8/17/2019 Fisika Terapan1
1/68
Dr. Afrizal Mayub, M.Kom
FKIP Universitas Bengkulu
Fisika Terapan
Prodi Pendidikan Fisika
8/17/2019 Fisika Terapan1
2/68
!. Penda"uluan
Definisi #. Kinematika # $tudi analitis %ergerakan lengan robot &robot arm'
ter"ada% sistem kerangka koordinat referensi yang diam(bergerak
tan%a mem%er"atikan gaya yang menyebabkan %ergerakan tersebut.
terda%at dua to%ik %emba"asan kinematika.Dire)t(For*ard Kinemati)s # &angles to %ositions'
Diketahui # %an+ang setia% link dan sudut setia% +oint
Informasi yang akan diperoleh # %osisi dari u+ung lengan robot
dalam kerangka D.Inverse Kinemati)s # &Positions to angles'
Diketahui # %an+ang setia% link, %osisi u+ung lengan robot
Informasi yang akan diperoleh # sudut masing +oint untuk da%at
men)a%ai %osisi tersebut
Pertemuan
Kinematika -obot
8/17/2019 Fisika Terapan1
3/68
II. Kinematika -obot Definisi #
erminologi Kinematika
/ink, 0oint, 1nd2effe)tor, gri%%er &li"at kulia" yang lalu'
Base # /ink &/ink 3' yang ter"ubung %ada kerangka
koordinat diam &fi4ed' biasanya ter"ubung langsung %ada
sistem kerangka koordinat )artesian &*orld )oordinate'
Kinemati) )"ain # se+umla" link yang di"ubungkan ole"
+oint &yang membentuk sebua" mani%ulator'
5%en kinemati) )"ain # se+umla" link yang memiliki"ubungan kerangka koordinat yang terbuka &a)y)li)'
Mi4ed kinemati) )"ain # se+umla" link yang memiliki
"ubungan tertutu%
8/17/2019 Fisika Terapan1
4/68
6
II. Kinematika -obot
8/17/2019 Fisika Terapan1
5/68
F. Matrik
Ialah himpunan nilai-nilai yang ditulis dalam bentuk
segi empat, misalnya
• Suatu matriks mempunyai baris sebanyak m dankolom sebanyak n disebut matrik m x n.
Jika m =n maka matriksnya berbentuk kuadrat.
Matriks A = | !| berarti matrik satu baris dan dua
kolom, ditulis A",#$
•Matriks berarti matrik dua baris dan dua
kolom, ditulis A"#,#$
8/17/2019 Fisika Terapan1
6/68
•Matriks berarti matrik tiga baris dan tiga
kolom, ditulis A"%,%$Matriks k"usus, yang "anya mem%unyai satu baris dan satu
kolom, disebut vektor#
7ektor baris &line ve)tor' ditulis A8,8
7ektor kolom &)olom ve)tor' ditulisProduk dari matriks A dan B didefinisikan "anya +ika
jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah kolom matriks
B
0ika A matriks garis dan B matriks kuadrat maka "asil
%erkalian A9B berbentuk line matriks A:!,; 4 B:,; <
=:,!;
0ika A matriks kolom dan B matriks kuadrat maka "asilerkalian A9B berbentuk )olom matriksA !, 4 B , <
8/17/2019 Fisika Terapan1
7/68
on o %er a an ma rdan B
!. A 8 ! 8 dan , = < A9B < 8! ! !68
=!< &>!' ? &!>2'? &>6' < 2 ? ! < !
=< &>3' ? &!>' ? &>@' < 3 ? ? ! < !
=!< &>' ? &!>!' ? &>' < 6 ? ! ? < !6
.
8/17/2019 Fisika Terapan1
8/68
•Perkalian matriks tidak bersifat komutatif
:A9B; C :B9A;, Buktinya
•Perkalian matriks adala" asosiatif, artinya
A 9 &B 9 ='
8/17/2019 Fisika Terapan1
9/68
• Matriks trans%onden +ika nilai baris dan kolom di%ertukarkan
•&asil perkalian matriks yang ditransponden sama
dengan kebalikan dari perkalian matriks yang
ditransponden, '( ) A* "+$ = A"+$ ) ("+$
Penggunaan matrik untuk tranformasiranslasi
8/17/2019 Fisika Terapan1
10/68
!3
8/17/2019 Fisika Terapan1
11/68
!!
II. Kinematika -obot
-evie* # 7e)tor dan Matriks
Dot Produ)t#
-e%resentasi eometri#
A
Bθ
cosθBABA =•
7ektor $atuan &Unit 7e)tor'7e)tor dalam ara" vektor yang di%ili" dengan magnituda < !.
B
BuB =
y
x
a
a
y
x
b
b
-e%resentasi vektor #
yyxx
y
x
y
xbaba
b
b
a
aBA +=
•
=•
B
Bu
8/17/2019 Fisika Terapan1
12/68
!
II. Kinematika -obot -evie* # 7e)tor dan Matriks
erminologi $Euare matri4 A adala" Matriks A &n 4 n', disebut, Matriks A berorde
n &sEuare matri4 of order n' meru%akan matriks yang memiliki +umla"
baris dan kolom sama &m < n'
Diagonal Matri4 adala" sEuare matri4, dengan elemen ai+ < 3 +ika i ≠ + Identity matriks &Matriks Identitas' adala" diagonal matri4 dimananilai elemen ai+ < ! +ika i < +
$ymetri) Matri4 &ormal Matri4' adala" sEuare matri4 dimana nilai
trans%ose adala" nilai matrik itu sendiri, A < A atau elemen ai+
< a +i
$ke* Matri4 adala" sEuare matri4 dimana nilai elemen ai+ < 2 a +i atau
+ika A adala" $ke* Matri4 maka A < 2 A $ebua" symetri) matri4 A da%at dibuat dari sebua" non2symetri)
matri4 B, dengan o%erasi A < B ? B(
5rt"ogonal Matrik adala" A < A2!
8/17/2019 Fisika Terapan1
13/68
!
II. Kinematika -obot -evie* # 7e)tor dan Matriks
Matri4 Multi%li)ation#Matriks A &m 4 n' dan Matriks B &n 4 %', da%at dikalikan +ika
+umla" kolom Matriks A sama dengan +umla" baris Matriks B. Perkalian matriks tidak se)ara umum tidak bersifat komutatif
&on2=ommutative Multi%li)ation' AB is 5 eEual to BA
( ) ( )
( ) ( )
++
++=
∗
dhcf dg ce
bhaf bg ae
h g
f e
d c
ba
Matri4 Addition#
( ) ( )
( ) ( )
++
++=
+
hd g c
f bea
h g
f e
d c
ba
II Ki ik - b
8/17/2019 Fisika Terapan1
14/68
!6
II. Kinematika -obot -evie* # 7e)tor dan Matriks
Matri4 Determinant
.
=ofa)tor
Inverse Matri4 # &matriks )ofa)tor dibagi dengan determinant'
∑∑==
==n
k
kjkj
n
k
ik ik Aa Aa A!!
( ) jk k j
jk M A +
−= !
=
=
−
−
nnnn
n
n
nnnn
n
n
A A A
A A
A A A
A A A
A
aaa
aa
aaa
aaa
A
...
......
......
....
...
...
!
...
......
......
....
...
...
!
,!,
!
!!!!
!
!
,,!
!
!!!!
!
8/17/2019 Fisika Terapan1
15/68
!G
II. Kinematika -obot
Matri4 dan 7e)tor -evie* Karakteristik Matriks
Inverse of a diagonal Matri4
Inverse dari symmetri)al matri4 adala" symmetri)al matri4
Inverse dari non2symmetri)al matri4 adala" non2symmetri)al matri4
Inverse dari %erkalian matriks adala" .
=
d
a
b
a
(!3
3(!
3
3
[ ] [ ][ ] [ ] [ ] !!! −−− = A B B A
-ank sebua" matriks A &m 4 n' < orde dari sub matriks A terbesar
dengan determinan < 3
$ebua" matrik dengan orde yang lebi" besar dari -ank adala" matrik
$ingular 0ika 8 A 8 ≠ 3, maka Matriks A adala" non singular Matriks yang non singular memiliki inverse
8/17/2019 Fisika Terapan1
16/68
!@
ransformasi Dasar Dua %ersoalan ransformasi #
Bagaimana meng"itung nilai sebua" titik ter"ada% sebua" KK
tertentu yang mengalami rotasio Penentuan Matrik -otasi Dasar
Bagaimana meng"itung nilai sebua" titik te"ada% sebua" KK
tertentu yang mengalami translasi(%ergeseran. Penentuan 7ektor ranslasi
Matrik -otasi Dasar Per"atikan dua bua" Kerangka Koordinat &KK' 39H
dan 3U7J yang %ada saat a*al berim%it 59H meru%akan KK diam 5U7J meru%akan KK bergerak
itik P ikut bergerak bersama KK 5U7J Pada saat KK 5U7J bergerak(ber%utar, titik %usat
&origin' selalu berim%it dengan titik %usat KK 59H
&)oin)ident'
8/17/2019 Fisika Terapan1
17/68
!
7. atrik !otasi Dasaritik P da%at dire%resentasikan dalam nilai koordinat
ter"ada% KK 59H mau%un KK 5U7J,
"#$% & &%u, %v, %*'
dan P'() & &%4, %y, %z'
Persoalannya adala" bagaimana meng"itung matrik transfor
masi & 4 ' yang akan mentransformasikan koordinat P#$%
men+adi nilai koordinat yang dinyatakan ter"ada% ** +'()
p'() & ! p#$%
8/17/2019 Fisika Terapan1
18/68
Matrik -otasi Dasar
titik p#$% dan p'() , masing2masing da%at dinyatakan
dalam nilai kom%onen vektor, yang menyatakan
%royeksi titik P ter"ada% masing2masing sumbu dariKK
p'() & %4 i4 ? %y +y ? %z k z'
p#$% & %u iu ? %v +v ? %* k *'
i, +, k < vektor satuan dalam ara" sumbu KKBerdasarkan definisi dari Dot %rodu)t
!
8/17/2019 Fisika Terapan1
19/68
!
Matrik -otasi Dasar Persamaan sebelumnya da%at dieks%resikan ke dalam
bentuk matrik
Dengan )ara yang sama, kita da%at mem%erole" nilai koor
dinat p#$% ter"ada% koordinat p'(), p#$% & - p'()
8/17/2019 Fisika Terapan1
20/68
3
7. atrik !otasi Dasar
Karena Dot Produ)t bersifat komutatif - & ! / & ! T
-! & ! T! & ! /! & I
L, - disebut matrik transformasi
ort"ogonalDisebut +uga matrik transformasi
ort"onormal karena elemen2elemen
nya beru%a vektor satuan &unit ve)tor'
8/17/2019 Fisika Terapan1
21/68
!
Matrik -otasi Dasar
!otasi Terhadap 0umbu ( !otasi Terhadap 0umbu )
!otasi Terhadap 0umbu '
8/17/2019 Fisika Terapan1
22/68
Matrik -otasi Dasar !otasi Terhadap 0umbu '
p'() & ! 4,α p#$%
i4 ≡ iu
8/17/2019 Fisika Terapan1
23/68
M ik - i D
8/17/2019 Fisika Terapan1
24/68
6
Matrik -otasi Dasar
!otasi Terhadap 0umbu
p'() & ! z,θ p#$%
k z ≡ k *
8/17/2019 Fisika Terapan1
25/68
G
Matrik -otasi Dasar &=onto"'
Diketa"ui dua bua" titik auv* < &6,,' dan buv* < &@,,6'
ter"ada% KK 5U7J "itungla" nilai titik tersebut ter"ada%KK 59H &a4yz dan b4yz' +ika KK 5U7J di%utar ter"ada%
sumbu 5 sebesar @3o
M t ik - t i D &= t "'
8/17/2019 Fisika Terapan1
26/68
@
Matrik -otasi Dasar &=onto"'
Diketa"ui dua bua" titik a4yz < &6,,' dan b4yz <
&@,,6'
ter"ada% KK 59H "itungla" nilai titiktersebut ter"ada% KK 5U7J &auv* dan bov*' +ika KK
5U7J di%utar ter"ada% sumbu 5 sebesar @3o
8/17/2019 Fisika Terapan1
27/68
1. atrik !otasi *omposit
Matrik rotasi dasar da%at dikalikan untuk
menyatakan rotasi ter"ada% bebera%a
sumbu dari Kerangka KoordinatMengingat ba"*a %erkalian matriks tidak
bersifat komutatif, maka urutan rotasi
ter"ada% bebera%a sumbu men+adi %enting
8/17/2019 Fisika Terapan1
28/68
=onto" !, Pada saat a*al KK 59H dan KK 5U7J
berim%it. itungla" nilai matrik rotasi, a%abila KK
5U7J berturut2turut #
di%utar ter"ada% sumbu 59 sebesar sudut α, kemudian di%utar ter"ada% sumbu 5 sebesar sudut θ, kemudian di%utar ter"ada% sumbu 5H sebesar sudut φ
M t ik - t i K it
8/17/2019 Fisika Terapan1
29/68
Matrik -otasi Kom%osit
=onto" , Pada saat a*al KK 59H dan KK 5U7J
berim%it. itungla" nilai matrik rotasi, a%abila KK 5U7J
berturut2turut # di%utar ter"ada% sumbu 5H sebesar sudut φ, kemudian di%utar ter"ada% sumbu 5 sebesar sudut θ, kemudian di%utar ter"ada% sumbu 59 sebesar sudut α
M t ik - t i K it
8/17/2019 Fisika Terapan1
30/68
3
Matrik -otasi Kom%osit
Pada saat a*al dua bua" KK tersebut berim%it &)oin)ident' dengan
demikian matrik rotasi adala" matrik Identitas($atuan, I Bila KK 5U7J di%utar ter"ada% sala" satu sumbu dari KK 59H
lakukan %roses %erkalian premultiply sesuai dengan matriks rotasidasar dan urutannya
Bila KK 5U7J di%utar ter"ada% sala" satu sumbu dari KK nya
sendiri &5U7J' lakukan %roses %erkalian postmultiply sesuai dengan
matriks rotasi dasar dan urutannya
KK 5U7J &bergerak' selain da%at di%utar ter"ada% KK
59H &referensi(diam' da%at %ula di%utar ter"ada%
sumbunya sendiri &sumbu 5U, sumbu 57 atau sumbu 5J' Aturan umum untuk meng"itung matriks transformasi
kom%osit yang men)aku% dua kemungkinan rotasi diatas
&ber%utar ter"ada% sumbu KK diam atau KK dirinya
sendiri' adala" #
Matrik -otasi Kom%osit
8/17/2019 Fisika Terapan1
31/68
!
Matrik -otasi Kom%osit
=onto", Pada saat a*al KK 59H dan KK 5U7J
berim%it. itungla" nilai matrik rotasi, a%abila KK 5U7J
berturut2turut # di%utar ter"ada% sumbu 5H sebesar sudut φ, kemudian di%utar ter"ada% sumbu 5J sebesar sudut θ, kemudian di%utar ter"ada% sumbu 5U sebesar sudut α
8/17/2019 Fisika Terapan1
32/68
Per"atikan )onto" diatas meng"asilkan nilai matrik
rotasi kom%osit yang sama dengan )onto"
sebelumnya namun berbeda dalam urutan rotasi
-otasi er"ada% $umbu $embarang
8/17/2019 Fisika Terapan1
33/68
-otasi er"ada% $umbu $embarang
$elain rotasi ter"ada% sumbu2sumbu dari KK &diam atau
bergerak' da%at +uga ter+adi rotasi sebesar sudut φ ter"ada%
sebua" sumbu sembarang. 5-, yang memiliki kom%onenvektor r 4, r y, r z melalui titik %usat &origin' KK. $ala" satu
keuntungan dengan )ara rotasi ter"ada% sumbu sembarang
adala" tidak di%erlukan rotasi ter"ada% bebera%a sumbu dari
KK.
