Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Función Transferencia
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FUNCIONES DE REDES: FUNCION TRANSFERENCIA Cuando se aplica a una red, una única fuente y sólo interesa las variables en una rama (y no los valores en todas ellas), es conveniente hacer uso de la “función transferencia”. Supondremos la “red” pasiva y además lineal, caso muy importante en la práctica. Si hay más de una fuente, se puede aplicar superposición para hallar las variables en la rama de interés. La excitación es el aporte energético de la fuente y la respuesta es la variable de interés en la rama de “salida”. Señal es la manifestación de ellas (por ejemplo: u o i). 1. Tipos de Señales 1.1. Función Constante
cteYy c ==
Figura N°1
1.1.1. Función Escalón unitario (Escalón de Heaviside)
y = h(t)
≥
<
=
0 tsi 1
0 t si 0
)( th
Figura N°2
Ejemplos: Factor matemático, conexión de CC, golpe de ariete.
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1.1.2. Función Escalón Unitario Retardado y = h (t-t0)
≥
<
=−
0
0
0
t tsi 1
t t si 0
)( tth
Relaciones: )()( 0 thtth ′=−
Figura N°3
Ejemplos: Factor matemático, conexión de CC.
1.1.3. Función Escalón no unitario
)(. thky =
Figura N°4
1.2. Función Pulso
( ) ( )[ ]TtthtthYy C −−−−= 00
Ejemplo: Impacto
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Figura N°5
Area: A=Yc.T. Si A=1, se tendrá un pulso de área unitaria:
Figura N°6
1.3. Función Exponencial
t0
αeyy =
Ejemplos: 0<α : descarga de capacitor, liberación de presión de vapor.
Figura N°7
En a se suele explicitar el signo (-)
1.4. Función Armónica amortiguada
0con )cos( <+= αβα wteyy t
n
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Figura N°8
Ejemplos: 0<α : circuito RLC, 0=α : CA, vibración de máquina.
Fasor
R
J
Yn
t=0
Figura N°9
1.5. Función Rampa
)(.)(..1 tkthtkyy ρ===
Ejemplos: Prueba de tracción.
Figura N°10
1.6. Función Parábola
)(..2 22 thtkyy ==
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Figura N°11
Relaciones: dt
dyy 10 = ∫
∞−
==t
dtydt
dyy .0
21 (con y0 :constante y1: rampa e y2: parábola)
1.7. Función Delta de Dirac La función pulso con área unitaria y T 0 y se define como )(tδ
→∆
≠=
0 si /1
0 si0)(
tt
ttδ
Figura N°12
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Figura N°13
Relaciones:dt
tdht
)()( =δ
∫ ∫∫− −
→→
∞
∞−
=∆
=∆
=ε
ε
ε
εεε
δ dtt
dtt
dtt1
lím.1
lím).(00
)(1))(.(.2
1lím
0th==−−=
→εε
εε
1.8. Función Impulso (no unitario)
I Area = )(. tIy δ=
1.9. Impulso Desplazado
∫∞−
≥
<=−
t
ttsik
ttsidtttk
0
00
0).(δ
kδ(t-t0)
t0
Figura N°14
La respuesta a la función escalón y al impulso se denominan: Excitación Respuesta Escalón indicial Impulso Impulsiva
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1.10. Función Exponencial Generalizada
aamortiguad armónica con ⇒±±=
=
jws
theYy st
α
)(..0
puede existir la parte real sola, la parte imaginaria sola o ambas a la vez. Ejemplos: Engloba todas las señales precedentes (menos la rampa y las poliarmónicas).
).(2
1cos
lexponencia
000tjtj eYeYtYjs
s
cteos
ωωωω
α
−+=→±=
→±=
→=
Por ejemplo, la exponencial unitaria (ver Figura 15):
t
t
t eee −−
− == τα
τ 2τ 3τ 4τ 5τ
Figura N°15
se ve que no tiene sentido estudiar el transitorio para t≥5τ. Sea la siguiente expresión general:
)(.)( thYety st=
que incluye varios casos según la ubicación de s en el plano complejo. En las siguientes Figuras se muestra la forma de la respuesta en función de la ubicación de s:
ω
σ
Figura N°16
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)(.)(0 thYtys =→= :
σ
ω
Figura N°17
)(..)( theYtys tαα =→= :
ω
σα
Figura N°18
si α2>α1, la respuesta crece más rápido:
ω
σα
Figura N°19
)(..)( theYtys tαα −=→−= :
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ω
σ−α
Figura N°20
si α2>α1, para s=-α2 (mayor velocidad de caída):
−α σ
ω
Figura N°21
)(.sen)( thtYtyjs ωω =⇒±= :
ω
σ
ω
ω
Figura N°22
12 ωω jjs >±= (mayor frecuencia): ω
σ
ω
ω
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Figura N°23
)(.sen)( 11 thtYetyjs
t ωωα α=⇒±= :
ω
σ
ω
ω
-15
-10
-5
0
5
10
1 5 9
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
53
57
61
65
69
73
77
81
85
89
93
97
10
1
10
5
10
9
11
3
11
7
t
y(t)
Figura N°24
1221 ωωωα >±= conjs , igual al anterior, pero con mayor “frecuencia”.
