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Física 1Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Informações GeraisVetores
14/03/2018
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Outline
1 Informações Gerais do curso
2 Introdução
3 Vetores
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Informações Gerais do curso
Professora: Sandra Amato, [email protected], sala A-318Coordenadores: Bruno de Paula e Rodrigo Sacramento –[email protected]
Site do Curso: http://fisica1.if.ufrj.brCronograma, ementa, turmas, monitoria, lista de exercícios,
guia do estudante, salas de prova e Avisos Importantes
Livros-texto: M. NussenzveigSears & Zemansky, Young & Freedman
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Bibliografia
Física I - MecânicaSears & Zemansky, Young & Freedman - 12a. EdiçãoCurso de Física Básica 1 - MecânicaH. Moysés Nussenzweig - Ed. Edgar Blücher LTDAFundamentos de Física - Volume 1 - MecânicaHalliday-Resnick-Walker8a. Edição - LTC Grupo GENFísica - Um curso universitário - Volume 1 - MecânicaMarcelo Alonso & Edward J. Finn - Ed. Edgar BlücherFísica 1Halliday-Resnick - Krane4a. Edição - LTC
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Critério de Avaliação
Três Provas – P1, P2 e P3 Obrigatórias.Questões de Múltipla escolha e discursivas.Realizadas de 17:15 às 19:15Se faltar a uma delas, a segunda chamada (SC) substitui essanota. Se faltar a mais de uma, reprovado com média 0,0Ponto Extra (PE) na média: 3 testes opcionais (TA1, TA2,TA3) realizados no AVA (TA) INSCREVAM-SE.PE = TA1 + TA2 + TA3 pode valer até 0,3 na média.Média final:
MFP1 P2 2 P3
4PE
Se MF 5,0 : APROVADOSe MF 5 0 : REPROVADOPresença obrigatória em 75% do curso (7 faltas)
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Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA)
Plataforma moodle:http://ambientevirtual.nce.ufrj.br/Siga as instruções do site para se cadastrar.Além dos testes, possui informações importantes:Cronograma, avisos, forum de dúvidas, arquivos das aulas,material complementarTestes no AVA (TA):
Cada TA possui 4 questões objetivas. Pode valer 0,1, casoacerte 3 ou, zero caso contrário.disponíveis para serem feitos durante um período de 2diasApós iniciados haverá um número máximo de 1 horacorrida para serem completadosAs questões serão sorteadas entre os alunos
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Informações Gerais do curso
Vista de Prova deve ser solicitada através de formulário
Segunda Chamada (SC)
Para alunos que faltarem a apenas 1 provaDeve ser entregue justificativa médica aoscoordenadores antes da realização da provaA nota da SC substitui a da prova que o aluno faltou.Horário: 10h
Alunos com Inscrição irregular
Procurar a sua secretaria de graduação e regularizar a situaçãono SIGA. Só após a regularização é que sua nota será divulgada.
Datas das ProvasP1: 16/4 17:15h P2: 16/5 17:15hP3: 20/6 17:15h SC: 12/7 10:00h
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Ementa
VetoresCinemática 1D (Cap 2)Cinemática 2D e 3D (Cap 3)Leis de Newton (Cap 4 e 5)
P1
Trabalho e Energia Mecânica (Cap 6 e 7)Momento Linear e ImpulsoSistema de Partículas e Colisões (Cap 8 e 9)
P2
Rotação e Momento Angular (Cap 11)Dinâmica de corpo rígido, Rolamento (Cap 12)
P3(Vetores) Física 1 14/03/2018 9 / 36
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Dicas para o Sucesso
Estudar muito, desde hoje, lendo o livro e fazendo osexercícios recomendados.Na página do curso serão colocadas listas de exercícios.Aprenda os conceitos e não tente decorar resoluções deproblemas.Use a monitoria para tirar suas dúvidas imediatamente.Confira os diversos horários disponíveis.Existe também monitoria online no AVA.grupos de estudo podem ajudar
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Sobre estes slides
Não use estes slides como fonte de estudos. Eles são um guiaapenas para a aula, não tem preocupação com formalismos,LEIA O LIVRO.Os slides estarão em http://sites.if.ufrj.br/sandra (quetambém pode ser acessado através do site de Física 1)Créditos: Algumas figuras destes slides foram feitas pelosprofessores Armando Aleixo e Elvis Amaral, outras retiradasdos livros recomendados ou da internet.
