Download pdf - Geometrie 01

Transcript
Page 1: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 1/401

 

Ministerul Educaţiei şi Cercetării

Proiectul pentru Învăţământul Rural

MATEMATICĂ 

Geometrie I

Ion CHIŢESCU

2005

Page 2: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 2/401

 © 2005 Ministerul Educaţiei şi CercetăriiProiectul pentru Învăţământul Rural

Nici o parte a acestei lucr ărinu poate fi reprodusă f ăr ă acordul scris al Ministerului Educaţiei şi Cercetării

ISBN 973-0-04091-5

Page 3: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 3/401

Cuprins

Proiectul pentru Învăţământ Rural C 

CUPRINS

Introducere .......................................................................................................................I

Unitatea de învăţare 1: Figuri geometrice în plan şi în spaţiu ....................................... 1

Obiectivele Unităţii de învăţare 1 .........................................................................11.1. Figura geometrică privită ca mulţime de puncte în plan sau în spaţiu .........2

1.2. Figurile geometrice principale în plan..........................................................8

1.3. Figurile geometrice principale în spaţiu ....................................................75

1.4. Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare ...............................128

1.5. Lucrare de verificare pentru studenţi ......................................................135

1.6. Bibliografie, unitatea de învăţare 1 ..........................................................136

Unitatea de învăţare 2: Geometrie analitică  ...............................................................137

Obiectivele Unităţii de învăţare 2 .......................................................................137

2.1. Coordonate carteziene (pe dreaptă, în plan, în spaţiu)............................138

2.2. Elemente de geometrie analitică în plan ..................................................153

2.3. Elemente de geometrie analitică în spaţiu. .............................................219

2.4. Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare unitatea de învăţare 2 ...............................................................................................268

2.5. Lucrare de verificare pentru studenţi, unitatea de învăţare 2 ..................298

2.6. Bibliografie, unitatea de învăţare 2...........................................................299

Unitatea de învăţare 3: Geometrie vectorială  ............................................................301

Obiectivele Unităţii de învăţare 3 .......................................................................301

3.1. Noţiuni de vector .....................................................................................302

3.2. Operaţii cu vectori ...................................................................................309

3.3. Calcule de bază efectuate cu ajutorul vectorilor.

Legătura cu geometria analitică. Aplicaţii la problemele de geometrie ..319

3.4. Numerele complexe privite din punct de vedere geometric

(analitic şi vectorial) ................................................................................3353.5.Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare ................................346

3.6. Lucrare de verificare pentru studenţi, unitatea de învăţare 3 ..................348

3.12. Bibliografie, unitatea de învăţare 3.........................................................349

Unitatea de învăţare 4: Elemente de trigonometrie ................................................... 350

Obiectivele Unităţii de învăţare 4 .......................................................................350

4.1. Definirea funcţiilor trigonometrice. Calcule cu funcţii trigonometrice .......351

4.2. Variaţia funcţiilor sinus, cosinus, tangentă şi reprezentarea lor grafică  ..369

4.3. Funcţii trigonometrice inverse .................................................................370

4.4. Ecuaţii trigonometrice ..............................................................................375

Page 4: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 4/401

Cuprins

Proiectul pentru Învăţământ Rural C 

4.5. Rezolvarea triunghiurilor. ....................................................................... 385

4.6.Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare ............................... 391 

4.7. Lucrare de verificare pentru studenţi, unitatea de învăţare 4 ................. 394 

4.8. Bibliografie, unitatea de învăţare 4 .......................................................... 395 

Bibliografie ................................................................................................................ 396

 

Page 5: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 5/401

Introducere

Proiectul pentru Învăţământ Rural I 

INTRODUCERE

 Acest modul prezintă  fundamentele geometriei din cadrul programului dematematic

ă al Proiectul pentru înv

ăţământul rural (P.I.R.). El va fi urmat de

modulul de învăţare Geometrie 2, în care vor fi tratate chestiuni specifice,bazate pe noţiunile de bază din acest modul.

Ideea de bază  în felul cum a fost gândit acest modul a fost aceea de aprezenta într-un mod unitar diferitele moduri de abordare a geometriei,punând la dispoziţia cursantului noţiunile metodice de bază.

Modulul este structurat pe patru unităţi de învăţare (capitole)

Prima unitate de învăţare este intitulată Figuri geometrice în plan şi înspaţiu. Se prezintă, din punctul de vedere „naiv” al geometriei sintetice,principalele figuri geometrice în plan şi în spaţiu. La începutul modulului

am f ăcut o mică discuţie asupra axiomaticii în geometrie, introducând şi unmodel al unei geometri neeuclidiene. Am privit figurile geometrice camulţimi de puncte în plan şi în spaţiu. Am „reactivat” noţiunea de locgeometric gândit ca o mulţime de puncte, fie din punct de vedere static (camulţime a punctelor cu o anumită  proprietate), fie din punct de vederecinematic (ca traiectorie a unui punct mobil supus la anumite constrângeri). Acest ultim punct de vedere a fost abandonat din păcate în manualelerecente.

 A doua unitate de învăţare este intitulată Geometrie analitică. Se prezintă noţiunile fundamentale ale geometriei analitice în plan şi în spaţiu (punctul

de vedere cartezian asupra geometriei). Am socotit necesar să  acordămun spaţiu mai mare acestei unităţi de învăţare.

 A treia unitate de învăţare este intitulată  Geometrie vectorială. Seprezintă  noţiunile fundamentale ale geometriei vectoriale în plan şi înspaţiu (punctul de vedere vectorial asupra geometriei). Tot aici, împletimpunctul de vedere analitic cu cel vectorial, studiind geometria numerelorcomplexe, folosind (anticipativ) şi ultima unitate de învăţare care conţinenoţiunile de trigonometrie necesare.

 A patra unitate de învăţare este intitulată  Elemente de trigonometrie.Studiem trigonometria în ine, dar şi ca „disciplină  de serviciu” în slujba

geometriei.Există  patru lucr ări de verificare, câte una la sfâr şitul fiecărei unităţi de învăţare. La fiecare lucrare de verificare se dau indicaţii de întocmire şitransmitere către tutore. În mod precis, cursanţii sunt solicitaţi să  tratezeproblemele în ordinea în care apar. Observaţii de fond asupra modului derezolvare şi de redactare vor apărea după întâlnirile cu tutorii. Rezolvărilevor fi transmise către tutori prin poştă sau, dacă este cazul, prin e-mail.

Evaluarea continuă  se face prin rezolvarea testelor de autoevaluare şidiscuţiile la întâlnirile cu tutorii.

Evaluarea finală  se face pe baza celor trei lucr ări de verificare şi aexamenului de la finele cursului. Evaluarea continuă şi evaluarea finală auponderi egale în stabilirea notei: câte 50%.

Page 6: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 6/401

Cuprins

II  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Ne exprimăm speranţa că  după parcurgerea şi absolvirea acestui modul,cursanţii participanţi la P.I.R. (atât cei avansaţi, cât şi cei cu cunoştinţeslabe de matematică) vor putea să se perfecţionez în domeniul geometrieişi să rezolve o gamă variată de probleme, în deplină cunoştinţă de cauză acadrului de lucru. Metoda de lucru aleasă  (sintetică, analitică, vectorială,trigonometrică, cu folosirea numerelor complexe) va fi aleasă în modul cel

mai adecvat, în funcţie de problemă.

Page 7: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 7/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 1 

Unitatea de învăţare 1

FIGURI GEOMETRICE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU

Cuprins

Obiectivele Unităţii de învăţare 1 ...................................................................................1

1.1. Figura geometrică privită ca mulţime de puncte în plan sau în spaţiu ......................2

1.2. Figurile geometrice principale în plan .......................................................................8

1.3. Figurile geometrice principale în spaţiu .................................................................75

1.4. Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare ............................................128

1.5. Lucrare de verificare pentru studenţi ...................................................................135

1.6. Bibliografie............................................................................................................136

Obiectivele Unităţii de învăţare 1

După ce veţi parcurge această unitate de învăţare, veţi avea cunoştinţesuficiente pentru a fi capabil să faceţi următoarele operaţii matematice:

• Identificarea elementelor numerice şi a relaţiilor care caracterizează figurile geometrice date.

•  Identificarea de proprietăţi pornind de la datele numerice ale uneiconfiguraţii.

•  Utilizarea formulelor de calcul şi a metodelor de demonstraţie pentru justificarea unor proprietăţi

• Folosirea termenilor adecvaţi pentru exprimarea unor proprietăţi saua rezultatelor unui raţionament

• Analiza în vederea descompunerii unei probleme în probleme maisimple.

•  Analiza unui algoritm în vederea aplicării acestuia în alte situaţii.

• Utilizarea unor teoreme de geometrie în rezolvarea unor problemeconcrete din cotidian.

Page 8: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 8/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

2  Proiectul pentru Învăţământ Rural

1.1. Figura geometrică privită ca mulţime de puncte în plan sau înspaţiu.

A. Geometria pe care o studiem în învăţământul preuniversitar se împarte în geometrie plană şi geometrie în spaţiu. 

Pentru geometria plană, universul discursului este un plan fixat P . Cualte cuvinte, avem o mulţime nevidă P , care joacă rol de mulţime totală şiale cărei elemente se numesc puncte.

O figur ă  geometrică  plană  este o submulţime nevidă  a lui P . Figurageometrică fundamentală a geometriei plane este dreapta.

Pentru geometria în spaţiu, universul discursului este spaţiul S. Cu altecuvinte, avem o mulţime nevidă S care joacă  rol de mulţime totală şi alecărei elemente se numesc puncte. O figur ă geometrică în spaţiu este osubmulţime nevidă a lui S. Figurile geometrice fundamentale ale spaţiului

sunt dreapta şi planul.Comentariu cu privire la axiomatică. Geometrie euclidiană şi neeuclidiană.

Studiul geometriei poate fi f ăcut în mod naiv  sau în mod axiomatic. Înprezentarea de faţă, vom adopta punctul de vedere naiv, care este celfolosit în învăţământul preuniversitar.

Punctul de vedere axiomatic este mult mai pretenţios, fiind însă pe deplinriguros din punct de vedere matematic.

Pentru a ilustra foarte sumar punctul de vedere axiomatic, vom vorbi puţindespre prezentarea axiomatică a geometriei plane, care este un sistem

axiomatic, constând din următoarele:a) Elementele primordiale sunt: planul P , care este o mulţime nevidă 

(mulţimea totală), elementele lui P , care se numesc puncte  şianumite submulţimi particulare ale lui P , care se numesc drepte.

b) Sistemul de axiome al geometriei plane este format dintr-un numărde propoziţii, numite axiome, care sunt considerate ca fiindprimordiale şi adevărate.

c) Teoremele geometriei plane sunt toate propoziţiile care rezultă  dinaxiome, aplicând operaţii logice.

Un sistem axiomatic trebuie să  fie necontradictoriu (adică nu trebuie să existe două  axiome care se contrazic una pe cealaltă). Un sistemaxiomatic se numeşte consistent  dacă  admite un model, adică  există obiecte pentru care toate axiomele care alcătuiesc sistemul de axiome se îndeplinesc.

Vom admite că pentru un sistem axiomatic, a fi consistent este echivalentcu a fi necontradictoriu (în matematica constructivă, numai implicaţiaconsistent ⇒ necontradictoriu este admisă).

Există mai multe sisteme axiomatice care descriu geometria plană. Ele aufost concepute de-a lungul vremii, pornind de la cartea fundamentală  a

geometriei care ne vine din antichitate: „Elementele” lui Euclid.

Page 9: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 9/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 3 

 În sistemul axiomatic al lui D. Hilbert, axiomele se împart în 5 grupe:axiome de incidenţă, axiome de ordonare, axiome de congruenţă, axiomede continuitate şi axiome de paralelism.

De exemplu, axiomele de incidenţă sunt următoarele:

1. Pentru orice două puncte distincte A şi B există o dreaptă unică d , astfel

 încât A∈d  şi B ∈d  (se notează d  = AB). Axioma de mai sus se enunţă de obicei astfel: „prin două puncte distinctetrece o dreaptă şi numai una”.

2. Orice dreaptă conţine cel puţin două puncte.

3. Există  cel puţin trei puncte necoliniare (adică  nu apar ţin aceleiaşidrepte).

Cu ajutorul celor trei axiome de incidenţă, putem demonstra următoarea

Teoremă.  Fie 'd   şi ''d   două drepte. Atunci, una şi numai una din următoarele situaţiieste posibilă:

1) Avem d d ′ ′′∩ = ∅  (se spune că d  şi d ′ ′′  sunt nesecante).

2) Avem .d d ′ ′′=  

3) Intersecţia d d ′ ′′∩  este o mulţime formată dintr-un singur punct  A  (sespune că dreptele şid d ′ ′′ sunt secante şi se intersectează în A).

Demonstraţie. Să admitem că  d d ′ ′′∩ ≠ ∅ . Fie  A ∈ d d ′ ′′∩ . Rămân două variante:

Prima variant ă: există  şi B A≠ astfel încât B ∈ d d ′ ′′∩ . Atunci, folosindaxioma 1, rezultă că d AB′ =  şi d AB′′ = , deci .d d ′ ′′=  

 A doua variant ă: nu există  B A≠ , astfel încât B ∈ d d ′ ′′∩ , adică  avemd d ′ ′′∩ = { A}, etc. Demonstraţia s-a încheiat.

Observaţie.  Demonstraţia de mai sus a fost pur axiomatică.

Relativ la situaţia în care, pentru două  drepte şid d ′ ′′ avem d d ′ ′′∩ = ∅ ,vom face o mică discuţie.

O geometrie în care sunt satisf ăcute axiomele din primele patru grupe (cuexcepţia grupei a cincea – axiomele de paralelism) se numeşte geometrieabsolută.

Să adăugăm la axiomele geometriei absolute următoarea axiomă:Axioma lui Euclid. Fie d  o dreaptă şi un punct  A d ≠ . Atunci există o unică dreaptă d ' cu

proprietăţile:1)  A d ′∈ ( 'd   „trece” prin A)

2) 'd d ∩ = ∅  ( 'd   este „paralelă” cu A).

Citim această  axiomă  astfel: „prin orice punct  A  exterior unei drepte d  trece o paralelă  δ  la d  şi numai una.”

 Aşadar, în geometria euclidiană, se foloseşte terminologia următoare:dacă dreptele d  şi δ  sunt nesecante, spunem că d  şi δ  sunt paralele (sau

că d  este paralelă cu δ sau căδ  este paralelă cu d ). În acest caz scriemd    δ .

Page 10: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 10/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

4  Proiectul pentru Învăţământ Rural

O geometrie care satisface axiomele geometriei absolute şi axioma luiEuclid se numeşte geometrie euclidiană  sau geometrie parabolică (este geometria „naturală” cu care suntem obişnuiţi şi lucr ăm).

Modelul  standard pentru geometria euclidiană  este modelul geometrieianalitice ( modelul lui Descartes ). Descriem acest model.

Planul  P este dat astfel:( ){ }= , | ,P x y x y  = × ∈ ∈ .

 În acest model, punctele sunt deci perechi de numere reale ( x, y ).

Dreptele în modelul geometriei analitice sunt obţinute după cum urmează.O dreaptă d  se obţine astfel:

1) Se consider ă trei numere reale fixate a, b, c, astfel încât a ≠ 0 sau b ≠ 0.

2) Dreapta d  este mulţimea ( ){ }, | 0d x y x ax by c  = ∈ + + = .

Prin eforturi independente, matematicianul rus N. Lobacevski şimatematicianul ungur (din Transilvania) J. Bolyai au demonstrat că axioma lui Euclid este independentă  de axiomele geometrieiabsolute.

Cu alte cuvinte, există geometrii neeuclidiene  (adică geometrii în carese verifică  axiomele geometriei absolute şi nu se verifică  axioma luiEuclid).

Prin urmare, o geometrie neeuclidiană poate fi de două feluri:

 – Geometrie hiperbolică  (geometrie Lobacevski), în care se verifică axioma:

Pentru orice dreaptă d  şi orice punct  A d ∉  există  cel puţin două dreptedistincte d d ′ ′′≠  cu proprietăţile

,

şi

 A d A d 

d d d d  

′ ′′∈ ∈

′ ′′∩ = ∅ ∩ = ∅ 

Rezultă  atunci că  există  o infinitate de drepte δ   care trec prin  A  (adică  A ∈ δ ), astfel încât d şi δ  sunt nesecante (adică d  ∩ δ = ∅ ).

 – Geometrie eliptică (geometrie Riemann), în care se verifică axioma:

Pentru orice dreaptă d  şi orice punct  A d ∉ , avem: orice dreaptă  δ  astfel încât  A ∈ δ  are proprietatea că d  ∩ δ ≠ ∅ . Încheiem acest comentariu privind axiomatica, geometria euclidiană  şigeometriile neeuclidiene cu un model al geometriei Lobacevski, numitmodelul lui Poincare  . În acest model se consider ă  un plan π   şi o dreaptă  orizontală  d  ⊂ π . Atunci, planul (neeuclidian) P   şi dreptele (neeuclidiene) d P ⊂ alemodelului se obţin astfel (a se vedea fig.1.1.):

P  = semiplanul superior deschis (adică P este format cu toate punctele dinπ  care sunt situate strict deasupra lui d ).

O dreaptă d P ⊂  este: – sau o semidreaptă deschisă s P ⊂ , perpendicular ă pe d ;

 – sau un semicerc (f ăr ă extremităţi) P σ ⊂ , cu centrul pe d .

Page 11: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 11/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 5 

Fig. 1.1

 În fig. 1.1 avem P A d ∋ ∉ . Prin  A  trec dreptele (neeuclidiene) ,   ′σ σ  (semicercuri) şi s′   (semidreaptă) care sunt nesecante cu dreapta(neeuclidiană) s, adică nu se intersectează cu s.

 Începând din acest moment ne vom întoarce la geometria euclidiană (standard) pe care nu o vom mai păr ăsi.

B. Cum se construiesc figurile geometrice? Sau cum sunt ele generate înnatur ă? 

Putem privi figurile geometrice din mai multe puncte de vedere, explicândastfel geneza lor.

Vom prezenta două din aceste puncte de vedere.

Punctul de vedere static  (al teoriei mulţimilor ): figura geometrică estemulţimea punctelor care au o anumită proprietate (sau, mai general, este

o mulţime obţinută  prin folosirea operaţiilor cu mulţimi din mulţimi depuncte cu o anumită proprietate).

De exemplu (v. fig. 1.2.) un cerc C  de centru O şi rază R  > 0 este mulţimeapunctelor M  din plan pentru care distanţa MO de la M   la O este constantegală cu R . Similar (v. fig. 1.3.) un semicerc S de centru O şi rază  0R  >  este mulţimea obţinută  intersectând cercul de centru O  şi rază  R   cusemiplanul situat deasupra dreptei  AB, unde  AB  este un diametru alcercului.

Fig. 1.2. Fig. 1.3.

Punctul de vedere cinematic O. Privită  din acest punct de vedere, o

figur ă  geometrică  este traiectoria descrisă  de un punct mobil supus laanumite restricţii.

Page 12: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 12/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

6  Proiectul pentru Învăţământ Rural

De exemplu (v. fig. 1.2.) un punct mobil M   care respectă  condiţiile de ar ămâne într-un plan fixat şi de a păstra distanţă  constantă, egală  cu unnumăr dat 0R  > , faţă de un punct fix O, se mişcă pe un cerc de centru O şi rază R. 

Subliniem că  în învăţământul preuniversitar punctul de vedere cinematiceste mult mai puţin vehiculat decât punctul de vedere static.

Evident, există  foarte multe figuri geometrice care nu pot fi descriseconform punctelor de vedere de mai sus. De exemplu, un romb este unpatrulater care are toate laturile egale.

Punctele de vedere prezentate mai sus cu privire la generarea figurilorgeometrice conduc la noţiunea de loc geometric.

Un loc geometric este o figur ă geometrică obţinută astfel:

 – Din punct de vedere static, un loc geometric este mulţimea punctelorcare au aceeaşi proprietate.

 – Din punct de vedere cinematic, un loc geometric este traiectoria descrisă de un punct mobil supus la anumite restricţii.

De exemplu, să consider ăm într-un plan P   două puncte distincte  A şi B.  Atunci, mediatoarea segmentului  AB este o dreaptă  d P ⊂ , care apareca loc geometric astfel:

 – Din punct de vedere static: d   este locul geometric al punctelor M dinplanul P  care are proprietatea că MA = MB. 

 – Din punct de vedere cinematic: d  este traiectoria descrisă de un punctmobil M  care se mişcă  în planul P  astfel încât la orice moment să avemegalitatea MA = MB.

Page 13: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 13/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 7 

Test de autoevaluare 1

1.  Fie O un punct fix în planul  P   şi r   un număr strict pozitiv. Să  sedetermine locul geometric al punctelor M  din P  cu proprietatea că MO r ≤  

2. Fie d  o dreaptă în spaţiul S şi fie  A d ∈  un punct fix. Să se determinelocul geometric al punctelor M  din S cu proprietatea că MA d ⊥ .

Răspunsurile la acest test se găsesc la pagina 128 a acestei unităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 14: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 14/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

8  Proiectul pentru Învăţământ Rural

1.2. Figurile geometrice principale în plan

Vom lucra într-un plan fixat P  şi vom considera diferite figuri geometrice înacest plan.

1.2.1. Dreapta, semiplanul, unghiul, segmentul, linia poligonală 

Figura geometrică fundamentală estre dreapta.

După cum am văzut, dreapta este o figur ă primordială şi nu este nevoie să o definim. Vom nota cu AB unica dreaptă care trece prin punctele distincte A şi B.

O dreaptă  d   împarte planul P   în două  semiplane 'P    şi ''P  , a căror„frontier ă” comună este, v. fig. 1.4.

Fig. 1.4

Un semiplan poate fi considerat  închis  (dacă  dreapta frontier ă  esteinclusă în el) sau deschis (dacă dreapta frontier ă nu are puncte comune

cu el).Un punct fixat pe o dreaptă  o împarte în două  semidrepte, care pot fi închise sau deschise şi este „frontiera” comună a lor. În fig. 1.5, punctul  A  împarte dreapta d  în semidreptele închise [ AB şi [ AC  sau în semidrepteledeschise ( AB şi ( AC . (spunem că d  este dreapta suport a semidreptelor  [ AB, ( AB, [ AC, ( AC ).

Mai precis, punctul B A≠   defineşte semidreapta închisă  [ A,B  ca fiindmulţimea tuturor punctelor din d care sunt de aceeaşi parte a lui A ca B, împreună cu A (acceptăm intuitiv expresia „de aceeaşi parte”!).

Formal:

[ AB = {D|D P ∈ , D de aceeaşi parte a lui A ca B} { } A∪ .

Semidreapta deschisă ( AB se obţine din [ AB înlăturând punctul B:

( AB = [ AB \ { A}.

Să mai observăm că, dacă B şi 'B  se află de aceeaşi parte a lui A, atunci[ [ ' AB AB=   şi ( ( ' AB AB= . Explicaţii similare pentru semidreptele [ AC   şi( AC  . De asemenea, spunem că  A se află între B şi C .

Page 15: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 15/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 9 

Fig. 1.5

 În situaţia de mai sus, spunem că semidreptele [ AB şi [ AC  (respectiv ( AB şi ( AC  ) sunt opuse.

Unghiul este figura geometrică formată din două semidrepte închise careau aceeaşi origine. Cele două semidrepte se numesc laturile unghiului, iar

punctul lor comun se numeşte vârful unghiului. În fig. 1.6, [OA, [OB suntlaturile unghiului, O  este vârful unghiului. Unghiul din fig. 1.6. este notat AOB  sau  AOB .

Fig. 1.6

Un unghi oarecare poate fi notat şi altfel. De exemplu putem vorbi de „„unghiul u“.

Cazurile extreme de unghiuri sunt unghiul alungit şi unghiul nul.

Un unghi alungit  AOB  (v. fig. 1.7a)) are proprietatea că punctele A, O, B sunt coliniare (adică  se găsesc pe aceeaşi dreaptă. Un unghi nul (v. fig.1.7b)) are proprietatea că semidreptele [OA şi [OB coincid.

Fig. 1.7.Un unghi care nu este nici alungit, nici nul, se numeşte unghi propriu.

Două  unghiuri sunt superpozabile  dacă  se pot suprapune, printr-o

deplasare convenabilă. În fig. 1.8,  AOB  şi' ' ' A O B  sunt superpozabile.

Temă practică. Copiaţi pe hârtie transparentă unghiul' ' ' A O B , din fig. 1.8, obţinând astfel

unghiul'' '' '' A O B .

Suprapuneţi O'' pe O şi A'' pe A. Verificaţi că B'' se suprapune pe B.

Page 16: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 16/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

10  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Fig. 1.8.

Unghiurile se măsoar ă  în grade (sexagesimale). Atenţiune! Măsura unui

unghi  AOB  se notează astfel:

m(  AOB ) sau m(  AOB )

şi este un număr care măsoar ă „deschiderea“ por ţiunii din plan dintre cele

două  semidrepte, care formează  unghiul. Pentru un unghi u  oarecaremăsura lui se notează prin m(u).

 În fig. 1.8. unghiul  AOB  are măsura de 60 grade, în scris: m(  AOB ) = 60°.

Submultiplii unui grad:

- minutele: un grad are 60 minute, în scris: 1° = 60' ;

- secundele: un minut are 60 secunde, în scris: 1' = 60''.

Un unghi alungit are măsura egală  cu 180°, iar unghiul nul are măsuraegală cu 0°.

Definiţie.  Două unghiuri se numesc congruente dacă au aceeaşi măsur ă.Notaţie.  Pentru a desemna faptul că  două  unghiuri  AOB   şi ' ' ' A O B  (respectiv u şi u') sunt congruente, folosim notaţia

' ' ' AOB A O B≡  (respectiv u ≡ v ).

 Aşadar:     ' ' ' ( ) ( ' ' ') AOB A O B m AOB A O B≡ ⇔ ≡  etc.

Teoremă.  Două unghiuri superpozabile sunt congruente.

Observaţie.  Reciproca acestei afirmaţii este falsă. (v. textul de autoevaluare 2).

Remarcă privind unităţile de măsur ă pentru unghiuri Unghiurile mai pot fi măsurate şi în grade centesimale (un unghi drept are100 grade centesimale).

De asemenea, unghiurile pot fi măsurate în radiani (un unghi drept are3.14

2 2

π≈ radiani). Asupra radianilor vom reveni.

Definiţie.  Două  unghiuri se numesc adiacente  dacă  au o latur ă  comună, iarcelelalte două laturi ale lor se găsesc în semiplane diferite faţă de dreaptasuport a semidreptei comune.

 În fig. 1.9 unghiurile

 AOB  şi

 AOC  sunt adiacente.

Page 17: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 17/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 11 

Fig.1.9.

 În fig.1.10, unghiurile  AOB  şi  AOC  au o latur ă comună şi, totuşi, nu suntadiacente. De ce?

Fig. 1.10

Două  unghiuri adiacente  AOB   şi  AOC   se numesc unghiuri adiacente

suplementare  dacă  unghiul BOC   este alungit, adică  B, O, şi C   suntpuncte coliniare (v. fig. 1.11).

Fig. 1.11

Evident, în acest caz   ( ) ( ) 180m AOB m AOC  + = ° .

Mai general, spunem că  două  unghiuri u  şi v   sunt suplementare  dacă m(u) + m(v ) = 180°.

Rezultă imediat următoarea

Teoremă.  Un unghi u este drept dacă şi numai dacă m(u) = 90°. (Prin urmare, toateunghiurile drepte sunt congruente).

Două unghiuri u şi v  se numesc complementare dacă m(u) + m(v ) = 90°.

Un unghi u se numeşte ascuţit dacă m(u) < 90° şi obtuz dacă m(u) > 90°.

 În fig. 1.12 unghiul  AOB   este ascuţit, iar unghiurile CPD   şi EQF   suntobtuze.

(Atenţie! Unghiul EQF   este mai „curios”. Avem ( ) 270ºm EQF   = .Unghiurile cu m

ăsura mai mare decât 180° sunt mai dificil de intuit).

Page 18: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 18/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

12  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Fig. 1.12

Două unghiuri se numesc opuse la vârf  dacă au vârful comun, iar laturilelor formează  perechi de semidrepte opuse. În fig. 1.13 avem unghiurile

opuse la vârf,  AOB   şi ' ' A OB . Anume, [OA  şi [ 'OA   sunt semidrepteopuse, ca şi [OB şi [ 'OB .

Fig. 1.13

Teoremă.  Unghiurile opuse la vârf sunt congruente.

Examinând în mod suplimentar figura 1.13, să  notăm  AOB u=   şi' ' ' A OB u= ; ' AOB v =  şi ' ' A OB v = . Deoarece:

( ) ( )   şi ( ) ( )( ) ( ) 180

m u m u m v m v  m u m v  

′ ′= =+ =    

rezultă că:

m(         ( ) ( ) ( ' ') ( ' ) 360m AOB m BOA m A OB m B OA+ + + = °  

(spunem că  suma unghiurilor formate în jurul unui punct este egală  cu360°).

Se mai vede că, dacă u este ascuţit (adică m(u) < 90°), rezultă că v  esteobtuz (adică m(v ) > 90°).

 În plus, în acest caz, avem numai două  valori distincte pentru măsurileunghiurilor u, v , u', v' .

De asemenea, se vede că, dacă unul din unghiurile u, v , u', v'  este drept,rezultă  că  toate sunt drepte. În acest caz, spunem că dreptele  AOA' şiBOB' sunt perpendiculare.

(Remarcaţi modul cum am notat dreptele, cu câte trei litere, în acest caz).Vom reveni asupra noţiunii de perpendicularitate.

 Acum, putem defini şi măsura unghiului a două drepte d  şi δ , pe care ovom nota cu m(d , δ ).

 Anume:Cazul 1. Dacă d  = δ  sau d   δ , avem, prin definiţie m( ,d  δ ) = 0°.

Page 19: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 19/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 13 

Cazul 2.  Dreptele d   şi δ   sunt secante. În acest caz dreptele d   şi δ   seintersectează  într-un punct unic O. Se formează  unghiurile u, u',  v , v'.  Avem două situaţii:

Prima situaţ ie  (v. fig. 1.14). Unul din unghiurile de mai sus este drept.Rezultă că toate unghiurile de mai sus sunt drepte.

Spunem, în acest caz, că dreptele d  şi δ  sunt perpendiculare.Prin definiţie, avem: m( ,d  δ ) = 90°. Pentru a desemna faptul că dreptele d  şi δ  sunt perpendiculare, folosim următoarea notaţie: d  ⊥ δ .

 A doua situaţ ie (v. fig. 1.15). Unul din unghiuri, de exemplu u, este ascuţit. Atunci 'u u≡ , 'v v ≡ . Prin definiţie ( , ) ( )m d m uδ =   (echivalent

( , ) ( ')m d m uδ = ).

Spunem că  măsura unghiului dreptelor d   şi δ   este măsura unghiuluiascuţit format de d  şi δ . 

Fig. 1.14 Fig. 1.15

 Acum să  consider ăm două  drepte distincte d   şi δ , precum şi o a treiadreaptă s, care este secantă comună (adică s şi d  sunt secante şi, la fel, s şi δ  sunt secante). Se formează unghiurile notate cu cifre ca în fig. 1.16.

Fig. 1.16

Se formează următoarele perechi de unghiuri:

(i) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ3,5   şi 4,6

(se spune că  ( )ˆ ˆˆ ˆ3 şi 5 resp.4 şi 6 sunt unghiuri alterne interne);

(ii) ( ) ( )ˆ ˆ ˆˆ1,7   şi 2,8

Page 20: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 20/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

14  Proiectul pentru Învăţământ Rural

(se spune că  ( )ˆ ˆ ˆˆ1 şi 7 resp.2 şi 8 sunt unghiuri alterne externe);

(iii) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ6,2 , 5,1 , 8,4   şi 7,3

(se spune că  ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ6şi 2 resp.5 şi 1, resp.8 şi 4, resp.7 şi 3 sunt unghiuri

corespondente);(iv) ( )   ( )ˆ ˆˆ ˆ4,5   şi 3,6

(se spune că  ( )ˆ ˆˆ ˆ4 şi 5 resp.3 şi 6 sunt unghiuri interne de aceeaşi parte a

secantei);

(v) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ1,8   şi 2,7

(se spune că  ( )ˆ ˆ ˆ ˆ1 şi 8 resp.2 şi 7 sunt unghiuri externe de aceeaşi parte a

secantei).Teoremă.  În contextul de mai sus, următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) Dreptele d  şi δ  sunt paralele.

2) Două unghiuri alterne interne sunt congruente.

3) Două unghiuri alterne externe sunt congruente.

4) Două unghiuri corespondente sunt congruente.

5) Două unghiuri interne de aceeaşi parte a secantei sunt suplementare.

6) Două unghiuri externe de aceeaşi parte a secantei sunt suplementare.

Exemplu.  a) Dacă, în fig.1.16, avem m(6) = m(2) rezultă  d    δ (adică  d   şi δ   suntparalele)

b) Dacă, în fig.1.16, avem m(5) = 100° şi m(3) = 101°, atunci d  şi δ  nu suntparalele.

Un segment de dreaptă este format cu toate punctele unei drepte caresunt cuprinse între două  puncte fixate ale acelei drepte, plus, eventual,punctele fixate (sau numai unul dintre ele).

Mai precis, vom considera o dreaptă d  şi două puncte distincte A şi B alelui d. Acceptăm în mod intuitiv ce înseamnă că un punct M  al lui d  se află 

 între A şi B (v. fig. 1.17).(Atenţie! Consider ăm că M  ≠  A şi M  ≠ B)

Fig. 1.17

Putem defini:

 –segmentul deschis ( AB), anume ( ) { | se află între   şi } AB M d M A B= ∈ ;

 – segmentul închis [ A,B], anume [ AB] = ( AB) ∪ { A,B};

Page 21: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 21/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 15 

 – segmentul semiînchis (sau semideschis) [ AB), anume [ AB) = ( AB) ∪  ∪  { A};

 – segmentul semiînchis (sau semideschis) ( AB], anume ( AB] = ( AB) ∪  ∪ {B}.

Dacă  A şi B sunt puncte distincte, vom spune că dreapta AB este dreapta

suport a segmentului [ AB] (respectiv ( AB), [ AB), ( AB]).

Prin extensie, putem considera şi segmentul degenerat [ ]   { },def 

 A A A= .

Segmentele de dreaptă se măsoar ă, ele având o lungime. Lungimea unuisegment I  se poate nota prin l (I ). De exemplu, scriem l (( AB)) = l ([ AB]) =l ([ AB)) = l (( AB]) şi l ([ AA]) = 0.

De foarte multe ori, lungimea segmentelor de mai sus se notează simplu,astfel: AB. În cazul A = B, scriem AA = 0.

Ca şi la unghiuri, putem da următoarele două definiţii:

Definiţie.  Două segmente care au aceeaşi lungime se numesc congruente.

Definiţie.  Două  segmente care se pot suprapune printr-o deplasare se numescsuperpozabile.

Două segmente superpozabile sunt congruente. Reciproca este falsă!

Temă practică. Construiţi două segmente congruente care nu sunt superpozabile.

Unitatea de măsur ă  pentru lungime este metrul. De exemplu, dacă scriem l ([ AB]) = 5m, aceasta înseamnă  că  segmentul [ AB] are lungimeaegală cu 5metri.

Submultiplii metrului sunt: decimetrul  (1m = 10dm, adică  1 metru = 10decimetri), centimetrul  (1m = 100 cm, adică  1metru = 100 cm) şimilimetrul  (1m = 1000 mm, adică  1 metru = 1000 milimetri). Multipliimetrului sunt: decametrul (1 dam = 10m, adică 1 decametru = 10 metri),hectometrul  (1 hm = 100 m, adică  1 hectometru = 100 metri) şikilometrul (1 km = 1000 m, adică 1 kilometru = 1000 metri).

Să consider ăm acum în plan punctele distincte 0 1 2, , ,... ( 1)n A A A A n ≥ .

Să presupunem că în cazul 1n > , avem pentru orice i = 1,2,...,n – 1:

[ ] [ ]1 1, , { }i i i i i   A A A A A− +∩ =  (adică : două segmentele succesive au în comun

exact un punct).Linia poligonală (poligonul)

0 1... n A A A  este mulţimea definită astfel:

0 1... n A A A  = [ ] [ ] [ ]0 1 1 2 1...n n A A A A A A−∪ ∪ ∪ .

Segmentele [ ]1i i  A A + , i  = 0,1,..., n – 1 se numesc laturile liniei poligonale,

iar punctele , 0,1,2,...i  A i n=  se numesc vârfurile liniei poligonale.

O linie poligonală  0 1... n A A A   ( 2n ≥ ) se numeşte  închisă, dacă 

0n A A= (extremitatea iniţială - 0 A  coincide cu extremitatea finală  n A ).

Page 22: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 22/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

16  Proiectul pentru Învăţământ Rural

 În fig. 1.18 a), linia poligonală  0 1 2 3 A A A A  nu este închisă, iar linia poligonală 

0 1 2 3B B B B  (fig. 1.18 b)) este închisă.

Fig. 1.18

O linie poligonală închisă  0 1 2 0 A A A A , cu 0 A , 1 A , 2 A  necoliniare se numeşte

triunghi, iar o linie poligonală  închisă  0 1 2 3 0 A A A A A , cu 0 A , 1 A , 2 A , 3 A  

necoliniare se numeşte patrulater .

Referitor la ultimele definiţii, vom face următoarea

Remarcă importantă privind notaţia în cazul liniilor poligonale închise. 

O linie poligonală  închisă  0 1 2 1 0...n

 A A A A A−   se notează  astfel: 0 1 2 1...n

 A A A A −  

(se omite scrierea extremităţii finale, care coincide cu cea iniţială).

 Aşadar, scrierea „normală” pentru un triunghi  ABCA este (v. fig. 1.19 a)) ABC , iar pentru un patrulater ABCDA este (v. fig. 1.19 b)) ABCD.

Fig. 1. 19

Page 23: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 23/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 17 

Test de autoevaluare 3

1. Se consider ă că dreptele d  şi δ  din fig. 1.20 sunt paralele, iar unghiul 1,f ăcut de dreapta secantă s cu d are măsura egală cu 75º. Să se calculezemăsurile unghiurilor 2,3,...,8

Fig. 1.20

2.  În fig. 1.21, unghiurile  AOB   şi ' ' ' A O B   sunt congruente, având,ambele, măsura egală  cu 60°. Totuşi, aceste unghiuri nu suntsuperpozabile! (Încercaţi construcţia f ăcută la tema practică referitoare la

fig. 1.8 şi veţi vedea că nu reuşiţi).Care semidrepte ale acestor unghiuri se pot suprapune printr-o deplasaresau prin construcţia de mai sus?

Fig. 1.21.

Răspunsurile la acest test se găsesc la pagina 128. a acestei unităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 24: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 24/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

18  Proiectul pentru Învăţământ Rural

1.2.2. Triunghiul. Clasificarea triunghiurilor. Linii importante în triunghi.Congruenţă şi asemănare.

Să  consider ăm un triunghi  ABC   (fig. 1.22). În loc de a vorbi despretriunghiul ABC , mai scriem şi  ABC Δ .

Segmentele [ AB], [BC ], [CA] se numesc laturile triunghiului, iar unghiurile

ˆˆ ˆ, , A B C  se numesc unghiurile triunghiului. Am notat:

ˆ A BAC = , B CBA=  şi C ACB=   (1)

Spunem că  latura BC   este opusă  vârfului  A, sau vârful  A  se opunelaturii BC  etc.

Fig. 1.22

Vom nota (notaţiile acestea vor fi mereu folosite):l ([BC ]) = BC = a, l ([CA]) = CA = b, l ([ AB]) = AB = c. 

De asemenea, de multe ori nu vom mai explicita unitatea de măsur ă pentru lungimea laturilor, pe care o vom subînţelege (eventual, în funcţiede context).De exemplu, vom scrie că în  ABC Δ , avem AB = 3 (putem înţelege că  AB = 3cm sau AB = 3m etc.).

Observaţie privind nota

ţia. Permutare circular 

ă.

Referitor la notaţiile de la (1), vom considera schema  A B C A→ → → . Această  schemă  spune că  „succesorul ” lui  A este B  „ succesorul” lui Beste C şi „succesorul ” lui C  este A (se revine din punctul de plecare). Pebaza acestei schemeˆ ˆ A B→ (succesorul lui ˆ A  este B ) sau, echivalent   BAC CBA→ (succesorul luiBAC   este CBA   folosind schema pentrufiecare liter ă: ,   şiB C A B C A→ → → ).Folosirea acestei scheme poate fi vizualizată  în fig. 1.23 a) după  cumurmează:

Fig. 1.23

Page 25: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 25/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 19 

Pe un cerc avem punctele A, B, C  situate ca în fig. 1.23 a).

Mergând pe cerc în sens direct (invers acelor de ceas) trecem de la A spreB, de la B spre C  şi de la C  spre A. Spunem că am efectuat o permutarecircular ă asupra literelor A, B, C .

Reamintim că o permutare a unei mulţimi nevide H  este o funcţie bijectivă 

:f H H → . Aici am folosit permutarea { } { }: , , , ,f A B C A B C  → dată  astfel:f ( A) = B, f (B) =C , f (C ) = A pe care o numim permutare circular ă.

 Alte exemple de folosire a permutării circulare din fig. 1.23 a):BC CA AB→ →   (aici se opreşte, deoarece, în continuare, am avea AB BC →  şi ne întoarcem de unde am plecat)

 ACBC BACA CBAB→ →  

Mai general, putem considera mulţimea ( )2n ≥   { }1 2, ,... nH A A A=  şi bijecţia

(permutarea circular ă) :f H H → , dată  astfel: ( ) 1i i f A A += , dacă 

1,2,... 1i n= − , ( ) 1nf A A= .Vizualizarea lui f  este dată în fig. 1.23 b).

De exemplu, dacă n = 4, vom avea trecerile:

3 1 4 2 1 3 2 4 A A A A A A A A→ → →  

(aici se opreşte, deoarece, în continuare, am avea 2 4 3 1 A A A A→ etc.).

Subliniem că  procedeul permutărilor circulare este foarte mult folosit îngeometrie şi, în matematică, în general.

 În geometrie sunt fundamentale două teoremeTeoremă.  Suma unghiurilor unui triunghi este egală cu 180º.

 În limbajul figurii 1.22, aceasta se exprimă astfel:

( ) ( )   ( )ˆˆ ˆ 180°m A m B m C  + + =  

Teoremă.  În orice triunghi, lungimea unei laturi este strict mai mică  decât sumalungimilor celorlalte două laturi.

 În limbajul figurii 1.22, aceasta înseamnă  că  (a se urmări permutărilecirculare):

BC AB CA< +  CA BC AB< +  

 AB CA BC < +  adică:

, ,a b c b c a c a b< + < + < +   (2)

Din (2) rezultă  următoarele consecinţe: , etc.c a b b a c  > − > −   (lungimeaunei laturi este strict mai mare decât diferenţa lungimilor celorlalte două laturi).

De asemenea, se arată  că, dacă  a b c ≤ ≤ , atunci, relaţiile (2) sunt

echivalente cu c a b< +  („cea mai mare latur ă este mai mică decât sumacelorlalte două”).

Cu aceste fapte prezente în minte, vom prezenta:

Page 26: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 26/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

20  Proiectul pentru Învăţământ Rural

A. Clasificarea triunghiurilor :

a) Din punct de vedere al unghiurilor:

Un triunghi ABC  poate fi:

 – ascuţitunghic  (Dacă  toate unghiurile sale sunt ascuţite: ( )ˆ 90°m A   < ,

( )ˆ 90°m B   < , ( )ˆ 90°m C   < );

 – obtuztunghic (Dacă un unghi este obtuz: ( )ˆ 90°m A   > , sau ( )ˆ 90°m B   > ,

sau ( )ˆ 90°m C   > ). Subliniem că, dacă, de exemplu, ( )ˆ 90°m A   > , atunci:

( )

( )   ( )

°ˆ90° 180

ˆˆ 90° 90°

m A

m B   şi m C 

< <

< < 

 În acest caz, spunem că   ABC Δ  este obtuzunghic în A ).

 – dreptunghic (Dacă  un unghi este drept: ( )ˆ 90m A   = ° , sau ( )ˆ 90m B   = ° ,

sau ( )ˆ 90m C   = ° . Subliniem că, dacă, de exemplu, ( )ˆ 90m A   = ° , atunci :

( )

( )   ( )

( )   ( )

ˆ 90

ˆˆ0 90   şi 0 90

ˆˆ 90

m A

m B m C  

m B m C  

= °

< < ° < < °

+ = °

 

 În acest caz, spunem că   ABC Δ  este B ). În plus (v. fig. 1.24) latura BC(opusă  unghiului drept ˆ A ) se numeşte ipotenuză; laturile  AB  şi  AC   senumesc catete.

Fig. 1.24Teorema de caracterizare

1. Triunghiul ABC  este ascuţitunghic ⇔ avem simultan relaţiile:

2 2 2 2 2 2 2 2 2, ,a b c b c a c a b< + < + < +  

(dacă a b c ≥ ≥ , relaţiile de mai sus sunt echivalente cu 2 2 2a b c < + ).

2. Triunghiul ABC  este obtuzunghic în A  2 2 2a b c ⇔ > + .

3. (Teorema lui Pitagora). Triunghiul  ABC   este dreptunghic în  A 2 2 2a b c ⇔ = +  

Observaţie.  Teorema lui Pitagora (al cărei enunţ  uzual este „Într-un triunghidreptunghic pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor”

Page 27: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 27/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 21 

adică o implicaţie din 3. de mai sus) este una din teoremele fundamentaleale matematicii.

b) Din punct de vedere al laturilor

Un triunghi ABC  poate fi

 – isoscel (Dacă are două laturi de lungimi egale. De exemplu, dacă  AB = AC , adică c = b). – echilateral  (Dacă  toate laturile au aceeaşi lungime, adică BC = CA = AB, adică a = b = c ).

 – scalen (Dacă laturile au lungimi diferite două câte două).

Teorema de caracterizare a triunghiurilor isoscele şi echilaterale cu ajutorulunghiurilor1. Un triunghi  ABC  este isoscel dacă şi numai dacă are două unghiuri demăsuri egale, de exemplu:

( )   ( )ˆˆ AB AC m B m C = ⇔ = .

2. Un triunghi ABC  este echilateral dacă şi numai dacă are toate unghiurilede măsuri egale (cu 60º):

( ) ( )   ( )ˆˆ ˆ 60BC CA AB m A m B m C  = = ⇔ = = = ° .

 În fig. 1.25 a), triunghiul ABC  este isoscel.

Atenţie: egalitatea laturilor  AB  şi  AC este echivalentă  cu egalitatea

măsurilor unghiurilor „de la bază”, ˆˆ  şiB C .

 În fig. 1.25 b), triunghiul ABC  este echilateral.

Fig. 1.25

Exemplu.  Să calculăm unghiurile unui triunghi dreptunghic isoscel (adică un triunghicare este simultan dreptunghic şi isoscel).

Dacă  triunghiul este  ABC   şi ( )ˆ 90m A   = °   atunci nu putem avea

( ) ( )ˆ ˆm B m A=  (ar rezulta că:

( )   ( )   ( )ˆ ˆ ˆ180 ( ( ) ) 180 90 90 0m C m A m B= ° − + = ° − ° + ° = ° )

şi nici ( )   ( )ˆ ˆm C m A= .

Trebuie să  avem ( )   ( )ˆˆ

m B m C  = . Cum ( )   ( )ˆˆ

90m B m C  + = ° , rezultă  că ( )   ( )ˆˆ 45m B m C  = = ° . A se vedea fig. 1.26.

Page 28: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 28/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

22  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Fig. 1.26

B. Linii importante în triunghiSă consider ăm un triunghi fixat ABC .

Definiţie.  Se numeşte mediană a triunghiului ABC  un segment care uneşte un vârfal  ABC Δ  cu mijlocul laturii opuse.

De exemplu (v. fig. 1.27 a)), mediana care uneşte vârful A cu mijlocul A' allui BC  se numeşte mediana din A.

 Aşadar există trei mediane [ AA'], [BB'], [CC '] (v. fig. 1.27b)).

Teoremă.  Cele trei mediane ale unui triunghi sunt concurente (adică trec prin acelaşipunct).

Punctul lor comun se numeşte centrul de greutate  (sau baricentrul)triunghiului.

 În fig. 1.27 b), baricentrul  ABC Δ  este G. Se poate ar ăta că:

2GA GB GC  

GA GB GC  = = =

′ ′ ′.

Fig. 1.27

Pentru a da definiţia următoare, avem nevoie de o noţiune preliminar ă. Să 

consider ăm un unghi

 AOB . Vom numi bisectoare a unghiului

 AOB  unica semidreaptă [OM  care are proprietatea că unghiurile  AOM  şi BOM  sunt adiacente şi congruente. Pe scurt (v. fig. 1.28), spunem că bisectoarea „împarte unghiul în două unghiuri congruente”.

Fig. 1.28

Revenind la triunghiul nostru ABC , vom da următoarea

Page 29: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 29/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 23 

Definiţie.  Se numeşte bisectoare a triunghiului  ABC   o bisectoare a unuia dinunghiurile  ABC Δ .

De exemplu (v. fig. 1.29 a)), bisectoarea unghiului ˆ A BAC =  se numeştebisectoarea din A .

 Aşadar, există  trei bisectoare [ AA', [BB', [CC '. Am notat cu  A' punctul deintersecţie al bisectoarei lui A cu latura [BC ] etc.

Teoremă. Cele trei bisectoare ale unui triunghi sunt concurente. Punctul lor comunse numeşte centrul cercului înscris în triunghi.

Fig. 1.29 În fig. 1.29 b), centrul cercului înscris în  ABC Δ  este I .

Denumirea de centru al cercului înscris în  ABC Δ   este explicată  defig. 1.30. Anume, I  este centrul unicului cerc care este plasat în interiorultriunghiului şi este tangent la laturile  ABC Δ   (adică  are în comun cufiecare latur ă exact câte un punct).

Fig. 1.30

 În continuare, avem nevoie de altă noţiune preliminar ă.

Definiţie.  Se numeşte mediatoare  a unui segment [ AB] unica dreaptă  care areurmătoarele proprietăţi:a) Trece prin mijlocul C   al lui [ AB] (punctul C   este unicul punct de pedreapta suport a lui AB pentru care CA = CB)

b) Este perpendicular ă pe AB. 

(a se vedea fig. 1.31, unde d  este mediatoarea lui[ AB]).

Fig. 1.31

Page 30: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 30/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

24  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Revenind la  ABC Δ  vom da următoarea

Definiţie.  Se numeşte mediatoare  a triunghiului  ABC o mediatoare a uneia dinlaturi.

De exemplu (v. fig. 1.32 a)), mediatoarea lui [BC ] se numeşte mediatoarealaturii [BC ]. Am notat mediatoarea cu d .

 Aşadar, există  trei mediatoare,  A' A'', B'B'',  C 'C '' (aici  A' este mijlocul lui[BC ] şi  A'' este un punct arbitrar pe mediatoarea laturii [BC ]) etc., v. fig.1.32 b)).

Teoremă.  Cele trei mediatoare ale unui triunghi sunt concurente. Punctul lor comunse numeşte centrul cercului circumscris triunghiului.

Fig. 1.32

 În fig. 1.32 b), centrul cercului circumscris este O. Denumirea de centru alcercului circumscris triunghiului ABC  este explicată de fig. 1.33. Anume, O este centrul unicului cerc care trece prin punctele A, B, C. 

Remarcă.  Dacă   ABC Δ   este dreptunghic în  A, atunci centrul cercului circumscris ABC Δ  coincide cu mijlocul ipotenuzei [BC ].

Definiţie.  Se numeşte înălţime a unui triunghi o dreaptă care trece printr-un vârf altriunghiului şi este perpendicular ă pe latura opusă.

De exemplu (v. fig. 1.33) înălţimea care trece prin A se numeşte înălţimeadin  A  a triunghiului  ABC . Am notat-o cu  AA' (aici,  A'   este intersecţia înălţimii din A cu latura opusă, BC ).

Fig. 1.33

 Aşadar există trei înălţimi AA', BB', CC'  (am notat cu A'  un punct oarecarepe înălţimea din A etc.)

Teoremă.  Cele trei înălţimi ale unui triunghi sunt concurente. Punctul lor comun senumeşte ortocentrul triunghiului.

Page 31: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 31/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 25 

Atenţie!  Poziţia ortocentrului faţă de triunghi depinde esenţial de tipul triunghiului:ascuţitunghic, obtuzunghic sau dreptunghic.

 În fig. 1.34 a), triunghiul  ABC  este ascuţitunghic şi ortocentrul H esteinterior  lui ABC. 

 În fig. 1.34 b), triunghiul  ABC este obtuzunghic şi ortocentrul H   este

exterior lui ABC. (am prelungit punctat laturile AB şi BC ). În fig. 1.34 c), triunghiul  ABC  este dreptunghic (în  A) şi ortocentrul Hcoincide cu A.

Din aceste motive, de multe ori, pentru ca demonstraţiile să fie complete,trebuie să consider ăm separat cazurile când triunghiul este ascuţitunghic,respectiv obtuzunghic, respectiv dreptunghic.

Fig. 1.34

Remarcă importantă.Dacă triunghiul ABC  este isoscel (de exemplu AB = AC ) atunci centrul degreutate, centrul cercului circumscris şi ortocentrul se găsesc pe axa desimetrie a triunghiului ABC , care este mediatoarea „bazei” [BC ].

 În particular, dacă  ABC este echilateral, rezultă  că  cele patru puncte demai sus coincid.

C. Congruenţa triunghiurilor  

Definiţie.  Se spune că  dacă  triunghiul  ABC şi  A'B'C' sunt congruente (în ordinea ABC - A'B'C '), dacă avem următoarele 6 egalităţi:

( ) ( )   ( )   ( )   ( )   ( )ˆˆ ˆ ˆ, ,m A m A m B m B m C m C  ′ ′ ′= = = .

BC = B'C', CA = C'A', AB = A'B'  

 În acest caz, scriem . ABC A B C ′ ′ ′Δ ≡ Δ  

 În situaţia de mai sus, spunem că  vârfurile  A  şi  A' (respectiv B  şi 'B ,respectiv C   şi 'C  ) sunt omoloage. Similar, spunem că  laturile [BC ] şi[ ' ]B C   (respectiv [CA] şi [ ' ']C A , respectiv [ AB] şi [ ' '] A B ) sunt omoloage.

Observaţie.  Ordinea (în definirea congruenţei) este esenţială. De multe ori, când se

enunţă  congruenţa, se omite declararea ordinii. În acest caz, sesubînţelege că scrierea  ABC A B C ′ ′ ′Δ ≡ Δ   implică automat că ordinea de

Page 32: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 32/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

26  Proiectul pentru Învăţământ Rural

congruenţă este  ABC -  A'B'C ' . În acest caz, o scriere neglijentă de tipul ABC B C A′ ′ ′Δ ≡ Δ  este greşită.

 În fig. 1.35 a) avem congruenţa  ABC A B C ′ ′ ′Δ ≡ Δ , iar în fig. 1.35 b) avemcongruenţa  ABC A B C ′′ ′′ ′′Δ ≡ Δ .

Fig. 1.35

Situaţia din fig. 1.35 ne conduce la conceptul de triunghiuri superpozabile.

 Anume, triunghiurile ABC  şi  A'B'C' sunt superpozabile (în ordinea  ABC - A'B'C '), dacă printr-o deplasare convenabilă, se pot suprapune.

 Anume, în mod precis, putem suprapune A'  peste A, B'  peste B şi C' pesteC  (sau, invers, A peste A', B peste B'  şi C  peste C' ).

Este evident că, dacă  triunghiurile  ABC   şi  A'B'C'   sunt superpozabile,atunci ele sunt congruente. În fig. 1.35 a), triunghiurile  ABC  şi A'B'C'  suntsuperpozabile.

Atenţie!  Reciproca este falsă. În fig. 1.35 b), triunghiurile  ABC  şi  A''B''C''   nu suntsuperpozabile, deşi sunt congruente. Se observă că cele două  triunghiurisunt „orientate diferit” (conturul ABC şi conturul  A''B''C'' sunt parcurse în  „sensuri opuse” ).

Definiţia congruenţei implică verificarea a 6 egalităţi. De fapt, este suficientsă verificăm numai 3 egalităţi!

Vom da, în acest sens, cele 3 cazuri de congruenţă a triunghiurilor.

Fie două triunghiuri ABC  şi A'B'C' .

Cazul 1 de congruenţă (cazul ULU)

Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1.  ABC A B C ′ ′ ′Δ ≡ Δ  

2. Avem, simultan, egalităţile:

( ) ( )ˆ ˆm B m B′= ;

( ) ( )ˆ ˆm C m C  ′= ;

BC  = B'C'  

 Acest caz de congruenţă  este ilustrat în fig. 1.36 (cu triunghiurisuperpozabile sau nu).

Fig. 1.36

Page 33: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 33/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 27 

Cazul 2 de congruenţă (cazul LUL)

Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1.  ABC A B C ′ ′ ′Δ ≡ Δ  

2. Avem, simultan, egalităţile:

 AB = A'B'   AC = A'C'  

( ) ( )ˆ ˆm A m A′=  

 Acest caz de congruenţă  este ilustrat în fig. 1.37 (cu triunghiurisuperpozabile sau nu).

Fig. 1.37

Cazul 3 de congruenţă (cazul LLL)

Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1.  ABC A B C ′ ′ ′Δ ≡ Δ  

2. Avem simultan , egalităţile

BC  = B'C'  

CA = C'A'   AB = A'B'  

 Acest caz de congruenţă  este ilustrat în fig. 1.38 (cu triunghiurisuperpozabile sau nu).

Fig. 1.38Remarcă.  Cele trei cazuri de congruenţă ne arată că pentru a demonstra congruenţa

a două  triunghiuri este suficient să  verificăm 3 egalităţi (nu 6 ca îndefiniţie).

D. Asemănarea triunghiurilor

 Asemănarea generalizează congruenţa.

Definiţie.  Se spune că  două  triunghiuri  ABC   şi  A'B'C'   sunt asemenea (în ordinea ABC - A'B'C ') dacă avem simultan:

( ) ( )ˆ ˆm A m A′= , ( ) ( )ˆ ˆm B m B′= , ( ) ( )ˆ ˆm C m C  ′=  

Page 34: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 34/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

28  Proiectul pentru Învăţământ Rural

BC CA AB

B C C A A B= =

′ ′ ′ ′ ′ ′ 

 În acest caz scriem  ABC A B C ′ ′ ′Δ Δ∼  

 În situaţia de mai sus, spunem că  vârfurile  A  şi ' A   (respectiv B şi 'B ,respectiv C şi 'C  ) sunt omoloage. Similar, spunem că  laturile [BC ] şi

[ ' 'B C  ] (respectiv [C A] şi [ ' 'C A ], respectiv [ AB] şi [ ' ' A B ]) sunt omoloage.Observaţii.  1. Din nou, subliniem importanţa ordinii în definirea asemănării. Dacă nu

este specificată  ordinea, scrierea  ABC A B C ′ ′ ′Δ Δ∼   implică  automatordinea ABC - A'B'C '.

 În fig. 1.39 a) avem asemănarea  ABC A B C ′ ′ ′Δ Δ∼ , iar în fig. 1.39 b)avem asemănarea  ABC Δ  A B C ′′ ′′ ′′Δ∼ .

Remarcăm că triunghiurile asemenea  ABC  şi  A'B'C'  sunt „orientate la fel”pe când triunghiurile ABC  şi A''B''C''  sunt „orientate diferit”.

Fig. 1.39

2. Examinând definiţia asemănării constatăm că ea implică verificarea a 5egalităţi:

( ) ( )ˆ ˆm A m A′= , ( ) ( )ˆ ˆm B m B′= , ( ) ( )ˆ ˆm C m C  ′= ,BC CA

B C C A=

′ ′ ′ ′ şi

CA AB

C A A B=

′ ′ ′ ′ 

3. Şirul de egalităţiBC CA

B C C A=

′ ′ ′ ′ 

 AB

 A B=

′ ′ ne spune că triunghiurile ABC  şi

 A'B'C'  au laturi propor ţionale.

 În mod precis, numerele BC, CA, AB şi B'C', C'A', A'B'  sunt propor ţionale.

Dacă  notăm valoarea coeficientului de propor ţionalitate (care aici senumeşte raport de asemănare) prin t , adică :

BC CAB C C A

=′ ′ ′ ′

   AB A B

=′ ′

 = t,

rezultă următoarea

Teoremă.  Triunghiurile  ABC   şi  A'B'C'   sunt congruente dacă  şi numai dacă  suntasemenea şi raportul de asemănare este egal cu 1.

Putem obţine triunghiuri asemenea pe baza următorului rezultat, numit

Teorema fundamentală  a asemănării. Se consider ă  un triunghi  ABC   şi o dreaptă  dparalelă  cu dreapta BC . Dreapta d intersectează  pe  AB  în 'B  şi pe  AC   în 'C  .

 Atunci  ABC Δ    A B C ′ ′ ′Δ∼  (implicit, în ordinea ABC - A'B'C' ).

Page 35: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 35/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 29 

 În fig. 1.40 sunt prezentate toate posibilităţile de prezentare a situaţiei dinteorema fundamentală a asemănării (de obicei, se consider ă numai cazula)).

Fig. 1.40

 În continuare, vom da cazurile de asemănare care sunt teoreme similarecazurilor de congruenţă. Ele ne dau posibilitatea să  demonstr ămasemănarea verificând numai câte 2 egalităţi.

Fie două triunghiuri ABC  şi A'B'C'. Cazul 1 de asemănare (cazul UU)

Următoarele două afirmaţii sunt echivalente:

1.  ABC Δ    A B C ′ ′ ′Δ∼  

2. Avem simultan, egalităţile:

( ) ( )ˆ ˆm B m B′= ;

( ) ( )

ˆ ˆm C m C  ′= .

Comentarii.  1. Deoarece suma unghiurilor unui triunghi este egală cu 180°, rezultă că cele două  egalităţi de la 2. sunt echivalente cu egalităţile,

( ) ( )ˆ ˆm A m A′= ,   ( ) ( )ˆ ˆm B m B′= ,   ( ) ( )ˆ ˆm C m C  ′= , adică:

Două  triunghiuri cu unghiuri congruente sunt asemenea  (estesuficient să  verificăm numai egalitatea măsurilor de unghiuri din definiţiaasemănării). În particular, toate triunghiurile echilaterale suntasemenea.

2. Atenţie la elementele omoloage!

Dacă  ( ) ( )ˆ ˆm B m B′=  şi ( ) ( )ˆ ˆm C m C  ′=  rezultă că perechile omoloage sunt:

( ) ( ) ( ), , , , ,B B C C A A′ ′ ′   şi, luând laturile opuse ( B CA→ , de exemplu!)

( ) ( ) ( ), , , , ,CA C A AB A B BC B C  ′ ′ ′ ′ ′ ′ .

 Acest caz de asemănare este ilustrat în fig. 1.41 (cu triunghiuri „orientate”la fel sau nu).

Fig. 1.41

Page 36: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 36/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

30  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Cazul 2 de asemănare (cazul LUL)

Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1.  ABC Δ    A B C ′ ′ ′Δ∼  

2. Avem simultan, egalităţile:

( ) ( )ˆ ˆm A m A′= ;

 AB AC 

 A B A C =

′ ′ ′ ′.

Spunem că  două  triunghiuri care au unghiuri congruente cuprinse între laturi propor ţionale sunt asemenea.

 Acest caz de asemănare este ilustrat în fig. 1.42 (cu triunghiuri orientate lafel sau nu).

Fig. 1.42

Comentariu.  În acest caz, perechile omoloage se obţin astfel: ( AB, A'B' ), ( AC, A'C' ) prinurmare, rezultă şi perechea (BC, B'C' ). Apoi avem perechea ( A, A' ).

Luând „unghiurile opuse”:

perechea ( AB, A'B' ) dă perechea (C,  'C  );

perechea ( AC, A'C' ) dă perechea (B, 'B ).Cazul 3 de asemănare (cazul LLL)

Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1.  ABC Δ    A B C ′ ′ ′Δ∼  

2. Avem simultan, egalităţile:

BC CA AB

B C C A A B= =

′ ′ ′ ′ ′ ′ 

Spunem că două triunghiuri cu laturi propor ţionale sunt asemenea.

 Acest caz de asemănare este ilustrat în fig. 1.43 (cu triunghiuri orientate lafel sau nu).

Fig. 1.43Comentarii.  1. În acest caz, verificarea condiţiilor înseamnă, de asemenea, verificarea

a două egalităţi:

Page 37: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 37/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 31 

BC CA

B C C A=

′ ′ ′ ′ şi

CA AB

C A A B=

′ ′ ′ ′ 

2.  Perechile omoloage în acest caz sunt următoarele: (BC, ' 'B C  ),

( ) ( ), , ,CA C A AB A B′ ′ ′ ′  şi luând unghiurile opuse ( A, A' ), ( ) ( ), , ,B B C C  ′ ′ .

Făr ă  a intra în detalii, vom prezenta pe scurt câteva rezultate privindasemănarea triunghiurilor particulare:

Pentru triunghiuri dreptunghice

Fie  ABC Δ ,  A B C ′ ′ ′Δ , astfel încât ( ) ( )ˆ ˆ 90m A m A′= = ° .

1.  ABC Δ    A B C ′ ′ ′Δ∼   ( ) ( )   ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆm B m B m C m C  ′ ′⇔ = ⇔ = .

2.  ABC Δ    A B C ′ ′ ′Δ∼ AB AC 

 A B A C ⇔ =

′ ′ ′ ′ 

Pentru triunghiuri isosceleFie  ABC Δ ,  A B C ′ ′ ′Δ , astfel încât AB = AC şi A'B'  = A'C'. Atunci

 ABC Δ    A B C ′ ′ ′Δ∼   ( ) ( )   ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆm B m B m C m C  ′ ′⇔ = ⇔ =   ( ) ( )ˆ ˆm A m A′⇔ = .

E. Aria triunghiului

Fiind dat un triunghi ABC , se consider ă suprafaţa triunghiular ă  ABC  careeste por ţiunea din plan mărginită  de laturile  AB, BC   şi CA  (în fig. 1.44,această suprafaţă este haşurată).

Fig. 1.44

Se pune problema măsur ării ariei acestei suprafeţe. Vom folosi expresiaprescurtată  obişnuită şi, în loc să spunem aria suprafeţei triunghiulare  ABC , vom spune aria triunghiului  ABC .

Considerente teoretice arată că această arie se poate calcula întotdeauna.

Cum o măsur ăm?Regula dimensionalităţii în plan. Dacă lungimile laturilor unui triunghi  ABC  se măsoar ă 

cu unitatea de lungime notată u, atunci aria triunghiului se măsoar ă în u2.

 Anume, u2 este aria unui pătrat a cărui latur ă are lungimea u.

Regula r ămâne valabilă şi pentru suprafeţe poligonale.

 În fig. 1.45 a) avem centimetrul (1cm) ca lungime şi apoi apare centimetrulpătrat (1 cm2) ca arie, în fig. 1.45 b)

Fig. 1.45

Page 38: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 38/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

32  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Se consider ă acum un triunghi  ABC , cu laturile BC  = a, CA = b,  AB = c . Înălţimea din  A  taie pe  BC  în  A', înălţimea din B  taie pe CA  în 'B , iar înălţimea din C  taie pe AB în 'C  .

Notăm (v. Fig. 1.46, a), b), c)) 'a

 AA h= ; 'b

BB h= ; 'c 

CC h= :

Fig. 1.46

Teoremă  (formula fundamentală  a ariei triunghiului). Cu notaţiile de mai sus, ariatriunghiului ABC , notată S(ABC), este dată de formulele:

( )2 2 2

a b c a h b h c hS ABC  

  ⋅ ⋅ ⋅= = =  

(aria triunghiului = jumătatea produsului dintre lungimea bazei şi lungimea înălţimii).

Situaţia de la fig. 1.45 a) este „normală”. Cititorul va observa că, în situaţiade la fig. 1.45 b), avem

( ) 2 2

bb h AC BBS ABC  

  ′   ⋅⋅= = (calcul „normal”)

şi de asemenea

( )2 2

c c h AB CC S ABC  

  ′   ⋅⋅= = (am prelungit [ AB] pentru a obţine punctul C '

care dă  'c CC h= etc.).

 În cazul când  ABC Δ  este dreptunghic în  A (v. Fig. 1.45 c)) avem 'B A=  

şi 'C A= , decib c h BB BA c   şi h CC CA b′ ′= = = = = =  şi deci:

( )2 2

aahbc S ABC    = = .

Exemplu.  Să  consider ăm „triunghiul egiptean” din fig. 1.47, cu laturile de lungimi3cm AB = , AB = 3 cm, AC  = 4 cm, BC = 5 cm.

Fig. 1.47 Acest triunghi este dreptunghic, deoarece se verifică  relaţia (teorema luiPitagora):

Page 39: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 39/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 33 

2 2 2BC AB AC  = + , adică  2 2 25 3 4= + (evident).

Rezultă că avem ( ) 2 2 23 4cm cm 6cm

2 2

 AB AC S ABC  

  ⋅ ⋅= = = .

Putem calcula atunci şi lungimeaa

h AA′= .

 Anume, avem ( )2

aa hS ABC     ⋅= , adică  562

ah⋅= , deci 12 5a

h= .

Rezultă 12

cm=2,4cm5a AA h′ = = .

Temă practică. Verificaţi rezultatul pe un desen precis.

Alte formule pentru calculul ariei unui triunghi

1. Avem formulele (v. şi unitatea de învăţare 4)

( )sin sin sin

2 2 2

bc A ca B ab C  

S ABC    = = =  

(observaţi folosirea permutărilor circulare atât pentru tripleta (a, b, c ), cât şipentru tripleta ( A, B, C )).

2. Notăm (notaţie clasică)2

a b c  p

+ += . Atunci,

, ,2 2 2

b c a c a b a b c   p a p b p c 

+ − + − + −− = − = − = .

 Avem următoarea formulă, numită 

Formula lui Heron. Avem:

( ) ( )( )( )S ABC p p a p b p c  = − − − .

Observaţie.  Dacă pentru triunghiurile  ABC  şi ' ' ' A B C   coeficientul de asemănare este

t , adică ' '

BC t 

B C = , rezultă:

2( )

( ' ' ')

S ABC  t 

S A B C  = .

Page 40: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 40/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

34  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Test de autoevaluare 3

1. Se consider ă că în  ABC Δ  avem AB = 3, AC  = 4.

a) Ce valori poate avea BC ?

b) Pentru ce valori ale lui BC , triunghiul  ABC   este dreptunghic sauisoscel?

2. Se consider ă  un unghi    AOB   şi [ AM bisectoarea sa. Să  se arate că orice punct P  al lui [ AM are următoarea proprietate:

dacă  perpendiculara dusă  din P   pe OA  intersectează  pe OA  în U , iarperpendiculara dusă din P  pe OB intersectează pe OB în V , atunci PU

= PV. 

(Spunem că distanţa PU  a lui P  la OA este egală cu distanţa PV  a lui P  laOB). A se vedea fig. 1.48.

Fig. 1.48.

Răspunsurile la acest test se găsesc la pagina 128 a acestei unităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuarea

enunţurilor.

Page 41: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 41/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 35 

1.2.3. Patrulaterul. Tipurile principale de patrulatere. Proprietăţifundamentale

A. Am definit patrulaterul ca fiind o linie poligonală închisă  ABCD, unde A,B, C, D  sunt puncte necoliniare trei câte trei (adică, oricare trei dintrepunctele A, B, C, D sunt necoliniare). În fig. 1.49 avem trei patrulatere. Cel

de la fig. 1.49 a) este un patrulater „obişnuit”, în sensul că ne-am obişnuitsă gândim patrulaterele în acest mod, spre deosebire de patrulaterele dela fig. 1.49 b) şi fig. 1.49 c).

Fig. 1.49

Patrulaterul de la fig. 1.49 b) nu este „obişnuit” deoarece nu este convex.Făr ă  a insista asupra definiţiilor riguroase, vom spune că  un patrulatereste convex dacă  are următoarea proprietate: dreapta suport a oricăreilaturi L  are proprietatea că  celelalte trei laturi se găsesc în acelaşisemiplan generat de L. În fig. 1.49 a) se vede că  ABCD  are această proprietate. În fig. 1.49 b) se vede că  laturile [ AB] şi [CD] au proprietateade mai sus, dar laturile [BC ] şi [CD] nu au această  proprietate. Deexemplu, dreapta suport a lui [BC ] generează  două  semiplane cuproprietatea că [ AB] se găseşte în unul din ele, iar [CD] în celălalt (iar [ AD]traversează  dreapta BC , plasându-se par ţial şi într-un semiplan şi încelălalt).

Patrulaterul ABCD de la 1.49 c) este şi mai „anormal”. Anume, nu numaică el nu este convex (observaţi semiplanele generate de dreptele suportale lui [ AB] şi [CD]), dar el mai are şi „defectul ” că segmentele [ AB] şi [CD]se intersectează într-un punct care este interior pentru amândouă. Având în vedere situaţia de la fig. 1.49 c), vom face următoarea

Convenţie.  De acum înainte, prin termenul de patrulater vom desemna un patrulaternormal, adică  un patrulater care are proprietatea că  intersecţia oricărordouă  laturi ale sale este sau vidă, sau formată  dintr-un punct sau careeste extremitate comună pentru acele laturi.

Observaţie.  Putem da definiţia convexităţii pentru patrulatere şi în alt mod.

Mai întâi, observăm că, dacă  respectăm convenţia cu privire lanormalitate, de mai sus, rezultă  că  orice patrulater are un interior   şidefineşte suprafaţa patrulater ă  asociată, formată  din interiorul său, împreună  cu laturile. În fig. 1.50 am haşurat interioarele patrulaterului ABCD (care este convex) şi XYZT  (care nu este convex).

Page 42: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 42/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

36  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Fig. 1.50

O mulţime H   inclusă  în planul P   se numeşte convexă  dacă  areurmătoarea proprietate: pentru orice două puncte E, F   din H , segmentul[EF ] este inclus în H.  Se arată  că  un patrulater este convex dacă  şinumai dacă interiorul său este mulţime convexă.

 În fig. 1.50 se vede că orice segment [UV ] cu U, V   în interiorul lui  ABCD este inclus în interiorul lui  ABCD, care este mulţime convexă. Pe de altă 

parte, segmentul [U'V' ] nu este inclus în interiorul lui MNPQ, deşi U ' şi V 'se află în acest interior, care nu este mulţime convexă.

Reţineţi!  Patrulaterele uzuale: paralelogramul (în particular: dreptunghiul, rombul şipătratul) şi trapezul sunt patrulatere convexe.

Denumiri.  Fie  ABCD  un patrulater. Două  laturi care au o extremitatecomună (de exemplu: [ AB] şi [BC ]) se numesc alăturate. Două laturi carenu sunt alăturate se numesc opuse (aşadar, avem două perechi de laturiopuse: [ AB], [CD] şi [ AD], [BC ]). La fel, vârfurile de pe aceeaşi latur ă  senumesc alăturate, iar două  vârfuri care nu sunt alăturate se numescopuse (aşadar, avem două perechi de vârfuri opuse: A, C  şi B, D).

Segmentele [ AC ] şi [BD] (care au ca extremităţi vârfuri opuse) se numescdiagonalele patrulaterului. Se poate ar ăta următoarea

Teoremă.  Un patrulater este convex dacă  şi numai dacă  dreptele suport alediagonalelor sale se intersectează într-un punct care este interior ambelordiagonale.

Ilustr ăm această  teoremă  cu fig. 1.51., unde dreptele suport alediagonalelor lui  ABCD  (patrulater convex) se întâlnesc în punctul O,interior lui [ AC ] şi lui [BD], iar dreptele suport ale diagonalelor lui  A'B'C'D'  (care nu este convex) se întâlnesc în O' , care nu este interior diagonalei[ A'C' ].

