Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004.PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
EA-VIII/1
FIZIKA I Villamosságtan
Dr. Iványi Miklósnéegyetemi tanár
8. óra
Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004.PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
EA-VIII/2
10. Folytonossági feltételek-két mágneses anyag határfelületén
(a) A mágneses indukció vektor viselkedése közeghatáron Br
(i) a mágneses fluxussűrűség, a mágneses indukció vektor normális komponense folytonosan megy át két közeg határán,
, ,0ha 21 aaam ==→
0=∫ ⋅a
adB rr
021 =++− palástnnn aBaBaB
012 =− nn BB
nn BB 21 = nn HH 2211 µµ =
(ii) ha 21 rr µµ >> nn BB 21 <<
a ferromágneses anyag belsejében a mágneses indukció vektor normális komponense elhanyagolhatóan kicsi
Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004.PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
EA-VIII/3
(b) Az mágneses térerősség viselkedése közeghatáronHr
Gerjesztési törvény
∫ ⋅=∑=∫ ⋅al
adJIldH rrrr
nIdHlHlH =++− 21 τττ
0→dha 0→d nIdHlHlH =++− 21 τττ
nn KlIHH ==− ττ 12
0 ha =nK ττ 21 HH = a határfelületen a H mágneses térerősségtangenciális komponense folytonos,
2
1
2
1µµ
τ
τ =BB a B indukció vektor tangenciális komponensei
a permeabilitások arányában ugrásszerűen változik
Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004.PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
EA-VIII/4
(c) Töréstörvények
ττ 21 HH = nn HH 12
12 µ
µ= nn BB 21 = ττ µ
µ1
1
22 BB =
2
1
1
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
1tgtg
µµµ
µαα
τ
τ ====n
n
n
nn
n BB
HH
HH
HH
2
1
2
1tgtg
µµ
αα
=
2
1
22
11
2
2
1
1
2
1tgtg
µµ
µµ
αα
τ
τ
τ
τ ===HH
BB
BB n
n 2121 tgtg, ha ααµµ >>→>>
Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004.PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
EA-VIII/5
(d) Következmények
(i) Mágneses és nem-mágneses magú egyenes tekercs(keresztirányú rétegezés)
nn BB 21 = nn HH 2211 µµ =
ferromágnesesmag
nem-mágneses mag
00 µµµ >>v
000 µµµ nvvn HH =
nvn HH 0<<
Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004.PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
EA-VIII/6
(d) Következmények
(ii) Mágneses és nem-mágneses magú egyenes tekercs(hosszirányú rétegezés)
ferromágnesesmag
nem-mágneses mag
ττ 21 HH =
2
2
1
1µµττ BB
=
00 µµµ >>v
ττ 0HHv =
ττ 0BBv >>
Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004.PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
EA-VIII/7
11. Mágneses körök számítása
(i) Térszámítással (a) A gerjesztési törvény ∑=∫ ⋅ IldHl
rr
Közepes erővonal hosszal számolva ∑ =k
kk NilH
NiHlH kv =+ δ0
(b) A fluxus törvényből 0=∫ ⋅a
adB rr
a szórástól eltekintve 0aavas = 0ΦΦ =vas
00aBaB vasv =
0BBv =
δµµµ
rk
rv l
iNB+
= 0 NiBlBk
r
v =+ δµµµ 0
0
0 δµµµΦ
rk
rvasl
aNi
NL+
== 0
2
Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004.PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
EA-VIII/8
(ii) Hálózati modellel A gerjesztési törvény ∑=∫ ⋅ IldH
l
rr
Közepes erővonal hosszal számolva ∑ =k
kk NilH
∑=∑=∑=∑∑ ==k
mágkkk kk
kkk
k kk
kk
k k
k
kkk R
all
alBlHNi ,Φ
µΦ
µΦ
µ
mágkkmágk RU ,, Φ=kk
kmágk a
lRµ
=, mágneses Ohm törvény
Mintapélda
0RRUv
m+
=Φ
v
km ma
lRµµ0⋅
=
00 µ
δma
R⋅
=
Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004.PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
EA-VIII/9
12. Mágneses tér energiája
(i) L indukció együtthatójú tekercs energiája
IW 21Ψ= 2
21 ILW =IL =Ψ
(ii) Csatolt tekercsek energiája
1122222
2121111ILILILIL
+=
+=
ΨΨ
( )221121 IIW ΨΨ += 2
22221122111 2
121 ILIILILW ++=
Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004.PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
EA-VIII/10
(iii) A mágneses tér energiasűrűsége
IdW 21Ψ=
∫ ∫=∫ ⋅∫ ⋅==l aal
ldadBHadBldHIdWrrrrrrrs
21
21
21 Ψ
∫ ⋅=l
ldHIrr
∫ ⋅=a
adB rrΨ
dvldad =⋅rr
∫=∫=vv
dvwdvBHdW 21 rr
a mágneses energiasűrűség
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= 3m
W 21 BH
dvdWw
rr
Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004.PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
EA-VIII/11
13. Mágneses erőhatás(i) I áramú vezető mágneses térben A Lorentz erőtörvény felhasználásával
a mágneses térbe helyezett elemi vezetődarabra ható erő
BldIBlddtdQB
dtlddQBvdQFd ×=×=×=×=
rrr
rrr
a vezetőre ható erő BlIF ×=rr
két párhúzamos, ellntétes áramirányú vezetők között taszítóerő lép fel
két párhúzamos, azonos áramirányú vezetők között vonzóerő lép fel
(ii) Következménye, párhúzamos áramvezetők között erőhatás lép fel
Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004.PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
EA-VIII/12
14. Belső indukció együttható számítása
µµ
22
21
21
21 B
HBHwr
rrr===
∫=∫==vv
b dvHdvwILW 21
21 22 µ
r
a vezető belsejében
∑=∫ ⋅ IldHl
rr ππ
π 220
2 rr
IrH = ( ) 020
0 ,2
rrrrIrH <<=π
drlrdv 2 π=
240
40
22
0202 2
1422
1 221 0
ILrrlIdrlrW b
r
rr
r
I ==∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=µ
πππ
π
πµ8
lLb =maple
Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004.PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
EA-VIII/13
Ellenőrző kérdések
1. Ismertesse a mágneses térjellemzőkre vonatkozó folytonossági feltételeket,2. Ismertesse a mágneses közök számítási elveit, 3. Foglalja össze a mágneses tér energiájára és a mágneses térben fellépő
erőhatásokra vonatkozó összefüggéseket.
Irodalom•Hevesi Imre, Elektromosságtan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1998.
pp.,•Litz József, Elektromosságtan és mágnességtan, Műszaki Könyvkiadó, 1998.
pp., •Elmer György, www.morpheus.pte.hu
Gyakorló feladatok
1. Egy 1500=rµ relatív permeabilitású ferromágneses vasmag külső felületén T 2,10 =B mágneses indukciót mérünk.
Hatásozza meg a vasmag belsejében a mágneses térerősség normális komponensének értékét. 2cm 24 cm122. Egy keresztmetszetű, =a =l hosszúságú, 750=N menetszámú egyenes tekercs 2500=rµ relatív
permeabilitású ferromágneses vasmaggal rendelkezik. Határozza meg a tekercs fluxusát, ha A2,2=I árammal gerjesztjük.
3. Mekkora energiát tárol az mH 21 =L , mH 62 =L , mH 1512 =L ön-, és kölcsönös indukció együtthatóval rendelkező csatolt tekercs amelyet A121 =I , A82 =I árammal táplálunk.
mH4. Mekkora árammal tápláltuk azt az 6,8=L önindukció együtthatójú tekercset, amely mW12=W mágneses energiát tárol.
5. Mekkora mágneses energiát tárol az a 000 12=rµ mágneses permeabilitású anyag egységnyi térfogata, ha benne T 8,1=B mágneses indukció van jelen.
6. Mekkora a mágneses fluxusa annak az mH5=L önindukció együtthatójú tekercsnek, amely mW38=W mágneses energiát tárol.
7. Mekkora erővel hat az A12=I áramú egyenes vezető cm32=l hosszú szakaszára a vezetőre merőleges T 4,1=B indukciójú mágneses tér.
125008. Egy toroid alakú, =rµ relatív permeabiltású vasmag közepes hossza cm32=l , keresztmetszete . Határozza meg, mekkora az indukció együtthatója a vasmagon elhelyezett
2cm 6,2=a820=N menetszámú tekercsnek.
A2,6=I9. Határozza meg mekkora a levegőben elhelyezett áramú egyenes vezetőre merőleges mágneses tér térerőssége, ha az egyenes vezető cm 12=l hosszú szakaszára N016,0=F erő hat.
A2,8=I10. Határozza meg mekkora erő hat az áramú, egymással párhuzamos és azonos áramirányú két egyenes vezető cm 53=l hosszúságú szakaszára, ha a vezetők távolsága cm24=d .
11. Határozza az erőhatást a fenti feladatban, ha a két vezetőben az áramok ellentétes irányúak.
Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004. EA-VIII/14 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
Gyakorló feladatok megoldása 1. Minthogy a ferromágneses anyagokból a mágneses indukcióvektor normális komponense megy át folytonosan a
vasmagban az indukcióvektor normális komponense megegyezik a mért értékkel 0BBvn = . Minthogy a vas mágneses
permeabilitása ismert a mágneses térerősség meghatározható A/m636,61980
==r
vnvn
BHµµ
.
2. Feltételezve, hogy az egyenes tekercs keresztmetszete elhanyagolhatóan kicsi a hosszához viszonyítva, a gerjesztési
törvényt alkalmazva a mágneses térerősség meghatározható l
NIH ≅ , ahonnan a tekercs fluxusa
Vs 0,0400102412,0
2,27502500104 42
72
0 =⋅⋅===== −−πµµµΦΨlIaN
lNINaNaBN r .
3. Minthogy a tekercsrendszer energiája ∑ ∑== =
n
k
n
llkkl IILW
1 121 , a jelen esetben a csatolt tekercs energiája
W1,776mW 177621
21 2
222112211 ==++= ILIILILW .
4. Minthogy a tekercs energiája 2
21 LIW = , ahonnan A1,67052
==LWI .
5. Az egységnyi térfogatban az energiasűrűség 3
0
2 Ws/m107,4296
221
===r
BBHwµµ
.
Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004. EA-VIII/15 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék
6. A tekercs energiája 2
21 LIW = , ahonnan a tekercs árama meghatározható
LWI 2
= , így a tekercs fluxusa
Vs 0,019522==== WL
LWLLIΨ .
7. Minthogy a mágneses indukció merőleges a vezetőre, így a vektori szorzatból N 5,3760== IlBF .
8. Minthogy H 858,16532
00 ====== al
Nl
NIaINaB
IN
IN
IL rr µµµµΦΨ .
9. Minthogy IlBF = , a mágneses térerősség A/m10 1,7113 4
00⋅===
IlFBHµµ
.
10. Minthogy a párhuzamos vezetők egyikének a helyén a másik áramvezető mágneses tere merőleges a vezetőben folyó
áramra, így mN 29,698N 10 2,969822
5-2
00 =⋅=== ld
Id
IIlFπ
µπ
µ vonzóerő lép fel.
11. Amennyiben az egyik vezetőben az áramirány megfordul a vonzóerőből ugyanekkora taszítóerő lép fel.
Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004. EA-VIII/16 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék