Habilitation a diriger des recherches
Etude numerique et mathematique de quelquesmodeles de transition de phase, de separation de
phases et de cristaux liquides
Morgan PIERRE
Laboratoire de Mathematiques et Applications UMR CNRS 6086Universite de Poitiers
6 octobre 2011
Contexte
Equation d’Allen-Cahn :
∂u
∂t= ε2∆u − f ′(u), x ∈ Ω, t ≥ 0,
ou Ω ⊂ Rd est ouvert (d = 3, 2 ou 1), ε > 0 (petit) et f ′ laderivee d’un potentiel double-puits, typiquement
f (s) =1
4(s2 − 1)2 (s ∈ R).
La fonction inconnue u : Ω → R est un parametre d’ordre scalaire
Modele de transition de phase avec interface diffuse
Flot de gradient L2(Ω) de l’energie
E (u) =
∫
Ω
ε2
2|∇u|2 + f (u) dx .
s
1
-1phase 1
phase 2
ε
Interface diffuse
Contexte
Equation de Cahn-Hilliard :
∂u
∂t= −∆(ε2∆u − f ′(u)), x ∈ Ω, t ≥ 0.
modele de separation de phases avec conservation de la masse ;version conservative de l’equation d’Allen-Cahn
Contexte
Equation de Cahn-Hilliard :
∂u
∂t= −∆(ε2∆u − f ′(u)), x ∈ Ω, t ≥ 0.
modele de separation de phases avec conservation de la masse ;version conservative de l’equation d’Allen-CahnFlot des applications harmoniques :
∂u
∂t= ∆u + u |∇u|2 , x ∈ Ω, t ≥ 0,
ou u : Ω → S2 est un parametre d’ordre vectoriel de norme unitemodele de cristaux liquides ; version asymptotique de l’equationd’Allen-Cahn vectorielle
Thematiques
Analyse numerique de modeles de type Cahn-Hilliard
Thematiques
Analyse numerique de modeles de type Cahn-Hilliard
avec condition au bord dynamique [Cherfils, Petcu et P.’10]avec terme inertiel [Grasselli et P.’10], [Grasselli, Lecoq etP. a p.]Modele de Cahn-Hilliard-Gurtin [Injrou et P.’08 et ’10]
Thematiques
Analyse numerique de modeles de type Cahn-Hilliard
avec condition au bord dynamique [Cherfils, Petcu et P.’10]avec terme inertiel [Grasselli et P.’10], [Grasselli, Lecoq etP. a p.]Modele de Cahn-Hilliard-Gurtin [Injrou et P.’08 et ’10]
Etude de singularites dans des problemes paraboliques
Thematiques
Analyse numerique de modeles de type Cahn-Hilliard
avec condition au bord dynamique [Cherfils, Petcu et P.’10]avec terme inertiel [Grasselli et P.’10], [Grasselli, Lecoq etP. a p.]Modele de Cahn-Hilliard-Gurtin [Injrou et P.’08 et ’10]
Etude de singularites dans des problemes paraboliques
Equation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique[Cherfils et P.’08]Equation de diffusion visqueuse [P.’08]Flot des applications harmoniques B2 → S2[Merlet et P.’05]
Thematiques
Analyse numerique de modeles de type Cahn-Hilliard
avec condition au bord dynamique [Cherfils, Petcu et P.’10]avec terme inertiel [Grasselli et P.’10], [Grasselli, Lecoq etP. a p.]Modele de Cahn-Hilliard-Gurtin [Injrou et P.’08 et ’10]
Etude de singularites dans des problemes paraboliques
Equation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique[Cherfils et P.’08]Equation de diffusion visqueuse [P.’08]Flot des applications harmoniques B2 → S2[Merlet et P.’05]
Etude theorique et numerique de problemes stationnaires
Thematiques
Analyse numerique de modeles de type Cahn-Hilliard
avec condition au bord dynamique [Cherfils, Petcu et P.’10]avec terme inertiel [Grasselli et P.’10], [Grasselli, Lecoq etP. a p.]Modele de Cahn-Hilliard-Gurtin [Injrou et P.’08 et ’10]
Etude de singularites dans des problemes paraboliques
