Z2)の元と同一視できる．
2) B(2)上でSU(n)への簡約が存在すれば，πj(U(n)/SU(n)) = πj(S1) =
0 (j ≥ 2)より，B全体で簡約が存在するので，B(2)上で考えればよい．さらに，B(2)上で SU(n)への簡約が存在すれば，SU(n)は連結でπ1(SU(n)) = 0よりωはB(2)上で自明となる．したがって，SU(n)
への簡約可能条件は，B(2)上でωが自明となることで，P (U(n), B)
が連結なのでその障害は，障害類 o1(ξ) = c1(ξ) ∈ H2(B; Z)のみとなる．
6.2.8 スピン構造
【定義 6.43 (スピン構造)】 ξをCW複体X上の n次元ベクトルバンドルとするとき，ξのスピン構造を次のいずれかで定義する．3つの定義は同等である．
i) εをX 上の自明な 1次元ベクトルバンドル，X(j)をX の j切片とするとき，ξが向き付け可能で，適当な非負整数 kに対して ξ ⊕ εk
のX(1)上の自明化σでX(2)上に拡張可能なものが存在するとき，ξはスピン構造をもつといい，σのホモトピー類をスピン構造と呼ぶ．ただし，n ≥ 3のときには k = 0，n = 2のときには k = 1，n = 1
のときには k = 2ととれる．
ii) ξの随伴O(n)主バンドルがSO(n)主バンドルP に簡約可能で，P の２重被覆となっている Spin(n)主バンドル P が存在して次の図式が可換となるとき，ξはスピン構造を持つといい，２重被覆 p : P → P
の同値類をスピン構造と呼ぶ．
Spin(n)λ−−−→ SO(n)
" "E(P )
p−−−→ E(P )⏐⏐� ⏐⏐�X
=−−−→ X
(19)
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iii) ξの随伴O(n)主バンドルが SO(n)主バンドルP に簡約可能で，σ ∈H1(E(P ); Z2)でその各ファイバーへの制限がH1(SO(n); Z2)の生成元となっているものが存在するとき，ξはスピン構造 σを持つという.
�
【定理 6.44 (スピン構造の存在)】 ξをCW複体X上の n次元ベクトルバンドルとする．
1) ξがスピン構造をもつための必要十分条件は，w1(ξ) = w2(ξ) = 0である．
2) ξがスピン構造をもつとき，次の完全系列がなりたち，各スピン構造 σ ∈ H1(E(P ); Z2)は i∗(σ) = 1で特徴付けられる．また，σはH1(X; Z2)の元と一対一に対応する．
0 → H1(X; Z2)π∗−−−→ H1(E(P ); Z2)
i∗−−−→ H1(SO(n); Z2) ∼= Z2 → 0(20)
�
7 Knots and Links
[LastUpdate: 2001.3.31]
7.1 正則表示
7.1.1 数論的不変量
7.1.1.1 最小交点数
【定義 7.1 (最小交点数)】
c[L]def= 正則表示における交点数の最小値
�
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7.1.1.2 絡み数 (linking number)
【定義 7.2 (交点符号)】 絡み目の正則表示Dの交点 cにおいて，上橋を下橋が右から下をくぐるとき sign(c) = +1, 左からくぐるときsign(c) = −1. �
【定義 7.3 (絡み数)】 ２つの結び目K1, K2からなる絡み目に対して
Link(K1, K2)def=
1
2
∑c∈K1∩K2
sign(c).
�
7.1.1.3 橋指数 (bridge index)
【定義 7.4 (橋指数)】
brdef= height関数の local maximum pointsの最小数
�
性質br[L1�L2] = br[L1] + br[L2]− 1.
2-橋結び目と 2-橋絡み目は Schubert標準形 S(α, β)により完全に分類される：
S(α, β) : gcd(α, β) = 1, −α < β < α, β :奇数
【定理 7.5】
(i) 2-橋結び目 S(α, β)と S(α′, β ′)が同型であるための必要十分条件：
α = α′, β±1 ≡ β ′(modα).
(ii) 2-橋絡み目が成分の向きを無視して同型となる条件は (i)と同じ．向きまで含めて同型となる必要十分条件は
α = α′, β±1 ≡ β ′(mod2α).
�
88 目次へ
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7.1.1.4 組み紐指数 (braid index)
【定義 7.6 (組み紐指数)】
b[L]def= braid表示をするために必要なひもの最小数．
�
性質 結び目に対して
b[K1�K2] = b[K1] + b[K2]− 1.
7.1.1.5 結び目解消数 (unknoting number)
【定義 7.7 (結び目解消数)】
u[L]def= 結び目を自明にするために必要な最小の交差数
�
7.2 Seifert曲面
【定義 7.8 (Seifert曲面)】 S3内の絡み目 Lに対して，閉じた成分を含まない向きづけられたコンパクトな曲面 F で，向きまで含めて∂F = Lとなるものを，Lの Seifert曲面という． �
【定義 7.9 (Seifert行列)】 Lを S3内の絡み目，F を Lの連結なSeifert曲面とする．f : F × [−1, 1] → S3を，S3におけるFのカラー（正則近傍）で向きを保つものとし，f+(x) = f(x, 1), f− = f(x,−1)
とおく．このとき，F の１次元サイクル c1, c2に対して，c+1 = f+(c1)
と c−2 = f−(c2)の S3における絡み数L(c+1 , c−2 )は c1, c2のホモロジー
類のみで決まり，双線形形式φ : H1(F )×H1(F ) → Zを与える．これを，絡み目Lの連結 Seifert曲面 F に付随した Seifert形式という．また，H1(F )の基底に関するφの行列表示をSeifert行列という． �
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【定義 7.10 (S-同値)】 ２つの正方整数行列 V,W に対して，
W =
⎛⎜⎝0 0 0
1 x u
0 v V
⎞⎟⎠
のとき，W は V の行拡大，V はW の行縮小，W T は V T の列拡大，V T はW T の列縮小という．
S-同値とは，ユニモジュラー合同，行拡大，行縮小，列拡大，列縮小という関係から生成される同値関係のことである． �
【定理 7.11】 絡み目 Lから得られる任意の２つの Seifert行列は S-
同値である． �
7.2.1 数論的不変量
7.2.1.1 種数 (genus)
【定義 7.12 (種数)】
g[L]def= 組み紐 Lに対する Seifert曲面の種数の最小値
�
7.2.1.2 符号数 (signature)と退化次数
絡み目Lに対して，その一つのSeifert曲面をF , F のSeifert行列をMF
とする．
【定義 7.13 (双曲平面形式)】 非特異な対称双一次偶形式 b : H×H →Z でH ∼= Z× Z となるもの．
⇔ b ∼=(
0 1
1 0
)�
【定義 7.14 (安定同型)】 ２つの対称双一次形式 (H, b), (H ′, b′)に対して，それぞれにいくつかの双曲平面形式を直和により添加したものが同型となるとき，それらは安定同型であるという． �
90 目次へ
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【定理 7.15】 絡み目Lの任意の Seifert曲面 F から得られる対称双一次偶形式MF +MF
T は互いに安定同型類である． �
【定義 7.16 (符号数)】
σ[L]def= sign(MF +MF
T ).
�
性質
σ[L1�L2] = σ[L1] + σ[L2],
σ[±L∗] = −σ[L].
結び目Kに対して，σ[K] ≤ 2u[K]. (21)
【定義 7.17 (退化数)】
n[L]def= (dim−rank)(MF +MF
T ).
�
性質n[L] ≤ r − 1 (r = Lの成分数).
7.3 絡み目群
【定義 7.18 (絡み目群)】
G[L] := π1(E); E := S3 −N(L).
�
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【定義 7.19 (普遍アーベル被覆空間)】 Hurwitz全射準同型
γ : G = π1(E) → H1(E) ∼= Zr (r = Lの成分数)
の kernel Ker γ = [G,G]に対応するEの被覆空間
p : Eγ → E.
�
【定義 7.20】 H1(E)の基底 t1, · · · , tr に対して，ZH1(E)は Lau-
rent多項式環Λ = Z[t1, · · · , tr]と同型となる．このとき，H1(E) ∼=π1(E)/π1(Eγ)は Eγ の被覆変換群となるので，H1(Eγ)は Λ-加群と見なせる．
(1) Lの絡み目加群 = Λ-加群H1(Eγ).
(2) LのAlexander加群A[L] = Λ-加群H1(Eγ , p−1(e))(e ∈ E).
�
7.4 不変多項式
絡み目Lの正則表示Dの交点 cにおいて，交差を正交差に変えたものをL+(D, c)，負交差に変えたものをL−(D, c)，組み替えにより向きを保って交差を解消したものをL0(D, c)と表すことにする．
7.4.1 Alexander-Conway多項式
7.4.1.1 Skein関係による定義
【定義 7.21 (Alexander-Conway多項式)】 有向絡み目Lの正則表示から定義される一変数多項式∇L(z) ∈ Z[z]で次の性質を満たすもの．
(AC0) Lと L′が全同位ならば，∇L = ∇L′．
(AC1) ∇© = 1.
(AC2) ∇L+ −∇L− = z∇L0 .
�
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性質 : L = L1 ∪ L2, L1 ∩ L2 = ∅ならば，∇L = 0.
7.4.1.2 構成的定義
【定義 7.22 (1変数Alexander多項式)】 絡み目 Lの Seifert曲面をF，F の Seifert行列をMF とすると，
ΔL(t)def= ±tm det(MF − tMF
T ) = a0 + · · ·aktk (a0 > 0) (22)
で定義される多項式は，F の取り方によりず，絡み目不変量となる．これを 1変数Alexander多項式という． �
Alexander-Conway多項式との関係：
ΔL(t).= ∇L(t1/2 − t−1/2).
性質 Mn を絡み目 Lにそう S3 の n重分岐被覆空間とすると，1変数Alexander多項式ΔL(t)と 1の原始 n乗根 ωに対して，
H1(Mn)のアーベル群としての位数 = |n∏k=1
ΔL(ωk)|.
ただし，|∞| = |0| = 0とする．
【定義 7.23】
(1) M を有限生成 Λ-加群とすると，適当な自然数 m,nに対して完全系列
Λm → Λn →M → 0
が存在する．このとき，最初の写像Λm → Λnを表すΛ− (m,n)行列 P をM の行列表現とよぶ．
(2) 非負整数 dに対して，P の (n − d)次の小行列全体で生成される Λ
のイデアルEd(M)をM の d番基本イデアルと呼ぶ．また，Λの単元を法として定まる Ed(M)の最大公約元Δd(M)をM の d番特性多項式と呼ぶ．
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�
【定義 7.24 (多変数Alexander多項式)】 絡み目 Lの絡み目加群をH1(Eγ)，Alexander加群をA(L)とするとき，
d番Alexander多項式: Δ(d)L
def= Δd+1(A(L)) = Δd(H1(Eγ)),
Alexander多項式: ΔLdef= Δ
(0)L
�
性質
トレース条件: r成分絡み目 L = K1 ∪ · · · ∪Krに対して，
i) ΔL(t1, · · · , tr) .= ΔL(t−1
1 , · · · , t−1r ).
ii) L = L′ ∪Kr, λi =Link(Ki, Kr)とするとき，r = 2に対して，
ΔL(t1, · · · , tr−1, 1).=tλ11 − 1
t1 − 1ΔL′(t1),
r > 2に対して，
ΔL(t1, · · · , tr−1, 1).= (tλ1
1 · · · tλr−1
r−1 − 1)ΔL′(t1, · · · , tr−1).
以上で .=は (mod 単元)で等しいことを意味する．
1変数Alexander多項式との関係：r > 1のとき，
ΔL(t) = (t− 1)ΔL(t, · · · , t).
7.4.2 Jones多項式
7.4.2.1 Skein関係による定義
【定義 7.25 (Jones多項式)】 有向絡み目 Lの正則表示に対して定義される 1変数式 VL(t) ∈ Z[t1/2, t−1/2]で次の性質を満たすもの：
(J0) Lと L′が全同位ならば，VL = VL′．
(J1) V©(t) = 1.
(J2) t−1VL+(t)− tVL−(t) = (t1/2 − t−1/2)VL0(t).
�
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性質 �(L)で絡み目Lの成分数を，MnでLに沿って分岐する S3の n重巡回分岐多様体を表すとき，
i) VL(1) = (−2)�(L)−1,
ii) VL(−1) = ∇L(2i),
iii) VL(e2πi/3) = 1,
iv) VL(i) =
{2(�L−1)/2(−1)Arf(L) (Arf(L)が定義可能の時)
0 (それ以外の時),
v) VL(eπi/3) = ±i�(L)−1(√
3i)rankH1(M2(L);Z3).
絡み目 Lの 1つの成分K の向きを変えて得られる絡み目を L′ と表し，λ = Link(K,L−K)とおくと，
VL′(t) = t−3λVL(t).
7.4.2.2 Stateモデル
絡み目 Lの交叉 cにおいて cの近傍は４つの領域に分割される．これらのうち，上橋に対してその反時計回りの位置にある２つの領域をA領域，残りを B領域と名付ける．cにおいて，A領域をつなぐことにより交叉を解消する操作を R+(c)，B領域をつないで交叉を解消する操作をR−(c)と表す．
【定義 7.26 (Kauffmanブラッケト)】 無向絡み目 |L|に対して，A,B, dを可換な変数として，
〈K〉 = 〈K〉(A,B, d) =∑σ
〈K|σ〉d‖σ‖
をKauffmanブラケットという．ただし，σはLの交叉点の集合から{+,−}への写像を，‖σ‖は全交叉の解消された絡み目∏cRσ(c)(c)L
のループの数−1を，また，〈K|σ〉は∏c
(AR+(c) +BR−(c)) =∑σ
〈K|σ〉∏c
Rσ(c)(c)
で定義されるA,Bの同次多項式である． �
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【定理 7.27】 有向絡み目Lに対して，w(L)をその捻り数とするとき，
LL(A) := (−A3)−w(L)〈K〉(A,A−1,−A2 − A−2)
により定義される一変数 Laurent多項式は，全同位に対する不変量となる．この不変量と Jones多項式との間には次の関係がある．
VL(t) = LL(t−1/4).
�
7.4.3 Homfly多項式
7.4.3.1 Skein関係による定義
【定義 7.28 (Homfly多項式)】 有向絡み目 Lの正則表示から定義される 2変数多項式PL(α, z) ∈ Z[α, α−1, z, z−1]で次の性質を満たすもの．
(H0) Lと L′が全同位ならば，PL = PL′．
(H1) P© = 1.
(H2) αPL+ − α−1PL− = zPL0 .
�
特殊化
∇L(z) = PL(1, z),
VL(t) = PL(t, t1/2 − t−1/2).
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性質 �LとMn(L)は Jones多項式の場合と同じもの表すとして，
i) P−L(a, z) = PL(a, z),
ii) PL∗(a, z) = PL(−a−1, z),
iii) PL1�L2(a, z) = PL1(a, z)PL2(a, z),
iv) PL1+L2(a, z) =a−1 − a
zPL1(a, z)PL2(a, z),
v) PL(a, a−1 − a) = 1,
vi) PL(−a,−z) = PL(a, z),
vii) PL(a,−z) = PL(−a, z) = (−1)�(L)−1PL(a, z),
viii) PL(i, i) = (√
2i)rankH1(M3(L);Z2).
7.4.4 Q-多項式
7.4.4.1 Skein関係による定義
向きのついていない絡み目 |L|に対して，|L|±は L±と同様に定義し，組み替えにより交差を解消して得られる 2通りの絡み目を |L|0，|L|1と表す．
【定義 7.29 (Q-多項式)】 無向絡み目 |L|に対する 1変数多項式Q|L|(x) ∈ Z[x, x−1]で次の性質をもつもの：
(Q0) Lと L′が全同位ならば，QL = QL′ .
(QI) Q©(x) = 1.
(QII) Q|L|+(x) +Q|L|−(x) = x{Q|L|0(x) +Q|L|1(x)}.�
性質
i) Q|L|(1) = 1,
ii) Q|L|(−1) = (−3)rankH1(M2(L);Z3),
iii) Q|L|(2) = |∇L(2i)|2,iv) Q|L|(−2) = (−2)�(L)−1.
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7.4.5 Kauffman多項式
7.4.5.1 Skein関係による定義
【定義 7.30 (Kauffman多項式)】 無向絡み目 |L|に対する 2変数多項式Λ|L|(a, x) ∈ Z[a, a−1, z, z−1]で次の性質を満たすものを ΛLとする：
(K0) ΛとΛ′が正則同位ならば，ΛL = ΛL′.
(K1) Λ©(α, z) = 1.
(K2) Λ|L|+(α, z) + Λ|L|−(α, z) = z{Λ|L|0(α, z) + Λ|L|1(α, z)}.(K3) ΛT+ = αΛD, ΛT− = α−1ΛD.
ただし，T±はL内の符号正（負）のねじりを，Dはそのねじりを解消した絡み目を表す．有向絡み目 Lに対して，w(L)を Lの捻り数とするとき，
FL(α, z) := α−w(L)ΛL(α, z)
で定義される2変数多項式FLは，有向絡み目に対する全同位不変量となりKauffman多項式という． �
特殊化
QL(z) = FL(1, z),
VL(t) = FL(−t−3/4, t1/4 + t−1/4).
7.5 抽象テンソルとYang-Baxter方程式
7.5.1 抽象テンソル表示
【定義 7.31 (無向抽象テンソル表示)】 ある一定の次数をもつ各テンソルに対して次のような規則でダイアグラムブロックを対応させる：
δij �→i
|j
T i···jk···l �→i···j|···|T|···|k···l
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この規則により，テンソルの積の各要素にダイアグラムブロックを対応させ，和を取る（縮約する）添え字の対を曲線で結ぶことにより，縮約を含むテンソル積とダイアグラムが対応する．このダイアグラムを無向抽象テンソル表示という．この表示では，上添え字と下添え字を区別するために，テンソルブロックの向きは上（下）添え字に対応する線が常に上（下）向きに出るように固定する． �
【定義 7.32 (有向抽象テンソル表示)】 テンソル積に無向テンソル表示と同様に抽象テンソル図式を対応させる．この図式の各部ロックを結ぶ曲線に下添え字から上添え字に向かうように向きを付けたものを有向抽象テンソル表示という．この表示では，テンソルブロックの向きや各添え字に対応する線の出る向きは任意でよいが，線の順序は固定する． �
【定義 7.33】 有向絡み目 Lの各交叉に対して，それが正交叉の時↘↙ (+)，負交叉の時↘↙ (−)とあらわす．この記法のもとで，Lの各交叉に次のような抽象テンソルブロックを対応させることにより，有向絡み目に対する抽象テンソル表示が得られる：
↘↙ (+) �→ ab ↘↙• cd = Rab
cd,
↘↙ (−) �→ ab ↘↙◦ cd = Rab
cd.
�
【定理 7.34】 有向絡み目Lに対して，その抽象テンソル表示に対応する値を T (L)と表すと，T (L)が正則同位の不変量となるための必要十分条件は，R行列が次の３つの条件を満たすことである：
i) (channel unitarity) RabijR
ijcd = δac δ
bd.
ii) (cross-channel unitarity) RiajbR
jdic = δac δ
db .
iii) (Yang-Baxter方程式)
RabijR
jckfR
ikde = Rbc
ijRaidkR
kjef ,
Rabij R
jckf R
ikde = Rbc
ij RaidkR
kjef .
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�
【例 7.35】 R行列
Rabcd = Aδac δ
bd + A−1δabδcd,
Rabcd = A−1δac δ
bd + Aδabδcd
は上の３条件を満たし，テンソルの次元 nとAが
n = −A2 −A−2
を満たすとき，T (L)は Aの特殊値に対する Kauffmanブラケット〈K〉と一致する． �
【定義 7.36】 無向絡み目Lの正則表示において，平面に時間とよぶ単調レベル関数を定義する．この時間に関する極大点と極小点を含む線分に対して次の抽象テンソルを対応させる：
極大点 �→ Mab,
極小点 �→ Mab.
さらに，各交叉に対して，その近傍で時間の向きにそって交叉弧に向きを与えるとき，抽象テンソルを次のように対応させる：
正交叉 �→ Rabcd,
負交叉 �→ Rabcd.
また，時間に関して単調な鉛直方向の弧には δab を対応させる．これにより，無向絡み目に対する抽象テンソル表示が得られる． �
【定理 7.37】 無向絡み目 |L|に対して，その抽象テンソル表示の値をτ(|L|)と表す．行列Mab,M
ab, R, Rが次の条件を満たすとき，τ(|L|)は正則同位不変量となる：
i) (位相的移動不変性）MaiMib = δab .
ii) （捻り不変性）Rabcd = MciR
iadjM
jb.
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iii) （II型移動）RabijR
ijcd = δac δ
bd.
iv) R, Rに対するYang-Baxter方程式．
�
【例 7.38】 行列M = (Mab), Rを
M = −Aσ2 =
(0 iA
−iA 0
),
R = AM−1 ⊗M + A−1I
と選ぶと，d = TrM(MT )−1 = −A2 − A−2
より，τ(L)はKauffmanブラケットに比例する：
τ(L) = d〈K〉.
これは，Kauffmanブラケットに対するYang-Baxterモデルと呼ばれる．特に，A = −1(d = −2)のとき，τ(L)は全同位不変量となり，Penroseのバイノールと一致する． �
101
参考文献[Sma60] Smale, S.: Bull. Amer. Math. Soc. 66, 373–406 (1960).
[Sma61] Smale, S.: Generalized Poincare conjecture in dimensions
greater than four, Ann. Math. 74, 391–406 (1961).
[Sta60] Stallings, J.: Polyhedral homotopy spheres, Bull. Amer. Math.
Soc. 66, 485–8 (1960).
102
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