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• Impedância de entrada
• Coef. de reflexão de estruturas multicamadas
Ondas Eletromagnéticas
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza2
Reflexão de Ondas em interfaces múltiplas (Capítulo 11– Páginas 417 a 425)
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Reflexão em Múltiplas interfaces
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§ Espelhos em LASERs
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Cavidaderessonante
Bombeio
Meiocomganho
Luzemitida
Espelhoparcialmenterefletivo
Espelhoaltamenterefletivo
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• É mais comum que estas interfaces apareçam em estruturas com uma ou mais
camadas como:
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• Definimos os coeficientes (de reflexão e refração) de Fresnel para uma única
interface entre 2 meios.
§ Cavidades de Fabry-Perot: consistem em duas superfícies parcialmente refletoras paralelas.
• É possível (diferentes métodos) calcular o coeficiente de reflexão (e transmissão)
equivalente destas estruturas com múltiplas interfaces dielétricas. 1
§ Filtros de filmes finos: estrutura de múltiplas camadas (filmes) dielétricos.
§ Camadas anti-refletivas: estrutura múltiplas.
§ Radome: estruturas para proteção de antenas (muitas vezes deixa passar faixa estreita de frequências) (colocar figuras).
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• Consideremos três meios com impedância intrínseca η1, η2 e η3 separados por 2
interfaces.
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• Consideremos três meios com impedância
intrínseca η1, η2 e η3.
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• A interface entre o 1º e 2º meios está situada
em z = -l e a interface entre o 2º e 3º meios está
em z = 0.
Ex1
+
Et
- l
η1z 0
η2 η3
• A onda incidente em – l é transmitida para o
meio 2, onde sofre múltiplas reflexões .
• Em cada reflexão, há ondas transmitidas para o
meio 3 e transmitidas de volta para o meio 1.
• O Γ da estrutura é calculado considerando todas
as componentes que voltam para o meio 1.
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• Consideremos que a onda incidente no meio 1 é linearmente polarizada em x.
• No meio 2, há uma onda progressiva Ex2+ (soma da múltiplas componentes) e uma
onda regressiva Ex2-.
• Estas ondas possuem campo magnético dado por:
Ex2 = Ex20+ e− jβ2z +Ex20
− e jβ2z
Hy2 = Hy20+ e− jβ2z +Hy20
− e jβ2z
• As amplitudes do campo elétrico das ondas regressiva e progressiva estão
relacionadas por: Ex20− = Γ23Ex20
+
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• Onde, para incidência normal:
• O campo magnético está relacionado com o campo elétrico pela impedância
intrínseca:
• A impedância de onda dependente de ‘z’ é definida como a relação entre os campos
totais:
• Usando Γ e η2, a impedância ηw pode ser escrita:
Γ23 =η3 −η2η3 +η2
Hy20− = −
1η2Ex20− = −
1η2Γ23Ex20
+
ηw (z) =Ex2
Hy2
=Ex20+ e− jβ2z +Ex20
− e jβ2z
Hy20+ e− jβ2z +Hy20
− e jβ2z
ηw (z) =Ex2
Hy2
=η2e− jβ2z +Γ23e
jβ2z
e− jβ2z − Γ23ejβ2z
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
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• Utilizando a identidade de Euler:
• A impedância de onda de onda ηw fica:
• Simplificando esta expressão:
• Esta expressão nos dá a impedância de onda em função da posição ‘z’.
e− jβ2z = cosβ2z− j sinβ2z
ηw (z) =η2η3 +η2( ) cosβ2z− j sinβ2z( )+ η3 −η2( ) cosβ2z+ j sinβ2z( )η3 +η2( ) cosβ2z− j sinβ2z( )− η3 −η2( ) cosβ2z+ j sinβ2z( )
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
ηw (z) =η2η3 cosβ2z− jη2 sinβ2zη2 cosβ2z− jη3 sinβ2z⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
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• A impedância de onda na interface em z = - l permite calcular o Coef. de
Reflexão da estrutura.
• Os componentes tangenciais dos campos são contínuos (iguais em ambos os lados)
da interface:
• Onde Ex10+ e Ex10
- são as amplitudes das ondas incidente e refletida no meio 1.
• Manipulando estas equações e eliminando Ex2, chegamos na expressão para Γ (da
estrutura):
Ex10+ +Ex10
− = Ex2 (z = −l)
Ex10+
η1−Ex10−
η1=Ex2 (z = −l)ηw (z = −l)
e
Γ=Ex10−
Ex10+=ηentrada −η1ηentrada +η1
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• Na expressão anterior ηentrada é a impedância ηw em z = -l:
• As duas última expressões permitem calcular o coeficiente de reflexão para a
estrutura com uma camada (com impedância de onda η2).
• Utilizando Γ é possível obter a potência da onda refletida para uma dada potência de
onda incidente.
ηentrada =η2η3 cosβ2l + jη2 sinβ2lη2 cosβ2l + jη3 sinβ2l⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
• Se as camadas não absorverem radiação EM (premissa para obter eqs. anteriores) a
potência transmitida pode ser obtida a partir das potências incidente e refletida
(como?).
AENTERG
IADENTRO
DACAMADA2PERM
ANECEAM
ESMA.
Potenciaqueentraigualapotênciaquesai.d
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• Este método pode ser estendido para um problema com qualquer número de
interfaces.
• Vamos considerar uma estrutura com 2 camadas com espessuras la e lb (próximo
slide).
• A impedância de onda na entrada da última camada (camada b) é:
ηentrada, b =η3η4 cosβ3l + jη3 sinβ3lη3 cosβ3l + jη4 sinβ3l⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
• A impedância de onda na entrada da penúltima camada (camada a) pode agora ser
calculada com ηetrada, b.
ηentrada, a =η3ηentrada, b cosβ2la + jη2 sinβ2laη2 cosβ2la + jηentrada, b sinβ2lb
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
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• O coef. de Reflexão Γ na entrada do meio 1 fica:
Γ=Ex10−
Ex10+=ηentrada, a −η1ηentrada, a +η1
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• No geral quando se trabalha com óptica, é mais comum utilizar índices de refração
(no lugar de η).
• O índice de refração de um material dielétrico com µ = µ0 é:
• A constante de fase dentro de um meio com índice n é:
• O comprimento de onda da onda EM dentro do material com índice n é:
n = εr
β = nβ0 = n2πλ0
λ no vácuo
λ =λ0n
vp =cn
• A relação entre a velocidade de fase no material e no vácuo é dada por: