Fluidmechanik II Formelsammlung
Zusammenfassung von David Heinze ([email protected]) Version 1.2 vom 09.03.2008 (Erst-Veröffentlichung 28.02.2008)
1 Grundlagen........................................................................................................................................ 2
Koordinaten-Transformation................................................................................................................. 2 Vektor-Operationen ................................................................................................................................ 2 Zeitableitungen ........................................................................................................................................ 3 Definitionen.............................................................................................................................................. 3
2 Erhaltungssätze ................................................................................................................................. 4
Allgemeingültige Gleichungen................................................................................................................ 4 Navier-Stokes-Gleichungen .................................................................................................................... 5 Eulersche Gleichungen............................................................................................................................ 6 Gasdynamische Grundgleichung ........................................................................................................... 6 Potentialgleichung ................................................................................................................................... 6
3 Schallgeschwindigkeit....................................................................................................................... 7
Isentropie-Beziehungen........................................................................................................................... 7
4 Verdichtungsstoß .............................................................................................................................. 8
Variation der Ruhegrößen nach dem Stoß ........................................................................................... 8 Variation der statischen Größen nach dem Stoß.................................................................................. 8 Umrechnung M – M*.............................................................................................................................. 8 Thermodynamische Stoßrelationen ....................................................................................................... 9
5 Lavaldüsen....................................................................................................................................... 10
Variation der Querschnittsfläche......................................................................................................... 10 Massenstromdichte................................................................................................................................ 10
6 Potentialströmung........................................................................................................................... 11
Vollständige Potentialgleichung........................................................................................................... 11 Inkompressible Potentialgleichung (Laplace-Gleichung).................................................................. 11 Ebene, stationäre, inkompressible Potentialgleichung (2-D Laplace) .............................................. 11
7 Fanno-Rohr ..................................................................................................................................... 14
8 Profilumströmung im linearen Überschall ................................................................................... 15
2
1 GRUNDLAGEN Koordinaten-Transformation
kartesisch Zylinder: zyxzr vv ,,,,
1000cossin0sincosrr
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−= θθ
θθ
θ Zylinder kartesisch: zrzyx vv ,,,,
1000cossin0sincos
θθθθθ
rr
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −=
kartesisch Kugel: zyxr vv ,,,,
0cossinsinsincoscoscos
cossinsincossinrr
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
φφθφθφθ
θφθφθ
φθ Kugel kartesisch: φθ
θθφφθφθφφθφθ
,,,,
0sincoscossincossinsinsincoscoscossin
rzyx vv rr
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
Vektor-Operationen Kartesische Koordinaten Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Vektor vr
( )Tzyxwvu ,, ( )T
zrwvu ,,θ ( )Trwvu φθ ,,
Nabla-Operator∇=∇
r
T
zyx ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
T
zrr⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
∂∂
θ1
T
rrr ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
φθθ sin11
Laplace-Oper. pp 2∇=∆
r 2
2
2
2
2
2
zp
yp
xp
∂∂+
∂∂+
∂∂ 2
2
2
2
22
2 11z
pprr
prr
p∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
θ 2
2
2222
2
22
2
sin1
sincos12
φθθθθ
θ ∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂ p
rp
rp
rrp
rrp
Gradient pgradp =∇
T
zp
yp
xp
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
T
zpp
rrp
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
∂∂
θ1
Tp
rp
rrp
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
φθθ sin11
Divergenz vdivv rr =⋅∇ z
wyv
xu
∂∂+
∂∂+
∂∂ ( )
zwv
rrru
r ∂∂+
∂∂+
∂∂
θ11 ( ) ( )
φθθθ
θ ∂∂+
∂∂+
∂∂ w
rv
rrur
r sin1sin
sin11 2
2
Rotation vrotv rr =×∇
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
yu
xv
xw
zu
zv
yw
wvuzyx
kji
( )
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂−
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂−
∂∂
θ
θ
urrv
r
rw
zu
zvw
r
1
1
( )
( )
( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂−
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂−
∂∂
θ
φθ
φθθ
θ
urrv
r
rrw
ru
r
vvr
1
1sin1
sinsin1
GrundlagenFluidmechanik II
3
Zeitableitungen
partielle zeitliche Ableitung tc
∂∂
zeitliche Veränderung an raumfestem Punkt
totale zeitliche Ableitung dtdz
zc
dtdy
zc
dtdx
xc
tc
dtdc
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
zeitliche Veränderung, wahrgenommen von einem beliebig bewegten Beobachter
(dtdz
dtdy
dtdx ,, sind nicht die Komponenten der Strömungsgeschwindigkeit!)
substantielle zeitliche Ableitung wzcv
zcu
xc
tc
DtDc
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
zeitliche Veränderung, wahrgenommen von einem mit Strömungsgeschwindigkeit bewegten Beobachter
Definitionen thermisch ideales Gas TRp ρ= kalorisch ideales Gas Tce v=
isentrop 0=DtDs (Entropie entlang einer Teilchenbahn konstant)
homentrop 0=∇s (Entropie überall gleich und konstant)
Schallgeschwindigkeit 321Gas ideales
2 TRpcs
κρ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂=
Machzahl cvM =
kritische Machzahl *
*cvM =
4
2 ERHALTUNGSSÄTZE Allgemeingültige Gleichungen Integrale Form
Vorraussetzung: keine Massenquellen/-senken
Masse ( )
( )( )
0=⋅+∂∂= ∫∫
tOtV
odvdVtdt
dM rrρρ
Impuls ( )( )
( )( )
OMtOtV
KKodvvdVtv
dtId rrrrr
rr
+=⋅+∂
∂= ∫∫ ρρ
Energie ( )
( )( )( )
( )( )( )
WOMtOtVtV
LLLodvvedVvet
dVEdtd ++=⋅+++
∂∂= ∫∫∫
rr2212
21 ρρρ
Index M / O / W : Masse / Oberfläche / Wärme
Differentielle Form zusätzliche Vorraussetzung.: Differenzierbarkeit
Masse 0=∂∂
+∂∂+
∂∂
i
i
ii x
vx
vt
ρρρ
Impuls ij
ji
ij
ij
i fxx
pxv
vtv ρ
τρρ +
∂∂
+∂∂−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
Energie ( ) ( )
wvfxq
xv
xpv
xEv
tE
iij
j
j
iji
j
j
ii ρρ
τρρ ++
∂∂
−∂
∂+
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂
ErhaltungssätzeFluidmechanik II
5
Navier-Stokes-Gleichungen Vorraussetzung.: thermisch und kalorisch ideales Gas, keine Wärmequellen/-senken, Newtonsches Fluid,
Fouriersche Wärmeleitung
Masse 0=∂∂
+∂∂+
∂∂
i
i
ii x
vx
vt
ρρρ
Impuls k
xji
ji
j
j
i
jij
ij
i
xv
xxv
xv
xxp
xv
vtv
∂∂
∂∂−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
∂∂+
∂∂−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂ δµµρρ
32
zusätzliche Vorraussetzung: inkompressibel ( .const=ρ ), konstante Zähigkeit ( .const=µ )
Masse 0=∂∂
i
i
xv
Impuls ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂∂+
∂∂−=
∂∂
+∂∂
j
i
jij
ij
i
xv
xxp
xv
vtv
ρµ
ρ1
Kartesische Koordinaten
x: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂−=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
2
2
2
2
2
21zu
yu
xu
xp
zuw
yuv
xuu
tu
ρµ
ρ
y: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂−=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
2
2
2
2
2
21zv
yv
xv
yp
zvw
yvv
xvu
tv
ρµ
ρ
z: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂−=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
2
2
2
2
2
21zw
yw
xw
zp
zww
ywv
xwu
tw
ρµ
ρ
Zylinderkoordinaten
r: ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂+
∂∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂+
∂∂−=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
2
2
22
2
2
2111zuv
ru
rrru
rrrp
zuwu
rv
ruu
tu
θθρµ
ρθ
θ : ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂+
∂∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂+
∂∂−=
∂∂++
∂∂+
∂∂+
∂∂
2
2
22
2
2
21111zvu
rv
rrrv
rrp
rzvw
ruvv
rv
rvu
tv
θθρµ
θρθ
z: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂+
∂∂−=
∂∂++
∂∂+
∂∂+
∂∂
2
2
2
2
2
11zww
rrwr
rzp
zww
ruvw
rv
rwu
tw
θρµ
ρθ
Kugelkoordinaten
r: +∂∂−=+−
∂∂−
∂∂+
