UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA FÍSICA I
LIC. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY FÍSICA I
1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ENERGÍA Y FÍSICA
FÍSICA I
CUADERNO Nº 01 PRIMERA UNIDAD
mgsen
mgcos
W
fr
N
CICLO:
III CICLO
E.A.P.:
INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL
DOCENTE:
Ms. CHRISTIAN PUICAN FARROÑAY
NUEVO CHIMBOTE – PERÚ
2 0 1 3
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2
MAGNITUDES Y MEDICIONES
MAGNITUD.- Esto todo aquello susceptible a ser medido.
MEDIR.- consiste en comparar 2 cantidades, un objeto a medir con una unidad de medida patrón.
Ejemplo: para medir el largo del aula, comparamos con un metro patrón.
MEDICIONES.- las mediciones pueden ser de dos formas: directas e indirectas.
MEDIDAS DIRECTAS.- son aquellas que se obtienen al realizar las mediciones directamente de
de los instrumentos de medida.
MEDICIONES INDIRECTAS.- son aquellas que se obtienen al realizar las mediciones directas y el
uso de ecuaciones matemáticas.
Al realizar las mediciones se comente errores y puede ser:
ERRORES:
En la experimentación física, aunque se proceda con el mayor cuidado en el método, y se usen
instrumentos de máxima precisión, no pueden conseguirse medidas exactas de las diferentes
magnitudes, es decir, siempre se cometerán errores. Los errores cometidos en dichas medidas
pueden ser:
Error Absoluto.- Se denomina error absoluto de una medida aproximada, a la diferencia
existente entre el valor obtenido en la experiencia y el valor exacto. A partir de la realización de
un número n de medidas, se toma como valor exacto a la media aritmética de los valores
obtenidos. La fórmula del error absoluto es
aea
Donde: ea = error absoluto a = valor aproximado, y α = valor exacto.
Error Relativo.- Se define como el cociente entre el error absoluto, y el valor exacto.
a
r
ee
Este error relativo suele expresarse en forma de tanto por ciento, y se utiliza para establecer la
mayor o menor precisión de una determinada medida. El error relativo carece de dimensiones,
siendo su expresión numérica solamente una medida de la precisión.
Otra clasificación de los errores teniendo en cuenta las causas que lo originan, considera a los
errores sistemáticos y a los errores accidentales.
Errores sistemáticos,
Son los que en principio se pueden evitar, corregir o compensar. Se les llama sistemáticos
porque dan efectos consistentes, pues cuando están presentes se obtienen valores que son más
altos o más bajos que el valor verdadero.
Ejemplos: Defectos o falta de calibración de los instrumentos de medición, el error debido al
paralaje, etc.
MEDICIONES, ESTATICA Y CINEMATICA
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Errores accidentales, son aquellos en cuyas causas pueden influenciar factores externos a la
realización de la experiencia, y que por consiguiente resultan más difícil de eliminar.
Se deben a la suma de gran número de perturbaciones individuales y fluctuantes que se
combinan para dar lugar a que la repetición de una misma medición de en cada ocasión un valor
algo distinto.
Ejemplos: Errores de apreciación, como por ejemplo, en la estimación de la fracción de la menor
división de una escala; errores que fluctúan, como por ejemplo, variaciones en la red de energía
eléctrica.
INCERTIDUMBRE ABSOLUTA (Δx)
Representa los límites de confianza dentro de los cuales se está seguro de que el valor
verdadero se encuentra en dicho intervalo
INCERTIDUMBRE RELATIVA (Ir)
Se define como el cociente de la incertidumbre absoluta y el valor medido y se expresa así:
0x
xI r
(1)
INCERTIDUMBRE PORCENTUAL (I%)
Es el índice que más comúnmente se usa para especificar la exactitud de una medida. Se define
como la incertidumbre relativa por 100% es decir:
%100% xII r (2)
INCERTIDUMBRE EN MEDIDAS DIRECTAS:
Cuando se realiza una medición directa de una magnitud y no es posible repetir la medición, o
cuando al hacer una serie de lecturas se obtienen los mismos resultados para la magnitud, a la
lectura que se obtiene se le asocia generalmente una incertidumbre absoluta, igual a la división
más pequeña de la escala del instrumento.
Ejemplo: Al hacer una medición de longitud de un objeto con una regla graduada en milímetros y
se obtiene repetidamente la magnitud de 125 mm, entonces tomaremos como Δx = ± 1 mm.
Por lo tanto el resultado para la longitud será: (125 ± 1) mm.
Es decir la longitud verdadera del objeto se encontrará dentro del intervalo de 124 mm a 126 mm.
INCERTIDUMBRE EN MEDICIONES INDIRECTAS:
Las mediciones que se realizan en la ciencia y en la ingeniería, la mayoría son indirectas y para
calcular la incertidumbre de una medida indirecta Z que depende de las variables x, y y w, se
emplea la siguiente ecuación:
Sea f = f (x,y,z), la incertidumbre experimental (absoluta) de Z es:
zz
fy
y
fx
x
ff
(3)
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Como consecuencia de los errores aleatorios (errores accidentales), al hacer repeticiones de una
medida éstas en general resultan diferentes, y dado que no se conoce la medida verdadera,
surgen dos preguntas: ¿Cuál es el valor que se debe reportar?, ¿Qué incertidumbre es la que se
debe asociar al resultado?.
ALGUNOS INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN
Los instrumentos de medición en física experimental deben reunir las condiciones siguientes:
- EXACTITUD, de un aparato es la condición por la cual la medida que realiza coincide
puntualmente con la real.
- PRECISIÓN, es la mínima variación de magnitud que dicho aparato puede registrar. Por
ejemplo, una balanza de 0,01mg de precisión puede apreciar la cienmilésima parte de un
gramo.
- SENSIBILIDAD, es la condición referida al grado de magnitud que un aparato puede registrar.
Esta condición se relaciona con la precisión por razón inversa.
Entre algunos aparatos de precisión en física podemos mencionar los siguientes:
- El tornillo micrométrico se utiliza para medir longitudes, se halla calibrado de tal forma que
cada paso de rosca viene determinada por una longitud exacta.
- El palmer sirve para medir espesores, su fundamento es el tornillo micrométrico.
- El esferómetro también consiste en un tornillo micrométrico unido a un disco graduado, se
utiliza para medir el radio de una esfera.
- El nonius está constituido por una reglilla que se desliza sobre otra regla graduada, midiendo
longitudes.
- El calibrador se utiliza para medir diámetros de tubos y espesores.
CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y MÉTODO DEL REDONDEO
Toda medida de una magnitud X lleva asociado un error ΔX, por lo que la expresión habitual de
valores de las magnitudes experimentales o de aquellas que se han obtenido a partir de otras
medidas experimentalmente debería ser del tipo X ± ΔX. Muy a menudo, a fin de simplificar la
notación sin perder completamente la información sobre la precisión de los datos o resultados, se
omite ΔX a la vez que se escribe el valor de X con un número limitado de cifras: todas aquellas
que se consideran bien conocidas más una de cuyo valor no se está completamente seguro. A
éstas se las conoce como cifras significativas.
