Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 1/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Hogeschool Rotterdam
Instituut voor Engineering and Applied Science
Studierichting Autotechniek
Reader Voertuigdynamica
Auteur: Roeland M.M. Hogt
Versie 1.06
5 mei 2014
© 2014, Hogeschool Rotterdam
Alle rechten voorbehouden. Niets van deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een
geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of enige wijze, hetzij elektronisch,
mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke
toestemming van de Hogeschool Rotterdam
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 2/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Inhoudsopgave
1 Inleiding .........................................................................................................................4
1.1 VOERTUIGDYNAMICA ALS DEEL VAN DE AUTOTECHNIEK ...........................................4
1.2 SURFTIPS .................................................................................................................5 1.3 DOELSTELLING EN OPBOUW DICTAAT .......................................................................6
2 Inleiding Voertuigdynamica ............................................................................................7
2.1 BEGRIPSBEPALING ...................................................................................................7
2.2 ONDERZOEKSMETHODEN..........................................................................................8 2.3 COMPONENTEN IN DE VOERTUIGDYNAMICA ............................................................ 10
2.3.1 Carrosserie ..................................................................................................... 10 2.3.2 Wielophanging ................................................................................................ 10
2.3.3 Band-wegdekinteractie .................................................................................... 11
3 Band-wegdekinteractie ................................................................................................. 12
3.1 HET WRIJVINGSPRINCIPE ........................................................................................ 12 3.2 HET BANDASSENSTELSEL ....................................................................................... 15
3.3 VRIJ ROLLEN .......................................................................................................... 16 3.4 WIELSLIP ............................................................................................................... 16
3.4.1 Puur longitudinaal .......................................................................................... 17 3.4.2 Puur lateraal ................................................................................................... 19
3.4.3 Gecombineerde slip ......................................................................................... 21 3.4.4 Het richtmoment Mz ........................................................................................ 22
3.5 SAMENVATTEND: BELANGRIJKE KENTALLEN ........................................................... 23 3.6 BANDMODELLEN.................................................................................................... 25
3.7 DYNAMISCH GEDRAG BAND-WEGDEKINTERACTIE ................................................... 28 3.8 SAMENGESTELDE BANDKARAKTERISTIEK ............................................................... 30
4 Basis voertuiggedrag op vlakke weg ............................................................................. 31
4.1 HET CIRKEL VAN KAMM MODEL ............................................................................. 31
4.1.1 Het voertuigmodel ........................................................................................... 32 4.1.2 Het bandmodel ................................................................................................ 32
4.1.3 Toepassing van het cirkel van Kamm model .................................................... 38 4.1.3.1 Pure longitudinale slip .............................................................................. 38
4.1.3.1.1 De ideale remkrachtverdeling voor en achter ........................................ 39 4.1.3.1.2 De remkrachtverdeling indien de wrijvingscoëfficiënt wel afhankelijk
van de Fz en andere parameters ............................................................................. 51 4.1.3.2 Pure laterale slip ....................................................................................... 52
4.1.3.2.1 Voorbeeld stationaire bocht .................................................................. 53 4.1.3.3 Gecombineerde slip .................................................................................. 58
4.2 HET ÉÉNSPOORMODEL ............................................................................................ 60 4.2.1 De opbouw van het éénspoormodel ................................................................. 61
4.2.2 Het pure longitudinale rijgedrag met het éénspoormodel................................. 62 4.2.3 Het pure laterale rijgedrag met het éénspoormodel ......................................... 63
4.2.4 Overstappen naar Fahrverhalten van Zomotor ................................................ 74 4.2.5 Rekensheet eenspoormodel .............................................................................. 77
4.3 HET ÉÉNSPOORMODEL, DYNAMISCH ....................................................................... 78
4.3.1 Betetekenis van de kentallen, dynamisch gedrag .............................................. 78 4.3.2 Overdrachtsfunctie gierhoeksnelheid over stuurhoek bij J-turn ....................... 78
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 3/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
4.3.3 Simulatie van de stapvormige stuurbeweging .................................................. 84
5 Referenties .................................................................................................................... 88
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 4/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
1 Inleiding
Het rijgedrag van het voertuig, de voertuigdynamica of de actieve veiligheid, is een zeer
wezenlijke eigenschap van het voertuig en beschrijft alle bewegingen van het voertuig ten
opzichte van de vaste wereld: de weg.
De dimensionering in het deelgebied Voertuigdynamica heeft gevolgen voor de andere eisen
die aan een voertuig gesteld worden. Deze belangen kunnen strijdig zijn. Zo kan het
optimaliseren van het rijgedrag het comfort verminderen. Indien men kiest voor het reduceren
van de massa van een voertuig kan dat gevolgen hebben voor het geluidscomfort en de
passieve veiligheid. Ook het brandstofverbruik en de voertuigprestaties (accelereren en
remmen) hangen nauw samen met de keuzes die gemaakt worden voor het rijgedrag van het
voertuig.
Voertuigdynamisch onderzoek en ontwikkeling vindt plaats in meerdere stadia in de
ontwikkeling van een voertuig:
1. In de conceptuele fase;
2. In de prototype fase;
3. In de produktie fase.
In de eerste fase is er nog geen voertuig en kan de voertuigdynamica alleen middels
berekeningen (mathematische simulaties) bestudeerd worden. Vanaf dat het eerste voertuig
beschikbaar is kunnen ook rijtesten uitgevoerd waarbij onderscheid gemaakt wordt tussen de
objectieve en subjectieve rijtesten. Bij objectieve rijtesten wordt het gedrag door middel van
sensoren geregistreerd en later verwerkt tot voertuigddynamische kentallen. Bij subjectieve
testen is het de testrijder die een persoonlijk, dus subjectief, oordeel geeft over het rijgedrag
van het voertuig.
In de praktijk is er vaak een directe interactie tussen experimenteel onderzoek en simulaties.
Het grootste voordeel van simulaties is dat, zonder ongevalsrisico en efficiënt (mits het
voertuigmodel aanwezig is), gevoeligheidsanalyses uitgevoerd kunnen worden. Zo kan
bijvoorbeeld bepaald worden wat het effect van de ligging van het zwaartepunt is op de
kentallen. Bij voertuigoptimalisatie spelen simulaties dan ook een grote rol.
1.1 Voertuigdynamica als deel van de autotechniek
Bij de aankoopbeslissing voor een auto geldt de volgende prioritering
1. Veiligheid (Actieve en passieve veiligheid)
2. Kwaliteit
3. Kosten
4. Verbruik
5. Innovatie
6. Comfort
7. Ruimte interieur
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 5/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
8. Buitenafmetingen
9. Fun-factor
10. Luxe
11. Vormgeving
12. Motorvermogen
13. Sportiviteit
Actieve veiligheid is het werkgebied van de Voertuigdynamica en is dus een zeer wezenlijk
kennisgebied.
Technische positionering
In de ontwikkeling van voertuigen is het aandachtsgebied Voertuigdynamica al vrij vroeg in
de ontwikkeling relevant. Zoals we bij de dimensionering van de aandrijflijn al hebben gezien
heeft de keuze van de aandrijfconfiguratie een directe relatie met het over en onderstuurd zijn
van een voertuig in het grensgebied.
Ook nadat een voertuig rijklaar is speelt kennis van voertuigdynamica een belangrijke rol in
de verdere optimalisatie voor veiligheid en prestaties (racerij). Zo wordt het stuurgevoel, als
deel van de subjectieve beoordeling van het rijgedrag, wordt sterk bepaald door parameters
die een directe relatie hebben met de voertuigdynamische kentallen.
1.2 Surftips
De onderstaande surftips worden van harte aanbevolen:
• www.idiada.es
Idiada is een groot testterrein in de buurt van Barcelona dat vanwege de goede
weersomstandigheden en faciliteiten intensief gebruikt wordt door meerdere
autofabrikanten en onderzoeksinstituten. Naast het faciliteren in onderzoek voert
Idiada ook zelf onderzoek uit in opdracht van derden
• www.mira.co.uk
Mira is een vooraanstaand onderzoeksinstituut in Engeland gespecialiseerd in
autotechnisch onderzoek
• www.automotive.tno.nl
TNO Wegtransportmiddelen of TNO Automotive is in 1970 opgericht en heeft met
name in de periode 1990-2000 een sterke groei doorgemaakt van 100 naar 300
medewerkers dankzij een aantal specialisaties waarmee een internationale
marktpositie is bereikt. Onderwerpen zijn Botsveiligheid, Verbrandingsmotoren,
Voertuigdynamica, Nieuwe Transportsystemen en Keuringen. In 2001 zijn de
afdelingen Voertuigdynamica en Nieuwe Transportsystemen gefuseerd tot de afdeling
Advanced Chassis and Transport systems met als werkgebieden Active Vehicle
Control, Advanced Transport Systems, Tyre-Road interaction. In deze drie
werkgebieden komt thema Voertuigdynamica in algemene zin als ook als specialisatie
terug.
• www.sae.org
SAE staat voor Soceity of Automotive Engineers en is het kennisplatform voor de
internationale automobiel industrie.
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 6/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
• www.iso.org
ISO staat voor International Standards Organisation en draagt zorg voor de
normstelling rondom met name de beproeving van voertuigen en componenten
1.3 Doelstelling en opbouw dictaat
Het onderwerp Voertuigdynamica is gepositioneerd in de competentiematrix in de cel
Ontwerpen/structureren:
Een systeembeschrijving van een te ontwikkelen voertuig uitwerken naar deelsystemen
waarbij rekening gehouden moet worden met onderlinge interacties van deelsystemen.
Het kunnen visualiseren, bespreken, testen en optimaliseren van deze deelsystemen.
De literatuur omtrend voertuigdynamica heeft een academische insteek met de nadruk op
mathematische modellering van het voertuiggedrag.
In dit dictaat wordt de voertuigdynamica behandeld teneinde inzicht te geven in de
mechanisch-fysische principes. Wat zijn de bepalende componenten van een voertuig en hoe
werken deze samen. Hiermee leert de student kwalitatieve uitspraken te doen over het
rijgedrag van het voertuig. Teneinde dit kwantitatief te onderbouwen worden
berekeningsmethoden geïntroduceerd waarbij stap voor stap naar het complete voertuig
gewerkt wordt.
Het eindniveau dat de student zo bereikt is een goede basis om zich daarna verder te
specialiseren met behulp van de academische vakliteratuur.
De volgende opbouw wordt hierbij gehanteerd:
Hoofdstuk 2: Inleiding voertuigdynamica
In dit hoofdstuk wordt het werkgebied van de voertuigdynamica afgebakend en wordt
een inleiding gegeven in onderzoeksmethoden en de indeling van het voertuig naar
componenten die uiteindelijk het voertuiggedrag bepalen
Hoofdstuk 3: Band-wegdekinteractie
Band-wegdekinteractie is een zeer belangrijk onderwerp in de Voertuigdynamica. Om
die reden wordt het als eerste behandeld.
Hoofdstuk 4: Voertuiggedrag
In dit hoofdstuk gaan we rekenen aan het gedrag van het voertuig. We maken
onderscheid tussen lateraal, longitudinaal en gecombineerd gedrafg. Vragen die
beantwoord moeten worden met betrekking tot het voertuiggedrag zijn voor een
belangrijk deel te vatten met een elementaire mathematische beschrijving van het
voertuig. Dit model wordt in dit hoofdstuk behandeld en toegepast. Voor alle
berekeningen geldt dat we ons richten op het stationaire gedrag van het voertuig
Voor de samenstelling van de reader heb ik met name de volgende bronnen gebruikt:
Tyre and vehicle dynamics [1]
Standaardwerk van prof.H.B. Pacejka, de specialist en wereldwijd erkend. State of the
art maar zeer theoretisch
Zomotor Fahrverhalten [2]
Standaardwerk Voertuigdynamica, helaas niet erg nieuw (voor 1990) en alleen als
PDF beschikbaar
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 7/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
2 Inleiding Voertuigdynamica
In dit hoofdstuk wordt het werkgebied van de voertuigdynamica afgebakend en wordt een
inleiding gegeven in onderzoeksmethoden en de indeling van het voertuig naar componenten
die uiteindelijk het voertuiggedrag bepalen
Paragraaf 2.1 introduceert de elementaire begrippen. Onderzoeksmethoden volgen in
paragraaf 2.2 en de indeling naar voertuigcomponenten volg in paragraaf 2.3
2.1 Begripsbepaling
Het werkgebied van de voertuigdynamica richt zich op de wisselwerking tussen de beweging
van het voertuig en de krachten op het voertuig met
in ieder geval een verandering in de snelheid en/of de richting van de beweging
(het stationaire gedrag, meer hierover later in deze paragraaf)
eventueel een verandering in de versnelling van het voertuig
(het dynamische gedrag, meer hierover later in deze paragraaf)
Concreet:
Rijden met een constante snelheid op een vlakke rechte weg rechtuit valt buiten de
voertuigdynamica
Alle andere cases vallen binnen de voertuigdynamica:
o Remmen/accelereren
o Verticale aanstoting
o Rijden van een bocht
o Etc..
De beweging van het voertuig wordt als eerste beschreven in het assenstelsel van het voertuig,
zie Figuur 2.1.
Het uitgangspunt is een linksomdraaiend assenstelsel met de volgende richtingen
(translerend):
• Longitudinaal, snelheid in de x-richting
• Lateraal, snelheid in de y-richting
• Verticaal, snelheid in de z-ricting
Daarnaast zijn er de (basis)rotatiebewegingen:
Rollen, rotatie om de x-as
Dompen, rotatie om de y-as
Gieren, rotatie om de z-as
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 8/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
De translerende beweging wordt weergegeven door kinematische grootheden: positie,
snelheid en versnelling en bestaat er een evenwicht met de krachten die op het voertuig
werken
amF . ( 2.1 )
De roterende beweging wordt weergegeven door de kinematische grootheden: hoek,
hoeksnelheid en hoekversnelling en bestaat er een evenwicht met de momenten die op het
voertuig werken
.JM ( 2.2 )
De actuele beweging van het voertuig wordt weergegeven door de ‘vehicle states’, de status
van het voertuig: translerende en roterende snelheden.
Indien de versnellingen constant zijn wordt gesproken over stationair gedrag
Voorbeeld: het rijden van een bocht met een constante snelheid en straal
Indien de versnellingen niet constant zijn wordt gesproken van dynamisch gedrag
Voorbeeld: een uitwijkmanoeuvre
Tenslotte wordt er een onderscheid gemaakt tussen de taak van de bestuurder/regelaar:
• Open loop: geen terugkoppeling/regeling
Voorbeeld: stuurhoek op vaste waarde en registreren hoe het voertuig reageert
• Closed loop: wel terugkoppeling/regeling
Voorbeeld: doserend remmen waarbij de bestuurder de remkracht zodanig regelt dat
de wielen net niet blokkeren.
2.2 Onderzoeksmethoden
Om inzicht te krijgen in het rijgedrag van een voertuig kan men gebruik maken van een
mathematisch model of experimenteel onderzoek. Bij experimenteel onderzoek maakt met
Figuur 2.1: Basis voertuigbewegingen
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 9/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
onderscheid tussen objectieve en subjectieve experimenten. Bij objectieve experimenten
worden de voertuigbewegingen (translerend en roterend) geregistreerd door middel van
sensoren. Bij subjectieve experimenten wordt het oordeel gegeven door de bestuurder (de
testrijder).
Teneinde op een efficiënte wijze data te verzamelen wordt gebruik gemaakt van
gestandaardiseerde testmethoden. Voorbeelden:
Puur longitudinaal
• Acceleratietest (stationair/dynamisch, closed loop)
• Remmen rechtuit (stationair/dynamisch, closed loop)
• Uitloopproef (heeft meer met voertuigweerstanden te maken en dus de aandrijflijn)
(“stationair”open loop)
Puur lateraal
• Stationaire bocht (stationair, closed loop)
• Slalom (Sinustest) (dynamisch, closed loop)
• Lanechange (inhalen) (dynamisch, closed loop)
• Stapvormige stuurbeweging (dynamisch, open loop)
• Random steer (dynamisch, closed loop)
• Zijwindgevoeligheid (dynamisch, open loop)
Puur verticaal
• Comforttest (dynamisch, open loop)
Gecombineerde gedrag
• Remmen in een bocht (dynamisch/open loop)
• Power off (dynamisch/open loop)
In de praktijk worden beiden testmethoden, objectief en subjectieve experimenten, naast
elkaar toegepast. Een voertuig wordt geïnstrumenteerd om het rijgedrag objectief vast te
leggen en daarnaast geeft de testrijder zijn subjectieve oordeel. In het ideale geval zouden de
subjectieve beoordeling en objectieve beoordeling overeen moeten komen. In de praktijk
blijkt de rangorde die uit subjectieve testen ontstaat vaak niet overeen te komen met de
rangorde die ontstaat bij objectieve testen.
Zie www.automotive.tno.nl, trefwoord Achieve
De opkomst van de computertechnologie bood nieuwe kansen om via mathematische
modellering inzicht te verwerven in het voertuiggedrag. De grootste voordelen van
mathematische modellering zijn:
1. Er kan volstaan worden met een mathematisch model, er is geen voertuig nodig en dit
maakt het mogelijk om al zeer vroeg in het ontwikkelingstraject inzicht te verwerven
in het voertuiggedrag
2. Er hoeven geen (soms riskante) maar altijd kostbare rijtesten uitgevoerd te worden
3. Een mathematisch model leent zich uitstekend voor gevoeligheidsanalyses,
bijvoorbeeld het beoordelen van de relatie tussen de stijfheid van een torsiestabilisator
en het rijgedrag
In het hedendaagse onderzoek speelt mathematische modellering een zeer vooraanstaande rol.
Een betrouwbare simulatie is echter alleen te verkrijgen indien de modellering voldoende
nauwkeurig. In de meeste complexe situatie wordt iedere component van de wielophanging
apart gemodelleerd! Een dergelijke aanpak is zeer kostbaar. In de praktijk kiest men vaak
voor een pragmatische aanpak, zeker als het doel eerder ligt bij het verwerven van kwalitatief
inzicht in het voertuiggedrag.
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 10/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
2.3 Componenten in de voertuigdynamica
Deze paragraaf introduceert de belangrijkste componenten bepalend voor het rijgedrag van
het voertuig. Achtereenvolgens zijn dit:
• De carrosserie, zie paragraaf 2.3.1
• De wielophanging, zie paragraaf 2.3.2
• De band-wegdekinteractie, zie paragraaf 2.3.3
In deze reader gaat de grootste aandacht uit naar de band-wegdekinteractie. De verdere
detaillering volgt eigenlijk pas in hoofdstuk 5 en als men zich verder in de voertuigdynamica
gaat specialiseren.
2.3.1 Carrosserie
Banden en wielophanging zijn letterlijk ondersteunend aan de translatie en rotatie van de
carrosserie. De carrosserie kan in de modellering worden voorgesteld als een ‘massieve
bal’met een massa en een massamiddelpunt en een stijfheid tegen buigen en torderen
Belangrijke parameters:
Massa en massaverdeling
De massaverdeling is een bepalingrijke parameter in de rotatietraagheid van de
carrosserie
Ligging zwaartepunt
De ligging van het zwaartepunt bepaalt zowel de statische wiellasten als ook de
gewichtsoverdracht ten gevolge van laterale en longitudinale versnellingen
Stijfheid (buiging en wringing)
Naast de stijfheden in de wielophanging, is de stijfheid van de carrosserie ook zeer
bepalend voor het voertuiggedrag.
2.3.2 Wielophanging
De wielophanging vormen samen met de banden de intermediar tussen de carrosserie en de
weg. De wielophanging moet als eerste de carrosserie dragen, voldoende comfort verschaffen
en zorgdragen voor een betrouwbaar rijgedrag.
Belangrijke parameters zijn:
Het rolcentrum (dit is het punt waarom de carrosserie rolt, dit wordt bepaald door de
geometrie van de wielophanging)
De rechte lijn tussen het rolcentrum van voor en achteras noemt men de rolas.
De veerstijfheid
De demping
De stijfheid van de torsiestabilisator
De vervormingen in de wielophangingen ten gevolge van de beperkte stijfheid van de
componenten (draagarmen en lagering hiervan)
De veranderingen van de wielstanden bij in en uitveren en in en uitsturen
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 11/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
2.3.3 Band-wegdekinteractie
Hoe goed de wielophanging ook is: de band-wegdekinteractie bepaalt uiteindelijk hoeveel
wrijvingskracht tussen band en wegdek opgebouwd kan worden.
Daarnaast zijn banden zeer van belang voor het stuurgevoel.
Belangrijke parameters zijn daarmee
Wrijvingscoëfficiënt
Slipstijfheden
Conditie
Snelheid
Belasting
Etc..
In het volgende hoofdstuk komt de band-wegdekinteractie uitgebreid aan bod
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 12/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
3 Band-wegdekinteractie
Het kunnen accelereren, remmen en rijden van bochten valt of staat uiteindelijk met de kracht
die tussen band en wegdek overgedragen kan worden. Waardoor dit bepaald wordt is
onderwerp van de band-wegdekinteractie. Het gaat hier dus om de interactie tussen band en
wegdek. Beiden samen bepalen het niveau van de wrijving. Wrijving is in algemene zin
gedefinieerd als “de weerstand die een object ondervindt ten gevolge van het medium waarin
of waarover het zich voortbeweegt”.
Om een uitspraak te kunnen doen over de wrijving tussen band en wegdek zijn dus zowel
parameters van de weg als de band bepalend.
Paragraaf 3.1 behandelt de fysische beginselen van waaruit de wrijving wordt verklaard. Het
bandassenstelsel, dit is geen triviaal punt, wordt behandeld in paragraaf 3.2.
In de daarop volgende paragraven wordt dieper ingegaan op de verschillende aspecten van
belang voor de voertuigdynamica, achtereenvolgens:
Vrij rollen, paragraaf 3.3
Wielslip, diversen vormen, paragraaf 3.4
Belangrijke kentallen, paragraaf 3.5
Toepassing band-wegdekinteractie in de voertuigdynamica met behulp van
mathematische bandmodellen, paragraaf 3.6
Dynamische effecten in de band-wegdek interactie, paragraaf 3.7
De band-wegdekinteractie die hierin gepresenteerd wordt is de band-wegdek interactie zoals
deze op het academische niveau van de voertuigdynamica ook gebruikt wordt. In het
volgende hoofdstuk, het voertuiggedrag, wordt hierin een vereenvoudiging aangebracht
middels het gebruik van de cirkel van Kamm.
3.1 Het wrijvingsprincipe
Zie ook Aandrijvingen, Paragraaf 4.3.1.6
In de wrijving tussen rubber en wegdek wordt onderscheid gemaakt tussen drie vormen van
wrijving:
• Abrasieve wrijving;
• Adhesieve wrijving (Haftreibung);
• Hysterese wrijving (Gleitreibung).
De wrijvingscoëfficiënt wordt samengesteld uit deze drie vormen van wrijving. Welk type
wrijving dominant is wordt bepaald door de slipsnelheid. De slipsnelheid is gedefinieerd als
de verschilsnelheid tussen het ‘blokje’ rubber en de weg. Indien we kijken naar een blokje
rubber dan is de slipsnelheid gelijk aan de voortbewegingssnelheid.
Uitgaande van een gegeven materiaalsamenstelling van rubber en wegdek zijn daarnaast nog
van belang de temperatuur en de vlaktedruk. Figuur 3.1 geeft het verloop van de
wrijvingscoëfficiënt als functie van deze parameters weer.
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 13/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Heel belangrijk is het te onderkennen dat het verloop van deze wrijvingscoëfficiënt ook sterk
bepaald wordt door de samenstelling van het materiaal. In de praktijk, banden en wegdekken
zoals deze in deze voor de autotechniek relevant zijn, maakt men onderscheid in twee
variatierichtingen
1. Toepassing voor levensduur of prestatie
Het niveau van de adhesieve wrijving wordt bepaald door de aantrekkingskracht
tussen de wegdek en loopvlak moleculen. Speciaal in de racerij, maar ook sportieve
autobanden en met name motorfietsbanden, wordt hier gekozen voor een toename van
de wrijvingscoëfficiënt met het toenemen van de temperatuur. De optimale
bedrijfstemperatuur ligt dus op een hoger niveau dan bij banden voor personenauto’s
en bedrijfswagens. Om enig gevoel hiervoor te krijgen is het aardig om na een ‘stevig
parcours’ even te stoppen en de hand op het loopvlak te leggen. Zeker bij
motorfietsbanden zal men ervaren dat deze wat ‘kleverig’ geworden zijn.
2. Invloed van wegdekconditie
De wrijvingscoëfficiënt is het hoogste op een droge weg. In alle andere gevallen zal de
wrijvingscoëfficiënt lager zijn waarbij de bepalende parameters zijn:
o het type medium (water/olie/vuil)
Een bekend voorbeeld van een risicovolle situatie is het rijden in een
beginnende regenbui na een droge periode. Het vuil dat zich op de weg bevindt
zal zich vermengen met het water en als smeermiddel tussen band en wegdek
werken
o de hoeveelheid medium
Hoe meer medium zich tussen band en wegdek bevindt, des te lager de
wrijvingscoëfficiënt. Deze hoeveelheid wordt bepaald door het waterbergend
vermogen van zowel de weg (macrotextuur) als de band (profieldiepte)
Figuur 3.1: Het wrijvingsniveau als functie van slipsnelheid, temperatuur en vlaktedruk
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 14/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
o de snelheid van het voertuig
Het medium werkt als een ‘boeggolf’ voor de band. De ontbonden kracht in
verticale richting ligt de band op waardoor in een extreme situatie aquaplaning
ontstaat
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 15/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
3.2 Het bandassenstelsel
In deze reader wordt gewerkt volgens het linksomdraaiend assenstelsel. Dit komt ook overeen
met met assenstelsel dat door de internationale Tydex1 werkgroep is aanvaard. In Figuur 3.2..
is dit het ISO assenstelsel met zoals hier weergegeven de Fz zuiver verticaal2.
1 Tydex staat voor Tyre Date Exchange en behelst een serie van afspraken teneinde eenduidigheid te realiseren in
het bandassenstelsels en de opbouw van datafiles van experimenten. Deze standaard is internationaal
geaccepteerd 2 In de verdere definitie wordt doorgaans het W- of C-assenstelsel gebruikt. Het W-assenstelsel is georiënteerd
ten opzichte van de weg (FzW is zuiver verticaal) en het C-assenstelsel is georiënteerd in het wielvlak (FzC
draait dus mee met de camberhoek). In deze reader gaan we uit van het W-assenstelsel.
Figuur 3.2: Assenstelsels voor de band-wegdekinteractie [ 1]
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 16/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
3.3 Vrij rollen
Bij vrij rollen wordt het loopvlak van de band vervormd. Bij deze vervorming gaat energie
verloren ten gevolge van de dempende eigenschappen van het loopvlak en de bandconstructie.
Daarnaast treedt er locale slip op. De gemiddelde slip van de inloop (Einlauf) en de uitloop
(Auslauf) is 0, echter:
bij de inloop beweegt het loopvlak ten opzichte van de weg naar voren
In dit gedeelte is de Fx naar voren gerucht (dus positief, dus aandrijvend)
bij de uitloop beweegt het loopvlak ten opzicht van de weg naar achteren
In dit gedeelte is de Fx naar achteren gericht (dus negatief, dus remmend)
Zie Figuur 3.3.
3.4 Wielslip
Uitgaande van de schuifspanningsverdeling bij vrij rollen kunnen we de veranderingen bij
wielslip bestuderen. In de band-wegdekinteractie wordt onderscheid gemaakt tussen:
Pure longitudinale slip, paragraaf 3.4.1
Pure laterale slip, paragraaf 3.4.2
Gecombineerde slip, paragraaf 3.4.3
Figuur 3.3: Schuifspanningen in het contactvlak bij vrij rollen [2]
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 17/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
x
xs
x
xeff
xv
v
v
vr,
.
3.4.1 Puur longitudinaal
De pure longitudinale slip is als volgt gedefinieerd:
( 3.1 )
In deze vergelijking is het resultaat van de teller de longitudinale slipsnelheid vs,x. Figuur 3.4
geeft de locale contactspanning weer bij remmen met 7% slip (dus κ= -0,07).
Deze slipsituatie komt overeen met nummer 1 (de negatieve helft daarvan) in Figuur 3.5.
Heel goed is hier te zien dat er twee wrijvingsniveau’s zijn. Bij kleine slipsnelheid is de
adhesieve wrijving bepalend en bij grotere slipsnelheden de hysterese wrijving. De totale
wrijving is de som van alle locale deelwrijvingen. Er is hierbij een optimale hoeveelheid slip,
dus waarbij de som van de deelwrijvingen maximaal is. Bij een personenautoband ligt die
waarde rond de 0,15 (15% slip).
Figuur 3.4: Schuifspanningsverdeling bij remmen met 7% longitudinale slip (dus κ= -
0,07) [3]
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 18/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
De onderstaande figuur laat het verloop van de wrijvingscoëfficiënt zien als functie van de
longitudinale slip (hier weer in % weergegeven) waarbij het zeer van belang is te
onderscheiden de Haftreibungszahl (de hechtende wrijwingscoëffiënt) en de
Gleitreibungszahl (de glijdende wrijvingscoëfficiënt).
Figuur 3.5: Verdeling locale longitudinale krachten (evenredig met schuifspanning) bij
verschillende niveau’s van longitudinale slip (niveau 3 is niveau maximum ) en niveau 4 is
niveau bij blokkeren. [3]
Figuur 3.6: wrijvingscoëfficiënt zien als functie van de longitudinale slip (hier weer in %
weergegeven) [3]
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 19/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
)sin(., vv ys
x
ysx
ysv
vvv
,
, )tan()sin(.)cos(
3.4.2 Puur lateraal
Wanneer de band ten opzichte van de bewegingsrichting ingedraaid wordt (rotatie om de z-as
met een sliphoek α, zie Figuur 3.7) dan geldt de volgende vergelijking:
De pure laterale slip wordt de slipsnelheid vs,y bepaald door:
( 3.2 ) Dit kunnen we ook als volgt schrijven:
( 3.3 )
Deze slipsnelheid is samengesteld uit locale (deelsnelheden over de lengte van het loopvlak).
Ook hier hebben we te maken met het adhesieve en hysterese deel van de wrijving. Zie figuur
Figuur 3.8. In de praktijk het maximum van de wrijving behaald bij circa 10 graden sliphoek.
(de sinus hiervan is 0,17 en dat komt redelijk overeen met de ligging van de top de van de
longitudinale karakteristiek). Hier houdt ook het interesse gebied van de voertuigdynamica op
omdat het voertuig voorbij dit niveau niet meer beheersbaar is. Karakteristieken worden
doorgaans weergegeven tot circa 15 graden sliphoek.
Figuur 3.9 laat een voorbeeld van een karakteristiek zien waarin tevens goed zichtbaar is dat
de wrijvingscoëfficiënt afneemt met toename van de normaalkracht.
Figuur 3.7: Definitie laterale slip [3]
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 20/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Figuur 3.8: Opbouw van laterale kracht in het contactvlak [3]
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 21/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
3.4.3 Gecombineerde slip
Bij het gelijktijdig optreden van longitudinale en laterale slip spreekt men over
gecombineerde slip. Zie Figuur 3.10: de cirkel van Kamm. De buitenste cirkel geeft het
niveau weer can de hechtende wrijving en de binnenste cirkel het niveau van de glijdende
wrijving.
Als voorbeeld het remmen in een bocht: het voertuig heeft een constante snelheid en
constante bochtstraal en heeft daartoe een gegeven laterale kracht Fy nodig per band (later
wordt uitgelegd hoe dit bepaald wordt). Indien in in bocht geremd wordt dan is de maximale
remkracht begrensd door de cirkel van Kamm. Komt de gecombineerde kracht (vectoriële
samenstelling van Fx en Fy) buiten de cirkel dan zal als eerste het wiel (waar dat optreedt)
blokkeren. Indien het wiel blokkeert treedt er volledige slip op zowel in longitudinale als in
laterale richting. Het wrijvingsniveau wordt nu voor beiden bepaald door de glijdende
wrijving. Stel dat glijdende wrijvingscoëfficiënt 0,7 is bij een sliphoek van 10 graden dan is
de resulterende wrijvingscoëfficent longitudinaal (0,7 . cos (10) = 0,69) en lateraal (0,7 * sin
(10) = 0,12).
Treedt deze situatie op op de vooras dan zal het voertuig onderstuurd de bocht uitglijden en
treedt deze situatie op op de achteras dan zal het overstuurd de bocht uitglijden. Het spreekt
voor zich dat de tweede situatie in noodsituaties niet wenselijk is.
In het volgende hoofdstuk wordt uitgebreid verder gegaan met de Cirkel van Kamm
Figuur 3.9: Voorbeeld van de Fy als functie van de sliphoek bij pure laterale slip.
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 22/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
3.4.4 Het richtmoment Mz
Het richtmoment Mz onstaat doordat de samengestelde Fy wat achter het midden van het
contactvlak aangrijpt. Deze verschuiving wordt de bandnaloop of pneumatic trail genoemd.
Het richtmoment heet zo omdat het het wiel weer terug wil richten naar de rechtuitsituatie. In
een wielophanging van de gestuurde as wordt dit fenomeen samen met castereffecten gebruikt
om het stuur na de bocht weer terug te laten draaien naar de rechtuitstand.
Figuur 3.10: De herkomst van de cirkel van Kamm
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 23/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Voor de bestuurder is het richtmoment zeer belangrijk voor het stuurgevoel. Naarmate men
meer instuurt zal het richtmoment is eerst toenemen. Het maximum van het richtmoment valt
bij pure laterale slip ongeveer samen met de overgang van het lineaire slip naar niet lineaire
slip. Als het maximum bereikt is van de laterale kracht is de pneumatische naloop ongeveer 0
en het richtmoment dus ook. Zo kan men aan de hand van het richtmoment bepalen hoever
men van de kritische bochtsnelheid afzit.
3.5 Samenvattend: belangrijke kentallen
Voor het gebruik van de bandkarakteristieken in voertuigdynamica studies zijn als eerste van
belang:
• De wrijvingscoëfficiënt
– Longitudinaal:
Figuur 3.11: Het ontstaan van het richtmoment Mz
Figuur 3.12: De karakteristiek van het richtmoment
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 24/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
• Topwaarde: μx,max
• Blokkeerwaarde: μx,blokkeren
– Lateraal: Topwaarde μy,max
• De slipstijfheid: kracht/slip in het lineaire slipgebied
– Lateraal CF,α
– Longitudinaal CF,κ
Meer in detail zijn van belang de effecten van:
• Camber (wielvlucht)
• Verticale belasting
• Bandenspanning
• Temperatuur
• Profiel
• wegdek en wegdekconditie
• voertuigsnelheid
• Etc..
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 25/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
3.6 Bandmodellen
Met de opkomst van mathematische modellen van voertuigen ontstond ook een behoefte aan
een bruikbare, lees compacte, beschrijving van het karakteristiek van de band-wegdek
interactie.
Het meest succesvolle model daarin is de Magic Formula. Deze goniometrische formule,
ontwikkeld door prof. Pacejka ism Bakker (toen Volvo Zweden) is in 1987 voor het eerst
gepresenteerd en sindsdien wereldwijd zeer populair geworden. Vanaf circa 1995 heeft TNO
de commercialisering van het model opgepakt wat heeft geresulteerd in de Delft Tyre
software.
De basisformule is zeer eenvoudig (vandaar Magic):
xBxBExBCDy .arctan...arctan.sin. ( 3.4 )
Hierin zijn:
y: de uitgaande variabele (Fx, Fy resp. μx en μy, evt Mz)
x: de ingaande variabele (tan() of )
Verder worden de volgende parameters gebruikt voor het verloop van de curve
B: factor voor de stijfheid
C: factor voor de vorm
D: factor voor het maximum
E: factor voor de kromming van de curve na het maximum
Figuur 3.13 laat de basiskarakteristieken zien voor μx en μy.
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 26/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Voor toepassingen in de voertuigdynamica is de formule wat complexer, door toevoeging
van:
Horizontale en verticale verschuiving van de curve
Effecten van de Fz
Effecten van camber
De standaard Magic Formula beschrijft de krachten en momenten tussen band en wegdek bij
pure en gecombineerde slip. Hiervoor bestaat de samengestelde formule uit maar liefst 67
vergelijkingen met zo’n 100 parameters. Met behulp van speciale ‘fit’routines worden deze
bepaald voor door middel van bandenmetingen verkregen karakteristieken. Deze
bandkarakteristieken worden gemeten in laboratoria binnen of buiten. Binnen wordt getest op
een trommel of een lopende band. Buiten wordt getest met rijdende laboratoria. Eén van deze
labororia is in gebruik bij TNO Wegtransportmiddelen. Zie Figuur 3.14.
Mu,x als functie van de longitudinale slip
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0
Kappa [-]
Mu
,x
Mu,x
Mu,y als functie van de sliphoek
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 5 10 15
Sliphoek [graden]
Mu
,y
Mu,y
Figuur 3.13: Magic Formula karakteristiek voor Fx en Fy
B 10
C 1,5
D 1,1
E -3
B 14
C 1,1
D 1,1
E -1
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 27/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Naast de standaard Magic Formula zijn er speciale versies ontwikkeld, onder andere voor:
karakteristieken van motorfietsbanden
effecten van wegdekconditie en snelheid
dynamische effecten (trillingen verticaal en horizontaal)
Door zijn relatieve eenvoud is de Magic Formula de wereldwijde standaard voor
bandmodellen geworden. De modules kunnen gekoppeld worden aan alle grote pakketten
simulatiesoftware (Adams, Matrix-x, Matlab etc..)
Figuur 3.14: De bandenmeetwagen van TNO Wegtransportmiddelen
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 28/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
3.7 Dynamisch gedrag band-wegdekinteractie
In de voorgaande beschouwing is steeds uitgegaan van stationair gedrag, dat wil zeggen dat er
geen verandering in Fz, α en κ optreedt.
In de praktijk, zo is ook de essentie van de voertuigdynamica, hebben we wel te maken met
veranderingen zoals bijvoorbeeld bij het insturen van een bocht. Op het moment dat er een
sliphoek aangebracht wordt duurt het even voordat de daarbij behorende laterale kracht
opgebouwd is. Een band functioneert hier als een massa-veer-demper systeem in het
horizontale vlak waarbij de vervorming van het loopvlak verandert ten gevolge van de
aangebrachte sliphoek. De analogie met een simpel voorbeeld is een massa die aan
horizontaal verplaatst wordt. Tussen het punt dat het verplaatst wordt en het wrijvingsvlak
met het wegdek bevindt zich een veer en een demping. Zie Figuur 3.15
In de stationaire situatie, v=constant, geldt een constante uitrekking van de veer. De
veerkracht is hierbij gelijk aan de kracht waarmee de massa wordt voortbewogen
Van de ene naar de andere stationaire situatie
verandert de lengte van de veer;
ontstaat er hierdoor een demperkracht.
Hoe groter de lengteverandering van de veer en hoe stugger de demper des te langer zal het
duren voordat er een nieuwe stationaire situatie ontstaat.
Naast de veer en de demper hebben we ook te maken met de massa die versneld wordt. Hoe
groter deze massa, des te groter ook de demperkracht.
Projecteren we dit inzicht op het loopvlak van de band dan is het duidelijk dat bij een band
met:
een grote stijfheid en
een lage demping en
een lage massa van het loopvlak
de kracht het snelste tot een nieuwe stabiele waarde komt
Figuur 3.15: Het grondbeginsel van dynamisch bandgedrag [figuur zelf maken]
Massa
Demper, kracht is functie van snelheid in demper
Veer, kracht is functie van in en uitvering
Trekkracht
wrijvingskracht
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 29/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Het optimum is een samenspel van deze parameters: Om opslingering in de eigenfrequentie te
voorkomen is demping noodzakelijk. Deze eigenfrequentie mag niet te laag liggen. Dit kan
bereikt worden door massa te verkleinen maar dat resulteert bij gelijkblijvende
materiaalsamenstelling weer in een lagere stijfheid.
Al met al dus een complex verhaal.
De scoop van deze reader beperkt zich ‘gelukkig’ tot het stationaire gedrag en het eerste orde
dynamische gedrag3 .
De bepalende parameter voor het eerste orde dynamische gedrag is de relaxatielengte σ. Deze
definieert de afstand die de band bij de gegeven sliphoek af moet leggen om tot een nieuwe
stabiele situatie te komen.De relaxatielengte wordt zowel gedefinieerd in laterale als
longitudinale richting (respectievelijk σα en σκ).
Figuur 3.16 laat het verloop zien van de relaxatielengte σα zien. Duidelijk is de relatie met de
Fz en α.
Bij een grotere Fz neemt de contactlengte toe, dus de hoeveelheid te verplaatsen loopvlak. Bij
een grotere sliphoek is de vervormingskracht (lees versnellingskracht groter) groter tov van de
gegeven demping en massa en zal ook eerder een stabiele waarde, bij de maximale
vervorming, sneller bereikt wordt.
3 Wanneer een systeem in trilling gebracht wordt met oplopende frequentie dan vindt bij de eigenfrequentie een
opslingering plaats. Bij hogere frequentie verdwijnt deze weer. In complexe systemen zoals een band hebben we
te maken met een complex stelsel aan massaveersystemen en ieder massaveersysteem heeft weer een eigen
eigenfrequentie. Bij de eerste orde benadering beperken we ons tot de hoofdmassa, de vervorming van het
loopvlak als geheel. Hogere orde van eigenfrequenties zijn afkomstig van de verplaatsing het karkas ten opzichte
van het loopvlak. Zo geldt ook voor de responsie op verticale en longitudinale aanstotingen. Modelmatig en
theoretisch zijn deze uitgewerkt het Short Wavelength Intermediate Frequency Tyre model (SWIFT) dat
gekoppeld wordt aan het standaard bandmodel met 1ste orde dynamica [1]
Figuur 3.16: Het verloop van de σα voor waarden van α en Fz [1]
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 30/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
3.8 Samengestelde bandkarakteristiek
Figuur 3.17 geeft een voorbeeld van een recent gemeten bandkarakteristiek, droog, met de
bandenmeetwagen van TNO (de Delft Tyre Test Trailer)
Figuur 3.17: Voorbeeld bandkarakteristiek (195/65 R15) gemeten met de bandenmeetwagen van TNO in
2000. De gestippelde lijnen geven de Magic Formula benadering weer
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 31/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
4 Basis voertuiggedrag op vlakke weg
In het vorige hoofdstuk is een inleiding gegeven in de band-wegdekinteractie. Hierop
voortbordurend kunnen we nu het gedrag van het hele voertuig gaan bestuderen met
uiteindelijk als doel zelf een eenvoudig mathematisch model op te kunnen zetten en daarmee
inzicht te verwerven in het voertuiggedrag.
Bij het opbouwen van het model gelden de volgende gouden regels:
1. Maak het model niet complexer dan noodzakelijk
2. Varieer nooit meer dan één parameter tegelijk
3. Bouw en valideer de werking van het model stap voor stap
In de stappen van eenvoudig naar complex vinden we de volgende modellen (zie Tabel 1)
1. Het cirkel van Kamm model
Dit is geïntroduceerd in het dictaat Aandrijvingen
2. Het eenspoormodel, stationair/dynamisch
3. Het tweespoormodel, stationair/dynamisch
4. Het tweespoormodel met ophangingsgeometrie
Tabel 1: Overzicht modellen van eenvoudig (1) naar complex (8)
Toepassing Model
Kamm Eenspoor-model
Tweespoor-model Tweespoor-model, incl ophangingsgeometrie
Stationair,
eenspoor
1 (alleen
grensbereik)
3
Stationair,
tweespoor
2 (alleen
grensbereik)
5 7
Dynamisch, eenspoor
4
Dynamisch,
tweespoor
6 8
In de volgende paragraaf zullen eerst de diverse modellen geïntroduceerd worden. Vervolgens
wordt aan de hand van deze modellen het voertuiggedrag nader verklaard. Hiertoe wordt een
case van een kleine sportwagen (lees Tiger) uitgewerkt.
4.1 Het cirkel van Kamm model
Dit is geïntroduceerd in het dictaat Aandrijvingen. Het is in de wereld van de
Voertuigdynamische niet in gebruik maar wordt hier toegepast als opstapje naar de
complexere modellen. De belangrijkst kenmerk van het cirkel Kamm model is dat de
berekenen zich rechten richten op het bepalen van de maximale versnelling van het voertuig
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 32/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
in laterale, longitudinale en gecombineerde richting. Daarnaast beperkt het model zich tot het
stationaire gedrag van het voertuig.
In het vervolg van dit hoofdstuk zal duidelijk worden dat ondanks de betrekkelijke eenvoud
het model geschikt is voor het beantwoorden van veel vragen met betrekking tot het gedrag
van het voertuig.
4.1.1 Het voertuigmodel
We kunnen het cirkel van Kamm model beschouwen als eenspoormodel of als
tweespoormodel. De onderstaande Figuur 4.1Figuur 4.1: Belangrijke afmetingen van het basis
voertuigmodel geeft het zijaanzicht van het model weer. Gegeven zijn:
Een wielbasis l
Een zwaartepunt op de
o afstand a van de vooras
o afstand b van de achteras
o hoogte h boven het wegdek
In het geval van een tweespoormodel wordt hieraan de spoorbreedte sb toegevoegd.
4.1.2 Het bandmodel
Per wiel/band wordt vervolgens de cirkel van Kamm gedefinieerd, hiermee bepalend:
1. De maximale (hechtende) wrijving in longitudinale en laterale richting
2. De glijdende wrijving
3. Verandering van het wrijvingsniveau als functie van wiellast, conditie en snelheid
Ad 1. De maximale (hechtende) wrijving in longitudinale en laterale richting
Figuur 4.1: Belangrijke afmetingen van het basis voertuigmodel
vooras achteras
a
h
l
b
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 33/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
12
max,
2
2
,
2
ynaxx
yx
In het hoofdstuk band-wegdek interactie zijn de fenomenen adhesieve (hechtende) en
hysterese (glijdende) wrijving geïntroduceerd. Adhesieve wrijving is dominant bij lage
slipsnelheden en hysterese wrijving bij hoge slipsnelheden. Het niveau van de adhesieve
wrijving is daarmee bepalend voor het de maximale wrijvingscoëfficiëbt tussen band en
wegdek. Deze maximale wrijvingscoëfficiënt bepaalt het verloop van de buitencirkel in de
cirkel van Kamm.
Door de samenstelling van de wrijving in het contactvlak is de wrijving in longitudinale
richting groter dan in laterale richting. De cirkel is dus eigenlijk een ellips.
De basisvergelijking voor een ellips luidt:
( 4.1 )
Toegepast op de band-wegdekinteractie wordt dit
( 4.2 )
Gegeven een uitnutting van het wrijvingspotentieel in één richting kunnen we vervolgens
bepalen wat er beschikbaar blijft voor de andere richting, dus:
hoe groot de longitudinale versnelling mag zijn gegeven een laterale versnelling
Figuur 4.2: Cirkel van Kamm
x
y
μx,max
μy,max μglijdend
Hechtende
wrijving
Glijdende
wrijving
12
2
2
2
b
y
a
x
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 34/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
2
max,2
max,
2
.1 y
x
xy
hoe groot de laterale versnelling mag zijn gegeven de longitudinale versnelling
( 4.3 )
Ad 2. De glijdende wrijving
Bij overschrijding van de maximale wrijving in de cirkel van Kamm vervalt het niveau tot het
niveau van de glijdende wrijving. Het voertuig wordt nu instabiel:
Longitudinaal: bij remmen zullen de wielen gaan blokkeren en bij aandrijven zullen ze
doorslippen
Lateraal: het voertuig kan de gewenste baan niet meer volgen
Het kenmerk van de glijdende wrijving is dat slipsnelheidsverdeling over het contactvlak
gelijkmatig is: dus overal gelijk en dus wordt de cirkel van Kamm een zuivere cirkel. In
laterale richting treedt deze situatie op bij een sliphoek van 90 graden en wanneer het wiel in
longitudinale richting blokkeert (κ= –1)
Ad 3. Verandering van het wrijvingsniveau als functie van wiellast, conditie en snelheid
Zoals reeds besproken in het hoofdstuk band-wegdekinteractie: de wrijvingscoëfficiënt tussen
band en wegdek is een functie van wiellast, temperatuur, snelheid en conditie. Het effect van
deze parameters wordt bepaald door hoe de band en het wegdek; de constructieve uitwerking
en de materiaalsamenstelling.
Voor de toepassing in mathematische simulatie zijn alleen de kentallen van belang. Men
beschouwt de band en het wegdek dan verder als black box.
Bij het cirkel van Kamm model definiëren we de volgende basisfuncties:`
Effect van de wiellast Fz
Gegeven de wrijvingscoëfficiënt bij de nominale Fz geldt dat deze afneemt met toenemende
Fz en toeneemt met afnemende Fz. Zie Figuur 4.3.
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 35/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Hiervoor geldt de volgende vergelijking:
nomz
nomzz
FmuFF
FFc
znomz
,
,
, .,
( 4.4 )
Op basis van de grafiek gelden de volgende richtwaarden:
Voor μx,max: cμ,Fz= -4.10-2
[N-1
]
Voor μx,blokkeren: cμ,Fz= -8.10-2
[N-1
]
Voor μy,max: cμ,Fz= -8.10-2
[N-1
]
Voor de theoretisch-fysische onderbouwing hiervan spelen meerdere mechanismen samen:
de samenstelling van de wrijving;
de samenstelling van de contactdrukverdeling;
temperatuur van de band.
Hypothetisch kan het volgende beredeneneerd worden:
Bij adhesieve wrijving is de verandering ten gevolge van Fz kleiner dan bij hysterese
wrijving. Hierdoor wordt het verschil tussen de maximale en geblokkeerde wrijving
longitudinaal verklaard. De samenstelling van de wrijving lateraal zit daar ongeveer
tussenin. Een ander effect ten nadele van de laterale wrijving is de samenstelling van de
contactdrukverdeling bij het aanbrengen van van een laterale kracht. Deze wordt
ongunstiger bij een toenemende Fz
Figuur 4.3: Wrijvingscoëfficiënten als functie van de Fz
Wrijvingscoëfficiënt mu als functie van Fz, band 195/65
R15
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
0 2000 4000 6000 8000
Fz [N]
Wri
jvin
gsco
ëff
icië
nt,
zie
leg
en
da mu,y,max
mu,x,max
mu,x,blokkeren
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 36/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Effect van de snelheid en de conditie
Het effect van de snelheid kan op een droge weg verwaarloosd worden. Andere condities zijn
regen, sneeuw en ijs en als speciaal geval sludge vorming
Bij regen spelen met name de volgende fenomenen samen
Bij regen ontstaat er een waterlaag tussen band en wegdek. Hoe dik deze waterlaag is
wordt bepaald door de macrotextuur [zie dictaat Aandrijvingen paragraaf 4.3.1.6] van
de weg; bij een grove op open macrotextuur is deze groter dan bij een fijne of gesloten
macrotextuur.
Gegeven deze waterlaag heeft de profilering van de band de taak dit water op te
nemen zodat de waterlaag tussen de profielnokken en de weg minimaal is
Bij toenemende snelheid ontstaat er een ‘boeggolf’ voor de band die net als bij een
speed boat de band op wil lichten.
De microtextuur of microruwheid van de weg bepaalt de smerende werking van het
water. Vergelijk het met lopen over een natte tegelvloer: naar mate deze meer gepolijst
is neemt de wrijving nat af.
De rubbersamenstelling van de band bepaalt het samenspel tussen adhesieve en
hysterese wrijving.
Bij sneeuw en ijs bevindt zich een min of veer vaste intermediair tussen band en wegdek. Kan
men voor droog en nat de wrijvingscoëfficiënt redelijk schatten. Voor sneeuw en ijs is dit veel
moeilijker. Hierbij spelen twee fenomenen een rol:
de samenstelling: droge/plak/natte sneeuw, de dikte van de sneeuw/ijslaag.
de temperatuur tussen band en wegdek waardoor sneeuw en ijs kan smelten waarbij er
een locale maar zeer effectieve smering ontstaat tussen band en wegdek
Figuur 4.4 geeft het verloop weer van de wrijvingscoëfficiënt als functie van de snelheid
onder diverse condities.
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 37/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Een speciaal geval is sludgevorming. Dit is een korte maar extreme terugval in
wrijvingscoëfficiënt die optreedt bij regen na een ‘langere’ droge periode. Het vuil wat zich
op de weg heeft afgezet wordt opgelost in het regenwater. Bij het begin van de regenval werkt
dit vuil als een smeermiddel tussen band en wegdek.
Voor de toepassing van de snelheidsafhankelijke wrijving in het bandmodel kunnen we niet
volstaan met een lineair verband zoals voor de Fz afhankelijkheid is gebruikt. In recente
onderzoeken is hiervoor een exponentiële functie ontwikkeld [ref. paper Road-scaled Magic
Formula for braking performance of cars]. Gezien de hoge specialisatiegraad vaan dit
onderwerp wordt die hier, vooralsnog, niet verder behandeld.
Voor het cirkel van Kamm model gebruiken we daarom een wrijvingscoëfficiënt die niet
varieert als functie van de snelheid.
Figuur 4.4: Het bereik van de glijdende wrijvingscoëfficiënt als functie van de snelheid voor diverse
condities
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 38/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
4.1.3 Toepassing van het cirkel van Kamm model
Gegeven een maximum wrijvingscoëfficiënt op de voor en achteras en de ligging van het
zwaartepunt kunnen we achtereenvolgens rekenen aan het longitudinale, laterale en
gecombineerde gedrag. Doordat we alleen de wrijvingscoëfficiënt kennen kunnen we alleen
de maximale versnelling bepalen in de diverse richtingen.
4.1.3.1 Pure longitudinale slip
Pure longitudinale slip treedt op bij rechtuit remmen en accelereren. Het accelereren is reeds
behandeld in de reader Aandrijvingen [4]
De belangrijke vergelijkingen zijn die van de dynamische aslasten als functie van de
versnelling.
xvz ahgbl
mF ..., en xaz ahga
l
mF ..., ( 4.5 )
In het nu volgende wordt dit verder uitgewerkt voor remmen.
Bij remmen treedt er gewichtoverdracht op van achter naar voor. Door de verandering van de
aslast zal de wrijvingscoëfficiënt voor afnemen en achter toenemen. In de ideale situatie
wordt het wrijvingspotentieel op de vooras en achteras maximaal uitgenut: voor beiden geldt
nu de hechtende of maximale wrijvingscoëfficiënt.
Voor de vooras geldt:
vzxvx FF ,max,max,, . ( 4.6 )
Met de eerder vergelijking (4.1) hierin gesubstitueerd wordt dit:
vz
nomz
nomzvz
FmuFvx FF
FFcF
znomz ,
,
,,
,max, ..,
( 4.7 )
Evenzo geldt nu voor de achteras:
az
nomz
nomzaz
FmuFax FF
FFcF
znomz ,
,
,,
,max, ..,
( 4.8 )
In de voorbeeldcase zijn twee voorbeelden uitgewerkt:
1. De ideale remkrachtverdeling voor en achter als functie van de wrijvingscoëfficiënt
tussen band en wegdek indien deze wriivingscoëfficiënt onafhankelijk is van de Fz
2. De remkrachtverdeling indien de wrijvingscoëfficiënt wel afhankelijk van de Fz
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 39/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Effect van de wiellast Fz
Effect van de snelheid en de conditie
4.1.3.1.1 De ideale remkrachtverdeling voor en achter
We kunnen de ax schrijven als functie van Fx en Fx als functie van de μ. Hiermee kunnen we
aslast bepalen inclusief de gewichtsoverdracht. Voor de vooras geldt:
.....
........., hbl
gm
m
gmhgb
l
m
m
Fhgb
l
mahgb
l
mF x
xvz
( 4.9 )
Evenzo voor de achteras geeft:
...
, hal
gmF az ( 4.10 )
De remkracht voor en achter wordt nu verkregen door het produkt van de aslast en de
wt\rijvingscoëfficiënt μ.
2
,, ....
. hbl
gmFF vzvx ( 4.11 )
2
,, ....
. hal
gmFF azax ( 4.12 )
In deze vergelijking zien we een deel op basis van de statische aslast en een deel op basis van
de gewichtsoverdracht. Dit is een kwadratisch (2de orde) verloop doordat de
gewichtsoverdracht een functie van de Fx is en deze Fx deze Fx ook weer een functie van de μ
is. Dus bij toename van de μ zal vooras extra belast worden door de grotere vertraging en kan
de as nog eens meer kracht overbrengen ten gevolge van de hogere μ.
Figuur 4.5 laat de aslast voor en achter zien als functie van de μ.
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 40/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Deze aslast voor en achter vermenigvuldigd met de μ geeft dan de remkracht op de voor en
achteras. Zie Figuur 4.6.
Figuur 4.5: Varandering van de aslastvoor en achter als functie van de wrijvingscoëfficiënt μmax
Figuur 4.6: Verandering van de maximale remkracht voor en achter als functie van de wrijvingscoëfficiënt
Fz,v en Fz,a als functie van de mu
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
mu [-]
Fz
,v e
n F
z,a
. Z
ie le
ge
nd
a [
N]
Fz,v
Fz,a
Fx,v en Fx,a als functie van mu
-4500
-4000
-3500
-3000
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
mu [-]
Zie
le
ge
nd
a [
N]
Fx,v
Fx,a
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 41/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Door de remkracht voor en achter op elkaar te delen krijgen we de remkrachtverdeling voor
en achter als functie van de μ, zie Figuur 4.7.
In de literatuur wordt deze remkrachtverdeling ook wel weergegeven genormaliseerd naar het
voertuiggewicht met op de x-as de remkracht op de vooras en op y-as de remkracht op de
achteras. Zie Figuur 4.8.
Deze curve wordt in deze literatuur het parabel (=‘sprookje’) van de ideale
remkrachtverdeling genoemd.
Figuur 4.7: Remkrachtverdeling achter/voor als functie van de wrijvingscoëfficiënt
Fx,a/Fx,v als functie van mu
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
mu [-]
Fx
,a/F
x,v
Fx,a/Fx,v
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 42/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
De aanduiding parabel geeft tegelijk de onmogelijkheid van een dergelijk ideaal weer.
Voordat nu enige benaderingswijzen behandeld worden is het uiteraard van belang te weten
wat de nadelen zijn van een niet ideale remkrachtverdeling.
De nadelen ten gevolge van een niet ideale remkrachtverdeling voor/achter:
1. Niet optimale remvertraging
2. Instabiel voertuiggedrag
Ad 1. Niet optimale remvertraging
Indien de remkrachtverdeling niet optimaal is zal het potentieel van de hechtende
wrijvingscoëfficiënt niet volledig uitgenut worden.
Zie als voorbeeld Figuur 4.8.
Indien, bepaald door de wrijvingscoëfficiënt, Fx,v/G 0,4 is. Dan hoort daarbij een Fx,a/G van
0,24 bij. Indien Fx,a/G groter is dan 0,24 zal de achteras als eerste blokkeren en als deze lager
is dan 0,24 zal de vooras als eerste blokkeren. Indien we doserend remmen, dat wil zeggen
geen van beide assen willen laten blokkeren, dan is de as die het eerste zou gaan blokkeren
maatgevend.
Het verschil met de ideale situatie bepaalt nu het verlies aan remvertraging.
Voorbeeld: de remkrachtverdeling achter/voor =0,5, dan zal alleen bij een μ van 0,8 de ideale
verdeling aanwezig. Bij μ<0,8 gaat er zal de vooras als eerste blokkeren en bij een μ>0,8 zal
de achteras als eerste blokkeren. Zie ook het volgende punt: instabiel voertuiggedrag
Figuur 4.8: De genormaliseerde maximum remkracht op voor en achteras bij oplopende waarde van de
wrijvingscoëfficiënt: het parabel van de ideale remkrachtverdeling
Fx,a/G als functie van Fx,v/G
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0 0.2 0.4 0.6 0.8
Fx,v/G [-]
Fx
,a/G
[-]
Fx,a/G
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 43/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Ad 2. Instabiel voertuiggedrag
Indien de remkrachtverdeling niet optimaal is en er één as blokkeert zijn er twee
mogelijkheden: de vooras blokkeert als eerste of de achteras blokkeert als eerste.
Voortbordurend op het vorige punt: bij μ<0,8 zal de vooras als eerste blokkeren.
Zoals in de onderstaande Figuur 4.9 is weergegeven blijft het voertuig stabiel indien de vooras
als eerste blokkeert. Dat betekent dat in dit voorbeeld het voertuig zich bij lagere waarden van
μ (dan 0,8) stabiel blijft gedragen. Bij hogere waarden van μ, indien μ>0,8 hebben we
doorgaans te maken met een droge weg hebben we te maken met een droge weg en is
instabiliteit makkelijker te corrigeren (rem loslaten, het voertuig richt zich weer in het rechte
pad) dan op een natte weg waarbij de corrigerende krachten bij loslaten van de rem ook
bestaan maar kleiner zijn ten opzichte van de rotatietraagheid (zuiver massabepaald) van het
voertuig.
Teneinde de ideale remkrachtverdeling zo goed mogelijk te benaderen zijn diverse systemen
ontwikkeld. De kroon op deze ontwikkeling is het Anti Blokkeer Systeem.
Achtereenvolgens wordt de principiële werking van diverse systemen kort toegelicht:
1. Remkrachtbegrenzing
2. Remkrachtvermindering
3. Schakelbare hoofdremcilinder
Daarna wordt ingegaan op de beperking van deze systemen:
4. Effect beladingsgraad voertuig
5. Nauwkeurigheid van de regeling
6. Effect remmend moment van de motor
En tenslotte
Figuur 4.9: Instabiliteit bij remmen
Vooras
blokkeert,
daardoor alleen Fy
op de achteras.
Moment Fy.b
stabiliseert het
voertuig in de
rijrichting
Achteras
blokkeert, daardoor alleen Fy
op de vooras.
Moment Fy.a
destabiliseert het
voertuig in de
rijrichting
moment
versterkt
instabiliteit
moment
reduceert
instabiliteit
cirkel van Kamm
v v
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 44/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
7. Het Anti blokkeer Systeem
Ad 1. Remkrachtbegrenzing
Bij remkrachtbegrenzing is de remkrachtverdeling voor/achter vast maar wordt de druk naar
de achterremmen begrensd. De maximale druk die naar de achterremmen gaat kan, door
middel van een stangenmechanisme, instelbaar zijn afhankelijk van de invering van de
achteras. Bij grote invering is wordt is de maximale remdruk hoger dan bij kleinere invering.
In Figuur 4.10 is dit weergegeven. Op de x-as staat de genormaliseerde remkracht op de
vooras en op de y-as de genormaliseerde remkracht op de achteras. In de grafiek wordt de
parameter zkritisch gebruikt. Hiervoor geldt de volgende vergelijking:
totz
ax
totz
vx
totz
axvx
totzaxvxF
F
F
Fz
F
FFzFzFF
,
,
,
,
,
,,
,,, .
( 4.13 )
In geval van gelijke wrijvingscoëfficiënt voor en achter geldt: z=μ
Verder zien we dat bij het lege voertuig instabiliteit optreedt tussen zkrit=0,5 en z=0,72. Voor
het beladen voertuig blijft de remkrachtverdeling ver onder het kritsiche niveau wat in feite
betekent dat het potentieel niet goed uitgenut wordt.
Gegeven een remkrachtverdeling achter/voor crem
leegvx
leegax
leegremF
Fc
,,
,,
, ( 4.14 )
Hierbij geldt:
totz
ax
totz
vx
F
F
F
F
,
,
,
, ( 4.15 )
leegrem
leegtotz
leegvxc
F
F,
,,
,,1. ( 4.16 )
Indien beladen geremd wordt dan is de ideale remkrachtverdeling gegeven dezelfde
wrijvingscoëfficiënt anders. Doorgaans neemt de wiellast achter relatief meer toe dan de
wiellast voor waardoor er voor de ideale verdeling meer remkracht naar de achteras moet. Bij
een vaste remkrachtverdeling wordt deze bijstelling niet gerealiseerd.
De ideale remkrachtverdeling achter is:
beladenvx
beladenax
beladenremF
Fc
,,
,,
, ( 4.17 )
en geldt dus:
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 45/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
beladenrem
beladentotz
beladenvxc
F
F,
,,
,,1. ( 4.18 )
Bij de vaste remkrachtverdeling wordt die van de onbeladen situatie gebruikt. Dus gegeven de
situatie waarbij over de maximale over te brengen remkracht gaat, bepalen we het aandeel op
de achteras aan de hand van de remkrachtverdeling van de onbeladen situatie.
leegrem
beladentotz
beladenvxc
F
F,
,,
,,1. ( 4.19 )
Gegegeven de ideale remkracht verdeling kunnen we nu bepalen wat de afname in de te
realiseren vertraging is.
Stel : μ=0,5
Crem,leeg=0,17/0,33
Crem,beladen=0,21/0,29
Fx,v,leeg/Fz,tot=0,33
Voor leeg geldt >> μ=(0,33)*(1+0,17/0,32)=0,5
Voor beladen geldt μ=(0,29)*(1+0,17/0,32)=0,44
Hieruit bepalen we het verlies aan vertraging: (100*(0,44-0,5)/0,5)=-12%
NB:
door de gewichtstoename neemt de remkracht voor wel toe maar af relatief ten
opzichte van de totale voertuigmassa
Deze vereenvoudiging geldt voor een Fz onafhankelijk μ.
Figuur 4.10: Remkrachtbegrenzing. In het deel “Instabiler Bereich..”zal eerste de achteras blokkeren.
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 46/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Ad 2. Remkrachtvermindering
Remdrukvermindering lijkt op remkrachtbegrenzing met dit verschil dat de remdruk naar de
achterremmen na het omschakelpunt nog steeds toeneemt, echter minder stijl dan voor het
omschakelpunt. Hiermee wordt een betere benadering van de ideale remkrachtverdeling
gerealiseerd.
Ad 3. Schakelbare hoofdremcilinder
Bij een schakelbare tandem hoofdremcilinder wordt tussen twee standen geschakeld
afhankelijk van de beladingsgraad van het voertuig
Figuur 4.11: Remkrachtbregrenzing, met beladingsafhankelijk omschakelpunt (ZUbeladen en ZUleer)
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 47/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
beperking van deze systemen
Ad 4. Effect beladingsgraad voertuig
Indien het voertuig beladen wordt dan komt de extra aslast voornamelijk voor rekening van de
achteras. Is een remdrukverdeling zodanig dat onbeladen de vooras als eerste blokkeert dan
wordt de situatie alleen nog maar ongunstiger in de beladen situatie omdat de afstand tot de
ideale remkrachtverdeling groter wordt. Zie Figuur 4.13 en de verhandeling bij
remdrukbegrenzing.
Figuur 4.12: Schakelbare hoofdremcilinder, afhankelijk van de beladingsgraad, dit resulteert in zkrit,leer en
zkrit,beladen
Figuur 4.13: Effect beladingsgraad op de ideale remkrachtverdeling
Fx,a/G als functie van Fx,v/G
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0 0.2 0.4 0.6 0.8
Fx,v/G [-]
Fx
,a/G
[-]
Fx,a/G, beladen
Fx,a/G, onbeladen
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 48/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Door middel van een tandem hoofdremcilinder kan dit voor een deel gecompenseerd worden.
Ad 5. Nauwkeurigheid van de regeling
Zoals al eerder gesteld is de remdrukbegrenzing uitgevoerd als stangenmechanisme. Het
instellen en beproeven van de juiste instelling is niet eenvoudig en daarnaast veranderen
gedurende de gebruiksduur parameters van componenten, zoals het zich zetten van de veren
(hierdoor lijkt het voertuig ten onrechte een hogere aslast te hebben) en de verandering van en
spreiding in het materiaal van de remmen (schijf/trommel versus remblokken en
remschoenen)
Ad 6. Effect remmend moment van de motor
Indien men afremt zonder te ontkoppelen zal de motor een additioneel remmend moment op
de ‘aangedreven’ as veroorzaken. In geval van de vooras is dit niet kritisch voor de stabiliteit,
bij een achteras kan dit wel het geval zijn. Het probleem met remmende moment van een
motor is dat de grootte hiervan wordt bepaald door het motortoerental en de gekozen
overbrengingsverhouding. Zie Figuur 4.14.
In de extreme situatie (dus gas loslaten in een bocht loslaten vanuit met een hoog
motortoerental) kan dit leiden tot zeer instabiel rijgedrag. Hier spelen meerdere zaken een rol
dan alleen de het remmend moment van de motor. Hierover later meer.
Het spreekt dus bijna voor zich dat instabiliteit als eerste optreedt bij achterwiel aangedreven
auto’s met de motor achterin (Porsche 911, oude Skoda’s, Smart).
Met alle beperking van conventionele remsystemen lijkt abs het ei van columbus. het abs
voorkomt dat een wiel blokkeert. doordat de wielen altijd blijven draaien blijft er altijd
wrijvingspotentieel in laterale richting beschikbaar en blijft het voertuig bestuurbaar.
Figuur 4.14: Invloed remmende werking van de motor op de ideale remkrachverdeling
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 49/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Geprojecteert op de cirkel van Kamm betekent dit dat voor wat betreft de longitudinale slip
zodanig geregeld wordt dat de grenswaarde niet overschreden. De gevreesde binnencirkel
wordt hiermee niet meer betreden.
Regeltechnisch is de longitudinale bandkarakteristiek het uitgangspunt.
Indien men met sliphoek 0 een band afremt dan bestaat de afremming uit een stabiel en
instabiel deel:
Stabiel: Voor de top, hierin kan de bestuurder regelen/doseren
Instabiel: Na de top er is nu een overmaat aan remkracht aanwezig waardoor het wiel
zeer snel (ordegrootte van 0,2-0,4 sec) zal blokkeren. Gezien de traagheid van de
bediening en de reactietijd van de bestuurder is dit niet beheersbaar
De eerste taak van de regeling is dus te voorkomen dat het wiel blokkeert. De regeling maakt
hiertoe gebruik van hoeksnelheidssensoren op de wielen. Zodra de hoeksnelheid zeer snel
gaat afnemen is dit het signaal dat men over de top van de bandkarakteristiek is en moet het
ABS ingrijpen door de remdruk te verlagen/te onderbreken.
Deze regeling werkt goed bij kleine sliphoeken. Bij grotere sliphoeken verdwijnt de top in de
longitudinale bandkarakteristiek en zal het systeem dus nooit ingrijpen waardoor de het wiel
toch blokkeert.
Om dit te voorkomen heeft een ABS ook een slipregeling die voorkomt dat de longitudinale
slip een kritisch niveau overschrijdt.
Bij het ingrijpen van het ABS worden door de regeling de volgende fasen doorlopen Zie
Figuur 4.15:
Fase 1: nog onder de maximale remdruk, systeem werkt als conventioneel remsysteem
Fase 2: overschrijding van de maximale remdruk: verbinding tussen hoofdremcilinder
en rem wordt gesperd
Fase 3: de remdruk aan de wielzijde wordt met een vaste stap verlaagd,
Fase 4: de remdruk wordt weer gesperd; het wiel zal eerst minder vertragen,
vervolgens gaan versnellen
Fase 5: de verbinding met de hoofdremcilinder wordt weer vrijgegeven. Hierdoor
neemt de hoeksnelheid van het wiel weer af , de wielslip zit nu in de buurt van de
kritische waarde
Fase 6 en verder de regeling regelt nu om de gewenste longitudinale slip waarde
waarbij de regelfrequentie kan oplopen tot 20 Hz
De bestuurder ervaart deze pulserende regeling als een trilling in het rempedaal.
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 50/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Figuur 4.15: Werking van de regeling van een ABS
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 51/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
4.1.3.1.2 De remkrachtverdeling indien de wrijvingscoëfficiënt wel afhankelijk van
de Fz en andere parameters
In de vorige paragraaf is reeds duidelijk geworden dat zonder toepassing van electronische
regelingen ideale remkrachtverdeling eigenlijk niet te realiseren is.
Indien we nog andere parameters zoals de effecten van Fz op de μ en de effecten van snelheid
en conditie toe willen voegen dan komen we al snel in zeer complexe berekeningen uit.
Het is weinig zinvol om rekenen aan de ideale remkrachtverdeling voor-achter indien deze in
de praktijk nooit gerealiseerd kan worden. Wel is het interessant om te kijken wat gegeven
een zeker wrijvingspotentieel de maximale remvertraging is die men kan bereiken.
Uitgangspunt hierbij is:
1. de wrijvingscoëfficiënt op de vooras neemt af en op de achteras neemt toe als functie
van de vertraging
2. De gewenste wrijvingskracht op de vooras neemt meer dan evenredig toe, en die van
de achteras minder dan evenredig toe met de vertraging
3. De resulterende remvertraging is dan dus lager dan de remvertraging waarmee de
berekening begonnen is en hiervoor geldt dan weer een andere gunstiger
aslastverdeling.
Zo kan de men de punten 1..3 iteratief doorlopen totdat de fout in de benadering klein genoeg
is. Dit leent zich voor een aanpak in een klein stukje software.
Een andere mogelijkheid is het op te lossen middels een simulatiemodel dat net als bij een
ABS regeling steeds regelt op optimale wielslip. Om dit te realiseren moet het cirkel van
Kamm model van de bandwegdekinteractie uitgebreid worden.
In zo’n model kunnen dan ook de effecten van de snelheidsafhankelijkheid van de
wrijvingscoëfficiënt opgenomen worden4.
4 Auteur was als medewerker van TNO Automotive verantwoordelijk voor de ontwikkeling van het
remvermogenmodel. De kennis en modelontwikkeling vanuit de wegzijde kwam voor rekening van KOAC-
WMD (een laboratorium gespecialiseerd in wegdekonderzoek en ontwikkeling) en die vanuit band/voertuigzijde
voor rekening van TNO Automotive, afdeling voertuigdynamica met als specialisatie experimenteel onderzoek
band-wegdekinteractie en de toepassing hiervan in mathematische band/voertuigmodellen. Over deze meerjarige
ontwikkeling (perode 1997-2000) is bij verschillende gelegenheden nationaal en internationaal gepubliceerd.
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 52/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
4.1.3.2 Pure laterale slip
Pure laterale slip treedt op bij het rijden van een bocht zonder aandrijven/remmen.
De belangrijke vergelijkingen zijn die van de dynamische aslasten als functie van de laterale
versnelling. Daarom wordt direct het tweespoormodel beschouwd.
Gegeven is een laterale kracht Fy die aangrijpt in het zwaartepunt van het voertuig. gegeven
de ligging van het zwaartepunt wordt deze kracht verdeeld over voor en achteras. Met de
gegeven hoogte van zwaartepunt boven het wegdek kunnen we vervolgens de
gewichtsoverdracht van links naar rechts of viceversa bepalen. Zie Figuur 4.16.
Als eerste bepalen we de statische wiellast per wiel
l
bgmFF rvzlvz
.2
..,,,, en
l
agmFF razlaz
.2
..,,,, ( 4.20 )
Vervolgens bepalen we de gewichtsoverdracht. Bij een linksomdraaiend assenstelsel gezien in
de rijrichting naar links gericht. Een positieve Fy komt dus overeen met een bocht naar rechts.
Deze verdeeld zich vervolgens over de voor en achteras
l
bFF
y
vy
., en
l
aFF
y
ay
., ( 4.21 )
Vanuit het momentenevenwicht geldt:
v
vy
vzvvzvysb
hFFsbFhF
...
,
,,, ( 4.22 )
Evenzo voor de achteras
Figuur 4.16: Gewichtsoverdracht bij laterale en longitudinale versnelling
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 53/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
a
ay
azaazaysb
hFFsbFhF
...
,
,,, ( 4.23 )
Bij een bocht naar rechts vindt gewichtsoverdracht plaats naar links.
Vooras:
vzlvzdynlvz FFF ,,,,,, en vzrvzdynrvz FFF ,,,,,, ( 4.24 )
Achteras:
azlazdynlaz FFF ,,,,,, en azrazdynraz FFF ,,,,,, ( 4.25 )
Door de verandering van de aslast zal de wrijvingscoëfficiënt voor het buitenwiel afnemen en
het binnenwiel toenemen. Gegeven de wiellasten kunnen we de wrijvingscoëfficiënten
uitrekenenen. Samengesteld vinden we daarmee de de maximale Fy per wiel
dynlvz
nomz
nomzdynlvz
FmuFlvy FF
FFcF
znomz ,,,
,
,,,,
,,max, ..,
( 4.26 )
Evenzo geldt voor de overige drie wielen
4.1.3.2.1 Voorbeeld stationaire bocht
Nemen we een voertuig waarmee we een stationaire bocht naar rechts rijden. Gevraagd is de
maximale bochtsnelheid.
Per snelheid rekenen we uit:
1. De op te nemen laterale kracht op voor en achter as, zie
2. De gewichtsoverdracht en de resulterende wiellasten, zie
3. De resulterende wrijvingscoëfficiënten
4. De over te brengen laterale kracht op voor en achteras
Bij de snelheid waar, op één van of beide assen, de beschikbare laterale kracht kleiner is dan
de op te nemen laterale kracht is de kritische bochtsnelheid bereikt.
In de case is de statische aslast voor groter dan de statische aslast achter.
Ad 1. De op te nemen laterale kracht op voor en achter as
Dit spreekt voor zich. Zie Figuur 4.17.
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 54/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Ad 2. De gewichtsoverdracht en de resulterende wiellasten, zie
De verandering van de wiellasten verloopt evenredig met Fy (zie Figuur 4.18) en in Figuur
4.19 zijn de resulterende wiellasten aangegeven. De vooras heeft een gezien de
massaverdeling een hogere aslast.
Op nemen laterale kracht als functie van de
snelheid, bocht naar rechts, R 100 m
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0 10 20 30 40 50 60
v [m/s]
Zie
le
ge
nd
a
Fy [N]
Fy,v [N]
Fy,a [N]
Figuur 4.17: Laterale kracht Fy als functie van de snelheid
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 55/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Ad 3. De resulterende wrijvingscoëfficiënten
Delta Fz, voor en achter als functie van de
snelheid, R 100 m
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 20 40 60
v [m/s]
Zie
le
ge
nd
a
delta_Fz,v [N]
delta_Fz,a [N[
Figuur 4.18: Verandering van de wiellast voor en achter als functie van de snelheid
Wiellasten als functie van de snelheid, R 100 m
-1000,00
0,00
1000,00
2000,00
3000,00
4000,00
5000,00
6000,00
0 10 20 30 40 50 60
v [m/s]
Zie
le
ge
nd
a
Fz,v,l [N]
Fz,v,r [N]
Fz,a,l [N]
Fz,a,r [N]
Voertuig kantelt!!!
Figuur 4.19: Resulterende wiellasten als functie van de snelheid. Bij 40 m/s zal het voertuig kantelen.
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 56/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Hier komt de afhankelijkheid van de Fz toe. De vooras heeft hierdoor gemiddeld een lagere
wrijvingscoëfficiënt de daarnaast zijn er uiteraard de effecten van de gewichtsoverdracht naar
het buitenwiel. Zie Figuur 4.20.
Ad 4. De over te brengen laterale kracht op voor en achteras
Als laatste vinden we nu de over te brengen laterale kracht per as. Voor een grote bochtstraal
mogen we deze per as optellen5. Door deze, per as, te vergelijken met de benodigde Fy kan
bepaald worden wat de beperkende factor is. In dit voorbeeld zal de kritische grens het eerst
overschreden worden voor de vooas. Dit bekent dat het voertuig in het grensgebied
onderstuurd is.
5 De cosinus van de hoek wielbasis/boogstraal is bepalend, bij een wielbasis van 2 m en een boogstraal is deze
gelijk aan 0,9999
Wrijvingscoëfficiënten als functie van de
snelheid, R 100 m
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 10 20 30 40 50 60
v [m/s]
Zie
le
ge
nd
a Mu,v,l
Mu,v,r
Mu,a,l
Mu,a,r
Figuur 4.20: Resultende wrijvingscoëfficiënt per wiel.
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 57/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Kritisch lateraal gedrag met cirkel van Kamm
model
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 10 20 30 40 50 60
Snelheid [m/s]
Zie
le
ge
nd
a
Fy,v,tot [N]
Fy,a,tot [N]
Fy,v [N]
Fy,a [N]
Kantelsnelheid
Kritische snelheid,
achteras
Kritische snelheid vooras
Figuur 4.21: Kritisch lateraal gedrag met cirkel vam Kamm model: het voertuig is in het grensgebied
onderstuurd
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 58/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
4.1.3.3 Gecombineerde slip
Gecombineerde slip waarbij het wrijvingspotentieel in laterale en longitidinale richting wordt
aangesproken treedt op bij remmen of accelereren in een bocht. Beperkt tot het stationaire
gedrag hebben we nu te maken met buitencirkel van de cirkel Kamm, de cirkel van de
maximale wrijving in longitudinale en laterale richting.
Om de grenswaarde voor het rijgedrag te bepalen kunnen we de gecombineerde slip conditie
benaderen vanuit
1. Pure laterale slip
Gegeven de laterale kracht wordt hier een longitudinale kracht aan toegevoegd: deze is
positief bij aandrijven en negatief bij remmen
2. pure longitudinale slip
Gegeven een longitudinale kracht wordt hier een laterale kracht aan toegevoegd
Voor de berekening gaan we uit van de pure laterale slip: het voertuig rijdt een bocht met een
constante straal en wil remmen of accelereren
Gevraagd: wat zijn de maximale longitudinale versnellingen.
Bij aandrijven is van belang:
welke as wordt aangedreven of welke assen worden aangedreven
Bij remmen is van belang:
hoe wordt de remkracht verdeeld over voor en achteras
Uitwerking de berekening wordt gedaan met oplopend niveau van ax
Per berekeningstap worden de volgende deelresultaten berekend:
Uit: v, R en m volgt Fy
Uit Fy, de ligging van het zwaartepunt en de spoorbreedte(n) volgt de
gewichtsoverdracht en de verandering tgv van Fy
Uit de ax wordt de Fx bepaald voor remmen/aandrijven
Uit de Fx volgt de gewichtsoverdracht en verandering ten gevolge van Fx
Vanuit de statische wiellast en de gewichtsoverdracht volgt de dynamisch wiellast
Bij de dynamische wiellast en de bijbehorende wrijvingscoëfficiënt, wordt per wiel de
maximale Fx bepaald
Indien voor geen van de wielen de grenswaarde van Fx wordt overschreden, wordt per
as gekeken wat het resterende potentieel aan Fx is.
Is dit potentieel groter dan wat nodig is, zal het voertuig zijn koers kunnen blijven
volgen.
Een dergelijke berekening, inclusief effecten van de snelheid op de wrijvingscoëfficiënt en
zelfs individuele verschillen tussen de banden is, als voorbeeld, niet ter reproductie,
samengesteld in Excel. Hiermee wordt gedetailleerde informatie verkregen over gehele
grensbereik van het rijgedrag van een voertuig.
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 59/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Daardat de gevonden grenswaarden ook geldig zijn in een volledig model, kan een
gecombineerd model van Kamm heel goed gebruikt worden voor de bepaling van de
stationaire voertuiginstellingen:
keuze banden (rubbercompound)
keuze ligging zwaartepunt
richtwaarden voor aerodynamica (functionaliteit is nu niet aanwezig in dit model)
keuze remkrachtverdeling
etc..
In Figuur 4.22. is een voorbeeld gegeven van zo’n samengestelde cirkel van Kamm voor het
gehele voertuig. Het lichtblauwe deel is de cirkel van kamm. In het niveau 2 wordt de grens
bepaald door twee doorslippende wielen. In het niveau 4 wordt de grens bepaald door 4
longitudinaal doorslippende wielen.
Voor het dynamische gedrag van het voertuig zijn dan weer andere parameters van belang:
Massatraagheden, translerend en met name ook roterend
Relaxatieeffecten
Slipstijfheden banden
Gaan we tenslotte naar het volledige model dan komen daarbij:
Parameters wielophanging
o wielstanden
o rolcentrum
o instellingen demping en vering
o flexibiliteiten in de wielophanging/stuursysteem
Stijfheid chassis/carrosserie
Camber effecten op bandwegdekinteractie
In de volgende paragraaf maken we de stap naar het dynamisch voertuiggedrag.
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
0
0
0
0
1
1
1
2
3
3
4
5
6
7
8
9
10
ax
ay
Grenswaarden gecombineerd voertuiggedrag
4-6
2-4
0-2
Figuur 4.22: Grenswaarden gecombineerd voertuiggedrag
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 60/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
4.2 Het éénspoormodel
In de vorige paragraaf is het voertuiggedrag beschouwd aan de hand van het cirkel van Kamm
model. Hiermee wordt het grensbereik van het voertuig beschreven en daarmee ook de
grenswaarden voor de actieve veiligheid. Toch hebben deze stationair bepaalde grenswaarden
de beperking dat ze als eerste stationair zijn en als tweede dat ze niets zeggen over het
voertuiggedrag onder de kritische grens.
Het dynamische gedrag is van belang bij een verandering in de voertuigversnelling:
bijvoorbeeld bij een uitwijkmanoeuvre. Het “onderkritische” gedrag heeft met name te maken
met de subjectieve bestuurbaarheid van het voertuig. Hoe direct reageert het voertuig op het
stuurcommando van een bestuurder. Hoe snel worden dus de spoorkrachten opgebouwd en
welke moeite moet een bestuurder dus doen voor het besturen van een auto.
Bij het kopen van een auto, en daar is het de fabrikant toch om te doen, is de beleving van de
actieve veiligheid veel belangrijker dan hoe groot deze absoluut is. Slechts zeer ervaren
bestuurders en testrijders zoeken echt het grensgebied op. Wat een modale bestuurder wel test
is of het voertuig prettig stuurt, door bijvoorbeeld een beetje te slalommen.
Een project dat inspeelt op een dergelijk vraagstuk is het ACHIEVE van TNO Automotive. In
dit project is een normale personenauto voorzien van een steer by wire stuursysteem waarmee
door middel van de regelparameters ieder gewenst stuurgevoel gecreëerd kan worden. Men
onderzoekt hierbij wat nu eigenlijk de bepalende parameters zijn in de beoordeling van het
stuurgevoel bij een auto. En terwijl er niets verandert aan het grensbereik van de auto zal de
beleving van de actieve veiligheid dus steeds verschillend zijn.
Vandaar dat de scope bij voertuigdynamisch onderzoek zich ook voor een belangrijk deel
richt op het onderkritische rijgedrag van een voertuig.
Een eerste stap om daarin berekeningen uit te kunnen voeren is de toepassing van het
éénspoormodel waarbij naast het niveau van de wrijving ook het verloop van de wrijving als
functie van de wielslip bekend is.
Bij het éénspoormodel, ook wel het fietsmodel genoemd, wordt de breedte van het voertuig
gelijk gesteld aan 0. De voorwielen links en rechts worden samengesteld tot één en hetzelfde
geldt voor de achterwielen. Simpel gesteld is het voertuig dus in alle situaties zuiver
symmetrisch over de lengteas.
De volgende effecten worden hierdoor niet berekend
Het effect van rol en gewichtsoverdracht Links-Rechts
Verschillen in bandkracht links en rechts
Voor deze effecten wordt het tweespoormodel gebruikt. Vanuit het begrip van het
eenspoormodel is het betrekkelijk eenvoudig om de overstap hiernaar te maken.
Achtereenvolgens worden voor het eenspoormodel behandeld
De opbouw van het model
Het pure longitudinale rijgedrag met het éénspoormodel
Het pure laterale rijgedrag met het éénspoormodel
Het gecombineerde rijgedrag met het éénspoormodel
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 61/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
4.2.1 De opbouw van het éénspoormodel
Zie Figuur 4.23. Het eenspoormodel bestaat uit een vooras/wiel een achteras/wiel die
onderling verbonden zijn. De vooras kan gestuurd worden. Daarnaast is het zwaartepunt
gedefinieerd. Let op: het eenspoormodel kan dus niet rollen om de lengteas!
In Figuur 4.24 zijn de belangrijkste afmetingen weergegeven. Eén en ander conform de
definities bij Aandrijvingen.
Figuur 4.23: Het eenspoormodel
Figuur 4.24: Het eenspoormodel, zijaanzicht
vooras (gestuurd)
zwaartepunt
achteras
vooras achteras
a
h
l
b
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 62/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
4.2.2 Het pure longitudinale rijgedrag met het éénspoormodel
Beschouwen we de bandkarakteristiek dan zijn hiervan bekend:
De hechtende wrijvingscoëfficiënt: μx,max,
De glijdende wrijvingscoefficient: μx,blokkeren,
De longitudinale slipstijfheid Cμx,κ
Als voorbeeld werken we dit verder uit voor het remmen.
De remkracht wordt volgens de remkrachtverdeling aangebracht op de voor en achteras.
bekend zijn hiermee Fx,v en Fx,a
Daarnaast kunnen we aslasten voor en achter bepalen en gegeven de longitudinale
slipstijfheid Cμx,κ in het lineaire gebied van de karakteristiek volgt hieruit de longitudinale
slip
De grootte van de slipstijfheid wordt bepaald door:
de stijfheid van het loopvlak van de band
de stijfheid van het profiel
de lengte van het contactvlak
Hoe meer vervorming er mogelijk is, des te lager dus de slipstijfheid. Bij een gemiddelde
band is de slipstijfheid zodanig dat μx,max bereikt wordt bij κ 0,15. Bij slicks, en dus ook
versleten banden, neemt de slipstijfheid dus toe.
De slipstijfheid bepaalt met name het dynamische gedrag bij remmen bij een groter
slipstijfheid zal het voertuig daarom directer op een remcommando reageren. Het wordt
daarmee echter ook moeilijker om de remkracht te doseren.
Een hoge slipstijfheid vergroot met name de bestuurbaarheid van het voertuig lateraal. Het
voertuig reageert directer. Met het verhogen van deze laterale stijfheid gaat automatische de
longitudinale stijfheid mee.
De relevantie van longitudinaal is in dit stadium van de kennisontwikkeling minder groot dan
voor lateraal. Om die reden laat ik de verdere uitwerking hiervan even rusten.
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 63/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
4.2.3 Het pure laterale rijgedrag met het éénspoormodel
Bij de uitleg wordt zoveel mogelijk grafisch gewerkt: dus het visueel inzichtelijk maken.
Deze methode werkt zowel goed om uit te leggen als om inzicht te verwerven. Echt inzicht
verkrijgt men pas na oefening. Ga dus spelen met de theorie en ontwikkel daarmee je inzicht.
Definitie:
Bij stationair gedrag is de som van de momenten 0 en de som van de krachten 0: voor de
eenvoudige voertuigdynamica
ΣFx=0; : ΣFy=0; : ΣMz=0
We beschouwen nu achtereenvolgens:
1. een bocht met zeer lage snelheid (stapvoets)
2. een bocht met geleidelijk oplopende snelheid
Ad 1. een bocht met zeer lage snelheid (stapvoets)
Bij een zeer lage snelheid nadert de centripetaal kracht naar 0 waardoor de banden ook geen
laterale kracht hoeven over te brengen.
De sliphoek voor en achter zijn nu 0. De stuurhoek die de voorwielen maken met de
rijrichting heet in deze situatie de Ackermanhoek δA die bepaald wordt uit het quotiënt van de
wielbasis l en boogstraal R. Bij benadering geldt:
R
lA arctan ( 4.27 )
Figuur 4.25: Het stationaire bocht bij een zee lage snelheid, stapvoets
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 64/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Ad 2. een bocht met geleidelijk oplopende snelheid
Bij oplopende snelheid neemt de centripetaalkracht en de daarmee noodzakelijk laterale
bandkracht ook toe. Zie Figuur 4.26. Hiervoor geldt bij benadering:
l
b
R
vmF vy .
. 2
, en l
a
R
vmF ay .
. 2
, ( 4.28 )
De werkelijkheid is dat krachten naar het centrum van de bocht zijn gericht als in Figuur 4.27
Figuur 4.26: De stationaire bocht, benadering
R
v
Fc=m.v2/R
Fy,v
Fy,a
Gierhoeksnelheid
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 65/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Gegegeven de slipstijfheid lateraal CF,α voor en achter kunnen nu de benodigde sliphoek voor
en achter berekend worden:
vF
vy
vC
F
,,
,
en aF
ay
aC
F
,,
,
( 4.29 )
Vooruitlopend op de volgende stap schrijven we de sliphoek om naar slipsnelheid:
)sin(.,, vvsy vv en )sin(.,, aasy vv ( 4.30 )
Let op de richtingen in het assenstelsel:
We gaan uit van het linksomdraaiend assenstelsel volgens Zomotor6: de Fy,a en Fy,v zijn dus
positief bij een positieve sliphoek (wiel stuurt naar links vanuit de snelheidsvector v)
In geval van een bocht naar links moet het wiel naar links ingestuurd worden. Zie Figuur 4.28.
