IDENTIFICACIÓN DE SISTEMASIDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS
Ing. Fredy Ruiz [email protected]
Maestría en Ingeniería ElectrónicaPontificia Universidad JaverianaPontificia Universidad Javeriana
20132013
SISTEMAS LINEALES Y PROCESOS ESTOCÁSTICOSSISTEMAS LINEALES Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Sistema• Un sistema S es un operador que relaciona una señal
u(t) denominada entrada con una señal y(t) denominada salida.
y(t)=S(u(t))
• El sistema es lineal si:
S(a u1(t) + b u
2(t) + .. ) = a S(u
1(t) + b S(u
1(t)) + ...)
Sistema• El sistema es invariante con el tiempo si su
respuesta a una entrada no depende del instante en el cual viene aplicada.
y(t-t')=S(u(t-t'))
• El sistema es causal si su respuesta al instante t depende solo de los valores de la entrada para
t' ≤ t
Sistemas LTI
• Un sistema lineal e invariante con el tiempo relaciona entrada-salida como:
• Donde g(t') es la respuesta al impulso de S.• Si S es causal g(t')=0 para t'<0.• g(t') contiene toda la información del sistema.
Sy(t)u(t)
y(t)=∫−∞
∞g (t ' )u (t−t ' )dt '
Sistemas LTI en tiempo discreto
• En el curso trabajamos únicamente con sistemas en tiempo discreto.
• En la práctica las señales son muestreadas.• En este caso
• Si el sistema es causal:
y(t)=∑k=−∞
∞g (k )u (t−k )
y(t)=∑k=0
∞g (k )u (t−k )
Modelos con perturbacionesConsideramos dos tipos de señales no manipulables
– Ingresos no medibles, e.g.• Torque de carga en un motor• Rafagas de viento en un avion
– Ruido de medida• Ruido térmico, deriva y otros efectos de la
instrumentación
Sy(t)u(t)
+
v(t)
Modelos con perturbacionesConsideramos dos tipos de señales no manipulables
– Ingresos no medibles, e.g.• Torque de carga en un motor• Rafagas de viento en un avion
– Ruido de medida• Ruido térmico, deriva y otros efectos de la
instrumentación
y(t)=∑k=0
∞g (k )u (t−k )+v (t )
Modelos de perturbaciones– Señales desconocidas. Se describen por sus
propiedades estadísticas.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-4
-3
-2
-1
0
1
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Modelos de perturbaciones
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-4
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– Señales desconocidas. Se describen por sus propiedades estadísticas.
– v(t) es un proceso estocástico:Secuencia de variables aleatorias!!!
Modelos de perturbaciones
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-4
-3
-2
-1
0
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– Señales desconocidas. Se describen por sus propiedades estadísticas.
– v(t) es un proceso estocástico:Secuencia de variables aleatorias!!!
Cómo se describe ??????Cómo se describe ??????
Modelos de perturbaciones– Señales desconocidas. Se describen por sus
propiedades estadísticas.– v(t) es un proceso estocástico:
Secuencia de variables aleatorias!!!
– Cómo se describe ??????
F (X (t1) ,... , X (t k))(x1, x2,... , xk)→ fdp conjunta
Procesos estocásticos
– Esta representación es muy compleja– Se requieren infinitas fdp, una por cada valor k
Primeros momentos:– Valor medio
– Autocorrelación
F ( X (t1) , ... , X (tk))(x1, x2,... , xk)= fdp conjunta
RXX (t k , t l)=∫−∞
∞
∫−∞
∞xk xl F ( X (t k) , X (t l))
( xk , x l ; t k , t l)dxk dxl
μX (t k)=E X (t k )=∫−∞
∞x F X (t k)
(x ; t k)dx
Procesos estacionariosSi las propiedades estadísticas no cambian al desplazar el tiempo, el proceso es estrictamente estacionario:
– Esto es imposible de verificar:• Para todo τ• Para todas las combinaciones de tiempo:
t1, t
2, …, t
k
F (X (t1) , ... , X (tk))(x1, x2,... , xk)=F ( X (t1+τ) , ... , X (t k+τ))( x1, x2,... , xk )
Procesos estacionariosProceso estacionario en sentido amplio:• El valor medio es constante:
• La autocorrelación depende de la diferencia entre los tiempos de observación:
E X (t k )=∫−∞
∞x F X (t k)
(x ; t k)dx=μX
RXX (t k , t l)=RX (t k−t l)=RX (τ)
Procesos estacionariosProceso estacionario en sentido amplioAdemás:
RX (0)=E [ X 2(k )]
RX ( τ)=RX (−τ)
∣RX (τ)∣⩽RX (0)
Ergodicidad
Un proceso estacionario es ergódico de primer orden si:– La media temporal converge a la media
estadística:
limT →∞ E [μX (T )]=μx
μX (T )= 1T ∑0
T −1x(t)
limT →∞ var [μX (T )]=0
ErgodicidadUn proceso estacionario es ergódico de segundo orden
si: -: La correlación temporal converge a la correlación
estadística:
Se puede definir ergodicidad de cualquier orden.
limT →∞ RX ( τ ,T )=RX ( τ)
RX ( τ ,T )= 1T ∑t=0
T−1x (t+τ) x (t)
limT →∞ var [RX (τ ,T )]=0
Ruido blanco
• Secuencia de variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas (i.i.d.), con media cero y varianza conocida.
• No se especifica la distribución, puede ser– Gausiana: N(0,λ) útil para obtener resultados
formales– Uniforme: Buena representación del ruido de
medida– Arbitraria
Sea v(t) P.E. estacionario en sentido amplio, con:– E{v(t)} valor esperado– E{v(t)v(t-t')} Autocorrelación
¿Qué sucede al aplicar v(t) como entrada a un sistema LTI con respuesta impulso g(t)?
Procesos estocásticos a través de sistemas lineales
g(t)y(t)v(t)
• Valor esperado de y(t)– Condiciones para su existencia?
• Covarianza de y(t)
Propiedades de y(t)
• Densidad espectral de potencia
Propiedades de y(t)
• Relaciones entrada-salida en frecuencia
Propiedades de y(t)
EjerciciosDado un sistema
y(t)=G(z)e(t)
con respuesta impulso
g(0)=1, g(1)=-0.5, g(t)=0 para t<0 y t>1.
– Escribir la ecuación de diferencias
– Calcular la función de transferencia
– Graficar la respuesta en frecuencia
– Si e(t) es ruido blanco con varianza 1, obtener analíticamente Ry(t') y el espectro de potencia de y(t).
– En matlab:• Generar un vector e(t) de longitud N=100. distribuido gausaino con media cero.• Obtener su función de correlación y su espectro de potencia (ver funciones idinput, covf,
spa, idpoly)• Simular el sistema.• Obtener la función de correlación y el espectro de potencia de y(t) y confrontar con el
obtenido teóricamente• Repetir para N=1000, N=10000 y analizar las diferencias.