Fig. 1.51

B. Vom trece, în continuare, în revistă, principalele patrulatere particulare.

Page 43: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 43/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 37 

Definiţie.  Un patrulater  ABCD  se numeşte paralelogram  dacă  are următoareaproprietate (v. fig. 1.52): şi AB CD AD BC   (se spune că „laturile opusesunt paralele”).

Fig. 1.52

 Avem caracterizări echivalente ale paralelogramului, după  cum arată următoarea

Teoremă.  Fie ABCD un patrulater. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. ABCD este paralelogram.

2. ( )   ( )   ( ) ( )ˆˆ ˆ ˆşim A m C m B m D= =   (unghiurile opuse sunt congruente, v.

fig.1.53 a)).

3. şi AB CD AD BC = = (laturile opuse sunt congruente, v. fig. 1.53 b)).4. şi AB CD AB CD= (v. fig. 1.53 b)).4'. şi AD BC AD BC =   (v. fig. 1.53 b)) (dacă  una din proprietăţileechivalente 4. sau 4'. se verifică, spunem că  „laturile opuse suntcongruente şi paralele”).5. Avem [ ] [ ]   { } AC BD O∩ =  (dreptele AC  şi BD sunt concurente) şi (v. fig.

1.53 c)) AO = OC  şi BO = OD (spunem că „diagonalele se intersectează lamijloc” sau că „diagonalele se înjumătăţesc”).

Fig. 1.53

Comentariu.  Proprietatea de la 3. se mai citeşte şi astfel: „paralelele cuprinse întreparalele sunt congruente”. De exemplu: segmentele paralele [ AB] şi [CD],cuprinse între paralelele AD şi BC , sunt congruente.

Paralelogramele particulare uzuale sunt dreptunghiul, rombul şipătratul.

Definiţie.  Un patrulater  ABCD  se numeşte dreptunghi  dacă  are toate unghiuriledrepte, adică 

( ) ( )   ( )   ( )ˆˆ ˆ ˆ 90m A m B m C m D= = = =   (v. fig. 1.54).

Fig. 1.54

Page 44: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 44/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

38  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Teoremă.  Fie ABCD un patrulater. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. ABCD este dreptunghi.

2.  ABCD este paralelogram şi are un unghi drept (adică  ( )ˆ 90m A   =    sau

( )ˆ 90m B   =    sau ( )ˆ 90m C   =   sau ( )ˆ 90m D   =   ).

3. ABCD este paralelogram şi are două unghiuri alăturate congruente

( adică  ( ) ( ) ( )   ( ) ( )   ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsau saum A m B m B m C m C m D= = = )

4.  ABCD  este paralelogram şi are toate unghiurile congruente (adică 

( ) ( )   ( )   ( )ˆˆ ˆ ˆm A m B m C m D= = = ).

5.  ABCD  este paralelogram şi  AC = BD  (are diagonalele congruente),v. fig. 1.55 .

Fig. 1.55

Definiţie.  Un patrulater ABCD se numeşte romb dacă are toate laturile congruente(adică  AB = BC = CD = DA). A se vedea fig. 1.56.

Teoremă.  Fie ABCD un patrulater. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. ABCD este romb.

2. ABCD este paralelogram şi AB= AD. 

2'. ABCD este paralelogram şi BA = BC .

2''. ABCD este paralelogram şi CB = CD.

2'''. ABCD este paralelogram şi DC = DA.

(dacă una din proprietăţile echivalente 2, 2', 2'' sau 2''' se verifică, spunemcă  ABCD este un paralelogram cu două laturi alăturate congruente, v. fig.1.56).

3.  ABCD  este paralelogram şi  AC BD⊥   (spunem că  „ABCD este

paralelogram cu diagonalele perpendiculare”, v. fig. 1.57).

Fig. 1.56 Fig. 1.57

Definiţie.  Un patrulater ABCD se numeşte pătrat, dacă este dreptunghi şi are toatelaturile congruente(adică AB = BC = CD = DA) (a se vedea fig. 1.58).

Page 45: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 45/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 39 

Teoremă.  Fie ABCD un patrulater. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. ABCD este pătrat.

2. ABCD este în acelaşi timp dreptunghi şi romb.

3. ABCD este dreptunghi cu două laturi alăturate congruente (adică  AB =BC  sau BC = CD sau CD = DA).

4.  ABCD  este romb şi are un unghi drept (adică  ( )ˆ 90m A   = °   sau

( )ˆ 90m B   = °  sau ( )ˆ 90m C   = °sau ( )ˆ 90m D   = ° ).

Fig. 1.58

Definiţie.  Un patrulater  ABCD  se numeşte trapez  dacă  are două  laturi opuseparalele (ele se numesc bazele trapezului), iar celelalte două laturi opusenu sunt paralele (ele se numesc laturile neparalele).

(În mod precis:

 – sau şi AB CD AD BC  , v. fig. 1.59 a),

 – sau şi AD BC AB CD , v. fig. 1.59 b),

unde notaţia MN PQ  desemnează faptul că dreptele MN  şi PQ nu sunt

paralele).

Fig. 1.59

Trapeze particulare

Trapezul  ABCD se numeşte isoscel  (v. fig. 1.59 a)) dacă  laturileneparalele AD şi BC sunt congruente: AD = BC .

Se arată  că  ABCD  este isoscel dacă  şi numai dacă  are diagonalelecongruente: AC = BD sau dacă şi numai dacă are cele două unghiuri de la

baze congruente (adică  ( )   ( )ˆˆm D m C  = , sau, echivalent ( )   ( )ˆˆm A m C  = ).

Trapezul ABCD se numeşte dreptunghic (v. fig. 1.60) dacă are un unghide la bază drept (adică dacă:

( ) ( )ˆ ˆ90m D m A= ° =  sau ( )   ( )ˆ ˆ90m C m B= ° = ).

Page 46: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 46/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

40  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Fig. 1.60

C.  Alte proprietăţi ale patrulaterelor: suma unghiurilor unui patrulater,patrulater inscriptibil, patrulater circumscriptibil. 

Teoremă.  Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater  ABCD  este egală  cu 360°

(adică  ( ) ( )   ( )   ( )ˆˆ ˆ ˆ 360m A m B m C m D+ + + = ° ).

Rezultatul de mai sus este vizualizat în fig. 1.61 (pentru patrulatereconvexe)

şi în fig. 1.62 (pentru patrulatere care nu sunt convexe).

Fig. 1.61

 În fig. 1.61 a) avem patrulaterul convex  ABCD şi unghiurile sale. Putemtriangula pe  ABCD  (adică putem împăr ţi pe  ABCD  în două  triunghiuri cuinterioare disjuncte) în două moduri (v. fig. 1.61 b) şi fig. 1.61 c)).

 În ambele cazuri, adunând sumele măsurilor celor două  triunghiuricomponente obţinem 180 °  + 180°  = 360° .

Fig. 1.62 În fig. 1.62 a) avem patrulaterul  ABCD care nu este convex şi unghiurilesale.

 Atenţie, unghiul C  este obtuz şi avem ( )ˆ180 360m C ° < < ° . În fig. 1.62 b)

este figurată  unica triangulaţie posibilă  (anume, cu diagonala  AC ). Adunând sumele măsurilor triunghiurilor ABC şi ADC  obţinem din nou, casumă  a măsurilor unghiurilor lui  ABCD  valoarea 360°. Se vede că 

Page 47: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 47/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 41 

triangulaţia cu ajutorul lui BD nu este corectă, deoarece, cu ajutorul ei „nu împăr ţim” patrulaterul ABCD, ci „ieşim” în afara lui (v. fig. 1.60 c).

Definiţie.  Un patrulater  ABCD  se numeşte inscriptibil  dacă  are proprietatea că există  un cerc Γ  cu proprietatea că  , , , A B C D∈ Γ ∈ Γ ∈ Γ ∈ Γ   (adică  arevârfurile situate pe un cerc). A se vedea fig. 1.63.

 În situaţia de mai sus, se mai spune că  punctele  A, B, C, D  suntconciclice.

Fig. 1.63

Se poate ar ăta că un patrulater inscriptibil este convex.

Teoremă.  Fie  ABCD  un patrulater convex (fig. 1.64). Următoarele afirmaţii suntechivalente:1. ABCD este inscriptibil.

2. ( )   ( )ˆˆ 180m A m C  + = ° (v. fig. 1.64 a)).

2'. ( ) ( )ˆ ˆ 180m B m D+ = ° .

(Dacă  una din proprietăţile echivalente 2 sau 2' se verifică, spunem că unghiurile opuse sunt suplementare).

3.   ( )    ( )m CAB m DAC  =  (v. fig. 1.64 b)).

3'.   ( )    ( )m ABC m DBC  = .

3''.   ( )    ( )m BCD m ACD= .

3'''.   ( )    ( )m BAD m CAD= .

(Dacă una din proprietăţile echivalente 3, 3', 3'', 3''' se verifică, spunem că o „latur ă  este privită  din cele două  vârfuri nesituate pe ea sub unghiuricongruente”).

4. Avem prima relaţie a lui Ptolemeu: 

 AB CD BC AD AC BD⋅ + ⋅ = ⋅  (v. fig. 1.64 c)).

5. Avem a doua relaţie a lui Ptolemeu: 

 AC AB AD CB CDBD BA BC DA DC  

⋅ + ⋅= ⋅ + ⋅ (v. fig. 1.64 c)).

Page 48: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 48/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

42  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Fig. 1.64

Exemple de patrulatere inscriptibile: dreptunghiul (în particular, pătratul)şi trapezul isoscel.

Pentru a continua, reamintim că o dreaptă d  se spune că este tangentă laun cerc Γ dacă există un punct Τ  astfel încât { }d T ∩ Γ =  (cu alte cuvinte,

dreapta d  intersectează cercul Γ într-un singur punct). Se spune că Τ  este punctul de tangenţă al lui d  cu Γ. A se vedea fig. 1.65.

Fig. 1.65Definiţie.  Un patrulater ABCD se numeşte circumscriptibil dacă există un cerc Γ cu

proprietatea că dreptele AB, BC, CD, DA sunt tangente lui Γ (se mai spunecă  ABCD este circumscris lui Γ).

 A se vedea fig. 1.66, unde U  este punctul de tangenţă al lui  AB  cu Γ, Vpunctul de tangenţă al lui BC  cu Γ, X  punctul de tangenţă al lui CD cu Γ şiY  punctul de tangenţă al lui DA cu Γ.

Fig. 1.66

Se poate ar ăta că un patrulater circumscriptibil este convex.

Teoremă.  Fie ABCD un patrulater convex. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. ABCD este circumscriptibil.

2. Bisectoarele unghiurilor lui ABCD sunt concurente.

3. Avem relaţia lui Pithot:

Page 49: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 49/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 43 

 AB CD AD BC + = + .

Rombul (în particular, pătratul) este circumscriptibil.

D. Aria unei suprafeţe patrulatere

Vom considera un patrulater convex   ABCD  cu laturile de lungimi, , , AB a BC b CD c DA d = = = =   şi diagonalele de lungimi , AC e BD f = =  

care se întâlnesc în punctul O  . Notăm ( )m AOB   = ϕ  şi2

a b c d   p

+ + +=  

(v. fig. 1.67).

Fig. 1.67

Vom nota aria suprafeţei patrulatere ABCD prin S( ABCD).

Formule generale

1. Formula lui Arhimede

( ) ( )( )( ) ( ) 2cos2

B DS ABCD p a p b p c p d abcd  

  += − − − − − .

(pentru notaţia 2cos 2B D+ , cititorul care a uitat trigonometria din liceu este

 îndrumat către manualele de liceu sau către Unitatea de învăţare 4dedicată trigonometriei).

Putem înlocui pe2

B D+ cu

2

 A C + în formulă.

2. Formula diagonalelor

( )sin

2

ef S ABCD

  ϕ= .

Putem citi această formulă astfel:

( )sin

2

ef uS ABCD   = ,

unde u este unghiul format de diagonalele AC  şi BD.

Din aceste formule se deduc câteva

Cazuri particulare:

Dacă  ABCD este inscriptibil, avem:

( ) ( ) ( )( )( )S ABCD p a p b p c p d  = − − − − .

Page 50: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 50/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

44  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Dacă  ABCD este circumscriptibil, avem ( ) 2sin2

B DS ABCD abcd  

  +=  

(putem înlocui2

B D+ cu

2

 A C + în formulă).

Dacă  ABCD este simultan inscriptibil

şi circumscriptibil, avem:

( )S ABCD abcd  = .

Ariile suprafeţelor patrulatere uzuale

Formulele anterioare se aplică pentru orice suprafaţă patrulater ă convexă.

Pentru suprafeţele patrulatere uzuale, avem formule speciale, care suntbinecunoscute. În cele ce urmează, vom folosi expresii prescurtate de tipul„aria paralelogramului” în loc de aria suprafeţei patrulatere generate de unparalelogram.

a) Aria paralelogramului 

Fig. 1.68

Să consider ăm (fig. 1.68) un paralelogram cu şi AD BC L AB CD l = = = = .

Numim pe BC  baza paralelogramului  ABCD. 

Perpendiculara din A pe BC întâlneşte pe BC  în A'.Notăm A A'  = h şi numim pe AA'   înălţimea paralelogramului  ABCD.

 Avem formula:

S( ABCD) = Lh (aria = baza · înălţimea)

Remarca 1.  Dacă ducem din C  perpendiculara pe  AB, care întâlneşte pe  AB  în C ' şinotăm ' 'CC h=  avem şi formula:

( ) 'S ABCD lh=  

(deci putem lua drept bază pe AB şi pe 'CC   drept înălţime).

Remarca 2.  Câteodată, „piciorul înălţimii”  A' poate să cadă  în exteriorul lui BC   (v. fig.1.69), dar formula se menţine.

Fig. 1.69Formule alternative

Cu notaţiile anterioare, avem şi formulele:

( ) sin sinS ABCD Ll B Ll A= = .

Page 51: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 51/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 45 

b) Aria dreptunghiului (caz particular al precedentei)

Se consider ă  (fig. 1.70) un dreptunghi  ABCD  cu  AD = BC = L  (L  =„lungimea”) şi AB = CD = l  (l  = „lăţimea”).

 Atunci:

S( ABCD) = Ll (aria = lungimea · lăţimea)

Fig. 1.70

Dacă ABCD este pătrat de lungime a laturii AB = L, atunci:

( ) 2.S ABCD L=  

c) Aria rombului 

Consider ăm un romb ABCD (fig. 1.71) cu diagonalele AC = D şi BD = d  şilaturile AB = BC = CD = DA = l. 

Formulele anterioare de la paralelogram se menţin.

Fig. 1.71 În plus, avem aici şi formulele

( ) 2 2sin sinS ABCD l A l B= = ; ( )2

Dd S ABCD   =  

d) Aria trapezului

Consider ăm un trapez  ABCD  cu  AB CD   (fig. 1.72). Notăm  AB = l   (l   =„baza mică”) şi CD = L (L = „baza mare”).

Perpendiculara din  A pe CD întâlneşte pe CD în A'  şi notăm AA' = h (h =„înălţime”).

Fig. 1.72

 Avem formula:( )

  ( )2

L l hS ABCD

+= .

Page 52: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 52/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

46  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Atenţie.  Şi în acest caz, este posibil ca  A' să  „cadă  în afara lui [BC ]”, sau „bazamică” [ AB] să  fie de fapt „mare”, cum arată  fig. 1.73. Formula r ămânevalabilă.

Fig. 1.73

Test de autoevaluare 4

1. Se consider ă un patrulater ABCD cu proprietatea că există un punct O cu proprietatea următoare: [ ] [ ]   { } AC BD O∩ = ,  OA = OC şi OB = OD. 

(adică diagonalele lui  ABCD  se intersectează  în mijloc). Să  se arate că  ABCD este paralelogram

2. Se consider ă un patrulater oarecare (nu neapărat convex). Să se aratecă aria S( ABCD) a suprafeţei patrulatere ABCD se poate calcula astfel:

( )sin

2

 AC BDS ABCD

  ⋅ ⋅ ϕ= ,

unde ϕ   = măsura unghiului format de dreptele  AC   şi BD. (Cu altecuvinte, formula diagonalelor este valabilă pentru un patrulater oarecare)..

Răspunsurile la acest test se găsesc la pagina 129 a acestei unităţi de

 învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spa

ţiul

liber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 53: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 53/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 47 

1.2.4. Cercul

A. Definiţie. Fie O un punct în planul P  şi R  > 0 un număr real dat. Mulţimeapunctelor  A P ∈  cu proprietatea că  AO = R se numeşte cerc de centru O  şi rază R  şi se notează prin C (O,R ).

 Aşadar (v. fig. 1.74)

( ) { }, |C O R A P AO R  = ∈ =  

Fig. 1.74

Punctul O  se numeşte centrul cercului, iar numărul R  se numeşte razacercului.

Putem spune alternativ:

 – Cercul este mulţimea punctelor din plan care se află  la o distanţă constantă faţă de un punct fixat.

sau

 – Cercul este locul geometric al punctelor din plan care se află la distanţă constantă faţă de un punct fixat.

Alte denumiri (v. fig. 1.75 unde avem un cerc C (O,R )).

Fig. 1.75Dacă  A şi B  sunt două  puncte pe cerc, segmentul [ AB] se numeştecoardă a cercului. În particular, dacă M  şi N  sunt puncte diametral opuse (adică M  şi N  sunt pe cerc şi, în plus, M, O, N  sunt coliniare), coarda MN  se numeşte diametru  al cercului. Evident, MN   = 2R   (orice diametru arelungimea egală cu 2R ) şi pentru orice coardă  AB avem 0 2 AB R < ≤ .

Facem referire tot la fig. 1.75. Consider ăm perpendiculara dusă din centrulcercului O pe coarda AB. Ele se intersectează în punctul P  care este exactmijlocul lui AB („perpendiculara dusă din centru pe coardă o împarte înpăr ţi egale”).

Notăm OP = h  şi  AB = 2l   (deci 0   şi 0h R l R  ≤ ≤ ≤ ≤ ). Din triunghiuldreptunghic AOP  avem:

Page 54: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 54/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

48  Proiectul pentru Învăţământ Rural

2 2h R l = −  şi 2 2l R h= − .

Rezultă că h şi l  cresc în sens invers: când h (respectiv l ) creşte, rezultă că l  (respectiv h) scade.

Coarda cea mai mare (adică diametrul) este la depărtarea cea mai mică (respectiv 0) de centru.

Dacă notăm ( )m AOB   = α , atunci, tot din fig. 1.75 rezultă:

cos , sin2 2

h R l R  α α

= = .

Dacă U şi V sunt două puncte pe cerc, por ţiunea din cerc cuprinsă între U  şi V  se numeşte arc de cerc. Spunem despre coarda [UV ] că subîntindearcul cuprins între U  şi V . Definiţia este ambiguă, deoarece două puncte U  şi V  determină două arce: arcul „mic” pe care se află şi punctul W  şi arcul„mare” pe care se află  şi punctele M   (sau  A, sau B, sau N ). Arcul

determinat de U  şi V  se notează   UV  (în mod ambiguu). Precizarea arcului

(mic sau mare) se face scriind şi un al treilea punct, diferit de extremităţile

arcului. Aşadar, vom scrie   UWV   pentru a desemna arcul „mic” şi          ( )sau , sau , sauUMV UAV UBV UNV    pentru a desemna „arcul mare”.

Două  puncte diametral opuse M   şi N   determină  arcul   MN   care se

numeşte semicerc. Cele două semicercuri desemnate ambiguu prin   MN  sunt „congruente” (nu putem spune că  unul este „mare” şi celălalt este„mic”). Avem, deci, semicercurile:

         ( )    ( )sau , sau   şi sauMUN MWN MVN MAN MBN  .

Punctele cuprinse „înăuntrul” cercului formează  interiorul cercului, notatInt C (O,R ), iar punctele „din afara cercului” formează exteriorul cercului,notat Ext C (O,R ). Aşadar:

Fig. 1.76

( ) { }Int , |C O R X P XO R  = ∈ <  este mulţimea haşurată în fig. 1.76 a).

Ext ( ) { }, |C O R Y P YO R  = ∈ >  este mulţimea haşurată în fig. 1.76 b).

Page 55: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 55/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 49 

O mulţime care este interiorul unui cerc se numeşte disc deschis, iar undisc deschis împreună cu cercul „frontier ă” se numeşte disc închis.

 Aşadar, discul deschis generat de cercul C (O,R ) este exact Int C (O,R ), iardiscul închis generat de cercul C (O,R ) (adică  mulţimea Int C (O,R ) ∪  

C (O,R )) va fi notat cu ( )Int ,C O R  .

B.  Pentru cele ce urmează şi pentru scopuri ulterioare, definim distanţa de laun punct la o dreaptă.

Fie, deci (v. fig. 1.77) un punct A şi o dreaptă δ .

Fig. 1.77

Definiţie.  Proiecţia lui  A  pe δ   este punctul (unic determinat)  A' în careperpendiculara pe δ   dusă  prin  A  intersectează  pe δ . Dacă  A ∈ δ , atunci(prin definiţie) A' = A. 

Definiţie.  În contextul de mai sus, distanţa de la punctul A la dreapta δ  este numărul

dist ( , A δ ) definit astfel:dist ( , A δ ) = A A'.

Dacă  A ∈ δ , prin definiţie avem dist ( , A δ ) = 0.

 Acum, putem prezenta poziţia unei drepte faţă de un cerc (v. fig. 1.78).

Consider ăm un cerc C (O,R ) şi o dreaptă d în acelaşi plan P .

Fig. 1.78

 – Dacă dist (O,d ) < R , dreapta d  intersectează pe C (O,R ) în două punctedistincte A şi B. Spunem că d  este secantă la cerc.

 – Dacă  dist (O,d ) = R , dreapta d   intersectează  pe C (O,R ) într-un singurpunct Τ   (se mai spune că  „ d intersectează  pe C (O,R ) în două  puncteconfundate”. Spunem că d  este tangentă la cerc.

Punctul T  se numeşte punct de tangenţă (al lui d  cu C (O,R )).

Page 56: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 56/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

50  Proiectul pentru Învăţământ Rural

 – Dacă dist (O,d ) > R , dreapta d  şi cercul C (O,R ) sunt disjuncte (nu au niciun punct comun). Spunem că dreapta d  este exterioar ă cercului.

Remarcă importantă. O tangentă d  la cercul C (O,R ) are proprietatea că OT d ⊥  (unde T  este punctul de tangenţă  al lui d   cu C (O,R ). Spunem că  tangenta esteperpendicular ă pe raza corespunzătoare punctului de tangenţă. A sevedea fig. 1.79, unde OT d ⊥ .

Fig. 1.79

Continuăm cu poziţiile relative a două  cercuri  (distincte). Consider ămdouă  cercuri ( ) ( )1 1 2 2, , ,C O R C O R    cu proprietatea că  1 2 0R R ≥ >   (v. fig

1.80, 1.81. 1.82, 1.83, 1.84, 1.85, 1.86).Dacă  1 2 1 2O O R R  > + , cercurile sunt disjuncte (se spune că  cercurile sunt

exterioare, v. fig. 1.80)

( ) ( )1 1 2 2, ,C O R C O R  ∩ = ∅ .

Fig. 1.80

Dacă  1 2 1 2O O R R  = + , cercurile sunt tangente exterior, având în comun un

singur punct (v. fig. 1.81).

( ) ( )1 1 2 2, , { }C O R C O R T  ∩ = .

Fig. 1.81

Dacă  1 2 1 2 1 2R R O O R R  − < < + , cercurile sunt secante, având în comun

două puncte distincte (v. fig. 1.82).

( ) ( ) { }1 1 2 2, , ,C O R C O R A B∩ = ; 1 2 AB O O⊥ .

Page 57: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 57/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 51 

Fig. 1.82

Dacă  1 2 2 1OO R R  = − , cercurile sunt tangente interior , având în comun un

singur punct (v. fig. 1.83).

Fig. 1.83

Dacă  1 2 2 10 OO R R  < < − , cercul ( )2 2,C O R    este interior cercului

( )1 1,C O R  (v. fig. 1.84).

Fig. 1.84

Dacă  1 2 0OO   = (pe figur ă  1 2 0O O= = ) cercurile sunt concentrice  (v. fig.

1.85).

Fig. 1.85

( ) ( )1 1 2 2, ,C O R C O R  ∩ = ∅  

( ) ( )1 1 2 2, , { }C O R C O R T  ∩ =

( ) ( )1 1 2 2, ,C O R C O R  ∩ = ∅  

Page 58: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 58/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

52  Proiectul pentru Învăţământ Rural

 A

C.  Acum ne vom ocupa de măsurarea lungimii cercului şi a arcelor decerc, precum şi de legătura cu măsurarea unghiurilor.

Să  consider ăm un cerc C (O,R ). Încercăm să  măsur ăm lungimea  sa. Înainte de a o măsura, trebuie să o definim. Cum putem defini lungimeacercului C (O,R )?

Experimental, ideea ar fi următoarea. Luăm o sfoar ă, îi fixăm capătul într-un punct fixat ( ), A C O R ∈  (v. fig. 1.86) şi aşternem sfoara bine întinsă pe

cercul C (O,R ), desf ăşurând-o până  ce ajungem de unde am pornit, înpunctul A. Tăiem sfoara în punctul noii suprapuneri peste punctul A.

Fig. 1.86

 În final, măsur ăm lungimea bucăţii de sfoar ă astfel obţinute şi aceasta va filungimea cercului C (O,R ).

Evident, această  procedur ă  experimentală  este extrem de imprecisă. Obună  „suprapunere”, cu întindere uniformă  (sfoara este neelastică!) sepoate obţine înf ăşurând sfoara pe un tambur cilindric de rază R  (sau pe undisc material, cu şanţ, de rază R ).

O procedur ă matematică de aproximare a lungimii cercului C (O,R ) va fi

descrisă în cele ce urmează. Se consider ă din ce în ce mai multe punctepe C (O,R ), pe care le unim, formând astfel linii poligonale închise. Pemăsur ă ce vom lua puncte mai multe şi „mai dese” (în sensul că între eledistanţele tind să fie din ce în ce mai mici), vom obţine lungimi ale acestorlinii poligonale care aproximează din ce în ce mai bine lungimea cercului. În fig. 1.87 am figurat trei linii poligonale de aproximare: prima are 4 vârfurişi lungimea egală  cu 1L , a doua are 6 vârfuri (cu 2 în plus faţă  de

precedenta) şi lungimea 2L , a treia are 12 vârfuri (cu 6 în plus faţă  de

precedenta) şi lungimea 3L . Evident, 1 2 3L L L< <   şi 3L   aproximează  cel

mai bine lungimea cercului.

Fig. 1. 87

 În secţiunea următoare (1.2.5) vom reveni asupra acestei idei, prezentândexplicit procedura de trecere la limită pentru obţinerea lungimii cercului. Încheind această  discuţie informală  asupra calculului lungimii cercului,

Page 59: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 59/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 53 

vom sublinia concluzia, desprinsă  încă  din antichitate prin experiment şi întărită ulterior prin teorie:

Există  un număr, anume numărul π , care este aproximativ egal cu 3,14( 3,14159265...π ≈ ) având următoarea proprietate: raportul între lungimea

cercului C (O,R ), pe care o notăm cu ( )L R   şi lungimea unui diametru (care

este 2R ) este acelaşi pentru orice cerc:( )2

L R 

R = π .

Cu alte cuvinte:

( ) 2L R R = π .

Reţinem:  lungimea cercului de rază R  este egală cu 2 R π .

Pe cale de consecinţă, lungimea semicercului de rază  R   este egală  cuR π .

Notă.  Numărul π  este, poate, cel mai important număr din natur ă. Acest număreste iraţional. Chiar mai mult, F. Lindemann a demonstrat că numărul π  este transcendent (adică  nu poate fi obţinut ca r ădăcină  a unei ecuaţiialgebrice cu coeficienţi numere întregi).

 Având la dispoziţie lungimea întregului cerc, vom putea calcula lungimeaarcelor de cerc.

 Întâi vom stabili o corespondenţă între arce şi unghiuri.

Definiţie.  Fiind dat un cerc C  (O,R ), vom numi unghi la centru un unghi cu vârful înO (v. fig. 1.88).

Fig. 1.88

 În fig. 1.88, unghiul la centru este  AOB   (am notat cu  A şi B  intersecţiile

celor două semidrepte componente ale unghiului cu C  (O,R )).

 Arcul    AB , cuprins între semidreptele care formează  unghiul  AOB   se

numeşte arcul subîntins de unghiul  AOB  (mai spunem că unghiul  AOB  

subîntinde arcul    AB ).

 Acceptăm că  există  propor ţionalitate între măsura unghiurilor la

centru  AOB  (cu măsura între 0° şi 360°) şi lungimea arcelor subîntinse    AB  (cu lungimea între 0 şi 2πR  = lungimea cercului).

 În fig. 1.89 a), b), c), d), e), f) avem, respectiv, unghiuri la centru de măsuri

egale cu 0° (unghi nul), 60°, 90° (unghi drept), 180° (unghi alungit), 270° şi360°.

Page 60: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 60/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

54  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Fig. 1.89

 Această  propor ţionalitate stabileşte o corespondenţă  bijectivă  întreunghiurile cu măsura în grade în intervalul [0,360] şi arcele de cerc, culungimea în intervalul [0,2 ]R π . Vom interpreta această corespondenţă ca identificare. Aşadar, avem următoarea:

Identificare.  Se identifică un unghi la centru cu arcul pe care îl subîntinde.

Pe baza acestei identificări, putem măsura (cu regula de trei simplă)lungimile arcelor de cerc. Anume, dacă arcul a cărui lungime l  o căutăm

corespunde unui unghi de n°, vom avea360°.............................................. 2 R π  

n°................................................. .l  

2

360 180

Rn Rnl 

  π π= =

 

De exemplu, dacă  n° = 180° (arcul este un semicerc) formula ne dă l R = π , regăsind un rezultat anterior. Dacă n° = 90° (unghiul este drept),

formula ne dă 2

l R π

=  etc.

 În acest moment vom defini în mod riguros noţiunea de radian (ne ţinemastfel o promisiune f ăcută anterior).

Definiţie.  Un unghi de un radian  (mai precis, un unghi cu măsura egală  cu unradian) este un unghi congruent cu un unghi la centru (într-un cercC  (O,R )) care subîntinde un arc de lungime egală cu R .

Pentru un unghi ˆ A   de un radian, scriem că  măsura sa este egală  cu1 radian astfel:

( )ˆm A   = 1 rad.

Să vedem câte grade are 1 radian.

 În formula:

Page 61: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 61/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 55 

180

Rnl 

  π=

 

facem l = R  şi obţinem:

18057n = ≈

π

.

Mai precis, 57,29578n ≈ , şi obţinem că  măsura în grade a unui unghi deun radian este aproximativ egală cu 57°17' şi scriem:

1rad ≈  57°17'.

 Aşadar, un unghi de un radian are măsura aproximativ egală cu 57° (estecuprinsă între 57° şi 58°).

 Avem formulele de transformare reciprocă: 1 rad =180

π

; 1 rad180

π=

.

De exemplu, un unghi cu măsura egală cu 60° va avea măsura, exprimată 

 în radiani, egală cu 60 rad rad180 3

π π⋅ =

.

Se mai scrie, incorect, dar sugestiv şi scurt 603

π= .

Invers, un unghi cu măsura egală cu2

πrad, va avea măsura, exprimată în

grade:

18090

2

π⋅ =

π

.

Prescurtat, ca mai sus2

πrad = 90°.

Cititorul va învăţa următorul

Tabel de corespondenţă 

rad0

6

π 

3

π 

2

π 

π   3

2

π 

2π  

° 0 30 60 90 180 270 360

Să  stabilim şi formula care dă lungimea l  a unui arc subîntins de un unghicare are măsura N  rad (măsura unghiului este dată în radiani). Folosim dinnou regula de trei simplă, ţinând seama că cercul întreg este subîntins deunghiul cu măsura 2π  rad.

2π   ........................... 2π R  

N  rad ...................... l  

2

2

RN l NR 

π= =

π  (*)

Dacă avem R  = 1, formula (*) arată că l = N .

Page 62: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 62/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

56  Proiectul pentru Învăţământ Rural

 Avem, deci, următoarea

Regulă.  Într-un cerc de rază  1 (un astfel de cerc se mai numeşte şi cerctrigonometric), lungimea unui arc subîntins de un unghi la centru demăsur ă egală cu N  rad este N .

Pe scurt, incorect, dar sugestiv:

( )   ( )ˆ rad =m A N l A N  = =  .

 Am identificat unghiul la centru ˆ A  cu arcul  A 

 pe care îl subîntinde.

Ultima relaţie ne arată  că  această  identificare este deplină. Anume, încontextul de mai sus:

Măsura unui arc de cerc = măsura unghiului la centru care îl subîntinde(deci se lucrează în radiani).

Remarcă  importantă.  Având în vedere cele de mai sus, în matematică, unitatea demăsur ă naturală pentru arce şi unghiuri este radianul.

Cititorul va face o analogie cu faptul că baza naturală a logaritmilor estenumărul e.

D.  În cele ce urmează, vom considera un cerc C  (O,R ). Pe baza identificărilordespre care am vorbit, vom identifica unghiurile la centru faţă  de

( , )C O R   cu arcele pe care le subîntind şi vom spune în acest sens (v.fig. 1.90) că 

măsura unghiului la centru  AOB  este egală cu măsura arcului    AB .

Fig. 1.90

 Am extrapolat, aşadar, rezultatul obţinut în situaţia când raza cercului este1 şi unghiurile sunt măsurate în radiani.

 În acest sens, vom vorbi despre arce care au măsura de 60°, sau despre

arce care au măsura de3

πrad.

Vom considera unghiuri cu vârful în puncte arbitrare din planul P   alcercului ( , )C O R  , le vom pune în relaţie cu ( , )C O R   şi le vom măsura,folosind din plin convenţia de mai sus, care spune că unghiul la centru şiarcul pe care îl subîntinde au aceeaşi măsur ă.Pentru a putea exprima riguros proprietăţile care urmează, vom daurmătoarea

Definiţie 1. Se spune că o semidreaptă d este secantă la cercul ( , )C O R  dacă 

dreapta suport a lui d este secantă la ( , )C O R   şi d  intersectează pe C  (O,R ) în două puncte distincte (adică mulţimea ( ),d C O R  ∩  are exact două 

puncte, v. fig. 1.91).

( )    ( )m AOB m AB=

Page 63: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 63/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 57 

2. Se spune că o semidreaptă d  este tangentă la cercul ( , )C O R   dacă dreapta suport a lui d  este tangentă la ( , )C O R   şi d  intersectează pe C  (O,R )

 într-un punct (adică mulţimea ( ),d C O R  ∩  are exact un punct, v. fig. 1.93).

Fig. 1.91

Fig. 1.92

Fig. 1.93

Fig. 1.94

Definiţii.  Fie u un unghi cu vârful V .1. Se spune că  u  este unghi cu vârful pe cercul ( , )C O R  dacă 

( ),V C O R  ∈   şi laturile lui u  sunt semidrepte secante sau tangente la C  

(O,R ). Dacă laturile lui u sunt amândouă secante la C  (O,R ) se spune că ueste unghi înscris în C  (O,R ).

Semidreapta d  = [ AU nueste secantă la C  (O,R )

Semidreapta d  = [ AUeste tangentă la C  (O,R )

Semidreapta d   = [ AU nu este tangentă la C  (O,R )

Semidreapta d  = [ AN  este secantă la C  (O,R )

Page 64: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 64/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

58  Proiectul pentru Învăţământ Rural

2. Se spune că  u  este unghi cu vârful în exteriorul lui ( , )C O R    dacă 

( )Ext ,V C O R  ∈  şi laturile lui u sunt secante sau tangente la ( , )C O R  .

3. Se spune că  u  este unghi cu vârful în interiorul lui  ( , )C O R  dacă 

( )Int ,V C O R  ∈  (şi dreptele suport ale laturilor lui u sunt secante la ( , )C O R  ).

 În fig.1.95 avem cele trei tipuri posibile de unghi cu vârful pe cercul

( , )C O R  . Anume: în fig. 1.95 a) unghiul  AVB  este înscris în ( , )C O R  ; în fig.

1.95 b) unghiul UVB   este cu vârful pe ( , )C O R    (şi [VU  este tangentă  la( , )C O R  , iar [VB este secantă  la C   (O,R )). În fine, în fig. 1.95 c), unghiulUVW este unghi cu vârful pe C  (O,R ), anume: [VU  şi [VW  sunt tangente la

C   (O,R ), ceea ce face ca unghiul UVW  să  fie alungit, cu vârful în V  (defapt, reuniunea semidreptelor [VW şi [VU ) este dreapta suport a lor,tangentă la C  (O,R ) în V ).

Fig. 1.95

Teoremă.  Măsura unui unghi cu vârful pe cerc este egală  cu jumătatea măsuriiarcului cuprins între laturile sale (adică subîntins de unghi).

Cu alte cuvinte, în mod precis:

( )  ( )2

m ACBm AVB   =  (fig. 1.95 a))

( )  ( )2

m VCBm UVB   =  (fig. 1.95 b))

( ) 180m UVW   =   (fig. 1.95 c)).

Formula se păstrează (arcul cuprins este întregul cerc).

 În fig. 1.96 avem cele trei tipuri de unghiuri cu vârful V   în exteriorul

cercului ( , )C O R  , notate de fiecare dată cu  AVB . Anume: în fig. 1.96 a),

unghiul  AVB  (acelaşi cu unghiul  A VB′ ′ ) este format de semidreptele [VA (aceeaşi cu [VA') şi [VB (aceeaşi cu [VB') secante la ( , )C O R  ; în fig. 1.96 b),

unghiul  AVB   (acelaşi cu unghiul  AVB′ ) este format de semidreapta [VA tangentă  la ( , )C O R  în A şi de semidreapta [VB (aceeaşi cu [VB') secantă 

la ( , )C O R  ; în fig. 1.96 c), unghiul  AVB  este format cu semidreptele [VA 

tangentă la ( , )C O R  în A şi [VB (tangentă la ( , )C O R   în B).

Page 65: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 65/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 59 

Fig. 1.96

Teoremă.  Măsura unui unghi cu vârful în exteriorul unui cerc este egală  cusemidiferenţa măsurilor arcelor cuprinse între laturi (adică  subîntinse deunghi).

Cu alte cuvinte, în mod precis:

( )   ( )  ( )    ( )

2

m A M B m AMBm AVB m A VB

′ ′ ′   −′ ′= =  (fig. 1.96 a)).

( )   ( )  ( )    ( )

2

m AM B m AMBm AVB m AVB

′ ′   −′= =  (fig. 1.96 b)).

( )  ( )    ( )

2

m AM B m AMBm AVB

′   −=  (fig. 1.96 c)).

 În fig. 1.97 avem unghiurile

 AVB  şi

 A VB′ ′  care sunt unghiuri cu vârful V   în interiorul cercului ( , )C O R  . Evident, dreptele suport ale laturilor lor,anume AA'  şi BB'  sunt secante lui ( , )C O R  .

Fig. 1.97

Teoremă.  Măsura unui unghi cu vârful în interiorul unui cerc este egală cu semisumamăsurilor arcelor cuprinse între laturile unghiului şi laturile unghiului opusla vârf lui (adică subîntinse de aceste unghiuri).

Cu alte cuvinte, în mod precis:

( )   ( )  ( )    ( )

2

m AMB m A M Bm AVB m A VB

′ ′ ′+′ ′= = .

Observaţie.  În cazul particular când V   = 0, unghiul    AVB AOB=   devine unghi lacentru (fig. 1.98). În acest caz:

Page 66: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 66/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

60  Proiectul pentru Învăţământ Rural

  ( )    ( )   ( )   ( )m AMB m A M B m AOB m A OB′ ′ ′ ′ ′= = = ,

rezultat regăsit şi din formula de mai sus:

( )  

( )   

( )   

( )    ( )2

2 2

m AMB m A M B m AMBm AOB m AMB

′ ′ ′+= = = .

Fig. 1.98

E.  Ne vom ocupa de câteva arii întâlnite în teoria legată de cerc.

Folosind ideea de aproximare a cercului cu poligoane înscrise şi calculândariile suprafeţelor poligonale (vom reveni la secţiunea 1.2.5 consacrată poligoanelor regulate) se aproximează  din ce în ce mai bine aria unuidisc (deschis sau închis).

 În mod precis, avem un cerc ( , )C O R   şi facem referire la fig. 1.76 a).

Ne propunem să  calculăm aria discului deschis ( )Int ,C O R  (care este

egală cu aria lui ( )Int ,C O R   = discul închis generat de ( , )C O R  ).

Egalitatea de mai sus rezultă  din considerente cu caracter rigurosmatematic (şi de bun simţ: o „linie” are arie nulă...).

 Aşadar, avem:

( )( )   ( )( )Int , Int ,S C O R S C O R  = ,

unde S (H ) înseamnă aria lui H  (H  = Int C (O,R ) sau ( )Int ,H C O R  = ).

Notaţie şi exprimare. Notăm valoarea comună de mai sus prin S C  (O,R ), adică :

S C  (O,R ) = S(Int C  (O,R )) = ( )( )Int ,S C O R   

şi numim pe S C  (O,R ) aria cercului (de centru O  şi rază R ). 

Teoremă.  Avem egalitatea S C   (O,R ) = 2R π   (aria oricărui cerc de rază  avândlungimea R  este egală cu 2R π ).

Observăm că aria cercului nu depinde de centru (depinde numai de rază).De altfel, toate cercurile de aceeaşi rază  sunt congruente  (se potsuprapune printr-o deplasare).

Definiţie.  Numim sector de cerc figura mărginită de un unghi la centru într-un cercşi respectivul cerc.

Page 67: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 67/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 61 

 În fig. 1.99 avem cercul C   (O,R ), unghiul la centru  AOB   şi am haşurat

sectorul de cerc notat prin ( )C AOB . Aria sa va fi notată prin ( )(   )S C AOB .

Fig. 1.99

 Acceptăm că există propor ţionalitate între măsura unghiului  AOB  şi aria

sectorului ( )C AOB . Atunci, aplicăm regula de trei simplă şi deducem:

 – Dacă m(

 AOB ) = n°, unde [ ]0,360n ∈  360°.............................. 2R π  n°................................ .x  

( )(   )2

360

R n x S C AOB

  π= =  

 – Dacă m(  AOB ) = N  rad, unde [ ]0,2N ∈ π  

( )(   )

2

2

2 ......................

..........................

2

N x 

R N 

 x S C AOB

π π

π

= = π

 

( )(   )2

2

R N S C AOB   = ; ( )(   )

  ( )2

m AB R  S C AOB

⋅=  

Interpretare:  aria se calculează  ca arie a unui triunghi cu baza de lungime egală  cu

lungimea arcului    AB  şi înălţime egală cu raza cercului.

Definiţie.  Fie un cerc C  (O,R ) şi A, B două puncte pe C  (O,R ). Por ţiunea din cercul

 închis ( )Int ,C O R    cuprinsă  între coarda [ AB] şi unul din arcele de cerc

cuprinse între A şi B se numeşte segment de cerc (v. fig. 1.100).

Fig. 1.100

Page 68: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 68/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

62  Proiectul pentru Învăţământ Rural

 În fig. 1.100 a) avem segmentul de cerc definit de arcul    AMB . 

Segmentul de cerc complementar definit de arcul    ANB   apare înfig. 1.100 b).

Notăm segmentul de cerc definit de arcul    AMB  (respectiv de arcul    ANB )

prin C (    AMB ) (respectiv C (    ANB )).

Folosind fig. 1.100 a) şi b), vom calcula aria segmentului de cerc.

 În cazul segmentului de cerc C (    AMB ), unghiul  AOB  care subîntinde arcul   AMB  are proprietatea:

m(  AOB ) = n° cu n < 180° (în grade) sau m(  AOB ) = N  rad

cu N  < π  (în radiani).

 Atunci se vede că  aria segmentului de cerc C (    AMB ), notată  prin

S(C (    AMB )), va fi dată de formula:

S(C (    AMB )) = S(C (  AOB )) – S( AOB).

(aria sectorului ) C (  AOB ) – aria triunghiului ABC ).

 În cazul segmentului de cerc C (    ANB ) unghiul (  AOB ) care subîntinde

arcul    ANB   are proprietatea m(  AOB ) =  n° cu n  > 180° (în grade) sau

m(  AOB ) = N  rad cu N  > π  (în radiani).

 Atunci, se vede că  aria segmentului de cerc C (    ANB ) (notată  prin

S(C (    ANB ))) va fi dată de formula:

S(C (    ANB ))=S(C (  AOB ))+S( AOB)

(aria sectorului C (    AOB ) + aria triunghiului ABC ).

Trebuie să  studiem şi cazul r ămas (v. fig. 1.101) când coarda [ AB] estediametru. În acest caz triunghiul  AOB degenerează  în segmentul [ AB],deci putem scrie prin extrapolare S( ABC ) = 0 şi atunci formula de mai susfuncţionează. Anume, avem:

  ( )(   )    ( )(   )2

2

R S C AMB S C ANB

  π= =  

(aria este egală cu jumătate din aria cercului).

Fig. 1.101

Page 69: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 69/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 63 

Fie 1 20 R R < <   două  numere. Să  consider ăm cercurile concentrice

( )10,C R   şi ( )20,C R   .

Por ţiunea cuprinsă  între ele (haşurată în fig. 1.102) se numeşte coroană circular ă. Mai precis: avem coroana circular ă deschisă (f ăr ă frontier ă):

( ) { }1 2 1 2| 0W R R X P R X R  = ∈ < <  şi coroana circular ă închisă (cu frontier ă):

( ) { }1 2 1 2| 0W R R X P R X R  = ∈ ≤ ≤ .

Din nou, ariile celor două coroane circulare coincid şi valoarea comună seobţine scăzând aria cercului mai mic din aria cercului mai mare.

( )( )   ( )( ) 2 21 2 1 2 1 2S W R R S W R R R R  = = π − π .

Fig. 1.102

Page 70: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 70/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

64  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Test de autoevaluare 5

1. Consider ăm un cerc de rază având lungimea 2.

a) Să se calculeze măsura (în grade şi radiani) a unui unghi la centru caresubîntinde un arc de lungime 4.

b) Să se calculeze lungimea arcului subîntins de un unghi având măsurade 60°.

c) Să  se calculeze măsura în grade a unui unghi având măsura de 2,5rad.

2.  Se consider ă  triunghiul  ABC   dreptunghic în  A  (v. fig. 1.103). Seconstruiesc semicercurile de diametre BC, CA şi AB ca în figur ă; (Atenţie!Semicercul având pe BC  ca diametru trebuie să  treacă prin A). Por ţiunilede plan cuprinse între ele 1L  şi 2L  se haşurează (ele se numesc „lunule”).

Să se arate că aria lunulelor 1L  şi 2L  reunite este egală cu aria triunghiului

 ABC (teorema lunulelor lui Hipocrate).

Fig. 1.103

Răspunsurile la acest test se găsesc la pagina 130 a acestei unităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 71: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 71/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 65 

1.2.5. Poligoane. Poligoane regulate

 În această secţiune ne vom ocupa mai mult de poligoane convexe închise.Pentru astfel de poligoane putem defini interiorul.

Definiţie.  Fie 0 1 2... nP PP P    o linie poligonală  închisă  astfel încât poligonul 0 1 2... nP PP P   

(cu n + 1 laturi) este convex ( 2n ≥ ).

Interiorul  lui 0 1 2... nP PP P  , notat Int ( 0 1 2... n

P PP P  ) este mulţimea (convexă)

obţinută astfel:

Pentru fiecare i = 0,1,2,...,n se consider ă semiplanul deschis i S , definit de

dreapta suport a lui 1i i PP + , care are proprietatea că  toate segmentele

( )1k k P P + , k i ≠   sunt incluse în i S   (cu convenţia 1n oP P +   = ). Atunci, prin

definiţie:

( )0 1 2.0

Int ...n

n i 

P PP P S=

= ∩ .

 În fig. 1.105, am luat n = 4 şi am haşurat ( )0 1 2.Int ... nP PP P  .

Fig. 1.104Putem spune că  Int ( 0 1 2... n

P PP P  ) este por ţiunea din plan care este

mărginită şi are ca frontier ă poligonul 0 1 2... nP PP P  .

Suprafaţa poligonală  definită  de acest poligon este, prin urmare( )0 1 2.Int ... nP PP P    ∪ 0 1 2... nP PP P  . (interiorul reunit cu frontiera).

Convexitatea liniei poligonale 0 1 2... nP PP P    implică  deci următoarele

proprietăţi:

a) Linia poligonală  0 1 2... nP PP P    este normală. (două  laturi nu se pot

intersecta în puncte interioare). În fig. 1.105 este prezentată  o liniepoligonală care nu este normală.

b) Putem construi interiorul liniei poligonale.

c) Putem triangula  din orice vârf suprafaţa poligonală  generată  depoligonul închis convex cu n laturi 0 1 2 1...

nP PP P  −  cu n – 2 triunghiuri (adică o

 împăr ţim în n – 2 triunghiuri cu interioarele disjuncte). În fig. 1.106 a) şi b)avem două triangulaţii posibile ale suprafeţei 0 1 2 3 4P P P P P  , pornind respectiv

din 0P   şi 1P .

Rezultatul se reţine astfel: orice suprafaţă  poligonală generată  de un

poligon închis convex cu  p  laturi ( 3 p ≥ ) se poate triangula cu 2 p −  triunghiuri, pornind din orice vârf .

Page 72: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 72/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

66  Proiectul pentru Învăţământ Rural

d) Ca o consecinţă a proprietăţii de mai sus, rezultă că suma unghiurilorunui poligon convex cu n laturi 0 1 2 1...

nP PP P  −   ( 3n ≥ ) este egală  cu

( 2)180n − °  (sau ( 2)n − π  rad).

Fig, 1.105

Fig. 1.106

 Acum, vom păr ăsi poligoanele generale închise şi convexe şi ne vomocupa de un caz particular important al lor. Anume, ne vom ocupa depoligoanele regulate  (este denumirea prescurtată pe care o vom folosi, în loc de denumirea completă de poligon convex regulat).

Vom desemna o linie poligonală închisă cu n laturi prin 1 2 3... nPP P P   ( 3n ≥ ),

 în loc de 0 1 2 1... nP PP P  −  ( 2n ≥ ) cum am notat până acum.Definiţie. Se numeşte poligon regulat  un poligon închis convex care are toate

laturile congruente şi toate unghiurile congruente.

 În mod precis, poligonul închis convex 1 2 3... nPP P P    (cu n  laturi, 3n ≥ ) este

poligon regulat cu n laturi dacă:

1 2 1 3 1 1...n n n

PP PP P P P P  −= = = =   şi 1 2ˆ ˆ ˆ...

nP P P ≡ ≡ ≡ . (am notat 1 1i i i i  

P P PP  − += ,

dacă  2 1i n≤ ≤ −  şi   1 1 2 1 1ˆ ˆ,

n n n nP P PP P P P P  −= = ). A se vedea fig. 1.107, unde

n = 6.

Fig. 1.107

Denumiri.  Poligoanele regulate cu un număr mic de laturi au multe denumiri date de

numele numerelor din greaca veche. În lista următoare, apar denumirilepoligoanelor respective cu n laturi:

0 1 2 3 nu este normalăP P P P  

Page 73: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 73/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 67 

n = 3 triunghi echilateral

n = 4 pătrat

n = 5 pentagon regulat

n = 6 hexagon regulatn = 7 heptagon regulat

n = 8 octogon regulat

n = 10 decagon regulat

n = 12 dodecagon regulat.

Construcţie fundamentală ( înscrierea şi circumscrierea)

Fie 3n ≥  şi un cerc C (O,R ).

 Atunci se poate înscrie în cercul C (O,R ) un poligon regulat 1 2... nPP P   cu n

laturi.De asemenea, se poate circumscrie cercului C (O,R ) un poligon regulat cun laturi 1 2... nQ Q Q , punctele de tangenţă  fiind exact punctele 1 2... nPP P   

(anume: ( )1 1 2P Q Q∈ , ( )2 2 3P Q Q∈ , …, ( ) ( )1 1 1,n n n n n

P Q Q P Q Q− −∈ ∈  şi 1 2QQ ,

2 3Q Q , …, 1 1,n n n

Q Q Q Q−  sunt tangente la C (O,R )).

 În fig. 1.108 este prezentată construcţia de mai sus, pentru n = 6.

Fig. 1.108

Pentru un poligon convex cu n  laturi, înscris într-un cerc C (O,R ), vomcalcula elementele principale în funcţie de R  şi n (v. fig. 1.109).

Fig. 1.109

Page 74: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 74/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

68  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Măsura unghiurilor

Deoarece măsura fiecărui arc subîntins de o latur ă  este egală  cu360 2

sau radn n

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, rezultă că măsura comună a unghiurilor este:

( )   ( ) 360 2ˆ 2 1802i 

nm P nn n

−= − =

 

( ) 2ˆ radi 

nm P 

n

−= π  

(Ca o consecinţă, regăsim faptul că suma măsurilor unghiurilor este egală 

cu ( ) ( )2

180 2 180 sau 2 radn

n n nn

−⋅ = − − π )

Lungimea laturilor

Valoarea comună  1i i nPP l +   =   este lungimea laturilor. Se foloseşteperpendiculara OA pe 1 2PP  (deci 1 2 2

nl  AP AP = = ) şi triunghiul dreptunghic

( )1 1

180unde sauOAP m AOP  

n n

π⎛ ⎞=   ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Obţinem:

1802 sin

2 sin

n

n

l R n

l R n

=

π=

 

Apotema. Se numeşte apotemă a poligonului convex orice segment deforma [OA] (se duce perpendiculara din centrul O  pe latur ă, care întâlneşte latura în  A; evident, toate apotemele sunt de lungimi egale).Notăm cu

na  lungimea comună a apotemelor.

180cos

na R 

n=

,

cosna R n

π= .

Vom da câteva valori ale lungimilor laturilor nl    şi apotemelor na   pentrun = 3, 4, 5, 6.

nnl   

na  

3 3R   2

R  

4 2R    2

2R   

510 2 5

2

R −   ( 5 1)

4

R +  

6 R 32

R   

Page 75: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 75/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 69 

Observaţie.  Din relaţiile pentru n = 5 , rezultă:

5 1 10 2 5cos   şi sin

5 4 5 4

π + π −= = .

 În continuare, vom relua ideea de la construcţia fundamentală, referindu-

ne la poligonul regulat circumscris, ale cărui elemente le vom calcula.Pentru aceasta, vom folosi construcţia fundamentală, fig. 1.108 şi fig.1.110, care reprezintă un „detaliu” din construcţia fundamentală.

Fig. 1.110

 În fig. 1.110 avem cercul C (O,R ), în care este înscris poligonul regulat

1 2... nPP P  . Poligonul regulat circumscris 1 2... n

Q Q Q  se obţine cum am văzut:

1 2Q Q  este tangentă la C (O,R ) în 1P  etc.

 Acest poligon circumscris 1 2... nQ Q Q  cu latura de lungime

nl ′  şi apotema de

lungimena′  este, la rândul lui, înscris într-un cerc C (O,R ') cu raza R R ′ > .

Se constată  că  [ ]1OP  este apotemă  în 1 2... nQ Q Q , deci obţinem relaţiafundamentală:

na R ′  = .

Cu formulele deja cunoscute, avem (lucr ăm în radiani):

cos cosn

a R R R  n n

π π′ ′ ′= ⇒ = .

Rezultă relaţia fundamentală, care dă raza R ′ :

cos

R R 

n

′ =

π

.

De aici rezultă:

2 'sin 2 tgnl R R 

n n

π π′ = = .

 În rezumat, pentru poligonul regulat cu  n  laturi circumscrise cercului( ),C O R   avem:

2 tgnl R 

n

π′ =  şin

a R ′  = .

 Avem la dispoziţie întregul material necesar pentru a calcula perimetrul şiaria poligoanelor regulate cu n laturi, înscrise şi circumscrise în ( ),C O R  .

Page 76: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 76/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

70  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Perimetrele

Perimetrul lui 1 2... nPP P  , notat cu perim (R,n) (adică  suma lungimilor

laturilor) este egal cun

n l ⋅ , deci:

perim ( , ) 2 sinR n Rnn

π=   (1)

Similar, perimetrul lui 1 2... nQQ Q , notat cu perim (R,n), este egal cu nnl ′ ,deci:

perim ( , ) 2 tgR n Rnn

π=   (2)

perim ( , )n

R n nl  =   (2')

Ariile

Folosim fig. 1.109. Aria suprafeţei poligonale 1 2... nPP P   este deci egală  cu

n ⋅  aria suprafeţei triunghiulare 1 2OPP .

Dar ( )2

1 21 2

2cos 2 sin sin

2 2 2 2n n

R R R OA PP a l   n n nS OPP  π π π⋅⋅

= = = = .

 Aşadar, aria suprafeţei poligonale regulate 1 2... nPP P   notată cu aria (R,n)

este dată de formulele:

222

aria ( , ) = sin sin cos2

R R n n R n

n n n

π π π=   (3)

aria ( , ) =2

n nl aR n n   (3')

Pentru poligonul circumscris 1 2... nQQ Q , folosim formulele anterioare (3),

cu R ′  în loc de R , undecos

R R 

n

′ =π

.

 Aria lui 1 2... nQQ Q  va fi notată prin Aria (R,n), deci:

( ) ( )2

2

2

 Aria , sin cos sin coscos

R R n R n n

n n n n

n

π π π π′= =

π,

deci:2 Aria( , ) tgR r R n

n

π=   (4)

 Avem la dispoziţie toate materialele necesare pentru a ar ăta cum secalculează  lungimea şi aria cercului ( ),C O R  . Vom folosi fig. 1.108 din

care rezultă ideea de încadrare între două numere cunoscute.

Calculul lungimii cercului cu ajutorul poligoanelor regulate

Pentru orice n  natural, 3n ≥ , lungimea ( )L R    a cercului ( ),C O R    este

cuprinsă  între perimetrul poligonului înscris 1 2... nPP P    şi perimetrul

poligonului circumscris 1 2... nQ Q Q  (rezultă din considerente intuitive).

Page 77: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 77/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 71 

Cu formulele (1) şi (2), avem deci:

( )2 sin 2 tgRn L R Rnn n

π π≤ ≤   (5)

Inegalitatea se păstrează prin trecere la limită. Anume:

( )lim2 sin lim2 tgn n

Rn L R Rnn n

π π≤ ≤  

(vom ar ăta că limitele există).

Limitele se calculează  folosind limitele clasice0 0

sinlim lim 1 x x 

 x tgx 

 x x → →= = . La

noi:

sin sin2 sin 2 2

1n nRn R R  

n

n n

π ππ

= = ⋅ ππ

,

deci există.

sinlim2 sin 2 lim 2n n

nRn R R  n

n

π

π = π = ππ

  (6)

La fel:tg

2 tg 2 nRn R n

n

ππ

= ⋅ ππ

, deci există:

tglim2 tg 2 lim 2

n n

nRn R R  n

n

ππ

= π = ππ

  (7)

Din (5), (6) şi (7) obţinem:( )2 2R L R R  π ≤ ≤ π .

 Am demonstrat că lungimea cercului de rază R  este 2 R π :

( ) 2L R R = π .

Calculul ariei cercului cu ajutorul poligoanelor regulate

La fel, pentru orice n  natural, 3n ≥ , aria cercului ( ),C O R  , pe care am

notat-o cu ( )( ),S C O R   , este cuprinsă între aria poligonului regulat 1 2... nPP P   

 înscris în ( ),C O R    şi aria poligonului regulat 1 2... nQQ Q   circumscris lui

( ),C O R  .

 Adică, avem, folosind (3) şi (4):

( )2

22sin , tg

2 n

R n SC O R R n

n

π π≤ ≤   (8)

 Avem, procedând ca înainte:

2 2 22

2sin2

lim sin lim 2 222 2 2n n

R R R nn R n

n

ππ

= ⋅ π = ⋅ π = ππ

  (9)

Page 78: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 78/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

72  Proiectul pentru Învăţământ Rural

2 2 2tg

lim tg limn n

nR n R R  n

n

ππ

= π = ππ

  (10)

Din (8), (9) şi (10) rezultă că  ( )2 2,R SC O R R  π ≤ ≤ π .

Prin urmare, aria cercului ( ),C O R   este2

R π :( ) 2,SC O R R  = π .

 În continuare, vom da formulele de dublare, care permit calculul laturii

2nl    şi al apotemei 2na   ale poligonului regulat cu 2n  laturi înscrise în

( ),C O R  , în funcţie denl   (unde

nl   este latura poligonului regulat cu n laturi

 înscris în ( ),C O R  ).

Teoremă (formulele de dublare):

(   )2 2

2

2 4n n

l R R R l  = − −  

(   )2 22

12 4

2n na R R R l  = + − .

Exemple de aplicare: Calculul laturii şi apotemei octogonului regulat înscris în cerc.

 Aici n = 4 şi avem 4 2l R = ,

(   )   ( ) ( )2 2 28 2 4 2 2 2 2 2 2 2l R R R R R R R R R  = − − = − = − = −  

8a   = (   )2 28

12 4 2 2 22 2

R a R R R R  = + − = +  

Aplicaţie practică: pavaje cu poligoane regulate.Ne punem problema să  acoperim planul cu suprafeţe poligonale provenitedin poligoane regulate congruente, cu acelaşi număr de laturi. Acoperirea trebuie f ăcută  în aşa fel, încât două  suprafeţe poligonalevecine să nu aibă în comun decât vârfuri sau laturi (ori por ţiuni de latur ă),adică  interioarele să  fie două  câte două  disjuncte. Evident, „acoperire” înseamnă  că  orice punct al planului trebuie să  intre în cel puţin una dinsuprafeţele poligonale care participă la acoperire. Această problemă este în mod evident practică, apărând ca întrebare înfelul următor: ce formă trebuie să aibă dalele cu care vrem să acoperim osuprafaţă  (de exemplu baie)? Prefer ăm forme „frumoase”, de exemplupoligoane regulate.Un r ăspuns imediat este următorul: putem acoperi planul cu pătrate (v. fig.1.111 b)). Există şi alte posibilităţi?Răspunsul complet este oarecum surprinzător. Anume:

Teorema de acoperire cu poligoane regulate

Singurele poligoane regulate cu care putem acoperi planul sunt: triunghiulechilateral, pătratul şi hexagonul regulat.

 În fig. 1.111 avem ilustrate cele trei variante de acoperire: cu triunghiuriechilaterale (fig. 1.111 a)), cu pătrate (fig. 1.111 b)) şi cu hexagoaneregulate (fig. 1.111 c)).

Page 79: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 79/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 73 

Fig. 1.111Demonstraţ ia teoremei. Să consider ăm un poligon „soluţie” cu n laturi. Amvăzut că măsura comună a unghiurilor acestui poligon regulat cu n laturi

este egală cu2n

n

−π  rad.

Consider ăm că un punct din plan, care este vârf comun pentru mai multepoligoane acoperitoare. Aşadar, trebuie să  avem un număr întreg  p  depoligoane care au acest punct ca vârf şi acoper ă  tot ceea ce este împrejurul său, adică  suma celor  p  unghiuri (fiecare din câte un altpoligon) care au acel punct ca vârf, trebuie să fie egală cu 2π .

 În fig. 1.111 a) avem  p = 6, în fig. 1.111 b) avem  p = 4, în fig. 1.111 c)avem p = 3. Adică:

22

n p

n

−⋅ π = π , ceea ce este echivalent cu:

2 2 22

2 2

n n p p

nn n

n

−= ⇔ = =

−   −.

Cu alte cuvinte, n  trebuie să  fie astfel încât numărul2

2

n

n −  trebuie să  fie

număr întreg. Avem succesiv:

( )2 2 42 4

22 2 2

nn

n n n

− +

= = +− − − . Aşadar, condiţia cerută este echivalentă cu condiţia următoare:

4

2n − este număr întreg. (*)

Oricum, va trebui să avem 2 4n − ≤ , adică  6.n ≤  Deci este obligatoriu ca3 6n≤ ≤ .Pentru n = 3, n = 4 şi n = 6, condiţia (*) se verifică. Pentru n = 5, condiţia(*) nu se verifică.

Rămân valorile posibile n = 3, n = 4 şi n = 6.

Observaţie.  Cazul n = 4 (acoperire cu dale pătrate) este folosit la băi.Cazul n = 6 apare în fagurele de albine: fagurii de miere sunt compuşi dincelule hexagonale. (Albinele ştiu matematică!).

Page 80: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 80/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

74  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Test de autoevaluare 6

1. Pe laturile unui hexagon regulat, luate ca baze, se construiesc înexterior pătrate (v. fig. 1.112). Să se arate că vârfurile acestor pătrate,diferite de vârfurile hexagonului, formează un hexagon regulat.

Fig. 1.112

2. Să se demonstreze formula:

16 2 2 2l R = − +  

Răspunsurile la acest test se găsesc la pagina 131 a acestei unităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 81: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 81/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 75 

1.3. Figurile geometrice principale în spaţiu

1.3.1. Dreapta, segmentul, planul 

A. Primele noţiuni. Elemente de axiomatică 

Spaţiul S  va fi mulţimea totală, în care lucr ăm (universul discursului).Elementele spaţiului se numesc puncte. În spaţiu, figurile primordiale suntdreapta şi planul.

 În spiritul axiomaticii lui D. Hilbert, vom folosi următorul mod de notare:

 – punctele se notează  cu litere majuscule latine: Punctul  A, punctul P ,punctul A' etc.

 – dreptele se notează cu litere minuscule latine: dreapta d , dreapta m,dreapta d'  etc.

 – planele se notează  cu litere minuscule greceşti: planul α , planul β ,

planul ′α  etc.

 În general, vom nota alte figuri geometrice (adică submulţimi ale lui S) culitere majuscule greceşti. Păstr ăm (excepţie!) notaţia S pentru spaţiu.

Dacă  A şi B sunt puncte pe o dreaptă d , ele generează segmentele ( AB),[ AB], [ AB) şi  AB] cu notaţii ca cele dinainte. Un punct  A pe o dreaptă dgenerează semidreptele respective pe d , notate [ AM  sau ( AM etc.

De asemenea, putem defini, cu ajutorul segmentelor, linii poligonale (înspaţiu) cu definiţii asemănătoare cu cele de la plan.

Un plan α   împarte spaţiul în două  semispaţii, a căror frontier ă  comună este. Anume, cele două semispaţii sunt ′Σ  şi ′′Σ . Ele pot fi considerate casemispaţii închise  (dacă  conţin şi pe α ) sau deschise  (dacă  suntdisjuncte de α ) . În fig. 1.113, semispaţiul S′   este „superior” (situatdeasupra lui α ), iar semispaţiul S′′   este „inferior” (situat dedesubtul luiα ). Orice două puncte A şi B situate în acelaşi semispaţiu pot fi unite prinsegmentul [ AB] care este în respectivul semispaţiu (v. fig. 1.113). Deasemenea, dacă punctele A şi A' sunt situate în semispaţii diferite, atuncisegmentul [ AA'] care le uneşte are proprietatea că  [ ] AA′   ∩ α ≠ ∅   (v. fig.

1.113, unde  A   ′∈ Σ ,  A′ ′′∈ Σ  şi [ ]M AA′∈ ∩ α ).

Fig. 1.113Cu această  ocazie, reamintim definiţia figurilor convexe (am dat-o şi lageometrie plană).

Page 82: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 82/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

76  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Definiţie.  O figur ă  geometrică  SΓ ⊂   se numeşte convexă  dacă  are următoareaproprietate: Pentru orice două puncte , A B∈ Γ ∈ Γ , avem [ ] AB   ⊂ Γ  (odată 

cu două puncte, Γ  conţine şi întregul segment care le uneşte).Spaţiul S, un semispaţiu, un plan, o dreaptă, un segment, sunt convexe.

De asemenea, vom vedea mai târziu că multe altele figuri sunt convexe:

piramidele, prismele, sferele (privite drept corpuri!). Înainte de a trece mai departe, vom aminti că şi geometria în spaţiu poatefi prezentată  axiomatic. Anume, în fiecare plan, funcţionează  axiomelegeometriei plane. În plus, avem axiome specifice spaţiului. Nici aici nuvom insista asupra acestui aspect, iar prezentarea noastr ă va fi naivă.

Dacă d  (respectiv α ) este o dreaptă (respectiv un plan) şi  A d ∈ (respectiv A ∈ α ), vom mai spune că d  (respectiv α ) trece prin A.

Vom prezenta, totuşi, câteva axiome de început ale geometriei spaţiale,pentru ca cititorul să  aibă  o idee asupra modului de lucru axiomatic. Aceste axiome au şi un puternic rol de fixare a câtorva proprietăţifundamentale din geometria spaţială. Pentru a putea prezenta lucrurilemai scurt, vom spune că punctele 1 2,..., n A A A  sunt coplanare dacă există 

un plan α  cu proprietatea că i 

 A d ∈ ,  i = 1,2,...,n. Reamintim că punctele

1 2,..., n A A A   se numesc coliniare  dacă  există  o linie d   cu proprietatea

, 1,2,...,i 

 A d i n∈ = . Atenţie: punctele coliniare sunt coplanare!

Prima axiomă nu este specifică spaţiului (funcţionează şi în plan).

A1. Dacă  A, B sunt puncte distincte, atunci există o unică dreaptă d  astfelca  A d ∈  şi B d ∈ (spunem că „două puncte distincte determină o dreaptă 

unică”). În plus, pe orice dreaptă  se găsesc cel puţin două  punctedistincte.

A2. Dacă  A, B, C   sunt trei puncte necoliniare, există  un plan unic α   cuproprietatea că  , , A B C ∈ α ∈ α ∈ α (spunem că  „trei puncte necoliniaredetermină un plan unic”). Vom spune că planul α  este planul ABC .

A3. Există patru puncte necoplanare.

A4.  Fie d o dreaptă  şi α   un plan. Se presupune că  există  puncteledistincte  A d ∈ , B d ∈ cu proprietatea că  A ∈ α  şi B ∈ α . Atunci d  ⊂ α  (unplan conţine două  puncte distincte ale unei drepte, atunci el conţine

 întreaga dreaptă; mai spunem că acea dreaptă este situată în respectivulplan).

A5. Fie α  şi β  două plane.

Se presupune că  există   A ∈ α ∩ β . Atunci există  un punct B  în spaţiu(adică B S∈ ) astfel încât B A≠   şi B ∈ α ∩ β  

(dacă două plane au un punct comun, ele mai au şi alt punct comun).

 Acum putem demonstra axiomatic următoarea

Teoremă.  Fie α  şi β  plane, α ≠ β . Dacă  α ∩β ≠ ∅ , atunci există o unică dreaptă d

cu proprietatea că  d α ∩β =  (dacă două plane diferite au un punct comun,atunci ele au o dreaptă comună).

Page 83: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 83/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 77 

Demonstraţ ie.  Fie P ∈ α ∩ β . Din A5  rezultă  că  există  ,Q P Q≠ ∈ α ∩ β . Atunci, fie d  unica dreaptă cu proprietatea că  ,P d Q d  ∈ ∈ (cu A1). Acumfolosim A4 şi obţinem că d  ⊂ α  şi d  ⊂ β , deci d  ⊂ α ∩β .

 Am terminat demonstraţia? Nu! Într-adevăr, noi vrem să  ar ătăm că d α ∩β =   (şi am ar ătat numai incluziunea d  ⊂ α ∩ β ). Aşadar, trebuie să 

mai ar ătăm şi că  d α ∩β ⊂ .Să  presupunem, prin absurd, că  incluziunea d α ∩β ⊂   este falsă. Aşadar, există  un punct M ∈ α ∩ β   cu proprietatea că  M d ∉ . Aşadar,punctele P, Q, M  sunt necoliniare.

 Acum, folosim A2  şi obţinem un plan unic γ   cu proprietatea că  P ∈ γ ,Q ∈ γ   şi ,   şiP Q M ∈ γ ∈ γ ∈ γ . Dar: , ,P Q M ∈ α ∈ α ∈ α , deci α   = planulPQM  (deoarece P, Q, M sunt necoliniare, cu A2). La fel, β  = planul PQM. În final rezultă că  , fals.α = β  

Comentariu.  Dreapta unică din teoremă (care apare ca intersecţie a planelor distincteα   şi  β  ) se numeşte dreapta comună a planelor   α  şi β  (v. fig. 1.114).

Fig. 1.114

 În continuare vom folosi şi următoareaDefiniţie.  Se spune că două drepte d 1 şi d 2 sunt coplanare dacă există un plan α  cu

proprietatea că  1d   ⊂ α  şi 2d   ⊂ α .

Teoremă.  Fie d 1 şi d 2 două drepte distincte care au un (unic!) punct comun. Atunciexistă  un unic plan α   (numit planul determinat de dreptele d 1  şi d 2)astfel încât 1 2,d d ⊂ α ⊂ α (în particular, d 1 şi d 2 sunt coplanare).

Teoremă.  Fie o dreaptă d  şi un punct  A d ∉ . Atunci, există un unic plan α   (numitplanul determinat de dreapta d  şi punctul A) astfel încât şid A⊂ α ∈ α .

B. Poziţii relative. Paralelism.B1. Două drepte

Se consider ă două drepte distincte d 1 , d 2  în spaţiul S. Să vedem careeste poziţia lor relativă.

 Avem două situaţii: 1 2d d ∩ ≠ ∅  sau 1 2d d ∩ = ∅ .

 În situaţia când 1 2d d ∩ ≠ ∅ , rezultă  că  intersecţia celor două  drepte se

reduce la un punct (dacă  ar avea mai mult de un punct în comun, arrezulta că dreptele coincid). Aşadar, există  M S∈   aşa ca { }1 2 .d d M ∩ =  

Putem da, deci, următoareaDefiniţie.  Se spune că dreptele d 1 şi d 2 sunt concurente dacă ele se intersectează 

 într-un punct M  (se spune că d 1 şi d 2 sunt concurente în M ).

Page 84: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 84/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

78  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Fig. 1.115Rezultă cu cele ce preced (v. fig. 1.115) că  în situaţia când d 1 şi d 2 suntconcurente în M , atunci d 1 şi d 2 sunt coplanare (ele sunt situate în planulα  determinat de ele).

 În situaţia când 1 2d d ∩ = ∅ , avem două cazuri:

 – cazul când d 1 şi d 2 sunt coplanare. În acest caz, spunem că d 1 şi d 2 suntparalele şi scriem 1 2||d d  . Mai precis, avem următoarea

Definiţie.  Două drepte distincte d 1 şi d 2 se numesc paralele dacă sunt coplanare şi

1 2

d d ∩ = ∅  (nu se intersectează).

Mai spunem că d 1 este paralelă cu d 2  (sau că d 2 este paralelă  cu d 1,sau că d 1 şi d 2 sunt drepte paralele). În această situaţie notăm 1 2d d  .

Fig. 1.116

Rezultă  că  două  drepte paralele d 1, d 2  (v. fig. 1.116) determină  un plan

unic α  astfel încât 1 2,d d ⊂ α ⊂ α (α  se numeşte planul determinat de d 1 

şi d 2). Acest plan coincide cu planul determinat de d 1 şi un punct oarecareal lui d 2 (sau de d 2 şi de un punct oarecare al lui d 1).

 – cazul când d 1 şi d 2 nu sunt coplanare.

Definiţie.  Două  drepte d 1 şi d 2  se numesc drepte necoplanare  dacă  ele nu suntcoplanare.

Atenţie!  Acest tip de poziţie relativă (drepte necoplanare) este specific spaţiului! Înplan, două  drepte distincte puteau fi numai concurente sau paralele.Există drepte necoplanare!

B2. O dreaptă şi un plan

Consider ăm o dreaptă d şi un plan α . Să  vedem care este poziţia lorrelativă.

 Avem două situaţii: d  ∩ α ≠ ∅  sau d  ∩ α = ∅ .

 În situaţia când d  ∩ α ≠ ∅ , avem două cazuri

 – Cazul când d  ⊂ α  (dreapta d este situată în planul α ).

 – Cazul când d  ∩ α ≠ ∅   şi incluziunea d  ⊂ α   este falsă. În acest caz,rezultă  că  intersecţia d  ⊂ α   se reduce la un punct M   (dacă  ar exista

,N M N d  ≠ ∈ ∩ α , ar rezulta că NM d = ⊂ α , fals).

