Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
1/28Problemas tema 1: Oscilaciones
Problemas de Oscilaciones
Boletín 1 – Tema 1
Fátima Masot Conde
Ing. Industrial 2007/08
Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
2/28Problemas tema 1: Oscilaciones
8cm8cm
+8cm+8cm
posición de equilibrio
Una barca flota en el agua subiendo y bajando con las olas. La barca alcanza 8cm abajo y 8cm arriba de su posición de equilibrio y tarda 2.5s en pasar del puntomás alto al más bajo y viceversa. Calcular amplitud, periodo, frecuencia y frecuencia angular del movimiento.
Tarda 2.5 s en pasar del punto más alto al másbajo
Tarda el doble en repetir una oscilación completa:
La amplitud es 8 cm(máximo desplazamiento medido desde la posición de equilibrio)
Problema 1:
f =1
T= 0.20ciclos/s = 0.2Hz
= 2 f = 1.26rad/s
f =1
T= 0.20ciclos/s = 0.2Hz
= 2 f = 1.26rad/s
T = 5 sT = 5 s
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3/28Problemas tema 1: Oscilaciones
Problema 2:
b)
c)
a) ¡dato!
Una masa de 0.5Kg se encuentra conectada a un muelle y oscila sin rozamiento y horizontalmente con una amplitud de 35.0cm. El oscilador repite su movimiento cada 0.5s. Calcule a) el periodo, b) la frecuencia angular, c) la constante del muelle, d) la velocidad máxima, y e) la fuerza máxima que ejerce el resorte.
x+ 2x = 0x++ 22x = 0
f =1
T= 2Hzf =
1
T= 2Hz
= 2 f = 4 rad/s= 2 f = 4 rad/s
T = 0.5 sT = 0.5 sm = 0.5 kgm = 0.5 kg
A = 35 cmA = 35 cm
posición de equilibrio
K = m 2 = 0.5(4 )2N
m= 8 2N
mK = m 2 = 0.5(4 )2
N
m= 8 2N
m
2 = K/m2 = K/m Kg(rd2)
s2m
m=N
mKg(rd2)
s2m
m=N
m
Sabemos:
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4/28Problemas tema 1: Oscilaciones
Problema 2:
d)
e)
sen( t+ ) 1sen( t+ ) 1
Fuerza máxima
|F | = Kx|F | = Kxx|
maxx|
max
t =2
t =2
t =2
1
4=1
8st =
2
1
4=1
8s
x(t) = A sen( t+ )
x(t)|max
= A = (0.35m)(4 rad/s) = 1.4 m/s
x(t) = A sen( t+ )
x(t)|max
= A = (0.35m)(4 rad/s) = 1.4 m/s
¿Cuando se alcanza vmax?¿Cuando´ se alcanza vmax?
F |max
= KA
=
μ8 2N
m
¶(0.35m)
= 2.8 2N
F |max
= KA
=
μμ8 2N
m
¶¶(0.35m)
= 2.8 2N
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5/28Problemas tema 1: Oscilaciones
Para medir la masa de un astronauta en ausencia de gravedad se emplea unaparato medidor de masa corporal. Este aparato consiste, básicamente en unasilla que oscila en contacto con un resorte. El astronauta ha de medir su periodode oscilación en la silla. En la segunda misión Skylab el resorte empleado tenía una constante k=605.6N/m y el periodo de oscilación de la silla vacía era de 0.90149s. Calcule la masa de la silla. Con un astronauta en la silla el periodo medido fue 2.08832s. Calcule la masa del astronauta.
