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Vortragsthema:
Der goldene Schnitt
Sebastian Grothe
1 Definition und Grundeigenschaften
1.1 Definition und Herleitung des Zahlenwertes1.2 Konstruktion mit Zirkel und Lineal1.3 Goldener Winkel & Spirale
2 Historisches
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele3 Beispiele
3.1 Architektur3.2 Kunst
Inhalt
3.3 Biologie
4 Zusammenfassung4 Zusammenfassung
3.4 Die Fibonacci-Zahlen
Definition und Herleitung
- bestimmtes Verhältnis zweier Zahlen zueinander
- beispielsweise Längen & Strecken:
Der goldene Schnitt – Was ist das überhaupt?
-
- Doch das reicht uns als angehende Mathematiker nicht aus!
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Definition und Herleitung
-
- Φ ist eine irrationale Zahl
Wir wollen den „genauen“ Zahlenwert ermitteln:
- Zahlenwert oft als Konstante Φ (Phi) bezeichnet
Goldener Schnitt wird auch als stetige Teilung bezeichnet, denn:
- subtrahiert man die kürzere der beiden Strecken von der längeren, so erhält man eine Strecke, zu der die kürzere wiederum im Verhältnis des Goldenen Schnitts steht
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Wie konstruiere ich so eine Strecke?
- Strecke AC zeichnen, Zirkel in C ansetzen mit Radius BC, Schnittpunkt auf AC mit D bezeichnen
Gibt mehrere Möglichkeiten („innere Teilung“):
- Strecke AB zeichnen und Strecke BC senkrecht zu AC, wobei AC halb so lang ist wie AB
- Zirkel in A ansetzen mit Radius AD, Schnittpunkt auf AB mit S kennzeichnen
Skizze
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Wie konstruiere ich so eine Strecke?
Konstruktionsbeweis:1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Skizze
Wie konstruiere ich so eine Strecke?
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Konstruktionsbeweis
Wie konstruiere ich so eine Strecke?
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Konstruktionsbeweis
Wie konstruiere ich so eine Strecke?
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Konstruktionsbeweis
Wie konstruiere ich so eine Strecke?
Möglichkeit der „inneren“ Teilung nach Euklid:
Skizze
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Wie konstruiere ich so eine Strecke?
Konstruktionsbeweis:1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Skizze
Wie konstruiere ich so eine Strecke?
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Konstruktionsbeweis
Wie konstruiere ich so eine Strecke?
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Konstruktionsbeweis
Wie konstruiere ich so eine Strecke?
Möglichkeit der „äußeren“ Teilung:
Skizze
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Wie konstruiere ich so eine Strecke?
Konstruktionsbeweis:1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Wie konstruiere ich so eine Strecke?
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Konstruktionsbeweis
Wie konstruiere ich so eine Strecke?
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Konstruktionsbeweis
Die Goldene SpiraleTeilt man ein goldenes Rechteck in ein Quadrat und ein weiteres Goldenes Rechteck und wiederholt diesen Vorgang immer wieder ergibt sich folgendes Bild:
- ergibt sich logarithmische Spirale, deren Radius sich um Φ bei jeder Vierteldrehung ändert
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Die Goldene SpiraleUnd nun betrachtet einmal das Kalkgehäuse einer Nautilus (Schneckenart):
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Na und wofür ist das wichtig?Besonders eindruckvoll tritt der goldene Schnitt bei regulären Fünfecken in Erscheinung. EUKLID führt in seinen Elementen den goldenen Schnitt vor allem aus dem Grund ein, um mit seiner Hilfe, das reguläre Fünfeck mit Zirkel und Lineal konstruieren zu können.
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Wie konstruiere ich so eine Strecke?
Gegeben sei die Diagonale d=AB des Fünfecks. Man teilt sie im Verhältnis des Goldenen Schnittes. (Siehe Konstruktion Innere Teilung)
Konstruktion
Man nutzt aus, dass die Diagonalen im Fünfeck gleich lang sind und sich im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilen.
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Wie konstruiere ich so eine Strecke?
Konstruktion
Die Punkte A,B und T sind also gefunden.
Trage die Strecke AT von B aus auf AB ab. P1 entsteht.
Zeichne um T und P1 Kreise mit dem Radius TB. P2 und P3 entstehen.
Zeichne die Geraden P1P2, P2T, AP3 und BP3.
Es entsteht ein Stern.
Verbinde die Spitzen des Sterns.
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Na und wofür ist das wichtig?Fünfeck und darin enthalten das Pentagramm:1 Definition und
Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Na und wofür ist das wichtig?Im Pentagramm lassen sich wieder Strecken finden, die im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen:
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Historisches
Hippasos vom Metapont (ca. 450 v. Chr.)
„Verhältnis von Kantenlänge zu Diagonale im Fünfeck lässt sich nicht durch rationale Zahl beschreiben!“
Euklid (325 - 270 v. Chr.)Stieß auf goldenen Schnitt bei seinen Untersuchungen an platonischen Körpern und verfasste Arbeit darüber.
Wann wurde der goldene Schnitt „entdeckt“?1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
HistorischesLuca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445 – 1514)
Verfasste Buch „De Divina Proportione“ im Jahr 1509 über Goldenen Schnitt
Adolf Zeising (1810 – 1876)
Stellte Zusammenhang zwischen Kunst und Goldenem Schnitt her, welchen er als „Naturgesetz der Ästhetik“ sah
Martin Ohm (1792 – 1872)
Verwendete 1835 erstmals die Bezeichnung „Goldener Schnitt“
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Aus der Architektur
-
Pantheon Tempel auf der Athener Akropolis (erbaut 447 – 432 v. Chr.)
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Aus der Architektur
Abbildung 1: Pantheon Tempel auf der Athener Akropolis (erbaut 447 – 432 v. Chr.)
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Aus der Architektur
Abbildung 2: Pantheon Tempel auf der Athener Akropolis (erbaut 447 – 432 v. Chr.)
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Aus der Architektur
Dom von Florenz (1436)
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Aus der Kunst
Menschliche Proportionen nach Vitruv von Leonardo da Vinci (1492)
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Aus der Kunst
Doryphoros von Polyklet (Griechische Statue)
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Aus der Kunst
Doryphoros von Polyklet (Griechische Statue)
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Aus der Kunst
Mona Lisa von Leonardo da Vinci (ca. 1503)
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Aus der Kunst
Mona Lisa von Leonardo da Vinci (ca. 1503)
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Aus der Biologie
Sonnenblume
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Aus der Biologie
Efeu
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Aus der Biologie
Phyllotaxis
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Die Fibonacci-Zahlen
-
Der Goldene Schnitt findet sic auch bei den Fibonacci-Zahlen wieder:
-
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Dividiert man nun zwei Aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen ergibt sich folgendes:
Das bedeutet, dass das Verhältnis zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen sich dem Goldenen Schnitt nähert, je weiter man in der Folge geht.
Die Fibonacci-ZahlenZum Beispiel bestehen zwischen Nachbarn der ersten zwölf Glieder
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …
jeweils die Verhältnisse für :
1 0,5 0,67 0,6 0,625 0,6154 …
1 Definition und Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 ZusammenfassungDamit ergibt sich
Die Fibonacci-Zahlen1 Definition und
Grundeigenschaften
2 Historisches
3 Beispiele
4 Zusammenfassung
Literatur
-Loeb, Arthur L: Concepts & Images (Visual Mathematics); Boston: Birkhäuser, 1993
- Bühler, W: Das Pentagramm und der Goldene Schnitt als Schöpfungsprinzip; Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben GmbH, 1996
- Walser, H: Der Goldene Schnitt (2.Auflage); Leipzig: Teubner Verlagsgesellschaft, 1996