GUÍA DE APLICACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES
El método de fracciones parciales se utiliza cuando quiere integrarse una
expresión de la forma
, donde el numerador y el denominador son polinomios y
el grado de . Si el grado de es mayor
o igual que el grado de , debe utilizarse el algoritmo de la división.
Por el teorema fundamental del álgebra se sabe que el polinomio puede
factorizarse en polinomios irreducibles de grado uno y de grado dos.
Entonces se tienen cuatro casos.
CASO 1: se factoriza como un producto de factores de grado uno todos
distintos; es decir, . Entonces
existen números reales tales que:
Por lo tanto: ∫
∫
∫
∫
EJEMPLO 1:
CALCULAR: ∫
Se descompone la fracción
=
Se ordena el numerador en la expresión de la derecha, se factoriza y se agrupan
términos independientes
Como los denominadores son los mismos en la expresión, se igualan los
numeradores:
Se igualan los términos semejantes a lado y lado de la igualdad, o sea: 1= 4A – B 0= A + B
Se forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y utilizando cualquiera
de los métodos conocidos se hallan los valores de A y B.
Por eliminación de una de las variables se tiene:
1= 4A – B 0= A + B 1 = 5ª
A =
Sustituyendo A en cualquiera de las dos ecuaciones, se halla el valor de B,
siendo: B=
Se remplazan los valores de A y B, con lo cual la fracción original se transforma
en:
=
Reemplazando en la integral original, se tiene:
∫
= ∫
dx
=
∫
∫
=
=
EJEMPLO 2: ∫
En esta integral el denominador debe ser factorizable para poder aplicar el caso 1,
o sea:
Se descompone la fracción:
=
Como los denominadores son los mismos, se igualan los numeradores
En esta expresión se igualan los términos semejantes que se encuentran a lado y
lado de igualdad.
2 = A + B -1= 2A - B
Se resuelve este sistema con lo cual A =
Y B=
Se sustituye A y B, quedando
la fracción original
Se reemplaza en la integral original
: ∫
∫(
)
=
∫
∫
=
CASO 2: se factoriza como un producto de factores de grado uno todos
repetidos; Es decir, . Entonces existen números reales
Por lo tanto: ∫
∫
∫
∫
EJEMPLO: 1
CALCULAR: ∫
Para que esta integral pueda resolverse por el caso II el trinomio que aparece en
el denominador debe ser factorizable. Una vez que se compruebe se descompone
la fracción en fracciones parciales.
=
=
=
=
Se igualan los numeradores de esta expresión 2 –x = (9A +3b)
Se igualan los términos semejantes que aparecen a lado y lado de la igualdad.
2 = 4A -1 = C-2B-12ª 0= 9A + 3B Resolviendo el sistema anterior se obtiene:
A =
Y B=
y C= 2
Sustituyendo estos valores en la fracción inicial, se tiene:
=
=
Reemplazando la integral original queda:
∫
∫
-
=
∫
∫
∫
=
CASO 3: se factoriza como un producto de factores irreducibles de grado dos
todos distintos; es decir,
. Entonces
existen números reales y tales que
( )
( )
( )
Por lo tanto:
∫
∫
∫
∫
EJEMPLO.
Integrar. ∫
( )( )
Se descompone en fracciones parciales la fracción
=
= ( ) ( )
( )( )
=
( )( )
=
( )( )
Se igualan los numeradores de la expresión anterior
7x+1 = (A+C) + (B+D)
Se igualan los términos semejantes que aparecen a lado y lado de la expresión, se
tiene:
A+C = 0 B+D =0 A-3C =7 B-3D = 1 Se resuelve este sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas y se obtiene:
A =
B=
C=
D=
Se sustituye en la fracción original estos valores y se tiene:
. ∫
( )( ) = ∫(
)
= ∫
∫
=
∫
∫
∫
∫
=
∫
A la última integral se le aplica el caso 1, o sea se descompone la fracción
√
√
√ √
se igualan los numeradores de la última expresión y se ordenan los términos de la
derecha, con lo cual: 1= ( A+ B ) + √ √
Se igualan los términos semejantes a lado y lado de esta expresión, o sea
1= + √ √ 0 = A + B
Resolviendo para A y B, se obtiene A =
√ Y B =
√
Se Sustituye a y b y se resuelve la última integral
∫
= ∫(
√
√
√
√ )
=
√ ∫
√
√ ∫
√
=
√ √
√ √
=
√ (
√
√ )
Se reemplaza en la integral original, teniendo
. ∫
( )( ) = =
(
)
√ (
√
√ )
CASO 4: se factoriza como un producto de factores irreducibles de grado dos
todos repetidos; es decir, .entonces existen números
reales y tales que
Por lo tanto:
∫
∫
∫
∫
NOTA
En una integral pueden aparecer los casos combinados y entonces se aplican los
casos correspondientes.
EJEMPLO:
Calcular: ∫
( ) =
Se descompone en fracciones parciales la fracción
( )
( )
= ( )
( )
=
( )
( ) =
( )
Igualando numeradores en la expresión anterior, se tiene:
Se hace
2 = A 0 = B A+C =0 B+D = 0 se resuelve el sistema y se obtiene
A = 2 B = 0 C = -2 y D = 0
Se sustituye estos valores en la fracción inicial, esto es
( )
( )
=
( )
Reemplazando en la integral original se obtiene
∫
( ) = ∫ (
( )
( ) )
= ∫
∫
( )
=
EJEMPLO:
∫
Solución.
Primero se observa que el grado del denominador es menor que el grado del
numerador y como P entonces esta integral es del caso 1.
Por lo tanto, es necesario encontrar números reales tales
que:
Luego al multiplicar cada lado de esta igualdad por se
tiene:
Por lo tanto,
Como dos polinomios son iguales si sus coeficientes correspondientes son igual,
se tiene:
El siguiente sistema de ecuaciones:
Al resolver el sistema se obtiene por qué la integral es
∫
∫
∫
∫
| | | | | |
Observación
Los números reales también pueden obtenerse de la siguiente forma. Se
tenía que:
Sugerencia
Como ambos polinomios son iguales, al evaluar en cualquier número real debe
obtenerse el mismo resultado. Cuando de evaluar en que
son las raíces del polinomio se obtiene lo siguiente:
Para Por lo
tanto,
Para Por lo
tanto, y de aquí
Para
; Por lo tanto, y de aquí
EJEMPLO:
∫
Solución.
Primero se observa que el grado del denominador es menor que el grado del
numerador y como el polinomio P entonces esta integral es
del caso 1 y 2, por lo que deben encontrarse números reales y tales que
Así, al multiplicar cada miembro de esta igualdad por se
tiene que:
Utilizando las raíces y se obtiene lo siguiente:
Para Por lo tanto,
y
Para Por lo tanto,
Ahora se toma otro valor cualquiera; por ejemplo y se tiene que:
Por lo tanto, 54 pero se sabe que y
De donde 54 y
Así:
∫
∫
∫
∫
| | | |
EJEMPLO:
∫
Solución.
Primero se observa que el grado del denominador es menor que el grado del
numerador y como el polinomio P y ambos factores
son irreducibles de grado dos (ya que ambos no tienen raíces reales) entonces
esta integral es del caso 3.
Por lo tanto, deben encontrarse números reales tales que:
( )( )
Así, al multiplicar por se tiene que:
Al resolver las operaciones:
y factorizar:
Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
La solución de este sistema es:
0, y
Por lo tanto, se tiene que
∫
( )( ) ∫
∫
EJEMPLO: ∫
( ) ( )
Solución.
Primero se observa que el grado del denominador es menor que el grado del
numerador.
Y como P y ambos factores son irreducibles de
Grado dos (ya que ambos no tienen raíces reales) entonces esta integral es
del caso 3 y 4; Por lo tanto, deben encontrarse números reales y F
tales que:
Al multiplicar por se tiene que:
=
= Al factorizar, se obtiene:
***
Por tanto: A= 0 B= 0 C= 1 D= 0 E= 0 F= 1
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
(
)
(
)
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