T0 = 2
r
Problema 3:
msilla
Kresorte
T0TT = 2
rmsilla
KreKK sorte
Sabemos que:
x + 2x = 0x + 2x = 0
x(t) = A cos( t+ )
x(t) = A sin( t+ )
x(t) = A cos( t+ )
x(t) = A sin( t+ )
T = 2
rmsilla +mastron
Kresorte
T = 2
rmsilla +mastron
KreKK sorte
KmKKmm
DATOS
Kresorte = 605.6N/m
T0 = 0.90149 s
T = 2.08832 s
KreKK sorte = 605.6N/m
T0TT = 0.90149 s
T = 2.08832 s
mastronauta = 54.43 kgmastronauta = 54.43 kgmsilla = 12.47 kgmsilla = 12.47 kg
Sistema medidor de la masa corporal
silla
resorte
T = 2
rm
KT = 2
rrm
K
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6/28Problemas tema 1: Oscilaciones
Problema 4:
a) b) Para muelles en paraleloPara muelles en serie
1
Keq=
1
K1+1
K2
1
KeqKK=
1
K1+1
K2KKKeq = K1 +K2Keq = K1 +K2
Determinar la frecuencia de oscilación de una masa m unida a dos muelles deconsantes k1 y k2 cuando a) los muelles están conectados en serie y b) los muelles están conectados en paralelo.
Keq =K1K2K1 +K2
KeqKK =K1K2KK
K1 +K2KK
En ambos casos, =
rKeqm, f =
2En ambos casos, =
rKeqm, f =
2
k1k1 k2k2
keqkeq
k1k1
k2k2
keqkeq
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7/28Problemas tema 1: Oscilaciones
Una masa m=1kg está conectada a un resorte de constante K=200N/m. La masa se aleja una distancia x=+0.2m de su posición de equilibrio y a continuación se suelta, de forma que oscila horizontalmente y con rozamiento despreciable. Calcular a) ecuación del movimiento, b) velocidad máxima y mínima que alcanza la masa indicando en qué posición se alcanzan, c) velocidad y aceleración de lamasa cuando lleva recorrida la mitad de la distancia entre la posición inicial y el punto de equilibrio, d) energía total, potencial y cinética en ese punto.
Problema 5:
a) Ecuación del mov.
= 0Eleccion arbitrariat = 0 para x(0) A
= 0Eleccion arbitrariat = 0 para x(0) A
x(t) = A cos( t+ )x(t) = A cos( t+ )
K = 200 N/mA = 0.2 mm = 1 kg
K = 200 N/mA = 0.2 mm = 1 kg x(t) = 0.2 cos(14.14 t)x(t) = 0.2 cos(14.14 t)
0.2m
posición deequilibrio
Datos:=
rK
m=
s200N/m
1kg= 14.14 rad/s=
rK
m=
s200N/m
1kg= 14.14 rad/s
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8/28Problemas tema 1: Oscilaciones
Problema 5
Velocidad máxima y mínima que alcanza la masa indicando en qué posición se alcanzan.
14.14rad/s0.2m
b)
x(t) = A cos( t)x(t) = A cos( t)
cos t = 1cos t = 1
sen t = 0sen t = 0
sen t = 1sen t = 1
cos t = 0cos t = 0
(x=A)(x=A)
(x = 0)(x = 0)
|x(t)| = v(t) = | A sen( t)||x(t)| = v(t) = | A sen( t)|
veloc. máx
tt3
2
3
2
vmin = 0vmin = 0
vmax = A = 2.83m/svmax = A = 2.83m/s
(módulo)
xx
xx
x = Av = 0x = Av = 0
x = +Av = 0x = +Av = 0
max
equilibrio , 0xv
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9/28Problemas tema 1: Oscilaciones
Velocidad y aceleración para x a medio camino entre posición de equilibrio y extremo.
Directamente calculamosla aceleración
Para calcular la velocidad, necesitamos despejar el seno.
