Ábrók Levente
Molekulák de Broglie hullámának terjedése
Fizika BSc szakdolgozat
Ábrók Leventeaz ELTE TTK Fizika BSc hallgatója
Témavezeto: Kis ZsoltMTA Szilárdtestfizikai és Optikai Kutatóintézet
1121 Budapest, Konkoly-T. Miklós út 29-33.
Belso konzulens: Geszti TamásELTE TTK Fizikai Intézet
Komplex Rendszerek Fizikája Tsz.
Budapest, 2011 június
Tartalomjegyzék
1. Eloszó 1
I. Bevezetés 3
2. A kvantum harmonikus oszcillátor 5
3. Egydimenziós rezgési módus 9
II. Saját eredmények 13
4. Kétatomos molekula Hamilton- operátorának diagonalizálása 15
5. Külso erotérbe helyezett kétatomos molekula kvantuminterferenciája 21
6. Összefoglalás 27
3
1. fejezet
Eloszó
Tekintsük a következo naív molekula modellt: két atom (lehet egyforma vagy különbözo) kö-zött vonzó kölcsönhatás hat. Ezen kívül a molekulát alkotó atomok kölcsönhatnak külso térrel is.Az atomok megorzik annyira a személyiségüket, hogy a rájuk ható külso erot az egyes atomokhozlehet rendelni. Feltesszük, hogy a külso eroknek meg lehet feleltetni potenciálfelületeket. Az egy-szeruség kedvéért minden potenciálfelület vonzó, parabola alakú. A rendszer Hamilton-operátorailyen esetben:
H =p212m1
+p222m2
+1
2m1ω
21 q
21 +
1
2m2ω
22 q
22 +
1
2κ · (q1 − q2)
2, (1.1)
aholmi ésωi a részecskék tömege és a rezgésük körfrekvenciája, valamint κ a két részecske közöttható erohöz rendelt rugóállandó. Vezessünk be tömegközéppontiQ és relatívq koordinátákat a
Q =m1q1 +m2q2m1 +m2
, (1.2a)
q = q1 − q2, (1.2b)
egyenletekkel. Az új változókkal az (1.1) Hamilton-operátor így írható:
H =P 2
2M+
p2
2m+
1
2MΩ2Q2 +
1
2mω2q2 +m(ω2
1 − ω22)qQ, (1.3)
ahol az össztömegM = m1 +m2, valamint a redukált tömegm = m1 ·m2/M , továbbá
Ω2 =m1ω
21 +m2ω
22
M, (1.4a)
ω2 =m2ω
21 +m1ω
22
M+
1
mκ. (1.4b)
Az (1.3) egyenlet alapján látható, hogy a tömegközépponti és a relatív mozgások szétcsato-lódnak abban az esetben, haω1 = ω2. A dolgozatomban azzal az esettel foglalkozom, amikora kétféle mozgás nem csatolódik szét, tehátω1 6= ω2. Azt fogom vizsgálni, hogy a molekulabelso dinamikája hogyan hat a tömegközépponti mozgásra, ezen belül, a molekula tömegközép-ponti mozgásához rendelt hullámcsomag interferencia képességére. A probléma megoldásáhozfelhasználok koordinátageometriai ismereteket, illetvemegoldom a kvantummechanika nyújtottaapparátussal is. Végül a kapott eredményekbol felépítem a dinamikát.
1
2
I. rész
Bevezetés
3
2. fejezet
A kvantum harmonikus oszcillátor
A fizikában a 20. század és napjaink egyik legmeghatározóbb kutatási területe a kvantumme-chanika. Megszületése jelentos szemléletmód váltást hozott magával, alapjaiban változtatta megfizikai képünket. Korábban határozott értékunek gondolt mennyiségekrol derült ki, hogy a mikro-világban csak valószínuségi eloszlásukkal jellemezhetok, melyet az úgynevezett hullámfüggvényad meg [1, 2]. A mennyiségek várható értékeire jóslatokat tehetünk, melyek nem lehetnek akár-mekkorák, kötött rendszerekben csak diszkrét értékeket vesznek fel. A leírására használt matema-tikáról pedig kiderült, hogy nem kommutatív, szemben a korábbi fizikai elméletek jól megszokottgyakorlatától. Épp ezért nem kommutáló mennyiségek, Hermitikus operátorok felelnek meg a fi-zikai mennyiségeknek. A megfigyelheto értékeket pedig az operátorok sajátértékei adják. Ezekközül az egyik legfontosabb, és leggyakrabban emlegetett aNewton óta megkérdojelezhetetlenpálya fogalmat alkotó mennyiségek, a kanonikus hely és impulzus. Az egymással kanonikusankonjugált mennyiségek a kvantummechanikában nem felcserélhetok, a hely és impulzus kommu-tátora[x, p] = xp− px = i~. A nem felcserélhetoség következménye, hogy ezen mennyiségek azúj elméletbenegyidejulegnem adhatók meg pontosan, mindig van valamekkora bizonytalanságuk.Ezt felyezi ki a Heisenberg-féle határozatlansági reláció∆x∆p ≥ i~.
A kvantummechanikában a legegyszerubb, egzaktul megoldható probléma a harmonikus osz-cillátor, melyet sokszor más, bonyolultabb jelenségek közelíto leírására is felhasználnak. Épp ezértalapos vizsgálata, mélyebb megértése még évtizedek után isképes újat mutatni.
A kvantummechanikában lehetoségünk van mind mátrixokkal, mind differenciálegyenletekkeldolgozni. A sajátértékegyenlet megfogalmazása a következoképpen írható:
(
p2
2m+ V (x)
)
Ψ = EΨ (2.1)
A Schrödinger-féle tárgyalásmód szerint hely-reprezentációban p impulzusoperátornak megfelel
a~
i
∂
∂xdifferenciál operátor, mígx-nek a sajátértékével, azazx-szel történo szorzás (impulzus
reprezentációban épp fordítva,p→ p míg x→ −~
i
∂
∂p). A harmonikus oszcillátor esetébenV (x)
pedig azx operátor kvadratikus függvénye. Mindezeket beírva a sajátérték egyenletbe, a következodifferenciálegyenletet kapjuk:
− ~2
2m
∂2Ψ(x)
∂x2+mω2
2x2Ψ(x) = EΨ(x).
Kicsit átrendezve:∂2Ψ(x)
∂x2+
2m
~2
(
E − 1
2mω2x2
)
Ψ(x) = 0.
5
6
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
Ψ(x
)
Ψ0
Ψ1
Ψ2
Ψ3
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
|Ψ|2
|Ψ0|2
|Ψ1|2
|Ψ2|2
|Ψ3|2
2.1. ábra. A harmonikus oszcillátor néhány sajátállapotának hullámfüggvénye, illetve az ebbolszármazó valószínuségeloszlás.
Ebbol már jól látszik, hogy másodrendu differenciálegyenlettel van dolgunk, melybenm az osz-cilláló részecske tömege, mígω a rezgés frekvenciája. Megköveteljük, hogy a megoldás reguláris,
azaz normálható legyen. A megoldást ak =2E
~ωés aζ =
√
mω
~x =
x
∆ζváltozócsere után
u(ζ) exp(
−ζ2/2)
próbafüggvény alakban keressük:
∂2u
∂ζ2− 2ζ
∂u
∂ζ+ (k − 1)u = 0.
Az u(ζ) függvényt polinom-alakban keresük. A polinom együtthatóira egy rekurziós összefüg-gést kapunk. Az Hermite-polinomok elégítik ki a fenti egyenletet; az általános megoldások pe-dig aΨn(x) = CnHn(x/∆x) exp(−x2/2∆x2) alakú függvények, aholCn normalizálási kons-
tans,Hn az n-edik Hermite-polinom. Belátható, hogyCn =1
√√π2nn!
1√∆x
, így ortonormált
sajátfüggvény-rendszert kapunk. Ezek után mindegyik energiaszinthez tartozó sajátállapotot feltudjuk írni, tudunk fizikailag mérheto mennyiségeket számolni (várható érték, szórás).
A kvantummechanika Heisenberg-féle leírásában mátrixokat használunk az egyes operátorokmegadására (mátrix mechanika). Heisenberg-féle megfogalmazásban egy absztrakt vektortéren(Hilbert-tér) értelmezzük az operátorokat, és ezeket használjuk a számoláshoz. Ez formailag gyak-
fejezet 2. A kvantum harmonikus oszcillátor 7
ran könnyebben kezelheto a Scrödinger-féle hullámfüggvényes leírásnál, különösen a Dirac-félejelölési rendszert használva.
Az operátoros formalizmus a harmonikus oszcillátor kvantummechanikai leírásában jóval egy-szerubb egyenleteket eredményez a sajátérték probléma megoldására, mint a Scrödinger-féle hul-lámfüggvényes leírás. Vezessük be a következo dimenziótlan mennyiségeketρ = p/
√~mω és
ξ = x√
mω/~. A Hamilton operátor ezekkel kifejezve:
H =p2 +m2ω2x2
2m=
~ω
2
(
ρ2 + ξ2)
(2.2)
Paul Dirac ötlete nyomán írjuk fel most ezt egy nem kommutálószorzat szimmetrikus formájában:
H =~ω
4(ξ + iρ)(ξ − iρ) + (ξ − iρ)(ξ + iρ). (2.3)
Most bevezetjük a kelto- és eltünteto operátorokata† =ξ + iρ
2ésa =
ξ − iρ
2alakban. Behelyet-
tesítve aρ ésξ alakját új operátorainkra a következo kommutációs reléciót kapjuk:
[a, a†] = 1. (2.4)
Ezt felhasználva sikerül a Hamilton-operátort a következo egyszeru alakra hozni:
H = ~ω
(
a†a+1
2
)
= ~ω
(
N +1
2
)
, N = a†a. (2.5)
Az N operátorn sajátértékei csak nemnegatívak lehetnek, mivel
〈Ψ|N |Ψ〉 = 〈Ψ|a†a|Ψ〉 = |aΨ|2 ≥ 0 (2.6)
Tegyük fel, hogy|ψ〉 sajátállapotaN -nek. Vizsgáljuk meg, hogyan hata†|ψ〉-re.
N a†|ψ〉 = a†N |ψ〉+ a†|ψ〉 = (n+ 1)a†|ψ〉, (2.7)
ahol felhasználtuk, hogy[N , a†] = a† kommutációs összefüggést.Hasonlóan felírva a (2.7) összefüggést aa|ψ〉 állapotra (n − 1) sajátértéket kapunk. Ebbol
látható az is, hogy a bevezetetta, a† operátorokN sajátállapotait léptetik lefele vagy felfele egye-sével. Mivel már beláttuk, hogy a sajátérték nemnegatív, így a legalsó állapotbana|ψ0〉 = 0.
A harmonikus oszcillátor Hilbert-terén bevezetett kelto- és eltünteto operátorok segítségével azegyes energia-sajátállapotok között tudunk kapcsolatot létesíteni egyszeru relációk felhasználásá-val; így elegendo legvégül áttérnünk a szemléletesebb Schrödinger-képbeli hullámfüggvényekre.
8
3. fejezet
Egydimenziós rezgési módus
Egyszeru rezgo rendszereket tekinthetünk oszcillátoroknak, és alkalmazhatjuk rájuk az elobbvázolt ismereteket. Atomok, molekulák rezgéseit vizsgálva azt tapasztaljuk, hogy külso tér hatá-sára, gerjesztésre a molekula az egyensúlyi távolság, a rezgési frekvencia, vagy akár mindkettomegváltozásával reagál. Ez a hirtelen bekövetkezo változás leírható egy, a koordinátákra alkal-mazott lineáris transzformációval, amely megfelel egy unitér transzformációnak a Hilbert-téren.Ennek leírását mutatom be a következokben.