Ejemplo 1. Si la medida de la constante de Plank, h ha dado como resultado h=(6.62608x10-32
J),
no sería extraño ver tabulado el valor. Este dato debe entenderse como que el dato 8 es
impreciso. Quizá puede entenderse como que su valor está comprendido entre 6.62607x10-34
J y
6.62609x10-34
J y, pero no hay una única forma convenida. Es obvio que con esta notación se ha
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perdido información sobre el error del dato: este ha sido el precio que se ha aceptado pagar por
simplificar la notación.
h (Js)
significado: está comprendido
expresión resultado entre y
rigurosa (6.626076 ± 0.000006)x10-34
6.626070x10-34
6.626082x10-34
con cifras significativas 6.62608x10-34
6.62607x10-34
6.62609x10
Cifras Significativas y Redondeo
1. Cualquier dígito diferente de cero es significativo.
1234.56 6 cifras significativas
2. Ceros entre dígitos distintos de cero son significativos.
1002.5 5 cifras significativas
3. Ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero no son significativos.
000456 3 cifras significativas
0.0056 2 cifras significativas
4. Si el número es mayor que (1), todos los ceros a la derecha del punto decimal son
significativos.
457.12 5 cifras significativas
400.00 5 cifras significativas
5. Si el número es menor que uno, entonces únicamente los ceros que están al final del
número y entre los dígitos distintos de cero son significativos.
0.01020 4 cifras significativas
6. Para los números que contengan puntos decimales, los ceros que se arrastran pueden o
no pueden ser significativos. En este curso suponemos que los dígitos son significativos a
menos que se diga lo contrario.
1000 1, 2, 3, o 4 cifras significativas. Supondremos 4 en nuestros cálculos
0.0010 2 cifras significativas
1.000 4 cifras significativas
7. Supondremos que cantidades definidas o contadas tienen un número ilimitado de cifras
significativas
NOTE: Es mucho más fácil contar y encontrar las cifras significativas si el número está
escrita en notación significativa.
Uso en cálculos
1. Suma y Sustracción: El número de cifras significativas a la derecha del punto decimal en la
suma o la diferencia es determinada por el número con menos cifras significativas a la derecha
del punto decimal de cualquiera de los números originales.
6.2456 + 6.2 = 12.4456 redondeado a 12.4
nota: 3 cifras significativas en la respuesta
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2. Multiplicación y División: El número de cifras significativas en el producto final o en el cociente
es determinado por el número original que tenga las cifras significativas más pequeño.
2.51 x 2.30 = 5.773 redondeada a 5.77
2.4 x 0.000673 = 0.0016152 redondeado a 0.0016
Redondeando
1. Aumente en uno al dígito que sigue a la última cifra significativa si el primer dígito es
menor que 5.
Redondear 1.61562 a 2 cifras significativas Rpt: 1.6
2. Si el primer dígito a truncar es mayor que cinco, incrementar el dígito precedente en 1.
Redondear 1.61562 a 5 cifras significativas Rpt: 1.6156
3. Si el primer dígito a truncar es cinco y hay dígitos diferentes de cero después del cinco,
incrementa el dígito precedente en 1.
Redondear 1.61562 a 3 cifras significativas Rpt: 1.62
Redondear 1.62500003 a 3 cifras significativas Rpt: 1.63
4. Si el primer dígito a truncar es cinco y hay únicamente ceros después del cinco, redondee
al número par.
Redondear 1.655000 a 3 cifras significativas Rpt: 1.66
Redondear 1.625000 a 3 cifras significativas Rpt: 1.62
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL
En este capitulo se dan los conocimiento básicos sobre vectores, porque su manejo se
hace indispensable en el estudio de los conceptos físicos como velocidad, fuerza,
cantidad de movimiento, etc.
Su asimilación le permitirá una comprensión más clara y genérica de un determinado
fenómeno y las leyes que lo gobiernan.
El tratamiento vectorial en el estudio de un fenómeno físico ofrece entre otras las
siguientes ventajas:
- Simplificación de procedimientos y sintetización de las expresiones matemáticas.
- Visualización de las relaciones entre las magnitudes físicas de carácter direccional y
su variación en el tiempo.
1.1. Vector:
Es una cantidad que tiene módulo o magnitud, dirección y sentido. Su
representación geométrica es un segmento de recta con flecha en un extremo. El
MÓDULO del vector está dado por la longitud del segmento medio a escala; la
DIRECCIÓN es la inclinación del vector respecto a un marco de referencia tal como
un sistema de coordenadas cartesianas. Se utilizan uno o dos ángulos para
especificar la dirección del vector según se encuentre en el plano o en el espacio. El
SENTIDO queda establecido por la flecha.
En figura, 0 es el origen del vector, A su extremo y la recta L su línea de acción, es
el ángulo que especifíca la dirección y se mide convencionalmente en sentido
antihorario empezando del lado positivo del eje X, luego Y, finalmente Z. El carácter
convencional de la dirección permite referirlo a cualquiera de los semiejes
rectangulares, inclusive puede referirse a otro vector.
Fig. Nº 01
1.2. Notación de Vector
Se utilizan diversas notaciones para escribir los vectores así por ejemplo el vector de
la figura 1, puede escribirse de la siguiente manera a
, AO
. De igual manera su
módulo se representa por: a
, AO
.
Un vector en coordenadas cartesianas queda definido por dos puntos uno de los
cuales es el origen y el otro su extremo. Si el origen del vector coincide con el origen
a
X
A
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de coordenadas, un par ordenado representa un vector en el plano y una terna
ordenada un vector en el espacio.
Vector en el plano : yx aaa ,
Vector en el espacio : zyx aaaa ,,
(1)
Donde zyx aaa ,, se denominan componentes cartesianos del vector.
1.3. Vector Unitario
Es el vector cuyo módulo es igual a la unidad. u
es unitario si u
= 1
En cualquier dirección siempre es posible encontrar un vector unitario. Así en la fig.
2, se representan los vectores unitarios 321 ,, uuu
en las direcciones L1, L2, L3
respectivamente.
En el plano cartesiano los vectores unitarios se representan por: jyi
, cuyas
representaciones en forma de pares ordenados son:
i
= (1,0) j
= (0,1) (2)
Y en el espacio tridimensional los vectores unitarios en las direcciones de los ejes
son kyji
, o en forma de ternas ordenadas:
i
= (1,0,0) j
= (0,1,0) k
= (0,0,1)
Fig. Nº 03
Como se puede observar, los vectores unitarios kyji
, apuntan en la dirección
positiva de los semiejes coordenadas y por tanto son mutuamente perpendiculares
entre sí.
En el plano
y
x
j
i
k
z
x j
i
y
En el espacio
3u
2u
1u
0
L3 L1
L2
Fig. Nº 02.
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Para encontrar el vector unitario en la dirección de un vector basta dividir éste vector
entre su módulo:
r
ru
(3)
urr
Lo cual significa que todo vector es igual a su módulo por el vector unitario en su dirección.
También que los vectores uyr
son paralelos.
1.4. Vector posición
Es el vector r
que tiene por origen de coordenadas rectangulares y como extremo
un punto P arbitrario de coordenadas X, Y, Z. ver fig. 4.
1.5. Expresión de un vector conociendo las coordenadas de su origen y extremo
Sea A
el vector que tiene como origen el punto P1 y como extremo el punto P2,
entonces se tiene que La expresión cartesiana de un vector se considera restando
las coordenadas de extremo final menos el de su origen y escribiendo los vectores
unitarios correspondientes:
12 rrA
(6)
kzzjyyixxA
121212 (7)
Luego el módulo del vector es igual a la distancia entre los puntos P1 y P2:
212
2
12
2
12 zzyyxxA
(8)
La posición de una partícula en movimiento, se puede describir en cualquier instante por el vector de posición que va del origen a la partícula.
Las coordenadas del punto son exactamente las
componentes rectangulares de r
:
kzjyixr
(4)
222 zyxr (5)
P(x,y,z)
r
0
z
x
y
P2(x2,y2,z2)
2r
P1(x1,y1,z1)
1r
0
Z
X
Y
Dados los puntos P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2), sus respectivos vectores de posición son:
kzjyixr
1111
kzjyixr
2222
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Encontrar:
a) La expresión del vector M
de módulo 10 unidades que está en la diagonal BE con origen en B.
b) La expresión del vector N
de módulo
5 unidades que está en la diagonal CA con origen en C.
Ejemplo:
Las dimensiones del paralelepípedo son 4,5 y 3 unidades.
Solución:
Las coordenadas de los vértices y los vectores son
C(0,0,3) D(4,5,0) A(4,0,0) B(0,5,0)
kjir
3541 jir
541
a) El vector unitario de M
es también vector unitario de:
25
354 kji
r
ruM
Entonces el kjiuM M
23252410
b) El vector unitario de N
es también vector unitario de
jiji
r
ruN
781.0625.0
41
54
Entonces el jijiuN N
90.312.3
41
25
41
205
1.6. Producto Escalar
Dado los vectores A
y B
su producto escalar o producto interno simbolizado por
BA , se define como: cosABBA
(9)
Donde es el ángulo entre los vectores, siendo 0 . Se debe tener presente
que el producto escalar de BA es una cantidad escalar y no un vector.
Condición de perpendicularidad: en la ecuación 9, si =90º, entonces BA =0.
Esto se expresa diciendo que si dos vectores son perpendiculares, su producto
escalar es cero, además si ninguno de los vectores es nulo, se cumple la
bicondición:
0 BABA
Condición de paralelismo; en la misma ecuación de definición vemos que si =0º,
los vectores están superpuestos, por lo que BA
// y al efectuar el producto escalar
resulta:
D
C
B
A N
M
0
z
x
y
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ABBA
, donde si dos vectores son paralelos, su producto escalar es igual al producto
de sus módulos.
Producto escalar de los vectores unitarios
Aplicando la definición de producto escalar tenemos:
10cos11 ii
090cos11 ij
090cos11 ik
090cos11 ji
10cos11 jj
090cos11 jk
090cos11 ki
090cos11 kj
10cos11 kk
Producto escalar de dos vectores cualesquiera:
Sean los vectores: kAjAiAA zyx
y kBjBiBB zyx
el producto escalar se efectúa como si se tratara de la multiplicación de dos
polinomios:
)).((. kBjBiBkAjAiABA zyxzyx
Para facilitar los cálculos de cada paso, debe tenerse en cuenta los resultados del
producto vectorial de los vectores unitarios:
)(. zzyyxx BABABABA
1.7. Producto Vectorial
Dado los vectores A
y B
, su producto vectorial se simboliza por BxA
, es otro
vector definido por:
uABsenBxA
(10)
o ABsenBxA
Donde es el ángulo entre los vectores, siendo 0 . El vector BxA
es
perpendicular al plano determinado por A
y B
, su dirección indicada por el vector unitario u
apunta en la forma que avanzaría un tornillo de rosca derecha al ser
rotado de A
hacia B
describiendo el ángulo
BxA
B
A
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Producto vectorial de los vectores unitarios:
Aplicando la definición de producto vectorial
0011 senixi
kksenixj
)(9011 jjsenixk
)(9011
kksenjxi
9011 0011 senjxj
iisenjxk
)(9011
jjsenkxi
)(9011 iisenkxj
)(9011 011 senkxk
Producto vectorial de dos vectores cualesquiera:
Sean los vectores: kAjAiAA zyx
y kBjBiBB zyx
el producto vectorial se efectúa como si se tratara de la multiplicación de dos
polinomios.
BxA
)( kAjAiA zyx
x )( kBjBiB zyx
Para facilitar los cálculos de cada paso, debe tenerse en cuenta los resultados del
producto vectorial de los vectores unitarios
kBABAjBABAiBABABxA xyyxzxxzyzzy
)()()(
éste mismo resultado se puede obtener resolviendo un determinante de tercer orden cuya primera fila está formada por los vectores unitarios, la segunda fila por las
componentes escalares del vector A
y la tercera fila por las componentes escalares
del vector B
:
yx
yx
zx
zx
zy
zy
zxx
zyx BB
AAk
BB
AAj
BB
AAi
BBB
AAA
kji
BxA
kBABAjBABAiBABA xyyxzxxzyzzy
)()()(
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La estática es la parte de la Mecánica que estudia el equilibrio de los cuerpos.
1.8. FUERZA Es el resultado de la interacción de por lo menos 2 o más cuerpos.
Unidad: la fuerza se mide en Newton (N)
1kg-f = 9,81N
La idea intuitiva de fuerza la tenemos al observar los siguientes hechos:
- Cuando tiramos de una cuerda atada a un cuerpo, decimos que estamos
haciendo fuerza.
- Cuando empujamos un automóvil para ponerlo en movimiento, sentimos la
sensación de haber ejercido una fuerza.
- Al estirar o comprimir un resorte decimos que estamos empleando una fuerza.
Es decir que, en la actividad de nuestra vida diaria a menudo empleamos y vemos
actuar fuerzas en forma espontánea, observando que la fuerza es causa del
movimiento, del equilibrio, deformación de cuerpos, etc.
Un sistema de fuerzas puede sustituirse por su resultante, la misma que se
representa por una fuerza única como es el caso de las fuerzas concurrentes o
por una fuerza y un par en el caso de fuerzas no concurrentes. En todos los casos
la resultante debe ser capaz de producir el mismo efecto mecánico sobre el
cuerpo, que el que produce el conjunto de fuerzas dadas.
A. Fuerzas concurrentes: son aquellas fuerzas que pasan por un mismo punto
ya sean entrantes o salientes
4321 FFFFFR
B. Fuerzas no concurrentes: son aquellas fuerzas que pasan por un mismo
punto y pueden ser paralelas.
Representación Vectorial de Fuerza ( F
), la fuerza está representado
vectorialmente mediante:
uFF
, donde: F
: vector fuerza, F : módulo de fuerza y u
: vector unitario
4F
3F
2F
1F
E S T Á T I C A
3F
2F
1F
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1.9. DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE
El diagrama del cuerpo libre consiste en ubicar todas las fuerzas que intervienen
en el sistema y hacer las proyecciones de éstas en sus ejes de coordenadas.
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Ejercicios
1. Dos cables están unidos en C y cargados tal como se indica en la figura. Determinar
la tensión en AC y BC.
Solución
Por la ley de los senos: )4090()4090()4020(
12
sen
T
sen
T
sen
W
Entonces: T1 = 325.5N y T2= 265.4N
20º 40º B A
C
300N
W
2T
1T
40º
20º
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2. El ángulo entre el tirante AB y el mástil es de 20º. Si se sabe que la tensión
TAB
=300N. Determinar:
a) Los componentes x, y, z de la fuerza ejercida sobre el punto B.
b) Los ángulos θx, θ
y, θ
z que definen la dirección de la fuerza ejercida en B
Solución:
?ABT
kTjTiTT zyxAB
Tx = -Tsen20ºcos40º Tx = -78.6N
Ty = Tcos20º Ty = 281.9N
Tz = -Tsen20ºsen40º Tz = -66N
= ?
300
6.78coscos
xxx TT º2.105x
300
9.281coscos yyy TT º0.20y
300
66coscos
zzz TT º7.102z
0 C
B
A
20º
40º 40º
Z
Y
X
0 C
B
A
20º
40º
40º Z
Y
X
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3. Sabiendo que la tensión en el cable AB es de 450N, calcular las componentes de la fuerza que se
ejerce sobre la placa en A.
Solución:
El ángulo B´AD (B´s la proyección vertical del punto B sobre el eje Z).
se calcula a partir del triángulo rectángulo BB´A, recto en B´.
BB´=4m
mDADBAB 06.847´´2222
mABBBAB 906.84´´2222
Si llamamos =ángulo B´AB, su coseno respectivo es:
8955.09
06.8´cos
AB
AB
Si =ángulo B´DA
868.006.8
7
´
´0
AB
Bsen
496.006.8
4
´
0cos
AB
A
Según estos cálculos previos TAB será:
NTTx 200coscos
NTsenTy 200
NsenTTz 350cos
D
C
B
A
2m
7m
9m
4m
4m Z
Y
X
D
C
B
A
2m
7m
9m
4m
4m Z
Y
X
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1.10. SISTEMA DE FUERZAS
1.11. TORQUE (
)
La experiencia diaria nos muestra que la capacidad de la fuerza para producir
rotación no sólo depende de dicha fuerza sino también de la ubicación de su
punto de aplicación con respecto al eje de rotación.
Se denomina TORQUE o MOMENTO DE FUERZA a la medida de la efectividad
para producir rotación. El momento o torque es un movimiento de rotación, que
es producida por una fuerza al ser aplicada a una cierta distancia de un punto fijo.
Como la rotación tiene sentido, el momento es una cantidad vectorial.
zyx
zyx
FFF
rrr
kji
Fxr
Ejercicios
1. En la siguiente figura se tienen tres fuerzas situadas en las diagonales de un
paralelepípedo, cuyo módulo es 180N. Calcular los torques de cada una de las
fuerzas con respecto al origen. Si los lados de las aristas son 3, 6 y 4m.
Solución:
a) Fuerza de la diagonal EB. Las coordenadas de los vértices son E(0,0,4) y
B(3,6,0)
La posición de la fuerza es: kjirEB
463
Fxr
: donde
torque o momento de fuerza (mN)
r
= vector posición respecto al eje de
movimiento (m)
F
= fuerza aplicada (N)
0
F
E
C
B A X
Z
Y
r
b
F
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19
kjikjikji
r
ru
EB
EBEB
512.0768.0384.0
81.7
463
16369
463
kjiuFF EBEBEB
512.0768.0384.0180.
El vector fuerza : kjiFEB
16.9224.13812.69
El vector posición : kr E
40
Entonces el torque será :
16.9224.13812.69
40001
kji
Fxr EBE
24.13812.69
00
16.9212.69
40
16.9224.138
40kji
ji
48.27696.5521
1.12. CONDICIONES DE EQUILIBRIO
Para un cuerpo se encuentre en equilibrio se debe cumplir:
Primera Condición: La suma de todas las fuerzas que actúan en el sistema debe
ser igual a cero.
3
1i
iF
Es decir:
3
1i
iF
Segunda Condición: La suma de todos los torque o momento que actúan en el
sistema debe ser igual a cero.
03
1
i
i
Es decir 03
1
i
i
0xF
0yF
0zF
0x
0y
0z
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20
1.13. CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTRO DE MASA
En términos generales, un cuerpo está constituido por un gran número de
partículas, cada una de las cuales es atraída por la gravedad terrestre. Esta fuerza
de gravedad es el peso del cuerpo: W = mg.
Las fuerzas o pesos Wi que actúan en las partículas están dirigidas hacia el centro
de la tierra debiendo converger allí sin embargo por estar este punto muy distante
permite considerar a las pequeñas fuerzas como paralelas. La resultante
iWW de estas fuerzas paralelas es el peso del cuerpo y el centro de dichas
fuerzas paralelas es el centro de gravedad o punto de aplicación de la fuerza
peso.
w
wxx
ii
c
w
wyy
ii
c
w
wzz
ii
c
El centro de masa (c.m.) de un cuerpo es el punto donde se supone concentrada
toda su masa. El centro de gravedad coincide con el centro de masa si el
considera g constante.
Para hallar el centro de masa, hacemos uso de las ecuaciones kjlajkdflkjda en las
remplazamos wi = mg, obteniendo:
m
mxx
ii
c
m
myy
ii
c
m
mzz
ii
c
Ejercicios
Hallar el centro de gravedad del alambre curvado que se muestra en la figura. Las
dimensiones se dan en cm.
L3
L2
L1
30º 53º
40
Y
X
25 25
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21
Solución.
Llamemos L1 y L3 las partes rectas y L2 a la semicircunferencia
cmseny
cmxcmL
16º5320
12º53cos2040
1
1
1
cmseny
cmxcmL
48/)25(2º5340
4925º53cos405.7825
2
2
2
cmseny
cmxcm
sen
senL
16º5320
7.101º30cos2
6450º53cos40
64º30
º5340
3
33
cmLLL
xLxLxLxc 37.59
321
332211
cmLLL
yLyLyLyc 76.29
321
332211
cg (59.37,29.76)
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22
1.14. CINEMÁTICA
Estudia el movimiento de partículas sin dimensiones sin preocuparnos de cuales son las
causas que provocan esos movimientos.
Punto: Es un modelo físico. Se refiere a un elemento de volumen despreciable (se
considerará sin volumen) situado en el espacio (en 3D).
Posición: Llamamos posición de un punto a su localización con respecto a un sistema de
referencia (lo que en física se llama “observador”).
Tiempo: Llamamos tiempo al continuo transcurrido entre dos instantes.
Partícula puntual: Es un modelo físico. Se refiere a un elemento de tamaño diferencial
(muy pequeño) y masa concentrada en su posición.
1.15. SISTEMA DE REFERENCIA
Es aquel sistema coordenado con respecto al cual se da la posición de los puntos y el
tiempo. Un sistema de referencia contiene fijo a él un sistema de coordenadas en cuyo
origen se supone ubicado el observador
SISTEMAS DE COORDENADAS
a) Coordenadas Cartesianas
b) Coordenadas Polares
Y
P(x,y,z)
k
Z
X
j
i
Y
P(x,y,z)
k
Z
X
j
i
x = x y = y z = z
x = r cos
y = r cos
z = r cos
Y
P(r,,,) Z
X
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23
c) Coordenadas Cilíndricas
d) Coordenadas Esféricas
Desplazamiento y Trayectoria La trayectoria depende del Sistema de Referencia
escogido.
Para describir cinemáticamente el movimiento de una partícula es necesario conocer su
posición en cualquier instante. Por tanto, es un problema estrechamente relacionado con
las nociones de tiempo y espacio.
Para situar la posición de una partícula se suele elegir un sistema de referencia formado
por tres ejes perpendiculares entre sí, x,y,z, y dibujar un vector que tenga como origen el
sistema de referencia y como extremo la posición de la partícula en cada instante. Si en
lugar de trabajar en tres dimensiones trabajamos en un plano sólo sería un sistema de
referencia x,y.
Se denomina Trayectoria al camino seguido por el móvil en su movimiento. Es escalar
El espacio (S) que recorre un cuerpo en su movimiento se define como la longitud de la
trayectoria recorrida y es también un escalar. Se mide en metros
x = cos
y = r sen z = z
x = r sen cos
y = r sen sen
z = r cos
P(r,,,) z
y
x
P(r,,)
y
z
x
X
Y
Desplazamiento
Trayectoria
Los vectores de posición determinan las diferentes
posiciones del movimiento, y podemos llamarlos y 1r
y
2r
si consideramos las posiciones como posición 1 y
posición 2.
12 rrr
mide la variación de posición
(incremento) es decir la diferencia entre la posición
final y la inicial y determina el desplazamiento del móvil
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24
El vector 12 rrr
(posición final menos posición inicial) se denomina vector
desplazamiento.
Su módulo representa la distancia entre dos posiciones que ocupa el cuerpo durante el
movimiento.
El vector kzjyixr
definido en cada punto se denomina vector de posición. Vector
de posición es el vector que une el origen del sistema de referencia con la posición
en que se encuentra el cuerpo en cada momento.
La partícula se mueve variando de posición con el tiempo, por lo tanto el vector de
posición es una función del tiempo trr
. Conocer tr
es conocer el movimiento
desde un punto de vista cinemático.
El desplazamiento de un cuerpo que se mueve no tiene por que coincidir con la distancia
recorrida Δs sobre la trayectoria. Esta es siempre mayor y sólo se igualan cuando el
movimiento es rectilíneo. El módulo del vector desplazamiento en un movimiento
rectilíneo es igual al espacio recorrido según la trayectoria.
Pero el desplazamiento y la trayectoria no sólo coinciden cuando el movimiento es
rectilíneo sino también cuando estudiamos desplazamientos muy pequeñitos,
infinitesimales o diferenciales:
Velocidad
La velocidad es la magnitud física que estudia la variación de la posición de un cuerpo en
función del tiempo respecto a un determinado sistema de referencia. Sus unidades por
tanto son: m/s, cm/s o Km / h, etc.
Supongamos que cierto punto P se traslada en un intervalo de tiempo Δt desde el punto 1 hasta el
punto 2, caracterizados por los vectores de posición 1r
y 2r
:
Se define vector desplazamiento como la distancia entre dos puntos inicial y final del recorrido. Se calcula restando los vectores de posición final e inicial. Se mide en metros
El desplazamiento es el vector que une dos puntos de la trayectoria del móvil (recta que une dos posiciones de su movimiento, en el sentido de su movimiento) por lo tanto es una magnitud vectorial mientras que la trayectoria describe el camino seguido por el móvil en su movimiento, que puede ser rectilíneo, circular, en zig-zag, ondulatorio, oscilatorio, por lo que la trayectoria no es una magnitud vectorial.
El movimiento de cualquier móvil queda perfectamente determinado si se conoce como varían las componentes del vector
desplazamiento en función del tiempo
dSrd
Trayectoria
Se define velocidad media como el cambio de posición de un cuerpo en un intervalo de tiempo:
12
12
tt
rr
t
rvm
2r
1r
Desplazamiento 12 rrr
X
Y
Trayectoria
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25
La dirección y sentido de la velocidad media coincide con r
(vector desplazamiento).
Puesto que el cociente entre un vector y un número da siempre otro vector está
claro que la velocidad va a ser un vector.
En ocasiones también se puede calcular la velocidad media respecto de la trayectoria S
entre dos posiciones inicial y final (es decir también en un intervalo) es lo que en algunos
libros se llama celeridad o rapidez aunque es preferible llamarlo velocidad media respecto
de la trayectoria. En este caso es un escalar.
Rapidez: espacio recorrido por intervalo de tiempo:
12
12
tt
ss
t
Svm
La Velocidad Instantánea se define como la velocidad que lleva un móvil en un
instante de tiempo determinado.
Pero ¿como podemos obtener la velocidad de un móvil en un instante?. Esto a simple
vista es bastante difícil ya que equivaldría a hacer una "foto" al móvil en un instante y
obtener de alguna manera su velocidad, se trataría de obtener cambios instantáneos de
posición y el tiempo que tardó en estos cambios instantáneos (un instante) prácticamente
imposible de medir de forma directa.
Debemos recurrir a aproximaciones si queremos saber la velocidad de un móvil en un
punto determinado, el truco consiste en ir tomando puntos cada vez más próximos a aquel
cuya velocidad queremos medir, calculando cada vez la velocidad media entre esos
puntos, al irnos acercando cada vez más al punto que queremos medir, el intervalo en que
calculamos la velocidad media es cada vez más pequeño, con lo que las variaciones se
convierten en diferenciales. La operación que estamos haciendo es una derivada.
Este vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria y su sentido es el del
movimiento.
Si tenemos en cuenta que tanto Δr como Δt están ligados al camino recorrido ΔS, y que
cuando el cambio es diferencial el módulo (valor numérico) de dr es igual que dS la
expresión de la velocidad puede desarrollarse en la forma siguiente:
Por supuesto en módulo:
dt
dS
dt
rdv
Conociendo el vector de posición en función del tiempo ¿se puede saber la trayectoria del
móvil y la ecuación del movimiento, S en función de t?. Y ¿conociendo la ecuación del
La velocidad instantánea es el cambio de posición de un cuerpo en movimiento en cada instante.
dt
rd
t
rv
rm
0lim
Desplazamiento = dr en un tiempo dt
X
Y
Trayectoria
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26
movimiento se puede determinar la trayectoria y el vector de posición en función del
tiempo?.
Puesto que la velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria en cada punto,
cuyo sentido es el del movimiento, a partir de ella se podría obtener un vector unitario
tangente a la trayectoria en cada punto y según el sentido del movimiento, que nos
puede ser de mucha utilidad.
Aceleración
Se define la aceleración cómo la variación de la velocidad respecto al tiempo. Sus
unidades por tanto serán m/s2
o Km/h2
etc.
Siempre que un cuerpo varía su velocidad ya sea en módulo, dirección o sentido hay
aceleración.
Como el cociente de un vector entre un número es siempre otro vector está claro
que la aceleración es una magnitud vectorial.
Igual que hacíamos con la velocidad se pueden considerar dos tipos de aceleración según
estudiemos el movimiento en un intervalo o en un punto.
Para conocer la aceleración en cada instante, necesitamos conocer intervalos de tiempo
Δt cada vez más pequeños.
CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO a) Según la trayectoria
Rectilíneos: cuándo su trayectoria es una línea recta.
Curvilíneos: cuándo su trayectoria es curva. Dentro de estos se encuentran
movimientos tan importantes como: circular, elíptico, parabólico, ondulatorio
b) Según el módulo de la velocidad
Movimiento Uniforme: cuando al transcurrir el tiempo la velocidad no cambian.
Movimiento Uniformemente Variado: cuando la velocidad cambia al transcurrir
el tiempo. Este cambio es constante. Puede ser acelerado (aceleración positiva) y
retardado (aceleración negativa).
La aceleración media estudia el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo. Es un vector con la misma dirección y sentido que el vector resultante de restar la velocidad inicial y final vectorialmente, en cierto Δt se define como:
12
12
tt
vv
t
va
Se trata por tanto de una magnitud vectorial
con la dirección y sentido de v
1v
1v
2v
2v
12 vvv
y en esa misma
dirección y sentido de sale ma
X
Y
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27
1.16. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)
Como la trayectoria es recta, la velocidad no cambia en ningún momento de dirección y no
hay aceleración normal.
Como es un movimiento uniforme la velocidad no cambia de valor (módulo) por lo que
tampoco existe aceleración tangencial.
Luego este movimiento no tiene aceleración.
Al ser la trayectoria rectilínea el desplazamiento (r) y la trayectoria (S) coinciden.
Como la velocidad es constante la velocidad media y la instantánea coinciden.
t
xx
t
x
dt
dS
dt
rdv 0
Despejando 0xxvt , luego vtxx 0
Las gráficas del MRU son los siguientes:
vtxx 0 ; donde la pendiente es la velocidad
1.17. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
Al ser un movimiento rectilíneo no tiene aceleración normal, pero la velocidad va
cambiando en módulo (aceleramos o frenamos) y por lo tanto hay aceleración tangencial.
El ritmo de cambio de la velocidad es constante, la velocidad varía proporcionalmente al
tiempo (a doble tiempo doble velocidad etc.)
Por lo que la aceleración es constante en módulo.
Además de ser constante el módulo de la aceleración, también es constante su dirección y
el sentido, ya que el movimiento es rectilíneo.
Como la aT
es constante y la única de este movimiento, la aceleración tangencial coincide
con la aceleración media del movimiento ya que si la aceleración es constante es la misma
en un punto que en un intervalo.
t
vv
t
v
dt
vda 0
Como la trayectoria es rectilínea el desplazamiento y la trayectoria coinciden.
La ecuación del espacio también se puede obtener del área de la gráfica velocidad frente
a tiempo igual que en el movimiento anterior.
x0 t(s)
x(m)
v0
t(s)
v(m/s)
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28
Ecuación del movimiento uniformemente acelerado:
2
02
1attvx , si hay espacio inicial S0 se añade
Derivando se obtiene la velocidad: dt
dsv atvv 0 axvv f 22
0
2
Ejemplos:
1) La aceleración de una partícula que se mueve en el eje x está dado por la ecuación
tta 168 3 . Suponiendo que la partícula parte del reposo en el origen. Calcular:
a) La velocidad instantánea en función del tiempo
b) El desplazamiento en función del tiempo
c) El valor máximo del desplazamiento para t > 0
d) El valor máximo de la velocidad para t > 0
Solución
a) tv
adtdv00
t
dtttv0
3 168 =24 82 tt
24 82 ttv ; m/s
b) tx
vdtdx00
t
ttx0
24 82 3
8
5
2 35 ttx
;m
c) Xmáx.=?
Xmáx. si 0dt
dx
082 24 tt 0422 tt
02 t 042 t
d) Vmáx.=?
Vmáx. si 0dt
dv
0168 3 tt
022 tt
0t 2t
24
2822 máxv 8máxv ; m/s
2t
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29
2) Un móvil parte del reposo y durante 10s varía su velocidad a razón de 1.2m/s en cada
segundo. Después se mueve con velocidad constante durante 1min y por último
desacelera a razón de 2.4m/s hasta que se detiene. Calcular la distancia total
recorrida.
Solución:
Hay tres tramos: la velocidad Vf del 1er
tramo es la velocidad cte del 2do
tramo y esta es la velocidad V0 del 3
er
1er
Tramo
V1 = 0 2
012
1attvx
t = 10s mxx 60)10)(2.1(2
1 2
1
a = 1.2m/s2 atvv 0
smvv /12)10)(2.1(0
2do
Tramo
V0 =V = 12m/s vtx 2
a = 0 mxx 720)60)(12(2
t = 1min=60s
3
er Tramo
V0 =12m/s 3
2
0
2 2axvv
a = -2.4m/s2 mx
a
vvx 30
)4.2(2
)12()0(
23
222
0
2
3
vf = 0
mxxxxx TT 810321
X2 X1 X3
V=0 V0
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30
3) El movimiento de una partícula en el plano YZ está dado por las ecuaciones ay=3sent,
az=2cost. Si t=0 cuando y=0, z=2, vy=0, vz=5. Encontrar la ecuación de la trayectoria
de la partícula.
Solución:
ay=3sent donde sentdt
dvy3 ; integrando
tv
y sentdtdvy
003
0coscos3cos30
ttvt
y
3cos3 tvy
3cos3 tdt
dyvy
tv
y dttdvy
003cos3
tsenty 33
az= 2cost donde tdt
dvz cos3 ; integrando
tv
z tdtdvz
05cos2
sentsentvt
z 2250
52 sentvz
52 sentdt
dzvz
dtsentdztz
02
52
tt
ttz00
5cos22
45cos2 ttz
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31
1.18. CAÍDA LIBRE Tenemos dos movimientos, el debido a nuestro lanzamiento (hacia arriba o hacia abajo) y el de la gravedad que tira del cuerpo hacia abajo. Vamos a ver los vectores de posición que se obtienen cuando el tiro es hacia arriba y cuando es hacia abajo:
1.19. LANZAMIENTO DE PROYECTILES La velocidad de lanzamiento es horizontal, el cuerpo queda sometido a dos movimientos simultáneos:
1) SOBRE EL EJE X: (MRU) un movimiento horizontal rectilíneo y uniforme debido a la velocidad de lanzamiento, ninguna aceleración actúa horizontalmente, este es el MOVIMIENTO DE AVANCE (si no hubiera ninguna otra acción sobre el cuerpo este seguiría indefinidamente
en línea recta).
2) SOBRE EL EJE Y: (MRUA) un movimiento vertical rectilíneo y hacia abajo, sin velocidad inicial porque la velocidad inicial es horizontal y uniformemente acelerado (aceleración de
la gravedad) debido a la atracción que la Tierra ejerce sobre el cuerpo haciéndolo caer, MOVIMIENTO DE CAÍDA.
El resultado de ambos movimientos actuando a la vez da lugar a la trayectoria curvilínea que sigue el cuerpo.
