Download pdf - ILMU UKUR SUDUT DAN SEGITIGA (TRIGONOMETRI) · 4sin cos sin cos 2cos sin sin ... c. Hitunglah sudut-sudut dan , jika , , dan . 1 2 sin sin70 0,7994 ... yang bersudut lancip AD dan

1 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Atas, 2015

Mengenang Jejak Sebagian Kecil Bangsa Indonesia Yang Pernah

Mengikuti Ujian Sekolah Pada Masa Awal Kemerdekaan

UJIAN PENGHABISAN SEKOLAH MENENGAH TINGKAT ATAS

TAHUN 1947

ILMU UKUR SUDUT DAN SEGITIGA (TRIGONOMETRI)

1. HBS Negeri Belanda (Nederland) 1947

Dari sebuah ABC diberikan ah s a . Buktikanlah

a. 1 1 1

cos 2cos cos2 2 2

b. 1 1

tg tg 22 2

c. 1 1 1

sin 2sin 45 sin 452 2 2

d. atau adalah sudut tumpul

Bukti:

a. ah s a

sin1

tan2

rc

1sin tan

2c r

1 1 1 1sin tan 4 sin sin sin

2 2 2 2c R

1sin

1 1 122 sin sin 4 sin sin sin1 2 2 2

cos2

R R

1 1 1sin sin 2cos sin sin

2 2 2

1 1 1sin sin 2cos sin sin

2 2 2

1 1 1 1 1 1 14sin cos sin cos 2cos sin sin

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1cos 2cos cos

2 2 2

(qed)

b. 180

1 1 190

2 2 2

1 1 1cos 2cos cos

2 2 2


1 1 1 1 1cos 90 2cos cos

2 2 2 2 2

1 1 1 1sin 2cos cos

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1sin cos cos sin 2cos cos

2 2 2 2 2 2

1 1

tan tan 22 2 (qed)

c. 180

1 1 190

2 2 2

1 1tan tan 2

2 2

1 1sin sin

2 2 21 1

cos cos2 2

1 1 1 1sin cos cos sin

2 2 2 2 21 1

cos cos2 2

1 1 1 1sin 2cos cos

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1sin cos cos

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1sin cos 90 cos

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1sin sin cos

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1sin cos 90 cos

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1sin 2sin 90 sin 90

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1sin 2sin 45 sin 45

2 2 2

(qed)

d. Karena 180 dan 1 1 1

sin 2sin 45 sin 452 2 2

, maka haruslah

atau adalah sudut tumpul, sehingga

1sin

2 bernilai positif.

2. HBS Negeri Belanda (Nederland) 1947

Pada garis alas AB dari ABC terletak sebuah titik D sehingga : :AD DB p q , 1ACD , dan

2DCB .


a. Buktikanlah: 1

2

sin sin

sin sin

p

q

.

b. Jika 1R dan 2R berturut-turut jari-jari lingkaran luar dari ACD dan BCD , buktikanlah

bahwa 1 2:R R tidak bergantung pada letaknya D pada AB. Hitunglah sudut-sudut 1 dan 2 ,

jika : 1: 2p q , 70 , dan 36 .

Solusi:

a. Menurut Aturan Sinus:

1sin sin

CD p

1

sin

sin

pCD

.... (1)

2sin sin

CD q

2

sin

sin

qCD

.... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

1 2

sin sin

sin sin

p q

1

2

sin sin

sin sin

p

q

(qed)

b. Menurut Aturan Sinus:

Pada ACD : 1

1

2sin sin sin

CD b pR

ADC

12 sinCD R .... (1)

Pada BCD : 2

2

2sin sin sin

CD a qR

BDC

22 sinCD R .... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

1 22 sin 2 sinR R

1 2: sin :sinR R

Dari persamaan terakhir terlihat bahwa 1 2:R R tidak bergantung pada letaknya D pada AB.

(qed)

c. Hitunglah sudut-sudut 1 dan 2 , jika : 1: 2p q , 70 , dan 36 .

1

2

sin sin

sin sin

p

q

1

2

sin sin 700,7994

sin 2sin36

2 2sin 74 0,7994sin

2 2 20,9613cos 0,2756sin 0,7994sin

2 20,9613cos 1,075sin

2 2 2sin74 cos cos74 sin 0,7994sin

1

2

A B D

C

a b

p q


2

0,9613tan 0,8942

1,075

2 41 48'

1 74 41 48' 32 12' 3. Gymnassium Negeri Belanda, 1947

Dalam sebuah ABC yang bersudut lancip AD dan BE adalah dua garis tinggi yang saling

bertemu di H. Hitunglah sudut-sudut dari segitiga tersebut, jika diketahui bahwa 2CH DE

dan 3

cos2 cos24

.

Solusi:

Pada AHF diperoleh 1 190H A .... (1)

Pada ABD diperoleh 190B A .... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 1H B .

Pada ACF diperoleh cos cosAE

AE bb

.... (3)

Pada CHD diperoleh 2sinCD

HCH

, sehingga

2

cos 2 sin cos2 cos

sin sin sin

CD b RCH R

H

.... (5)

Pada BHE diperoleh 90BHF FBH .... (6)

Pada BAE diperoleh 90BAE FBH .... (7)

Dari persamaan (6) dan (7) diperoleh BHF BAF .

2 2sin sin 2 cos sin cosCD

H CD CH H R bCH

.... (8)

sin sin 2 cos sin cosCE

EHC CE CH EHC R aCH

.... (9)

Menurut Aturan Kosinus pada CED :

2 2 2 2 cosDE CE CD CE CD

2 22 cos cos 2 cos cos cosDE a a a a

2 2cos 2 cosDE a b ab 2cos c cosc

Diketahui bahwa 2CH DE , sehingga

2CH DE 2 cos 2 cosR c

2 sinR c R

1sin 30 150

2

180

2 2 360 2

3cos2 cos2

4

3

2cos2 cos22

C

A B

D

H

1

1

2 E

F


3

cos 2 2 cos 2 22

3

cos 360 2 cos 2 22

3

cos2 cos 2 22

3

cos 2 2 cos22

3 3 3 1

30 cos 2 2 cos2 30 cos60 12 2 2 2

2 2 0

75

3 3 3 1

150 cos 2 2 cos2 150 cos300 12 2 2 2

2 2 0

15