Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
( ) 21
1
ωΓ−===
L
incLR P
PsarciniilivrataPuterea
sursaladeadisponibilPutereaP
LRPIL log10=
( ) ( )( ) ( )22
22
ω+ω
ω=ωΓ
NMM
( )( )22
1ω
ω+=
NMPLR
Tipuri de raspunsuri
N
cLR kP
221 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
+=c
NLR TkP 221
N
cLR
kP22 2
4 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
≈( ) NcLR kP 22 ωω≈
Maxim Plat Echi-Riplu
Filtru cu raspuns liniar in faza
( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
+ω=ωφN
cpA
21
( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
++=ωφ
=τN
cd NpA
dd
2121 intirzierea de grup
Filtre prototip
⎩⎨⎧
== paralelrcondensatounuiacapacitate
bobineuneitataninducg n,1kk
⎩⎨⎧
==
=110
1100 'Lgdaca'Gluigeneratorutatanconduc
'Cgdaca'Rluigeneratorurezistentag
⎩⎨⎧
==
=+
++
nn1n
nn1n1n 'Lgdaca'Gsarcinadetatanconduc
'Cgdaca'Rsarcinaderezistentag
Calculul ordinului filtrului maxim plat
[ ]110
101010
'/'log2
110110log
ωω
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−
≥s
LL ArAs
n
Calculul ordinului filtrului echi-riplu
( )1s1
L1,0L1,01
'/'ch
110/110ch
n
ArAs
ωω
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
≥−
−
Filtre prototip de tip maxim-plat cu terminaţii rezistive
10 =g
( ) nkn
kgk ,...,3,2,1,212sin2 =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ π−
=
11 =+ng
Filtre prototip de tip echi-riplu cu terminaţii rezistive
γ= 1
12a
g
nkgb
aag
kk
kkk ,...,3,2,
4
11
1 ==−−
−
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ β
==+ parnpentru
imparnpentrugn
4coth
121
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=β
37,17cothln ArL
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ β=γ
n2sinh
( ) nkn
kak ,...,2,1,212sin =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ π−
=
nknkbk ,...,2,1,sin 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+γ=
Scalarea in impedanta si frecventaFTJ
LRL 0=′
0RCC =′
0s RR =′
L0L RRR =′
cωω
←ω
c
k0k
LRL
ω=′
c0
kk R
CCω
=′
Scalarea in impedanta Scalarea in frecventa Valorile noi
Scalarea in impedanta si frecventaFTS
LRL 0=′
0RCC =′
0s RR =′
L0L RRR =′
Scalarea in impedanta Scalarea in frecventa Valorile noi
ωω
−←ω c
kck LR
Cω
=′0
1
kck C
RL
ω=′ 0
Exemplu
Să se proiecteze un filtru trece-jos de tip maxim plat cu o frecvenţă de tăiere de2 GHz, care să lucreze pe 50 Ω, şi să aibă pierderi de inserţie de cel puţin 15dB la 3 GHz. Calculaţi răspunsul în amplitudine şi în fază între 0 şi 4 GHz. şicomparaţi-l cu filtrul echi-riplu, cu riplu de 3 db şi de acelaşi ordin.
Solutie
( )( ) 22.423log2110log 1015=
−≥N
g1 = 0.618g2 = 1.618g3 = 2.000g4 = 1.618g5 = 0.618
C1' = 0.984 pF,L2' = 6.438 nH,C3' = 3.183 pF,L4' = 6.438 nH,C5' = 0.984 pF.
Scalarea in impedanta si frecventaFTJ - FTB
LRL 0=′
0RCC =′
0s RR =′
L0L RRR =′
Scalarea in impedanta Scalarea in frecventa Valorile noi
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
−ωω
Δ=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
−ωω
ω−ωω
←ω 0
0
0
012
0 1
0
12ω
ω−ω=Δ
210 ωω=ω
0ωΔ
=′k
k CL
Δω=′
0
kk
CC
Ramura serie
(in serie)
0ωΔ=′ k
kL
L
kk L
C0ωΔ
=′
Ramura paralel
(in paralel)
Scalarea in impedanta si frecventaFTJ - FOB
LRL 0=′
0RCC =′
0s RR =′
L0L RRR =′
Scalarea in impedanta Scalarea in frecventa Valorile noi
0
12ω
ω−ω=Δ
210 ωω=ω
Ramura serie
(in paralel)
Ramura paralel
(in serie)
10
0
1−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
−ωω
Δ←ω
0ωΔ
=′ kk
LL
kk L
CΔω
=′0
1
kk C
LΔω
=′0
1
0ωΔ
=′ kk
CC
Exemplu
Să se proiecteze un filtru trece-bandă de ordinul 3, avînd riplurile în bandă de0.5 dB. Frecvenţa centrala a filtrului sa fie de 1 GHz. Banda să fie de 10%, şiimpedanţa de 50 Ω.