Vectorialmente la aceleración de la gravedad queda: jg
8.9 ;m/s2
con el sistema de referencia que hemos tomado. El cuerpo sube siendo frenado por la atracción gravitatoria terrestre que acaba por pararle y le hace caer. En todo momento la gravedad actúa hacia abajo y es la velocidad la que cambia de sentido (primero sube y luego baja). Como la aceleración de la gravedad es un valor constante estamos con un movimiento uniformemente acelerado y su ecuación de movimiento
es : 2
02
1. attvs
Como la trayectoria es rectilínea el valor del desplazamiento y el espacio recorrido coinciden por lo que el vector de posición del móvil en cada instante es:
mjgttvhr ;)2
1.( 2
00
y la velocidad se saca derivando: jgtvv
)( 0 ;m/s
En este caso la velocidad inicial tiene diferente sentido y por lo tanto diferente signo:
mjgttvhr ;)2
1.( 2
00
y la velocidad se saca derivando: jgtvv
0;m/s
La gravedad acelera en todo momento al movimiento. Si en lugar de lanzarlo hacia abajo lo dejamos caer la velocidad inicial es cero:
mjgthr ;)2
1( 2
0
y la velocidad se saca derivando: V = ( – g.t ) j m/s
El vector de posición tiene componente x (MRU: S=V. t ; avance del proyectil) y componente y donde se mide la caída y por lo tanto las
alturas (MRUA sin velocidad inicial 2
02
1atss ) queda:
mjgthitvr ;)2
1().( 2
00
y la velocidad se saca derivando: jgtivv
()0;m/s
Alcance
v0
y
h0
x
hmáxima
v0
h0
x
y vf = 0
h0
v0
x
y
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32
ALCANCE DEL PROYECTIL: es la distancia horizontal que recorre hasta llegar al suelo. En el suelo
la altura es cero luego
y=0 entonces: )2
1(0 2
0 gth
sacando el valor de t es posible obtener el alcance tvX .0
La trayectoria se obtiene del vector de posición despejando el tiempo de cada, ES UNA
TRAYECTORIA PARABÓLICA.
e) Movimiento Horizontal (X):
cos00 vvv xx
tvtvX x .cos. 00 tvX .cos0 (1)
f) Movimiento Vertical (Y):
gtsenvgtvv yy 00 gtsenvv y 0
(2)
2
0
2
02
1.
2
1. gttsenvgttvY y 2
02
1. gttsenvY (3)
Despejando t de (1) y reemplazando en (3)
2
22
0
.cos2
xv
gxtagY
ecuación de la parábola (4)
g) Altura Máxima (H): es alcanzada cuando 0yv , en (2)
gtsenv 00 g
senvt
0 (5)
Reemplazando (5) en (3)
2
00
02
1
g
senvg
g
senvsenvHY
g
senvH
2
22
0 (6)
h) Alcance Máximo (R): se consigue cuando Y=0, en (3)
2
02
1.0 gttsenv
g
senvtT
02 , tiempo total de vuelo (7)
Vemos que en (7) = 2 (5), es decir el tiempo total de vuelo es dos veces el tiempo de subida.
tvRX .cos0
g
senvvR
0
0
2cos
g
senvR
22
0 , alcance total (8)
tv
x
0
sustituyendo en y queda: tvX .0
)2
1( 2
0 gthY
2
2
0
0 .2
xv
ghY
Ecuación de la trayectoria
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33
Ejemplos
1) Una partícula es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 92pie/s y 2seg más
tarde otra partícula es proyectada verticalmente hacia arriba desde el mismo punto y con una
velocidad de 68pie/s. Hallar la altura sobre el punto de partida en la que se encuentran y el
tiempo el cual ha transcurrido desde el lanzamiento de la 1ra
partícula. g=32pie/seg
Solución:
Y el tiempo de la 2da partícula será ( t – 2 )seg
Además: CBABACym
2
22
32
92
22
2)2(68
322
92
t
gt
gt
segt 5
Luego la altura en la que se encuentran será:
mABtg
tAB 6022
)2(682
2) Un bombardero vuela horizontalmente con una velocidad v y a una altura h¸ debe acertar a un tren que se mueve con una velocidad constante v0 en la misma dirección y sentido y en el
mismo plano vertical. Determinar la expresión del ángulo que debe formar la visual al blanco con la horizontal en el instante de soltar la bomba. Solución:
h
vv
g
hctg 02
0002
222vv
gharcctgvv
ghvv
gh
h
V1=92pie/s
V2=68pie/s
(t-2) (t-2)
(t-v1/g)
encuentro
C
A
B
ym
)32(2
92
2
9222
myAC
Tiempo que tarda en alcanzar ym donde:
V=V1 +gtm =0
32
921 g
vtm
Si el tiempo total de A a C y de C a B es t seg.
Entonces el tiempo C a B será segg
vt
0
hctgxctgh
x (1)
0
0vv
xttvvx
(2)
g
htgth
2
2
1 2 (3)
Igualando (2) y (3) g
h
vv
x 2
0
Reemplazando x de (1) en (2) g
h
vv
hctg 2
0
(4)
h
x
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34
1.20. DINÁMICA RECTILÍNEA
Parte de la mecánica clásica que estudia el movimiento relacionado con las fuerzas que lo
originan.
LEYES DE NEWTON:
1) Primera Ley de Newton : LEY DE LA INERCIA
“Todo cuerpo mantiene su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos
que una fuerza exterior modifique dicho estado”. 0a
Conclusiones:
- Toda fuerza es causa de movimiento o su presencia es necesaria para alterar el estado
de reposo o movimiento.
- El estado de reposo o de movimiento (MRU) son enteramente equivalentes (son estados
naturales).
2) Segunda Ley de Newton : LEY FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA
“La variación del movimiento es proporcional a la fuerza aplicada y tiene la dirección de la
fuerza”.
En la terminología de Newton movimiento significa cantidad de movimiento, que viene a
ser:
vmp
)( vmdt
d
dt
pd
dt
vdm
Conclusiones:
- La dirección de la aceleración es la misma de la fuerza.
- La razón F/a es constante, independiente de la masa.
a
F
a
F
a
F
2
2
´
´
- El término “Fuerza motriz” empleado por Newton se refiere a una fuerza resultante o
fuerza no equilibrada que al actuar sobre un cuerpo le comunica una aceleración. En
general el cuerpo está sometido a la acción simultánea de un número cualquiera de
fuerzas, cuya resultante diferente de cero es causa de la aceleración. Matemáticamente
esto queda expresado como:
amF ii
O equivalente en componentes rectangulares:
xix maF yiy maF ziz maF
amF
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3) Tercera Ley de Newton : LEY DE LA ACCIÓN Y REACCIÓN.
“Para cada acción hay una reacción de igual módulo pero de sentido opuesto”
1 kg-f = 9.81N
1 lb-f = 4.448N
Masa y Peso
La fuerza más común en la experiencia diaria es la fuerza de gravedad o atracción que
ejerce la tierra sobre todos los cuerpos que están sobre ella. Esta fuerza se llama peso del
cuerpo.