∂∂+
∂∂
rp
rwvu
rwu
rv
ruu
tu
ρφθθ1
sin
22
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂−
∂∂−
∂∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂∂∂+
φθθθ
θφθθθ
θθρµ w
rv
ru
ru
rrur
rr sin2sin
sin2
sin1sin
sin11
222
2
222
2
2
θ : +∂∂−=+−
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
θρφ
φθθp
rrw
ruvv
rwv
rv
rvu
tv 11cot
sin
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂−
∂∂−
∂∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂+
φθθ
θφθθθ
θθρµ w
ru
rv
rv
rrvr
rr sincot22
sin2sin
sin111
222
2
2222
2
φ : +∂∂−=++
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
φθρφ
φθθp
rruw
ruvw
rww
rv
rwu
tw
sin11cot
sin
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂−
∂∂−
∂∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂+
φθθ
φθφθθθ
θθρµ v
ru
rw
rw
rrwr
rr sincot2
sin2
sin2sin
sin111
222
2
2222
2
Erhaltungssätze Fluidmechanik II
6
Eulersche Gleichungen
Vorraussetzung: thermisch und kalorisch ideales Gas, keine Wärmequellen/-senken, reibungs – und wärmeleitungsfrei, isentrop
Masse 0=∂∂
+∂∂+
∂∂
i
i
ii x
vx
vt
ρρρ
Impuls ij
ij
i
xp
xv
vtv
∂∂−=
∂∂
+∂∂
ρ1
Energie 0=∂∂+
∂∂
ii x
svts
Gasdynamische Grundgleichung zusätzliche Vorraussetzung: stationär
( ) ( ) ( ) 0222222 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂+
∂∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂+
∂∂−+
∂∂−+
∂∂−
xw
zuwu
zv
ywwv
yu
xvvu
zwcw
yvcv
xucu
Massen-, Impuls- und Energieerhaltung kombiniert, nur lösbar mit Kopplungsgleichung für u und v
Satz von Crocco ( ) sTvv ∇−=×∇× rr
jede drehungsfreie, stationäre, isoenergetische Strömung ist homentrop jede homentrope, stationäre, isoenergetische 2-D Strömung ist drehungsfrei
Potentialgleichung zus. Vorr.: homentrop
siehe Potentialströmung
7
3 SCHALLGESCHWINDIGKEIT Isentropie-Beziehungen
T-Beziehungen gelten allgemein Nomenklatur: „0“ – Ruhezustand; „1“ – beliebiger Zustand; „*“ – kritischer Zustand
bezogen auf lokale Machzahl
12
0 211
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+= M
TT κ
1
21
2
1
211
211
−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
−+=
M
M
TT
κ
κ
11
2
0 211
−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
κκρρ M
11
21
2
1
211
211
−−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
−+=
κ
κ
κ
ρρ
M
M
12
0 211
−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
κκ
κ Mpp
1
21
2
0
211
211
−−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
−+=
κκ
κ
κ
M
M
pp
aufgelöst nach M
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
−−
11
211
211
21
01
00κ
κκ
κρρ
κκ pp
TT
M
bezogen auf Referenz-Temperatur 1
00⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
TT
TT
11
00
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
κ
ρρ
TT
1
00
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
κκ
TT
pp
κ
ρρ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
00pp
analog für Zustandsänderungen: 1xx → , 20 xx →
bezogen auf kritischen Zustand
12*
0 +=
κTT sowie
21
00
**⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
TT
cc
11
0 12* −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+=
κ
κρρ
1
0 12 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+=
κκ
κpp
8
4 VERDICHTUNGSSTOß Variation der Ruhegrößen nach dem Stoß
( )( )1
121
1111
ˆ2
2
2
−+
+
−+−+
=M
MM
κκ
κκ
( )( )1ˆ
121
1ˆ111
2
2
2
−+
+
−+−+
=M
MM
κκ
κκ
00 T̂T =
( ) 1
2
11
2
0
0
0
0 111
2111
21ˆˆ −
−−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++==
κκ
κ
κκκ
ρρ
MM
pp
( ) ( ) 11
212
0 11
2121ˆ −
−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=κκ
κ
κκκ MM
pp
*ˆ* cc =
1*ˆ**ˆˆ
*=⋅=⋅ MM
cv
cv
Variation der statischen Größen nach dem Stoß
( )1
221
2 111111
121
ˆ −−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
+−+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+−= MM
M κκ
κρρ
( )11
21ˆ 2 −
++= M
pp
κκ
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++=== 2
22
2 111
2111
21ˆ
ˆˆˆ
MM
pp
cc
TT
κκ
κκ
ρρ
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−κκ
κκ
κκ
ρρ
22 11
1211
121ln
ˆˆ
lnˆ
MM
pp
css
v
Umrechnung M – M*
12
211
*2
22
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
=
κκ M
MM ( )1
111
*2
22
−+−+
=M
MM
κκ
( )1*2
11
*2
22
−−−=
M
MM κ
VerdichtungsstoßFluidmechanik II
9
Thermodynamische Stoßrelationen
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=−−
ρρ ˆ11
21
ˆ
ˆ
pphh
Rankine-Hugoniot-Relation
( )2
ˆˆˆ ppvvee −−=− (v: spezifisches Volumen)
von Kármán Relation
ρρκ
ρρ ++=
−−
ˆˆ
ˆˆ pppp
Hugoniotkurve
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−−+
−−+=
−−+−−+=
ρρ
ρρκκ
κρρκ
ρκρκρκρκ ˆ
ˆ11
1ˆ
1
ˆ111ˆ1ˆ
fpp
1ˆ
=ρρ : Funktionswert, 1. und 2. Ableitung identisch mit Isentrope
κ
ρρ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
00pp
10
5 LAVALDÜSEN Variation der Querschnittsfläche
11
21
21
2
1
1
211
211
−+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
−+=
κκ
κ
κ
M
M
MM
AA
( ) 11
21
2 11111
*−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+−+=
κκ
κκ M
MAA
( ) 11
2 1*2
11*
1*
−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−=
κκ MMA
A
022011 ** pApA ⋅=⋅
Massenstromdichte
Lavaldüsengleichung ( ) 11
2 1*2
11***
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−=
κκρ
ρ MMvv
11
6 POTENTIALSTRÖMUNG Vollständige Potentialgleichung
02121 2
2
2
2 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Φ∇⋅Φ∇+
∂Φ∂∇⋅Φ∇+
∂Φ∂−Φ∇⋅∇
ttc
mit Φ∇=vr
Instationär
( )ztzytyxtxtt
zxxz
yzzy
xyyx
zzz
yyy
xxx
c
cccccc
ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ=
=ΦΦΦ
−ΦΦΦ
−ΦΦΦ
−Φ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Φ−+Φ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Φ−+Φ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Φ−
2221
222111
2
2222
2
2
2
2
2
mit ( )tCdpt
rrr
=+Φ∇+∂Φ∂
∫ ρ2
21 ideales Gas: ( )tCp
t
rrr
=−
+Φ∇+∂Φ∂
ρκκ
121 2
Stationär
0222111 2222
2
2
2
2
2
=ΦΦΦ
−ΦΦΦ
−ΦΦΦ
−Φ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Φ−+Φ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Φ−+Φ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Φ− zx
xzyz
zyxy
yxzz
zyy
yxx
x
cccccc
