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Π

ICONCEPTOS Y CONJUNTOS

FUNDAMENTALES

PUNTO Elemento fundamental, que representamos con una marca de lápiz en el papel, o con la tiza en la pizarra. Mientras más pequeña sea esta marca, mejor será dicha representación.Junto a esta marca escribimos una letra mayúscula, a fin de nombrar el punto, así:● ● ●A B CSe lee: “punto A”; “punto B”; “punto C”O así:● ● ●A’ A1 B’Se lee: “punto A’ (A prima); “punto A1

(A sub uno); “punto B’ (B prima); etc.

RECTA Conjunto infinito de puntos .La representamos así:

● ●A B

Se denota:, Se lee: “recta AB”.

También podemos escribir en un extremo de la representación una letra latina o griega, y nombrarla con una sola letra, así:

PLANO Conjunto infinito de rectas. Lo representamos así:

Cualquier letra mayúscula o griega se usa para nombrar un plano. El plano anterior se lee “plano Π”.

ESPACIO Es el conjunto de: todos los planos, todas las rectas, TODOS LOS PUNTOS.

POSTULADO 1Existen infinitos puntosExisten infinitas rectasExisten infinitos planosEs decir: En una recta existen infinitos puntos.En un plano existen infinitas rectas.En el espacio existen infinitos planos.

POSTULADO 2: ( DE LA DISTANCIA)

A cada par de puntos diferentes corresponde un número positivo único.

POSTULADO 3: (DE LA REGLA)

Podemos establecer una correspondencia entre los puntos de una recta y los números reales de manera que:

- A cada punto de la recta le corresponde exactamente un número real.

- A cada número real le corresponde exactamente un punto de la recta.

- La DIASTANCIA entre dos puntos cualesquiera es el valor absoluto de la diferencia de sus números correspondientes.

- La distancia entre dos puntos cualesquiera es ÚNICA.

POSTULADO 4: (DE LA COLOCACIÓN DE LA REGLA)

Dados dos puntos A y B de una recta, se puede escoger un sistema de coordenadas de tal manera que la coordenada de A sea cero y la coordenada de B sea positiva.

Definición.- Si tomamos dos puntos A y B de una recta. La distancia entre ellos la indicamos con AB. Además A puede ser igual a B, es decir pueden ser el nombre del mismo punto (A = B). En este caso, AB = 0.Como la distancia se define en valor absoluto, AB = BA.

Definición.- Una correspondencia como la indicada en el postulado 2, se llama SISTEMA DE COORDENADAS. El número correspondiente a un punto se llama COORDENADA de él.

En la siguiente figura tenemos:

A B C D E● ● ● ● ●x -3 0 2 y

La coordenada de B es -3; la coordenada de C es 0: la coordenada de D es 2; la coordenada de A es x; la coordenada de E es y.

La distancia de B a D es: BD = DB = │─3 ─2│ = 5

La distancia de A a E es: AE = EA = │x ─ y│= │y ─│Definición.- El punto B está ENTRE A y C, si:

1

£�

1) A, B y C pertenecen a la misma recta.

2) AB + BC = AC

POSTULADO 5: (DE LA RECTA)

Dados dos puntos A y B distintos, existe una y sólo una recta que contiene a ambos.

● ● A BDefinición.- Dados dos puntos cualesquiera A y B, el “SEGMENTO AB”, es el conjunto de los puntos A, B, y todos los puntos que están entre A y B. Se denota con . Los puntos A y B se llaman EXTREMOS de AB.

Definición.- Para , el número AB es su LONGITUD.Definición.- Dados los puntos A y B de una recta. El RAYO es el conjunto de los puntos que consiste en la reunión de:1) 2) El conjunto de todos los puntos C de la recta, para los cuales B está ENTRE A y C.El punto A se llama ORIGEN de .

Definición.- Si M está entre A y D, y se llaman RAYOS OPUESTOS.

Observación.- Dados P y Q de una recta. Determinan por lo menos SEIS conjuntos de puntos y un número:Como observaremos en la figura los conjuntos son:Recta ; segmento ; rayo ; rayo opuesto a ; rayo ; rayo opuesto a ; y el número que determina la distancia de A a B, AB = BA.

Definición.- Un punto M se llama PUNTO MEDIO de un segmento , si M está ENTRE P y Q y PM = MQ.Todo segmento tiene un solo punto medio.El punto medio BISECA al segmento.

EJEMPLOS

1) Hallar la distancia entre los pares de puntos, cuyas coordenadas son:

a) 9 y 6 b) y c) w y z d) 11n y 4n

e) 7,45 y 9,18

Solución

a) AB = = = 3

b) MN =

c) PQ =

d) TR = e) DF =

2) A, B y C son tres puntos de una recta. A y B están a 3 centímetros de distancia y B y C están a 5 centímetros de distancia. ¿De cuántas maneras será posible disponer los tres puntos?

Solución

Se pueden disponer de DOS maneras.

3) B y C son tres puntos de una recta. AC = BC = 5. La coordenada de C es 8 y la coordenada de A es mayor que la de B. ¿Cuáles son las coordenadas de A y B?

Solución

4) G, H y K son tres puntos de una recta. ¿Cuántos de los siguientes enunciados pueden ser ciertos?a) K está entre G y H, y H está entre G y K.b) H está entre K y G, y H está entre G y K. c) G está entre H y K, y K está entre G y Hd) K está entre H y G, y G está entre K y H.e) G está entre K y H, y G está entre H y K.

2

A

A

A

A

A

B

B

B

B

B

BA

A B C

B A C

3cm 5cm

3cm 2cm

8 13

B C A3

Solución a) NO

b) SIc) NO

d) NO

e) SI

Hay DOS enunciados que pueden ser ciertos.

5. Si y son rayos opuestos. ¿Cuál de los puntos R, S y T está entre los otros dos?

Solución

Para que sea opuesto a , deben estar dispuestos sobre la recta así:

6. ¿Cuál es la intersección de y ?

SoluciónGraficamos una recta y en ella tomamos los puntos C y D, así:

7) A, B y C son tres puntos de una recta. La coordenada de A es 0 y la coordenada de C es

6. Si B es punto medio de . ¿Cuál es la coordenada de B?

Solución

Sea x la coordenada de B, entonces:AB = ; BC = = Por condición del problema, AB = BC, por lo que utilizamos una propiedad del valor absoluto, así:0 x = x + 6 0 x = (x + 6)

x = x + 6 x = x 6 (absurdo)2x = 6

x = 3Por tanto, la coordenada de B es 3

8) Sobre una recta se toman los puntos A; B; C y D, consecutivamente de modo que:

, ¿Cuál de las siguientes relaciones

es igual a ?

a) b)

c) d)

e)

Solución

En la figura: BC = AC AB y CD = AD AC

En el dato: , Luego:

AB(AD AC) = AD(AC AB)

AB.AD AB.AC = AD.AC AD.AB 2AB.AD = AC.AD + AB.ACDividimos a tota la igualdad de la derecha entre AB.AD.AC, así:

Rpta: d)

9) Sobre una recta se toman los puntos A, B, C, D, E y F, de modo que:AC + BD + CE + DF = 39. Y

Hallar AF.

Solución

AC + BD + CE + DF = 39 AB + BC + BC + CD + CD + DE + DE + EF = 39

Como: AB + BC + CD + DE + EF = AF y BC + CD + DE = BE; tenemos:AF + BE = 39 Y teniendo además, por dato:

BE =

AF + = 39

8AF +5AF = 39.8

13AF = 39.8 AF = = 24

3

G K H

G H K

H G K

H K G

K G H

S TR

C D

C D

DC

C D

A B C D

A B C D E F

10) Sobre una recta se toman los puntos A0, A1, A2, A3, …, An , de modo que:

A0A1 = 11m; A1A2 = 1m; A2A3 = , y así

sucesivamente.Calcular: A0An.

Solución

. . . | | | x |

A0A1 = 11 En la figura:A1A2 = 1A2A3 = 1/11 = 0,0A3A4 = 1/121 = 0,008A4A5 = 1/1321 = 0,0007 An-1ªn = 0

x = 11 + 1 + + + … + 0

Multiplicando ambos miembros por 1111x = 121 + 11 + 1 + 1/11 + 1/121 + … + 0 11x = 121 + 010x = 121x = 12.1m

EJERCICIO 01

1. Halla la distancia entre los pares de puntos, que tienen las siguientes coordenadas.

a) 0 y 8 b) 0 y 8 c) y d) 2 y 5

e) x e y f) 2a y 2a g) 0 y a h) 11 y 0,97i) 2n y 6n j) 0,67 y 7,3

2. Completa correctamente: Según el postulado 2, si hay infinitos números reales podemos concluir que hay………………… puntos en una recta.

3. Se asignan tres sistemas distintos de coordenadas a la misma recta. A tres puntos fijos A; B y C de la recta se le asignan las siguientes coordenadas:

En el sistema I, la coordenada de A es 6 y la de B es 2.

En el sistema II, La coordenada de A es 4 y la de C es 3.

En el sistema III, las coordenadas de C y B son 7 y 4, respectivamente.a) ¿Qué punto está entre los otros dos?b) Hallar AB + AC + BC

4. Si A, B y C Son tres puntos de una circunferencia, ¿puede decirse qué punto está entre los otros dos? ¿Por qué?

5. A, B y C son tres puntos que NO están en una recta. Cuántas rectas determinan?6. ¿Cuál es la intersección de y ?

7. A, B y C son tres puntos de una recta. Las coordenadas de A y B son 2 y 8 , respectivamente. Si C biseca a . ¿Cuál es la coordenada de C?

8. Si la distancia de A a B, medida en centímetros es, es k, ¿cuál será la distancia AB en metros?

9. Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos A, B y C. Si AB = 8 cm y BC = 12 cm. Hallar AC.a) 10 cm b) 20 cm c) 15 cm d) 30 cm e) 5 cm

10. En una recta se ubican los puntos A, B, C y D, de modo que AB = 2 BC , CD = 3BCy BC = 1. Calcular AD.a) 7 b) 5 c) 8 d) 4 e) 6

IIRECTAS, PLANOS, ESPACIO Y SEPARACIÓN

Definición.- Los puntos de un conjunto están ALINEADOS o son COLINEALES, si hay una recta que los contiene a todos.