Cuando un cuerpo es abandonado y se deja caer libremente, la única fuerza que actúa
sobre él es su peso W y su aceleración es la de cualquier cuerpo que cae libremente, es
decir la aceleración de la gravedad cuyo valor promedio es g=9.8m/s2 o 32pies/s
2.
De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, la expresión del peso es:
gmW
o escalarmente
mgW , donde m=masa del cuerpo.
El W
, actúa verticalmente dirigido hacia el centro de la tierra, el peso de cuerpo también
varía en los diversos lugares de la tierra, siendo mayor en los polos y mínimo en el
Ecuador, en tanto que la masa permanece constante.
gwm /
ALGUNAS APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON
Las tres leyes de Newton son suficientes para el estudio de cualquier problema de
mecánica, con auxilio de algunas definiciones complementarias.
Ejemplos:
1) Un bloque de masa m1=10kg que está sobre una superficie horizontal sin fricción, es jalado
mediante una cuerda que pasa por una polea y sostiene a otro bloque de masa m2=40kg, tal
como se muestra en la figura. Suponiendo que la masa de la cuerda es despreciable y la polea
sin fricción, calcular la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda.
Solución:
(a) DCL(m1) DCL(m2)
BAAB FF
m1
m2
m1g
m1
N
T
m2g
m2
T
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El bloque m1 no tiene movimiento vertical (ay =0) pero horizontalmente tiene una
aceleración de igual módulo que la aceleración vertical del bloque de masa m2. Luego
aplicando la 2da ley de Newton tenemos:
)0(11 mgmN (1)
gmN 1
amT 1 (2)
amTgm 22 (3)
De (2) y (3), tenemos:
21
2
mm
gma
a = 7.84 m/s2
Y de (2), se tiene: T = 78.4 N
2) La máquina de Atwood es un dispositivo que empezó a emplearse en el siglo XVIII
para realizar las primeras mediciones de la aceleración de la gravedad. Se compone
de dos masas m1 y m2 unidas por una cuerda delgada de peso despreciable que pasa
por una polea ligera con una fricción despreciable.
Solución:
Si m1= m2, el sistema permanece en reposo en cualquier posición equilibrándose entre
sí.
Si m1> m2, m2 se acelera hacia abajo y m1 hacia arriba, la aceleración es constante.
Y si m2= m1, la aceleración es pequeña y se puede medir con facilidad obteniéndose
su valor, a partir del cual se calcula g.
En la actualidad, conociéndose el valor de la aceleración de la gravedad, la Máquina
de Atwood puede servirnos para encontrar las aceleraciones de los cuerpos y con la
ecuación de la cinemática encontramos la velocidad y la posición de los cuerpos en
cualquier momento.
T
T
m2
m1
m2g
m2
T
m1g
m1
T
T
T
m2
m1
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De la 2da Ley de Newton tenemos:
amgmT 11 (1)
amTgm 22 (2)
De (2) y (3), tenemos:
g
mm
mma
21
12
En (1) reemplazamos el valor de “a” y despejando para T se tiene:
gmm
mmT
21
212
1.21. FUERZAS DE FRICCIÓN
La fuerza de fricción, es la fuerza que aparece en la superficie de contacto de dos
cuerpos, oponiéndose al movimiento relativo de
estos.
La fricción se debe a las fuerzas intermoleculares en la superficie libre de los cuerpos,
interviene la adhesión y cohesión. En realidad, observando microscópicamente, las
superficies en contacto no descansan por completo la una sobre la otra sino en partes
prominentes. Ésta es la razón por que la fuerza de fricción no dependa del área en
contacto.
1) Fuerza de Rozamiento Estático (fs) :
Este es la fuerza de rozamiento estático y es proporcional a la fuerza normal, esto es:
Nf ss
donde: N: es la fuerza normal o fuerza de contacto
s : es el coeficiente de rozamiento estático
2) Fuerza de Rozamiento Cinético (fk) :
f F
Movimiento
Si gradualmente intentamos el movimiento de un cuerpo
sobre otro, mientras el cuerpo está en reposo, la fuerza de
rozamiento va creciendo desde cero hasta un valor
máximo fs en que el movimiento es inminente.
fs
mg
N
F
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Este es la fuerza de rozamiento cinético y es proporcional a la fuerza normal, esto es:
Nf kk
donde: N: es la fuerza normal
k : es el coeficiente de rozamiento cinético
La experiencia nos indica que es más fácil mantener el movimiento de un cuerpo
sobre otro que iniciarlo, por esto, en general k < s y consecuentemente fk < fs
En un plano inclinado, cuando el movimiento es inminente por acción de una
componente de su peso para un ángulo , tenemos que el cuerpo está en equilibrio
(=s,k)
Si se inicia el movimiento es necesario disminuir un tanto la inclinación del plano
inclinado para mantener el movimiento a velocidad constante (a=0). En tal caso las
ecuaciones conducen al siguiente resultado:
k = tg.k ( k < s )
Ejemplos:
1) Encontrar la aceleración de la masa m=10kg si el coeficiente de fricción cinético
es 0.2 y la fuerza es constante como se indica en la figura. Determine también la
fuerza de contacto con el piso.
DCL
En el diagrama del cuerpo libre se muestran todas las fuerzas que actúan sobre el
bloque en movimiento. Las ecuaciones escalares del movimiento son:
mafF k º37cos (1)
fk
mg
N
F
Estando el cuerpo en movimiento, siempre existe la
fuerza de rozamiento, la misma que se llama fuerza de
rozamiento cinético
Entonces tenemos: N – mg.coss = 0
w.sens - fs = 0
de donde: mg.sens = fs
mg.coss = N
tg.s = fs/N = s N/ N
s = tg.s
F = 30N
37º
m fk
N
w=mg
F = 30N
37º
m
Solución:
mgsen
mgcos
W
fr
N
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0º37 mgNFsen (2)
de la definición de fuerzas de fricción:
Nf kk (3)
De la ecuación (2) despejamos el valor de la fuerza de contacto (N)
º37FsenmgN (4)
Reemplazando datos; m=10kg, g=9.8m/s2, F=30N, obtenemos:
N = 80N
En la ecuación (3) reemplazamos k = 0.2 y N = 80N, obtenemos:
Nfk 0.16
De (1) la aceleración de la masa es:
10
0.16)5/4(30º37cos
m
fFa k a = 0.8m/s
2
2) Dos cuerpos cuyas son “m” y “2m” están unidas en los extremos de una cuerda
rígida inextensible que pasa por una polea sin fricción situada en la parte más alta
de un plano inclinado =30º con la horizontal y sin fricción. El cuerpo de masa
“2m” está en contacto con el plano y cuerpo de masa “m” está suspendida
libremente. Hallar el tiempo tomado por la masa “m” para caer por él 20 pies, si
su velocidad inicial es 8pie/s hacia abajo.
Solución:
Para la masa “2m” se tiene que:
2mgsen30º -T =2ma (1)
T-mg = ma (2)
Sumando: (1) + (2) :
2mgsen30º -mg =3ma donde a = 0
Luego las masas caen con movimiento uniforme por consiguiente si:
X=20pies; V0= 8pie/s
t=x / V0 = 20 / 8 t = 2.5seg
30º
2mgsen30º
T
mg
T
30º 2mg