Transformasi

Oleh :Feli RamuryMaya SaftariNurul Fajriah

Pendahuluan1. Konsep Felix Klein2. Geometr Transformasi

Transformasi VektorTransformasi ini menunjukkan suatu

transformasi linier. Transformasi linier akan tampak terlihat jelas jika B = C dan akan dinyatakan dalam bentuk A : B B yang disebut dengan operator linier pada B. Satu alasan mengapa transformasi tersebut dikatakan linier karena transformasinya mempertahankan/ mengawetkan (preserve) kelurusan garis (straightness lines).

Gambar Points on a Line

a

a +b

tb

a +tb

b

0

L1

L1

Diperpanjang

sebesar t

Transformasi Linier dengan Matriks

1. Isometri artinya berukuran sama. 2. Invarian3. Isometri dalam geometri Euclid terdiri

dari 3 kategori dan komposisinya: translasi, rotasi, dan refleksi.

Transformasi Affine1. Transformasi affin adalah hubungan

geometri yang mempertahankan bentuk dasar dan integritas bangun geometri. Transformasi affin dapat berupa rotasi, translasi, dan dilatasi.

2. Transformasi affine tidak mempertahankan / mengawetkan kesebangunan. Hal ini dikarenakan faktor pengali pada p tidak sama dengan pengali pada q.s

Contoh Transformasi Affine

The Group of Isometries of The Planef: R2 → R2 yang mempertahankan jarak dengan , Dengan menggunakan definisi,Jika f dan g adalah isometri. Maka,

,karena f adalah suatu isometri ,karena g adalah suatu isometri.

Chapter 3.7, setiap isometri dari R2 adalah produk dari satu, dua, atau tiga refleksi.Misalkan f = r1r2r3,

Refleksi dioperasikan dengan dirinya menjadi fungsi identitas, didapatf = r1r2r3 r3r2r1

= r1r2r2r1

= r1r1

= fungsi identitas,

Oleh karena itu, r3r2r1 = f -1

A transformation of a set S ia a function from S to S, and a collection G of transformation forms a group if it has the two properties:Jika f dan g berada di G, maka begitu juga f g

Jika f anggota G, kemudian ada inversnya, f -1

Spherical GeometrySpherical Geometry adalah suatu

geometri dua dimensi dari permukaan bola (sphere).

Sphere adalah himpunan semua titik dalam ruang tiga dimensi yang

merupakan jarak tetap dari suatu titik tertentu (disebut pusat).

Great Circle

1Q

P

O

θ

Great CircleGreat Circle Distance adalah lingkaran yang dibentuk oleh perpotongan bola dan bidang melewati pusat. Sebuah lingkaran besar adalah lingkaran terbesar yang dapat ditarik pada suatu lingkungan tertentu, dan jalur terpendek sepanjang bola antara dua titik adalah lingkaran besar.

The Reflection “line” on The Sphere

Representing Space Rotations by Quaternions

dimana a, b , c, d ∈ R dan i2 = -1. Atau dapat ditulisq = a1 +bi + cj + dk, dimana

ij = k = -ji dan i2 = -1

Jika p adalah titik sembarang di R4, kemudian pemetaan p → pq mengalikan semua panjang di R4 dengan

Hal ini terjadi karena

=

sehingga .

Untuk semua titik p1, p2 ∈R4,

dikalikan dengan

Secara khusus, jika = 1, maka peta p → pq adalah suatu isometri di R4.

Rotations of (i, j, k) –space

Jika p adalah quaternion di ruang (i, j, k)p = xi + yj + zk, dimana x, y, z ϵ R,

Jika q adalah quaternion nol (qpq-1) juga terletak dalam ruang (i, j, k).

jika = 1, maka pemetaan p → qpq-1 merupakan isometri di R3

setiap quaternion dengan = 1 dapat ditulis dalam bentuk,dimana l 2 + m2 + n2

Dan isometri p → qpq-1 merupakan sebuah rotasi di ruang (i, j, k) dengan sudut θ, melalui 0 dan li + mj + nk.

Buku ini memverifikasinya hanya untuk kasus khusus di mana sumbu rotasi berada dalam arah i, dan titik p yang khusus untuk mempermudah menentukan sifat isometri tersebut. Dengan menggunakan sudut di q dan q-1 .

Contoh:Pemetaan p → qpq-1, dimana .Pertama kita periksa setiap titik xi pada sumbu i 

, karena i2 = -1 = xi

Selanjutnya akan diperiksa jika j titik diputar dengan sudut θ dalam (j, k), ke titik jcosθ + ksinθ.

,karena ji = -k=,karena ik = j, ij = k=

Sama halnya dengan memeriksa qkq-1 = -k sinθ + j cosθ. Oleh karena itu, isometri p → qpq-1 adalah rotasi dari bidang (j, k) dengan sudut θ.

Terima Kasih