I.E.S. COMERCIO Nº 32 “MHC” AURELIO JAÑO C.
I) FORMULARIO DE TRIGONOMETRÍA
1. Sistemas de medición angular.
Sistema Una vuelta Equivalencias
Sexagesimal
(S)360º 1º = 60 ’ 1 ’ = 60 ” 1º = 3600 ”
Centesimal
(C)400 g 1 g = 100 m 1 m = 100 s 1 g = 10000 s
Radial
(R)2π rad
1 Rad = ángulo central cuyo arco es igual a
su r
2. Ángulos coterminales
α y β son coterminales si:
Donde:
n ∈ Ζ 3. Longitud de arco y sector circular
4. Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
2
L = Longitud de arco
A s = Área del sector circular
θ = Ángulo central (en Rad)
R = Radio mayor
r = Radio menor
Tc = Área del trapecio circular
B
a
C
c
bA
S: α − β = n (360 º )
C: α − β = n (400 g )
R:
L = θ r
A 5 =θ r2
2= L r
2= L2
2 θ
T c = [ L1 + L2
2 ] (R − r )
180 ° = 200 g = π
90 ° = 100 g= π2
270 ° = 300 g= 3 π2
180 ° = 200 g = π
Sen A = cateto opuestohipotenusa
= ac
Cos A = cateto adyacentehipotenusa
= bc
Tg A = cateto opuestocateto adyacente
= ab
¿ zvzv…?
TRIGONOMETRÍA FORMULARIO
5. Razones Trigonométricas Recíprocas.
6. Razones trigonométricas de ángulos complementarios.
7. Triángulo Pitagórico.
Donde: m , n ε Ζ+ m > n
8. Razones trigonométricas de triángulos notables
a) Con valores exactos.
3
B
a
C
c
bA
2 mn
(m2 - n2)
(m2 + n2)
1
1
√245 º
45 º
1 67 º 30’
22 º 30’
√4 + 2 √2
√2 + 1
60 º
30 º
√3
12
B
a
C
c
bA
Sen A = cateto opuestohipotenusa
= ac
Cos A = cateto adyacentehipotenusa
= bc
Tg A = cateto opuestocateto adyacente
= ab
Sen A . Csc A = 1Cos A . Sec A = 1 Tg A . Ctg A = 1
Sen A = Cos BTg A = Ctg BSec A = Csc B
75 º
7
5 √21
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b) Con valores aproximados.
c) Tabla resumen R.T.
Sen Cos Tg Ctg Sec Csc
8º10
2 7√210
17
75√2
7 5 √2 82º
14º √1717
4 √1717
14
4 √174 √17 76º
15º √6 − √24
√6 + √24
2 − √3 2 + √3 √6 − √2 √6 + √2 75º
16º7
252425
724
247
2524
257
74º
18º √5 − 14
√10 + 2√54
√25 − 10√55 √5 + 2√5 √50 − 10√5
5 √5 + 1 72º
4
2 + √3
15 º
3
√101 71 º 30’
18 º 30’
2
√51 63 º 30’
26 º 30’
√6 + √2172º
5
√343
59 º
31º
4
53
53 º
37 º
24
25
774 º
16 º
15
17
8 62 º
28 º
82 º
8 º
4
√5− 118º
√10 + 2 √5
72 º
4
√171
76 º
14 º
TRIGONOMETRÍA FORMULARIO
R.T.Sen Cos Tg Ctg Sec Csc
18º 30’ √1010
3√1010
13
3 √103 √10
71º 30’
22º 30’ √2−√22
√2 +√22 √2− 1 √2 + √2 √2 √2−√2 √2 √2+√2
67º 30’
26º 30’ √55
2√55
12
2 √52
563º 30’
28º8
171517
815
158
1715
178
62º
30º12
√32
√33 √3
2√33
2 60º
31º3√3434
5√3434
35
53
√345
√343
59º
37º35
45
34
43
54
53
53º
45º √22
√22
1 1 √2 √2 45º
Cos Sen Ctg Tg Csc Sec R.T.
9. Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
5
Y
X
P (x,y)
rαyx
Sen α = ordenada de Pradio vector
= yr
Cos α = abscisa de Pradio vector
= xr
Tg α = ordenada de Pabscisa de P
= yx
Ctg α = abscisa de Pordenada de P
= xy
Sec α = radio vectorabscisa de P
= rx
Csc α = radio vectorordenada de P
= ry
Coordenadas(x,y)
Las R.T. de la parte inferior se leen con los ángulos de la columna
derecha
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10. Signos de las razones trigonométricas en los cuatro cuadrantes.
11. Variación de los valores de las razones trigonométricas.
a) −1 ≤ ¿ ( sen α ¿ ) ¿
¿¿
b) − α < ¿ ( tg α ¿ ) ¿
¿¿
c)
(sec α ¿ )¿¿
¿¿
12. Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales.
ÁNGULO R.T. 90º =
π2
180º = π
270º = 3π2
360º = 2π
= 0º
6
-1 1
+ - - 11
-
- +
+ 1
-1
+
+ Cos Sec
+ Sen Csc0º
360º180º
270º
90º
CV
T
S P
+ Tg Ctg
Cuadrante R.T. I II III IV
Seno + + - -Coseno + - - +Tangente + - + -Cotangente + - + -Secante + - - +Cosecante + + - -
TRIGONOMETRÍA FORMULARIO
Seno 1 0 - 1 0
Coseno 0 - 1 0 1
Tangente Indef. 0 Indef. 0
Cotangente 0 Indef. 0 Indef.
Secante Indef. - 1 Indef. 1
Cosecante 1 Indef. - 1 Indef.
13. Razones trigonométricas de ángulos negativos.
14. Identidades trigonométricas fundamentales:
a) Recíprocas.
7
¿Por qué no cambiansus signos?
Sen α = 1Csc α
Tg α = 1Ctg α
…
Sen (- ) = - Sen
Cos (- ) = Cos
Tg (- ) = - Tg
Ctg (- ) = - Ctg
Sec (- ) = Sec
Csc (- ) = - Csc
Sen csc 1 Tg ctg 1Cos sec 1
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b) Por división.
c) Pitagóricas.
Sen 2 1 - cos 2
Sec 2 1 + tg 2
Csc 2 1 + ctg 2
d) Identidades auxiliares.
15. Funciones trigonométricas. de la suma o diferencia de dos ángulos.
16. Funciones trigonométricas del ángulo doble.
8
sen 2 α = 2 sen α cos α
cos 2 α = cos2 α − sen2 α
= 1− 2 sen2 α¿ 2 cos2 α − 1
tg α = sen αcos α
ctg α = cos αsen α
Sen 2 + cos 2 1
Sec 2 - tg 2 1
Csc 2 - ctg 2 1
Sen 4 + Cos 4 1 - 2 Sen 2 Sos 2
Sen 6 + Cos 6 1 - 3 Sen 2 Cos 2
Tg + Ctg Sec Csc
Sec 2 + Csc 2 Sec 2 Csc 2
1 Sen Cos 2 2 (1 Sen ) (1 Cos
)
sen (α ± β ) = sen α cos β + cos α sen β
cos (α ± β ) = cos α cos β − sen α sen β
tg (α ± β ) = tg α ± tg β1 ∓ tg α tg β
ctg (α ± β ) = ctg α ctg β ∓ 1ctg β + ctg α
2 + tg
1 – tg 2
1 + tg 2
TRIGONOMETRÍA FORMULARIO
17.Funciones trigonométricas del ángulo triple.
Fórmulas Especiales: Fórmulas de Degradación:
Propiedades:
18. Funciones trigonométricas del ángulo mitad.
9
sen 2 α = 2 sen α cos α
cos 2 α = cos2 α − sen2 α
= 1− 2 sen2 α¿ 2 cos2 α − 1
Cot θ+Tgθ=2Csc 2θCot θ−Tgθ=2Cot 2θ
Sen4 θ+Cos4θ=34+ 1
4Cos4θ
Sen6θ+Cos6 θ=58+3
8Cos4θ
OTRAS IDENTIDADES
sen 3 α = 3 sen α − 4 sen 3 α
cos3 α = 4 cos 3 α − 3 cos α
tg 3 α = 3 tg α − tg 3 α1 − 3 tg 2 α
cos 3 αcos α
= 2 cos 2α − 1
ctg 3 α = 3 ctg α − ctg 3 α1− 3 ctg 2 α
sen 3 αsen α
= 2 cos2 α + 1
Sen 3x=Sen x (2 Cos 2 x+1 )Cos 3 x=Cos x (2 Cos 2x−1 )
4 Sen3 x=3 Sen x−Sen 3x4 Cos3 x=3 Cos x+Cos x
4 Sen x Sen (60 °−x ) Sen (60 °+ x ) = Sen 3 x4 Cos x Cos (60 °−x ) Cos (60°+ x ) = Cos 3Tg x Tg (60 °−x ) Tg (60°+ x ) =Tg 3 x
Memorizaré
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19. Transformaciones trigonométricas
a) De suma o diferencia a producto
b) De producto a suma o diferencia.
20. Reducción al primer cuadrante.
De II I De III I De IV I
10
sen (α2 ) =± √ 1 − cos α2
cos (α2 ) = ± √ 1 + cos α2
tg (α2 ) = csc α − ctg α
tg (α2 ) = ± √ 1− cos α1 + cos α
ctg (α2 ) = csc α + ctg α
ctg (α2 ) =± √ 1 + cos α1− cos α
sen X + sen Y = 2 sen ( x + y2 ) cos ( x − y
2 )
sen X − sen Y = 2 cos ( x + y2 ) sen ( x − y
2 )cos X + cos Y = 2 cos ( x + y
2 ) cos ( x − y2 )
cos Y − cos X = 2 sen ( x + y2 ) sen ( x − y
2 )2 sen A cos B = sen (A + B) + sen (A –
B)
2 cos A sen B = sen (A + B) - sen (A –
B)
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A –
B)
α180º - α
α
2 -
TRIGONOMETRÍA FORMULARIO
F.T. () = F.T. (180º - ) F.T. () = F.T. ( - 180º) F.T. () = (360º - )
(Al segundo miembro asigna (+) ó (-) según el cuadrante en que se encuentra el lado terminal del ángulo)
21. Funciones trigonométricas de la forma (ángulo cuadrante )
F.T. [ (2n + 1) 90º ] = Co - F.T. ( )
F.T. [ (2n) 90º ] = F.T. ( )
22.Sumatoria de senos y cosenos de ángulos en progresión aritmética
Si: P Primer ángulo
U último ángulon número de términosr razón de la P.A.
sen2º + sen4º + sen6º + sen8º + ……….… + sen46º + sen48º
= ∑k=1
24
sen (2k )° =
sen (24 . 2 º2 )
sen (2 º2 )
sen( 2 º+48 º
2 )= sen 24 ºsen 1 º
sen 25 º
11
y
x
[-90°]
[-270°]
[-180°]3/2 - 3/2 +
/2 - /2 +
- +
Donde: ( n Z ),
0 º < α < 90º
α – 180ºα
360º - α
[-360°]
Sumatoria de senossen + sen( + r) + sen( + 2r) + ... +sen( + (n-1)r) =
sennr2
senr2
cos(P+U2 )
Sumatoria de cosenoscos + cos( + r) + cos( + 2r) + .. + cos( + (n – 1)r) =
cosnr2
cosr2
cos( P+U2 )
Análisis del seno ( y = Sen x )
a) La curva sinodal es continua sobre el eje “x”
(en todo su dominio).
b) Extensión:
* Dominio: R <- + >
* Rango: [-1; 1] -1 Sen x 1
* Período (T = 2) Sen x = Sen (x+2)
* Frec. Angular (w) w = 2π
T
c) Variación:
IQ (0 1)IIQ (1 0)
IIIQ (0 -1) IVQ (-1 0)
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n =
tn−t1
r+1 ⇒ n=48−2
2+1 ⇒ n=24
Cos4º + cos8º + cos12º + … + cos44º + cos48º
= ∑k = 1
12
sen (4 k )° =
sen (12 . 4 º2 )
sen( 4 º2 ) cos
( 4 º+48 º2 )
= sen 24 ºsen 2º
. cos26 º
n = 48−4
4+1 ⇒ n=12
Observación:
∑i=1
n
Sec 3 i x = sec2x + sec6x + sec9x + ... + sec3nx
∑i =1
n1
1+Sen (ix ) =
11+sen x
+ 11+sen 2 x
+ 11+sen 3x
+..+ 11+sen nx
Propiedades
cos
πn + cos
3πn + cos
5πn + ... + cos
(n−2)πn =
12
cos
2πn + cos
4 πn + cos
6πn + ... + cos
(n−1)πn = -
12
n Z+ ; impar > 1
23. Gráfica de funciones trigonométricas
a) (seno - cosecante)
12
y = Cscx
y = Senx X
Y
-1
0
1
Análisis del coseno ( y = Cos x )
a. La curva cosenoidal es continua sobre el eje “x”
(en todo su dominio).
b. Extensión:
* Dominio: R <- + >
* Rango: [-1; 1] -1 Cos x 1
* Periodo (T = 2) Cos x = Cos (x+2)
* Frec. Angular (w) w= 2π
T=2 π f (w = )
c. Variación:
IQ (1 0)IIQ (0 -1)
IIIQ (-1 0) IVQ (0 1)
TRIGONOMETRÍA FORMULARIO
b) (coseno - secante)
c) (tangente -
cotangente)
24.Funciones auxiliares:
Función Verso de Vers α = 1 − Cos α
13
y = Secx
y = Cosx
X
Y
-1
0
1
y = Tgx
y = Ctgx
X
Y
-1
0
1
Análisis de la tangente (y = Tgx)
b) La curva tangente es discontinua
sobre el eje “x” (en su dominio) en:
{π2
,3π2
,5 π2
, .. .(2n−1) π
2/ (n∈Z )}
c) Extensión:
* Dominio: {R−
(2n−1)π2
/(n∈Z )}
* Rango: R ó <- ; + > - < Tg x <+
* Período (T = ) Tg x = Tg (x+)
* Frec. Angular (w) w =2π
T=2 π f (w = )
d) Variación:
IQ (0 +) IIQ (- 0)
IIIQ (0 +) IVQ (- 0)
F(x) = y = Tg x
0
y
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Función Coverso de Cov α = 1 − Sen α
Función Ex Secante de Ex Sec α = Sec α − 1
25. Funciones trigonométricas inversas
a) Función Seno inverso b) Función coseno
inverso
c) Función Tangente Inversa d) Función Cotangente Inversa
e) Función Secante Inversa f) Función Cosecante Inversa
14
Si, sen x = a → x = sen - 1 a x = arc sen a
Asíntota
Asíntota
y
x0
y
xAsíntota
y
0
0
x
π
1-1
Asíntota
1
x-1
0
xAsíntota
y
-1
1
y
0-1
1x
π2
π2
− π2
ππ2 π
2−π
2
π2
π2
π
− π2
TRIGONOMETRÍA FORMULARIO
g) Dominio y rango
h)
Propiedades
1) F.T.[Arc F.T.(x)] = x x Dom. (Arc F.T.)
2) Arc F.T.[F.T.()] = Ran. (Arc F.T.)
3) a) ArcF.T.(x) + Arc C.F.T.(x), Si x 0 y x Dom. (Arc F.T.)
b) Arc Sen x + Arc Cos x =
π2 -1 x 1
c) Arc Tg x + Arc Ctg x = + π
2 x < 0
d) Arc Sec x + Arc Csc x =
π2 -1 x 1
4) a) Arc Sen (- x) = -Arc Sen x x [ - 1 ; 1 ]
b) Arc Cos (-x) = - Arc Cos x x [ - 1 ; 1 ]
c) Arc Tg (-x) = - Arc Tg x x R
d) Arc Ctg (-x) = - Arc Ctg x x R
e) Arc Sec (-x) = -Arc Sec x x ⟨−α ;−1 ] ∪ [ 1; α ⟩
f) Arc Csc (-x) = - Arc Csc x x ⟨−α ;−1 ] ∪ [ 1; α ⟩
5) a) Arc Sen x = Arc Csc
1x x [ - 1 ; 1 ] – { 0 }
15
FUNCIÓN DOMINIO RANGO
y = Arc Sen x [ - 1; 1 ] [−π2
;π2 ]
y = Arc Cos x [ - 1; 1 ] [ 0; ]
y = Arc Tg x ⟨−α ; α ⟩ ⟨−π2;
π2⟩
y = Arc Ctg x ⟨−α ; α ⟩ [−π2
;π2 ]
y = Arc Sec x ⟨−α ;−1 ] ∪ [ 1; α ⟩ [ 0 ; ] - { / 2 }
y = Arc Csc x ⟨−α ;−1 ] ∪ [ 1; α ⟩ [−π2
;π2 ]−{0}
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b) Arc Cos x = Arc Sec
1x x [ - 1 ; 1 ] – { 0 }
c) Arc Tg x = Arc Ctg
1x x ⟨0 ; α ⟩
d) Arc Tg x = Arc Ctg
1x - x ⟨−α ; 0 ⟩
e) Arc Ctg x = Arc Tg
1x x ⟨0 ; α ⟩
f) Arc Ctg x = +ArcTg
1x x ⟨−α ; 0 ⟩
g) Arc Sec x = Arc Cos
1x x ⟨−α ;−1 ] ∪ [ 1; α ⟩
h) Arc Csc x = Arc Sen
1x x ⟨−α ;−1 ] ∪ [ 1; α ⟩
6) i) Arc Senx Arc Seny = Arc Sen [ x √1− y2 ± y √1−x2] ii) Arc Cosx Arc Cosy=Arc Cos [ x y ∓ x √(1−x2 )(1− y2) ]
iii) Arc Tgx Arc Ctgy = Arc Tg [ x± y1∓xy ]
* Estas fórmulas son válidas siempre que la suma o la
diferencia pertenezca al rango de la inversa respectiva.
26.Ecuaciones trigonométricas
a) Ecuaciones elementales:a) Soluciones básicas (S.B) b) Sea F.T. (kx) = # Real, Cuyo Período = T Las S. B. [ 0 ; T
b) Ecuaciones Estándares:1) Sen x = a -1 a 1 xP = Arc Sen a xG = k + (-1) K, xP ; ( k Z)
2) Cos x = a -1 a 1 xP = Arc Cos a xG = 2k xP; ( k Z )
16
Donde: xP: (Solución principal) xG: (Solución general).
TRIGONOMETRÍA FORMULARIO
3) Tg x = a - a + xP = Arc Ctg a xG = k + xP; ( k Z )
4) Ctg x = a - a + xP = Arc Ctg a xG = k + xP; ( k Z )5) Sec x = a -1 a 1 xP = Arc Sec a xG = 2k xP; ( k Z )
6) Csc x = a -1 a 1 xP = Arc Csc a xG = k + (-1)K, xP; ( k
27. Resolución de triángulos de oblicuángulos
a) Ley de Senos (Ley de Briggs)
b) Ley de Cosenos (Ley de Carmot)
c) Ley de Tangente (Ley de Nepper)
17
rb
a
C
B
A
c
a−ba+b
=tg ( A−B
2 )tg ( A+B
2 )
a 2 = b 2 + c 2 – 2bc Cos Ab 2 = a 2 + -c 2 – 2ac Cos Bc 2 = a 2 + b 2 – 2ab Cos C
Además:
Cos A = b2+c2−a2
2bc
Cos B = a2+c2−b2
2ac
Cos C = a2+b2−c2
2ab
bCA
B
ac
bCA
B
ac
aSenA
= bSenB
= cSenC
=2 r
Sen A
b=2 rSen B c=2 r Sen C
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(Análogamente se cumple para los demás lados y ángulos)
d) Ley de Proyecciones
e) Fórmulas de Briggs
sen ( A2 ) = ± √ ( p − b) ( p − c )bc
cos ( A2 ) =± √ p ( p − a )bc
tg ( A2 ) = ± √ ( p − b ) ( p − c )p ( p − a )
f) Área de región triangular
S = √( p−a )( p−b )( p−c )
p = semiperímetro
18
a = b cos C + c cos Bb = a cos C + c cos Ac = a cos B + b cos A
bCA
B
ac
bCA
B
ac
“La matemática es la piedra angular de la ciencia” La Place