Page 85: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 85/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 79 

Definiţie.  Spunem că  o dreaptă  d este incidentă  cu planul α   (sau incidentă planului α ) dacă  există  un punct M   cu proprietatea că  { }d M ∩ α =   (se

spune că dreapta d înţeapă planul într-un punct, v. fig. 1.117).

Fig. 1.117

 În situaţia când d  ∩ α = ∅ , dreapta d este paralelă  cu planul α . Maiprecis:

Definiţie. Fie α  un plan şi d  o dreaptă. Spunem că dreapta d  este paralelă cu planul α  

(sau planul α  este paralel cu dreapta d , sau d  şi α  sunt paralele) dacă d  ∩ α = ∅  (planul α  şi dreapta d  nu se intersectează).

 În acest caz, notăm d   α  (sau d α  ).

B3. Două plane

Consider ăm două plane α  şi β . Să vedem care este poziţia lor relativă.

 Avem două situaţii: α ∩β ≠ ∅  sau α ∩β = ∅ .

 În situaţia când α ∩β ≠ ∅ , am demonstrat o teoremă  care spune că intersecţia planelor α  şi β  este o dreaptă (dreapta comună a celor două 

plane). A se vedea din nou fig. 1.114.

 În situaţia când α ∩β = ∅ , planele α  şi β  se numesc paralele. Mai precis:

Definiţie.  Spunem că  planele α   şi β   sunt paralele  (sau că  α   şi β   sunt plane

paralele) dacă  α ∩β = ∅ . În acest caz notăm α β .

 În fig. 1.118, planele α  şi β  sunt paralele.

Fig. 1.118

Axioma lui Euclid în spaţiu

Fie d  o dreaptă şi M  un punct din spaţiu cu proprietatea M d ∉ .

 Atunci, există o dreaptă unică e cu proprietăţile:

M e∈   şi e d   

(prin orice punct din afara unei drepte se poate duce o paralelă şi numaiuna la acea dreaptă).

Să mai semnalăm câteva proprietăţi care rezultă din cele de mai sus.

Page 86: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 86/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

80  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Teoremă. Există trei drepte d, e, f , paralele două câte două, care nu sunt coplanare.(v. fig. 1.119)

Fig. 1.119

Teoremă.  Fie un plan α  şi o dreaptă d care nu este situată în α  (adică incluziunead  ⊂ α   este falsă). Se presupune că  există  o dreaptă  e ⊂ α   cuproprietatea că d e . Atunci d   α .

Teoremă.  Fie un plan α  şi o dreaptă d   cu proprietatea d   α . Atunci, pentru oriceplan β   care are proprietăţile d β ⊃   şi β ∩ α ≠ ∅ , rezultă  că  dreaptacomună planelor β  şi α  este paralelă cu d .

Ilustr ăm teorema de mai sus în fig. 1.120, unde o dreaptă  comună  estee = β ∩ α .

Fig. 1.120

Teoremă.  Fie un plan α  şi o dreaptă d  cu proprietatea d   α .1.  Pentru orice M  ∈ α   există  o dreaptă  unică  e ⊂ α   cu proprietatea că e d  .

2. Pentru orice M  ∈ α , paralela unică e  la d  care trece prin M (v. axiomalui Euclid) are proprietatea că e ⊂ α . (v. fig. 1.120).

Teoremă.  Fie un plan α   şi un punct M   care nu apar ţine lui α . Consider ăm două drepte 1d   şi 2d   care sunt concurente în M  şi sunt paralele cu α . Atunci,

planul determinat de 1d   şi 2d   este paralel cu α .

Consecinţă.  (Varianta planar ă a axiomei lui Euclid)Fie α  un plan şi M  un punct care nu apar ţine lui α . Atunci, există un unicplan β  care trece prin M  şi este paralel cu α .

Page 87: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 87/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 81 

Test de autoevaluare 7

1. Să se arate că există două drepte necoplanare.

2. a) Fie d, e, f   trei drepte distincte cu proprietăţile d e  şi e f  . Să  searate că d f  .

b) Enunţaţi şi demonstraţi o proprietate similar ă pentru plane.

Răspunsurile la acest test se găsesc la pagina 132 a acestei unităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 88: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 88/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

82  Proiectul pentru Învăţământ Rural

1.3.2. Perpendicularitate în spaţiu. Unghiuri în spaţiu

A. Perpendicularitate în spaţiu. Primele noţiuni

Vom generaliza paralelismul, îngăduind şi egalitatea, pentru a da enunţurimai scurte.

Definiţie.  Fie d  şi e drepte în spaţiul S. Spunem că  d  şi e sunt paralele în sensgeneralizat (sau că d  este paralelă în sens generalizat cu e, sau e esteparalelă în sens generalizat cu d  ) dacă d e  sau d  =e. 

Rezultă imediat următoarea

Teoremă.  Fie d  o dreaptă şi M  un punct în spaţiul S. Atunci, există o unică dreaptă e care este paralelă în sens generalizat cu d  şi trece prin M  (adică M e∈ ).

 În situaţia de mai sus se vede că e = d  dacă şi numai dacă M d ∈ .

Două drepte (perpendiculare)

 Acum putem da următoarea

Definiţie. Fie d  şi e drepte în spaţiu. Se spune că d  şi e sunt perpendiculare (saucă d  este perpendicular ă pe e  sau e este perpendicular ă pe d ) dacă există un punct M S∈  astfel încât se verifică următoarea proprietate: dacă 

1d   este unica paralelă în sens generalizat cu d  care trece prin M  şi 1e  este

unica paralelă în sens generalizat cu e care trece prin M , avem 1 2d d ⊥ .

 În situaţia de mai sus, vom nota d e⊥ .

Remarcă.  Afirmaţia (valabilă  în geometria plană) „două  drepte perpendiculare peaceeaşi dreaptă  sunt paralele” nu mai este valabilă  în spaţiu (din cauza

existenţei dreptelor coplanare).Observaţii. 1.  Conceptul de perpendicularitate introdus mai sus generalizează 

perpendicularitatea plană. Anume, dacă  d   şi e  sunt coplanare şiperpendiculare, ele se intersectează  într-un punct M   şi, putem lua

1 1,d d e e= = .

2. Poate că unii cititori şi-au pus problema coerenţei definiţiei de mai sus.Mai precis, ne întrebăm: definiţia este dependentă de punctul M  ? Cu altecuvinte, dacă  vom lua un alt punct N   şi vom duce prin el dreptele 2d   

(unica paralelă în sens generalizat cu d  dusă prin N ) şi 2e  (unica paralelă 

 în sens generalizat cu e), va rezulta oarecare că  2 2d e⊥ ?Din fericire, r ăspunsul este afirmativ. Cu alte cuvinte, avem următoareaechivalenţă:

( )d e⊥ ⇔  (pentru orice punct O S∈ , dacă  d ′  este unica paralelă în sens

generalizat cu d   care trece prin  O  şi e′   este unica paralelă  în sensgeneralizat cu e care trece prin O, avem d e′ ′⊥ ).

 Această echivalenţă este ilustrată în fig. 1.121.

Page 89: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 89/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 83 

Fig. 1.121

Teorema de conservare a perpendicularităţii pentru drepte. Dacă  1 1, , ,d d e e   sunt

drepte astfel încât d e⊥ , d 1 şi d  sunt paralele în sens generalizat, e şi e1 sunt paralele în sens generalizat, rezultă că  1 1d e⊥ .

Două plane (perpendiculare)

Definiţie.  Fie α   şi β   două  plane distincte care nu sunt paralele şi d   dreapta lor

comună. Se spune că  α   şi β   sunt perpendiculare  (sau că  α   esteperpendicular pe β , sau β  este perpendicular pe α ) dacă există  M d ∈  astfel încât se verifică următoarea proprietate: notând cu e perpendicularape d  în M  dusă în planul α  (adică e ⊂ α ) şi notând cu f perpendiculara ped  în M  dusă în planul  β   (adică  f  ⊂ β), avem e f ⊥ .

 În situaţia de mai sus, vom nota α ⊥ β .

Observaţie.  Din nou, definiţia este coerentă, deoarece nu depinde de punctul M . Maiprecis, avem următoarea echivalenţă:

( )α ⊥ β ⇔  (pentru orice punct N d ∈ , dac

ă not

ăm cu u perpendiculara pe

d   în N   dusă  în α   şi cu v   perpendiculara pe d   în N dusă  în β , atunciu v ⊥ ).

 Această echivalenţă este ilustrată în fig. 1.122.

Fig. 1.122

Teorema de conservare a perpendicularităţii pentru plane. Fie 1 1, , ,α β α β   plane. Se

presupune că:a) α ⊥ β  

b) 1 1sauα α α = α  

c) 1 1sauβ β β = β  

atunci 1 1α ⊥ β .

Page 90: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 90/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

84  Proiectul pentru Învăţământ Rural

 Avem şi următoarea teoremă, care seamănă cu un enunţ din plan.

Teoremă.  Fie α , β , γ  trei plane distincte. Se presupune că  α ⊥ γ  şi β ⊥ γ . Atunciα β  (două plane perpendiculare pe acelaşi plan sunt paralele).

Un plan şi o dreaptă (perpendiculare)

Se poate demonstra urmă

toarea:

Teoremă. Fie α  un plan şi d  o dreaptă. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1.  Există  două  drepte concurente 1e   şi 2e   situate în planul α , cu

proprietatea că  1d e⊥  şi 2d e⊥ .

2. Pentru orice dreaptă f  situată în planul α , avem d f ⊥ .

 Această teoremă permite să dăm următoarea:

Definiţie.  Se spune că  o dreaptă d  este perpendicular ă pe un plan α   dacă d   areproprietatea că este perpendicular ă pe orice dreaptă e ⊂ α .

 În situaţia de mai sus, scriem d  ⊥ α .Pe baza teoremei de mai sus, deducem că avem echivalenţa:

( )d  ⊥ α ⇔ (există  1 2 1 2, ,   şie e e e⊂ α ⊂ α  concurente, astfel încât 1d e⊥  şi

2d e⊥ ).

 Aşadar, pentru a verifica faptul că  dreapta d   este perpendicular ă  pe unplan α  este suficient să găsim două drepte distincte care nu sunt paralelesituate în α , astfel încât d  este perpendicular ă pe fiecare din ele.

Situaţia este ilustrată în fig. 1.123, unde d  ⊥ α .

Fig. 1.123

Observaţie. Dacă o dreaptă d  este perpendicular ă pe o dreaptă e situată  într-un plan α  (deci d  este perpendicular ă pe orice paralelă  e′  la e situată  în α ) nu rezultă  că  d   este perpendicular ă  pe α   (v. fig. 1.124, unded e⊥ ⊂ α , dar d  nu este perpendicular pe f  ⊂ α ).

Fig. 1.124

Page 91: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 91/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 85 

Teoremă.  Fie d, e  drepte distincte şi α   un plan. Se presupune că  şid eα α ⊥ ⊥ . Atunci d e  (două drepte perpendiculare pe acelaşi plan sunt paralele).

Teoremă.  Fie α , β  două plane distincte şi d  o dreaptă. Să presupunem că  d α ⊥  şid β ⊥ . Atunci α β   (două plane perpendiculare pe aceeaşi dreaptă sunt

paralele).

Teorema de conservare a perpendicularităţii dreaptă  – plan.  Fie ,α α ′  plane şi ,d d ′  drepte. Se presupune că:1. d    α ⊥  

2. α α ′  sau α α ′=  

3. saud d d d  ′ ′=   (adică  şid d ′   sunt paralele în sens generalizat). Atuncid    α ′ ′⊥ .

Construcţii

Teoremă.  Fie α  un plan şi A un punct care nu apar ţine lui α . Atunci există o unică dreaptă d  care trece prin A şi este perpendicular ă pe α .

Numim pe d  perpendiculara din A pe α . Punctul (unic) de intersecţie  A′  al dreptei d  cu α  se numeşte piciorul perpendicularei din A pe α . 

Atenţie! Dacă  A ∈ α , atunci  A A′= . În fig. 1.125 avem ilustrate cazurile A ∉ α  şi  A ∈ α .

Fig. 1.125

Teoremă.  Fie d  o dreaptă şi  A d ∈ . Există un unic plan α  cu proprietăţile  A ∈ α  şid  ⊥ α . Spunem că d  este normală la α  în A.

Uneori spunem şi că  α  este normal la d  în A.

 În fig. 1.125, d  este normală la α  în ' A .Teoremă.  Fie d  o dreaptă şi A un punct în spaţiu, care nu se află pe d . Există o unică 

dreaptă e care trece prin  A, este perpendicular ă pe d  şi este concurentă cu d. 

Numim pe e  perpendiculara din  A  pe d   care este concurentă  cu d .Punctul (unic) de intersecţie  A′   al dreptei d   cu e  se numeşte piciorulperpendicularei  din  A  pe d . În general, punctul în care o dreaptă perpendicular ă  pe un plan intersectează  planul se numeşte piciorulperpendicularei. A se vedea fig. 1.126.

Page 92: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 92/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

86  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Fig. 1.126

Teoremă.  Fie d  o dreaptă şi  A un punct în spaţiu. Există o infinitate de drepte caretrec prin  A  şi sunt perpendiculare pe d. Toate aceste drepte suntcoplanare, găsindu-se într-un plan α  normal la d . Anume, dacă  A d ∉ , α  este planul normal la d  în  A′  = piciorul perpendicularei din A pe d , iar dacă  A d ∈ , α  este planul normal la d  în A.

 În ce priveşte construcţia planelor perpendiculare pe un plan dat, rezultatulfundamental este următoarea

Teoremă.  Fie α  şi β  două plane. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. α ⊥ β  

2. Există o dreaptă d  cu proprietăţile: d  ⊂ β  şi d  ⊥ α   (adică  β  conţine odreaptă perpendicular ă pe α )

3. Există o dreaptă e  cu proprietăţile: e   α ⊂  şi e   β ⊥   (adică  α   conţine odreaptă perpendicular ă pe β ).

Teorema este ilustrată  în fig. 1.127, unde dreapta d  este perpendicular ă pe planul α  şi este inclusă în planul β  (deci β ⊥ α ).

Fig. 1.127

 Avem următoarele consecinţe ale acestei teoremeTeoremă.  Fiind dat un plan α  şi un punct A, există o infinitate de plane α  care sunt

perpendiculare pe α   şi trec prin  A (sunt toate planele care conţinperpendiculara din A pe α ). A se vedea fig. 1.127.

Teoremă.  Fiind date o dreaptă d şi un plan α , avem următoarele rezultate:1. Dacă  d  ⊥ α , există  o infinitate de plane β   cu proprietăţile: β ⊥ α   şi

d β ⊃  (v. fig. 1.127)

2. Dacă  d   nu este perpendicular ă  pe α , există  un plan unic β   cuproprietăţile β ⊥ α  şi d β ⊃   (este planul determinat de dreapta d  şi oriceperpendicular ă  p dusă dintr-un punct A al lui d  pe planul α , v. fig. 1.128 )

Page 93: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 93/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 87 

Fig. 1.128

 Încheiem această  parte dedicată  primelor noţiuni cu teorema celor treiperpendiculare şi reciprocele sale (v. fig. 1.129).

Fig. 1.129

Teorema celor trei perpendiculare.Fie α  un plan şi d  o perpendicular ă pe α  (d  este prima perpendicular ă)cu piciorul O. Se consider ă o dreaptă a situată în planul α  care trece prinO. Fie şi b  o dreaptă  situată  în planul α , b a⊥   (b  este a douaperpendicular ă). Notăm cu U  punctul de intersecţie al dreptelor a şi b.

 Atunci, pentru orice punct M d ∈ , rezultă  că  MU b⊥   (MU   este a treia

perpendicular ă).

Prima reciprocă a teoremei celor trei perpendiculare.

Fie α   un plan şi d o perpendicular ă  pe α   cu piciorul O. Fie a ⊂ α   odreaptă care trece prin O. Fie şi b ⊂ α  altă dreaptă care intersectează pea  în U . Să  presupunem că  există  un punct M d ∈   cu proprietatea că MU b⊥ . Atunci a b⊥ .

A doua reciprocă a teoremei celor trei perpendiculare

Fie α   un plan şi a, b  două  drepte perpendiculare situate în α , care seintersectează în punctul U .

Fie şi d   o dreaptă  incidentă  cu planul α   care este concurentă  cu a  înpunctul O ∈ α .

Se presupune că  d a⊥ . Se mai presupune că  există  M d ∈   cuproprietatea că  .MU b⊥  

 Atunci d  ⊥ α .

Page 94: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 94/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

88  Proiectul pentru Învăţământ Rural

B. Proiecţii. Distanţe.

Un punct se poate proiecta pe un plan sau pe o dreaptă.

Definiţie.  Fie  A  un punct şi α   un plan în spaţiul S. Proiecţia lui  A  pe α   estepunctul  A′  obţinut astfel: – dacă   A ∉ α , atunci  A′  este piciorul perpendicularei din A pe α ;

 – dacă  A ∈ α , atunci  A A′ = .

Similar, dăm următoarea

Definiţie.  Fie A un punct şi d  o dreaptă. Proiecţia lui A pe d  este punctul  A′  obţinutastfel: – dacă  A d ∉ , atunci  A′  este piciorul perpendicularei din A pe d ;

 – dacă  A d ∈ , atunci  A A′ = .

Observaţie.  Definiţia proiecţiei unui punct pe o dreaptă  este, de fapt, o noţiune degeometrie plană! Într-adevăr, întreaga procedur ă  are loc în planul

determinat de dreapta d şi punctul A (dacă  A d ∉ ).Dacă  A d ∈  chestiunea devine banală.

 Acum putem proiecta o întreagă figur ă geometrică.

Definiţie.  Fie Γ   o figur ă  geometrică  şi fie α   un plan (respectiv d   o dreaptă).Proiecţia lui Γ   pe α   (respectiv pe d ) este totalitatea proiecţiilor tuturorpunctelor din Γ  peα  (respectiv pe d ).

Proiecţia unei drepte d pe un plan α   este o dreaptă  (dacă  d   nu esteperpendicular ă pe α ) sau un punct (dacă d  ⊥ α ).

Temă practică. Cititorul este invitat să facă figurile adecvate pentru justificarea afirmaţiilorde mai sus.

Cu ajutorul proiecţiilor, putem determina distanţa de la un punct la odreaptă sau la un plan.

Definiţie. Fie α  un plan respectiv d  o dreaptă şi A un punct. Distanţa de la punctul

 A  la planul α   ( respectiv la dreapta d ) este lungimea segmentului  AA',unde A' este proiecţia lui A pe α  (respectiv d ).

Motivul pentru care s-a dat această  definiţie este un argument deminimalitate. Mai precis:

 Întâi să  luăm un punct  A şi un plan α . Dacă   A ∈ α , este normal să spunem că distanţa de la A la α  este nulă.

Dacă  A ∉ α (fig. 1.130), se poate demonstra următorul fapt:

Fig. 130

Page 95: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 95/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 89 

Teoremă.  Dacă  A' este proiecţia lui  A  pe planul α , atunci, pentru orice alt punctB ∈ α , avem  AB AA′> (spunem că  proiecţia unui punct  A pe un plan α  este cel mai apropiat de A punct din α ).

Similar, să  luăm un punct  A şi o dreaptă d . Dacă  A d ∈ , este normal să spunem că distanţa de la A la d  este nulă. Dacă  A d ∉ (fig. 1.131) se poate

demonstra următorul faptTeoremă. Dacă  A′  este piciorul perpendicularei din  A pe d , atunci, pentru orice alt

punct B d ∈ , avem  AB AA′>   (spunem că  proiecţia unui punct  A  pe odreaptă d  este cel mai apropiat de A punct din d ).

Fig. 1.131

Putem defini şi distanţa între figuri geometrice. Evident, dacă  figurilerespective au puncte comune, vom spune că distanţa între ele este nulă.

Definim, în continuare, câteva tipuri de distanţe între figuri geometrice carenu au puncte comune.

Definiţie.  Distanţa între două plane paralele α  şi β  (fig. 1.132) este un număr strictpozitiv obţinut astfel:

Se ia un punct arbitrar  A ∈ α , se notează  cu  A′   proiecţia lui  A  pe β .

Distanţa între α  şi β  este AA'.(Definiţia nu depinde de felul cum se alege  A ∈ α . Se poate porni cu unpunct B ∈β  care se proiectează  în B′ ∈ β  şi BB′  este distanţa între α  şiβ , adică  ' 'BB AA= ).

Fig. 1.132

Definiţie.  Distanţa dintre un plan α  şi o dreaptă d  paralelă cu α  (fig. 1.133) este unnumăr strict pozitiv care se obţine astfel:

Se ia un punct arbitrar  A d ∈ , se notează  cu  A′   proiecţia lui  A  pe α .Distanţa între α  şi d  este AA'.

(Definiţia nu depinde de felul cum se alege  A d ∈ ).

Page 96: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 96/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

90  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Fig. 1.133

 Încheiem cu distanţa între două drepte care nu se intersectează. Elepot fi paralele sau necoplanare.

Definiţie. Distanţa între două drepte paralele d  şi e (fig. 1.134) este un număr strictpozitiv care se obţine astfel:

Se ia un punct  A d ∈  şi se notează cu  A′  proiecţia lui pe e. Distanţa întred  şi e este AA'.

(Definiţia nu depinde de felul cum se alege  A d ∈ . Se poate porni cuB e∈ , se proiectează B în B' pe d şi distanţa între d  şi e este BB′ ).

Fig. 1.134

Distanţa între două  drepte necoplanare  se defineşte mult mai greu.Pentru a ajunge la această  distanţă, vom face o construcţie specială  şivom defini un nou concept.

Teoremă. Fie a şi b două  drepte necoplanare. Există  o dreaptă  d unică  avândurmătoarele proprietăţii) d  este concurentă şi cu a şi cu b (adică  ,d a d b∩ ≠ ∅ ∩ ≠ ∅ )

ii) d  este perpendicular ă şi pe a şi pe b (adică  ,d a d b⊥ ⊥ ).

Dreapta d  se numeşte perpendiculara comună a dreptelor a şi b.

Vom da construcţia perpendicularei comune a dreptelor a şi b (v. fig. 1.135a) şi b))

Fig. 1.135

 În primă instanţă (fig. 1.135 a)) construim un plan α  care include pe a şieste paralel cu b. Planul α  poate fi construit astfel: se ia un punct P a∈ ,

Page 97: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 97/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 91 

se construieşte dreapta b′   care satisface condiţiile P b′∈   şi b b′   şiatunciα  este planul determinat de a şi b′ .

 Apoi construim planul β  care include dreapta a şi este perpendicular peplanul α  după cum urmează: construim unica dreaptă c  care trece prin P  şi este perpendicular ă pe planul α  şi atunci β  este planul determinat de c  

şi a. În secundă instanţă (fig. 1.135 b)) se arată că b este incidentă pe planul β  şi notăm cu M   punctul de intersecţie dintre b şi β . Notăm cu d unicaparalelă dusă prin M la c  şi d este dreapta căutată.

 În fig. 1.135. b), d = MN  (N d a∈ ∩ ).

Cu ajutorul perpendicularei comune, putem defini distanţa între două drepte necoplanare.

Definiţie.  Fie a  şi b  două  drepte necoplanare. Perpendiculara lor comună  d seintersectează cu a în A şi cu b în B.

Prin definiţie, distanţa între dreptele necoplanare a şi b este numărul (strictpozitiv) AB.

 Acest mod de definire este şi el bazat pe un argument de minimalitate. Anume, se demonstrează următoarea:

Teoremă. Fie a şi b două drepte necoplanare şi d  perpendiculara lor comună careintersectează pe a în A şi pe b în B. Atunci, dacă  A a′ ∈  şi B b′ ∈ sunt puncte astfel încât  A A′≠   sau B B′≠ ,avem  A B AB′ ′ >  (se spune că perpendiculara comună realizează cea maimică distanţă între cele două drepte).

C. Unghiuri în spaţiu Începem cu definirea unghiului a două drepte (semidrepte) în spaţiu).

Fie d  şi e două drepte.

Dacă  d e  sau d e= , spunem că d  şi e fac între ele un unghi nul (saucă unghiul lor este nul).

Dacă  d  şi e sunt concurente, unghiul lor se defineşte în acelaşi mod încare am definit unghiul a două  drepte în plan (deoarece d   şi e  suntcoplanare şi totul se poate măsura în planul determinat de ele).

 În fine, dacă d şi e sunt necoplanare, se consider ă un punct oarecare M  alspaţiului S, se duc prin M  dreptele d ′  (paralelă în sens generalizat cu d )

Fig. 1.136

şi e′ ( paralelă  în sens generalizat cu e). Atunci (fig. 1.136) se consider ă 

acela dintre cele patru unghiuri formate (două  câte două  opuse la vârf)care are măsura mai mică  (adică  este ascuţit sau drept) şi această măsur ă este măsura unghiului format de dreptele d  şi e.

Page 98: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 98/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

92  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Definiţia nu depinde de punctul M ales, furnizând aceeaşi valoare pentruunghiul format de d  şi e.

Observaţie.  Dacă d şi e sunt perpendiculare (în sensul definiţiei anterioare), cele patruunghiuri formate în M ′  sunt drepte şi regăsim cu noua definiţie faptul că 

unghiul format de d  şi e are măsura egală cu 90 (sau

2

πrad).

Rezumând, putem da următoarea:

Definiţie.  Unghiul a două drepte d  şi e are măsura egală cu măsura „celui mai mic”unghi f ăcut de două paralele în sens generalizat la d  şi e care sunt duseprintr-un punct oarecare al spaţiului.

Dacă d  şi e sunt semidrepte în spaţiu, construcţii asemănătoare conduc ladeterminarea unghiului format de d  şi e. Trebuie să fim atenţi la „păstrareasensului” (nu intr ăm în amănunte) şi atunci putem găsi şi unghiuriobtuze formate cu două semidrepte (v. fig. 1.137).

Fig. 1.137

Continuăm cu unghiul a două plane (semiplane) – unghi diedru.

Consider ăm două plane α  şi  β  .

Dacă  α β   sau α = β , vom spune că  α  şi β   fac între ele unghiul nul (sau că unghiul lor este nul).

Dacă  α  şi β  sunt distincte şi nu sunt paralele, să notăm cu d dreapta lorcomună. Luăm un punct M d ∈ (fig. 1.138 a)) şi ducem în planul α  perpendiculara a pe d şi în planulβ  perpendiculara b pe d . Atunci, unghiulplanelor α  şi β  este, prin definiţie, unghiul dreptelor a şi b.

Definiţia nu depinde de alegerea lui M  pe d , furnizând aceeaşi valoare amăsurii unghiului planelor.

Fig. 1.138

Luând numai semiplane (fig. 1.138),obţinem figura numită  diedru  (sauunghi diedru). Măsura unui unghi diedru este măsura unghiului format de

semidreptele a  şi b, perpendiculare pe d   din figur ă  (poate fi şi unghiobtuz).

Page 99: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 99/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 93 

Rezumând, avem următoarea:

Definiţie.  Unghiul a două  plane este unghiul format de cele două  perpendiculareduse pe dreapta lor comună  într-un punct al ei şi care sunt conţinute încele două plane.

Observaţie.  Dacă  planele sunt perpendiculare (în sensul definiţiei anterioare),

constatăm că „noua” definiţie coincide cu„vechea” definiţie. Anume, în acest caz unghiul celor două  plane are

măsura de 90  (sau2

π rad).

Să discutăm şi despre unghiul f ăcut de o dreaptă cu un plan.

Definiţie.  Fie o dreaptă d  şi un plan α .Dacă  d  ⊂ α  sau d    α , spunem că d şi α  fac între ele unghiul nul (saucă unghiul lor este nul).

Dacă  d este incidentă  cu α   (fig. 1.139), unghiul f ăcut de d   cu α   se

defineşte astfel: – Dacă  d  ⊥ α (în sensul definiţiei anterioare) spunem că d şi α   fac întreele un unghi drept (fig. 1.139 a)).

 – Dacă d  nu este perpendicular ă pe α , fie A punctul de intersecţie al lui dcu α . Consider ăm un punct oarecare ,M d M A∈ ≠   şi proiecţia sa M ′  pe

α . Atunci, prin definiţie, unghiul f ăcut de d  cu α  este unghiul MAM ′   (fig.1.139 b)).

Prin urmare, unghiul f ăcut de dreapta d cu planul α  este, de fapt, unghiulf ăcut de dreapta d cu proiecţia sa în planul α , care este dreapta  AM ′ .

(Definiţia nu depinde de alegerea lui M  pe d , obţinând acelaşi unghi pentrutoate alegerile posibile).

Fig. 1.139

Observaţie.  Şi această definiţie este dată pe baza unor considerente de minimalitate. Anume, avem următoarea

Teoremă.  Se consider ă  un plan α   şi o dreaptă  d   incidentă  cu α   care nu esteperpendicular ă  pe α . Atunci, unghiul f ăcut de dreapta d   cu α   areproprietatea că are cea mai mică măsur ă dintre toate unghiurile f ăcute ded  cu o dreaptă oarecare din planul α .

Legăm cele prezentate până acum de probleme de măsurare.

Page 100: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 100/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

94  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Teorema de măsurare a proiecţiei

I. Fie o dreaptă d  şi A, B puncte coplanare cu d  (fig. 1.140 a)). Consider ămproiecţia  A′   a lui  A  pe d şi proiecţia B′   a lui B  pe d . Avem relaţia

cos A B AB u′ ′ = , unde u  este unghiul f ăcut de dreapta  AB  cu d . Înparticular, dacă  AB d ⊥ , avem 0 A B′ ′ =  (adică  A B′ ′= ).

II.1. Fie un plan α   şi  A, B  puncte în spaţiu (fig. 1.140 b)). Consider ămproiecţia  A′  a lui A pe α  şi proiecţia B′a lui B pe α .

 Avem relaţia cos A B AB u′ ′ =  unde u este unghiul f ăcut de dreapta  AB cuα .

 În particular, dacă  AB ⊥ α , avem  A B′ ′= .

2.  Fie un plan α   şi un alt plan β . Se consider ă  în planul β   o figur ă geometrică  Σ   care are arie. Fie ′Σ   proiecţia lui Σ   pe α   (fig. 1.140 c)).

 Avem formula:

( ) ( )aria aria cos t ′Σ = Σ unde t este unghiul f ăcut de planele α  şi β .

Fig. 1.140

Page 101: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 101/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 95 

Test de autoevaluare 8

1. Se consider ă  un plan α   şi două  drepte perpendiculare d   şi e, astfel încât d   α   şi  e nu este perpendicular ă  pe α . Fie d ′   (respectiv e′ )proiecţiile lui d   (respectiv e) pe α .

 se arate că d e′ ′

⊥.

2. Fie un plan α , un punct O ∈ αşi d  normala la α  în punctul O. Fie şi A,

B două puncte în α cu proprietatea că  0OA OB= > .

Să se arate că pentru orice punct M d ∈ , dreptele MA şi MB fac unghiuricongruente cu planul α .

Răspunsurile la acest test se găsesc la pagina 133 a acestei unităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuarea

Page 102: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 102/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

96  Proiectul pentru Învăţământ Rural

1.3.3. Poliedre. Piramida, tetraedrul, prisma, paralelipipedul

A. Poliedre

 În plan am vorbit despre poligoane, considerându-le în două moduri: calinie poligonală sau ca suprafaţă poligonală.

Vom încerca să facem aceeaşi discuţie nuanţată şi în spaţiu. Aici noţiuneafundamentală este noţiunea de poliedru. Vom considera poliedrul din treipuncte de vedere: ca linie poliedrală  („dimensiunea” sa este 1), casuprafaţă  poliedrală  („dimensiunea” sa este 2) şi ca volum poliedral (sau corp poliedral) („dimensiunea” sa este 3). Dacă  va reieşi dincontext, vom spune simplu „poliedru”, în loc de a spune „suprafaţă poliedrală” sau „corp poliedral” etc.

Definiţia primordială se refer ă la suprafeţele poliedrale.

Definiţie.  O suprafaţă  poliedrală  este o reuniune finită  de suprafeţe poligonale

(numite feţele poliedrului) în spaţiul S, ale căror laturi se numescmuchiile poliedrului şi ale căror vârfuri se numesc vârfurile poliedrului,supuse la următoarele condiţii (vom nota poliedrul cu 1 2.... n A A A , unde

i  A  

sunt vârfurile sale):(i) Vârfurile 1 2.... n

 A A A  nu sunt coplanare (deci 4n ≥ ).

(ii) Două  feţe diferite nu sunt coplanare şi, dacă  au intersecţia nevidă,atunci această  intersecţie este formată  dintr-un vârf sau dintr-o muchiecomună celor două feţe.

(iii) Orice două  vârfuri pot fi unite printr-o linie poligonală  normală  careeste reuniunea unui număr finit de muchii ale poliedrului.

(iv) Pentru orice vârf A al poliedrului, există un număr 3n ≥ cu proprietateaurmătoare: există exact n feţe şi n muchii care conţin pe A şi, în plus, dacă cele n feţe care îl conţin pe A sunt notate 1 2, ,...

nα α α , atunci cele n muchii

care îl conţin pe  A pot fi notate 12 23 1 1, ,... ,n n na a a a a a− , astfel încât 12a  este

muchie comună  pentru 1α   şi 2α , 23a  este muchie comună  pentru 2α  şi

3α ...,1n n

a a− este muchie comună pentru 1n−α  şin

α , iar 1na a  este muchie

comună pentrunα   şi 1α .

Dacă, în plus, se verifică şi proprietatea

(v) Pentru orice faţă, toate vârfurile care nu apar ţin acelei feţe se află  înacelaşi semispaţiu generat de planul feţei respective, atunci poliedrul senumeşte convex.

 În acest caz, privit ca un corp poliedral, poliedrul este o mulţime convexă  în spaţiu. Tot în acest caz, intersecţia tuturor semispaţiilor deschisegenerate de planele feţelor poliedrului, semispaţii care au şi proprietateade a conţine, fiecare, cel puţin un vârf al poliedrului, se numeşte interiorulpoliedrului.

Poliedrele se numesc, în general, după numărul feţelor lor, cu denumirile

numerelor în limba greacă: tetraedru  (4 feţe), pentaedru  (5 feţe),hexaedru  (6 feţe), heptaedru  (7 feţe), octaedru  (8 feţe), decaedru  (10feţe), dodecaedru (12 feţe), icosaedru (20 feţe).

Page 103: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 103/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 97 

 În general, un poliedru cu n feţe se numeşte n - edru (evident, 4n ≥ ).

Teoremă.  Pentru orice 4n ≥  există un n – edru convex.

 Acest lucru se poate vedea astfel (v. fig. 1.141)

Fig. 1.141

Consider ăm un poligon convex plan cu n – 1 laturi 1 2 1...n A A A − . Consider ăm

şi un punct V   din spaţiu, care nu este coplanar cu 1 2 1... n A A A − . Atunci,poliedrul convex 1 2 1...

nVA A A − (Atenţie! Cititorul este invitat să  verifice

proprietăţile (i), (ii)...(v)) este un n – edru convex. Acest tip de poliedru senumeşte piramidă (vom reveni).

 În fig. 1.142 avem un tetraedru. (este o piramidă particular ă cu „baza“ untriunghi; aici n = 4).

Se poate ar ăta că orice tetraedru este convex.

Fig. 1.142

 În fig. 1.143 a) şi b) avem două hexaedre convexe. Anume, la 1.143 a)avem un paralelipiped drept (vom reveni), iar la fig. 1.143 b) avem o

piramidă pentagonală.

Fig. 1.143

 În fig. 1.144 avem un poliedru care nu este convex.

Page 104: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 104/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

98  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Fig. 1.144

 În fig. 1.145, figura  ABCUVA B C U V ′ ′ ′ ′ ′  nu este poliedru. Într-adevăr, dinvârful  A  pornesc „muchiile”  AB, AU, AV,  AC, şi  AA'   (în număr de 5). Înacelaşi timp, „vârful ”  A apar ţine „feţelor”  ABC, ABU, AUV, AVC, ABA'B', ACA'C' (în număr de 6). Axioma (iv) nu este respectată! Cititorul va înţelege mai bine fig. 1.145 gândind figura  AUVA'U'V' ca „interioar ă” figurii ABCA'B'C' .

Fig. 1.145

 În legătur ă  cu poliedrele convexe, avem următoarea teoremă fundamentală 

Relaţia lui Euler asupra poliedrelor convexe. Într-un poliedru convex, să notăm:V  = numărul vârfurilor

M  = numărul muchiilor

F  = numărul feţelor

 Atunci avem formula:

V + F  = M + 2.

Să verificăm relaţia lui Euler pentru hexaedrele de la fig. 1.143.

Pentru paralelipipedul de la fig. 1.143 a), avem:

V  = 8, M  = 12, F  = 6,

V + F  = 8 + 6 = 14 = 12 + 2 = M  + 2.

Page 105: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 105/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 99 

Pentru piramida pentagonală de la 1. 143 b), avem:

V  = 6, M  = 10, F  = 6

V + F  = 6 + 6 = 12 = 10 + 2 = M  + 2

Pentru fig. 1.145, unde nu avem un poliedru convex, cititorul poate face unefort de atenţie, numărând „vârfurile”, „muchiile” şi „feţele”, după  cum

urmează:a) „Vârfurile ” sunt: A, B, C, U, V, A', B', C' , U', V'.

V  = 10

b) „Muchiile” sunt:

 AB, AC, AU, AV, AA' ;

BC, BU, BB' ;

CV, CC' ;

UV, UU' ;

VV'.

 A'B', A'U', A'V', A'C' ;

B'C', B'U' ;

C'V' ;

U'V'.

M  = 21

c) „Feţele” sunt:

 ABC , , , , A B C ABA B ACA C BCB C ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ;, , , , AUV A U V AUA U AVA V UVU V ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ;

, , AUB AVC UVBC ;

, , A U B A V C U V B C ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ;

,UU BB VV CC  ′ ′ ′ ′ .

F  = 18.

 Atunci: V + F  = 10 + 18 = 28 ≠ 23 = M  + 2.

 În acest caz, „relaţia lui Euler” nu se verifică (deoarece figura geometrică  ABCUVA B C U V ′ ′ ′ ′ nu este poliedru convex).

Poliedre regulate

 Am văzut că în plan există poligoane regulate cu un număr oarecare n delaturi ( 3n ≥ ).

Să  vedem la ce revine aceasta în spaţiu. Analogul poligonului în spaţiueste, în mod natural, poliedrul. Să definim poliedrul regulat.

Definiţie.  Un poliedru convex se numeşte poliedru regulat  dacă  toate feţele salesunt poligoane regulate, cu acelaşi număr 3n ≥  de laturi şi în fiecare vârf

se intersectează acelaşi număr 3k  ≥  de feţe.De exemplu, un cub (v. fig. 1.143 a)) este un hexaedru cu toate feţelepătrate, deci este poliedru regulat.

Page 106: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 106/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

100  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Vom ar ăta în continuare, folosind relaţia lui Euler, că  există  numai 5tipuri de poliedre regulate, ceea ce reprezintă o mare deosebire faţă deplan. Acest rezultat era cunoscut de Platon.

Teoremă. Există numai 5 tipuri de poliedre regulate: tetraedrul regulat (4 feţe caresunt triunghiuri echilaterale), cubul = hexaedrul regulat (6 feţe care suntpătrate), octaedrul regulat  (8 feţe care sunt triunghiuri echilaterale),dodecaedrul regulat (12 feţe care sunt pentagoane regulate), icosaedrul (20 feţe care sunt triunghiuri echilaterale).

Demonstraţ ie.  De fapt, putem ar ăta mai mult: există  numai 5 tipuricombinatoriale de poliedre convexe ale căror feţe sunt poligoane cuacelaşi număr 3n ≥   de laturi şi cu proprietatea că  în fiecare vârf seintersectează acelaşi număr 3k  ≥  de feţe.

(Înainte de a trece mai departe, cititorul va observa că în fig. 1.143 a) şi b)avem hexaedre care nu sunt de acelaşi tip combinatorial: pentruparalelipipedul de la a), feţele sunt toate patrulatere şi în fiecare vârf seintersectează  3 feţe; pentru piramida pentagonală  de la b), 5 feţe sunttriunghiuri şi, 1 faţă este pentagon, iar în vârf se intersectează 5 feţe, pecând în fiecare vârf de la bază se intersectează câte 3 feţe).

Revenim la demonstraţie. Consider ăm numărul feţelor F  ca bază de lucru.Deoarece fiecare muchie mărgineşte câte 2 feţe, şi avem n  laturi,

 înseamnă că o faţă este numărată de n ori, combinată cu altă faţă, pentrua da toate muchiile, deci:

2

nF M  = .

Deoarece în fiecare vârf se intersectează  k   feţe, rezultă  că  fiecare faţă 

apare de n ori, combinată cu alte k  – 1 feţe, pentru a da toate vârfurile,

decinF 

V k 

= .

Relaţia lui Euler devine:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

2 2 2 2 42

2 2 4 4 2 2 4

4

4 2 2

nF nF  V F M F nF kF nkF k  

F n k nk k F k n k  

k F 

k n

+ = + ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔

⇔ + − = ⇔ − − − = ⇔

⇔ =

− − −

  (∗ )

 Aşadar, trebuie să avem:

( ) ( )2 2 4k n− − <   (∗∗ )

Relaţia (∗ ∗ ) se poate realiza în următoarele 5 moduri (vom folosi şi (∗ ))

m1):4 3

2 1, 2 1 3, 3 4,4 1

k n k n F    ⋅

− = − = ⇔ = = ⇒ = =−

3 46

2 2

nF M 

  ⋅= = =   şi

3 44

3

nF V 

⋅= = = .

 Am obţinut tetraedrul regulat (v. fig. 1.142).

Page 107: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 107/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 101 

m2):4 3

2 1, 2 2 3, 4 6,4 2

k n k n F    ⋅

− = − = ⇔ = = ⇒ = =−

 4 6

122 2

nF M 

  ⋅= = =  

şi4 6

83

nF V 

⋅= = = .

 Am obţinut hexaedrul regulat (cubul) (v. fig. 1.143 a)).

m3): 4 32 1, 2 3 3, 5 12,4 3

k n k n F    ⋅− = − = ⇔ = = ⇒ = =−

 

5 1230

2 2

nF M 

  ⋅= = =  şi

5 1220

3

nF V 

⋅= = = .

 Am obţinut dodecaedrul regulat (desenul este dificil).

m4):4 4

2 2, 2 1 4, 3 8,4 2

k n k n F    ⋅

− = − = ⇔ = = ⇒ = =−

 3 8

122 2

nF M 

  ⋅= = = ,

3 86

4

nF V 

⋅= = = . Am ob

ţinut octoedrul regulat (v. fig. 1.146)

Fig. 1.146

m5):4 5

2 3, 2 1 5, 3 20,4 3

k n k n F    ⋅

− = − = ⇔ = = ⇒ = =−

 

3 2030

2 2

nF M 

  ⋅= = = ,

3 2012

5

nF V 

⋅= = = .

 Am obţinut icosaedrul regulat (desenul este dificil).  

 În continuare, vom studia poliedrele uzuale.

B. Piramida. Tetraedrul.

B1. Piramida, tetraedrul şi trunchiul de piramidă 

Definiţie.  Se consider ă un plan α , un punct V  din spaţiu astfel încât V  ∉ α . În planulα se consider ă  linia poligonala închisă  normală 1 2 3... n

 A A A A . Poliedrul

1 2 3... nVA A A A  se numeşte piramidă (v. fig. 1.147).

Poligonul 1 2 3... n A A A A se numeşte baza piramidei, punctul V   se numeşte

vârful piramidei, iar segmentele

1 2, ,...

nVA VA VA  se numesc

muchiilepiramidei. Segmentul [ ]VA′  )unde ,VA A′ ′⊥ α ∈ α ) se numeşte  înălţimea

Page 108: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 108/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

102  Proiectul pentru Învăţământ Rural

piramidei. De asemenea, se obişnuieşte ca şi lungimea VA′  să fie numită  înălţime a piramidei.

 În cazul particular când n = 3, deci baza piramidei este un triunghi (v. fig.1.142), piramida se numeşte tetraedru.

Atenţie.  Privind piramida ca suprafaţă poliedrală sau ca volum poliedral, avem, în

plus, următoarele denumiri: suprafaţa poligonală  1 2 3... n A A A A se numeşte(din nou!) baza piramidei, iar suprafeţele triunghiulare 1 2VA A ,

2 3 1 1, ..., ,n n n

VA A VA A VA A−  se numesc feţele laterale ale piramidei.

Reţineţi! Notaţia standard pentru piramide: când scriem 1 2 3... nVA A A A , înţelegem

că V  este vârful iar 1 2 3... n A A A A  este poligonul de bază.

Să  mai observăm că, în conformitate cu cele spuse pentru poliedre îngeneral, punctele 1 2, , ,...

nV A A A sunt, toate, vârfuri ale poliedrului

1 2 3... nVA A A A !

 În definiţiile noastre, am acordat un statut privilegiat lui V , pe care l-am

numit vârful piramidei.

Remarcăm că  dacă  avem un tetraedru, atunci şi feţele laterale pot fiprivite ca baze  (spunem că  toate feţele unui tetraedru pot fi privite cabaze). Tetraedrul este analogul triunghiului în spaţiu şi este cel maisimplu poliedru.

Piramidele se denumesc după  tipul poligonului de bază: piramidă triunghiular ă  (dacă  1 2 3 1 2 3...

n A A A A A A A=   este triunghi), piramide

patrulatere, piramide pentagonale, hexagonale etc. (Piramideletriunghiulare sunt tetraedre.)

Observaţie privind convexitatea.  Dacă  poligonul de bază  1 2 3... n A A A A   este convex,

piramida 1 2 3... nVA A A A este poliedru convex.

 În particular, un tetraedru este poliedru convex.

Fig. 1.147

Definiţie.  O piramidă  1 2 3... nVA A A A   care are baza 1 2 3... n

 A A A A un poligon regulat şi

pentru care piciorul  A′   al înălţimii piramidei coincide cu centrul cerculuicircumscris lui 1 2 3... n

 A A A A  se numeşte piramidă regulată.

Rezultă  că  pentru o piramidă  regulată  1 2 3... nVA A A A , feţele laterale sunt

triunghiuri isoscele congruente, v. fig. 1.148:

Page 109: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 109/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 103 

Fig. 1.148

 În cazul particular când n = 3, avem piramida regulată  1 2 3VA A A , cu

1 2 3 A A A triunghi echilateral. Triunghiurile 1 2VA A , 2 3VA A , 3 1VA A sunt isoscele.

Dacă ele sunt chiar echilaterale, piramida 1 2 3VA A A  se numeşte tetraedru

regulat (este un poliedru regulat). Aşadar, avem următoarea:

Definiţie.  Se numeşte tetraedru regulat  un tetraedru care are toate feţeletriunghiuri echilaterale congruente.

Exerciţiu.  Se consider ă un tetraedru regulat cu muchiile de lungime egală cu 0a > .Să  calculăm înălţimea acestui tetraedru (evident, înălţimea poate ficonsiderată din orice vârf, lungimea fiind aceeaşi).

Fie ' AA   înălţimea dusă  din  A  (deci ' AA BCD⊥ , ' A BCD∈ ).  Pentru asoluţiona problema, ducem în planul  BCD  dreapta  A M BD′   ⊥ , M BD∈ .Deoarece avem  AA BCD′ ⊥   şi  A M BD′   ⊥ , obţinem că   AM BD⊥  (teorema celor 3 perpendiculare).

Deci  AM  este înălţime în triunghiul isoscel  ABD, M  este mijlocul lui BD. Atunci, A M ′ este perpendicular ă  pe BD  în mijlocul ei M , deci MA′   este

 înălţime în triunghiul BCD, deci C , ' A , D  sunt coliniare. Prin urmare:  A ,C , ' A , M  sunt coplanare în planul perpendicular pe BD în M , fig. 1.149.

Fig. 1.149 Acum „aducem problema în plan”, anume consider ăm figura plană  dinplanul  ACA′ , fig. 1.150.

Fig. 1.150

Page 110: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 110/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

104  Proiectul pentru Învăţământ Rural

 Avem AC = a, iar CM = MA = înălţimea triunghiului echilateral de latur ă a,deci:

Reţineţi! 3

2

aCM MA= = ;

2 2 3 3

3 3 2 3

aCA CM a′ = = ⋅ = .

 În triunghiul dreptunghic  ACA′avem

22 2 2 2 22

3 3

a AA AC CA a a′ ′= − = − = .

Prin urmare, r ăspunsul cerut este:

 Înălţimea2

3 AA a′ = .

Aria (laterală şi totală) şi volumul piramidei

Consider ăm piramida 1 2 3... nVA A A A  din fig. 1.147.

Aria laterală a lui 1 2 3... nVA A A A  este:

( ) ( ) ( )1

1 2 1 11

...n

l n i i ni 

S VA A A S VA A S VA A−

+=

= +∑ .

Aria totală a lui 1 2 3... nVA A A A  este:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2... ... ...t n l n nS VA A A S VA A A S A A A= +  

unde ( )1 2... nS A A A = aria suprafeţei poligonale 1 2 3... n A A A A .

 Înainte de a calcula volumul unei piramide, să vedem care sunt unităţile demăsur ă pentru volum.

Unitatea de măsur ă pentru volum este metrul cub, notată m3.

Un metru cub = 1m3 este volumul unui cub care are muchia de 1m.

Submultiplii metrului cub sunt:

 – Decimetrul cub (notat dm3): 1m3 = 1000dm3 (adică 1 metru cub = 1000decimetri cubi etc.)

 – Centimetrul cub (notat cm3): 1dm3 = 1000 cm3 

 – Milimetrul cub (notat mm3): 1cm3 = 1000mm3 

Multiplii metrului cub sunt:

 – Decametrul cub (notat dam3): 1dam3 = 1000m3 

 – Hectometrul cub (notat hm3): 1hm3 = 1000dam3 

 – Kilometrul cub (notat km3): 1km3 = 1000hm3 

Pentru calculul volumului unei piramide, enunţăm următoarea

Teoremă.  Volumul unei piramide este o treime din produsul ariei bazei piramidei cu înălţimea. Adică, dacă  Vol( 1 2 3... n

VA A A A ) este volumul piramidei

1 2 3... nVA A A A  şi  AA′  este înălţimea sa, avem formula:

( )   ( )1 21 2 3

...Vol ...3

n

n

S A A A AAVA A A A ′⋅= .

Page 111: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 111/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 105 

Aplicaţie.  Să calculăm volumul tetraedrului regulat de muchie a. Volumul cerut este obţinut astfel:

aria bazei înălţimeaVolumul

3

⋅=  

 Aria bazei = aria unui triunghi echilateral de latur ă a =2

3

322 4

aa

a⋅

= .

 Înălţimea tetraedrului regulat este, cum am văzut, egală  cu2

3a , deci

volumul cerut este

Volumul =2 31 3 2 2

3 4 123

a a a⋅ ⋅ = .

Definiţie.  Se consider ă  o piramidă  1 2 3... nVA A A A . Un plan paralel cu baza

intersectează  segmentele (deschise!) ( ) ( ) ( )1 2, ,... nVA VA VA   în punctele

1 2... nB B B   respectiv. Poliedrul astfel obţinut 1 2 1 2... ...

n n A A A B B B se numeşte

trunchi de piramidă (v. fig. 1.151).Poligoanele 1 2... n

 A A A   şi 1 2... nB B B se numesc bazele  trunchiului de

piramidă, segmentele 1 1 2 2, ,...n n A B A B A B se numesc muchiile laterale ale

trunchiului de piramidă, segmentele 1 2 2 3 1 1, ... ,n n n

 A A A A A A A A−   şi 1 2B B ,

2 3B B , …, 1n nB B− , 1n

B B   (adică  laturile bazelor) se numesc muchiile

orizontale ale trunchiului de piramidă, iar distanţa între planele paraleleale bazelor (notată  în fig. 1.151 cu MN = h) se numeşte  înălţimea trunchiului de piramidă.

Reamintim că  distanţa între două  plane paralele α   şi β   este lungimeaoricărei perpendiculare comune cuprinse între cele două plane.

Fig. 1.151

Din nou, putem privi trunchiul de piramidă ca suprafaţă poliedrală sau cavolum poliedral: vom numi trapezele  (verificare!) 1 1i i i i   A A B B+ + ,

1,2,... 1i n= − , 1 1n n A A B B   feţele laterale ale trunchiului de piramidă, iar

suprafeţele poligonale 1 2... n A A A , 1 2... nB B B   (din nou) bazele trunchiului

de piramidă.

Notaţii şi denumiri standard. Un trunchi de piramidă se notează în forma de mai sus:

1 2... n A A A 1 2... nB B B  (adică se notează întâi o bază, apoi cealaltă bază). Deobicei, în situaţia din figur ă, se spune că  1 2... n A A A   este baza mare, iar

Page 112: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 112/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

106  Proiectul pentru Învăţământ Rural

1 2... nB B B  este baza mică şi în notaţie se începe cu baza mare (remarcaţi

analogia cu trapezul).

Observaţie.  Poligoanele de bază, adică  1 2... n A A A   şi 1 2... n

B B B   sunt asemenea  în

ordinea scrisă mai sus, adică:

1 1

1 1, 1,2... 1i i n

i i n

 A A A Ai nB B B B

++

= = −  şi

( ) 

( ), 1,2...i i m A m B i n= = .

Remarcă privind convexitatea.

Dacă una din baze este poligon convex (deci şi cealaltă!) atunci trunchiulde piramidă este poliedru convex.

Definiţie.  Un trunchi de piramidă  1 2... n A A A 1 2... n

B B B   se numeşte trunchi de

piramidă  regulat  dacă  poligoanele de bază  (bazele) sunt poligoaneregulate şi înălţimea piramidei din care provine trunchiul de conintersectează  cele două  baze în centrele cercurilor circumscrise lor. În

acest caz, feţele laterale sunt trapeze isoscele congruente.Aria (laterală şi totală) şi volumul trunchiului de piramidă 

Consider ăm trunchiul de piramidă din fig. 1.151.

Aria laterală a lui 1 2... n A A A 1 2... n

B B B  este:

( ) ( ) ( )1

1 2 1 2 1 11

... ...n

l n n i in in i n ni 

S A A A B B B S A A B B S A A B B−

=

= +∑ .

Aria totală a lui 1 2... n A A A 1 2... n

B B B  este:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2... ... ... ... ... ...t n n l n n n nS A A A B B B S A A A B B B S A A A S B B B= + + .Pentru a exprima volumul trunchiului de piramidă într-o formă mai uşor dereţinut, să notăm:

S = aria bazei mari, adică:

S = ( )1 2... nS A A A ;

s = aria bazei mici, adică:

s = ( )1 2... nS B B B .

Reamintim că înălţimea a fost notată cu h.Teoremă.  Volumul trunchiului de piramidă este dat de formula:

( )   ( )1 2 1 2Vol ... ...3n n

h A A A B B B S s Ss= + + .

Observaţie.  Formula de mai sus se obţine, evident, din formula (v. fig. 1.151)

Vol( 1 2... n A A A ) = Vol ( 1 2 3... nVA A A A ) – Vol ( 1 2... nVB B B ).

B2. Prisma, paralelipipedul

Definiţie.  Într-un plan α  consider ăm o linie poligonală închisă şi normală  1 2... n A A A .

Se duc prin 1 2, ,... n A A A dreptele 1 2, ,... nd d d  paralele între ele, care nu suntincluse în planul α .

Page 113: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 113/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 109 

 Aria laterală  a acestei prisme este suma ariilor feţelor laterale (formulaeste aceeaşi ca la trunchiul de piramidă).

 Aici, ţinând seama că  feţele laterale sunt paralelograme cu aceeaşi înălţime UV = p (v. fig. 1.152), avem şi formula:

( )1 2 1 2... ... periml n n

S A A A B B B p= ⋅ ,

unde perim = perimetrul bazei = 1 2 2 3 1 1...n n n

 A A A A A A A A−+ + + + .

 Aria totală este suma dintre aria laterală şi aria celor două baze, deci (celedouă baze sunt congruente!).

( )1 2 1 2... ...t n nS A A A B B B  = ( ) ( )1 2 1 2 1 2... ... 2 ...l n n nS A A A B B B S A A A+ .

Teoremă.  Volumul unei prisme este egal cu produsul dintre aria bazei şi înălţimeaprismei:

Vol( 1 2... n A A A 1 2... nB B B ) = Sh,

unde ( )1 2... nS S A A A= = aria bazei 1 2... n A A A . În particular, dacă  prisma noastr ă  este un paralelipiped dreptunghic cu„dimensiunile” a, b, c (adică  lungimile muchiilor care pornesc din acelaşivârf sunt a, b, c  (v. fig. 1.153 b)) unde din 1 A  pornesc 1 2 A A a= , 1 4 A A b=  

şi 1 1 A B c = , volumul său este:

Vol (paralelipiped dreptunghic) = abc .

Şi mai particular, rezultă că volumul unui cub de muchie a  (v. fig. 1.155)este:

Vol (cub de muchie a) =3

a .

Page 114: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 114/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

108  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Definiţie.  O prismă se numeşte regulată dacă este dreaptă şi poligoanele de bază 

1 2... n A A A  şi 1 2,... n

B B B  sunt poligoane regulate.

 În acest caz, feţele laterale sunt dreptunghiuri congruente.

Definiţie.  O prismă patrulater ă  1 2 3 4 1 2 3 4 A A A A B B B B  cu baza 1 2 3 4 A A A A  (sau 1 2 3 4B B B B )

paralelogram, se numeşte paralelipiped (v. fig. 1.153 a)).Un paralelipiped care are baza dreptunghi şi este prismă  dreaptă, senumeşte paralelipiped dreptunghic (v. fig. 1.153 b))

Fig. 1.153

Observaţii importante. 1°. La un paralelipiped, orice faţă poate fi luată ca bază.

2°. Un paralelipiped este dreptunghic dacă şi numai dacă toate feţele salesunt dreptunghiuri.

3 .   În virtutea lui 2 , la paralelipipede se folosesc şi alte notaţii. Deexemplu, în fig. 1.154 avem paralelipipedul  ABCDA B C D′ ′ ′ ′   (în loc deDCC D ABB A′ ′ ′ ′ )

Fig. 1.154

Definiţie.  Se numeşte cub un paralelipiped dreptunghic care are toate muchiileegale (echivalent, toate feţele sunt pătrate). Lungimea comună a muchiilorse numeşte muchia cubului (v. fig. 1.155)

Fig. 1.155Revenim la o prismă oarecare 1 2... n

 A A A 1 2... nB B B  (v. fig. 1.152).

Page 115: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 115/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 107 

Se consider ă  un alt plan, β , paralel cu α   şi diferit de α . Planul β  

intersectează dreptele 1 2, ,... nd d d  respectiv în 1 2,... nB B B .

Poliedrul astfel obţinut 1 2... n A A A 1 2... nB B B se numeşte prismă. (v. fig. 1.152).

Poligoanele 1 2... n A A A  şi 1 2,... nB B B se numesc bazele prismei. Segmentele

1 1 2 2, ,... n n A B A B A B se numesc muchiile laterale  ale prismei, iar laturilepoligoanelor de bază se numesc muchiile orizontale ale prismei.

Distanţa între planele α  şi  β  ale bazelor se numeşte  înălţimea prismei (pe fig. 1.152, înălţimea este MN = h).

Fig. 1.152

Notaţia pentru prismă este deci similar ă cu cea a trunchiului de piramidă:

1 2... n A A A 1 2... nB B B (se notează întâi o bază şi apoi următoarea).

Considerând prisma ca suprafaţă  poliedrală  (respectiv corp poliedral),avem feţele laterale ale prismei, care sunt paralelogramele  1 1i i i i  

 A A B B+ + ,

1,2,... 1i n= −  şi 1 1n n A A B B .

De asemenea (din nou), avem bazele prismei, care sunt 1 2... n A A A   şi

1 2,... nB B B .

Bazele sunt poligoane congruente.

Observaţie privind convexitatea 

Dacă  1 2... n A A A   (sau 1 2,... nB B B ) este poligon convex, atunci prisma

1 2... n A A A 1 2... n

B B B este un poliedru convex.

Prismele se denumesc după  tipul poligonului de bază: avem prismetriunghiulare, patrulatere, pentagonale, hexagonale etc.

Definiţie.  Prisma1 2

...n

 A A A1 2

...n

B B B se numeşte prismă  dreaptă  dacă  muchiile

laterale ale ei sunt perpendiculare pe planele de bază  α  şi β .

 În acest caz, feţele laterale sunt dreptunghiuri (demonstraţie).

Page 116: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 116/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

110  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Test de autoevaluare 9

1. Să  se verifice relaţia lui Euler pentru poliedrul convex din fig. 1.156,unde V  nu este coplanar cu M, P, A, C şi nu este coliniar cu N  şi B.

Fig. 1.156

2. O piramidă  triunghiular ă  regulată are latura triunghiului de bază  egală cu a şi înălţimea egală cu h.

Să se determine aria laterală, aria totală şi volumul piramidei.

Răspunsurile la acest test se găsesc la pagina 133 a acestei unităţi de

 învăţare.

Răspunsurile latest se vor da înspaţiul liber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 117: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 117/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 111 

1.3.4. Corpuri rotunde

A. Suprafeţe cilindrice, suprafeţe şi pânze conice. Cilindri, conuri.Definiţii generale.

Se consider ă  un plan α   şi o curbă  Γ ⊂ α . (Ce înseamnă  o curbă? La

această întrebare ne vom mulţumi să r ăspundem intuitiv. De exemplu, uncerc este o curbă. Mai există, desigur, multe alte curbe, cum ar fi conicele:elipsa, hiperbola, parabola). Să  consider ăm o dreaptă  mobilă  d, carer ămâne paralelă cu o direcţie fixă, care nu este inclusă în α  şi care treceprin toate punctele curbei Γ   atunci când se mişcă. Atunci, prin definiţiesuprafaţa obţinută considerând toate poziţiile lui d  (suprafaţa” măturată” ded ) este o suprafaţă cilindrică.

 Această definiţie cinematică şi intuitivă este oarecum neriguroasă.

Vom prezenta mai jos definiţia riguroasă.

Definiţie.  Fie α  un plan, Γ ⊂ α  o curbă şi d  o dreaptă care nu este paralelă cu α  şinu este inclusă în α  (adică d  este incidentă cu α ).

Suprafaţa cilindrică de bază  Γ şi direcţie d  este mulţimea

 A

 A

d ∈Γ

Σ = ∪ ,

unde, pentru fiecare  A ∈ Γ am notat cu Ad  unica dreaptă care trece prin A 

şi este paralelă  cu d .

Dreptele , A

d A ∈ Γ se numesc generatoarele suprafeţei  Σ , iar curba Γ se

numeşte curba directoare a suprafeţei  Σ  (v. fig. 1.157). Mulţimea dreptelorparalele cu d  se mai numeşte şi direcţia generatoare a suprafeţei  Σ .

Fig. 1.157Prin urmare, o suprafaţă cilindrică este nemărginită, conţinând o infinitatede drepte.

Observaţie.  Orice curbă  1Γ   obţinută  prin intersectarea suprafeţei Σ   cu un plan 1α  

paralel cu α  este, deasemenea, o curbă directoare pentru Σ .

Definiţie.  Fie Σ   o suprafaţă  cilindrică, dată  de o curbă  directoare Γ   şi o direcţiegeneratoare. Se spune că  Σ  este o suprafaţă cilindrică circular ă dacă Γ  este un cerc.Dacă, în plus, dreptele direcţiei generatoare sunt perpendiculare pe α ,

spunem că  Σ este o suprafaţă cilindrică circular ă dreaptă.

Page 118: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 118/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

112  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Definiţie.  Fie Σ  o suprafaţă cilindrică, având curba directoare Γ  inclusă în planul α .Fie β   şi γ   două  plane distincte, paralele cu α   (eventual, unul din elepoate să coincidă cu α ).Por ţiunea din Σ   cuprinsă  între β  şi γ   se numeşte suprafaţă  cilindrică 

limitată (de β  şi γ ).

Dacă, în plus, Γ  este un cerc (deci Σ  este suprafaţă cilindrică circular ă ),por ţiunea din spaţiu mărginită de suprafaţa cilindrică limitată de β  şi γ  şide „capacele” β  şi γ  se numeşte cilindru circular . În fine, dacă, în plus,Σ este suprafaţă circular ă dreaptă, atunci cilindrul circular definit mai susse numeşte cilindru circular drept.

 În fig. 1.158 a) avem o suprafaţă cilindrică  limitată de planele β  şi γ , înfig. 1.158 b) avem un cilindru circular, iar în fig. 1.158 c) avem un cilindrucircular drept.

Fig. 1.158

 În restul acestui paragraf, vom studia numai cilindri circular drepţi, pecare îi vom numi, pe scurt, cilindri.

Trecem la definirea suprafeţelor conice. 

Fie α  un plan şi V un punct care nu apar ţine lui α . Fie şi Γ ⊂ α  o curbă.Consider ăm o dreaptă  mobilă  d   care trece prin V   şi se sprijină  pe Γ .

 Atunci, prin definiţie, suprafaţa obţinută  considerând toate poziţiile lui d  (suprafaţa “măturată” de d ) se numeşte suprafaţă conică.

Vom da şi în acest caz o definiţie riguroasă.

Fig. 1.159

Page 119: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 119/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 113 

Definiţie.  Fie α   un plan şi V un punct care nu apar ţine lui α   şi Γ ⊂ α   o curbă.Suprafaţa conică  de bază  Γ   şi vârf V   este mulţimea  A

 A

d ∈Γ

Σ = ∪ , unde,

pentru fiecare  A ∈ Γ , am notat cu  Ad  unica dreaptă care trece prin V  şi A.

Dreptele A

d    se numesc generatoarele suprafeţei  Σ , curba Γ   se

numeşte curba directoare a suprafeţei  Σ , iar punctul V   se numeştevârful suprafeţei  Σ   (v. fig. 1.159).

Prin urmare, o suprafaţă conică este nemărginită, conţinând o infinitate dedrepte.

Observaţie.  Orice curbă  1Γ , obţinută  prin intersectarea suprafeţei Σ   cu un plan 1α  

paralel este, de asemenea, o curbă directoare pentru Σ .

Definiţie. Fie Σ  o suprafaţă conică, dată de o curbă directoare Γ şi având vârful V .Se spune că  Σ  este o suprafaţă conică circular ă dacă  Γ  este un cerc.Dacă, în plus, dreapta care uneşte vârful V   cu centrul cercului Γ   este

perpendicular ă  pe planul α , spunem că  Σ   este o suprafaţă  conică circular ă dreaptă.

Notă.  Să  consider ăm o suprafaţă  conică  circular ă  dreaptă  Σ .Vom numisecţiune plană a lui Σ  intersecţia Σ ∩ β , unde β  este un plan oarecare.

Următoarea teoremă  este unul din rezultatele fundamentale alematematicii, (el caracterizează în mod unitar elipsa, parabola şi hiperbolaca “secţiuni conice”).

Teorema lui Dandelin.  În condiţiile de mai sus, dacă secţiunea plană  Σ ∩ βeste nevidă,atunci ea este sau o elipsă, sau o parabolă, sau o hiperbolă, sau o formă 

„degenerată” a curbelor de mai sus: un punct, o dreaptă, sau o pereche dedrepte concurente.

O „jumătate” de suprafaţă conică se numeşte pânză conică. Ea se obţineluând numai semidreptele de tipul [VA  din definiţia lui Σ , atunci când A ∈ Γ (v. fig. 1.159).

 În mod riguros, avem următoarea

Definiţie.  Fie α  un plan, V un punct care nu apar ţine lui α  şi Γ ⊂ α  o curbă. Pânzaconică de bază  Γ  şi vârf V  este mulţimea:

 A

 A

s∈Γ

Σ = ∪ ,

unde, pentru fiecare  A ∈ Γ , am notat cu  As   unica semidreaptă  [VA  (deorigine V , care trece prin A) (v. fig. 1.160).

Fig. 1.160

Page 120: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 120/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

114  Proiectul pentru Învăţământ Rural

 Începând din acest moment vom păr ăsi suprafeţele conice şi ne vomocupa numai de pânze conice.

Definiţie.  Fie Σ  o pânză conică de vârf V  şi curbă directoare Γ  inclusă în planul α .Fie şi β   un plan paralel cu α   (eventual β = α ), care nu conţine pe V .

Por ţiunea din Σ   „cuprinsă  între β   şi V” (adică  mulţimea [ ] A

VA∈Γ

∪ ) se

numeşte pânză conică limitată (deβ ).

Dacă, în plus, Γ   este un cerc, por ţiunea din spaţiu mărginită  de pânzaconică  limitată de α  (atenţie!) se numeşte con circular . În fine, dacă, înplus, dreapta VC  (unde C  este centrul cercului Γ ) este perpendicular ă peα , atunci conul circular definit mai sus se numeşte con circular drept.

 În fig. 1.161 a) avem o pânză conică  limitată de planulβ , în fig. 1.161 b)avem un con circular, iar în fig. 1.161 c) avem un con circular drept.

Fig. 1.161

 În restul acestui paragraf, vom studia numai conurile circulare drepte, pecare le vom numi, pe scurt, conuri.

B. Cilindrul

Vom considera un cilindru care este caracterizat de două numere: raza R  a cercului de bază (cercul director ) şi lungimea h a generatoarei (numită şi înălţimea cilindrului). În mod precis, h este distanţa dintre planele carelimitează cilindrul.

 În fig. 1.162 avem cilindrul K  cu elementele care îl caracterizează.După caz, vom considera pe K , fie ca un corp, fie ca o suprafaţă.

Fig. 1.162

Page 121: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 121/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 115 

Putem considera cercul ( ),C O R    de jos ca fiind curba directoare a

cilindrului.

Cercurile ( ),C O R   şi ( ),C O R ′  (sau discurile pline de centre O, O′şi rază 

R ) se numesc bazele cilindrului.

Orice segment de forma  AA′   se numeşte generatoare  a cilindrului. Anume,  AA OO′ ′   şi [ AA′ ] ⊂ suprafaţa cilindrică din care provine cilindrul(deci dreapta suport  AA′  este o generatoare a suprafeţei cilindrice).

Evident  AA OO h′ ′= =   (lungimea oricărei generatoare este egală  culungimea înălţimii cilindrului).

Segmentul OO′  se mai numeşte şi axa cilindrului.

O secţiune printr-un cilindru, f ăcută  cu un plan paralel cu bazele (v.secţiunea care trece prin P ) este un cerc congruent cu cercurile de bază.O secţiune f ăcută cu un plan care trece prin axa de simetrie OO′ este undreptunghi  ABB A′ ′ , cu dimensiunile 2 AB R =  şi AA' = h.

Aria laterală a cilindrului este

2l  A R h= π ⋅  (lungimea cercului de bază  ⋅  înălţimea).

Aria totală a cilindrului este:22 2t  A Rh R = π + π  

(se adună ariile celor două cercuri de bază).

Volumul cilindrului (care este analogul „rotund” al prismei) este:

Vol =

2

R hπ  (aria bazei·înălţimea).Desf ăşurata cilindrului (figura plană obţinută, dacă am considera partea„laterală” a cilindrului din hârtie, decupată  după  generatoarea AA′ şi„întinsă” pe plan) este un dreptunghi de bază  2 R π  (lungimea cercului debază) şi înălţimea h. Evident, aria desf ăşuratei este 2 Rhπ =  aria laterală acilindrului.

C. Conul. Trunchiul de con

Vom considera un con care este caracterizat de două  numere: raza R  acercului de bază (cercul director) şi înălţimea h. 

 În fig. 1.163 avem conul K, pe care îl vom considera, după caz, fie ca uncorp, fie ca o suprafaţă.

Fig. 1.163

Page 122: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 122/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

116  Proiectul pentru Învăţământ Rural

 În fig. 1.163 avem cercul ( ),C O R    ca bază  a conului, în care  AB  este

diametru, V este vârful conului, VO  este perpendicular ă  pe planul lui( ),C O R   şi VO = h  = înălţimea conului. Segmentul VO  se mai numeşte

axa conului.

Evident, acum putem calcula lungimea generatoarei:

2 2G VA VB R h= = = + .

Conul putea fi definit alternativ dând elementele şiOA OB R VA G= = = .

 Alte variante de caracterizare folosesc deschiderea conului, pe care o vomputea defini.

Precizăm întâi că secţiunea conului K  printr-un plan orizontal (paralel cuplanul lui ( ),C O R   este un cerc (în fig. 1.163 am f ăcut o astfel de secţiune

prin punctul [ ]P OV ∈ ).

O secţiune printr-un plan axial (adică  un plan care trece prin axa OV   aconului) este un triunghi isoscel  (în fig. 1.163 o astfel de secţiune estetriunghiul VAB).

Prin definiţie, deschiderea conului este unghiul  AVB , a cărui măsur ă ovom nota, în mod tradiţional, cu 2ϕ .

( ) 2m AVB   = ϕ .

 Atunci:

 – dacă se dau unghiul ϕ şi raza R , avem:

ctgh R = ϕ  şisin

R VB =

ϕ;

 – dacă se dau unghiul ϕ  şi înălţimea h, avem:

tg   şisin

R R h VB= ϕ =

ϕ 

 – dacă se dau unghiul ϕ  şi generatoarea G = VB, avem:

sin   şi cosR G h R  = ϕ = ϕ .

Aria laterală a conului este:

2

2l 

RG A RG

π= = π  

(aria unui triunghi cu baza = lungimea cercului de bază  ( ),C O R    şi

 înălţimea = generatoarea G).

Aria totală este:

( )2t 

 A RG R R G R = π + π = π +  

(se adaugă aria cercului de bază la aria laterală).Volumul conului (care este analogul „rotund” al piramidei) este:

Page 123: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 123/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 117 

22Vol

3 3

h R hR 

  π= π ⋅ =  

(aria bazei înmulţită cu1

3 înălţimea).

Desf ăşurata conului  (figura plană  obţinută, dacă  am considera partea„laterală” a conului decupată  după  generatoarea VB  şi „întinsă” pe unplan) este un sector circular) este un sector de cerc.

 În fig. 1.164 avem conul (ca în fig. 1.163) şi desf ăşurata conului estesectorul de cerc BVC , care este definit de raza VB = G, unghiul de

deschidere 2σ  şi lungimea l  a arcului   BC .

 În cele ce urmează vom stabili legătura între unghiurile şiϕ σ .

Fig. 1.164

Lungimea l   a arcului de cerc   BC este dată  de regula de trei simplă  (încercul de rază G):

2 ...............2

2 ...............

G

π π

σ 

2 22

2

Gl G

σ ⋅ π= = σ

π.

Pe de altă parte, l  este exact egală cu lungimea cercului de bază   ( ),C O R  ,deci 2l R = π  

Egalând 2 2G R σ = π , obţinemR 

Gσ = π   şi sin

G= ϕ   din triunghiul

dreptunghic VOB. Deci sin , unde 0   şi 02

πσ = π ϕ ≤ ϕ ≤ ≤ σ ≤ π .

 Am acceptat şi cazurile extreme:

0 0ϕ = ⇔ σ =  (conul degenerează într-un segment, [VA])

2πϕ = ⇔ σ = π   (conul se „aplatizează” devenind un cerc de centru V   şi

rază G).

Page 124: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 124/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

118  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Aplicaţie. Care este deschiderea unui con cu desf ăşurata un semicerc?

 Avem, deci, 2 ,σ = π adică 2

πσ = , deci sin

2

π= π ϕ .

Rezultă 1

sin , deci 302 6

πϕ = ϕ = = ° . Deschiderea este un unghi de 60° .

 Acum ne ocupăm de trunchiul de con.

Definiţie.  Se consider ă un con de vârf V , înălţime H  şi cerc de bază   ( ),C O R   inclus

 în planul α . Se consider ă  un plan β   paralel cu planul α   careintersectează  axa [OV ] într-un punct 'O   astfel încât 0 'OO h H  < = <  

(adică  ( )'O OV ∈ ). A se vedea fig. 1.165 a).

Corpul mărginit de planele α   şi β   şi de suprafaţa (conică) laterală  senumeşte trunchi de con. În fig. 1.165 b) este desenat numai trunchiul decon pe care îl vom considera ca un corp sau ca o suprafaţă.