Untuk menurunkan matrik rotasi, - r,φ , %ertama kali %erlu
dilakukan bebera%a kali rotasi ter"ada% sumbu KK 59H
agar sumbu 5- seara" dengan sumbu 5. Kemudianlakukan rotasi ter"ada% sumbu 5- &atau sumbu 5' dengan
sudut φ dan ter"ada% sumbu KK 59H untukmengembalikan sumbu 5- ke %osisi semula
-otasi er"ada% $ mb $embarang
8/17/2019 Fisika Terapan1
34/68
6
-otasi er"ada% $umbu $embarang
Untuk mense+a+arkan $umbu 5- dengan sumbu
5 da%at dilakukan dengan )ara memutar sumbu5- ter"ada% sumbu 59 sebesar sudut α &sumbu5- sekarang berada di bidang 9' kemudian
di%utar ter"ada% sumbu 5H sebesar sudut 2β &$umbu 5- se+a+ar dengan sumbu 5'.
$etela" di%utar ter"ada% sumbu 5 &atau sumbu
5-' sebesar φ, kembalikan lagi sumbu 5- ke
%osisi semula dengan )ara membalik urutandiatas dengan sudut yang berla*anan
8/17/2019 Fisika Terapan1
35/68
G
-otasi er"ada% $umbu $embarang
8/17/2019 Fisika Terapan1
36/68
-otasi er"ada% $umbu $embarang
Dengan demikian, Matrik -otasi , Rr, , yang mere%resentasi
kan %utaran ter"ada% sumbu sembarang dinyatakan men+adi
8/17/2019 Fisika Terapan1
37/68
Dimana #
8/17/2019 Fisika Terapan1
38/68
-otasi er"ada% $umbu $embarang =55 # itungla" matrik rotasi Rr,
yang mere%resentasikan
%utaran sebesar sudut φ ter"ada% vektor r < &!, !, !'
Karena vektor r bukan vektor satuan maka kom%onen vektornya %erlu dinormalisasi se%an+ang sumbu2sumbu utama dari KK
59H, yaitu #
Dengan mensubstitusi %ersamaan diatas dengan %ersamaan
sebelumnya , di%erole" #
8/17/2019 Fisika Terapan1
39/68
-otasi Dengan sudut 1uleur Per%utaran sudut dari sebua" KK seringkali dinyatakan dalam
%er%utaran sudut 1uler, yaitu φ, θ, dan ψ ter"ada% KK referensi
erda%at sistem %er%utaran sudut 1uleur yang %ada dasarnya %erbedaannya terletak %ada urutan %utarannya. iga sistem
%er%utaran ditun+ukkan dalam abel diba*a" ini
Urutan
$udut 1uler
$istem I
$udut 1uler
$istem II
$udut 1uler
$istem III&-oll, Pit)"and Ha*
! φ er"ada%sumbu 5
φ er"ada%sumbu 5
ψ er"ada%sumbu 59
θ er"ada%sumbu 5U
θ er"ada%sumbu 57
θ er"ada%sumbu 5H
ψ er"ada%sumbu 5J
ψ er"ada%sumbu 5J
φ er"ada%sumbu 5
8/17/2019 Fisika Terapan1
40/68
63
-otasi Dengan sudut 1uleur $istem I
Per%utaran ini da%at dinyatakan
dalam KK 59H &KK referensi'dengan urutan #er"ada% 5 sebesar ψ er"ada% 59 sebesar θ, dan
er"ada% 5 sebesar φ
8/17/2019 Fisika Terapan1
41/68
6!
