Conteúdo da Aula
Geometria analítica
1 – Equação da Reta
2 – Área do triângulo
3 – ponto Médio
4 – Distância entre dois pontos
Professor Gledson Guimarães
Estudo da reta
e
Área do triângulo
Geometria Analítica
PLANOPLANO CARTESIANOCARTESIANO
Com o modo simples de se representar números numa reta, visto acima, podemos estender a idéia para o plano, basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num ponto O
Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do ponto P
1.2 – COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO
1.1 – COORDENADAS CARTESIANAS NA RETA
É fácil concluir que existe uma correspondência um a um (correspondência biunívoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto R dos números reais. Os números são chamados abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto A’ é -1, a abscissa da origem O é 0, a abscissa do ponto A é 1, etc. A reta r é chamada eixo das ABCISSAS.
Solução:
Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y) , então a sua abscissa é nula.
Logo, no caso teremos:
2m - 16 = 0,
de onde tiramos m = 8
o ponto ficaria P = ( 0, 8)
Se o ponto P(2m-16 , m) pertença ao eixo dos y , calcule o valor de m.
Solução:
Se um ponto pertence ao eixo horizontal (eixo ox) , então a sua ordenada é nula.
Logo, no caso teremos:
m = 0,
o ponto ficaria P = ( -16, 0)
Se o ponto P(2m-16 , m) pertença ao eixo dos y , calcule o valor de m.
Fonte: http://www.somatematica.com.br
EQUAÇÃO GERAL DA RETA r:
A x + B y + C = 0A x + B y + C = 0
se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta r
se am + bn + c ≠ 0, P não é um ponto da reta r
EXEMPLO: X - 3Y + 5 = 0
Onde o ponto P (1,2) ∈ r
Já o ponto P (2, -5) ∉ r
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA:
y = ax + b onde,
a = coeficiente angular da reta
b = coeficiente linear da reta (ponto de
intersecção com o eixo Oy.
O coeficiente angular da reta a é numericamente igual a tangente do ângulo formado com a reta e o eixo Ox.
a = tg α ( abertura ou inclinação da reta )
Coeficiente angular = 1
Em todas as retas o coeficiente linear ( ponto de intersecção com o eixo das ordenadas - eixo de y ) é zero b = 0.
Coeficiente angular = 3
Coeficiente angular =2
ÂNGULO: 71.56º
ÂNGULO: 63.43º
ÂNGULO: 45º
PODEMOS AINDA DIZER QUE f(0) = 0 para todas as três funções apresentadas acima
Y = 4
x = 6
y = 2x – 3
y = – 3x + 6
OBS: as equações são exemplos de cada situação representada nos gráficos
X Y
0 1
2 5
X Y
1.x + 0.5 + 2.y – 0.y – 2.1 – 5x = 0
–4x +2y –2 = 0 2y = 4x +2
Encontrar os coeficientes angular e linear da reta r que passa por A(0, 1) e B(2, 5).
Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:
Ou y = 2x +1
RESOLUÇÃO:
COEFICIENTE ANGULAR = 2
COEFICIENTE LINEAR = 1
Veja o gráfico de y = 2x +1 a seguir.
EXEMPLO:
No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1.
1
5
COEFICIENTE ANGULAR = 2
COEFICIENTE LINEAR = 1
Observe que o coeficiente angular é o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ).
O coeficiente linear é o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1) este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação.Veja o esboço do gráfico dessa função...
01. Achar as equações geral e reduzida da reta determinada pelos pontos A(3, 1) e B(4, -2)
X Y
3 1
4 -2
X Y
x.1 – 2.3 + 4y – 3y – 4.1 - x.(-2) = 0
x – 6 + 4y – 3y – 4 + 2x = 0
3x + y – 10 = 0 = 0
COEFICIENTE ANGULAR = – 3
COEFICIENTE LINEAR = 10
Questão 01
αβθ −=
msmr
msmrtg
.1+−=θ
P9) Se um ponto tem coordenadas iguais, ele
pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares (1ª bissetriz) y = x.
P10) Se um ponto tem coordenadas opostas, ele
pertence à bissetriz dos quadrantes pares(2ª bissetriz) y = - x.
.
Colinear (mesma reta)
Podemos escrever assimÁrea do triângulo:
EXERCÍCIO DE REVISÃO 05
Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)?
2 5
0 3
1 1
2 5
2
1A = 2.3 + 0.1 + 1.5 –0.5 – 1.3 – 2.1
A = 6/2 A = 3 u. a.
Resp: S = 3 u.a. (3 unidades de área)
Exercícios Resolvidos 01. Calcule a área do triângulo ABC formado pelos pontos indicados na figura.
Maneira demonstrada no livro:
Exercícios Resolvidos01. Calcule a área do triângulo ABC formado pelos pontos indicados na
figura.
4 6
2 -3
-3 1
4 6
-12 2
-18
-12
-9
-4
A = ½ |-53|
..2
53auA =
Forma abreviada mostrado pelo professor:
Equação Segmentária da RetaConsideremos uma reta r que intercepta os eixos cartesianos
nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com p · q 0:
Dizemos que esta equação é a equação segmentária da reta r.Observação – Os denominadores de x e y, na equação
segmentária, são, respectivamente, a abscissa do ponto onde r intercepta o eixo x e a ordenada do ponto onde r intercepta o eixo y.
05. Determine a equação segmentária da reta cuja equação geral é 5x + 6 y – 30 = 0.
X Y
0 5
6 0
156
=+ yx
X Y
0 5
6 0
06. (MACKENZIE – SP ) A equação da reta r é:
a) y + 2x – 2 = 0
b) y – x – 2 = 0
c) y + 2x + 2 = 0
d) y –2x – 2 = 0
e) y – 2x + 2 = 0
121
=−
+−
yx( Multiplicando toda a equação por –2 )
Fica: 2x + y = –2 2x + y +2 = 0
Consideremos dois pontos A e B tais que não seja paralela ao eixo x, nem ao eixo y.Traçando por A e B paralelas aos eixos coordenados, obtemos o triângulo retângulo ABC.
2 – FÓRMULA DA DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
EXERCÍCIO 03: Vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):
SOLUÇÃOSOLUÇÃO DADA QUESTÃOQUESTÃO
EXERCÍCIO 04: Calcule o ponto médio entre os pontos A = ( 2,1) B = ( 6,4).
EXERCÍCIO 04: – PONTO MÉDIO DE SEGMENTO
Questão 05
As coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades (1, –2 ) e ( –1 – 4 ) são: a) ( 3 , 1 ) b) ( 1 , 3 ) c) ( –2 , –3 ) d) ( 0 , –3 ) e) ( 3 , 3 )
Questão 05
As coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades (1, –2 ) e ( –1 – 4 ) são: a) ( 3 , 1 ) b) ( 1 , 3 ) c) ( –2 , –3 ) d) ( 0 , –3 ) e) ( 3 , 3 )
Questão 06
Os pontos A (1, -7) e B ( – 4, 3) pertencem à reta r. A equação dessa reta é
a) y = 3x – 1 b) y + 2x – 5 = 0c) y = 5 – 4x d) 2x + y + 5 = 0e) y = 5x + 24
X Y
1 -7
-4 3
X Y
-7x + 3 -4y –y -28 -3x = 0
– 10x – 5y – 25 = 0
Dividindo toda a equação por (-5):
2x + y + 5 = 0
Questão 09 Qual a área do triângulo ABC de vértices A(-2,-1), B(1,3) e C(4,1)?
XA YA
1/2 XB YB
XC YC
XA YA
-2 -1
½ 1 3
4 1
-2 -1
A = |1/2 [ -6 + 1 – 4 + 1 – 12 + 2 ] |
A = |1/2 [ – 18 ] |
A = | – 9 | A = 9 u.a. (unidade de área)
observe que a área é sempre positiva e que as duas barrinhas | | significam módulo