Fig. 1.165

 În mod intuitiv, trunchiul de con este corpul obţinut dintr-un con, prin înlăturarea unui con mai mic de la vârf, fiind analogul „rotund” altrunchiului de piramidă.

Cercurile   ( ),C O R    şi ( ),C O r ′ se numesc cercuri de bază. Lungimea

segmentului [ ']OO   se numeşte înălţimea trunchiului de con şi notăm'OO h= .

Planul β  intersectează conul nostru după un cerc de rază r , al cărui centruO′  se află pe axa OV a conului. Avem:

O r R < < .

Considerente de asemănare în triunghiurile VA O′ ′  şi VAO ne conduc larelaţia:

r H h

R H 

−= .

Prin urmare, un trunchi de con K   este caracterizat de razele R   şi  r ale

cercurilor de bază şi de înălţimea h.(Atenţie! H h≠ (de fapt 0H h> > ), deoarece, dacă  am avea H = h, arrezulta că, de fapt, K  este cilindru).

Page 125: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 125/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 119 

Toate secţiunile axiale în trunchiul de con (adică intersecţiile conului cu unplan care trece prin axa OO′ ) sunt trapeze isoscele congruente cu

( ), ABB A AB A B A B AB′ ′ ′ ′ ′ ′=   . Segmentele astfel obţinute [ '] AA se

numesc generatoare ale trunchiului de con şi notăm AA' = g .

Secţiunile orizontale în trunchiul de con (adică  intersecţiile cu plane

paralele cu planele de bază) sunt cercuri. În fig. 1.165 b) avem un astfelde cerc care intersectează axa în P , are raza cuprinsă între R  şi r .

Aria laterală a trunchiului de con este dată de formula:

( )l  A g R r = π + .

Aria totală a trunchiului de con este dată de formula:

( ) 2 2t  A g R r R r = π + + π + π .

Volumul trunchiului de con este dat de formula:

Vol = ( )   ( )2 23 3h hS s Ss R r Rr  π+ + = + + ,

unde S = aria cercului „mare” ( ),C O R   şi s = aria cercului „mic” ( ),C O r   

D. Sfera

Definiţie. Fie O  un punct în spaţiul S (numit centru) şi R   un număr strict pozitiv(numit rază). Sfera de centru O  şi rază R  este mulţimea

( ) { }, | ,S O R A A S AO R  = ∈ = .

 Aşadar, sfera este locul geometric al punctelor din spaţiu egal depărtate

de un punct fix.Sfera ( ),S O R   este frontiera bilei de centru O şi rază R care este mulţimea

( ) { }, | ,B O R A A S AO R  = ∈ ≤  (unii mai numesc bila şi „sfer ă plină”).

 În fig. 1.166, ( ),D B O R  ∈ \   ( ),S O R  .

Orice segment [OA], cu OA = R   (adică  ( ), A S O R ∈ ) se numeşte rază  a

sferei. Un segment [ AB] care trece prin O (adică  [ ]O AB∈ ) şi astfel încât

 AB  = 2R   (adică ( )

, , A B S O R ∈ ) se numeşte diametru al sferei( )

,S O R   

(v. fig. 1.166).

Fig. 1.166.

O dreaptă  care intersectează  sfera într-un singur punct se numeştedreaptă tangentă la sfer ă.

Page 126: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 126/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

120  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Un plan α   care intersectează  sfera într-un singur punct  A  se numeşteplan tangent la sfer ă în A (v. fig. 1.166).

Rezultă automat OA ⊥ α  (planul tangent la sfer ă are proprietatea că razacare uneşte centrul sferei cu punctul de tangenţă A este normală la planultangent în A). Rezultă că, în acest caz, distanţa de la centrul O la planul α  este OA = R .

 Aşadar, faţă  de sfera   ( ),S O R  , un plan  α   este în una şi numai una din

următoarele situaţii, date de distanţa dist (O,  α ) a punctului O faţă de α :

1) dist (O,  α ) R > : planul este exterior sferei, adică  (v. fig. 1.167 a))( ),S O R   ∩α = ∅ .

2) dist (O,  α ) = R : planul α   este tangent sferei, adică există un punct A S∈  aşa ca (v. fig. 1.167 b)) ( ) { },S O R A∩ α =  

3) ( )0 dist ,O R < α < : planul α   intersectează  sfera după  un cerc, adică 

există un cerc ( ),C M r  astfel încât (v. fig. 1.167 c)) ( ) ( ), ,S O R C M r  ∩ α =  .

Fig. 1.167

Să remarcăm că în acest caz avem ( ), dist ,   şi .OM OM O r R  ⊥ α = α <  

4) dist (O,  α ) = 0, adică O ∈ α .

 În acest caz, intersecţia ( ),S O R Γ = ∩ α  este un cerc mare al sferei, adică 

este un cerc de centru O şi rază R. 

Reţineţi!  Un cerc mare al unei sfere ( ),S O R   este un cerc Γ de centru O şi rază R .

Rezultă  că  R Γ ⊂   şi pentru orice cerc ( ),S O R Δ ⊂ , raza r   a lui Δ   are

proprietatea r R ≤ .

Şi în cazul sferelor se pot clasifica poziţiile relative a două  sfere( ) ( )1 1 2 2,   şi ,S O R S O R    în funcţie de distanţa centrelor 1 2d O O= .

Page 127: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 127/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 121 

De exemplu, dacă  1 2d R R > + sferele nu se intersectează.

Dacă  1 2 1 2R R d R R  − < < +   sferele se intersectează, mulţimea de

intersecţie fiind un cerc cu centrul pe dreapta 1 2OO  (linia centrelor etc.).

Reţineţi!  Intersecţia unei sfere cu o dreaptă este sau vidă, sau formată dintr-un

punct sau formată din două puncte.Intersecţia nevidă a unei sfere cu un plan este un cerc sau un punct (înacest ultim caz sfera şi planul sunt tangente).

Intersecţia nevidă a două sfere este un cerc sau un punct (în acest ultimcaz, cele două sfere sunt tangente).

 Acum vom studia câteva probleme de arie şi volum pe sfer ă.

Să consider ăm sfera   ( ),S O R   şi, corespunzător, bila ( ),B O R  .

Aria sferei (adică aria lui ( ),S O R  ) este dată de formula:

( )( ) 2, 4S S O R R  = π .

Reţineţi!  Aria sferei = aria a 4 cercuri mari ale sferei!

Volumul sferei (adică volumul lui ( ),B O R  ) este dat de formula:

( )( ) 34,

3V B O R R  = π .

Alte construcţii

 Înainte de a trece la alte construcţii, vom remarca o proprietate importantă.

 Am văzut că, dacă  un plan α   intersectează  o sfer ă  ( ),S O R  , atunciintersecţia nevidă este un cerc sau un punct.

Vom considera cazul când intersecţia este un cerc.

 Avem două situaţii:

Prima situaţie: O ∈ α  (planul de intersecţie trece prin centrul sferei).

 În acest caz (v. fig. 1.168 a)) acest plan împarte sfera (privită  casuprafaţă!) în două emisfere (situate de o parte şi de alta a acestui plan).Intersecţia lui α  cu sfera este un cerc mare al sferei.

A doua situaţie: O ∉ α  (planul de intersecţie nu conţine pe O).

 În acest caz, dacă  notăm cercul de intersecţie ( ),C M r    (v. fig. 1.168 b))

rezultă  că  dreapta OM   este perpendicular ă  peα . Această  dreaptă  OM  intersectează sfera în punctele 1P  şi 2P  , care formează diametrul [ 1 2PP ].

Şi în acest caz, planul α   împarte sfera (privită  ca suprafaţă!) în două por ţiuni, situate, fiecare, în unul din cele două semispaţii generate de α .

 Aceste două por ţiuni se numesc calote sferice.

Pe fig. 1.168, lungimile segmentelor [ ] [ ]1 2şiMP MP    sunt  înălţimile  celor

două calote sferice.

Page 128: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 128/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

122  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Fig. 1.168

1MP  este înălţimea calotei sferice 1, iar 2MP   este înălţimea calotei sferice 2.

Cele două calote au drept cerc de bază cercul ( , )S O R α ∩ .

Teoremă.  În condiţiile de mai sus, aria unei calote sferice de înălţime h este dată deformula:

 Aria calotei = 2 Rhπ .

 În particular, deoarece o emisfer ă  este o calotă  sferică  particular ă  de înălţime R , aria sa va fi egală cu 22 2R R R π ⋅ = π (jumătate din aria sferei!).

 Acum, să consider ăm două plane paralele α  şi β , între care distanţa este

egală  cu h, care intersectează  sfera ( ),S O R    după  cercurile ( ),C A R    şi

( ),C B r    (deci  AB = h). Atunci (v. fig. 1.169) por ţiunea din sfer ă cuprinsă 

 între cele două  plane se numeşte zonă  sferică, iar h  se numeşte înălţimea zonei.

Fig. 1.169

Teoremă.  În condiţiile de mai sus, aria zonei sferice este dată de formula:

 Aria zonei = 2 Rhπ .(Putem concepe calota ca o „zonă de limită” cu unul din cercuri redus laun punct. Formulele ariilor coincid.)

Reluăm consideraţiile anterioare (care au dus la generarea calotei sfericeşi a zonei sferice).

Consider ăm situaţia calotei sferice, pe care o consider ăm construită.Numim segment sferic generat de calota sferică, partea din bila

( ),B O R    (adică din „sfera considerată ca volum”) care este mărginită de

calotă şi de planul α  care a generat-o.

 Înălţimea h a respectivei calote se numeşte  înălţimea segmentului. Să notăm cu r raza cercului de intersecţie dintre ( ),S O R   şi α .

Page 129: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 129/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 123 

Consider ăm situaţia zonei sferice, pe care o consider ăm construită.

Numim segment sferic generat de zona sferică partea din bila ( ),B O R   

care este mărginită de zona sferică şi de cele două plane α  şi β  care augenerat-o. Înălţimea h a respectivei zone se numeşte înălţimeasegmentului. Să  notăm cu 1r    (respectiv 2r  ) raza cercului de intersecţie

dintre ( ),S O R   şi α  (respectiv β ).

Teoremă.  Volumul segmentului sferic generat de o calotă (respectiv de o zonă) estedat după  cum urmează  (calotele sferice considerate aici au înălţimeah R ≤ ):

Volumul segmentului sferic generat de calota sferică este dat de formula:

volum =3

24 1

3 2 2

hr h

⎛ ⎞π + π⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Volumul segmentului sferic generat de zona sferică este dat de formula:

volum =3

2 21 2

4 1( )

3 2 2

hr h r h

⎛ ⎞π + π + π⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Observaţie Dacă  luăm în prima formulă  r R =   şi h R =   (adică  avemdrept calotă emisfera) obţinem drept volum pentru acest segment sferic

(care este, deci o „jumătate de bilă”) valoarea lui 32

3R π = jumătate din

volumul sferei.

Definiţie. Numim sector sferic (generat de o calotă sferică) partea din bila ( ),B O R   

formată  prin reunirea segmentului sferic generat de această  calotă  şiconul care are vârful în O şi baza egală cu cercul de bază al calotei. Înaceastă definiţie se consider ă calota cu înălţimea h R ≤ .

Teoremă.  Volumul sectorului sferic generat de o calotă sferică este dat de formula:

volum =1

3⋅aria calotei ⋅ raza sferei =

= 21 22

3 3

Rh R R hπ ⋅ = π  

Observaţie.  Formula de mai sus nu este compatibilă cu ideea de a privi sectorul sfericca pe o piramidă cu baza = calota sferică şi înălţimea = raza sferei.

Prin urmare: dacă raza sferei este R  şi înălţimea sectorului sferic este h,avem formula unitar ă 

Definiţie.  Numim fus sferic  (aminteşte de noţiunea de fus orar!) por ţiunea dinsuprafaţa unei sfere cuprinsă  în interiorul unui unghi diedru format dedouă  semiplane care trec printr-un diametru al sferei (fig. 1.170, unde

diametrul este AOB şi fusul este haşurat).

Page 130: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 130/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

124  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Fig. 1.170

Cu formula ariei sferei şi cu regula de trei simplă  obţinem aria unui fussferic corespunzător unui unghi diedru de măsur ă  ϕ (în radiani)

22 ..............4

................aria fusului

R π π

ϕ 

aria fusului 22 R = ϕ .

Notă.  Vom vedea mai departe că  un fus orar (care este un fus sferic!) este

por ţiunea de pe Terra cuprinsă între două meridiane. Din punct de vedereal rotaţiei diurne, în mod oficial ora este aceeaşi pe un fus orar.

Aplicaţie în geografie: coordonate terestre – latitudine şi longitudine 

Pământul (Terra) are o formă aproximativ sferică. De fapt, Terra este ungeoid – o sfer ă puţin turtită la poli. Considerând, în primă aproximaţie, că Terra este o sfer ă, vom ar ăta cum se determină  poziţia unui punct peTerra cu ajutorul coordonatelor sale sferice (geografice): latitudinea şilongitudinea.

Să consider ăm o sfer ă  Σ  (fig. 1.171 a)). Pe această sfer ă vom considera

un cerc mare Γ  numit ecuator. Diametrul sferei care este perpendicularpe planul ecuatorului intersectează sfera Σ  în punctele N  = Polul Nord şiS = Polul Sud.

Unicul cerc mare care trece prin N   (şi S) intersectează  ecuatorul Γ   înpunctul A, care va juca rolul originii axelor de coordonate.

Cercurile de pe sfera Σ care sunt situate în plane paralele cu planulecuatorului Γ   se numesc paralele.  Semicercurile (de cerc mare) dediametru [NS] de pe sfera Σ  se numesc meridiane.

Există un unic meridian care trece prin  A. Acesta va fi numit meridianulzero (sau meridianul Greenwich). Meridianul „opus”, adică meridianul de

diametru [NS] de pe sfer ă, care împreună  cu meridianul zero formează unicul cerc mare de pe sfer ă care are ca diametru pe [NS] se mai numeşteşi meridianul schimbării de or ă.

Ecuatorul Γ   este împăr ţit cu ajutorul punctului  A  în două  semicercuri,după  cum urmează. Se consider ă  punctul B ∈ Γ , diametral opus lui  A.

 Atunci, se consider ă semicercul    AEB  (cu extremităţile A şi B închise), pecare îl vom numi “ecuator estic”.

Semicercul opus,    AVB  (cu extremităţile A şi B excluse din el) va fi numit

„ecuator vestic”. Similar, semicercul   NAS  se împarte în arcul    AN  numit

„nordic” şi arcul    AS , numit „sudic”.

Page 131: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 131/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 125 

Emisfera care are ecuatorul ca cerc de bază şi îl conţine pe N , se numeşteemisfera nordică, iar emisfera opusă (cu ecuatorul ca cerc de bază şi cupunctul S pe ea) se numeşte emisfera sudică.

 În fig. 1.171 b) am figurat o „reţea ” de meridiane şi paralele.

Fig. 1.171

Rezultatul fundamental care ne permite să  identificăm punctele pe hartă este următorul:

Teoremă.  Orice paralelă intersectează meridianul Greenwich într-un singur punct şiorice meridian intersectează ecuatorul într-un singur punct.

Vom ar ăta cum putem localiza un punct M  ∈ Σ   (adică  un punct de peTerra identificată cu Σ ).

Dacă M este un pol (adică M = N   sau M = S) identificarea lui M  se facenumai cu un număr:

N  este unicul punct care are latitudinea nordică  90°.

S  este unicul punct care are latitudinea sudică 90°.

Consider ăm acum un punct M  ∈ Σ  care nu este pol (deci şiM N M S≠ ≠ )şi folosim fig. 1.172.

Fig. 1.172

Există un unic meridian care îl conţine pe M . Acest meridian are o unică 

intersecţie cu ecuatorul Σ  în punctul M ′ . Atunci M ′   va apar ţine sau ecuatorului estic sau ecuatorului vestic.

Măsur ăm arcul    AM ′ . Anume, dacă  M ′   este pe ecuatorul estic,

Page 132: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 132/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

126  Proiectul pentru Învăţământ Rural

consider ăm arcul    AM ′   inclus în ecuatorul estic, adică  măsur ăm cel maimic dintre arcele de extremităţi A şi M ′ .

Prin măsurare, obţinem   ( )m AM a′   =   (măsurarea se face în grade

sexagesimale!) şi spunem că M  are longitudinea estică a (se mai spunecă M  are a°  longitudine estică).

De exemplu, punctele de pe meridianul Greenwich au 0° longitudineestică  (se mai spune, simplu, că  au 0° longitudine), iar punctele de pemeridianul schimbării de or ă au 180° longitudine estică.

Similar, dacă  M ′  se află pe ecuatorul vestic, consider ăm arcul    AM ′  inclus

 în ecuatorul vestic (adică  arcul    AM ′   f ăr ă  punctul  A  inclus în ecuatorul

vestic!), măsur ăm acest arc    AM ′ , obţinem măsura   ( )m AM a′   =   şi

spunem că M  are longitudine vestică a  (sau că M  are a°   longitudinevestică).

Există o unică paralelă care trece prin M . Această paralelă intersectează meridianul Greenwich NAS  într-un unic punct M ′′ . DacăM ′′   apar ţine

arcului   NA , măsur ăm arcul    AM ′′   şi obţinem rezultatul ( ) .m AM b′′   =  

Spunem că  M   are latitudinea nordică b°   (sau că  M   are b   latitudinenordică).

Similar, dacă  M ′′ apar ţine arcului   SA , măsur ăm arcul    AM ′′   şi obţinem

rezultatul   ( ) .m AM b′′   =  Spunem că M  are latitudinea sudică b°   (sau că 

M  are b latitudine sudică).

Atenţie! Punctele M  de pe ecuatorul Γ au 0° latitudine! (Nu mai spunem„nordică” sau „sudică”).

 În acest moment, punctul M  a fost identificat! Anume, M este unicul punctde pe Σ care area longitudine (estică sau vestică) şi b latitudine (nordică sau sudică).

Spunem căaşi b  sunt coordonatele terestre ale lui M .

Invers, dându-se a   longitudine (estică  sau vestică) şi b   latitudine(nordică sau sudică) există un unic punct cu aceste coordonate terestre.

Exemplu.  Bucureştiul are 26°longitudine estică şi 44 20′° latitudine nordică.

Page 133: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 133/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 127 

Test de autoevaluare 10

1. Se consider ă un con K  cu raza bazei R  şi înălţimea h. Să se determineun punct P  pe axa conului astfel încât volumul trunchiului de con având cabaze baza lui K   şi secţiunea lui K   cu un plan care trece prin P   şi esteparalel cu baza lui  K , să  fie egal cu jumătate din volumul lui K . Se va

verifica faptul că rezultatul nu depinde de R .

2.  Se consider ă  o sfer ă  de rază  R   şi centru O. Fie α   un plan cuproprietatea că distanţa de la O la α  este d , unde 0 d R < < .

 se determine raza cercului obţinut ca intersec

ţie a planului α  cu sfera.

Răspunsurile la acest test se găsesc la pagina 134 a acestei unităţi de învăţare.

Page 134: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 134/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

128  Proiectul pentru Învăţământ Rural

1.4. Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare

Test 1

1. Locul geometric căutat este discul de centru O şi rază r  situat în planulP .

2.  Locul geometric căutat este un plan care trece prin punctul  A şi esteperpendicular pe dreapta d .

Test 2

1.  ( ) ( )7 1 75m m= =   (alterne interne)

( ) ( )5 1 75m m= =   (corespondente)

( ) ( )6 180 1 180 75 105m m= − = − = (interne de aceeaşi parte a

secantei)

Mai departe:

( ) ( )2 180 1 180 75 105m m= − = − = (suplementare)

( ) ( )3 1 75m m= =    (opuse la vârf)

( ) ( )4 180 1 180 75 105m m= − = − = (suplementare)

( ) ( )8 6 105m m= =   (opuse la vârf).

2.  Unghiurile au „sensuri contrare” şi nu se pot suprapune printr-odeplasare (echivalent, prin construcţia amintită).

Putem să  „suprapunem” unghiurile astfel: se suprapune semidreapta[O B′ ′ peste semidreapta [OA şi semidreapta [O A′ ′ peste semidreapta [OB.

Test 3

1. a) Avem două variante (notăm BC = x )

Prima: latura de lungime maximă  (egală  cu 4) este  AC , deci trebuie să avem 4 3 1 x x < + ⇔ >  .

A doua: latura de lungime maximă (egală cu  x ) este BC, deci trebuie să avem 4 3 7 x x < + ⇔ < .

 Aşadar, 1 7 x < < .b)  ABC Δ este isoscel 3 sau 4 x x ⇔ = = .  ABC Δ poate fi dreptunghic în

două variante:

Prima:  AC  este ipotenuză, adică (teorema lui Pitagora):

2 2 2 24 3 16 9 7 7 x x x = + ⇔ = − = ⇔ = .

A doua: BC  este ipotenuză, adică  2 2 23 4 25 5 x x = + = ⇔ = .

Observaţie.  Un triunghi dreptunghic cu laturile de lungimi propor ţionale cu 3, 4, 5 senumeşte triunghi egiptean. Denumirea provine din faptul că  zidarii din

Egiptul Antic îl foloseau pentru a verifica verticalitatea.2. Ar ătăm că  OPU OPV  Δ ≡ Δ de unde va rezulta că PU = PV .

Page 135: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 135/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 129 

Pentru aceasta, folosim cazul de congruenţă ULU . Anume:

OP = OP  (latur ă comună)

( )   ( )m POU m POV  = (deoarece [OP este bisectoare).

( ) 

( )m OPU m OPV  = (deoarece

( )   ( )   ( )   ( )90 90m OPU m POU m POV m OPV  = − = − = ,

folosind triunghiurile dreptunghice OPU  şi OPV ).

Observaţie.  Şi proprietatea reciprocă este valabilă. Cu alte cuvinte, bisectoarea [OM  este locul geometric al punctelor egal depărtate de [OA şi [OB.

Test 4.

1. Se vede că   AOB CODΔ ≡ Δ , folosind cazul de congruenţă LUL:

OA = OC  şi OB = OD, prin ipoteză.

( )   ( )m AOB m COD=  (unghiuri opuse la vârf)

Folosind această  congruenţă, rezultă  că  unghiurile omoloage sunt

congruente:     ,OAB OCD OBA ODC  ≡ ≡ .

Prima din aceste congruenţe de unghiuri arată  că secanta  AC   formează cu dreptele  AB şi  AD unghiuri alterne interne congruente, deci  AB CD .Similar, se arată că  AD BC  .

2.

Consider ăm un patrulater  ABCD care nu este convex, ca în figura de maisus. Facem următoarea construcţie auxiliar ă. Pe dreapta suport a lui[ AC ], consider ăm un segment  A C ′ ′  cu proprietatea  A C AC ′ ′ = , care are, în plus, proprietatea că intersecţia lui [ A C ′ ′ ] cu [BD] este un punct interior

lui [BD] şi lui [ A C ′ ′ ], notat cu O. Cu alte cuvinte,  A BC D′ ′ este un patrulaterconvex.

Page 136: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 136/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

130  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Deoarece perpendiculara dusă  din  B  pe  AC   este aceeaşi cuperpendiculara dusă din B pe  A C ′ ′ , rezultă că triunghiurile ACB şi  A C B′ ′  au aceeaşi înălţime din B  şi bazele [ AC ] şi [ A C ′ ′ ] congruente, deci auaceeaşi arie: ( ) ( )S A C B S ACB′ ′   = . La fel: ( ) ( )S A C D S ACD′ ′   = . Atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( )S ABCD S ACB S ACD S A C B S A C D′ ′ ′ ′= + = +  = ( )S A BC D′ ′ .

Cum  A BC D′ ′ este patrulater convex, pentru el funcţionează  formuladiagonalelor:

( )S A BC D′ ′  =sin sin

2 2

 A C BD AC BD′ ′ ⋅ ⋅ ϕ ⋅ ⋅ ϕ= ,

unde ϕ este măsura unghiului format de dreptele  A C ′ ′ şi BD, adică  AC  şiBD.

Test 5

1. a) Avem R  = 2. Pentru măsura în grade folosim formula 180

Rn

  π

= cu

4, 2l R = = , deci4 180

114,591562

n  ⋅

= ≈π

.

 Aşadar, măsura în grade este (atenţie!) 114 0,59156+  

Vom calcula valoarea în minute şi secunde a mărimii 0,59156 . Avem

1 60 3600′ ′′= = şi atunci, folosim regula de trei simplă  pentru a aflavaloarea în secunde:

3600……………….1

 x …………………...0,59156, deci

 x  = 0,59156·3600 = 2129,616'', adică 0,59156 = 2129,616''.

Pentru a afla câte minute sunt cuprinse în ultima valoare, împăr ţim2129

35,4833 2129 60 35 2960

  ≈ ⇒ = ⋅ + , prin urmare

0,59156 35 29′ ′′≈ .

Măsura cerută este aproximativ egală cu 114 35 29′ ′′ .

 Acum calculă

m mă

sura în radiani. Folosim formula l NR = , cu 4l  = ,2R  = , deci 2N  = . Măsura cerută  este 2 rad (ceea ce se poate vedea

direct, imediat).

b) Din nou, cu formula cu 2, 60180

Rnl R n

π= = = , obţinem:

22,094395

3l  = π ⋅ ≅ .

c) Rezultatul este aproximativ egal cu:

( ) ( )2,5 57 17 2,5 57 2,5 17 142,5 42,5142 30 42,5 142 72 0,5 143 12

′′ ′⋅ = ⋅ + ⋅ = + =

′ ′ ′ ′ ′= + + = + + ≈

.

Page 137: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 137/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 131 

2. Ca de obicei, notăm BC  = a, CA = b, AB = c .

 Aria totală a figurii este compusă din aria triunghiului ABC  plus ariile celordouă semicercuri construite pe catete ca diametre, adică este egală cu

( )2 2

2 2

b c S ABC  

  π π+ + .

 Aria lunulelor reunite se obţine scăzând din aria totală  aria semicerculuiconstruit pe ipotenuză ca diametru, care are valoarea

2

2

aπ. Aşadar, aria

lunulelor reunite este egală cu ( )2 2 2

2 2 2

b c aS ABC  

  π π π+ + − .

Dar, teorema lui Pitagora spune că  2 2 2a b c = + , deci:

2 2 2

02 2 2

b c aπ π π+ − =  

şi aria lunulelor reunite este S( ABC ).Test 6

1.  Notăm latura 1 2PP a= . Unghiul hexagonului regulat are măsura

( )1

6 2 2ˆ6 3

m P   −

= π = π . Atunci:

( )   ( )   ( )6 1 12 1 2 1 1

2 5ˆ rad2 3 2 3

m P P A m P m P P A  π π π π

+ + = + + = .

Rezultă  ( )12 1 1

52 rad

3 3m A P A

  π π= π − = .

Triunghiul isoscel 12 1 1 A P A are un unghi de măsur ă  3

πrad, deci este

echilateral. Rezultă că  12 1 1 1 1 2 A A A P a A A= = = .

 Aşadar, dodecagonul 1 2 12... A A A are toate laturile de lungime egală.

Calculăm şi unghiurile acestui dodecagon.

( )   ( )   ( )11 12 1 11 12 1 1 12 1

5

2 3 6m A A A m A A P m P A A

  π π π= + = + = .

La fel, ( )12 1 2

5 12 2

6 12

m A A A  π −= = π .

Rezultă că toate unghiurile dodecagonului 1 2 12... A A A sunt de măsur ă egală 

(cu măsura unghiurilor dodecagonului regulat). În final, rezultă  că 

1 2 12... A A A este regulat.

2.  Cu formula deja demonstrată, avem ( )2 28 82 2 2 2l R l R  = − ⇒ = − .

 Atunci folosim formula de dublare:

(   )   ( )2 2 2 216 82 4 2 4 2 2l R R R l R R R R  ⎛ ⎞= − − = − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠ =

= ( ) ( )22 4 2 2 2 2 2 2 2 2R R R R R  − − + = − + = − +  .

Page 138: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 138/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

132  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Test 7

1.  Există  patru puncte necoplanare  A, B, C, D, conform uneia dintreaxiome. Vom ar ăta că există trei perechi de drepte necoplanare: AB şi CD, AC  şi BD, AD şi BC .

De exemplu, ar ătăm că  dreptele  AB şi CD  sunt necoplanare. Dacă  ar ficoplanare, ar rezulta c

ă toate punctele dreptelor AB 

şi CD ar fi în acela

şi

plan α , deci, în particular, punctele A, B, C, D ar fi în α , fals.

2.

a) Afirmaţia este evidentă  dacă  d, e, f   sunt coplanare. Vom considera

cazul când d, e, f  nu sunt coplanare (v. figura).Fie α   un plan aşa ca , ,d e d e⊂ α ⊂ α   . La fel,  β  este un plan aşa ca

,   şie f e f  ⊂ β ⊂ β   . Deci e = α ∩β .

Luăm un punct M d ∈   şi fie γ planul determinat de f  şi M . Cu o teoremă anterioar ă, rezultă  că  d ′γ ∩ α = este o dreaptă  cu d ′ ⊂ α   şi d f ′ . Vomar ăta că d d ′ = , ceea ce va ar ăta că d f  .

 Într-adevăr, în planul α  avem situaţia: ,M d M d  ′∈ ∈  şi d e . Dacă vomar ăta că d e′ , va rezulta d d ′ = .

Să presupunem prin absurd existenţa unui punct N d e′∈ ∩ .

Putem construi planul δ determinat de f şi N , deoarece N d ′∈ , d f ′ ,deciN f ∉ . Observăm următoarele:

a) δ = β (deoarece ,f N e⊂ β ∈ ⊂ β şi β este determinat de f  şi N  );b) δ = γ (deoarece ,f N d ′⊂ β ∈ ⊂ γ şi γ este determinat de f  şi N ).

 Aşadar, β = γ . Rezultă  β ∩ α = γ ∩ α , adică  e  = d ′ . Rezultă  că  M d ∈ ,M d e′∈ = , M d e∈ ∩ , fals. Prin urmare, trebuie să avem d e′ etc.

b) Evident, dacă  , ,α β γ sunt plane distincte aşa ca α β   şi β γ , rezultă 

α ∩ γ .

Page 139: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 139/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 133 

Test 8

1. 

Fie  AOB  unghiul nostru drept cu OA = a   α   şi OB = b neperpendicular ă pe α . Proiectăm O în O′ , A în A' , B în B' .

Ducem prin O′   paralela b′   la b. Ea este coplanar ă  cu b  în planuldeterminat de b şi b' . Deoarece b nu este perpendicular ă pe α , rezultă că b'  nu este paralelă cu BB', deci fie P  punctul de intersecţie al lui b' cu BB' .

 Avem: , ,BB P BB PO O A′ ′ ′ ′ ′⊥ α ∈ ⊥ (deoareceBOA  şi

PO A′ ′ sunt unghiuricu laturi paralele).

Cu prima reciprocă  a teoremei celor trei perpendiculare, rezultă 

B O O A′ ′ ′ ′⊥ , adică  A O B′ ′ ′ este unghi drept.

2.

Triunghiurile dreptunghice în O, MOA şi MOB sunt congruente, deoareceau catete de lungimi egale (MO = MO, OA = = OB).

Rezultă că  ( )   ( )m MAO m MBO= .

Deoarece O este proiecţia lui M , rezultă că MAO  este unghiul f ăcut cu α  

şi MBO este unghiul f ăcut de MB cu α .

Test 9

1. Avem V  = 7 vârfuri.

Muchiile sunt: VM, VN, VP, MN, NP, MP, MA, NB, CP, AB, BC, CA , deciM  = 12.

Feţele sunt: MNV, NPV, MPV, MNBA, NPCB, MPCA, ABC , deci F  = 7.

V  + F  = 7+7 = 14.

M  +2 = 12 + 2 = 14.

2. Aria laterală este 3l 

S   = ⋅aria unei feţe laterale.

Dacă piramida este VABC  cu înălţimea VV ′ (v. fig. (∗ )), atunci avem figuraplană (∗∗ ).

Page 140: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 140/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

134  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Fig. (∗ ) Fig. (∗ ∗ )

1 1 3 3,

3 3 2 6

a aVV h V P AP  ′ ′= = = ⋅ = , deci

2 2 22 2 12

12 12

a h aVP h

  += + = .

 Atunci: ( )2 2 2 21 12 12

2 12 4 3

h a a h aS VBC a

  + += ⋅ = .

2 22 212 33 12

4 3 4l a h a aS h a+= ⋅ = + .

 Aria totală este: (   )2

2 2 2 23 3 312 12

4 4 4

a a ah a a h a+ + = + + .

Volumul este:2

21 3 3

3 4 12

ah a h⋅ = ⋅  

Test 10

1. Notăm cu d  distanţa (necunoscută) VP  (unde V  este vârful conului).

Volumul conului „mic” de vârf V  şi bază secţiunea cu planul care trece prin

P   este ( )2

Vol 13

r d π= unde r   este raza cercului de secţiune. Avem

(teorema fundamentală a asemănării în secţiunea axială):

r d d r R 

R h h= ⇒ =  deci ( )

22

2 32

2Vol 1

3 3

d R d 

R d hh

π π= = .

Volumul conului iniţial K  este:

2

Vol(2)3

R hπ=  

şi ecuaţia problemei (necunoscuta este d ) este următoarea:

Vol(2) = 2Vol(1)2 2 3 3

3 3 32 2

2 22 2

3 3

R h R d d  h d h d h

h h

π π⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = .

2. Dacă M  este proiecţia lui O pe planul α , efectuând o secţiune cu unplan care trece prin O şi M , avem figura următoare:

Page 141: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 141/401

 Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

Proiectul pentru Învăţământ Rural 135 

 Aici  MO  = d , OA = R  şi MA  = r   este raza căutată. Rezultă  (teorema lui

Pitagora în triunghiul OMA): 2 2 2r R d = −  

1.5. Lucrare de verificare pentru studenţi

Indicaţii de redactare. Problemele se vor rezolva în ordinea din textul enunţului.Rezolvările se vor expedia pe adresa tutorelui.

1 punct din oficiu

1,5 p 1. a) Să se arate că dacă patru puncte A, B, C, D sunt necoplanare, atunciele nu sunt coliniare.

b) Să se arate că dacă punctele 1 2, ,... n A A A   ( )3n ≥  sunt coliniare, atunci

ele sunt coplanare.

1,5 p 2.  Fie A, B, C   trei puncte distincte.

Să se determine locul geometric al punctelor M  din spaţiu pentru care MA= MB = MC .

1,5 p 3. Se consider ă un paralelipiped dreptunghic  ABCDA B C D′ ′ ′ ′ ca în figur ă.

Se ştie că  AB = a, AD = b şi AA' = c .Se cere să se calculeze diagonala spaţială  AC' .

1,5 p 4. Se consider ă o piramidă regulată având baza un pătrat de latur ă 2a şi înălţimea egală cu h.

Ce relaţie trebuie să existe între a şi h pentru ca unghiul diedru f ăcut de ofaţă laterală cu baza să fie de 45°? În acest caz să se calculeze volumulpiramidei.

1,5 p 5. Se consider ă un cilindru având baza un cerc ( ),C O R   şi înălţimea 2R .

 În acest cilindru se „înscriu” un con a  cu baza   ( ),C O R    şi înălţimea 2R ,

precum şi o sfer ă  ( ),S M R  , având centrul M   situat pe axa comună  a

Page 142: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 142/401

Figuri geometrice în plan şi în spaţiu

136  Proiectul pentru Învăţământ Rural

cilindrului şi conului, la distanţa OM = R  de baza cilindrului (de fapt, sferaeste tangentă interior cilindrului, v. figura următoare).

Să se arate că volumul sferei este medie aritmetică între volumul conuluişi volumul cilindrului (Arhimede).

1,5 p 6.  Se consider ă  o sfer ă  de rază  R , secţionată  cu un plan α   situat ladistanţa d de centrul sferei, 0 d R < < .

Se cere volumul corpului cuprins între calota sferică  “mică” determinată de αşi conul cu vârful în centrul sferei şi având ca bază cercul obţinut prinsecţionarea sferei cu planul α .

Ce se întâmplă când d  tinde către zero? .

1.6. Bibliografie

[1.] Manualele în vigoare pentru clasele V-VIII

[2.] D. Brânzei, S. Aniţa, C. Cocea. Planul şi spaţ iul euclidian. Ed. Acad. R.S.R. Bucure

şti, 1986.

[3.] D. Brânzei, S. Aniţa, E. Onofraş, G. Isvoranu. Bazeleraţ ionamentului geometric . Ed. Acad. R.S.R. Bucureşti,1983.

[4.] C. Coşniţă, Geometria în spaţ iu. Manual pentru clasa a X-a real ă,Ed. Did. Ped. Bucureşti, 1958

[5.] I. Cuculescu, S. Kleitsch, C. Ottescu. Geometrie în spaţ iu. Ed.Univ. Bucureşti, 1997.

[6.] N. Efimov. Géométrie supérieure. Edition Mir. Moscov, 1981.

[7.] D. Mihalca, I. Chiţescu, M. Chiriţă. Geometria patrulaterului .Teora. Bucureşti, 1998.

[8.] L. Nicolescu, V. Boskoff. Probleme practice de geometrie. Ed.Tehnică. Bucureşti, 1990.

[9.] L. Nicolescu, A. Bumbăcea, A. Catană, P. Horja, G. G. Nicolescu,N. Oprea, C. Zara. Metode de rezolvare a problemelorde geometrie. Ed. Univ. Bucureşti, 1993.

[10.] K. Teleman, M. Florescu, C. Rădulescu, D. Moraru, E. Stătescu.Matematic ă. Geometrie. Manual pentru clasa a IX-a.Ed. Did. Ped. Bucureşti, 1978.

[11.] G. Ţiţeica. Probleme de geometrie, ed. VI. Ed. Tehnică.Bucureşti, 1981.

Page 143: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 143/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 137 

Unitatea de învăţare 2

ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ 

Cuprins

Obiectivele unităţii de învăţare 2 ................................................................1372.1. Coordonate carteziene (pe dreaptă, în plan, în spaţiu)................1382.2. Elemente de geometrie analitică plană........................................1532.3. Elemente de geometrie analitică în spaţiu...................................2192.4. Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare ................... 2682.5. Lucrare de verificare pentru studenţi ………………………………298

2.6. Bibliografie .................................................................................. 299

Obiectivele unităţii de învăţare 2

După ce veţi parcurge această unitate de învăţare, veţi facecunoştinţă  cu metodele geometriei analitice şi veţi aveacunoştinţe suficiente să  faceţi următoarele operaţii

matematice:  Identificarea unui sistem convenabil de axe la care

să raportaţi o configuraţie dată.  Utilizarea coordonatelor unui punct şi a parametrilor

care realizează  configuraţia în rezolvarea deprobleme.

  Utilizarea formulelor, determinarea ecuaţiilordreptelor, planelor, conicelor, cu proprietăţigeometrice bine definite.

  Exprimarea algebrică  sau analitică  a proprietăţilorgeometrice.

  Analiza ecuaţiilor din plan în vederea gener ării unorecuaţii pentru geometria în spaţiu.

  Interpretarea unor situaţii concrete, cotidiene, prinraportarea la un sistem de axe. Utilizareaproprietăţilor geometrice pentru rezolvarea unorprobleme practice.

Page 144: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 144/401

Elemente de geometrie analitică 

138  Proiectul pentru Învăţământ Rural

2.1. Coordonate carteziene (pe dreaptă, în plan, în spaţiu).

Ideea de bază  a geometriei analitice  este următoarea: punctele  suntidentificate cu numere (pe dreaptă), cu perechi de puncte (în plan) sau cutriplete  de numere  (în spaţiu). Aceste numere care apar în identificări se

numesc coordonatele punctelor .Cea mai pregnantă dintre aceste identificări este identificarea

punct în plan ≡ pereche de numere

 În acest moment, o figur ă  geometrică  plană  (mulţime de puncte din plan)devine o mulţime de perechi de puncte. În acelaşi timp, o proprietategeometrică devine o proprietate de calcul. De exemplu, faptul că distanţadintre punctele A1 ≡ ( x 1, y 1) şi  A2  ( x 2 , y 2 ) este egală cu r  se scrie astfel:

( ) ( )22

2121 y y  x  x    −+−  = r

De asemenea, anumite figuri geometrice  (mulţimi de puncte din plan) auanumite ecuaţii. De exemplu, faptul că punctele M   ≡  ( x, y ) se află  pe odreaptă  se exprimă prin aceea că există  trei numere reale a, b, c  (cu a ≠ 0  sau b ≠ 0 ) astfel încât coordonatele x  şi y  ale punctelor satisfac egalitatea

ax + by + c = 0

numită ecuaţia dreptei.

Istoria matematicii îl recunoaşte ca fondator al geometriei analitice, bazată pe metoda coordonatelor , pe matematicianul şi filozoful francez RenéDescartes  (1596 – 1650). Coordonatele obişnuite ale punctelor se numesccoordonate carteziene  în onoarea lui Descartes, care scria în limba latină (aşa cum era obiceiul timpului) şi semna Renatus Cartesius. Acelaşicomentariu se poate face referitor la denumirea de produs cartezian a două mulţimi.

Page 145: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 145/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 139 

2.1.1. Coordonate carteziene pe dreaptă 

Fie d   o dreaptă  fixată  (acesta este spaţiul în care vom lucra: o lumeunidimensională). Presupunem că ştim, în mod intuitiv, ce înseamnă  că  unpunct M ∈ d  se află  între punctele  A şi B din d , ceea ce permite să vorbim

despre segmentele (care au mai fost definite) ( AB), [ AB], [ AB) şi ( AB].

Pentru a face geometrie analitică  pe o dreaptă  d , vom defini pe această dreaptă un sens şi o unitate de măsur ă.

Definirea sensului. Vom considera un punct 0 ∈  d   fixat, numit origine  (fig. 2.1.). El împarte dreapta d   în semidreptele (opuse) [0x  şi [0x’ , pe care le vom nota,pentru comoditate, cu 0x  şi 0x’ .

Fig. 2.1

Facem o alegere între cele două semidrepte şi numim pe 0x  semidreaptapozitivă  (de obicei, se alege ca semidreaptă  pozitivă  pe cea care este “ladreapta”, aşa cum este pe desen).

Spunem că  am ales un sens pe dreapta d   în momentul când am alessemidreapta pozitivă 0x .

Definirea unităţii de măsur ă. Pe semidreapta pozitivă 0x  consider ăm un punct fixat  A ≠ 0 . Unitatea de măsur ă  pe d   este lungimea segmentului [OA]. Şi această 

definiţie este intuitivă, pentru că  ea presupune că  ştim ce înseamnă  să măsur ăm lungimea unui segment (vezi fig. 2.1.).

Definiţie.  O dreaptă d , pe care s-a ales un sens şi o unitate de măsur ă se numeşte axă de coordonate sau dreaptă carteziană.

O dreaptă  carteziană  se poate pune în corespondenţă  cu mulţimeanumerelor reale R . În mod precis, vom ar ăta cum se poate defini o funcţiebijectivă  h: d →   R cu următoarea proprietate: pentru orice punct M ∈  d ,facem să corespundă un unic număr real  x M  = h(M), numit coordonata luiM .

Fig. 2.2

 În primul rând, h(O) = 0 . Apoi, dacă M ≠ 0 , vom avea x M  > 0  dacă M ∈ Ox  sau x M < 0 , dacă M ∈ Ox’ .

Page 146: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 146/401

Elemente de geometrie analitică 

140  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Dacă M ∈ Ox , vom defini pe  x M   astfel:  x M   = lungimea segmentului [OM ]. Dacă N ∈ Ox’ , vom defini pe x N  astfel:  x N  = - (lungimea segmentului[NO ]), vezi fig. 2.2.(Atenţie! În mod intuitiv, lungimea lui [OM ] înseamnă “ de câte ori se cuprindeunitatea de măsur ă [OA] în [OM ]”).

 În fig. 2.2. avem: 2=

M  x  , 1−=

N  x   şi 2

5=

P  x  . Acest mod de definire poate fi utilizat şi pentru puncte care dau rezultatenumere iraţionale. De exemplu, în fig. 2.3., segmentele [OA] şi [OB] au,fiecare, lungimea egală cu 1. De asemenea, OBOA ⊥ . Rezultă că ipotenuza

OB  a triunghiului dreptunghic  AOB  are lungimea 2 . Purtând pe Ox  

segmentul OU  de lungime egală cu 2 , ca în fig. 2.3., va rezulta 2=U  x   şi

2 este număr iraţional (nu este număr raţional).

Temă. Ar ătaţi că  2 nu este număr raţional.

Fig. 2.3

Definiţie. Dacă punctului M ∈ d  îi corespunde numărul real h(M ) = x M , vom spune că  x M  este coordonata (carteziană) a lui M  pe dreapta carteziană d  şi vom nota

M ( x M ) 

 Aşadar, bijecţia h identifică un punct M  cu coordonata sa x M , adică identifică dreapta carteziană d  cu mulţimea numerelor reale R .

Identificarea de mai sus „păstrează ordinea”: M  se află  între  A şi B dacă şinumai dacă numărul  x M  este cuprins între numerele  x  A şi  x B (de exemplu,dacă  x  A < x B, înseamnă că trebuie să avem x  A ≤ x M  ≤ x B).

Definiţie.  Distanţa  între două puncte  A şi B ale dreptei carteziene d , notată   AB este

lungimea segmentului de extremităţi A şi B.

Teoremă.  Dacă  A şi B sunt pe dreapta carteziană d , avem relaţia:

B A  x  x  AB   −= .

Page 147: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 147/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 141 

Ilustr ăm afirmaţia de mai sus în fig. 2.4. unde punctele sunt echidistante(distanţa între două puncte alăturate este egală cu 1).

Fig. 2.4.

101   =−=−= o A  x  x OA  213   =−=−=  AC   x  x CA  

231   =−=−= C  A  x  x  AC   

( ) 21313   =+−=−−−=−= M P   x  x PM   

4422   =−=−−=−= BN   x  x NB  

Dacă  avem două  puncte distincte  A( x  A) şi B( x B) pe dreapta carteziană  d ,

putem defini raportul de segmente orientateMB

MA pentru orice punct M ∈ d, M

≠ B.

 Anume, prin definiţie, acest raport este:

M B

M  A

 x  x 

 x  x 

MB

MA

−= .

Se constată că, dacă M ∈ [ AB) (vezi fig. 2.5a)) avem:

MB

MA

MB

MA−=  

(raportul distanţelor lui M  la A şi B, luat cu semnul −, deoarece „segmenteleorientate” MA  şi MB  „au sensuri contrare” în acest caz).

Se mai constată că, dacă M ∉ [ A,B] (vezi fig. 2.5b) sau fig. 2.5c)), atunci:

MB

MA

MB

MA=  

(raportul distanţelor lui M  la A şi B, deoarece MA  şi MB  „au acelaşi sens”).

Page 148: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 148/401

Elemente de geometrie analitică 

142  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Fig. 2.5.

Prin urmare, raportulMBMA  poate lua orice valoare în afar ă de valoarea 1.

Teoremă. Dacă M ∈ d, M ≠ B, are proprietatea că  t MB

MA= , unde t  este un număr real

diferit de 1, atunci:

tx  x  x  B A

M −

−=

 În particular pentru mijlocul M  a lui AB (se ia 1−=t  ) avem

2B A

 x  x  x 

  +=  

Page 149: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 149/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 143 

2.1.2. Coordonate carteziene în plan

Consider ăm un plan fixat P   (acesta este spaţiul în care lucr ăm: o lumebidimensională).

Definiţie.  Se numeşte reper cartezian  (sau sistem de axe de coordonate în plan 

sau, mai simplu, sistem de axe de coordonate) o pereche ordonată  dedrepte carteziene perpendiculare din P , care au originea comună O  şi auunitatea de măsur ă  comună  (au aceeaşi unitate de măsur ă  pe ambeleaxe).

Prin urmare, pe prima dreaptă avem punctul O şi semidreapta pozitivă Ox ,iar pe a doua dreaptă avem punctul O şi semidreapta pozitivă Oy .

Denumire.  Dreptele de mai sus se numesc axe de coordonate (în plan). Prima dreaptă de mai sus se numeşte axa absciselor  (sau axa Ox , sau axa xx’ ), iar a douadreaptă  se numeşte axa ordonatelor   (sau axa Oy , sau axa yy’ ). De multe

ori, vom denumi reperul cartezian astfel: reperul xOy  sau sistemul de axede coordonate xOy .

Definiţie.  Se numeşte plan cartezian un plan P , împreună cu un reper cartezian.

 În fig. 2.6. avem reperul cartezian  xOy   cu unitatea de măsur ă  dată  depunctele I  şi J : OI = OJ = 1.

Fig. 2.6.

 În continuare, vom ar ăta cum se stabileşte o corespondenţă  între puncteleplanului cartezian şi perechile ordonate de numere reale.

Fig. 2.7.

Folosim fig. 2.7 unde avem sistemul de axe de coordonate  xOy   în spaţiulcartezian P .

Page 150: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 150/401

Elemente de geometrie analitică 

144  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Consider ăm un punct oarecare M   în planul P . Vom asocia lui M   o

pereche de numere ( ) 2, R R R y  x  M M    =×∈   (adică  folosim notaţia obişnuită pentru produsul cartezian! Reamintim că produsul cartezian a două mulţimi A şi B este mulţimea de perechi A x B definită astfel:

( ){ }Bb AabaB A   ∈∈=×  ,,

Dacă  A = B, scriem, de multe ori, A2  în loc de B A × ).

Procedura de asociere. Ducem prin M  două drepte perpendiculare:-  prima dreaptă este paralelă  cu Oy  şi intersectează  pe Ox   în  A( x M ), 

unde x M  este coordonata lui A pe dreapta carteziană Ox ;-  a doua dreaptă este paralelă cu Ox  şi intersectează pe Oy  în B(y M ), unde

y M  este coordonata lui B pe dreapta carteziană Oy . În acest mod am asociat punctului M  perechea ( x M , y M ). De fapt, am definit funcţia F : P   →   2 R , dată prin

F (M ) = ( x M , y M ).

Fig. 2.81) Folosim fig. 2.8. unde avem sistemul de axe de coordonate în planul

cartezian P .

Vom considera o pereche (x, y)  2R ∈  şi îi vom asocia un punct M P .

Procedura de asociere.-  numărului real  x   îi corespunde pe dreapta carteziană  Ox   punctul de

coordonată  x , pe care îl notăm cu A;-  numărului real y   îi corespunde pe dreapta carteziană  Oy   punctul de

coordonată y  pe care îl vom nota cu B.Prin  A  ducem o paralelă  la Oy , iar prin B  ducem o paralelă  la Ox . Acestedouă drepte se întâlnesc în punctul M ∈ P . (Dacă  x = 0 ,punctul M  este pe Oy , dacă y = 0 , punctul M  este pe Ox , iar dacă  x = y = 0 ,obţinem M = 0 ).

Page 151: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 151/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 145 

Dacă M  este legat de  x  şi y   în modul descris mai sus, vom scrie M ( x, y ) şivom spune că  x   şi y   sunt coordonatele carteziene ale punctului M ,anume: x  este abscisa lui M , iar y  este ordonata lui M .De fapt, am definit funcţia G: R 2   →   P   dată  prin G( x, y ) = M   (cititorul varemarca faptul că am scris G( x, y ) = M , în loc de G(( x, y )) = M , adică, amomis o pereche de paranteze, acest mod de scriere fiind unanim folosit).

Se poate observa că  funcţiile F  şi G sunt bijective şi inverse una alteia,adică  1−= F G  şi 1−= GF  .

 În acest mod, se identifică  planul P   cu produsul cartezian R 2   (adică 

identificăm F (P ) ≡ P  şi ( ) 22 R R G   ≡ .

Vom face câteva observaţii care clarifică  “comportamentul geometric” alfuncţiilor F  şi G de mai sus.

Observaţii cu privire la semnul coordonatelor.

Vom discuta poziţia unui punct M ( x, y ) din planul cartezian, în funcţie desemnul coordonatelor sale x  şi y .

Situaţiile posibile în cazul x = 0 sau y = 0  se află în fig. 2. 9.

Fig. 2.9Situaţiile posibile în cazul x ≠ 0  şi y ≠ 0  se află în fig. 2.10.

 Avem x > 0 , y > 0 ; Avem x < 0, y > 0 ;spunem că M  se află  spunem că M  se află  în cadranul I (dreapta, sus) în cadranul II (stânga, sus)

a) b)

Page 152: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 152/401

Elemente de geometrie analitică 

146  Proiectul pentru Învăţământ Rural

 Avem x < 0 , y < 0 ; Avem x > 0, y < 0 ;

spunem că M  se află  spunem că M  se află  în cadranul III (stânga, jos) în cadranul IV (dreapta, jos)

c) d)Fig. 2.10

Folosind identificarea planului P   cu R 2   cu prezentată  anterior, putem scrie

fiecare dintre cele patru cadrane ca produs cartezian a două  mulţimi denumere reale:

cadranul I = ( ) ( )∞×∞ ,0,0cadranul II = ( ) ( )∞×∞− ,00,

cadranul III = ( ) ( )0,0,   ∞−×∞−  

cadranul IV = ( ) ( )0,,0   ∞−×∞  

Putem generaliza aceste egalităţi, după cum urmează:

Reprezentarea geometrică a produselor carteziene de intervale.

a) Fie a < b şi c < d  numere reale. Consider ăm produsul cartezian

[ ] [ ]d c baK  ,,   ×=  

Identificăm K   cu G(K ) (funcţia G  a fost introdusă  anterior) şi obţinemreprezentarea lui K  în forma “dreptunghiului plin” din fig. 2.11. (care conţine şilaturile).

Fig. 2.11.

Dacă vrem să reprezentăm produsul cartezian ( ) ( ), ,L a b c d  = × , vom obţine

numai interiorul dreptunghiului din fig. 2.11. (f ăr ă laturi).

Page 153: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 153/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 147 

Mulţimile [ ] R ba   ×, (fig. 2.12a)) şi [ ]d c R  ,×  (fig. 2.12b)) se reprezintă prin câteo bandă.

Fig. 2.12.

Temă.  Cititorul va reprezenta singur mulţimile [ ]   { }c ba   ×, (segment orizontal) şi

{ }c R × (dreaptă orizontală).

2.1.3. Coordonate carteziene în spaţiuVom lucra în spaţiul S (lumea tridimensională reală în care tr ăim).

Definiţie.  Se numeşte reper cartezian (sau sistem de axe de coordonate în spaţiu,sau, mai simplu, sistem de axe coordonate) un triplet ordonat de dreptecarteziene din S care au originea comună O, măsura comună şi sunt două câte două perpendiculare.

Denumire.  Dreptele de mai sus se numesc axe de coordonate (în spaţiu). Primadreaptă de mai sus se numeşte axa absciselor  (sau axa Ox , sau axa xx’ ), a

doua dreaptă  se numeşte axa ordonatelor   (sau axa Oy , sau axa yy’ ) şi atreia dreaptă se numeşte axa cotelor   (sau axa Oz , sau axa zz’ ). De multeori, vom numi reperul cartezian de mai sus astfel: reperul Oxyz   sausistemul de axe de coordonate Oxyz .

 Avem două posibilităţi de poziţionare a celor trei axe de coordonate: în fig.2.13a) avem un sistem de axe de coordonate drept (dextrorsum), iar înfig. 2.13b) avem un sistem de axe de coordonate stâng (sinistrorsum). Am figurat numai semiaxele pozitive.

Fig. 2.13.

Page 154: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 154/401

Elemente de geometrie analitică 

148  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Definiţie.  Se numeşte spaţiu cartezian un spaţiu S împreună cu un reper cartezian. Înceea ce urmează, vom considera numai repere drepte.

Ca şi la coordonatele carteziene în plan, vom ar ăta cum se poate stabili ocorespondenţă între spaţiu şi tripletele de numere.

Reamintim că, dacă  A, B, C   sunt trei mulţimi, putem defini produsul lorcartezian, care este mulţimea C B A   ××  de triplete, definită astfel:

( ){ }C c Bb Aac baC B A   ∈∈∈=××  ,,,,  

Dacă  A = B = C , scriem de multe ori

3 A A A A   =××  De asemenea, având sistemul de axe de coordonate Oxyz , vom consideracele 3 plane care se formează (vezi fig. 2.14).

Fig. 2.14.

Planul  xOy   (determinat de axele Ox   şi Oy ) se mai numeşte şi planulorizontal. Planele yOz  (determinat de axele Oy  şi Oz ) şi zOx  (determinat de

axele Oz   şi Ox ) sunt planele verticale. Planele  xOy , yOz   şi zOx   se mainumesc şi plane de coordonate.

Fig. 2.15

1) Folosim fig. 2.15 unde avem sistemul de axe de coordonate Oxyz   înspaţiul cartezian S.

Consider ăm un punct M   în spaţiul S . Vom asocia lui M   un triplet denumere ( x M , y M , z M ). 

Procedura de asociere. Proiectăm punctul M  pe cele trei axe Ox, Oy, Oz  înpunctele A, B, C  respectiv. Cu alte cuvinte, ducem

Page 155: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 155/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 149 

din M   perpendiculara pe Ox   şi aceasta intersectează  pe Ox   în  A( x M ) (amnotat cu x M  coordonata punctului A pe dreapta carteziană Ox ; similar y M  estecoordonata proiecţiei B  pe Oy   şi z M   este coordonata proiecţiei C   pe Oz ).Dacă, de exemplu, M  se găseşte pe dreapta Ox , atunci, prin definiţie, A = M  etc.

Atenţie!  Puteam obţine punctele  A, B, C   şi în alt mod (vezi fig. 2.15). Anume:proiectăm punctul M  pe planul orizontal  xOy   în M’ . În acest plan, proiectămM’  pe Ox   în  A’  şi pe Oy   în B’ . Atunci, cu teorema celor trei perpendiculare,rezultă  A’ = A şi B’ = B.

 În acest mod, am asociat punctului M   tripletul de numere ( x M , y M , z M )3R ∈ . De fapt, am definit funcţia F : S  →   3 R , dată prin

F (M ) = ( x M , y M , z M ) 

Fig. 2.16.

2) Folosim fig. 2.16, unde avem sistemul de axe de coordonate Oxyz   înspaţiul cartezian S.

Vom considera un triplet de numere  ( x, y, z ) 3R ∈   şi îi vom asocia un

punct M ∈ S.

Numărului x  îi corespunde punctul  A( x ) pe dreapta carteziană Ox , număruluireal y  îi corespunde punctul B(y ) pe dreapta carteziană Oy  şi numărului real z   îi corespunde punctul C (z ) pe dreapta carteziană Oz .

Consider ăm planul α   care trece prin  A  şi este perpendicular pe Ox   (esteplanul  AUMM’ ) planul  β  care trece prin B şi este perpendicular pe Oy   (esteplanul BVMM’ ) şi planul γ  care trece prin C  şi este perpendicular pe Oz (esteplanul CUMV ).

Cele trei plane se intersectează  într-un punct unic M   (vizualizarea obţineriiacestui punct foloseşte paralelipipedul UAM’MCOBV ). De fapt, punctul M  seobţine în următoarele două etape:

a) Planul α  şi planul  β  se intersectează după dreapta MM’  (avem MM’ ⊥ xOy  deoarece: întâi MM’ ⊥ Ox , din cauză că MM’ ⊂ α  şi apoi MM’ ⊥ Oy , dincauză că MM’ ⊂  β  ). 

b) Planul γ  intersectează dreapta MM’  în M .

Page 156: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 156/401

Elemente de geometrie analitică 

150  Proiectul pentru Învăţământ Rural

 Altă  variantă  de obţinere a punctului M   este sugerată  de fig. 2.15, etapelefiind următoarele:

a) În planul orizontal  xOy   se duc: perpendiculara pe Ox   în  A  şiperpendiculara pe Oy  în B. Ele se intersectează în M’ .

b) Perpendiculara h pe planul  xOy   dusă  prin M  se intersectează  cu planul

dus prin C  şi perpendicular pe Oz  în M  (sau: se proiectează C  pe h în M ).

Remarcăm că z = 0 ⇔ M ∈ xOy, x = 0 ⇔ M ∈ yOz, y = 0 ⇔  ⇔ M ∈ zOx .

Similar: x = y = 0 ⇔ M ∈ Oz, y = z = 0 ⇔ M ∈ Ox, z  = x = 0 ⇔ ⇔ M ∈ Oy . Înfinal: x = y = z = 0 ⇔ M = 0 .

Dacă M  este legat de  x, y, z  în modul de mai sus, vom scrie M ( x,y,z ) şivom spune că  x, y, z   sunt coordonatele carteziene ale punctului M ,anume: x  este abscisa lui M , z  este ordonata lui M , iar y  este cota lui M .

De fapt, am definit funcţia SR G   →3: , dată prin G ( x,y,z ) = M .Se poate observa că  funcţiile F   şi G  sunt bijective  şi inverse una alteia,adică  1−= F G  şi 1−= GF  .

 În acest mod, se identifică  spaţiul S  cu produsul cartezian 3 R   (adică identificăm F (S) ≡ S şi ( ) 33 R R G   ≡ ).

 Am constatat deja ce înseamnă anularea unor coordonate ale punctului M .Cititorul poate studia singur ce poziţii poate lua un punct M ( x,y,O) situat înplanul  xOy , în funcţie de  x   şi y . Anume, se reduce totul la plan, f ăcând

abstracţie de coordonata z = 0 .Pentru punctele M ( x,y,z ) unde toate coordonatele sunt nenule, adică punctecare nu se găsesc pe nici unul din planele de coordonate, se face uz de împăr ţirea spaţiului în cele 8 regiuni numite octante  care apar în modnatural, fiind delimitate de planele de coordonate. Cele 8 octante suntcaracterizate de semnul numerelor x, y, z , ca în tabelul de mai jos.

octant  x y z 

1 + + +2 - + +

3 - - +4 + - +5 + + -6 - + -7 - - -8 + - -

Page 157: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 157/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 151 

( ) ∈1,1,1  octant 1 = ( ) ( ) ( )∞×∞×∞ ,0,0,0  

( )∈− 1,1,1  octant 2 = ( ) ( ) ( )∞×∞×∞− ,0,00,  

( )∈−− 1,1,1  octant 3 = ( ) ( ) ( )∞×∞−×∞− ,00,0,  

( )∈− 1,1,1 octant 4 = ( ) ( ) ( )∞×∞−×∞ ,00,,0

( )∈−1,1,1 octant 5 = ( ) ( ) ( )0,,0,0   ∞−×∞×∞  

( )∈−− 1,1,1 octant 6 = ( ) ( ) ( )0,,00,   ∞−×∞×∞−  ( )∈−−− 1,1,1 octant 7 = ( ) ( ) ( )0,0,0,   ∞−×∞−×∞−  

( )∈−− 1,1,1  octant 8 = ( ) ( ) ( )0,0,,0   ∞−×∞−×∞  

Punctele M ( x,y,z ) cu z >  0   fac parte din semispaţiul superior   situatdeasupra planului orizontal  xOy   (care este caracterizat de z =  0 ). Acestepuncte se găsesc în primele 4 octante, care corespund împăr ţirii planului xOy   în 4 cadrane. Punctele M ( x,y,z ) cu z < 0  fac parte din semispaţiulinferior , sub planul xOy , deci se găsesc în ultimele 4 octante.

 În fig. 2.17 se încearcă prezentarea celor 8 octante.

Fig. 2.17

 În fine, să  remarcăm că, dacă a1 < a2 , b1 < b2 , c 1 < c 2  sunt numere, atunciprodusul cartezian

[ ] [ ] [ ]212121 ,,, c c bbaaK    ××=  

reprezintă un paralelipiped plin (cu feţe), iar produsul cartezian

( ) ( ) ( )212121 ,,, c c bbaa   ××  

reprezintă interiorul lui K  (se scot feţele).

Semispaţiul superior  este [   )∞×× ,0R R   etc.

Page 158: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 158/401

Elemente de geometrie analitică 

152  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Test de autoevaluare 1

1. Reprezentaţi grafic următoarele mulţimi:a) [ ] [ ]4,23,1   −×−  

b) { }2×R   

c) [   )3,2×R   d) { } (   ]1,01 ×  

e) [ ] [ ]( ) { }( )24,23,1   ×∩−×− R   

2. Se consider ă  într-un plan cartezian un dreptunghi ABCD. Realizaţi două  variante cât mai avantajoase dealegere a reperului cartezian în P  pentru reprezentareadreptunghiului ABCD.

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 265 a acesteiunităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 159: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 159/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 153 

2.2. Elemente de geometrie analitică plană 

2.2.1. Ecuaţia carteziană a dreptei

Se consider ă planul cartezian P .

Teorema fundamentală (ecuaţia carteziană a dreptei)Fie d ⊂ P  o mulţime nevidă. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. Mulţimea d  este o dreaptă.2. Există numerele reale a,b,c cu a ≠ 0  sau b ≠ 0 , astfel încât

( )   }0, 2 =++∈= c by ax R y  x d   

Comentarii, completări, notaţii şi denumiri.a) Am identificat, conform celor spuse în paragraful 2.1, punctele M   din

planul cartezian P   cu elementele lui R 2, anume punctul M ( x,y ) se

identifică cu ( x,y )  2R ∈ .b) În condiţiile teoremei, egalitatea

ax + by + c = 0

se numeşte ecuaţia carteziană generală a dreptei şi se notează 

d : ax + by + c = 0   (1)

Mai spunem că d  este dreapta de ecuaţie ax  + by + c = 0 

c) Avem, aşadar, echivalenţa

M ( x M , y M ) ∈ d ⇔ ax M  + by M  + c = 0

d) Dacă  în ecuaţia (1) înmulţim (respectiv împăr ţim) cu un număr t ≠  0 ,obţinem ecuaţia carteziană 

tax + tby + tc = 0   (1’)

(respectiv 0=++t 

c y 

b x 

a) (1’’)

Este evident că avem echivalenţele

0=++ c by ax  M M    ⇔   0=++ tc tby tax  M M    ⇔  

⇔ M  x t 

a + M y 

b +

c  = 0

adică ecuaţiile (1), (1’), (1’’) reprezintă aceeaşi dreaptă. Se foloseşte demulte ori această proprietate.

Page 160: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 160/401

Elemente de geometrie analitică 

154  Proiectul pentru Învăţământ Rural

De exemplu, dreapta reprezentată de ecuaţia

2 4 6 0 x y + − =  

este aceeaşi cu dreapta reprezentată de ecuaţia

2 3 0 x y + − = . 

e) Dacă, în (1), avem a = 0 , rezultă, obligatoriu, b ≠ 0  şi (1) devine

a

c y 

a

c y c by    −=⇔=+⇔=+ 00

O astfel de ecuaţie reprezintă o dreaptă orizontală (paralelă sau confundată cu axa Ox ). Aşadar, forma generală a ecuaţiei unei drepte orizontale este

d : y = y 0   y = constant

De exemplu, în fig. 2.18 avem reprezentată dreapta d : y = 2   (aici y 0 = 2 )

Fig. 2.18

Dacă, în (1), avem b = 0 , rezultă obligatoriu, a ≠ 0  şi (1) devine

a

c  x a

c  x c ax    −=⇔=+⇔=+ 00

O astfel de ecuaţie reprezintă o dreaptă verticală (paralelă sau confundată cu Ox ). Aşadar, forma generală a ecuaţiei unei drepte orizontale este

d : x = x 0    x = constant

De exemplu, în fig. 2.19, avem reprezentată dreapta d: 1−= x   (aici 10   −= x  ).

Fig. 2.19

Page 161: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 161/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 155 

 În fine, dacă în (1) avem a ≠ 0  şi b ≠ 0 , spunem că dreapta d : ax + by + c= 0  este o dreaptă oblică (ea nu este paralelă cu nici una din axe).

De exemplu, în fig. 2.20, avem reprezentată dreapta 032:   =−+ y  x d  .Fig. 2.20

Pentru reprezentare, se folosesc punctele de intersecţie cu axele.

 Anume, în ecuaţia 032   =−+ y  x   

-  facem  x =  0 , obţinem2

3032   =⇔=− y y  , deci punctul ⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ 

2

3,0 A   este

intersecţia lui d cu axa Oy .-  facem y =  0 , obţinem 303   =⇔=−  x  x  , deci punctul B(3, 0 ) este

intersecţia lui d  cu axa Ox .

Punctele A şi B sunt suficiente pentru trasarea dreptei d .

Se poate observa că M (1, 1) ∈ d . (Uneori, pentru precizia trasării se ia şi un

al treilea punct: 5= x    ⇒   0325   =−+ y   ⇒   1−=y   ⇒   ( ) d N    ∈−1,5 ).

 Aici putem vorbi şi despre raportul segmentelor orientate.

Consider ăm două puncte distincte A( x  A, y  A) şi B( x B, y B ) într-un plan cartezian.Pe dreapta d = AB consider ăm puncte M, N  diferite de A şi B (fig. 2.21).

Fig. 2.21

Page 162: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 162/401

Elemente de geometrie analitică 

156  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Vom defini raportul segmentelor orientateMB

MA sau

NB

NA (vezi fig. 2.21).

 Anume, dacă M ∈  ( AB), prin definiţie

MBMA

MBMA −=  

(raportul distanţelor lui M   la  A  şi B, luat cu semnul minus, deoarecesegmentele MA  şi MB  au orientări diferite).

Dacă N ∉ [ AB], prin definiţie

NB

NA

NB

NA=  

(raportul distanţelor lui N  la A şi B).

Putem defini raportulMB

MA  şi pentru M = A, prin convenţia

0= AB

 AA 

Nu putem definiBBBA  .

Prin urmare, am definit raportul segmentelor orientate exact ca în cazulcoordonatelor carteziene pe dreaptă. Acest raport poate lua orice valoarereală diferită de 1.

Teoremă.  În condiţiile de mai sus, dacă  A, B sunt puncte distincte pe d  şi M ∈ d, M ≠ B,să notăm

t MB

MA=  

 Atunci, dacă M ( x M , y M ), avem

tx  x  x  B A

M −

−=

1,

ty y y  B A

M −

−=

 În particular, dacă M  este mijlocul lui  AB (adică luăm t = 1− ) avem

2B A

 x  x  x 

  += ,

2B A

y y y 

  += .

Page 163: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 163/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 157 

Fig. 2.22

 În continuare, ne referim la fig. 2.22. Avem în planul cartezian P  dreapta d : ax + by + c = 0 care împarte planul P  în semiplanele P 1 şi P 2 . Avem puncteledistincte A, B în planul P, A ∉ d, B ∉ d  şi AB nu este paralelă cu d . Atunci,dreptele AB şi d  se vor intersecta într-un punct M .

Teoremă.  (Raportul în care o dreaptă împarte un segment). 

 În condiţiile de mai sus, avem:

c by ax 

c by ax 

MB

MA

BB

 A A

++

++=  

Comentariu. Enunţul de mai sus se leagă de următoarea explicaţie geometrică. Dreapta d   împarte planul P , (cum am mai văzut) astfel:

1 2P P P d  = ∪ ∪  

unde P 1 şi P 2  sunt semiplanele deschise ale lui P  generate de d   (care estefrontiera lor comună).

Considerând expresia algebrică 

f ( x, y ) = ax + by + c

avem

( ) ( ){ }0,|, 2 =∈= y  x f R y  x d   

 În acelaşi timp, f   păstrează  semn constant pe fiecare semiplan. Deexemplu, vom avea

( ) ( ){ }0,|,1   >= y  x f y  x P   

( ) ( ){ }0,|,2   <= y  x f y  x P   

Page 164: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 164/401

Elemente de geometrie analitică 

158  Proiectul pentru Învăţământ Rural

 În fig. 2.22a), A ∈ P 1, B ∈ P 2 , deci AB traversează pe d  şi M ∈ ( A, B). 

Rezultă  0<MB

MA. În fig. 2.22b),  A şi B sunt în P 1 şi M  este în afara lui [ AB], 

deci 0>MB

MA.

2.2.2. Alte forme de exprimare analitică a unei drepte.

A. Ecuaţia explicită a dreptei

Dacă  avem dreapta d :  ax +  by +  c =  0   şi b ≠  0 , putem scrie ecuaţia ei,echivalent astfel:

0:   =++b

c y  x 

b

ad    ⇔   nmx y d    +=:  

undeb

am   −=  şi

b

c n   −=  

Definiţie.  Spunem că y = mx + n

este ecuaţia explicită a dreptei d .

 Aşadar, orice dreapt

ă  d   care nu este vertical

ă  poate fi scris

ă  în forma

explicită. Se constată că  θ tg m =  (şi se numeşte panta dreptei), unde θ  esteunghiul f ăcut de dreaptă cu axa Ox , iar n este ordonata la origine, adică B(0, n) este punctul de intersecţie al dreptei d  cu Oy . Dacă n = 0 , deci d  areecuaţia y = mx , atunci d trece prin origine.

B. Ecuaţia unei drepte care trece printr-un punct dat. Ecuaţia unei drepte care treceprin două puncte date. Ecuaţia prin tăieturi.

Teoremă.  Se dă  un punct  A( x  A, y  A).  Atunci, o dreaptă  care trece prin  A  poate avea

ecuaţia de una din următoarele forme.

 x = x  A (unica dreaptă verticală care trece prin A)( ) A A  x  x my y    −=− , unde R m ∈ .

Evident, avem o infinitate de drepte care trec printr-un punct dat.

Dacă impunem condiţia ca o dreaptă care trece prin A să mai treacă şi prinalt punct B, vom avea o singur ă  dreaptă  soluţie (determinată  de acestecondiţii).

Page 165: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 165/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 159 

Teoremă.  Fie A( x  A, y  A) şi B( x B, y B) două puncte distincte. Atunci, există o unică dreaptă d  care trece prin punctele A şi B (este dreapta AB).

Ecuaţia dreptei d = AB poate avea una din următoarele două forme:

 x = x  A, dacă  x  A = x B 

( ) A

 AB

 AB A  x  x 

 x  x 

y y y y    −

−=− , dacă  B A  x  x   ≠  

(echivalent  ( )B

B A

B AB  x  x 

 x  x 

y y y y    −

−=− ) 

Ecuaţia se mai poate scrie unitar sub forma

sau, echivalent

( )( ) ( )( )B ABB AB  x  x y y y y  x  x    −−=−−  

 Avem şi o formă  a ecuaţiei dreptei care trece prin două  puncte date carefoloseşte determinanţii.

Teoremă. (Forma determinant a ecuaţiei unei drepte care trece prin două punctedate).

Ecuaţia dreptei care trece prin punctele distincte A( x  A, y  A) şi B( x B, y B) este:

1

1

1

 

BB

 A A

y  x 

y  x 

y  x 

 = 0

Teoremă. (Ecuaţia prin tăieturi a dreptei)Se consider ă  o dreaptă  oblică  d   care nu trece prin originea axelor decoordonate.Dreapta d intersectează axa Ox  în A(a, 0 ) şi axa Oy  în B(0, b).  Atunci, ecuaţia dreptei d  este

1:   =+by 

a x d   

Observaţie.  Ecuaţia unei drepte d   care trece printr-un punct dat  A( x  A, y  A) şi are pantadată, egală cu m adică este paralelă cu o direcţie dată (şi nu este verticală!)are forma următoare:

( ) A A  x  x my y    −=−  

( )( ) ( )( ) AB A AB A  x  x y y y y  x  x    −−=−−

Page 166: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 166/401

Elemente de geometrie analitică 

160  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Temă.  Comparaţi cu rezultatele anterioare!

C. Drepte reprezentate parametric

Vom considera numerele reale 0 x  , 0y  , a, b, unde 0≠a  sau 0≠b .

Se poate ar ăta că mulţimea

( ){ }R t R bt y at  x d    ∈∈++=  |,  200  

este o dreaptă în planul cartezian, care are următoarele proprietăţi:

(i) d  trece prin punctul ( )00,y  x M   

(ii) d  este paralelă cu orice dreaptă de ecuaţie

0:   =+− c ay bx u  

sau

0:   =++− c ay bx v   

Prin urmare, putem deduce exact ecuaţia carteziană a lui d , punând condiţiaca uM  ∈  (sau v M  ∈ ).

De exemplu, scriind uM  ∈ , obţinem

0000 0 ay bx c c ay bx    +−=⇒=+−  

şi atunci ecuaţia carteziană a lui d  este

0: 00   =+−− ay bx ay bx d   

(sau ( ) ( ) 0: 00   =−−− y y a x  x bd  ).

Definiţie.  În condiţiile de mai sus, spunem că dreapta d  este reprezentată parametric 

prin ecuaţiile at  x  x    += 0  

bt y y    += 0 , R t  ∈  

Uneori, scriem

⎩⎨⎧

∈+=

+=

R t bt y y 

at  x  x d 

 ,:

0

0  

Page 167: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 167/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 161 

Invers, orice dreaptă de ecuaţie carteziană 

0:   =++ c by ax d   se poate reprezenta parametric.

De exemplu, dacă  0≠b  avem pentru d  reprezentarea parametrică:

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈−−=

=

R t t b

a

b

c y 

t  x d 

 ,:

2.2.3. Poziţiile relative a două drepte în plan.

Teoremă.  Fie drepteled : ax + by + c = 0  şi d’ = a’x + b’y + c = 0  

 Atunci: I. d  şi d’  sunt concurente ⇔  0''   ≠− baab .II. d  şi d’  sunt paralele ⇔ există un număr real nenul t  cu proprietatea a = ta’,

b = tb’  şi c ≠ tc’ .III. d  şi d’  sunt confundate ⇔ există un număr real nenul t  cu proprietatea

a = ta’, b = tb’, c = tc’

2.2.4. Coliniaritate, concurenţă. Aria unui triunghi.

Teoremă.  Fie A( x  A, y  A), B( x B, y B), C ( x C , y C ) puncte în planul cartezian P . Atunci:Punctele A, B, C  sunt coliniare dacă şi numai dacă:

1

11

 

C C 

BB

 A A

y  x 

y  x y  x 

 = 0.

Legat de acest rezultat, avem următoarea

Teoremă. (Formula ariei unui triunghi).Fie A( x  A, y  A), B( x B, y B), C ( x C , y C ) trei puncte necoliniare.

 Atunci, aria triunghiului ABC  este dată de formula

( ) D ABC S

2

1=  

unde

1

1

1

 

C C 

BB

 A A

y  x 

y  x 

y  x 

=Δ  

Temă de reflecţie. Comparaţi cu rezultatul anterior. „Triunghiurile” cu vârfuri coliniare auarie nulă...

Page 168: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 168/401

Elemente de geometrie analitică 

162  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Teoremă.  Fie trei drepted i : ai  x + bi y + c i , i = 1, 2, 3. 

 Atunci, următoarele afirmaţii sunt echivalente:I. Dreptele d 1, d 2 , d 3 sunt concurente.II. Avem simultan proprietăţile:

(i)

1

11

 

33

22

11

ba

baba

 = 0

(ii) Cei trei minori din matricea care apare mai sus sunt nenuli:

22

11

ba

ba  ≠ 0,

33

22

ba

ba  ≠ 0 şi

33

11

ba

ba  ≠ 0

2.2.5. Distanţa între două puncte. Distanţa de la un punct la o dreaptă.

Teoremă.  Fie în plan punctele A( x  A, y  A) şi B( x B, y B).  Atunci distanţa între punctele A şi B este dată de formula

( ) ( )22B AB A y y  x  x  AB   −+−=  

Teoremă.  Fie în plan punctul P ( x 0 , y 0 ) şi dreapta d : ax + by + c = 0 . Atunci, distanţa dela P  la dreapta d  este dată de formula

( )22

00,

ba

c by ax d P dist 

+

++=  

Ca o consecinţă, putem scrie ecuaţiile bisectoarelor  unghiurilor formate dedouă drepte.

Să consider ăm dreptele concurente: d 1: a1 x + b1y + c 1 = 0  şi d 2 : a2  x + b2 y + c 2  = 0  (fig. 2.23)

Fig. 2.23

Page 169: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 169/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 163 

Se formează 4 unghiuri, două câte două opuse la vârf, care au, fiecare, câteo bisectoare. Bisectoarele unghiurilor opuse la vârf sunt în prelungire şiobţinem cele două drepte suport ale celor 4 bisectoare. Aceste drepte suntperpendiculare. Ne propunem să găsim ecuaţiile acestor două drepte.

Deoarece bisectoarea unui unghi este locul geometric al punctelor egaldepărtate de laturile unghiului rezultă că un punct M ( x, y ) (respectiv N ( x, y ) ) se află pe bisectoare dacă şi numai dacă are proprietatea

dist (M, d 1) = dist (M, d 2 )(respectiv ( ) ( )21 ,dist,dist d N d N    = )

 Aşadar trebuie să avem

2222

222

2121

111

ba

c y b x a

ba

c y b x a

+

++=

+

++ 

Rezultă că cele două  “bisectoare” (de fapt cele două  drepte suport anteriormenţionate) au ecuaţiile

22

22

222

21

21

111

ba

c y b x a

ba

c y b x a

+

++=

+

++ 

22

22

222

21

21

111

ba

c y b x a

ba

c y b x a

+

++−=

+

++ 

Putem distinge între cele două bisectoare din considerente geometrice, deexemplu, examinând intersecţia cu axele.

Exemplu.  Consider ăm dreptele 02:1   =+ y  x d   şi 030112:2   =+− y  x d   Obţinem ecuaţiile

125

30112

5

2   +−±=

+ y  x y  x  

Cele două bisectoare au ecuaţiile

0107   =−+ y  x   şi 0307   =+− y  x   

Temă. Reprezentaţi grafic dreptele d 1, d 2  şi bisectoarele lor.

Page 170: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 170/401

Elemente de geometrie analitică 

164  Proiectul pentru Învăţământ Rural

2.2.6. Unghiul a două drepte. Condiţia de perpendicularitate.

Teoremă.  Fie dreptele concurente

d 1: a1 + b1y + c 1 = 0  şi d 2 : a2  + b2 y + c 2  = 0  

 Atunci, dacă cele două drepte fac între ele un unghi ϕ  şi avem:

22

22

21

21

2121cosbaba

bbaa

++

+=ϕ   

(s-a luat una din cele două valori distincte ale unghiului ϕ )Pentru cealaltă valoare, se obţine ϕ cos− .

 A se vedea fig. 2.23.Pe cale de consecinţă:

d 1 ⊥ d 2  ⇔ a1a2  + b1b2 = 0

Corolar. Fie dreptele concurente date sub formă explicită 

d 1: y = m1 + n1 şi d 2 : y = m2  x + n2  

 Atunci, avem

22

21

21

11

1cos

mm

mm

++

+=ϕ   

Prin urmare:

12121   −=⇔⊥ mmd d  .

Page 171: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 171/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 165 

Test de autoevaluare 2

1. a) Să se reprezinte grafic dreptele având următoareleecuaţii:

1:1   = x d   

1:2   −=y d   0:3   =y d   

12:4   −=  x y d   

 x y d  2:5   −=  

0632:6   =−+ y  x d   

b) Să se determine ecuaţiile tuturor dreptelor din plancare trec prin punctul A(1, 2)

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 266 a acesteiunităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 172: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 172/401

Elemente de geometrie analitică 

166  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Test de autoevaluare 2

c) Se consider ă dreptele de ecuaţii

0:

0:

2222

1111

=++

=++

c y b x ad 

c y b x ad  

care sunt concurente într-un punct M.Să se arate că ecuaţiile celor două drepte suport ale celorpatru bisectoare ale celor patru unghiuri formate de d 1 şid 2 în jurul lui M sunt

22

22

222

21

21

111

ba

c y b x a

ba

c y b x a

+

++±=

+

++ 

 Aplicaţie la dreptele

3:

0632:

2

1

=

=−−

 x d 

y  x d  

d) Se consider ă  dreptele i d  , i   = 1, 2, de ecuaţii

i i i  n x my d    +=: , unde 2 ,1,0   =≠ i mi  .Să se arate că:

212121  şi nnmmd d    ≠=⇔  

12121   −=⇔⊥ mmd d   

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 266 a acesteiunităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, în

continuareaenunţurilor.

Page 173: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 173/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 167 

Test de autoevaluare 2

e) Se consider ă dreapta

0632:   =−+ y  x d   

Să se reprezinte parametric dreapta d .

f) Se cere ecuaţia carteziană a dreptei care arereprezentarea parametrică 

t y 

t  x 

31

21

−−=

+=, R t  ∈  

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 265 a acesteiunităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 174: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 174/401

Elemente de geometrie analitică 

168  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Test de autoevaluare 2

g) Se consider ă mulţimea tuturor dreptelor (verificare afaptului că sunt drepte!) R t d t    ∈, unde

( ) ( ) 01223:   =−−−++ t y t  x t d t   

Să se arate că toate dreptele t d   trec printr-un punct fix.

2. a) Să se studieze, în funcţie de parametrul real t , poziţiarelativă a dreptelor

02:

02:

2

1

=−+

=−+

t ty  x d 

y tx d  

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 265 a acesteiunităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 175: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 175/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 169 

Test de autoevaluare 2

b) Să se scrie ecuaţiile parametrice şi ecuaţia carteziană a unei drepte care trece prin punctul (1, 1) şi esteparalelă cu dreapta

01052:   =−− y  x d   

c) Se consider ă dreptele

022:

0:

01:

3

2

1

=−+

=−+

=−+

y tx d 

t ty  x d 

y  x d 

 

Demonstraţi că dreptele 321  ,, d d d   sunt concurente dacă şi

numai dacă 

2,2,2,1\ −∈ R t   Ce se întâmplă în celelalte cazuri?

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag.265 a acesteiunităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, în

continuareaenunţurilor.

Page 176: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 176/401

Elemente de geometrie analitică 

170  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Test de autoevaluare 2

3.  a) Să  se calculeze distanţa de la punctul  A(1,1) ladreapta d  dată parametric astfel:

t y t  x 

−=+=

432  

Să se calculeze şi distanţa de la  A  la un punct curent aldreptei.

b) Se consider ă  punctele ( ) ( ) ( )a A A A ,1şi0,1,0,0 321   − , unde a 

este un număr real.Când sunt A1, A2 şi A3 coliniare?

 În cazul în care  A1,  A2,  A3 nu sunt coliniare, calculaţi ariatriunghiului A1 A2 A3. Ce se întâmplă când a tinde către zero?

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 265 a acesteiunităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 177: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 177/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 171 

Test de autoevaluare 2

c) Se consider ă dreptele de ecuaţii

0:

0:

2222

1111

=++

=++

c y b x ad 

c y b x ad 

 care sunt concurente într-un punct M.Să se arate că ecuaţiile celor două drepte suport ale celorpatru bisectoare ale celor patru unghiuri formate de d 1 şid 2 în jurul lui M sunt

22

22

222

21

21

111

ba

c y b x a

ba

c y b x a

+

++±=

+

++ 

 Aplicaţie la dreptele

3:

0632:

2

1

=

=−−

 x d 

y  x d  

d) Se consider ă  dreptele i d  , i   = 1, 2, de ecuaţii

i i i  n x my d    +=: , unde 2 ,1,0   =≠ i mi  .Să se arate că:

212121  şi nnmmd d    ≠=⇔  

12121   −=⇔⊥ mmd d   

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 265 a acesteiunităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuarea

enunţurilor.

Page 178: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 178/401

Elemente de geometrie analitică 

172  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Test de autoevaluare 2

e) Se consider ă în planul cartezian dreapta

0:   =++ c by ax d   

şi două puncte distincte ( )111 ,y  x M  , ( )222 ,y  x M   care nu se

află  pe d  şi care au proprietatea că dreptele 21M M   şi d  sunt concurente într-un punct M . Ar ătaţi că 

c by ax 

c by ax 

MM 

MM 

++

++=

22

11

2

1  

(ultima expresie se numeşte raportul în care dreapta d  

 împarte segmentul 21M M  )

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 265 a acesteiunităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 179: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 179/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 173 

2.2.7. Cercul

A. Ecuaţia cercului. Noţiuni fundamentale.

Să consider ăm în planul cartezian P  un punct C (a,b) şi un număr R  > 0.

Cercul de centru (a, b) şi rază R  este mulţimea următoare:

( ) ( ) ( )( )   }R bay  x R y  x    =∈=Γ ,,,dist|, 2  

unde dist (( x , y ), (a, b)) este distanţa între punctele ( x ,y ) şi (a, b). Deci

( ) ( )( ) ( ) ( )22,,,dist by a x bay  x    −+−=  

Putem, deci, să rescriem, având în vedere echivalenţa

( ) ( ) R by a x    =−+−22   ⇔   ( ) ( ) 222

R by a x    =−+−  

egalitatea

( ) ( ) ( ) 2222  |, R by a x R y  x    =−+−∈=Γ   (1)

Egalitatea

( ) ( ) 222R by a x    =−+−   (1)

care caracterizează punctele cercului Γ  se mai numeşte şi ecuaţia cercului (de centru (a, b) şi rază R ).

Dezvoltând, mai putem rescrie (1) astfel:

022 22222 =−++−−+ R baby ax y  x    (1’)

Egalitatea (1’) se numeşte, şi ea, ecuaţia cercului (de centru (a, b) şi rază R ).

 În limbajul geometriei analitice, avem următoarea

Teoremă.  Cercul de centru ( ) 2, R ba   ∈  şi rază R  > 0 are ecuaţia

( ) ( ) 222R by a x    =−+−  

sau, alternativ, are ecuaţia

022 22222 =−++−−+ R baby ax y  x   

Page 180: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 180/401

Elemente de geometrie analitică 

174  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Examinând cele de mai sus, vedem că un cerc are ecuaţia de forma

022 =++++  pny mx y  x    (2)

cu m, n, p numere reale.

Să vedem în ce condiţii ecuaţia (2) este ecuaţia unui cerc veritabil.

Dacă  ar exista un centru ( ) 2, R ba   ∈   şi o rază  R   > 0, astfel încât (2) să reprezinte ecuaţia cercului de centru (a,b) şi rază R , ar rezulta, comparândcu (1’), egalităţile:

am 2−= ; bn 2−= ; 222 R ba p   −+=  

ceea ce este echivalent cu

2ma   −= ;

2nb   −= ;

44222  pnmR    −+=   (3)

Concluzie.  Ecuaţia (2) reprezintă un cerc veritabil dacă şi numai dacă 

0422 >−+  pnm  

Dacă  0422 =−+  pnm , ecuaţia (2) este satisf ăcută  de un singur punct(cercul se reduce la un punct).

Dacă  0422 <−+  pnm , nu există puncte care satisfac ecuaţia (2)

Putem generaliza (puţin) ecuaţia (2). Anume, se vede că, pentru orice numărreal 0≠t  , avem echivalenţa

00 2222 =++++⇔=++++t 

P y 

N  x 

M y  x P Ny Mx ty tx   

(cele două ecuaţii reprezintă “cercuri” egale)

Scriind mt 

M = , n

N = , 0=

P   şi folosind concluzia precedentă, obţinem

următoarea

Teoremă.  1. O ecuaţie de forma

( ) 022 =++++ P Ny Mx y  x t    (*)

este ecuaţia uni cerc veritabil dacă şi numai dacă 

0422 >−+ Pt N M   

Page 181: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 181/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 175 

 În acest caz, cercul are centrul ⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −−

M C 

2,

2 şi raza R   =

Pt N M 

2

422 −+.

2. Dacă  0422 =−+ Pt N M  , ecuaţia (*) reprezintă un punct (este satisf ăcută 

numai de punctul ⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −−

M C 

2,

2).

Dacă  0422 <−+ Pt N M  , ecuaţia (*) nu este verificată  de nici un punct dinplan.

Putem scrie cercul şi în formă parametrică. Mai precis, să ne raportăm la fig.2.24.

Fig. 2.24

Cercul de centru ( )baC  ,  şi rază R  > 0 este parcurs de punctul mobil M  careporneşte din punctul de start 0M    şi se roteşte în sensul descris pe desen,

revenind în 0M   după o rotaţie completă. Analizând proiecţiile lui M  pe C  0M   şi

CD  (CD  este perpendiculara în C   pe C  0M  ) obţinem că  punctul M   are

coordonatele, corespunzătoare unui unghi de rotaţie [ ]π θ  2,0∈ , date astfel:

θ cosR a x M    +=  

θ sinR by M    +=  

 Am obţinut următoarea

Teoremă.  Reprezentarea parametrică a cercului de centru (a,b) şi rază R  este dată deecuaţiile

cos

sin

 x a R 

y b R 

= + θ

= + θ  când [ ]π θ  2,0∈ .

Page 182: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 182/401

Elemente de geometrie analitică 

176  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Se ştie că prin trei puncte necoliniare trece un cerc unic (cercul circumscristriunghiului format de cele trei puncte). Ecuaţia lui este dată de următoarea

Teoremă.  Fie ( ) A A y  x  A , , ( )BB y  x B , , ( )C C  y  x C  , trei puncte necoliniare. Ecuaţia cercului

circumscris triunghiului ABC  este

1

1

1

1

 

22

22

22

22

C C C C 

BBBB

 A A A A

y  x y  x 

y  x y  x 

y  x y  x 

y  x y  x 

+

+

+

+

 = 0

Exemplu.  Să  scriem ecuaţia cercului care trece prin punctele  A(0,1), O(0,0) şi B(1,0)(vezi fig. 2.25)

Fig. 2.25

Ecuaţia este

10101

1000

110101

 

22

22

22

=

+

++ y  x y  x 

 

Dezvoltând determinantul după linia a treia, obţinem ecuaţia

011

101 

22

=

+ y  x y  x 

 

⇔   022 =−−+ y  x y  x    ⇔   022 =−−+ y  x y  x   

 Am obţinut ecuaţia unui cerc de centru ⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ 

2

1,

2

1 şi rază 

2

2, ceea ce se putea

vedea imediat şi din fig. 2.25.

Page 183: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 183/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 177 

B. Probleme de tangenţă 

Prima problemă.  Avem un punct pe un cerc. Ne propunem să  scriemecuaţia tangentei la cerc în acel punct.

A doua problemă.  Avem un cerc şi un punct. Putem duce tangente

(tangentă) la cerc din acel punct?

A treia problemă. Avem un cerc şi o dreaptă. Care este poziţia lor relativă?Când este dreapta tangenta cercului?

A patra problemă. Avem un cerc şi o dreaptă. Întotdeauna există tangentela cerc paralele cu acea dreaptă. Cum se scrie ecuaţia lor? De fapt,problemele 3 şi 4 sunt înrudite.

Ne ocupăm de prima problemă.

Teoremă.  Fie un cerc (veritabil) de ecuaţie02222 =++++  pny mx y  x   

şi ( )00,y  x   un punct pe cerc.

 Atunci, ecuaţia tangentei la cerc în punctul ( )00 ,y  x    se obţine din ecuaţiacercului prin dedublare. Anume, ecuaţia respectivei tangente este

( ) ( ) 00000   =++++++  py y n x  x myy  xx   

Atenţie la enunţ! Coeficienţii lui x şi y  au fost scrişi în forma 2m şi 2n!

Discuţie asupra enunţului!  Cititorul se poate întreba dacă  ecuaţia de lasfâr şitul enunţului de mai sus este într-adevăr ecuaţia unei drepte.

Ne convingem uşor că este aşa. În adevăr, ecuaţia obţinută se mai scrie

( ) ( ) 00000   =++++++  pny mx y ny  x m x   

Trebuie să ar ătăm că 

00   ≠+ m x   sau 00   ≠+ ny   

 Într-adevăr, să presupunem, prin absurd, că am avea

m x    −=0  şi ny    −=0  

Cercul nostru, care are centrul (a,b) şi raza R , trebuie să aibă ecuaţia

Page 184: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 184/401

Elemente de geometrie analitică 

178  Proiectul pentru Învăţământ Rural

022 22222 =−++−−+ R baby ax y  x   

Identificând coeficienţii, obţinem

am 22   −= , deci ma   −=  bn 22   −= , deci nb   −=  

şi, ar rezulta că 

a x   =0  şi by   =0  

adică  ( ) ( )bay  x  ,, 00   = , centrul cercului. Evident, ar rezulta că  ( )00,y  x   nu este

pe cerc, contradicţie.

Observaţie. În general, dacă avem un cerc de ecuaţie

022 22222 =−++−−+ R baby ax y  x   

rezultă  că, pentru orice punct ( )00,y  x    din plan, numărul (obţinut înlocuind

( )00,y  x   în ecuaţia cercului)

( ) 22200

20

2000 22, R baby ax y  x y  x e   −++−−+=  

satisface relaţia

( ) ( )( )22

0000 ,, R y  x d y  x e   −=  

unde ( )00,y  x d   = distanţa între punctul ( )00,y  x   şi centrul ( )ba, al cercului.

Cu alte cuvinte, ( )00 ,y  x e  este puterea punctului ( )00 ,y  x   faţă de cerc.

Temă de documentare. Ce ştiţi în plus în legătur ă  cu puterea unui punct faţă de uncerc?

Exemplu. Revenim la cercul de ecuaţie

022 =−−+ y  x y  x   

Să scriem tangentei la cerc în punctul A(0,1) al cercului (vezi fig. 2.25).Ecuaţia cercului se rescrie

02

12

2

1222 =⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −+⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −++ y  x y  x   

Page 185: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 185/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 179 

 Atunci, ecuaţia tangentei în punctul ( ) ( )1,0, 00   =y  x   va fi:

( ) ( ) 012

10

2

110   =+−+−⋅+⋅ y  x y  x   

adică 

02

1

2

1

2

1=−−− y  x y   

sau, încă 

01:   =+− y  x d   

Verificare directă a) Se vede că dreapta d trece prin A(0,1).

b) Avem  ABd  ⊥  (unde A(0,1) şi B(1, 0).

 În adevăr, ecuaţia dreptei AB se poate obţine astfel:Deoarece trece prin (1,0) are forma

( ) mmx y  x my    −=⇔−=− 10

cu condiţia că (0, 1) verifică:

101   −=⇔−⋅= mmm  

deci AB are ecuaţia

011   =−+⇔+−=   y x x y  

 Atunci, condiţia de perpendicularitate a dreptelor  d  şi AB este

( ) 01111   =⋅−+⋅  evident.

Trecem la a doua problemă.

 Avem cercul de ecuaţie

( ) ( ) 222 Rb ya x   =−+−  

adică 

( ) 022, 22222 =−++−−+= R baby ax y  x y  x F   

cu centrul (a,b) şi raza R  > 0.

Page 186: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 186/401

Elemente de geometrie analitică 

180  Proiectul pentru Învăţământ Rural

(Dacă  cercul nu este dat în această  formă, identificăm coeficienţii şideterminăm a, b, R ).Consider ăm un punct ( )00,y  x  .

Dacă  ( ) 0, 00   =y  x F  , rezultă că  ( )00 ,y  x   este pe cerc şi am văzut cum scriem

ecuaţia tangentei la cerc în ( )00,y  x  .(vezi fig. 2.26a)).

Dacă  ( ) 0, 00   <y  x F  , rezultă că avem

( ) ( ) 220

20 R by a x    <−+−  

adică  ( )00,y  x   este interior cercului (vezi fig. 2.26b)). În acest caz, nu putem

duce tangente la cerc din punctul ( )00 ,y  x  .

 În fine, dacă  ( ) 0, 00   >y  x F  , adică 

( ) ( ) 220

20 R by a x    >−+−  

rezultă  că  punctul ( )00,y  x    este exterior cercului. Putem duce două 

tangente la cerc din acel punct (vezi fig. 2.26c)).

Fig. 2.26

Cum obţinem ecuaţiile lor?

 Avem două situaţii

Prima situaţie: dreapta verticală de ecuaţie

0 x  x  =  

este tangentă  cercului. Aceasta se întâmplă  atunci şi, numai atunci cândR a x    =−0 . De exemplu, în fig. 2.27, avem situaţia R a x    +=0 .

Page 187: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 187/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 181 

Fig. 2.27

Cealaltă tangentă va fi o dreaptă oblică de ecuaţie

( )00  x  x my y    −=−  

adică 

000   =−+− mx y y mx   

Condiţia ca ea să fie tangentă la cerc va fi ca distanţa de la centrul C (a,b) ladreaptă să fie egală cu R , adică 

R m

mx y bma=

+

−+−

2

00

adică 

( )   ( )22200 1 mR mx y bma   +=−+−   (1)

Această ecuaţie în m va avea o soluţie unică  R m ∈ . Obţinem cu acest mecuaţia celeilalte tangente sub forma

( )00  x  x my y    −=−  

A doua situaţie. Dreapta verticală  0 x  x  =   nu este tangentă  la cerc.

 Aceasta revine la faptul că 

R a x    +≠0  şi R a x    −≠0  

 În acest caz, vom avea două tangente oblice, de forma

( )010  x  x my y    −=−  

( )020  x  x my y    −=−  

unde 1m  şi 2m  sunt soluţiile distincte ale ecuaţiei (1).

Page 188: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 188/401

Elemente de geometrie analitică 

182  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Ilustr ăm cele două situaţii prin două exemple.Exemple. 1. (Prima situaţie). Consider ăm cercul de ecuaţie

122 =+ y  x   

şi punctul (1,2). Să scriem ecuaţiile tangentelor la cerc din (1,2).

 În primul rând, scriind

( ) 1, 22 −+= y  x y  x F   

obţinem

( ) 041212,1 22 >=−+=F   

deci (1,2) este exterior cercului nostru, care are centrul (a,b) = (0,0) şiraza R  = 1.

Constatăm că  R a x    ==−=− 1010  deci dreapta x  = 1 este tangentă la cerc.

Cealaltă tangentă va avea forma

( ) 0212   =+−−⇔−=− my mx  x my   

unde m este soluţia ecuaţiei

( )43121

1200 22

2=⇔+=+−⇔=

++−−⋅ mmm

m

mm  

Tangenta a doua are ecuaţia

024

3

4

3=+−− y  x   

adică 0543   =+− y  x   

2. (A doua situaţie). Consider ăm din nou cercul de ecuaţie122 =+ y  x   

şi punctul (2,0) (care este exterior cercului).Să scriem ecuaţiile tangentelor din (2,0) la cerc.

Se constată că aici ( ) ( )0,0,   =ba  şi ( ) ( )0,2, 00   =y  x  . Avem

a x   −0 =2 > 1 = R. Deci dreapta x = 2 nu este tangentă la cerc.

Tangentele vor avea ecuaţiile( )21   −=  x my   şi ( )22   −=  x my   

Page 189: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 189/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 183 

unde 1m  şi 2m  sunt soluţiile ecuaţiei (1), adică 

( ) 1312 222=⇔+=− mmm  

3

31  =m ,

3

32   −=m  

Tangentele au ecuaţiile

( )233 −=  x y   şi ( )2

33 −−=  x y   

 Acum ne ocupăm de a treia problemă. Scriind că distanţa de la o dreaptă lacentrul unui cerc este mai mică decât raza (dreapta este secantă), egală curaza (dreapta este tangentă) sau mai mare decât raza (dreapta esteexterioar ă), avem următoarea

Teoremă.  Fie un cerc de ecuaţie( ) ( ) 222

R by a x    =−+−  şi o dreaptă de ecuaţie

0=++ C By  Ax   Formăm expresia

22 B A

C By  Ax E 

+

++=  

 Atunci:Dacă E  < R , dreapta este secantă cerculuiDacă E  = R , dreapta este tangentă cerculuiDacă E  > R , dreapta este exterioar ă cercului

Exemplu. Consider ăm cercul de ecuaţie

122 =+ y  x   şi dreapta de ecuaţie

043   =++ my  x   unde m este un parametru real. În ce condiţii este dreapta secantă cercului ? În ce condiţii este dreaptatangentă cercului ?

 Aici a = b = 0, R  = 1 şi A = 3, B = 4, C  = m 

543

040322

mmE    =

+

+⋅+⋅=  

Dreapta este secantă cercului 15

  <⇔m

  ⇔   5<m   ⇔   ⇔   ( )5,5−∈m .

Dreapta este tangentă cercului 15

  =⇔m

⇔   5=m  sau 5−=m .

Ne ocupăm şi de a patra problemă. Cu aceeaşi tehnică a distanţei de lapunctul centru al cercului la dreaptă, obţinem următoarea

Page 190: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 190/401

Elemente de geometrie analitică 

184  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Teoremă.  Fie cercul de ecuaţie( ) ( ) 222

R by a x    =−+−  şi o dreaptă d . Atunci1. Dacă  dreapta d   este verticală, tangentele la cerc paralele cu d   auecuaţiile

R a x    +=  şi R a x    −=  2. Dacă dreapta d  nu este verticală şi are ecuaţia

nmx y    +=  atunci tangentele la cerc paralele cu d  au ecuaţiile

( ) 21 mR a x mby    ++−=−  şi

( ) 21 mR a x mby    +−−=−  

 În particular, dacă m = 0 (dreapta d  este orizontală) tangentele paralele

cu ea au ecuaţiile R by    +=  şi R by    −=  Exemplu. Să scriem ecuaţiile tangentelor la cercul de ecuaţie

0222 =−+  x y  x   paralele cu dreapta

0543   =+− y  x   

Ecuaţia cercului se scrie( ) ( ) 101 22

=−+− y  x   cu a = 1, b = 0, R  = 1.

Ecuaţia dreptei se scrie

4

5

4

3+=  x y   

deci4

3=m  

4

5

16

911 2 =+=+ m  

Prin urmare, ecuaţiile cerute sunt

( ) 21 mR a x mby    +±−=−  adică 

( )4

51

4

3±−=  x y   

 Avem tangentele

( )4

51

4

3+−=  x y   

( )4

51

4

3−−=  x y  .

Page 191: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 191/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 185 

Test de autoevaluare 3

1. a) Să se scrie ecuaţia cercului care trece prin punctele( )0,01 A , ( )0,12 A , ( )1,03 A .

b) Să se scrie ecuaţia unui cerc care are centrul în punctul

( )5,5C   şi este tangent dreptei 0543:  =−+y  x d  .

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 275 a acestei unităţide învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 192: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 192/401

Elemente de geometrie analitică 

186  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Test de autoevaluare 3

c) Să se scrie ecuaţia unui cerc care este tangent axei Ox înpunctul ( )0,4 A  şi trece prin punctul ( )2,2−B .

2. a) Să se scrie ecuaţiile tangentelor la cercul de ecuaţie

0222 =−+  x y  x   

care sunt paralele cu dreapta

0:   =− y  x d   

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 275 a acestei unităţide învă are.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuarea

enunţurilor.

Page 193: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 193/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 187 

Test de autoevaluare 3

b) Să se scrie ecuaţiile tangentelor la cercul de ecuaţie

122 =+ y  x   

care trec prin punctele ( )t t  A , , unde2

2≥t  .

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 275 a acestei unităţide învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuarea

enunţurilor.

Page 194: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 194/401

Elemente de geometrie analitică 

188  Proiectul pentru Învâţământ Rural

2.2.8. Conice: elipsa, hiperbola, parabola.

A. Elipsa.

Ne propunem să determinăm locul geometric al punctelor din plan pentrucare suma distanţelor la două puncte fixe este constantă.

Vom proceda după cum urmează Vom alege un sistem de axe de coordonate ca în fig. 2.28: punctele fixesunt notate cu F  şi F’ , ele sunt situate pe axa Ox , simetric faţă de axa Oy  şi notăm ( )0,c F   şi ( )0,'   c F    − , deci distanţa între F  şi F’  este ' 2 0FF c = > .

Fie şi a > c  numărul care dă suma constantă a distanţelor, adică pentruorice punct M  al locului geometric căutat trebuie să avem

aMF MF  2' =+  

Atenţie!  Dac

ă  am fi luat a  = c , locul punctelor M din plan pentru care

'22'   FF c aMF MF    ===+  ar fi fost exact segmentul [ ]'FF  ! Acest caz esteneinteresant.

Iar dacă  am fi luat c a <<0 , atunci nu am fi putut găsi nici un punctpentru care aMF MF  2'=+  (locul geometric ar fi fost mulţimea vidă). Aşase explică de ce am pornit cu a > 0.

Fig. 2.28

Notând cu Γ   locul geometric căutat, se obţine prin transformărisuccesive:

( ) ( ) ( )   ay c  x y c  x aMF MF y  x M  22', 2222=++++−⇔=+⇔Γ∈   ⇔  

12

2

2

2

=+b

a

 x  

(această egalitate se numeşte ecuaţia elipsei)

Page 195: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 195/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 189 

unde am notat

0222 >−=   c ab  (vom considera b > 0).

Locul geometric Γ   obţinut astfel este desenat în fig. 2.28. Curba loc

geometric se numeşte elipsă. Punctele F   şi F’   se numesc focareleelipsei. Aşadar, avem următoarea

Definiţie.  Locul geometric al punctelor din plan pentru care suma distanţelor ladouă puncte fixe este constantă este o elipsă.

Formal, să  observăm că  dacă  a  = b  (acest caz a fost exclus dinconsideraţiile prezente!) ecuaţia elipsei devine

222 ay  x    =+  

adică ecuaţia unui cerc cu centrul în origine şi raza egală  cu a.

Observăm că elipsa este complet determinată de distanţa focală FF’  şisuma distanţelor la focare 2a.

Elipsa este în întregime plasată în suprafaţa dreptunghiular ă WXYZ , careare dimensiunile  XY   = ZW   = 2a  şi YZ   =  XW   = 2b  (numim pe WXYZ  dreptunghiul fundamental).

Punctele de intersecţie cu axele ( )0,a A , ( )0,'   a A   − , ( )bB ,0 şi ( )bB   −,0' se

numesc vârfurile elipsei.

Segmentul [ ]' AA  se numeşte axa mare a elipsei, iar segmentul [ ]'BB  senumeşte axa mică a elipsei. Avem ''   BB AA > .

Elipsa admite axele Ox  şi Oy  ca axe de simetrie.

Observaţie.  Consider ăm un unghi diedru f ăcut de planul elipsei cu alt

plan α , de muchie AA’  şi măsur ă a unghiului diedru un număr2

0  π 

<< u  

aşa că abu =cos (deci

abu arccos= ).

 Atunci, se poate ar ăta că  elipsa Γ   este proiecţia unui cerc mare alelipsei  (adică  un cerc cu diametrul [ ]' AA ) situat în planul α , pe planulelipsei.

Page 196: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 196/401

Elemente de geometrie analitică 

190  Proiectul pentru Învâţământ Rural

Intersecţia unei drepte cu o elipsă se discută după cum urmează.

Intersecţia cu o dreaptă verticală  x  = h: dacă  aha   <<− , intersecţia esteformată din două puncte; dacă  ah   −=  sau ah = , intersecţia este formată dintr-un punct (dreapta este tangentă  la elipsă); dacă  ah   > , intersecţia

este vidă.

Similar, intersecţia cu o dreaptă  orizontală y   = h  este formată  din două puncte (în cazul bhb   <<− ), dintr-un punct (dacă  bh =   sau bh   −= ) şividă dacă  bh   > .

Intersecţia cu o dreaptă oblică de ecuaţie

nmx d    +:  

va rezulta din încercarea de rezolvare a sistemului.

⎪⎩

⎪⎨

=+

+=

12

2

2

2

b

a

 x 

nmx y 

 

(eventualele sale soluţii 0,0   y  x   vor fi punctele de intersecţie).

Sistemul se discută după valorile numărului 2222 nbmaE    −+= :-dacă E  < 0, intersecţia este vidă;

-dacă E  > 0, intersecţia este formată din 2 puncte;-dacă E  = 0, intersecţia este formată dintr-un punct (dreapta este tangentă la elipsă).

 Am obţinut cu această ocazie şi următorul rezultat:

Teoremă.  Există  două drepte paralele cu dreapta d   (adică de coeficient unghiular m)care sunt tangente la elipsă. Ecuaţiile lor sunt

222 bmamx y    ++=  222

bmamx y    +−=  

Cu această  ocazie, ne amintim de cerc. Anume, pornind direct cu ecuaţiaelipsei.

12

2

2

2

=+b

a

 x  

Page 197: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 197/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 191 

şi luând cazul particular când a = b obţinem cercul de ecuaţie

222 ay  x    =+  (centrul este în originea (0,0) şi raza este a). Formulele găsite pentruecuaţiile tangentelor dau, în cazul particular a=b, formulele de la cerc.

Continuând cu problemele de tangentă, vom considera un punct 00 ,y  x   alelipsei Γ . Atunci, ecuaţia tangentei la elipsă în 00 ,y  x   se obţine (ca şi la

cerc!) prin dedublare din ecuaţia elipsei, adică, această ecuaţie este

120

2

0

=+b

yy 

a

 xx  

Problema următoare pe care o punem este următoarea: se dă  un punct

00 ,y  x    care nu apar ţine elipsei. Putem duce tangente la elipsă  din acest

punct? Care este ecuaţia acestor tangente?

Dacă  a x   ±0 , avem o tangentă verticală de ecuaţie 0 x  x  = . În acest caz, mai

putem duce o tangentă (oblică). Ea va avea ecuaţia

222:   bmamx y d    +±=  

unde m  este obţinut din condiţia d y  x    ∈00 , . De exemplu, luând a x   =0 ,

trebuie să  avem 00 ∉y    (deoarece ( )Γ∉0,y a   şi condiţia se mai scrie, prin

ridicare la pătrat

( ) 22220   bmamay    +=−  

adică 

0

220

2ay 

by m

  −=  

Cu acest m, cealaltă tangentă va avea ecuaţia

( )a x my y d    −=− 0: etc.

Similar, din puncte de forma ( )b x  ,0  sau ( )b x   −,0  putem duce două tangente la

elipsă (una orizontală, cealaltă oblică).

Page 198: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 198/401

Elemente de geometrie analitică 

192  Proiectul pentru Învâţământ Rural

 Acum, să consider ăm un punct Γ∉00 ,y  x  , cu a x    ±≠0  şi by    ±≠0 .

Din astfel de puncte nu putem duce decât tangente oblice, de ecuaţie222:   bmamx y d    +±=  

unde 0≠m  se obţine din condiţia ca ( )   d y  x    ∈00 , adică 

22200   bmamx y    +±=− .

Ridicând la pătrat, obţinem condiţia suficientă ( ) 2222

00   bmamx y    +=−  

echivalentă cu ecuaţia de gradul doi în m 

( ) 02 20

200

220

2 =−++−   y bmy  x m x a   (*)

care are discriminantul (redus)

 Atunci, 0≠δ   (deoarece ( )   Γ∉00 ,y  x   şi rezultă că ecuaţia are două soluţii

reale distincte 1m  şi 2m  dacă şi numai dacă 

12

20

2

20 >+

b

a

 x  

adică  00 ,y  x   este în exteriorul elipsei.Cu aceste r ădăcini 1m  şi 2m , obţinem tangentele căutate de ecuaţii

( )00   x  x my y  i    −=− , i  = 1, 2.

Proprietatea optică a elipsei.Dacă  M   este un punct pe elipsă, atunci normala la elipsă  în M   (adică perpendiculara pe tangenta la elipsă  în M ) este bisectoarea (privită  cadreaptă) unghiului ' FMF   (vezi fig. 2.28) unde n este normala).

Să  consider ăm, în planul elipsei Γ   de mai sus, dreptele verticale F d   

(respectiv 'F d  ) de ecuaţii

a x 

2

=  (directoarea focarului F ), fig. 2.29a)

(respectivc 

a x 

2

−=  (directoarea focarului F’ ), fig. 2.29b))

⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −+= 1

2

20

2

2022

b

a

 x baδ 

Page 199: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 199/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 193 

Fig. 2.29Pentru un punct M  de pe elipsă, definim raportul distanţelor lui M  la un focarşi la directoarea focarului respectiv. Aşadar, acest raport este

MI 

MF  (unde F d I  ∈ , F d MI  ⊥ )

(respectiv'

'

MI 

MF  (unde ''   F d I  ∈  , ''   F d MI  ⊥ )).

Teoremă.  Elipsa este locul geometric al punctelor M   din plan pentru care raportul

distanţelor lui M   la un focar şi la directoarea acelui focar este constant egal

cu 1<a

c .

Cu alte cuvinte:

Γ  = locul punctelor M  pentru carea

MI 

MF =  

(respectiv Γ  = locul punctelor M  pentru carea

MI 

MF =

'

' )

Numărula

c e =   se numeşte excentricitatea elipsei. La elipsă,

excentricitatea este subunitar ă: 1<e .

Evident, un cerc este o elipsă cu axele egale: a=b (aceasta, privit din punctde vedere analitic).

Pe de altă parte, definirea iniţială a elipsei (locul punctelor pentru care sumadistanţelor la două puncte fixe este constantă) nu conduce la cerc (cele două puncte “coincid” la cerc) cealaltă definiţie (locul punctelor pentru care raportuldistanţelor la focar şi la directoare este constant) nu conduce la cerc (la cerc,“directoarea” nu există- este “aruncată la infinit”).

Să încheiem cuReprezentarea parametrică a elipsei.Elipsa Γ  de ecuaţie

12

2

2

2

=+b

a

 x  

poate fi reprezentată parametric astfel:( )   [ ]{ }π 2,0|sin,cos   ∈=Γ   t t bt a  

Page 200: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 200/401

Elemente de geometrie analitică 

194  Proiectul pentru Învâţământ Rural

B. Hiperbola

Să  consider ăm două  puncte fixe F   şi F’   în planul P   cu proprietatea că 02'   >=   c FF    şi un număr 0>a . Ne propunem să  găsim locul geometric al

punctelor M  din planul P  pentru care avem

aMF MF  2'   =−   (1)

Vom considera un sistem de axe de coordonate ca în fig. 2.30, cu originea înmijlocul segmentului FF’  şi axa Ox  = FF’ .

Fig. 2.30

 În orice caz, un punct ( )y  x M  , care satisface (1) trebuie să se găsească  îndreapta axei Oy  (adică în semiplanul generat de Oy  care conţine pe F ). Avem următoarele posibilităţi care derivă  din observaţia că, dacă  M   nu segăseşte pe Ox , atunci, din triunghiul MF’F  avem

c FF aMF MF  2'2'   =<=−  

adică a < c .

 Am ar ătat implicaţia

c aOx M    <⇒∉  

din care rezultă că 

Ox M c a   ∈⇒≥ .

Să consider ăm cazul c a ≥ .

Fie, atunci, un punct ( )0,1 x M   care apar ţine locului geometric căutat, deci

aF M F M  2' 11   =−  

Rezultă că  Ox M   ∈1 . Dacă  1M   ar fi între F’  şi F , am avea că  (   ]F M  ,01 ∈  

deci

Page 201: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 201/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 195 

c  x  <<0 şi atunci

( )( ) ( ) ( ) ( )   ac  x  x c c  x  x c c  x F M F M  222' 11   ≤<=−−+=−−−−=− , contradicţie.

Prin urmare, trebuie să avem 1M    în afara lui [ ]'FF  , deci c  x  ≥  (adică  1M    ladreapta lui F ). În acest caz, pentru orice ( )0,1 x M   cu c  x  ≥  avem

( )( ) ( )   c c  x c  x F M F M  2' 11   =−−−−=−  

Deoarece vrem ca 1M    să  apar ţină  locului geometric, va trebui să  avem

aF M F M  2' 11   =− , adică în mod necesar a=c .

Concluzie. Dacă  c a ≥ , atunci a=c  şi, locul căutat este semidreapta

( ){ }c  x  x   ≥|0,(toate punctele de pe Ox  situate la dreapta lui F ).

 În cele ce urmează, vom considera cazul interesant  c a <<0 .

Se vede că, în acest caz, punctul ( ) ( )M oaV  ,0,   ∈   şi V   apar ţine loculuigeometric deoarece

( )( ) ( )   aac c aac c aVF VF  2'   =+−+=−−−−=− .

Să notăm locul geometric cu +Γ

. Obţinem succesiv

( )   +Γ∈y  x M  ,   ⇔   aMF MF  2'   =−   ⇔   ( ) 22y c  x    ++   ( )   ay c  x  222

=+−−   ⇔  

( ) 22y c  x    ++   = ( ) 22

y c  x    +−   + a2 ⇔  

( ) ( ) ( ) 2222222 44   y c  x aay c  x y c  x    +−+++−=++   ⇔   cx 2 = cx 2−   +

( ) 222 44   y c  x aa   +−+   ⇔   2acx  −   = ( ) 22y c  x a   +−   ⇔   2acx  −   =

( ) 22y c  x a   +−  şi

a x 

2

≥   (2)

(deoarece ( ) 022 ≥+−   y c  x a ).

Continuăm echivalenţele noastre:

( )   +Γ∈y  x M  , ⇔  c 

a x 

2

≥   şi ( ) ( )( )22222y c  x aacx    +−=−   ⇔  

a x 

2

≥   şi

( ) ( ) 22222222 y aac a x ac    =−−−  Notând

Page 202: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 202/401

Elemente de geometrie analitică 

196  Proiectul pentru Învâţământ Rural

0222 >=−   bac   

obţinem echivalenţa

( )   +Γ∈y  x M  ,   ⇔   c 

a

 x 

2

≥  şi22222

ay ba x b   =− .

 Am obţinut următoarea egalitate de mulţimi:

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=−≥∈=Γ+ 1|,2

2

2

222

b

a

 x şi 

a x R y  x    (3)

Remarcăm, folosind (3), că intersecţia lui +Γ  cu Ox este tocmai V :

( ){ }0,aV Ox  =∩Γ+  

şi avemc 

aa

2

> .

Notăm cu +d   dreapta verticală de ecuaţiec 

a x d 

2

:   =+  şi obţinem următoarea

configuraţie pentru reprezentarea grafică a lui +Γ  (vezi fig. 2.31).

Fig. 2.31

(curba +Γ  este nemărginită şi are ca axă de simetrie pe Ox ).

Vom numi pe +Γ  ramura pozitivă a hiperbolei de ecuaţie 

12

2

2

2

=−b

a

 x  

(asupra acestei denumiri vom reveni).

Page 203: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 203/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 197 

Putem caracteriza pe +Γ   şi în alt mod. Anume, reluăm (2) şi (3) şi putemscrie

( )  ( )

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

+−>∈=Γ+

a

c a x 

y c  x şi 

a x R y  x 

2

2222  |,

Deoarece ( )   MF y c  x    =+− 22   şi ==−   MI c 

a x 

2

  distanţa lui M   la +d    (aici

+∈ d I   şi +⊥ d MI  ), mai putem scrie

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=>∈=Γ+   eMI 

MF şi 

a x R y  x 

22  |,

unde am notat

==  ea

c excentricitatea hiperbolei de ecuaţie

12

2

2

2

=−b

a

 x  

(avem e > 1).

Să notăm cu +S   semiplanul generat de Oy  care conţine pe F . Am ar ătat că 

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=∈=Γ   ++   eMI 

MF SM   |

(   +Γ  = locul punctelor M  din +S  pentru care raportul distanţelor la F  şi la +d   este constant egal cu e > 1).

 Acum să introducem şi dreapta verticală  −d   de ecuaţie

a x d 

2

:   −=−  

(simetrica lui +d   faţă de Oy ).

Reluând calculele care au dus la (3), dar pornind de la gruparea

( ) ( )   ay c  x y c  x  22222−++=+−  

Page 204: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 204/401

Elemente de geometrie analitică 

198  Proiectul pentru Învâţământ Rural

obţinem că 

( )  ( )

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎪⎪

⎪⎪⎨

=

+

++>∈=Γ+

a

 x 

a

y c  x şi 

a x R y  x 

2

2222  |,

Deoarece ( ) '22MF y c  x    =++  şi  x 

a+

2

 = ⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −−

a x 

2

 = MJ  = distanţa de la

M  la −d   (aici d J  ∈  şi −⊥ d MJ  ), avem (vezi fig. 2.32).

Fig. 2.32

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==≥=Γ+   ea

MJ 

MF 

a x y  x M 

',|,

2

 

Denumiri:  +d   = directoarea focarului F , −d   = directoarea focarului F’ . Am ar ătat că:

+Γ   = locul geometric al punctelor M   din +S   pentru care raportul dintre

distanţa MF  şi distanţa MI  a lui M  la directoarea lui F  este egal cu 1>= ea

c  =

locul geometric al punctelor M  din +S  pentru care raportul dintre distanţa MF’  şi distanţa MJ  a lui M  la directoarea lui F’  este egal cu e.

Consideraţii similare se pot face considerând locul geometric −Γ  al punctelor

M  din plan pentru care 02'   >=−   aMF MF  . Anume, curba −Γ   (numită  ramura negativă  a hiperbolei de ecuaţie deecuaţie

12

2

2

2

=−b

a

 x )

Page 205: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 205/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 199 

este simetrica lui +Γ  în raport cu Oy  (vezi fig. 2.33) şi se caracterizează la fel

ca loc geometric al punctelor pentru care rapoarteleMI 

MF   (sau

MJ 

MF ') sunt

constant egale cu ea

c = .

Fig. 2.33

Observaţie. Ramura +Γ  poate fi dată parametric astfel:

( ){ }R t sht bcht a   ∈=Γ+ |,

iar ramura −Γ  poate fi dată parametric astfel:

( ){ }R t sht bcht a   ∈−=Γ−  |,  

 Am notat, ca de obicei, pentru orice R t  ∈  

2

t t  eecht 

−+=  = cosinusul hiperbolic al lui t

2

t t  eesht 

−−=  = sinusul hiperbolic al lui t

Putem “reuni” cele două curbe +Γ  şi −Γ , care se obţin ca locul geometric alpunctelor M  din plan pentru care

aMF MF  2'  =−  

Cu alte cuvinte, am ar ătat că avem următoarele:

Teoremă şi denumire.

Consider ăm două numere 0>a , 0>c  , astfel încât c a < .Fie două puncte fixe ( )0,c F   şi ( )0,'   c F   −  numite focare.

 Atunci, locul geometric al punctelor ( )y  x M  ,  din plan pentru care

aMF MF  2'  =−  

Page 206: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 206/401

Elemente de geometrie analitică 

200  Proiectul pentru Învâţământ Rural

este curba (am notat 222 bac    =− )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=−∈=Γ 1|,2

2

2

22

b

a

 x R y  x   

numită hiperbola de ecuaţie 1

2

2

2

2

=−b

a

 x  

Cu notaţiile anterioare, avem Γ∪Γ=Γ   + .

 În fig. 2.34, am figurat toate elementele introduse anterior

Fig. 2.34

Pe figur ă, segmentul [ ]'VV    (de lungime 2a) se numeşte axa transversă,segmentul BB’   (de lungime 2b) se numeşte axa netransversă, punctele

( )0,aV   şi ( )0,'   aV   −  se numesc vârfurile hiperbolei, dreptele verticale

a x d 

2

:   =+  şic 

a x d 

2

:   −=−  

se numesc directoarele hiperbolei, iar dreptele oblice de ecuaţii

 x a

by  =  şi  x 

a

by    −=  

se numesc asimptotele hiperbolei  Γ . Dreptunghiul  XYZW   se numeştefundamental al hiperbolei Γ . Această  hiperbolă  este Γ   este reuniunea ramurilor sale +Γ   şi −Γ   (adică 

−+   Γ∪Γ=Γ ) şi aceste ramuri sunt “direcţionate” de

Page 207: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 207/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 201 

asimptote (se apropie oricât de ele când ne îndepărtăm foarte mult).

 Având în vedere cele anterior demonstrate, putem enunţa următorul rezultatimportant

Teoremă.  Hiperbola Γ  de mai sus se poate obţine după cum urmează:

Se consider ă  directoarele +d    şi −d  . Atunci, avem Γ   = locul geometric alpunctelor M  din plan, pentru care

ed M 

F M =

+laladedistanta

 laladedistanta 

De asemenea, Γ  este locul geometric al punctelor M  din plan, pentru care

ed M 

F M =

−laladedistanta

'laladedistanta 

 Aici 1>=a

c e  este excentricitatea hiperbolei.

Denumire.  O hiperbolă  pentru care a=b  se numeşte hiperbol ă  echilater ă. Aşadar, o astfel de hiperbolă are ecuaţia

222 ay  x    =−  

unde a este lungimea comună a axelor hiperbolei.

Notă. Hiperbolele echilatere apar în fizică (legea Boyle- Mariotte). Anume, searată  că, o curbă  de ecuaţie xy = constant este, de fapt, o hiperbolă echilater ă (legea mai sus menţionată spune că pV = constant…).

Să  discutăm acum despre intersec ţ ia unei drepte d   cu hiperbola Γ   deecuaţie

12

2

2

2

=−b

a

 x  

Dacă dreapta d  este verticală de ecuaţie

h x d    =:

atunci, intersecţia lui d   cu Γ  este formată din 2 puncte (dacă  ah  > ), este

vidă (dacă  ah  < ) şi este formată dintr-un punct,

Page 208: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 208/401

Elemente de geometrie analitică 

202  Proiectul pentru Învâţământ Rural

dacă h = a sau ah   −=  (în acest caz, d este tangentă la Γ  în unul din vârfuri).

Orice dreaptă orizontală d  de ecuaţie

hy d    =:

intersectează hiperbola Γ  în 2 puncte.

Pentru a studia intersecţia unei drepte oblice

nmx y d    +=:  

cu Γ , trebuie să încercăm să rezolvăm sistemul

⎪⎩

⎪⎨

=−

+=

12

2

2

2

b

a

 x 

nmx y 

 

(eventualele sale soluţii ( )00 ,y  x   vor fi punctele de intersecţie).

Discuţia este mai dificilă decât la elipsă şi se împarte în două cazuri mari:

Cazul 0222 =− bma , cu alte cuvinte cazul când

a

bm =  sau

a

bm   −=  

 În acest caz, dreapta d  are aceeaşi direcţie cu una din asimptote. Rezultă:

-  dacă n = 0 (adică d  este o asimptotă), dreapta d  nu se taie cu hiperbola).-  dacă  0≠n , dreapta se taie cu hiperbola într-un singur punct (şi nu este

tangentă la hiperbolă!).

Pe scurt: asimptotele nu taie hiperbola; paralele cu asimptotele taie hiperbola într-un singur punct.

Cazul 0222

≠− bma , cu alte cuvinte, cazul când

a

bm   ±≠  

(deci dreapta d  este concurentă cu ambele asimptote).

 În acest caz, discuţia se face după semnul expresiei

Page 209: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 209/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 203 

2222 manbE    −+=  

Dacă  0>E  , adică 

a

nbm

22 +<  

rezultă  că  d   intersectează  hiperbola în 2 puncte (dreptele “culcate” taiehiperbola).

Dacă  0<E  , adică 

a

nbm

22 +>  

rezultă  că  d   nu intersectează  hiperbola (dreptele “prea verticale” nu taiehiperbola).

Dacă E  = 0, adică 

a

nbm

22 +=  sau

a

nbm

22 +−=  

dreapta d  este tangentă la hiperbolă. În acest caz, putem scrie

222 bman   −±=  

 Aşadar, este obligatoriu ca

a

bm  >  

 Avem două tangente “de direcţie m”:

222 bmamx y    −+=  222

bmamx y    −−=  

Ca şi la elipsă, dacă  ( )00,y  x   este un punct al hiperbolei, ecuaţia tangentei

la hiperbolă  în punctul ( )00 ,y  x    se obţine prin dedublare din ecuaţia

hiperbolei, adică are forma

120

20 =−

b

yy 

a

 xx  

Page 210: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 210/401

Elemente de geometrie analitică 

204  Proiectul pentru Învâţământ Rural

 În fine, să consider ăm un punct ( )00,y  x   care nu se găseşte pe hiperbolă şi

să căutăm să ducem tangente la hiperbolă din acest punct.

O tangentă verticală ar trebui să aibă forma 0 x  x  = , deci avem numai cazurile

posibile când a x   =0  sau a x    −=0 .

O tangentă oblică ar trebui să aibă forma

222 bmamx y    −±=  cua

bm  > .

Vom scrie că  ( )00,y  x   apar ţine acestei drepte.

Varianta

22200   bmamx y    −+=   ⇔   0222

00   >−=−   bmamx y  , deci este necesar ca

soluţia m să aibă şi proprietatea 000   >− mx y  .

 În varianta

022200

22200   <−−=−⇔−−=   bmamx y bmamx y   

deducem că trebuie să avem 000   <− mx y  .

 În concluzie, trebuie să avem

a

bm  >  şi 00   mx y   ≠  

Condiţia 22200   bmamx y    −±=  este echivalentă cu condiţia suficientă 

( ) 222200   bmamx y    −=−   (*)

adică cu

( ) 02 22000

2220   =++−−   by my  x ma x   

 În acest moment, observăm că este suficient să avem

000   ≠− mx y   

pentru soluţia acceptabilă a lui (*).

 Într-adevăr, în acest caz, dacă avem 000   ≠− mx y  , rezultă 

Page 211: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 211/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 205 

( ) 0222200   >−=−   bmamx y   

deci, automat, avem şia

bm  >  .

Concluzie. Soluţiile m acceptabile vor fi soluţii reale ale ecuaţiei( ) 02 22

000222

0   =++−−   by my  x ma x    (**)

supuse condiţiei

00   mx y   ≠ .

Cazul 0220   =− a x    (adică  a x   =0   sau a x    −=0 ). În acest caz. Am văzut că 

avem o tangentă verticală prin unul din vârfuri.

Din (**), r ămâne că 

220002   by my  x    +=  

Dacă  am avea 00  =y    (deci ( ) ( )0,, 00   ay  x    =   sau ( ) ( )0,, 00   ay  x    −= ) ar rezulta

( )00 ,y  x   pe hiperbolă, inacceptabil.

 Aşadar, avem 0≠oy  . Obţinem

00

220

2   y  x 

by m

  +=  

cu a x   =0  sau a x    −=0 .

Trebuie să avem

by by y by y y 

by y mx    ±≠⇔≠⇔≠+⇔≠

+⇔≠ 0

220

20

2200

0

220

00 22

 

 Aşadar, din punctele de forma ( ) =±±   ba, vârfurile “dreptunghiuluifundamental” WXYZ  (vezi fig. 2.34) se pot duce numai tangente verticale(în vârfuri).

 În cazul când 0220   ≠− a x  , avem de discutat şi rezolvat ecuaţia de gradul al

doilea

( ) 02 22000

2220   =++−−   by my  x ma x    (**)

care are discriminantul (redus)

Page 212: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 212/401

Elemente de geometrie analitică 

206  Proiectul pentru Învâţământ Rural

( )   ( )( ) 20

220

222220

220

200   x by ababy a x y  x    −+=+−−=δ    = =

⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ −−− 1

2

20

2

2022

b

a

 x ba  

Evident, 0≠δ   (deoarece ( )00 ,y  x   nu este pe hiperbolă).

 Avem două soluţii reale 1m , 2m  distincte pentru (**) dacă şi numai dacă 

12

20

2

20 <−

b

a

 x   (c)

(adică, vezi fig. 2.34, punctul ( )00 ,y  x   se află în “afara” ramurilor hiperbolei, în

zona dreptunghiului fundamental WXYZ ).

 presupunem îndeplinită condi

ţia (c). Atunci (**) are solu

ţiile reale distincte

1m  şi 2m .

Se acceptă soluţia (soluţiile) i m  pentru care

00   x my  i ≠  

care furnizează respectiv tangenta

( )00   x  x my y  i    −=−  

Exemple. Avem hiperbola de ecuaţie

12

2

2

2

=−b

a

 x  

1. Putem duce tangente la hiperbolă din focarul ( )0,c F  ?Răspunsul este negativ.

 Într-adevăr, aici ( ) ( )0,, 00   c y  x    =  şi 12

2

2

20

2

20 >=−

a

b

a

 x  

Deci nu se îndeplineşte condiţia (c) (avem 220   a x   ≠ ).

2. Putem duce tangente din punctul (3a, 3b)? Aici a x  30  =  şi by  30  = , deci 22

0   a x   ≠ .

1099

2

2

2

2

2

20

2

20 <=−=−

b

b

a

a

b

a

 x  

deci condiţia (c) se îndeplineşte.

Page 213: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 213/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 207 

Ecuaţia 22200   bmamx y    −±=−  adică (**) devine

( ) 02 22000

2220   =++−−   by my  x ma x   

adică 

( ) 010189 2222 =+−−   babmmaa   ⇔   0594 222 =+−   babmma  

222222 8081   bababa   =−=Δ  

Soluţiile sunt

2128

9

a

ababm

  ±= , deci

a

bm

4

51 = ,

a

bm   =2 .

Testăm soluţia 1m :

04

1533

4

53010   ≠−=−=−   bba

a

bb x my   

deci 1m  este acceptabilă.

03333020   =−=⋅−=−   bbaa

bb x my   

deci 2m  nu este acceptabilă.

Prin urmare, tangenta (unică) la hiperbolă  dusă  prin punctul (3a, 3b) vaavea ecuaţia

( ) 034515512434

53   =−−⇔−=−⇔−=−   abay bx abbx abay a x 

a

bby   

C. Parabola

Definiţie.  Se numeşte parabolă locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de

o dreaptă  fixă  (numită directoare) şi de un punct fix care nu apar ţine lui d  (numit focar ).

O parabolă  este complet determinată  de distanţa 0> p   de la focar ladirectoare (numărul p se numeşte parametrul parabolei).

Pentru a trata analitic problema, vom alege axele ca în fig. 2.35.

Page 214: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 214/401

Elemente de geometrie analitică 

208  Proiectul pentru Învâţământ Rural

Fig. 2.35

 Axa Ox  este perpendiculara pe d  dusă din F , care întâlneşte pe d  în A. AxaOy   este perpendiculara pe Ox   =  AF , dusă  prin mijlocul O  al lui  AF   (acestmijloc este, deci, originea axelor de coordonate şi se mai numeşte şi vârfulparabolei).

Locul geometric (parabolei) este curba nemărginită  Γ  din fig. 2.35, care areaxa Ox  ca axă de simetrie.

Prin urmare, dacă  ( )y  x M  , este un punct oarecare al lui Γ , va trebui să avem

MT MF  = , adică  1=MT 

MF  

unde T  este piciorul perpendicularei din M  pe d .

Prin urmare, putem spune că  parabola este locul punctelor M   din planpentru care raportul distanţelor lui M  la punctul fix F  şi la dreapta fixă d  este constant egal cu 1.

Vedem că  parabola are o construcţie similar ă  cu a elipsei şi a hiperbolei.Putem spune că excentricitatea parabolei este 1.

Rezultă uşor următoarea caracterizare analitică 

Teoremă.  În condiţiile de mai sus, avem

( ){ } px y R y  x  2|, 22 =∈=Γ  

Egalitatea

 px y  22 =  

se numeşte ecuaţia parabolei, iar Γ  se numeşte parabola de ecuaţie

Page 215: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 215/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 209 

 px y  22 =  

Teoremă. (Reprezentarea parametrică a parabolei)Cu notaţiile anterioare, avem

( ){ }R t  pt  pt    ∈=Γ  |2,2 2  

Vom urma acelaşi plan ca la celelalte curbe. În primul rând, dacă  ( )   Γ∈00,y  x  , ecuaţia tangentei la Γ  în punctul ( )00,y  x   

se obţine prin dedublare din ecuaţia parabolei, adică  această  tangentă are ecuaţia

( )00   x  x  pyy    +=  

Semnalăm, cu această  ocazie, “proprietatea optică” a parabolei (vezi fig.2.35): în fiecare punct ( )   Γ∈y  x M  , , tangenta la Γ  în M(x, y) este bisectoareaunghiului FMT .

 În continuare, studiem intersecţia unei parabole cu o dreaptă  şi alteprobleme de tangenţă.

Dacă avem o dreaptă orizontală de ecuaţie

hy d    =:

atunci intersecţia hd  ∩  are exact un punct şi d  nu este tangentă la parabolă.

De exemplu, intersecţia lui Γ  cu Ox  este vârful parabolei.

Dacă d  este o dreaptă verticală de ecuaţie

h x d    =:  

atunci intersecţia Γ∩d   se compune din două puncte (dacă  h > 0), dintr-un punct = vârful (dacă h = 0) şi este vidă, dacă  h < 0. În plus, dreapta x  = 0 (adică axa Oy ) este tangentă la parabolă în vârful ei.

Studiem, în continuare, intersecţia unei drepte oblice de ecuaţie

nmx y d    +=:

cu parabola Γ . Cu alte cuvinte, studiem sistemul

⎩⎨⎧

=

+=

 px y 

nmx y 

22 

Page 216: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 216/401

Elemente de geometrie analitică 

210  Proiectul pentru Învâţământ Rural

ale cărui (eventuale) soluţii sunt punctele de intersecţie între d  şi Γ .Discuţia se face în funcţie de semnul numărului

mn pE  2−=  

Dacă E  > 0, adică 

m

 pn

2<  

avem două puncte de intersecţie.

Dacă E  < 0, adică 

m

 pn

2

>  

dreapta d  nu intersectează parabola Γ .

Dacă E  = 0, adică 

m

 pm

2=  

dreapta d  este tangenta parabolei.

 Aşadar, ecuaţia unei tangente la parabolă de coeficient unghiular 0≠m  

este

m

 pmx y 

2+=  

 În fine, să urmărim cum se pot duce tangente la parabolă  dintr-un punct( )00,y  x   care nu este pe parabolă.

Dacă  00  = x  , o tangentă  la parabolă  (în vârful ei) este dreapta verticală 

0= x  . În acest caz, avem 00  ≠y    (deoarece ( )   Γ∉00,y  x  ) şi mai putem duce otangentă la parabolă. Această tangentă va avea ecuaţia

m

 pmx y d 

2:   +=  

unde m se găseşte din condiţia ( )   d y    ∈0,0 , adică 

Page 217: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 217/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 211 

00 22   y 

 pm

m

 py    =⇔=  

şi tangenta este

002   y  x y 

 py    +=  

Dacă  00  ≠ x  , vom căuta tangenta de ecuaţie

m

 pmx y d 

2:   +=  

unde m se obţine din condiţia ca ( )   d y  x    ∈00, , adică 

m pmx y 200   +=  

ceea ce revine la ecuaţia de gradul 2 în m:

022 02

0   =+−   pmy m x    (*)

 Această ecuaţie are discriminantul (redus)

02 020   ≠−=   px y δ   

(deoarece ( )   Γ∉00 ,y  x  ).

 Aşadar, avem variantele:

Varianta  02 020   <−   px y   

adică  p

y  x 

2

20

0  >  

(ne aflăm în “interiorul” parabolei, adică în regiunea care cuprinde focarul). Înacest caz, nu se pot duce tangente la parabolă.

Varianta  02 020   >−   px y   

adică  p

y  x 

2

20

0  <  

(de exemplu, orice 00  < x   este în această situaţie).

Page 218: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 218/401

Elemente de geometrie analitică 

212  Proiectul pentru Învâţământ Rural

Se pot duce două tangente de ecuaţii

( )00   x  x my y  i    −=− , i  = 1,2

unde 1m  şi 2m  sunt cele două r ădăcini reale şi distincte ale ecuaţiei (*).

D. Privire unitar ă asupra conicelor

Din punct de vedere al geometriei spaţiale, teorema lui Dandelin  (pe caream mai amintit-o) ne prezintă elipsa, hiperbola şi parabola ca secţiuni conice(secţiuni f ăcute cu un plan printr-o suprafaţă conică). Dealtfel, denumirea deconice, dată celor trei figuri de curbe de mai sus, este motivată de această teoremă.

Pe de altă parte, elipsa (nu cercul!), hiperbola şi parabola se pot obţine printr-

o construcţie geometrică  unitar ă: ele sunt locul geometric al punctelor dinplan pentru care raportul distanţelor la un punct fix (numit focar) şi, la odreaptă  fixă  (numită  directoare) este constant. Acest raport, numitexcentricitate este subunitar la elipsă, supraunitar la hiperbolă şi egal cu 1la parabolă.

Din punct de vedere al geometriei analitice, conicele se prezintă  în modunitar după cum urmează.

Teoremă. (Conice pe ecuaţia generală).Fie P  un plan cartezian şi P ⊂Γ  o figur ă geometrică.

Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. Figura Γ   este o conică  (elipsă, hiperbolă  sau parabolă) veritabilă  saudegenerată.2. Există 6 numere reale 11a , 12a , 22a , 13a , 23a  şi 33a  astfel încât

011 ≠a  sau 012  ≠a  sau 022  ≠a  

cu următoarea proprietate

( )   }0222|, 3323132

22122

112 =+++++∈=Γ   ay a x ay a xy a x aR y  x   

(cu alte cuvinte, Γ  este o curbă de gradul 2)

Enunţul necesită  anumite explicaţii. Când spunem conică  veritabilă  nereferim la elipsă  (inclusiv cerc), hiperbolă  sau parabolă. Admitem dreptconice degenerate:

Elipse degenerate:  mulţimile formate dintr-un singur punct sau mulţimeavidă.Exemplu:

Page 219: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 219/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 213 

( ){ } ( )   }0|,0,0 222 =+∈==Γ   y  x R y  x   

(adică  12211   == aa  şi restul coeficienţilor ij a  sunt egali cu 0).

Mulţimea vidă se poate scrie astfel:( ){ }01|, 222 =++∈=   y  x R y  x φ   

(aici 1332211   ===   aaa  şi restul coeficienţilor ij a  sunt egali cu 0).

Hiperbole degenerate:  mulţimi care sunt reuniunea a două  drepteconcurente.Exemplu: Fie a, b numere nenule. Luăm

( )   }   ( )   }0|,0|,

22 =+∈∪=−∈=Γ  ay bx R y  x ay bx R y  x   

Se vede că  Γ  este reuniunea dreptelor de ecuaţii

 x a

by d    =:1  şi  x 

a

by d    −=:2  

Pe de altă parte, avem

( )

⎬⎫

⎨⎧

=−∈=Γ 0|,2

2

2

22

b

a

 x R y  x   

 Aici211

1

aa   = ,

222

1

ba   −=  şi restul coeficienţilor ij a  sunt egali cu 0.

Parabolă degenerată: mulţimile care sunt reuniunea a două drepte paralelesau confundate.Exemplu: Fie a un număr real. Consider ăm mulţimea

( )   }0|, 222 =−∈=Γ   ay R y  x   

Dacă  0≠a , rezultă că  Γ  = reuniunea dreptelor paralele de ecuaţii ay d    =:1  

şi ay d    −=:2 .

(în acest caz 122  =a , 233   aa   −=  şi ceilalţi coeficienţi ij a  sunt egali cu 0).

Dacă a = 0, atunci Γ  = dreapta de ecuaţie

0:   =y d   

Page 220: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 220/401

Elemente de geometrie analitică 

214  Proiectul pentru Învâţământ Rural

Putem gândi pe Γ   sub forma d d  ∪=Γ   (reuniunea a două  drepteconfundate).

(în acest caz 122  =a  şi restul coeficienţilor ij a  sunt egali cu 0).

Evident, elipsa, hiperbola şi parabola sunt curbe de gradul 2, ca în teoremă.De exemplu, elipsa de ecuaţie

12

2

2

2

=+b

a

 x  

este o curbă de gradul 2 cu211

1

aa   = ,

222

1

ba   =  şi 133   −=a .

Teorema fundamentală legată de acest subiect este următoarea:

Teorema de aducere la forma canonică a conicelor.Fiind dată o curbă  Γ  de gradul 2 ca în teoremă, se poate face o schimbarede axe (translaţie, rotaţie şi intervertire a coordonatelor x  şi y ), astfel încât, înnoile axe, Γ   să  fie o conică  (veritabilă  sau degenerată) scrisă  sub formacanonică).

 În mod precis ecuaţiile

12

2

2

2

=+

b

a

 x  (elipsă)

12

2

2

2

=−b

a

 x  (hiperbolă)

 px y  22 =  (parabolă)

sunt numite ecuaţiile canonice ale conicelor .

Vom încheia cu un exemplu pentru a ilustra cele discutate aici.

Să consider ăm Γ  de ecuaţie

01284 22 =+−−+   y  x y  x   

Vom vedea cum poate fi adusă la forma canonică şi ce curbă reprezintă eade fapt.

 În acest sens, vom face o schimbare de axe, mai precis o translaţie deaxe. Anume, vom translata axele, astfel încât noua origine să fie în punctul(1,1), vezi fig. 2.36.

Page 221: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 221/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 215 

Fig. 2.36

Consider ăm un punct M  în planul cartezian. În acest mod, în “vechiul” sistem de axe  xOy , “noua” origine este O’ (1, 1),punctul M  are coordonatele ( x ,y ) şi scriem M ( x ,y ), iar în “noul” sistem de axe XO’Y , acelaşi punct M  are coordonatele ( X ,Y ) şi scriem M ( X ,Y ).

Se vede că  legătura între “noile” coordonate ( X ,Y ) şi “vechile” coordonate( x ,y ) este dată de relaţiile:

⎩⎨⎧

+=⇒−=

+=⇒−=

11

11

Y y y Y 

 X  x  x  X  

 Aşadar, ecuaţia lui Γ  în “noile” axe se mai scrie astfel:

( ) ( ) ( ) ( ) 011218114 22=++−+−+++   Y  X Y  X   

adică 

044 22 =−+Y  X   

Echivalent, în noile axe, Γ  are ecuaţia

121 2

2

2

2

=+Y  X 

 

 Aşadar, am ajuns la forma canonică a unei elipse de semiaxe a=1, b=2, cucentrul în punctul (1,1), Aceasta este, de fapt, curba Γ .

Page 222: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 222/401

Elemente de geometrie analitică 

216  Proiectul pentru Învâţământ Rural

Test de autoevaluare 4

1. a) Se consider ă două drepte perpendiculare d  şi e şi un număr0>h . Un segment mobil AB cu AB = h se mişcă astfel încâtd  A ∈  şi eB ∈ .

Să se găsească locul geometric al unui punct fix M  al lui ( ) AB  (cu alte cuvinte, al unui punct ( ) ABM  ∈  care are proprietateacă există  ha <<0 astfel încât aMB = , pentru orice poziţiei alui AB).

b) Să se determine elipsa (de ecuaţie canonică) care treceprin punctele ( )4,6 A , ( )5,0B . Apoi să se scrie ecuaţia tangenteila această elipsă în punctul A.

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 276 a acestei unităţide învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 223: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 223/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 217 

Test de autoevaluare 4

2. a) Să se arate că dreapta de ecuaţie

82:   −=   x y d   

este tangentă hiperbolei H de ecuaţie

13625

22

=− y  x 

 

b) Să se găsească ecuaţia canonică a hiperbolei, care estetangentă dreptei

0823:   =−−   y  x d   

 în punctul ( )5,6M  .

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 276 a acestei unităţide învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 224: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 224/401

Elemente de geometrie analitică 

218  Proiectul pentru Învâţământ Rural

Test de autoevaluare 4

3. a) Să  se arate că  directoarea unei parabole este loculgeometric al punctelor de unde se pot duce două  tangenteperpendiculare la parabolă.

b) Să se determine ecuaţia canonică a parabolei care estetangentă dreptei

0423:   =+−   y  x d   

Să se determine şi punctul de tangenţă.

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 276 a acestei unităţide învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 225: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 225/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 219 

2.3. Elemente de geometrie analitică în spaţiu

2.3.1. Ecuaţia carteziană generală a planului. Consecinţe şi aplicaţii.

 În parcurgerea acestui subparagraf trebuie avută  în vedere analogia întreplan (ca submulţime a spaţiului) şi dreaptă (ca submulţime a planului).Vom lucra într-un spaţiu cartezian S  cu un sistem de axe de coordonateOxyz . Ca de obicei, vom identifica un punct ( )   Sz y  x M    ∈,,  cu ( ) 3,,   R z y  x    ∈ .

Teoremă. (Ecuaţia carteziană generală a planului).

Fie α   o submulţime a spaţiului cartezian S. Următoarele afirmaţii suntechivalente:1. Mulţimea α  este un plan.2. Există  patru numere reale  A, B, C , D  astfel încât 0≠ A   sau 0≠B   sau

0≠C  , cu proprietatea că 

( )   }0|,, 3 =+++∈=   DCz By  Ax R z y  x α   Egalitatea

0=+++   DCz By  Ax   poartă  numele de ecuaţia carteziană  generală  a planului. În speţă, vomspune că planul α  de mai sus are ecuaţia 

0=+++   DCz By  Ax   

Două  ecuaţii carteziene diferite, dar cu coeficienţi propor ţionali, determină 

acelaşi plan.

Observaţie. Un plan α  de ecuaţie

0=+++   DCz By  Ax   

trece prin originea ( )0,0,0O  dacă şi numai dacă D = 0.