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Introdução
A Mecânica trata da análise do movimento de corpos materiais.Na Física 1 vamos nos restringir à mecânica clássica newtoniana, na qualconsideramos apenas corpos macroscópicos com velocidades beminferiores à velocidade da luz.CINEMÁTICA: Descrição do movimento, dados a posicão, velocidade eaceleração em um instante de tempo, podemos determinar onde apartícula estará em um outro tempo qualquer.DINÂMICA: Causas do movimento, conhecendo a massa e “vizinhança”do objeto em questão, ou seja, as forças que atuam sobre ele, podemosdeterminar sua aceleração e assim descrever seu movimento.Algumas grandezas envolvidas na descrição do movimento são escalares :
tempo, massa,...
outras necessitam de informações como direção e sentido - grandezasvetoriais:
posição, velocidade, ...
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Introdução
A Mecânica trata da análise do movimento de corpos materiais.Na Física 1 vamos nos restringir à mecânica clássica newtoniana, na qualconsideramos apenas corpos macroscópicos com velocidades beminferiores à velocidade da luz.CINEMÁTICA: Descrição do movimento, dados a posicão, velocidade eaceleração em um instante de tempo, podemos determinar onde apartícula estará em um outro tempo qualquer.DINÂMICA: Causas do movimento, conhecendo a massa e “vizinhança”do objeto em questão, ou seja, as forças que atuam sobre ele, podemosdeterminar sua aceleração e assim descrever seu movimento.Algumas grandezas envolvidas na descrição do movimento são escalares :tempo, massa,...outras necessitam de informações como direção e sentido - grandezasvetoriais:
posição, velocidade, ...
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Introdução
A Mecânica trata da análise do movimento de corpos materiais.Na Física 1 vamos nos restringir à mecânica clássica newtoniana, na qualconsideramos apenas corpos macroscópicos com velocidades beminferiores à velocidade da luz.CINEMÁTICA: Descrição do movimento, dados a posicão, velocidade eaceleração em um instante de tempo, podemos determinar onde apartícula estará em um outro tempo qualquer.DINÂMICA: Causas do movimento, conhecendo a massa e “vizinhança”do objeto em questão, ou seja, as forças que atuam sobre ele, podemosdeterminar sua aceleração e assim descrever seu movimento.Algumas grandezas envolvidas na descrição do movimento são escalares :tempo, massa,...outras necessitam de informações como direção e sentido - grandezasvetoriais: posição, velocidade, ...
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Sistema de Coordenadas
Para descrever o movimento precisamos primeiramente escolher umreferencial (observador), que será representado aqui pelos eixos cartesianos.Devemos também escolher a origem.
Descrever o movimento significa dizer em que posição o objeto estará emqualquer instante de tempo, ou seja, queremos determinar o vetor posiçãor t . Podemos também obter os vetores velocidade v t e aceleração a t .Precisamos de duas ferramentas matemáticas básicas:
VETORES e CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
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Vetores
Queremos descrever o deslocamento de uma partícula ao ir doponto A ao ponto B. Precisamos de uma grandeza que tenhamódulo direção e sentido.O vetor deslocamento r é representado por uma seta que seorigina no ponto A e aponta para o ponto B.Este vetor nada nos diz sobre a trajetória da partícula. Todos oscaminhos conectando A a B correspondem ao mesmo vetordeslocamento.
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Vetores
Para representar um vetor, usaremos uma única letra comuma seta em cima, p.ex. v . (Alguns livros usam a letra emnegrito sem a seta v )O vetor nulo é representado por 0.O módulo de um vetor é representado por v
A direção e sentido podem ser apresentadas graficamente:
,ou especificando seu ângulo em relação a algum eixo dereferência: 30 acima da horizontalou utilizando os vetores unitários de um sistema dereferência: r 2 3
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Propriedades dos Vetores
Para que uma grandeza seja um vetor, não basta ter módulo,direção e sentido.Ela deve obedecer a um certo número de propriedades:
Igualdade de VetoresDois vetores são iguais quando possuem
mesmo módulo, direção e sentido
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Adição de Vetores - Método Gráfico
O símbolo “ + ” não tem o mesmo significado que na álgebra.Temos que levar em conta a direção e o sentido dos vetores.
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→
a
si
→
s ,a
→
:→
. .
a
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Propriedades da Adição
ComutatividadeA B B A
AssociatividadeA B C A B C
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s a
s a →→ →
s a
:→
. .
. .→ →
s s→ →
→ →
→ →
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Propriedades da Adição
Vetor Oposto
A A 0
Subtração
A B A B
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→
→
- → →
→→
→ → →
→
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Multiplicação por um escalar
Sendo um escalar positivo, o vetor A terá a mesma direção esentido que A, e seu módulo será A . Se 0 , o sentido deA será oposto ao de A.
Um vetor A dividido pelo seu módulo, resulta em um vetorunitário de mesma direção e sentido que A.
AA
A
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Componentes de um Vetor
Se quisermos fazer operações com vetores onde é necessário umamelhor acurácia, ou em 3 dimensões, o método geométrico deadição não é adequado. Nesses casos (muito mais comuns)faremos uso de projeções de vetores em um sistema decoordenadas.
Essas projeções são chamadas de componentes de um vetor.
Iniciaremos com coordenadas cartesianas e duas dimensões.
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Componentes de um Vetor
O vetor A pode ser expresso como a soma de dois vetores Ax eAy .Ax (sem a seta) é a componente do vetor A na direção do eixo x .Podemos ver que:
Ax A cos Ay A sen
Note que as componentes podem ter sinal negativo.O módulo e a direção do vetor A são dados por:
A A2x
A2y
tan Ay Ax
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→ →
→
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Vetores Unitários
Os vetores são comumente descritos em termos de vetoresunitários ao longo dos eixos cartesianos. Os vetores unitários têmo propósito de especificar a direção do vetor.
A Ax Ay Ax Ay
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^
^
^
→
^
^
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Em 3 dimensões
A Ax Ay Az Ax Ay Azk
A A2x
A2y
A2z
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Adição de Vetores por componentes
R A B Ax Ay Bx By
R Ax Bx
Rx
Ay By
Ry
r1 3 2 r2 1 3 r1 r2 4 1(Vetores) Física 1 14/03/2018 25 / 36
→
→
→
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Multiplicação de vetores
Produto de um escalar por um vetor. vetorProduto escalar entre dois vetores. escalarProduto vetorial. vetor (veremos mais tarde)
Produto de um escalar por um vetor
se A Ax Ay A Ax Ay
Ex:r 3 4 2r 6 8
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Produto Escalar de Vetores
Produto Escalar
A B A B cos com 0
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Produto Escalar de Vetores
Algumas propriedades:Comutatividade: A B B A
Módulo de um vetor: A A A2 cos 0 A
2A
2
ortogonalidade: A B A B 0Ax A Ay A e Az k A
1 0 k 00 1 k 0
k 0 k 0 k k 1 (1)
Sendo A Ax Ay Azk e B Bx By Bzk temos
A B AxBx AyBy AzBz (2)
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Exercícios
1 Um carro viaja 50 km para leste, 30 km para o norte e 25 kmem uma direção 30 a leste do norte. Represente osmovimentos do carro em um diagrama vetorial e determine ovetor deslocamento total do veículo em relação ao ponto departida. Qual seu módulo e direção?
2 Sejam os vetores A 2 3 k e B 4 2 k . Determine:(a) A B (b) Ax (c) A B (d) A (e) o ângulo entre A e B .
3 Uma roda de 45 cm de raio rola sem deslizar num pisohorizontal. P é um ponto pintado na borda da roda. Notempo t1, P está no ponto de contato entre a roda e o piso.Num tempo posterior t2, a roda descreveu meia rotação.Qual é o vetor deslocamento de P entre os instantes t1 e t2?
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P P
P.IQ#
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1 Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos num plano:4 m para sudoeste, 5 m para leste e 6 m numa direção 60 aonorte do leste. Tome o eixo y na direção norte e o eixo x nadireção leste e calcule (a) as componentes dos 3deslocamentos, (b) as componentes dos deslocamentosresultantes, (c) o módulo e orientação do deslocamentoresultante.
2 Seja um cubo de aresta a e um sistema de eixos OXYZ comorigem em um vértice do cubo e eixos ao longo de trêsarestas. Escreva na base de unitários do sistema de eixos osvetores com ponto inicial no vértice na origem e pontos finaisnos demais vértices.
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1 Discutir a aceleração da gravidade
2 Discutir força de atrito3 Um bloco encontra-se em repouso sobre um plano inclinado
posto na superfície da Terra.Desenhe o diagrama de forças que agem sobre o blocoIndique claramente onde estão as forças de reação àsforças colocadas no item anterior.A força resultante que o bloco exerce sobre o planoinclinado é:(I)P (II) Fat N (III) Fat N (IV)N (V) P
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plano bloco égamut
Boom egg
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Um bloco de massa m está em repouso sobre uma mesa fixa em um elevadoracelerado verticalmente para cima. Sobre o bloco atuam a força normal decontato N e a força peso P .
Marque com um X as afirmativas falsas, justificando as suas respostas:
( ) A força resultante sobre o bloco é R N P .( ) A força resultante sobre o bloco é R N P .( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P .( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P .( ) O vetor componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y
é sempre Ry Ny Py .( ) O vetor componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y
é sempre Ry Ny Py .( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésempre Ry Ny Py .( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésempre Ry N P .
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Verdadeiro ou Falsoreemphasised
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Um bloco de massa m está sobre um plano inclinado liso que forma um ângulocom a horizontal. Sobre bloco atuam a força normal N e a força peso P .
Marque com um X as afirmativas falsas justificando as suas respostas.
