Geraden- und Ebenengleichungen und Lagebeziehungen zwischen
Geraden und Ebenen
erstellt von Petra Bader
I. Lehrplan-bezug
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen
III. Lagebe-ziehungen zwischen Geraden und Ebenen
I. Lehrplanbezug
Lehrplanbezug
Grundkurs in Klasse 13:13.4 Geraden- und Ebenengleichungen in Vektor- und
Koordinatenschreibweise (7 Stunden)
13.5 Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen (7 Stunden)
Leistungskurs in Klasse 12:12.4 Geraden- und Ebenengleichungen in Vektor- und
Koordinatenschreibweise (6 Stunden)
12.5 Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen (11 Stunden)
I. Lehrplan-bezug
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen
III. Lagebe-ziehungen zwischen Geraden und Ebenen
I. Lehrplanbezug
Geraden- und Ebenengleichungen in vektorieller Parameterform
Geraden- und Ebenengleichungen in KoordinatenformA1x1+A2x2+A3 = 0; AiR
Hinweis auf Nichteindeutigkeit der Darstellung; geeignete Zeichnungen und Skizzen
Gewinnen der Koordinatenform durch Eliminieren der Parameter; auch umgekehrt Aufstellen einer Parameterform aus einer Koordinatenform;Zusammenhang mit der Geradengleichung aus der Mittelstufe;Achsenabschnittsform;Spurpunkte und Spurgeraden;achsenparallele Geraden bzw. Ebenen;zeichnerische Darstellungen
Vektoren ermöglichen die einfache Beschreibung von Geraden und Ebenen des Anschauungsraums durch Gleichungen in Parameterform. Eliminieren der Parameter führt zur Koordinatendarstellung von Geraden in der Ebene und von Ebenen im Raum.
GK 13.4 und LK 12.4: Geraden- u. Ebenengleichungen in Vektor- u. Koordinatenschreibweise
ukax
I. Lehrplan-bezug
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen
III. Lagebe-ziehungen zwischen Geraden und Ebenen
I. Lehrplanbezug
GK 13.5 und LK 12.5: Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen
Lagebeziehungen von Punkten und Geraden in der Ebene
Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum
auch geometrische Deutung von linearen (2,2)-Systemen
geometrische Interpretation rechnerischer Ergebnisse;
auch zeichnerische Darstellung einfacher räumlicher Situationen
geometrische Deutung von linearen (3,3)-Systemen
Die Schüler sollen lernen, Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen rechnerisch zu untersuchen, Schnittpunkte bzw. Schnittgeraden sicher zu bestimmen und sich die gegenseitige räumliche Lage der geometrischen Objekte vorzustellen.
I. Lehrplan-bezug
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen
III. Lagebe-ziehungen zwischen Geraden und Ebenen
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen in Vektor- u. Koordinatenschreibweise
Geradengleichung in vektorieller ParameterformZwei-Punkte-Gleichung
kR
Punkt-Richtungs-Gleichung
kR
II.1.1 Geradengleichung in vektorieller Form
abkax x
b
a
ab
ukax
x
y
z
AB
X
O
x
a
u
x
y
z
A
X
O
I. Lehrplan-bezug
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen
III. Lagebe-ziehungen zwischen Geraden und Ebenen
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen in Vektor- u. Koordinatenschreibweise
Bemerkungen zur Parameterdarstellung von Geraden
Bemerkungen:
1. Beide Vektorgleichungen sind gleichwertig.
2. Eine Gerade kann durch verschiedene Parameterdarstellungen beschrieben werden; für die Punkt-Richtungs-Gleichung beispielsweise eignet sich jeder Punkt der Geraden als Antragspunkt und auch jeder Vektor , k R\{0}, als Richtungsvektor.
=> Nicht die Parameterdarstellung, sondern eine Parameterdarstellung der Geraden
ukv
I. Lehrplan-bezug
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen
III. Lagebe-ziehungen zwischen Geraden und Ebenen
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen in Vektor- u. Koordinatenschreibweise
II.1.2 Geradengleichung in Koordinatenform
Im zweidimensionalen Punktraum R² kann man den Parameter k aus der Geradengleichung eliminieren:
A1x1+A2x2+A3 = 0; AiR
I. Lehrplan-bezug
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen
III. Lagebe-ziehungen zwischen Geraden und Ebenen
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen in Vektor- u. Koordinatenschreibweise
II.2 Darstellungsformen von Ebenen
Allgemein gilt: Eine Ebene E wird von zwei linear unabhängigen Vektoren „aufgespannt“.
ACundAB
A
C
B
X
E
)},(|{),,( RlkAClABkAXXCBAE
AB
AC
I. Lehrplan-bezug
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen
III. Lagebe-ziehungen zwischen Geraden und Ebenen
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen in Vektor- u. Koordinatenschreibweise
II.2.1 Ebenengleichungen in vektorieller Parameterform (1)
a) Drei-Punkt-Gleichung
ac A
C
B
X
0
ab
ab
x
c
k,l R),()( aclabkax
E
I. Lehrplan-bezug
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen
III. Lagebe-ziehungen zwischen Geraden und Ebenen
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen in Vektor- u. KoordinatenschreibweiseII.2.1 Ebenengleichungen in vektorieller Parameterform
(2)
b) Punkt-Richtungs-Gleichung
u
A
E
X
0
a x
k,l R,vlukax
v
h
g
I. Lehrplan-bezug
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen
III. Lagebe-ziehungen zwischen Geraden und Ebenen
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen in Vektor- u. Koordinatenschreibweise
II.2.2 Ebenengleichungen in Koordinatenform
A1x1 + A2x2 + A3x3 + A4 = 0, Ai R
I. Lehrplan-bezug
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen
III. Lagebe-ziehungen zwischen Geraden und Ebenen
III. Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen
III.1. Lagebeziehungen zwischen Geraden
Im R² und R³ gibt es folgende Möglichkeiten:
1. Die beiden g und h schneiden sich: {S} = g∩h.
2. Die beiden Geraden g und h sind parallel und g h. Man sagt: g und h sind echt parallel
3. Die beiden Geraden g und h fallen zusammen: g = h. Man sagt: g und h sind entartet parallel.
Nur im R³:4. Die beiden Geraden g und h schneiden
sich nicht und sind nicht parallel. Man sagt: g und h sind zueinander windschief.
S
g
h
h
g
h
g
hg
I. Lehrplan-bezug
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen
III. Lagebe-ziehungen zwischen Geraden und Ebenen
III. Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen
Bestimmung der Lage zweier Geraden
Gegeben:
Berechne:
Entscheide:
Entscheide:
linear unabhängig2112 ,, uuaa
g und h fallenzusammen
g=h
g und h sindecht parallel
gh=
g und h schneiden sich
gh={S}
g und h sindwindschief
gh=
ja
ja janein
nein
nein
1. Möglichkeit: Man untersucht die beiden Richtungs-vektoren und den Differenzenvektor der Antragspunkte auf ihre lineare Unab-hängigkeit.
1a
2a
2u1u
12 aa
linear unabhängig21,uu
linear unabhängig112 ,uaa
I. Lehrplan-bezug
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen
III. Lagebe-ziehungen zwischen Geraden und Ebenen
III. Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen
Bestimmung der Lage zweier Geraden
2. Möglichkeit: Berechnung gemeinsamer Punkte Hat das Gleichungssystem:
- genau eine Lösung, so schneiden sich die Geraden (Schnittpunkt)
- keine Lösung, so sind die Geraden im R² echt parallel und im R³ echt parallel oder windschief (mit Hilfe der Richtungsvektoren unterscheidbar)
- unendlich viele Lösungen, so fallen die Geraden zusammen
I. Lehrplan-bezug
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen
III. Lagebe-ziehungen zwischen Geraden und Ebenen
III. Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen
III.2.1 Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen
wlvkaxE
1: uraxg
2: k, l, r R
1. Gerade und Ebene schneiden sich; Schnittpunkt S
2. Gerade und Ebene sind echt parallel
3. Gerade liegt in der Ebene
gE={S}
linear unabhängigwvu ,,
gE=
1. linear abhängig2. lin. unabh.
wvu ,,wvaa ,,12
gE=g
1. linear abhängig2. lin. abh.
wvu ,,wvaa ,,12
w
0
1a
v S
E
gu
2a
E
0A2
A1
g
E
A2
A1
12 aa
E
A1
0
A2
g
u
u
u u
w
w
v
v
2a
2a
1a
1a
12 aa
I. Lehrplan-bezug
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen
III. Lagebe-ziehungen zwischen Geraden und Ebenen
III. Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen
Bestimmung der Lage einer Gerade in Bezug auf Ebene
Gegeben:
Entscheide:
Entscheide:
g liegt in EgE =g
g echt parallel zu E
gE=
g schneidet EgE={S}
ja
ja
nein
nein
1. Möglichkeit: Untersuchung der linearen Unabhängigkeit
1a
v
2auw
Berechne: 12 aa
linear unabhängig
wvu
,,
linear unabhängig
wvaa
,,12
I. Lehrplan-bezug
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen
III. Lagebe-ziehungen zwischen Geraden und Ebenen
III. Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen
Bestimmung der Lage einer Gerade in Bezug auf Ebene
2. Möglichkeit: Berechnung gemeinsamer Punkte Hat das inhomogene Gleichungssystem:
- keine Nullzeile auf der linken Seite genau eine Lösung (Parameterwerte für den Schnittpunkt)
- Nullzeile auf der linken Seite und rechte Seite ungleich Null keine Lösung (Gerade ist echt parallel zur Ebene)
- eine vollständige Nullzeile unendlich viele Lösungen (Gerade liegt in der Ebene)
I. Lehrplan-bezug
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen
III. Lagebe-ziehungen zwischen Geraden und Ebenen
III. Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen
1. Ebenen schneiden sich; Schnittgerade g
III.2.2 Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen
1111 : wlvkaxE k, l, r, s R
2. Die beiden Ebenen sind echt parallel
3. Beide Ebenen fallen zusammen(entartet parallel)
2w
0
2v
0
A2
2w
2v
E2
1a
2a
A2
E1=E2A1
0
A2
E2
E1
A11v
1w
1a
2a
g
E1
1v
1w
12 aa
A1
2a1a
1v
2v
2w
12 aa
1w
2222 : wsvraxE
E1E2=
1. 2.
wvu ,,wvaa ,,12
u. l.,, 1112 wvaa
a. l.,,und,, 211211 wwvvwv
E1=E2
1.2.
a. l.,,und,, 211211 wwvvwv
a. l.,, 1112 wvaa
E1E2=g
wvu ,,
u. l.,,oder,, 211211 wwvvwv
I. Lehrplan-bezug
II. Geraden- und Ebenen-gleichungen
III. Lagebe-ziehungen zwischen Geraden und Ebenen
III. Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen
Bestimmung der Lage von zwei Ebenen
Gegeben:
Entscheide:
Entscheide:
1111 ,,: wvaE
2222 ,,: wvaE
E1 echt parallel E2
E1E2=
E1 und E2
schneiden sichE1E2=g
ja
ja
nein
nein
Berechne: 12 aa
linear unabhängig1112 ,, wvaa
211 ,, vwv
linear unabhängig211 ,,voder ww
E1 und E2
fallen zusammen E1=E2