FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICAFUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
O que você deve saber sobre
O crescimento exponencial em alguns casos pode ser vertiginoso; em outros momentos, pode tender lentamente a zero, sem nunca atingi-lo. A função exponencial é fundamental para explicar numericamente desde fenômenos biológicos até fenômenos físicos complexos, como a transmutação radioativa.
• O crescimento de bactérias em um meio de cultura, número que dobra em períodos regulares.
• Os juros compostos nas aplicações financeiras
• Está presente também na fórmula do termo geral de uma progressão geométrica.
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
É a multiplicação sucessiva por um mesmo fator.
I. Potenciação
Exemplos:
O expoente n indica que a base a foi multiplicada por ela mesma n vezes; an é chamado de potência.
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Propriedades das potências
I. Potenciação
1. Produto de potências de bases iguais: bc bd = bc+d
2. Quociente de potências de bases iguais:
3. Potência de potência: (bc)d = bcd
4. Potência de produto: (m n)c = mc nc
5. Potência de quociente:
6. Potência de expoente inteiro negativo: b–c =
7. Potência de expoente racional: b
8. Potência de expoente irracional:é obtida por aproximação do valor irracional do expoente.
bc
bd = bcd
mc
nc=
1bc =
= bcd
, com b 0
, com n 0
, com b 0
, com d 0
c
nm
c
b
1
dc
É qualquer função f: da forma f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1.
Gráficos da função exponencial
f(x) = 2x
O gráfico é crescente, não cruza o eixo x e intercepta o eixo y no ponto (0,
1).
II. Função exponencial
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
(3,8)
(2,4)
(1,2)
(0,1)f(x) = 2x (-1; 0,5)
Gráficos da função exponencial
II. Função exponencial
O gráfico é decrescente,
também cruza o eixo y em (0, 1) e não intercepta
o eixo x.
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
(-3, 8)
(-2, 8)
(-1, 2)
(0, 1) (1; 0,5)
x
xg
21
x
xg
21
Simulador: funções Clique na imagem para ver o simulador.
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Equações exponenciais
A incógnita está no expoente.
Para resolvê-las, escrever os dois lados da igualdade como potências de uma mesma base. Chega-se então a:
II. Função exponencial
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
III. Logaritmos
Dados dois números positivos a e b, com b ≠ 1, o logaritmo de a na base b é o número c tal que
Propriedades dos logaritmos (decorrem das propriedades das potências):
O número a é chamado logaritmando.
1. Logaritmo do produto: logb m n = logb m + logbn2. Logaritmo do quociente: logb n
m= logb – logb n (n 0)
3. Logaritmo de potência: logb mn = nlogb m
4. Mudança de base: logn m =nm
b
b
loglog
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
IV. Função logarítmica
Gráficos da função logarítmicaf(x) = log2 x
O gráfico é crescente, cruza o
eixo x em (1, 0) e não
intercepta o eixo y.
É qualquer função f: dada pela lei f(x) = loga x,
com a > 0 e a ≠ 1.
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
f(x) = log2 x (8, 3)
(2, 1)
(0,5; - 1)
(1, 0)
IV. Função logarítmica
Gráficos da função logarítmica
O gráfico é decrescente,
intercepta o eixo x em (1, 0) e não cruza
o eixo y.
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
(0,5, 1)
(1, 0)
(2, -1) (4, -2)
(8, -3)
logxg
xxg21
log
xxg21
log
Gráficos de uma função exponencial e de uma função logarítmica,numa mesma base, construídos em um mesmo plano cartesiano,são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares:
IV. Função logarítmica
Gráficos da função logarítmica
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Equações logarítmicas
A incógnita está na base de um logaritmo ou em seu logaritmando.
Condições de existência do logaritmo:
• a base é um número real positivo e diferente de 1;
• o logaritmando é um número real positivo.
A resolução das equações logarítmicas envolve a
transformação da expressão em uma equação exponencial.
IV. Função logarítmica
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Equações logarítmicas
Outra situação:
Da mesma forma, o primeiro passo deve ser a aplicaçãoda definição de logaritmo. Uma vez calculado o valor da potência,pode-se obter a incógnita.
IV. Função logarítmica
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
(UEG-GO)Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda nãodesintegrada da substância é S = S0 . 2-0,25t, em que S0 representa a quantidade de substância que havia no início.
Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial se desintegre?
1
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR
EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS
RESPOSTA:
(Unesp) Considere a função dada por f(x) = 32x+1 + m . 3x + 1.
a) Quando m = 4, determine os valores de x para os quais f(x) = 0.b) Determine todos os valores reais de m para os quais a equação f(x) = m + 1 não tem solução real x.
2EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS
RESPOSTA:
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(UFJF-MG)
3EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS
RESPOSTA:
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR
(Ufal)Uma pessoa necessitava saber o valor do logaritmo decimal de 450, mas não tinha calculadora.
Em uma busca na internet, encontrou a tabela a seguir e,através dela, pôde calcular corretamente o que precisava.
Determine o valor encontrado.
4EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS
RESPOSTA:
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(UFPE) Suponha que a taxa de juros de débitos no cartão de crédito seja de 9% ao mês, sendo calculada cumulativamente.
Em quantos meses uma dívida no cartão de crédito triplicará de valor?(Dados: use as aproximações
5EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS
RESPOSTA:
.)
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Sabendo que os pontos (a, – ); (b, 0); (c, 2) e (d, ) estãono gráfico de f, calcule b + c + ad.
8EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS
RESPOSTA:
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR
a) Qual era o número de bactérias, de cada um dos tipos, no instante inicial do experimento?b) Esboce o gráfico das funções f e g apresentadas acima.
c) Após quantos minutos a lâmina terá o mesmo número de bactérias do tipo I e II? (Use log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47.)
1EX
ER
CÍC
IOS
ES
SEN
CIA
IS17
RESPOSTA:
(UFPR) Em um experimento feito em laboratório, um pesquisador colocou numa mesma lâmina dois tipos de bactérias, sabendo que as bactérias do tipo I são predadoras das bactérias do tipo II. Após acompanhar o experimento por alguns minutos, o pesquisador concluiu que o número de bactérias tipo I era dado pela função f(t) = 2 • 3t + 1, e que o número de bactérias do tipo II era dado pela função g(t) = 3 • 24 – 2t, ambas em função do número t de horas.
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR