Habilitation à Diriger des Recherches - Aspects probabilistes en
physique et en biologie numériqueHabilitation à Diriger des
Recherches Aspects probabilistes en physique et en biologie
numérique
Mathias Rousset
Programme
Ch. 1 Simulation de systèmes mécaniques thermostatés (dynamique
moléculaire) : le problème des échelles de temps.
Ch. 2 Interprétation probabiliste d’états fondamentaux fermioniques
de l’équation de Schrödinger : le problème du signe.
Ch. 3 Simulation de dynamiques stochastiques de bactéries : le
problème de la variance.
Ch. 4 Systèmes de particules avec collisions de paires : le
problème de la vitesse de convergence à l’équilibre.
Rouge = résultats originaux.
Programme
Ch. 1 Simulation de systèmes mécaniques thermostatés (dynamique
moléculaire) : le problème des échelles de temps.
Ch. 2 Interprétation probabiliste d’états fondamentaux fermioniques
de l’équation de Schrödinger : le problème du signe.
Ch. 3 Simulation de dynamiques stochastiques de bactéries : le
problème de la variance.
Ch. 4 Systèmes de particules avec collisions de paires : le
problème de la vitesse de convergence à l’équilibre.
Rouge = résultats originaux.
Programme
Ch. 1 Simulation de systèmes mécaniques thermostatés (dynamique
moléculaire) : le problème des échelles de temps.
Ch. 2 Interprétation probabiliste d’états fondamentaux fermioniques
de l’équation de Schrödinger : le problème du signe.
Ch. 3 Simulation de dynamiques stochastiques de bactéries : le
problème de la variance.
Ch. 4 Systèmes de particules avec collisions de paires : le
problème de la vitesse de convergence à l’équilibre.
Rouge = résultats originaux.
Programme
Ch. 1 Simulation de systèmes mécaniques thermostatés (dynamique
moléculaire) : le problème des échelles de temps.
Ch. 2 Interprétation probabiliste d’états fondamentaux fermioniques
de l’équation de Schrödinger : le problème du signe.
Ch. 3 Simulation de dynamiques stochastiques de bactéries : le
problème de la variance.
Ch. 4 Systèmes de particules avec collisions de paires : le
problème de la vitesse de convergence à l’équilibre.
Rouge = résultats originaux.
problème des échelles de temps
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 3 / 49
(Ch. 1) Système mécanique classique
Le modèle Soit un système mécanique classique à N corps (ex : une
molécule faite de N atomes de masse 1). H : R6N → R l’ hamiltonien
du système est séparable de la forme usuelle :
H(p, q) := 1 2 |p|2
énergie cinétique
On peut alternativement considérer le Lagrangien L(q, v) = 1
2 |v | 2 − V (q), la dynamique est obtenue en minisant
l’action ∫ T
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 4 / 49
(Ch. 1) Echelles de temps Variables lentes/rapides On suppose
connues : (i) Des variables lentes du système : ξslow : R3N →
Rnslow .
Exemple : la longueur de la molécule. (ii) Des variables rapides du
système : ξfast : R3N → Rnfast .
Exemple les distances inter-atomiques, et les angles formés par 3
atomes successifs. Pb : Contrainte de stabilité sur le pas de temps
des schémas numériques.
Torsion
Dihedral
(Ch. 1) Dynamique thermostatée : équation de Langevin Equation
Différentielle Stochastique de Langevin Simulation : on ajoute à la
dynamique de Newton/Hamilton un thermostat stochastique de
température T :
dQt = Ptdt ∈ R3N
(ii) σ tenseur t.q. : ∀q, σ(q)σT (q) = 2γ(q)
β > 0 , β−1 = kbT .
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 6 / 49
(Ch. 1) Propriétés des dynamiques de Langevin
Caractéristiques de l’équation de Langevin t 7→ (Qt ,Pt) ∈ R6N est
ergodique (γ(q) > 0) pour la probabilité stationnaire de Gibbs
(∀ cond. init.) :
lim t→+∞
1 t
On s’intéresse aux moyennes calculées avec cette mesure.
t 7→ (Qt ,Pt) ∈ R6N vérifie la propriété de réversibilité
stochastique (équilibre) en régime stationnaire si on retourne les
moments p 7→ −p.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 7 / 49
(Ch. 1) Propriétés des dynamiques de Langevin
Caractéristiques de l’équation de Langevin t 7→ (Qt ,Pt) ∈ R6N est
ergodique (γ(q) > 0) pour la probabilité stationnaire de Gibbs
(∀ cond. init.) :
lim t→+∞
1 t
On s’intéresse aux moyennes calculées avec cette mesure.
t 7→ (Qt ,Pt) ∈ R6N vérifie la propriété de réversibilité
stochastique (équilibre) en régime stationnaire si on retourne les
moments p 7→ −p.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 7 / 49
(Ch. 1) Réversibilité et simulation Réversibilité stochastique =
invariance par renversement du temps
(free.mp4)
Loi((Qt ,Pt)0≤t≤T ) = 1
Simulation avec variables lentes et rapides On veut accélérer le
lent et ralentir le rapide sans changer la proba. d’équilibre
1
Z e−βV (q)dq ...
free.mp4
(free.mp4)
Loi((Qt ,Pt)0≤t≤T ) = 1
Simulation avec variables lentes et rapides On veut accélérer le
lent et ralentir le rapide sans changer la proba. d’équilibre
1
Z e−βV (q)dq ...
free.mp4
(Ch. 1) Origine de la réversibilité stochastique
Points clefs ⇒ réversibilité stochastique (i) Le ”thermostat” seul
dPt = −γPt + σdWt :
(Ornstein-Uhlenbeck) reversible pour e−β|p| 2/2dp et invariant
par
p 7→ −p. (ii) La dynamique déterministe (Newton/Hamilton) seule
:
I est réversible en temps si on retourne les moments p 7→ −p. I est
symplectique : elle conserve les aires de surfaces d’espace
des phases, a fortiori elle conserve le volume dpdq :
I conserve l’énergie H(q, p).
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 9 / 49
(Ch. 1) Méthode 1 : Evolution de la variable lente contrainte
Nouvelle dynamique Afin d’accélérer l’évolution des variables
lentes on va forcer leur évolution de la manière suivante :
dQt = Ptdt dPt = −∇V (Qt)− γ(Qt)Ptdt + σ(Qt)dWt
+∇ξslow(Qt)dΛt
ξslow(Qt) = z(t) (C ) contrainte avec t 7→ z(t) donné
où t 7→ Λt est un multiplicateur de Lagrange stochastique associé à
(C ) (calculable explicitement, l’équation ci-dessus est une EDS
usuelle).
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 10 / 49
(Ch. 1) Méthode 1 : Dynamique contrainte Dynamique contrainte
constante z(t) = cte La dynamique de Langevin est alors ergodique
et réversible pour la proba. de Gibbs contrainte :
µz := 1 Zz
e−βH(q,p)σT∗{q|ξslow(q)=z}(dqdp),
où σT∗{q|ξslow(q)=z}(dqdp) désigne la mesure (de Liouville,
canonique) de l’espace des phases défini par la contrainte (espace
co-tangent).
Hypothèse cas dépendant du temps z(t) 6= cte Soit t ∈ [0,T ] avec T
> 0 temps final. Hypothèses simplificatrices : (i) z(0) = z(T )
= 0 (départ et arrivée ”doux”). (ii) γ(q)∇qξslow = 0∀q (pas de
frottement dans la direction lente).
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 11 / 49
(Ch. 1) Méthode 1 : Dynamique contrainte Dynamique contrainte
constante z(t) = cte La dynamique de Langevin est alors ergodique
et réversible pour la proba. de Gibbs contrainte :
µz := 1 Zz
e−βH(q,p)σT∗{q|ξslow(q)=z}(dqdp),
où σT∗{q|ξslow(q)=z}(dqdp) désigne la mesure (de Liouville,
canonique) de l’espace des phases défini par la contrainte (espace
co-tangent).
Hypothèse cas dépendant du temps z(t) 6= cte Soit t ∈ [0,T ] avec T
> 0 temps final. Hypothèses simplificatrices : (i) z(0) = z(T )
= 0 (départ et arrivée ”doux”). (ii) γ(q)∇qξslow = 0∀q (pas de
frottement dans la direction lente).
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 11 / 49
(Ch. 1) Méthode 1 : Equation de réversibilité de Jarzynski-Crooks
Réversibilité pondérée On a montré rigoureusement la réversibilité
pondérée avec évolution contrainte z(t) 6= cte (T > 0 temps
final donné). C’est une formule explicite pour le rapport de
probabilités (dérivée de Radon) :
Loi(Q0,P0)∼µz(0) ((QT−t ,−PT−t)0≤t≤T )
Loi(QT ,PT )∼µz(T ) ((Qb
(q, p) = Zz(T )
b t ) est Langevin (même dynamique) mais avec
contraintes renversées en temps zb(t) = z(T − t)
(ii) W0→T def =
0 z(t)dΛt est le travail (=énergie) injecté au
système à cause de t 7→ z(t). Calculable explicitement !. Mathias
Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des Recherches 27
novembre 2014 12 / 49
(Ch. 1) Méthode 1 : Application
Calcul d’ ”énergies libres”
Zz(0) , qui permet de calculer la distribution
d’équilibre de la variable lente (énergie libre) :
p(z)dz := Loi(ξslow(Q)), Loi(Q) = 1 Z
e−βV (q)dq.
p(z(T ))
correction géométrique
(Ch. 1) Méthode 1 : Application
Calcul d’ ”énergies libres”
Zz(0) , qui permet de calculer la distribution
d’équilibre de la variable lente (énergie libre) :
p(z)dz := Loi(ξslow(Q)), Loi(Q) = 1 Z
e−βV (q)dq.
p(z(T ))
correction géométrique
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 13 / 49
(Ch. 1) Méthode 1 : Principe de preuve et développement de schémas
numériques
Idées de preuve : contraintes évolutives z(t) 6= cte (i) Partie
”thermostat” toujours réversible + sym. p 7→ −p (ii) Partie
hamiltonienne est encore réversible en temps si p 7→ −p
et z(t) 7→ z(T − t). (iii) Partie hamiltonienne est encore
symplectique.
