CÁLCULO INTEGRAL
Fórmula de Trapecios Integración Aproximada
Carlos Alberto Julián Sánchez
Estudiante de Ingeniería Mecatrónica
Introducción:
Para empezar hablar de la fórmula de trapecios debemos determinar un función
( )y f x , ya que el área aproximada estará limitada por la curva en un intervalo [ , ]a b
esto está dado por:
1 2
1 1( ) ( ) ( ) ( )
2 2o nA f x f x f x f x x
donde: ,o nx a x b
n = número de partes iguales en las que se divide el intervalo [ , ]a b .
También debemos de saber que:
b ax
n
Es la longitud de cada parte.
Ahora pasemos a resolver el primer ejemplo:
Ejemplo 1:
Calcula
3
2
1
x dx utilizando la fórmula del trapecio, dividiendo el intervalo [1,3] , en 5
partes iguales.
Solución:
Necesitamos tres datos importantes que son:
1
3
5
o
n
x
x
n
Ahora encontremos la longitud de cada parte con la fórmula dada:
3 1 20.4
5 5
b a
n
De aquí elaboraremos una tabla que contendrá cada valor de incremento de longitud
y el valor que merece la función para poder aplicar la fórmula de trapecios.
Entonces determinamos las Ordenadas de los puntos mediante la función original que
es 2y x
nx 1 1.4 1.8 2.2 2.6 3
( )nf x 1 1.96 3.24 4.86 6.76 9
Observemos que el incremento de nx va de 0.4 que es la longitud, y los valores de
( )nf x son los valores del cuadrado de cada nx ya que la función es cuadrada hasta
llegar al límite superior.
Teniendo lo siguiente, optemos por encontrar el área.
2
1 1(1) 1.96 3.24 4.84 6.76 (9) (0.4)
2 2
(.5 1.96 3.24 4.84 6.76 4.5)(0.4)
(21.8)(0.4)
8.72
A
A
A
A u
Ahora veamos otro ejercicio para dejar más claro el método de trapecios.
Ejemplo 2:
Calcula
4
2
(2 1)x dx utilizando la fórmula del trapecio, dividiendo el intervalo [2,4] ,
en 8 partes iguales.
Solución:
Busquemos nuestros tres datos sobresalientes para poder aplicar la fórmula, así que
por ende los datos son:
2
4
8
o
n
x
x
n
Con los cuales obtendremos la longitud de cada parte 4 2 2 1
0.258 8 4
Determinamos las ordenadas de los puntos mediante la función (2 1)y x esto hará
que nuestra tabla se mire así:
nx 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4
( )nf x 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
Apliquemos la fórmula de trapecios para obtener el área en el intervalo [2,4]
2
1 1( (3) 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 (7))(0.25)2 2
(1.5 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.6 3.5)(0.25)
(40.1)(0.25)
10.0
A
A
A
A u
Ejemplo 3:
Calcula
5 2
2
( )2
xdx utilizando la fórmula del trapecio, dividiendo el intervalo [2,5] , en 6
partes iguales.
Solución:
Coloquemos nuestros 3 datos importantes.
2
4
5
o
n
x
x
n
Con los cuales se obtiene precisamente nuestra longitud 5 2 3 1
0.56 6 2
Luego determinando las ordenadas de los puntos mediante nuestra función 2
2
xy
nx 2 2.5 3 3.5 4 4.4 5
( )nf x 2 3.125 4.5 6.125 8 10.125 12.5
Aplicando nuestra fórmula de trapecios
2
1 1( (2) 3.125 4.5 6.125 8 10.125 (12.5))(0.5)2 2
(1 3.125 4.5 6.125 8 10.125 6.25)(0.5)
(39.125)(0.5)
19.5625
A
A
A
A u
Resuelve los siguientes problemas:
/2
2 2
0
1
2 3 2
1
5 32
0
2
3 2
2
5; : 0.7385
4; :0.836
8; :2.4134
8 10; 10.884
sen x dx con n solución u
x x dx con n solución u
xdx con n solución u
x
x dx con n solución u
PD: Las soluciones estarán en el blog.