~�©�§
�®�ÆóÆ�2016–2017cÝ1�ÆÏ
September 13, 2016
() September 13, 2016 1 / 25
ÌÌÌùùù������µµµ
���777{{{ åååÆÆÆ���óó󧧧���ÆÆÆXXX
>>>{{{µµµ62754032Email: [email protected]���úúú¿¿¿µµµåååÆÆÆ¢¢¢307
ÏÏÏ���µµµåååÆÆÆ���óó󧧧���ÆÆÆXXXïïïÄÄÄ)))
���¡¡¡UUU >>>{{{µµµ13120353937Email: [email protected]
oooggg��� >>>{{{µµµ18811757620Email: [email protected]
() September 13, 2016 2 / 25
�Æë�Ö!��!��
���ÆÆÆëëë���ÖÖÖ:[1] ~~~���©©©���§§§§§§ÎÎÎRRR+++§§§ooo]]]§§§ppp���������ÑÑÑ������§§§2004"""[2] ~~~���©©©���§§§§§§���ppp<<<§§§ppp���������ÑÑÑ������§§§1984"""������µµµzzz±±±������������§§§���¦¦¦UUU������¤¤¤;������eeeuuu������ÖÖÖ���������ÀÀÀ���ÃÃÃ���§§§ØØØ���111UUU;zzzggg���������¹¹¹ÏÏÏ���ÑÑÑkkkPPP¹¹¹"""������µµµØØØ���ÃÃÃ���"""���§§§ØØØ���ÃÃÃ���´́́���;���bbbIIIXXXppp111OOO;ØØؽ½½ÏÏÏ:::¶¶¶������,,,������;������������²²²���¤¤¤111������ÜÜÜ©©©"""
() September 13, 2016 3 / 25
�Á
ÏÏÏ¥¥¥���ÁÁÁµµµýýýOOO11���8FFF���mmm.ÏÏÏ"""���ÁÁÁµµµ2017/1/12 eeeÌÌÌ"""
¤¤¤111µµµ½½½µµµ������+������+²²²���������µµµ20%ÏÏÏ¥¥¥µµµ30%ÏÏÏ"""µµµ50%
ÆÆÆ���555½½½µµµ`̀̀DDD£££¤¤¤11185©©©999±±±þþþ¤¤¤µµµØØØ���LLL35%¶¶¶ØØØ999���µµµ1%− 10%
() September 13, 2016 4 / 25
�§{0
���§§§{{{000µµµ
���§§§555���µµµnnn���ÌÌÌZZZÄÄÄ:::���"""ÆÆÆ©©©µµµ3§§§ÆÆÆ���µµµ68
ÌÌÌ���SSSNNNµµµ(1) ÐÐÐ���ÈÈÈ©©©{{{"""(2) ���555���§§§|||������§§§£££))){{{���(((���¤¤¤"""(3) ~~~XXXêêê���555���§§§|||������§§§���¦¦¦)))���{{{"""(4) ÄÄÄ���nnnØØØ£££���333555§§§������555§§§)))éééÐÐÐ���ÚÚÚëëëêêê���ëëëYYY������555!!!���
���555§§§òòòÐÐÐ555"""¤¤¤(5) ~~~���©©©���§§§½½½555nnnØØØ!!!½½½555nnnØØØ"""
() September 13, 2016 5 / 25
có
���©©©���§§§���...¶¶¶���©©©���§§§������ÈÈÈ©©©§§§êêêÆÆÆ©©©|||£££½½½555nnnØØØ!!!½½½555nnnØØØ!!!���¼¼¼���
©©©���§§§!!!>>>���¯̄̄KKK¤¤¤¶¶¶LLLãããÄÄÄ���½½½ÆÆÆ!!!���«««¯̄̄KKK���ÄÄÄ���óóóää䶶¶ÚÚÚîîîåååÆÆÆ!!!UUUNNNåååÆÆÆ!!!ÅÅÅ���åååÆÆÆ£££XXX°°°���(((¤¤¤¶¶¶åååÆÆÆ!!!>>>fffEEEâââ!!!gggÄÄÄ������!!!ÊÊÊ���ÊÊÊUUU������"""
() September 13, 2016 6 / 25
1�٠�ȩ{
~~~fff���VVVgggAAA«««aaa...������������§§§���ÐÐÐ���))){{{£££)))ÛÛÛ{{{¤¤¤ppp������§§§���AAA«««���ÈÈÈaaa...