Resultado:Resultado:Resultado:
c)
x(t) = 0.1m
x(t) = 2.45m/s
x(t) = 20m/s
x(t) = 0.1m
x(t) = 2.45m/s
x(t) = 20m/s
t = 60o
sen 60 = 3/2
cos t =1
2
x(t) =A
2= 0.1 cm
x(t) = A cos t
x(t) = A sen t
x(t) = A 2 cos t = 2x(t) = 2A
2
ot = 60o
sen 60 = 3/2
1cos t =
1
2
x(t) =A
2= 0.1 cm
x(t) = A cos t
x(t) = AA sens tt
x(t) = A 2 cos t = 22x(t) =) 2A
2
0.20.2 14.1414.14 3/23/2
= A/2 = 0.1= A/2 = 0.1
Problema 5
El instante t en el que se alcanza esa posiciónes t=0.074 s (aprox. T/6, y T=0.444 s)
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10/28Problemas tema 1: Oscilaciones
calculado apartado c)
Energía total, potencial y cinética en ese punto.d)
Datos N
Problema 5
ETOTAL =1
2KA2 =
1
2
μ200
N
m
¶(0.2m)2 = 4Nm = 4JETOTEE AL =
1
2KAAK 2 =
1
2
μ200
N
m
¶(0.2m)2 = 4Nm = 4J
Kgm
s2mKg
m
s2m
EK =1
2mv2 =
1
2m [x(t)]
2=1
2(1 kg)(2.45m/s)2 = 3J
mmEK =
1
2mv2 =
11
22m [x(t ])]
2=1
2(1 kg)(2.45m/s)2 = 3J
EP = ETOTAL EK =1
2K [x(t)]2 = 1JEP == ETOTAL EK =1
2K [[x(t ])]2 == 1J
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11/28Problemas tema 1: Oscilaciones
Un resorte de masa despreciable posee una longitud de 10cm sin estirar. Se sitúa el resorte en posición vertical y, a continuación, se cuelga de su extremo una masa de 2kg. Como resultado la masa comienza a oscilar en torno a un punto situado a 11cm estirado de la base del muelle. Calcule a) constante K del muelle, b) Amplitud y periodo de movimiento.
Problema 6:
Constante del muelle K
Y el periodo de oscilación, independientemente de la amplitud para oscilaciones pequeñas, es:
a)
K = 1962N
mK = 1962
N
m
Sabemos K l = mg en el equilibrioSabemos K l = mg en el equilibrio
K =mg
l=2kg 9.8m/s2
1 cmK =
mg
l=2kg 9.8m/s2
1 cm
T = 2
rm
K= 0.2 sT = 2
rm
K= 0.2 s=
rK
m=2
T=
rK
m=2
T
10 cm
m = 2kgl = 1 cm
m = 2kgl = 1 cm
11 cmy0= l=1cm
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12/28Problemas tema 1: Oscilaciones
Problema 6
En principio, la amplitud de la oscilación vertical no tendría por quéser igual a l: La masa podría oscilar entorno a la posición de equilibrio vertical (situada a once centímetros de la base del muelle, -distinta de la posic. de equilibrio horizontal, que dista solamente 10 cm-), con una amplitud que no tendría por qué coincidir con el estiramiento que sufre el resorte en esas condiciones, (con la masa colgada, 1 cm).
Sin embargo, aquí sí coinciden, ya que en este caso se dice que simplemente “la masa se cuelga, y empieza a oscilar”. Así que el movimiento parte del reposo (condición inicial de velocidad nula), y según la definición de condiciones iniciales, el estiramiento del resorte en ese momento coincide con la amplitud de movimiento (sin incluir efectos de amortiguación). O sea: A= l
De todas formas, podemos comprobarlo, por energías. Suponiendo, primero, que no coinciden A= l
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13/28Problemas tema 1: Oscilaciones
EK = 0EK = 0Epm =mg(h A)EpEE m=mg(h A)Epr =
1
2K( l+A)2EpEE r
=1
2K( l+A)2
Epr =1
2K( l)2EpEE r
=1
2K( l)2
