II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
2
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
II.3.I.1 ELEMENTELE PLANULUI II.3.I.2 URMELE PLANULUI II.3.I.3 ELEMENTE GEOMETRICE ÎN PLAN
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
3
II.3.I.1 ELEMENTELE PLANULUI Planul poate fi determinat de:
1. 3 puncte (necolineare) (A ≠ B ≠ C) (Fig. 1) 2. o dreaptă şi un punct ( AB şi C, C ∉ AB ) (Fig. 2) 3. două drepte paralele ( AB şi D AB , C ∈ D ) (Fig. 3) 4. două drepte concurente ( AB şi D , D =CI , AB ∩ D = I) (Fig. 4)
OBSERVAŢIE: � Condiţia a doua este echivalentă cu prima.
(Din trei puncte necoliniare, două pot forma o dreaptă) � Condiţiile a treia şi a patra sunt echivalente cu a doua.
(Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o alta, fie paralelă cu prima, fie concurentă cu ea.)
PLAN DETERMINAT DE TREI PUNCTE NECOLINIARE Fie A ≠ B ≠ C. A + B + C = [P]
x
[H]
[V]
z
y
[W]
OA
B
C
[P]
Fig. 1
PLAN DETERMINAT DE O DREAPTĂ ŞI UN PUNCT Fie A ≠ B ≠ C, AB + C = [P].
x
[H]
[V]
z
y
[W]
O
B
C
[P]
A
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
4
Fig. 2 PLAN DETERMINAT DE DOUĂ DREPTE PARALELE Fie A ≠ B ≠ C. C ∈ D ; D AB AB + D = [P]
x
[H]
[V]
z
y
[W]
O
[P]
A
B
C
D
Fig. 3
PLAN DETERMINAT DE DOUĂ DREPTE CONCURENTE OARECARE Fie A ≠ B ≠ C şi I ∈ AB . C + I = D ⇓ AB ∩ D = I AB + D = [P]
x
[H]
[V]
z
y
[W]
O [P]
D
A
B
CI
Fig. 4
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
5
PLAN DETERMINAT DE DREPTE CONCURENTE PARTICULARE
1. Fie 1D ⊂ [H] şi 2D ⊂ [V] (vezi B.II.2.4.3 Drepte în planele de proiecţie).
1D ∩ 2D = I1
1D + 2D = [P]
x
[H]
[V]
z
y
[W]
O [P]
D2
D1d =1
d' =2
d2d'1
I =i =i'1
1i"
x
y
O y
z
i =i'
d1
d'd''1
2
d' =1 d2
d"2d"2
d''1
1 1
1 1 i"1
Fig.5a Fig.5b
2. Fie 1D ⊂ [H] şi 3D ⊂ [W] (vezi B.II.2.4.3 Drepte în planele de proiecţie).
1D ∩ 3D = I2
1D + 3D = [P]
x
[H]
[V]
z
y
[W]
O x
y
y
z
Od'
d'[P]
I =i =i''
1
2
3 d'' =3 D3
i'
1Dd =1 2 2 2
d = d''3 1
d'd''
d
i
1
3
1
2
d'3
d3
1d''=i'2 2i''
Fig.6a Fig.6b
3. Fie 2D ⊂ [V] şi 3D ⊂ [W] (vezi B.II.2.4.3 Drepte în planele de proiecţie).
2D ∩ 3D = I3
2D + 3D = [P]
x
[H]
[V]
z
y
[W]
O
[P]
x
y
O y
z
D2d' =2
d2
I =i =i'3
3i"
d" =d'2
3 3
3
D3d" =3
d3
d" d'
i' =i''
=i
d
32
3
3
3
d 2
d" =d'2 3
3
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
6
Fig.7a Fig.7b
II.3.I.2 URMELE PLANULUI DEFINIŢIE: „Urma planului” este dreapta de intersecţie dintre planul [P] şi un alt plan. Ea se numeşte „urma planului [P]” pe cel de al doilea plan. Fie planul [P] şi [H], [V] şi [W], planele de proiecţie. [P] ∩ [H] = urma planului [P] pe [H] (sau urma orizontală a planului [P]) [P] ∩ [V] = urma planului [P] pe [V] (sau urma verticală a planului [P]) [P] ∩ [W] = urma planului [P] pe [W] (sau urma laterală a planului [P]).
[H]
d =1
=i'' =i' =i
I =i =i'x 1 1 1
d'' =
d'2
d' =d1
2
O
d' =[V]
D2 2
3
I =i =i''D1 2 2 y2 y2i
i"i'' =i' =ii =i'd'' =d
[P]1
3
31 2x
d'' =3 D3
I =i' =i''3 3 3
[W]
d' d''
d'' =
d'11 d 1
d'=d 1 2
2
d 31 2 3
2O d'' 1
3
i' =i''3
3
3
z
z
2 y
Fig.8a Fig.8b
În figura de mai sus, [P] ∩ [H] = D ⇒ dacă D ⊂ [H] ⇒ D ≡ 1D ⊂ [H] (vezi B.II.2.4.3. drepte în planele de proiecţie – vol. I)
1D = „urma orizontală a planului [P]” [P] ∩ [V] = D ⇒ dacă D ⊂ [V] ⇒ D ≡ 2D ⊂ [V] (vezi B.II.2.4.3. drepte în planele de proiecţie– vol. I)
2D = „urma verticală a planului [P]” [P] ∩ [W] = D ⇒ dacă D ⊂ [W] ⇒ D ≡ 3D ⊂ [W] (vezi B.II.2.4.3. drepte în planele de proiecţie – vol. I)
3D = „urma laterală a planului [P]”
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
7
INTERSECŢIA URMELOR PLANULUI Dacă două drepte concurente formează un plan [P], atunci o a treia dreaptă din [P] este fie concurentă cu prima şi paralelă cu a doua (1), fie concurentă cu ambele (2). sau, dacă 1D ∩ 2D = I1, 1D + 2D = [P] şi 3D ⊂ [P]
atunci 3D ∩ 1D = I2 şi 3D ∩ 2D = I3 (condiţia (2) în textul de mai sus)
⇓ dacă 1D ⊂ [H], 2D ⊂ [V], 3D ⊂ [W]
⇒ 1D ∩ 2D = I1 ∈ OX (vezi Fig.5a şi Fig.5b)
1D ∩ 3D = I2 ∈ OY (vezi Fig.6a şi Fig.6b)
2D ∩ 3D = I3 ∈ OZ (vezi Fig.7a şi Fig.7b) Notaţii specifice pentru urmele planului
� Urma unui plan pe un al doilea se notează cu litera majusculă a planului (P, R, Q…etc.) urmată de litera celui de al doilea plan, scrisă ca indice, cu literă mică. ⇒ Ph = urma planului [P] pe [H] sau urma orizontală a planului [P]
Pv = urma planului [P] pe [V] sau urma verticală a planului [P] Pw = urma planului [P] pe [W] sau urma laterală a planului [P].
⇒⇒⇒⇒ Se înlocuieşte 1D cu Ph , 2D cu Pv , 3D cu Pw. OBSERVAŢII:
1. Se notează numai dreptele din spaţiu ( 1D ≡ Ph, 2D ≡ Pv, 3D ≡ Pw), nu şi
proiecţiile lor. 2. În proiecţia ortogonală se notează o singură proiecţie, anume aceea
care se confundă cu dreapta din spaţiu ( 1d ≡ Ph, '2d ≡ Pv,
"3d ≡ Pw).
� Punctele de intersecţie dintre dreptele 1D , 2D , 3D (urme) (I1, I2, I3) se notează
cu litera majusculă a planului (P, R, Q, …etc.) urmată de litera axei pe care se găseşte punctul, scrisă ca indice, cu literă mică ⇒ Px ∈ OX , Py ∈ OY, Pz ∈ OZ. Se înlocuieşte I1 cu Px , I2 cu Py , I3 cu Pz. OBSERVAŢII:
1. Se notează numai punctele din spaţiu (I1 = Px, I2 = Py, I3 = Pz.), nu şi proiecţiile lor.
2. În proiecţia ortogonală se notează cele două proiecţii care se confundă cu punctul din spaţiu (i1 ≡ i1’ ≡ Px , i2 ≡ i2’’ ≡ Py , i3’ ≡ i3’’ ≡ Pz ).
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
8
x
[H]
[V]
z
y
[W]
O
[P]
D2
D1d =1
d' =2
I =i =i'1
d'' =d1
1 1 I =i =i''2 2 2
I =i' =i''3 3 3
D3d'' =3
=i'' =i' =i21 3
d' =d 2d'
' =d'
23
1 3
P =v =P w
P =hP =x
=P z
=P y
x
y
O y
z
d' 2 d'' 3
d'' 1
d'' =
d'2
3
d 1 d 3
d' =d 1 2
i =i'1 1P =x
i 2 =P y
i' =i''3 3=P z
P =v =P w
P =hi"2 =P yO,i'',i' ,i21 3
Fig.9a Fig.9b
[H]
P
[V]
x Ph
Px[P]
Pv
O
Pw
z
z
yPy
[W]
Fig.10
x
y
O y
z
x
y
O
z
Px
Py
Pz
Pv Pw
Ph
Px
Py
Pv
Ph
Py
Pz
Fig.11a Fig.11b
CONCLUZIE:
[P] ∩ [H] = Ph Ph ∩ Pv = Px
[P] ∩ [V] = Pv Ph ∩ Pw = Py
[P] ∩ [W] = Pw Pv ∩ Pw = Pz
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
9
II.3.I.3 ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
PUNCT ÎN PLAN Dacă un punct M aparţine unui plan [P], atunci el se află pe o dreaptă din plan sau, fie M ∈ [P] ⇒ ∃ D ⊂ [P], D ∋ M.
[P] poate fi determinat de drepte oarecare (Fig.12, Fig.13) [P] poate fi determinat de urme (Fig.14)
[P]
x
[V]
[H]
D
y
[H]
x
[P]M OE
[W]
OM E
D
[V]
y
[W]
z z
Fig.12 Fig.13
P
x
[V]
[H]
hP
D [P]
y
P
OM
v w
[W]
z
Fig.14
PUNCTE PARTICULARE ÎN [P] Fie H ∈ [H] (vezi B.II.1 Puncte particulare – vol. 1) V ∈ [V] (vezi B.II.1 Puncte particulare – vol. 1) W ∈ [W] (vezi B.II.1 Puncte particulare – vol. 1). Dacă H ∈ [H] şi H ∈ [P] ⇒ H ∈ [P] ∩ [H] = Ph , H ∈ Ph V ∈ [V] şi V ∈ [P] ⇒ V ∈ [P] ∩ [V] = Pv , V ∈ Pv W ∈ [W] şi W ∈ [P] ⇒ W ∈ [P] ∩ [W] = Pw , W ∈ Pw
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
10
w''=W
d'' =
d'Dd' =P =
d'' =d
Dd'' =
[H]
x
v 2
[P]w 3
P =hh=H D1d =1
O
d' =dh' 1 v2
2
2
h"1
3
y
w3=P
[V]v"v'=V
w'
3
z
[W]
Fig.15
H ∈ Ph şi Ph ≡ 1D ⇒ H ∈ 1D (Fig.15)
V ∈ Pv şi Pv ≡ 2D ⇒ V ∈ 2D (Fig.15)
W ∈ Pw şi Pw ≡ 3D ⇒ W ∈ 3D (Fig.15)
v"
P =
P =
d' =d
y
d'' 1vP =h
h
d 1
d
w
3
d' =d
P =v
x 1 d'' =
d'
h'2 o2
w'd' 2
3
h
3 =P wh'' y
w''d''
x 1
v
y
v
h
d 1
h'2 o
d' 2v'
z
v'
z
Fig.16a Fig.16b
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
11
DREAPTĂ ÎN PLAN DREAPTĂ OARECARE Dacă H ∈ [P], V ∈ [P], W ∈ [P], atunci D ≡ VH ⊂ [P] (Fig.17) sau D ≡ HW ⊂ [P] (Fig.19)
sau D ≡ VW ⊂ [P] (Fig.21). Fie VH ⊂ [P] (Fig.17).
x
[H]
[V]
z
y
[W]
O
[P]
D
h=
v
H
v'=V
Pv Pw
Ph
d''
d
d'
v"
h"h'
Fig.17
H ≡ h ∈ Ph (vezi BII.1 Puncte particulare – volumul I şi Fig.15, Fig.16) V ≡ v’ ∈ Pv (vezi BII.1 Puncte particulare – volumul I şi Fig.15, Fig.16)
d'
P
P
y
d''
h
x h'
Ph
d
d'v o
v' v''Pv
z
h'' y
h
x h'
Pw
y
h
dv o
v'
v
z
Fig.18a Fig.18.b
CONCLUZIE: Dacă VH ≡ D ⊂ [P] ⇒ h ∈∈∈∈ Ph
v’ ∈∈∈∈ Pv
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
12
Fie HW ⊂ [P] (Fig.19)
[P]P
[H]
x h=H h y
w''=
wh'
d''
D dh''
d'Pv
O
[V] w'
z
WPw
[W]
Fig.19
H ≡ h ∈ Ph (vezi BII.1 Puncte particulare – volumul I şi Fig.15, Fig.16) W ≡ w’’ ∈ Pw (vezi BII.1 Puncte particulare – volumul I şi Fig.15, Fig.16)
y y
x
Ph w
dh
ww'
d'h'
d''o h''
Pv Pw''
y x
z
Ph w
dh
w'
d'h' o
Pv
z
Fig.20a Fig.20b
CONCLUZIE: Dacă HW ≡ D ⊂ [P] ⇒ h ∈∈∈∈ Ph
w’’ ∈∈∈∈ Pw
OBSERVAŢIE: Proiecţia w’’ nu apare în dubla proiecţie ortogonală (fig.20b), deci nu se poate stabili dacă HW aparţine sau nu planului [P] (nu se poate verifica dacă w’’ ∈ Pw).
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
13
Fie VW ⊂ [P] (Fig.21)
x
[H]
[V]
z
y
[W]
O
[P]
D
v'=V
w''=W
Pv Pw
Ph
d''
d
d'
w
w'
v
v''
Fig.21
V ≡ v’ ∈ Pv (vezi BII.1 Puncte particulare – volumul I şi Fig.15, Fig.16) W ≡ w’’ ∈ Pw (vezi BII.1 Puncte particulare – volumul I şi Fig.15, Fig.16)
PP P
y
v'
vx
d
Ph w
w
v''o
d'v w'
d''
y x
w''
y
d
Ph w
v'
vo
d'v w'
z z
Fig.22a Fig.22b
CONCLUZIE: Dacă VW ≡ D ⊂ [P] ⇒ v’ ∈∈∈∈ Pv
w’’ ∈∈∈∈ Pw OBSERVAŢIE: Proiecţia w’’ nu apare în dubla proiecţie ortogonală (fig.2c), deci nu se poate stabili dacă HW aparţine sau nu planului [P] (nu se poate verifica dacă w’’ ∈ Pw).
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
14
x
[H]
[V]
z
y
[W]
[P]
D
Ov'=V
w''=W
Pv Pw
Ph
d''
d
d'
w
w'
v
v''
h=H
h'
h''
Fig.23
y
Phw
v'
vx h'
h
PP d''
Oh''d
v
v''y x h'
wh
d'w' w''
z
y
Phw
P
dv
ov'
vd'
w'
z
Fig.24a Fig.24b
CONCLUZIE: Dacă D ⊂ [P] atunci urmele dreptei (H, V şi W, vezi BII.2.2 Urmele dreptei – volumul I) sunt situate pe urmele planului (Ph , Pv şi Pw)sau, dacă D ⊂ [P] ⇒ H ≡ h ∈ Ph V ≡ v’ ∈ Pv W ≡ w’’ ∈ Pw şi, simultan H, V şi W colineare.
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
15
DREPTE PARTICULARE DREPTE PARALELE CU PLANELE DE PROIECŢIE Fie 1D [H], 2D [V] şi 3D [W] (vezi BII.2.4 Drepte particulare – volumul I). Definiţie: O dreaptă şi un plan se numesc paralele dacă nu au nici un punct comun. Teoremă: Dacă o dreaptă D dintr-un plan [P] este paralelă cu un alt plan, atunci dreapta de intersecţie a celor două plane este paralelă cu dreapta dată sau, dacă D ⊂ [P] şi D [R]
atunci E D , unde E = [P] ∩ [R] (Fig.25)
[R]
E
D [P]
Fig.25
Demonstraţie: [P] ∩ [R] = E ⇓ E ⊂ [R] E ⊂ [P] dar şi D ⊂ [P] ⇒ E şi D = coplanare ⇓ E D sau E ∩ D Dacă E ∩ D = I ⇒ I ∈ E ∈ [R] I ∈ D ⇒ ∃ I ∈ [R], unde I ∈ D sau I = punct comun al dreptei D cu planul [R] (fals) Conform definiţiei de mai sus dacă D [R] ⇒ I ∈ [R], şi I ∈ D ⇒ E D , adică E D . OBSERVAŢIE: Definiţia şi teorema demonstrată mai sus fac parte din „geometria în spaţiu”.
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
16
Înlocuim în teorema de mai sus planul [R] cu planele de proiecţie [H], [V] şi [W] pe rând, D cu dreptele particulare paralele cu planele de proiecţie, 1D , 2D sau 3D (vezi
BII.4 Drepte particulare – volumul I) şi E cu urmele planului Ph, Pv sau Pw, atunci: 1. Dacă 1D ⊂ [P] şi 1D [H]
atunci 1D Ph, unde Ph = [P] ∩ [H] (vezi Concluzia pag.8).
[P]w
[H]
x Ph
dv 1
v'=
[V]d''d'
DV1
1
o
1v''=w'Pv Pw
y
w''=W
[W]
z
Fig.26
y
x xP
w"1
d
w
P1
h
v o y x xP
w'v' d'
Pv
v" d"1
Pw
z
y
1
d1Ph
w
v o
d'v'
Pv
w'
z
Fig.27a Fig.27b
OBSERVAŢIE: Dacă 1D Ph atunci proiecţiile dreptei 1D vor fi paralele cu proiecţia dreptei Ph(vezi AIV Invarianţii proiecţiilor – volumul I). Proiecţiile dreptei Ph sunt:
Proiecţia orizontală ≡ Ph Proiecţia verticală ≡ OX Proiecţia laterală ≡ OY
⇒ Dacă 1D Ph, atunci 1d Ph
1'd OX
1''d OY
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
17
2. Dacă 2D ⊂ [P] şi 2D [V] (vezi BII.2.4 Drepte particulare – volumul I). atunci 2D Pv, unde Pv = [P] ∩ [V] (vezi Concluzie pag.8).
[H]
[V] [W]
O
[P]D w
d
d'
d"
2
2
2
2h'
h"
x
z
y
w''=W
Pv
Ph
Pw
h =H
w'
Fig.28
y y
w
Ph
hd2
w'
d'
x xP h'
2vP
d''
h''o
2
y x
Pw
w''
z
Ph
hd2 w
d'
h'xP
2
o
Pv
w'
z
Fig.29a Fig.29b
OBSERVAŢIE:
Dacă 2D Pv atunci proiecţiile dreptei 2D vor fi paralele cu proiecţia dreptei Pv (vezi AIV Invarianţii proiecţiilor – volumul I). Proiecţiile dreptei Pv sunt:
Proiecţia orizontală ≡ OX Proiecţia verticală ≡ Pv Proiecţia laterală ≡ OZ
⇒ Dacă 2D Pv, atunci 2d OX
2'd Pv
2''d OZ
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
18
3. Dacă 3D ⊂ [P] şi 3D [W] (vezi BII.2.4 Drepte particulare – volumul I)
atunci 3D Pw, unde Pw = [P] ∩ [W] (vezi Concluzie pag.8).
[V] [W]v"v w
[H]
d'3
x hP h=H
h' 3dv 3D
oVv'=
h"
[P]
y
d"3
P
z
P
Fig.30
v' v'' PP v'P
y
vd3hh
P
x Px h'
d'3v
o h" y xd"3
w
y
v3dh
hP
h'Px o3d'
v
z z
Fig.31a Fig.31b
OBSERVAŢIE: Dacă 3D Pw atunci proiecţiile dreptei 3D vor fi paralele cu
proiecţia dreptei Pw (vezi AIV Invarianţii proiecţiilor – volumul I). Proiecţiile dreptei Pw sunt:
Proiecţia orizontală ≡ OY Proiecţia verticală ≡ OZ Proiecţia laterală ≡ Pw
⇒ Dacă 3D Pw, atunci 3d OY
3'd OZ
3''d Pw
Ultima condiţie ( 3''d Pw) nu apare în dubla proiecţie ortogonală .
(vezi Fig.31b). CONCLUZIE: Dacă 1D , 2D sau 3D ⊂ [P], atunci 1D Ph 2D Pv şi 3D Pw
În toate cazurile de mai sus ( 1D ⊂ [P], 2D ⊂ [P] sau 3D ⊂ [P]) concluzia de la
capitolul „Drepte oarecare în plan” rămâne valabilă, şi anume pentru ∀ D ⊂ [P], H ≡ h ∈ Ph V ≡ v’ ∈ Pv W ≡ w’’ ∈ Pw cu observaţia ca 1D , 2D şi 3D fiind paralele cu
[H], [V] sau [W], au fiecare doar două urme (intersectează doar două dintre plane de proiecţie).
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
19
DREPTE PERPENDICULARE PE PLANELE DE PROIECŢIE Fie 4D ⊥ [H], 5D ⊥ [V], 6D ⊥ [W] (vezi BII.2.4 Drepte particulare – volumul I) şi [P] = oarecare (unghiurile dintre [P] şi planele de proiecţie, luate pe rând, vor avea valori oarecare). Teoremă: Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, orice plan dus prin dreaptă este perpendicular pe planul dat sau, dacă D ⊥ [R], atunci pentru ∀[P] ⊃ D , [P] ⊥ [R].
[R]
[P]
D
Fig.32
Demonstraţie: [P] ⊥ [R] ≡ unghiul dintre [P] şi [R] = 900. Definiţie: Unghiul dintre două plane [P] şi [R] se măsoară între dreptele de intersecţie ( D şi F în Fig.33) dintre fiecare dintre plane şi un al treilea plan [Q], perpendicular pe dreapta de intersecţie dintre cele două plane ( E = [P] ∩ [R]). Prin I = D ∩ E se duce planul [Q] ⊥ E ; [Q] ∩ [R] = F
[Q]
[R]
FE
I
D
[P]
Fig.33
� Din enunţ D ⊥ [R] ⇒ D ⊥ ∀ dreaptă ⊂ [R] ⇒ D ⊥ E � [Q] ⊥ E , E ⊥ [Q] ⇒ E ⊥ ∀ dreaptă ⊂ [Q] ⇒ E ⊥ F
⇒ unghiul D I F ≡ unghiul dintre planele [P] şi [R].
� Din enunţ D ⊥ [R] ⇒ D ⊥ F unde F ⊂ [R] sau unghiul D I F = 900 ⇒ [P] ⊥ [R], unde [P] ⊃ D ⊥ [R].
Consecinţă: Dacă [P] [R] ⇒ D ⊂ [P] astfel încât D ⊥ [R].
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
20
CONCLUZIE: Fie, în teorema anterioară, [R] = plan de proiecţie, [H], [V] sau [W], şi
D ≡ 4D , 4D ⊥ [H] sau
D ≡ 5D , 5D ⊥ [V] sau
D ≡ 6D , 6D ⊥ [W].
Dacă 4D ⊥ [H], atunci 4D ⊂ [P] = oarecare,
5D ⊥ [V], atunci 5D ⊂ [P] = oarecare,
6D ⊥ [W], atunci 6D ⊂ [P] = oarecare,
sau
∀ [P] ⊃ 4D ⇒ [P] ⊥ [H],
∀ [P] ⊃ 5D ⇒ [P] ⊥ [V],
∀ [P] ⊃ 6D ⇒ [P] ⊥ [W].
La aceeaşi concluzie se poate ajunge şi pe baza teoremei dela pag.15 (vezi concluzie pag.18). Fie 4D ⊥ [H] ⇒ 4D [V] ⇒ 4D Pv
4D [W] ⇒ 4D Pw
4D ⊥ [H] ⇒ 4D ⊥ ∀dreaptă ⊂ [H] ⇒ 4D ⊥ OX
4D ⊥ OY
dar Pv OX; Pw OY ⇒ 4D Pv şi 4D Pw (Fig.34) ⇒ 4D ⊂ [P] = oarecare.
[P]
h
[H]
x P
OD4
y
[V] vP
z
[W]wP
Fig.34
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
21
Fie 5D ⊥ [V] ⇒ 5D [H] ⇒ 5D Ph
5D [W] ⇒ 5D Pw
5D ⊥ [V] ⇒ 5D ⊥ ∀dreaptă ⊂ [V] ⇒ 5D ⊥ OX
5D ⊥ OZ
dar Ph OX; Pw OZ ⇒ 5D Ph şi 5D Pw (vezi Fig.35)
⇒ 5D ⊂ [P] = oarecare.
[P]
O
P
[H]
x
vP
yh
D5
[V]
z
[W]Pw
Fig.35
Fie 6D ⊥ [W] ⇒ 6D [H] ⇒ 6D Ph
6D [V] ⇒ 6D Pv
6D ⊥ [W] ⇒ 6D ⊥ ∀dreaptă ⊂ [W] ⇒ 6D ⊥ OY
6D ⊥ OZ
dar Ph OY; Pv OZ ⇒ 6D Ph şi 6D Pv ⇒ 6D ⊂ [P] = oarecare.
[H]
[P]
x
D6
yPh
OPw
P[V]
v[W]
z
Fig.36
II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN
22