Seule différence avec cas libre : énergie non-conservée d’où W0→T
.
Nouveaux schémas numériques + analyse numérique Splitting entre (i)
partie thermostat , (ii) partie Hamiltonienne avec Lagrangien
discret avec contrainte (RATTLE) ⇒ réversibilité pondérée exacte au
niveau discret. Analyse du régime ”overdamped”.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 14 / 49
(Ch. 1) Méthode 1 : Principe de preuve et développement de schémas
numériques
Idées de preuve : contraintes évolutives z(t) 6= cte (i) Partie
”thermostat” toujours réversible + sym. p 7→ −p (ii) Partie
hamiltonienne est encore réversible en temps si p 7→ −p
et z(t) 7→ z(T − t). (iii) Partie hamiltonienne est encore
symplectique.
Seule différence avec cas libre : énergie non-conservée d’où W0→T
.
Nouveaux schémas numériques + analyse numérique Splitting entre (i)
partie thermostat , (ii) partie Hamiltonienne avec Lagrangien
discret avec contrainte (RATTLE) ⇒ réversibilité pondérée exacte au
niveau discret. Analyse du régime ”overdamped”.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 14 / 49
(Ch. 1) Méthode 2 : pénalisation implicite des variables
rapides
Idée : ralentir les variables rapides (i) On va artificiellement
rajouter la quantité de masse ν2 > 0 aux
variables rapides ξfast : R3N → Rnfast . (ii) On veut garder un
Hamiltonien séparable (qui donne des
schémas symplectiques explicites). (iii) Idée originale : On
augmente la dimension de l’espace d’état
avec les variables (z , vz) ∈ Rnfast×nfast et ajoute autant de
contraintes.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 15 / 49
(Ch. 1) Méthode 2 : Lagrangien
Lagrangien de la méthode On peut résumer la méthode en donnant le
Lagrangien de la dynamique déterministe :{
LIMP(v , vz , q, z) = 1 2 |v |
2 + ν2
2 |vz |2 − V (q)− Vfix,ν(q),
ξ(q, z) := ξfast(q)− z = 0, (C )
(i) (z , vz) ∈ Rnfast×nfast : nouvelles variables de masse ν2 >
0. (ii) Vfix,ν(q) := 1
2β ln (det(Id3N + ν2∇qξfast ⊗∇qξfast)) une correction géométrique
calculable.
(iii) La contrainte (C ) qui impose ξfast(q) = z .
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 16 / 49
(Ch. 1) Méthode 2 : Simulation
Simple (tps= coût calcul) Pénalisé (tps= coût calcul)
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 17 / 49
free2.mp4
(Ch. 1) Méthode 2 : pénalisation implicite des variables rapides
Résultats originaux (i) Si on rajoute un thermostat (Langevin), la
distribution
d’équilibre des positions est exacte : ∝ e−βV (q)dq.
(ii) La limite ν → 0 (pénalisation nulle) est la dynamique exacte.
(iii) La limite ν → +∞ est la dynamique contrainte sur {ξfast(q) =
zt=0}.
(iv) Si V (q) ≡ U(q, (ξfast(q)− z0)/ε), z0 inconnu, la limite ε→ 0
ν = O(1/ε) est la dynamique contrainte effective attendue sur
{ξfast(q) = z0}.
(v) Les schémas numériques Lagrangiens avec contraintes vérifient
(i)-(ii)-(iii)-(iv), inconditionnellement sur le pas de temps t
(”préserve l’asymptotique”).
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 18 / 49
(Ch. 1) Méthode 2 : pénalisation implicite des variables rapides
Résultats originaux (i) Si on rajoute un thermostat (Langevin), la
distribution
d’équilibre des positions est exacte : ∝ e−βV (q)dq. (ii) La limite
ν → 0 (pénalisation nulle) est la dynamique exacte. (iii) La limite
ν → +∞ est la dynamique contrainte sur {ξfast(q) = zt=0}.
(iv) Si V (q) ≡ U(q, (ξfast(q)− z0)/ε), z0 inconnu, la limite ε→ 0
ν = O(1/ε) est la dynamique contrainte effective attendue sur
{ξfast(q) = z0}.
(v) Les schémas numériques Lagrangiens avec contraintes vérifient
(i)-(ii)-(iii)-(iv), inconditionnellement sur le pas de temps t
(”préserve l’asymptotique”).
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 18 / 49
(Ch. 1) Méthode 2 : pénalisation implicite des variables rapides
Résultats originaux (i) Si on rajoute un thermostat (Langevin), la
distribution
d’équilibre des positions est exacte : ∝ e−βV (q)dq. (ii) La limite
ν → 0 (pénalisation nulle) est la dynamique exacte. (iii) La limite
ν → +∞ est la dynamique contrainte sur {ξfast(q) = zt=0}.
(iv) Si V (q) ≡ U(q, (ξfast(q)− z0)/ε), z0 inconnu, la limite ε→ 0
ν = O(1/ε) est la dynamique contrainte effective attendue sur
{ξfast(q) = z0}.
(v) Les schémas numériques Lagrangiens avec contraintes vérifient
(i)-(ii)-(iii)-(iv), inconditionnellement sur le pas de temps t
(”préserve l’asymptotique”).
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 18 / 49
Chapitre 2 Etats fondamentaux fermioniques et problème du
signe
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 19 / 49
(Ch. 2) Etats fondamentaux ”fermioniques” Problème (i) On considère
un opérateur de Schrödinger (autoadjoint) dans
l’espace de Hilbert L2(Rd , dx) :
H = −
2 + V ,
où V : Rd → R est invariant par l’action d’un groupe fini de
symétries S.
(ii) Objectif : Calcul par une méthode probabiliste de l’état
fondamental (propre) antisymétrique d’énergie minimale (vap)
:
E ∗ = inf ψ∈L2
skew, ψL2=1
(Ch. 2) Antisymétrie
skew sont contraintes à être antisymétriques :{ ψ ∈ L2
skew ⇔ ψ g = ε(g)ψ ∀g ∈ S ε(g) := ±1 = signature de g
(ii) Cas physique de N particules quantiques de type Fermion : Rd =
R3N et le groupe de symétrie S := {permut. des N particules}.
(iii) A cause de l’antisymétrie, l’état fondamental ψ∗ ne possède
pas de signe ⇒ difficultés pour l’interprétation
probabiliste.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 21 / 49
(Ch. 2) Etats fondamentaux fermioniques
Exemple dans R2 pour symétrie parité S = {id, x 7→ −x} ψ∗ = état
fondamental antisymétrique.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 22 / 49
(Ch. 2) Minimum sur des problèmes de Dirichlet
Double minimisation utilisant des conditions de Dirichlet
E ∗ := inf
∫ Rd ψH (ψ)
Il faut imposer la contrainte d’antisymétrie : N \ Rd = N+ tN−
S-stable, connexe à une symétrie près (N+ = g(N+) si g paire, N− =
g(N+) si g impaire).
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 23 / 49
(Ch. 2) Minimum sur des problèmes de Dirichlet
Double minimisation utilisant des conditions de Dirichlet
E ∗ := inf
∫ Rd ψH (ψ)
Il faut imposer la contrainte d’antisymétrie : N \ Rd = N+ tN−
S-stable, connexe à une symétrie près (N+ = g(N+) si g paire, N− =
g(N+) si g impaire).
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 23 / 49
(Ch. 2) Approximation des ”noeuds” (calN) fixés
Dessin En général, le minimiseur ψ∗Dir(N ) n’est pas un état propre
dans Rd :
∇−x ψ∗Dir(N ) 6= ∇+ x ψ ∗ Dir(N ) x ∈ N , H(ψ∗Dir(N )) /∈ L2 et E
∗Dir(N ) > E ∗
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 24 / 49
(Ch. 2) Interprétation probabiliste
Interprétation probabilistes d’états fondamentaux (i) Soit ψ∗Dir(N
) ∈ L1 ∩ L2, d’énergie (val. propre) E ∗Dir(N ) est un
état fondamental de Schrödinger avec condition de Dirichlet. On a
la formule de Feynman-Kac ”quasi-stationnaire”, ∀ :∫
Rd (x)ψ∗Dir(N )(x)dx∫ Rd ψ
∗ Dir(N )(x)dx
= lim t→+∞
E ( (Wt)e−
) E ( e−
R t 0 V (Ws)ds |τ ≥ t
) t 7→ Wt est un mouvement bownien standard, et τ := inf(t ≥ 0|Wt ∈
N ) (temps d’atteinte du bord).
(ii) Methode à la base des méthodes de Chimie Quantique Monte-Carlo
(échantillonage MC de ψ∗Dir(N )).
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 25 / 49
(Ch. 2) Variation des conditions de Dirichlet Calcul probabiliste
de la variation des conditions de Dirichlet Pour un problème d’état
fondamental avec conditions de Dirichlet sur Nθ, le calcul
variationnel donne (rθ ”dérivée de forme”) :
∂θE ∗Dir(Nθ) ∝ − ∫ Nθ
(Ch. 2) Résultat : Interprétation probabiliste Résultat (i) Pas de
formule probabiliste directe pour ∇θE ∗θ . (ii) Mais on a la
formule (SW := signe(W ) ∈ {+1,−1}) :
EW0∼ψ∗Dir(N ) (x)dx
) ∝ ∫ N
(Ch. 2) Résultat : Interprétation probabiliste
Résultat (suite) (i) En particulier la ”pression” sur N et la
distribution de Wτ
arrété sur N , signée, et pondérée ont le même signe. (ii)
Caractérisation : ψ∗Dir(N ) est un état propre de Schrödinger
ssi
la distribution pondérée de Wτ de type + est invariante par S.
(iii) Nouvelle méthode (imparfaite) de calcul Monte-Carlo de
∂θE ∗Dir(Nθ).
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 28 / 49
Chapitre 3 Simulation de dynamiques de bactéries et le problème de
la
réduction de variance
Modèle
(i) Xt ∈ Rd : position ; (ii) εVt ∈ εSd−1 : vitesse (normalisée) ;
(iii) S : Rd → Rn : concentrations de chimio-attractants ; (iv) Yt
∈ Rn
variable interne qui ”mémorise” les concentrations.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 30 / 49
(Ch. 3) Modèle d’une dynamique de bactérie Dynamique Processus
markovien à sauts : (i) Vitesse : dXt
dt = εVt . (ii) Variable interne solution d’une Equation
Différentielle
Ordinaire linéaire (τε = τT ε ∈ Rn×n > 0) :
dYt
dt = −τ−1
ε (Yt − S(Xt)).
(iii) t 7→ Vt constant par morceaux, (Tn)n≥0 temps de saut :{∫ Tn+1
Tn
λ(S(Xt)− Yt) dt = θn+1, (θn)n≥1 i.i.d. loi expo. VTn+1 ∼
Unif(Sd−1)
”Yt est une mémoire des concentrations passées, qui comparée à
S(Xt), provoquent le changement de direction au hasard”.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 31 / 49
(Ch. 3) Echelles de temps et approx. diffusion Trois échelles de
temps (i) Lent : vitesse des bactéries d’ordre O(ε). (ii) Rapide :
fréquence des changements de vitesses d’ordre O(1),
λ(z) = 1− b · z + O(|z |k).
(iii) Intermédiaire (ou rapide) : variables internes d’ordre τε =
O(ε1−δ) avec δ > 1/k .
Approximation diffusion La position sur des temps diffusif (t =
ε2t), t 7→ Xt/ε2 converge en loi vers l’EDS
dXt = ∇s(Xt)d t + ( 2d−1)1/2 dWt ,
avec concentration ”type” s(x) = b · limε→0 τε
τε+Idn S(x). ( Méthode
”directe” de développement asympotique en ε des temps de
saut).
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 32 / 49
(Ch. 3) Echelles de temps et approx. diffusion Trois échelles de
temps (i) Lent : vitesse des bactéries d’ordre O(ε). (ii) Rapide :
fréquence des changements de vitesses d’ordre O(1),
λ(z) = 1− b · z + O(|z |k).
(iii) Intermédiaire (ou rapide) : variables internes d’ordre τε =
O(ε1−δ) avec δ > 1/k .
Approximation diffusion La position sur des temps diffusif (t =
ε2t), t 7→ Xt/ε2 converge en loi vers l’EDS
dXt = ∇s(Xt)d t + ( 2d−1)1/2 dWt ,
avec concentration ”type” s(x) = b · limε→0 τε
τε+Idn S(x). ( Méthode
”directe” de développement asympotique en ε des temps de saut).
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 32 / 49
(Ch. 3) Dynamique simplifiée ”sensible au gradient”
Description de la dynamique (i) Idée : on souhaite réduire la
variance statistique des simulations
directes (”Monte-Carlo”) des bactéries en utilisant un modèle de
plus faible dimension.
(ii) On a considéré une dynamique sans variable interne (notée t 7→
(X c
t ,V c t )) vérifiant aussi dX c
t dt = εV c
T c n
c t ) dt = θn+1, (θn)n≥1 i.i.d. loi expo.
V c T c
n+1 ∼ Unif(Sd−1)
(iii) La fréquence des sauts λc,ε(x , v) := 1− ε∇s(x) · v + o(ε)
est ”sensible au gradient” et est choisie afin que les deux modèles
aient la même limite de diffusion.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 33 / 49
(Ch. 3) Couplage avec la dynamique simplifiée ”sensible au
gradient” Description du couplage Couplage probabiliste naturel des
deux modèles (utilisation des mêmes ”nombres aléatoires”) : (i)
mêmes ”horloges” exponentielles (θn)n≥1, et mêmes nouvelles
vitesses VTn = V c
T c n .
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 34 / 49
(Ch. 3) Reduction de variance avec variable de contrôle
Comportement asymptotique du couplage (i) On montre alors que le
couplage est ”asymptotique” au sens
où la distance Lp tend vers 0 avec ε sur des temps diffusifs.