Teoremă.  Fie planul α  de ecuaţie

0=+++

  DCz By  Ax   

şi planul  β   de ecuaţie

0=+++   QPz Ny Mx   

Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1.  β α  = .

Page 226: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 226/401

Elemente de geometrie analitică 

220  Proiectul pentru Învâţământ Rural

2. Coeficienţii  A, B, C , D şi M , N , P , Q  sunt propor ţionali; adică  există  unnumăr real nenul t  astfel încât

.,,,   tDQtC P tBN tAM    ====  

Ştim că un plan este determinat de trei puncte coliniare. În acest sens, avemurmătoarea

Teoremă.  (Ecuaţia planului determinat de trei puncte). Fie ( )1111 ,,   z y  x  A , ( )2222 ,,   z y  x  A , ( )3333 ,,   z y  x  A   trei puncte necoliniare. Atunci,

ecuaţia planului (unic) α  care trece prin 321  ,,   A A A  este

11

1

1

 

333

222

111 =

z y  x z y  x 

z y  x 

z y  x 

 

Numim acest plan α  planul determinant de 321  şi,   A A A .

Exemplu.  Să  scriem ecuaţia planului care trece prin punctele ( )0,0,11 A ,

( )0,2,02 A  şi ( )3,0,03 A .

Ecuaţia menţionată va fi

1300

1020

10011

  =

z y  x 

 

Scădem linia a doua din celelalte linii şi ecuaţia devine

03010021

1001

01

 −

−   z y  x 

 

şi dezvoltând după coloana a patra, ecuaţia se scrie

( ) 03216 

301

021

1

  =++−=

y z  x 

z y  x 

 

 În definitiv, ecuaţia cerută este

Page 227: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 227/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 221 

06236   =−++   z y  x   

Comentariu. Ecuaţia aceluiaşi plan se obţine dacă înmulţim (sau împăr ţim)cu acelaşi număr nenul, cum am văzut. Atunci, de exemplu, planul din enunţ are şi ecuaţia (împăr ţim cu 6):

0132

  =−++  z y 

 x   

sau

132

  =++  z y 

 x   etc.

Legat de cele ce preced, vom prezenta şi reprezentarea parametrică  a

planului care trece prin trei puncte date.

Teoremă. (Reprezentarea parametrică a planului determinat de trei puncte)Fie ( ) 32,,1,,,   =i z y  x M  i i i i   trei puncte necoliniare. Atunci, planul de determinat

de 321  şi,   M M M   poate fi reprezentat parametric astfel:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ =∈=   ∑ ∑∑∑

= ===

3

1

3

1

3

1

3

1

1,|,,i i 

i i 

i i 

i i i i    t R t z t y t  x t α   

Echivalent: spunem că α  este reprezentat parametric astfel:

( ) 321 1   x v uvx ux  x    −−++= , ( ) 321 1   y v uvy uy y    −−++= ,

( ) 321 1   z v uvz uz z    −−++= , când R v u   ∈, , adică:

( ) ( ) ( )( ){ }R v R uz v uvz uz y  x v uvx ux    ∈∈−−++++−−++=  ,|1,v-u-1vyuy,1 321321321α   

Teoremă. (Ecuaţia prin tăieturi a planului).Fie un plan α  care intersectează axa Ox  în punctul (a,0,0) (respectiv axa Oy   în (0,b,0), respectiv axa Oz  în (0,0,c)) cu 0,0,0   ≠≠≠   c ba .

 Atunci, α  are ecuaţia “prin tăieturi”

1=++c 

b

a

 x  

(adică, ecuaţia 01111

=−++   z c 

y b

 x a

)

Page 228: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 228/401

Elemente de geometrie analitică 

222  Proiectul pentru Învâţământ Rural

Cu acest rezultat, putem verifica imediat calculul de la exemplul anterior,deoarece planul dat la acel exemplu tăia axa Ox  în (1,0,0), axa Oy  în (0,2,0)şi axa Oz  în (0,0,3), având deci ecuaţia

1321

  =++  z y  x 

 etc.

Teorema precedentă ne pune problema de a calcula intersecţiile unui plan cuaxele de coordonate şi cu planele de coordonate.

Teoremă. (Intersecţia unui plan cu axele de coordonate).Fie α  planul de ecuaţie

0=+++   DCz By  Ax   

Intersecţia lui α   cu axa Ox   (dacă este nevidă!) este formată dintr-un punctsau din întreaga axa Ox . Punctele ( x ,y ,z ) acestei intersecţii verifică sistemul

⎪⎩

⎪⎨

=+

=

=

0

0

0

D Ax 

 

La fel, pentru intersecţia cu Oy  se verifică sistemul

⎪⎩

⎪⎨

=+=

=

00

0

DBy 

 x 

 

şi pentru intersecţia cu Oz  

⎪⎩

⎪⎨

=+

=

=

0

0

0

DCz 

 x 

 

 În consecinţă, planul α  este paralel cu Ox  (respectiv include pe Ox ) dacă şinumai dacă ecuaţia lui α  este de forma

0=++   DCz By   (cu 0≠D )(respectiv 0=+ Cz By  )

La fel, avem Oy ||α   (respectiv Oy ⊃α  ) ⇔  ecuaţia este

0=++   DCz  Ax    (cu 0≠D ) (respectiv 0=+ Cz  Ax  ).

Page 229: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 229/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 223 

La fel, Oz ||α   (respectiv Oz ⊃α  ) ⇔ ecuaţia este

0=++   DBy  Ax   (cu 0≠D ) (respectiv 0=+ By  Ax  )

Intersecţia unui plan cu alt plan este o dreaptă.

Vom vedea în subparagraful următor că o dreaptă poate fi dată în mai multefeluri, dar, în mod esenţial, o dreaptă  (intersecţia a două  plane) estemulţimea punctelor care satisfac simultan ecuaţiile a două  plane, numiteecuaţiile dreptei.

Teoremă. (Intersecţia unui plan cu planele de coordonate)Fie α  planul de ecuaţie

0=+++   DCz By  Ax   

Intersecţia lui α  cu planul yOz   (dacă este nevidă!) este o dreaptă sau este întregul plan yOz . Punctele sale verifică sistemul

⎩⎨⎧

=

=++

0

0

 x 

DCz By  

La fel, pentru intersecţia lui α  cu planul zOx  se verifică sistemul

⎩⎨⎧

=

=++

0

0

DCz  Ax  

şi pentru intersecţia cu xOy  se verifică sistemul

⎩⎨⎧

=

=++

0

0

DBy  Ax  

 În consecinţă, planul α  este paralel cu yOz  (respectiv, coincide cu yOz ) deciare ecuaţia de forma

0=+ D Ax  , cu 0≠D  (respectiv Ax  = 0).

La fel, planul α   este paralel cu zOx   (respectiv, coincide cu zOx ) dacă  areecuaţia de forma

0=+ DBy  , cu 0≠D  (respectiv By  = 0)

La fel, planul α   este paralel cu  xOy   (respectiv, coincide cu  xOy ) dacă  areecuaţia de forma

0=+ DCz  , cu 0≠D  (respectiv Cz  = 0).

Page 230: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 230/401

Elemente de geometrie analitică 

224  Proiectul pentru Învâţământ Rural

Să  consider ăm acum problema poziţiilor relative între plane. Am văzutcând două plane coincid.

Dacă  două  plane nu coincid, atunci ele pot fi paralele sau pot să  aibă  încomun o dreaptă.

Teoremă.  Fie planele 2,1,   =i i α   date prin ecuaţiile

0=+++   i i i i    Dz C y B x  A  

Se presupune că  21   α α   ≠ .

Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. 21 ||α α   

2. Există un număr real nenul t  cu proprietăţile:a) 12121212  şi,,   tDDtC C tBBtA A   ≠=== .

Cum putem calcula distanţa între două plane paralele 1α   şi 2α  ?

Se consider ă un punct 1α ∈M   şi apoi se calculează distanţa de la M   la 2α  . Aceasta este distanţa căutată.

Consecinţă. Fie planele i α  , i = 1, 2 date prin ecuaţiile

0=+++   i i i i    Dz C y B x  A  

Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. Planele 1α   şi 2α   se intersectează după o dreaptă.2. Cel puţin unul dintre minorii de ordin 2 ai matricii

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ 

 222

111

C B A

C B A 

este nenul.

Situaţia a trei plane este mai complicată. O vom prezenta sub formă  dediscuţie.

Fie trei plane distincte i α  , i = 1, 2, 3 de ecuaţii

0=+++   i i i i    Dz C y B x  A  

Să consider ăm matricele

Page 231: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 231/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 225 

⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜⎜

⎝ 

⎛ 

=  

333

222

111

C B A

C B A

C B A

M   

cu determinantul ( )   Δ=M det şi

⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜⎜

⎝ 

⎛ 

=  

3333

2222

1111

DC B A

DC B A

DC B A

M   

Ce situaţii pot să apar ă:

1. Cele 3 plane sunt concurente (au un singur punct comun). Această situaţie este caracterizată de faptul că  0≠Δ .2. Cele 3 plane au în comun o dreaptă  (două  câte două  se intersectează 

după aceeaşi dreaptă). Această situaţie este caracterizată prin faptul că, simultan, avem:a) 0=Δ  b) Luând câte două  linii din matricea M, putem forma câte un minor deordinul doi din acele două linii care să fie nenul (deci putem forma 3 astfel deminori).(De exemplu:

022

11 ≠B A

B A şi 0

33

11 ≠C  A

C  A şi 0

33

22 ≠C B

C B)

c) Determinanţii caracteristici, formaţi prin bordarea  (în matricea M ) celortrei minori nenuli de mai sus, sunt toţi nuli.

(Folosind exemplul nostru, trebuie să  avem, deci, următorii determinanţicaracteristici nuli:

0

333

222

111

=

DB A

DB A

DB A

 şi 0

222

333

111

=

DC  A

DC  A

DC  A

 şi 0

111

333

222

=

DC B

DC B

DC B

)

3. Cele două  plane se intersectează  două  câte două  (după  3 drepte), darcele 3 drepte astfel obţinute nu au puncte comune (sunt două câte două paralele). Se formează un fel de prismă triunghiular ă infinită.

 Această situaţie se caracterizează prin faptul că, avem simultan

Punctele a) şi b) ca la 3.

Page 232: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 232/401

Elemente de geometrie analitică 

226  Proiectul pentru Învâţământ Rural

c) Cel puţin unul din determinanţii caracteristici de la 2. este nenul.

4. Două din plane (de exemplu 1α   şi 2α  ) se întâlnesc după o dreaptă, iar al

treilea plan (aici 3α  ) este paralel cu unul din primele două  (de exemplu

13 ||α α  ).

Fiecare din cele două condiţii se pot impune, folosind teoremele anterioare.

5. Cele 3 plane sunt paralele (deci 21 ||α α   şi 32 ||α α  ). Şi aceste condiţii au

fost anterior studiate.

Teoremă.  Fie i α  , i = 1, 2, 3, 4 patru plane de ecuaţii

0=+++   i i i i    Dz C y B x  A  

 Atunci, cele patru plane sunt concurente într-un punct dacă  şi numai dacă 

avem simultan:a) Există cel puţin un minor nenul de ordin 3 al matricii:

⎟⎟⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝ 

⎛ 

 

444

333

222

111

C B A

C B A

C B A

C B A

 

b) Avem

0

4444

3333

2222

1111

=

DC B A

DC B A

DC B A

DC B A

 

Teoremă. (Condiţiile de coplanaritate a patru puncte).Fie ( )i i i i    z y  x  A ,,  4 puncte diferite.Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. Punctele 4321  ,,,   A A A A  sunt coplanare.2. Avem

0

1

1

1

1

 

444

333

222

111

=

z y  x 

z y  x 

z y  x 

z y  x 

 

Page 233: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 233/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 227 

Precedenta teoremă rezultă, de fapt, din următoarea

Teoremă.  Volumul tetraedrului 4321   A A A A   format din punctele ( )i i i i    z y  x  A ,, , i = 1,2,3,4

este dat de formula

( )   Δ= 6

1

vol 4321   A A A A  

unde

1

1

1

1

 

444

333

222

111

z y  x 

z y  x 

z y  x 

z y  x 

=Δ  

Teoremă.  Distanţa între punctele ( )1111 ,,   z y  x  A  şi ( )2222 ,,   z y  x  A  este dată de formula

( ) ( ) ( )221

221

22121   z z y y  x  x  A A   −+−+−=  

Teoremă. (Distanţa de la un punct la un plan)Fie planul α  de ecuaţie

0=+++   DCz By  Ax   

şi punctul ( )000

,,   z y  x M  .

 Atunci, distanţa de la punctul M la planul α  este dată de formula

( )222

000,distC B A

DCz By  Ax M 

++

+++=α   .

Teoremă.  Fie ( )i i i i    z y  x  A ,, , i = 1,2,3 puncte în spaţiu.Se formează expresia

( )

2

33

22

112

33

22

112

33

22

11

321  

1

11

 

1

11

 

1

11

 2

1,,

 x z 

 x z 

 x z 

z y 

z y 

z y 

y  x 

y  x 

y  x 

 A A AS   ++=  

 AtunciI. Dacă  321  ,,   A A A  nu sunt coliniare, atunci aria triunghiului 321   A A A  este

egală cu ( )321 ,,   A A AS .

Page 234: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 234/401

Elemente de geometrie analitică 

228  Proiectul pentru Învâţământ Rural

II. Punctele 321  ,,   A A A  sunt coliniare dacă şi numai dacă  ( ) 0,, 321   = A A AS  

(adică  cei trei determinanţi care apar în expresia ( )321 ,,   A A AS   sunt

nuli).

Caz particular.  Dacă  triunghiul 321   A A A se află  în planul  xOy   (planul deecuaţie z   = O), rezultă  că  0321   ===   z z z  . Atunci, rezultă  din precedenta

teoremă că 

( )  2

1,, 321   D A A AS   =  

unde

11

1

 33

22

11

y  x y  x 

y  x 

D =  

şi regăsim formule din plan.

Aplicaţie. Fie triunghiul  ABC , unde ( )0,0,a A , ( )0,,0 bB  şi ( )c C  ,0,0 , cu a, b, c  numere nenule.

Să calculăm aria triunghiului ABC  cu formula noastr ă, aria va fi

( )

2 2 2

2 2 2 2 2 2

0 1 0 0 1 0 11

, , 0 1 0 1 0 0 12

0 0 1 0 1 0 1

1.

2

a a

S A B C b b

c c 

a b b c c a

= + + =

= + +

 

 În particular, dacă a = b = c , obţinem un triunghi echilateral cu aria egală cu

2

32a (verificaţi direct!).

Două  plane care intersectează  după  o dreaptă  formează  patru unghiuridiedre, care sunt două  câte două  egale în măsur ă. Vom da o formulă asemănătoare cu formula din plan pentru măsura unghiului diedru. Deoarecenu putem distinge între cele două măsuri, vom da o formulă pentru cosinusulunuia din cele două unghiuri, cosinusului suplementului fiind luat cu semnulminus.

Teoremă.  Fie i α  , i = 1,2 două plane care au ecuaţiile

0=+++   i i i i    Dz C y B x  A  

Page 235: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 235/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 229 

 Atunci, cosinusul unghiului diedru ϕ   f ăcut de cele două  plane este dat deformula

( )( )2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121cos

C B AC B A

C C BB A A

++++

++=ϕ   

Facem convenţia că, dacă cele două plane sunt paralele sau confundate, elefac un unghi de măsur ă 0.

Consecinţă. Planele i α  , i =1,2 de mai sus sunt perpendiculare dacă şi numaidacă 

0212121   =++   C C BB A A  

2.3.2. Drepte în spaţiu. Relaţia cu planele. Probleme de unghiuri.

Pentru a exprima analitic o dreaptă  în spaţiu, trebuie să  gândim care estegenerarea ei. Modalităţile de generare principale sunt: dreapta esteintersecţia a două plane, dreapta este determinată de două puncte, dreaptatrece printr-un punct şi are şi are o anumită direcţie. Atenţie! O dreapta nuva mai fi determinată de o singur ă ecuaţie!

Determinarea unei drepte care trece prin două  puncte.  Vom faceurmătoarea

Convenţie de calcul. Când scriem un cât de numere de formaba  şi b = 0,

atunci expresia trebuie înţeleasă automat ca implicând a = 0, adică 

0

a înseamnă 

0

0.

Teoremă.  Fie ( )0000 ,,   z y  x  A  şi ( )1111 ,,   z y  x  A  două puncte distincte. Atunci ecuaţiile unicei

drepte care trece prin 0 A  şi 1 A   (dreapta determinată de 0 A  şi 1 A , adică 

dreapta 10 A A ) sunt

01

0

01

0

01

0

z z 

z z 

y y 

y y 

 x  x 

 x  x 

−=

−=

− 

Notaţie: Dacă  10 A Ad  =  ca mai sus, vom nota de obicei

Page 236: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 236/401

Elemente de geometrie analitică 

230  Proiectul pentru Învâţământ Rural

01

0

01

0

01

0:z z 

z z 

y y 

y y 

 x  x 

 x  x d 

−=

−=

− 

Să explicăm acest enunţ.

 Întâi, să presupunem că 010101

 ,,   z z y y  x  x    ≠≠≠ .

 Atunci teorema presupune că 

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

−=

−∈=

01

0

01

0

01

0

01

0310 y-y

y-y şi |,,

z z 

z z 

y y 

y y 

 x  x 

 x  x R z y  x  A A  

 Aşadar, un punct ( )z y  x  ,, al dreptei are simultan următoarele proprietăţi:

a) ( )( ) ( )( )00100101

0

01

0 y y  x  x  x  x y y y y 

y y 

 x  x 

 x  x −−=−−⇔

−=

−  (1)

Ecuaţia (1), având forma

0=++   DBy  Ax   

reprezintă un plan γ   paralel cu axa Oz .

b) ( )( ) ( )( )00100101

0

01

0 z z y y y y z z z z 

z z 

y y 

y y −−=−−⇔

−=

−  (2)

Ecuaţia (2), având forma0=++   P Nz My   

reprezintă un plan α  paralel cu axa Ox .

Prin urmare, am scris că avem echivalenţa:

( ) ( )   γ α  ∩∈⇔∈   z y  x  A Az y  x  ,,,, 10  

 În definitiv, am scris că avem egalitatea

γ α  ∩=10 A A  

Deci dreapta apare ca o intersecţie de plane (de fapt!).

(Puteam lua, definitoriu, şi egalităţile

01

0

01

0

01

0

01

0  şi z z 

z z 

 x  x 

 x  x 

y y 

y y 

 x  x 

 x  x 

−=

−=

− etc.)

Page 237: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 237/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 231 

 Acum să presupunem că, de exemplu, 01   z z   =  şi 01   x  x   ≠ , 01   y y   ≠ .

 Aşadar (vezi convenţia), un punct ( )z y  x  ,, al dreptei are simultan proprietăţile

a) ⇔−

−=−

01

0

01

0y y 

y y 

 x  x 

 x  x  repetăm comentariul cu privire la apartenenţa lui M  la

planul γ  .

b) Avem obligatoriu 0z z  = .

(Cu alte cuvinte, egalitatea

0

0

00

01

0

01

0 =−

=−

−=

−   z z 

z z 

z z 

y y 

y y , trebuie interpretată  ca propor ţie:

( ) ( )010 00   y y y y    −⋅=−⋅  (nu aduce nimic nou) şi 00  =− z z  .

Ultima egalitate reprezintă ecuaţia unui plan δ   paralel cu xOy  (sau confundatcu xOy ).Prin urmare, δ ⊂10 A A .

 În definitiv, am scris egalitatea

δ γ  ∩=10 A A  

(Mai putem avea şi alte variante cu o singur ă egalitate: 01   x  x   =  şi 01   y y   ≠ ,

01   z z   ≠ ; 01   y y   =  şi 01   x  x   ≠ , 01   z z   ≠  etc.)

 În fine, să presupunem că avem două egalităţi, de exemplu

0101  şi z z y y    ==  

(atunci, obligatoriu 01   x  x   ≠ , deoarece 10   A A   ≠ ).

Făcând apel la convenţii, deducem că 

( ) 0010 zzşi,,   ==⇔∈   y y  A Az y  x   

Egalitatea 0y y  = , adică  00  =− y y    reprezintă  un plan paralel cu planul

 xOz , iar egalitatea 0z z  = , adică  00  =− z z  , reprezintă un plan θ  paralel cu

 xOy .Prin urmare, avem

θ ω  ∩=10 A A  

Page 238: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 238/401

Elemente de geometrie analitică 

232  Proiectul pentru Învâţământ Rural

 În acest caz, dreapta 10 A A , caracterizată de egalităţile 0y y  =  şi 0z z  = , va fi

o dreaptă paralelă cu Ox  (exerciţiu: verificaţi!).

Exemple.  1. Dreapta determinată  de ( )3,2,10 A   şi ( )2,1,01 A   se reprezintă 

astfel:

32

3

21

2

10

1:10

−=

−=

−   z y  x  A A  

Cu alte cuvinte, avem:

1

3

1

2

1

1

−=

−=

−   z y  x  

Dreapta noastr ă este dată de egalităţile

321   −=−=−   z y  x   

adică are ecuaţiile

01=+− y  x   şi 01=+− z y   

2. Dreapta determinată de ( )1,1,1M   şi ( )6,0,1N   se reprezintă astfel:

16

1

10

1

11

1:

−=

−=

−   z y  x MN   

adică 

5

1

1

1

0

1:

  −=

−=

−   z y  x MN   

adică 

1= x   şi ( ) ( )115   −−=−   z y   

Dreapta MN  are ecuaţiile

1= x   şi 065   =−+ z y   

Concluzie.  Ecuaţiile dreptei determinate de două  puncte sunt ecuaţiile adouă plane (paralele cu axele).

 În acest moment, putem reprezenta ecuaţiile parametrice ale drepteideterminate de două puncte.

Page 239: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 239/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 233 

Teoremă. (Reprezentarea parametrică a dreptei determinate de două puncte).

Fie ( )0000 ,,   z y  x  A  şi ( )1111 ,,   z y  x  A  două puncte distincte.

 Atunci, dreapta 10 A A  poate fi reprezentată astfel:

( ){ }1,, | ,, 10101010  =+∈+++=

  t sR t ssz tz sy ty sx tx  A A  

 Alternativ, putem scrie

( ) ( ) ( )( ){ }R t z t tz y t ty  x t tx  A A   ∈−+−+−+=  | 1,1,1 10101010  

Mai spunem că am reprezentat parametric dreapta 10 A A  astfel:

( ) ( ) ( ) 101010 1,1,1   z t tz z y t ty y  x t tx  x    −+=−+=−+=  

Observaţie. Dacă, în reprezentarea de mai sus, vom lua numai 0,0   ≥≥   t s  aşa că  1=+ t s  (alternativ, numai [ ]1,0∈t  , vom obţine segmentul [ ]10 A A . 

Teoremă.  Avem egalitatea

[ ]   ( ){ }1,0,0 | ,, 10101010   =+≥≥+++=   t st ssz tz sy ty sx tx  A A  

Mai general, consider ăm dreapta ca fiind intersecţia a două plane.

Definiţie.  Se consider ă planele 2,1,   =i i α   de ecuaţii

0=+++   i i i i    Dz C y B x  A  

Prin definiţie. Dreapta d  de ecuaţii 

0

0

2222

1111

=+++

=+++

Dz C y B x  A

Dz C y B x  A 

este obţinută astfel:

21   α α   ∩=d   

 Aşadar, d este dreapta de intersecţie a planelor 1α    şi 2α  . Desigur, se

presupune că  1α   şi 2α   sunt plane secante.

 În continuare să ne ocupăm şi de dreptele care trec printr-un punct datşi are o direcţie dată.

Page 240: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 240/401

Elemente de geometrie analitică 

234  Proiectul pentru Învâţământ Rural

Noţiunea de direcţie  nu poate fi suficient clarificată  acum. Vom reveniasupra acestor aspecte la unitatea de învăţare dedicată  geometrieivectoriale.Rezultatul fundamental pe care ne bazăm este următoarea

Teoremă. (Caracterizarea dreptelor care trec printr-un punct fix).

Fie ( )000 ,,   z y  x  A  un punct din spaţiu. Fie şi 3R d  ⊂ .

Următoarele afirmaţii sunt echivalente.1. d este o dreaptă care trece prin A.2. Există trei numere reale a, b, c nu toate nule, cu proprietatea că 

( ){ }R t tc z tby ta x d    ∈+++=  | ,, 000  

Mod de exprimare.  În situaţia de mai sus, spunem că  dreapta d   are

ecuaţiile parametrice 

tc z z tby y ta x  x    +=+=+= 000  ,,

Mai spunem că numerele a, b, c  sunt parametrii directori ai dreptei d . 

 Aşadar: a da o dreaptă d   care trece printr-un punct fixat  A  înseamnă  a daparametrii directori a, b, c  ai dreptei.

Remarcă. Parametrii directori ai unei drepte nu sunt unic determinaţi. Dacă a, b, c sunt parametrii directori ai dreptei d , rezultă  că  şi  pa,  pb,  pc   suntparametri directori pentru aceeaşi dreaptă  d   pentru orice număr fixat

0≠ p .

Cu alte cuvinte, în contextul de mai sus, avem următorul rezultat.Fie R  p ∈ , 0≠ p . Atunci

( ){ } ( ){ }R t tpc z tpby tpa x R t tc z tby ta x d    ∈+++=∈+++=  | ,, | ,, 000000  

Dacă a, b, c  sunt parametri directori pentru dreapta d  ca mai sus, atunci

222222222  ,, c ba

C c ba

b

Bc ba

a

 A ++=++=++=  

sunt de asemenea parametri directori pentru d . În plus, avem şi, proprietatea

1222 =++   C B A  

Page 241: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 241/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 235 

Spunem că  A, B, C  sunt cosinusurile directoare ale dreptei d .Denumirea este datorată faptului că: u A cos= , v B cos= , w C  cos=  unde ueste măsura unghiului f ăcut de dreaptă  cu Ox   (respectiv v   este măsuraunghiului f ăcut de dreaptă cu Oy  şi w  măsura unghiului f ăcut de dreaptă cuOz ).

Observaţie. Dacă d  are cosinusurile directoare  A, B, C , atunci şi  A− , B− ,C −   sunt cosinusuri directoare pentru d . În general, pentru o dreaptă  dată parametric, există  exact o pereche de cosinusuri directoare: ( )C B A ,, şi

( )C B A   −−− ,, .

Teorema de caracterizare a dreptelor care trec printr-un punct fix poate firescrisă în următoarea formă alternativă:

Teoremă.  Fie d  o dreaptă care trece prin punctul ( )000 ,,   z y  x  A . Dacă parametrii directori

ai lui d  sunt a, b, c , atunci dreapta d  poate fi reprezentată astfel:

z z 

b

y y 

a

 x  x d  000:

  −=

−=

− 

 În particular, dacă avem şi un alt punct ( ) 011111  ,,,   A Az y  x  A   ≠ , atunci numerele

01   x  x   − , 01   y y   − , 01   z z   −  sunt parametri directori pentru d .

Explicăm enunţul. Egalităţile

z z 

b

y y 

a

 x  x  000   −

=

=

 

trebuiesc înţelese astfel:

a) Scriem formal

t c 

z z 

b

y y 

a

 x  x =

−=

−=

− 000  

şi obţinem

b) at  x  x    =− 0 , bt y y    =− 0 , ct z z    =− 0  

adică 

ta x  x    += 0 , tby y  o  += , tc z z    += 0  

Page 242: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 242/401

Elemente de geometrie analitică 

236  Proiectul pentru Învâţământ Rural

(Se vede că, dacă, de exemplu a = 0, 0 x  x  = , adică se respectă  convenţia

00

0  x  x 

 x  x =⇒

−).

 În plus, dacă avem şi ( )111101 ,,,   z y  x  A A A   ≠ , putem scrie

( ) ( ) ( )010010010  ,,   z z t z z y y t y y  x  x t  x  x    −+=−+=−+=  

Observaţie. Noţiunea de parametru director al unei drepte este invariantă faţă de punctul prin care trece dreapta. Mai precis, avem următoarea

Teoremă. Fie d  o dreaptă care trece prin punctul ( )0000 ,,   z y  x  A  şi are parametrii directori

a, b, c , adică se poate reprezenta parametric astfel:

tc z z tby y ta x  x    +=+=+= 000  ,,

Fie şi un alt punct ( )1111 ,,   z y  x  A   prin care trece dreapta d . Atunci, putemreprezenta pe d  parametric şi astfel:

tc z z tby y ta x  x    +=+=+= 111  ,,

Putem defini, pentru orice dreaptă d , parametrii directori ai lui d .Procedăm astfel. Pe dreapta d  consider ăm punctele distincte ( )0000 ,,   z y  x  A  şi

( )1111 ,,   z y  x  A , deci putem scrie 10 A Ad  = . Atunci, cum am văzut, 10 A A   este

dreapta care trece prin 0 A  şi are parametrii directori 01   x  x   − , 01   y y   − , 01   z z   − .

Luând un alt punct d  A  ∈

2 , rezultă  cu precedenta că  d este dreapta caretrece prin 2 A  şi are parametrii directori 01   x  x   − , 01   y y   − , 01   z z   − .

Prin definiţie, numerele 01   x  x   − , 01   y y   − , 01   z z   − , sunt parametrii directori

ai lui d  (definiţia nu depinde de punctul prin care trece d ).

Teoremă.  Fie 2,1 ,   =i d i   , două drepte cu parametrii directori respectiv i a , i b , i c  .

1. Dreptele 21  şi d d   sunt paralele sau confundate dacă şi numai dacă există un număr real nenul t  cu proprietatea că 

121212  ,,   tc c tbbtaa   ===  

2. Dacă  21  şi d d   fac între ele un unghi , atunci

Page 243: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 243/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 237 

22

22

22

21

21

21

212121cosc bac ba

c c bbaa

++⋅++

++=ϕ   

 În particular,

021212121   =++⇔⊥   c c bbaad d   

Teoremă.  Se consider ă  planele secante 2,1 ,   =i i α    de ecuaţii

0:   =+++   i i i i i    Dz C y B x  Aα    şi, fie d   dreapta lor de intersecţie, adică 

21   α α   ∩=d  . Atunci, d  are parametrii directori a, b, c , daţi de formulele

22

11

22

11

22

11

B A

B Ac 

 AC 

 AC b

C B

C Ba   ===  

Definiţie.  Dacă  α   este un plan, spunem că  o dreaptă  d   este normală  la planul α  dacă  α ⊥d   (toate normalele la un plan sunt paralele între ele).

Teoremă.  O normală la planul α  de ecuaţie

0=+++   DCz By  Ax   

are parametrii directori A, B, C .

Teoremă. Fie d  o dreaptă de parametri directori a, b, c  şi planul α  de ecuaţie

0=+++   DCz By  Ax   

1. ⇔⊥α d   Există  0≠t   cu proprietatea că 

tc C tbBta A   ===  , ,

2. 0||   =++⇔   Cc Bb Aad    α   

Consecinţă.

Ecuaţia unui plan care trece printr-un punct ( )c baM  ,, şi este perpendicularpe o dreaptă de parametri directori m, n, p este

( ) ( ) ( ) 0=−+−+−   c z  pby na x m  

Teoremă.  Fie o dreaptă d  definită de ecuaţiile

z z 

b

y y 

a

 x  x  000   −=

−=

− 

Page 244: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 244/401

Elemente de geometrie analitică 

238  Proiectul pentru Învâţământ Rural

şi α  un plan de ecuaţie

0=+++   DCz By  Ax  .

1. Dacă  este unghiul f ăcut de dreapta d  cu planul α , avem

( )( )222222sin

c baC B A

Cc Bb Aa

++++

++=ϕ   

2. Ecuaţiile proiecţiei lui d  pe planul α  sunt

0=+++   DCz By  Ax   

şi

0 000

=−−−

C B A

c baz z y y  x  x 

 

Prin urmare, cu ajutorul teoremei precedente am definitivat studiul poziţieiunei drepte faţă de un plan.

Să recapitulăm. Avem, de fapt, următoarea

Teoremă. (Poziţia unei drepte faţă de un plan- sinteză)

Se consider ă dreapta

z z 

b

y y 

a

 x  x d  000:

  −=

−=

− 

şi planul α  de ecuaţie

0=+++   DCz By  Ax   

 Avem următoarele situaţii:1. Situaţia  α ⊂d  . Această situaţie se caracterizează prin faptul că, simultan

avem

( )

0

,, 000

=++

Cc Bb Aa

z y  x    α  

2. Situaţia  α ||d  . Această  situaţie se caracterizează  prin faptul că, avemsimultan

Page 245: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 245/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 239 

( )

0

,, 000

=++

Cc Bb Aa

z y  x    α  

3. Situaţia  când dreapta d   este secantă  planului. Această  situaţie secaracterizează prin faptul că 

0≠++   Cc Bb Aa  

 În acest caz, unghiul f ăcut de dreapta d   cu planul α  are sinusul dat deformula din teorema precedentă. În plus, în particular:

⇔⊥α d   Există  0≠t   aşa ca să avem simultan A = ta, B = tb, C  = tc .

Alte ecuaţii ale planului.

Teoremă.  Consider ăm dreptele 2,1 ,   =i d i   concurente în ( )000 ,,   z y  x   date prin ecuaţiile

i i i 

i c 

z z 

b

y y 

a

 x  x d  000   −

=−

=−

=  

 Atunci, ecuaţia planului determinat de dreptele 21  şi  d d   este

222

111

000

=

−−−

c ba

c ba

z z y y  x  x 

 

Teoremă.  Ecuaţia planului determinat de dreptele paralele 2,1 ,   =i d i   de ecuaţii

z z 

b

y y 

a

 x  x d    i i i 

−=

−=

−=  

este 0 121212

111

=−−−

−−−

c ba

z z y y  x  x 

z z y y  x  x 

 

Teoremă.  Ecuaţia planului determinat de dreapta

z z 

b

y y 

a

 x  x d  111:

  −=

−=

− 

Page 246: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 246/401

Elemente de geometrie analitică 

240  Proiectul pentru Învâţământ Rural

şi punctul ( )222 ,,   z y  x M   

este 0 121212

111

=−−−

−−−

c ba

z z y y  x  x 

z z y y  x  x 

 

Teoremă. (Fascicul de plane).

Se consider ă două plane secante, de ecuaţii

0=+++   i i i i    Dy C y B x  A  

a căror dreaptă de intersecţie este d .

 Atunci, ecuaţia unui plan α   care trece prin d   are următoarea formă: există 

două  numere reale a, b  care nu sunt amândouă  nule şi astfel încât d   areecuaţia

( ) ( ) 022221111   =+++++++   Dy C y B AbDy C y B x  Aa  

Teoremă.  Distanţa de la punctul ( )111 ,,   z y  x  A  la dreapta

z z 

b

y y 

a

 x  x d  000:

  −=

−=

− 

este dată de formula

( )222

2

0101

2

0101

2

0101  

,distc ba

ba

y y  x  x 

ac 

 x  x z z 

c b

z z y y 

d  A++

−−+

−−+

−−

=  

Care sunt poziţiile relative a două drepte în spaţiu?

Teoremă.  Se consider ă dreptele 2,1 ,   =i d i   date prin

i i 

z z 

b

y y 

a

 x  x d 

  −=

−=

−:  

Să notăm

222

111

121212

c ba

c ba

z z y y  x  x    −−−

=Δ  

Page 247: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 247/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 241 

 Atunci1. Dacă  0≠Δ , dreptele nu sunt coplanare. De fapt, avem echivalenţa:

dreptele 1d   şi 2d   nu sunt coplanare dacă şi numai dacă  0≠Δ .2. Dacă  0=Δ , dreptele sunt coplanare.

 În plus:a) Dacă nu există  0≠t   astfel încât 12   taa   = , 12   tbb   = , 12   tc c   = , atunci dreptele

1d   şi 2d   sunt concurente.

b) Dacă  există  0≠t    cu proprietatea că  12   taa   = , 12   tbb   = , 12   tc c   = , atunci,avem două posibilităţi:

Prima posibilitate: nu există  0≠h , astfel încât

112112112  şi ,   hc z z hby y ha x  x    =−=−=−  

 În acest caz,21

|| d d  .

 A doua posibilitate: există  0≠h  astfel încât

112112112  , ,   hc z z hby y ha x  x    =−=−=−  

 în acest caz, 21   d d   = .

Teoremă.  Se consider ă două drepte necoplanare 2,1 ,   =i d i  :

c z z 

by y 

a x  x d    −=−=−:  

1. Ecuaţiile perpendicularei comune sunt următoarele (i  = 1, 2):

0

 22

11

22

11

22

11

=

−−−

ba

ba

ac 

ac 

c b

c b

c ba

z z y y  x  x 

i i i 

i i i 

 

2. Distanţa între dreptele 1d   şi 2d   are valoarea h , unde

2

22

11

2

22

11

2

22

11

222

111

121212

 ac 

ac 

c b

c b

ba

ba

c ba

c ba

z z y y  x  x 

h

++

−−−

=  

Page 248: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 248/401

Elemente de geometrie analitică 

242  Proiectul pentru Învâţământ Rural

Test de autoevaluare 5

1. a) Să se scrie ecuaţia planului care trece prin punctele( )0,0,0M  , ( )0,1,0N  , ( )1,0,0P  .

Putem scrie această ecuaţie prin tăieturi?

b) Să se arate că planele de ecuaţii

04633:

02:

2

1

=−++

=++

z y  x 

z y  x 

α 

α  

sunt paralele.Care este distanţa dintre aceste plane?

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 281 a acestei unităţide învăţare.

Răspunsurilela test se vor

da în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 249: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 249/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 243 

Test de autoevaluare 5

c) În ce condiţii se intersectează planele de ecuaţii

04

04

=−−+

=−−+

z ty  x 

z y tx 

 

după o dreaptă.Dacă intersecţia este o dreaptă, să se afle parametrii directori aidreptei de intersecţie.

d) Se consider ă planele de ecuaţii

0320

0

=++=−

=+

tz y  x 

y  x 

y  x 

 

 În ce condiţii sunt concurente planele? În ce condiţii cele trei plane au o dreaptă comună?

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 281 a acestei unităţide învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 250: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 250/401

Elemente de geometrie analitică 

244  Proiectul pentru Învâţământ Rural

Test de autoevaluare 5

e) Să se arate că următoarele patru ecuaţii reprezintă patruplane concurente

0

0

02203

=−

=−

=−+−=−++

z y 

y  x 

z y  x z y  x 

 

f) Pentru care valori ale lui t sunt coplanare punctele ( )0,0,1 ,

( )0,1,0 , ( )1,0,0 şi ( )t t t  ,, ?

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 281 a acestei unităţide învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 251: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 251/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 245 

Test de autoevaluare 5

g) Să se calculeze volunul tetraedrului care are vârfurile înpunctele ( )0,0,11 A , ( )0,1,02 A , ( )1,0,03 A , ( )0,0,0O .

Identificaţi tetraedrul mai sus- menţionat.

h) Să se calculeze aria triunghiului ABC, unde ( )0,0,0 A , ( )0,0,1B ,

( )t t C  ,,2 , R t  ∈ . În ce caz este triunghiul degenerat (adică punctele A, B, C sunt coliniare) ?

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 281 a acestei unităţide învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiul

liber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 252: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 252/401

Elemente de geometrie analitică 

246  Proiectul pentru Învâţământ Rural

Test de autoevaluare 5

i) Se consider ă planele de ecuaţii

032   =−+   z y tx   

Să se determine cos unde este unghiul diedru format decele două plane.Pot coincide cele două plane? În ce caz sunt paralele? În ce caz sunt perpendiculare?

2. a) Să se scrie ecuaţiile dreptei care trece prin punctele ( )3,2,1 A   şi

( )2,1,0B .

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 281a acestei unităţi de

 învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 253: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 253/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 247 

Test de autoevaluare 5

b) Să se scrie ecuaţiile dreptei care trece prin punctele( )2,1,0M   şi ( )1,1,0 −N   şi să se calculeze cosinusurile

directoare ale acestei drepte.

c) Să se scrie ecuaţiile parametrice ale dreptelor AB şi MNde la punctele a) şi b).

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 281 a acesteiunităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spa

ţiul

liber dinchenar, încontinuareaenun urilor.

Page 254: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 254/401

Elemente de geometrie analitică 

248  Proiectul pentru Învâţământ Rural

Test de autoevaluare 5

d) Să se scrie ecuaţiile parametrice ale dreptei de ecuaţii

01

03

=+++

=+−

z y  x 

z y  x 

 

(adică ale dreptei de intersecţie a planelor de ecuaţii scrise maisus).

e) Se consider ă dreptele d (de parametrii directori 1, 1, 1) şi e(de parametrii directori 0, -1, 2). Ce unghi formează  acestedrepte?

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 281 a acestei unităţide învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 255: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 255/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 249 

Test de autoevaluare 5

f) Se consider ă dreptele de ecuaţii parametrice

x = 3t, y = 4t, z = t

şi

t z t y t  x    +=−=+= 1 ,4 ,3  

Să se arate că cele două drepte sunt concurente. Să secalculeze unghiul format de cele două drepte.

g) Să se scrie ecuaţiile dreptei normale la planul de ecuaţie

03 =−++   z y  x   

 în punctul ( )1,1,1 .

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 281 a acestei unităţide învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenun urilor.

Page 256: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 256/401

Elemente de geometrie analitică 

250  Proiectul pentru Învâţământ Rural

Test de autoevaluare 5

h) Să se determine unghiul f ăcut de o dreaptă d de parametriidirectori 1, -1, 2 cu planul d de ecuaţie

01 =−++   z ty  x   

 În ce condiţii este d paralelă cu α  (sau conţinută în α ) ?Poate fi d perpendicular ă pe α  ?

i) Să  scrie ecuaţia planului determinat de dreptele de ecuaţiiparametrice:

t z t y t  x d 

t z t y t  x d 

+=−=+=

===

1 ,4 ,3:

 ,4 ,3:

2

1  

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 281 a acestei unităţide învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 257: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 257/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învâţământ Rural 251 

Test de autoevaluare 5

 j) Să se scrie ecuaţia planului determinat de dreptele paralele

222

23

1

2

1

z y  x 

z y  x 

==

=

=

 

k) Să se scrie ecuaţia planului determinat de dreapta

1:   −==   z y  x d   

şi punctul ( )1,0,1−M  .

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 281 a acestei unităţide învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenun urilor.

Page 258: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 258/401

Elemente de geometrie analitică 

252  Proiectul pentru Învâţământ Rural

Test de autoevaluare 5

l) Care este distanţa de la punctul ( )1,0,1−M   la dreapta1:   −==   z y  x d   ?

m) Fie a, b numere strict pozitive. Se consider ă dreptele 1d   şi

2d   date astfel:

1d   de ecuaţii 0 ,1   ==+   z b

a

 x  

2d   de ecuaţii x = 0, y = 0

Să se arate că dreptele 1d   şi 2d   nu sunt coplanare şi suntperpendiculare.Să scrie ecuaţiile perpendicularei comune şi să se calculezedistanţa între 1d   şi 2d  .

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag.281 a acestei unităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 259: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 259/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 253 

2.3.3. Sfera

 Având în vedere expresia distanţei între două puncte, considerând sfera caloc geometric al punctelor care au proprietatea că  sunt la aceeaşi distanţă faţă de un punct fix, obţinem următoarea

Teoremă.  Fie M (a,b,c ) un punct fix în 3R   şi fie 0>R  . Atunci, sfera Γ  de centru M  şirază R  se poate exprima astfel:

( ) ( ) ( ) ( ) 2223 2 |,,   R c z by a x R z y  x    =−+−+−∈=Γ  

Egalitatea de mai sus se numeşte ecuaţia sferei. Menţionăm că  sfera decentru M   şi rază  R   se mai notează  cu ( )R M S ,   sau ( )( )R c baS ,,, .

Deasemenea, ecuaţia sferei ( )R M S ,  mai poate fi scrisă astfel

0222 2222222 =−+++−−−++   R c bacz by ax z y  x    (*)

Ca şi la cerc, rezultă că, în general o ecuaţie de forma

( ) 0222 =++++++   E Dz Cy Bx z y  x  A   (1)

cu 0≠ A  reprezintă o sfer ă (veritabilă, degenerată, adică redusă la un punctsau imaginar ă, adică egală cu mulţimea vidă.

 Anume, aducem (1) la forma echivalentă 

0222 =++++++ A

E z  A

Dy  A

C  x  A

Bz y  x    (2)

adică 

0222 =++++++   q pz ny mx z y  x    (3)

cu notaţiile evidente: A

Bm = ,

 A

C n = ,

 A

D p = ,

 A

E q = .

Identificăm coeficienţii din (3) cu cei din (*) şi trebuie să avem

2222 şi2,2,2   R c baqc  pbnam   −++=−=−=−=  

adică 

qc baR    −++= 2222  

deci

Page 260: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 260/401

Elemente de geometrie analitică 

254  Proiectul pentru Învăţământ Rural

q pnm

R  p

c n

bm

a   −++

=−=−=−=4

,2

,2

,2

2222   (4)

Sfera este veritabilă dacă şi numai dacă avem

q pnmq pnm

404222

222

>++⇔>−

++ 

Sfera se va reduce la un punct q pnm 4222 =++⇔  

Sfera este imaginar ă  q pnm 4222 <++⇔  

Cu coeficienţii iniţiali din (1)

 A

 AE DC Bqc baR 

 A

Dc 

 A

C b

 A

Ba

2

4 ,

2,

2,

2

222222   −++

=−++=−=−=−=  

Sfera este veritabilă   AE DC R  4222 >++⇔  

Sfera se reduce la un punct  AE DC R  4222 =++⇔  

Sfera este imaginar ă   AE DC R  4222 <++⇔  

Exemple. 1. Ecuaţia

02222222 =+−−−++   z y  x z y  x   

este ecuaţia unei sfere cu centrul în ( )1,1,1M   şi raza R  = 1 (are forma

( ) ( ) ( ) 11211 222=−+−+−   y  x  )

2. Ecuaţia

03222222 =+−−−++   z y  x z y  x   

reprezintă punctul ( )1,1,1M   (este ecuaţia “sferei” redusă la punctul ( )1,1,1 ).3. Ecuaţia

04222222 =+−−−++   z y  x z y  x   

este ecuaţia unei sfere imaginare (revine la

Page 261: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 261/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 255 

( ) ( ) ( ) 01111 222=+−+−+−   z y  x   

4. Ecuaţia

02325222 222 =+++−++   z y  x z y  x   

reprezintă ecuaţia sferei de centru ⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −−

4

3,

2

1,

4

5 şi, rază 

4

22=R   

Să reţinem că sfera cu centrul în originea (0,0,0) şi raza R  are ecuaţia

2222 R z y  x    =++  

Prin patru puncte necoplanare ( )i i i i    z y  x  A ,, , i   = 1,2,3,4, trece o sfer ă  unică (determinată  de cele patru puncte sau sfera circumscrisă  tetraedrului

4321   A A A A ).

Teoremă.  În condiţiile de mai sus, ecuaţia sferei determinate de punctele 1 A , 2 A , 3 A ,

4 A  este

1

1

1

1

 

33323

23

23

22222

22

22

11121

21

21

222

=

++

++

++

++

z y  x z y  x 

z y  x z y  x 

z y  x z y  x 

z y  x z y  x 

 

Exemplu.  Să  consider ăm sfera circumscrisă  tetraedrului 4321   A A A A , unde

( )0,0,11 A , ( )0,1,02 A , ( )1,0,03 A , ( )0,0,04 A .

Ecuaţia este

1000011001

10101

10011

1

 

222

=

++   z y  x z y  x 

 

1001

0101

0011 

222

=

++

z y  x z y  x 

 

(dezvoltăm după linia 2)

Page 262: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 262/401

Elemente de geometrie analitică 

256  Proiectul pentru Învăţământ Rural

101

011 

100

010 

222

=

++

+−⇔

z y z y  x z y  x 

 

101

010 

222

=

−++

+−⇔

z y y z y  x 

 x   

0222 =−−+++−⇔   z y z y  x  x   

0222 =−−−++⇔   z y  x z y  x   

Teoremă. (Reprezentarea parametrică a sferei)

Sfera de centru ( )c ba ,, şi rază R  poate fi reprezentată parametric astfel:

θ 

ϕ θ 

ϕ θ 

cos

sinsin

cossin

R c z 

R by 

R a x 

+=

+=

+=

 

unde [ ]π θ  ,0∈  şi [ ]π 2,0∈ .

Cu alte cuvinte:

( )( ) ( )   [ ] [ ]{ }π π θ θ ϕ θ θ  2,0,,0|cos,sinsin,cossin,,,   ∈∈+++=   R c R bR aR c baS

  Înainte de a trece mai departe, să remarcăm că sfera ( )( )R c baS ,,, de centru

( )c ba ,, şi rază R  este frontiera bilei de centru ( )c ba ,, şi rază R , notată 

( )( ) ( ) ( ) ( )( ){ }R c baz y  x R z y  x R c baB   ≤∈= ,,,,,dist|,,,,, 3  =

= ( ) ( ) ( ) ( ) 22223  |,,   R c z by a x R z y  x    ≤−+−+−∈  

Sfera împarte spaţiul 3R   în trei regiuni:

( )( )R c baSSSR  ext  ,,,int3 ∪∪=  

unde

( ) ( ) ( ) ( ) 22223int  |,,   R c z by a x R z y  x S   <−+−+−∈=  

(punctele interioare sferei)( ) ( ) ( ) ( ) 22223  |,,   R c z by a x R z y  x t Sex    >−+−+−∈=  

(punctele exterioare sferei)

Page 263: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 263/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 257 

 În continuare, discutăm despre intersecţia unei sfere cu o dreaptă şiprobleme de tangenţă.

Teoremă.  O dreaptă dată parametric

 p

z z 

n

y y 

m

 x  x d  000:

  −=

−=

− 

intersectează o sfer ă: sau în două puncte distincte, sau într-un singur punct(şi atunci este tangentă la sfer ă) sau în zero puncte (adică nu intersectează sfera).

Demonstraţia (metoda de găsire a intersecţiei este următoarea: scriem că punctul de pe dreaptă apar ţine sferei.

Punctul ( )   d z y  x M    ∈,, are coordonatele

tpz z tny y tm x  x    +=+=+= 000  ,, unde R t  ∈ .

Căutăm să determinăm t  astfel încât ( )( )R c baSM  ,,,∈ , adică 

( ) ( ) ( ) 220

20

20   R c tpz btny atm x    =−++−++−+  

 Am obţinut o ecuaţie de gradul 2 în t   (coeficientul lui 2t    este0222 >++   pnm ) care se discută şi se rezolvă, vezi teorema.

Se poate ar ăta (acest fapt este intuitiv) că, dacă  ( ) int000 ,,   Sz y  x    ∈ , atunci d  

intersectează sfera în două puncte distincte.

Exemplu 1. Consider ăm sfera de ecuaţie

( ) ( ) 112 222=+−+−   z y  x   

Să vedem dacă dreapta

321:   +=+=+   z y  x d   

o intersectează şi în ce puncte.

 Aici 1===   pnm , 3,2,1 000   −=−=−=   z y  x  .

Un punct curent al dreptei este

( ) ( )z y  x t t t M  ,,3,2,1   =−−+−+−  

3121 

3212

−−=

−=−+−=−

−=−+−=−⇒

t z 

t t y 

t t  x 

 

Page 264: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 264/401

Elemente de geometrie analitică 

258  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Căutăm t , astfel încât ( )z y  x  ,, să fie pe sfer ă, adică 

( ) ( ) ( ) 02663127631333 22222=+−⇔=+−⇔=++−+−   t t t t t t t   

 Această ecuaţie nu are r ădăcini reale!

Prin urmare, dreapta nu intersectează sfera.(Se constată  că  punctul ( ) ( )3,2,1,, 000   −−−=z y  x    este în exteriorul sferei:

( ) ( ) 133312 22220

20

20   >++=+−+−   z y  x  ).

2. Aceeaşi sfer ă. Consider ăm dreapta d  care trece prin punctele ( )0,1,2M   şi

( )0,0,0O . Vom vedea că  intersecţia cu sfera se compune din două  puncte. Anume:

00

0

01

0

02

0:

−=

−=

−   z y  x d   

 Aşadar:12

y  x =  şi z = 0

Dreapta este dată parametric astfel:

x = 2t, y = t, z = 0

 Înlocuim în ecuaţia sferei pentru a-l găsi pe t , deci punem condiţia( )∈0,,2   t t  sfer ă:

( ) ( ) ( )5

11115010122 2222

±=−⇔=−⇔=−+−+−   t t t t   

5

51,

5

51 21   +=−=   t t   

Obţinem punctele de intersecţie

⎟⎟ ⎠

 ⎞

⎜⎜⎝ 

⎛ 

−− 0,5

5

1,5

52

21M   şi ⎟⎟ ⎠

 ⎞

⎜⎜⎝ 

⎛ 

++ 0,5

5

1,5

52

22M   

Observaţie.  Am obţinut 21M M    care este un diametru al sferei, deoarece

punctul ( )0,1,2M   prin care trece dreapta noastr ă este exact centrul sferei.

3. Aceeaşi sfer ă.Să se determine în ce condiţii dreapta

Page 265: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 265/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 259 

 p

n

m

 x d 

112:

  −=

−=

− 

este tangentă la sfer ă.

Se constată punctul ( ) ( )1,1,2,, 000   =z y  x   se găseşte pe sfer ă.

Dreapta d  se scrie parametric astfel:

 pt z nt y mt  x    +=+=+= 1,1,2  

Punem condiţia ca punctul având coordonatele de mai sus să  se afle pesfer ă:

( ) ( ) ( ) 111122 222=++−++−+   pt nt mt   

( ) 022222 =+++   pt t  pnm  

O soluţie este 01 =t  , care dă punctul de intersecţie ( ) ( )1,1,2,, 000   =z y  x  .

Cealaltă soluţie este dată de relaţia

( ) 02222 =+++   pt  pnm  

Dacă  am avea 0≠ p , am obţine soluţia 02

2222   ≠

++

−=

 pnm

 pt    şi,

corespunzător ei un al doilea punct de intersecţie

( ) 12222 1,1,2   M  pt nt mt M    ≠+++  

şi dreapta d  nu ar fi tangentă la sfer ă.

 Aşadar, condiţia ca punctele de intersecţie să fie confundate ( )021   == t t   este p = 0.

 În definitiv, rezultă că toate tangentele la sfer ă în punctul ( )1,1,2  au forma

0

112:

  −=

−=

−   z 

n

m

 x d   

adică au ecuaţiile parametrice

1,1,2   =+=+=   z nt y mt  x   

Page 266: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 266/401

Elemente de geometrie analitică 

260  Proiectul pentru Învăţământ Rural

unde 0≠m  sau 0≠n .

Se constată că toate dreptele tangente se află în planul de ecuaţie z  = 1 careeste tangent la sfer ă în punctul ( )1,1,2 .

Pentru a putea exprima rezultatele care urmează, vom considera sfera

( )( )R c baS ,,, de centru ( )c ba ,, şi rază  0>R   şi vom mai scrie ecuaţia ei subforma

( ) ( ) ( ) ( ) 0,, 2222=−−+−+−=   R c z by a x z y  x f   

Expresia ( ) ( ) ( ) ( ) 0,, 2222=−−+−+−=   R c z by a x z y  x f    va fi folosită  în

continuare.

Teoremă.  Se consider ă  punctele ( ) 2,1,,,   =i z y  x M  i i i i  . Atunci, dreapta 21M M    este

tangentă sferei ( )( )R c baS ,,, dacă şi numai dacă avem

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

221 2 1 2 1 2

1 1 1 2 2 2, , , ,

 x a x a y b y b z c z c R 

f x y z f x y z  

− − + − − + − − − =

 În continuare, vom discuta despre intersecţia unei sfere cu un plan şiprobleme de tangenţă.

Teoremă.  Se consider ă sfera ( )( )R c baS ,,, , un plan α  de ecuaţie

0=+++   DCz By  Ax   

şi notăm cu d distanţa de la punctul ( )c ba ,, la planul α .

 Avem următoarele situaţii

1. Dacă  R d  < , atunci α ∩d   este un cerc (situat în planul α ) care are raza

egală cu 22 d R   −  şi este reprezentat prin ecuaţiile

( )

0

0,,

=+++

=

DCz By  Ax 

z y  x f  

2. Dacă  R d  = , atunci α ∩d   este o mulţime formată dintr-un punct. În acestcaz, α  este tangent la ( )( )c baS ,, .

Punctul de tangenţă este obţinut ca intersecţie a sferei cu dreapta normală laplan, care trece prin ( )c ba ,, , cu alte cuvinte, coordonatele punctului detangenţă verifică ecuaţiile

Page 267: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 267/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 261 

c z 

B

by 

 A

a x    −=

−=

− 000  

( ) 0,, 000   =z y  x f   

3. Dacă  R d  > , avem α ∩d   = mulţimea vidă.

Teoremă. Se consider ă sfera ( )( )R c baS ,,, şi un plan α  de ecuaţie

0=+++   DCz By  Ax   

Există două plane tangente la sfer ă, care sunt paralele cu planul α .

 Aceste două plane au ecuaţiile

( ) ( ) ( ) 222 C B AR c z C by Ba x  A   ++=−+−+−  

şi

( ) ( ) ( ) 222 C B AR c z C by Ba x  A   ++−=−+−+−  

Ecuaţia planului tangent la sfer ă într-un punct dat al sferei se obţine tot prindedublare, ca la cerc.

Teoremă.  Fie sfera ( )( )R c baS ,,, şi ( ) ( )( )R c baSz y  x  ,,,,, 000   ∈ . Atunci ecuaţia planului

tangent la ( )( )R c baS ,,, în planul ( )000 ,,   z y  x   este

( ) ( ) ( ) 0000000   =++−+−+−++   Dz z c y y b x  x azz yy  xx   

(această ecuaţie se obţine prin dedublare din ecuaţia sferei

( ) 0222,, 2222222 =−+++−−−++=   R c bacz by ax z y  x z y  x f   

Exemplu. 1. Să scriem ecuaţia planului tangent la sfera S de ecuaţie

043222 =−++−++   z y  x z y  x   

 în punctul ( )1,2,1   −M  .(Întâi se verifică faptul că  SM  ∈ ).

Ecuaţia cerută este

( ) ( ) ( ) ( ) 0412

12

2

11

2

3121   =−−++++−−⋅+⋅+⋅   z y  x z y  x   

Page 268: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 268/401

Elemente de geometrie analitică 

262  Proiectul pentru Învăţământ Rural

adică 

0105   =++−   z y  x   

2. Ca verificare a unor formule anterioare:a) Să  calculăm ecuaţiile planelor tangente la sfer ă  care sunt paralele cu

planul

0105   =++−   z y  x   

Pentru a soluţiona problema, vom observa că sfera are centrul ⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −−

2

1,

2

1,

2

3 şi

raza2

27=R  .

 Apoi, 1,5,1   =−==   C B A , deci 27222

=++   C B A .

Ecuaţiile cerute sunt

2

2727

2

27

2

11

2

15

2

31   ±=±=⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ++⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ +−⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −⋅   z y  x   

Obţinem planele de ecuaţii

0105   =++−   z y  x   

(“vechiul” plan tangent, găsit la exemplul anterior)

şi 0175   =++−   z y  x  .

3. Consider ăm sfera de ecuaţie

09222 =−++   z y  x   

şi planul de ecuaţie

01=−++   z y  x   

Distanţa acestui plan până la centrul sferei este

33

1

111

 1000222

=<=++

−++R   

Intersecţia dintre sfer ă şi plan este cercul de ecuaţii

019

222

=−++−++

z y  x z y  x   

Page 269: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 269/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 263 

care are raza egală cu3

26

3

19

3

13

2

2 =−=⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ − .

 În continuare, câteva chestiuni despre intersecţia a două  sfere şi problemede tangenţă.

Teoremă.  Intersecţia a două sfere de ecuaţie

0222

02222222222

2222222

=−+++−−−++

=−+++−−−++

r w v uwz vy ux z y  x 

R c bacz by ax z y  x  

pentru care distanţa între centre este

( ) ( ) ( )222w c v buad    −+−+−=  

se prezintă astfel:

1. Dacă  r R d r R    +<<− , intersecţia este un cerc de ecuaţii

0222 2222222 =−+++−−−++   R c bacz by ax z y  x   

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0

22222222222 =−+++−+++

+−+−+−

r R c baw v u

z w c y v b x ua  (*)

(Prima ecuaţie poate fi înlocuită  cu ecuaţia celei de- a doua sfere. A douaecuaţie se obţine prin scăderea ecuaţiilor celor două sfere).

2. Dacă  r R d    += , cele două sfere sunt tangente exterior.

3. Dacă  r R d    −= , cele două sfere sunt tangente interior.

4. Dacă  r R d O   −<<  sau r R d    +> , cele două sfere nu se intersectează.

5. Dacă  0=d   (centrele coincid) avem două posibilităţi:

-  sau r R  ≠  şi intersecţia este vidă -  sau r R  =  şi cele două sfere coincid

Definiţie.  În cazul în care cele două  sfere nu coincid, ecuaţia (*) defineşte un plan,numit planul radical al celor două sfere.

Page 270: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 270/401

Elemente de geometrie analitică 

264  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Test de autoevaluare 6

1. a) Să se determine valorile parametrului real p pentru careecuaţia

0422222 =++−+++   pz y  x z y  x   

defineşte o sfer ă veritabilă.

b) Să se scrie ecuaţia sferei care trece prin punctele(necoplanare! verificaţi!) ( ) ( ) ( ) ( )0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0 4321   A A A A .

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 295 a acestei unităţide învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, în

continuareaenunţurilor.

Page 271: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 271/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 265 

Test de autoevaluare 6

2. a) Să se determine punctele în care intersectează sfera deecuaţie

4222 =++   z y  x   

dreapta

z y  x d    ==−1:

a) Să se scrie ecuaţiile tuturor tangentelor la sfera deecuaţie

1222 =++   z y  x   

care trec prin punctul ( )0,0,2 .

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag.295 a acestei unităţide învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuarea

enunţurilor.

Page 272: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 272/401

Elemente de geometrie analitică 

266  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Test de autoevaluare 6

3. a) Să se scrie ecuaţia planului tangent la sfera de ecuaţie

0222 =+++++   z y  x z y  x   

 în punctul ( )1,1,1   −−− .

b) Se consider ă sfera S de ecuaţie

02222

=−++   x z y  x   

şi planul α  de ecuaţie

0122   =+++   z y  x   

Să scriem ecuaţiile planelor tangente la sfera S şi paralelecu α .

Răspunsurile la acest test se găsesc la pag. 295 a acestei unităţide învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuarea

enunţurilor.

Page 273: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 273/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 267 

APPENDIX.  Avem şi în spaţiu o teorie similar ă cu teoria conicelor din plan. Anume, o suprafaţă a cărei ecuaţie este de gradul doi:

0222222 443424142313122

332

222

11   =+++++++++   az ay a x ayz a xz a xy az ay a x a  

se numeşte cuadrică.

Cuadricele se studiază pe ecuaţiile lor canonice. De exemplu, dacă a, b, c  sunt numere strict pozitive, cuadrica de ecuaţie

012

2

2

2

2

2

=−++c 

b

a

 x  

se numeşte elipsoid. Observaţi că, dacă  R c ba   === , obţinem o sfer ă,care este un tip particular de cuadrică. Alte cuadrice sunt hiperboloizii şi,paraboloizii.

Ca şi la conice, ecuaţia generală se poate reduce la ecuaţia canonică, prinschimbări de axe. Nu insistăm. Se poate consulta [1].

Page 274: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 274/401

Elemente de geometrie analitică 

268  Proiectul pentru Învăţământ Rural

2.4. Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare.

Test 1

1. a)

b)

c)

d)

e)

Orizontala y = 2 apar ţine figurii.Orizontala y = 3 nu apar ţine figurii!

Punctul (1,0) nu apar ţine figurii.

Punctul (1,1) apar ţine figurii. 

Intersectaţi figurile de la a) şi b)!. 

Page 275: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 275/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 269 

2. Prima variantă 

 A(0,0)B(L,0)C(L,h)

D(0,h)

A doua variantă 

( )ba A   −− ,

( )baB   −,

( )baC  ,  

( )baD ,−  

Test 2

1. a)

axa Ox are ecuaţia y =0Pentru reprezentarea lui 4d  :

( )1,010   −⇒−=⇒=   y  x   pe dreaptă 

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ⇒=⇔=⇔= 0,

2

1

2

1120   x  x y   pe dreaptă 

(Se mai poate lua x = 2 (mare) ⇒  y = 3 ⇒  (2,3) pe dreaptă, pentru precizie).

Pentru reprezentarea lui 5d   (trece prin origine):

( )0,000   ⇒=⇒=   y  x   pe dreaptă 

( )4,242   −⇒−=⇒=   y  x   pe dreaptă 

Page 276: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 276/401

Elemente de geometrie analitică 

270  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Pentru reprezentarea lui 6d   

( )2,020   ⇒=⇒=   y  x   pe dreaptă 

( )0,330   ⇒=⇒=   x y   pe dreaptă 

b) Există o singur ă dreaptă verticală în familia cerută, anume dreapta de ecuaţie

1:   =∞   x d   

Celelalte drepte din familie (care nu sunt verticale) au ecuaţiile de forma( )12:   −=−   x my d m  

unde R m ∈ .

 Aşadar, mulţimea cerută este

{ } { }R md d  m   ∈∪∞  |

c) În cazul A(1,1), B(2,3) scriem ecuaţia sub forma

( )23:   −=−   x my d   

(deoarece ( )   d ∈3,2 ). Căutăm m cu proprietatea că şi ( )   d  A   ∈1,1 , adică 

( ) 21

22131   =

−=⇒−=−   mm  

şi ecuaţia este( ) 012223   =−−⇔−=−   y  x  x y   

 În cazul A(1,1), B(2,1) putem proceda ca înainte: ecuaţia are forma

( )11:   −=−   x my d   

(dreapta trece prin A(1,1)). Apoi( ) ( ) 012111,2   =⇒=−=−⇔∈   mmmd B  

Ecuaţia este1:   =y d   

 Atenţie: deoarece 1==   B A   y y  , puteam scrie direct că ecuaţia este y = 1.

Page 277: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 277/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 271 

 În cazul A(1,1), B(1,2) observăm că  1==   B A   x  x  .Ecuaţia are forma

1:   = x d   

(dreapta este verticală)

Puteam folosi ecuaţia unitar ă 

( )( ) ( )( ) AB A AB A   x  x y y y y  x  x d    −−=−−:

De exemplu, în cazul A(1,1), B(1,2).

( )( ) ( )( ) 1010111121   =⇒=−⇒=−−=−−   x  x y  x   

d) Scriem ecuaţia dreptei AB

( )( ) AB A   y y  x  x    −−   = ( )( ) AB A   x  x y y    −−   ⇔   ( ) ( )( )241   −−− x    = ( )( )( )122   −−−y    ⇔  

( ) 216   +=−   y  x   

Condiţia de coliniaritate înseamnă: C(p,p) apar ţine dreptei, adică 

( )5

885216   =⇔=⇔+=−   p p p p  

e) Avem 20   =⇒=   y  x  , deci (0,2) apar ţine dreptei.

 Apoi:

 x y  x y y  x 3

22263632   −=⇔−=⇔=+  

Deoarece (0,2) apar ţine dreptei, putem lua reprezentarea parametrică 

R t t y 

t t  x 

∈−=

=+=

 ,3

22

(Mai “teoretic”: dacă 

( ) 0:, 00   =++∈   c by ax d y  x   

atunci se ia una din reprezentările parametrice următoare:

at y y 

bt  x  x 

−=

+=

0

0   sau 0

0 ,

 x x bt 

y y at t R  

= −

= + ∈ 

 Aici, prima reprezentare, cu ( ) ( )2,0, 00   =y  x   ne dă  t  x  3= , t y  220   −= .

Page 278: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 278/401

Elemente de geometrie analitică 

272  Proiectul pentru Învăţământ Rural

f) Procedura folosită este numită “eliminarea parametrului”

2

11221

  −=⇒−=⇒+=

  x t  x t t  x   

şi această valoare se introduce în

t y  31−−=  

Obţinem

( ) 012313222

131   =−+⇔−−−=⇔

−−−=   y  x  x y 

 x y   

g) Ecuaţia

( ) ( ) 01223:   =−−−++   t y t  x t d t   

reprezintă efectiv o dreaptă, deoarece nu putem avea simultan

03 =+t   şi 02 =−t   

Scriem t d   grupând în funcţie de t :

( ) ( ) 02123:   =−++−−   y  x t y  x d t   

Dreptele de ecuaţii

02

0123

=−=

=−−

y  x 

y  x  

se întâlnesc în punctul (1,1) care este soluţia sistemului pe care îl formează.Rezultă că toate t d   trec prin (1,1).

2. a) Dacă determinantul

1 1

1

 

2 −==  t t 

D  

este în situaţia 0≠D , atunci dreptele sunt concurente.Dacă  0=D , adică  1=t   sau 1−=t  , vom studia cele două cazuri.Pentru 1=t  , avem dreptele

02 =−+ y  x    şi 02 =−+ y  x   

deci cele două drepte sunt confundate.

Page 279: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 279/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 273 

Pentru 1−=t  , avem dreptele

02

02

=−−

=−+−

y  x 

y  x  

care sunt paralele.

b) Ecuaţia

01052:   =−−   y  x d   

are 2=a , 5−=b , deci parametrii directori ai lui d sunt 5 şi 2.

Reprezentarea parametrică a dreptei cerute va fi

R t t y 

t  x 

∈+=

+=

 ,21

51 

Reprezentarea carteziană:

( ) 035212555

121

5

115   =+−⇔−+=⇒

−+=⇒

−=⇒−=   y  x  x y 

 x y 

 x t  x t   

c) Determinatul

22

1

111

  =

t t   

pentru orice R t  ∈ .

Trebuie să studiem minorii de ordin 2 ai matriciei

⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜⎜

⎝ 

⎛ 

 

2

1

11

 

t   

care sunt

1 1

11  −= t 

t , 22 

2

1  t t 

t −=  şi t 

t −= 2 

2

11 

Prima concluzie: dreptele 1d  , 2d  , 3d   sunt concurente dacă şi numai dacă 

Page 280: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 280/401

Elemente de geometrie analitică 

274  Proiectul pentru Învăţământ Rural

2,2,2,1\ −∈ R t   

Celelalte cazuri se studiază separat.

Cazul 1=t  . Dreptele devin:

022:

01:01:

3

2

1

=−+

=−+

=−+

y  x d 

y  x d 

y  x d 

 

Deci: 21   d d   =  şi 3d   este concurentă cu 21   d d   = .

Cazul 2=t  . Dreptele devin:

0222:022:

01:

3

2

1

=−+=−+

=−+

y  x d 

y  x d 

y  x d 

 

Se vede că  31   d d   =  şi 2d   este concurentă cu 31   d d   = .

Cazul 2=t  . Dreptele devin:

0222:

022:

01:

3

2

1

=−+

=−+

=−+

y  x d 

y  x d 

y  x d 

 

Se vede că  32   d d   =  şi 1d   este concurentă cu 32   d d   = .

Cazul 2−=t  . Dreptele devin:

0222:

022:

01:

3

2

1

=−+−

=+−

=−+

y  x d 

y  x d 

y  x d 

 

Din nou 32   d d   =  şi 1d   este concurentă cu 32   d d   = .

 În toate cazurile, punctul (0,1) apar ţine tuturor dreptelor.

3. a) Scriem ecuaţia carteziană a dreptei. Avem succesiv

( ) 01434324   =−+⇔−+=⇒−=   y  x y  x y t   

Distanţa de la A la d  este

Page 281: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 281/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 275 

1010

10

31

1413122

==+

−⋅+ 

Dacă  ( )t t M    −+ 4,32 este un punct curent, distanţa AM  este

( ) ( )22 14132   −−+−+=   t t  AM   = ( ) ( )22 313   −++   t t   = ( )110 2 +t   

(Se confirmă şi pe această cale că distanţa de la A la d  este distanţa minimă între A şi un punct curent M . Ea se obţine pentru 0=t  , corespunzător punctului

( )   d M    ∈4,2 , care este piciorul perpendicularei din A pe d).

b) Avem Ox  A A   =21 , prin urmare 3 A  este coliniar cu 1 A  şi 2 A  dacă şi numai dacă 

0=a .

Pentru 0≠a , aria triunghiului 321   A A A  este egală cu D

2

1, unde

a

a

D   =

=  

01

101

100

 

 Aşadar, ( )2321

a A A AS   = .

Când ( ) 0,, ,0 321   →→   A A ASa  

c)

Se vede în figur ă că avem patru unghiuri, două câte două opuse la vârf, cu patrubisectoare, două câte fiind semidrepte opuse cu originea în M .Un punct A(x,y) se găseşte pe una din cele două  drepte suport ale bisectoarelordacă şi numai dacă distanţele lui  A  la dreptele 21 d şi d   sunt egale, adică dacă şinumai dacă 

22

22

222

21

21

111

ba

c y b x a

ba

c y b x a

+

++=

+

++ 

Page 282: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 282/401

Elemente de geometrie analitică 

276  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Echivalent:

22

22

222

21

21

111

ba

c y b x a

ba

c y b x a

+

++=

+

++ sau

2222

222

2121

111

ba

c y b x a

ba

c y b x a

+

++−=

+

++ 

 Aplicaţia: ecuaţiile sunt

1

3

94

632   −±=

+

−−   x y  x  

adică avem ecuaţiile

( )( ) 013363132

013363132

=−−−+

=+−−−

y  x 

y  x 

 

Ecuaţiile carteziene sunt

0:   =+−   i i i    ny  x md   

 Atunci: ⇔21 || d d   există  0≠t   cu proprietatea că 

12   tmm   = , ( )11   −⋅=−   t  , 12   tnn   ≠ .

Din a doua relaţie rezultă t = 1, din prima rezultă  12   mm   =  etc. Apoi:

( )( ) 01011 212121   =+⇔=−−+⇔⊥   mmmmd d   etc.

e) Avem de calculat raportul

2

1

MM 

MM t  =  

Ştim (cu notaţii evidente) că avem

tx  x  x M 

−=

121 ,

ty y y M 

−=

121 .

Deoarece d M  ∈ , va rezulta că 

0=++   c by ax  M M   

adică 

Page 283: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 283/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 277 

011

2121 =+−

−+

−c 

ty y b

tx  x a  

sau( ) 02211   =−−−+++   c by ax t c by ax   

de unde rezultă totul.

Test 3

1. a) Ecuaţia cerută este

1101 1011

1000

1

 

22

=

+   y  x y  x 

 

adică  0 

101

011 

22

=

+   y  x y  x 

 

adică  022 =−−+   y  x y  x   

b) Condiţia din enunţ, echivalează cu faptul că  ( )   == R d C ,dist  raza cercului (care,deocamdată, este necunoscută).

( ) 65

56

43

55453,dist

22=

⋅=

+

−⋅+⋅=d C   

Ecuaţia cerută este

( ) ( ) 36655 222==−+−   y  x   

c) Centrul unui cerc se găseşte pe mediatoarea oricărei coarde. Aici avem coarda AB. Mijlocul ei este ( )1,1U  . Coeficientul unghiular al lui AB este

3

1

42

2−=

−−=

 AB

 AB

 x  x 

y y  

Prin urmare, coeficientul unghiular al mediatoarei lui  AB  este 3. Ecuaţia acesteimediatoare este

Page 284: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 284/401

Elemente de geometrie analitică 

278  Proiectul pentru Învăţământ Rural

( ) 023131:   =−−⇔−=−   y  x  x y u  

De asemenea, centrul se va găsi pe perpendiculara pe Ox  în punctul de tangenţă  A(4,0), perpendicular ă de ecuaţie 04:   =− x u .