( ) A força resultante sobre o bloco é R N P .( ) A força resultante sobre o bloco é R N P .( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P .( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P .( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésempre Ry Ny Py .( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésempre Ry Ny Py .( ) A componente da força peso na direção x é P sen .( ) O vetor normal é N P cos .( ) O vetor normal é N P cos .( ) O vetor normal é N P cos .
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Verdadeiro ou FalsotNgaogo_eraESefsBtffhfef
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Um carro viaja 50 km para leste, 30 km para o norte e 25 km em uma direção30 a leste do norte. Represente os movimentos do carro em um diagramavetorial e determine o vetor deslocamento total do veículo em relação ao pontode partida. Qual seu módulo e direção?
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A £ = 50 kmi
775
'
= zokuf
E'
= 25 sen 30 i + 25 cos 30 fipo of = Its
'
+ E
^= ( 50+25 sense)i + ( 30+25 cos 30 ) f
= 62.5 km I + 51.6 km f
I £ I= 62.52+51.6-7 = 81 km
) O
> > tg O = dy_ = 0.8 O = 40 .
dx
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Sejam os vetores A 2 3 k e B 4 2 k . Determine: (a) A B
(b) Ax (c) A B (d) A (e) o ângulo entre A e B .
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a) In'
- 5 = ( 2- C- a )) i + §- 2) j + (1 - f- i ) ) £ = 6 i + J +2£
b) En = 2 i
e) if'
. 5>
= 2×1-4 ) + 3×2 + 1 x ( - 1) = -8+6-1=-3
d) At.
i = An = 2
*= 2 i + 3J tk
5'
= - Ga + of -k
A→ . D= 1 E'
1 15'
1 cos O
A- '
. 5
'= Ax Bx + Ay By + Az Bz
cos O = An Bx + AY By + Az By | # 1
= g+q+|M = m ' 15 1= l6+4+T= if
tabcost = - 8 + 6 -
1- 3 = - 0 . 17
-
=-
F4 .if 17.1
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Uma roda de 45 cm de raio rola sem deslizar num piso horizontal. P é umponto pintado na borda da roda. No tempo t1, P está no ponto de contatoentre a roda e o piso. Num tempo posterior t2, a roda descreveu meia rotação.Qual é o vetor deslocamento de P entre os instantes t1 e t2?
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P P
P→>
III =tTR)2t@R# = 1412+9-7 = 167.2cm
DID tgo = 21=0.64 0=32.5- TR
€
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1 Discutir a aceleração da gravidade
2 Discutir força de atrito3 Um bloco encontra-se em repouso sobre um plano inclinado
posto na superfície da Terra.Desenhe o diagrama de forças que agem sobre o blocoIndique claramente onde estão as forças de reação àsforças colocadas no item anterior.A força resultante que o bloco exerce sobre o planoinclinado é:(I)P (II) Fat N (III) Fat N (IV)N (V) P
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plano bloco éBeef eggsBarefooted
EatN→
F'
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Um bloco de massa m está em repouso sobre uma mesa fixa em um elevadoracelerado verticalmente para cima. Sobre o bloco atuam a força normal decontato N e a força peso P .
Marque com um X as afirmativas falsas, justificando as suas respostas:
( ) A força resultante sobre o bloco é R N P .( ) A força resultante sobre o bloco é R N P .( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P .( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P .( ) O vetor componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y
é sempre Ry Ny Py .( ) O vetor componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y
é sempre Ry Ny Py .( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésempre Ry Ny Py .( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésempre Ry N P .
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Verdadeiro ou Falso
^
E = Tv'
+ I'
veto component : Ej = it y+ Pj
A component de [ we diwcoio
J e' o neo
' dulo de Ky
lrTl=n÷tP,÷n- P
y.aowadaaasaaoaaeg.ir
F
F
: -
V
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Um bloco de massa m está sobre um plano inclinado liso que forma um ângulocom a horizontal. Sobre bloco atuam a força normal N e a força peso P .
Marque com um X as afirmativas falsas justificando as suas respostas.
( ) A força resultante sobre o bloco é R N P .( ) A força resultante sobre o bloco é R N P .( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P .( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P .( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésempre Ry Ny Py .( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésempre Ry Ny Py .( ) A componente da força peso na direção x é P sen .( ) O vetor normal é N P cos .( ) O vetor normal é N P cos .( ) O vetor normal é N P cos .
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Verdadeiro ou Falso
E '=F' + F'
y
As components da t.4.mn -
R - = Pseue
tante satNt - •
Ry = N - Puoo
PEINnYn++Bpa }{Y÷&Pseuo io
•
ry=o = > n= Poo
Py =
- Paso, # 1 = r-z+ry#I Pseno
odoo3oa_fooedoaa3sdvgoednE-.F
V
F
F
F
V
F
F
F
F