Solutie
g1 = 1.5963 = L1,g2 = 1.0967 = C2,g3 = 1.5963 = L3,
g4=1.000 =RL
L'1 = 127.0 nH,C'l = 0.199 pF,L'2 = 0.726 nH,C'2 = 34.91 pF,L'3 = 127.0 nH,C'3 = 0.199 pF.
Transformarea Richard
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ω=β=Ω
pvll tantan
( )ljLLjjX L β=Ω= tan
( )ljCCjjBC β=Ω= tan
( )lβ==Ω tan1
Exemplu
Să se proiecteze un filtru trece-jos în tehnologie microstrip.Specificaţiile sunt: frecvenţa de tăiere 4 GHz, ordinul 3,impedanţa de 50 Ω, şi o caracteristică echi-riplu de 3 dB.
Solutie - 4
Ω== 93.6402
1 ZnZsh Ω=⋅= 254.70022 ZZZ Csh Ω== 93.6402
3 ZnZsh
Ω=⋅⋅= 435.217012
1 ZZnZ Lse Ω=⋅⋅= 435.217032
2 ZZnZ Lse
Circuitele prototip modificate folosind invertoare
( )( )
1nn
Ban1n,n
1kk
1kaak1n,1k1k,k10
1aA01 gg
RLK,
gg
LLK,
ggLR
K+
++
+−=+ ===
( )( )
1nn
Ban1n,n
1kk
1kaak1n,1k1k,k10
1aA01 gg
gCJ,
gg
CCJ,
ggCG
J+
++
+−=+ ===
Realizări practice ale invertoarelor de imitanta- 2
( ) ( )radYB
arctgYB
YB
arctg,SYB
arctgtgYJ aaba
00000
22
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=φ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
φ=
( ) ( )radZX
arctgZX
ZX
arctg,ZX
arctgtgZK aaba
00000
22
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=φΩ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
φ=
Realizări practice ale invertoarelor de imitanţă - 3
( )( )20
0
000
1ZX,(rad)
Z2Xarctg,
2tgZK
ZK
ZK
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=φΩ
φ=
( )( )20
0
000
1,(rad)2arctg,
2tg
YJ
YJYB
YBSYJ
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=φ
φ=
Circuit echivalent pentru sectiuni scurte de linii
[ ] ( ) ( )( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡β−β−β−β−
=ljZlcjZlcjZljZ
Zcotcoscoscot
00
00
( )( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ β=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡β−β
−=−2
tansin
1cos001211
ljZl
ljZZZ
2π<βl
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ β=2
tan2 0
lZX
( )lZ
B β= sin1
0
Filtre trece-jos cu variaţii treaptă ale impedanţei caracteristice
Circuite aproximativ echivalente pentru sectiuni scurte de linie
lZX β≅ 0 lYB β≅ 0
hZZ =0 lZZ =0
4π<βl
hZLR
l 0=β (bobină)0R
CZl l=β (condensator)
4π<βl
Exemplu
Să se proiecteze un filtru trece-jos avînd un răspuns maxim-plat,frecvenţa de tăiere 2.5 GHz. Este necesar să avem mai mult de 20 dBpeirderi de inserţie la 4 GHz. Impedanţa filtrului este 50Ω, cea maimare impedanţă caracteristică realizabilă practic este 150Ω, iar ceamai mică 10Ω.