Tierra Epm = 0Tierra EpEE m= 0
Epr =1
2K( l A)2EpEE r
=1
2K( l A)2 Epm =mg(h+A)EpEE m
=mg(h+A) EK = 0EK = 0
Epm =mg(h+ l)EpEE m=mg(h+ l)
E+TOT
= Epr +EpmE+TOTE = EpEE r
+EpEE m
ETOT
= Epr +EpmETOTE = EpEE r
+EpEE m
Epr = 0EpEE r= 0
h
ll
A
Problema 6
Diagrama de los niveles de energía en varios puntos
Antes de colgar la masa
Epm =mghEpEE m=mgh
Energ. Potencial del resorte
Energía potencial gravitatoria
Energíacinética
Energíatotal
Después de colgar la masa
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14/28Problemas tema 1: Oscilaciones
Energía potencial total en el equilibrio
Energía potencial propia de la oscilación
A 6= lA 6=66 l En principio no tiene por qué ser l = A
Problema 6
E+TOTAL =1
2K( l)2 +
1
2KA2 2
1
2K l · A+mgh+mgAE+TOTAL =
1
2K( l)2 +
1
2KA2 22
1
22K ll ·· AA+mgh+mgmgAA
ETOTAL =1
2K( l)2 +
1
2KA2 + 2
1
2K l ·A+mgh mgAETOTAL =
1
2K( l)2 +
1
2KA2 + 22
1
22K ll ·A+mgh mgmgAA
ETOTAL = E+TOTAL
= ETOTAL
=1
2K( l)2 +mgh+
1
2KA2ETOTAL = E
+TOTAL
= ETOTAL
=1
2K( l)2 +mgh+
1
2KA2
La energía total en todos los puntos tiene que ser la misma (pues tanto la gravedad como el resorte son fuerzas conservativas)
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15/28Problemas tema 1: Oscilaciones
mg l =1
2K( l)2 +
1
2KA2mg l =
1
2K( l)2 +
1
2KA2
mg = K lmg = K l
l Al A
Problema 6
mg l) = E+TOTAL
= ETOTAL
=1
(h +2K( l)2 +mg
1h +
2KA2mgg l) = E+
TOTAL= E
TOTAL=1
((hh +2K( l)2 +mgg
1hh +
2KA2
1
2K( l)2 =
1
2KA2
1
2K( l)22 =
1
2KA2
K( l)2 = 12K( l)2 + 1
2KA2K( l)2 = 1
2K( l)2 + 12KA
2
Igualando la ETOTAL antes y despues de colgar la masa:(La ETOTAL debe ser igual en cualquier instante)Igualando la ETOTAL antes y despues de colgar la masa:(La ETOTAL debe ser igual en cualquier instante)
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16/28Problemas tema 1: Oscilaciones
Dos cuerpos con la misma masa cuelgan de dos resortes distintos de constantes recuperadoras K1 y K2. Ambos cuerpos oscilan con amplitudes tales que sus velocidades máximas son iguales. Determinar la relación existente entre ambasamplitudes.
Problema 7:
Sabemos:
A1A1
A1A1
A2AA2
A2A2mm
mm
K1K1 K2K2
Dato: vmax|1 vmax|2Dato: vmax|1 vmax|2Hay que calcular
A1A2
Hay que calcularA1A2
x(t) = A sen( t)x(t) = A sen( t)
x(t) = A cos( t)x(t) = A cos( t)
=
rK
m=
rK
m
vmax = Avmax = A
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17/28Problemas tema 1: Oscilaciones
velocidades máximas iguales (dato, condición del problema)
A1A2
=2
1=
rK2
K1
A1A2
=2
1=
rK2KK
K1
A1 1 = A2 2A1 1 = A2 2
Problema 7
vmax|1 = A1 1vmax|1 = A1 1
vmax|2 = A2 2vmax|2 = A2 2
1 =
rK1
m1 =
rK1
m
2 =
rK2
m2 =
rK2
m
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18/28Problemas tema 1: Oscilaciones
Problema 8:
Sabemos:
para un resorte:
en el equilibrio:
Por tanto:Po aannto:oPoPP nnnnaanntntntn ototooooPo nto:
Un resorte vertical de masa despreciable soporta una masa que le produce unalargamiento l0. Demostrar que el periodo de las oscilaciones verticales es el mismo que el de un péndulo simple de longitud l0.
T = 2
rm
K= 2
rm
mg/l0= 2
sl0g
or taaaaaaannnto:
T = 2==
rrm
K= 2
rm
mg/l0= 2
sl0g
K11
m
l00
mg = Kl0 K =mg
l0mg = Kl0 K =
mg
l0
T =2, =
rK
mT =
2, =
rK
m
Idéntico al periodo de oscilación de un péndulo de longitud l0 para pequeñas oscilacionesg 0 p p qIdéntico al periodo de oscilación de un péndulode longitud l0ll0l00 para pequeñas oscilacionesIdéntico al periodo de oscilación de un péndulo de longitud l0 para pequeñas oscilaciones
,,
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19/28Problemas tema 1: Oscilaciones
mm
ll
Un explorador espacial desea conocer la aceleración de la gravedad en un planeta en el que acaba de aterrizar. Para ello, construye un péndulo simple con una cuerda de longitud 50.0cm y una masa de 2kg. El explorador determina que elpéndulo efectúa 100 oscilaciones completas en 136s. ¿Cuánto vale g en ese planeta?
Problema 9:
Sabemos:
100 oscilaciones en 136s
D t i i L il ió d é d l NO d d d l asa D t i i L il ió d é d l NO d d d l asaDato innecesario: La oscilación de un péndulo NO depende de la masa (Galileo). El funcionamiento del reloj de péndulo se basa en esto.
g =4 2(0.5m)
(1.36s)2= 10.7m/s2g =
4 2(0.5m)
(1.36s)2= 10.7m/s2
T = 2
sl
gg = 4 2 l
T 2T = 2
sl
gg = 4 2 l
T 2
T = 136100 = 1.36sT = 136100 = 1.36s
l = 50 cml = 50 cm
l = 50 cml = 50 cm
m = 2kgm = 2kg
Datos
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20/28Problemas tema 1: Oscilaciones
En el sistema de la figura el muelle tiene una constante K=8N/m y m=1.50kg.La fuerza de amortiguamiento es del tipo F=-bv con b=230g/s. Suponiendo que el bloque se desplaza a 12.0cm de su posición de equilibrio y se suelta, calcule: a) tiempo necesario para que la amplitud de las oscilaciones se reduzca a un tercio de su valor inicial, b) ¿Cuántas oscilaciones realiza el bloque en ese tiempo?
Problema 10:
Ecuación del movimientoamortiguado:
Solución: x(t) = A0e(b/2m)t cos( 0t+ )x(t) = A0e(b/2m)t cos( 0t+ )
0 = 0
s1
μb
2m 0
¶20 = 0
s1
μb
2m 0
¶2
Kx bdx
dt= m
d2x
dt2Kx b
dx
dt= m
d2x
dt2
Amplitud sin amortiguar(dato: 12 cm)
Frecuencia de amortiguación
Amplitudamortiguada
Frecuencia sin amortiguar =
rK
m, K, m datos=
rK
m, K, m datos
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21/28Problemas tema 1: Oscilaciones
A = A0e
b
2mt=A03
A = A0e
b
2mt=A03
a)
e
b
2mt=1
3e
b
2mt=1
3
b
2mt = ln
1
3= 1.0986
b
2mt = ln
1
3= 1.0986
t = 1.09862 · 1.5 kg230 g/s
103g
1 kg= 14.3 st = 1.0986
2 · 1.5 kg230 g/s
103g
1 kg= 14.3 s
Problema 10
Tiempo transcurrido para que A decaiga aA03
Tiempo transcurrido para que A decaiga aA03
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22/28Problemas tema 1: Oscilaciones
Oscilaciones transcurridas hasta ese momento.
b)
=t 0
2' 5.25osc.=
t 0
2' 5.25osc.no de oscilaciones=
t
Tno de oscilaciones=
t
T
con amortiguación
sin amortiguación
0 =
rK
m=
s8N/m
1.5 kg= 2.31 rad/s0 =
rK
m=
s8N/m
1.5 kg= 2.31 rad/s
Problema 10
=t 0
2= 5.25osc.=
t 0
2= 5.25osc.
