Gli angoli
Prof.ssa Laura Salvagno
Definizione di angolo
Consideriamo un piano α e due semirette a e b aventi un’origine in comune B
Si definisce angolo ciascuna delle parti in cui il piano risulta suddiviso dalle due semirette
Elementi di un angolo
Consideriamo l’angolo mostrato in figura
Definiamo vertice il punto di origine delle due semirette
a e b sono i lati dell’angolo
α è l’ampiezza dell’angolo ed è l’unica dimensione che lo caratterizza
Angoli concavi e convessiDalla definizione di piano emerge chiaramente che 2 semirette aventi un origine in comune formano 2 angoli perché il piano viene diviso in due parti
Angoli concavi e convessi
Definiamo convesso l’angolo che non contiene il prolungamento dei sui lati cioè l’angolo a
Definiamo concavo l’angolo che contiene il prolungamento dei sui lati cioè l’angolo b
Angoli consecutiviL’italiano ci dovrebbe venire in soccorso quando parliamo di angoli consecutivi
Cosa significa consecutivo?
Una cosa è consecutiva ad un’altra quando la segue, quando viene dopo, quando abbiamo elementi che si susseguono l'un l'altro
Da ciò si deduce che anche gli angoli debbono susseguirsi; ma come può avvenire questo?
Due angoli sono consecutivi quando hanno un vertice ed un lato in comune
Angoli adiacenti Si dicono adiacenti due angoli
consecutivi e i cui lati non comuni giacciono sulla stessa retta
Angoli opposti al vertice Analizziamo le parole opposti al vertice Opposto è ciò che sta dall’altra parte rispetto a qualche
cosa; questo qualche cosa si comporta come uno specchio Vertice indica che questo qualche cosa è il vertice di un
angolo Da ciò si capisce che due angoli opposti al vertice hanno il
vertice in comune …. Ma ciò non basta
Questi due angoli hanno il vertice in comune ma non sono opposti al vertice perché il vertice, in questo caso, non si comporta come uno specchio
Angoli opposti al vertice
Due angoli si dicono opposti al vertice se hanno il vertice in comune e se i suoi lati si trovano uno sul prolungamento dell’altro
Due angoli opposti al vertice sono congruenti a = b
Bisettrice
AO
A’1Consideriamo l’angolo AOA’1
Tracciamo una semiretta che ha origine nel suo vertice e che lo divide a metà
Tale retta prende il nome di bisettrice
A’
bisettrice
Bisettrice
Definiamo bisettrice la semiretta che partendo dal suo vertice O divide l’angolo in due parti uguali
Confronto di angoli Per confrontare due angoli
basta far coincidere un vertice e il lato omologo e vedere cosa succede
Vediamo cosa dice il vocabolario alla parola omologo: che è simile, che corrisponde a un altro, che ha caratteristiche identiche
Quindi i lati omologhi sono lati che hanno la stessa funzione come si può vedere nelle due immagini qui a fianco in cui i lati omologhi hanno lo stesso colore
Confronto di angoli
Se sposto il lato O’A’ e lo faccio coincidere con OA posso confrontare i due angoli
Col confronto vedo se uno è maggiore, minore od uguale all’altro
Angolo maggiore di un altro Consideriamo le due figure
precedenti
Com’è l’angolo AOB rispetto all’angolo A’O’B’?
Quando li sovrappongo vedo che il lato c cade all’interno dell’angolo AOB
In questo caso avremmo che l’angolo AOB > A’O’C
Angolo maggiore di un altroDiciamo quindi che:
Un angolo è maggiore di un altro quando sovrapponendoli si ha che l’altro lato del secondo angolo cade all’interno del primo
Angolo minore di un altro
Consideriamo i seguenti due angoli AOB e A’O’C
Se li sovrapponiamo possiamo facilmente costatare che il lato c cade all’esterno del lato AOB
In questo caso avremmo che AOB < A’O’C
Angolo minore di un altroDiciamo quindi che:
Un angolo è minore di un altro quando sovrapponendoli si ha che l’altro lato del secondo angolo cade all’esterno del primo
Angoli congruenti
Consideriamo i seguenti due angoli AOB e A’O’C
Se li sovrapponiamo possiamo facilmente costatare che il lato c coincide col lato b
Perciò si ha che AOB = A’O’C
Angoli congruentiDiciamo quindi che:
Un angolo è congruente ( cioè ha la stessa ampiezza) di un altro quando sovrapponendoli si ha che l’altro lato del secondo angolo coincide col suo omologo del primo
Tipi di angoli
Possiamo individuare 5 tipi di angoli di cui 3 notevoli (una cosa è notevole quando ha qualcosa di speciale o particolare)
1. Angolo giro2. Angolo piatto3. Angolo retto4. Angolo acuto5. Angolo ottuso
Angolo giro Cosa succede se i due lati dell’angolo
coincidono? L’angolo convesso sarà nullo e quello
concavo avrà ampiezza massima Chiamiamo questo angolo angolo giro
Angolo piatto Definiamo Piatto l’angolo formato da
due semirette che sono una il prolungamento dell’altra cioè che giacciono sulla stessa retta
La sua ampiezza è la metà dell’angolo giro
Angolo Retto Prendiamo un angolo piatto e tracciamo la
sua bisettrice Tale bisettrice divide l’angolo in due parti
uguali
Definiamo retto ciascuno di questi angoli aventi ampiezza pari alla metà dell’angolo piatto
Angolo acuto
Un angolo si dice acuto se la sua ampiezza è minore di quella di un angolo retto
Angolo ottuso
Un angolo si dice ottuso se la sua ampiezza è maggiore di un angolo retto
Somma di angoli Sono dati due angoli AOB e CKD
Facciamone la somma: per fare la somma di due angoli faccio coincidere i lati non omologhi e i due vertici
Lati non omologhi: sono lati che non occupano la stessa posizione (colore diverso)
AOD è la somma fra l’angolo AOB e l’angolo CKD
AO
B
CK
D
AO
BC
K
D
Somma di angoli aOc è la somma fra l’angolo
aOb e l’angolo bOc
aOb + bOc = aOc
γ = α + β
Differenza di angoli Sono dati due angoli AOB e CKD
Facciamone la differenza: per fare la differenza di due angoli faccio coincidere i lati omologhi e i due vertici
Lati omologhi: sono lati che occupano la stessa posizione (stesso colore nella figura)
DOB è la differenza fra l’angolo AOB e l’angolo CKD
AO
B
CK
D
AO
B
CK
D
Differenza di angoli COB è la differenza fra l’angolo AOB e l’angolo AOC
AOB – AOC = COB
γ = α - β
Sottomultipli di angoli Prendiamo l’angolo AOB e dividiamolo in tre parti uguali
Un angolo è sottomultiplo di un altro quando vi è contenuto un numero intero di volte
Com’è l’angolo AOC rispetto all’angolo AOB?
Osserviamo che l’angolo AOC è contenuto 3 volte in AOB; allora come sarà questo angolo?
Se AOC è contenuto 3 volte in AOB si dice che è un suo sottomultiplo
Quando allora diciamo che un angolo è sottomultiplo di un altro?
Multipli di un angolo Quante volte AOB contiene AOC?
Tre volte perché ho fatto l’operazione di dividere l’angolo in tre parti uguali e quindi l’ho definito in partenza
Come sarà AOB rispetto ad AOC?
Sarà un suo multiplo
Allora quando un angolo è multiplo di un altro?
Un angolo è multiplo di un altro quando lo contiene un numero intero di volte
Multipli di un angolo
α β
:n
x n
α è multiplo di β
perché
lo contiene n volte
β è sottomultiplo di α
perché
è contenuto n volte in α
Angoli complementari Consideriamo due
angoli AOB e CKD e proviamo a sommare questi due angoli
Cosa risulta la somma dei due angoli?
Angoli complementari
La somma risulta
un angolo retto
Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è un angolo retto
Angoli supplementari Consideriamo due
angoli AOB e CKD e proviamo a sommare questi due angoli
Cosa risulta la somma dei due angoli?
Angoli supplementari
La somma risulta
un angolo piatto
Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è un angolo piatto
Angoli esplementari Consideriamo due
angoli AOB e CKD e proviamo a sommare questi due angoli
Cosa risulta la somma dei due angoli?
Angoli esplementari
Due angoli si dicono esplementari quando la loro somma è un angolo giro
La somma risultaun angolo giro