() September 13, 2016 7 / 25
1�! ~f�Vg
���êêê���§§§§§§nnn������§§§���������þþþµµµêêê
x2 + 2x− 3 = 0
���©©©���§§§µµµ������þþþ���������¼¼¼êêê"""½½½ÂÂÂ1.1 rrr¹¹¹kkkgggCCCþþþ!!!������¼¼¼êêê±±±999������¼¼¼êêê���,,,���êêê���'''XXXªªª¡¡¡������©©©���§§§"""
dy
dx+ 2xy = ex
d2y
dx2+ 2
dy
dx+ 3y = 2 cos 3x
∂u
∂t=∂2u
∂x2£££999DDD������§§§¤¤¤§§§
∂2u
∂t=∂2u
∂x2£££ÅÅÅÄÄÄ���§§§¤¤¤
() September 13, 2016 8 / 25
1�! ~f�Vg
���©©©���§§§���©©©aaaµµµaaa...£££~~~���!!! ���¤¤¤���êê꣣£������¼¼¼êêêééégggCCCþþþ���ûûû������ppp���êêꤤ¤
d2y
dx2+ 3(
dy
dx)3 + y = cosx
���555���������555
���555µµµd2y
dx2+ x
dy
dx− x2y = sinx.
£££������¼¼¼êêê±±±999¤¤¤kkkÑÑÑyyy������ûûûÑÑÑ´́́���ggg���¤¤¤dny
dxn= an−1(x)
dn−1y
dxn−1+ an−2(x)
dn−2y
dxn−2+ · · ·+ a0(x)y + f(x)
������555���§§§XXXµµµ(1 + y)y′ + 2y = ex,d3y
dx3+ y2 = 0,
d2y
dx2+ sin y = 0.
() September 13, 2016 9 / 25
1�! ~f�Vg
~~~1 ������555ÔÔÔ���YYY������CCC555ÆÆƵµµ���CCC���ÝÝÝ������{{{þþþ¤¤¤���'''"""®®®
���t = t0������YYY���°°°þþþ���R0§§§���(((½½½YYY333������t���°°°þþþR(t)"""
dR
dt= −kR, k > 0, R(t0) = R0.
dt
dR= − 1
kR, t = −1
k`nR+ C
R(t) = e−kt+kC = C1e−kt, R(t) = R0e
−k(t−t0)
���PPPÏÏϵµµ���CCC������¤¤¤III���mmm. YYY������PPPÏÏϵµµ4.5× 109ccc"""12
=R
R0= e−4.5×109k, ���¦¦¦ÑÑÑk"""
() September 13, 2016 10 / 25
1�! ~f�Vg
~~~2 ïïïÄÄÄ>>>666������£££XXXããã1.1¤¤¤Cµµµ>>>NNNìì짧§Lµµµ>>>aaa§§§R>>>{{{§§§i(t)µµµ>>>666rrrÝÝÝ,Q(t)µµµt������>>>NNNìììþþþ���>>>þþþ§§§v(t)µµµ>>>NNNìììüüü444mmm���>>> ���.
ããã1.1iR = −v − Ldi
dt,
i(t) =dQ
dt, Q(t) = Cv(t).
Ld2v
dt2+R
dv
dt+
1Cv = 0.
() September 13, 2016 11 / 25
1�! ~f�Vg
~~~3 ���þþþ���m������:::333åååF������^̂̂eee333x¶¶¶þþþ$$$ÄÄÄ""" md2x
dt2= F (t, x,
dx
dt),
x(t0) = x0, x′(t0) = x1.
() September 13, 2016 12 / 25
1�! ~f�Vg
~~~4 êêêÆÆÆ{{{
���þþþ���m������:::M§§§333ååå���^̂̂eee§§§§§§333RRR���uuu///¡¡¡���²²²¡¡¡þþþ÷÷÷���±±±$$$ÄÄħ§§(((½½½{{{���$$$ÄÄÄ���§§§"""
mdv
dt= −mg sinϕ, v = `
dϕ
dt
d2ϕ
dt2= −g
`sinϕ
���ϕééé������µµµd2ϕ
dt2+g
`ϕ = 0.
{{{333������ÊÊÊ555���000���¥¥¥{{{ÄÄĵµµ
d2ϕ
dt2+µ
m
dϕ
dt+g
`ϕ = 0.
ÐÐЩ©©GGG���µµµ���t = 0���§§§ϕ = ϕ0,dϕ
dt= w0.
() September 13, 2016 13 / 25
1�! ~f�Vg
~~~5 åååÆÆÆ!!!ÔÔÔnnn¥¥¥222���AAA^̂̂���MMM���îîî(Hamilton)XXXÚÚÚµµµdpi
dt= −∂H
∂qidqidt
=∂H
∂pi
H = H(p1, · · · , pn; q1, · · · , qn, t)´́́®®®���¼¼¼êêꧧ§i = 1, · · · , n"""���þþþ///ªªªµµµ
dp
dt= −∂H
∂q,
dq
dt=∂H
∂p
p = (p1, · · · , pn)T , q = (q1, · · · , qn)T ,H = H(p, q, t)
pµµµ222ÂÂÂÄÄÄþþþ§§§qµµµ222ÂÂÂ���III"""
() September 13, 2016 14 / 25
1�! ~f�Vg
���HØØع¹¹t���§§§===H = H(p(t), q(t))§§§���ÅÅÅXXXÚÚÚ§§§UUUþþþÅÅÅððð"""dH
dt=∂H
∂p
dp
dt+∂H
∂q
dq
dt= 0,
H = H(p(t), q(t)) = C(constant).
���H���¹¹¹kkkp���§§§===H = H(p(t))§§§���ÈÈÈXXXÚÚÚ"""dp
dt= −∂H
∂q= 0 ⇒ p = p0,
dq
dt=∂H(p(t))
∂p= ω0
p(t) = p0, q(t) = ω0t+ q0.
ÙÙÙ¥¥¥p0, q0, ω0���~~~���þþþ"""
() September 13, 2016 15 / 25
1�! ~f�Vg
n������§§§���������///ªªªµµµ
F (x, y, y′, · · · , y(n)) = 0. (1.1)
½½½ÂÂÂ1.2 ¡¡¡¼¼¼êêêy = ϕ(x)´́́(1.1)333«««mmmIþþþ���)))§§§XXXJJJ§§§333«««
mmmIþþþkkk½½½Â§§§äääkkk(1.1)¥¥¥���¦¦¦������������êêꧧ§¿¿¿���ðð𤤤ááá
F (x, ϕ(x), · · · , ϕ(n)(x)) = 0, x ∈ I.
~~~ ���§§§µµµy′′ = x§§§y =16x3´́́ÙÙÙ))), y =
16x3 + c1x+ c2���´́́)))§§§
ÙÙÙ¥¥¥c1, c2���???¿¿¿~~~êêꧧ§cccööö¡¡¡���AAA)))§§§���ööö¡¡¡���ÏÏÏ)))"""
~~~ ���§§§µµµtdx
dt+ x = 0§§§x =
1t
´́́ddd���§§§333(−∞, 0), (0,∞)þþþ���)))"""
() September 13, 2016 16 / 25
1�! ~f�Vg
½½½ÂÂÂ1.3 rrrn������§§§(1.1)���¹¹¹kkk***dddÕÕÕááá���n���???¿¿¿~~~êêêc1, · · · , cn���)))xxxy = ϕ(x, c1, · · · , cn)¡¡¡���(1.1)���ÏÏÏ)))"""???ÛÛÛüüü
������)))¡¡¡���AAA)))"""ÏÏÏ)))ØØØ���ddduuu���§§§¤¤¤kkk)))���888ÜÜÜ"""£££1¤¤¤���äää������LLL���ªªª���¹¹¹���§§§���¤¤¤kkk)))´́́(((JJJ���"""£££2¤¤¤���¹¹¹¤¤¤kkk)))���LLL���ªªª´́́ÄÄÄ���333ººº
~~~µµµdy
dx= 2x(1− y2)
12
y = sin(x2 + C)´́́ÏÏÏ))), ÙÙÙ¥¥¥C���???¿¿¿~~~êê궶¶y = ±1´́́AAA)))§§§ØØØ���
¹¹¹333ÏÏÏ)))ppp"""///XXXy = ϕ(x, c1, · · · , cn)���)))¡¡¡���ÏÏÏ)))§§§XXXJJJ333���½½½������SSSééé???���
���½½½���ÐÐЩ©©^̂̂���§§§ÑÑÑUUU(((½½½���|||~~~êêêc1, · · · , cn§§§¦¦¦éééAAA���)))÷÷÷vvvddd^̂̂���"""
() September 13, 2016 17 / 25
1�! ~f�Vg
½½½ÂÂÂ1.4 XXXJJJ¼¼¼êêê���§§§
ψ(x, y) = 0 (1.2)
(((½½½���ÛÛÛ¼¼¼êêêy = y(x)´́́(1.1)���))), KKK(1.2)ÒÒÒ¡¡¡���(1.1)���ÛÛÛªªª)))"""
dy
dx= −x
y, x2 + y2 = C(C > 0).
½½½ÂÂÂ1.5 XXXJJJddd¹¹¹kkkn���???¿¿¿~~~êêêc1, · · · , cn���¼¼¼êêê���§§§
Φ(x, y, c1, · · · , cn) = 0 (1.3)
(((½½½���¼¼¼êêêxxxy = ϕ(x, c1, · · · , cn)´́́(1.1)���ÏÏÏ))), KKK(1.3)ÒÒÒ¡¡¡���(1.1)���ÛÛÛªªªÏÏÏ)))"""
() September 13, 2016 18 / 25
1�! ~f�Vg
½½½)))^̂̂���µµµ������½½½���|||AAA½½½���^̂̂���"""½½½)))¯̄̄KKKµµµ¦¦¦÷÷÷vvv,,,«««½½½)))^̂̂������)))���¯̄̄KKK"""ÐÐЩ©©^̂̂���µµµééé���§§§(1.1)§§§ÐÐЩ©©^̂̂���´́́
y(x0) = α0, y′(x0) = α1, · · · , y(n−1)(x0) = αn−1,
ÙÙÙ¥¥¥x0 ∈ I´́́gggCCCþþþ���,,,������½½½���§§§αi, i = 0, 1, · · · , n− 1´́́������
¼¼¼êêê���i������ûûû������½½½���"""ÐÐÐ���¯̄̄KKKµµµ¦¦¦���©©©���§§§÷÷÷vvvÐÐЩ©©^̂̂���)))���¯̄̄KKK£££Cauchy¯̄̄KKK¤¤¤"""£££XXXÚÚÚîîî111���½½½ÆÆƧ§§ÐÐЩ©©������!!!ÐÐЩ©© £££!!!ÐÐЩ©©���ÝÝݤ¤¤���������§§§���ÐÐÐ���¯̄̄KKKµµµF (x, y, y′) = 0, y(x0) = y0¶¶¶AAAÛÛÛ¿¿¿Â¶¶¶)))���¶¶¶ÈÈÈ©©©���"""
() September 13, 2016 19 / 25
1�! ~f�Vg
>>>...^̂̂���§§§>>>���¯̄̄KKK
���������§§§F (x, y, y′, y′′) = 0µµµ
(I) )))|||���XXX(Dirichlet, 1805-1895)¯̄̄KKKµµµ
y(a) = 0, y(b) = 0.