Solutia - 1
dBLAs 20= dBLAr 3= 6.15.20.41 ==ω′ω′S
6=N
66
55
44
33
22
11
517.0414.1932.1932.1414.1517.0
LgCgLgCgLgCg
============
Solutia - 2
°==β 9.50
11 RZ
gl l °==β 0.27022
hZR
gl °==β 1.220
33 RZ
gl l
°==β 9.36044
hZR
gl °==β 2.160
55 RZ
gl l °==β 9.9066
hZR
gl
Proiectarea filtrelor cu linii cuplate
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
θ+−
θ−−
θ−−
θ+−
θ−−
θ+−
θ+−
θ−−
θ−−
θ+−
θ+−
θ−−
θ+−
θ−−
θ−−
θ+−
=
cotZZ2jcotZZ
2jcscZZ
2jcscZZ
2j
cotZZ2jcotZZ
2jcscZZ
2jcscZZ
2j
cscZZ2jcscZZ
2jcotZZ
2jcotZZ
2j
cscZZ2jcscZZ
2jcotZZ
2jcotZZ
2j
Z
o0e0o0e0o0e0o0e0
o0e0o0e0o0e0o0e0
o0e0o0e0o0e0o0e0
o0e0o0e0o0e0o0e0
3131111 IZIZV +=
3331313 IZIZV +=
Proiectarea unui filtru trece-bandă cu linii cuplate
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
θθ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛θ−θ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ θ−θθθ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
θθ
θθ⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−⋅
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
θθ
θθ=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
cossinJZ1JZcosJsin
JZ1j
JcossinJZjcossin
JZ1JZ
cosZsinj
sinjZcos
0jJJj0
cosZsinj
sinjZcos
DCBA
00
2220
222
00
0
0
0
0
0
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
21
22
21
2121
11
ZZ
Z1
ZZ
ZZ
DCBA
( ) ( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
θ−+
θ−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
θ−+θ
−+−
θ−+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
cosZZZZ
sinZZ1j2
sin1ZZcos
ZZZZ
2jcos
ZZZZ
DCBA
o0e0
o0e0
o0e0
o0e02
o0e0
2o0e0
o0e0
o0e0
( ) 20o0e0 JZZZ
21
=−
00
o0e0
o0e0JZ1JZ
ZZZZ
+=−+
( )[ ]2000e0 JZJZ1ZZ ++=
( )[ ]2000o0 JZJZ1ZZ +−=
Calculul sectiunilor interne
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
12
11
12
12
211
212
12
11
12
11
12
12
212
211
12
11
ZZ
Z1
ZZZ
ZZ
1001
ZZ
Z1
ZZZ
ZZ
DCBA
θ=
−=
2sinjZ
C1Z 0
12
θ−=−== 2cotjZAZZZ 0122211
θ−=θθ+
−=− cotjZ2sin2cos1jZZZ 001211
( ) ( )000
0
012
jZ1sinjZ
Zω−ωπω−
≈ωωΔ+π
=
( )0
20
2jL
Zω−ωω−
=
0
0Z2Lπω
=002
0 Z2L1C
ωπ
=ω
=
2π≈θ
( ) ( )000p 1vll2 ωωΔ+π=ωπωΔ+ω=ω=β=θ
Calculul sectiunilor de capat
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−
−⋅
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
0ZjN
NjZ
0
0Zj
jZ0
N0
0N1
DCBA
0
0
0
0
0JZN =
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡0
0jJ
JjDCBA
Circuitul echivalent al filtrului
230
0
02
2230
22 JZ
LCjJZ
Lj1Cj +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
−ωω
=+ω
+ω
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+ωω−ωω+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
−ωω
=
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+ωω−ωω+
ω+ω=
2300022
220
01
120
21
2300022
22
112
021
JZLCj
JLCj
ZJ1
JZLCj
JLj1Cj
ZJ1Y
( )
( ) ( )[ ] 00022
0
01
1
02211
ZCLj1
LC
j
ZCj1Lj1
Lj1CjY
+ωω−ωω′′+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
−ωω
′′
=
=+′ω+′ω
+′ω
+′ω=
1
1
1
120
21 L
CLC
ZJ1
′′
=2
2
2
222
20
21
CL
LC
J
ZJ′′
= 022
23
30
21 ZJ
JZJ=
Relatiile de calcul ale filtrului
0
02πω
=ZLn
0020 21
ωπ
=ω
=ZL
Cn
n
( )[ ]20000 1)( ZJZJZZ kkke ++=
10
01 g
ZL
ωΔ
=′
00
11 Z
gCωΔ
=′
0
022
ZgL
ωΔ=′
0202 ZgC
ωΔ
=′
1
41
11
1101 g2CL
LCZJ Δπ=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′′
=
21
41
22
2220102 gg2LL
CCZJZJ Δπ=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′′
=
21
203 g2J
JZJ Δπ==
( ) 012 ωω−ω=Δ
110 g2JZ Δπ
=
n1nn0 gg2JZ
−
Δπ= N,,3,2n …=
1NN1N0 gg2
JZ+
+Δπ
=
( )[ ]20000 1)( ZJZJZZ kkko +−=
Exemplu
Proiectaţi un filtru trece-bandă cu N=3 şi ripluri de 0.5 dB în bandă. Frecvenţacentrală este de 2 GHz, banda de 10% şi
Ω= 50Z0
. Care este atenuarea la 1.8 GHz ?
Solutie
11.28.10.2
0.28.1
1.011 0
0−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
−ωω
Δ←ω
( )( )( )[ ] dB8.2011.2arcch3ch122.01log10
arcchnch1log10)dB(L
2
1
s2rA
=+
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω′ω′
ε+=
ng ( )Ωe0Z ( )Ωo0Zn
1 1.5963 0.3137 70.61 39.24
2 1.0967 0.1187 56.64 44.77
3 1.5963 0.1187 56.64 44.77
4 1.0000 0.3137 70.61 39.24