6 zie [2] en figuur 3.7
R Fc
Fyv
Fya
wielbasis 2 [m]
hoek cos hoek tan hoek Boogstraal [m]
0 1.00 0.00 oneindig
1 1.00 0.02 115
2 1.00 0.03 57
3 1.00 0.05 38
4 1.00 0.07 29
5 1.00 0.09 23
6 0.99 0.11 19
7 0.99 0.12 16
8 0.99 0.14 14
Figuur 4.27: De stationaire bocht, werkelijkheid, rechts laat zien dat de fout (cosinus hoek)
verwaarloosbaar is
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 66/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Doordat het voertuig een bocht rijdt draait het ook om de verticale as. Deze hoeksnelheid
wordt de gierhoeksnelheid genoemd.
R
v ( 4.31 )
Vanuit deze gierhoeksnelheid ontstaat er een locale snelheid op de achteras naar de buitenkant
van de bocht en een een snelheid op de vooras naar de binnenzijde van de bocht:
av vsy .,, en bv asy .,,
( 4.32 )
Indien we een bocht naar links rijden dan zijn de tekens als in figuur .. is weergegeven:
Vooras: vsy,α,v naar rechts en vsy,ψ,v naar links7
Achteras: vsy,α,a naar rechts en vsy,ψ,v naar rechts
Voor de achteras geldt dat de resulterende slipsnelheid wordt samengesteld uit de vsy,α,a en
vsy,ψ,a en de slipsnelheid van de voertuigsliphoek β: vsy,β . Zie Figuur 4.29
7 NB: de aanduiding ψ met een puntje erboven (de eerste afgeleide van ψ) kan helaas niet door Word worden
weergegeven is buiten de formule editor weggelaten.
v +α
Fy
+x
+y
vsy
Figuur 4.28: Positieve richtingen van kracht, hoek en slipsnelheid voor een bocht naar links
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 67/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
asyasysy vvv ,,,,, ( 4.33 )
De term Vsy,β ontstaat vanuit de voertuigsliphoek β.
Als voorbeeld nemen we een stationaire bocht naar links met een straal van 100 m en
beschouwen hierbij twee situaties:
1. De spoorstijfheid is zeer groot, waardoor de benodigde slipsnelheid vsy,α,v hoek zeer
klein is ten opzichte van de slipsnelheden vsy,ψ,a en vsy,β
2. Idem, maar nu met een reële waarde van de spoorstijfheid.
In situatie 1 is duidelijk te zien dat vsy,ψ,a en vsy,β even groot en tegengesteld gericht zijn. Ze
compenseren elkaar. Dus geldt
asysyasysy vvvv ,,,,,, 0 ( 4.34 )
Bij situatie 2 is vsy,α,a een functie van de dwarskracht die moet worden opgenomen. Deze
loopt kwadratisch op met de voertuigsnelheid en ontstaat doordat de slipsnelheid vsy,β anders
gaat lopen.
Neem als voorbeeld snelheid 10 m/s. Hierbij is de benodigde vsy,α,a gelijk aan vsy,ψ,a en wordt
vsy,β 0.
asyasyasyasy vvvv ,,,,,,,,0 ( 4.35 )
Heel duidelijk is het zichtbaar dat de voertuigsliphoek van teken wisselt.
Figuur 4.29: Samenstelling van de slipsnelheden, achter
Achteras
v
α
Vsy,α,a=v.sin(α)= Vsy,ψ,a- Vsy,β
Fy,a
Vsy,ψ,a=b.dψ/dt
Vsy,β=v.sin(β)
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 68/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Slipsnelheden op de achteras als functie van de
voertuigsnelheid bij constante bochtstraal, bocht
linksom
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 5 10 15 20
Voertuigsnelheid [m/s]
Sli
ps
ne
lhe
de
n,
zie
le
ge
nd
a [
m/s
]
vsy,alpha,achter
[m/s]
vsy,beta [m/s]
vsy,phi,achter [m/s]
Figuur 4.30: stationair bocht achteras, situatie 1 met een verwaarloosbare slipsnelheid vsy,α,a
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 69/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Slipsnelheden op de achteras als functie van de
voertuigsnelheid bij constante bochtstraal, bocht
linksom
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 5 10 15 20
Voertuigsnelheid [m/s]
Sli
ps
ne
lhe
de
n,
zie
le
ge
nd
a [
m/s
]
vsy,alpha,achter
[m/s]
vsy,beta [m/s]
vsy,phi,achter [m/s]
Figuur 4.31: Stationaire bocht achteras, situatie 2 met een reële slipsnelheid vsy,α,a
R Fc
Fyv
Fya
Figuur 4.32: De stationaire bocht, punt slipsnelheid vsy,β 0
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 70/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Hieruit kunnen we de voertuigsliphoek berekenen, zie :
v
vsy
,arcsin ( 4.36 )
Voor de vooras geldt dat de resulterende slipsnelheid wordt samengesteld uit de vsy,α,v en
vsy,ψ,v en de slipsnelheid van de voertuigsliphoek β en de stuurhoek Zie Figuur 4.33.
Nu zijn vsy,β en vsy,ψ,v gelijkgericht. In de situatie dat de slipsnelheid 0 is
,,,,,, syvsyvsysy vvvv ( 4.37 )
In de situatie 1 dat de slipsnelheid vsy,α,v 0 is geldt: (zie Figuur 4.34)
,,,,,,,, 0 syvsysysyvsysy vvvvvv ( 4.38 )
Indien slipsnelheid vsy,β 0 wordt geldt
vsyvsysyvsyvsysy vvvvvv ,,,,,,,,,, 0 ( 4.39 )
De resulterende grafiek is weergegeven in Figuur 4.35.
Figuur 4.33: Samenstelling van de slipsnelheden voor
Vooras
v
α
Vsy,α,v=v.sin(α) Fy,v
Vsy,ψ,v=a.-dψ/dt
Vsy,β Vsy,δ= Vsy,α,v- Vsy,β- Vsy,ψ,v
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 71/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Slipsnelheden op de vooras als functie van de
voertuigsnelheid bij constante bochtstraal, bocht
linksom
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 5 10 15 20
Voertuigsnelheid [m/s]
Sli
ps
ne
lhe
de
n,
zie
le
ge
nd
a [
m/s
]
vsy,alpha,voor [m/s]
vsy,beta [m/s]
vsy,phi,voor [m/s]
vsy, delta [m/s]
Figuur 4.34: stationair bocht vooras, situatie 1 met een verwaarloosbare slipsnelheid vsy,α,v
Slipsnelheden op de vooras als functie van de
voertuigsnelheid bij constante bochtstraal, bocht
linksom
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 5 10 15 20
Voertuigsnelheid [m/s]
Sli
ps
ne
lhe
de
n,
zie
le
ge
nd
a [
m/s
]
vsy,alpha,voor [m/s]
vsy,beta [m/s]
vsy,phi,voor [m/s]
vsy, delta [m/s]
Figuur 4.35: Stationaire bocht vooras, situatie 2 met een reële slipsnelheid vsy,α,v
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 72/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Met deze bekend kunnen we de stuurhoek bepalen
v
vsy
,arcsin ( 4.40 )
In het voorbeeld blijkt deze constant te zijn op de waarde van de Ackermanhoek. In deze
situatie kan dus met een vaste stand van het stuurwiel de bochtsnelheid verhoogd worden
zonder dat de bochtstraal verandert.
Dit treedt op indien de sliphoek achter gelijk is aan de sliphoek voor. In de praktijk is de
situatie anders. Zo is de vooras doorgaans zwaarder belast en zal hier door de slipstijfheid
(genormaliseerd naar de aslast) afnemen.
In het onderstaande grafiekje zijn voorbeelden gegeven van de stuurhoek als functie van de
snelheid voor
1. CF,α,v = CF,α,a
2. CF,α,v < CF,α,a, resulterend in onderstuurd rijgedrag
3. CF,α,v > CF,α,a, resulterend in overstuurd rijgedrag
Samenvattend
Deze vsy ontstaat door combinatie van de volgende deelslipsnelheden:
1. de slipsnelheid ten gevolge van de voertuigsliphoek β
Deze is voor en achter gelijk.
2. de slipsnelheid ten gevolge van de gierhoeksnelheid
3. de slipsnelheid ten gevolge van de stuurhoek tussen band en voertuig
Figuur 4.36: Stuurhoek delta voor verschillende combinaties van spoorstijfheden CF,α.
Stuurhoek als functie van de bochtsnelheid,
R=100 m linksom
-0.04
-0.035
-0.03
-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0 5 10 15 20
Snelheid [m/s]
Stu
urh
oe
k [
rad
], z
ie
leg
en
da delta,neutraal
delta,onderstuur
delta,overstuur
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 73/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Willen we gegeven een gierhoeksnelheid bepalen wat in de stationaire situatie de
voertuigsliphoek en de stuurhoek moet zijn, dan kunnen we dit berekenen uitgaande van de
achteras.
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 74/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
4.2.4 Overstappen naar Fahrverhalten van Zomotor
Vanaf hier verder studeren in het bovengenoemde document; vanaf Hoofdstuk 4,
Lenkverhalten.
De naamgeving van de variabelen is door de duitse taal enigzins anders.
Deze reader Zomotor Toelichting
Cfα,v en Cfα,a Cv en Ch vorne, hinten
a lv
B lh
wb of l l
Fy,v en Fy,a Fs,v en Fs,h
Voor de snelheid voor de voertuigsliphoek is in de vorige paragraaf bepaald:
asyasysy vvv ,,,,, ( 4.41 )
Dit kunnen we herschrijven
bvv
bvmetvvv
vvv
syasy
asyasysyasy
syasyasy
.
.
,,,
,,,,,,,
,,,,,
( 4.42 )
Om dit om te zetten naar hoeken nemen we de inverse sinus van de slipsnelheden en
voertuigsnelheid Daartoe delen we gehele vergelijking door de voertuigssnelheid v.
v
b
v
v
v
v syasy .arcsinarcsinarcsin
,,, ( 4.43 )
Indien we rekenen in radialen geldt voor kleine hoeken: hoekhoek sin , dus geldt
v
ba
.
( 4.44 )
In de de vergelijking in Zomotor wordt gerekend met –β, hetgeen komt doordat hier de β
voertuigsliphoek rechtsom tov van de bewegingsvector (zie bild 4.3) positief is gedefinieerd.
Dit terwijl de ontbondende van de snelheidsvector naar links is gericht. Vanuit de
tekensafspraken dat het insturen naar links een positieve sliphoek is, treedt dus een
tekenwisseling op. Deze is niet aan de orde bij de berekening met snelheidsvectoren.
NB: controleer bij een berekening altijd de situatie waarbij de sliphoek van de band achter 0
is. In dit geval is de slipsnelheid van de β even groot maar tegengesteld gericht aan de
slipsnelheid ten gevolge van de gierhoeksnelheid.
Op dezelfde wijze kunnen we de vergelijking voor de achteras herschrijven.
,,,,,, syvsyvsysy vvvv ( 4.45 )
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 75/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Herschrijven geeft:
avvv
avenvvvv
sysyvsy
vsyvsysysyvsy
.
.
,,,,
,,,,,,,,
( 4.46 )
Op eenzelfde wijze als de achteras kunnen we deze omzetten naar hoeken.
v
av
.
( 4.47 )
Ook hier gelden de verschillen in de tekenafspraken met Zomotor, zie fig
Figuur 4.37: Definitie eenspoormodel volgens Zomotor
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 76/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Stuurhoek als functie van de bochtsnelheid, R=100
m linksom
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0 2 4 6
Voertuigsnelheid [m/s]
Stu
urh
oe
k [
rad
], z
ie l
eg
en
da
delta [rad]
delta zomotor
Voertuigsliphoek Beta, volgens reader en volgens
Zomotor
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0 2 4 6
Voertuigsnelheid [m/s]
Vo
ert
uig
sli
ph
oe
k [
gra
de
n]
Beta [rad]
-Beta zomotor [rad]
Figuur 4.38: Verantwoording definitie richtingen ahv resultaten rijtesten.
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 77/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
4.2.5 Rekensheet eenspoormodel
Het rekenen met het eenspoormodel is foutgevoelig. Om die reden is een rekensheet opgesteld
waarin de gebruiker alleen de voertuigparameters hoeft in te vullen.
Hieronder is de sheet (voorbeeld_eenspoormodel_stationaire_bocht_v100.xls) weergegeven
Rekensheet eenspoor voertuigmodel, ter ondersteuning van colleges Voertuigdynamica
Docent: Roeland Hogt
Datum: 29-Feb-08
Toelichting Gebruik deze worksheet om basisberekeningen aan het lineair eenspoormodel uit te voeren
De berekeningen zijn alleen geldig in het gebied dat laterale bandkracht lineair oploopt met de sliphoek
De gele cellen zijn de te wijzingen parameters
gegeven Voertuig Banden Berekende kentallen
Fzvoor 2967.525 N Cfy_voor 300 N/deg 17197.45223 N/rad EG [rad.s2/m] 0.007036 zomotor Gl.4.24
Fzachter 2967.525 N Cfy_achter 500 N/deg 28662.42038 N/rad delta_A [rad] 0.024995 zomotor Gl.4.8
wielbasis 2.5 m v_ch [m/s] 18.84991 zomotor Gl 4.30 werkt voor onderstuurd voertuig
a 1.25 m v_krit [m/s] #NUM! zomotor Gl 4.33 werkt voor overstuurd voertuig
b 1.25 m
mtot 605
Straal R 100 m
Volgens vergelijkingen zomotor
gl 4.15 gl 4.19 gl 4.27
v [m/s] ay [m/s2] Fc [N] Fyv [N] Fya [N] alpha_voor [rad]alpha_achter [rad]vsy,alpha,voor [m/s]vsy,alpha,achter [m/s]flx_Phi [rad/s]vsy,phi,achter [m/s]vsy,phi,voor [m/s] vsy,beta [m/s]Beta [rad] Beta [deg] vsy, delta [m/s]delta [rad] -Beta zomotor [rad]delta zomotorGierversterkingsfactor
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0125 0.024995 0
2 0.04 24.2 12.1 12.1 0.000704 0.000422 0.001407 0.000844311 0.02 0.025 -0.025 -0.024156 -0.012078 -0.692377 0.050563 0.025284 -0.012078 0.025276 0.791094
4 0.16 96.8 48.4 48.4 0.002814 0.001689 0.011258 0.006754495 0.04 0.05 -0.05 -0.043246 -0.010812 -0.619772 0.104503 0.026129 -0.010811 0.026121 1.531057
6 0.36 217.8 108.9 108.9 0.006332 0.003799 0.037995 0.02279651 0.06 0.075 -0.075 -0.052203 -0.008701 -0.498766 0.165198 0.027536 -0.008701 0.027528 2.179208
8 0.64 387.2 193.6 193.6 0.011257 0.006754 0.090064 0.054036733 0.08 0.1 -0.1 -0.045963 -0.005745 -0.329356 0.236027 0.029508 -0.005746 0.029498 2.711589
10 1 605 302.5 302.5 0.01759 0.010554 0.175916 0.105542808 0.1 0.125 -0.125 -0.019457 -0.001946 -0.111538 0.320373 0.032043 -0.001946 0.032031 3.121496
12 1.44 871.2 435.6 435.6 0.025329 0.015198 0.304017 0.182385242 0.12 0.15 -0.15 0.032385 0.002699 0.154707 0.421632 0.035143 0.002698 0.035127 3.415715
14 1.96 1185.8 592.9 592.9 0.034476 0.020686 0.482856 0.289640024 0.14 0.175 -0.175 0.11464 0.008189 0.469414 0.543216 0.038811 0.008186 0.038785 3.609139
16 2.56 1548.8 774.4 774.4 0.04503 0.027018 0.720966 0.432392505 0.16 0.2 -0.2 0.232393 0.014525 0.832646 0.688574 0.043049 0.014518 0.043007 3.719895
18 3.24 1960.2 980.1 980.1 0.056991 0.034195 1.02695 0.615742809 0.18 0.225 -0.225 0.390743 0.02171 1.244502 0.861207 0.047863 0.021695 0.047791 3.765974
20 4 2420 1210 1210 0.070359 0.042216 1.409512 0.844813033 0.2 0.25 -0.25 0.594813 0.029745 1.70513 1.064699 0.05326 0.029716 0.053138 3.763381
22 4.84 2928.2 1464.1 1464.1 0.085135 0.051081 1.877502 1.124756516 0.22 0.275 -0.275 0.849757 0.038635 2.21474 1.302745 0.05925 0.038581 0.059049 3.725411
Slipsnelheden op de achteras als functie van de
voertuigsnelheid bij constante bochtstraal, bocht
linksom
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 5 10 15 20
Voertuigsnelheid [m/s]
Slip
sn
elh
ed
en
, zie
le
ge
nd
a [
m/s
]
vsy,alpha,achter [m/s]
vsy,beta [m/s]
vsy,phi,achter [m/s]
Slipsnelheden op de vooras als functie van de
voertuigsnelheid bij constante bochtstraal, bocht
linksom
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 5 10 15 20
Voertuigsnelheid [m/s]
Slip
sn
elh
ed
en
, zie
le
ge
nd
a [
m/s
]
vsy,alpha,voor [m/s]
vsy,beta [m/s]
vsy,phi,voor [m/s]
vsy, delta [m/s]
Stuurhoek als functie van de bochtsnelheid, R=100 m
linksom
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0 2 4 6
Voertuigsnelheid [m/s]
Stu
urh
oe
k [
rad
], z
ie le
ge
nd
a
delta [rad]
delta zomotor
Voertuigsliphoek Beta, volgens reader en volgens
Zomotor
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0 2 4 6
Voertuigsnelheid [m/s]
Vo
ert
uig
slip
ho
ek [
gra
den
]
Beta [rad]
-Beta zomotor [rad]
Gierversterkingsfactor als functie van de snelheid
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0 10 20 30
Voertuigsnelheid [m/s]
Gie
rvers
terk
ing
sfa
cto
r [1
/s]
Gierversterkingsfactor
De gele cellen kunnen door de gebruiker worden ingevuld. Daarnaast kunnen de snelheden
worden aangepast (kolom A)
gegeven Voertuig Banden
Fzvoor 2967.525 N Cfy_voor 300 N/deg 17197.45223 N/rad
Fzachter 2967.525 N Cfy_achter 500 N/deg 28662.42038 N/rad
wielbasis 2.5 m
a 1.25 m
b 1.25 m
mtot 605
Straal R 100 m De blauwe cellen geven de resultaten weer volgens de samengestelde vergelijkingen uit
Zomotor. Hierbij horen ook kentallen uit het voertuigdynamicamodel.
Berekende kentallen
EG [rad.s2/m] 0.007036 zomotor Gl.4.24
delta_A [rad] 0.024995 zomotor Gl.4.8
v_ch [m/s] 18.84991 zomotor Gl 4.30 werkt voor onderstuurd voertuig
v_krit [m/s] #NUM! zomotor Gl 4.33 werkt voor overstuurd voertuig
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 78/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
4.3 Het éénspoormodel, dynamisch
4.3.1 Betetekenis van de kentallen, dynamisch gedrag
Het dynamische gedrag wordt beoordeeld aan de hand van de J-turn of stapvormige stuurbeweging en de zogenaamde sinustest.
Bij de stapvormige stuurbeweging worden bepaald:
o De responsietijden
o De verhouding tussen maximale en stationaire gierhoeksnelheid
o Parameters uit overdrachtsfunctie: de demping, de ongedempte en gedempte eigenfrequentie en de tijdsconstante
Bij de sinustest worden bepaald
o De fase verdraaiing tussen de ingaande stuurhoek en de dwarsversnelling
o De verhouding tussen amplitude van de dwarsversnelling en de stuurhoek.
Voor het inzicht in het dynamisch gedrag van een voeruig wordt gebruik van overdrachtsfuncties op
basis van het eenspoormodel. Als eerste, bij de stapvoerige stuurbeweging, de overdrachtsfunctie
gierhoeksnelheid over stuurhoek en als tweede, bij de sinustest, de overdrachtsfunctie dwarsversnelling over de stuurhoek.
4.3.2 Overdrachtsfunctie gierhoeksnelheid over stuurhoek bij J-turn
De tweede-orde overdrachtsfunctie wordt samengesteld uit dezelfde parameters als gebruikt voor het
stationaire laterale gedrag, uitgebreid met het (gier)traagheidsmoment (Jz).
De basisvergelijking (in het s-domein) hiervoor is:
De parameters zijn:
de stationaire versterkingsfactor: K
In het stationaire gebied is dit de verhouding tussen gierhoeksnelheid en de stuurhoekdelta,
oftewel de gierversterkingsfactor
De tijdsconstante Tz:
De tijdsconstante is een maat voor de dynamische responsie van het systeem. Bij een afname
van de tijdsconstante zal het systeem trager reageren en neemt het doorschot (overshoot) af
De Abklingconstante 2.σ:
De Abklingconstante is een maat voor de demping D: 0v
D
Met een toename van 2.σ zal het systeem trager reageren en zal de doorschot gaan
verdwijnen. Indien de D negatief is zal het systeem niet uitdempen
De ongedempte eigenfrequentie v02
Met een toename van de ongedempte eigenfrequentie zal neemt de frequentie van responsie
toe. De gierbeweging is hierbij vooral om de vooras en dat betekent dat de achteras, de
slipstijfheid van de banden achter, hier een bepalende factor zijn. Hoe hoger de slipstijfheid, des te hoger wordt ook de ongedempte eigenfrequentie. Het voertuig als geheel zal directer
reageren op een stuurbeweging.
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 79/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Voor de overdrachtsfunctie gierhoeksnelheid over stuurhoek is de functie nu als volgt
Hierin is:
Daarnaast wordt de gedempte eigenfrequentie bepaald:
De gedempte eigenfrequentie ontstaat uit de ongedempte eigenfrequentie en de dempingsconstante.
Indien deze toeneemt neemt de gedempte eigenfrequentie af. Bij de dempingsconstante >1 (1 is de
kritische demping) zal de gedempte eigenfrequentie kleiner dan 0 worden. Het systeem is daarmee bovenkritisch gedempt. Hoe hoger de gedempte eigenfrequentie des te lager de demping en des sneller
reageert het systeem op variaties van het ingaande signaal.
Figuur 4.39: Versterking en fase diagram als functie van de frequentie voor de diverse warden van de
dempingsconstant (hier ξ)[http://en.wikipedia.org/wiki/Vibration]
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 80/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
De vertaalslag van deze vergelijking naar kenmerken is niet eenduidig omdat de parameters met elkaar
samenhangen. Zowel in de deelvergelijkingen als in de samengestelde vergelijking
Voorbeeld:
Tz wordt groter als mg groter wordt. Echter zal ook de slipstijfheid achter toenemen wat de breuk weer in (grotendeels) evenwicht brengt. Het effect van een verplaatsing van het
zwaartepunt naar de achteras is dat lv groter wordt maar dat Ch ook toeneemt. Algemeen geldt
dus dat met het toenemen van de massa en het verplaatsen van het zwaartepunt naar achteren de Tz toeneemt. Echter zullen hierdoor ook de 2σ en de v0
2 wijzigen
De andere kant is het wel mogelijk om te onderzoeken welke effecten een aanpassing van de slipstijfheid heeft op de parameters van de overdrachtsfunctie. Dit geeft ons het inzicht om het
voertuiggedrag van een elektrisch voertuig weer gelijk te maken aan dat van het oorspronkelijke
voertuig!
Figuur 4.40: Giereigenfrequentie en gierdemping als functie van de voertuigsnelheid [zomotor]
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 81/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Dit is uitgewerkt in een gevoeligheidsonderzoek [Roeland Hogt 2008 in het kader van VDY02]. De
variaties hierin zijn:
Slipstijfheid voor nominaal en achter respectievelijk, nominaal -20%, nominaal en
nominaal+20%
Slipstijfheid achter nominaal en voor respectievelijk, nominaal -20%, nominaal en
nominaal+20%
De grafieken op de volgende pagina’s laten zien hoe bruikbaar dat is: Voorbeeld:
Een tijdsconstante verlagen gaat alleen door de slipstijfheid achter te verhogen. Dat zorgt
vervolgens ook voor een afname van de demping bij hoge snelheden, maar een toename van
de demping bij lage snelheden. Ten gevolge van de verhoging van de slipstijfheid achter zal de ongedempte eigenfrequentie toenemen.
In het stationaire gebied zorgt een verhoging van de slipstijfheid achter voor een meer
onderstuurd rijgedrag en daarmee een lagere karakteristieke snelheid
Ook kunnen deze effecten direct vertaald worden naar de responsie op een stapvormige stuurbeweging: zie figuur ..
0 20 40 60 80 100 120 1400
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4tijdsconstante (voertuigsnelheid), drie waarden van Cv [N/rad], zie legenda
v [km/h]
tijd
sconsta
nte
60000
75000
90000
Figuur 4.41: Effect variatie slipstijfheid voor op de tijdconstante Tz
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 82/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
0 20 40 60 80 100 120 1400
0.5
1
1.5dempingsconstante (voertuigsnelheid), drie waarden van Cv [N/rad], zie legenda
v [km/h]
dem
pin
gsconsta
nte
60000
75000
90000
Figuur 4.43: Effect variatie slipstijfheid voor op dempingsconstante D
0 20 40 60 80 100 120 1400
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4tijdsconstante (voertuigsnelheid), drie waarden van Ch [N/rad], zie legenda
v [km/h]
tijd
sconsta
nte
120000
150000
180000
Figuur 4.42: Effect variatie slipstijfheid achter op tijdsconstante Tz
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 83/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
0 20 40 60 80 100 120 1400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2ongedempte eigenfrequentie (voertuigsnelheid), drie waarden van Cv [N/rad], zie legenda
v [km/h]
ongedem
pte
eig
enfr
equentie [
Hz]
60000
75000
90000
Figuur 4.45: Effect variatie slipstijfheid voor op ongedempte eigenfrequentie v02
0 20 40 60 80 100 120 1400
0.5
1
1.5dempingsconstante (voertuigsnelheid), drie waarden van Ch [N/rad], zie legenda
v [km/h]
dem
pin
gsconsta
nte
120000
150000
180000
Figuur 4.44: Effect variatie slipstijfheid achter op dempingsconstante D
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 84/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
4.3.3 Simulatie van de stapvormige stuurbeweging
Bij een stapvormige stuurbeweging wordt op tijdstip t0 de stuurhoek stapvormige naar een vaste waarde gebracht. Deze vaste waarde komt overeen met een vooraf bepaalde laterale versnelling bij de
gegeven voertuigsmelheid. In de toepassing bij rijtesten is de snelheid 80 km/u. Dit komt overeen met
de snelheid waar men ook de hoogste stuurgevoeligheid wenst8. De laterale versnelling wordt daarbij 4
m/s2. Tot deze waarde gaat men ervan uit dat het voertuiggedrag met een lineair model te beschrijven is (zie ook de overdrachtsfunctie in de vorige paragraaf). De simulatie van de stapvormige
stuurbeweging is dus een toepassing van de overdrachtsfunctie.
In vervolg op de beschouwing van het effect van de variatie van slipstijfheid voor en achter op de
parameters van de overdrachtsfunctie geeft Figuur 4.47de effecten aan op de responsie op de
stapvormige stuurbeweging. De stuurhoek die overeenkomt met de gewenste laterale versnelling of gierhoeksnelheid) verandert bij verandering van de slipstijfheden. Bijvoorbeeld moet men bij een
verlaging van de slipstijfheid voor meer insturen. Een verhoging van de slipstijfheid achter heeft
hetzelfde effect; nu neemt de voertuigsliphoek Beta af en moet dientengevolge de stuurhoek toenemen. Dit is wiskundig vastgelegd in de vergelijkingen voor het eenspoormodel.
Samenvattend: de resulterende stationaire gierhoeksnelheid en laterale versnelling is dus een vaste vooraf
ingestelde waarde. De responsie van het voertuig is dus alleen een gevolg van de dynamische
eigenschappen van het voertuig
8 Bij sportwagens is de karakteristieke snelheid hoger, bij bussen en vrachtwagens lager
0 20 40 60 80 100 120 1400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2ongedempte eigenfrequentie (voertuigsnelheid), drie waarden van Ch [N/rad], zie legenda
v [km/h]
ongedem
pte
eig
enfr
equentie [
Hz]
120000
150000
180000
Figuur 4.46: Effect variatie slipstijfheid achter op ongedempte eigenfrequentie v02
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 85/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Het resultaat van de simulatie van de stapvormige stuurbeweging is de gierhoeksnelheid als functie
van de tijd.
Belangrijke kentallen zijn:
stat
(in matlab: phi_dot_delta_stat)
Deze waarde geeft de verhouding tussen de stationaire gierhoeksnelheid en de stuurhoek aan.
max (in matlab: max_phidot)
Dit is de maximale waarde van de gierhoeksnelheid
maxT (in matlab: tmax_phidot)
Dit is de tijd vanaf T0 tot aan de maximale waarde van de gierhoeksnelheid
stat (in matlab: eind_phidot)
Dit is de stationaire gierhoeksnelheid
stat
max
(in matlab: overshoot_phidot)
Dit is de verhouding tussen de maximale en de stationaire gierhoeksnelheid
Figuur 4.47: Effect variatie slipstijfheid op de responsie op een stapvormige stuurbeweging
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 86/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
In Figuur 4.48 zijn deze kentallen nog eens weergegeven.
Samenvattend: Voor de beoordeling van de responsie op de stapvormige stuurbeweging zijn de doorschot (overshoot)
stat
max
en de tijd maxT tot dit maximum van belang:
Een toename van stat
max
betekent dat het voertuig qua uitwijking (gierhoeksnelheid) sterker
reageert op een stuurbeweging bij bijvoorbeeld een wisseling van rijbaan of een
uitwijkmanoeuvre. Het voertuig zal een grotere laterale slip hebben (en meer ruimte nodig
hebben) en ook neemt hiermee de dynamische gewichtsoverzetting van binnen op buitenwiel toe en daarmee het risico op kantelen van het voertuig.
Een toename van de maxT duidt op een tragere reactie van het voertuig.
Daarnaast geeft het een toename quotiënt van stat
max
en maxT aan dat het voertuig feller
(directer) reageert op een stuurbeweging en de gierhoeksnelheid dus sneller oploopt.
Figuur 4.48: Kentallen uit de responsie op de stapvormige stuurbeweging
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 87/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
Studierichting Autotechniek, Reader Voertuigdynamica 88/88
Versie 1.06
Roeland M.M. Hogt
5 Referenties
[1] H.B. Pacejka; Tyre and Vehicle Dynamics; Butterworth-Heinemann, 2002; ISBN
0750651415
[2] Dr.Ing. Adam Zomotor; Fahrwerktechnik: Fahrverhalten; Vogel Buchverlag 1991; ISBN
3 8023 0774 7
[3] Reimpel; Reifen und Rader; Vogel Buchverlag 1991; ISBN 3 8023 0774 7
[4] R.M.M.Hogt; Reader Aandrijving; Hogeschool Rotterdam; code A004 en A005