=
s20
μb
2m
¶2=
s20
μb
2m
¶2
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23/28Problemas tema 1: Oscilaciones
Problema 11:Una canica pequeña de masa m se desliza sin rozamiento por el interior de un cuenco esférico de radio r. a) Demostrar que el movimiento de la canica es el mismo que si estuviese sujeta a un péndulo de longitud r. b) Una cánica de masa m1 se desplaza del centro del cuenco a una distancia s1. Otra canica de masa m2se desplaza en dirección opuesta una distancia s2=3s1, siendo s1 y s2 muchomenores que r. Si se sueltan las canicas en el mismo instante, ¿dónde seencontrarán?. Explicarlo.
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24/28Problemas tema 1: Oscilaciones
La ecuación de movimiento es la misma en los dos casos:
mg sen = md2s
dt2mg sen = m
d2s
dt2
espacio recorrido sobre la superficie del cuenco (arco)
ángulo
~N
=mgcos
~N
=mgcos
mgcos
mgcosm
g sen
mg sen
P = mgP = mg
rl
rl
rr
a) Movimiento de la canica movimiento de un pendulo de radio r.Movimiento de la canica movimiento de un pendulo de radio r.
Problema 11
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25/28Problemas tema 1: Oscilaciones
Problema 11
Idéntica a la del péndulo, con ‘longitud’=‘r’
¿¿radio del cuenco
d2s
dt2= r
d2
dt2d2s
dt2= r
d2
dt2
• El peso ~P = m~g y el angulo son identicos en los dos casos• El peso ~P = m~g y el angulo son identtticos en los dos casos
• El radio del cuenco r longitud del pendulo l• El radio del cuenco r longitud del pendulo´ l
• La normal ~N tension de la cuerda ~T• La normal ~N tension de la cuerda ~T
' d2
dt2=
g
r' d2
dt2=
g
rd2
dt2=
g
rsen
d2
dt2=
g
rsen
Transformamos s :TrTT ansforff mamos s :
s r
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26/28Problemas tema 1: Oscilaciones
Las dos se encuentran en el punto más bajo delrecipiente (¡llegan al punto más bajo al mismo tiempo!)
b)
Problema 11
La solucion a la ecuacion anterior (para pequenos) es la
de un M.A.S., con un periodo definido: T = 2
rr
gque NO
depende ni de m ni de la altura de la que cae la bola.
La solucion a la ecuacion anterior (para pequenos) es la
de un M.A.S., con un periodo definido: T = 2
rr
gque NO
depende ni de m ni de la altura de la que cae la bola.
Do e ma m1 y m2, quecaen desde dos distancias distintas s1 y s2, s2 = 3s1, s1, s2 ¿ rDo e ma m1 y m2, quecaen desde dos distancias distintas s1 y s2, s2 3s1, s1, s2 ¿ r
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27/28Problemas tema 1: Oscilaciones
(siempre que s1, s2 ¿ r)(siempre que s1, s2 ¿ r)
00
Problema 11
Esto parece contradictorio, pues
• Las bolas son distintas m1 6= m2
• y una recorre un camino tres veces menor (s2 = 3s1)
Esto parece contradictorio, pues
• Las bolas son distintas m1 6=66 m2
• y una recorre un camino tres veces menor (s2 = 3s1)
La explicacion esta en que, cuando los angulosson pequenos (garantizado porque s1, s2 ¿ r)estamos bajo la aproximacion de infinitesimosequivalentes y los angulos recorridos y 0 sonaproximadamente iguales: ' 0 ' sen ' 0
La explicacion esta en que, cuando los angulos´son pequenos (garantinn zado porque s1, s2 ¿ r)estamos bajo la aproximacion de infinitesi´ mosequivavv lentnn es y los angulos´ recorridos y 0 sonaproximadamentnn e iguales: ' 0 ' sen ' 0
Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
28/28Problemas tema 1: Oscilaciones
La diferencia de alturas desde la que caen:
' 1' 1Aproximadamente caendesde la misma altura.Por otro lado, el tiempode caída no depende dela masa.
00
s1s1 s2s2
r cos 0r cos 0rr
r cosr cos
h1 = r r cos
h2 = r r cos 0
h1 = r r cos
h2 = r r cos 0
' 1' 1h = h1 h2 = r(cos
0 cos ) ' 0h = h1 h2 = r(cos0 cos ) ' 0' 0' 0
Problema 11