-otasi Dengan sudut 1uleur $istem II
Per%utaran ini da%at dinyatakan
dalam KK 59H &KK referensi'dengan urutan #er"ada% 5 sebesar ψ er"ada% 5H sebesar θ, dan
er"ada% 5 sebesar φ
8/17/2019 Fisika Terapan1
42/68
6
-otasi dengan sudut 1uleur $istem III &-oll, Pit)",Ha*, -PH'
8/17/2019 Fisika Terapan1
43/68
6
Matriks ransformasi omogen
• Matrik -otasi & 4 '
• 7e)tor ranslasi & 4 !'
• Matrik omogen &6 4 6'
−
=
!333
!33
3!!
3!!
!
!
!
z
yC S
xS C
T H
−
=!33
3!!
3!!
! C S
S C
T
=
!
!
!
!
z
y x
8/17/2019 Fisika Terapan1
44/68
66
Matrik ransformasi omogen
• Bentuk Matrik "anya translasi
• Bentuk Matrik rotasi sa+a
• Aturan matrik transformasi "omogen bentuk kom%osit sama dengan
aturan sebelumnya untuk bentuk rotasi(translasi ter"ada% KK diamatau KK ber%utar.
=
!333
!33
3!3
33!
z
y
x
T T
−=
!333
3!33
33!!33!!
C S S C
T
8/17/2019 Fisika Terapan1
45/68
D2 Parameters
8/17/2019 Fisika Terapan1
46/68
6@
D Parameters• Denavit2artenberg &D2' digunakan untuk menggambarkan "ubungan
link dari robot dimana link diasumsikan berbentuk benda tegar &rigid body'
• $etia% link i memiliki sebua" kerangka koordinat &KK i'.
• $etia% KK ditentukan berdasarkan kaida" :K.$. Fu et.al; # – Ara" sumbu i berim%it dengan sumbu %ergerakan dari +oint i?!
D2 Parameters
8/17/2019 Fisika Terapan1
47/68
6
D Parameters• Denavit2artenberg &D2' digunakan untuk menggambarkan "ubungan
link dari robot dimana link diasumsikan berbentuk benda tegar &rigid body'
• $etia% link i memiliki sebua" kerangka koordinat &KK i'.
• $etia% KK ditentukan berdasarkan kaida" :K.$. Fu et.al; # – Ara" sumbu 9i $e+a+ar i2! 9 i &=ross %rodu)t'.
A%abila i2! dan i %aralel, maka ara" sumbu 9i se+a+ar
dengan garis tegak lurus bersama antara i2! dengan i.
D2 Parameters
8/17/2019 Fisika Terapan1
48/68
6
D Parameters• Denavit2artenberg &D2' digunakan untuk menggambarkan "ubungan
link dari robot dimana link diasumsikan berbentuk benda tegar &rigid body'
• $etia% link i memiliki sebua" kerangka koordinat &KK i'.
• $etia% KK ditentukan berdasarkan kaida" :K.$. Fu et.al; # – $umbu Hi2! mengikuti aturan tangan kanan
D2 Parameters
8/17/2019 Fisika Terapan1
49/68
6
• Denavit2artenberg &D2' digunakan untuk menggambarkan "ubungan
link dari robot dimana link diasumsikan berbentuk benda tegar &rigid body'
• $etia% link i memiliki sebua" kerangka koordinat &KK i'.
• $etia% KK ditentukan berdasarkan kaida" :K.$. Fu et.al; # – itik %usat KK i
– Pada titik %otong antara sumbu i2! dengan i di sumbu i
– itik %otong garis tegak lurus bersama antara i2! dengan i.
