II. TÉMA Kockázati transzferek, kockázatmérés
Kockázatok a banki – és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában
A tanulmányt készítette: Budapesti Corvinus Egyetem Biztosítási Oktató és Kutató Csoport Dr.Szüle Borbála 2009. december
A Pénzügyi Szervezetek Állami Felügyelete az általa kiszabott bírságokból befolyt – Felügyeletnél maradó – összeg terhére, a hatályos jogszabályok alapján nyilvános pályázatot hirdetett. Ez a kiadvány a nyilvános pályázaton támogatást nyert el.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
1
Tartalomjegyzék
TARTALOMJEGYZÉK.......................................................................................................................... 1
1. BEVEZETÉS ........................................................................................................................................ 2
2. A BIZTOSÍTÁSSAL KOMBINÁLT BANKI TERMÉKEK ÉS KOCKÁZATAIK ...................... 4
2.1. KOCKÁZATI SZEMPONTÚ CSOPORTOSÍTÁS ....................................................................................... 4 2.2. A KOCKÁZAT MÉRÉSÉNEK LEHETŐSÉGEI TERMÉKKOMBINÁCIÓKNÁL .............................................. 8
3. ELMÉLETI MODELL A BIZTOSÍTÁSSAL KOMBINÁLT BANKI.......................................... 16
TERMÉKEK KOCKÁZATÁNAK MÉRÉSÉRE................................................................................ 16
3.1. MODELLFELTEVÉSEK ..................................................................................................................... 16 3.1.1. A bank modellje ..................................................................................................................... 19 3.1.2. A biztosítások jellemzői ......................................................................................................... 22
3.2. A KOCKÁZAT MÉRÉSE BIZTOSÍTÁS NÉLKÜLI HELYZETBEN ............................................................. 30 3.3. KOCKÁZAT ÉS VEGYES ÉLETBIZTOSÍTÁS ........................................................................................ 34 3.4. KOCKÁZAT ÉS UNIT-LINKED ÉLETBIZTOSÍTÁS ................................................................................ 38
4. SZIMULÁCIÓS EREDMÉNYEK.................................................................................................... 43
5. ÖSSZEFOGLALÁS ........................................................................................................................... 56
IRODALOMJEGYZÉK ........................................................................................................................ 58
MELLÉKLET......................................................................................................................................... 60
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
2
1. Bevezetés
A banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódása az utóbbi évek egyik jellemző
tendenciája volt. Napjainkban sok fejlett országban – Magyarországon is – gyakran
előfordul, hogy bankok és biztosítók között akár tulajdonosi kapcsolódás is kialakul,
illetve nem ritka az sem, hogy egyes banki- és biztosítási termékek között található
kapcsolat. A banki és biztosítási tevékenység egyaránt alapvetően összefügg bizonyos
kockázatokkal (például a hitelkockázattal, illetve a biztosítási események
bekövetkezésével összefüggő kockázattal), így a kockázatkezelés egyes fajtái
megszokottak mind a bankok, mind pedig a biztosítók esetében. A banki és biztosítási
tevékenység összekapcsolódása azonban az egyébként adott kockázatokon kívül
további kockázatok megjelenésével járhat, amelyek felderítése és mérése a tevékenység
kockázatosságának mérsékléséhez járulhat hozzá.
Míg a banki tevékenység során jelentős szerepe van a hitelezésnek, a biztosítási
tevékenységet leginkább adott biztosítási kockázatok vállalása jellemzi, e két – sok
tekintetben különböző – tevékenység összekapcsolódásának több területen is
megmutatkozhatnak a kockázattal kapcsolatos hatásai. A tevékenységek
összekapcsolódásának kockázati hatásai jelentkezhetnek az egyes termékek szintjén
(például valamely hitel törlesztése problémásabbá válhat valamely a hitel valamely
biztosítási termékkel történő összekapcsolásával összefüggésben) és a kockázatok
megjelenhetnek az intézmények szintjén is (a magasabb kockázat például nagyobb
tőkeszükséglettel járhat). A bankok, illetve biztosítók felügyeletével foglalkozó
intézményeknek érdemes lehet ezekkel a kockázatokkal is foglalkozni.
Jelen tanulmány a banki és biztosítási tevékenységek összekapcsolódásából adódó
kockázati hatásokkal foglalkozik. A „kockázat” fogalma rendkívül sokféleképpen
értelmezhető, így a tanulmány a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásából
eredő kockázati hatások általános bemutatásán túl a biztosítással kombinált banki
termékek kockázatait a fontosabb jellemzők alapján felépített elméleti modell keretein
belül elemzi. Az elméleti modell előnye lehet, hogy ebben a keretben levezethetők
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
3
olyan eredmények is, amelyek alapján akár kockázati szempontból rangsorolhatók is
egyes biztosítási termékek, amelyekkel banki termékek kombinálhatók. A tanulmány
terjedelmi korlátai miatt nem vállalkozhat a gyakorlatban tapasztalható bonyolult és
cégenként különböző jellemzőkkel rendelkező helyzetek (sokféle paraméterrel
jellemezhető biztosítási állományok, illetve banki adatok) pontos modellezésére. A
tanulmányban bemutatott elméleti modell eredményei azonban alkalmasak lehetnek a
gyakorlatban felmerülő kockázati hatások irányának bemutatására, illetve elősegíthetik
a kockázati hatások mérésére szolgáló modellek fejlesztését.
A tanulmányban a biztosítással kombinált banki termékek fontosabb jellemzőinek
bemutatásán túl egyes kockázatok mérésével kapcsolatos megfontolások leírása is
megtalálható. Ezt követően a biztosítással kombinált banki termékek kockázati
hatásainak mérésére kidolgozott elméleti modell eredményein túl a tanulmány az
eredmények szemléltetésére szimulációs számítások eredményeit mutatja be.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
4
2. A biztosítással kombinált banki termékek és kockázataik
2.1. Kockázati szempontú csoportosítás
A biztosítással kombinált banki termékek tág megnevezés, többféle konstrukció is
besorolható lehet ebbe a kategóriába. A banki és biztosítási termékek kombinálása
például a következőképpen valósulhat meg:
– lakáscélú hitelek esetében lakásbiztosítást is köt az ügyfél
– kötelező gépjármű felelősségbiztosításnál (vagy másfajta biztosításnál) a
biztosítási díj esetében kedvezmény nyújtására kerülhet sor, ha a biztosítási
díjat adott banknál vezetett folyószámláról csoportos beszedési megbízással
egyenlítik ki
– megtakarítások (bankbetét) kombinálható életbiztosítással olyan módon,
hogy az ügyfél által befizetett pénz egy része valamely életbiztosítási
termékbe (például befektetési egységekhez kötött életbiztosításba1), másik
része pedig valamilyen lekötött betétben kerül lekötésre
– jelzáloghitelhez „törlesztési” biztosítás (tulajdonképpen hitelfedezeti
biztosítás) köthető, amely például elhalálozás, rokkantság,
keresőképtelenség, munkanélküliség esetében a fennálló tartozás
meghatározott részét fizeti meg a biztosított személy helyett
– olyan életbiztosítással kombinált jelzálogkölcsön-konstrukció alakítható ki,
amelynél a kölcsön tőketörlesztése az életbiztosítás elérési2 összegéből
történik
Az egyik legegyszerűbb csoportosítás szerint a banki és biztosítási termékek
összekapcsolása során két esetet különböztethetünk meg aszerint, hogy a kétféle termék
kombinálása milyen módon befolyásolja a termékek „kockázatosságát”. A banki és 1 Ezt a biztosítást szokás unit-linked biztosításnak is nevezni. 2 Az életbiztosításokkal kapcsolatos néhány elméleti tudnivalóval a tanulmány későbbi részei foglalkoznak.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
5
biztosítási termékek „kockázatossága” ebben az esetben a termékekben megjelenő
„alap” kockázatra utal: hiteltermékeknél például a hitel vissza nem fizetésének
kockázatára, megtakarításoknál arra a kockázatra, hogy a bank esetlegesen nem tudná
visszafizetni a (befektetőt megillető hozamokkal növelten) a megtakarítás összegét, a
biztosítások esetében pedig a biztosítási szerződésekben szereplő biztosítási esemény
bekövetkezésére. Az addicionális termékszintű kockázati hatások szempontjából tehát
a következő eseteket lehet érdemes megkülönböztetni:
– A banki és a biztosítási termékek egymás kockázatosságát lényegében nem
befolyásolják: ezek egymástól függetlenek, a kétfajta termék
összekapcsolódása mindössze a keresztértékesítés (cross-selling) egyik
fajtájának tekinthető.
A banki és a biztosítási terméket ekkor lényegében párhuzamosan
értékesítik, például megtakarítási termék (például bankbetét) választásakor
valamilyen fajta biztosításra is felhívják a figyelmet a bankban, de a banki és
biztosítási termék ezen túl semmilyen módon nem függ össze (illetve még
például kedvezmény járhat a biztosítási díjból akkor, ha valamilyen banki
termékkel – például folyószámlával – rendelkezik az ügyfél). Nyilvánvaló,
hogy ebben az esetben elsősorban az értékesítési bevétel esetleges
növekedéséről van szó, ha például bankfiókokban biztosítást értékesítenek,
akkor a banki tevékenység hatékonysága növekedhet, ami a bank
intézményszintű kockázatát csökkentheti (ehhez hasonlóan az értékesítés
fokozódása növelheti a biztosító működésének biztonságát is, ami a biztosító
intézményszintű kockázatának csökkenését eredményezheti). Előfordulhat
természetesen akár az is, hogy ezen keresztértékesítés (cross selling) során a
különböző költségek meghaladják az intézmények többletjövedelmét, ami
akár az intézményszintű kockázat emelkedését is jelentheti. Termékszintű
(„termékintegrációból” adódó) kockázati hatásokról azonban jellemzően
nincs szó, tehát például az előbbiekben említett biztosítás kötése nem hat
nagy mértékben a megtakarítás értékalakulására. Lényegében ide sorolhatók
olyan termékkombinációk is, amelynél megtakarítás (például valamilyen
fajta bankbetét) és biztosítás kombinálására kerül sor olyan módon, hogy
biztosítás vásárlásánál a bankbetétnek bizonyos módon garantált lehet a
hozama (a hozamgarancia ára bizonyos szempontból tekinthető egyfajta
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
6
„marketing” jellegű költségnek), a banki és biztosítási termék pénzáramlásai
ekkor általában nem függnek össze közvetlenül „termékintegráció” miatt.
– A banki és biztosítási termék összekapcsolódása alapvetően befolyásolhatja
valamely termék kockázatosságát, adott esetben akár a termékek
kifejlesztése is mindkét termék jellegzetességeinek figyelembevételével
történhet (ezt lehet például „termékintegrációnak” is nevezni). A kétféle
termék kombinálásának kockázati hatásai ekkor már termékszinten is
mérhetők lehetnek, így ez az eset fokozottabb figyelmet érdemel.
Erre az esetre példa lehet az, amikor lakáshitel igénybevételekor például tűz,
illetve elemi kár kockázatokra lakásbiztosítást köt az ügyfél, vagy az a példa
is említhető, hogy jelzálogkölcsön nyújtásakor életbiztosítást köt valamely
ügyfél. Ezekben az esetekben a hitel törlesztésére tehát akkor is lehet mód (a
biztosító szolgáltatása révén), ha az ügyfélnek esetlegesen fizetési problémái
merülnének fel (például a lakásbiztosításos példában tűzkár esetén
előfordulhatna, hogy biztosítás nélkül az ügyfél számára pénzügyi
szempontból túlságosan megterhelő lenne a hiteltörlesztés, illetve ha
életbiztosítással rendelkezik egy ügyfél, akkor esetleges elhalálozásakor is
lehetséges lehet a korábban igénybe vett jelzálogkölcsön törlesztése).
Amennyiben a biztosítási díjakat az ügyfél fizeti, a hitelt, illetve kölcsönt
nyújtó bank számára ezekben az esetekben előnyös lehet kockázati
szempontból, ha az ügyfél ilyen jellegű biztosítást is köt. Ezzel van
összefüggésben, hogy több esetben is olyan konstrukciók állnak az ügyfelek
rendelkezésére, amelynél a banki és biztosítási terméket nagymértékben
„összehangolják” kifejlesztésük során, például az ún. halasztott
tőketörlesztéses hitelkonstrukcióval összekapcsolódó életbiztosításnál,
amelynél az életbiztosítás lejárati összege fedezi a felvett hitel
tőketörlesztésének egy meghatározott részét, a lejáratig az ügyfél pedig a
bank részére kamatot, illetve költségeket, a biztosító részére pedig a
biztosítási díjat fizeti.
Ezen két eset közül az első esetben a banki és biztosítási termékek kombinálása miatt
létrejövő addicionális kockázati hatások más jellegűek, mint a második esetben. Az
első esetben (amikor az addicionális kockázatok termékszinten tipikusan nem
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
7
jellemzőek) a lehetséges többletkockázatok kialakulását nagyban befolyásolják olyan
vállalatspecifikus tényezők, amelyek például a marketingstratégia kialakításával is
összefüggnek: annak eldöntése például, hogy mekkora kedvezményt kapjanak ügyfelek
a biztosítási díjból, amennyiben valamely banknál folyószámlával rendelkeznek,
bizonyos szempontból hasonlít arra a kérdésre, hogy milyen összeget érdemes költeni
például bizonyos termékek reklámozására; a hasonlóság lényege, hogy ezek a kérdések
az adott döntés következtében várhatóan létrejövő bevétel-, illetve
jövedelemnövekedéssel függnek össze.
A biztosítással kombinált banki termékek esetében a kétféle termék kombinálása
következtében létrejövő addicionális kockázatok tekintetében a második eset érdemel
nagyobb figyelmet: amikor az addicionális kockázatok már a termékszinten is
megmutatkoznak, különösen érdekes lehet az intézményszintű kockázati hatások
esetében jelentkező tendenciák meghatározása. Magyarországon az utóbbi években
egyre nagyobb jelentőségűek lettek például azok a hitelek, amelyeknél a hitelhez
életbiztosítás is kapcsolódik, amely bizonyos esetekben (például elhalálozás esetén) a
hiteltartozás adott részének visszafizetését biztosítja a szerződésben meghatározott
bank számára. A biztosítási díjat tipikusan a hitelt igénybe vevő ügyfelek fizetik, így ez
a konstrukció a biztosító számára az értékesítés (és feltehetően a jövedelmezőség)
emelkedésével, a bank számára pedig a kockázat csökkenésével járhat. Elképzelhető
viszont olyan helyzet is, amelyben az ügyfél a felvett hitelt nem ingatlan vásárlására
fordítja (amikor feltehetően nagymértékben érdekelt a hitel zökkenőmentes
törlesztésében), hanem például unit-linked jellegű életbiztosítás biztosítási díját fedezi a
hitel összegéből úgy, hogy később az életbiztosítási szolgáltatás legyen elegendő a hitel
törlesztésére. Magas kockázatú befektetési portfólió választásakor ebben az esetben
előfordulhat, hogy a biztosítási szolgáltatás nem fedezi a hiteltörlesztéshez szükséges
összeget, ami kedvezőtlenül befolyásolhatja a bank intézményszintű kockázatát. A
tanulmányban bemutatott elméleti modell, illetve az ehhez kapcsolódó (tanulmányban
szereplő) számítások eredményei ezzel a jelenséggel is foglalkoznak.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
8
2.2. A kockázat mérésének lehetőségei termékkombinációknál
A banki és biztosítási tevékenységet számos kockázat jellemzi, maga a banki és
biztosítási tevékenység alapvető jellemzője bizonyos fajta kockázatok kezelése. A
biztosítással kombinált banki termékek kockázatainak áttekintéséhez érdemes először
külön a banki, majd pedig külön a biztosítási termékek kockázatával foglalkozni, majd
ezután ezek ismeretében könnyebben kiemelhetők a banki és biztosítási tevékenység
összekapcsolódásával összefüggő addicionális kockázati hatások. A „hagyományos”
banki tevékenység alapja a betétgyűjtés valamint a hitelek nyújtása, ezen túl
napjainkban természetesen további, például értékpapírokkal kapcsolatos tevékenység is
jellemezheti a bankokat. A bankok esetében a források és eszközök lejárati idejének
harmonizálása az „intézményszintű” kockázat jellemző eredetének tekinthető, míg
például a hitelkockázat (a hitel vissza nem fizetésével kapcsolatos kockázat) tipikus
„termékszintű” kockázatnak minősíthető. A biztosítási díjakat jellemzően az időszak
elején kapó biztosítók esetében az „intézményszintű” kockázat eredhet például a
befektetési eszközportfólió összetételéből, illetve teljesítményéből, míg jellegzetes
„termékszintű” kockázatnak tekinthető az adott biztosítási szerződésekben található
biztosítási kockázat. A biztosítással kombinált banki termékek esetében a
következőkben a kockázatok termékszintű eredetére koncentrálva az intézményszintű
kockázatot érintő hatásokra koncentrálunk. Ebben a tanulmányban nem foglalkozunk
tehát a bank és biztosító intézményszintű együttműködéséből adódó kockázati
hatásokkal (ezzel például Szüle[2004], Szüle[2006] illetve Szüle[2007] foglalkozik). A
következőkben azzal kapcsolatos megfontolásokat tekintünk át, hogy milyen
mutatószám lehet alkalmas a termékszinten létrejövő kockázati hatások
intézményszintű kockázatot érintő hatásának mérésére.
A banki, illetve a biztosítási tevékenység során számos kockázat merül fel, amelyek
tanulmányozása, illetve ezek mérési lehetőségeinek feltérképezése elősegítheti az
elemzés céljára megfelelő mutatószám kiválasztását. A banki és biztosítási
tevékenységet jellemző kockázatok közül néhány fontosabb esetében a kockázat
mérésének lehetőségei egyebek mellett például OWC[2001] alapján:
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
9
– a hitelkockázat abból adódik, hogy az ügyfelek esetlegesen nem törlesztik
megfelelően a bank számára hiteltartozásaikat, ezen kockázat mérésekor
alkalmazható mutatószám lehet például:
� a fizetésképtelenség, illetve csőd valószínűségének
meghatározása
� a fizetésképtelenség, illetve csőd esetében bekövetkező veszteség
mérése
� gazdasági tőke (economic capital) számítása
– az életbiztosítási kockázat főként a halálozás miatt a pénzáramlások
időzítésében és összegében jelenik meg, ezen kockázat mérésére például
stressz-tesztek lehetnek alkalmasak
– a nem-életbiztosítási kockázat különböző (biztosítási) események miatt
bekövetkező veszteségek mértékére vonatkozik és például a biztosítási
események gyakoriságának modellezése járulhat hozzá a kockázatok
méréséhez
– a piaci kockázat abból származhat, hogy egyes piaci tényezők (például
bizonyos árfolyamok, volatilitások, korrelációk) kedvezőtlenül alakulnak,
ezen kockázat mérésére például Value-at-Risk számolható, vagy például
szcenárió-elemzés alkalmazható
– az üzleti kockázat (amely például a termékek körének illetve az adott
piacnak a megválasztásában rejlik) például a historikus jövedelmezőség
volatilitásával mérhető.
A fenti felsorolásból kiderül, hogy nemcsak a kockázatok, de a lehetséges kockázati
mutatószámok köre is széles. A kockázati mutatószámok közül az intézményszintű
kockázat mérésére alkalmas lehet például a Value-at-Risk, illetve ehhez némiképpen
hasonlóan számíthatók további mutatószámok. A megfelelő intézményszintű kockázati
mutatószám kiválasztásához érdemes azt is áttekinteni, hogy miként értelmezhető,
illetve számolható a Value-at-Risk, illetve az egyik leggyakrabban említett, ehhez
bizonyos tekintetben hasonló másik mutatószám, a TailVaR.
A Value-at-Risk (VaR) mutatószám egyik első alkalmazása a JPMorgan RiskMetrics
rendszerének első változatához köthető, azóta számos intézményben a kockázatmérés
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
10
során alkalmazott egyik fontos mutatószámmá vált. (McNeil et al.[2005] 9. o.) A VaR
definícióját McNeil et al.[2005] (37-38. o.) alapján tekintjük át: tekintsük kockázatos
eszközök valamely portfólióját adott ∆ rögzített időtartam alatt, valamilyen ( )1,0∈α
megbízhatósági szintet és jelölje a megfelelő veszteségeloszlás eloszlásfüggvényét:
FL(l) = P(L≤l)
A portfólió VaR értéke α megbízhatósági szinten az a legkisebb l érték amelynél az a
valószínűség hogy az L veszteség meghaladja l-t nem nagyobb mint (1- α):
( ){ } ( ){ }ααα ≥∈=−≤>∈= lFRllLPRlVaR L:inf1:inf
A megbízhatósági szint (α) tipikus értéke a gyakorlatban 0,95 vagy 0,99, a piaci
kockázat kezelésében az időhorizont (∆) általában 1-10 nap, a hitelkockázatnál pedig 1
év. (McNeil et al.[2005], 38. o.) A Bázeli Bizottság (bankok esetében) a piaci
kockázattal kapcsolatban a VaR alkalmazásánál 99 %-os szintet, az időhorizont (∆)
értékére pedig 10 napot javasol (McNeil et al.[2005], 43.o.). A VaR értékét bizonyos
esetekben intézményszintű kockázattal összefüggésben, a szabályozói tőkekövetelmény
kiszámítására is alkalmazzák, például a belső modellel történő számításos
megközelítést alkalmazó bankok számára a piaci kockázat (market risk) esetében a
szabályozói tőkekövetelmény képlete (McNeil et al.[2005], 43.o.):
SRi
itt CVaRk
VaR +
⋅∑=
+−60
1
10,199,0
10,99,0 60
,max
ahol 10,99,0
jVaR 10 napos VaR-t jelent 99 %-os megbízhatósági szinten a j napon számolva
(t a mai napot jelöli). A bank belső modelljének minőségétől függ 3≤k≤4 értéke (stress
factor). A CSR értéke a specifikus kockázatra vonatkozik (azokra a kockázatokra,
amelyek az általános piaci faktorok figyelembevétele után a kibocsátó-specifikus
(issuer-specific) árváltozásokhoz kapcsolódnak).
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
11
A VaR egyik problémája, hogy nem nyújt információt azoknak a veszteségeknek a
mértékéről, amelyek 1-α értéknél kisebb valószínűséggel következnek be. Egy másik
mutatószám, az Expected Shortfall (ES) kiküszöböli ezt a problémát. Tekintsük L
(veszteséget reprezentáló) valószínűségi változót és tegyük fel hogy ( ) ∞<LE , ekkor
FL sűrűségfüggvény és α megbízhatósági szint esetében az Expected Shortfall (ES)
értéke (McNeil et al.[2005], 44. o.):
( )∫⋅−=
1
1
1
α
αα
duLVaRES u
Folytonos valószínűség-eloszlások esetében ezt a mutatószámot (ES) úgy is lehet
értelmezni, hogy ez a várható veszteség értékét mutatja, ami akkor merül fel ha a VaR
értékét túllépte a veszteség. Ekkor tehát (McNeil et al.[2005], 45. o.):
( )αα VaRLLEES ≥=
Az Expected Shortfall (ES) mutatóhoz hasonló mutatószám például a tail conditional
expectation (TCE), illetve a conditional VaR (CVaR) (McNeil et al.[2005], 47.o.).
Finkelstein et al.[2006] a CTE (conditional tail expectation) mutatószámot a
legmagasabb (100-x)%-ot kitevő veszteség átlagos költségeként határozza meg és
megállapítja hogy ez a veszteséget reprezentáló valószínűségi változó folytonos
eloszlásfüggvénye esetében megegyezik a TailVaR mutatószámmal. Panjer[2001]
(normális eloszlással kapcsolatos elemzésében) az ( )αVaRLLE ≥ képletet a TailVaR
mutatószám definiálására alkalmazza. A továbbiakban ennek megfelelően folytonos
veszteség-eloszlásfüggvény esetében az Expected Shortfall és a TailVaR mutatószámot
szinonimaként említjük.
Folytonos veszteség-eloszlásfüggvény esetén a TailVaR értéke meghaladja a VaR
értéket. Ez már a definícióból is következik, és az 1. sz. ábra is ezt a jelenséget
szemlélteti:
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
12
1. sz. ábra: VaR és TailVaR értékek összehasonlítása
veszteség jelenértékének sűrűségfüggvénye
Value-at-Risk (x% megbízhatósági szinten)
Tail Value-at-Risk (x% megbízhatósági szinten)
A két (tőkeszükséglet mérésére is alkalmas) kockázati mutatószám egyes matematikai
tulajdonságaik alapján is összehasonlítható. A kockázati mutatószámokkal
kapcsolatban szokás például elemezni, hogy az adott mutatószám koherensnek
tekinthető-e. A koherens kockázati mérőszámok tulajdonságainak leírását több
tanulmány illetve könyv is tartalmazza (például Artzner et al.[1998], Panjer[2001],
McNeil et al.[2005] 238-240. o.), a következőkben ezeket a jellemzőket tekintjük át.
Tegyük fel hogy adott két korlátos veszteséget jelentő valószínűségi változó (X és Y), a
kockázati mérőszámot jelölje ρ függvény (a kockázati mérőszám jelentheti például az
adott kockázathoz rendelhető szolvenciatőke értékét). Koherensnek tekinthető egy
kockázati mutatószám, amennyiben jellemzők rá a következő tulajdonságok:
– szubadditivitás (subadditivity): ρ(X+Y)≤ρ(X)+ρ(Y): két kockázat kombinált
tőkeszükséglete nem haladja meg a két kockázatra külön számított
tőkeszükséglet összegét
– monotonitás (monotonicity): ha X≤Y minden lehetséges kimenet esetén,
akkor ρ(X)≤ρ(Y): ha egy kockázat minden esetben nagyobb veszteségekkel
jár mint egy másik kockázat akkor a tőkeszükséglete is nagyobb
– pozitív homogenitás (positive homogeneity): minden λ pozitív konstansra
ρ(λ·X)=λ·ρ(X): ez például azt jelenti, hogy a tőkeszükséglet független attól
hogy milyen devizában mérik a kockázatot
– átváltási invariancia (translation invariance): minden α pozitív konstansra
ρ(X+α)=ρ(X)+α: ez azt jelenti, hogy egy determinisztikus értéknek az adott
X kockázathoz való hozzáadásával a tőkeszükséglet a hozzáadott értékkel
változik meg.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
13
A szubadditivitás figyelembe veszi azt a pénzügyi elméletben elterjedt gondolatot,
hogy diverzifikációval a kockázat csökkenthető. A VaR esetében nem garantált a
szubadditivitás feltevésének teljesülése, így a VaR nem tekinthető koherens kockázati
mutatószámnak. Az Expected Shortfall (illetve a TailVaR) ezzel szemben koherens
kockázati mutatószámnak tekinthető (McNeil et al.[2005], 243. o.)
Érdemes megjegyezni, hogy az IAA (International Actuarial Association) a biztosítók
esetében a szolvenciatőke (illetve a tőkeszükséglet) mérésénél a TailVaR mutatószámot
preferálja (Finkelstein et al.[2006]), ami a biztosítók esetében gyakran tapasztalható
aszimmetrikus veszteség-eloszlásfüggvényekkel is kapcsolatban lehet.
Az intézményszintű kockázat mérésénél tehát gyakori a VaR, illetve a TailVaR
mutatószám alkalmazása. Érdemes lehet azt is áttekinteni, hogy különböző felügyeleti
szolvencia-mérési módszertanokban milyen módon alkalmazzák e két mutatószámot,
illetve érdekes lehet az is, hogy milyen kockázatokkal foglalkoznak egyes banki és
biztosítási szolvencia-értékelő módszerek. A felügyeleti modellek jellemzőit az
összehasonlítás során CEA-Mercer Oliver Wyman[2005] alapján vázoljuk. A
felügyeleti modellek különböző szempontok szerinti összehasonlításakor a
tanulmányozott modellek (solvency regimes) említésekor a következőkben az alábbi
jelöléseket alkalmazzuk:
– FTK: Financial Assessment Framework (Hollandia)
– SST: Swiss Solvency Test (Svájc)
– FSA: FSA (Financial Services Authority) integrated prudential sourcebook
for insurers (Egyesült Királyság)
– JR: Jukka Rantala modell, a CEA Solvency II munkacsoportjának korábbi
elnöke neve alapján elnevezett modell; a CEA a standard megközelítés
(Standard Approach) kidolgozásával foglalkozott
– NAIC: National Association of Insurance Commissioners modell (USA)
– 2002 GDV: a német biztosítók felügyeleti modellje (átdolgozása
folyamatban)
– S&P: Standard&Poor's európai biztosítói csoport tőkemodell
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
14
Az egyes szolvencia-értékelő modellek között a modell által tartalmazott kockázat-
fajták esetében a főbb különbségeket az 1. sz. táblázat tartalmazza:
1. sz. táblázat: Felügyeleti szolvencia-értékelő modellekben található kockázatok
biztosítói szolvencia modellek
banki
szolvencia
modell
Solvency I
2002
GDV NAIC S&P JR FSA FTK SST Bázel II
Biztosítási
kockázat + + + + + + +
Katasztrófa-
kockázat (+) +
tiszta piaci
kockázat + + + (+) + + + +
ALM
kockázat + + + + + +
Hitelkockázat + + + (+) + + Bázel II +
működési /
üzleti
kockázat + + + (+) + +
+: foglalkozik vele a modell
(+): kidolgozása folyamatban van
nincs jelölés: nem foglalkozik vele a modell
Forrás: CEA - Mercer Oliver Wyman[2005]
A biztosításokra jellemző biztosítási (underwriting) kockázat a Solvency I modellen
kívül minden, az összehasonlításban szereplő biztosítási modellben szerepel3, valamint
szintén elterjedt például a hitelkockázat és a piaci kockázat modellekben történő
szerepeltetése (ezen kockázatokkal általában a fejlettebb vállalati belső modellek is
foglalkoznak).
A szolvencia modellek kockázati mérőszámai az elemzésben szereplő felügyeleti
modellek esetében a következők (2. sz. táblázat):
3 Természetesen a Solvency I modell is figyelembe veszi a biztosítások során jelentkező biztosítási kockázatot, azonban egyszerűbb megközelítéssel, a biztosítási tevékenységet jellemző más kockázatokkal együttesen tekinti a hatását; a táblázatban ezért is nem szerepel külön jelölés e kockázat-fajtánál a Solvency I modell esetében.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
15
2. sz. táblázat: Szolvencia-értékelő modellek kockázati mérőszámai
biztosítói szolvencia modellek
banki
szolvencia
modell
Solvency I
2002
GDV NAIC S&P JR FSA FTK SST Bázel II
nem meghatározott +
standard Value-at-Risk + + + + + + +
Tail Value-at-Risk +
Forrás: CEA - Mercer Oliver Wyman[2005]
A továbbiakban a kockázat mérésére a TailVaR mutatószámot alkalmazzuk, mivel –
bár kiszámítása nehézkesebb lehet, mint a VaR mutatószámé – a problémák esetében
várható veszteségek nagyságára is utal az értéke.
A tanulmány következő fejezetében bemutatott elméleti modellben tehát az
intézményszintű kockázat mérésénél a TailVaR mutatószám szerepel, mivel ez
bizonyos esetekben egyes modelleknél az adott intézmény tőkeszükségletének
mérésére is alkalmas lehet, így a banki termékek biztosítási termékekkel történő
kockázati hatásait olyan modell-keretben lehet tanulmányozni, amely a gyakorlatban is
relevánsnak tekinthető mutatószámokat is alkalmaz. A tanulmány korábbi részeiben
már volt szó arról, hogy a biztosítással kombinált banki termékeknek milyen fontosabb
fajtáit lehet megkülönböztetni és ennek során megállapítható volt, hogy a termékek
kombinálásából eredő kockázati hatások főként az olyan kombinációknál lehetnek
jelentősek, amelyeknél a banki és biztosítási termék „integrált” termékkonstrukció,
tehát nem csupán a termékek együttes értékesítéséről és esetlegesen az együttes
értékesítésnél kedvezmény nyújtásáról van szó. Napjainkban az egyik legelterjedtebb
ehhez hasonló termékkonstrukció az életbiztosítással kombinált banki hitel, így a
következőkben bemutatott elméleti modell és az ehhez kapcsolódó számítások ehhez a
termékkonstrukcióhoz kapcsolódnak.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
16
3. Elméleti modell a biztosítással kombinált banki
termékek kockázatának mérésére
3.1. Modellfeltevések
A következőkben bemutatott elméleti modellben az egyik fő cél annak bemutatása,
hogy a banki termékek biztosítási termékekkel való kombinálása során milyen
kockázati hatások jöhetnek létre, illetve annak felderítése, hogy az elemzésben szereplő
lehetséges biztosítási termékek közül melyek azok, amelyek az elemzésben szereplő
banki termékkel kombinálva az intézményszintű kockázat emelkedését okozhatják.
A biztosító és a bank működését modellfeltevések között elemezzük. A modellezés
során a fő cél, hogy a biztosítási és banki tevékenységek legfontosabb vonásai
szerepeljenek a modellben. A modell emiatt nem vállalkozik arra, hogy a gyakorlatban
tapasztalható helyzetek pontos mása legyen4, ehelyett azt célozza, hogy bemutassa,
melyek azok a tendenciák, amelyek a biztosítási és banki tevékenység legfontosabb
vonásainak együttes hatása eredményeképpen kialakulhatnak.
A tanulmányban bemutatott modell a biztosító és a bank működését néhány egyenlet
alapján írja le. Ezekben az egyenletekben bizonyos értékeket valószínűségi változónak
tekintünk. Ezen valószínűségi változók konkrét értékei alapján kiszámolható a biztosító
és a bank veszteségének jelenértéke. A kockázat mérésére a modell a tőkeszükséglet
mérésére is alkalmasnak tekinthető TailVaR mutatószámot alkalmazza. Az elméleti
levezetések után az eredményeket szimulációk eredményei alapján is szemléltetjük. A
biztosító és bank esetében a veszteség-jelenértékeket 1000 szimuláció alapján
számoljuk ki.5 A szimulált értékekből meghatározható a veszteség-jelenérték empirikus
4 A gyakorlatban tapasztalható összes sajátosságot figyelembe vevő modell bemutatása meghaladja e tanulmány terjedelmi korlátait. 5 Filipovic-Rost[2005] szerint a felmérésben szereplő biztosítók belső modelljei esetében a szimulációk száma 1000 és 1.000.000 között van: 1000 szimuláció már stabil eredményeket adhat az életbiztosítás esetében beágyazott opciók („embedded options”) nélkül, míg a nem-életbiztosítások esetében ennél többre is szükség lehet.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
17
hisztogramja, amiből következtetni lehet a veszteség-jelenérték eloszlására, illetve a
különböző hisztogramok összehasonlításával lehetőség van különböző
termékkombinációk kockázatosságának összehasonlítására.
A modellezés során az is a célok között szerepel, hogy a felépített modell néhány
fontosabb vonásában hasonlítson a szolvencia (tőkeszükséglet) értékelésénél
használatos felügyeleti illetve vállalati (belső) modellekre. A tanulmányban követett
modellezési eljárás során alkalmazott feltevések és a biztosítók felügyeleti valamint
vállalati (belső) modelljeinek feltevései esetében a 3. sz. táblázat tartalmazza azt, hogy
a tanulmányban bemutatott modell például mely felügyeleti modellhez illetve a
biztosítók belső modelljeihez milyen mértékben hasonló az adott szempont alapján.
3. sz. táblázat: A tanulmányban bemutatott modell egyes jellemzői
saját modell felügyeleti modellek
vállalati (belső)
modellek
kockázat mérése TailVaR SST 13-ból 2
időperiódus 1 év általában 1 év 13-ból 10: 1 év
módszer sztochasztikus
szimuláció alapján
veszteségfüggvény
eloszlásán alapul
FSA, FTK, SST:
diszk.CF előrejelzés
szerepel
13-ból 8: sztochasztikus
faktormodell
Forrás: CEA - Mercer Oliver Wyman[2005], Filipovic-Rost[2005]
A biztosítással kombinált banki termékek esetében azokkal az esetekkel foglalkozunk a
modellben, amikor a banki termék – a modellben ez az adott paraméterekkel
rendelkező hitel – és a biztosítás kombinálása olyan módon történik, hogy a biztosítási
szolgáltatás kifizetésével történhet meg a hiteltörlesztés. (Ezen kívül a modellben utalás
történik arra is, hogy milyen kockázati hatások megjelenésével függ össze, ha a
biztosítás mindössze „kiegészíti” a banki hitelt, tehát a hiteltől függetlenül van
biztosítása az ügyfélnek, amelynek kifizetéseit a bank bizonyos esetben igénybe veheti
törlesztés céljára.) Az előző fejezetben leírtak alapján a biztosítással kombinált banki
termékek közül ezek a lehetőségek azok, amelyek jelentősebb összefüggést jelentenek a
banki és a biztosítási termékek között, így tehát az elméleti modellben azon esetek
elemzésére törekszünk, amelyek jelentősebb hatást gyakorolhatnak az intézményszintű
kockázatosságra. Az elméleti modell alapján a következő eseteket elemezzük:
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
18
– a biztosítás nélküli helyzet
– klasszikus vegyes életbiztosítás igénybevétele (amely magában foglalja a
kockázati életbiztosítási és elérési életbiztosítási részeket is)
– unit-linked életbiztosítás igénybevétele.
A modellezés során azt feltételezzük, hogy a banki termék és a biztosítás futamideje
megegyezik egymással, és az áttekinthetőbb eredmények érdekében ez a futamidő a
modellben egy év. Azzal együtt, hogy a gyakorlatban a biztosítással kombinált banki
termékek futamideje ennél gyakran hosszabb, az egy éves időtáv feltételezése alkalmas
a különböző termékkonstrukciókban rejlő kockázatosság összehasonlító modellezésben
történő szerepeltetésére. A gyakorlatban általában jellemző hosszabb futamidő során
nyilvánvalóan számos tényező befolyásolja a „termékszintű” és intézményszintű
kockázatosságot, például az ügyfelek halandósági valószínűségei is változnak évről
évre, illetve például unit-linked termékek esetén valamely befektetési stratégia
választása esetében az egyes időszakokban elért befektetési hozamok együttes
eredményessége is különbözhet az egyéves befektetési hozamok eredményességétől
(ezenkívül például szintén fontos lehet, hogy a biztosításoknál milyen mértékben
jellemző az egyes években a maradékjogok igénybevétele). Jelen elemzés fő célja
annak áttekinthető bemutatása, hogy a banki termékek biztosítási termékekkel történő
kombinálása hogyan befolyásolja a termékszintű, illetve intézményszintű kockázatot.
Az áttekinthetőség érdekében a modellben olyan feltevések találhatók, amelyek a
gyakorlatban tapasztalható komplex helyzetekből igyekszik kiemelni a kockázatosságot
befolyásoló legfontosabb tényezőket, és a tanulmány ezek hatásainak elemzésével
foglalkozik. Az elméleti modellben az egy éves futamidő alkalmazása olyan feltevés,
amely lehetővé teszi, hogy az elemzés áttekinthetően koncentrálhasson a banki és
biztosítási termékek kombinálásának kockázatot érintő hatásaira. Az egy éves futamidő
feltevése a modellben például a következő jelenségekkel függ össze:
– a biztosítások díja tipikusan a biztosítási időszak elején fizetendő, a
számítások minél inkább áttekinthető szinten tartása érdekében az elméleti
modell nem foglalkozik az évesnél gyakoribb biztosítási díjfizetéssel, ami
ebben a modell-keretben azt jelenti, hogy az érintett ügyfelek egyszeri
biztosítási díjat fizetnek (az ennél gyakoribb díjfizetés feltételezése azzal
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
19
járna, hogy például az ügyfelek éven belüli esetleges elhalálozásának
kockázatra gyakorolt hatásával is szükséges lenne foglalkozni, amely az
elméleti levezetéseket jelentősen bonyolíthatná
– a biztosítási szolgáltatások, illetve a biztosítási összeg kifizetésére a
biztosítási tartam, vagyis az egy éves tartam végén kerülhet sor (a biztosítási
esemény bekövetkezése esetében)
– a bankhitel visszafizetése, illetve a hitelkamat megfizetése az egy éves
futamidő végén esedékes (természetesen a gyakorlatban tapasztalható, hogy
például a jelzáloghitelek törlesztése ennél hosszabb időt vesz igénybe)
– az ügyfél bankhitellel kapcsolatos fizetési nehézségei a futamidő végén
jelentkezhetnek.
Az elméleti modell (amely az előzőekben leírtak szerint a gyakorlatban tapasztalható
helyzet egyszerűsítését jelenti) ilyen módon kiemeli a banki termékekkkel, illetve a
biztosítási termékekkel kapcsolatos pénzáramlások különbözőségét.
Az intézményszintű kockázatot elemezve fontos megállapítás az is, hogy amennyiben
azt feltételezzük, hogy a banki termékek igénybevevőinek biztosítási kockázata nem
szignifikánsan magasabb mint azoké a biztosítást vásároló ügyfeleké, akiknek
biztosítása nem banki termékkel kombinált, akkor megállapítható, hogy a biztosító
intézményszintű kockázata a banki termékkel kombinált biztosítással rendelkező
ügyfelek megléte miatt nem változik szignifikánsan az elméleti modellben. Ezen
megfontolás alapján a biztosítással kombinált banki termékekben rejlő addicionális
kockázat mérésére a bank intézményszintű kockázata esetében törekszik a modell.
Ilyen feltevések esetén a bank és a biztosító közül a bank az az intézmény, amelynek
intézményszintű kockázatára a banki termék biztosítással történő kombinálása hatással
lehet. A modell ezen hatás mértékének bemutatatására törekszik.
3.1.1. A bank modellje
A tanulmányban bemutatott modellben a bankot alapvetően kereskedelmi banknak
tekintjük, azaz a feltevések szerint a bank betéteket gyűjt (a betétek után adott
nagyságú forrásköltséget fizet a bank), amelyeket aztán a biztosítási tartammal
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
20
megegyező futamidejű hitelek nyújtására fordít. A gyakorlatban természetesen a hitelek
futamideje általában nagyobb a betétekénél, a modellben a hitelek és betétek azonos
futamideje az áttekinthetőbb számítások elősegítése érdekében van feltételezve. A
felvett hitel összege a feltevések szerint a modellben minden hiteladós esetében azonos
és a felvett hitel összege megegyezik a kockázati, illetve az elérési életbiztosítás
(vegyes biztosításnál) biztosítási összegével. Egy ügyfél a feltevések szerint p
valószínűséggel nem fizeti vissza a hitelt, a hitel vissza nem fizetésének a feltevések
szerint lehet oka az, hogy a hiteladós elhunyt vagy pedig az hogy a hiteladósnak
gazdasági nehézségei vannak.6
A feltevések szerint a bank a saját tőkéjét és az idegen forrásokat teljes egészében
hitelek kihelyezésére fordítja7, a hitelállomány pedig homogén olyan értelemben, hogy
a hiteladósok jellemzői (például életkoruk) megegyeznek és a kihelyezett hitel értéke
valamint a hitelkamatláb is azonos minden hiteladós esetében. Amennyiben ST-vel
jelöljük a bank saját tőkéjét, B-vel a banknál elhelyezett betétek értékét és n pedig a
hitelt felvevő ügyfelek számát jelöli, akkor ezek alapján teljesül, hogy az ügyfél által
felvett hitel összege (T)8:
n
BSTT
+=
A feltevések szerint az egy éves futamidejű hiteleknél az egy éves időtáv végén kerül
sor a hitel (a tőketartozás és a kamat) törlesztésére, illetve nem fizető hitel esetében a
bank semmilyen törlesztést nem kap. A feltevések szerint az egyes hitelek esetében p
valószínűség rendelhető a fizetésképtelenség eseményéhez, így az i-dik hitel esetében
definiálható ξ1i (karakterisztikus) valószínűségi változó (i= 1, …, n) a
következőképpen:
6 A feltevések szerint a hitel vissza nem fizetése esetén semmilyen összeg nem folyik be a hiteladóstól (a tartozás egy része sem). 7 A gyakorlatban a bankok természetesen a hiteleken túl további eszközökkel is rendelkeznek. A modellben ezekkel a további eszközökkel elsősorban az eredmények áttekinthetősége érdekében nem foglalkozunk részletesen. A modell alapján levezethető főbb eredményeket egyébként nem befolyásolná számottevően a további eszközök figyelembevételével végzett elemzés, amennyiben a további eszközök és a hitelállomány értékalakulásának függetlenségét feltételezzük. 8 Az elméleti modellben alkalmazott egyik egyszerűsítő feltevés alapján a modell nem foglalkozik például a bank által képzett különböző tartalékokkal sem.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
21
1 fizetésképtelenség esetében
ξ1i =
0 ha nincs fizetésképtelenség.
A nemfizető hitelek számát jelentő ξ1 valószínűségi változó a ξ1i (karakterisztikus)
valószínűségi változók összegeként írható fel, tehát binomiális eloszlású:
ξ1 =ξ11 + …+ ξ1n
A binomiális eloszlást jellemző két fontos érték a várható érték és a variancia, a ξ1
valószínűségi változó eloszlása esetében ezek a paraméterek a következőképpen
számíthatók ki:
E(ξ1) = n·p (várható érték)
Var(ξ1) = n·p·(1–p) (variancia, szórásnégyzet)
Megfelelően nagy n esetén (ez már n=1000 esetében is teljesülhet) a binomiális
eloszlás a normális eloszlással közelíthető. Mivel a gyakorlatban egy bank hiteleinek
száma e határt gyakran jóval meghaladhatja, így a nem fizető hitelek számát mutató ξ1
valószínűségi változót a továbbiakban normális eloszlással közelíthetőnek tekintjük.
A bank eredménye a hitel futamidejének végén (1 év elteltével) a modellfeltevések
alapján úgy számítható ki, hogy az összes (nem fizetésképtelen) hiteladós által
(hitelkamattal együtt) visszafizetett összeget a betéteseknek visszafizetendő pénz
forrásköltséggel növelt összegével csökkentjük. A modellben a hitelkamatot k, a
betétek után fizetendő kamat értékét pedig f jelöli, így az alkalmazott feltevések
alapján az egy év múlvai banki profit értéke a következőképpen határozható meg:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fBnkn
BSTfBnkT +⋅−−⋅+⋅
+=+⋅−−⋅+⋅ 1111 11 ξξ
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
22
A bank intézményszintű kockázatosságának mérésekor ezen képlet alapján először a
bank veszteségének jelenértéke kiszámítására kerül sor, majd a veszteség-jelenérték
alapján történik a kockázati mutatószám (a TailVaR) értékének számítása. A bank
eredményességét alapvetően befolyásoló tényező a hitelkamat és a forrásköltség
különbsége, a hitelkamat meghatározására jellemzően úgy kerül sor, hogy a hitelek
kamatai várhatóan elegendőnek bizonyuljanak a források után fizetendő költségek (és
egyéb költségek) kifizetésére is. Az ehhez minimálisan szükséges hitelkamat
meghatározásával az elméleti modell nem foglalkozik, azonban a kockázatra gyakorolt
jelentős hatása következtében a hitelkamat és a forrásköltség különbségének az
intézményszintű kockázati mutatószámra gyakorolt hatását elemzi a tanulmány.
3.1.2. A biztosítások jellemzői
A biztosító a tanulmányban bemutatott elméleti modellben 1 éves tartamú
hagyományos vegyes életbiztosításokat és unit-linked életbiztosításokat árul (az
értékesített biztosítások meghatározott paraméterekkel rendelkeznek), amelyeknél a
kockázati illetve az elérési rész biztosítási összege az 1 éves futamidejű banki hitel
tőketörlesztésének felel meg. A biztosítási összeg kifizetésére a feltevések szerint az 1
éves tartam végén kerül sor. A feltevések szerint a biztosításokat x éves korú férfiak9
vásárolják, a biztosítási díjat az ekvivalencia-elv10 alapján adott néphalandósági tábla11
és technikai kamatláb12 alkalmazásával számolják ki. A modellszámítások során a fő
cél az, hogy a banki és biztosítási termékek kombinálása során esetlegesen létrejövő
kockázatra vonatkozó (ezáltal pedig a tőkeszükségletet is érintő) hatásokat
számszerűsíteni lehessen. Ennek érdekében a gyakorlatban ténylegesen jellemző
9 A számítások könnyen elvégezhetők női biztosítottak esetében is, biztosítási szempontból a különbségek elsősorban – azonos életkor feltevése esetén – a halandósági valószínűségek különbözőségében jelentkeznek. Természetesen a számítások elvégezhetők olyan halandósági valószínűségekkel is, amelyek kiszámolására a férfi illetve női biztosítottak esetében jellemző halandósági valószínűségek együttes figyelembevételével került sor. A biztosítással kombinált banki termékek kockázatainak elemzése során azonban a biztosítottak neme nem befolyásolja jelentősen az elemzés következtetéseit. A szimulációs számítások során x értéke egyébként a feltevések szerint 35 év. 10 Az ekvivalencia-elv alapján az életbiztosítások esetében a biztosító szempontjából a várható kiadások jelenértéke megegyezik a várható bevételek jelenértékével. 11 A halandósági tábla olyan adatokat tartalmaz, amelyből sor kerülhet például halandósági valószínűségek kiszámítására. A halandósági tábla azt mutatja meg, hogy (adott halandósági valószínűségek esetében) 100.000 újszülött feltételezése esetén mennyi lesz az 1,2,3, … stb. évet elérők száma (a halandósági táblák gyakran maximum 100 éves életkort vesznek figyelembe). A halandósági tábla alapján bizonyos feltevések alkalmazásával kiszámolható valamely életbiztosítás nettó (költségek nélkül számított) díja. 12 Az életbiztosítási díj kalkulációja során a diszkontálásnál alkalmazott ráta.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
23
számos tényező közül a leginkább lényegesnek tartottak szerepelnek a modellben.
Emiatt például a modellben a feltevések szerint a biztosításokat nettó díjon vásárolják
meg, illetve a költségekről azt feltételezzük, hogy azokat az ügyfelek a futamidő
kezdetekor teljes mértékben megfizetik.13
A következőkben a tanulmányban az egyes biztosítások banki termékkel történő
kombinálásakor létrejövő kockázati hatásokat elemezzük. A „klasszikus” biztosítások
közül figyelmet érdemel a kockázati és az elérési életbiztosítás megkülönböztetése. A
vegyes életbiztosítás a kockázati és az elérési életbiztosítás kombinálásával jön létre,
amelynek során a következő biztosítási szolgáltatások fordulhatnak elő a legegyszerűbb
esetet feltételezve:
– a kockázati életbiztosítás esetében a biztosított személy elhalálozása
esetében a szerződésben meghatározott kedvezményezett részére történik
meg a biztosítási összeg kifizetése, a tanulmányban bemutatott elméleti
modellben a banki hitellel „integrált” biztosításnál a biztosítással kombinált
banki termékek esetében a kedvezményezett a hitelnyújtó bank, a biztosítási
összeg pedig a hitel esedékes tőketörlesztése
– az elérési életbiztosításnál a biztosítási összeg kifizetése akkor esedékes, ha a
biztosított személy a biztosítási tartam végén életben van, a tanulmányban
szereplő elméleti modellben a klasszikus vegyes biztosításnál az elérési
biztosítás biztosítási összege a bank által nyújtott hitel esedékes
tőketörlesztésével egyezik meg.
Ezek alapján a „klasszikus” vegyes biztosítás nettó díja a modellben:
il
lB
il
lB
x
xelérési
x
xkockázati
+⋅⋅+
+⋅
−⋅ ++
1
1
1
11 11
ahol:
Bkockázati: a kockázati életbiztosítás biztosítási összege
Belérési: az elérési életbiztosítás biztosítási összege
13Ilyen módon gyakorlatilag ugyanahhoz a (biztosító által) befektetendő pénzösszeghez jutunk mint ami a tanulmányban bemutatott modellben szerepel.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
24
lx: a néphalandósági táblában az életben lévő x éves személyek száma
i: a technikai kamatláb
A kockázati és az elérési életbiztosítás biztosítási díja jelentősen eltérhet egymástól
(azonos biztosított és biztosítási tartam esetében is). A kockázati életbiztosításnak
azonos feltételek (vagyis azonos életkorú biztosított, és azonos biztosítás tartam)
esetében általában alacsonyabb a díja, mint az elérési életbiztosításnak. Az egyes
életbiztosításoknál a díjak meghatározásánál ugyanakkor fontos tényező a biztosított
személy életkora is. A kockázati életbiztosításoknál például 2 éves biztosítási tartamot
feltételezve az egyes belépési korok esetében az egyszeri (költségeket nem tartalmazó)
nettó díj egységnyi biztosítási szolgáltatás esetében a következőképpen alakul (férfi
biztosítottakat feltételezve14, 2.sz. ábra):
2.sz.ábra: Kockázati életbiztosítás egyszeri nettó díjai
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 Forrás: saját számítások
A kockázati életbiztosítások egyszeri nettó díja tehát minden egyéb tényezőt
változatlannak feltételezve a nagyobb belépési életkor esetén magasabb; ez a tendencia
a magasabb életkorban jellemző nagyobb halandósági valószínűségekkel függ össze.
