Il circuito RLC serie• Se si aggiunge un
induttore al circuito RC si ottiene un circuito RLC serie.
• Sia L l’ induttanza (coefficiente di autoinduzione) dell’ induttore
• Proviamo a risolvere il circuito (cioe’ a trovare la corrente che lo attraversa) quando è eccitato da una sorgente sinusoidale.
R
C
L
)cos( Vo tVV
Il circuito RLC serie• Per la seconda legge di
Kirkhoff:
• Per l’ induttanza abbiamo considerato la forza elettromotrice autoindotta –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a secondo membro cambiandola di segno.
• Derivando rispetto a t:
R
C
L
CQRI
dtdILV
CI
dtdIR
dtIdL
dtdV
2
2
Il circuito RLC serie
• E’ una eq. differenziale lineare del secondo ordine non omogenea. La soluzione è la somma dell’ integrale generale dell’ omogenea più un integrale particolare della disomogenea.
• Fisicamente la soluzione dell’ omogenea corrisponde al comportamento transitorio iniziale; a regime vale l’ integrale particolare.
CI
dtdIR
dtIdL
dtdV
2
2
02
2
CI
dtdIR
dtIdL Omogenea associata
Il circuito RLC serie
• La soluzione dell’ omogenea è del tipo
• Con I1 e I2 costanti da determinare dalle condizioni iniziali e k1 e k2 soluzioni dell’ equazione caratteristica:
• quindi
02
2
CI
dtdIR
dtIdL
tktk eIeItI 2121)(
LCLR
LRk
CRkLk
142
01
2
2
2,1
2
Il circuito RLC serie
LCLR
LCLR
LCLR
eIeItI
LCLRb
LRa
tbatba
14
14
14
sia che seconda aaimmaginari o nulla reale, essere può b quantità la
)( trovasi
14
2
ponendo
2
2
2
2
2
2
)(2
)(1
2
2
Caso 1, b reale
Caso 2, b nullo
Caso 3, b immaginario
Il circuito RLC serie
:atosovrasmorz caso
negativi. ambedue sono esponenti gli 14
se
)(e
14
2
2
2
)(2
)(1
2
2
LCLR
eIeItI
LCLRb
LRa
tbatba
I
t
}{2
)(
a arriva si LC1 ponendo e
2
....2
0 tponendo e 1la derivando quindi, trovasi
0)0(
)0( e)()0(0:)1
0)0(:inizialicondizioni le Imponendo
2
o1
1
21210)(
20)(
1
btbtatoo
o
o
o
oo
o
baba
eeeb
qtI
LCbqI
bIdtdI
Cq
dtdIL
Cq
dtdILRI
qqIIIIeIeItII
I
Quindi nel caso sovrasmorzato si ottiene il seguente andamento
I
t
}{2
)(2
btbtatoo eeeb
qtI
Caso criticamente smorzato
21
21
2
2
2
2
I e I trovanosi iniziali condizioni le imponendo nuovo, Di)()( tipodel e' soluzione la
0 smorzato) tecriticamen (caso 14
se
14
2
atetIItI
bLCL
RLCL
RbL
Ra
I
t
atoo
oo
teqtI
LCqI
LCq
dtdI
II
2
20
1
)(
00)0(
Il circuito RLC serie
:smorzato iooscillator caso)(
e' soluzione la 14
se
)(e
14
2
)(2
)(1
2
2
)(2
)(1
2
2
tjtj
tbatba
eIeItILCL
R
eIeItI
LCLRb
LRa
I
t
)()(
2)(
41
2
2
2
2
2
tseneqtI
eeeqjtI
LR
LCLR
too
ttjtjoo
Il circuito RLC serie
I
t
• L’ ampiezza delle oscillazioni diminuisce perchè l’ energia inizialmente disponibile come campo elettrico nel condensatore viene via via dissipata per effetto Joule nella resistenza.
• Le oscillazioni dipendono dal fatto che l’ energia viene rimbalzata continuamente tra condensatore (campo elettrico) e induttore (campo magnetico)
Il circuito RLC serie
I
t
• Consideriamo il caso oscillatorio smorzato.• Se R fosse nulla avremmo =R/2L=0 e quindi
• Le oscillazioni in tal caso non sarebbero smorzate
)()(
)()(
2
2
tsenqtI
tseneqtI
oo
too
C
L
Il circuito RLC serie
I
t
• In assenza di fenomeni dissipativi, e trascurando l’ energia irraggiata, l’ energia immagazzinata nel circuito dovrebbe rimanere costante. Vediamo se è vero.
?)0(21
21)()()(
2/1
2/2/121)0(
22
2
22
2
ELICVtEtEtE
LIILdIWdtE
CVCQqdqC
E
CqEE
LCCL
L
c
o
221
22212
21
22212222
212
21
2
sin
coscos
cos0
)(
oLC
ooL
oooocC
CoooCC
oooo
LIEE
tLILIE
tLItICLCVE
VtLIVdtdILV
dtdILRI
tsenItsenqtI
o
CL CL
Massima corrente Massima tensione
B E
Costante !
Il circuito RLC serie
• Cosa succede a regime (se V è sinusoidale) ?• Si cerca un integrale particolare:
CI
dtdIR
dtIdL
dtdV
2
2
oj
o
tjo
tjo
tjo
tjo
IC
LjReV
eIC
RjLeVj
eII
eVV
IV
IV
I
V
1
1
)(
)(2)(
)(
)(
A questa equazionesi poteva arrivare subito dalla leggedi Ohm generalizzata.
RC
L
CLR
VZVI
ZIeV
CLjRZ
IC
LjReV
ooo
oj
o
IV
oj
oIV
1
arctan
1
ottiene si
1
)(ponendo
1
22
)(
risonanza. di condizione 0. a vasfasamento lo e R) a pari (e
reale diventa impedenza l' /1 se
1
arctan
1 22
LC
RC
L
CLR
VZVI
ZIeV
o
ooo
oj
o
1
/
1
:riscrivere può si e /)/1(/
circuito delqualitàdifattore il definisce si
2222
22
o
oo
oo
ooo
oo
Q
RVI
CLR
VZVI
CLRRLQ
Il circuito RLC serie
oj
o IC
LjReV IV
1)(
R
C
L
qualità di fattore il è / dove
1
/
1
2222
22
RLQ
Q
RVC
LR
VZVI
oo
o
oo
o
ooo
Il circuito RLC serie
• Il circuito presenta un massimo di risposta (corrente massima) per o.0 1 o
I
LC1 o
1
/222
2
o
oo
ooo
Q
RVZVI
Il circuito RLC serie
• A seconda di Qo (fattore di qualità) la curva di risposta è più o meno piccata.
0 1 o
I
1
/222
2
o
oo
ooo
Q
RVZVI
/ RLQ oo
LC1 o
Qo altoQo basso
Il circuito RLC serie
R
C
L
Vgen
Vout=RI
• In questa configurazione il circuito agisce come un filtro passa banda.
• Solo le frequenze intorno ad oproducono un segnale in uscita.
• Il filtro è tanto più selettivo quanto più alto è Qo.
• Viene utilizzato ad es. per sintonizzare una radio su una frequenza ben precisa, eliminando le altre.
Il circuito RLC serie• La larghezza di
banda del filtro è la distanza tra i due punti della risposta in frequenza in cui la risposta è 1/sqrt(2) del massimo.
• E’ strettamente legata a Qo.
0 1 o
I
/ RLQ oo
LC1 o
0.707
1
Il circuito RLC serie
0 1
1
quando 2/1 vale
1
1/
2222
2222
2222
oo
o
oo
o
o
oo
o
oo
gen
o
Q
QRV
I
Il circuito RLC serie
LR
Q
o
o
o
oooo
o
oooo
oooo
12
222
1,2
222
22
cui da2
4
sono positive soluzioni due le e2
4
è soluzione la0
La larghezza di banda è inversamente proporzionale al fattore di qualità Qo . Il filtro è tanto più selettivo quanto più alto è Qo.
CL
RRLQ oo
1
1 LCo
• La resistenza minima del circuito è quella dell’ avvolgimento con cui si realizza l’ induttanza.
• Con induttanze commerciali di ottima qualità si ottengono fattori di qualità dell’ ordine di 100, e quindi bande passanti dell’ ordine di 1/100 della frequenza centrale.
• Solo usando superconduttori si possono ottenere Q>>100.
Il circuito RLC serie
CL
RRLQ oo
1
1 LCo
LR
Qo
o 12
ff
RLQ oo
oo
Nota: Misura di Qo• Il Qo che abbiamo definito si riferisce all’
espressione della corrente nel circuito.• La R che compare nell’ espressione di Qo è la
resistenza totale del circuito, somma di– Resistenza interna del generatore– Resistenza interna dell’ induttore– Resistenza reale
• La corrente che scorre nel circuito può essere valutata misurando V ai capi della resistenza reale e dividendo per il valore della resistenza reale.
• Da una curva di I in funzione della frequenza si valuta Qo=fo/f
Nota: Misura di Qo
• In un circuito reale solo Vin e Vout sono misurabili, Vgen non lo è (almeno non direttamente).
R
C
L
Vgen
Vout=RI
RLRG
Vin
GENERATORE INDUTTORE
R
C
L
Vgen
Vout=RI
RLRG
Vin
CLjRR
RVV
CLjRRR
VI
RV
Lin
out
LG
geno
out
1
1Qo si valutada questa
non da questa !
GENERATORE
INDUTTORE
Nota2: se si vuole misurare RL
• Dalle misure di I si valuta Qo=fo/f e da questo la somma di RL+RG+R, da cui per sottrazione RL (sapendo le altre due)
• Oppure, meglio• Dalle misure di Vout/Vin alla risonanza:
1
RISout
inL
LRISin
out
VVRR
RRR
VV
Lo sfasamento)(1 Itj
otj
o eIC
LjReV
R
C
L
• Vediamo le tensioni ai capi di ciascun componente:
• I tre termini nell’ equazione sopra sono delle tensioni, la cui parte reale e’ la proiezione del fasore rappresentativo sull’ asse reale del piano complesso.
• I tre vettori sono lunghi rispettivamente
• IoR, IoL, Io/CRIo
LIo
C)Io
Im
Re
to=-
Il circuito RLC serie)(1 Itj
otj
o eIC
LjReV
R
C
L
• Vediamo le tensioni ai capi di ciascun componente:
• I tre termini nell’ equazione sopra sono delle tensioni, la cui parte reale è la proiezione del fasore rappresentativo sull’ asse reale del piano complesso.
• I tre vettori sono lunghi rispettivamente
• IoR, IoL, Io/C• Al passare del tempo ruotano
mantenendo le stesse fasi relative
RIoLIo
C)Io
)( It
Im
Re
t generico
Il circuito RLC serie)(1 Itj
otj
o eIC
LjReV
R
C
L
• La composizione dei vettori si può fare sommando prima i contributi di L e C:
RIoLIoC)Io )( It
Im
Re
t generico
Il circuito RLC serie)(1 Itj
otj
o eIC
LjReV
R
C
L
• E poi trovando la risultante, che deve essere proprio la tensione (complessa) del generatore.
• Se L>C) , la corrente è in ritardo rispetto alla tensione del generatore
RIo
LIoC)Io
)(, Vt Im
Re
)( It
Vo
Il circuito RLC serie)(1 Itj
otj
o eIC
LjReV
R
C
L
• E poi trovando la risultante, cioè la tensione (complessa) del generatore.
• Se L<C) , la corrente è in anticipo rispetto alla tensione
RIo
LIoC)Io
)(, Vt
Im
Re
)( It
Vo
circuito RLC serie
0 1 o
I
0 1
V-I
RC
LIV
1
arctan
tensionealla rispetto ritardoin corrente
001 tensionealla rispetto anticipoin corrente
001
IVo
IVo
CL
CL
Sfasamento tra tensione e corrente:
Extratensioni)(1 Itj
otj
o eIC
LjReV
R
C
L
• Vediamo i moduli delle tensioni ai capi di ciascun componente reattivo:
CLjR
VLjIZV
CLjR
VCjIZV
oLL
o
CC
1
1
1
22
22
1
1
1
CLR
LVV
CLR
CVV
o
L
o
C
Il circuito RLC serieR
C
L
22
22
1
1
1
CLR
LVV
CLR
CVV
o
L
o
C
1 1
1 1 oo0 000
VC/Vo
VL/Vo
Q2>1/2 Q2<1/2
VC/Vo VL/Vo
Extratensioni
oo
o
L
o
L
ooo
C
o
C
QCL
RRL
VV
CLR
LVV
QCL
RCRVV
CLR
CVV
1
1
11
1
1
22
22
• Notare che, alla risonanza :
cioè la tensione ai capi di C e L è maggiore di quella di ingresso, di un fattore pari a Qo.
• Va anche notato che, seppure le due tensioni su L e su C siano grandi, hanno fase opposta, e quindi si elidono istante per istante, e non fanno scorrere alcuna corrente, né nel resistore né nel generatore.
Il circuito RLC serieR
C
L
1 1
1 1 oo0 000
VC/Vo
VL/Vo
Q2>1/2 Q2<1/2
VC/Vo VL/Vo
EXTRATENSIONI:La tensione massima, però, si ha per una frequenza leggermente diversa da quella di risonanza.
Il circuito RLC serieR
C
L
1 1
1 1 oo0 000
VC/Vo
VL/Vo
Q2>1/2 Q2<1/2
VC/Vo VL/Vo
Si può dimostrare che nei due casi
oC
oL
LR
LCV
RCLC
V
2
max
2max
211)(
2
1)(