CARLOS ROGRIO DE MELLO
HIDROLOGIA I GNE 113 HIDROLOGIA ESTATSTICA
Anlise da disponibilidade de gua para projetos de maneira geral;
Impactos (usos do solo e mudanas climticas hidrologia da
bacia hidrogrfica)
Dimensionamento de obras hidrulicas:
Barragens;
Bueiros;
Terraos;
Pontes;
Drenagem;
Histrico das condies hidrolgicas e climticas;
Frequncia de ocorrncia das grandezas hidrolgicas;
Modelagem da frequncia;
Incerteza: estimativa de valores associados a um nvel de
probabilidade;
Varivel contnua x Varivel discreta;
Por que a hidrologia trabalha na grande maioria das vezes com
varivel contnua?
Principais sries histricas em hidrologia:
Precipitao total anual;
Precipitao mensal, quinzenal, decendial;
Precipitao mxima diria anual;
Srie de vazes:
Mxima diria anual;
Mnima diria anual;
Mnima em 7 dias consecutivos;
Curva de permanncia de vazes
Ano Precipitao Ano Precipitao
1944 53 1976 78
1945 153 1977 74
1946 82 1978 95
1947 101 1979 63
1948 85 1980 84
1949 62 1981 85
1950 72 1982 127
1951 96 1983 115
1952 71 1984 49
1953 77 1985 100
1954 116 1986 132
1955 109 1987 138
1956 94 1988 83
1957 48 1989 63
1958 71 1990 65
1959 89 1991 102
1960 98 1992 114
1961 86 1993 63
1962 71 1994 152
1963 34 1995 69
1964 122 1996 93
1965 63 1997 67
1966 110 1998 68
1967 74 1999 94
1968 98 2000 125
1969 93 2001 59
1970 95 2002 73
1971 75 2003 128
1972 92 2004 63
1973 65 2005 134
1974 63 2006 263
1975 67 2007 103
Um exemplo
de srie histrica
Dados dirios de precipitao e vazo: dados bsicos;
Vazes mximas dirias anuais: selecionar o maior valor de cada
ano (isto tambm vlido para vazes mnimas dirias anuais):
Se tivermos 20 anos, esta srie ter 20 dados;
Srie histrica de precipitaes mensais, quinzenais e decendiais:
aplicao ao estudo de chuva provvel e manejo de irrigao;
possvel criar 12 sries histricas mensais somando-se os valores
dirios de precipitao dentro de um determinado ms, num ano
especfico;
Precipitao quinzenal: 24 sries histricas possveis; trabalha-se
buscando-se responder qual a precipitao esperada (mnima
provvel) para, por exemplo, 1 quinzena de maro; 2 quinzena de
setembro; etc
Precipitao decendial: 36 sries histricas possveis;
Precipitao mxima diria anual: srie histrica constituda por
dados de precipitao mxima diria anual;
Precipitao mxima associada a uma durao: p.e.: srie histrica
de precipitao mxima associada a 30 minutos de durao.
Estudo de chuvas intensas
Clculo da Freqncia em sries contnuas:
Posicionar a srie histrica em ordem crescente ou decrescente: Freqncia de excedncia ou no excedncia;
Definir a posio de cada valor dentro da srie;
Calcular a freqncia com base em formulaes especficas:
Fobs = i/(N+1)
Tempo de Retorno:
Conceito probabilstico;
Sua aplicao est associada aos objetivos do projeto;
TR = 1/(F) ~ 1/(P);
i = posio do valor dentro da srie;
N = tamanho da srie histrica
(Fonte: Naghettini & Pinto (2008))
Ajuste de uma distribuio de probabilidades;
FDP x FCP;
Estimativa da varivel associada a uma probabilidade ou
recorrncia:
Equao Geral de Ven Te Chow:
Parmetros de ajuste:
Calculados com base na srie histrica;
Associados mdia, varincia e assimetria;
SKXX TRTR
Aplicao: para estudos
associados precipitao
anual, como balano hdrico,
Caracterizao climtica, etc
z 0
2
e2
1xfFDP
x5,0
dx
2
e2
1xxobPrxFFCP
x5,0x
i
s
xx
z
z
z5,0 dz2
e2
1zZobPrzF
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.00 0.5 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.10 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.20 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.30 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
0.40 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.50 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
0.60 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.70 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.80 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.90 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389
1.00 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.10 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830
1.20 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
1.30 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.40 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.50 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1.60 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.70 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
1.80 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
1.90 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767
2.00 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.10 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
2.20 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890
2.30 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
2.40 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936
2.50 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952
2.60 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964
2.70 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974
2.80 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981
2.90 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986
3.00 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990
3.10 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993
3.20 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995
3.30 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997
3.40 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998
a) Qual a probabilidade de ocorrer um ano com precipitao anual
inferior a 900 mm para um local com precipitao mdia anual de 1450
mm e desvio padro de 310 mm? Admite-se que a DN adequada para
esta srie histrica.
b) Qual a probabilidade de ocorrer um ano com precipitao anual
superior a 2000 mm?
c) Quais os valores da precipitao anual associada ao Tempo de
Retorno de 100 anos?
d) Qual a probabilidade da precipitao total anual estiver entre 1000 e
1700 mm?
1. Aplicaes/situaes:
A. Precipitaes mximas dirias anuais ou associadas a uma
durao especfica (10; 20; 30; 60 minutos, etc): chuvas intensas;
B. Precipitao provvel;
C. Vazes mximas e mnimas dirias anuais;
D. Vazes de referncia para outorga (Q7);
2. Principais distribuies:
A. Gumbel (para mximos e mnimos);
B. Log-normal 2 Parmetros;
2
nn
e2x
1FDP
xLn5,0
n
n
xLnn
1in
nTRknTR ex
22
4
n
sx
x Ln
2
1
2
22
n
x
sx Ln
Estimativa com base
em dados transformados
Estimativa com base
em dados sem transformao
Ordem Precipitao
(mm)
Fexcedncia Ordem Precipitao
(mm)
Fexcedncia
1 280 0,04545 12 81 0,54545
2 225 0,09091 13 74 0,59091
3 191 0,13636 14 70 0,63636
4 160 0,18182 15 61 0,68182
5 140 0,22727 16 52 0,72727
6 135 0,27273 17 42 0,77273
7 134 0,31818 18 29 0,81818
8 131 0,36364 19 25 0,86364
9 112 0,40909 20 17 0,90909
10 97 0,45455 21 8 0,95455
11 94 0,50000
Sabendo-se que a mdia dos logartmos de 4,3372 e o desvio padro igual a 0,8913, calcule:
1. Qual a precipitao provvel associada a probabilidade de excedncia de 75%?
2. Qual a probabilidade de ocorrer um decndio com precipitao total superior a 320 mm?
3. Qual a probabilidade de ocorrer um decndio com precipitao inferior a 5 mm?
4. Qual a probabilidade de ocorrer um decndio com precipitao entre 150 e 210 mm?
5. Calcule a precipitao provvel associada probabilidade de excedncia de 90%.
6. Qual o TR para um decndio com precipitao total de 305 mm?
Resolva os seguintes problemas:
Resolva os itens anteriores
considerando agora apenas a
mdia e o desvio padro dos dados
originais, que so respectivamente,
iguais a 102,8 mm e 70,7 mm
x
eFDPex
x
exxP ei
Parmetros: e
s
2826,1^ s45,0x
^
Ano Precipitao Ano Precipitao
1944 53 1976 78
1945 153 1977 74
1946 82 1978 95
1947 101 1979 63
1948 85 1980 84
1949 62 1981 85
1950 72 1982 127
1951 96 1983 115
1952 71 1984 49
1953 77 1985 100
1954 116 1986 132
1955 109 1987 138
1956 94 1988 83
1957 48 1989 63
1958 71 1990 65
1959 89 1991 102
1960 98 1992 114
1961 86 1993 63
1962 71 1994 152
1963 34 1995 69
1964 122 1996 93
1965 63 1997 67
1966 110 1998 68
1967 74 1999 94
1968 98 2000 125
1969 93 2001 59
1970 95 2002 73
1971 75 2003 128
1972 92 2004 63
1973 65 2005 134
1974 63 2006 263
1975 67 2007 103
Mdia = 90,61 mm
Desvio = 33,89
Precipitao Posio Precipitao Posio
34 1 85 33
48 2 86 34
49 3 89 35
53 4 92 36
59 5 93 37
62 6 93 38
63 7 94 39
63 8 94 40
63 9 95 41
63 10 95 42
63 11 96 43
63 12 98 44
65 13 98 45
65 14 100 46
67 15 101 47
67 16 102 48
68 17 103 49
69 18 109 50
71 19 110 51
71 20 114 52
71 21 115 53
72 22 116 54
73 23 122 55
74 24 125 56
74 25 127 57
75 26 128 58
77 27 132 59
78 28 134 60
82 29 138 61
83 30 152 62
84 31 153 63
85 32 263 64
050
100
150
200
250
300
1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020
Ano
Pm
xim
a d
iria a
nual (m
m)
Aplicando a FDP da distribuio Gumbel
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0 50 100 150 200 250 300
Pmxima diria (mm)
FD
P
1. Qual o TR para uma precipitao mxima diria anual superior a 120 mm?
2. Qual o TR para uma precipitao mxima diria anual superior a 200 mm?
3. Para um projeto de uma barragem nesta localidade (Aiuruoca), calcule a precipitao mxima diria anual associada a um TR de 200 anos.
4. Qual o valor da precipitao mxima diria anual para a localidade acima, considerando uma probabilidade de no-excedncia de 0,98?
00.2
0.4
0.6
0.8
1
0 50 100 150 200 250 300
Precipitao mxima (mm)
Fre
q
n
cia
Ajuste da Distribuio Gumbel
xexeFDP
xe
i e1xxP
Parmetros: e
s
2826,1^ s45,0x
^
Srie Histrica de Vazes Mnimas com 7 dias de durao
Mdia: 1,97 m3/s
Desvio: 0,9136 m3/s
Ano Vazo (m3/s) Ordem Vazes ord.
1985 4.84 1 0.61
1986 1.37 2 0.69
1987 2.07 3 0.93
1988 2.00 4 1.05
1989 2.55 5 1.11
1990 2.13 6 1.37
1991 2.73 7 1.48
1992 2.96 8 1.60
1993 1.88 9 1.64
1994 1.96 10 1.85
1995 1.11 11 1.88
1996 0.93 12 1.91
1997 2.20 13 1.93
1998 1.91 14 1.96
1999 1.05 15 2.00
2000 1.93 16 2.07
2001 0.61 17 2.13
2002 1.48 18 2.20
2003 0.69 19 2.55
2004 1.85 20 2.66
2005 3.18 21 2.73
2006 2.66 22 2.96
2007 1.60 23 3.18
2008 1.64 24 4.84
Ajuste da Distribuio Gumbel
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
Vazo mnima de 7 dias (m3/s)
Fre
qncia
Fobservada
Gumbel
L-N 2P
1. Qual o TR para uma vazo mnima de 7 dias inferior a 0,5 m3/s?
2. Para um processo de outorga, calcule a vazo Q7,10 para esta bacia hidrogrfica.
3. Qual o valor da vazo mnima de 7 dias considerando uma probabilidade de excedncia de 0,95?
4. Calcule a vazo Q7,30 e Q7,15
TESTES PARAMTRICOS DE ADEQUAO DE
DISTRIBUIES DE PROBABILIDADES
Kolmogorov-Smirnov: teste mais aplicado*
Qui-Quadrado: permite comparar distribuies
Filliben;
Anderson-Darling; Testes mais rigorosos
Ideal para distribuies assintticas
*Ser apresentado e discutido
Teste de Kolmogorov-Smirnov
Caractersticas:
Teste geralmente aplicado para identificar se h normalidade nos dados;
Muito aplicado hidrologia, independentemente da distribuio;
Teste basicamente qualitativo: sua concluso apenas se a distribuio de probabilidades adequada ou no;
Sua estatstica no permite comparar distribuies e sim apenas se cada uma delas adequada ou no;
Procedimento:
;NTabelacalculado FF
estimadaobservadacalculadoFFF (Calculado para cada uma
das observaes da srie histrica)
;NTabelacalculado FAF Maximo eSHiptese Ho do teste aceita,
Ou seja, a distribuio adequada
1. Kolmogorov-Smirnov Tabela
n, tabelaximocalculadom F F
Tamanho da
Amostra (N)
Nvel de Significncia
0,20 0,15 0,10 0,05 0,01
1 0,900 0,925 0,950 0,975 0,995
2 0,684 0,726 0,776 0,842 0,929
3 0,565 0,597 0,642 0,708 0,829
4 0,494 0,525 0,564 0,624 0,734
5 0,446 0,474 0,510 0,563 0,669
6 0,410 0,436 0,470 0,521 0,618
7 0,381 0,405 0,438 0,486 0,577
8 0,358 0,381 0,411 0,457 0,543
9 0,339 0,360 0,388 0,432 0,514
10 0,322 0,342 0,368 0,409 0,486
15 0,268 0,283 0,304 0,338 0,404
20 0,231 0,246 0,264 0,294 0,352
25 0,210 0,220 0,240 0,264 0,320
30 0,190 0,200 0,220 0,242 0,290
40 - - - 0,210 0,250
50 - - - 0,190 0,230
60 - - - 0,170 0,210
70 - - - 0,160 0,190
80 - - - 0,150 0,180
90 - - - 0,140 -
100 - - - 0,140 -
Exemplo de Aplicao: ajuste a distribuio normal aos dados abaixo e
verifique sua adequao
Ano P anual (mm)
1988 1809
1989 1303
1990 1777
1991 1902
1992 1852
1993 1917
1994 1428
1995 1411
1996 1999
1997 1941
1998 1474
1999 1620
2000 1580
Anlise:
139,0AF Maximocalculado
338,0F ;NTabela
05,0;13Tabelacalculado FAF Maximo
Concluso: A distribuio Normal adequada para a srie histrica apresentada
Procedimentos do teste Qui-quadrado
Diviso em classes;
Agrupamento de classes com menos de 3 valores;
Clculo da frequncia observada em cada classe;
Clculo da frequncia estimada em cada classe;
Clculo do Qui-quadrado;
Qui-quadrado tabela (GL; nvel de significncia);
Concluso do teste;
Diviso em classes:
nk
nlog5k 10
At 100 dados
+ de 100 dados
- Amplitude dos dados: A = M m
- Amplitude de classe:
- Limite inferior da 1a classe:
- Limite superior da 1a classe:
1k
xAAc
2
AcmLI 1classe
AcLILS 1classe1classe
n
1i teoricoi
2teoricoiobsi
calculado2
f
ff
Graus de
Liberdade (v)
Nvel de Significncia
0,995 0,975 0,950 0,900 0,750 0,500 0,100 0,050 0,010 0,005
1 0,000039 0,000982 0,003932 0,015791 0,101532 0,455 2,706 3,841 6,635 7,879
2 0,010025 0,050636 0,102587 0,210721 0,575364 1,386 4,605 5,991 9,210 10,597
3 0,071721 0,215793 0,351843 0,584369 1,213 2,366 6,251 7,815 11,345 12,838
4 0,206989 0,484418 0,710723 1,064 1,923 3,357 7,779 9,488 13,277 14,860
5 0,411742 0,831212 1,145 1,610 2,675 4,351 9,236 11,070 15,086 16,750
6 0,675727 1,237 1,635 2,204 3,455 5,348 10,645 12,592 16,812 18,548
7 0,989256 1,690 2,167 2,833 4,255 6,346 12,017 14,067 18,475 20,278
8 1,344 2,180 2,733 3,490 5,071 7,344 13,362 15,507 20,090 21,955
9 1,735 2,700 3,325 4,168 5,899 8,343 14,684 16,919 21,666 23,589
10 2,156 3,247 3,940 4,865 6,737 9,342 15,987 18,307 23,209 25,188
15 4,601 6,262 7,261 8,547 11,037 14,339 22,307 24,996 30,578 32,801
20 7,434 9,591 10,851 12,443 15,452 19,337 28,412 31,410 37,566 39,997
25 10,520 13,120 14,611 16,473 19,939 24,337 34,382 37,652 44,314 46,928
30 13,787 16,791 18,493 20,599 24,478 29,336 40,256 43,773 50,892 53,672
40 20,707 24,433 26,509 29,051 33,660 39,335 51,805 55,758 63,691 66,766
50 27,991 32,357 34,764 37,689 42,942 49,335 63,167 67,505 76,154 79,490
60 35,534 40,482 43,188 46,459 52,294 59,335 74,397 79,082 88,379 91,952
120 83,852 91,573 95,705 100,624 109,220 119,334 140,233 146,567 158,950 163,648
240 187,324 198,984 205,135 212,386 224,882 239,334 268,471 277,138 293,888 300,182
480 403,949 421,189 430,198 440,745 458,754 479,334 520,11 532,075 555,006 563,561
850,891 876,028 889,081 904,291 930,093 959,333 1016,566 1033,193 1064,867 1076,621
Ano P anual Ordem P ordenada
1988 1809 1 1303
1989 1303 2 1411
1990 1777 3 1428
1991 1902 4 1474
1992 1852 5 1580
1993 1917 6 1620
1994 1428 7 1777
1995 1411 8 1809
1996 1999 9 1852
1997 1941 10 1902
1998 1474 11 1917
1999 1620 12 1941
2000 1580 13 1999
Classes Fobs Fterica
1129 - 1477 4
1477 1825 4
1825 - 2173 5