Megfigyelhető ugyanakkor, hogy a 2 éves tartam feltételezése esetében egységnyi
biztosítási összegre vonatkozóan viszonylag alacsonynak tekinthető az életbiztosítás
nettó díja: még 45 éves biztosított feltételezése esetén is mindössze alig több mint 2
százaléka az egyszeri nettó díj a biztosítási összegnek. A tanulmányban szereplő
modellben feltételezzük, hogy a biztosítással kombinált banki termékek esetében az
életbiztosítás egyszeri díját az ügyfelek fizetik15, amennyiben ilyen jellegű
14 1998-as halandósági adatokat alkalmazva a számításoknál (adatok forrása: Banyár[2003]). A számítások során a technikai kamat értéke 1%. 15 A banki hitellel „integrált” és a „kiegészítő” jellegű életbiztosítás esetén is.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
25
életbiztosítással kombinálják a banki terméket (hitelt), ez a számpélda azt mutatja, hogy
ez a feltevés nem jelenti az elemzésben szereplő ügyfelek feltűnően magas anyagi
megterhelését. Magasabb futamidő esetében (ami a gyakorlatban a biztosítással
kombinált banki termékeket általában jellemzi) természetesen nagyobb lehet a
kockázati életbiztosítások díja is, ebben az esetben azonban feltételezhető, hogy azt a
hosszabb futamidő alatt rendszeres díjfizetéssel teljesítik, így egyébként ezen díjak
fizetése is megvalósítható lehet a biztosítással kombinált banki termékeket igénybevevő
ügyfelek számára. Amennyiben például a kockázati életbiztosításnál 20 éves biztosítási
tartamot feltételezünk, a különböző belépési korú ügyfeleknél éves díjfizetés esetében
az éves nettó díjak egységnyi biztosítási összegnél a következőképpen alakulnak (3.sz.
ábra):
3.sz. ábra: Kockázati életbiztosítás éves nettó díjai
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 Forrás: saját számítások
Látható tehát, hogy 20 éves biztosítási és díjfizetési tartam esetében az évente fizetendő
nettó biztosítási díj a kockázati életbiztosításnál (az előző példához hasonló további
paraméterek esetében) szintén viszonylag alacsony érték a biztosítási összeghez képest.
A modellfeltevések szerint tehát a kockázati életbiztosítás díját az ügyfelek fizetik (és
nem a bank fizeti meg a biztosítási díjat).
A kockázati életbiztosítás mellett a „klasszikus” vegyes életbiztosítás másik
alkotóeleme az elérési életbiztosítás. Ennél a biztosításnál azonos (a biztosított
életkorára és nemére, a technikai kamatra, stb. vonatkozó) paramétereket feltételezve a
díjak gyakran magasabbak, mint a kockázati életbiztosításnál. Az előzőekhez hasonlóan
néhány belépési életkort tekintve például 20 éves biztosítási és díjfizetési tartam
esetében egységnyi biztosítási összegre vonatkozóan az éves nettó díjak az elérési
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
26
életbiztosításnál a következőképpen alakulnak (az azonos paraméterekkel számolható
kockázati életbiztosítás éves nettó díjaival összehasonlítva, 4.sz. ábra):
4. sz. ábra: Elérési és kockázati biztosítás éves nettó díjai
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,050
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 Forrás: saját számítások
A kockázati életbiztosítással szemben az elérési életbiztosítás (éves) díjai minden
egyéb tényező változatlanságát feltételezve a biztosított magasabb életkora esetében
alacsonyabbak, ami a magasabb életkorban jellemző magasabb halandósági
valószínűségekkel van összefüggésben. Az elérési életbiztosítások egyszeri díjai
különböző életkorok esetében általában jelentősen meghaladják a kockázati
életbiztosítás esetében számolható egyszeri díjakat (továbbra is nettó díjakat elemezve).
A következő ábra egységnyi biztosítási összegre vonatkozóan adott életkorokban a
kockázati és az elérési életbiztosítás egyszeri nettó díjait hasonlítja össze (az elérési
biztosítás díjait vonaldiagram szemlélteti, az elérési biztosítási díjak értékei a jobb
oldali tengelyen találhatók, 5. sz. ábra):
5. sz. ábra: Kockázati és elérési biztosítás egyszeri nettó díjai
0
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
0,978
0,980
0,982
0,984
0,986
0,988
0,990
Forrás: saját számítások
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
27
A tanulmányban szereplő modellben egy éves tartam esetében elemezzük a
biztosítással kombinált banki termékek egyes kockázatait. A gyakorlatban előfordulhat,
hogy a vegyes biztosítás megtakarítási jellegű elérési életbiztosítási részével
összefüggésben befizetett rendszeres díjak alapján kapott biztosítási összeg alapján
történik meg a bankhitel tőketörlesztése. Ahogyan azt az előző példák is mutatják,
hosszabb futamidejű hitelnél (illetve ezzel összefüggésben hosszabb tartamú
biztosításnál) a rendszeres (például éves) díjak fizetése az egyszeri díjakkal
összehasonlítva általában alacsonyabb anyagi megterhelést jelent az ügyfelek számára.
A tanulmányban bemutatott elméleti modellben az áttekinthetőbb eredmények elérése
érdekében egy éves futamidejű hitellel (és ezzel összefüggésben egy éves tartamú
biztosítással) foglalkozunk, tehát a biztosítási időszak elején fizetendő biztosítási díj a
modellben szereplő vegyes biztosítás esetében jelentősnek tekinthető kiadást jelent az
ügyfél részére. Az elméleti modell keretein belül ez a gyakorlatban tapasztalható
helyzetek egyfajta egyszerűsítésének tekinthető (az elméleti modell így szemlélteti a
banki termék – hitel – illetve a biztosítás jellemző pénzáramlás-szerkezetében gyakran
megfigyelhető különbségeket): a biztosítás nélküli helyzet és a banki termék (hitel)
különböző biztosítási termékekkel történő kombinálásából adódó kockázati hatások
irányának, illetve mértékének összehasonlítására ilyen modell-keretben is lehetőség
van, és ezen kívül ilyen feltevésekkel mérsékelhető egyes, az eredmények lényeges
vonásait nem befolyásoló tényezők áttekinthetőséget csökkentő hatása. A „klasszikus”
vegyes életbiztosítás esetében a modellben további feltevés, hogy az elméleti
modellben nem szükséges többlethozam-visszatérítéssel foglalkozni, mivel az
(alacsony kockázatúnak feltételezett) befektetési portfólió (ügyfelek számára jóváírt)
hozama megegyezik a technikai kamattal. Ez a feltevés elősegíti, hogy a befektetési
portfóliók ügyfelek általi megválasztásának lehetőségét lehetővé tevő unit-linked
életbiztosítások, illetve a „klasszikus” életbiztosítás (banki termékekkel történő
kombinálás során létrehozott) kockázatra gyakorolt hatásai jól elkülönítve
tanulmányozhatók legyenek.
A unit-linked (befektetési egységhez kötött) életbiztosítások esetében Banyár[2003]
alapján a gyakorlatban fontos jellemző, hogy az ügyfél megválaszthatja, milyen legyen
a biztosítás tartalékának befektetési portfóliója (a biztosító által kínált lehetőségeken
belül), illetve hogy a biztosítás költségszerkezete tipikusan átláthatóbb az ügyfelek
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
28
számára, mint a vegyes biztosítások esetében. Banyár[2003] alapján a unit-linked
(befektetési egységhez kötött) életbiztosítások fontosabb jellemzői napjainkban:
– a díj egy részét a biztosító már a díj befizetésekor levonja bizonyos típusú
költségeire
– a biztosítónál a befizetett díj befektetésére általában különböző választható
eszközalapok állnak rendelkezésre (és a befektetéseket általában naponta
értékelik)
– a biztosító szolgáltatása halálesetnél egy előre meghatározott haláleseti
összeg vagy a befektetési egységalapok értéke (ha ez magasabb a haláleseti
összegnél)
– a biztosító a biztosítási tartam végén, lejáratkor a befektetési egységalapok
értékét fizeti ki.
A unit-linked (befektetési egységhez kötött) életbiztosítás nevében a „unit” (illetve az
„egység”) szó arra utal, hogy az eszközalapokban az ügyfél pénzét úgynevezett
egységekben tartják nyilván (és az egységeket a biztosító eladási és vételi árfolyamon16
értékeli). Az egységek két fajtája a kezdeti és a felhalmozási egység. A kezdeti
egységek főként a biztosító kezdeti (például szerzési) költségeinek fedezetéül
szolgálnak, illetve a biztosító a haláleseti kockázat díját is az adminisztrációs
költségekhez hasonlóan, egységek elvonásával szokta beszedni. Érdekes azt is
megemlíteni, hogy a haláleseti kockázat díja attól is függhet (változó lehet), hogy
mekkora az eszközalapokban lévő egységek összes értéke, ha ugyanis ez a haláleseti
összegnél magasabb, akkor a biztosító az adott időszakban nem szed külön kockázati
díjat, ellenkező esetben pedig a haláleseti biztosítási összeg és az eszközalapokban lévő
pénz különbsége, valamint az ügyfél neme és kora alapján kerül sor a kockázati díj
kiszámítására.
A unit-linked életbiztosítások gyakorlati jellemzői alapján az elméleti modellben a
fontosabb tulajdonságok kiemelésével kerül sor a modellben szereplő, egy éves
16 Az ügyfél díjfizetése úgy is tekinthető, hogy a biztosító eladási árfolyamon egységeket ad el az ügyfélnek, a biztosító szolgálatásának fizetése pedig tekinthető úgy, hogy a biztosító vételi árfolyamon egységeket vásárol az ügyféltől. Az eladási árfolyam természetesen meghaladja a vételi árfolyamot.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
29
biztosítási tartamú unit-linked életbiztosítás modellezésére. Az elméleti modell a
következő feltevéseket tartalmazza a unit-linked életbiztosításokkal kapcsolatban:
– a biztosítási díj magában foglalja a haláleseti kockázat díját és az ügyfél által
befektetésre szánt összeget
– a biztosító költségeiről (a vegyes életbiztosításnál feltétezettekhez
hasonlóan) azt feltételezzük, hogy azt az ügyfél a futamidő kezdetekor teljes
mértékben megfizeti, így az elemzésben a befektetés eredményre gyakorolt
hatására lehet koncentrálni
– a biztosító szolgáltatása az ügyfél elhalálozása esetében az előre
megállapított haláleseti összeg (amely a banki hitel tőketörlesztésének
megfelelő érték), illetve a befektetési eszközalap értéke közül a magasabbik
összeg, ebből a feltevések szerint az ügyfél elhalálozása esetén a banki hitel
tőketörlesztésének megfelelő összeg a bankot illeti meg (ez a feltevés azért
kerül be az elméleti modellbe, hogy a különböző befektetési portfóliók
kockázatosságra gyakorolt hatását áttekinthetőbben lehessen bemutatni: a
halandósági kockázat fiatal ügyfelek esetében viszonylag alacsony, így az
elméleti modell legfontosabb eredményeit az elhalálozás esetén fizetendő
összeg részletesebb, kifinomultabb definiálása csekélyebb mértékben
befolyásolná)
– a biztosító szolgáltatása az eszközalapok aktuális értéke abban az esetben,
amikor az ügyfél megéli a biztosítási tartam végét (ebből a modellfeltevések
szerint a bank maximum a felé fennálló tartozás értékét kapja meg17).
Az elméleti modellben tehát a főbb kockázati tendenciák minél világosabb bemutatása
érdekében nem kerül sor például az egységek esetében a vételi és az eladási árfolyam
közötti különbözet figyelembevételére sem. Ezzel együtt az elméleti modell alapján
lehetőség van a biztosítás nélküli helyzet, illetve az ügyfélállomány meghatározott
részében alkalmazott, a kockázati és elérési részt tartalmazó „klasszikus” vegyes
biztosítás, valamint a unit-linked életbiztosítás banki (hitel) termékkel történő
kombinálásakor tapasztalható helyzet kockázati sajátosságainak összehasonlítására.
17 A banki hitellel „integrált” unit-linked biztosításnál a modellfeltevések szerint a tőketörlesztés értékét, a „kiegészítő” jellegű unit-linked biztosításnál pedig a tőketörlesztés kamattal növelt értékét.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
30
3.2. A kockázat mérése biztosítás nélküli helyzetben
A következőkben a bank intézményszintű kockázatát elemezzük abban az esetben,
amikor a banki hitelekhez nem kapcsolódik semmilyen biztosítás. A továbbiakban az
ezen esettel kapcsolatos eredményeket a banki termék (hitel) különböző biztosításokkal
történő kombinálásakor létrejövő helyzetekben tapasztalható eredményekkel való
összehasonlításra alkalmazzuk.
Az előzőekben bemutatott feltevések alapján a bank intézményszintű kockázatának
mérésére a bank veszteség-jelenértékéhez kapcsolódóan számítható TailVaR
mutatószámot alkalmazzuk. Ezen mutatószám kiszámításához kapcsolódóan – az
előzőekben bemutatott modellfeltevések alapján – a következő jelölések alkalmazására
kerül sor:
ξ1: nemfizető hitelek száma
p: nemfizetési valószínűség egy hitel esetében
n: hitelek száma
T: egy kihelyezett hitel (tőketartozás egy hiteladós esetében)
k: éves hitelkamatláb
f: a bank idegen forrásai esetében a forrásköltség
r: a saját tőke elvárt hozama
ST: saját tőke értéke
B: a bank idegen forrásainak (pl. betétek) értéke.
A feltevések szerint a bank hitelei egy éves futamidejűek, az egy év elteltével kerül sor
a hitel kamatának és tőketörlesztésének megfizetésére. A feltevések szerint a bank
hitelfelvevő ügyfeleinek egy része nem törleszti a hiteleit (a feltevések szerint ekkor a
teljes tartozás megfizetése elmarad és rész-törlesztés sem történik), a banknak
ugyanakkor a teljes betétállományra vonatkozóan van kamatfizetési kötelezettsége (a
feltevések szerint a bankban elhelyezett betétek futamideje is egy év, tehát megegyezik
a hitelek futamidejével). Ezen feltevések alapján a bank egy év múlvai veszteségének
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
31
értéke az egy év múlvai profitból számolható ki és az egy év múlvai veszteség értéke a
vissza nem fizetett hitelek értékének figyelembevételével:
( ) ( ) ( ) ( )fBkBSTkn
BST+⋅++⋅+−+⋅
+⋅ 1111ξ
Ezen érték alapján valamely megfelelő elvárt hozam alapján kiszámítható a veszteség
jelenértéke is, amelynek értéke (az egy év múlvai veszteség jelenértéke esetében a
továbbiakban az η1 jelölést alkalmazva):
( ) ( ) ( )r
fB
r
kBST
r
k
n
BST
+
+⋅+
+
+⋅+−
+
+⋅
+⋅=
1
1
1
1
1
111 ξη
Mivel (az előzőekben a modellfeltevéseknél bemutatott levezetések alapján) a
nemfizető hitelek számát jelentő ξ1 valószínűségi változó binomiális eloszlású és
normális eloszlással közelíthetőnek tekintjük, így a (nem fizető hitelek számát mutató)
ξ1 valószínűségi változó esetében jellemző várható érték és variancia
figyelembevételével az η1 valószínűségi változó esetében a várható érték és a variancia
a következőképpen írható fel:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r
kBST
r
fBp
r
kBSTE
+
+⋅+−
+
+⋅+⋅
+
+⋅+=
1
1
1
1
1
11η (várható érték)
( ) ( ) ( ) ( )n
pp
r
kBSTVar
−⋅⋅
+
+⋅+=
1
1
12
1η (variancia)
A veszteség jelenértékét reprezentáló η1 valószínűségi változó esetében a TailVaR
mutatószám a következőképpen határozható meg:
( ) ( )( ) ( )11 1η
α
αη Var
VaRfETailVaR ⋅
−+=
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
32
ahol az f(x) függvény a normális eloszlás sűrűségfüggvényét jelenti. Normális eloszlású
valószínűségi változó esetében ezen kívül megállapítható, hogy a VaR (Value-at-Risk)
értéke a megbízhatósági szintet jelző α paraméter, illetve a várható érték és a variancia
figyelembevételével a következőképpen írható fel:
( ) ( ) ( ) ( )αηηα 111
−Φ⋅+= VarEVaR
ahol Φ(x) a standand normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényét
jelöli.
A TailVaR mutatószám – normális eloszlásúnak tekinthető η1 valószínűségi változó
esetében – tehát a következőképpen írható fel:
( )( )
( ) ( )( )( )
( )1
2
11 1
2
11
21
ηα
ηπη
η
ηα
Var
eVar
ETailVaR
Var
EVaR
⋅−
⋅⋅⋅
+=
⋅
−−
Ebben a képletben alkalmazva a ( ) ( ) ( ) ( )αηηα 111
−Φ⋅+= VarEVaR képletet, a
TailVaR érték a bank egy év múlvai veszteségének várható értéke, illetve az ehhez
kapcsolódóan kiszámolható variancia alapján a következőképpen írható fel:
( )( )( )
( )12
1
21
2
1
1
1η
παη
α
VareETailVaR ⋅⋅⋅
⋅−
+=
−Φ−
Mivel az előzőekben bemutatottak alapján kiszámolható az η1 valószínűségi változó
várható értéke és varianciája, így ezeket alkalmazva a bank veszteség-jelenértéke
esetében a TailVaR értéke az előzőekben bemutatott jelölések alkalmazásával a
következőképpen írható fel:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2
221
2
1
1
11
1
1
1
11
1
1 α
πα
−Φ−
⋅⋅
⋅−
⋅−⋅
⋅
+
+⋅++
+
+⋅+−⋅
+
+⋅+e
n
pp
r
kBST
r
fBp
r
kBST
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
33
Ez a bank kockázati mutatószáma abban az esetben, amikor a hitelekhez nem
kapcsolódik életbiztosítás. A TailVaR értékét a számolások során alkalmazott
paraméterek is befolyásolják.
A TailVaR értéke módosul például, ha a bank által alkalmazott kockázati prémium
változik (ezt a modellben a hitelek kamata és a betétek után fizetendő kamat
különbségeként definiálhatjuk, illetve legalábbis az megállapítható, hogy a kockázati
prémium értéke kapcsolatban van e kétféle kamat különbségével); ha a hitelkamat
meghaladja a betéti kamatot, a kiinduló helyzethez képest csökken a TailVaR értéke
(ennek szemléltetése található a 6. sz. ábrán). A 6. sz. ábra a különböző kockázati
prémium változások (ebben az esetben ez tehát a hitelkamat és a forrásköltség
különbségére utal) esetében a TailVaR értékének módosulását mutatja a hitelkamat és a
forrásköltség azonosságához képest egy számolásos példa alapján):
6. sz. ábra: TailVaR változás a kockázati prémium változásakor
-500
-450
-400
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
0,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5% 3,0% 3,5% 4,0% 4,5% 5,0%
Forrás: saját számítások
Ez az eredmény azt jelenti, hogy minden egyéb feltétel változatlansága esetén
magasabb hitelkamat alacsonyabb TailVaR értéket (vagyis kisebb tőkeszükségletet)
jelent a modellfeltevések alapján számítva. Ehhez kapcsolódóan egyébként érdemes
megemlíteni, hogy a modellfeltevések szerint a banki ügyfelek fizetésképtelenségi
valószínűsége és a hitelkamat mértéke között a modellfeltevések alapján nincsen
összefüggés. Lehetne olyan modellt is létrehozni, amelyben például a magasabb
hitelkamat nagyobb fizetésképtelenségi valószínűséget is jelentene, egy ilyen
modellben lehetne például elméleti keretben is számszerűsíteni az optimális hitelkamat
mértékét. Mivel azonban az elemzés a banki termékek biztosítással történő
kombinálásából adódó kockázati hatásokra koncentrál, a hitelkamatot egyszerűen
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
34
paraméternek tekinti a modell (és nem foglalkozik az optimális hitelkamat
meghatározásával).
A 7. sz. ábra azt szemlélteti, hogy a hitel vissza nem fizetésének valószínűségében
bekövetkezett változás hogyan befolyásolja a TailVaR értékét (egy kiindulópontnak
tekintett 5%-os értékhez képest mekkora a változás), ha a fizetésképtelenség
valószínűsége változik. Az előzőekben leírtakra utalva itt is érdemes megemlíteni, hogy
a fizetésképtelenség valószínűsége és a hitelkamat között az elméleti modell nem
definiál függvényszerű kapcsolatot. A 7. sz. ábra alapján megállapítható, hogy minden
egyéb tényező változatlanságát feltételezve magasabb fizetésképtelenségi valószínűség
nagyobb TailVaR értéket jelent. Ez az eredmény úgy is értelmezhető, hogy ha a banki
hitelfelvevők állományában magasabb a fizetési nehézségek bekövetkezésének
valószínűsége, akkor minden egyéb tényezőt változatlannak feltételezve nagyobb a
bank tőkeszükséglete. A 7. sz. ábra ennek szemléltetésére azt mutatja, hogy egy
kiinduló 5 %-os fizetésképtelenségi valószínűséghez képest változtatva a
fizetésképtelenség valószínűségét, mennyivel változik a kiinduló helyzethez képest a
TailVaR értéke.
7. sz. ábra: TailVaR módosulása a fizetésképtelenség valószínűségének módosulásakor
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15%
Forrás: saját számítások
3.3. Kockázat és vegyes életbiztosítás
A bank intézményszintű kockázatát a banki termékek biztosítással kombinálása is
érintheti. A továbbiakban ebben a fejezetben tegyük fel, hogy az összesen n
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
35
hitelszerződésből a·n hitelszerződéshez18 kapcsolódik életbiztosítás is, amely
„klasszikus” vegyes életbiztosítás, azaz a biztosított elhalálozása esetén a
kedvezményezett részére a hitel tőketörlesztésének megfelelő összeg kifizetése történik
meg, míg a biztosított személy tartam végi életben léte esetében a biztosított személy
részére történik meg a biztosítási összeg kifizetése. Tételezzük fel, hogy az
életbiztosítások díját a hitelszerződéssel rendelkező ügyfelek fizetik, ezzel kapcsolatos
kiadások nem merülnek fel a bank esetében. Feltételezhető továbbá az is, hogy az
életbiztosítások egyszeri díját minden ügyfél megfizeti.
Jelölje ξ2 a nemfizető hitelek számát a hitelállománynak abban a részében, amelyhez
életbiztosítás is kapcsolódik és jelölje ξ3 a nemfizető hitelek számát az életbiztosítás
nélküli hitelállományban. Az egyes hitelek esetében a nemfizetés valószínűsége a
továbbiakban is legyen p. Ilyen feltevések esetében a bank 1 év múlvai nyeresége (a
korábbi jelölések alkalmazásával) a következőképpen írható fel:
( ) ( ) ( )( ) ( )fBnakTnaTnakT +⋅−−⋅−⋅+⋅+⋅⋅+−⋅⋅⋅ 111 32 ξξ
ahol n
BSTT
+= .
A hitelek egy éves futamidejének elteltével a veszteség értéke a banknál tehát:
( ) ( ) ( )knTfBkTkT +⋅⋅−+⋅+⋅+⋅+⋅⋅ 111 32 ξξ
A továbbiakban (az előző eredményekkel való összehasonlítás egyszerűbbé tétele
érdekében) jelölje η2 az egy év múlvai veszteség jelenértékét (az elvárt hozamot r
jelöli):
( ) ( ) ( )r
knT
r
fB
r
kT
r
kT
+
+⋅⋅−
+
+⋅+⋅
+
+⋅+⋅
+
⋅=
1
1
1
1
1
1
1 322 ξξη
18 Tegyük fel, hogy a·n egész szám.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
36
Tegyük fel, hogy ξ2 és ξ3 együttes eloszlása kétváltozós normális eloszlás és a két
valószínűségi változó közötti kovariancia nulla, ekkor ( )
32 1
1
1ξξ ⋅
+
+⋅+⋅
+
⋅
r
kT
r
kT eloszlása
egydimenziós normális eloszlás. Ezen eloszlás esetében a várható érték a
következőképpen számolható ki:
( ) ( ) ( )( )akakpr
BST
r
kT
r
kTE −⋅++⋅⋅⋅
+
+=
⋅
+
+⋅+⋅
+
⋅11
11
1
1 32 ξξ .
A variancia értékét ( )
32 1
1
1ξξ ⋅
+
+⋅+⋅
+
⋅
r
kT
r
kT esetében az előző feltevések teljesülésekor a
következőképpen lehet meghatározni:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )akakpprn
BST
r
kT
r
kTVar −⋅++⋅⋅−⋅⋅
+⋅
+=
⋅
+
+⋅+⋅
+
⋅111
11
1
122
2
2
32 ξξ .
Az egy év múlvai veszteség jelenértékéhez kapcsolódóan a következőkben a TailVaR
értékének meghatározására kerül sor. Az adott feltevések teljesülésekor normális
eloszlásúnak tekinthető egy év múlvai veszteség jelenértékére vonatkozóan a várható
értékre, illetve a varianciára az előzőekben bemutatott képletek alkalmazásával
felírhatók a következő képletek:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )r
kBST
r
fBakak
r
pBSTE
+
+⋅+−
+
+⋅+−⋅++⋅⋅
+
⋅+=
1
1
1
111
12η (várható érték)
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )akakpprn
BSTVar −⋅++⋅⋅−⋅⋅
+⋅
+= 111
1
22
2
2
2η (variancia)
A TailVaR képlete tehát az egy év múlvai veszteség-jelenérték esetében az előzőekben
is bemutatottak alapján (ezt a képletet a továbbiakban jelölje TailVaR2):
( ) ( )( )( )2
22
21
2
1
1
1 α
ηπα
η
−Φ−
⋅⋅⋅
⋅−
+ eVarE
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
37
Az előzőekben a várható érték és a variancia esetében bemutatott képletek
alkalmazásával a TailVaR értéke tehát a következőképpen határozható meg akkor,
amikor a bank hitelállományának egy részéhez klasszikus vegyes életbiztosítás
kapcsolódik:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )+
+
+⋅+−
+
+⋅+−⋅++⋅⋅
+
⋅+
r
kBST
r
fBakak
r
pBST
1
1
1
111
1
( ) ( ) ( )( )( )( )222
221
111
12
1
1
1 α
πα
−Φ−
⋅−⋅++⋅⋅−⋅
⋅
+
+⋅
⋅⋅
−eakak
n
pp
r
BST
Az életbiztosításokkal kombinált hiteleknek a banki kockázatra (a TailVaR értékére)
gyakorolt hatását olyan módon is vizsgálhatjuk, hogy összehasonlítjuk a TailVaR
mutatószám értékét a teljes egészében életbiztosítások nélküli állomány illetve a
részben életbiztosítással kombinált hiteleket is tartalmazó banki hitelállomány esetében.
A teljes egészében életbiztosítás nélküli hitelállomány esetében a TailVaR értékét az
előzőekben a következőképpen határoztuk meg (ezt a továbbiakban TailVaR1 jelöli):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2
221
2
1
1
11
1
1
1
11
1
1 α
πα
−Φ−
⋅⋅
⋅−
⋅−⋅
⋅
+
+⋅++
+
+⋅+−⋅
+
+⋅+e
n
pp
r
kBST
r
fBp
r
kBST
Legyen a következőkben D=TailVaR1 – TailVaR2, vagyis számítsuk ki a két esetben
számított TailVaR értékek különbségét:
( ) ( ) ( )( )
22
1
21
2
1
1
11
11Ce
n
pp
r
BSTC
r
pBSTD ⋅⋅
⋅⋅
−⋅
−⋅⋅
+
++⋅
+
⋅+=
−Φ−
α
πα
ahol
( ) ( ) ( )[ ]kakakC +⋅−+⋅−+= 1111
és
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
38
( ) ( ) ( ) akakkC ⋅+−⋅+−+= 2222 111 .
Belátható, hogy mivel [ ]1,0∈a és 0>k , így 01 ≥C és 02 ≥C . Megállapítható tehát,
hogy 21 TailVaRTailVaR ≥ , tehát az életbiztosítással kombinált banki hitelállomány
esetében a bank kockázatát mérő mutatószám értéke alacsonyabb (egyenlőség az a=0
esetben teljesül). Tekintsük a következő képletet:
( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )( )2
22
2221
2
1
1
11
1112
1
1
α
πα
−Φ−
⋅⋅
⋅−
⋅−⋅
⋅
+
+⋅
⋅+−⋅+⋅
+−−
+
⋅+=
∂
∂e
n
pp
r
BST
akak
kk
r
pBST
a
D
Mivel 0>∂
∂
a
D, így belátható az is, hogy a bank kockázata annál nagyobb, minél kisebb
a hitelállományon belül az életbiztosítással kombinált hitelek aránya.
3.4. Kockázat és unit-linked életbiztosítás
A bank intézményszintű kockázatára tehát hatással lehet, ha adott banki terméket
(ebben az elemzésben hitelt) valamilyen adott biztosítással kombinálva értékesítenek.
Az egyes biztosítások esetében különbség mutatkozhat a bank intézményszintű
kockázatát érintő hatás mértékében a biztosítással kombinált banki termékek esetében.
Tegyük fel a következőkben, hogy a bank hiteleinek egy részéhez nem klasszikus
vegyes, hanem unit-linked életbiztosítás kapcsolódik, amelynek díját (illetve a
költségeket) teljes mértékben az ügyfelek fizetik a szerződés kezdetekor. A
következőkben megkülönböztetjük a banki hitellel „integrált” unit-linked biztosítás,
valamint a banki hitelt „kiegészítő” jellegű unit-linked biztosítás esetét (ez utóbbi
esetben a feltevések szerint az ügyfélnek a banki hiteltől függetlenül van unit-linked
biztosítása, amelynek szolgáltatásaiból fizetésképtelenség esetén a bank felé fennálló
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
39
tartozás törleszthető. A unit-linked életbiztosítás esetében a modellfeltevések szerint a
következő szolgáltatások lehetségesek:
– a biztosított személy elhalálozása esetében az életbiztosítás alapján a bank
számára a futamidő végén kifizetésre kerül a hitel tőkeértéke
– a banki hitelt „kiegészítő” unit-linked biztosításnál amennyiben a biztosított
személy megéli a tartam végét és valamilyen ok miatt fizetésképtelen (vagyis
nem tudja törleszteni a hitelt), akkor az életbiztosítás alapján a unit-linked
biztosításban szereplő befektetés aktuális értékének kifizetésére kerül sor. A
unit-linked életbiztosítás esetében a befektetés kezdeti értékét N jelöli (ez a
különböző kezdeti költségek után fennmaradt biztosítási díj értékét mutatja),
és a befektetési hozamot jelölő rbef alkalmazásával a hitel tőketartozásának
esedékességekor a az életbiztosítás esetében a befektetés értéke ( )befrN +⋅ 1
– a banki hitellel „integrált” unit-linked biztosításnál a biztosított személy
tartam végi életben léte esetén a unit-linked biztosítás szolgáltatása alapján
kerül sor a banki hitel törlesztésére (tőketörlesztés és kamatok fizetésére).
Tekintsük először azt az esetet, amikor a unit-linked biztosítással a bankhiteltől
függetlenül rendelkezik az ügyfél, és a banknak az ügyfél fizetésképtelensége esetén
lehetősége van igénybe venni a törlesztésre a unit-linked biztosítás alapján a biztosító
szolgáltatását (nevezzük ezt „kiegészítő” jellegű unit-linked biztosításnak). Jelölje ξ4 a
nemfizető hitelek számát a hitelállománynak abban a részében, amelyhez életbiztosítás
is kapcsolódik és jelölje ξ5 a nemfizető hitelek számát a hitelállománynak abban a
részében, amelynél a hitelhez nem kapcsolódik életbiztosítás. Az egyes hitelek esetében
a nemfizetés valószínűsége p. A hitelállománynak azon részében, amelyben a
hitelekhez életbiztosítás is kapcsolódik, a nemfizető hitelek esetében
megkülönböztetjük azokat az eseteket, amelyekben a nemfizetés a biztosított személy
elhalálozásának következménye (jelölje ξ4,kock az elhunyt biztosítottak számát).
Feltételezzük, hogy a biztosított személy elhalálozása esetében a bank a hitel esetében a
tőketartozás értékét kapja meg az életbiztosítás szolgáltatásaként. Abban az esetben,
amikor a hitelhez (unit-linked) életbiztosítás is kapcsolódik, és a nemfizetésre nem a
biztosított személy elhalálozása miatt kerül sor (tehát a biztosított személy életben van),
a bank ( )befrN +⋅ 1 és a tőketartozás értéke közül a kisebb értéket kapja meg a biztosító
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
40
szolgáltatásaként. Ez azt jelenti, hogy (kedvező befektetési hozamok esetében) a
befektetés és a tőketartozás értékének különbözete a biztosítottat illeti – ekkor a bank
nemfizetés esetén teljes egészében megkapja a tőketartozás összegét. Kedvezőtlen
befektetési hozamok esetén azonban a biztosító a bank részére mindössze a befektetés
értékét fizeti ki (amely alacsonyabb is lehet tehát mint a hitel tőketartozásának
összege).
Ilyen feltevések esetében a bank 1 év múlvai nyeresége a következőképpen írható fel:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ){ } ( )kockbef
kock
TrNnaT
TnakTfBankT
,444
,445
,1min
111
ξξξ
ξξξ
−⋅+⋅+−⋅⋅+
+⋅+−⋅⋅⋅++⋅−−−⋅⋅+⋅
ahol n
BSTT
+= .
Érdemes megvizsgálni azt az esetet, amelyben a befektetési hozam olyan, hogy az
életbiztosítás esetében a befektetés értéke éppen megegyezik a hitel tőketartozásának
értékével, ebben az esetben érvényesül a következő összefüggés:
( ){ }TrNT bef ,1min +⋅= .
Jelölje az ehhez az esethez tartozó befektetési hozam értékét *befr .
Ebben az esetben
( ){ } ( ) ( ) 4,44,4,44,4 ,1min ξξξξξξξ ⋅=−⋅+⋅=−⋅+⋅+⋅ TTTTrNT kockkockkockbefkock
Ez az eset akkor teljesül, ha *befbef rr ≥ , ekkor ugyanis
( ){ } ( )kockbef TrNT ,44,1min ξξ −⋅+⋅= . Amennyiben *befbef rr < , akkor
( ){ } ( )kockbef TrNT ,44,1min ξξ −⋅+⋅> .
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
41
Ha tehát *befbef rr ≥ , a bank egy év múlvai nyereségének képlete hasonló ahhoz a
képlethez, amely ahhoz az esethez tartozott, amikor a bank hitelállományának egy része
esetében a hitelekhez klasszikus vegyes életbiztosítások kapcsolódtak, ebben az esetben
a bank egy év múlvai nyereségének képlete a következő volt:
( ) ( ) ( )( ) ( )fBnakTnaTnakT +⋅−−⋅−⋅+⋅+⋅⋅+−⋅⋅⋅ 111 32 ξξ
Ha a hitelek egy részéhez unit-linked életbiztosítás kapcsolódik és *befbef rr ≥ , akkor a
bank egy év múlvai nyereségének értékét a következő képlet írja le:
( ) ( ) ( )( ) ( )fBnakTnaTnakT +⋅−−⋅−⋅+⋅+⋅⋅+−⋅⋅⋅ 111 54 ξξ .
Ez a képlet előállítható a klasszikus vegyes biztosítás esetében levezethető előző
képletből a 24 ξξ = és a 35 ξξ = behelyettesítéssel. A bank kockázatának
mutatószámául választott TailVaR érték kiszámításánál először az egy év múlvai
nyereség értékét vezettük le, a további számítások ezen alapulnak. Belátható tehát,
hogy a bank abban az esetben, amikor a hitelállomány egy részéhez („kiegészítő”
jellegű) unit-linked életbiztosítás kapcsolódik, legfeljebb olyan alacsony TailVaR
mutatószámmal rendelkezhet ezen modell-keretben, mint abban az esetben, amikor a
hitelállomány egy részéhez klasszikus vegyes életbiztosítás kapcsolódott.
Tekintsük a következőkben azt az esetet, amikor a unit-linked biztosítás és a banki hitel
„integrálására” kerül sor úgy, hogy az ügyfelek a biztosító részére befizetik a unit-
linked biztosítás díját és a bankhitel törlesztésére a biztosító szolgáltatásával kerül sor.
Az előző jelölések alapján ekkor a bank 1 év múlvai nyeresége a következőképpen
írható fel:
( ) ( )( ) ( )( ) ( ){ } ( )kockbef
kock
nakTrN
TfBankT
,4
,45
1,1min
111
ξ
ξξ
−⋅⋅+⋅+⋅+
+⋅++⋅−−−⋅⋅+⋅
Mivel a TailVaR kiszámítására ebből a képletből kiindulva kerülhet sor, így már ezen
képlet alapján is levonhatók egyes következtetések: az egyik fontos következtetés lehet,
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
42
hogy a képlet alapján bizonyos paraméter-beállításoknál a bank intézményszintű
kockázata nagyobb lehet az állomány egy részében unit-linked biztosítással „integrált”
bankhitel jelenlétekor, mint teljes egészében bankhitelhez kapcsolt biztosítással nem
rendelkező ügyfélállomány esetében. Ezt a jelenséget a következőkben, a szimulációs
számítások eredményeinek bemutatásakor szemléltetjük.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
43
4. Szimulációs eredmények
Az előzőekben bemutatott elméleti modell eredményei szimulációs számítások
eredményeivel is illusztrálhatók. A szimulációs eredményeket a bank veszteség-
jelenértéke esetében számolható hisztogramokra összpontosítva mutatjuk be a
következőkben, mivel az intézményszintű kockázat mérése során az ezen ábrán
bemutatható empirikus eloszlások alakja, illetve különböző hisztogramok eltérése
értékes információt jelenthet.
A szimulációk során a banki állományban a feltevések szerint a különböző okokból
fizetésképtelen ügyfelek számát az egyes szimulációk során a következőképpen lehet
meghatározni:
( )ξ1−f
ahol:
f-1(x): az n·p várható értékű és n·p(1-p) varianciájú normális eloszlású valószínűségi
változó eloszlásfüggvényének inverz függvénye19, ahol p azt a valószínűséget jelzi,
hogy egy ügyfél valamilyen okból nem fizeti vissza a hitelt
ξ: a [0,1] intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változó.
Az előzőekben az elméleti modellben a veszteség-jelenérték alapján került sor a
TailVaR mutatószám kiszámolására, amely a bank intézményszintű kockázatosságának
mérőszáma a modellben. A TailVaR (illetve az Expected Shortfall mutatószám)
értelmezése FL sűrűségfüggvény és α megbízhatósági szint esetében (McNeil et
al.[2005], 44. o.):
( )∫⋅−=
1
1
1
α
αα
duLVaRES u .
19 A központi határeloszlás tétellel kapcsolatban az előzőekben a biztosítási állományban összesen elhunytak számánál leírtak alapján.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
44
Az intézményszintű kockázatossággal kapcsolatban lévő TailVaR (amit például az adott
intézmény tőkeszükségletének egy mutatószámaként is lehet értelmezni) értéke tehát
annál nagyobb, minél magasabb egy adott veszteségjelenérték-szint feletti veszteség-
jelenértékek várható értéke. A szimulációs eredmények értelmezése szempontjából ez
azt jelenti, hogy ha két veszteség-jelenérték hisztogramot tekintünk, az a hisztogram
jelez magasabb kockázati szintet (nagyobb TailVaR értéket), amelynél az empirikus
eloszlás a magasabb értékek tartományában található (egyszerűsített fogalmazással),
illetve megfigyelhető, hogy valamely α megbízhatósági szint esetében nagyobb a
releváns veszteség-jelenérték szint feletti értékek várható értéke. A szimulációs
számolások során empirikus TailVaR értékek számolására nem kerül sor, elsősorban
mivel az elméleti modellben a különböző esetekben számítható elméleti TailVaR
értékekkel kapcsolatos összehasonlítások megtalálhatók, és így nem szükséges az
empirikus értékekből a szimulációs eljárásból feltehetően adódó bizonyos becslési hibát
is tartalmazó becslések előállítása. Ezen kívül a szimulációs eredmények többnyire igen
egyértelműek, jól mutatják azokat a különbségeket, amelyek az egyes paraméter-
beállítások alkalmazásával a banki termék különböző biztosításokkal történő
kombinálása során tapasztalhatók.
A következőkben tehát különböző paraméter-beállítások alapján számítható veszteség-
jelenértékekből előállítható hisztogramok elemzésére kerül sor. A hisztogramok
előállításához minden bemutatott esetben a szimuláció során 1000 veszteség-jelenérték
számítására került sor. Esetenként a szimuláció során számított empirikus veszteség-
jelenérték eloszlások alapján az elméleti eloszlás esetében a normális eloszlásra lehet
következtetni (a Jarque-Bera tesztstatisztika alkalmazásával20), statisztikai
számításokkal a normális eloszlásra vonatkozó nullhipotézist minden empirikus
hisztogram esetében teszteljük. A veszteség-jelenérték empirikus eloszlása esetében a
normális eloszlásra vonatkozó következtetések egyebek mellett illusztrálják például azt
is, hogy a gyakorlatban milyen nehézségekbe ütközhet valamely hasonló helyzetben a
TailVaR érték kiszámítása (normális eloszlás esetében ugyanis az előzőekben az
elméleti modellben bemutatott képlet alapján lehetőség van TailVaR értékek
számolására, nem normális eloszlás esetén a TailVaR értékek számolása
problematikusabb lehet).
20 A Jarque-Bera tesztstatisztika kiszámításához alkalmazott képletet és a tesztstatisztika empirikus értékének értékeléséhez kapcsolódó néhány adatot a Melléklet tartalmaz.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
45
A kiinduló helyzetben, amikor a bank ügyfélállományának egy része sem rendelkezik a
hitelhez kapcsolódó életbiztosítással, a veszteség-jelenértékek szimulált értékéből lehet
következtetni a kockázatosságra. Tekintsük ebben az esetben a veszteség-jelenértékek
hisztogramját, illetve az empirikus eloszlásra illeszthető normális eloszlás görbéjét (8.
sz. ábra):
8. sz. ábra: Empirikus eloszlás a biztosítás nélküli helyzetben
0,00
0,01
0,01
0,02
0,02
0,03
0,03
0,04
-582
,16
-577
,67
-573
,18
-568
,69
-564
,19
-559
,70
-555
,21
-550
,72
-546
,23
-541
,74
-537
,25
-532
,76
-528
,27
-523
,77
-519
,28
-514
,79
-510
,30
-505
,81
-501
,32
-496
,83
-492
,34
-487
,85
-483
,36
-478
,86
-474
,37
-469
,88
-465
,39
-460
,90
-456
,41
-451
,92
-447
,43
-442
,94
-438
,44
-433
,95
Forrás: saját számítások
A 8. sz. ábra alapján megállapítható, hogy az empirikus eloszlás hasonlít a normális
eloszlásra, ami a normális eloszlásra vonatkozó nullhipotézis esetében statisztikai
módszerrel is megállapítható (a Jarque-Bera tesztstatisztika empirikus értéke 0,0677
ami alacsonyabb mint a releváns kritikus érték – ez 5,99 – tehát az elméleti eloszlás
ebben az esetben normális eloszlásnak tekinthető). A hisztogram, illetve az ezen
szereplő értékek a továbbiakban a banki (hitel) termék különböző biztosításokkal
történő kombinálásakor létrejövő, kockázatot érintő hatások tanulmányozása során a
kiinduló helyzetet jelentik, tehát a többi (különböző biztosítással kombinált banki
termékeknek az ügyfélállomány egy része esetében való meglétekor) számolható
hisztogramot ehhez a hisztogramhoz hasonlítjuk.
Tekintsük most az az esetet, amikor a banki hitel vegyes életbiztosítással kombinálható
és a banki ügyfélállomány fele rendelkezik biztosítással kombinált hitellel, míg az
ügyfélállomány másik része nem rendelkezik a hitellel kombinált biztosítással. Ebben
az esetben a biztosítás nélküli eset (a kiinduló helyzet) és az állomány egy részében
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
46
meglévő hitellel kombinált biztosítás esetében számolható empirikus veszteség-
jelenértékek hisztogramjai a következőképpen alakulnak (9. sz. ábra):
9. sz. ábra: Biztosítás nélküli helyzet és vegyes biztosításos helyzet összehasonlítása
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
-825
,180
33
-817,
2767
6
-809,
3732
-801
,469
63
-793
,5660
7
-785
,6625
-777
,7589
4
-769
,8553
7
-761
,951
81
-754,
04824
-746,
1446
7
-738,
24111
-730,
3375
4
-722,
43398
-714
,5304
1
-706
,6268
5
-698
,7232
8
-690
,8197
2
-682
,9161
5
-675,
01258
-667,
1090
2
-659,
20545
-651
,3018
9
-643
,3983
2
-635
,4947
6
-627
,5911
9
-619
,6876
3
-611,
78406
-603,
8805
-595,
97693
-588,
0733
6
-580
,169
8
-572
,2662
3
-564
,3626
7
-556
,459
1
-548
,555
54
-540
,6519
7
-532
,748
41
-524,
8448
4
-516,
9412
7
-509
,037
71
-501
,1341
4
-493
,230
58
-485
,3270
1
-477
,4234
5
-469
,519
88
-461,
61632
-453,
7127
5
-445,
80918
-437,
9056
2
vegyes
biztosítás
a=0,5
nincs
biztosítás
Forrás: saját számítások
A veszteség-jelenérték hisztogramját a vegyes biztosítással való kombinálás során
egyértelműen alacsonyabb értékek jellemzik, mint a biztosítás nélküli helyzetben
számolható veszteség-jelenérték hisztogramot, ami – az elméleti eredmények
levezetésével párhuzamosan – szintén azt mutatja, hogy a bankhitel vegyes biztosítással
történő kombinálása ebben a modell-keretben a bank intézményszintű kockázatát
csökkenti. Az ügyfélállomány egy részében a hitel vegyes életbiztosítással történő
kombinálása esetében számítható empirikus adatok alapján egyébként az ebben az
esetben jellemző elméleti eloszlás normális eloszlásnak tekinthető (a Jarque-Bera
tesztstatisztika értéke 1,218). Az elméleti modell konstrukciója alapján a vegyes
biztosítás esetében a bank számára hasonlóak a törlesztési pénzáramlások abban az
esetben, amikor az ügyfeleknek a hitellel „integrált” biztosításuk van, illetve abban az
esetben, amikor a hitelen kívül mindössze „kiegészítő” a (hasonló paraméterekkel
rendelkező) biztosítás.
A biztosításoknál a másik, elemzésben szereplő lehetőség a unit-linked életbiztosítás
kötése. Ebben az esetben tapasztalható különbség a hitellel „integrált”, illetve a hitelt
„kiegészítő” biztosítás esetében. A hitellel „integrált” biztosítási terméknél úgy
tekintjük, hogy az ügyfél a biztosítónak díjat fizet és a biztosító által nyújtott
szolgáltatásból fizeti a hitel miatt fennálló kötelezettségeit, míg a „kiegészítő”
biztosításnál úgy tekintjük, hogy az ügyfél a hitelen kívül rendelkezik egy (az előző
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
47
esethez hasonló paraméterekkel rendelkező) biztosítással, amelynek szolgáltatásait
megállapodás alapján a bank igénybe veheti a tartozás rendezésére az ügyfél
fizetésképtelensége esetén. A unit-linked biztosításnál a befektetési hozamot normális
eloszlású21 valószínűségi változónak tekintjük, amelynél a szórás paraméter
meghatározása jelzi a befektetés kockázatosságát. Tekintsük a következőkben azt az
esetet, amelynél a hitellel „integrált” unit-linked biztosítás esetében viszonylag
alacsony befektetési kockázat mellett történik az életbiztosítás megtakarítási részére
befizetett díjak befektetése, és hasonlítsuk össze a veszteség-jelenérték hisztogramját
ebben az esetben a biztosítás nélküli helyzet (előzőekben is bemutatott)
hisztogramjával (a bank ügyfélállományán belül továbbra is az ügyfelek fele
rendelkezik a feltevések szerint biztosítással, vagyis a=0,5 az elméleti modell
paraméterei között, 10 .sz. ábra):
10. sz. ábra: Biztosítás nélküli helyzet és unit-linked biztosításos helyzet összehasonlítása
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
-925
,690
59
-915,
7565
2
-905,
8224
4
-895
,888
37
-885
,9542
9
-876
,020
21
-866
,0861
4
-856
,1520
6
-846
,217
99
-836,
28391
-826,
3498
3
-816,
41576
-806,
4816
8
-796,
54761
-786
,6135
3
-776
,6794
6
-766
,7453
8
-756
,8113
-746
,8772
3
-736,
94315
-727,
0090
8
-717
,075
-707
,1409
2
-697
,2068
5
-687
,2727
7
-677
,3387
-667
,4046
2
-657,
47054
-647,
5364
7
-637,
60239
-627,
6683
2
-617,
73424
-607
,8001
6
-597
,8660
9
-587
,9320
1
-577
,997
94
-568
,0638
6
-558
,129
79
-548,
1957
1
-538,
2616
3
-528
,327
56
-518
,3934
8
-508
,459
41
-498
,5253
3
-488
,5912
5
-478
,657
18
-468,
7231
-458,
7890
3
-448,
85495
-438,
9208
7
unit-linked
biztosítás
a=0,5
nincs
biztosítás
Forrás: saját számítások
Az eredmények azt mutatják, hogy alacsony befektetési kockázat vállalása esetén a
bankhitel unit-linked életbiztosítással való kombinálása szintén a bank intézményszintű
kockázatát csökkentő hatású lehet (azzal együtt hogy a befektetési kockázat meglétével
is összefüggésben a unit-linked életbiztosítás veszteség-jelenértékeinek hisztogramja
nagyobb szórású). A unit-linked biztosításos hisztogramon szereplő értékek alapján
21 A számításokat viszonylag könnyen lehetne általánosítani, és más eloszlásúnak tekintett hozam-értékeket alkalmazni a szimuláció során. A gyakorlatban a hozamok gyakran nem tekinthetők normális eloszlásúnak, jellemző tendencia például hogy a hozam-eloszlások szélei nem olyan „keskenyek” mint a normális eloszlás esetében. Mivel az elméleti modellben a bank szempontjából a befektetési hozamok esetében az extrém kis hozamok okozhatnak kockázatnövekedést (az intézményszintű kockázat tekintetében), ezért a hozamértékek szimulációja során a normális eloszlás feltevése „óvatos” becslésnek tekinthető (nem normális hozameloszlás feltevése esetében a bank intézményszintű kockázata szempontjából kedvezőtlennek tekinthető esetek a szimulációk során gyakrabban fordulhatnának elő).
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
48
egyébként megállapítható, hogy a megfelelő, ehhez tartozó elméleti eloszlás
normálisnak tekinthető (mivel a Jarque-Bera tesztstatisztika értéke 0,322).
Ebben a példában a vegyes életbiztosítás illetve a unit-linked életbiztosítás esetében
ábrázolható eredményeket közvetlenül is összehasonlítva megállapítható, hogy a unit-
linked életbiztosításos hisztogram a magasabb értékek tartományában helyezkedik el,
tehát ebben az esetben a bank intézményszintű kockázata magasabb a unit-linked
életbiztosítással „integrált” hitel esetében, mint a vegyes életbiztosításnál (hasonló
paramétereket feltételezve, tehát például azzal a feltevéssel, hogy az ügyfélállomány
felének van biztosítással kombinálva a hitele, 11. sz. ábra).
11. sz. ábra: Vegyes biztosításos és unit-linked biztosításos helyzet összehasonlítása
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
-926
,055
96
-916
,852
62
-907
,649
28
-898
,445
94
-889
,242
6
-880
,039
26
-870
,835
92
-861
,632
58
-852
,429
25
-843
,225
91
-834
,022
57
-824
,819
23
-815
,615
89
-806
,412
55
-797
,209
21
-788
,005
87
-778
,802
53
-769
,599
19
-760
,395
85
-751
,192
51
-741
,989
17
-732
,785
83
-723
,582
49
-714
,379
15
-705
,175
81
-695
,972
47
-686
,769
13
-677
,565
79
-668
,362
45
-659
,159
11
-649
,955
77
-640
,752
44
-631
,549
1
-622
,345
76
-613
,142
42
-603
,939
08
-594
,735
74
-585
,532
4
-576
,329
06
-567
,125
72
-557
,922
38
-548
,719
04
-539
,515
7
-530
,312
36
-521
,109
02
-511
,905
68
-502
,702
34
-493
,499
-484
,295
66
-475
,092
32
unit-linked
biztosítása=0,5
vegyes
biztosítás
a=0,5
Forrás: saját számítások
Amennyiben egyébként azt feltételezzük, hogy az ügyfélállomány fele esetében a banki
hitellel nem „integrálva” hanem mindössze „kiegészítő” jelleggel van kombinálva a
unit-linked biztosítás, a szimuláció eredményeképpen kapott empirikus hisztogramok is
különböznek. E két esetben kapott hisztogramokat mutatja a 12. sz. ábra:
12. sz. ábra: Unit-linked biztosítások hatásának összehasonlítása
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
-926
,055
96
-916
,852
62
-907
,649
28
-898
,445
94
-889
,242
6
-880
,039
26
-870
,835
92
-861
,632
58
-852
,429
25
-843
,225
91
-834
,022
57
-824
,819
23
-815
,615
89
-806
,412
55
-797
,209
21
-788
,005
87
-778
,802
53
-769
,599
19
-760
,395
85
-751
,192
51
-741
,989
17
-732
,785
83
-723
,582
49
-714
,379
15
-705
,175
81
-695
,972
47
-686
,769
13
-677
,565
79
-668
,362
45
-659
,159
11
-649
,955
77
-640
,752
44
-631
,549
1
-622
,345
76
-613
,142
42
-603
,939
08
-594
,735
74
-585
,532
4
-576
,329
06
-567
,125
72
-557
,922
38
-548
,719
04
-539
,515
7
-530
,312
36
-521
,109
02
-511
,905
68
-502
,702
34
-493
,499
-484
,295
66
-475
,092
32
kiegészítő unit-linked
biztosítás
a=0,5
unit-linked biztosítás
a=0,5
Forrás: saját számítások
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
49
A 12. sz. ábra alapján arra lehet következtetni, hogy a bankhitel „kiegészítő” unit-
linked biztosítással történő kombinálása esetén alacsonyabb a bank intézményszintű
kockázatának mutatószáma, mint az „integrált” unit-linked életbiztosítás esetében. (A
„kiegészítő” jellegű unit-linked biztosításos hisztogramon szereplő értékek alapján
egyébként tesztelve a normális eloszlásra vonatkozó nullhipotézist, megállapítható
hogy a megfelelő elméleti eloszlás normális eloszlásnak tekinthető, mivel a Jarque-
Bera tesztstatisztika értéke 0,593.) A biztosítás nélküli esetet a banki hitel „kiegészítő”
jellegű biztosítással való kombinálásával összehasonlítva a következő ábra alapján
megállapítható, hogy a biztosítás nélküli esetben a bank intézményszintű kockázata
magasabb (13. sz. ábra):
13. sz. ábra: Unit-linked biztosítás alkalmazásának hatása
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
-810
,609
71
-803
,000
5
-795
,391
29
-787
,782
08
-780
,172
87
-772,
5636
6
-764,
9544
5
-757
,345
24
-749
,736
03
-742
,126
82
-734
,517
61
-726
,9084
-719
,299
19
-711
,689
98
-704
,080
77
-696
,471
56
-688
,862
35
-681
,253
14
-673
,643
94
-666
,034
73
-658
,425
52
-650
,816
31
-643
,2071
-635
,597
89
-627
,988
68
-620
,379
47
-612
,7702
6
-605
,1610
5
-597
,5518
4
-589
,9426
3
-582
,333
42
-574
,724
21
-567
,115
-559
,505
79
-551
,896
58
-544
,287
37
-536
,678
16
-529
,068
95
-521
,459
75
-513
,850
54
-506
,241
33
-498
,632
12
-491,
0229
1
-483
,413
7
-475,
8044
9
-468
,195
28
-460
,586
07
-452
,976
86
-445
,367
65
-437
,758
44
kiegészítő unit-linked
biztosítás
a=0,5
nincs biztosítás
a=0,5
Forrás: saját számítások
Érdemes lehet azzal is foglalkozni, hogy hogyan változnak az eddigi eredmények, ha a
bank ügyfélállománya esetében az eddiginél kisebb, illetve nagyobb azon szerződések
aránya, ahol a hitelt valamilyen fajta biztosítással is kombinálják. A következőkben
azokat az eseteket tekintjük, amikor az előzőektől eltérően nem az ügyfélállomány fele,
hanem 10 szzázaléka, illetve 90 százaléka esetében kerül sor a hitel valamilyen fajta
biztosítással történő kombinálására. Tekintsük először azokat az eseteket, amikor a
hitelt vegyes életbiztosítással kombinálják, és hasonlítsuk össze ezeket a biztosítás
nélküli esettel akkor ha a feltevések szerint a bank ügyfélállományának különböző
részénél történik meg a hitel biztosítással kombinálása. Az eredmények alapján
megállapítható, hogy (egyébként a szimuláció alapjául szolgáló elméleti modell
konstrukciójával is összefüggésben) a legkisebb intézményszintű kockázatot a bank
számára az az eset jelenti, amikor az ügyfélállomány 90 százaléka esetében
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
50
tapasztalható a banki hitel vegyes biztosítással történő kombinálása, a legmagasabb
intézményszintű kockázati szintet pedig a három eset közül az jelenti, amelynél a bank
ügyfélállományának mindössze 10 százaléka esetében tapasztalható a banki hitel
vegyes biztosítással történő kombinálása. A szimuláció alapján számított empirikus
adatok alapján számítható hisztogramokat a 14. és 15. sz. ábra mutatja:
14. sz. ábra: Vegyes biztosítások (1.eset) 15. sz. ábra: Vegyes biztosítások (2.eset)
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
-825
,774
61
-819
,059
61
-812
,344
61
-805
,629
61
-798
,914
61
-792
,199
61
-785
,48 46
-778
,769
6
-772
,054
6
-765
,339
6
-758
,624
6
-751
,909
6
-745
,194
6
-738
,479
59
-731
,764
59
-725
,049
59
-718
,334
59
-711
,619
59
-704
,904
59
-698
,189
59
-691,
4745
9
-684
,759
58
-678
,04 45
8
-671
,329
58
-664
,614
58
-657
,899
58
-651
,184
58
-644
,469
58
-637
,754
57
-631,
0395
7
-624
,324
57
-617
,609
57
-610
,894
57
-604
,179
57
-597
,464
57
-590
,749
57
-584
,034
56
-577
,319
56
-570
,604
56
-563
,889
56
-557
,174
56
-550
,459
56
-543
,744
56
-537
,029
55
-530,
3145
5
-523
,599
55
-516
,88 45
5
-510
,169
55
-503
,454
55
-496
,739
55
vegyes biztosítás
a=0,1
vegyes biztosítása=0,5
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
-984
,000
1
-978
,426
21
-972
,852
32
-967
,278
43
-961
,704
53
-956
,130
64
-950
,556
75
-944
,982
86
-939
,408
97
-933
,835
08
-928
,261
18
-922
,687
29
-917
,113
4
-911
,539
51
-905
,965
62
-900,
3917
3
-894
,817
83
-889
,243
94
-883
,670
05
-878,
0961
6
-872
,522
27
-866
,94 83
8
-861
,374
48
-855
,800
59
-850
,226
7
-844
,652
81
-839
,078
92
-833
,505
03
-827
,931
13
-822
,357
24
-816
,783
35
-811
,209
46
-805
,635
57
-800
,061
68
-794,
4877
8
-788
,913
89
-783
,34
-777
,766
11
-772,
1922
2
-766
,618
33
-761
,04 44
3
-755
,470
54
-749,
8966
5
-744
,322
76
-738
,74 88
7
-733
,174
98
-727
,601
08
-722
,027
19
-716
,45 33
-710
,879
41
vegyes biztosítás
a=0,5
vegyes biztosítás
a=0,9
Forrás: saját számítások Forrás: saját számítások
Az elméleti eloszlások egyébként mindegyik ábrán szereplő empirikus eloszlás adatai
alapján számítva normális eloszlásnak tekinthetők (abban az esetben, amikor a
feltevések szerint a banki ügyfélállomány 10 százaléka rendelkezik biztosítással, a
Jarque-Bera tesztstatisztika empirikus értéke kerekítve 0,597 és abban az esetben
amikor a biztosítással rendelkezés aránya 90 százalék, a Jarque-Bera tesztstatisztika
empirikus értéke kerekítve 1,981). Ezeket a hisztogramokat a biztosítás nélküli esetnél
a veszteség-jelenértéknél számolható hisztogrammal összehasonlítva a következő
eredményekhez jutunk (16. és 17. sz. ábra):
16. sz. ábra: Vegyes bizt. hatása (a=0,1) 17. sz. ábra: Vegyes bizt. hatása (a=0,9)
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0,045
0,05
-636
,856
19
-632,
7571
5
-628
,6581
1
-624,
5590
7
-620
,4600
4
-616
,361
-612
,2619
6
-608
,162
92
-604,
0638
9
-599
,9648
5
-595,
8658
1
-591
,7667
7
-587
,667
74
-583
,5687
-579
,469
66
-575
,3706
3
-571
,271
59
-567,
17255
-563
,073
51
-558
,974
48
-554
,8754
4
-550
,776
4
-546
,6773
6
-542
,578
33
-538,
47929
-534
,380
25
-530,
28121
-526
,182
18
-522,
08314
-517
,984
1
-513,
8850
7
-509
,7860
3
-505
,686
99
-501,
58795
-497
,488
92
-493,
38988
-489
,290
84
-485,
1918
-481
,0927
7
-476,
9937
3
-472
,8946
9
-468
,795
65
-464
,6966
2
-460
,597
58
-456,
4985
4
-452
,399
5
-448,
3004
7
-444
,2014
3
-440
,102
39
-436
,0033
6
nincs biztosítás
vegyes biztosítás
a=0,1
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
-981
,258
71
-970
,202
05
-959,
14539
-948
,088
72
-937
,032
06
-925,
97539
-914
,918
73
-903
,8620
6
-892,
8054
-881
,748
74
-870
,692
07
-859,
6354
1
-848
,578
74
-837
,5220
8
-826,
46542
-815
,408
75
-804
,352
09
-793,
2954
2
-782
,238
76
-771
,1820
9
-760,
12543
-749
,068
77
-738
,012
1
-726,
95544
-715
,898
77
-704
,8421
1
-693,
7854
4
-682
,728
78
-671
,6721
2
-660,
61545
-649
,558
79
-638
,5021
2
-627,
4454
6
-616
,388
8
-605
,3321
3
-594,
27547
-583
,218
8
-572
,1621
4
-561,
1054
7
-550
,048
81
-538
,9921
5
-527,
9354
8
-516
,878
82
-505,
82215
-494
,765
49
-483
,708
83
-472
,6521
6
-461,
5955
-450
,538
83
-439,
48217
nincs biztosítás
vegyes biztosítás
a=0,9
Forrás: saját számítások Forrás: saját számítások
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
51
Az eredmények alapján megállapítható tehát, hogy a biztosítás nélküli esethez képest
mindkét elemzésben szereplő eset az intézményszintű kockázat csökkenését jelenti, a
bank intézményszintű kockázatának csökkenése pedig abban az esetben nagyobb,
amikor az ügyfélállományának nagyobb része rendelkezik vegyes biztosítással
kombinált banki hitellel.
Amennyiben a bank hiteleinek egy részéhez (10 százalékához vagy 90 százalékához)
olyan unit-linked biztosítás kapcsolódik, amely „integrálva” van a banki hitellel, a
szimuláció eredményei szintén érdekesek. A bank intézményszintű kockázatát érintő
hatás hasonló az előzőekben a banki hitel vegyes biztosítással történő kombinálásánál
tapasztaltakhoz: amennyiben a bank ügyfélállományán belül magasabb a biztosítással
rendelkezés aránya, akkor a bank intézményszintű kockázata alacsonyabbnak
tekinthető, ez a hatás azonban kevésbé erős mint a vegyes életbiztosítás esetében (a
banki hitel vegyes életbiztosítással történő kombinálásakor kapott eredményeknél a
hisztogramok nagyobb mértékben elkülönültek egymástól, mint ebben az esetben,
amikor az ügyfelek meghatározott része a banki hitellel „integrált” unit-linked
biztosítással rendelkezik (18. és 19. sz. ábra):
18. sz. ábra: Unit-linked biztosítások (1. eset) 19. sz. ábra: Unit-linked biztosítások (2. eset)
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0,045
0,05
-924
,5802
7
-912,
42556
-900
,2708
4
-888,
11613
-875
,9614
1
-863
,806
7
-851
,6519
8
-839,
4972
7
-827
,342
55
-815,
1878
4
-803
,033
12
-790,
8784
1
-778
,723
69
-766,
56898
-754
,4142
6
-742,
25955
-730
,1048
3
-717,
95011
-705,
7954
-693,
6406
8
-681
,485
97
-669,
3312
5
-657
,176
54
-645,
0218
2
-632
,867
11
-620,
7123
9
-608
,557
68
-596,
4029
6
-584
,248
25
-572,
09353
-559
,9388
2
-547
,784
1
-535
,629
39
-523,
4746
7
-511
,319
96
-499,
1652
4
-487
,010
52
-474,
8558
1
-462
,701
09
-450,
5463
8
-438
,391
66
-426,
2369
5
-414
,082
23
-401,
9275
2
-389
,772
8
-377
,6180
9
-365
,463
37
-353,
3086
6
-341
,153
94
-328,
9992
3
unit-linked biztosítás
a=0,1
unit-linked biztosítás
a=0,5
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0,045
0,05
-103
4,451
9
-1023
,058
8
-101
1,665
6
-1000
,272
4
-988
,8792
9
-977,
48613
-966
,0929
8
-954
,6998
2
-943,
30666
-931
,9135
1
-920,
52035
-909
,1271
9
-897,
73403
-886
,3408
8
-874,
94772
-863
,5545
6
-852,
16141
-840
,7682
5
-829,
37509
-817
,981
94
-806,
5887
8
-795
,195
62
-783,
8024
7
-772
,409
31
-761,
0161
5
-749,
623
-738,
2298
4
-726
,836
68
-715,
4435
3
-704
,050
37
-692,
6572
1
-681
,264
05
-669,
8709
-658,
47774
-647
,0845
8
-635,
69143
-624
,2982
7
-612,
90511
-601
,5119
6
-590
,118
8
-578
,7256
4
-567,
33249
-555
,9393
3
-544,
54617
-533
,153
02
-521,
7598
6
-510
,3667
-498,
9735
5
-487
,580
39
-476,
1872
3
unit-linked biztosítás
a=0,5
unit-linked biztosítás
a=0,9
Forrás: saját számítások Forrás: saját számítások
Abban az esetben, amikor a bank ügyfélállományának 10 százaléka rendelkezik unit-
linked biztosítással, a szimuláció során kapott értékek alapján megállapítható hogy az
elméleti eloszlás normális eloszlásnak tekinthető (a Jarque-Bera tesztstatisztika
empirikus értéke 0,543), azonban a másik esetben, amikor az ügyfélállomány 90
százalékának van a banki hiteléhez kapcsolódó unit-linked biztosítása, az elméleti
eloszlás már nem tekinthető normális eloszlásnak (a Jarque-Bera tesztstatisztika
empirikus értéke ebben az esetben kerekítve 20,864). A normális eloszlástól való
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
52
eltérés az előző diagramon is megfigyelhető. A normális eloszlástól való eltérés
egyébként azzal lehet összefüggésben, hogy ha az ügyfélállomány nagy része esetében
kapcsolódik a banki hitelhez unit-linked biztosítás, jobban érvényesül az a hatás, hogy
amennyiben az ügyfél bank felé fennálló tartozásának megfizetésére a biztosítási
eszközalapban lévő pénz alapján kerül sor, a befektetési hozamtól függően nem
feltétlenül kerül sor a teljes (bank felé fennálló) tartozás visszafizetésére. A 20. sz. ábra
azt mutatja meg, hogy (adott paraméter-beállítások alapján) az elméleti modell alapján
készített szimuláció milyen eredményeket mutat a biztosítási eszközalap befektetési
hozama és a banknak visszafizetett tartozás összefüggéséről (a vízszintes tengelyen a
befektetési hozamok, a függőleges tengelyen pedig a bank számára fizetett összeg
szerepel, 1000 elemű szimuláció alapján):
20. sz. ábra: Befektetési hozam és bankhitel törlesztésének összefüggése
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 Forrás: saját számítások
A 20. sz. ábra egyébként azt is mutatja, hogy ebben a helyzetben a bank által kapott
törlesztés bizonyos opciós sajátosságokkal rendelkezik. 22
A banki hitellel „integrált” unit-linked biztosítás esetében kapott eredményeket a
biztosítás nélküli helyzetben kapott eredményekkel is összehasonlíthatjuk. Érdekes
jelenség, hogy a szimulációs eredmények alapján abban az esetben, amikor a banki
ügyfélállomány mindössze 10 százaléka rendelkezik a banki hitellel „integrált” unit-
linked biztosítással, a bank intézményszintű kockázatát jelző mutatószám nem
egyértelműen tekinthető alacsonyabbnak a biztosítás nélküli esetben mérhető
intézményszintű kockázati mutatószámnál (21. sz. ábra). A másik esetben, amikor a
22 Az előző grafikonon egy európai típusú eladási opció kötelezettjének lejáratkori pozícióját jelző ábrára jellemző tendencia rajzolódik ki.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
53
banki ügyfélállomány 90 százaléka rendelkezik banki termékkel „integrált” unit-linked
biztosítással, az intézményszintű kockázatot jelző mutatószám alacsonyabbnak
tekinthető a biztosítás nélküli esetet jelző mutatószámnál (22. sz. ábra). Ez az eredmény
arra utalhat, hogy már a feltevések szerint viszonylag alacsony befektetési kockázatnál
is előfordulhat olyan helyzet, amikor a banki termék és a unit-linked biztosítás
„integrálása” a bank intézményszintű kockázatának emelése irányában hat.
21. sz. ábra: Unit-linked bizt. hatása (a=0,1) 22. sz. ábra: Unit-linked bizt. hatása (a=0,9)
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
-751
,531
12
-742
,872
35
-734
,213
58
-725
,554
8
-716
,896
03
-708
,237
26
-699
,578
49
-690
,919
71
-682
,260
94
-673
,602
17
-664
,943
4
-656,
2846
2
-647
,625
85
-638
,967
08
-630
,308
3
-621
,649
53
-612
,990
76
-604
,331
99
-595
,673
21
-587
,014
44
-578,
3556
7
-569
,696
89
-561
,03 81
2
-552
,379
35
-543
,720
58
-535
,061
8
-526
,403
03
-517
,744
26
-509
,085
48
-500,
4267
1
-491
,767
94
-483
,109
17
-474
,450
39
-465
,791
62
-457
,132
85
-448
,474
07
-439
,815
3
-431
,156
53
-422
,497
76
-413
,838
98
-405
,180
21
-396
,521
44
-387
,862
67
-379
,203
89
-370,
5451
2
-361
,886
35
-353
,22 75
7
-344
,568
8
-335
,910
03
-327
,251
26
nincs biztosítás
unit-linked biztosítás
a=0,1
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
-103
4 ,086
5
-102
1,96
27
-100
9,83
88
-997
,714
87
-985
,590
98
-973
,4670
8
-961
,343
19
-949,
2193
-937
,0954
-924
,971
51
-912,
8476
2
-900
,723
72
-888
,599
83
-876
,475
94
-864
,352
04
-852,
2281
5
-840
,104
26
-827,
9803
6
-815
,856
47
-803
,732
58
-791
,608
68
-779
,484
79
-767
,3609
-755
,2370
1
-743
,113
11
-730
,9892
2
-718
,865
33
-706
,741
43
-694
,6175
4
-682
,493
65
-670
,3697
5
-658
,245
86
-646
,121
97
-633
,998
07
-621
,874
18
-609
,750
29
-597
,626
39
-585,
5025
-573
,378
61
-561
,254
71
-549,
1308
2
-537
,006
93
-524
,883
04
-512
,759
14
-500
,635
25
-488,
5113
6
-476
,387
46
-464
,263
57
-452
,1396
8
-440
,015
78
nincs biztosítás
unit-linked biztosítás
a=0,9
Forrás: saját számítások Forrás: saját számítások
Az eredményeket a vegyes biztosítás és a unit-linked biztosítás esetében kapott
hisztogramok alapján is össze lehet hasonlítani (23. és 24. sz. ábra):
23. sz. ábra: Unit-linked és vegyes bizt. (a=0,1) 24. sz. ábra: Unit-linked és vegyes bizt. (a=0,9)
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
-751
,531
12
-742
,872
35
-734
,2135
8
-725,
5548
-716
,896
03
-708,
23726
-699
,578
49
-690
,919
71
-682
,2609
4
-673,
60217
-664 ,9
434
-656
,2846
2
-647,
6258
5
-638
,967
08
-630,
3083
-621,
64953
-612
,990
76
-604
,3319
9
-595,
6732
1
-587
,014
44
-578
,3556
7
-569,
69689
-561
,038
12
-552
,379
35
-543,
72058
-535 ,0
618
-526
,403
03
-517
,7442
6
-509,
0854
8
-500
,426
71
-491,
76794
-483
,109
17
-474
,450
39
-465
,7916
2
-457,
1328
5
-448
,474
07
-439,
8153
-431,
1565
3
-422
,497
76
-413
,8389
8
-405,
18021
-396
,521
44
-387
,8626
7
-379,
2038
9
-370
,545
12
-361
,8863
5
-353,
22757
-344,
5688
-335
,910
03
-327,
25126
vegyes biztosítás
a=0,1
unit-linked biztosítás
a=0,1
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
-103
5,4
656
-102
6,0
999
-1016
,7341
-100
7,3
684
-998
,002
62
-988,
63687
-979
,271
12
-969
,9053
8
-960,
53963
-951
,173
88
-941
,808
13
-932,
4423
8
-923
,076
63
-913
,7108
8
-904,
34513
-894
,979
38
-885
,613
63
-876,
2478
8
-866
,882
13
-857
,5163
8
-848,
15063
-838
,784
89
-829
,4191
4
-820,
05339
-810
,687
64
-801
,3218
9
-791,
9561
4
-782
,590
39
-773
,2246
4
-763,
85889
-754
,493
14
-745
,1273
9
-735,
7616
4
-726
,395
89
-717
,0301
5
-707,
6644
-698
,298
65
-688,
9329
-679,
5671
5
-670,
2014
-660
,8356
5
-651,
4699
-642
,104
15
-632,
7384
-623
,372
65
-614,
0069
-604
,6411
5
-595,
2754
-585
,909
66
-576,
54391
vegyes biztosítás
a=0,9
unit-linked biztosítás
a=0,9
Forrás: saját számítások Forrás: saját számítások
Ezek az eredmények azt mutatják, hogy a vegyes biztosítás kockázatcsökkentő hatása
(a bank intézményszintű kockázatára vonatkozóan) meghaladja a hasonló
paraméterekkel rendelkező unit-linked biztosításét az elméleti modell alapján számított
szimulációs példában.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
54
Az eddigiekben a unit-linked biztosításnál viszonylag alacsony befektetési kockázatot
feltételeztünk. Érdekes lehet ezen kívül a magasabb befektetési kockázat esetét is
tanulmányozni. Azonos várható hozam esetében kissé magasabb befektetési kockázat
feltevésével a befektetési hozam esetében (azzal a feltételezéssel együtt, hogy a bank
ügyfélállományának fele rendelkezik a banki hitellel „integrált” unit-linked
biztosítással) a kisebb és a nagyobb befektetési kockázat esetén a unit-linked
biztosításos esetekben számolható értékek hisztogramjait a következő ábra hasonlítja
össze. A magasabb befektetési kockázattal jellemezhető helyzetben egyébként a bank
veszteség-jelenértékei esetében a szimuláció során számolható hisztogramnál
megállapítható, hogy a megfelelő elméleti eloszlás nem tekinthető normális eloszlásnak
(a Jarque-Bera tesztstatisztika empirikus értéke 412,547). Ez azzal függ össze, hogy
ebben az esetben az alacsonyabb befektetési kockázatos esethez képest még
fokozottabban jelentkezhet a bankkal szemben fennálló adósság törlesztésénél az
előzőekben említett „opciós” tulajdonság (25. sz. ábra).
25. sz. ábra: Unit-linked biztosítások összehasonlítása (különböző befektetési kockázatnál)
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
-914
,802
94
-883,
09356
-851,
3841
8
-819,
6748
-787
,9654
2
-756,
25603
-724,
5466
5
-692,
8372
7
-661
,1278
9
-629
,418
51
-597
,709
13
-565,
9997
5
-534
,2903
7
-502
,580
99
-470
,871
6
-439
,162
22
-407
,452
84
-375
,743
46
-344
,034
08
-312
,324
7
-280
,615
32
-248
,905
94
-217
,196
55
-185
,487
17
-153
,777
79
-122
,068
41
-90,
3590
29
-58,
6496
48
-26,
9402
67
4,76
9114
46
36,4
7849
57
68,1
8787
69
99,897
2581
131,60
6639
163,31
6021
195,0254
02
226,73
4783
258,44
4164
290,15
3545
321,
8629
27
353,
5723
08
385,
2816
89
416,99
107
448,
7004
52
480,
4098
33
512,
1192
14
543,
8285
95
575,
5379
76
607,
2473
58
638,
9567
39
unit-linked biztosításmagasabb befektetési
kockázat
unit-linked biztosítás,
alacsony befektetési kockázat
Forrás: saját számítások
A magasabb befektetési kockázatnál (a biztosító eszközalapja esetében) a bank
intézményszintű kockázata tehát nagyobbnak tekinthető. A biztosítás nélküli helyzet és
a magasabb befektetési kockázatú unit-linked biztosításos helyzet hisztogramjának
összehasonlítása azt mutatja, hogy a unit-linked biztosítással kombinált banki hiteleket
is tartalmazó banki hitelállomány esetében számolható banki intézményszintű
kockázati mutatószám magasabb, mint a biztosítás nélküli helyzetben, ebben az esetben
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
55
tehát a banki hitelek unit-linked biztosítással történő kombinálása növeli a bank
intézményszintű kockázatot mérő mutatószámát (26. sz. ábra):
26. sz. ábra: Magas befektetési kockázat hatása unit-linked biztosításnál
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
-903
,427
25
-871
,947
68
-840
,468
11
-808
,988
54
-777
,508
97
-746,
0294
1
-714,
5498
4
-683
,070
27
-651
,590
7
-620
,111
13
-588
,631
56
-557
,151
99
-525
,672
42
-494
,192
85
-462
,713
28
-431
,233
71
-399
,754
14
-368
,274
57
-336
,795
-305
,315
43
-273
,835
87
-242
,3563
-210
,876
73
-179
,397
16
-147
,917
59
-116
,438
02
-84,95
845
-53,47
888
-21,999
311
9,48
0258
31
40,9
5982
76
72,439
397
103,
9189
66
135,
3985
36
166,
8781
05
198,
3576
74
229,83
7244
261,31
6813
292,79
6382
324,27
5952
355,75
5521
387,23
509
418,71
466
450,19
4229
481,67
3798
513,15
3367
544,63
2937
576,11
2506
607,59
2075
639,07
1645
unit-linked biztosítás
magasabb befektetési
kockázat
nincs biztosítás
Forrás: saját számítások
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
56
5. Összefoglalás A biztosítással kombinált banki termékek kockázatossága eltérhet a „klasszikus”,
önállóan értékesített banki és biztosítási termékek kockázatosságától. A termékekből
adódó kockázat megváltozása az egyes intézmények (bank, illetve biztosító)
„intézményszintű” kockázatosságát is befolyásolhatják. Jelen tanulmány azzal
foglalkozott, hogy a termékszinten a banki és biztosítási termékek kombinálása
következtében létrejövő kockázati módosulások hogyan befolyásolják az egyes
intézmények „intézményszintű” kockázatát. A tanulmány ezt a kérdést egy
(gyakorlatban jellemző tulajdonságokkal rendelkező) elméleti modell keretében
elemezte és az eredményeket szimulációs számítások eredményeinek bemutatásával
illusztrálta.
A kockázat fogalma rendkívül tág, és a tanulmányban egy olyan mutatószám
alkalmazásával került sor a kockázat mérésére, amely a termékszintről eredő kockázati
hatások intézményszintű hatásainak mérésére is alkalmasnak tekinthető. Ez a
mutatószám a TailVaR, amelyet a gyakorlatban bizonyos esetekben a tőkeszükséglet
mérésére is alkalmaznak.
A gyakorlatban megfigyelhető termékkombinációkat elméleti megfontolások, illetve az
elméleti modell eredményei alapján a következő kockázati kategóriákba is sorolhatjuk:
1. a banki és biztosítási termékek kombinálása lényegében mindössze
„keresztértékesítésnek” (cross-selling) tekinthető (például ha a bankbetéteket
illetve hiteleket és biztosítási termékeket mindössze együttesen értékesítik,
abban az esetben is ha esetleg kedvezmény vagy garantált hozam is társul a
termékek együttes értékesítéséhez)
2. a termékkombinálás úgy történik, hogy van összefüggés a banki és biztosítási
termékek pénzáramlásai között (például vegyes életbiztosítás elérési összegéből
kerül sor valamely hitel törlesztésére), azonban ezek a pénzáramlások többnyire
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
57
fixek, vagyis értékük adottnak tekinthető, nem változik például befektetési
hozamok hatására
3. a termékkombinálás úgy történik, hogy a banki és biztosítási termékek
pénzáramlása között van összefüggés és a pénzáramlások többnyire változóak
(illetve például valamely befektetési hozamoktól függnek), erre az esetre példa
lehet a unit-linked biztosítással kombinált bankhitel, amelynél a hiteltörlesztést
a befektetési hozamoktól függő értékű biztosítási szolgáltatásból tervezik
teljesíteni.
E három kockázati kategória közül a legnagyobb kockázatúnak a harmadik kategória
tekinthető. A biztosítással kombinált banki termékek esetében tehát a kockázati szint
(például az intézményszintű kockázatosság esetében) mérséklése azzal is összefügghet,
hogy milyen mértékben lehetséges a termékkombinációknál a banki és biztosítási
termék pénzáramlásainak összefüggésében a nem fix, hanem például befektetési
hozamtól függő elemek lehetséges elemeinek tartományát szűkíteni (biztonságosnak
tekinthető mértékűre). A befektetési kockázat kockázatosságot növelő hatását
csökkentheti például ha a unit-linked biztosításoknál az ügyfél által választható
lehetséges befektetési eszközök halmazát a biztosítással kombinált banki termékeknél
gondosan mérlegelve határozzák meg, például derivatív eszközöket (határidős
ügyleteket, opciós ügyleteket, swap ügyleteket) nem domináns mértékben
választhatnak az ügyfelek. Az ügyfelek tájékozottságának növekedése szintén jó
hatással lehet például a unit-linked életbiztosítással kombinált banki termékek esetében,
hiszen előfordulhat, hogy a kockázatokról szóló precíz tájékoztatás hatására kisebb
kockázatú befektetési portfóliót választanak az ügyfelek.
Az egyes intézmények kockázatának emelkedése a „rendszerszintű” kockázat
fokozódásával is járhat (például valamely bank pénzügyi problémái akár más bankok
pénzügyi helyzetét is befolyásolhatják), így szintén előnyös lehet a biztosítással
kombinált banki termékekből adódó kockázati hatások rendszeres mérése (például a
TailVaR mutatószám alkalmazásával, vagy valamilyen más módon), illetve a
számolható kockázati mutatószámoknak a pénzügyi szervezetek felügyelete általi
időnkénti áttekintése.
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
58
Irodalomjegyzék
ARTZNER, P. - DELBAEN, F. - EBER, J. - HEATH, D.[1998]: Coherent measures of risk
http://www.math.ethz.ch/~delbaen/ftp/preprints/CoherentMF.pdf
BANYÁR JÓZSEF[2003]: Életbiztosítás.
Aula Kiadó
CEA - MERCER OLIVER WYMAN[2005]: Solvency Assessment Models Compared
Comité Européen des Assurances (CEA), Mercer Oliver Wyman Limited
FILIPOVIC, D. - ROST, D.[2005]: Benchmarking Study of Internal Models (carried out on
behalf of The Chief Risk Officer Forum)
FINKELSTEIN, G. - HOSHINO, T. - INO, R. - MORGAN, E.[2006]: Economic Capital
Modeling: Practical Considerations. Milliman Inc.
MCNEIL, A.J. - FREY, R. - EMBRECHTS, P.[2005]: Quantitative Risk Management:
Concepts, Techniques and Tools. Princeton University Press
OWC[2001]: Study on the risk profile and capital adequacy of financial
conglomerates. Oliver, Wyman & Company
PANJER, H.H.[2001]: Measurement of risk, solvency requirements and allocation of
capital within financial conglomerates
http://www.soa.org/research/files/pdf/measurement_risk.pdf
SZÜLE BORBÁLA[2004]: Diverzifikáció és kockázat a pénzügyi konglomerátumokban.
Ph.D. értekezés, Budapesti Corvinus Egyetem
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
59
SZÜLE BORBÁLA[2006]: A pénzügyi konglomerátumok létrejöttének kockázati hatásai.
Közgazdasági Szemle, LIII. évfolyam, július-augusztus, pp. 661-680.
SZÜLE BORBÁLA[2007]: Pénzügyi konglomerátumok szolvencia-elemzése.
Posztgraduális aktuárius szakdolgozat, Budapesti Corvinus Egyetem
Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december
60
Melléklet
Jarque-Bera tesztstatisztika az egyváltozós normalitás tesztelésében A tesztstatisztika leírása McNeil et al.[2005] 69. oldalán található.
A Jarque-Bera tesztstatisztika esetében egyszerre történik annak értékelése, hogy az adatok ferdesége és csúcsossága megfelel-e a normális eloszlás feltevésének. Tegyük fel hogy adott egy n elemű minta, a mintaelemeket jelölje Xi (i=1, …, n), ekkor a mintából számolható ferdeségi (skewness) és csúcsossági (kurtosis) mutatószámokat a következőképpen lehet számolni:
( )
( )2
3
1
2
1
3
−
−
=
∑
∑
=
=
n
XX
n
XX
bn
ii
n
ii
( )
( )2
1
2
1
4
−
−
=
∑
∑
=
=
n
XX
n
XX
kn
ii
n
ii
ahol a mintaátlag kiszámítására alkalmazott képlet a következő:
n
X
X
n
ii∑
== 1
A Jarque-Bera tesztstatisztika a következő képlettel írható le:
( )
−⋅+⋅⋅
234
1
6
1kbn
A nullhipotézisben szereplő (egyváltozós) normális eloszlás esetén a Jarque-Bera tesztstatisztika aszimptotikusan 2 szabadságfokú χ2-eloszlást követ.