)(.sen)( thtYetyjs t ωωα α−=⇒±−= :
ω
σ
ω
ω
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-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1 5 9
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
53
57
61
65
69
73
77
81
85
89
93
97
10
1
10
5
10
9
11
3
11
7
t
y(t)
Figura N°25
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2. Función Transferencia o Transmitancia Es la expresión que relaciona respuesta con excitación y será, en general, función del operador p (=d/dt):
)(
)()(
te
trpT = [ ]1
Ejemplo: dado:
e(t) L
R
r(t)
T(p) r(t)e(t)
Figura N°26
Es pLR
pL
ipLR
piL
te
upT L
.
.
)()()(
+=
⋅+
⋅==
r(t) es la variable dependiente (desconocida) y e(t) la independiente (conocida). Se suelen expresar mediante los polinomios N(p) y D(p)
)(
)(
...
...
)(
)()(
01
01
te
tr
apapa
bpbpb
pD
pNpT
n
n
m
m =+⋅++⋅
+⋅++⋅== [ ]2 que, operando nos queda:
ad r
dta
dr
dta r b
d e
dtb
de
dtb e f tn
n
n m
m
m⋅ + + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + ⋅ + ⋅ =... ... ( )1 0 1 0 [ ]3
Con f(t) conocida, llamada función de excitación. La [3] es una ecuación diferencial ordinaria (las incógnitas dependen de una sola variable independiente t) de orden n con coeficientes constantes (elementos lineales), cuya solución está formada por las componentes forzada y natural: r (t) = rf +rn (por el principio de superposición), y que se corresponden, respectivamente, con las soluciones:
• Particular de la ecuación completa o con el 2° miembro no nulo, y
• General de la ecuación homogénea o con el 2° miembro nulo. 2.1. Ecuación característica La expresión [3] puede escribirse:
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( ... ) ( ) ( )a p a p a r t f tnn⋅ + + ⋅ + ⋅ =1 0
pues el operador p (=d/dt) tiene propiedades algebraicas. Cuando f(t)=0 (ecuación homogénea) deberá ser:
a p a p ann⋅ + + ⋅ + =... 1 0 0 [ ]3 ecuación característica
para no tener una solución trivial (r = 0). Esta ecuación corresponde al denominador de T(p) igualado a cero (D(p)=0), y tiene gran importancia en el comportamiento transitorio del circuito, como se verá más adelante. Para hallar r(t) a partir de la expresión [3], no obstante, es imprescindible conocer T(p). Este capítulo está dedicado a estudiar su determinación.
El grado n de la [3’] es igual al n° de variables de estado (VE) presentes en el circuito. 3. Métodos para hallar T(p) Analítico : aplicando Ohm y Kirchoff. En general muy engorroso. Gráficos:
Bloques: Reducción. Diagramas de fluencia o lineales o Grafos de señales
3.1. Bloques: Definiciones básicas:
3.1.1. Bloques
xT y=x.T
xT1 y=x.T1.T2T2
z
Figura N°27
3.1.2. Sumador
x
y
+/-
X=x+/-y
Figura N°28
3.1.3. Derivador:
x
y=x
Figura N°29
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3.1.4. Sistema realimentado
H
G
-
xy
Figura N°30
HG
Gxy
xGHGy
xGyHGy
yHxGy
.1.
.).1.(
...
).(
+=⇒
=+
=+
−=
3.1.5. Ejemplo 1
Dado el circuito de la Figura, hallar 1
2)(u
upT =
Figura N°31
=
=
−=
=
−=
pCui
iii
Riuu
upCi
Riuu
a
a
aa
a
..
-
.
..
.
