AK6083 Manajemen Risiko Kuantitatif

Referensi:

McNeil, Frey, Embrechts (2005), Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques

and Tools

Silabus:

Seputar risiko dan volatilitas

Peubah acak dan fungsi distribusi

Rantai Markov

Model risiko diskrit dan kontinu

Prediksi risiko dan keakuratan prediksi

Agregasi risiko

Risiko operasional

Model berbasis Copula

20/01/2016 Risiko dalam berbagai perspektif dan “Notasi” Risiko

Dari perspektif manajemen, risiko adalah kegagalan dalam tindakan manajerial atau sistem.

Risiko adalah sebuah bisnis yang memungkinkan seseorang atau perusahaan mendapatkan

keuntungan.

Secara statistik, risiko adalah kerugian yang bersifat probabilistik atau tidak pasti. Mengukur

atau menghitung risiko artinya menentukan peluang nilai suatu peubah acak. Ukuran risiko yang

umum dipakai adalah volatilitas.

Volatilitas suatu aset pada suatu waktu 𝑡 adalah fungsi dari observasi (dan volatilitas) sampai

pada waktu sebelumnya

Referensi: McNeil dkk (2005), Christoffersen dan Diebold (2000), So dan Yu (2006), Engle dan

Patton (2001), Giot dan Laurent (2004), Chirstoffersen dan Goncalves (2005)

Notasi:

Peubah acak 𝑉𝑡 merupakan fungsi dari waktu dan faktor risiko: 𝑉𝑡 = 𝑓(𝑡, 𝑍𝑡)

Distribusi (𝑉𝑡+1 − 𝑉𝑡) sebagai distribusi PL (profit-and-loss)

Distribusi 𝐿𝑡+1 = −(𝑉𝑡+1 − 𝑉𝑡) sebagai distribusi kerugian (loss)

Peubah acak 𝑉𝑡 untuk menghitung risiko sering kali menyatakan return suatu aset ataupun

nilai/harga (kerugian) suatu aset. Jelaskan!

Diskusi:

Dapatkah kita memanfaatkan definisi lain tentang risiko dan mengukur risiko dengan melibatkan

distribusi return?

26-27/01/2016 Kerugian acak, ukuran dan model risiko

Risiko dapat dipandang secara “kualitatif” atau “kuantitatif”. Pandangan yang pertama seringkali

dilakukan banyak orang karena kemudahan dalam mengungkapkan/menjelaskan. Sebagai

contoh, seseorang mengatakan “hidup itu penuh risiko”. Apa maksudnya? Boleh jadi orang

tersebut akan bernarasi dengan panjang lebar. Risiko secara kuantitatif lebih sulit dijabarkan

karena bersifat matematik dan harus dapat dipertanggungjawabkan secara ilmiah. Secara khusus,

pandangan risiko yang kedua mengharuskan kita belajar peubah acak dan peluang.

Model risiko yang mungkin adalah sebagai berikut. Misalkan 𝑃𝑡 menyatakan harga aset pada

waktu 𝑡. Risiko atau loss pada waktu 𝑡 + 1 adalah 𝐿𝑡+1 = −(𝑃𝑡+1 − 𝑃𝑡).

Bagaimana distribusi peluang dari 𝑃𝑡 atau 𝑃𝑡+1dan 𝐿𝑡+1 ? (Diskusi/PR)

Perhatikan model risiko berikut:

𝐿𝑡+1 = 𝜀𝑡+1 ; dengan 𝜀𝑡+1 ∼ 𝑁(0,1)

𝐿𝑡+1 = 𝜎𝜀𝑡+1 ; 𝐿𝑡+1 = 𝜀𝑡+1; dengan 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑡+1) = 𝑓(𝜎𝑡+1

2 )

Dipunyai proses stokastik {𝐿𝑡}; dengan data yang tersedia 𝐿1, 𝐿2, … , 𝐿𝑛.

Ukuran risiko pada waktu 𝑛 + 1 pada tingkat 𝛼 adalah Value-at-Risk, 𝑉@𝑅𝐿𝑛+1|⦁𝑛+1 (𝛼).

Keakuratan 𝑉@𝑅 dapat dilakukan dengan memperhatikan peluang cakupan:

𝑃(𝐿𝑛+1 ≤ 𝑉@𝑅𝐿𝑛+1|⦁𝑛+1 (𝛼)| ⦁)

bernilai eksak atau mendekati 𝛼.

Diskusi:

Dapatkah keakuratan ukuran risiko 𝑉@𝑅𝐿𝑛+1|⦁𝑛+1 (𝛼) merujuk pada fungsi distribusi atau fungsi

peluang bersyarat (baca: rantai Markov) ?

2-3/02/2016 Keakuratan ukuran risiko: fungsi distribusi dan rantai Markov

Keakuratan ukuran risiko dapat dinyatakan dengan berbagai cara bergantung metode

mendapatkan ukuran risiko tersebut. Untuk barisan peubah acak 𝐿1, 𝐿2, … , 𝐿𝑛, maka ukuran

risiko 𝑉@𝑅𝐿𝑛+1|⦁𝑛+1 (𝛼) diperoleh dengan memanfaatkan invers fungsi distribusinya. Dengan

demikian, kita dapat menggunakan fungsi kesintasannya untuk mengukur keakuratan ukuran

risiko tersebut. Sejatinya, dengan metode historical simulation, kita dapat mendapatkan

𝑉@𝑅𝐿𝑛+1|⦁𝑛+1 (𝛼) dengan mengurutkan barisan peubah acak 𝐿1, 𝐿2, … , 𝐿𝑛. Dengan kata lain, kita

bangun statistika terurut 𝐿(1) ≤ 𝐿(2) ≤ ⋯ ≤ 𝐿(𝑛) dan menentukan distribusi statistik terurut ke-𝑘

sehingga 𝐹(𝑙(𝑘)) = 𝛼.

Metode lain untuk menguji keakuratan 𝑉@𝑅𝐿𝑛+1|⦁𝑛+1 (𝛼) adalah dengan mendefinisikan fungsi

indikator untuk nilai 𝐿𝑛+1 jika lebih (atau kuran) dari ukuran risiko 𝑉@𝑅𝐿𝑛+1|⦁𝑛+1 (𝛼) :

𝐼𝑛 = {1; 𝐿𝑛+1 ≥ 𝑉@𝑅𝐿𝑛+1|⦁

𝑛+1 (𝛼),

0; 𝐿𝑛+1 < 𝑉@𝑅𝐿𝑛+1|⦁𝑛+1 (𝛼).

Perhatikan matriks peluang transisi untuk proses stokastik {𝐼𝑡},

𝑃 = (𝜋00 𝜋01

𝜋10 𝜋11),

dimana 𝜋𝑖𝑗 = 𝑃(𝐼𝑡+1 = 𝑗|𝐼𝑡 = 𝑖); 𝑖, 𝑗 = 0,1.

Diskusi:

Mungkinkah proses {𝐼𝑡} bersifat iid ?

Tentukan nilai 𝜋𝑖𝑗

9-10/02/2016 Keakuratan ukuran risiko: fungsi distribusi dan rantai Markov

Perhatikan data kerugian acak berikut:

{𝐿𝑡, 𝑡 = 1,2, … , 10} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Kita dapat menentukan prediksi risiko �̂�11atau �̂�𝑛+1(dengan 𝑛 = 10) atau 𝑉@�̂�𝛼

𝑛+1(𝐿1, … , 𝐿𝑛)

dengan memanfaatkan model/distribusi yang bersesuaian. Jika kita telah mendapatkan nilai

prediksi �̂�𝑛+1 atau 𝑉@�̂�𝛼𝑛+1(𝐿1, … , 𝐿𝑛), kita dapat menunjukkan seberapa dekat nilai tersebut

dengan nilai 𝐿𝑛+1.

Kita dapat melakukan proses diatas untuk prediksi selama 𝑘 hari kedepan atau �̂�𝑛+𝑘 yang

dilakukan setiap hari (bukan prediksi 𝑘 hari kedepan). Selanjutnya, keakuran prediksi �̂�𝑛+1 atau

𝑉@�̂�𝛼𝑛+1(𝐿1, … , 𝐿𝑛) dapat kita tentukan.

Diskusi:

Apabila nilai kerugian acak 𝑟10 = 100 atau lebih, apa yang dapat kita katakan tentang nilai

prediksi �̂�𝑛+1 atau 𝑉@�̂�𝛼𝑛+1(𝐿1, … , 𝐿𝑛) ? Bagaimana dengan keakuratan prediksi tersebut?

Pandang model kerugian:

𝐿𝑡 = 𝛼1𝐿𝑡−1 + 𝜀𝑡; 𝜀𝑡 ∼ 𝑁(0, 𝜎2). Misalkan data yang tersedia 𝐿1, … , 𝐿𝑛. Prediksi kerugian satu langkah kedepan atau �̂�𝑛+1 atau

𝑉@�̂�𝛼𝑛+1(𝐿1, … , 𝐿𝑛) dapat diuji keakuratannya dengan menentukan peluang cakupan atau

(coverage probability)

𝑃(𝐿𝑛+1 ≤ 𝑉@�̂�𝛼𝑛+1(𝐿1, … , 𝐿𝑛)|⦁)

= 𝑃(𝛼1𝐿𝑛 + 𝜀𝑛+1 ≤ �̂�1𝐿𝑛 + 𝑘𝛼 �̂�|⦁)

= Φ (�̂� − 𝛼

𝜎 𝐿𝑛 + 𝑘𝛼

�̂�

𝜎 ⃒ ⦁)

Diskusi:

Bagaimana kita menentukan peluang diatas ?

Dapatkah kita bandingkan dengan CMOPE: 𝐸((𝑉@�̂�𝛼𝑛+1(𝐿1, … , 𝐿𝑛) − 𝐿𝑛+1)

2|⦁) ?

Diskusi:

“Sketsalah” beberapa pertanyaan bermutu tentang risiko, prediksi risiko dan yang bersesuaian!

Berikan jawaban intuitif, analitik dan numerik!

16,24/02/2016 Model prediksi kerugian acak diskrit

Prediksi kerugian acak diskrit relevan dengan sesuatu yang bersifat “banyaknya” (dalam jumlah

kecil atau low count). Salah satu model yang tepat adalah model INAR (integer-valued

autoregressive):

𝐿𝑡 = 𝛼 ∘ 𝐿𝑡−1 + 𝜀𝑡, dengan 𝛼 ∘ 𝐿𝑡 = 𝐵1 + ⋯ + 𝐵𝐿𝑡

adalah peubah acak binomial dengan parameter (𝑟𝑡, 𝛼) dan 𝜀𝑡

berdistribusi diskrit tertentu (sebut distribusi Poisson).

Diskusi:

Apa dapat kita katakan tentang mean dan variansi (bersyarat) untuk 𝐿𝑡 ?

Tentukan prediktor terbaiknya!

Perhatikan referensi Wang (2008), Syuhada, Alzaid dan Djemili (2015).

1-2/03/2016 Prediksi risiko dan fungsi distribusi bersyarat/bersama

Prediksi kerugian acak atau risiko pada suatu model dapat dilakukan dengan menentukan

distribusi risiko pada waktu risiko akan diprediksi. Misalkan kita telah memiliki risiko pada

waktu 𝑡 = 1, … , 𝑛, maka kita perlu menghitung fungsi peluang/distribusi risiko pada waktu 𝑡 =𝑛 + 1. Selanjutnya risiko dapat diukur dengan ukuran risiko yang kita inginkan.

Misalkan risiko dinyatakan dalam peubah acak 𝐿𝑡 yang merupakan komponen dari model

stokastik autoregressive (AR):

𝐿𝑡 = 𝛼1𝐿𝑡−1 + 𝜀𝑡. Kita dapat dengan mudah menentukan distribusi bersyarat 𝐿𝑛+1|𝐿𝑛, untuk selanjutnya

menghitung ukuran risiko VaR atau yang lain.

Perhatikan bahwa fungsi peluang bersyarat 𝑓𝐿𝑛+1|𝐿𝑛 dapat diperoleh dengan memanfaatkan

fungsi peluang bersama 𝑓𝐿𝑛+1,𝐿𝑛.

Diskusi:

Fungsi peluang bersama seringkali tidak dapat kita peroleh dengan mudah atau memiliki bentuk

yang rumit. Adakah cara/bentuk lain dari fungsi peluang bersama yang mudah dipahami?

Petunjuk: Copula

8/03/2016 Risiko dalam “presentasi”

Risiko dapat dipahami melalui berbagai kejadian/kenyataan yang ditemui sehari-hari. Risiko

dalam bidang asuransi dan keuangan adalah hal biasa. Mempelajari risiko dalam bidang sosial

(hukum, bahasa) dan mengkuantifikasi ke peubah acak yang tepat boleh jadi merupakan “hal

baru”.

Diskusi:

Dapatkah anda menjelaskan dalam kalimat yang baik (presentasi) untuk konsep risiko dan

ukuran risiko?

15-16/03/2016 “Risiko dalam riset” (kuliah khusus M-9)

Riset tentang risiko dan ukuran risiko terus berkembang. Hal ini terjadi karena tidak adanya

kesepakatan dalam menghitung komponen utama risiko yaitu volatilitas.

22-23/03/2016 Ukuran keyakinan dalam mengukur risiko

Referensi:

Christoffersen dan Diebold (2000)

Kr�̈�mer dan Wied (2015)

29-30/03/2016 Ukuran keyakinan dalam ekspektasi bersyarat

Referensi:

Kabaila (1999)

Kabaila dan Syuhada (2008)