Inkompressible Potentialgleichung (Laplace-Gleichung) es gilt: const== ∞ρρ , d.h. ∞== ∞cc
02
2
2
2
2
2
=∆Φ=∂
Φ∂+∂
Φ∂+∂
Φ∂=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂Φ∂
∂Φ∂
∂Φ∂⋅∇=Φ∇⋅∇
zyxzyx
T
Ebene, stationäre, inkompressible Potentialgleichung (2-D Laplace)
es gilt: const== ∞ρρ , d.h. ∞== ∞cc sowie 0=∂∂t
Massenerhaltung 0=∂∂+
∂∂
yv
xu
Drehungsfreiheit 0=∂∂−
∂∂
yu
xv
Potentialfunktion und Stromfunktion
Potentialfunktion ( )yx,Φ : x
u∂Φ∂= ,
yv
∂Φ∂= (Bedingung der Drehungsfreiheit)
Stromfunktion ( )yx,Ψ : y
u∂Ψ∂= ,
xv
∂Ψ∂−= (Bedingung der Massenerhaltung)
Eigenschaften: Stromlinien .const=Ψ und Potentiallinien .const=Φ bilden ein orthogonales Netz .const=Ψ entlang des umströmten Körpers 0=Φ∇=vr in allen Staupunkten
Potentialströmung Fluidmechanik II
12
Allgemeine Lösungsmethoden Komplexes Potential ( ) ( ) ( )yxiyxzF ,, Ψ+Φ=
Winkel in der Quellenfunktion ist Winkel zwischen der x-Achse und dem Vektor von der Quelle/Senke zum relevanten Punkt P(x,y)
PotentialströmungFluidmechanik II
13
Dickenparameter lhmax2=τ (h: Höhe des Halbkörpers)
Druckkoeffizient 2
2
22
1∞∞
∞ −=−
=v
v
vppc p r
r
rρ
Singularitätenverfahren schlanke Körper, d.h. 1<<τ
Störpotential ( ) ( ) ( )
( )∫ +−
−=
−=
∞
∞
∞
lO
x dyx
ddh
x
uuyxu
uyx
022
1,, ξξ
ξξ
πϕ
( ) ( )
( )∫ +−==
∞∞
lO
y dyx
ddh
y
uyxv
uyx
022
1,,ξ
ξξ
πϕ
auf Profiloberfläche ( ) ( )
∫ −=
−=
∞
∞
∞
lO
x dxddh
uuxu
ux
0
10,0, ξξ
ξπ
ϕ
Anstellungseffekt ( ) ( ) ( )∫ −=−= ∞
l
x dx
ynuyxuyx0
arctan21,, ξ
ξξ
πϕ
Anstellungseffekt mit Kutta-Joukowski-Bedingung
Oberseite ( )
xx
uuxuO −=
−
∞
∞ 10, ε
Unterseite ( )
xx
uuxuU −−=
−
∞
∞ 10, ε
Anstellungswinkel ε
Auftriebskoeffizient περ
212
2
=⋅
=∞ bu
Fc y
p (Tiefe b, Einheitslänge l=1)
14
7 FANNO-ROHR kompressible, reibungsbehaftete Rohrströmung mit konstantem Rohrquerschnitt
allgemeine Lösung ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
++−
=2
12
2
22
21
21
22
21
22
211
211
ln2
114MM
MM
MMMM
DLchydr
f κ
κ
κκ
κ
(stetige Zustandsänderung von M1 nach M2 )
maximale Rohrlänge ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
+++−
=2
1
21
21
21max
2112
1ln2
1114M
MM
MDL
chydr
f κκ
κκ
κ
(stetige Zustandsänderung von M1 nach M2=1 ) hydraulischer Durchmesser UADhydr 4=
Abschätzung Wandschubspannungskoeffizient: 3102 −⋅≈fc
bzw. nach Blasius: lfc Re328,1≈ (für 65 10Re105 <=<⋅ ∞
υlu
l )
Entwicklung der Lösung
für M<<1 21
max 141
McDL
fhydr κ≅
für M>>1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+−+−≅
11ln
211
41max
κκ
κκ
κfhydr cDL
Änderung der Zustandsgrößen
15
8 PROFILUMSTRÖMUNG IM LINEAREN ÜBERSCHALL stationäre, schwach kompressible 2D-Potentialströmung
Störpotential ( ) 01 2 =+− ∞ yyxxM ϕϕ (Beschränkung auf lineare Störglieder)
elliptisch für 1>∞M hyperbolisch für 1>∞M
1
1tan2 −
==∞Mdy
dxα
oder
∞∞
∞ ==Mu
c 1sinα
Ackeret-Formel ( )1
'2 −
=−
∞∞
∞
M
xhu
uum
Druckkoeffizient ∞
∞−−=
uuuc p 2 (lineare Approximation)
Widerstandskoeffizient ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
⋅=
∞∞
1
0
2
22 1
41
dxdx
dhMbu
Fc Ox
w ρ (Tiefe b, Einheitslänge l=1)