E (Xt/ε2 − X c
p)1/p = O(ε + εδ + εkδ−1).
(ii) Idée de preuve : développement asymptotique des temps de
sauts, formule de Duhamel pour l’EDO, inégalité maximale de
martingales.
(iii) Si on simule N bactéries, le bruit sur la différence entre
les deux modèles sur les temps diffusifs est alors d’ordre
1√ N
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 35 / 49
(Ch. 3) Reduction de variance avec variable de contrôle
Comportement asymptotique du couplage (i) On montre alors que le
couplage est ”asymptotique” au sens
où la distance Lp tend vers 0 avec ε sur des temps diffusifs.
E (Xt/ε2 − X c
p)1/p = O(ε + εδ + εkδ−1).
(ii) Idée de preuve : développement asymptotique des temps de
sauts, formule de Duhamel pour l’EDO, inégalité maximale de
martingales.
(iii) Si on simule N bactéries, le bruit sur la différence entre
les deux modèles sur les temps diffusifs est alors d’ordre
1√ N
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 35 / 49
(Ch. 3) Reduction de variance avec variable de contrôle
Comportement asymptotique du couplage (i) On montre alors que le
couplage est ”asymptotique” au sens
où la distance Lp tend vers 0 avec ε sur des temps diffusifs.
E (Xt/ε2 − X c
p)1/p = O(ε + εδ + εkδ−1).
(ii) Idée de preuve : développement asymptotique des temps de
sauts, formule de Duhamel pour l’EDO, inégalité maximale de
martingales.
(iii) Si on simule N bactéries, le bruit sur la différence entre
les deux modèles sur les temps diffusifs est alors d’ordre
1√ N
(Ch. 3) Réduction de variance
(i) On peut alors utiliser une variable de contrôle pour calculer (
N = moyenne sur N bactéries).
t,var.reduc. := ⟨ (Xt/ε2 ,Vt/ε2)
∫ Rd×Sd−1
(x , v)ft/ε2(x , v)dxdv var. de contrôle : − var. aléa. couplée +
calcul déterm.
où ft est une solution de l’équation cinétique satisfaite par Loi(X
c
t ,V c t ) :
∂tft + εv · ∇x ft =
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 36 / 49
(Ch. 3) Méthode numérique Réinitialisation On réinitialise le
couplage à intervalles de temps réguliers :
0 t0 2t0 3t0 Diffusive time
M ea
su re
Particles with internal variables Particles with gradient sensing
Deterministic grid−based simulation: gradient sensing Variance
reduced simulation
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 37 / 49
(Ch. 3) Résultats numériques Simulation : double puit de
concentration (i) Sans réduction de variance (· · · = dyn. sens.
”grad”.) :
0
0.1
0.2
(ii) Avec réduction de variance (· · · = dyn. sens. ”grad”.)
:
0
0.1
0.2
0.3
0 5 10 15 20 x
0 5 10 15 20 xMathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à
Diriger des Recherches 27 novembre 2014 38 / 49
Chapitre 4 Systèmes de particules avec collisions et le problème de
la
vitesse de convergence à l’équilibre
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 39 / 49
(Ch.4) Le système de Kac de N particules
Description (i) Processus markovien formé de N vitesses
t 7→ Vt = (Vt,(1), . . . ,Vt,(N)) ∈ ( Rd)N .
Indépendance par rapport aux positions, masses 1. (ii) d + 1 lois
de conservations{
VtN = 0 p.s. moment⟨ |Vt |2
⟩ N
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 40 / 49
(Ch.4) Le système de Kac de N particules
Dynamique (i) Processus de collisions de paires. Avec fréquence
constante
(hypothèse Maxwellienne) d’ordre O(N), il se produit une collision
aléatoire de 2 particules (paire) :
I Conservant énergie et moment des 2 particules. I Respectant
l’invariance Galiléenne.
(ii) La loi d’une collision est alors de la forme : I On choisit
deux particules (I 6= J) ∈ [1,N]2 au hasard. I On choisit un angle
(dit de ”scattering”) aléatoire indépendant
Θ ∈ [0, π] selon une loi donnée. I Une collision conservative de
loi uniforme et d’angle de
”scattering” Θ ∈ [0, π] se produit.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 41 / 49
(Ch.4) Le système de Kac de N particules
Dynamique (i) Processus de collisions de paires. Avec fréquence
constante
(hypothèse Maxwellienne) d’ordre O(N), il se produit une collision
aléatoire de 2 particules (paire) :
I Conservant énergie et moment des 2 particules. I Respectant
l’invariance Galiléenne.