Intersectând u cu v, obţinem

100243   =⇒=−−⋅   y y   

Prin urmare, centrul, care se va găsi la intersecţia lui u cu v , va fi punctul C (4,10).Evident, raza este egală cu 10.Ecuaţia cerută este

( ) ( ) 10010104 222==−+−   y  x   

2. a) Cercul se scrie

( ) 11 22=+−   y  x   

deci are centrul ( ) ( )0,1,   =ba  şi raza R  = 1.Tangentele paralele cu o dreaptă de ecuaţie

nmx y d    +=:  

au ecuaţiile

( ) 21   mR a x mby    +±−=−  

La noi, avem dreapta de ecuaţie y  = x , deci m = 1. Tangentele cerute au ecuaţiile

( ) 111   +±−=   x y   

adică  ( ) 21  ±−=   x y   

adică: 021  =+−−

y  x   şi 02 =−−

y  x   

b) Distanţa de la A la centrul O este

( ) ( )   =≥===−+− 122200 222t t t t t   raza cercului, deci problema are sens.

Page 285: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 285/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 279 

Dacă 2

2=t  , rezultă că punctul  A este pe cerc. Avem o singur ă tangentă, a cărei

ecuaţie o obţinem prin dedublare:

1

2

2

2

2=⋅+⋅   y  x   

adică 

2=+ y  x   

Dacă 2

2>t  , vom avea două tangente. Ele nu pot fi verticale decât dacă t = 1. În

acest caz, punctul este A(1,1) şi se vede imediat tangentele respective sunt

1:1   = x d   şi 1:2   =y d   

Fie acum 1 ,2

2≠>   t t  . Tangentele duse prin A sunt oblice şi au ecuaţia de forma

21   mmx y    ++=  

Punem condiţia să treacă prin A(t,t), de unde rezultă 

⇔+=−+⇔+=−⇔++=

2222222

1211   mmt t mt mmt t mmt t   ⇔ ( ) 0121 2222 =−+−−   t mt mt   

Este o ecuaţie de gradul doi în m cu r ădăcinile

1

122

22

2,1−

−±=

t t m  

(Atenţie! Avem, din condiţiile impuse, 012 2 >−t  )Cele două tangente vor avea ecuaţiile

2,1 ,1 2 =++=   i m x my  i i   

Page 286: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 286/401

Elemente de geometrie analitică 

280  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Test 4

1. a)

Luăm Ox  = d , Oy  = e. Am notat MB = a şi notăm MA = b (deci 0>−=   ahb ).

Deoarece a

b

MB

MA

−=  

Rezultă că vom avea

ba

au

a

b

 x a

b x 

 x B A

M +

=

+

+=

ba

bv 

a

b

y a

b

y y 

B A

M +

=

+

+=

Faptul că avem mereu AB = h = a + b se exprimă prin

( )222 bav u   +=+  

Rezultă că 

( )1

2

22

2

2

2

2

=+

+=+

ba

v u

b

a

 x  M M   

Locul geometric este elipsa de ecuaţie canonică 

12

2

2

2

=+b

a

 x  

Proprietatea se foloseşte la construcţia elipsografului.

Page 287: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 287/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 281 

b) Necunoscutele sunt semiaxele a şi b. Trebuie să avem

146

2

2

2

2

=+ba

 şi b = 5

Prin urmare, scriind  Aa =2

1

 

100

112549162525361

25

1636   =⇒=⋅⋅⇒=−=⋅⋅⇔=+   A A A A  

deci a = 10

Elipsa cerută are a = 10, b = 5 deci are ecuaţia

125100

22

=+

 y  x 

 

Ecuaţia tangentei în A(6,4) este

5083125

4

50

31

25

4

100

6=+⇔=+⇔=

⋅+

⋅y  x 

y  x y  x  

2. a) Scriem 82   −=   x y   şi intersectăm cu ecuaţia hiperbolei. Obţinem

( )136

82

25

22

=

  x  x 

⇔  

⇔   ( ) 3625822536 22 ⋅=−−   x  x    ⇔  

⇔   ( ) 3625442536 22 ⋅=−⋅−   x  x    ⇔  

⇔   ( ) 9254259 22 ⋅=−−   x  x    ⇔  

⇔ 0162592520016 2 =⋅+⋅+−   x  x    ⇔  

⇔ ( ) ( ) 02542254 22=⋅⋅−+   x  x    ⇔  

⇔ ( ) 0254 2=− x    ⇔  

⇔4

25= x   

Rezultă 2

98

2

25=−=y   

Page 288: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 288/401

Elemente de geometrie analitică 

282  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Dreapta noastr ă intersectează hiperbola într-un singur punct, anume ⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ 

2

9,

4

25.

 În acelaşi timp, avem5

6=

a

Deci dreapta noastr ă nu este paralelă cu asimptotele (care au coeficienţii unghiulari

a

b± ). Deci dreapta este tangentă.

b) Ecuaţia este

12

2

2

2

=−b

a

 x  

 Avem

12536

22  =−ba

 

 În acelaşi timp, dreapta trebuie să aibă forma (tangenta scrisă prin dedublare)

156

22  =−b

a

 x  

 Aşadar, dreptele de ecuaţii

0156

0182

830823

22  =−−

=−−⇔=−−

y b

 x a

y  x y  x 

 

coincid. Deci trebuie să avem

8

362

  =a

 şi4

152

  =b

 

 Avem deci 162 =a  (a = 4) şi 202 =b  ( 52=b ).Hiperbola are ecuaţia

12016

22

=− y  x 

 

Page 289: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 289/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 283 

3. a) Ecuaţia tangentei de coeficient unghiular m este

m

 pmx y 

2+=   (1)

Tangenta perpendicular ă pe ea are coeficientul unghiular m

1

− , deci are ecuaţia

2

1   mp x 

my    −−=   (2)

Un punct M(x,y) apar ţine locului L dacă şi numai dacă satisface simultan (1) şi (2),adică se află simultan pe două tangente perpendiculare. Aşadar,

( )   ⇔∈ Ly  x ,

22   p

 x mmy    +=  şi 2

2 pm

 x my    −−=  

⇔−−=+⇒22

22   pm

 x  p

 x m  

( ) ( ) 012

1 22 =+++⇔   m p

 x m  

( ) 02

12 =⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ ++⇔

  p x m  

20

2

 p x 

 p x    −=⇔=+⇔  

M ⇔  apar ţine directoarei

 Am ar ătat că L este inclus în directoarea parabolei.

Invers, dacă luăm un punct ⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ − 0,

2 y 

 pM   de pe directoare, vom ar ăta că din el putem

duce tangente perpendiculare, ceea ce va încheia demonstraţia.

Tangenta dusă din ⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ − 0,

2  y 

 p are ecuaţia

⇔+⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −=m

 p pmy 

220  

⇔+−=⇔   p pmmy  202

02 02 =−+⇔   pmy  pm  

012 02 =−+⇔   m p

y m   (1)

Page 290: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 290/401

Elemente de geometrie analitică 

284  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Ecuaţia are două r ădăcini reale distincte, de forma

12

002,1   +⎟⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ ±−=

 p

 p

y m  

Produsul 121   −=mm , după  cum rezultă  din (1). Deci putem duce două  tangenteperpendiculare din M etc.

b) Parabola are ecuaţia

 px y  22 =  

şi tangenta de coeficient unghiular m are ecuaţia

m

 pmx y 

2

+=  

La noi, dreapta are ecuaţia

22

3+=   x y   

deci

2

3=m  şi 2

2

  =

m

 p, deci 6= p  

 Aşadar, parabola este de ecuaţie

 x y  122 =  

Punctul de tangenţă rezultă din intersecţia cu dreapta de ecuaţie

3

42   −=

  y  x   

 Înlocuind în ecuaţia parabolei:

( ) ( ) 4040168424 222 =⇔=−⇔=+−⇔−=   y y y y y y   

 Aşadar, din  px y  22 =  deducem3

41216   =⇒=   x  x  .

Punctul de tangenţă este ⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ 4,

3

4.

Page 291: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 291/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 285 

Test 5

1. a) Ecuaţia este

1100

1010

1000

1

  =

z y  x 

 

adică  00 

100

010  =⇔=   x 

z y  x 

 

 Aşadar, am obţinut planul yOz .

Nu putem scrie ecuaţia prin tăieturi, deoarece planul trece prin origine.b) Coeficienţii ecuaţiilor celor două plane sunt:

11 = A   11 =B   21 =C  , 01 =D  

32  = A   32  =B   62  =C  , 42   −=D  

deci, formal

11

2

1

2

1

2 43 DC 

B

B

 A

 A   −

≠===  

Pentru a calcula distanţa, luăm, de exemplu, punctul ( ) 10,0,0   α ∈M  .

Distanţa de la M  la 2α   este

63

4

4113

400022

22

22

2222=

++=

++

+⋅+⋅+⋅

C B A

DC B A 

Ca verificare, putem calcula şi distanţa de la punctul ⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ 

3

2,0,0N    la planul 1α  .

c) Minorii care trebuie să fie testaţi sunt

t t 

+−=−

−1 

1

11  , t 

t +−=

−1 

11

1  , 1 

1

1  2 −= t 

t  

Dacă t  = 1 toţi minorii sunt nuli şi intersecţia nu este o dreaptă (de fapt, în acest caz,cele două plane coincid).

Page 292: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 292/401

Elemente de geometrie analitică 

286  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Dacă  1≠t  , cele două plane se intersectează după o dreaptă. Parametrii ei directorisunt

1 ,1 ,1 2 −−−   t t t  .

d) Avem concurenţă dacă şi numai dacă determinantul matriciei coeficienţilor

⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜⎜

⎝ 

⎛ 

−=Δ  

32

011

011

 

 

este nul. Acest determinant este egal cu t 2− .Prin urmare, planele sunt concurente dacă şi numai dacă  0≠t  . În cazul t = 0, matricea Δ  devine

⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜⎜

⎝ 

⎛  −  

032

011 011 

şi are determinantul nul.

Folosind primele două coloane, avem minori nenuli cu fiecare pereche de linii:

0 11

11  ≠

−  0 

32

11  ≠

−  0 

32

11  ≠  

Bordările celor 3 minori de mai sus sunt

032

011

011

  =−   0 

011

032

011

  =

  0 

011

032

011

  =

 

şi dau determinanţi nuli.Prin urmare, cele trei plane au o dreaptă comună dacă şi numai dacă t  = 0.

e) Din matricea coeficienţilor

⎟⎟⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝ 

⎛ 

 

1-10

01-1

11-2

111

 

Page 293: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 293/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 287 

minorul format cu liniile 2, 3, 4 este egal cu 02 ≠ .

 Apoi, determinantul matriciei

⎟⎟⎟⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝ 

⎛ 

−−

 

0110

0011

2112

3111

 

este nul (se dezvoltă după linia a treia).

f) Condiţia de coplanaritate este

11100

1010

1001

  =

t t t 

 

Echivalent

01

0101

0011

1001

  =

t t t 

 

adică  0 

1

101

011

  =

t t t 

 

adică  013   =−t   

Valoarea căutată este3

1=t  .

g) Volumul căutat este D  unde

100

010

001

 

1000

1100

1010

1001

  ===D  

Page 294: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 294/401

Elemente de geometrie analitică 

288  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Tetraedrul este cubul unitate având drept vârfuri mulţimea

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0

h) ( ) 222

2

1,,   P N M C B AS   ++=  unde

M    ==  

12

101

100

  , 0 

1

100

100

  ==

t t 

N    şi t 

P    −==  

12

110

100

 

( )2

2

1,,   t C B AS   ==  

Punctele sunt coliniare dacă şi numai dacă t = 0.

i)132

33

9411

32cos

2222 ++

−=

++++

−+=

t t 

t t 

t t ϕ   

Cele două plane nu pot coincide, deoarece primul plan nu trece prin origine, iar aldoilea trece prin origine.Condiţia de paralelism ar fi următoarea: există un număr nenul a cu proprietatea:

at    ⋅= 1 , at =2 , a⋅=− 13

adică 

( )( ) 9332 ,33   =−−=−=⇒−=   t a  fals.

Prin urmare, planele nu pot fi paralele.Condiţia de perpendicularitate: 10cos   =⇔=   t   

2. a)32

3

21

2

10

1

−=

−=

−   z y  x  

sau 321   −=−=−   z y  x   

b)12

1

11

1

00

0

−=

+

+=

−   z y  x  

Ecuaţiile sunt

0= x   şi 12

1−=

+z 

y  

Page 295: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 295/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 289 

Parametrii directori sunt

1 ,2 ,0   ===   c ba  

5222 =++   c ba  

 Avem cosinusurile directoare

5

1 ,

5

2 ,0

sau5

1- ,

5

2-,0

c)  AB  trece prin ( )3,2,1 A  parametrii directori 1,1,1. Ecuaţiile parametrice ale lui  AB sunt

t z t y t  x    +=+=+= 3 ,2 ,1

MN  trece prin ( )2,1,0M   şi are parametrii directori 0,2,1. Ecuaţiile parametrice sunt

t z t y  x    +=+== 2 ,21 ,0

Folosind cosinusurile directoare, avem ecuaţiile parametrice

t z t y  x 

5

12 ,

5

21 ,0   +=+==  

d) În primul rând, căutăm un punct al dreptei. Luând 0= x  , obţinem pentru y  şi z  sistemul

1 şi 0   −=+=+−   z y z y   

deci2

1−== z y  . Aşadar, dreapta de intersecţie trece prin ⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −−

2

1,

2

1,0 .

 În al doilea rând, parametrii directori rezultă din matricea

⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛  

111

11-3 

 Aceşti parametrii directori sunt

2 11

11  −=

−, 2 

11

31  −= , 4 

11

13  =

− 

Ecuaţiile parametrice sunt:

Page 296: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 296/401

Elemente de geometrie analitică 

290  Proiectul pentru Învăţământ Rural

t z t y t  x  42

1 ,2

2

1 ,2   +−=−−=−=  

e) Dacă  este măsura unghiului format, avem

( )15

1

410111

211101cos   =++⋅++

⋅+−⋅+⋅

=ϕ   

 Aşadar, dreptele fac între ele unghiul de măsur ă 15

1arccos .

f) Trebuie ar ătat că putem determina dacă valori m şi n ale parametrului t, care să dea valori egale pentru x, y, z din cele două reprezentări.Mai precis, dacă  ( ) 3

000 ,,   R z y  x    ∈   este punctul comun al celor două  drepte,

 înseamnă că există  R nm   ∈, astfel încât:

baz 

bay 

ba x 

+==

−==

+==

1

44

33

0

0

0

 

Egalităţile

ba

ba

ba

+=

−=

+=

1

44

33

 

formează un sistem care trebuie ar ătat că este compatibil. Obţinem succesiv:

4

4 ,

3

3   ba

ba

  −=

+=  

deci

0434

13

14

44

3

3=⇔−=⇔−=+⇔

−=

+b

bbbbb 

 Atunci, cu b = 0, ecuaţiile devin

1

144

133

=

=⇒=

=⇒=

a

aa

aa

 

 În definitiv, punctul comun ( )000 ,,   z y  x   cu

Page 297: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 297/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 291 

1 ,4 ,3 000   ===   z y  x   

Pentru calculul unghiului:

( )0111141

111413

cos 2 =++++

⋅+−⋅+⋅

=ϕ   

Prin urmare, cele două drepte sunt perpendiculare.

g) Dreapta normală va avea parametrii directori 1,1,1 deci are ecuaţiile parametrice

t z t y t  x    +=+=+= 1 ,1 ,1

h) Dacă  este măsura unghiului f ăcut de d  cu α , avem

( )

( )26

3

11141

12111sin

22 +

−=

++++

⋅+−+⋅=

t ϕ   

Dreapta este paralelă cu planul 3=⇔ t  .

 Apoi: ⇔=⇔=⇔⊥ 1sin2

  ϕ π 

ϕ α d   

( )   ( )   ( )263263 222 +=−⇔+=−   t t t t   

⇔+=+−⇔ 12696 22 t t t   

0365

2

=++   t t    Această  ecuaţie nu are soluţii reale. Prin urmare, dreapta d   nu poate fi niciodată perpendicular ă pe α .

i) Am văzut că cele două drepte sunt concurente în punctul ( )1,4,3 .Planul căutat are ecuaţia

111

143

143

  =

−−−   z y  x 

 

adică 

( ) ( ) ( ) ( ) 04331441334   =−−−+−−−+−−−   y  x z y z  x   

adică 

0725   =−−   z y  x   

Page 298: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 298/401

Elemente de geometrie analitică 

292  Proiectul pentru Învăţământ Rural

 j) Ecuaţia este

232

011  =

z y  x 

 

adică 

02232   =−−+   y z z  x   

adică 

022   =+−   z y  x   

k) Parametrii directori sunt egali cu 1. Prin urmare, ecuaţia cerută este

111

001

1

  =−

−z y  x 

 

adică 

( ) 01   =−−  z y   

adică 

01=+− z y   

l) Distanţa cerută este

( )3

2

111

 11

01 

11

10 

11

00 

,dist222

222

=++

−+

−+

=d M   

m) Trebuie să scriem dreptele sub formac z z 

by y 

a x  x  000   −=−=− .

Dreapta 1d   trece prin punctul ( )0,,01   bM  .Din relaţia

1=+b

a

 x  

adică 

abay bx    =+  

Page 299: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 299/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 293 

deducem

b x a

by    +−=  

Rezultă 

 x a

bby    −=−  

Obţinem

11   −=

−⇔=

−   x 

a

b

by  x 

a

b

by  

 Avem deci ecuaţiile lui 1d  :

01

a

b

by  x =

−=

− 

(deci 0 , ,0 111   ===   z by  x   

0 , ,1 111   ==−=   c a

bba )

Pentru Oz d   =2 , parametrii directori sunt 0, 0, 1.Vom lua un punct oarecare ( )c M  ,0,02  cu 0>c   prin care trece 2d  .

 Avem ecuaţiile lui 2d  :

100

c z y  x    −==  

(deci c z y  x    === 222  ,0 ,0

1 ,0 ,0 222   ===   c ba )

Testăm coplanaritatea

100

01

0000

  <−=−

−−−

=Δ   ba

bc b

 

deci dreptele nu sunt coplanare.

 Avem 033221121  =++⇔⊥  bababad d   ceea ce este adevărat.

Page 300: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 300/401

Elemente de geometrie analitică 

294  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Ecuaţiile perpendicularei comune:Prima:

0

 00

1 01

1-0 

10

01  =

a

b

a

ba

bz by  x 

 

01

01  =−

a

ba

bz by  x 

 

0012

2

=⇔=⎟⎟ ⎠

 ⎞⎜⎜⎝ 

⎛ +−⇔   z z 

a

 A doua:

01

100  =−

a

b

c z y  x  

00   =−⇔=−⇔   by ax y a

b x   

 Aşadar, ecuaţiile perpendicularei comune sunt

⎩⎨⎧

==−

00

z by ax   

(Este o dreaptă  plasată  în planul  xOy . Cititorul va verifica faptul că  ea esteperpendicular ă pe 1d   în xOy .

Perpendicularitatea pe Oz d   =2   este evidentă, deoarece dreapta găsită  este înplanul xOy , perpendicular pe Oz ).

Distanţa între cele două drepte este egală cu h , unde

Page 301: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 301/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 295 

22

2

222

1

 

100

01

00

 

ba

ab

a

ba

b

ab

a

bc b

h+

−=+

−=

+⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ 

−−

=  

 Aşadar, distanţa între dreptele 1d   şi 2d   este egală cu22 ba

ab

+.

Test 6

1. a) Ecuaţia se scrie

( ) ( ) ( ) 6211 222 +−=++−++   pz y  x   

 Aşadar, condiţia este 606   <⇔>+−   p p  

b) Verificarea se lasă cititorului (a se vedea subparagraful 2.3.2).

Ecuaţia este

10101

10011

11113

10000

1zyxzyx

 

222

=

++

  0 

0101

00111113 

222

=

++

z y  x z y  x 

 

011

113 

001

111 

222

=

++

−−⇔

z  x z y  x z y  x 

 

0222

=−−−++⇔   z y  x z y  x   

2. a) Varianta 1 (standard)

Dreapta se mai scrie parametric:

t z t y t  x    ==+=  , ,1  

Ducem în ecuaţia sferei:

( ) 0323412222

=−+⇔=+++   t t t t t   

Page 302: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 302/401

Elemente de geometrie analitică 

296  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Soluţiile sunt3

10112

±−−=t   

Obţinem perechea de puncte

⎟⎟ ⎠

 ⎞

⎜⎜⎝ 

⎛    +−+−+

3 101,3 101,3 1021M   

⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛    −−−−−

3

101,

3

101,

3

1022M   

Varianta 2

 Înlocuim în ecuaţia sferei

1−==   x z y   

Obţinem ecuaţia

( ) 0243412 222 =−−⇔=−+   x  x  x  x   

3

10212

±= x    etc.

b) Ecuaţiile parametrice ale unei astfel de drepte suntct z bt y at  x    ==+=  , ,2  

unde a, b, c sunt parametri directori (necunoscuţi).

Introduşi în ecuaţia sferei, conduc la ecuaţia

( )   ( ) 03412 222222222=++++⇔=+++   at t c bat c t bat   

Este indicat să  folosim cosinusuri directoare  (deci căutăm parametri directori cuproprietatea

1222 =++   c ba ) Atunci, ecuaţia devine

0342 =++   at t   Este necesar să obţinem pentru t  soluţie dublă, pentru ca intersecţia cu sfera să fief ăcută într-un singur punct. Condiţia este

2

3034 2 ±=⇔=−   aa  

62

3cos

2

3   π =⇒=⇒=   uua  

Page 303: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 303/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 297 

6

5

62

3cos

2

3   π π π    =−=⇒−=⇒−=   uua  

 Aici u este unghiul f ăcut de tangenta noastr ă cu axa Ox .

Remarcăm că acum, condiţia 1222 =++   c ba  devine4

122 =+ c b .

Răspunsul este următorul:O tangentă care trece prin (2,0,0) poate avea ecuaţiile parametrice

R t ct z bt y t  x    ∈==+=  , , ,2

32

sau

R t ct z bt y t  x    ∈==−=  , , ,2

32

unde b, c sunt fixate cu condiţia

4

122 =+ c b  

O analiză atentă (schimbăm pe t  cu t − ) ne conduce la r ăspunsul final:Mulţimea tangentelor cerute este

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=+∈Τ4

1 ,,|, 22 c bR c bc b  

unde ( )c b,Τ  este dreapta de ecuaţii parametrice

R t ct z bt y t  x    ∈==+=  , , ,2

32 .

3. a) Ecuaţia sferei se scrie

0

2

12

2

12

2

12222 =⎟

 ⎠

 ⎞⎜

⎝ 

⎛ −−⎟

 ⎠

 ⎞⎜

⎝ 

⎛ −−⎟

 ⎠

 ⎞⎜

⎝ 

⎛ −−++   y y  x z y  x   

Centrul este punctul ⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −−−

2

1,

2

1,

2

1 iar punctul de pe sfer ă este

( ) ( )1,1,1,, 000   −−−=z y  x   

Ecuaţia planului tangent (dedublare) este

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 012

11

2

11

2

1111   =−⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −−−⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −−−⎟

 ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −−−+−+−   z y  x z y  x   

adică 03 =+++   z y  x   

b) Ecuaţia sferei se scrie( ) 11 222

=++−   z y  x   

deci centrul este punctul ( ) ( )0,0,1,,   =c ba , raza este R  = 1.Coeficienţii planului α  sunt A = 1, B = 2, C  = 2. Avem

9441222 =++=++   C B A  

deci 3222 =++   C B A  

Ecuaţiile cerute sunt

Page 304: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 304/401

Elemente de geometrie analitică 

298  Proiectul pentru Învăţământ Rural

( ) ( ) ( ) 31020211   ⋅±=−+−+−   z y  x   

Deci prima ecuaţie este

04223221   =−++⇔=++−   z y  x z y  x   

 A doua ecuaţie este

02223221   =+++⇔−=++−   z y  x z y  x   

2.5. Lucrare de verificare pentru studenţi

Indicaţii de redactare. Problemele se vor rezolva în ordinea din textul enunţului.Rezolvările se vor expedia pe adresa tutorelui.

1 punct din oficiu

1,5 p. 1. Ar ătaţi că dreptele 3,2,1 ,   =i d i  , de ecuaţii

033: ,0: ,01: 321   =−+=−−=−+   ty  x d t y tx d y  x d   

sunt concurente dacă  şi numai dacă  { }3,1\ −∈ R t  . Ce se întâmplă  în celelaltecazuri?

1,5 p. 2. Să se afle locul geometric al punctelor din planul unui cerc de unde se pot ducetangente perpendiculare la acel cerc.

1,5 p. 3. Se consider ă două puncte distincte A, B şi un număr 1 ,0   ≠>   p p .Să  se arate că  locul geometric al punctelor M   din planul lui  A  şi B  care auproprietatea că 

 pMB

MA=  

este un cerc (cercul lui Apollonius ataşat punctelor A, B şi raportului p).

1,5 p. 4. Se consider ă o elipsă de focare F  şi F’ . Să se demonstreze proprietatea optică a elipsei: pentru orice punct M  al elipsei, normala la elipsă  în M  este bisectoareaunghiului 'FMF    f ăcut de razele vectoare MF  şi MF ’. În acest enunţ, se admite că bisectoarea unghiului nul coincide cu laturile unghiului.(Reamintim că  normala  la elipsă  (mai general, la o curbă) în M   este dreaptaperpendicular ă pe tangenta la elipsă în M ).

Page 305: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 305/401

Elemente de geometrie analitică 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 299 

Notă. Proprietatea optică a elipsei se interpretează astfel: o rază de lumină care aredrept sursă (punctuală) focarul F  este reflectată de o oglindă elipsoidală în celălaltfocar F’ .

1,5 p. 5. Se consider ă o hiperbolă echilater ă E  având centrul O şi focarele F  şi F’ .Să se arate că, pentru orice punct M  al lui E , distanţa OM  este medie geometrică 

 între razele vectoare FM  şi F’M  (adică  M F FM OM  '2 ⋅= ).

1,5 p. 6. Se consider ă o parabolă P  de focar F  şi directoare d. Să  se arate că, pentru orice punct P M  ∈ , tangenta în M   la P   este bisectoareaunghiului FMN , unde N  este proiecţia lui M  pe d .

Notă. Se poate ar ăta că  proprietatea din enunţ  este echivalentă  cu proprietateaoptică  a parabolei: o rază  de lumină  având ca sursă  (punctuală) focarul F   estereflectată de o oglindă parabolică sub forma unei raze paralele cu axa parabolei.

2.6. Bibliografie

1. E. Murgulescu, S. Flexi, O. Kreindler, O. Sacter, M. Tîrnoveanu. Geometrieanalitic ă şi diferenţ ial ă (ed. II, revizuită şi completată). Ed. Did. Ped., Bucuresti,1965.

2. C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Chiţescu, D. Mihalca. Matematic ă. Trunchi comun şicurriculum diferenţ iat. Manual pentru clasa a IX- a. Ed. Did. Ped.,Bucureşti, 2004.

3. C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Chiţescu, D. Mihalca. Matematic ă. Trunchi comun şicurriculum diferenţ iat. Manual pentru clasa a X-a. Ed. Did. Ped., Bucureşti,

2005.4. Gh. D. Simionescu. Geometrie analitic ă. Manual pentru clasa a XI-a real ă. Ed.Did. Ped., Bucureşti, 1964

Page 306: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 306/401

 

Page 307: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 307/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 301 

Unitatea de învăţare 3

GEOMETRIE VECTORIALĂ 

Cuprins

Obiectivele Unităţii de învăţare 3 ...............................................................................301

3.1. Noţiunea de vector ..............................................................................................302

3.2. Operaţii cu vectori ................................................................................................309

3.3. Calcule de bază efectuate cu ajutorul vectorilor.

Legătura cu geometria analitică. Aplicaţii la problemele de geometrie ................319

3.4. Numerele complexe privite din punct de vedere geometric (analitic şi vectorial).. 335

3.5.Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare .............................................346

3.6. Lucrare de verificare pentru studenţi ...................................................................348

3.7. Bibliografie............................................................................................................349

Obiectivele Unităţii de învăţare 3

După  ce veţi parcurge această  unitate de învăţare, veţi fi capabili să faceţi următoarele operaţii matematice:

  Identificarea unor situaţii în care utilizarea vectorilor duce larezolvarea problemei.

  Precizarea datelor care caracterizează  un număr real saucomplex. Exprimarea în coordonate a unui vector sau numărcomplex.

  Utilizarea operaţiilor cu vectori sau cu numere complexe, precumşi a exprimării în coordonate, la rezolvarea unor probleme degeometrie.

  Exprimarea unor proprietăţi geometrice (de exemplu: paralelism,coliniaritate sau ortogonalitate) cu ajutorul vectorilor sau alnumerelor complexe.

  Extinderea operaţiilor şi proprietăţilor vectorilor din plan în spaţiu.  Aplicarea în fizică a calculului vectorial.

Page 308: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 308/401

Geometrie vectorială 

302  Proiectul pentru Învăţământ Rural

3.1. Noţiunea de vector

3.1.1. Segmente orientate. Echipolenţă. Vectori

Definiţiile vor fi date (atunci când este posibil) simultan, atât în spa ţiu, câtşi în plan. Pentru a distinge mai bine situaţiile, în această  unitate de

 învăţare vom nota planul cu P  şi spaţiul cu S . Când va fi necesar, vomconsidera planul P    (respectiv spaţiul S ) ca fiind cartezian (adică, înzestrat cu un sistem de axe de coordonate).

Prin urmare:

 – dacă nu vom menţiona în mod explicit, noţiunile şi proprietăţile desprecare vom vorbi vor fi considerate sau în plan, sau în spaţiu;

 – dacă noţiunile şi proprietăţile despre care vom vorbi vor fi considerateplane (respectiv spaţiale) acest lucru va fi menţionat în mod explicit.

A. Segmente orientateFiind date două  puncte distincte  A  şi B, vom putea vorbi despreurmătoarele figuri geometrice (notaţiile au mai fost introduse):

 – dreapta care trece prin A şi B (dreapta determinată de A şi B) notată  AB;rezultă, conform definiţiei că  AB = BA (atenţie la logica acestei observaţii!)

 – segmentul de extremităţi  A  şi B  (care poate fi închis – îl notăm [ AB],deschis – îl notăm ( AB), semideschis sau semiînchis – îl notăm [ AB),respectiv  AB]); rezultă, deoarece  A este extremitate iniţială  şi B  esteextremitatea finală, că  [ ] [ ] AB BA≠   etc. (atenţie la logica acestei

observaţii: când avem segmentul [ AB], îl parcurgem de la  A  spre B, iarcând avem [BA], îl parcurgem de la B spre A!).

Definiţie.  Se numeşte segment orientat  (sau vector legat sau bipunct) o perecheordonată de puncte ( A, B) pe care o vom nota prin simbolul  AB .

Punctul  A  se numeşte originea  (extremitatea iniţială), iar punctul B  senumeşte capătul (extremitatea finală) segmentului orientat  AB .

Dacă  A = B, obţinem  AA  care se numeşte segment orientat nul. Dacă  A B≠  spunem că segmentul orientat  AB  este nenul.

Evident, dacă  A B

≠, avem  AB BA≠ .

 În continuare, vom da alte definiţii legate de segmentele orientate.

Lungimea unui segment orientat  AB  este lungimea segmentului [ AB] şi

se notează cu  AB sau, pur şi simplu AB, când nu este pericol de confuzie

(aşa cum am mai f ăcut).

Dreapta suport a unui segment orientat  AB  cu  A B≠  este dreapta AB.

Definiţie.  Se spune că  două segmente orientate nenule au aceeaşi direcţie  dacă dreptele lor suport sunt paralele sau coincid. Prin definiţie, un segment

orientat nul are aceeaşi direcţie cu orice alt segment orientat.Definiţie.  Se spune că segmentele orientate nenule  AB  şi  A B′ ′  au acelaşi sens 

dacă au aceeaşi direcţie şi în plus

Page 309: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 309/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 303 

 – în cazul când dreptele suport AB şi  A B′ ′  nu coincid (deci sunt paralele),atunci extremităţile B  şi B′   se găsesc în acelaşi semiplan generat dedreapta  AA′ în planul dreptelor paralele AB şi  A B′ ′  (v. fig. 3.1.a));

 – în cazul când  AB A B′ ′= (dreptele suport coincid) atunci avem

[   )   [   ) AB A B′ ′⊂  sau [   )   [   ) A B AB′ ′   ⊂  (v. fig. 3.1. b))

Fig. 3.1

Definiţie.  Se spune că  două  segmente orientate nenule  AB şi  A B′ ′   au sensuriopuse dacă ele au aceeaşi direcţie şi nu au acelaşi sens (v. fig. 3.2 unde AB  şi  A B′ ′  au sensuri opuse).

Convenţie.  Se consider ă  că  un segment orientat nul are, în acelaşi timp, şi acelaşisens, şi sens opus cu orice segment orientat.

Fig. 3.2

Observaţii.  1°. Rezultă  din cele de mai sus, că, dacă  două  segmente au aceeaşidirecţie, atunci:

 – sau unul dintre ele este nenul; – sau ambele sunt nenule, caz în care au acelaşi sens sau au

sensuri opuse.

2°. Să remarcăm că am putut da definiţia faptelor că segmentele orientateau aceeaşi direcţie şi au (sau nu au) acelaşi sens, atât în plan, cât şi înspaţiu, deoarece două linii paralele sunt coplanare (şi totul se desf ăşoar ă  în planul determinat de ele).

 Acum, trecem la definiţia fundamentală a acestui paragraf.

Definiţie.  Se spune că două segmente orientate  AB  şi  A B′ ′  sunt echipolente dacă 

au acelaşi sens şi aceeaşi lungime.

Page 310: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 310/401

Geometrie vectorială 

304  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Notaţie.  Dacă  segmentele orientate  AB   şi  A B′ ′   sunt echipolente, vom notaaceasta astfel:  AB A B′ ′∼ .

Consecinţă.  Orice două segmente orientate nule  AA  şi BB  sunt echipolente.

 În mod intuitiv, faptul că  AB  şi  A B′ ′  sunt segmente orientate echipolente

revine la faptul că putem „suprapune” pe  AB  peste  A B′ ′  prin translaţie, cupăstrarea semnului, v. fig. 3.3.

Fig. 3.3

Următorul rezultat, care poate fi exprimat şi în plan şi în spaţiu, deoarecedreptele concurente sunt coplanare, caracterizează  în alt modechipolenţa.

Teoremă.  Fie A, B, A', B'  patru puncte. Avem următoarele echivalenţe:1.  AB A B′ ′ ⇔∼  segmentele [ ] AB′   şi [ ] A B′ au acelaşi mijloc .

2.  AB A B′ ′∼   AA BB′ ′⇔ ⇔ . A se vedea fig. 3.4.

Fig. 3.4

Teorema de fixare pentru vectori legaţiSe consider ă un segment orientat AB şi un punct M . Atunci există un unicpunct N  astfel încât  AB MN ∼ .

Notaţie.  Vom nota cu W  mulţimea vectorilor legaţi.

Teoremă.  Relaţia de echipolenţă este o relaţie de echivalenţă pe W .Reamintim că aceasta înseamnă că avem următoarele proprietăţi:

(i)  AB AB∼  

(ii)  AB CD CD AB⇒∼ ∼  

(iii) ( )şi AB CD CD EF AB EF ⇒∼ ∼ ∼ .

Pentru a prezenta în mod riguros chestiunile în continuare, vom aminticâteva chestiuni legate de teoria generală a relaţiilor de echivalenţă.

Consider ăm o mulţime nevidă  X . Se numeşte relaţie de echivalenţă pe  X  o submulţime nevidă  r X X ⊂ ×   cu anumite proprietăţi care vor fiprezentate în continuare. Pentru a uşura prezentarea, vom folosi notaţia

Page 311: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 311/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 305 

uzuală: în loc să  scriem pentru  x, y  în  X   că  ( ), x y r ∈ , vom scrie  x r y. 

 Atunci, proprietăţile care definesc o relaţie de echivalenţă  r   sunturmătoarele:

(i) Relaţia r  este reflexivă: avem x r x  pentru orice  x X ∈ .

(ii) Relaţia r  este simetrică: pentru orice x, y din X , astfel încât x r y,

rezultă şi y r x. (iii) Relaţia r   este tranzitivă: pentru orice  x, y, z   din  X   astfel încât

 x r y  şi y r z , rezultă  x r z .

Dacă r  este o relaţie de echivalenţă pe  X , vom alege arbitrar un element x X ∈   şi vom construi mulţimea { }| x y X y r x = ∈ , numită  clasa de

echivalenţă a lui  x   (generată de relaţia r ). Remarcăm că  dacă  y x ∈    şiz x ∈   , atunci:

y r x şi z r x deci y r x   şi  x r z .

Din tranzitivitate rezultă y r z , deci toate elementele lui x  sunt „echivalente” între ele.

Rezultă  că  X   se „împarte” în mulţimea tuturor claselor de echivalenţă posibile. Anume, observăm că  două  elemente  x   şi y   din  X   generează aceeaşi clasă de echivalenţă (adică  x y = ) dacă şi numai dacă  x r y .

Prin urmare, două  clase de echivalenţă   x    şi y    nu pot fi decât înurmătoarele situaţii: sau  x y =   sau  x y ∩ = ∅ . Aşadar, „împăr ţirea” lui  X  este o partiţionare:  X se împarte în clase de echivalenţă  două  câtedouă disjuncte. Să reţinem şi următoarea implicaţie:

y x y x  ∈ ⇒ = .Se notează cu X   /r  mulţimea tuturor claselor de echivalenţă (generate derelaţia r ).

 X /r  se numeşte mulţimea cât a lui X prin relaţia de echivalenţă r .

Dacă  y x XIr  ′∈ ∈   , spunem că  y   este un reprezentant al clasei deechivalenţă  x .

Revenim la problemele noastre. Avem mulţimea W  a tuturor segmentelororientate (sau, în alt limbaj, W  este mulţimea tuturor vectorilor legaţi). Amvăzut că  pe W   avem relaţia de echipolenţă  care este o relaţie deechivalenţă.

Putem construi mulţimea cât W / ∼  pe care o vom nota cu V  :

W / ∼  = V   

Elementele lui V    (care sunt, deci, clase de echivalenţă) se numescvectori (sau vectori liberi). Având în vedere cele de mai sus, rezultă că:

Un vector  este mulţimea tuturor segmentelor orientate echipolente cu unsegment orientat dat. Toate segmentele orientate care compun un vectorsunt echipolente între ele.

Reţineţi!  Un vector este o clasă  de echivalenţă  generată  de relaţia deechipolenţă.

 Aşadar, avem, în mod concret, următoarea

Page 312: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 312/401

Geometrie vectorială 

306  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Definiţie.  Se numeşte vector   (sau vector liber ) mulţimea tuturor segmentelororientate echipolente cu un segment orientat fix.

 În fig. 3.5 avem un segment orientat „generator”  AB şi o mulţime devectori echipolenţi cu  AB . Toate aceste două  segmente orientate suntechipolente două câte două. Le-am reprezentat cu săgeţi, pentru a indica

sensul. Aşadar, în fig. 3.5 avem o parte a clasei de echivalenţă a lui  AB .

Fig. 3.5Comentând pe marginea figurii 3.5: „câte ” segmente orientate se află  învectorul care este clasa de echivalenţă a lui  AB ?

Răspunsul este următorul: avem atâtea segmente câte puncte are P   (respectiv S   ), deoarece (teorema de fixare) pentru fiecare punct M  există exact un segment orientat MN , cu originea în M  , care este echivalent cu AB .

Definiţie.  Pentru orice segment orientat  AB , vectorul generat de  AB   estemulţimea tuturor segmentelor orientate echipolente cu  AB , adică  este

clasa de echivalenţă  a lui  AB pentru relaţia de echivalenţă  care esteechipolenţa.

Deoarece toate segmentele orientate nule sunt echipolente, elegenerează  un vector, numit vectorul nul  (care este format cu toatesegmentele orientate nenule).

Notaţii.  Dacă  A  şi B  sunt puncte, vectorul generat de  AB   se notează  cu  AB

.Vectorul nul se mai notează şi astfel: O

, (aşadar  AA O=

 pentru orice A).

De asemenea, vectorii se pot nota şi cu litere mici: u

, v 

 etc. (în astfel denotaţii nu mai apare explicit vectorul generator: când scriem u

 înseamnă 

că există  AB , astfel încât  AB u=   ). Dacă  AB u∈    (adică  AB u=   ), spunemcă  AB  este un reprezentant al lui u

.

Egalitatea vectorilor.

Din cele ce preced, rezultă  că  avem echivalenţa  AB MN AB MN = ⇔

∼  (vectorii egali sunt generaţi de segmente orientate echipolente).

Folosind teorema de fixare pentru vectori legaţi, obţinem

Teorema de fixare pentru vectori liberi (reprezentarea unui vector într-un punct)1. Fie u

 un vector şi M  un punct. Atunci, există şi este unic un alt punct

'M  , astfel încât 'u MM = 

 .

2. Fie M  un punct. Avem echivalenţa MA MB A B= ⇔ =

.

Page 313: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 313/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 307 

Lungimea vectorilor

Dacă  u

 este un vector, fie A, B, puncte cu proprietatea că  AB u=  

. Orice

alt vector segment orientat MN , cu proprietatea MN u=  

  va fi în situaţia

 AB ~MN , deci cele două  segmente orientate au lungimi egale:

 AB MN = . Putem da următoarea

Definiţie.  Lungimea  unui vector u

  este lungimea comună  a tuturor segmentelor

orientate  AB , cu proprietatea că  u AB= 

. Lungimea unui vector u

  se

notează prin u

. Folosim şi notaţii de tipul  AB

.

Prin definiţie, lungimea vectorului nul este egală cu zero:

0O AA= =

.

Definiţie.  Se spune că  vectorii u

 şi v 

 au aceeaşi direcţie  dacă există  AB , MN  

astfel încât ,u AB v MN  = =

  şi dreptele suport ale lui  AB   şi MN   auaceeaşi direcţie.

Observaţie.  Definiţia este coerentă: nu depinde de reprezentanţii aleşi  AB u∈ 

  şi

MN v ∈ 

 (dacă MN u=  

şi PQ v =  

, rezultă că dreptele MN  şi PQ au aceeaşidirecţie).

Definiţie.  Se spune că  vectorii u

  şi v 

  au acelaşi sens  (respectiv au sensuri

opuse) dacă  există  reprezentanţi  AB u∈ 

şi MN v ∈ 

  astfel încât  AB   şi

MN  au acelaşi sens (respectiv au sensuri opuse).

Evident, şi această definiţie este coerentă.Se constată că, dacă  u

 şi v 

 au aceeaşi direcţie atunci: sau u

 şi v 

 au

acelaşi sens, sau u

  şi v 

  au sensuri opuse. Invers: dacă  u

  şi v 

  auacelaşi sens (respectiv au sensuri opuse) rezultă că  u

 şi v 

 au aceeaşi

direcţie.

Evident, O

  are acelaşi sens şi, în acelaşi timp, are sens opus, cu orice

vector u

.

Observaţie cu privire la denumire. De multe  ori, în loc să  spunem vectorii care auaceeaşi direcţie, spunem vectori coliniari. Explicaţia este aceea că, dacă 

avem vectorii u

 şi v 

 cu aceeaşi direcţie şi consider ăm un punct arbitrarM , precum şi punctele  A, B astfel încât MA u=

   şi MB v =

  , constatăm că 

punctele M, A, B sunt coliniare.

Vectorii care nu sunt coliniari se numesc necoliniari.

Aplicaţii în fizică 

a) O for ţă aplicată unui corp aflat în stare de repaus, poate fi interpretată ca un vector legat (deci segment orientat).

De exemplu, în fig. 3.6 avem un corp de formă cubică aşezat pe un suportS. Greutatea G

 a lui C  este o astfel de for ţă. Direcţia ei este verticală, cu

sensul „în jos”, iar lungimea vectorului reprezentativ defineşte intensitateafor ţei.

Page 314: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 314/401

Geometrie vectorială 

308  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Fig. 3.6

b) O for ţă constantă care produce mişcarea unui mobil poate fi interpretată ca o mulţime de vectori legaţi echipolenţi, adică poate fi interpretată ca unvector (liber).

De exemplu, în fig. 3.7 avem un cărucior care se deplasează pe orizontală sub acţiunea for ţei reprezentată cu săgeată.

Fig. 3.7.

Test de autoevaluare 1

1. Se consider ă  o dreaptă d şi pe ea punctele distincte A, M, N . Fie unpunct B d ∉ . Construim punctele U, V  astfel încât BU AM  =

 şi BV AN  =

.

 Ar ătaţi că punctele B, U, V  sunt coliniare.

2.  Fie  A, B  puncte distincte. Să  se arate că, pentru un punct M ,următoarele afirmaţii sunt echivalente:

(i) M  este mijlocul lui [ AB].

(ii)  AM MB=

.

Răspunsurile la acest test se găsesc la pagina 346 a acestei unităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 315: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 315/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 309 

3.2. Operaţii cu vectori

3.2.1. Adunarea vectorilor

Fie doi vectori u

  şi v 

. Vom ar ăta cum se construieşte un nou vectoru v +

, numit suma vectorilor u

 şi v 

.

Prima etapă. Alegem un punct oarecare M .

 A doua etapă. Cu teorema de fixare pentru vectori liberi, consider ămunicul punct N  cu proprietatea MN u=

   (fig. 3.8 a) pentru vectorii u

 şi v 

 

care au aceeaşi direcţie şi fig. 3.9 a) pentru vectorii u

 şi v 

 care nu auaceeaşi direcţie).

Fig. 3.8

Fig. 3.9

 A treia etapă. Cu aceeaşi teoremă de fixare, consider ăm unicul punct P  astfel încât NP v =

    (fig. 3.8 b) pentru vectorii u

  şi v 

  care au aceeaşi

direcţie – în acest caz M, N, P  sunt puncte coliniare şi fig. 3.9 b) pentruvectorii u

 şi v 

 care nu au aceeaşi direcţie)

Prin definiţie, suma u v +

 este vectorul MP 

, în scris u v MP  + = 

.

Definiţia este coerentă  (nu depinde de punctul ales M ). Cu alte cuvinte,dacă parcurgem aceleaşi etape, pornind cu punctul M' , obţinem punctulP ′  şi se poate ar ăta că M P MP  ′ ′ =

.

 Această  coerenţă  este ilustrată  în fig. 3.10 a) pentru vectori cu aceeaşidirecţie şi în fig. 3.10 b) pentru vectori care nu au aceeaşi direcţie.

Fig. 3.10Metoda de a reţine procedura este dată  în fig. 3.11 (cazul vectorilor cuaceeaşi direcţie este mai particular).

Page 316: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 316/401

Geometrie vectorială 

310  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Fig. 3.11

Pentru vectorii cu direcţii diferite, prezentăm şi metoda paralelogramului de obţinere a sumei: suma u v +

 este diagonala paralelogramului care are

pe u

 şi v 

 ca laturi alăturate, v. fig. 3.12.

Fig. 3.12

Interpretare fizică. Metoda paralelogramului ne arată că suma vectorilor u  şiv 

, care reprezintă  două  for ţe aplicate în acelaşi punct reprezintă rezultanta celor două for ţe.

Concluzie.  Pe mulţimea V    a vectorilor am definit operaţia internă  de  adunare avectorilor . Anume, dacă  u

 şi v 

 sunt în V  , operaţia de adunare aplicată 

perechii ( ),u v 

 are ca rezultat suma u v +

.

Proprietăţi

a) Adunarea este comutativă: u v +

 = v u+

, pentru orice u

 şi v 

.

b) Adunarea este asociativă: ( ) ( )u v w u v w  + + = + + pentru orice u , v  , w  .

c) Vectorul nul 0

 este element neutru pentru adunare: 0u u+ =

.

d) Dacă  u−

  este opusul lui  u

, atunci u−

  este inversul lui u

  faţă  de

adunare: ( ) 0u u+ − =

 (Opusul unui vector   u

 este unicul vector care are

sens opus lui u

  şi lungime egală  cu lungimea lui u

). Opusul lui u

  senotează cu u−

.

 Asociativitatea ne permite să  scriem 1 2 ...   nu u u+ + +

, f ăr ă  specificarea

parantezelor, pentru suma mai multor vectori (de exemplu, scriem( ) ( )a b c a b c a b c  + + = + + = + +

).

Relaţia lui Chasles. Avem, dacă  1n ≥ :

0 1 1 2 1 0...   n n n A A A A A A A A−+ + + =

.

 În particular, dacă  0n A A= , avem:

0 1 1 2 2 1 1 0... 0n n n A A A A A A A A− − −+ + + + =

 (relaţia de închidere).

De exemplu, dacă  ABC  este un triunghi, avem 0 AB BC CA+ + =

.

Relaţia de mai sus ne conduce la următorul rezultat.

Page 317: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 317/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 311 

Teoremă.  Fie , ,u v w 

 trei vectori nenuli. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. Se poate forma un triunghi cu , ,u v w 

 (adică există un triunghi ABC  cu

proprietatea că  , AB u BC v = =

 şi CA w =

).

2. Vectorii , ,u v w 

 au proprietatea că, doi câte doi nu au aceeaşi direcţie şi

avem relaţia 0u v w + + = .

Legat de adunare, putem defini scăderea vectorilor : este operaţia careasociază  vectorilor u

  şi v 

  vectorul u

+ ( )v −

, notat prin u v −

  şi numit

diferenţa vectorilor  u

 şi v 

.

Dacă  u

 şi v 

 nu au aceeaşi direcţie, diferenţa lor apare ca în fig. 3.13 a),iar dacă are aceeaşi direcţie, ca în fig. 3.13 b).

Fig. 3.13

Reţinem şi formula MA MB BA− =

, ilustrată în fig. 3.13 a).

3.2.2. Înmulţirea cu scalari a vectorilor (înmulţirea vectorilor cu numerereale)

Fie u   un vector şi a  un număr real. Vom defini un nou vector, numitprodusul lui u

 cu a şi notat au

.

1. Dacă a = 0 sau 0u =

, atunci au

 = 0

 (prin definiţie).

2. Dacă a = 0 şi 0u ≠ 

, atunci au

 este un vector care are aceeaşi direcţiecu u

, are lungimea egală cu a u

, iar sensul său este acelaşi cu al lui u

,

dacă  0a >  (respectiv opus lui, dacă  0a < ).

Dacă  1a = − , obţinem vectorul ( )1 u− 

 care este exact opusul lui u

 şi am

notat ( )1 u u− = −

. În fig. 3.14 avem două exemple.

Fig. 3.14

Concluzie.  Am definit operaţia externă  pe ×   V    numită  înmulţirea cu scalari avectorilor   (sau  înmulţirea vectorilor cu numere reale), care asociază fiecărei perechi ( ),a u   ∈ ×

  V   vectorul au

= produsul lui a cu u

.

 Înmulţirea cu scalari are următoarele proprietăţi:1 u u⋅ =

 

Page 318: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 318/401

Geometrie vectorială 

312  Proiectul pentru Învăţământ Rural

( )   ( )u uα β = αβ

 

( )u u uα + β = α + β

 

( )u v u v  α + = α + α

 

0 0 0u⋅ = α ⋅ = .

Din aceste proprietăţi, rezultă şi următoarele proprietăţi:

( )   ( )u u u−α = α − = −α

.

( )( )u u−α − = α

 

( )u u uα − β = α − β

 

( )u v u v  α − = α − α

 

( )1 u u− = −

.

Exemplu. (fig. 3.15)

 În triunghiul ABC , [MN ] este linie mijlocie ( AM = MB, AN = NC ). Atunci1

2MN BC  =

.

Fig. 3.15

Structura de spaţiu vectorial a lui V   

 Am definit pe V   operaţia de adunare şi operaţia externă de înmulţire cuscalari. Atunci, V    împreună cu aceste operaţii devine spaţiu vectorial real.

Menţionăm că se pot considera şi combinaţii liniare de vectori din V  , de

forma 1

n

i i i  u= α∑

 

, unde i u  ∈V  

 şi i α ∈ .

3.2.3. Produsul scalar al vectorilor. Ortogonalitate. Relaţii metrice

Pentru a defini produsul scalar, trebuie să definim mai întâi unghiul a doivectori.

Vom considera doi vectori u

 şi v 

 care sunt nenuli. Fixăm un punct O şiconsider ăm punctele unic determinate (teorema de fixare)  A  şi B, astfel

 încât OA u=  

 şi OB v =  

 (fig. 3.16).

Semidreptele [OA şi [OB formează un unghi

 AOB  pe care îl vom defini cafiind în situaţia ( )m AOBθ = ≤ π  (fig. 3.16)

Page 319: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 319/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 313 

Fig. 3.16.

Remarcăm că obţinem acelaşi unghi dacă schimbăm punctul O şi luăm unalt punct O' (fig. 3.16). prin urmare, definiţia lui θ  este coerentă.

 Alegerea unghiului ca având măsura θ ≤ π  este explicată în fig. 3.17.

Fig. 3.17.

Definiţie.  Fie ,u v 

 doi vectori. Produsul scalar al vectorilor u

 şi v 

, notat u v ⋅

 estenumărul definit astfel:Dacă  0u =

 sau 0, 0v u v = ⋅ =

.

Dacă  0u ≠  şi 0v  ≠ , cosu v u v  ⋅ = θ , unde θ  este unghiul vectorilor u  şi

.

Pentru ,u v 

 nenuli, rezultă atunci formula:

cos  u v 

u v 

⋅θ =

.

Interpretarea fizică a produsului scalar.

Fie doi vectori  AB

  şi  AC 

  (fig. 3.18). Consider ăm că  A  este un punctmaterial asupra căruia acţionează  o for ţă  F 

  reprezentată  prin vectorul AC 

  care efectuează  o deplasare definită  de vectorul AB

. Atunci, lucrul

mecanic W  efectuat de for ţa F AC =

 când se deplasează de-a lungul lui

 AB

 este W  =  AB AC ⋅

.

Fig. 3.18

Page 320: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 320/401

Geometrie vectorială 

314  Proiectul pentru Învăţământ Rural

 Avem şi o imagine geometrică a felului cum se obţine produsul scalar (v.fig. 3.19). În această figur ă, ,OA u OB v  = =

şi A'  este proiecţia lui A pe OB,

B'  este proiecţia lui B pe OA. Prin urmare:

cos ' cos 'u v OA OB OA OB OB OA OB OB⋅ = ⋅ θ = ⋅ = ⋅ θ = ⋅

.

Produsul scalar  = produsul dintre lungimea unui vector şi proiecţia pe ela celuilalt vector.

Fig. 3.19Dacă  unghiul θ   este obtuz, proiecţia se consider ă  ca având lungimenegativă (v. fig. 3.19 b)).

Definiţie.  Spunem că doi vectori nenuli uşi v 

sunt ortogonali dacă unghiul lor este

unghi drept (are măsura egală cu2

π).

Prin definiţie, dacă  unul dintre vectorii ,u v 

 este nul, spunem că  u

 şi v 

 sunt ortogonali.

Faptul că u

 şi v 

 sunt ortogonali se notează astfel: u v ⊥

.Prin urmare, avem următorul rezultat:

Propoziţie.  Avem echivalenţa: u v ⊥

0u v ⇔ ⋅ =

.

Definiţie.  Pătratul scalar al vectorului u

este numărul 2u

definit astfel: 2u u u= ⋅

.

Prin urmare, 2u

=2

u

= pătratul lungimii vectorului (şi 2u u=

).

Proprietăţi ale produsului scalar:

u v v u⋅ = ⋅

 

( )u v w u v u w  ⋅ + = ⋅ + ⋅

 

( ) ( )u v u v u v  α ⋅ = ⋅ α = α ⋅ ⋅

.

De aici, rezultă şi alte proprietăţi:

( ) ( ) ( )u v u v  α ⋅ β = αβ ⋅

 

( )u v w u v u w  − = ⋅ − ⋅

 

( ) ( )u v u v u v  − ⋅ = ⋅ − = − ⋅

 

( ) ( ) .u v u v  − ⋅ − = ⋅

 

Page 321: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 321/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 315 

Formule remarcabile privind pătratul scalar2 2 2

2u v u u v v  + = + ⋅ +

 

2 2 2

2u v u u v v  − = − ⋅ +

 

( ) ( ) 2 2u v u v u v  + ⋅ − = −  

2 2

2 cosu v u v u v  + = + + ⋅ α

 

2 2

2 cosu v u v u v  − = + − ⋅ α

 (teorema lui Pitagora generalizată, sau

teorema cosinusului)

( )2 2 2 2

2u v u v u v  + + − = +

 (regula paralelogramului)

1

4u v ⋅ =

( )2 2

u v u v  + − −

 

1

2u v ⋅ =

( )2 2 2

u v u v  + − −

 

 – Să interpretăm geometric regula paralelogramului (fig. 3.20)

Fig. 3.20

 În paralelogramul ABCD avem:

( )2 2 2 2 2 2 2 22 AC BD AB AD AB BC CD DA+ = + = + + + .

 – Să deducem formula:

1

2u v ⋅ =

( )2 2 2

u v u v  + − −

.

 Avem în paranteză:

( )2 2 2 2

2 2u v u v u v u v  + − + − ⋅ = ⋅

.

 – Să interpretăm geometric formula:

1

2u v ⋅ =

( )2 2 2

u v u v  + − −

.

Page 322: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 322/401

Geometrie vectorială 

316  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Fig. 3.21

( )2 2 21

2 AB AC AB AC BC ⋅ = + −

 

3.2.4. Produsul vectorial

 Acest subparagraf se refer ă la spaţiu. Vom lucra deci în spaţiul S  .

Să consider ăm doi vectori care nu sunt coliniari (nu au aceeaşi direcţie), a

 

şi b .

Vom defini un nou vector, numit produsul vectorial al vectorilor a

 şi b

 şi

notat astfel: a b×

.

Construcţia se face astfel. Se consider ă un punct O ∈S   şi, cu teorema de

fixare, construim punctele A şi B cu proprietatea că  OA a=

 şi OB b=

 (v.fig. 3.22 b))

Consider ăm planul π  determinat de punctele O, A, B. În punctul O ducemo perpendicular ă h pe planul π  şi luăm pe h un punct C  cu proprietatea că 

sin sinOC a b OA OB= ϕ = ⋅ ϕ   (unde ϕ  este unghiul vectorilor a

 şi b

) şiastfel încât triedrul OA, OB, OC   să  fie dextrorsum (Un model perfect înacest sens ar fi să consider ăm că spaţiul S  este cartezian, cu sistemul deaxe Oxyz ) şi luăm ( ) ( ),0,0 cu 0 A m Ox m∈ > , ( ) ( )0, ,0 cu 0B n Oy n∈ >  şi

( ) ( )0,0, cuC p Oz OC mn∈ =  (v. fig. 3.22 a))

Fig. 3.22

Observăm că, de fapt, avem sinOC OA OB= ⋅ ϕ= aria paralelogramuluiOAVB construit pe laturile OA şi OB.

Prin definiţie, OC 

 reprezintă produsul vectorial al lui a

 şi b

:

a b OC  × =

.

Din definiţie rezultă că, dacă a

 şi b

 sunt vectori coliniari, atunci a b×

= 0

.

 În particular, 0a a× =

.

Page 323: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 323/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 317 

Convenţie.  Prin definiţie, dacă  0a =

 sau 0b =

, vom avea a b×

= 0

.

Interpretare fizică. Dacă  AV F =

 este o for ţă aplicată în punctul A, atunci:

a b×

= momentul for ţei F 

 în raport cu punctul O.

Proprietăţi

1) a b b a× = − ×  (anticomutativ).

2) Dacă t  este un număr real, avem ( ) ( )ta b a tb ta b× = × = ×

.

3) ( )a b c a b a c  × + = × + ×

 

( )b c a b a c a+ × = × + ×

 

Se consider ă  acum trei vectori , ,a b c 

  în spaţiul S   . Se poate definiprodusul mixt al acestor vectori, care este numărul :

( )a b c ⋅ ×

.

Interpretare geometrică 

Modulul produsului mixt = volumul paralelipipedului construit pe vectorii a,b, c , v. fig. 3.23.

Fig. 3.23

 Avem deci: vol(paralelipiped) = ( )a b c ⋅ ×

.

Notă. Se poate ar ăta că:

( )a b c ⋅ ×

= ( )a c b⋅ ×

= ( )b c a⋅ ×

= ( )b a c ⋅ ×

= ( )c a b⋅ ×

= ( )c b a⋅ ×

.

Page 324: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 324/401

Geometrie vectorială 

318  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Test de autoevaluare 2

1. Fie ABC  un triunghi cu medianele , , AA BB CC ′ ′ ′ ( A'  este mijlocul lui [BC ]etc.).

a) Să se arate că  ( )12

 AA AB AC ′ = + .

b) Să se arate că se poate forma un triunghi cu vectorii , , AA BB CC ′ ′ ′

.

2. a) Să se arate că pentru orice patru puncte M, A, B, C avem relaţia luiEuler:

0MA BC MB CA MC AB⋅ + ⋅ + ⋅ =

 

b) Folosind rezultatul de la a), să se arate că  înălţimile unui triunghi suntconcurente

Răspunsurile la acest test se găsesc la pagina 346 . a acestei unităţi de învăţare

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 325: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 325/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 319 

3.3. Calcule de bază  efectuate cu ajutorul vectorilor. Legătura cugeometria analitică. Aplicaţii la problemele de geometrie

3.3.1. Descompunerea după doi vectori (în plan) şi după trei vectori (înspaţiu)

A. Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari în plan.Teoremă.  Fie u

 şi v 

 doi vectori în planul P   . Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. u

 şi v 

 sunt coliniari.

2. Există  ,α β  reale, nu ambele nule, astfel încât 0u v α + β =

.

De aici rezultă  următoarea teoremă  fundamentală. Reamintim că  V =mulţimea vectorilor (în planul P   ).

Teoremă (Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari). Fie uşi v 

  în

planul V  . Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. u

şi v 

 nu sunt coliniari.2. u

şi v 

 sunt liniar independenţi (adică: dacă  ,α β sunt numere reale aşa

ca 0, atunci 0u v α + β = α = β =

).

3. Pentru orice m ∈

V   , există  două  numere reale unic determinate cu

proprietatea că  m u v = α + β

(adică u

, v 

formează bază înV ).

Despre proprietatea de la 3. vorbim astfel: Putem descompune oricevector m ∈

V după vectorii u

şi v 

. Descompunerea este unică. Numim

pe α  şi β coordonatele lui m

 în baza ,u v 

.

 În fig. 3.24 se arată, intuitiv, cum se face descompunerea: se fixează u , v   

şi m

 într-un punct O din plan şi se duc paralele la u

 şi v 

 prin capătul lui

m

 care întâlnesc direcţiile lui u

 şi v 

 în puncte care reprezintă vectorii uα

 

şi v β

.

Fig. 3.24.Mai spunem că l-am descompus pe m

 după direcţiile lui u

 şi v 

Urmează  două  proprietăţi care au un aspect similar cu proprietateaprecedentă.

Teoremă.  Fie  A, B, C   trei puncte distincte în P  . Următoarele afirmaţii suntechivalente:1. Punctele A, B, C  sunt coliniare.2. Există  două  numere reale ,α β   astfel încât 1α + β =   şi care au

proprietatea că pentru orice O ∈P    avem OC OA OB= α + β

.3. Există un punct O ∈P   şi t  ∈  astfel încât ( )1OC tOA t OB= + −

 

Page 326: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 326/401

Geometrie vectorială 

320  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Teoremă.  Fie ABC  un triunghi în planul P   şi M  ∈P  . Atunci, există trei numere reale, ,α β γ   unic determinate de M , cu 1α + β + γ = , care au proprietatea că,

pentru orice O ∈P   avem:

OM OA OB OC  = α + β + γ

.

Numerele , ,α β γ   se numesc coordonatele baricentrice  ale lui M   în

raport cu triunghiul ABC . Fie un triunghi ABC  cu laturile de lungimi BC = a, CA = b, AB = c.

Teoremă.  Fie P  un punct oarecare în planulP   .1. Dacă G este centrul de greutate al lui ABC , avem:

1 1 1

3 3 3PG PA PB PC  = + +

 

(coordonatele baricentrice ale lui G sunt1 1 1

, ,3 3 3

).

2. Dacă I  este centrul cercului înscris în ABC , avem:a b c 

PI PA PB PC  a b c a b c a b c  

= + ++ + + + + +

 

(coordonatele baricentrice ale lui I  sunt , ,a b c 

a b c a b c a b c  + + + + + +).

3. Dacă H  este ortocentrul lui ABC , avem :

ctg ctg ctg ctg ctg ctgPH B C PA C A PB A B PC  = ⋅ + ⋅ + ⋅

 

(coordonatele baricentrice ale lui H sunt ctgBctg C , ctg C ctg A,ctg Actg B).

4. Dacă O este centrul cercului circumscris lui ABC , avem:

1 ctg ctg 1 ctg ctg 1 ctg ctg

2 2 2

B C C A A BPO PA PB PC  

− − −= + +

 

(coordonatele baricentrice ale lui O  sunt1 ctg ctg

2

B C −,

1 ctg ctg

2

C A−,

1 ctg ctg

2

 A B−).

B. Descompunerea unui vector după trei vectori necoplanari în spaţiu

 Acum lucr ăm în spaţiulS 

  şi discutăm proprietăţi ale mulţimiiV 

  avectorilor din S .

Teoremă.  Doi vectori uşi v

sunt coliniari dacă  şi numai dacă  există  ,α β   reale cu

proprietatea că :

0u v α + β =

.

Definiţie.  Vectorii 1 2, ,...   nu u u

  se numesc coplanari dacă  există  un plan π   cu

următoarea proprietate: pentru orice punct O al lui π  şi orice i  = 1, 2, ..., n,

unicul puncti 

M    cu proprietatea că  i i OM u=

  (teorema de fixare) are

proprietatea că i 

M  ∈ π  (adică i 

OM   ⊂ π ).

Dacă  vectorii 1 2, , ...  n

u u u nu sunt coplanari, spunem că  ei sunt

necoplanari.

Page 327: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 327/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 321 

(Evident, dacă n = 2, orice doi vectori 1u

 şi 2u

 sunt coplanari).

Teoremă.  Fie 1 2 3, ,u u u

 din V  . Atunci 1 2 3, ,u u u

 sunt coplanari dacă şi numai dacă ei

sunt liniar dependenţi (adică există  1 2 3, , ,α α α  numere reale nu toate nule

cu proprietatea

1 1 2 2 3 3 0u u uα + α + α =

).

Teoremă. (Descompunerea unui vector după trei vectori necoplanari).Fie 1 2 3, ,u u u

. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. 1 2 3, ,u u u

sunt necoplanari.

2. Pentru orice m ∈

V   , există  şi sunt unice numerele reale 1 2 3, , ,α α α cu

proprietatea că  1 1 2 2 3 3m u u u= α + α + α

.

Numerele 1 2 3, ,α α α  se numesc coordonatele lui m

 în baza 1 2 3, ,u u u

 (cu

alte cuvinte 1u , 2u  şi 3u formează bază în S ).

Teoremă.  Fie A, B, C  trei puncte distincte. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1. A, B, C  sunt coliniare.2. Există  ,α β reale, cu 1α + β = , astfel încât, pentru orice O ∈S  avem

OC OA OB= α + β

.3. Există  O ∈S  şi două  numere reale ,α β cu 1α + β =   şi astfel încât

OC OA OB= α + β

.

Teoremă.  Fie  A, B, C, D  patru puncte distincte. Următoarele afirmaţii sunt

echivalente:1. A, B, C, D sunt coplanare.

2. Există numerele , ,α β γ  cu 1α + β + γ =  şi astfel încât, pentru orice punct

O ∈S    să avem OD OA OB OC  = α + β + γ

.

C. Coordonatele unui vector. Legătura cu geometria analitică 

Definiţie.  Se numeşte versor  un vector de lungime 1.

 În continuare vom introduce nişte versori speciali, numiţi versorii axelor .Versorii axelor în plan.  Se consider ă un plan cartezian P cu un sistem de axe

de coordonate  xOy   (v. fig. 3.25). Punctul  A(1,0) defineşte segmentulorientat OAşi notăm i OA=

.

Similar, punctul B(0,1) defineşte segmentul orientat OB şi notăm  j OB=

.

 Am definit versorii axelor în plan: i 

  este versorul axei Ox ,  j 

  esteversorul axei Oy. 

Fig. 3.25.

Page 328: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 328/401

Geometrie vectorială 

322  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Versorii axelor în spaţiu.  Se consider ă  un spaţiu cartezian S     cu unsistem de axe de coordonate  Oxyz   (v. fig. 3.26). Atunci, luăm punctele

 A(1,0,0), B(0,1,0), C (0,0,1) şi notăm i OA=

,  j OB=

, k OC =

  ( i 

  este

versorul axei Ox ,  j 

 este versorul axei Oy, k 

 este versorul axei Oz ).

Fig. 3.26

Vector de poziţie. Vector de poziţie într-un sistem de axe de coordonateDefiniţie.  Se fixează un punct O numit origine. Pentru orice punct M , vectorul OM 

se

numeşte vectorul de poziţie al punctului M .

 Acum vom face legătura cu coordonatele carteziene.

 Întâi lucr ăm în planul cartezian  P  , echipat cu sistemul de coordonate xOy . Consider ăm un punct ( . )M x y   ∈P  .

Definiţie.  Vectorul OM 

se numeşte vectorul de poziţie al lui M  în sistemul de axe xOy .

Evident, versorii i 

  şi  j 

  sunt necoliniari şi atunci, cu teorema dedescompunere în plan, vom găsi ,α β ∈   unic determinate, astfel încât

OM i j  = α +β

.

Studiind situaţia, ajungem la concluzia că  , x y α = β = , prin urmare:

Dacă  M (x,y), atunci OM xi y j  = +

.

Putem defini acum coordonatele unui vector oarecare.

Consider ăm în planul cartezian  xOy   punctele ( ) ( ), , , A A B B

 A x y B x y  , care

definesc vectorul  AB

 (v. fig. 3.27).

Fig. 3.27

 Atunci, cu teorema de fixare, avem segmentul orientat OM  echipolent cu AB , unde ( ),B A B AM x x y y  − − .

Page 329: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 329/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 323 

 Aşadar ( ) ( )B A B AOM AB x x i y y j  = = − + −

.

( ) ( ), , , A A B B

 A x y B x y AB OM ⇒ = =

( ) ( )B A B A x x i y y j − + −

 

Definiţie.  În condiţiile de mai sus, spunem că  numereleB A x x −   şi

B Ay y −   sunt

coordonatele vectorului  AB

Mai general:

Definiţie.  Fie u

  un vector în planul cartezian P  . Atunci, numerele reale unic

determinate ,α β  cu proprietatea că  u i j = α +β

 se numesc coordonatele

vectorului u

 În rezumat:

a) u i j = α +β

∈V : ,α β  sunt coordonatele lui u

.

b) ( ),M x y OM  ∈ ⇒ 

P   are coordonatele x, y   adică OM xi y j  = +

 .

c) ( ) ( ), , , A A B B A x y B x y    AB∈ ⇒ ∈P    V     şi  AB

  are coordonateleB A x x − ,

B Ay y − : ( ) ( )B A B A AB x x i y y j = − + −

.

 În continuare, vom exprima operaţiile cu vectori cu ajutorul coordonatelor

Adunarea. Dacă u i j = α +β

 şi v mi n j  = +

, atunci ( ) ( )u v m i n j  + = α + + β +

.

Scăderea. Ca mai sus ( ) ( )u v m i n j  − = α − + β −

.

Vectorul nul 0 0 0i j = +

 (are coordonatele nule).

 Înmulţirea cu scalari. Dacă  t  ∈ şi u i j = α +β

, avem ( ) ( )tu t u t v  = α + β

.

Spunem, că  adunarea (scăderea) şi produsul cu scalari se fac pecomponente.

Produsul scalar

Dacă u i j = α +β

şi v mi n j  = +

, avem .u v m n⋅ = α + β

 

 În particular,

22 2

u   = α + β

, deci

2 2

u  = α + β

.

Se vede imediat că 2 2

1, 1, 0i j i j  = = ⋅ =

 (deoarece i j ⊥

).

Dacă  ,u ai b j v xi y j  = + = +

  sunt vectori nenuli, atunci, dacă  θ   este

măsura unghiului vectorilor uşi v 

, avem:

2 2 2 2cos

  ax by  

a b x y  

+θ =

+ ⋅ +.

Cu ajutorul acestor proprietăţi, putem face diverse tipuri de calcule.

Exemple.

1. Să calculăm 2 3u v w + −

, unde 4 2 , , 3 2u i j v j w i j  = + = = −

.

Page 330: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 330/401

Geometrie vectorială 

324  Proiectul pentru Învăţământ Rural

 Avem, folosind asociativitatea şi faptul că  0v i j = +

:

2 3u v w + −

( ) ( ) ( )4 2 2 0 3 3 2i j i j i j  = + + + − − =

( ) ( ) ( )4 2 0 2 9 6i j i j i j  + + + − − =

( ) ( )( )4 0 9 2 2 6i j + − + + − −

5 10i j = − +

.

2. Pentru w 

 de mai sus, să calculăm w 

.

 Avem ( )223 2 9 4 13w   = + − = + =

.

3.  Fie 3 4u i j = +

, 5 .v i j = −

  Să  calculăm u v ⋅

  şi cosθ , unde θ   este

măsura unghiului vectorilor uşi v 

.

Folosim proprietăţile algebrice ale produsului scalar şi faptul că 

( )5 1v i j = + −

; avem:

( )( )3 4 5 3 5 3 4 5 4u v i j i j i i i j j i j j  ⋅ = + − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

2 2

3 5 4 15 4 11i j ⋅ − = − =

.

2 23 4 25 5u   = + = =

.

( )225 1 26v   = + − =

.

Rezultă:

11cos

5 26

u v 

u v 

⋅θ = =

 (deci11

arccos5 26

θ = ).

4.  Se constată  că  pentru vectorii 3 4u i j = +

  şi 4 3v i j = −

, avem u v ⊥

 

(ar ătaţi că  0u v ⋅ =

). Prin urmare, u

 şi v 

 nu sunt coliniari.

Fie acum vectorul 5 5m i j = +

.

Să descompunem m

 după u

 şi v 

.

Trebuie să  aflăm coordonatele lui m

  în baza u

, v 

, care sunt numerele

reale x, y  cu proprietatea că  m xu yv  = +

 

Ultima condiţie înseamnă:

( ) ( )   ( ) ( )5 5 3 4 4 3 3 4 4 3i j x i j y i j x y i x y j  + = + + − = + + −

.

 Aşadar, trebuie să rezolvăm sistemul 3 4 5 x y + =  şi 4 3 5 x y − = .

Prin scăderea ecuaţiilor: x  = 7y .

Prima ecuaţie devine 25y = 5, deci1

5y  =  şi

7

5 x  = .

De o importanţă

  fundamentală

  este corespondenţa (func

ţia bijectiv

ă)

2:H    → V  , pe care am definit-o mai înainte: ( )   ( ),H xi y j x y  + =   (sau

Page 331: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 331/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 325 

( )   ( ) ( ), , pentru ,H OM x y M M x y  = = ∈

P   ).

 Această corespondenţă este, practic, o identificare între V    şi 2 (scriem

( ), xi y j x y + ≡

), operaţiile f ăcându-se direct pe componente:

( ) ( )   ( ) ( ) xi y j ai b j x a i y b j + + + = + + +

 

( x,y ) + (a,b) = ( x +a, y +b)

La fel: ( )   ( ) ( )t ai b j ta i tb j  + = +

, ( ) ( ), ,t a b ta tb=  

Reţineţi!  Identificăm vectorul de poziţie OM 

  al punctului ( ),M x y    cu perechea

( ) 2, x y   ∈ . Aceasta conduce la operaţiile cu perechi:

( ) ( ) ( ), , , x y a b x a y b+ = + + ,

( ) ( ), ,t x y tx ty  = etc.

 În acest mod, am definit (formal) operaţii cu perechi ( ) 2, x y   ∈ .

( ) ( ) ( ), , , x y a b x a y b+ = + + ,

( ) ( ), ,t a b ta tb= ,

(de fapt, 2  devine spaţiu vectorial în raport cu aceste operaţii). Avemproprietăţi de calcul, cum ar fi asociativitatea:

( ) ( )( )   ( ) ( ) ( ) ( )( )   ( ), , , , , , , x y a b u v x y a b u v x a u y b v + + = + + = + + + + .