Equation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique[Cherfils et P.’08]Equation de diffusion visqueuse [P.’08]Flot des applications harmoniques B2 → S2[Merlet et P.’05]
Etude theorique et numerique de problemes stationnaires
Modele de champ de phase cristallin [P. et Rougirel]Applications harmoniques B2 → S2 [P.’05 et ’08]
Thematiques
Analyse numerique de modeles de type Cahn-Hilliard
avec condition au bord dynamique [Cherfils, Petcu et P.’10]avec terme inertiel [Grasselli et P.’10], [Grasselli, Lecoq etP. a p.]Modele de Cahn-Hilliard-Gurtin [Injrou et P.’08 et ’10]
Etude de singularites dans des problemes paraboliques
Equation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique[Cherfils et P.’08]Equation de diffusion visqueuse [P.’08]Flot des applications harmoniques B2 → S2[Merlet et P.’05]
Etude theorique et numerique de problemes stationnaires
Modele de champ de phase cristallin [P. et Rougirel]Applications harmoniques B2 → S2 [P.’05 et ’08]
Convergence vers l’equilibre
Thematiques
Analyse numerique de modeles de type Cahn-Hilliard
avec condition au bord dynamique [Cherfils, Petcu et P.’10]avec terme inertiel [Grasselli et P.’10], [Grasselli, Lecoq etP. a p.]Modele de Cahn-Hilliard-Gurtin [Injrou et P.’08 et ’10]
Etude de singularites dans des problemes paraboliques
Equation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique[Cherfils et P.’08]Equation de diffusion visqueuse [P.’08]Flot des applications harmoniques B2 → S2[Merlet et P.’05]
Etude theorique et numerique de problemes stationnaires
Modele de champ de phase cristallin [P. et Rougirel]Applications harmoniques B2 → S2 [P.’05 et ’08]
Convergence vers l’equilibre
Modeles ci-dessusDiscretisation d’EDOs [Merlet et P.’10],[Grasselli et P. a p.]
Plan
1 IntroductionContexteThematiques
2 Convergence vers l’equilibre
3 Equation de Cahn-Hilliard avec condition au bord dynamique
4 Equation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique
5 Applications harmoniques du disque dans S2
6 Conclusion et perspectives
IntroductionConvergence vers l’equilibre
Equation de Cahn-Hilliard avec condition au bord dynamiqueEquation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique
Applications harmoniques du disque dans S2
Conclusion et perspectives
On considere une suite (Un)n≥0 de Rd qui satisfait
ε
(
Un+1 − 2Un + Un−1)
∆t2+
Un+1 − Un
∆t+∇F (Un+1) = Gn+1, (1)
pour tout n ≥ 0, ou ∆t > 0 (pas de temps) et ε ≥ 0. Onsuppose :
F ∈ C 1,1loc (R
d ,R) est semi-convexe pour une constante cF ≥ 0,
c-a-d que W 7→ F (W ) + cF ‖W ‖2 /2 est convexe.
(Gn+1)n∈N est une suite donnee dans Rd verifiant
supn∈N
(
n1+δ∞∑
k=n
∥
∥
∥G k+1
∥
∥
∥
2)
< ∞,
pour une constante δ > 0.
Rq : Gn → 0 donc (1) est asymptotiquement autonome.Morgan PIERRE Habilitation
Theoreme (Grasselli & P. a p.)
Soit (Un)n∈N une suite qui satisfait (1). En plus des hypothesesprecedentes, on suppose que 1/∆t > cF/2, que la suite (Un)n∈N
est bornee et qu’il existe U⋆ ∈ ω((Un)n) tel que F verifie l’inegalitede Lojasiewicz au voisinage de U⋆, c-a-d
‖V − U⋆‖ < σ ⇒ |F (V )− F (U⋆)|1−θ ≤ cL ‖∇F (V )‖ ,
pour des constantes σ > 0, cL > 0 et θ ∈ (0, 1/2].Alors, limn→∞ Un = U⋆ et de plus, il existe une constante C telleque pour tout n > 0,
‖Un − U⋆‖ ≤ Cn−α avec α = min
θ
1− 2θ,δ
2
.
Rq1 : l’exposant α est optimal en general.Rq2 : par definition,
ω ((Un)n) :=
U⋆ ∈ Rd : ∃nk → ∞ tels que Unk → U⋆
.
Elements de preuve
arguments : fonction de Liapounov et inegalite de Lojasiewicz
adaptation en discret du flot de type gradientasymptotiquement autonome :
εU ′′(t) + U ′(t) +∇F (U(t)) = G (t), t ≥ 0,
traite par [Chill et Jendoubi’03], [Ben Hassen’10] (et[Haraux et Jendoubi’98] dans le cas G ≡ 0)
generalisation du cas ε = 0 et (Gn)n ≡ 0 traite par [Merlet etP.’10], [Attouch et Bolte’09] (voir aussi [Absil et al’05]).
Rq : dans le cas ε = 0 et (Gn)n ≡ 0, (1) est l’algorithme proximal(Euler implicite) applique au flot de gradientU ′(t) +∇F (U(t)) = 0, et les hypotheses sur F peuvent etreaffaiblies
Remarque sur le cas ε = 0 et (G n)n ≡ 0
Proposition (Merlet & P.’10)
Soit U ∈ C 1([0,+∞),Rd) une solution (bornee) deU ′(t) = −∇F (U(t)), ou F ∈ C 1,1
loc (Rd) est coercive et satisfait
l’inegalite de Lojasiewicz en un point U⋆ de ω(U(0)), de sorte quelimt→+∞ U(t) = U⋆. Si U⋆ est un minimiseur local de F , alorspour ∆t > 0 assez petit, et pour U0
∆t assez proche de U(0),l’unique suite (Un
∆t)n generee par le schema d’Euler implicite(Un+1
∆t − Un∆t)/∆t = −∇F (Un+1
∆t ) (n ≥ 0) converge vers une limiteU⋆∆t lorsque n → +∞, et de plus, U⋆
∆t → U⋆ lorsque ∆t → 0 etU0∆t → U(0).
Rq : resultat de stabilite : si U0∆t est assez proche de U⋆, alors
toute la suite (Un∆t)n reste proche de U⋆. A relier a un resultat de
[Miranville et Rougirel’06] (voir aussi [Huang’06], [Absil etKurdyka’06] et [Chill,Fasangova et Schatzle’10]).
IntroductionConvergence vers l’equilibre
Equation de Cahn-Hilliard avec condition au bord dynamiqueEquation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique
Applications harmoniques du disque dans S2
Conclusion et perspectives
Probleme : trouver (u,w) : Ω → R × R solution de
ut = ∆w , t > 0, x ∈ Ω, (2)
w = f ′(u)−∆u, t > 0, x ∈ Ω, (3)
(1/Γs)ut = σs∆‖u − g ′s(u)− ∂nu, t > 0, x ∈ Γ, (4)
∂nw = 0, t > 0, x ∈ Γ, (5)
ou Ω est une plaque, i.e.
Ω =(
R/(L1Z))
× (0, L2), L1 > 0, L2 > 0,
de frontiere C∞ : Γ = ∂Ω =(
R/(L1Z))
× 0, Ld. On a Γs > 0,σs > 0 et l’on choisit
f ′(v) = v3 − β2v et g ′s(v) = ksv − hs (β, ks > 0, hs ∈ R).
Morgan PIERRE Habilitation
u dissipe l’energie
E(u) =
∫
Ω
(
1
2|∇u|2 + f (u)
)
dx +
∫
Γ
(σs2
∣
∣∇‖u∣
∣
2+ gs(u)
)
dσ,
et la masse est conservee :∫
Ω u(t) dx =∫
Ω u(0) dx (t ≥ 0).Bibliographie :
Simulations par differences finies : [Fischer, Maass etDieterich’97 et ’98], [Kenzler et al’01]
Etude du probleme continu : [Racke et Zheng’03], [Wu etZheng’04], [Miranville et Zelik’06], [Chill, Fasangova etPruss’06], [Gal’06a], [Gal’06b], [Pruss, Rack etZheng’06], [Gilardi, Miranville et Schimperna’09]
Rq : resultats precedents et suivants valable egalement endimension 3 de domaine et pour des nonlinearites plus generales
Une simulation numerique
Parametres continus : domaine Lx × Ly = 80× 10 ;
f ′(v) = v3 − v/2, g ′s(v) = v , Γs = 10, σs = 0.1.