(ii) La loi d’une collision est alors de la forme : I On choisit
deux particules (I 6= J) ∈ [1,N]2 au hasard. I On choisit un angle
(dit de ”scattering”) aléatoire indépendant
Θ ∈ [0, π] selon une loi donnée. I Une collision conservative de
loi uniforme et d’angle de
”scattering” Θ ∈ [0, π] se produit.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 41 / 49
(Ch.4) Le système de Kac de N particules
Dynamique (i) Processus de collisions de paires. Avec fréquence
constante
(hypothèse Maxwellienne) d’ordre O(N), il se produit une collision
aléatoire de 2 particules (paire) :
I Conservant énergie et moment des 2 particules. I Respectant
l’invariance Galiléenne.
(ii) La loi d’une collision est alors de la forme : I On choisit
deux particules (I 6= J) ∈ [1,N]2 au hasard. I On choisit un angle
(dit de ”scattering”) aléatoire indépendant
Θ ∈ [0, π] selon une loi donnée. I Une collision conservative de
loi uniforme et d’angle de
”scattering” Θ ∈ [0, π] se produit.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 41 / 49
(Ch.4) Collisions comme marche aléatoire Description d’une
collision conservative La direction des vitesses relatives de la
paire notée
Vt,(I ) − Vt,(J)Vt,(I ) − Vt,(J)
∈ Sd−1
fait un pas aléatoire isotrope sur Sd−1 d’angle Θ ∈ [0, π] (le
reste est constant par lois de conservation). Example avec Θ = π/8
= cte :
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 42 / 49
(Ch.4) Temps long
Propriétés simples (i) Probabilité invariante : Unif(SNd−d) (cf.
lois de cons.). (ii) Réversibilité stochastique (⇒ l’opérateur
d’évolution de la loi du
syst. est autoadjoint dans L2(Unif(SNd−d)).
Difficultés de l’analyse en temps long (i) Carlen, Carvalho,
Geronimo, Loss (’03,’08) ont calculé
explicitement le trou spectral (de l’opérateur d’évolution dans L2)
: ce dernier est > 0 uniformément en N . Problème : la norme L2
difficile à manipuler quand N → +∞.
(ii) Villani (’04), sur un cas “caricaturé”, a montré que la
constante de log-Sobolev ( pire rapport entropie / dissipation
d’entropie) n’est PAS uniforme en N.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 43 / 49
(Ch.4) Temps long
Propriétés simples (i) Probabilité invariante : Unif(SNd−d) (cf.
lois de cons.). (ii) Réversibilité stochastique (⇒ l’opérateur
d’évolution de la loi du
syst. est autoadjoint dans L2(Unif(SNd−d)).
Difficultés de l’analyse en temps long (i) Carlen, Carvalho,
Geronimo, Loss (’03,’08) ont calculé
explicitement le trou spectral (de l’opérateur d’évolution dans L2)
: ce dernier est > 0 uniformément en N . Problème : la norme L2
difficile à manipuler quand N → +∞.
(ii) Villani (’04), sur un cas “caricaturé”, a montré que la
constante de log-Sobolev ( pire rapport entropie / dissipation
d’entropie) n’est PAS uniforme en N.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 43 / 49
(Ch.4) Temps long
Propriétés simples (i) Probabilité invariante : Unif(SNd−d) (cf.
lois de cons.). (ii) Réversibilité stochastique (⇒ l’opérateur
d’évolution de la loi du
syst. est autoadjoint dans L2(Unif(SNd−d)).
Difficultés de l’analyse en temps long (i) Carlen, Carvalho,
Geronimo, Loss (’03,’08) ont calculé
explicitement le trou spectral (de l’opérateur d’évolution dans L2)
: ce dernier est > 0 uniformément en N . Problème : la norme L2
difficile à manipuler quand N → +∞.
(ii) Villani (’04), sur un cas “caricaturé”, a montré que la
constante de log-Sobolev ( pire rapport entropie / dissipation
d’entropie) n’est PAS uniforme en N.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 43 / 49
(Ch.4) Analyse du temps long par couplage Couplage Markovien
explicite (i) On construit un processus markovien
t 7→ (Ut ,Vt) ∈ RdN × RdN tel que : I Les lois marginales de t 7→
Ut et t 7→ Vt sont données par le
système de Kac. I Loi(U0) = proba. inv. = Unif(SNd−d ) 6=
Loi(V0).
(ii) Si d est une distance sur l’espace d’état E := RdN , on
introduit la distance de Wasserstein quadratique :
dW2(π1, π2) def = inf
X ,Y |Law(X )=π1,Law(Y )=π2 E(d2(X ,Y ))1/2.
(iii) On prend alors pour (Ut=0,Vt=0) le couplage optimal de
Wasserstein, puis on majore
d dt |t=0dW2(Law(Vt), proba.inv.) ≤ d
dt |t=0E(d2(Ut ,Vt))1/2.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 44 / 49
(Ch.4) Analyse du temps long par couplage Couplage Markovien
explicite (i) On construit un processus markovien
t 7→ (Ut ,Vt) ∈ RdN × RdN tel que : I Les lois marginales de t 7→
Ut et t 7→ Vt sont données par le
système de Kac. I Loi(U0) = proba. inv. = Unif(SNd−d ) 6=
Loi(V0).
(ii) Si d est une distance sur l’espace d’état E := RdN , on
introduit la distance de Wasserstein quadratique :
dW2(π1, π2) def = inf
X ,Y |Law(X )=π1,Law(Y )=π2 E(d2(X ,Y ))1/2.
(iii) On prend alors pour (Ut=0,Vt=0) le couplage optimal de
Wasserstein, puis on majore
d dt |t=0dW2(Law(Vt), proba.inv.) ≤ d
dt |t=0E(d2(Ut ,Vt))1/2.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 44 / 49
(Ch.4) Analyse du temps long par couplage Couplage Markovien
explicite (i) On construit un processus markovien
t 7→ (Ut ,Vt) ∈ RdN × RdN tel que : I Les lois marginales de t 7→
Ut et t 7→ Vt sont données par le
système de Kac. I Loi(U0) = proba. inv. = Unif(SNd−d ) 6=
Loi(V0).
(ii) Si d est une distance sur l’espace d’état E := RdN , on
introduit la distance de Wasserstein quadratique :
dW2(π1, π2) def = inf
X ,Y |Law(X )=π1,Law(Y )=π2 E(d2(X ,Y ))1/2.
(iii) On prend alors pour (Ut=0,Vt=0) le couplage optimal de
Wasserstein, puis on majore
d dt |t=0dW2(Law(Vt), proba.inv.) ≤ d
dt |t=0E(d2(Ut ,Vt))1/2.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 44 / 49
(Ch.4) Construction du couplage Couplage ”simultané et parallèle”
du système de Kac (i) Collisions simultanées : les collisions de t
7→ Ut et de t 7→ Vt
arrivent au même instant sur la même paire de particules.
(ii) Pour chaque collision, on utilise le couplage parallèle sur la
sphère des directions des vitesses relatives. Dessin pour
une direction, et une direction couplée.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 45 / 49
(Ch.4) Construction du couplage Couplage ”simultané et parallèle”
du système de Kac (i) Collisions simultanées : les collisions de t
7→ Ut et de t 7→ Vt
arrivent au même instant sur la même paire de particules. (ii) Pour
chaque collision, on utilise le couplage parallèle sur la
sphère des directions des vitesses relatives. Dessin pour une
direction, et une direction couplée.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 45 / 49
(Ch.4) Propriétés du couplage Contraction du couplage (i) Si d ≥ 3,
la sphère est de courbure > 0 donc distance
euclidienne = ⟨ |Ut − Vt |2
⟩ N décroît avec t p.s..
(ii) On peut alors calculer la vitesse de création de couplage (∼
dissipation)
d dt
×E
⟨ |Ut − Ut,∗| |Vt − Vt,∗| − (Ut − Ut,∗) · (Vt − Vt,∗) alignement
des vitesses relatives couplées Ut−Ut,∗ vs. Vt−Vt,∗
⟩ N
paires de particules. Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation
à Diriger des Recherches 27 novembre 2014 46 / 49
Une inégalité reliant couplage et création de couplage
Inégalité entre distance euclidienne et alignement des paires On a
montré (calcul direct) que si (u, v) ∈ (Rd × Rd)N vérifiant les
lois de conservation uN = vN = 0,
⟨ |v |2 ⟩
N = ⟨ |u|2 ⟩
N = 1 ; plus
u · vN ≥ 0. On a l’inégalité (avec cas d’égalités non triviaux) :⟨
|u − v |2
⟩ N ≤ 2
×
⟨ |u − u∗|2 |v − v∗|2 − ((u − u∗) · (v − v∗))2
∼alignement des vitesses relatives couplées (avec des carrés !
!)
⟩ N
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 47 / 49
Exemple de résultat final Convergence polynomiale en Wasserstein En
utilisant l’ inégalité de Hölder, on a montré pour q > 1 and δ
< +∞ la convergence en temps long polynomiale ∼ tδ uniforme en
N
d dt
dsymN ,W2(Loi(Vt),Unif)1+1/δ,
(i) cδ,q est numérique, independante de N, explicitable. (ii) Les
moments sont bornés uniformément en N, t (prouvé pour
l’ordre 4) ⇒ cv. en temps long polyn.. (iii) Similaire à la
convergence en entropie : compromis entre
bornes sur les moments et ordre de la convergence polyn.. Mathias
Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des Recherches 27
novembre 2014 48 / 49
Merci !
Remerciements (i) Chap. 1 : Travail commun avec : P. Plechac, G.
Stoltz, T.
Lelièvre. (ii) Chap. 3 : Travail commun avec : G. Samaey. (iii)
Laboratoire P. Painlevé et INRIA Lille (SIMPAF). (iv) CERMICS et
INRIA Rocquencourt (ex-MicMac). (v) Jury et rapporteurs du
mémoire.
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des
Recherches 27 novembre 2014 49 / 49