Exemplu de aplicare

 Am văzut că, dacă  ABC   este un triunghi oarecare în plan cu laturile delungimi BC = a, CA = b, AB = c , atunci: pentru orice punct P  ∈P   , avem,dacă I  este centrul cercului înscris în ABC :

a b c PI PA PB PC  

a b c a b c a b c  = + +

+ + + + + +

.

Luăm P  = originea O.

 Atunci, dacă  ( ),I I I x y  , avem ( ), .I I PI OI x y  = ≡

 

La fel, dacă  ( ) ( ) ( ), , , , , A A B B C C  A x y B x y C x y  , vom putea scrie direct,

folosind relaţia de mai sus:

.I A B C  

a b c  x x x x 

a b c a b c a b c  = + +

+ + + + + + 

I y   =

  A B C 

a b c y y y 

a b c a b c a b c  + +

+ + + + + +.

 Acum vom trece la spaţiu. Luăm în spaţiul cartezian S   , echipat cusistemul de axe de coordonate Oxyz .

Definiţie.  Dacă  ( ), ,M x y z   ∈S   , vectorul OM 

se numeşte vectorul de poziţie al lui M  

 în sistemul de axe Oxyz .

Page 332: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 332/401

Geometrie vectorială 

326  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Ca şi la plan, avem:

( ), ,M x y z OM xi y j zk  ⇒ = + +

.

Cu teorema de descompunere, pentru orice vector u ∈

V   (în spaţiu!) vom

găsi trei numere unic determinate astfel încât u xi y j zk  = + +

.

Definiţie.  În contextul de mai sus, numerele x, y, z  sunt coordonatele vectorului u .

Dacă avem ( ), , A A A A x y z   şi ( ), ,

B B BB x y z    în S   , atunci

( ) ( ) ( )B A B A B A AB x x i y y j z z k = − + − + −

,

deci coordonatele lui  AB

 sunt  B A x x − ,B Ay y − ,

B Az z − .

 În particular, dacă  ( ), ,M x y z   ∈S   , coordonatele vectorului de poziţie OM 

 

sunt x, y, z :

OM xi y j zk  = + +

.Exprimăm operaţiile cu vectori, în continuare, cu ajutorul coordonatelor.

Adunarea. Dacă  ,u ai b j ck v xi y j zk  = + + = + +

, atunci:

( ) ( ) ( )u v a x i b y j c z k  + = + + + + +

.

Scăderea. Ca mai sus, ( ) ( ) ( )u v a x i b y j c z k  − = − + − + −

 

Vectorul nul. 0 0 0 0i j k = + +

.

 Înmulţirea cu scalari. Dacă  t  ∈  şi u ai b j ck  = + +

, atunci:

( ) ( ) ( )tu ta i tb j tc k  = + +

.

Spunem că  adunarea (scăderea) şi produsul cu scalari se fac pecomponente.

Produsul scalar. Dacă u ai b j ck  = + +

 şi v xi y j zk  = + +

, atunci:

u v ax by cz  ⋅ = + +

.

 În particular,2

2 2 2u a b c  = + +

, deci 2 2 2u a b c  = + +

.

Se vede imediat că avem proprietăţile:

2 2 2

1i j k = = =

 şi

0i j j k i k  ⋅ = ⋅ = ⋅ =

 

Dacă  u ai b j ck  = + +

,  v xi y j zk  = + +

,sunt vectori nenuli, atunci, dacă  θ  

este măsura unghiului vectorilor uşi v 

, avem:

2 2 2 2 2 2cos

  ax by cz  

a b c x y z  

+ +

θ = + + ⋅ + + .

Page 333: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 333/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 327 

Produsul vectorial. Fie u ai b j ck  = + +

 şi v xi y j zk  = + +

. Atunci:

( ) ( ) ( )xu v bz cy i cx az j ay bx k  = − + − + −

.

 Această expresie a produsului vectorial se reţine mai uşor sub forma:

i j k 

u v a b c  

 x y z 

× =

 

(dezvoltăm după elementele primei linii acest determinant simbolic!).

 Avem, de asemenea, următoarele proprietăţi:

x 0; x 0; x 0i i j j k k  = = =

 

; ;i j k j k i k i j  × = × = × =

 

x ; x ; x j i k k j i i k j = − = − = −

.(Se memorează pornind cu xi j k =

şi f ăcând permutări circulare).

Produsul mixt

Dacă  , 1,2,3 p p p pu x i y j z k p= + + =

, vom putea calcula produsul mixt după 

cum urmează:

( )1 1 1

1 2 3 2 2 2

3 3 3

x

 x y z 

u u u x y z  

 x y z 

⋅ =

  (*)

Rezultă imediat proprietăţile

( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 2x x xu u u u u u u u u⋅ = ⋅ = ⋅

  şi ( )1 2 3x 0u u u⋅ =

, dacă  există 

m n≠   astfel încâtm n

u u=

(produsul mixt este nul dacă  unul din factori

este nul).

Consecinţă.  Am văzut că, în contextul de mai sus, valoarea ( )1 2 3xu u u⋅

 este egală cu

volumul paralelipipedului construit cu cei trei vectori. Acest volum este nuldac

ă şi numai dac

ă paralelipipedul degenereaz

ă într-o figur 

ă plan

ă, adic

ă 

vectorii 1 2 3, ,u u u admit reprezentanţi cu aceeaşi origine care au

extremităţile şi originea în acelaşi plan.

 Aşadar, avem echivalenţa: 1 2 3, ,u u u

 sunt coplanari ⇔  determinantul de la

(*) este nul.

Folosind proprietăţile de mai sus, vom prezenta câteva tipuri de calcule.

Exemple.

1. Fie 3 4 , 3u i j k v i k  = + − = +

. Să calculăm u v +

.

 Avem u v +

= ( ) ( ) ( )3 3 4 0 1 1 6 4i j k i j  + + + + − + = +

.

2. Dacă  2 , 2u i j v i j k  = + = + −

şi 3w i =

, să calculăm 2 3 6 .u v w + −

 

Page 334: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 334/401

Geometrie vectorială 

328  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Rezultatul este

( ) ( )   ( ) ( )2 2 3 2 6 3 2 3 18 4 3 6i j i j k i i j k  + + + − − ⋅ = + − + + −

= 13 7 6i j k − + −

 

3. Să calculăm u v ⋅

, unde 3 2u i j k  = + −

şi 3 2v i j k  = − + +

.

 Avem u v ⋅

= -9 + 4 – 1 = -6.

4. Pentru vectorii uşi v 

de mai sus, să calculăm ,u v 

 şi cosθ , unde θ  

este măsura unghiului lor.

( )22 23 2 1 14u  = + + − =

 

( )2 2 23 2 1 14v   = − + + =

 

6 3cos

14 7

u v 

u v 

⋅ −θ = = = −

.

5. Pentru ce valori ale parametrului real t  sunt ortogonali vectorii:

2u ti j tk  = + +

  şi v t i j k  = − −

?

 Avem echivalenţa 0u v u v  ⊥ ⇔ ⋅ =

.

Deoarece 2 21 2 2 1u v t t t t  ⋅ = − − = − −

 rezultă echivalenţa

2 2 1 0 1 2 sau 1 2u v t t t t  ⊥ ⇔ − − = ⇔ = − = +

.

6. Să calculăm u v ×

, unde 2 3 , 2u i j v i j k  = + = − + −

. Avem:

( ) ( )2 3 x 2u v i j i j k  × = + − + − =

( ) ( ) ( )2 1 x 2 x 4 x 3 1 x 3 x 3 2 xi i i j i k j i j j j k  = ⋅ − + − + − + + ⋅ − =

 

= ( ) ( )0 2 4 3 0 6 6 4 5k j k i i j k  + − − − − + − = − + +

.

7. Se consider ă paralelipipedul care are patru vârfuri O ABC  astfel încât

2 3OA i j  = +

 

OB i j k  = + +

 2OC j =

 

Să calculăm volumul acestui paralelipiped.

Volumul este dat de formula:

Volum = ( )xOA OB OC  ⋅

.

Cu cele ce preced, volumul este egal cu D unde:

( ) ( )

2 3 0

1 1 1 2 2 4

0 2 0

D = = − ⋅ = − .

Page 335: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 335/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 329 

Deci volumul căutat este 4.

8. Să demonstr ăm identitatea lui Lagrange:

pentru orice numere reale a, b, c; x, y, z , avem:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

a b c x y z  

ax by cz bz cy cx az ay bx  

+ + + + =

= + + + − + − + −

.

Demonstraţia se poate face direct, algebric.

Vom da o demonstraţie geometrică 

2 2 2 2 2 2 2 22 2x cos sinu v u v u v u v u v  ⋅ + = ⋅ θ + ⋅ θ = ⋅

 

unde θ   este măsura unghiului vectorilor uşi v 

.

Scriem aceasta pentru ,u ai b j ck v xi y j zk  = + + = + +

.

Rezultatul precedent se scrie:( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2ax by cz bz cy cx az ay bx  + + + − + − + − =

( )( )2 2 2 2 2 2a b c x y z  = + + + + .

Rezultă şi inegalitatea Cauchy – Buniakovski 

( )2

ax by cz  + + ≤ ( )( )2 2 2 2 2 2a b c x y z  + + + + .

Temă. Generalizare!

Ca şi la plan, subliniem importanţa pentru calcule a identificării punctului

( ), ,M x y z   ∈S  cu vectorul de poziţie OM  ∈ V    şi, în final cu ( ) 3, , x y z   ∈ .

Cu alte cuvinte, avem bijecţia 3:H    → V   , dată prin

( )   ( ), ,H xi y j zk x y z  + + =

.

 Această bijecţie conduce la „operaţii cu triplete de numere”:

( ) ( ) ( ), , , , , , x y z a b c x a y b z c + = + + +  

( ) ( ), , , ,t x y t tx ty tz  = .

 Aceste identificări şi operaţii se aplică des.

De exemplu, dacă avem , A B ∈S    şi M  este mijlocul lui [ AB], putem ar ăta

(vectorial!) că  ( )1

2OM OA OB= +

.

Cu identificarea de mai sus, rezultă:

, , .2 2 2

 A B A B A BM M M 

 x x y y z z  x y z 

+ + += = =  

Page 336: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 336/401

Geometrie vectorială 

330  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Test de autoevaluare 3

1. Fie două numere reale a şi b , care nu sunt amândouă nule.Consider ăm punctul ( ),M a b   ∈P .

a) Să se determine valorile lui t  ∈  pentru care vectorii OM  şi( )1u t i t j  = + +

 sunt ortogonali. Discuţie.

b) Să se determine valorile lui t  ∈  pentru care vectorii OM 

şi

( )1u t i t j  = + +

 sunt coliniari. Discuţie

2. Fie ,a b

  doi vectori necoliniari în spaţiu. Să  se arate că  avemechivalenţa:

( ) ( )x x 0a b a sb b ta st  = + + ⇔ =

,unde s şi t  sunt numere reale.

Răspunsurile la acest test se găsesc la pagina 347 a acestei unităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 337: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 337/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 331 

Vom încheia acest paragraf cu prezentarea unor rezultate de geometriecare pot fi tratate cu ajutorul vectorilor.

Introducem întâi raportul de segmente orientate.

Consider ăm trei puncte coliniare distincte A, B, M . Deoarece punctele sunt

coliniare, există un număr unic determinat t cu proprietatea că MA tMB=  

Definiţie.  Fie  A, M, B  puncte coliniare distincte. Numărul unic determinat  t   cuproprietatea că:

MA tMB=

 se notează astfel:

MAt 

MB= .

Numim pe t  raportul segmentelor orientate  MA  şi MB . Mai spunem că M   împarte segmentul orientat  AB în raportul t .

Prin convenţie, dacă  M = A, vom scrie 0MA

MB= (adică  0

 AA

 AB= ).

Observaţii. 1° Dacă M  este între A şi B avem 0MA

MB< .

2° Dacă M  este în afara segmentului[ AB], avem 0MA

MB> .

3° Avem 1

MA

MB ≠  (nu există M  pe dreapta AB astfel încât 1

MA

MB = ).

4° Pentru orice { }\ 1t  ∈ există M AB∈ , astfel încât .MA

t MB

=  

5° Mijlocul M  al lui AB este caracterizat de valoarea 1− : 1MA

MB= − .

Teorema următoare este valabilă atât în plan, cât şi în spaţiu.

Teoremă.  Fie A, B, M  puncte cu M B≠ . Dacă M  împarte pe  AB în raportul t  (adică 

MA t MB

= ), atunci:

Pentru orice punct O avem ( )1

1OM OA tOB

t = −

sau echivalent:

1

1 1

t OM OA OB

t t 

−= +

− −

.

Corolar.  Dacă  M   este mijlocul lui [ AB], atunci, pentru orice punct O, avem

( )1

.2

OM OA OB= +

 

„Trecem în coordonate” rezultatul, cu identificarea lui V cu 2   (sau 3 )despre care am mai vorbit.

Page 338: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 338/401

Geometrie vectorială 

332  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Teoremă.  Fie A, B, M , cu M B≠ . Dacă MA

t MB

= , atunci:

( )1

1M A B x x t x t 

= −−

; ( )1

1M A By y t y  t 

= −−

 

(şi, dacă lucr ăm în spaţiu ( )

1

1M A Bz z t z  t = −− )

Folosind acest rezultat, vom demonstra una din teoremele fundamentaleale geometriei:

Teorema lui Menelaus. Fie un triunghi  ABC   şi trei puncte , , A BC B CA C AB′ ′ ′∈ ∈ ∈ ,diferite de vârfurile triunghiului. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:1) Punctele , , A B C ′ ′ ′ sunt coliniare.

2) Avem relaţia: 1 A B B C C A

 A C B A C B

′ ′ ′⋅ ⋅ =

′ ′ ′.

 Înainte de a trece la demonstraţie, să  vedem care sunt variantele depoziţie oferite de acest enunţ (fig. 3.28).

Fig. 3.28

 În varianta a) avem două  puncte în interiorul laturilor: ( )B AC ′ ∈ ,

( )C AB′ ∈  şi A'  în exteriorul lui [BC ]. Atunci, situaţia în expresia din enunţ 

este:

 A B B C C A

 A C B A C B

′ ′ ′⋅ ⋅ = +

′ ′ ′ 

+ – –

 În varianta b), toate punctele sunt pe prelungirile laturilor. Atunci situaţia înexpresia din enunţ este:

 A B B C C A

 A C B A C B

′ ′ ′⋅ ⋅ = +

′ ′ ′ 

+ + +

Demonstraţia teoremei

Notăm A B

m

 A C 

′=

,B C 

n

B A

′=

,C A

 p

C B

′=

.

Demonstr ăm întâi implicaţia 2) 1)⇒ .

Page 339: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 339/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 333 

 Aşadar, presupunem că mnp = 1 şi vom ar ăta că  , , A B C ′ ′ ′sunt coliniare.

Ideea de demonstraţie constă în a ar ăta că există numerele reale  x, y cuproprietatea că x  + y  = 1 şi astfel încât

BB xBA yBC  ′ ′ ′= +

, (1)

ceea ce va ar ăta că  , , A B C ′ ′ ′  sunt coliniare, folosind o teoremă anterioar ă. Avem:

( )1

1

B C n BB BC nBA

nB A

′′= ⇒ = −

−′

. (2)

Vom exprima pe BC 

 în funcţie de BA′

, iar pe BA

 în funcţie de BC ′

:

BC BA A C  ′ ′= +

. (3)

Dar:1 1 1 A B A C 

m A C A B BA

m m m A C A B

′ ′′ ′ ′= ⇒ = ⇒ = = −

′ ′

  şi (3) devine:

1 11

  mBC BA BA

m m

−⎛ ⎞ ′ ′= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

  (4)

BA BC C A′ ′= +

  (5)

C A p C A pC B pBC 

C B

′′ ′ ′= ⇒ = = −

şi (5) devine:

( )1BA p BC  ′= −

  (6)

Ducem (4) şi (6) în (2):( )

( )( )1 1

1 1

m n pBB BA BC  

m n n

− −′ ′ ′= −

− −

.

Putem lua( )

( )( )1 1

,1 1

m n p x y 

m n n

− −= = −

− −pentru a verifica (1). Într-adevăr:

( )1 1

11 1

m n np m mn mnp m mn x y 

m n n n mn m mn

− − + − − + −+ = + = = =

− − − −,

deoarece mnp = 1. Acum demonstr ăm implicaţia 1) ⇒ 2).

 Aşadar, presupunem că  avem punctele , , A B C ′ ′ ′ ca în enunţ, care suntcoliniare. Vrem să ar ătăm că de aici rezultă mnp = 1.

 Anume, vom presupune că  există  , , A BC B CA C AB′ ′ ′∈ ∈ ∈   ca în enunţ,care sunt coliniare şi pentru care 1mnp ≠ .

Notăm1

qmn

= , deci q p≠ . Construim unicul punct Q AB∈   astfel

 încât QA qQB

= . Rezultă că Q C ′≠ .

Page 340: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 340/401

Geometrie vectorială 

334  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Deoarece 1mnq = , cu implicaţia deja demonstrată  2) 1)⇒  rezultă că  ' A ,'B , Q sunt coliniare. Deci intersecţia lui  A B′ ′ cu AB este Q. Ipoteza spune

 însă că intersecţia lui  A B′ ′ cu AB este C ′ , deci C Q′ = , contradicţie.

Comentarii.  1°. Teorema lui Menelaus se mai numeşte şi „teorema transversalei”,deoarece o dreaptă  care taie laturile triunghiului (cum este ' ' ' A B C  ) se

mai numeşte şi transversală.2°. Am demonstrat o condiţie necesar ă  şi suficientă  de coliniaritate,exprimată printr-o soluţie calculatorie.

Cu teorema lui Menelaus putem demonstra o altă teoremă fundamentală ageometriei.

Teorema lui Ceva.  Fie un triunghi  ABC   şi , , A BC B CA C AB′ ′ ′∈ ∈ ∈   puncte diferite devârfurile triunghiului.Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) Dreptele , , AA BB CC ′ ′ ′  sunt concurente sau paralele.

2) Avem relaţia:

1 A B B C C A

 A C B A C B

′ ′ ′⋅ ⋅ = −

′ ′ ′ 

Comentarii.  1°. O dreaptă care nu este latur ă şi uneşte un vârf al unui triunghi cu unpunct de pe latura opusă  se numeşte (în onoarea lui G. Ceva) ceviană.Teorema lui Ceva (sau teorema cevienelor) prezintă condiţii necesare şisuficiente calculatorii pentru concurenţa sau paralelismul a trei ceviene dincele trei vârfuri.

2°. Poziţiile posibile ale configuraţiei din teorema lui Ceva sunt prezentate

 în fig. 3.29.

Fig. 3.29

 Anume, în fig. 3.29 a) şi 3.29 b) avem cele două  cazuri de concurenţă posibile: punctul de concurenţă  M   este în interiorul triunghiului (3.29 a),toate rapoartele din enunţ  sunt negative) sau punctul de concurenţă  M  este în exteriorul triunghiului (3.29 b), două  rapoarte pozitive, unulnegativ).

 În fig. 3.29 c) apare situaţia de paralelism.

3°. Enunţuri greşite (din motive de superficialitate) care nu iau înconsiderare şi cazul de paralelism, apar adesea în diverse manuale sau

căr ţi.De exemplu, în fig. 3.30, triunghiul ABC  este echilateral. Ceviana AA'  este înălţime, deci A'  este mijlocul lui BC :

Page 341: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 341/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 335 

1 A B

m A C 

′= = −

′.

Celelalte două ceviene BB'  şi CC' , paralele cu AA'  (deci perpendiculare peBC ), formează dreptunghiul BCC'B'  şi avem

12, 2

B C C An p C BB A

′ ′= = = =′′ ; deci mnp = -1.

Fig. 3.30

4° Remarcaţi asemănarea perfectă  a enunţurilor între teoremele luiMenelaus şi Ceva.

3.4. Numerele complexe privite din punct de vedere geometric (analiticşi vectorial)

3.4.1. Reprezentarea geometrică a numerelor complexe Amintim că numerele reale se pot reprezenta prin punctele unei axe.

Mai precis, fie d  o axă  pe care fixăm o origine O şi o unitate de măsur ă.Dacă asociem fiecărui punct al dreptei d  abscisa sa, se obţine o funcţiebijectivă de la punctele acestei drepte în mulţimea numerelor reale.

Un număr complex = + iz a b  este determinat prin două numere reale a şib. De aceea este natural să  reprezentăm geometric numerele complexeprin punctele unui plan.

Fie, pentru aceasta, un plan P   în care ne fixăm un sistem de axe

ortogonale  xOy . Fiecărui număr complex = + iz a b   i se asociază punctulM  de coordonate (a, b) (fig. 3.31)

Fig. 3.31 Fig. 3.32

Punctul M   se numeşte imaginea geometrică  a numărului complex + ia b , iar numărul + ia b se numeşte afixul punctului M . Din teorema lui

Pitagora, aplicată în triunghiul dreptunghic OMM'  se deduce că:

Page 342: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 342/401

Geometrie vectorială 

336  Proiectul pentru Învăţământ Rural

= + = + =2 2 2 2' ' | |OM OM MM a b x  .

 Această  egalitate ne arată  că  lungimea segmentului OM   este modululnumărului complex = + iz a b .

Exemple.  Numerelor complexe +1 3i , − +1 i , = +2i 0 2i , = +3 3 0i   li se asociază respectiv punctele

1

(1,3)M  , −2

( 1,1)M  ,3

(0,2)M  ,4

(3,0)M  , (fig. 3.32}.

 Avem = +1 |1 3i|= 10OM  ,   = − +2 | 1 i|= 2OM  , =3 | 2i|=2OM  , =4 | 3|=3OM  .

 Asocierea = + →i ( , )z a b M a b   este o funcţie bijectivă  de la mulţimeanumerelor complexe la punctele planului P  . Prin această funcţie, mulţimiinumerelor reale îi corespunde axa Ox , iar mulţimii numerelor imaginare îicorespunde axa Oy '. De aceea, axa Ox  se numeşte axa reală, iar axa Oy  axa imaginar ă. Planul ale cărui puncte se identifică  cu numerelecomplexe prin funcţia bijectivă  definită  mai înainte se numeşte planulcomplex.

3.4.2. Interpretarea geometrică  (vectorială) a adunării şi scăderiinumerelor complexe

Numerele complexe au şi o altă  interpretare geometrică. Să  asociemfiecărui punct M   al planului P   vectorul

OM   care are originea în O  şi

capătul în punctul M . Această asociere este evident o funcţie bijectivă dela mulţimea numerelor complexe în mulţimea vectorilor care au originea înO(0,0). Astfel, fiecare număr complex + ia b  poate fi reprezentat geometric

ca vectorulOM , unde M  are coordonatele (a, b). Se spune că (a, b) sunt

coordonatele vectoruluiOM  .

Reprezentarea numerelor complexe cu ajutorul vectorilor ne dă o interpre-tare simplă a adunării numerelor complexe:

( i) ( ' ' i) ( ')( ')ia b a b a a b b+ + + = + + .

Este cunoscut că la adunarea vectorilor coordonatele corespunzătoare lor

se adună. De aceea, dacă vectorulOM  (fig. 3.33) are coordonatele (a, b),

iar vectorul

'OM   are coordonatele ( ', ')a b , atunci vectorulOS   (S  fiind al

patrulea vârf al paralelogramului care are celelalte trei vârfuri respectiv M ,O  şi 'M  ) are coordonatele (a  + a', b  + b), Acest vector corespunde

numărului complex ( ') ( ')ia a b b+ + + care este suma  dintre + ia b   şi+' ' ia b ..

Fig. 3.33 Fig. 3.34Exemplu.  Fie numerele complexe = +1 3 2iz   şi = +2 1 3iz  , reprezentate în plan prin

Page 343: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 343/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 337 

vectorii

1OM    şi

2OM  , unde: 1(3,2)M  , 2(1,3)M    (fig. 3. 34). Atunci suma

= + = + + + = +3 1 2 (3 2i) (1 3i) 4 5iz z z   este reprezentată în plan prin vectorul

3OM  , unde 3M   este punctul de coordonate (4, 5).

Observăm, de asemenea, că  opusul numărului + ia b , care este − − ia b  

este reprezentat prin vectorul

1OM  , unde 1M    este simetricul punctului( , )M a b   faţă  de origine (fig. 3.35 ). Astfel se deduce uşor, interpretarea

geometrică a scăderii a două numere complexe.

Fig. 3.35

Cum ' ' ( )z z z z  − = + − , având în vedere interpretarea geometrică a adunăriinumerelor complexe, rezultă  că  D  are coordonatele − −( , ' )a a b b   şi

vectorulOD   corespunde diferenţei ' ( ' ) ( ' )iz z a a b b− = − − − . Avem

=| |OM z  , =' | ' |OM z  , = +| ' |OS z z  .

Relaţiile dintre laturi în triunghiurile OMS şi OMM'  dau respectiv:

− ≤ ≤ +MS OM OS MS OM  ,

' ' 'OM OM MM OM OM  − ≤ ≤ + .

Dar cum = 'MS OM   şi ='MM OD , rezultă:

− ≤ + ≤ +| ' | | | | ' | | ' | | |z z z z z z  ,

− ≤ − ≤ +| ' | | | | ' | | ' | | |z z z z z z  .

3.4.3. Forma, trigonometrică. a unui număr complex

A. Noţiuni fundamentale

Fie = + iz a b un număr complex nenul. Am văzut că dacă P   este un plan în care s-a fixat un sistem de axe ortogonale xOy , numărului complex z   ise asociază  un punct M   (diferit de origine) având coordonatele (a, b).

Numărul complex z  poate fi reprezentat geometric prin vectorulOM  unde

M  are coordonatele (a, b).

Modulul numărului complex = + iz a b este lungimea segmentului (razeivectoare) care uneşte originea O(0,0) cu punctul M (a, b). Măsuraunghiului format de raza vectoare cu semiaxa pozitiva a axei absciselor

(valoare ce apar ţine intervalului π[0,2 ) ) se numeşte argumentul redus 0t   al numărului z şi se notează cu argz (fig. 3.35)

Page 344: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 344/401

Geometrie vectorială 

338  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Fig. 3.35

Sensul pozitiv de măsurare a argumentului unui număr complex este de lasemiaxa pozitiva Ox  a absciselor la semiaxa pozitivă Oy  a ordonatelor, însens invers acelor de ceasornic.

Observaţie. Pentru numărul complex 0 argumentul redus nu este definit, neavând nicio semnificaţie.

Dacă  = + iz a b este un număr complex nenul (   + ≠2 2

0a b ), componentelesale a şi b sunt proiecţiile vectorului

OM   (ţinându-se cont de semn) pe

axele de coordonate. Dacă  0t    este argumentul redus al numărului

complex nenul = + iz a b , iar = +2 2r a b este modulul său, atunci dindefiniţia sinusului şi a cosinusului unui unghi, rezultă formulele:

= 0cosa r t  , = 0sinb r t    (1)

Prin urmare, fiind dat un număr complex nenul = + iz a b , argumentulredus al său se obţine din relaţiile:

=cos   at r 

, =sin   bt r 

  (2)

unde = +2 2r a b .

Deoarece există  un număr unic ∈ π[0,2 )t    care satisface relaţiile (2),rezultă că modulul şi argumentul redus ale unui număr nenul z sunt unicdeterminate. Dacă  ≠ 0a , argumentul redus al numărului = + iz a b   se

poate determina şi din formula =tg  b

t a

.

 Înlocuind componentele numărului complex nenul = + iz a b prin expresiile

lor date de formulele (1), obţinem:

= +0 0(cos isin )z r t t  , = +2 2r a b , ∈ π0 [0,2 )t    (3)

Formula (3) se numeşte forma trigonometrica redusă  a număruluicomplex nenul z . Argumentul redus nu este singurul număr real careverifica relaţiile (3).

Orice număr real t , care verifica condiţiile = a

t r 

, =sin  b

t r 

, unde

= +2 2r a b  se numeşte argument al numărului complex nenul = + iz a b .

Dacă t  este un argument al numărului complex ≠ 0z  , atunci:

= +(cos isin )z r t t  , = +2 2r a b   (4)

Page 345: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 345/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 339 

Formula (4) se numeşte forma trigonometrică  a numărului complex nenul z .Dacă z  este un număr complex nenul şi =0 argt z este argumentul redus,

atunci din relaţiile (2) rezultă că t  este un argument al lui z  dacă şi numaidacă  = + π0 2t t k  , ∈ k  .

Observaţie.  Dac

ă  = 0z  , modulul este egal cu 0

şi pentru argumentul s

ău poate fi luat

orice număr real. În final, yom da interpretarea geometrică  a numerelor complexeconjugate.Fie numărul complex nenul = + iz a b , ≠ 0b , iar = − iz a b conjugatul său.Este clar că  = =| | | |z z r , iar dacă  =0 argt z , atunci = π − 0arg 2z t  (fig. 3.37).

Fig. 3.37

 Într-adevăr:

0 0 0 0(cos isin ) (cos(2 ) isin(2 ))z r t t r t t  = − = π − + π − ,

unde π − ∈ π02 (0, 2 )t  .

Exemple.  1. Să se scrie sub formă trigonometrică redusă numărul complex = +1 iz  .

R:  Dacă  = +0 0(cos isin )z r t t  , atunci = = + =| | 1 1 2r z  , iar 0

1cos =

2t  ,

=0

1sin

2t  , de unde

π=0 4

t  . Deciπ π⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 cos isin4 4

z  .

2. Să se scrie sub forma trigonometrică redusă numărul complex = −2iz  .

R:  Dacă  = +0 0(cos isin )z r t t  , atunci = = + =| | 0 4 2r z  . Imagineanumărului = −2iz    se găseşte pe semiaxa negativă  a axei ordonatelor,

deciπ

0

3=arg z=

2t  . Deci

π π⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 32 cos isin

2 2z  .

3.  Să  se scrie sub formă  trigonometrică  redusă  numărul complex= − α + α1 cos isinz  , unde α ∈ π(0,2 ) .

R: Avemα α

= = − α + α = − α = =2 2 2| | (1 cos ) sin 2(1 cos ) 4sin 2 sin2 2

r z  .

Cumα

∈ π(0, )2 , avemα

>sin 02  şi deciα

=2sin 2r  . Acum:

Page 346: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 346/401

Geometrie vectorială 

340  Proiectul pentru Învăţământ Rural

22sin i2sin cos 2sin sin icos2 2 2 2 2 2

2sin cos isin ,2 2 2 2 2

z   α α α α α α⎛ ⎞

= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞α π α π α⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

 

şi deci z  se scrie sub form

ă trigonometric

ă:

2sin cos isin2 2 2

z   α π − α π − α⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Să scriem pe z  sub formă trigonometrică redusă.

Distingem cazurile:

1° Dacă  (0, ]α ∈ π , atunci 02 2 2

π α π≤ − < ,

π − α=arg

2z   şi deci

2sin cos isin

2 2 2

z   α π − α π − α⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2° Dacă  α ∈ π π( ,2 ) , atunci3

2 22 2

π π − α< + π < π , adică  arg 2

2z 

  π − α= + π  

şi deci5 5

2sin cos isin2 2 2

z   α π − α π − α⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

B. Utilizarea formei trigonometrice a numerelor complexe la înmulţire, împăr ţire şi extragerea r ădăcinii de ordin n.

 Înmulţirea

Fie 1z  şi 2z  două numere complexe scrise sub forma trigonometrică:

= +1 1 1 1(cos isin )z r t t  , = +2 1 2 2(cos isin )z r t t  .

 Înmulţind aceste numere avem:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

[(cos cos sin sin ) i(sin cos cos sin )]

[cos( ) isin( )] .

z z r r t t t t t t t t  

r r t t t t  

= − + + =

= + + + 

Deci:

= + + +1 2 1 2 1 2 1 2[cos( ) isin( )] .z z r r t t t t     (1)

Generalizare

Să generalizăm formula care dă produsul a două numere complexe. Mai

precis, dacă  ≥ 2n  este un număr natural oarecare, iar:

= +1 1 1 1(cos isin )z r t t  , = +2 2 2 2(cos isin )z r t t  , ..., = +(cos isin )n n n nz r t t   

sunt numere complexe, atunci:

= + + + + + + +… … … …1 2 1 2 1 2 1 2[cos( ) isin( )] .n n n n

z z z r r r t t t t t t     (2)

Exemplu.  Să  se calculeze modulul şi argumentul redus al produsului numerelor

complexe = +1 3 iz   şi = −2 1 iz  .

Page 347: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 347/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 341 

R: Avemπ π⎛ ⎞

= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

1 3 i 2 cos isin6 6

z  ,π π⎛ ⎞

= − = +⎜ ⎟⎝ ⎠

2

7 71 i 2 cos isin

4 4z   şi

( )( )  ⎡ ⎤π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − = + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

π π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2

7 73 i 1 i 2 2 cos isin

6 4 6 4

23 232 2 cos isin .12 12

z z 

 

 Avem =1 2 2 2z z   şiπ

=1 2

23arg

12z z   

π⎛ ⎞< < π⎜ ⎟⎝ ⎠

230 2

12.

Inversul unui număr complex nenul scris sub formă trigonometrică.

Câtul a două numere complexe

Fie = +(cos isin )z r t t  , ≠ 0z  , un număr complex nenul. Inversul său este

− = =

+

1 1 1

(cos isin )

z r t t  

 şi amplificând cu −cos isint t obţinem:

− = = − = − + −1 1 1 1(cos isin ) (cos( ) isin( ))z t t t t  

z r r .

Fie acum = +1 1 1 1(cos isin )z r t t    şi = +2 2 2 2(cos isin )z r t t  , ≠2 0z  , două 

numere complexe. Ţinând cont de cele de mai înainte, rezultă că:

1 1 11 2 1 2 1 2

2 2

[cos( ) isin( )]z r 

z z t t t t  z r 

− = = − + − .

Ridicarea la putere a unui număr complex

Fie = +(cos isin )z r t t    un număr complex şi n un număr natural nenul.

Folosind formula (2) în cazul = = = =…1 2   nz z z z  , obţinem

( )⎡ ⎤

= ⋅ ⋅ ⋅ + + + + + + + = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

… … …   cos( ) isin( ) cos isinn n

de n ori    de n ori de n ori  

z r r r t t t t t t r nt nt  .

 În particular, pentru r = 1, obţinem formula lui Moivre:

( )+ = +cos isin cos isinn

t t nt nt  .

Formula lui Moivre este adevărată şi pentru numere întregi negative. Într-adevăr, dacă  0n <  este un număr întreg, atunci − > 0n  este numărnatural şi avem:

( )( )

−+ = = = =− + − −+

+= = +

+2 2

1 1 1cos isin

cos( ) isin( ) cos isincos isin

cos isincos isin .

cos isin

n

nt t 

nt nt nt nt  t t 

nt nt  nt nt  

nt nt  

 

Deci formula lui Moivre este adevărată pentru orice număr întreg nenul.

Exemple.  Să  se calculeze cos3t , sin3t  şi tg3t  în funcţie de cos t , sint  şi respectivtgt .

Page 348: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 348/401

Geometrie vectorială 

342  Proiectul pentru Învăţământ Rural

R: Conform formulei lui Moivre, avem ( )+ = +3

cos3 isin3 cos isint t t t  , de

unde, ridicând în membrul drept la puterea a treia, obţinem:

+ = − + −3 2 2 3cos3 isin3 cos 3cos sin i(3cos sin sin )t t t t t t t t  .

Egalând păr ţile reale şi cele imaginare din ambii membri, rezultă:

= − = −3 2 3

cos3 cos 3cos sin 4cos 3cost t t t t t   şi

= − = −2 3 3sin3 3cos sin sin 3sin 4sint t t t t t  .

 Atunci−

=−

2 3

3 2

3cos sin intg3

cos 3cos sin

t t s t  t 

t t t   şi, împăr ţind număr ătorul şi numitorul

prin 3cos   t , deducem:

−=

3

2

3tg tgtg3

1 3tg

t t t 

t .

Este clar că  în acest mod putem scrie funcţiile trigonometrice alemultiplului unui argument ca expresii în care intervin doar funcţiitrigonometrice ale argumentului iniţial.

Rădăcina de ordinul n dintr-un număr complex

Definiţie. Fie z  un număr complex şi ≥ 2n un număr natural. Se numeşte . r ădăcinade ordinul n a lui z orice număr complex u cu proprietatea =nu z .

Cu alte cuvinte, u este r ădăcină a ecuaţiei =nu z .

Observăm că dacă  = 0z  , atunci numărul 0 este singura r ădăcină de ordin

n a lui 0.De aceea, în continuare vom considera cazul ≠ 0z  . Pentru aflarear ădăcinilor din numere complexe nenule, folosim forma trigonometrică  aacestora.

Teoremă.  Fie = +(cos isin )z r t t   un număr complex nenul şi ≥ 2n un număr natural.Există exact n r ădăcini distincte de ordinul n ale lui z , date de formula:

+ π + π⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2cos isinn

t k t k  z r 

n n, ∈ −…(0,1,2, , 1)k n .

3.4.4. Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie În acest paragraf vom prezenta câteva probleme şi teoreme din geometriecare ilustrează  relaţiile de reciprocitate dintre numerele complexe şigeometria plană. Mai precis, cu ajutorul numerelor complexe, vom ar ătacum putem demonstra simplu anumite teoreme din geometrie. Vom vedeacă numerele complexe ofer ă un nou punct de vedere asupra geometrieiplane şi totodată ne permit să înţelegem mai adânc natura lor.

Probleme rezolvate.

1. Să  se arate c

ă  dac

ă punctele

1M   

şi

2M   au afixele

1z  

şi respectiv

2z   

atunci mijlocul M al segmentului 1 2M M   are afixul 1 2

2

z z z 

  += .

Page 349: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 349/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 343 

R:  Într-adevăr, dacă  1 1 1iz x y = +   şi 2 2 2iz x y = +   atunci coordonatele lui

1M   şi 2M  sunt respectiv 1 1( , ) x y   şi 2 2( , ) x y   şi deci afixul punctului M este:

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2( i ) ( i )i

2 2 2 2

 x x y y x y x y z z z 

  + + + + + += + = = .

Definiţie.  Dacă  punctele 1M  , 2M  , 3M  , 4M    sunt coliniare şi segmentele 1 3M M    şi

2 4M M    au acelaşi mijloc, atunci spunem că  1 2 3 4M M M M  este un

paralelogram degenerat (fig. 3.38). Dacă  punctele 1M  , 2M  , 3M  , 4M  nu

sunt coliniare şi segmentele 1 3M M    şi 2 4M M    nu au acelaşi mijloc, atunci

spunem că  1 2 3 4M M M M  este un paralelogram propriu (fig. 3.39).

Fig. 3.38 Fig. 3.39

2.  Să  se demonstreze că  imaginile numerelor complexe 1z , 2z  , 3z  , 4z   

sunt vârfuri ale unui paralelogram 1 2 3 4M M M M  (propriu sau degenerat),

dacă şi numai dacă:

1 3 2 4z z z z  + = + . (1)

R. Presupunem că  1 2 3 4M M M M  este un paralelogram. Atunci segmentele

1 3M M   şi 2 4M M   au acelaşi mijloc. Afixelek 

z  , 1, 2, 3, 4k  =  ale punctelork 

M   

şi 2M   verifică relaţia 1 3 2 4

2 2

z z    z z +   += , deci avem relaţia (1).

Reciproc, din relaţia (1) deducem că  segmentele  1 3M M    şi 2 4M M    au

acelaşi mijloc. Dacă punctelek 

M   sunt coliniare, atunci 1 2 3 4M M M M   este

un paralelogram degenerat, iar dacă nu sunt coliniare, atunci 1 2 3 4M M M M   este un paralelogram propriu.

3. Teorema lui Pompeiu. Se consider ă triunghiul echilateral ABC   şi M  unpunct din plan. Atunci, cu segmentele MA, MB şi MC  se poate forma unnou triunghi, eventual degenerat.

Demonstraţ ie. Fie 1z , 2z  , 3z  , z afixele punctelor A, B, C  şi M , Se verifică uşor că pentru orice numere complexe 1z , 2z  , 3z  , z  are loc identitatea:

1 2 3 2 3 1 3 1 2( )( ) ( )( ) ( )( ) 0z z z z z z z z z z z z  − − + − − + − − =   (2)

Identitatea (2) poate fi interpretată spunând că vectorii corespunzătorinumerelor complexe:

Page 350: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 350/401

Geometrie vectorială 

344  Proiectul pentru Învăţământ Rural

1 2 3( )( )z z z z  − − , 2 3 1( )( )z z z z  − −  şi 3 1 2( )( )z z z z  − −  

formează un contur închis. Relaţia (2) se mai scrie:

1 2 3 2 3 1 3 1 2( )( ) ( )( ) ( )( )z z z z z z z z z z z z  − − − = − − + − −  

şi aplicând modulul, rezultă că:

1 2 3 2 3 1 3 1 2| | | | | | | | | | | |z z z z z z z z z z z z  − ⋅ − ≤ − ⋅ − + − ⋅ −   (3)

Ţinând seama că  distanţa dintre două  puncte este modulul diferenţeiafixelor lor, inegalitatea (3) ne spune că  dacă  A, B, C   şi M   sunt punctearbitrare în plan, atunci avem relaţia:

 AM BC BM CA CM AB⋅ ≤ ⋅ + ⋅ . (4)

Relaţia (4) se numeşte inegalitatea lui Ptolemeu.

Inegalitatea (4) şi alte două  inegalităţi analoage ne arată  că  putem

construi un triunghi ale cărui laturi au lungimile propor ţionale cu produsele AM BC ⋅   , BM CA⋅ , CM AB⋅ . 

 În cazul nostru,  ABC este un triunghi echilateral, ceea ce înseamnă  că  AB BC CA= =   şi atunci inegalitatea (4) devine:

 AM BM CM ≤ + . (5)

Inegalitatea (5) împreună  cu alte două  inegalităţi analoage ne arată  că  AM , BM, CM sunt laturile unui triunghi.

4. Teorema lui Ţiţeica („Problema piesei de cinci lei”). Trei cercuri

congruente 1( , )O r C  , 2( , )O r C  , 3( , )O r C    au un punct comun O  şi se maiintersectează  două  câte două  în punctele  A, B, C . Cercul circumscristriunghiului ABC este congruent cu cercurile date.

Demonstraţ ie. Se consider ă un reper cartezian având ca origine punctul O 

comun celor trei cercuri date şi fie 1z , 2z  , 3z  afixele punctelor 1O , 2O , 3O  

(fig. 3.40). Rezultă că punctele A, B, C au respectiv afixele 2 3z z + , 1 3z z +  

şi 1 2z z + . Deci: 1 3 2 3 1 2 1 2| ( ) ( ) | | | AB z z z z z z OO= + − + = − = . Analog se obţine

2 3BC O O=   şi 1 3 AC OO= .

Fig. 3.40

Page 351: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 351/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 345 

Prin urmare, triunghiurile ABC şi 1 2 3OO O  sunt congruente, deci şi cercurile

circumscrise lor sunt congruente. Dar centrul cercului circumscris

triunghiului 1 2 3OO O   este punctul O, deoarece 1 2 3OO OO OO r  = = =   şi

acest cerc are raza egală cu r .

Observaţie.  Notăm cu

1 2 3

z z z ω = + +   şi fie Q punctul al cărui afix este numărul complexω .Ţinând seama că  1 2 3| | | | | |z z z r  = = = , putem ar ăta că  Q este centrulcercului circumscris triunghiului ABC  şi că acest cerc are raza r .

 Într-adevăr, avem 2 3 1| ( ) | | |QA z z z r  = ω − + = = , 1 3 2| ( ) | | |QB z z z r  = ω − + = = ,

1 2 3| ( ) | | |QC z z z r  = ω − + = = , ceea ce înseamnă că A, B, C sunt situate pecercul de ecuaţie | |z r − ω = .

Test de autoevaluare 4

1.  Fie a un număr real nenul. Să  se scrie sub formă  trigonometrică numărul z  = a + ai.

2. Fie 1 2 3, , A A A  puncte distincte în plan, de afixe 1 2 3, ,z z z  . Să se arate că 

punctele 1 2 3, , A A A  sunt coliniare dacă şi numai dacă  2 1

3 1

z z 

z z 

−−

 este număr

complex.

Răspunsurile la acest test se găsesc la pagina 348 a acestei unităţi de învăţare.

Răspunsurile

la test se vorda în spaţiulliber dinchenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 352: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 352/401

Geometrie vectorială 

346  Proiectul pentru Învăţământ Rural

3.5. Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare

Test 1.

1.

Deoarece  AM BU =

, deducem că MA BU 

∼ , deci (v. fig.) BU AM MN  = . Analog, BV AN MN  = .

Prin punctul B putem duce o singur ă paralelă la MN , deci U  şi V  se află peaceastă paralelă.

2.

(i) ⇒ (ii)Evident, A, M, B sunt coliniare şi  AM MB= .

 În plus, [MB AB⎡   ⊂⎣ , deci  AM  şi MB au acelaşi sens. Rezultă  AM MB∼ .

(ii) Din  AM MB=

rezultă  că   AM MB= . Dreptele suport  AM   şi MB  au

aceeaşi direcţie şi punctul M comun, deci trebuie să coincidă, adică  A, M,

B sunt coliniare. Cum  A B≠   şi  AM MB= , rezultă că M  este între A şi B,

deci este mijlocul lui [ AB].

Test 2.

1. a) Avem succesiv

 AA AB BA AB A C AB AC AA′ ′ ′ ′= + = + = + − ⇒

2 AA AA AA AB AC ′ ′ ′⇒ + = = +

.

b) Întâi observăm că  , , AA BB CC ′ ′ ′

  sunt, două  câte două, concurente încentrul de greutate al lui ABC . Prin urmare, două câte două nu au aceeaşidirecţie.

Cu a) avem:

( ) ( ) ( )1 1 1

2 2 2 AA BB CC AB AC BC BA CA CB′ ′ ′+ + = + + + + + =

( )   ( )1 1

0 0 0 02 2

 AB BA AC CA BC CB= + + + + + = + + =  

 

şi aplicăm un rezultat precedent.

2. a) ( )MA BC MA MC MB MA MC MA MB⋅ = ⋅ − = ⋅ − ⋅

.

 Adunând , prin permutări circulare, găsim:

0MA MC MA MB MB MA MB MC MC MB MC MA⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =   ,

folosind comutativitatea.

Page 353: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 353/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 347 

b) Să notăm cu H  punctul de intersecţie al înălţimilor din B şi C .

Deci ,HB AC HC AB⊥ ⊥ .

 Aplicăm relaţia lui Euler pentru H, A, B, C :

0HA BC HB CA HC AB⋅ + ⋅ + ⋅ =  

.

Deoarece HB AC  ⊥ , rezultă  0HB CA⋅ =  

 şi, la fel, 0HC AB⋅ =  

.

Rămâne 0HA BC ⋅ =  

, adică HA BC  ⊥

, adică  AH  este înălţimea din A .

Test 3.

1. a) Avem OM ai bj  = +  

.

Condiţia OM u⊥  

revine la 0OM u⋅ =  

 adică :

( ) ( )1 0 0at b t a b t b+ + = ⇔ + + = .

Dacă  0a b+ ≠ , obţinem soluţia bt a b

= −+

.

Dacă a+b = 0, ar trebui să avem b = 0, deci a = 0, ceea ce nu este posibil.

Problema are soluţie dacă şi numai dacă  0a b+ ≠ . În acest caz, soluţia

esteb

t a b

= −+

.

b) Vectorii OM 

şi u

 sunt coliniari dacă şi numai dacă există două numere

reale x, y  care nu sunt amândouă nule, astfel încât 0 x OM y u⋅ + ⋅ =  

.

 Adică:

( )   ( )( )1 0 0 x ai bj y ti t j ax ty + + + + = ⇔ + =

şi ( )1 0bx t y  + + = .

 Avem un sistem omogen în x şi y, care admite şi soluţie nebanală 

⇔   ( )0 0 01

a t a at bt a b t a

b t = ⇔ + − = ⇔ − + =

+.

Dacă  0a b− ≠ , avem relaţiaa a

t a b b a

= − =− −

.

Dacă  0a b− = , trebuie să avem a = 0, deci b = 0, ceea ce nu este posibil.

Problema are soluţie dacă şi numai dacă  0a b− ≠ . În acest caz, soluţia

estea

t b a

=−

.

2. ( ) ( )a sb b ta a b sb b ta a stb a a b sta b+ × + = × + × + × + × = × − × =

 

( )1   st a b= − × 

. Deoarece aşi b

nu sunt coliniari, nici unul nu este nul şi

0a b× ≠

.

 Atunci condiţia de mai sus se mai scrie:

( ) ( )1 1 1 0 0 0a b st a b st a b sta b st  × = − × ⇔ − − × = ⇔ × = ⇔ =

.

Page 354: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 354/401

Geometrie vectorială 

348  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Test 4.

1. ( )1z a ai a i  = + = + .

Dar 2 21 1 1 2i + = + = , deci :

2 21 2 2 cos sin2 2 4 4i i i ⎛ ⎞

  π π⎛ ⎞+ = + = +⎜ ⎟   ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠.

Prin urmare 2 cos sin4 4

z a i π π⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2.  Identificăm punctele p A   de afixe , 1, 2, 3 p p pz x iy p= + = cu punctele

( ), p p p A x y   din planul cartezian.

 Avem proprietatea următoare: punctele 1 2 3, , A A A   sunt coliniare dacă  şi

numai dacă există un număr real t cu proprietatea că:

( )2 3 11 x tx t x = + −  

( )2 3 11 x ty t y = + −  

Condiţia din enunţ se scrie:

2 1

3 1

existăz z 

t z z 

−∈ ⇔ ∈

−   cu proprietatea că  2 1

3 1

z z t 

z z 

−= ⇔

−există  t  ∈  cu

proprietatea ( )2 1 3 1z z t z z  − = − ⇔ există  t  ∈  cu proprietatea:

2 2 1 1 3 3 1 1 x iy x iy tx ity tx ity + − − = + − − ⇔ există  t  ∈  cu proprietatea că, simultan:

( )2 3 11 x tx t x = + −   şi ( )2 3 11y ty t y  = + − ⇔   ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3, , , , , A x y A x y A x y   

sunt coliniare.

4.6. Lucrare de verificare pentru studenţiIndicaţii de redactare. Problemele se vor rezolva în ordinea din textul enunţului.

Rezolvările se vor expedia pe adresa tutorelui.

1 punct din oficiu

1,5p. 1. Se consider ă punctele distincte A şi B şi fie M  mijlocul segmentului [ AB].Fie punctele N, P  cu proprietatea că  AN PB=

.

Să se arate că punctele M, N, P  sunt coliniare

1,5p  2. Fie ABCD şi  A B C D′ ′ ′ ′ două pătrate care au acelaşi centru.

Să se arate că  0 AA BB CC DD′ ′ ′ ′+ + + =  

.

1,5p  3. Se consider ă vectorii 2 3u i j = +

 , ( )1v ti t j  = + −

 unde t  ∈ .

a) Să se arate că  0v  ≠   .

Page 355: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 355/401

Geometrie vectorială 

Proiectul pentru Învăţământ Rural 349 

b) Să se calculeze ,u v 

şi cosθ , unde θ  este măsura unghiului vectorilor

uşi v 

.

c) Să se determine valorile lui t  pentru care uşi v 

sunt coliniari.

d) Să se determine valorile lui t  pentru care uşi v 

sunt ortogonali.

e) Pentru valorile găsite la d), să  se descompună  vectorul 5 5i j +

după uşi v 

.

1,5p  4.  a) Să  se calculeze produsul vectorial u v× , unde u i j k  = + +

şi

2v i j k  = − +

 

b) Să  se calculeze volumul paralelipipedului construit pe vectorii, ,u v w 

, unde u

,v 

sunt cei de la punctul a), iar w i j = +

.

1,5p  5. Să se demonstreze următorul rezultat (numit relaţia lui Stewart)

Fie A, M, B trei puncte coliniare distincte, [ ]M AB∈ . Fie şi O un alt punct. Atunci:2 2 2OA MB OB MA OM AB MA MB AB⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ .

1,5p 6. Se consider ă în plan punctele distincte 1 2 3, , A A A  de afixe 1 2 3, ,z z z  astfel

 încât 1 2 3 0z z z = = > . Să  se arate că  1 2 3 A A A este triunghi echilateral

dacă şi numai dacă  1 2 3 0z z z + + =  .

3.7. Bibliografie

[1.] N.N. Mihăileanu, Utilizarea numerelor complexe în geometrie, EdituraTehnică, Bucureşti, 1968.

[2.] E. Murgulescu, S. Flexi, O. Kreindler, O. Sacter, M. Tîrnoveanu.Geometrie analitic ă şi diferenţ ial ă (ed. II, revizuită şi completată). Ed. Did.Ped., Bucureşti, 1965.

[3.] C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Chiţescu, D. Mihalca. Matematic ă. Trunchicomun şi curriculum diferenţ iat. Manual pentru clasa a IX-a. Ed. Did. Ped.,Bucureşti, 2004.

[4.] C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Chiţescu, D. Mihalca, M. Dumitrescu.Matematic ă. Trunchi comun şi curriculum diferenţ iat . Manual pentru clasaa X-a. Ed. Did. Ped., Bucureşti, 2005.

Page 356: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 356/401

Elemente de trigonometrie

350  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Unitatea de învăţare 4

ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE

Cuprins

Obiectivele Unităţii de învăţare 4 .............................................................................. 350

4.1. Definirea funcţiilor trigonometrice. Calcule cu funcţii trigonometrice ................... 351

4.2. Variaţia funcţiilor sinus, cosinus, tangentă şi reprezentarea lor grafică ............... 367

4.3. Funcţii trigonometrice inverse ............................................................................. 370

4.4. Ecuaţii trigonometrice........................................................................................... 375

4.5. Rezolvarea triunghiurilor ...................................................................................... 385

4.6. Comentarii şi r ăspunsuri la testele de autoevaluare ............................................ 391

4.7. Lucrare de verificare pentru studenţi.................................................................... 394

4.8. Bibliografie ........................................................................................................... 395

Obiectivele Unităţii de învăţare 4

După ce veţi parcurge această unitate de învăţare, veţi putea să  faceţiurmătoarele operaţii matematice:

  Identificarea poziţiei pe cercul trigonometric şi a valorilor funcţiilortrigonometrice pentru un num

ăr dat.

  Reducerea la primul cadran.

  Identificarea datelor numerice care caracterizează un triunghi şia modului de calcul al datelor care lipsesc.

  Utilizarea formulelor trigonometrice şi a celor de geometriemetrică  pentru calculul lungimilor şi al măsur ărilor de unghiuri,precum şi pentru rezolvarea de ecuaţii.

  Reprezentarea mulţimii soluţiilor unor ecuaţii trigonometricefolosind funcţiile trigonometrice inverse şi regulile generale.

  Utilizarea funcţiilor trigonometrice ca model pentru descrierea

fenomenelor periodice.  Determinarea practică a unor lungimi inaccesibile

Page 357: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 357/401

Elemente de trigonometrie

Proiectul pentru Învăţământ Rural 351 

4.1. Definirea funcţiilor trigonometrice. Calcule cu funcţiitrigonometrice

4.1.1. Funcţiile trigonometrice ale unghiului ascuţit

Fie un unghi ascuţit de măsur ă t  (în grade sau radiani).

Consider ăm două triunghiuri dreptunghice ABC  şi  A B C ′ ′ ′  care au un unghiascuţit de măsur ă  t , unde lungimile laturilor au fost notate cu litere mici(fig. 4.1).

Fig, 4.1

Se arată imediat că cele două triunghiuri sunt asemenea, de unde rezultă:, ,   şi

b b c c b b c c  

a a a a c c b b

′ ′ ′ ′= = = =

′ ′ ′ ′.

Prin urmare, în orice triunghi dreptunghic care are un unghi de măsur ă  t ,

rapoartele , ,   şib c b c  

a a c b sunt constante.

 Aceste rapoarte se numesc sinusul, cosinusul, tangenta şi cotangentaunghiului de măsur ă t  şi se notează după cum urmează:

cateta opusă

sin ipotenuză

b

t  a= = ,

cateta alăturată

cos ipotenuză

t  a= =  

cateta opusătg

cateta alăturatăb

t c 

= = ,cateta alăturată

ctgcateta opusă

t  =  

Se pot justifica imediat următoarele proprietăţi, unde  t este măsuraunghiului ascuţit.

1) 0 sin 1, 0 cos 1t t < < < <  

2) tg 0, ctg 0t t > >  (numerele tg t , ctg t  pot fi oricât de mari)

3) sin cos ,cos sin2 2t t t t  

π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠  

tg ctg , ctg tg2 2

t t t t  π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

dacă t este măsura în grade, atunci ( )sin 90 cos etc.t t − =  

4) 2 2sin cos 1t t + =  

5)sin cos

tg , ctg , tg ctg 1cos sin

t t t t t t  

t t = = ⋅ = .

 În anumite cazuri, valorile funcţiilor trigonometrice ale unui unghi ascuţit,se pot calcula prin consideraţii geometrice.

Page 358: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 358/401

Elemente de trigonometrie

352  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Pentru 30 x  =   sau 60 x  =   se foloseşte un triunghi dreptunghic ABC cu ununghi de 30 , unde  AC = l   (fig. 4.2), iar pentru 45 x  =   se foloseşte untriunghi dreptunghic isoscel, unde notăm AB = AC = l  (fig. 4.3).

Fig. 4.2 Fig. 4.3

Trecem rezultatele în următorul tabel:

 x  radiani sin x   cos x   tg x   ctg x   180 grade x ⋅π

 

6

π⋅ 

1

2  3

3

3  3 30°

6

π⋅  2

2

2  1 1 45°

6

π⋅  3

1

2  3

3

3  60°

 Avem egalităţile:

1 3 3sin sin30 , cos cos30 , tg tg30

6 2 6 2 6 3

π π π= = = = = = etc.

4.1.2. Cercul trigonometric

Consider ăm planul raportat la un sistem de coordonate  xOy . Fie C   cerculde centru O şi rază 1 (unitatea de lungime a celor două axe). Notăm cu

, , , A B A B′ ′  punctele unde axele de coordonate intersectează cercul C   (fig.4.4).

Un punct mobil care pleacă din punctul A, se poate deplasa pe C   în două 

sensuri: – sensul contrar acelor de ceasornic, numit sensul pozitiv;

 – sensul acelor de ceasornic, numit sensul negativ.

Definiţie.  Fie xOy un sistem de coordonate în plan. Se numeşte cerc trigonometric cercul de rază 1 cu centrul în originea O, pe care am definit sensul pozitivca fiind sensul contrar acelor de ceasornic.

Cercul trigonometric va fi notat C  .

Page 359: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 359/401

Elemente de trigonometrie

Proiectul pentru Învăţământ Rural 353 

Fig. 4.4

Observaţie.  Fie un număr real 0;2

t   π⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠

. Putem defini:

cos t  = cosinusul unui unghi ascuţit de măsur ă t

sin t  = sinusul unui unghi ascuţit de măsur ă t.

Vom interpreta cos t , sin t  în contextul cercului trigonometricC  .

Fie P  ∈C   punctul situat în primul cadran, astfel încât   ( )m AP t  = (fig. 4.4).

Rezultă că lungimea arcului    AP este t  şi ( )m AOP t  = . Fie P ′  proiecţia lui 

P pe axa Ox . Punctul P  are abscisa OP ′ şi ordonata PP'.

Ţinând cont de definiţiile de la § 4.1.1. şi de faptul că OP  = 1, avem:

cos t  =OP 

OP OP 

′′= =  abscisa lui P, 

sin t =PP 

PP OP 

′′= = ordonata lui P .

Deci, cos t   şi sin t   sunt coordonatele acelui punct P  ∈C situat în primul

cadran, pentru care lungimea arcului    AP este egală cu t .

Iată planul pe care îl vom urma în continuare.

1) Vom stabili o corespondenţă între mulţimea numerelor reale şi mulţimeapunctelor cercului trigonometric.

Mai precis, vom asocia oricărui număr real t  un punct unic al cercului C  ,punct notat t 

P .

2) În raport cu sistemul de coordonate, punctul t P are o abscisă care va fi

numită  cosinusul numărului t   şi o ordonată  care va fi numită  sinusulnumărului t .

Propoziţie.  (Corespondenţa între mulţimea numerelor reale şi mulţimeapunctelor cercului trigonometric). Pentru orice număr real  t există  ununic număr întreg k  şi un unic număr [   )0,2α ∈ π astfel încât 2t k = α + π .

De exemplu:

19 , 19 9 2 , deci , 9t k = π π = π + ⋅ π α = π = ,

( )48 , 48 24 2 0, deci 0, 12;t k = − π − π = − ⋅ π + α = = −  

Page 360: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 360/401

Elemente de trigonometrie

354  Proiectul pentru Învăţământ Rural

2 , 2 0 2t  = π π = + π , deci 0, 1k α = = ;

, 0 2t  = π π = π+ ⋅ π , deci , 0k α = π = ;

( )7, 7 7 2 2t  = = − π + π , deci 7 2 , 1k = − π = ;

( )7, 7 7 4 4t  = − − = − + π − π , deci 7 4 , 2.k α = − + π = −  

Propoziţia poate fi justificată astfel:

Figur ăm pe axa numerelor „reţeaua” de numere { }2 | A k k = π ∈ . Vom

putea găsi pentru orice t  ∈  un unic element al lui A, anume 2k π , astfel încât ( )2 2 1 2 2k t k k  π ≤ < + π = π + π . Rezultă  0 2 2t k ≤ − π < π , deci putem

lua 2t k α = − π .

 În relaţia 2t k = α + π  (1), numerele αşi k  sunt în mod unic determinate de 

t . Pentru a marca dependenţa de t , (1) se mai scrie ( ) ( ) ( )2 1t t k t    ′= α + π  

Menţionăm că  în cele ce urmează  vom măsura arcele şi unghiurile înradiani.

Consider ăm un număr t  ∈  şi [   )0,2α ∈ π .

Pe cercul trigonometric C   există un singur P  astfel încât:

  ( )   ( )m AP m AOP  = = α .

Vom spune că P  este punctul cercului C   asociat numărului real  t  şi vomnota acest punct t 

P (v. fig. 4.5).

Fig. 4.5

Exemple.

( )0 1,0P A= ; ( )2

0,1P Bπ = ; ( )1,0P Aπ  ′= − ; ( )3

2

0, 1P Bπ  ′= − ;

48 0P P A− π = = deoarece avem ( )48 24 2 0− π = − ⋅ π + ;

21 32 2

P P B− π π   ′= = , deoarece ( )21 3

6 22 2

π π− = − ⋅ π + .

Observaţii.  1. Dacă  [   )2 , cu 0,2t k = α + π α ∈ π   şi k  ∈ , atuncit P P α = .

2. Este util să reţinem cadranul în care se află punctul t P :

Page 361: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 361/401

Elemente de trigonometrie

Proiectul pentru Învăţământ Rural 355 

• dacă  0,2

t   π⎛ ⎞

∈⎜ ⎟⎝ ⎠

,t 

P apar ţine cadranului I;

• dacă  ,2

t   π⎛ ⎞

∈ π⎜ ⎟⎝ ⎠

,t 

P apar ţine cadranului II;

• dacă 3

,2

t   π⎛ ⎞

∈ π⎜ ⎟⎝ ⎠

,t 

P apar ţine cadranului III;

• dacă 3

,22

t   π⎛ ⎞

∈ π⎜ ⎟⎝ ⎠

,t 

P apar ţine cadranului IV.

3. Numerelor reale t   şi 2 ,t m m+ π ∈ le corespunde acelaşipunct al cercului C  , deci:

2t t mP P + π= pentru orice şit m∈ ∈ .

Dând lui k  valorile 0, 1, 2,...± ± rezultă:

2 4 2 4

... ...t t t t t  

P P P P P  + π + π − π − π

= = = = = =  

Prin urmare, există  o infinitate de numere reale cărora le corespundeacelaşi punct al cercului.

 Am stabilit în acest fel corespondenţat t P →   între numerele t   din şi

punctelet 

P ale cercului trigonometricC  .Ţinând seama de faptul că  α  şi k

sunt unic determinate de t , am definit de fapt o funcţie.

Definiţie.  Funcţia :F    →   C definită  prin ( ) t F t P = , se numeşte funcţia de

acoperire universală a cerculuiC  .

Iată două proprietăţi ale funcţiei F .1) Funcţia F  este periodică de perioadă principală  2π .Numerelor reale t şi  2t  + π  le corespunde acelaşi punct al cercului C  , deci

2t t P P + π= . Rezultă  ( ) ( )2F t F t  = + π , pentru orice t  ∈ .

Mai general, numerelor reale t   şi 2t m+ π , m ∈ le corespunde acelaşipunct al cercului C  , deci ( ) ( )2F t F t m= + π , pentru orice t  ∈   şi orice

m ∈ .2) Punctele ( ) t F t P =   şi ( ) t F t P −− = sunt simetrice în raport cu axa Ox  

pentru orice t  ∈ .

4.1.3. Funcţiile trigonometrice cosinus şi sinus

A. Definire, primele proprietăţi

 Am ar ătat anterior că oricărui număr t  ∈  îi putem asocia un unic punct

t P  al cercului trigonometric C  . În raport cu sistemul de coordonate  xOy ,

punctul P  are o abscisă t 

 x   şi ordonatat 

y  .

Definiţie.  Fie un număr real t şi punctul asociatt P  ∈ C .

 Abscisa punctuluit 

P se numeşte cosinusul numărului real t şi se notează 

cos t .

Ordonata punctuluit P se numeşte sinusul numărului real t şi se notează 

sin t .

Page 362: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 362/401

Elemente de trigonometrie

356  Proiectul pentru Învăţământ Rural

 A se vedea fig. 4.6.

Fig. 4.6.

 Această  definiţie pentru sinusul şi cosinusul unui număr real extindedefiniţia corespunzătoare pentru unghiuri ascuţite.

Mai precis, dacă  0,2t   π⎛ ⎞

∈⎜ ⎟⎝ ⎠ , putem considera un unghi ascuţit de măsur ă t  

radiani. Atunci, definiţia numerelor cos  t şi sin t , dată  cu ajutorultriunghiului dreptunghic, coincide cu definiţia dată acum.

Exemple.  Având în vedere că  0

2

, ,P A P B P Aπ π  ′= = =   şi 3

2

P Bπ  ′= avem:

( ) ( )0 cos0,sin0 1,0 cos0 1, sin0 0;P A= ⇒ = =  

( )2

cos , sin 0,1 cos 0,sin 12 2 2 2

P Bπ

π π π π⎛ ⎞ = ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

;

( ) ( )cos ,sin 1,0 cos 1,sin 0P Aπ   ′π π = − ⇒ π = − π = ;

( )3

2

3 3 3 3cos ,sin 0, 1 cos 0,sin 1

2 2 2 2P Bπ

π π π π⎛ ⎞ ′= − ⇒ = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Observaţie.  Putem considera că numerele cos t  şi sin t  reprezintă cosinusul şi sinusulunui arc de măsur ă t radiani, al cercului C  . Se ştie că dacă un arc are a ,

atunci măsura lui în radiani este180

t aπ

= . Prin convenţie, cosinusul şi

sinusul unui arc de a  sunt

cos cos , sin sin180 180

a a a aπ π

= = .

De exemplu: cos90 cos 0, sin90 sin 12 2

π π= = = = .

Definiţie.  Asociind oricărui număr real t   numărul cos  t , obţinem o funcţie numită funcţia cosinus, notată cos. Deci:

cos : , cost t → → .

 Asociind oricărui număr real t   numărul sin t,  obţinem o funcţie numită 

funcţia sinus, notată sin. Deci:sin : , sint t → → .

Page 363: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 363/401

Elemente de trigonometrie

Proiectul pentru Învăţământ Rural 357 

Vom prezenta proprietăţi şi formule trigonometrice în care intervin funcţiilecosinus şi sinus.

1 cos 1, 1 sin 1, .t t t − ≤ ≤ − ≤ ≤ ∀ ∈  

Formula fundamentală a trigonometriei:2 2cos sin 1,t t t + = ∀ ∈ .

( ) ( )cos 2 cos , sin 2 sin , ,t k t t k t t k  + π = + π = ∀ ∈ ∀ ∈ .

Funcţiile cosinus şi sinus sunt periodice şi au perioada principală  2π .

Prin urmare:

( )

( )

cos 2 cos

sin 2 sin .

t m t 

t m t 

+ π =

+ π =pentru orice t  ∈   şi m ∈ .

( ) ( )cos cos , sin sin , .t t t t t  − = − = − ∀ ∈  

Cu alte cuvinte:

Funcţia cosinus este par ă, iar funcţia sinus este impar ă.

B. Reducerea la primul cerc şi reducerea la primul cadran

Reducerea la primul cerc

Din proprietatea de periodicitate rezultă următorul principiu:

Determinarea valorilor funcţiilor cosinus şi sinus se reduce la

determinarea valorilor acestor funcţii pe intervalul [   )0,2π .

 În adevăr, fie t  ∈ . Ştim că  există  k  ∈   şi [   )0,2t ′ ∈ π   astfel încât2t t k ′= + π . Obţinem:

( )cos cos 2 cost t k t  ′ ′= + π = , ( )sin sin 2 sint t k t  ′ ′= + π = .

Rezultă  că  putem calcula cos t , sin t , t  ∈   cu ajutorul unor numerecos , sint t ′ ′ , unde [   )0,2t ′ ∈ π . Spunem că am realizat reducerea la primul

cerc.

Exemple:13

sin sin 3 2 sin 1;2 2 2

π π π⎛ ⎞= ⋅ π + = =⎜ ⎟

⎝ ⎠ 

7 7 1cos cos cos 2 cos

3 3 3 3 2

π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = = π + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠;

( )cos4125 cos 2062 2 cos 1π = ⋅ π + π = π = − .

Semnul funcţiilor cosinus şi sinus

Rezultă  că  determinarea semnului pe   se reduce la determinareasemnului pe [   )0,2π .

Fie [   )0,2t  ∈ π   şi P t (cos t , sin t ) punctul cerculuiC    asociat numărului t .

 Având în vedere cadranul în care se află  t P , deducem:

Page 364: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 364/401

Elemente de trigonometrie

358  Proiectul pentru Învăţământ Rural

0,2

cos 0

sin 0

π⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠>

>

 

,2

cos 0

sin 0

π⎛ ⎞∈ π⎜ ⎟

⎝ ⎠<

>

 

a) b)

3,

2

cos 0

sin 0

π⎛ ⎞∈ π⎜ ⎟

⎝ ⎠<

>

 

3,2

2

cos 0

sin 0

π⎛ ⎞∈ π⎜ ⎟

⎝ ⎠>

<

 

c) d)

Fig. 4.7

Reţinem deci:

Semnul funcţiei sinus şi al funcţiei cosinus pe [   )0,2π .

t 02π   π   3

2π   2π

 sin t 0 + + 1 + + 0 - - -1 - - 0cos t 1 + + 0 - - -1 - - 0 + + 1

Reducerea la primul cadran

Să calculăm numerele cos ,sint t unde [   )0,2t  ∈ π .

Pentru , ,3 4 6

t   π π π⎧ ⎫

∈ ⎨ ⎬⎩ ⎭

valorile numerelor cos ,sint t se calculează prin metode

geometrice (vezi 4.1.1).

Page 365: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 365/401

Elemente de trigonometrie

Proiectul pentru Învăţământ Rural 359 

Pentru3

0, , , ,22 2

t   π π⎧ ⎫

∈ π π⎨ ⎬⎩ ⎭

numerele cos ,sint t se calculează  aplicând

definiţia cosinusului şi a sinusului.

Pentru a calcula alte valori vom utiliza formulele (valabile pentru 0,2

t   π⎛ ⎞

∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

,

v. fig. 4.8).

Fig. 4.8 Acum, putem enunţa următorul principiu:

Calcularea numerelor ( )cos , sin , 0,2t t t  ∈ π se reduce la calcularea unor

numere cos , sint t ′ ′ , unde 0,2

t   π⎛ ⎞′ ∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Pentru justificare, vom lua în consideraţie

trei cazuri:

Cazul ,2t 

  π⎛ ⎞

∈ π⎜ ⎟⎝ ⎠  

 Avem: , cu 0, ,deci2

t t t   π⎛ ⎞′ ′= π − ∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

 

( )

( )

cos cos cos

sin sin sin

t t t 

t t t 

′ ′= π − = −

′ ′= π − = 

Cazul3

,2

t   π⎛ ⎞

∈ π⎜ ⎟⎝ ⎠

 

 Avem: , cu 0, ,deci2t t t   π⎛ ⎞′ ′= π + ∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠  

( )

( )

cos cos cos

sin sin sin

t t t 

t t t 

′ ′= π + = −

′ ′= π + = − 

Cazul3

,22

t   π⎛ ⎞

∈ π⎜ ⎟⎝ ⎠

 

 Avem 2 , unde 0, ,deci2

t t t   π⎛ ⎞′ ′= π − ∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

 

( ) ( )( ) ( )

cos cos 2 cos cossin sin 2 sin sin

t t t t  

t t t t  ′ ′ ′= π − = − =

′ ′ ′= π − = − = − 

Page 366: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 366/401

Elemente de trigonometrie

360  Proiectul pentru Învăţământ Rural

Exemple.3 2

cos cos cos4 4 4 2

π π π⎛ ⎞= π − = − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠;

4 3sin sin sin

3 3 3 2

π π π⎛ ⎞= π + = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

;

11 3cos cos 2 cos cos

6 6 6 6 2

π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= π − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

C. Formule pentru cosinusul şi sinusul sumei şi diferenţei

Vom deduce formule pentru ( ) ( )cos , cosa b a b− +   şi apoi pentru

( ) ( )sin , sina b a b− + .

Cosinusul diferenţei

( )cos cos cos sin sin , ,a b a b a b a b− = + ∀ ∈  

Cosinusul sumei

( )cos cos cos sin sin , ,a b a b a b a b+ = − ∀ ∈  

cos sin , sin cos ,2 2

t t t t t  π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = − = ∀ ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

   

Sinusul diferenţei

( )sin sin cos sin cos , ,a b a b b a a b− = − ∀ ∈  

Sinusul sumei

( )sin sin cos sin cos , ,a b a b b a a b+ = + ∀ ∈  

 În particular rezultă formulele:

2 2

sin2 2sin cos , .

cos2 cos sin ,

a a a a

a a a a

= ⋅ ∀ ∈

= − ∀ ∈

 

2 21 cos 2cos , 1 cos 2sin2 2

a aa a+ = − =

 

1 cos 1 coscos , sin ,

2 2 2 2

a a a aa

+ −= = ∀ ∈ .

3

3

cos3 4cos 3cos ,

sin3 3sin 4sin ,

 x x x x 

 x x x x 

= − ∀ ∈

= − ∀ ∈

 

Page 367: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 367/401

Elemente de trigonometrie

Proiectul pentru Învăţământ Rural 361 

Test de autoevaluare 1

1. Demonstraţi că pentru orice  x ∈  avem:

21 sin 2cos4 2

 x  x 

  π⎛ ⎞+ = −

⎜ ⎟⎝ ⎠ 

2. Demonstraţi că pentru orice a şi b în  avem:

( ) ( )2 2sin sin sin sina b a b a b− = + −  

Răspunsurile la acest test se găsesc la pagina 391 a acestei unităţi de învăţare.

Răspunsurilela test se vorda în spaţiulliber din

chenar, încontinuareaenunţurilor.

Page 368: Geometrie 01

8/21/2019 Geometrie 01

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-01 368/401

Elemente de trigonometrie

362  Proiectul pentru Învăţământ Rural

4.1.4. Funcţiile trigonometrice tangentă şi cotangentă 

Reamintim că  dacă  0,2

t   π⎛ ⎞

∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

am definit, cu ajutorul unui triunghi

dreptunghic, cost , sint , tgt , ctgt   şi am ar ătat că:

sintg

cos

t t 

t = ,

cosctg

sin

t t 

t = .

Deoarece ( )cos 0 2 1 |2

t t k k  π⎧ ⎫

≠ ⇔ ∈ − + ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

 

{ }sin 0 |t t k k  ≠ ⇔ ∈ − π ∈ ,

putem da următoarele definiţii.

Definiţii.&nbs