XXX]]]ëëë���¯̄̄KKK"""(II) ±±±ÏÏÏ>>>���¯̄̄KKKµµµ
y(a) = y(b), y′(a) = y′(b).
() September 13, 2016 20 / 25
1�! ~f�Vg
���������§§§|||���������///ªªªµµµ
dy1
dx= f1(x, y1, · · · , yn),
dy2
dx= f2(x, y1, · · · , yn),
· · ·dyn
dx= fn(x, y1, · · · , yn).
(1.4)
¼¼¼êêêy1 = ϕ1(x), · · · , yn = ϕn(x)¡¡¡������§§§|||(1.4)333«««mmmIþþþ���)))§§§XXXJJJ§§§���333Iþþþ������§§§¿¿¿���rrr§§§������\\\(1.4)���¤¤¤���ððð���ªªª"""
() September 13, 2016 21 / 25
1�! ~f�Vg
rrr���§§§|||(1.4)���¹¹¹kkkn���***dddÕÕÕááá���???¿¿¿~~~êêê���)))xxx:y1 = ϕ1(x, c1 · · · , cn)
...yn = ϕn(x, c1 · · · , cn)
¡¡¡������§§§|||(1.4)���ÏÏÏ)))"""
ÐÐЩ©©^̂̂���µµµ
y1(x0) = α1, · · · , yn(x0) = αn§§
ÙÙÙ¥¥¥x0 ∈ IÚÚÚα1, · · · , αn©©©OOO´́́gggCCCþþþÚÚÚ������¼¼¼êêê���,,,������½½½���"""
() September 13, 2016 22 / 25
1�! ~f�Vg
n������§§§������555///ªªªµµµ
y(n) = f(x, y, y′, · · · , y(n−1)). (1.5)
���zzz������§§§|||§§§���
y1 = y, y2 =dy
dx, · · · , yn =
dn−1y
dxn−1.
dy1
dx= y2,
dy2
dx= y3
· · ·dyn−1
dx= yn
dyn
dx= f(x, y1, · · · , yn).
(1.6)
() September 13, 2016 23 / 25
1�! ~f�Vg
y = ϕ(x)´́́(1.5)���)))⇒y1 = ϕ(x), y2 = ϕ′(x), · · · , yn = ϕ(n−1)(x)´́́(1.6)���)))"""
y = ϕ(x)´́́(1.5)÷÷÷vvvÐÐЩ©©^̂̂���
y(x0) = α0, y′(x0) = α1, · · · , y(n−1)(x0) = αn−1
���)))⇒y1 = ϕ(x), y2 = ϕ′(x), · · · , yn = ϕ(n−1)(x)´́́(1.6)÷÷÷vvvÐÐЩ©©^̂̂���
y1(x0) = α0, y2(x0) = α1, · · · , yn(x0) = αn−1
���)))"""
������§§§XXXÛÛÛ£££ãã㺺º
() September 13, 2016 24 / 25
1�! ~f�Vg
������|||���VVVggg
���ÄÄÄ���§§§µµµdy
dx= f(x, y)§§§bbb���f(x, y)333«««���GSSSkkk½½½ÂÂÂ"""
(i) LLLGSSSzzz���:::§§§���§§§)))���������������ÇÇÇ���uuuf(x, y)333ùùù:::���¼¼¼êêê���"""(ii) éééGSSSzzz���:::§§§xxx������kkk������ãã㧧§���ÇÇÇ���uuuf(x, y)333ùùù:::���¼¼¼êêê���§§§���������xOOO\\\���������§§§///¤¤¤������|||"""(iii) )))���©©©ªªª^̂̂XXX������|||���������111???"""(iv) LLL(xo, y0)���ÈÈÈ©©©���"""
~~~µµµdy
dx= x2 + y2.
������µµµP9: 2£££1¤¤¤§§§2£££4¤¤¤§§§3£££2¤¤¤§§§4
() September 13, 2016 25 / 25