222
12
222
1
111
u1 ua
u2
R2
C1p
R1
iai2
i1
--C2p
Figura N°32 Parece complicado de resolver. Otra forma de indicar este circuito, de forma más sencilla, sería:
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⋅=
−=
⋅
−=
−=
pC
iu
R
uui
pC
iiu
R
uui
a
a
a
2
22
2
22
1
21
1
11
u1
1/R1 1/C1p 1/R2 1/C2pi1 ua i2 u2
- --
Figura N°33
Para esta última configuración se inicia el proceso de reducción para lo cual primero se trasladan el sumador y el derivador indicados: Para el sumador
Tx
z
y
-
zTxy −= .
Figura N°34
z1/T
-
T yx
).1
.( zT
xTy −=
Figura N°35
Para el derivador:
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Tx
z
y x
z
Ty
1/T
xTy
xz
..=
= y
Tz .
1=
Figuras N°36 y 37 y resulta:
1/R1
R1 C2p
1/R2 1/C2pu1
- - -
u2
(a) (b)
1/C1p
Figura N°38
-
u11/(1+R1C1p)
R1C2p
1/(1+R2C2p)u2
Figura N°39
∴ =+ ⋅ ⋅
⋅+ ⋅ ⋅
+⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
T(pR C p R C p
R C p
R C p R C p
)( ) ( )
( ) ( )
1
1
1
1
11 1
1 1 2 2
1 2
1 1 2 2
igual a la que luego se obtendrá mediante grafo de señal. 3.2. Grafos de Señal
3.2.1. Definiciones Básicas
Tx y=x.T
x
y x+y
u=x+y
v=x+y
Figura N°40
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Figura N°41
Figura N°42
Figura N°43
3.2.2. Ejemplo
Figura N°44
Lpiu
iLpRu
L =
+= ).(
Figura N°45
3.2.3. Realimentaciones
Figura N°46
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)( zdxabbyz +==
Figura N°47
para reducir y eliminar “y”, por ejemplo, se hace (de la Figura N°46):
ω
Figura N°48
para reducir un autolazo L, en general:
Figura N°49
se aisla el autolazo de las transmitancias:
Figura N°50
Lywy += 1.
se reemplaza lo que hay entre w e y:
Lwy
−=
1
1
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Figura N°51
en el problema anterior:
Figura N°52
3.2.4. Fórmula de Mason
...)1()1()1(1 321 +⋅⋅−+⋅−+−+=∆∆
∆⋅= ∑∑ ∑∑
kjijii
KKLLLLLLdonde
TT
Donde Li son los lazos individuales; Li Lj los lazos que no tienen nodos comunes tomados de a dos; ; Li Lj Lk idem, de a tres. La transmitancia directa Tk es cualquier camino directo entre la entrada y la salida, respetando las direcciones, pasando solo una vez por cada nodo.
∆K =∆ del subgrafo que queda al retirarse la “transmitancia directa” TK
3.2.5. Resolución del Ejemplo 1 mediante ambos métodos Para las mismas ecuaciones del Ejemplo 1:
⋅=
−=
⋅−=
⋅⋅=
⋅−=
222
12
222
1
111
.. upCi
iii
Riuu
upCi
Riuu
a
a
aa
a
Resolveremos por dos métodos, aplicables a los grafos de señal.
u1
1
1
11
c2p-R2
c1p-R1
i1 ia
u2
i2
ua
Figura N°53
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3.2.5.1. Resolución por el método de reducción: Se pasa de i1 a ua
u111
C2p-R2
-C1R1pu2
i2
ua
-R1
Figura N°54
Se aplica
x3
T2
T1
T3=
T2T3
T1T3
x3
x2
x1
x2
x1
Figura N°55
Se pasa de i2 a u2
11
-C 2R 2p
-C 1R 1pu2
ua
-R 1C 2p
Figura N°56
Se aplica
1
2T2
T1
T3=
T1T3
T1T2
1
3
2
3
Figura N°57
Como se observa, a los nodos involucrados sigue llegando la misma información. Por lo tanto queda:
u1
-C2R2p-C1R1p
-R1C2p
ua1 1 ua 1 1u2 1 u2 u2
Figura N°58
Para reducir los autolazos L:
1
L
u ux 1 1/1-L xx
L
u x
+
Figura N°59
-Lu
x
-Lu
xux.L x
1
1
1
1 =≡=≡+=
Al final nos queda:
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u11 1/(1+C2R2p)1/(1+C1R1p)ua
-R1C2p
u2
a b
-
G
H
u1ua u2
Figura N°60
...
..
2211
2
⋅−=
=
upCRuu
ubau
a
a
ua1u1
-R1C2pH
Ga b u2u2
Figura N°61
de aquí: GH
GT
−=1
)1()1(1
1
1
1
1
2211
21
2211
pCRpCR
pCR
pCRpCRT
⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅+
⋅⋅+⋅
⋅⋅+=∴
(igual al resultado obtenido por bloques)
1)(
1
)1()1(
1
21221121212
212211
+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+=
CRCRCRpCCRRp
pCRpCRpCR
El grado de la ecuación característica es 2 (hay dos variables de estado). 3.2.5.2. Resolución por el método de Mason
Figura N°62
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⋅=
−=
⋅
−=
−=
pC
iu
R
uui
pC
iiu
R
uui
a
a
a
2
22
2
22
1
21
1
11
u11/C1p1/R1 i2i1 u2ua 1/C2p1/R2 1 u2
-1/R1 -1/C1p -1/R2
L1 L2 L3
Figura N°63
...)1()1()1(1 321 +⋅⋅−+⋅−+−−=∆∆
∆⋅= ∑∑ ∑∑
kjijiiKK
LLLLLLdondeT
T
Para este ejemplo es:
=∆
⋅⋅⋅
⋅⋅=
⋅+++−=∆
1
1111
)()(1
1
22111
31321
pCRpCRT
LLLLL
pCRL
⋅⋅−=
111
1
pCRL
⋅⋅−=
122
1
pCRL
⋅⋅−=
223
1
⋅⋅−⋅
⋅⋅−+
⋅⋅−
⋅⋅−
⋅⋅−−=∆
pCRpCRpCRpCRpCR 2211221211
111111
( )( )( )( )
=
++++
=∴
22121221211
2211
....
1
..
1
..
1
..
11
1../1./1../1./1
pCCRRpCRpCRpCR
pCRpCRT
1).(.
1
2122112
2121 +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅=
pCRCRCRpCCRR
Con el esquema de la Figura 53 previa transformación, quedaría:
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u1
1
11
C2p-R2C1p-R1
u2ua 1 1 1
L1
L2
L3
Figura N°64
anterior la a igual :
)..).(..(
)......(1
1
1.1.1.1.1
3
22
1
11
3
22
2
21
1
11
1
1
T
pCRpCR
pCRpCRpCR
T
LL
LLL
∴
−−+
−−−−=∆
=∆
=
4342143421
434214342143421
3.2.6. Ejemplo 2
Sistema doblemente excitado. Motor de C.C.
4444 84444 76 ROTOR
Figura N°65
Determinar la velocidad Ω resultante cuando se aplican (o varían) u y Tu
⋅=
⋅⋅=
++=
+⋅⋅+=
→=Ω
=
⋅⋅=
⋅⋅=
ΩBT
ΩpJT
T)T(TT
eip)L(Ru
i
TeK
iKT
ΩKe
B
J
UBJe
e
e
66Fig.verφφ
φ
[1]
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24 de 27 (Versión Abr-2011)
e
i
k :1
T
Figura N°66
Figura N°67
(todo correspondiendo al rotor)
u
-
1/(B+Jp)1/(R+Lp) k
k
e
i Te
Tu
-
Figura N°68
u1/(R+Lp)1 Tei 1k 1/(B+Jp)
Tu-1
k
e
-1
Figura N°69
Aplicando superposición:
⇒=
⋅+⋅⋅+
⋅+
⋅+−
=Ω ′′
=
⋅+⋅⋅+
⋅+
⋅+⋅⋅+
⋅
=Ω′
)(
)()(
)(1
1
; )(
)()(
)(1
)()(2212pT
pLRpJB
K
pJB
TpT
pJBpLR
K
pJBpLR
K
u U φφ
φ
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1-Tu 1/(B+Jp)
-(K )²/(R+Lp)
-Tu1/(B+Jp)
-(K )²/(B+Jp).(R+Lp)
=
Figura N°70
Combinando: Ω Ω Ω= ′ + ′′ = ⋅ + ⋅T p u T p Tu1 2( ) ( )
Reemplazando se tiene:
[ ]uTLpRukkLpRJpB
⋅+−+++
=Ω )().()()).((
12
φφ
Si trabajamos con variables de estado, las ecuaciones [1] se podrían haber combinado así:
=+Ω⋅⋅+=
Ω⋅⋅+⋅⋅+=
iktTpJBT
KipLRtu
ue φ
φ
)()(
)()( en variables de estado ( i, Ω )
o sea:
⋅
−
+
Ω⋅
−⋅
⋅−−
=
Ω⋅
⋅
)(
)(1
0
01
tT
tu
J
Li
J
B
J
KL
K
L
R
p
ip
uφ
φ
expresión de la forma: p x A x B u t[ ] [ ] [ ( )]= ⋅ + ⋅
donde aparecen las constantes de tiempo:
=
=
.)10:(:
.)1.0:(:
segejemploporB
JMecánica
segejemploporR
LEléctrica
u
e
τ
τ
Si u = Uc = cte. (CC) y el régimen es permanente (Tu = Tuc ), desaparece “p”
222 )(
)(1
1
)(1
φ
φ
φφ
φ
⋅+⋅
⋅−⋅⋅=⋅
⋅
⋅+
−⋅
⋅
⋅+
⋅
⋅
=ΩKRB
RTUKT
BR
K
BU
BR
K
BR
K
C
C
Uc
UCC
Tuc
c
Uc1U
c2
Figura N°71
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26 de 27 (Versión Abr-2011)
Si u = 0 (frenado dinámico) queda:
1/(B+Jp)
(K )²/(R+Lp)
Tu
-
-
Figura N°72
o, como diagrama de flujo:
Tu1/(B+Jp)-1
(K )²/(R+Lp)
Figura N°73
∴ =− + ⋅
+ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
Ω
T
R L p
R L p B J p KU
( )
( ) ( ) ( )φ 2
y en régimen permanente (p=0):
2)( φ⋅−⋅
−=
Ω
KBR
R
Tu
Si se desea hallar i sólo por influencia de Tu (con u = 0):
kφ
-K /(B+Jp)(R+Lp)Tu
i
-
-
Figura N°74
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Función Transferencia
27 de 27 (Versión Abr-2011)
4. Índice
FUNCIONES DE REDES: FUNCION TRANSFERENCIA ........................................................................................1
1. TIPOS DE SEÑALES .............................................................................................................................................1
1.1. FUNCIÓN CONSTANTE.......................................................................................................................................1 1.1.1. Función Escalón unitario (Escalón de Heaviside)......................................................................................1 1.1.2. Función Escalón Unitario Retardado .........................................................................................................2 1.1.3. Función Escalón no unitario.......................................................................................................................2
1.2. FUNCIÓN PULSO ...............................................................................................................................................2 1.3. FUNCIÓN EXPONENCIAL ...................................................................................................................................3 1.4. FUNCIÓN ARMÓNICA AMORTIGUADA ...............................................................................................................3 1.5. FUNCIÓN RAMPA ..............................................................................................................................................4 1.6. FUNCIÓN PARÁBOLA ........................................................................................................................................4 1.7. FUNCIÓN DELTA DE DIRAC...............................................................................................................................5 1.8. FUNCIÓN IMPULSO (NO UNITARIO)....................................................................................................................6 1.9. IMPULSO DESPLAZADO .....................................................................................................................................6 1.10. FUNCIÓN EXPONENCIAL GENERALIZADA .........................................................................................................7
2. FUNCIÓN TRANSFERENCIA O TRANSMITANCIA....................................................................................12
2.1. ECUACIÓN CARACTERÍSTICA ..........................................................................................................................12
3. MÉTODOS PARA HALLAR T(P).....................................................................................................................13
3.1. BLOQUES: DEFINICIONES BÁSICAS:.................................................................................................................13 3.1.1. Bloques......................................................................................................................................................13 3.1.2. Sumador ....................................................................................................................................................13 3.1.3. Derivador:.................................................................................................................................................13 3.1.4. Sistema realimentado ................................................................................................................................14 3.1.5. Ejemplo 1 ..................................................................................................................................................14
3.2. GRAFOS DE SEÑAL..........................................................................................................................................16 3.2.1. Definiciones Básicas .................................................................................................................................16 3.2.2. Ejemplo .....................................................................................................................................................17 3.2.3. Realimentaciones ......................................................................................................................................17 3.2.4. Fórmula de Mason ....................................................................................................................................19 3.2.5. Resolución del Ejemplo 1 mediante ambos métodos.................................................................................19 3.2.6. Ejemplo 2 ..................................................................................................................................................23
4. ÍNDICE...................................................................................................................................................................27