Parametres discrets : triangulation de 256× 50 rectanglesdecoupes en deux triangles selon la meme diagonalepas de temps δt = 0.1.Elements finis P1 conformes en espace, Euler semi-impliciteen temps.
t = 250animation
⇒ : resultats numeriques similaires a [Kenzler et al’01].
Schema semi-discretise en espace
V =
v ∈ H1(Ω), v|Γ (au sens des traces) ∈ H1(Γ)
,
Famille quasi-uniforme de triangulations Ωhh de [0, L1]× [0, L2](et Ω). Elements finis P1 conformes :
V h =
vh ∈ C 0(Ω), vh|T est affine ∀T ∈ Ωh
.
Probleme discret : trouver (uh,wh) : [0,T ] → V h × V h tels que
(uht , ϕ) = −(∇wh,∇ϕ), ∀ϕ ∈ V h, (6)
(wh, χ) = (f ′(uh), χ) + (∇uh,∇χ) + σs(∇‖uh,∇‖χ)Γ
+(g ′s(u
h), χ)Γ + Γ−1s (uh
t , χ)Γ, ∀χ ∈ V h. (7)
Extension naturelle du schema de [Elliott, French et Milner’89]pour Cahn-Hilliard classique.
Theoreme (Cherfils, Petcu & P.’10)
Pour tout uh0 ∈ V h, le probleme (6)–(7) admet une unique solution
(uh,wh) ∈ C 1([0,+∞);V h × V h) telle que uh(0) = uh0 . De plus,
E(uh(t)) +
∫ t
0
∣
∣
∣wh∣
∣
∣
2
1+ Γ−1
s
∣
∣
∣uht
∣
∣
∣
2
0,Γds ≤ E(uh(0)), ∀t ≥ 0, (8)
et il existe une solution stationnaire (uh, wh) ∈ V h × R telle que
limt→+∞
(uh(t),wh(t)) = (uh, wh).
Rq : l’estimation (8) permet de montrer la convergence de(uh,wh) vers (u,w) sur [0,T ] lorsque h → 0.
Theoreme (Cherfils, Petcu & P.’10)
Soient (u,w) une solution assez reguliere de (2)–(5) et (uh,wh)
une solution de (6)–(7). Si uh(0) = P1,hσs ,ks
(u(0)) et
wh(0) = P1,h(w(0)) (P1,h⋆ projecteur elliptique), alors
sup[0,T ]
(
∣
∣
∣uh − u
∣
∣
∣
0+∣
∣
∣uh − u
∣
∣
∣
0,Γ
)
≤ Ch2,
sup[0,T ]
(
∥
∥
∥uht − ut
∥
∥
∥
−1,h+∣
∣
∣uht − ut
∣
∣
∣
0,Γ
)
≤ Ch2,
(∫ T
0
∥
∥
∥wh − w
∥
∥
∥
2
0ds
)1/2
≤ Ch2,
sup[0,T ]
(
∥
∥
∥uh − u
∥
∥
∥
1+∥
∥
∥uh − u
∥
∥
∥
1,Γ
)
≤ Ch,
(∫ T
0
∥
∥
∥wh − w
∥
∥
∥
2
1+∥
∥
∥uht − ut
∥
∥
∥
2
1+∥
∥
∥uht − ut
∥
∥
∥
2
1,Γds
)1/2
≤ Ch.
Schema totalement discretise
Le schema est Euler implicite a pas constant δt > 0 appliquea (6)–(7). On a f ′′(s) ≥ −β2 et g ′′
s (s) ≥ ks > 0 ∀s ∈ R.
Theoreme (Cherfils, Petcu & P.’10)
Pour tout u0h ∈ V h, il existe une suite (un
h ,wnh )n≥1 satisfaisant le
schema totalement discretise et l’estimation d’energie
E(unh) +
1
2δt
∣
∣unh − un−1
h
∣
∣
2
−1,h+
1
2Γsδt
∣
∣unh − un−1
h
∣
∣
2
0,Γ≤ E(un−1
h ).
(9)pour tout n ≥ 1. De plus, (un
h ,wnh )n≥1 converge vers une solution
stationnaire (uh, wh) lorsque n → +∞. Si δt < δt⋆ := 4/β4, alorsla suite est definie de maniere unique.
Rq : etend un resultat de [Elliott’89] pour Cahn-Hilliard classique
IntroductionConvergence vers l’equilibre
Equation de Cahn-Hilliard avec condition au bord dynamiqueEquation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique
Applications harmoniques du disque dans S2
Conclusion et perspectives
Equation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique
Gurtin etablit dans [Gurtin’96] plusieurs generalisations del’equation d’Allen-Cahn (et de l’equation de Cahn-Hilliard) :notion de microforces, separation des lois constitutives et des loisde conservation. Une de ces generalisations s’ecrit :
β∂tu+b ·∇∂tu−div(
A∇∂tu)
−α∆u+ f ′(u) = 0, x ∈ Ω, t ≥ 0,(10)
avec Ω ⊂ Rd ouvert borne (d = 1, 2 ou 3), β ≥ 0, b ∈ Rd et Amatrice de taille d symetrique et positive (condition dedissipativite).Etude de (10) dans [Cherfils et Miranville’99] : β > 0, Asymetrique definie positive et f polynome de degre pair acoefficient dominant > 0 et a croissance sous-critique : existenceglobale et unicite de la solution, attracteur de dimension finie.
Morgan PIERRE Habilitation
Probleme : etendre au cas du potentiel logarithmique de derivee
f ′(s) =θ
2ln
(
1 + s
1− s
)
− θcs, s ∈ (−1, 1) (0 < θ < θc).
Question naturelle car f est le potentiel thermodynamique.En dimension d = 1, (10) s’ecrit
ut + buxt − auxxt − αuxx + f ′(u) = 0, x ∈ (0, 1), t > 0, (11)
avecb ∈ R, a > 0 et α > 0.
Pas de principe de comparaison pour (11) [Cherfils et P.’08],contrairement au cas pseudo-parabolique f ′ ≡ 0, b = 0(cf.[DiBenedetto et Pierre’81]) et contrairement au casclassique (b = a = 0, α > 0).
Une simulation numerique
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0−1.0
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
uU_0
U_200
U_400
U_600
U_800
U_1000
“Explosion” en temps fini pour le potentiel logarithmique
θ = 1, θc = 2, α = 0.01, a = 1, b = 4.
CB periodiques avec x ∈ T = R/Z (tore). En posantLa,b = I + b.∇− a∆ de domaine H1(T) = H1
per(0, 1), (11) s’ecrit
ut = α∆ L−1a,bu − L−1
a,bf ′(u). (12)
⇒ existence locale pour toute donnee u ∈ C 0(T) telle que |u| < 1dans T (Cauchy-Lipschitz). En revanche, on a
Theoreme (Cherfils & P.’08)
On suppose que f est le potentiel logarithmique et on fixe x0 ∈ T.Alors, pour α > 0 assez petit, il existe T > 0 et
u ∈ C 1([−T , 0];C 0(T)) ∩ C 1([−T , 0);C 2(T))
tels que ‖u(t)‖∞ < 1 pour tout t ∈ [−T , 0), u satisfait (12) sur[−T , 0), u(x0, 0) = 1 et ut(x0, 0) > 0. En particulier, u ne peutpas etre prolonge pour des temps positifs comme une solutionclassique de (12).
Une piste pour definir une solution globale
On a f ′(s) = g(s)− θcs avec g : (−1, 1) → R continue croissantemaximale. Pour b = 0 et a = 1, on recrit (12)
ut = −L−1a,bg(u) + (α∆ L−1
a,b + θcL−1a,b)u.
Dans H = H1(T), l’operateur A = L−11,0g de domaine
D(A) = u ∈ H : g(u) ∈ L2(0, 1) est monotone, car
(Au−Av , u−v)H =
∫ 1
0(g(u)−g(v))(u−v)dx ≥ 0 ∀u, v ∈ D(A).
On montre que A est (multivalue) maximal monotone dans H.
Pour tout u0 ∈ D(A), il existe une unique solution forteu ∈ C ([0,+∞);H) de 0 ∈ ut + Au − Lu, ouL = (α∆ L−1
a,b + θcL−1a,b) est lineaire et borne sur H.
⇒ : cas general en cours d’etude
IntroductionConvergence vers l’equilibre
Equation de Cahn-Hilliard avec condition au bord dynamiqueEquation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique
Applications harmoniques du disque dans S2
Conclusion et perspectives
Soient D le disque unite de R2, de frontiere ∂D = S1, et S2 lasphere unite de R3.Probleme : pour une donnee au bord γ : ∂D → S2, trouveru : D → S2 solution de
−∆u = u |∇u|2 dans D, (13)
u = γ sur ∂D. (14)
Pour γ constant, resultat d’unicite de [Lemaire’78] et pour γ nonconstant, resultats de multiplicite de [Brezis et Coron’83],[Jost’84], [Soyeur’89], [Kuwert’94], [Qing’92a ] et [Qing’92b].Resultat de regularite de [Helein’90] et [Qing’93].
Morgan PIERRE Habilitation
Une application harmonique (solution de (13)) est un pointcritique de
E(u) =1
2
∫
D
|∇u|2 dx dy .
Invariance de E sous l’action de Aut(D)× O(3) (invarianceconforme de domaine et invariance isometrique de S2) dansH1(D, S2) et H1/2(S1, S2). On pose
γa,n : S1 ∋ z 7→ Π−1N (azn) ∈ S2 (a ∈ [1,+∞), n ∈ N⋆),
ou ΠN : S2 → C est la projection stereographique de pole nord etou S1 ≃ z ∈ C : |z | = 1.
Theoreme (P.’08)
Si γ ∈ H1/2(S1, S2) est une donnee au bord non constante dont lestabilisateur est de cardinal infini, alors il existe(g ,T ) ∈ Aut+(D)× O+(3) tel que T γ g−1 = γa,n p.p. dansS1, pour un unique a ≥ 1 et un unique n ∈ N⋆.
Pour tout θ ∈ R/(2πZ) et z ∈ S1, on a a(eiθ z)n = einθ(azn), i.e.que le stabilisateur de γa,n contient le groupe continu de rotations
Gn = (Rθ,Rnθ) : θ ∈ R/2πZ ,
ou Rα = rotation vectorielle de R3 d’angle α par rapport a [0z)Pour γ = γa,n, deux solutions distinctes de (13)–(14) sont
ua,n : z 7→ Π−1N (azn) et ua,n : z 7→ Π−1
N (az−n),
et leur stabilisateur contient Gn.
Theoreme (P.’08)
Si γ = γa,n pour un a ∈ [1,+∞) et un n ∈ N⋆, et si u est unesolution de (13)–(14) distincte de ua,n et ua,n, alors u a unstabilisateur fini. En particulier, l’existence d’un tel u impliquel’existence d’un continuum de solutions au probleme pour la memedonnee au bord γa,n et dans la meme classe d’homotopie, paraction du groupe Gn sur u.
Remarques
Probleme de Brezis : pour (a ≥ 1 et) n = 1 existe-t-il uneextension harmonique de γa,n distincte de ua,n et ua,n ?
Resultats precedents adaptes a des groupes discrets derotation : classification de tous les stabilisateurs finis etbrisure de symetrie discrete ([P.’08] et [P.’05]).
Proposition (P.’08)
Il existe une donnee au bord γ ∈ C 2(S1, S2) dont le stabilisateurest trivial et qui admet au moins deux prolongements harmoniquesdistincts appartenant a une meme classe d’homotopie
Trois minimiseurs homotopes pour γa,n avec a = 1, n = 2
Conclusion et perspectives
Analyse numerique de modeles de type Cahn-Hilliard
avec condition au bord dynamique [Cherfils, Petcu et P.’10]avec terme inertiel [Grasselli et P.’10], [Grasselli, Lecoq etP. a p.]Modele de Cahn-Hilliard-Gurtin [Injrou et P.’08 et ’10]
Etude de singularites dans des problemes paraboliques
Equation d’Allen-Cahn-Gurtin avec potentiel logarithmique[Cherfils et P.’08]Equation de diffusion visqueuse [P.’08]Flot des applications harmoniques B2 → S2[Merlet et P.’05]
Etude theorique et numerique de problemesstationnaires
Modele de champ de phase cristallin [P. et Rougirel]Applications harmoniques B2 → S2 [P.’05 et ’08]
Convergence vers l’equilibre
Modeles ci-dessusDiscretisation d’EDOs [Merlet et P.’10],[Grasselli et P. a p.]