Definición.- Los puntos de un conjunto son COPLANARIOS, si hay un plano que los contiene a todos.

POSTULADO 6-Todo plano contiene al menos TRES PUNTOS no alineados.- El espacio contiene al menos CUATRO PUNTOS no coplanarios.

TEOREMA II-1.- Si dos rectas diferentes se intersecan, su intersección contiene un solo punto.

Definición.- Las rectas del Teorema II-1, se llaman RECTAS SECANTES.

4

P

L�

K�

A0 A1 A2 A3 An

POSTULADO 7Si dos puntos de una recta están contenidos en un plano, toda la recta está contenida en el plano.TEOREMA II-2.- Si una recta interseca a un plano que no la contiene, entonces la intersección contiene un solo punto.

POSTULADO 8TRES puntos CUALESQUIERA están en un plano, y tres puntos cualesquiera NO ALINEADOS están exactamente en un plano.

TEOREMA II-3.- Dada una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un plano que contiene a ambos.

TEOREMA II-4.-Dadas dos rectas diferentes que se intersecan, hay exactamente un plano que contiene a ambas.

POSTULADO 9Si dos planos se intersecan, su intersección es exactamente una recta.

Definición.- Un conjunto A se llama CONVEXO, si para cada par de puntos P y Q del conjunto, el segmento está contenido en A.

Conjuntos convexos

Conjuntos no convexos

POSTULADO 10: (POSTULADO DE LA SEPARACIÓN DEL PLANO)

Si se da una recta y un plano que la contiene. Los puntos del plano que no están en la recta forman dos conjuntos tales que:

1) Cada uno de los conjuntos es CONVEXO.

2) Si P está en uno de los conjuntos y Q está en el otro, entonces el segmento interseca a la recta.

Definición.- Dada una recta L y un plano que la contiene, los dos conjuntos determinados por el postulado de la separación del plano, se llaman SEMIPLANOS o LADOS de L, y L se llama ARISTA o BORDE de cada uno de ellos. Si P está en uno de los semiplanos y Q en el otro, decimos que P y Q están en LADOS OPUESTOS de L.

En la siguiente figura, H1 y H2 son los semiplanos generados por la recta .

POSTULADO 11: (POSTULADO DE LA SEPARACIÓN DEL ESPACIO)

Los puntos del espacio que no están en un plano dado, forman dos conjuntos tales que:

1) Cada uno de los conjuntos es CONVEXO.

2) Si P está en uno de los conjuntos y Q está en el otro, entonces el segmento interseca al plano.

5

P

P

L

L1

L2

P Q S

H1

H2

L

A

B

N

M

R

S

I

R

S P

Q

M

NQ

P P

P

QR

P

QA

B

P

QG

F

Definición.- Los dos conjuntos determinados por el postulado de la separación del espacio se llaman SEMIESPACIOS, y el plano dado se llama CARA de cada uno de ellos.En la figura, S1 y S2 son los semiespacios generados por el plano .

Definición.- Sea un punto P de una recta. Los puntos de la recta diferentes de P determinan dos conjuntos CONVEXOS, llamados SEMIRRECTAS.

En la figura:

Los rayos y que no contienen al punto P, se llaman respectivamente,Semirrecta y semirrecta .

Debemos tener en cuenta que:

EJEMPLOS

1) ¿Cuántas rectas pueden contener un punto dado?

Solución

Dos rectas diferentes que se intersecan, lo hacen en un solo punto. Cualquiera de ellas puede intersecarse con infinitas rectas en el mismo punto. Lo que nos autoriza a afirmar que INFINITAS rectas se pueden intersecar en un punto dado.

2) ¿Cuántas rectas pueden contener dos puntos dados?

Solución

El postulado 3 indica que a dos puntos dados contiene UNA SOLA recta.

3) ¿Cuántas rectas pueden contener a tres puntos dados cualesquiera?

Solución

En este caso se dan dos posibilidades:

a) Si están ALINEADOS, existe UNA SOLA recta que los contiene.

b) Si NO ESTÁN ALINEADOS, a cada par contiene una sola recta. Es decir, quedan determinadas TRES rectas.

4) En un piso liso, a veces cojeará una mesa de cuatro patas, mientras que una mesa de tres patas siempre estará firme. ¿Por qué?

Solución

Como las tres patas de una mesa de TRES, nunca están alineadas, determinan un SOLO PLANO.

Cada tres patas de la mesa de CUATRO, determinan un solo plano; pero los CUATRO PLANOS así determinados no siempre coinciden.

5) Completa con las expresiones correctas:a) Dos rectas diferentes pueden intersecarse en………………….y dos planos diferentes pueden intersecarse en…………………………

Solución

UN SÓLO PUNTO: UNA SOLA RECTA.b) La intersección de dos semirrectas opuestas es……………………

Solución

Como ninguna de las semirrectas contiene a su punto EXTREMO, la intersección es VACÍA.

6) ¿Cuál es el mayor número de conjuntos en que tres planos diferentes pueden separar al espacio? ¿Y el menor número?

Solución

Mayor número = 8; cuando no son paralelos, dos a dos.Menor número = 4; cuando los tres son paralelos.

6

M

P

Q

A B

S1

S2 N

R

A P B

PROFESOR MIGUEL AGIP MEGO

EJERCICIO 02

1. Datos: P y Q son puntos distintos. La recta contiene a P y Q. La recta contiene a P y Q. ¿Qué podemos asegurar de y ?

2. Indicar cuantas rectas pueden dibujarse pasando por cada par de puntos de los distintos entre sí, A, B, C y D, si:a) A, B y C están alineados.b) Cada tres puntos no están alineados.

3. Si la recta y el plano tienen los puntos comunes A y B, ¿que puede concluirse acerca de la recta y el plano indicados?

4. Escribir V si es verdadero y F si es falso:

a) Una recta es un conjunto convexo ( )

b) Un conjunto que contiene sólo dos puntos es convexo ( )

c) Si le quitamos un punto a una recta sigue siendo conjunto convexo ( )

d) Un punto separa a un plano ( )

e) Un punto separa al espacio ( )

f) Un punto separa a una recta ( )

g) Un rayo separa a un plano ( )

h) Tres rectas cualesquiera de un plano lo separan en tres regiones ( )

i) Tres rectas cualesquiera de un plano lo separa en cuatro regiones ( )

j) Tres rectas cualesquiera de un plano lo separan en cinco regiones ( )

k) Tres rectas cualesquiera de un plano lo separan en seis regiones ( )

l) Tres rectas cualesquiera de un plano lo separan en siete regiones ( )

IIIÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

Definición.- Si dos rayos tienen el mismo extremo, entonces su reunión es un ÁNGULO. Los dos rayos se llaman LADOS del ángulo, y el extremo común se llama VÉRTICE.

Si los rayos son y , entonces el ángulo se indica así:

BAE, que se lee:”ángulo BAE”; o también

CAB, que se lee: “ángulo CAE”.

El único ángulo de la figura, se puede nombrar de las siguientes maneras:

BAD; DAB; CAE; EAC; BAE; EAB; CAD; DAC

Los tres ángulos, podemos nombrarlos así:

El ángulo mayor; SMN ó NMS.

El ángulo menor izquierdo; 1 ó TMS ó SMT.

El ángulo menor derecho; a ó TMN ó NMT.

NOTA: Los lados de un ángulo son RAYOS y no segmentos. La siguiente figura de la izquierda no es un ángulo; pero DETERMINA un ángulo, como el de la derecha:

7

A C

D

E

B

M N

T S

1 a

C

A

B

B C

A


Definición.- Dado el BAC en el plano E del papel. Un punto P está en el INTERIOR del ángulo, si:

1) P y B están del mismo lado de la recta .

2) P y C están del mismo lado de la recta .

El EXTERIOR del BAC es el conjunto de todos los puntos del plano E que no están en el ángulo y tampoco en su interior.

Definición.- Si A, B y C son tres puntos cualesquiera no alineados, de un plano E, entonces la reunión de los segmentos

se llama TRIÁNGULO, y se indica con ABC.

Los puntos A, B y C se llaman VÉRTICES, y los segmentos se llaman LADOS.

Todo triángulo ABC determina tres ángulos: BAC; ABC y

ACB. Son los ÁNGULOS DEL ABC.

Si no hay lugar a confusión, los ángulos de un triángulo lo podemos nombrar con una sola letra.

A, en el triángulo

Definición.- Un punto P está en el INTERIOR de un triángulo, si está en el interior de cada uno de los ángulos del triángulo. Un punto Q está en el EXTERIOR de un triángulo, si está en el plano del triángulo, pero no está en el triángulo y tampoco en su interior.

MEDIDA ANGULARLos segmentos los medimos con una regla, los ángulos los medimos con el GONIÓMETRO, conocido comúnmente como TRANSPORTADOR.En la siguiente figura, mostramos cómo se miden los ángulos con dicho instrumento.

SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOSSISTEMA SEXAGESIMAL

UNIDAD: Grado sexagesimal (1º). ÁNGULO igual a la 360 ava parte del ángulo de una vuelta (observar el goniómetro).

OBSERVACIÓN: El ángulo de una vuelta mide 360º.

SUBMÚLTIPLOS DEL GRADO SEXAGESIMAL:Minuto sexagesimal (1’)Segundo sexagesimal (1”)

1º = 60’ 1’ = 60” ; es decir, 1º = 3600”

SISTEMA CENTESIMAL

UNIDAD: Grado centesimal (1g). ÁNGULO igual a la 400 ava parte del ángulo de una vuelta.

OBSERVACIÓN: El ángulo de una vuelta mide 400g.

SUBMÚLTIPLOS DEL GRADO CENTESIMAL:Minuto centesimal (1m)Segundo centesimal (1s)

1g = 100m

1m = 100s ; es decir, 1g = 10 000s

POSTULADO 12: (DE LA MEDIDA DE LOS ÁNGULOS)A cada ángulo le corresponde un número real entre 0 º y 180 º y viceversa.