Tekintsük egy kétatomos molekula rezgési módusát. Az alapállapothoz (a rezgési Hamilton-operátorH) és gerjesztett állapothoz (a rezgési Hamilton-operátorH) különbözo rezgési potenci-álok tartoznak a magok relatív mozgására nézve:
H =p2
2M+
1
2MΩ2 (q + d)2, (3.1a)
H =p2
2M+
1
2MΩ′2 q2. (3.1b)
Az egyenletekbol látható, hogy a két potenciálfelület minimumad távolsággal el van tolódva és arezgési frekvenciák is különbözoek. Ugyanakkor mind aH, mind aH operátorok ugyan azon azállapottéren hatnak. A könnyu kezelhetoség érdekében a Hamilton-operátorokat egy bozon kelto-és eltünteto operátor-párral akarjuk kifejezni. Célszeru aH oszcillátor kelto és eltünteto operáto-rait választani, mivel az már eleve diagonális. Aq és p operátorokat aH harmonikus oszcillátorkelto és eltünteto operátoraival fejezzük ki:
q=
[
~
2MΩ′
]1/2
(a† + a), p= i
[
~MΩ′
2
]1/2
(a† − a). (3.2)
Helyettesítsük be ezeket az operátorokat a (3.1) egyenletekbe:
H = ~Ω
1
4
[
Ω
Ω′+
Ω′
Ω
]
(a†a+ aa†) +1
4
[
Ω
Ω′− Ω′
Ω
]
(a†a† + aa)
+~Ω2d
Ω′
[
MΩ′
2~
]1/2
(a† + a) +1
2MΩ2d2, (3.3a)
H =1
2~Ω′(a†a+ aa†). (3.3b)
A továbbiakban az a célunk, hogy megkeressük azt a transzformációt, amely diagonalizálja
9
10
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
Ψ(x
)
Ψ0
Ψ1
U
U’Ψ
0’
Ψ1’
3.1. ábra. Két harmonikus potenciál két különbözo sajtáfüggvény rendszert eredményez. Az egyika másikkal kifejezheto.
a (3.3a) Hamilton-operátort. Ennek érdekében tekintsük a következo próba transzformációt:
Σ = D(d)S(λ), (3.4a)
D(d) = exp
[
(
mΩ
2~
)1/2
(a† − a)d
]
, (3.4b)
S(λ) = exp
[
1
2λ(a2 − a†2)
]
. (3.4c)
Itt D(d) a koherens eltolás operátor,S(λ) pedig a squeezing operátor [3, 4]. A fenti operátorokhatását egy tetszoleges operátorra a következo általános képlettel lehet meghatározni:
eB A e−B = A+ [B, A] +1
2!
[
B, [B, A]]
+1
3!
[
B,[
B, [B, A]]
]
+ . . . . (3.5)
Ez alapján kapjuk:
b1 = D†(d) a D(d) = a+
(
mΩ
2~
)1/2
d, (3.6a)
b2 = S†(λ) a S(d) = a cosh(λ)− a† sinh(λ). (3.6b)
A transzformációk fontos tulajdonsága, hogy bozon operátorokat bozon operátorrá transzformál-nak, hiszen
[b1, b†1] = 1, [b2, b
†2] = 1. (3.7)
Alkalmazzuk a (3.4a) egyenletben definiáltΣ transzformációt a következo H ′ operátorra
H =~Ω
2(aa† + a†a). (3.8)
fejezet 3. Egydimenziós rezgési módus 11
A transzformáció során a fobb lépések:
Σ†H ′Σ = S†(λ)
[
~Ω
2(aa† + a†a) + ~Ω
(
2mΩ
~
)1/2
d(a† + a) +1
2mΩ2d2
]
S(λ)
=~Ω
2
[
(u2 + v2)(aa† + a†a†)− 2uv(
a2 + (a†)2)]
+ ~Ω
(
2mΩ
~
)1/2
d(u− v)(a + a†) +1
2mΩ2d2, (3.9)
ahol bevezettük au = cosh(λ) ésv = sinh(λ) jelöléseket. Összevetve a (3.9) és a (3.3a) egyenle-teket azt találjuku ésv paraméterekre, hogy
u− v =
√
Ω
Ω′,
1
2(u2 + v2) =
1
4
(
Ω
Ω′+
Ω′
Ω
)
. (3.10)
Az egyenleteket megoldva kapjuk
u =1
2
(√
Ω′
Ω+
√
Ω
Ω′
)
, v =1
2
(√
Ω′
Ω−√
Ω
Ω′
)
. (3.11)
Hau ásv definícióját összehasonlítjuk az elobbi egyenletekkel a squeezing operátor paramétere
λ = ln
√
Ω′
Ω. (3.12)
A fentiek alapján beláttuk, hogy a (3.3a) Hamilton operátordiagonalizálható a (3.4a) unitér ope-rátorral, azaz
H ′ = ΣHΣ†. (3.13)
A diagonálisH ′ Hamilton-operátort a (3.3b) egyenletben definiált gerjesztett állapoti Hamilton-operátor kelto és eltünteto operátoraival fejeztük ki.
Ugyanezen számolást elvégezhetjük más módon is. Egy koordinátatranszformáció segítségé-vel megoldhatjuk a problémát anélkül, hogy kvantummechanikai rendszerként kezelnénk. Ez eb-ben az esetben egyrészt egyszerubb számolást tesz lehetové, másrészt ellenorizhetjük az elobbkapott eredmények helyességét. Ehhez elegendo egy egyszeru eltolást alkalmazni a koordinátára.
12
II. rész
Saját eredmények
13
4. fejezet
Kétatomos molekula Hamilton-operátorának diagonalizálása
Tekintsük az (1.3) Hamilton-operátorral megadott kétatomos molekulát külso térben. A po-tenciális energia két kvadratikus potenciál és egy csatolótag összege. Vezessük be a következojelöléseket:
Q =√MQ, P = P /
√M, q =
√mq, p = p/
√m. (4.1)
Az új változókban az (1.3) Hamilton-operátor így írható:
H =1
2P 2 +
1
2p2 +
1
2
[
Ω2Q2 + 2
√
m
M(ω2
1 − ω22)qQ+ ω2q2
]
. (4.2)
A potenciális energia tag diagonalizálásával új normál módusokat vezetünk be, melyben a (4.2)operátor két független harmonikus oszcillátor Hamilton-operátorának összegeként áll elo [5, 6].Ezen transzformáció végrehajtásához bevezetünk egy forgatást, mely a csatolt és a diagonalizáltHamilton operátor koordinátáit kapcsolja össze:Uq′ = q. Az ortogonális transzformáció mátrixa
U =
[
cos(χ) − sinχsin(χ) cosχ
]
, (4.3)
ahol
cosχ =1√2
(
1 +Ω2 − ω2
u
)1/2
, sinχ =
√
2m
M
ω21 − ω2
2
u
(
1 +Ω2 − ω2
u
)1/2(4.4a)
u =[
(
Ω2 − ω2)2
+ 4m
M
(
ω21 − ω2
2
)2]1/2
(4.4b)
értékeket könnyen megkapjuk a frekvenciákat rögzíto mátrix diagonalizálásával.
K′ = UKU
T , K =1
2
Ω2
√
m
M(ω2
1 − ω22)
√
m
M(ω2
1 − ω22) ω2
, (4.5)
K′ a diagonális mátrix; ehhez olyan szögu forgatás kell, melyreK
′(1, 2) = K′(2, 1) = 0.
Az elforgatott koordináta-rendszerben az új hely-operátorok[
q′1q′2
]
= UT
[
]
=
[
cos(χ)Q+ sin(χ)q
− sin(χ)Q+ cos(χ)q
]
. (4.6)
15
16
A (4.2) Hamilton-operátor új alakja aq′1, q′2 normál módusokkal kifejezve
H =1
2p′21 +
1
2p′22 +
1
2
[
ω′21 q
′21 + ω′2
2 q′22
]
. (4.7)
Itt bevezettük az újω′i sajátfrekvenciákat
ω′21 =
1
2(Ω2 + ω2 + u), ω′2
2 =1
2(Ω2 + ω2 − u). (4.8)
Ugyanezen transzformáció elvégezheto a bozonkelto operátorok szintjén is. Mivel kétatomosrendszerünk van, jelöljea,a† a tömegközéppont koordinátájához rendelt operátorokat, míg b ésb† a relatív koordinátákhoz rendelt operátorokat a (4.7) egyenletben definiáltH rendszerében.
q′1=
[
~
2ω′1
]1/2
(a† + a), p′1= i
[
~ω′1
2
]1/2
(a† − a), (4.9a)
q′2=
[
~
2ω′2
]1/2
(b† + b), p′2= i
[
~ω′2
2
]1/2
(b† − b). (4.9b)
A tömeget már kitranszformáltuk korábban egy átkoordinátázással, ezért nem szerepel a fentebbialakokban. Ezeket felhasználvaH ilyen alakban áll elo:
H = −~ω′1
4(a† − a)2 − ~ω′
2
4(b† − b)2 +
~ω′1
4(a+ a†)2 +
~ω′2
4(b+ b†)2 (4.10)
Továbbá a (4.2) egyenletet ugyanezen operátorokkal felírva és összevonva az egyes tagokat a kö-vetkezot kapjuk:
~
4Ω
(
Ω
ω′1
− ω′1
Ω
)
(
a2 + a†2)
+~
4ω
(
ω
ω′2
− ω′2
ω
)
(
b2 + b†2)
+~
4Ω
(
Ω
ω′1
+ω′1
Ω
)
(
aa† + a†a)
+~
4ω
(
ω
ω′2
+ω′2
ω
)
(
bb† + b†b)
+~
2
√
m
M
(
ω21 − ω2
2
)
(
1√
ω′1ω
′2
)
(
a+ a†)(
b+ b†)
. (4.11)
A korábban már tárgyalt squeezing operátor módosul, mind a két koordinátához rendelt operátorokmegjelennek benne. Továbbá vezessük be a forgatás operátorát is. Ezen operátorokból építsünk felegy újΣ operátort, mellyel majdH-n végzünk unitér transzformációt:
S(λa, λb) = exp
[
1
2λa(a
2 − a†2)
]
exp
[
1
2λb(b
2 − b†2)
]
(4.12a)
R(χ) = exp[
χ(a†b− ab†)]
(4.12b)
Σ = S(λ1, λ2)R(χ)S(λ′1, λ
′2) (4.12c)
Most pedig végezzük el aΣ†HΣ transzformációt. Ennek kiszámításához érdemes ismét megadni,hogy az egyes bozonikus operátorokra miként hat. Felhasználva (3.5) összefüggést:
Σ†aΣ = cosχ(a cosh(λ1 − λ′1)− a† sinh(λ1 − λ′1))
+ sinχ(b cosh(λ1 − λ′2)− b† sinh(λ1 − λ′2)) (4.13a)
Σ†bΣ = cosχ(b cosh(λ2 − λ′2)− b† sinh(λ2 − λ′2))
− sinχ(a cosh(λ2 − λ′1)− a† sinh(λ2 − λ′1)) (4.13b)
fejezet 4. Kétatomos molekula Hamilton- operátorának diagonalizálása 17
A transzformációból következik, hogya† ésb† transzformáltja rendre (4.13a) és (4.13b) adjun-gálásával megkapható. Továbbá belátható az is, hogy ezen újoperátorokra is teljesül a bozonikusoperátorok kommutációs relációja (3.7).H operátorokkal történo felírásakor szándékosan nemvégeztem el a négyzetre emelést és az összevonást, mivel sokkal egyszerubb alakot kapunk, haaz operátorok és adjungáltjaik különbségét, illetve összegét transzformáljuk. A linearitás miatt ezmegegyezik az egyes operátorok transzformáltjainak különbségével, összegével.
Σ†(a† − a)Σ = cosχ(a† − a)(cosh(λ1 − λ′1) + sinh(λ1 − λ′1))
+ sinχ(b† − b)(cosh(λ1 − λ′2) + sinh(λ1 − λ′2)), (4.14a)
Σ†(a+ a†)Σ = cosχ(a+ a†)(cosh(λ1 − λ′1)− sinh(λ1 − λ′1))
+ sinχ(b+ b†)(cosh(λ1 − λ′2)− sinh(λ1 − λ′2)), (4.14b)
Σ†(b† − b)Σ = cosχ(b† − b)(cosh(λ2 − λ′2) + sinh(λ2 − λ′2))
− sinχ(a† − a)(cosh(λ2 − λ′1) + sinh(λ2 − λ′1)), (4.14c)
Σ†(b+ b†)Σ = cosχ(b+ b†)(cosh(λ2 − λ′2)− sinh(λ2 − λ′2))
− sinχ(a+ a†)(cosh(λ2 − λ′1)− sinh(λ2 − λ′1)) (4.14d)
Vegyük észre, hogy az egyes tagokban szereplo cosh()-ok éssinh()-ok összegei, különbségeifelírhatókexp(±...) alakban, ezzel nagyon leegyszerusödnek az egyenletek:
Σ†(a† − a)Σ = cosχ(a† − a)2 exp(λ1 − λ′1) + sinχ(b† − b)2 exp(λ1 − λ′2), (4.15a)
Σ†(a+ a†)Σ = cosχ(a+ a†)2 exp−(λ1 − λ′1) + sinχ(b+ b†)2 exp−(λ1 − λ′2),
(4.15b)
Σ†(b† − b)Σ = cosχ(b† − b)2 exp(λ2 − λ′2)− sinχ(a† − a)2 exp(λ2 − λ′1), (4.15c)
Σ†(b+ b†)Σ = cosχ(b+ b†)2 exp−(λ2 − λ′2)− sinχ(a+ a†)2 exp−(λ2 − λ′1)
(4.15d)
Természetesen az operátorok négyzetei is követik a transzformációt, ígyH transzformáltja a kö-vetkezo alakban áll elo:
Σ†HΣ = −~ω′1
4
[
(a† − a)2 cos2 χ exp(2λ1 − 2λ′1) + (b† − b)2 sin2 χ exp(2λ1 − 2λ′2)
+ 2(a† − a)(b† − b) sinχ cosχ exp(λ1 − λ′1) exp(λ1 − λ′2)]
− ~ω′2
4
[
(b† − b)2 cos2 χ exp(2λ2 − 2λ′2) + (a† − a)2 sin2 χ exp(2λ2 − 2λ′1)
− 2(a† − a)(b† − b) sinχ cosχ exp(λ2 − λ′2) exp(λ2 − λ′1)]
+~ω′
1
4
[
(a+ a†)2 cos2 χ exp[−(2λ1 − 2λ′1)] + (b+ b†)2 sin2 χ exp[−(2λ1 − 2λ′2)]
− 2(a+ a†)(b+ b†) sinχ cosχ exp[−(λ1 − λ′1)] exp[−(λ1 − λ′2)]]
+~ω′
2
4
[
(b+ b†)2 cos2 χ exp[−(2λ2 − 2λ′2] + (a+ a†)2 sin2 χ exp[−(2λ2 − 2λ′1)]
− 2(a+ a†)(b+ b†) sinχ cosχ exp[−(λ2 − λ′2)] exp[−(λ2 − λ′1)]]
(4.16)
18
A (4.16) egyenlet kifejtésének meg kell egyeznie a (4.11) egyenlettel. Ha ez teljesül, megtalál-tuk a keresett unitér transzformációt. Ehhez vizsgáljuk meg az egyes operátorok szorzófaktorait,ezeknek kell megegyezniük mindkét egyenletben. A paramétereink,χ, λi ésλ′i értékeit így vissza-vezetjük az eredeti Hamilton-operátorban szereplo paraméterekre, vagyis a külso potenciálok (a
kialakuló frekvenciák) és az atomok közötti vonzó kölcsönhatás paramétereire. Célszeru~
4-et ki-
emelni minden tagból.
aa† ⇒ Ω(Ω
ω′1
+ω′1
Ω) = ω′
1 cos2 χ[exp(2(λ1 − λ′1)) + exp(−2(λ1 − λ′1))]
+ ω′2 sin
2 χ[exp(2(λ2 − λ′1)) + exp(−2(λ2 − λ′1))] (4.17a)
a2 ⇒ Ω(Ω
ω′1
− ω′1
Ω) = ω′
1 cos2 χ[exp(−2(λ1 − λ′1))− exp(2(λ1 − λ′1))]
ω′2 + sin2 χ[exp(−2(λ2 − λ′1))− exp(2(λ2 − λ′1))] (4.17b)
bb† ⇒ ω(ω
ω′2
+ω′2
ω) = ω′
1 sin2 χ[exp(2(λ1 − λ′2)) + exp(−2(λ1 − λ′2))]
+ ω′2 cos
2 χ[exp(2(λ2 − λ′2)) + exp(−2(λ2 − λ′2))] (4.17c)
b2 ⇒ ω(ω
ω′2
− ω′2
ω) = ω′
1 sin2 χ[exp(−2(λ1 − λ′2))− exp(2(λ1 − λ′2))]
+ ω′2 cos
2 χ[exp(−2(λ2 − λ′2))− exp(2(λ2 − λ′2))] (4.17d)
ab† ⇒ 2
√
m
M(ω2
1 − ω22)
1√
ω′1ω
′2
= 2ω′1 sinχ cosχ[exp(−(2λ1 − λ′1 − λ′2)) + exp(2λ1 − λ′1 − λ′2)]
− 2ω′2 sinχ cosχ[exp(−(2λ2 − λ′1 − λ′2)) + exp(2λ2 − λ′1 − λ′2)] (4.17e)
ab⇒ 2
√
m
M(ω2
1 − ω22)
1√
ω′1ω
′2
= 2ω′1 sinχ cosχ[exp(−(2λ1 − λ′1 − λ′2))− exp(2λ1 − λ′1 − λ′2)]
− 2ω′2 sinχ cosχ[exp(−(2λ2 − λ′1 − λ′2))− exp(2λ2 − λ′1 − λ′2)] (4.17f)
Most a következo lépéseket végezzük el: (4.17a)-(4.17b), (4.17c)-(4.17d), (4.17e)-(4.17f) egyen-letpárokat összeadjuk, illetve kivonjuk egymásból; majd pedig egyszerusítünk. A kapott egyenle-tek sorrendje megegyezik a megoldás gondolatmenetével.
ω′1 sinχ cosχ exp(2λ1 − λ′1 − λ′2)− ω′
2 sinχ cosχ exp(2λ2 − λ′1 − λ′2) = 0 (4.18a)
cos2 χ exp(−2(λ′1)) + sin2 χ exp(−2(λ′1)) = ω′1 (4.18b)
sin2 χ exp(−2(λ′2)) + cos2 χ exp(−2(λ′2)) = ω′2 (4.18c)
ω′1
ω′1
ω′1
cos2 χ+ ω′2
ω′2
ω′1
sin2 χ =Ω2
ω′1
(4.18d)
ω′2
ω′2
ω′2
cos2 χ+ ω′1
ω′1
ω′2
sin2 χ =ω2
ω′2
(4.18e)
sinχ cosχω′21 − ω′2
2√
ω′1ω
′2
=
√
m
M
ω21 − ω2
2√
ω′1ω
′2
(4.18f)
A (4.18a) egyenletbol a diagonális frekvenciák arányát kapjuk az exponenciálisok függvényében.
Ezt logaritmizálvaλ1 = −1
2lnω′
1 ésλ2 = −1
2lnω′
2 eredményre jutunk. Az is látható, hogy
fejezet 4. Kétatomos molekula Hamilton- operátorának diagonalizálása 19
az arányt nem befolyásolja, ha a frekvenciákat azonos konstanssal szorzom meg, viszont aλ-kígy változnának. A vizsgált probléma nem feltételez semmilyen extra paramétert, melyet ide beír-hatnánk, így ettol joggal eltekinthetünk. A (4.18b) és a (4.18c) egyenletekben már felhasználtam
ezeket, így aλ′1 = −1
2lnω′
1 ésλ′2 = −1
2lnω′
2 paraméterekhez jutok a jól ismert szögfüggvény
azonossággal. A két egyenlet bal oldalán csak látszólag tunik el a dimenzió, valójában csak amennyiség számértékével osztottunk. Mindezeket felhasználva megtaláljuk a kapcsolatot az ere-deti és az elforgatott rendszerbeli frekvenciák között, majd végül ezt felhasználva a forgatás szögétis megkapjuk. Egy egyszerubb mennyiség, pl.cos2 χ összehasonlításával látjuk, hogy ez megegye-zik a korábban kapott eredménnyel. Az eredményeimet az alábbi egyenletek foglalják össze:
Ω2 = ω′21 cos2 χ+ ω′2
2 sin2 χ (4.19a)
ω2 = ω′21 sin2 χ+ ω′2
2 cos2 χ (4.19b)√
m
M
ω21 − ω2
2
ω′21 − ω′2
2
= sinχ cosχ (4.19c)
A (4.19a) és (4.19b) egyenletekbol kiderül, hogyω′21 − ω′2
2 =Ω2 − ω2
cos2 χ− sin2 χés így
√
m
M
ω21 − ω2
2
Ω2 − ω2(cos2 χ− sin2 χ) = sinχ cosχ (4.20)
adódik.Négyzetre emelés után egy másodfokú egyenletet kapunkcos2 χ-re, pont erre vagyunk kíváncsiak.Ennek megoldásai:
cos2 χ± =1
2
1±
√
1− 4l2
4l2 + 1
(4.21)
ahol
l2 =m
M
(ω21 − ω2
2)2
(Ω2 − ω2)2. (4.22)
Fejtsük ki acos2 χ+ megoldást:
cos2 χ+ =1
2
1 +(Ω2 − ω2)
√
(Ω2 − ω2)2 + 4m
M(ω2
1 − ω22)
2
. (4.23)
Hasonlítsuk össze ezt a kifejezést a (4.4a) egyenletben felírt összefüggéssel:
cos2 χ =1
2
(
1 +Ω2 − ω2
u
)
=1
2
1 +
Ω2 − ω2
[
(Ω2 − ω2)2 + 4m
M
(
ω21 − ω2
2
)2]1/2
(4.24)
Tehát a kétféle megoldás ugyanarra az eredményre vezet.
20
5. fejezet
Külso erotérbe helyezett kétatomosmolekula kvantuminterferenciája
Ebben a fejezetben azt vizsgáljuk, hogy külso erotérben mozgó kétatomos molekula tömegkö-zépponti mozgásához tartozó hullámfüggvényt hogyan befolyásolja az atomok relatív mozgásánakkvantumállapota. A külso erotér eltéroen hat a molekulát alkotó atomokra, ezért a tömegközép-ponti és relatív mozgás csatolttá válik.
Jelölje most|n1, n2〉 a csatolatlan rendszer (a molekula atomjainak tömegközépponti-, ésrelatív mozgása) sajátállapotait,|n′1, n′2〉 pedig a csatolt és diagonalizált rendszer sajátállapotait.Szeretnénk kifejteni az eredeti|n1, n2〉 állapotokat a|n′1, n′2〉 bázisvektor rendszerben; ehhezmeg kell határoznunk a〈n′1n′2|n1n2〉 kifejtési együtthatókat.
Feltételezzük, hogy a molekula állapotat = 0-ban kifejtheto a|00〉, |01〉, |10〉, |11〉 bázison.Elsoként meg fogjuk határozni a molekula állapotvektorának idofejlodését. Ehhez szükségünk vana következo kifejtési együtthatókra
c′n′
1,n′
2
=∑
n1,n2
cn1,n2〈n′1, n′2|n1, n2〉. (5.1)
Az átfedések kiszámításához felhasználom a korábban már említett Hermite-polinomokat tartal-mazó sajátfüggvényeket, így a skaláris szorzás integrálással számítható. A konjugálás elhagyható,mivel valós függvényekkel dolgozunk. Az〈n′1n′2|n1n2〉 átfedésre kapjuk
1
π
√
∆x′1∆x′2
∆x1∆x2
1√2n1n1!
1√2n2n2!
1√
2n′
1n′1!
1√
2n′
2n′2!
∫ ∞
−∞
Hn[q1(q′1q
′2)]Hn[q2(q
′1, q
′2)]
×Hn(q′1)Hn(q
′2) exp
(
−q1(q′1, q
′2)
2
2
)
exp
(
−q2(q′1, q
′2)
2
2
)
exp
(
−q′21
2
)
exp
(
−q′22
2
)
dq′1dq′2,
(5.2)
aholqi = xi/∆xi, valamint aqi koordinátákat aq′j függvényeként adjuk meg (lásd a (4.6) transz-formáció inverze). Ez a képlet adja tetszoleges kétmódusú állapotok kifejtését az új bázison. Mintmár említettem, két könnyen kezelheto állapotot fejtek ki a diagonális Hamilton bázisán. Kezdjükrögtön aΨ00 ésΨ0′0′ hullámfüggvények átfedésének kiszámításával. A 0. Hermite-polinom 1, ígyezt nem kell beírnunk, csak az exponenciálisok számítanak.