8/17/2019 Fisika Terapan1
50/68
G3
D2 Parameters
• erda%at 6 %arameter
– ai &link lengt"'N 0arak dari titik %otong antara sumbu i2!
dengan sumbu 9i menu+u titik %usat KK i se%an+ang sumbu 9i&atau +arak ter%endek antara sumbu i2! dengan sumbu i '
– αi &link t*ist'N $udut dari sumbu i2! menu+u sumbu i ter"ada% sumbu 9i &menggunakan aturan tangan kanan'
– di &link offset'N 0arak dari titik %usat KK i2! menu+u ke titik
%otong antara sumbu i2! dengan sumbu 9i se%an+ang sumbu
i2!
– θi &+oint angle'N $udut dari sumbu 9i2! menu+u sumbu 9i ter"ada% sumbu i2! &menggunakan aturan tangan kanan'
/IK
PA-AM11-
&/okasi relatif
bua" sumbu di
dalam -uang'
05I
PA-AM11-
a !link length"
8/17/2019 Fisika Terapan1
51/68
G!
ai !link length"
• ai &link lengt"'N 0arak dari titik %otong antara sumbu i2! dengan sumbu
9i menu+u titik %usat KK
ise%an+ang sumbu 9
i. &atau +arak ter%endek
antara sumbu i2! dengan sumbu i '
• 0arak dari sumbu i2! ke sumbu i se%an+ang garis tegak lurus
bersama &)ommon %er%endi)ular'
– =ommon %er%endi)ular adala" +arak ter%endek dua bua" garis dalam
ruang. – =ommon %er%endi)ular tidak selalu terletak di dalam link.
– 0ika sumbu I2! dan $umbu i ber%otongan ai < 3
– idak didefinisikan untuk 0oint Prismati), ai < 3
z! z
a
4
a !link length"
8/17/2019 Fisika Terapan1
52/68
G
ai !link length"• ai &link lengt"'N 0arak dari titik %otong antara sumbu i2! dengan sumbu
9i menu+u titik %usat KK i se%an+ang sumbu 9i. &atau +arak ter%endek
antara sumbu i2! dengan sumbu i '• 0arak dari sumbu i2! ke sumbu i se%an+ang garis tegak lurus
bersama &)ommon %er%endi)ular'
– =ommon %er%endi)ular adala" +arak ter%endek dua bua" garis dalam
ruang.
– =ommon %er%endi)ular tidak selalu terletak di dalam link. – 0ika sumbu I2! dan $umbu i ber%otongan ai < 3
– idak didefinisikan untuk 0oint Prismati), a i < 3
8/17/2019 Fisika Terapan1
53/68
G
8/17/2019 Fisika Terapan1
54/68
G6
α !link t#ist"
8/17/2019 Fisika Terapan1
55/68
GG
αi!link t#ist"
· αi &link t*ist'N $udut dari sumbu i2! menu+u sumbu i ter"ada% sumbu 9i – $udut offset
– Biasanya keli%atan dari 3o
– $umbu i2! (( i, αi $ 3
α
z!
z
4
d !li k ff t"
8/17/2019 Fisika Terapan1
56/68
G@
di !link offset"
• di &link offset'N 0arak dari titik %usat KK i2! menu+u ke titik
%otong antara sumbu i2! dengan sumbu 9i se%an+ang sumbui2!
– Beru%a variabel untuk untuk Prismati) +oint
θn !%oint Angle"• $udut dari sumbu 9i2! menu+u sumbu 9i ter"ada% sumbu
i2! &menggunakan aturan tangan kanan'
- b t PUMA G@3
8/17/2019 Fisika Terapan1
57/68
G
-obot PUMA G@3
8/17/2019 Fisika Terapan1
58/68
G
-obot $tanford
D P t
8/17/2019 Fisika Terapan1
59/68
G
D2 Parameter
• $etela" %arameter &a, , d, ' setia% link tela" ditentukan,
%ersamaan matriks "omogen da%at dibangun untuk membentuk"ubungan antar KK terdekat &ad+a)ent', atau "ubungan KK i
dengan KK i2!, dimana i menyatakan link ke i, yang %ada
%rinsi%nya adala" membuat agar kedua KK koordinat tersebut
berim%it, yaitu melalui urutan o%erasi
– Putar sebesar sudut i ter"ada% sumbu i2! agar sumbu 9i2! dengan sumbu
9i se+a+ar(%aralel
– ranslasikan se+au" di se%an+ang sumbu i2! agar sumbu 9 i dan sumbu
9i2! berim%it &)oin)iden)e'
– ranslasikan se+au" ai se%an+ang sumbu 9i agar kedua titik %usat berim%it
– Putar sebesar sudut i ter"ada% sumbu 9i agar kedua KK berim%it
D P t
8/17/2019 Fisika Terapan1
60/68
@3
D2 Parameter
• Bentuk Inverse
• Untuk +oint ber%utar ai, i dan di adala" konstanta, i variabel
memenu"i "ubungan # i2! A i < Tz,d Tz,θ T4,a T4,α
D P t
8/17/2019 Fisika Terapan1
61/68
@!
D2 Parameter
• Bentuk Inverse
• Untuk +oint %rismati) ai, i dan i adala" konstanta, di variabel
memenu"i "ubungan # i2! A i < Tz,θ Tz,d T4,α
D Parameter
8/17/2019 Fisika Terapan1
62/68
@
D2 Parameter • =onto" Matrik ransformasi untuk -obot PUMA dimana
semua +ointnya ber%utar
Persamaan Kinematik untuk Mani%ulator
8/17/2019 Fisika Terapan1
63/68
@
Persamaan Kinematik untuk Mani%ulator
• Matriks ransformasi "omogen 3Ti yang menyatakan lokasi KK ke i
ter"ada% kerangka koordinat dasar &base, KK ke 3' meru%akan rantai
%erkalian dari matrik transformasii2!
Ai dan dieks%resikan sebagai #
• Dimana
:4i, yi, zi; < Matrik orientasi KKi %ada link i ter"ada% KK dasar(base .
Meru%akan matriks 4, terletak disebela" kiri atas dari3
Ti %i < 7ektor %osisi yang berara" dari titik %usat KK dasar menu+u
titik %usat KK i. Meru%akan vektor 4!, terletak disebela"kanan atas dari 3Ti
Persamaan Kinematik untuk Mani%ulator
8/17/2019 Fisika Terapan1
64/68
@6
Persamaan Kinematik untuk Mani%ulator
• $ebagai )onto", untuk i < @, matrik transformasi < 3A@, yang
menyatakan %osisi dan orintasi dari u+ung lengan robot ter"ada% KK dasar
&matriks ini seringkali disebut arm matri4', yang berbentuk #
Persamaan Kinematik untuk Mani%ulator
8/17/2019 Fisika Terapan1
65/68
@G
&diasumsikan bentuk tangan %arallel2+a*'
n < ormal ve)tor, ara" tegak lurus ter"ada% +ari dari tangan robot
s < $liding ve)tor, seara" dengan %ergerakan +ari, gri%%er o%en()lose
a < A%%roa)" ve)tor, ara" tegak lurus dengan tela%ak(muka tangan
p < Position ve)tor, ara" dari titik %usat KK dasar menu+u titik %usat KK
tangan
Persamaan Kinematik untuk -obot PUMA
8/17/2019 Fisika Terapan1
66/68
@@
• Dimana
Persamaan Kinematik untuk -obot PUMA
8/17/2019 Fisika Terapan1
67/68
@
Persamaan Kinematik untuk -obot PUMA
• Persamaan Arm Matri4, 3@
8/17/2019 Fisika Terapan1
68/68
Tugas Akhir (Manipulator and Mobile Robot)
Low-level control• motors• purely reactive control• behavioral control
Sensing and Modeling• sensors• kinematics
• workspace modeling
Spatial reasoning• decomposing space• path planning with• and w/o full knowledge
Handling uncertainty
• building maps• localization• sensor fusion & filtering
Vision• tracking• visual servoing
A
B
C
D
E
X