8

A

B

C

Interior Exterior

Exterior Exterior

A

B

C

Interior Exterior

Exterior

Exterior A

B

C

30º

60º 90º

120º

150º

180º

150º

120º 90º 60º

30º

0º 180º 0º

D

E F

G

H

B A C

Definición.- El número dado por el postulado12, es la medida del ángulo. Se representa así: m ∡ .

En la figura anterior: m ∡ CAD = 90ºm ∡ CAF = 60º m ∡ FAD = 30º m ∡ BAE = 45º m ∡ BAD = 135º

POSTULADO 13(DE LA ADICIÓN DE ÁNGULOS)Si un punto D está en el interior del ∡ BAC, entoncesm ∡ BAC = m ∡ BAD + m ∡DAC

Definición.- Si y son rayos opuestos, y es otro rayo cualesquiera, entonces ∡ BAC y ∡ CAD formal un PAR LINEAL.

Definición.- Si la suma de las medidas de dos ángulos es 180, entonces decimos que los ángulos son SUPLEMENTARIOS y que cada ángulo es el SUPLEMENTO DEL OTRO.

POSTULADO 14: (DEL SUPLEMENTO)Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios.

Definición.- Si los ángulos de un par lineal tienen igual medida, entonces cada uno de ellos se llama ÁNGULO RECTO.Entonces, por el postulado 12:

r + r = 180º; y la medida de un ángulo recto es 90º

Definición.- Si y forman un ángulo recto, entonces son RAYOS PERPENDICULARES, y escribimos:

. Notación que usaremos, también, para las rectas y los segmentos determinados por dichos rayos:

; .

Definición.- Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90, entonces los ángulos se llaman COMPLEMENTARIOS, y cada uno de ellos es el COMPLEMENTO DEL OTRO.

También, un ángulo cuya medida es menor que 90 se llama AGUDO. Y un ángulo cuya medida es mayor de 90, se llama OBTUSO.

Definición.- Dos ángulos que tienen igual medida se llaman CONGRUENTES.

Como m BAC = m SMN, entonces los ángulos son CONGRUENTES y escribimos BAC SMN

El símbolo se lee “congruente”

La igualdad m BAC = m SMN y la expresión BAC SMN, son equivalentes.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

9

A

C D

B

rº rº A D

B C

E

F60º

30º45º

A B D

C

sº

rº rº = m CAD; sº = m

CAB

A

C

rº

M N

S

rº


Definición.- Si el punto D está en el interior del BAC, y BAD DAC, entonces BISECA al BAC, y se llama BISECTRIZ del BAC.

m BAD = m DAC

CLASE DE ÁNGULOS

POR SU MEDIDA:Convexos: Ángulo agudo.

Ángulo recto.Ángulo obtuso.

Ángulo llano: Ángulo formado por dos rayos opuestos, y su medida es 180º.

mAMB = 180º

Ángulo no convexo (Cóncavo o entrante): Su medida está comprendida entre 180 y 360. En la siguiente figura se muestran ángulos entrantes.Son ángulos entrantes: CAB; TNM; SNM; etc.

Ángulo de una vuelta: En un ángulo entrante, que completa una vuelta. Su medida es 360º.

m CAB = 360º

POR SU POSICIÓN:

Ángulos adyacentes: Tienen un lado común.

ABC y CBD son adyacentes.Ángulos consecutivos: Son adyacentes dos a dos.

EFD, DFC, CFB, BFA, AFE; son consecutivos.Ángulos opuestos por el vértice: Son determinados por la intersección de dos rectas diferentes. Sus lados forman dos pares de rayos opuestos, así:

ACB

y DCE son opuestos por el vértice. BCE y ACD son opuestos por el vértice.

Definición.- Dos ángulos apuestos por el vértice son CONGRUENTES.

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Definición.- Sea ABC DEF una correspondencia entre los vértices de los triángulos ABC y DEF. Si los pares de lados correspondientes son congruentes y los pares de ángulos correspondientes son congruentes; entonces la correspondencia ABC DEF se llama CONGRUENCIA entre los triángulos, y escribimos: ABC DEF.Cuando escribimos la expresión anterior, decimos a la vez SEIS cosas:

ó AB = DE

ó AC = DF

ó BC = EF

A D ó m A = m D B E ó m B = m D C F ó m C = m F

10

MA B

A B C

B D

A C

F

A

B C D

E

Asº

B

D

Esº

rº rº

C

B

CA

MS

T

N

B

A

C

D—

—


Definición.- Un lado de un triángulo se dice que está COMPRENDIDO entre los dos ángulos cuyos vértices son extremos del segmento.

Un ángulo de un triángulo se dice que está COMPRENDIDO entre los lados de un triángulo, si está determinado por dichos lados.

POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

POSTULADO 15:(POSTULADO LAL)

Toda correspondencia LAL es una congruencia.

POSTULADO 16: (POSTULADO ALA)

Toda correspondencia ALA es una congruencia.

POSTULADO 17 : (POSTULADO LLL)

Toda correspondencia LLL es una congruencia.

CLASES DE TRIÁNGULOS

POR SUS LADOS:

TRIÁNGULO ESCALENO.- Sus tres lados son diferentes dos a dos.

TRIÁNGULO ISÓSCELES.- Tiene dos lados congruentes. El otro lado es la BASE. Los ángulos opuestos a los lados congruentes, son congruentes, y se llaman ÁNGULOS DE LA BASE. El ángulo opuesto a la base se llama ÁNGULO EN EL VÉRTICE.

TRIÁNGULO EQUILÁTERO.- Tiene sus tres lados congruentes. Sus tres ángulos también son congruentes, es decir, también es EQUIÁNGULO.

POR SUS ÁNGULOS.

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO.- Tiene sus tres ángulos agudos.

TRIÁNGULO RECTÁNGULO.- Tiene un

ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama HIPOTENUSA, los otros dos lados se llaman CATETOS.

TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO.- Tiene un ángulo obtuso.

LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

MEDIANA.- Segmento que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.

11

ACUTÁNGULO

ORTOCENTRO

ORTOCENTRO

ESCALENO

//

/

ISÓSCELES

EQUILÁTERoO

RECTÁNGULO

OBTUSÁNGULO

׀׀

׀׀

C ׀׀

BA

׀׀ D ׀׀ F

E

E

׀׀

— ≡

B

A C

׀׀

F

E

—

≡

D

׀׀

— —

A

B

C

׀׀

— —

D

E

F


Las tres medianas de cada triángulo se intersecan en un punto llamado BARICENTRO.

Este punto es el centro de gravedad del triángulo, y tiene la propiedad de dividir a cada mediana en la relación de 2 a 1.

CEVIANA.- Segmento que une un vértice con cualquier punto del lado opuesto, a excepción de sus extremos.

BISECTRIZ INTERNA.- Un SEGMENTO es BISECTRIZ INTERIOR de un ángulo de un triángulo, si:

1) Está en el rayo que biseca al ángulo.

2) Sus extremos son, el vértice de ese.

El punto de intersección de las bisectrices interiores de un triángulo se llama INCENTRO, y equidista de los lados; además es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

BISECTRIZ EXTERNA.- Un RAYO es una BISECTRIZ EXTERNA del ángulo externo de un triángulo, si biseca a dicho ángulo.La intersección de las bisectrices de dos ángulos externos, con la bisectriz interna del tercer ángulo, se llama EXENTRO; y siempre es un punto exterior del triángulo.

ALTURA.- Es el segmento perpendicular desde un vértice del triángulo a la recta que contiene al lado opuesto.El punto de concurrencia de las tres alturas de un triángulo se llama ORTOCENTRO.Para un triángulo acutángulo, el triángulo que se forma al unir los pies de las alturas, se denomina TRIÁNGULO ÓRTICO O PEDAL, del triángulo dado. Las alturas del triángulo mayor son bisectrices de los ángulos del pedal.

MEDIATRIZ.- Es la recta perpendicular en el punto medio de cada lado de un triángulo.El punto de concurrencia de las mediatrices se llama CIRCUNCENTRO, y equidista de los vértices del triángulo.El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

ÁNGULOS DETERMINADOS POR LÍNEAS NOTABLES

I.- ÁNGULO FORMADO POR DOS BISECTRICES INTERIORES Su medida es igual a 90 más la mitad de la medida del tercer ángulo interior.

II- ÁNGULO FORMADO POR UNA BISECTRIZ INTERIOR Y UNA EXTERIORSu medida es igual a la mitad del tercer ángulo interior.

12

BARICENTRO

INCENTRO

EXCENTRO

CIRCUNCENTRO

A

B

C

x

x = 90 +

A

B

C

x

INCENTRO PROFESOR MIGUEL AGIP MEGO

III.- ÁNGULO FORMADO POR DOS BISECTRICES EXTERIORES

Su medida es igual a 90 menos la mitad de la medida del tercer ángulo interior.

IV.- ÁNGULO FORMADO POR UNA ALTURA Y UNA BISECTRIZ INTERIOR REFERIDAS A UN MISMO LADO

Su medida es igual a la semidiferencia de las medidas de los ángulos interiores restantes del triángulo.

V.- ÁNGULO FORMADO POR DOS ALTURAS

Su medida es igual 180º menos la medida del ángulo del triángulo, del que no se traza altura.

EJEMPLOS

1) Completar la siguiente definición:

Un ángulo es la………………… de dos…………… que tienen el mismo……………, pero no están en la misma…………………

Solución

UNIÓN: RAYOS: ORIGEN: RECTA.

2) En la figura, los puntos A, B y C están alineados. Nombrar cinco ángulos.

Solución ABR; RBC; CBS ABS; RBS

3) Nombrar todos los triángulos de la siguiente figura:

Solución

ABC; ACE; ABE; BCE; ABD; DCE; BDC; ADE

4) Determinar la medida del complemento del ángulo cuya medida es:

a) 80º b) 23º 30’c) nºd) nº + kºe) 90 – nº

Solución

a) b) c)90º nº

10º

d) 90º ( nº + kº) = 90º nº kºe) 90º ( 90º nº) = 90º 90º + nº = nº

5) Dos veces la medida de un ángulo es 30º menos que 5 veces la medida de su suplemento. ¿Cuál es la medida del ángulo?

Solución

Medida del ángulo = x 5x 2x = 30º3x = 30º; x = 10ºRPTA: La medida del ángulo es 10º.

6) Calcular el complemento del suplemento del suplemento del complemento del suplemento de un ángulo cuya medida es 124º.

SoluciónSi observamos bien la redacción del enunciado del problema, nos damos cuenta que tenemos que empezar a calcular desde el último suplemento, hacia delante, así: (1) suplemento de 124º 180º 124º = 56º(2) complemento de 56º 90º 56º = 34º(3) suplemento de 34º 180º 34º = 146º(4) suplemento de 146º 180º 146º = 34º(5) complemento de 34º 90º 34º = 50º ®

13

A B

C

S

R

A

B

D

C

E

A

B

C

x

A

A

A

x

;

A

B

C x

180ºx

7) ¿Cuál es la medida de un ángulo, si se sabe que la medida de su suplemento es 39º más que dos veces la medida de su complemento?

Solución

Medida del ángulo = x(180º x) 39º = 2(90º x )Medida del su suplemento = 180º x 180º x 39º = 180º 2xMedida de su complemento = 90º x 2x x = 180º 180º + 39ºx = 39º RPTA: La medida del ángulo es 39º.

8) Datos: 1) En la figura, es opuesto a . 2) Demostrar que AGB es complementario con EGC.

Solución

DEMOSTRACIÓNAFIRMACIONES/RAZONES1) opuesto a 1) Dato2) AGB suplemento de BGE2) Postulado 12.3) m AGB + m BGE = 180º3) Ángulos suplementarios4) 4) Dato5) m BGC = 90º5) Definición de perpendicular y recto.6) m BGE = m EGC + 90º6) Adición de ángulos7) m AGB + m EGC + 90º = 180º7) Sustitución de la afirmación 6 en la 3.8) m AGB + m EGC = 90º8) Reducción en 79) AGB es complemento de EGC9) Def. de s complementarios en 89) Si el ángulo A mide 36º, ¿cuál es el valor del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos exteriores B y C del triángulo ABC?

SoluciónConstruimos un gráfico, según las condiciones del problema:

x = 70º

10) En el gráfico calcular “x”.

Solución

Para poder utilizar los teoremas conocidos, prolongamos y , hasta su intersección en “H”.Luego, entonces tendremos la siguiente gráfica:

a) En PQR: m PHR =

Por lo que m PHR =

b) En TUS: m TUS =

Por lo que:

x = 60º

14

A

B

C

36º x

P

Q

R

U

S T

x

x

x

x P R

S

U

T

H

EJERCICIO 03

1. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?2.

¿Qué palabras completan correctamente las siguientes proposiciones?

a) Si mA = 63º y mB = 117º, entonces A y B son ………………………………..b) En cualquier par lineal, los ángulos son………………………………………………..c) El punto de convergencia de las alturas de un triángulo se llama……………………...d) Si uno de los ángulos opuestos por el vértice mide 46º, los otros tres ángulos determinados miden…………………………..3. El complemento del complemento del suplemento del suplemento del complemento, de un ángulo es 55º. ¿Cuánto mide el ángulo?

4. La medida del ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos interiores de un triángulo, es el triple de la medida del tercer ángulo interior. ¿Cuánto mide el ángulo determinado por las bisectrices?

5. Hallar “x” en la figura:

6. ABCD es un cuadrado. Hallar el valor de x, en la figura. AE = DE = AB.

7. En el ABC, el A mide 80º y el B mide 60º. Si y son alturas. Hallar el valor de “x”.

8. En el triángulo siguiente: PR = RQ y es altura. Hallar “x”.

9. Dado el triángulo ABC, la recta es bisectriz del ángulo exterior B, y la recta es bisectriz del ángulo interior C. Hallar la medida del BEC.

IVPOLÍGONOS

Definición.- Dados los puntos P1, P2, P3,…,Pn

Coplanares, donde no hay tres puntos alineados, y n ≥ 3, la reunión de los segmentos determinados por los puntos mencionados, se denomina POLÍGONO.

VÉRTICES: P1, P2, P3…,Pn

LADOS:

ANGULOS.

ANGULOS EXTERNO:

PERÍMETRO: Suma de longitudes de sus lados.

DIAGONALES:

P2

P3

P4Pn-1

Pn

P1

A

15

A

B C

E D

F

A D C

B

+ 20º x

A

B C

D

E x

B

A

C M

N

x

R

Q

P D

x

42º

A B

C D

E

5 4º

x

72º

En todo polígono el número de ángulos es igual al número de lados.

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÓGONOS

POR SU NÚMERO DE LADOS.

TRIÁNGULO: 3 lados

CUADRILÁTERO: 4 lados

PENTÁGONO: 5 lados

HEXÁGONO: 6 lados

DECÁGONO: 10 lados

PÈNTADECÁGONO: 15 lados

ICOSÁGONO: 20 lados

POR SU FORMA:

CONVEXO Y NO CONVEXO

POR LA MEDIDA DE SUS ELEMENTOS:

EQUIÁNGULO: Ángulos congruentes

EQUILÁTERO: Lados congruentes

REGULAR: Equilátero y equiángulo.

MEDIDAS EN UN POLÍGONO.

Suma De las medidas de sus ángulos interiores (Si) Si = 180(n-1)Suma de las medidas de los ángulos exterioresSe = 360Número de diagonales (ND)

ND =

Para un polígono regular:

Medida del ángulo interior (i)

Medida del ángulo exterior €:

Medida del ángulo central (c):

VCUADRILÁTEROS

ELEMENTOS DE UN CUADRILÁTERO

Un CUADRILÁTERO, es un polígono de cuatro lados.LADOS OPUESTOS: No tienen ningún vértice común.LADOS CONSECUTIVOS: Tienen un vértice común.VÉRTICES O ÁNGULOS OPUESTOS: No son determinados por un mismo lado.VÉRTICES O ÁNGULOS CONSECUTIVOS: Tienen UN lado común.ÁNGULOS OPUESTOS: Tienen Vértices opuestos.DIAGONALES: Segmentos que unen dos vértices opuestos.

CLASES DE CUADRILÁTEROS

TRAPEZOIDE: No tiene lados paralelos. También se denomina CUADRILÁTERO ASIMÉTRICO.El cuadrilátero donde una diagonal es mediatriz de la otra se llama TRAPEZOIDE SIMÉTRICO, TRAPEZOIDE BBISÓSCELES o CONTRAPARALELOGRAMO.

TRAPECIO: Tiene Dos lados paralelos llamados bases.ALTURA: Distancia entre sus bases.MEDIANA: Segmento que une puntos medios de lados no paralelos.La mediana de un trapecio es igual a la mitad de la suma de las dos bases.

16

║ ║

A

B C

D

M N

MN=

CLASES DE TRAPECIOS:

ESCALENO: Sus lados no paralelos son diferentes.ISÓSCELES: Sus lados no paralelos son iguales.RECTÁNGULO: Si uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases.

PARALELOGRAMO: Tiene sus lados opuestos paralelos y congruentes.En todo paralelogramo, sus ángulos opuestos son congruentes y sus diagonales se bisecan.Todo paralelogramo tiene dos alturas.

CLASES DE PARALELOGRAMOS

a) PARAELOGRAMO PROPIAMENTE DICHO, se llama ROMBOIDE.

b) RECTÁNGULO: Llamado también CUADRILONGO, es el paralelogramo equiángulo.

c) ROMBO: Paralelogramo equilátero.

d) CUADRADO: Paralelogramo equilátero y equiángulo.

OBSERVACIONES PARA LOS PARALELOGRAMOS:- Si un cuadrilátero tiene dos lados paralelos y congruentes es un paralelogramo.- En un rectángulo las diagonales son congruentes pero no son perpendiculares.- Un rombo tiene sus diagonales perpendiculares y no congruentes.-El cuadrado es un rectángulo y rombo a la vez.

PROPIEDAD GENERAL DE LOS CUADRILÁTEROS:

Al unir en forma consecutiva los puntos medios de los lados de un trapezoide, se forma un paralelogramo, cuyo perímetro es igual a la suma de las diagonales del trapezoide.

PROPIEDADES ESPECIALES

1. La medida del ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un trapezoide es igual a la semisuma de las medidas de los otros dos ángulos.

2. La medida del menor ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos opuestos de un trapezoide es igual a la semidiferencia de la medida de los otros ángulos.

3. En todo trapezoide los segmentos que unen los puntos medios de sus lados opuestos se bisecan mutuamente.

4. La distancia del centro de un trapezoide a una recta exterior, es igual al promedio de las distancias de sus vértices a dicha recta.

A

B C

D a d

x

y y

z z

2dax

17

═ ═

α

α β

β

─

─

─

─

a) b)

c) d)

A

BC

D

E

F

G

HEF + FG +GH +HE = AC + BD

A

B

C

D

x

2BmDm

x

║ ║ ─

─

A

BC

D

5. Las bisectrices de los ángulos adyacentes a los lados paralelos de un trapecio son perpendiculares.

6. Si las bisectrices de los cuatro ángulos de un trapecio con concurrentes, entonces la suma de los lados no paralelos será igual a la suma de las bases.

7. La suma de las distancias de dos vértices opuestos de un paralelogramo a una recta exterior es igual a la suma de las distancias de los otros vértices a dicha recta.

8. En todo trapecio el segmento que une los puntos medios de sus diagonales es igual a la semidiferencia de las bases.

VICIRCUNFERENCIA

La CIRCUNFERENCIA con centro O y radio R es el conjunto de todos los puntos del plano que están a la misma distancia R del punto O.Los puntos P que están a una distancia de O menor de R determinan en INTERIOR de la circunferencia, y los puntos Q que están a una distancia de O mayor que R determinan su EXTERIOR.El CÍRCULO de centro O y radio R es la reunión de la circunferencia y su interior.

LÍNEAS EN LA CIRCUNFERENCIA

RADIO:

DIÁMETRO:

CUERDA:

ARCO:

FLECHA O SAGITA:

RECTA EXTERIOR: L1

RECTA TANGENTE: L3

RECTA SECANTE: L2

IMPORTANTE

A

B C

D AB+CD = BC+AD

18

A

B C

D

O

E F G H I

OG =

A

B C

D

90o

α α

β β

A

B C

D

M N S T

AM+CT = BN+DS

A

B C

D

M N

AD BG AD BCMN PQ2 2

P Q

A

S R

M

O B

T

Q

L1

A L3

L2


- La medida de una circunferencia medida en grados es 360.

- Todo diámetro contiene dos radios.

- Todo diámetro divide a la circunferencia en dos arcos iguales llamados SEMICIRCUNFERENCIAS

CUYAS MEDIDAS SON DE 180O.

- El punto común entre una circunferencia y una recta tangente se llama PUNTO DE TANGENCIA.

- Toda recta secante determina en la circunferencia una cuerda.

POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS

Dadas las circunferencias de radios O y O’, radios R y r y la distancia “d” entre sus centros, serán:

EXTERIORES: Si d > R + r (a)

INTERIORES: Si d < R + r (b)

TANGENTES INTERIORES: Si d = R – r (c)

TANGENTES EXTERIORES: Si d = R + r (d)

SECANTES: Si R – r < d < R + r (e)

ORTOGONALES: Si d2 = R2 + r2 (f)

CONCÉNTRICAS: Si d = 0 (g)

IMPORTANTE-La recta que contiene a los centros de dos circunferencias tangentes pasa por el punto de tangencia.- En circunferencias secantes, el segmento que une los puntos comunes se llama cuerda común y “d” es su mediatriz.

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

19

r R O’

O

d

d R r

r

R r

d

(a)

(b) (c)

R

r

d d R

r

(d) (e)

R r

d

(f)

R

r

(g)

O

A

B

CENTRAL m∡AOB = m arcAB

O P

A

B

INSCRITO

m∡APB =

O

P A

B

SEMI-INSCRITOm∡APB =

O

P A

B

EX-INSCRITO

m∡APB =


TEOREMAVI-1En toda circunferencia, rectas secantes paralelas intersecan arcos congruentes.

TEOREMA VI-2

En toda circunferencia, a cuerdas congruentes le corresponden arcos congruentes.

TEOREMA VI-3

Todo radio es perpendicular a una recta tangente en su punto de tangencia.

TEOREMA VI-4Si un radio es perpendicular a una cuerda, entonces dicho radio biseca tanto a la cuerda como al arco que subtiende

TEOREMA VI-5Las parejas de tangentes trazadas desde un mismo punto exterior a una circunferencia son congruentes.

TEOREMA VI-6Los arcos de intersección determinados por dos circunferencias secantes y congruentes, son congruentes.

20

O P

A

B

INTERIOR

m∡APB =

C

D

O P

A

B

EXTERIOR

m∡APB =

C

D

O P

A

B

EXTERIOR

m∡APB = 180 – m arc AB

A

B

C

D

L1

L2

AB=CD↔arc AB=arc CD

O C

P L

L:Tangente ↔OP ⊥ L

A

B C

D

L1

L2

L1//L2 ↔ AB = CD

A B

O

D

H

A B

D

DA = DO

O P

A

B

EXTERIOR

m∡APB =

C

POLIGONO INSCRITO

Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices pertenecen a ella.

CUADRILÁTERO INSCRITOPROPIEDADES:

1ra.- Los ángulos opuestos son suplementarios.

2da.- Las diagonales con los lados opuestos forman ángulos congruentes.

3ra.- Un ángulo interior de un cuadrilátero inscrito es congruente con el opuesto exterior.

CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLESe llama así cuando puede inscribirse en una circunferencia. Esto sucede, si dicho cuadrilátero cumple con cualquiera de las tres propiedades un cuadrilátero inscrito.

TEOREMA VI-7 TEOREMA DE SIMPSONSi desde un punto situado en la circunferencia circunscrita a un triángulo, se trazan las perpendiculares a los tres lados, entonces los pies de dichas perpendiculares están en una misma recta, llamada Recta de Simpson.

POLÍGONO CIRCUNSCRITOUn polígono está circunscrito a una circunferencia si todos sus lados son tangentes a ella.

TEOREMA VI-8 TEOIREMA DE PONCELETEn todo triángulo rectángulo se cumple que la suma de los catetos es igual a la suma de los diámetros de las circunferencias inscrita y circunscrita.

TEOREMA VI -9: TEOREMA DE PITHOTEn todo cuadrilátero circunscrito se cumple que la suma de dos lados opuestos es igual a la suma de los otros dos lados.

21

A

P∙

B

BPA = BOA

Q∙ R R

A B

E

F

D

∙O C

A B

α + β = 180

D

C

∙O

α

β

A B

α β

D

C

∙O

α β

A B

α β

D

C

∙O α

β

A

B

R C

∙O Q

P

P,Q y R son colineales

A

B

O

C

F E

D

A

B

r

C O

O’R

AB + BC = 2r + 2R

TEOREMA VI-10: TEOREMA DE STEINEREn todo cuadrilátero ex-inscrito se cumple que la diferencia de dos lados opuestos es igual a la diferencia de los otros dos lados.

CIRCUNFERENCIA EX-INSCRITA A UN TRIÁNGULO: TEOREMA VI-11Si una circunferencia ex-inscrita es tangente a las prolongaciones de los lados AB y AC de un triángulo ABC, con puntos de tangencia P y Q respectivamente, se cumple que:

TEOREMA VI-12: TEOREMA DE LAS CUERDASSi en una circunferencia se grafican dos cuerdas secantes, entonces el producto de las partes de una de las cuerdas será igual al producto de las partes de la otra.

TEOREMA VI-13: TEOREMA DE LAS SECANTES

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, entonces el producto de la secante por su parte exterior es constante.

TEOREMA VI-14: TEOREMA DE LA TANGENTE.

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una secante y una tangente, entonces la tangente será media proporcional entre la secante y su parte exterior.

TEOREMAS VI – 15: TEOREMAS DE PTOLOMEO

1ro.- En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible, la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de las diagonales.2do.- En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible, la relación de las diagonales es igual a la relación entre la suma de los productos de los lados que concurren en los extremos de dichas diagonales.

TEOPREMA VI-16

EN el triángulo ABC, inscrito en una circunferencia de radio R, se cumple que el producto de dos lados es igual a 2R por la altura relativa al tercer lado.

22

A

B

CO

D

AB+CD = BC+AD

O: Centro de circunferenciaOA, OB, OC, OD; bisectrices de A,B,C,D

A

B

CO’

D

AB + CD = BC + AD

A

B

Q

O’

P

AP = AQ = p(ABC)

C

p: semi-perímetro

A

B PO’

D

C

AP.PB = CP.PD

A B

PO’ D

CPA.PB = PC.PD

B PO’

Q

A

PQ2 = PA.PB

B DO’

C

A

AB.CD+BC.AD=AC.BD

TEOREMA VI-17: TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOREn todo triángulo, el cuadrado de la bisectriz de un ángulo interior es igual al producto de los lados que determinan el ángulo, menos el producto de los segmentos que la bisectriz determina en el tercer lado.

TEOREMA VI-18: TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOREn un triángulo, el cuadrado de la bisectriz de un ángulo exterior es igual al producto de los segmentos que determina la bisectriz exterior sobre el lado opuesto, menos el producto de los lados que intervienen en la determinación del ángulo exterior.

VIIPOLÍGONOS REGULARES

Definición.- Un polígono regular es aquel que tiene sus ángulos y sus lados congruentes.

APOTEMA DE UN POLÍGONO REGULARLa apotema (ap) de un polígono regular, es la perpendicular trazada desde su centro a cualquiera de sus lados.

TRIÁNGULO ELEMENTALSe llama TRIÁNGULO ELEMENTAL, al triángulo isósceles, cuyos lados son circunradios, su base es el lado del polígono regular; el ángulo opuesto a la base es el ángulo central, y la altura referente a la base es el ap.

TRIÁNGULO ELEMENTAL = ∆ BOCLADO: BC = ln

ÁNGULO CENTRAL = ∡ BOCAPOTEMA (apn ): OP

CÁLCULO DEL APOTEMA DE UN POLÍGONO REGULAR

En ∆ POC: OP2 = OC2 − PC2

Como

LADO Y APOTEMA DE UN POLÍGONO REGULAR EN FUNCIÓN DEL CIRCUNRADIO

a) TRIÁNGULO EQUILÁTERO:

23

B

AO’

C

A

AB.BC = 2R.AC

R

B

AC

α

BM2 =AB.BC-AM.MC

α

M

B

A C

α

BC2 =AC.MC ─ AB.BC

α

M

B

A

CP

Apotema (ap) = OP

D

O

R R

B

Ln

CP

O

Rapn

B

Ln

CP

O

R apn

B

L3

CA H

O

R apn

L3

R3030o

30o

30o 60o

LADO: AB = l3 = R

APOTEMA: OH = ap3 =

b) CUADRADO:

LADO: AB = l4 =

APOTEMA: OH = ap4 =

c) PENTÁGONO REGULAR:

LADO: AB = l5 =

APOTEMA: OH = ap5 =

d) EXÁGONO REGULAR:

LADO: AB =l6 = R

APOTEMA: OH = ap6 =

e) DECÁGONO REGULAR:

LADO: AB = l10 =

APOTEMA:

f) DODECÁGONO REGULAR:

LADO: AB = l12 =

APOTEMA: OH = ap12 =

CÁLCULO DEL LADO DEL POLÍGONO REGULAR DE DOBLE NÚMERO DE LADOS INSCRITO EN LA MISMA CIRCUNFERENCIA

LADO DEL POLÍGONO DE n LADOS: ln = AB

24

BA H

O

R ap4 R45o 45o

45o 45o

BA H

O

Rap5

R 30o 30

60o 60o

BA H

O

Rap6 R30o30

60o 60o

BA H

O

Rap10 R

72o 72º

18o 18o

BA H

O

Rap12 R

75o 75º

15o 15o

B A H

O

P

R

Q

LADO DEL POLÍGONO DE 2n LADOS: l2n = AP

APOTEMA ( ln ): apn = OH

APOTEMA (l2n ) : ap2n = OQ

En triángulo rectángulo AHP:

* Como

Y así sucesivamente.VIII

DESIGUALDADES GEOMÉTRICAS

Definición.- Un segmento es menor que otro, si su longitud es menor.

, si AB CD.

Definición.- A B, si mA mBDefinición.- En el triángulo ABC. Si C está entre A y D, entonces BCD es ÁNGULO EXTERNO en C del ABC.

Definición.- Los ángulos A y B del ABC, se llaman ÁNGULOS INTERNOS NO CONTIGUOS del ángulo externo BCD, o ángulo externo en C.De igual modo, los ángulos B y C del ABC, se llaman ÁNGULOS INTERNOS NO CONTIGUOS del ángulo externo en A. Así

como, también, los ángulos A y C, son INTERNOS NO CONTIGUOS del ángulo externo en B.

TEOREMA VIII-1Un ángulo externo de un triángulo es mayor que cada uno de los ángulos internos no contiguos.

TEOREMA VIII-2Si un triángulo tiene un ángulo recto, entonces los otros dos ángulos son agudos.

TEOREMA VIII-3Si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados no son congruentes, y el ángulo mayor es opuesto al lado mayor.Si dos ángulos de un triángulo no son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos no son congruentes, y el lado mayor es opuesto al ángulo mayor.Si AB AC, entonces C B.Si C B, entonces AB AC.TEOREMA VIII-4El segmento más corto que une un punto a una recta, es el segmento perpendicular a la recta, uno de cuyos extremos es el punto dado.

PQ PR

Definición.- La DISTANCIA entre una recta y un punto, que está fuera de ella, es la longitud del segmento perpendicular, desde el punto a la recta.

TEOREMAVIII-5La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.

RP + PQ RQ RP + RQ PQRQ + PQ RP

TEOREMA VIII-6: TEOREMA DE LA CHARNELA.

Si dos lados de un triángulo son congruentes, respectivamente, con dos lados de un segundo triángulo, y el ángulo comprendido en el primer triángulo es mayor que el ángulo comprendido en el segundo, entonces el tercer lado del primer triángulo es mayor que el tercer lado del segundo triángulo.

25

B

C A D

P

Q R

R

P

Q

A

B

C D

TEOREMA VIII-7: RECÍPROCO DEL TEOREMA DE LA CHARNELA.

Si dos lados de un triángulo son congruentes, respectivamente, con dos lados de un segundo triángulo, y el tercer lado del primer triángulo es mayor que el tercer lado del segundo triángulo, entonces el ángulo comprendido del primer triángulo es mayor que el ángulo comprendido del segundo triángulo.

Como, AB = DE y BC = EF:Si B E , entonces AC DF. Si AC DF, entonces B E

Definición.-La proyección ortogonal de un punto sobre un plano, es el pie de la perpendicular que va del punto al plano.

La proyección ortogonal de una recta sobre un plano, es el conjunto de todos los puntos del plano que son proyección de cada punto de la recta.

TEOREMA VIII-8

Si una recta y un plano no son perpendiculares, entonces la proyección ortogonal de la recta sobre el plano, es una recta.

Definición.-

Si A es un conjunto cualesquiera en el espacio, y E es un plano, entonces la PROYECCIÓN ORTOGONAL de A sobre E, es el conjunto de todos los puntos que son proyección ortogonal de cada uno de los puntos de A sobre E.

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

TEOREMA VIII-9Un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.Para el triángulo rectángulo ABC, recto en B, de la figura siguiente, tenemos:

c2 = b.m a2 = b.n

TEOREMA VIII-10La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

h2 = m.n

TEOREMA VIII-11: TEOREMA DE PITÁGORASEn todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos.

a2 = b2 + c2

De donde deducimos, también:b2 = a2 c2

c2 = a2 - b2

26

P

P’

E

P P’

T’ S’

T S

Q

Q’

P

P’ E

A

B

C

c a

b

A

B

C H

c a

h

m n

b

═ —

Ш A

B

C

═ —

ПI D

E

F

PP’

E

P P’

A

B

E A’ = B’

A

B

C

A’ B’ C’

E

AB

A’B’

E

A

B

C

A’

B’

C’

E

TEOREMA VIII-12El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por su altura respectiva.a.c = b.h (Fig. α)

TEOREMA VIII-13El cuadrado de la inversa de la altura es igual a la suma de los inversos de los cuadrados de los catetos.

TEOREMA VIII-14La razón de los cuadrados de los catetos es igual a la razón de los segmentos que la altura determina sobre la hipotenusa.a2.m = c2.n

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS (GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS)

TEOREMA VIII-15: TEOREMA DE EUCLIDES“En todo triángulo se cumple que el cuadrado del lado que se opone a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

a2 = b2 + c2 − 2bmc2 = a2 + b2 − 2bn

TEOREMMA VIII-16: TEOREMA DE EUCLIDESEn todo triángulo obtusángulo, se cumple que el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

a2 = b2 + c2 + 2bm

TEOREMA VIII-17: TEOREMA DE STEWARD

En un triángulo ABC, con su ceviana BD, se cumple la relación:

c2.n + a2 .m = x2.b + bmn

PROPIEDADES PARTICULARES DE LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES Y EQUILÁTEROS

1ra.- La suma de las distancias de un punto de la base de un triángulo isósceles a sus lados congruentes es igual a cualquiera de las alturas congruentes.

2da.- La diferencia de las distancias de un punto, tomado en la prolongación de la base de un triángulo isósceles, a sus lados congruentes, es igual a cualquiera de las alturas congruentes.

3ra.- La suma de las distancias de un punto interior a un triángulo equilátero hacia sus lados es igual a cualquiera de sus alturas.

27

A

B

C H m n

a c

b

H A

B

C

a

b

c

m

A

B

C

S R P

Q

AS = PQ + QR

A

B

P

Q C

S

R

AR = PQ QS

A

B

P R

C H S

Q

BH + PQ +QR + QS

A

B

CD nm

b

c a

4ta.- Si de un punto situado en el exterior de un triángulo equilátero, se trazan perpendiculares a sus tres lasos, la suma de las longitudes de las perpendiculares extremas menos la longitud de la perpendicular intermedia es igual a cualquiera de las alturas.

TEOREMA VIII-18: RELATIVO A LA MENOR MEDIANA DE UN TRIÁNGULO RECTÁBGULO

“En todo triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa, es la menor de las tres medianas del triángulo. Además su longitud es la mitad de la longitud de la hipotenusa.

TEOREMA VIII- 19:

Si del punto medio de un cateto, de un triángulo rectángulo, se baja una perpendicular sobre la hipotenusa, la diferencia de los cuadrados de las longitudes de los segmentos determinados por esta perpendicular sobre la hipotenusa, es igual al cuadrado del otro cateto.

TEOREMA VIII-20:

La suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera de un triángulo es igual al doble del cuadrado de la mediana del tercer lado, más la mitad del cuadrado de este mismo lado.

TEOREMA VIII-21:

la diferencia de los cuadrados de dos lados de un triángulo es igual al producto del tercer lado por la proyección de la mediana sobre el tercer lado.

TEOREMA VIII-22: TEOREMA DE EULER

En todo cuadrilátero se cumple que la suma de los cuadrados de sus cuatro lados es igual a la suma de los cuadrados de sus diagonales más cuatro veces el cuadrado del segmento que une los puntos medios de dichas diagonales.

AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = AC2 + BD2 + 4MN2

TEOREMA VIII-23: TEOREMA DE HERÓN

En todo triángulo ABC se cumple que la altura(h) referente a un lado es igual al doble de la inversa de dicho lado multiplicado por la raíz cuadrada de un producto cuyos factores son el semiperímetro del triángulo y el semiperímetro menos cada lado.

TEOREMA VIII-24: TEOREMA DE ARQUÍMIDESEn todo cuadrilátero de diagonales perpendiculares se cumple que la suma de los cuadrados de dos lados opuestos es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

AB2 + CD2 = AD2 + BC2

A B

C

b a

D H

m m

c

dh

n

28

A

B P

H

T

Q

R S

BH = PQ + QR QT

A

B

M

C

A

M

B

H C

A

B

C

D

A

B C

D

M

N

TEOREMA VIII-25 (TRIÁNGULO RECTÁNGULO 30 O -60 O ) En un triángulo rectángulo 30o –60o , el cateto adyacente al ángulo de 60o es igual a la mitad de la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo de 30o es igual a la mitad de la hipotenusa por .

TEOREMA VIII- 26:

(TRIÁNGULO RECTÁNGULO 45 O ) En un triángulo rectángulo 45o, la hipotenusa es igual a un cateto por

EJEMPLOS

1) Los lados de un ABC miden AB = 12cm, BC = 14cm y AC = 16 cm. En el interior del se toma un punto O. ¿Cuál de los siguientes valores puede ser igual a OA + OB + OC?

a) 20cm b) 21cm c) 20

cm d)

42cm e) 46cm

Solución

Por el Teorema IV-5:En COA: OA + OC 16En AOB: OA + OB 12En BOC: OB + OC 14______________________2 OA + 2 OB + 2 OC 42 OA + OB + OC 21 (1)

Sumando miembro a miembro las desigualdades de las tres gráficas auxiliares tenemos:

84 2 OA + 2 OB + 2 OC; es decir:

42 OA + OB + OC (2)

De (1) y (2) tenemos:

21 OA + OB + OC 42

Por lo tanto OA + OB + OC puede ser igual a 20

2) Los lados de una figura de cuatro lados ABCD miden AB = 10cm; BC = 12cm; CD = 13cm; AD = 15 cm. Si en el interior de la figura se toma un punto O. Hallar los límites en que varía la suma OA + OB + OC + OD.

29

A

B

O

16

12 14

C

A

12

B

14

O

C

12 + 14 OA + OC

A

B

O12

16 C 16 + 12 OB + OC

A

O

B

14 C

16

14 + 16 OA + OB

A

B

C

D

O

10 12

13 15

2k

k

60o

30o

k k 2

k

45o

45o

Solución

Por Teorema IV-5:

AB + BC + CD OA + OC

BC + CD + AD OA + OB

AB + AD + CD OB + OC

AD + AB + BC OD + OC

150 2( OA + OB + OC + OD)

75 OA + OB + OC + OD

Además: OA + OB 10

De donde:

2( OC + OB + OA + OD) 50

OA + OD 15; OD + OC 13

OC + OB + OA + OD 25

OC + OB 12

Por consiguiente:

25 OA + OB + OC + OD 753) En la figura: AD = 28cm, hallar BC.

Solución

Trazamos la mediana referente a la hipotenusa del rectángulo ABD.

Como es mediana del rectángulo ABD, por el Teorema IV-16:

= 14cm

Como m ∡ ABM = 20º;

m ∡ MBD = 70º. Como MBD es isósceles, m ∡ MDB = 70º y m ∡ BMD = 40º.

Por consiguiente: MBC es isósceles, y

x = 14 cm.

4) En la figura AD = 15cm; ED = 17 cm. Hallar BE.

Solución

Trazamos ECD CHD; por consiguiente ED = DH = 17cmEn rectángulo EAD, por Teorema de Pitágoras. Tenemos:

EA = 8cmx + EA = 17 x + 8 = 17

x = 9cm5) En el ABC, recto en B. La hipotenusa mide 10cm y el cateto mayor mide 8cm. ¿Cuánto mide la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa?

Solución

→ →

m = 6,4cm

30

A

B

C D

30º

20º28cm

x

A

B

C D

30º

20º

x

M 14 14

20º

40º 40º

14

A

E

B C

D15

17

x

A

E

B C

D15

17

x

H

17

A

B

C H

a = 8

m n b = 10

c = ?

6) En el PQR, acutángulo. p = 25 , q = 20. Hallar “r”. Si la proyección de q sobre p mide 15.

Solución

r =16,58

EJERCICIO 04

1. Dos lados de un isósceles son 17 y 8. Su perímetro es:

2. Los lados del ABC miden: a = 23; b = 40; c = 50. En el interior del triángulo se toma el punto P. Entre que límites está AP + BP + CP?

3. Un cateto de un triángulo rectángulo mide 5m. ¿Cuánto miden los otros lados, si adoptan valores enteros?

4. El producto, de las proyecciones de los catetos, sobre la hipotenusa de un rectángulo, es 300 ¿Cuánto mide la altura referida a la hipotenusa?

5. Si el producto de las longitudes de los catetos de un rectángulo es 48. Hallar la altura referida a la hipotenusa, si ésta mide 10.

IXRECTAS PARALELAS Y

SECANTES EN EL PLANO

Definición.- Dos rectas que no están en un mismo plano y no se intersecan se llaman RECTAS ALABEADAS.

Definición.- Dos rectas son PARALELAS, si:1) Son coplanarias.2) No se intersecan.Su notación es: . Se lee: “Recta

paralela a recta ”

POSTULADO 18:

Por un punto dado que no está en una recta, pasa una y sólo una recta paralela a la recta dada.

Definición.- Una SECANTE a dos rectas coplanarias es una recta que las interseca en dos puntos diferentes.

Definición.- En las figuras:

Son ALTERNOS INTERNOS, los ángulos 4 y 6; 5 4 y 5; respectivamente.

Son ALTERNOS EXYERNOS, los ángulos 1 y 8; 2 y 7, respectivamente.

Son CORRESPONDIENTES, los ángulos 1 y 5; 2 y 6; 3 y 7; 4 y 8; respectivamente.

Son CONJUGADOS INTERNOS, los ángulos 3 y 5; 4 y 6; respectivamente.

Son CONJUGADOS EXTERNOS, los ángulos 1 y 7; 2 y 8; respectivamente.

TEOREMA IX-1: Si dos rectas paralelas son intersecadas por una secante:_ Los ángulos alternos internos y alternos externos correspondientes son congruentes._ Los ángulos conjugados internos y externos correspondientes son congruentes.

TEOREMA IX-2: Para todo triángulo, la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 180.

31

r = ? q = 20

Q R

P

p = 25

15

L2

L1

L3

1 2

3 4

5 6

78

L2

L1

L3

1 2

3 4

5 6

7 8

A

B

C

Dx' z y’

x y

x’ + z + y’ = 180

TEWOREMA IX-3: De los puntos mediosPara todo triángulo, el segmento que une los puntos medios de dos lados es paralelo al tercer lado y mide la mitad de dicho lado.

// ; M y N puntos medios; entonces:

ANGULOS DE LADOS // s y ┴ s:

I) Dados dos ángulos de lados paralelos:a) Si los lados correspondientes son opuestos o del mismo sentido, son congruentes.

b) Si un par correspondiente tiene el mismo sentido y el otro sentido opuesto, son suplementarios.

II) Dados dos ángulos de lados ┴ s:

a) Silos dos son agudos o los dos son obtusos, son congruentes.

b) Si un ángulo es obtuso y el otro es agudo, son suplementarios.

XSEGMENTOS

PROPORCIONALES Y SEMEJANZA DE

TRIÁNGULOS

TEOREMA X-1 Tres o más rectas paralelas que determinan segmentos congruentes en una secante dada, también determinan segmentos congruentes en cualquier otra secante.

TEOREMA X-2 TEOREMA DE THALES Tres o más rectas paralelas determinan en dos rectas secantes, segmentos proporcionales.

32

a b

A

B

C

M N

b b

a a

a

b a a

a

b

a

ab b

a

b

a

b


COROLARIO 1 Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados, entonces determina sobre ellos segmentos proporcionales a dichos lados.

COROLARIO 2 Si una recta interseca a los lados de un triángulo y determina segmentos proporcionales en ellos, entonces es paralela al tercer lado.

COROLARIO 3 Si una recta biseca a un lado de un triángulo y es paralela a otro lado biseca también al tercer lado.

PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO EXTERIOR DE UN Δ

TEOREMA X -3 La bisectriz de un ángulo exterior de un triángulo divide al lado opuesto (prolongado) en segmentos proporcionales a los otros dos lados del triángulo. En el Δ ABC:

PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO INTERIOR DE UN Δ

TEOREMA VI-4 La bisectriz de un ángulo interior de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados. En el Δ ABC:

XISEMEJANZA DE

TRIÁNGULOS

Definición.- Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales.

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOSCASO A-A-A

L

A

B

C

D

// ; AC/BC = CE/CD

E

L

A

B

C

D

// ; AB=BC ; CD=CD

E

33

L1

L2

L3

S1S2

A

B

C

D

E

F

L1// L2 // L3 AB/BC = DE/EF

A

B

C D

F

αα

α α

AB/BC = AD/CD

B

A

C M

E

α α

β

γ

BM/MC = AB/AC

A

B

CA’

B’

C’

A

B

C

D

E

F

α β

α β

γ

γ

CASO L-A-L

CASO L-L-L

TEOREMA XI-5 TEOREMA DE MENELAOSi una recta interseca a dos lados de un triángulo (en puntos diferentes) y a la prolongación del tercero, los puntos de intersección determinan seis segmentos en los lados del triángulo para los cuales se cumple que el producto de tres segmentos no consecutivos es igual al producto de los tres restantes.

AE. BD. CF = AD.BF.CE

TEOREMA XI-6 : TEOREMA DE CEVA

Tres cevianas concurrentes trazadas desde los vértices de un triángulo determinan sobre sus lados seis segmentos para los que se cumple que el producto de tres segmentos no consecutivos es igual al producto de los otros tres restantes.

AB.CD.EF = AF.BC.DE

TEOREMA XI-7 TEOREMA DEL INCENTRO.

En un triángulo PQR, el incentro I divide a la bisectriz QS del triángulo según la proporción:

TEOREMA XI-8 REOREMA DEL INCENTRO Y BARICENTRO

Si en un triángulo se cumple que el segmento que une el baricentro con el incentro es paralelo a uno de sus lados, entonces éste será igual a la semisuma de los otros dos lados.

ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES

Definición.- Una región poligonal es la reunión de un polígono y su interior.

POSTULADO 19: ( DEL ÁREA)

A toda región poligonal le corresponde un número real positivo.

Definición.- El área de una región poligonal es el número real positivo asignado por el postulado 20.

POSTULADO20: (DE LA CONGRUENCIA)Si dos triángulos son semejantes, sus regiones poligonales tienen la mima área.

POSTULADO 21: (DE ADICIÓN DE ÁREAS)El área de una región poligonal , tales que la intersección de R1 y R2 es un

34

A

B

Cα

─

║

D

─

F

E

║ α

P

Q

R S

I ●

α α

A

B

CD M

I G2

BCABAC

A

B

C

E F

D L

A B

C D E

F

A

B

C D

E

F

P

número finito de segmentos, es la suma de las áreas.

POSTULADO 22: (POSTULADO DE LA UNIDAD)El área de una región cuadrada es el cuadrado de la longitud del lado.

Área U = e2

Definición.- La unidad de área U se expresa como: U = u2, donde u es unidad de longitud.

ÁREA DEL RECTÁNGULOEl área del rectángulo es el producto de las longitudes de su base por su altura.

ÁREA DEL TRIÁNGULO

ÁREA DEL TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE SUS LADOS

ÁREA DEL TRIÁNGULO EQUILÁTERO

ÁREA DEL TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE DOS LADOS Y EL ÁNGULO COMPRENDIDO

ÁREA DEL TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DEL INRADIO

ÁREA DEL TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DEL CIRCUNRADIO

ÁREA DEL TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DEL EXRADIO

RELACIÓN ENTRE LAS ÁREAS DE TRIÁNGULOS

A) Si dos triángulos tienen igual altura, sus áreas son proporcionales a sus bases.Si dos triángulos tienen bases iguales, sus áreas son proporcionales a sus alturas.

35

D

A

C

B

b

h

A = b.h

D

A

C

B

b

h

A =

l

A C

B

h

2l 3A4

l

l

2h 3A3

c

A C

B

β

1A b.c.cos2

b

a

c

A C

B

r

b

a

A = p.r

c

A

C

B

R b

a

a.b.cA4R

c

A C

B

r

b

a

A r(p c)

U

e

e e

e

B) Si dos triángulos son semejantes, su áreas son proporcionales a los cuadrados de sus elementos homólogos.C) Si dos triángulos tienen ángulos iguales o suplementarios, entonces sus áreas son proporcionales a los productos de los lados que forman dichos ángulos.

D) TEOREMA DE BURLET: El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los dos segmentos determinados sobre la hipotenusa, por los puntos de contacto de la circunferencia inscrita o exinscrita.E) Si se une cada vértice de un paralelogramo a un punto de su interior, la suma de las áreas de

los triángulos que tienen por base los lados opuestos, es igual a la suma de las áreas de los otros dos triángulos.

ÁREA DEL CUADRADO EN FUNCIÓN DE SU DIAGONAL

ÁREA DEL PARALELOGRAMO

ÁREA DEL ROMBO

ÁREA DE UN TRAPECIO

36

A C

B

h2

h1

D

E

F

h1 = h2 →

h1

P

Q

R S

T

M

h2

PR = SM →

h1

P

Q

R S

T

M

h2

ΔPQR ≅Δ STM →

C P

Q

R S

T

M

D

A B

β

θ φ

A

P

Q

R

S T M B

A∆PQS =QA.AS A∆RTM = TM.TB

A

A1

C A4

D

A2

A3

B

A1 +A3 =A2 + A4

A

d

CB

D

A

h

CB

D

A r

C

B

D

A

h

CB

D

M N

TEOREMA XI-9

Si se une el punto medio de un lado no paralelo de un trapecio con los extremos del otro lado no paralelo, se forma un triángulo cuya área es igual a la mitad del área del trapecio.

ÁREA DE UN TRAPEZOIDE

TEOREMA XI-10

En todo cuadrilátero convexo, se cumple que al unir los puntos medios de sus lados se forma un paralelogramo, cuya área es igual a la mitad del área del cuadrilátero.

ÁREA DE UN CUADRILÁTERO CUALQUIERA

ÁREA DE UN CUADRILÁTERO CIRCUSCRITO

ÁREA DE UN CUADRILÁTERO INSCRITO

TEOREMA XI-11

En el cuadrilátero se cumple:

TEOREMA XI-12La mediana de un triángulo divide a la región triangular en dos regiones triangulares equivalentes (igual área).

ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR

37

A

M

CB

D

A1

A

h2

C

B

D

h1

A

A1

C

B

D

A

θ

CB

D1A BD.AC.sen2

ar

c

b

d

A = p.r

a

cb

d

A1

A3A2

A4

A1.A2 = A3.A4

A1

ǁA2

ǁA1 = A2

A B H

O

R Rap

l l

l l

l

O

R

R

A

B β

En el triángulo AOB:AB = l

En todo el polígono:

En general:

(Aquí; p = perímetro del polígono)

Como:

Luego:

ÁREA DEL CÍRCULO

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR

Si: ;

ÁREA DEL SEGMENTO CIRCULAR

ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR

ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR

ó

LÚNULAS DE HIPÓCRATES

GEOMETRÍA CARTESIANA

PLANO CARTESIANO

38

O

R

O α

A

B

R

R

A B

C D

Or R

O

A B

r

R

A

B

A1

A2

A

C

S1

A1 + A2 + S1 + S2

S2

A = A1 + A2

Las rectas perpendiculares se llaman ejes cartesianos. Eje X: eje de las abscisas.Eje Y: eje de las ordenadas.

Para el punto P: Abscisa → xOrdenada → yEl par ordenado (x,y) constituye las coordenadas del punto P.Las rectas reales perpendiculares en el plano constituyen un sistema de coordenadas.Las coordenadas de Q son:Abscisa: -2 Ordenada: -2Las coordenadas de S son:Abscisa: 5 Ordenada: 1

ESPACIO CARTESIANO

Las coordenadas de P son: x, y, z.

Las coordenadas de P son: 4, -3, 5

DISTANCIA EN EL PLANO

La distancia de P a Q:

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

Los triángulos rectángulos sombreados son semejantes, por tanto:

Despejando x e y, que son las coordenadas de M, obtenemos:

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Si M fuera punto medio sus coordenadas serían:

PENDIENTE DE UNA RECTA (m)

P

Q

M

y

xx x x2

y1

y

y2

39

x

y

P(x,y)

Q(-2,-2)

S(5,1) -2

-2

x

1

x 5

Z

Y

X

z

M

yx

P(x,y,z)

Z

X

Y

P

5

4

-3

M

Q

P y1

y2

x1 x2

y2 – y1

x2 – x1

y

x

El ángulo de inclinación de una recta es el que forma con el eje x positivo.La pendiente (m) de una recta se define como la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación.

PROPIEDADES DE LA PENDIENTE

1ra. Si los puntos A y B se intercambian, la pendiente permanece constante.

2da. La pendiente de una recta o de un segmento es siempre un número real.

3ra. De acuerdo al valor de m:

Si m = 0 → α = 0 (recta horizontal)

Si m > 0 → α es ángulo agudo

Si m → ∞ α = 90 (recta vertical)

Si m < 0 → α es ángulo obtuso

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

RECTAS PARALELASSus pendientes son iguales.

RECTAS PERPENDICULARES

El producto de sus pendientes es -1.

ECUACIÓN DE LA RECTA

Recta que pasa por el origen

Ecuación explícita de la recta

Forma punto pendiente

Ecuación simétrica de la recta

Puntos de intersección con los ejes:(a,0) y (0,b); entonces

Ecuación general de la recta

Distancia de un punto a una recta

L1→Ax+By+C=0

ÁREA DEL TRIÁNGULO

40

θ

Y L1

L2

βα

X

P1(x1,y1)

L1

x

y

LY

X

Y1

Y2

x1 x2

α A

B

C

Ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(x1,y1); P2(x2,y2)

LA CIRCUNFERENCIA

ECUACIÓN

Centro de la circunferencia en el origen

Forma general de la ecuación de la circunferencia

En la forma CANÓNICA:

Al desarrollar tenemos:

Y haciendo:

Resulta:

IMPORTANTE

En la forma canónica de la ecuación de una circunferencia, podemos decir cuáles son el centro y el radio de la circunferencia:

Centro = (h,k), Radio = r.

Por ejemplo, si se da la ecuación

, sabemos que el centro es (-1,2) y el radio es 3.

Si la ecuación anterior se diera en la forma:

Tendremos que convertirla a la forma canónica, completando cuadrados, así:

Lo que nos da la ecuación canónica anterior.

La ecuación de la circunferencia cuyo centro es (-3, -5) y radio 7, es:

Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos no colineales.

41

A(x1,y1)

B(x2,y2)

C(x3,y3)

y

x

X

P(x,y)

C(h,k)

Y

r

h x

y

k

0

Sean los puntos:

LA PARÁBOLA

Definición.- Una PARÁBOLA esa el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.

El punto fijo se llama FOCO (F)

La recta fija , DIRECTRIZ de la parábola (L).

Recta (e): EJE de la parábola.

Punto (I): intersección del eje y directriz.

Punto (V): VÉRTICE.

: CUERDA.

: CUERDA FOCAL. Si es perpendicular al eje se llama LADO RECTO.

RADIO FOCAL o RADIO VECTROR.

En general, si P es un punto cualquiera de la parábola, el segmento FP, se llama RADIO FOCAL de P, o RADIO VECTOR.

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE EN UN EJE COORDENADO

42

X

P(x,y)

C(0,0)

Y

r

U’

T’

S’

I

A’

B’

C’

FV

S

T

U

A

B

C

E

D

e

L

L Y

X

A P(x,y)

F(p,0)V

x = – p

p>0

L

Y

X

A

P(x,y) F(0,p)

V

y = – p

p < 0

L Y

X

A P(x,y)

F(p,0) V

x = – p

p< 0

L

Y

X

A

P(x,y) F(0,p)

Vy = – p

p > 0

EJEMPLO

Hallar la ecuación d la parábola, las coordenadas de su foco, l ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto, si su vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje y, pasando además por el punto (4, -2).

Solución x2 = 4py

16 = 4p(-2), de donde p = -2

Por lo que la ecuación de la parábola es x2 =-8yComo el foco es el punto (0, p), es decir El foco es (0, -2).La ecuación de la directriz es Y = -p; es decir y = 2

La longitud del lado recto es

LA ELEIPSE

La ELIPSE es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos

Los dos puntos fijos F y F’ se llaman FOCOS de la elipse.

La recta £ que contiene a los focos es el EJE FOCAL.

El eje principal interfecta a la elipse en los VËRTICES V y V’.

La porción del eje focal, entre V y V’ se llama EJE MAYOR.

El punto C del eje focal se llama CENTRO.

La recta £’, perpendicular a £, se llama EJE NORMAL.

El segmento AA’ se llama EJE MENOR.

Un segmento como BB’, que une dos puntos distintos cualesquiera de la elipse, se llama CUERDA.

Si una cuerda pasa por unos de los focos, como EE’, se llama CUERDA FOCAL.

Una cuerda focal, perpendicular al eje focal, como LL’, se llama LADO RECTO. Toda elipse tiene dos lados rectos.

Una cuerda que pasa por C, tal como DD’, se llama DIÁMETRO.

Si P es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos FP y F’P, se llaman RADIOS VECTORES de P.

ECUACIÓN DE LA ELEIPSE DE CENTRO EN EL ORIGEN Y EJES DE COORDENADAS LOS EJES DE LA ELIPSE

Haciendo

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C F F’

D P

V’

B

D’

L’E’

E

L

B’

V

£’

£

A’

A 0 F(c,0)F’(-c,0) V’

P(x,y)

V

Y

X

A’

A

Donde es una constante. Y efectuando las operaciones indicadas, y reemplazando por

, tendremos:

Que es la ecuación de la elipse de centro en el origen, eje focal el eje X, distancia focal igual a 2c y cantidad constante igual a 2 .Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, por lo que las coordenadas de los focos son (0,c) y (0,-c), la ecuación de la elipse es:

Para cada elipse, es la longitud del semieje mayor, b la del semieje menor, y , b y c están relacionados así:

También, para cada elipse, la longitud de cada

LADO RECTO, es .

Y la excentricidad está dada por:

EJEMPLO

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