∫ ∞
−∞
Ψ0′0′Ψ00dq′1dq
′2 =
1
π
√
∆x′1∆x′2
∆x1∆x2
∫ ∞
−∞
exp(−aq′21 ) exp(−bq′22 ) exp(2cq′1q′2)dq′1dq′2, (5.3)
21
22
ahola, b, c az exponenciálisok összevonásából kapott szorzófaktorok:
a =1
2
(
cos2 χ∆x′21∆x21
+sin2 χ∆x′21
∆x22+ 1
)
,
b =1
2
(
sin2 χ∆x′22∆x21
+cos2 χ∆x′22
∆x22+ 1
)
,
c =1
2sinχ cosχ
(
∆x′1∆x′2
∆x21− ∆x′1∆x
′2
∆x22
)
. (5.4)
Az integrált átalakítva kihasználhatjuk a változók függetlenségét, eloször az egyikre integrálunk amásikat konstansként kezelve, majd elvégezzük a megmaradóintegrált is. Aexp() alak két olyanformában írható fel, melyekkel könnyu elvégezni az integrálásokat és amelyek ekvivalensek.
exp
[
−a(
q′1 −c
aq′2
)2]
exp
[
−q′22(
b− c2
a
)]
= exp
[
−b(
q′2 −c
bq′1
)2]
exp
[
−q′21(
a− c2
b
)]
.
(5.5)
Ezt felhasználva:
1
π
√
∆x′1∆x′2
∆x1∆x2
∫ ∞
−∞
exp
[
−a(
q′1 −c
aq′2
)2]
exp
[
−q′22(
b− c2
a
)]
=
√
∆x′1∆x′2
∆x1∆x2
1√ab− c2
(5.6)
eredményre jutunk. Eloszörq1-re integrálva egy eltolt Gauss-görbével van dolgunk, majda q2-reintegrálandó tag következik, mely szintén Gauss típusú. Épp ezért nagyon könnyu az integrálokelvégzése, hiszen használhatjuk a következo összefüggést:
∫ ∞
−∞
exp(−αx2)dx =
√
π
α. (5.7)
Hasonlóan számítható ki a többi kifejtési együttható is, azonban sokkal könnyebben meg lehetkapnioket az alábbi rekurziós összefüggések [5] alkalmazásával:
〈n′1 + 1, n′2|n1, n2〉 = (2P11 − 1)
[
n′1n′1 + 1
]1/2
〈n′1 − 1, n′2|n1, n2〉
+ 2P12
[
n′2n′1 + 1
]1/2
〈n′1, n′2 − 1|n1, n2〉
+ 2R11
[
n1n′1 + 1
]1/2
〈n′1, n′2|n1 − 1, n2〉
+ 2R12
[
n2n′1 + 1
]1/2
〈n′1, n′2|n1, n2 − 1〉. (5.8)
〈n′1, n′2 + 1|n1, n2〉 = P12
[
n′1n′2 + 1
]1/2
〈n′1 − 1, n′2|n1, n2〉
+ (2P22 − 1)
[
n′2n′2 + 1
]1/2
〈n′1, n′2 − 1|n1, n2〉
+ 2R21
[
n1n′2 + 1
]1/2
〈n′1, n′2|n1 − 1, n2〉
+ 2R22
[
n2n′2 + 1
]1/2
〈n′1, n′2|n1, n2 − 1〉. (5.9)
fejezet 5. Külso erotérbe helyezett kétatomos molekula kvantuminterferenciája 23
A P mátrix definíciója:
P =1
∆
ω′1([ω2 + ω′
2] + [ω1 − ω2] sin2 χ) 1
2
√
ω′1ω
′2(ω1 − ω2) sin 2χ
12
√
ω′1ω
′2(ω1 − ω2) sin 2χ ω′
2([ω1 + ω′1]− [ω1 − ω2] sin
2 χ)
, (5.10)
valamintR mátrix definíciója:
R =1
∆
√
ω1ω′1(ω2 + ω′
2) cosχ −√
ω1ω′2(ω2 + ω′
1) sinχ
√
ω2ω′1(ω1 + ω′
2) sinχ√
ω2ω′2(ω1 + ω′
1) cosχ
, (5.11)
ahol∆ = (ω1 + ω′
1)(ω2 + ω′2) + (ω1 − ω2)(ω
′1 − ω′
2) sin2 χ
A rekurzió két-pontos, azaz az pl.n′ + 1-dik átfedés kiszámításához szükséges azn′ ésn′ − 1ismerete.
Visszatérve a|00〉 állapot kifejtésének meghatározására, a rekurziós relációk használatáhozszükség van még aΨ00 hullámfüggvény és aΨ0′1′ valamintΨ1′0′ bázisfüggvények közötti át-fedések kiszámítására. Ezekben a tagokban már megjelenik az 1. Hermite-polinom, tehát nemtisztán Gauss-típusú integrálokat kapunk. Egy idore hanyagoljuk el a konstans szorzófaktorokat,és gondoljuk végig, mit is kapunk erre a két integrálra:
∫ ∞
−∞
q′1 · exp[
−b(
q′2 −c
bq′1
)2]
exp
[
−q′21(
a− c2
b
)]
dq′1dq′2 (5.12a)
∫ ∞
−∞
q′2 · exp[
−a(
q′1 −c
aq′2
)2]
exp
[
−q′22(
b− c2
a
)]
dq′1dq′2 (5.12b)
Érdemes az elsoben aq′2-re, a másodikbanq′1-re integrálni eloször. Így egy szorzó és egy Gaussmarad. Vegyük észre, hogy ez nem más, mint a Gauss rész deriváltja konstans erejéig. Az integrá-lást elvégezve így nullát kapunk, azaz〈1′0′|00〉 = 〈0′1′|00〉 = 0. Felhasználva az elobb kiszámolt3 mátrixelem értékét és ismerve a frekvenciákat, az (5.8) és(5.9) rekurziós összefüggések alkal-mazásával meghatározhatjuk a többi mátrixelemet is.
A |01〉 állapotvektor kifejtésének meghatározásához szükségünkvan a〈0′0′|01〉, 〈0′1′|01〉,〈1′0′|01〉 átfedésekre, majd a rekurziós összefüggésekkel kapjuk mega többi átfedést. A〈0′0′|01〉 = 0 a korábbi gondolatmenetünk alapján. Az (5.8) alapján kapjuk
〈0′1′|01〉 = 2R12〈0′0′|0, 0〉. (5.13)
Végül az (5.9) felhasználásával
〈1′0′|01〉 = 2R22〈0′0′|0, 0〉. (5.14)
Az |10〉 és |11〉 bázisvektorok kifejtését a|n′1n′2〉 bázison a fentiekhez hasonlóan lehet meg-kapni.
A molekula idofejlodését ezek után a
|Ψ(t)〉 =∑
n′
1n′
2
c′n′
1n′
2
e−i(ω′
1n′
1+ω′
2n′
2)t|n′1n′2〉 (5.15)
kifejezés adja meg, ha a kezdeti állapot koherens szuperpozíció.Elso példaképpen tekintsük a
|Ψ(0)〉 = 1
2(|0〉+ |1〉) ⊗ (|0〉 + |1〉) (5.16)
24
5.1. ábra. A (5.16) állapothoz tartozóP (Q, q) eloszlás az ido függvényében.
kiindulási állapotot. Mind aQ, mind aq módusokban az alap és elso gerjesztett rezgési állapot szu-perpozíciója található. A dinamikát az (5.15) képlet alapján lehet megkapni. Az eredmény szem-léltetése érdekében aP (Q, q) = |〈Q, q|Ψ(t)〉|2 eloszlást szeretnénk ábrázolni. Ezt meg tudjuk úgykapni, hogy az (5.15) egyenletbol kiszámítjuk a hullámfüggvényt olymódon, hogy a|n′1n′2〉 bázis-vektorokat helyettesítjük aΨ(q′1, q
′2) bázisfüggvényekkel. A (4.6) transzformáció felhasználásával
kapjuk
P (Q, q) = |〈Q cosχ+ q sinχ,−Q sinχ+ q cosχ|Ψ(t)〉|2. (5.17)
Az idofejlodést illusztrálja az 5.1. ábra (a szakdolgozat mellékletét képezo CD-n a Psi2cohsup.avimutatja az idofejlodést). Az ábrán látható, hogy mind aQ, mind aq módusokban oszcillál a mo-lekula.
fejezet 5. Külso erotérbe helyezett kétatomos molekula kvantuminterferenciája 25
5.2. ábra. A (5.18) állapothoz tartozóP (Q, q) eloszlás az ido függvényében.
Második példaképpen tekintsük a következo részben inkoherens keverék kiindulási állapotot:
|Φ0〉 =1√2(|0〉+ |1〉) ⊗ |0〉, |Φ1〉 =
1√2(|0〉+ |1〉) ⊗ |1〉,
ˆ(0) =1
2[|Φ0〉〈Φ0|+ |Φ1〉〈Φ1|], (5.18)
azaz aQ módusban koherens szuperpozíció, míg aq módusban inkoherens keverék található. Azállapot idofejlodését illusztrálja az 5.2. ábra (a CD-n a Psi2mixed.avi a file). Ebben az esetben ismegfigyelheto oszcilláció mindkét módusban, azonban a hullámfüggvény nem lokalizálódik olyanmértékben, mint a koherens szuperponált állapot kiindulásesetén. Egy interferencia kísérletbenennek megfigyelheto következménye lenne. Így arra a konklúzióra jutottunk, hogy a molekulacsatolt belso és tömegközépponti dinamikája esetén a tömegközépponti mozgáshoz tartozó va-lószínuségeloszlás alakját befolyásolja a molekula belso dinamikája. Természetesen aQ várhatóértékének függetlennek kell lennie a belso állapottól.
26
6. fejezet
Összefoglalás
Dolgozatomban kétatomos molekula dinamikáját vizsgáltamabban az esetben, amikor egykülso erotér hat a molekulát alkotó atomokra. Megmutattam, hogy ha az erok nagysága különbözo,akkor a molekula belso és tömegközépponti mozgása csatolttá válik. Meghatároztam a csatolt újrendszer normál rezgési módusait és a rezgések frekvenciáit. Megvizsgáltam a molekula hullám-csomagjának idofejlodését kétféle kezdeti állapotból kiindulva: 1. koherens szuperponált állapotmind a relatív és tömegközépponti módusokban; 2. koherens szuperponált állapot a tömegközép-ponti módusban, míg inkoherens keverék a relatív rezgési módusban. Azt találtam, hogy a tömeg-középponti mozgáshoz tartozó hely szerinti valószínuségeloszlás függ a molekula belso rezgésiállapotától. Így a belso kvantumállapot hatással van a molekula tömegközépponti hullámcsomag-jának interferenciájára is.
27
28
Irodalomjegyzék
[1] Geszti Tamás:Kvantummechanika, (TYPOTEX, Budapest, 2007).
[2] Nagy Károly:Kvantummechanika, (Tankönyvkiadó, Budapest).
[3] Stephen M. Barnett, Paul M. Radmore:Methods on Theoretical Quantum Optics, (ClarendonPress, Oxford, 1997).
[4] M.O. Scully and M.S. Zubairy:Quantum Optics(Cambridge University Press, 1997).
[5] E.V. Doktorov, I.A. Malkin, and V.I. Man’ko:Dynamical Symmetry of Vibronic Transitions inPolyatomic Molecules and the Franck-Condon Principle; J. Mol. Spect.56, 1-20 (1975).
[6] Z. Kis, J. Janszky, P. Adam, An. V. Vinogradov, T. Kobayashi: Entangled Vibrational Statesin Polyatomic Molecules, Phys. Rev. A54, 5110 (1996).
29
Irodalomjegyzék 30
Köszönetnyilvánítás
Ezúton szeretném megköszönni témavezetom, Kis Zsolt segítségét a szakdolgozat elkészítésé-ben, valamint a szimulációk megírásában. Köszönöm továbbá, hogy felkeltette érdeklodésemet atéma iránt és új ismeretekkel gazdagított, melyek lehetové tették számomra a kvantummechanikamélyebb megértését.
Nyilatkozat
Név: Ábrók LeventeELTE Természettudományi Kar, szak: Fizika BScETR azonosító:ABLQAAT.ELTESzakdolgozat címe:Molekulák de Broglie hullámának terjedése
A szakdolgozatszerzojeként fegyelmi felelosségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatomönálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések standardszabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelelo idézés nélkül nemhasználtam fel.
Budapest 2011. június 6.
31
Recommended
