Implementacion
Dr. Rogerio
1[ ]x n
2[ ]x n
la
la
1z
la
[ ]x n [ 1]x n
1 2[ ] [ ]x n x n
[ ]x n [ ]la x n
1 2 0
01 2
1 2
[ ] [ 1] [ 2] [ ]
( )1
y n a y n a y n b x n
bH z
a z a z
1z
b[ ]y n
1z
1a
2a
[ ]x n
1 0
1 0
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
N M
k kk k
N M
k kk k
y n a y n k b x n k
y n a y n k b x n k
1z
0b[ ]y n
1z
1a
2a
1z
la
1Na
Na
1z
1z
1z
[ 1]y n
[ ( 1)]y n N
[ ]y n N
[ ]x n
[ 1]x n
[ ( 1)]x n M
[ ]x n M
[ 2]y n [ 2]x n
1b
2b
1Mb
Mb
Forma Directa I
1 0
[ ]
[ ] [ ] [ ]N M
k kk k
v n
y n a y n k b x n k
1z
0b[ ]y n
1z
1a
2a
1z
la
1Na
Na
1z
1z
1z
[ 1]y n
[ ( 1)]y n N
[ ]y n N
[ ]x n
[ 1]x n
[ ( 1)]x n M
[ ]x n M
[ 2]y n [ 2]x n
1b
2b
1Mb
Mb
[ ]v n
1 0
0
1
0
1
1 2
[ ] [ ] [ ]
1
1
1
N M
k kk k
Mk
kk
Nk
kk
Mk
k Nkk
kk
y n a y n k b x n k
b zH z
a z
H z b za z
H z H z H z
0
1
1 2
10
2
1
1
1
( ) ( ) ( )
1( ) ( ) ( )
1
Mk
k Nkk
kk
Mk
kk
Nk
kk
H z b za z
H z H z H z
V z H z X z b z X z
Y z H z V z V za z
1z
0b[ ]y n
1z
1a
2a
1z
la
la
1Na
Na
1z
1z
1z
[ 1]y n
[ ( 1)]y n N
[ ]y n N
[ ]x n
[ 1]x n
[ ( 1)]x n M
[ ]x n M
[ 2]y n [ 2]x n
1b
2b
1Mb
Mb
[ ]v n
0
0
1 1
0
1
2 1
2
1
1
1 1
1
1
solo que ahora
1( ) ( ) ( )
1
( )
Mk
k Mkk
kN Nk kk
k kk k
Mk
kNk k
kk
Nk
kk
b zH z b z
a z a z
H z b za z
H z H z H z
W z H z X z X za z
Y z H
10
( ) ( )M
kk
k
z W z b z W z
2
1
[ ]
1
0
1( ) ( ) ( )
1
( )( ) ( ) 1 ( ) ( )
1 ( )
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
Nk
kk
x nN
kk
M
kk
recuerde
W z H z X z X za z
X zW z X z A z W z
A z
w n a w n k w n
finalmente
y n b w n k
[ ]
1 0
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]w n
N M
k kk k
w n a w n k x n y n b w n k
0b
1z
1z
1z
1b
2b
1Mb
Mb
[ ]y n[ ]x n
[ ( 1)]w n N
[ ]w n N
1z
1z
1a
2a
1z
la
1Na
Na
[ ]w n
Forma Directa II o Forma Canónica Directa
0b
1z
1z
1z
1b
2b
1Mb
Mb
[ ]y n[ ]x n
1a
2a
la
1Na
Na
[ ]w n
0b
1z
1z
1z
1b
2b
1Nb
Nb
[ ]y n[ ]x n
[ ( 1)]w n N
[ ]w n N
1z
1z
1a
2a
1z
la
1Na
Na
[ ]w n
Forma Canónica (mínimo número de “delays”)
Diseño de Filtro FIR
Procesamiento Digital de Señales
FiltroS FIR
• Son inherentemente estables.• Son capaces de tener una fase lineal, es decir
un retraso puramente de tiempo.• Sin embargo requieren ordenes mayores que
los filtros IIR para alcanzar una respuesta equivalente.
• Por lo anterior son lentos.
EJEMPLO: Diseñe un filtro ideal pasa-bajas con respuesta de fase cero y una frecuencia de corte:
a) w1=π/5b) w2=π/2
• Ideal pasabajas y frecuencia de corte en w1=π/5: Su respuesta en frecuencia (función de transferencia) debe ser
• Respuesta de fase cero: Debe ser entonces FIR, es decir sólo ceros.
• Sabemos que la transformada inversa de Fourier de tiempo discreto de la función de la figura que representa el filtro es una función sinc, estrictamente:
π/5-π/5
0)5
(1
)( nnsenn
nh
La respuesta anterior es la respuesta al impulso del filtro
n=10 n=20
n=100
• Este filtro para implementarlo primero debemos acotarlo, es decir, determinar cuantos términos tomar en consideración, obviamente cuanto mayor sea el número de coeficiente, mayor será la aproximación a su respuesta ideal. Sin embargo mayor número de términos implica mayor tiempo de procesamiento.
• Por ejemplo si se decide acotarlo a 21 términos, se calculan los primeros 10 términos, y puesto que la señal es simétrica par:
h(-10)=h(10)=-7.7963e-018h(-9)=h(9)=-0.020789h(-8)=h(8)=-0.037841h(-7)=h(7)=-0.043247h(-6)=h(6)=-0.031183h(-5)=h(5)=7.7963e-018h(-4)=h(4)=0.046774h(-3)=h(3)=0.10091h(-2)=h(2)=0.15137h(-1)=h(1)=0.1871h(0)=0.2
• Para calcular el término en n=0 utilizamos la regla de L´Hopital.
• Finalmente h(n) queda de la siguiente forma:
• Esta respuesta al impulso representa un sistema no causal, puesto que su respuesta depende de valores futuros. Esto resulta en un filtro que no se puede usar en aplicaciones de tiempo real, aunque en aplicaciones donde se trabaje con señales previamente almacenadas, sí son útiles.
• Para convertir este filtro en causal, simplemente aplicamos un desplazamiento de 10 a la respuesta al impulso. Claro está, que debemos pagar un precio, y el precio es que se convierte en un filtro de fase lineal y no de fase cero.
0
sin( )5
(0) 0.2
n
d ndn
hd
ndn
10
10
( ) ( ) ( )
( 10) ( 10) ( 9) ( 9)... (0) (0)... (9) (9) (10) (10)n
h n h n n
h h h h h
• Finalmente para la implementación, obtenemos su ecuación en diferencias:
18 18
18 18
( ) 7.79 10 ( 10) ( 9)... 0.2 (0)... (9) 7.79 10 (10)
( ) 7.79 10 ( 10) ( 9)... 0.2 (0)... (
0.020789 0.020789
0.020789 0.020789 9) 7.79 10 (10)
h n
y n x x x x x
1
y(n)
10.200
1-7.7e-18
1-7.7e-1
z
1
-20
z
1
-2
z
1
-19
z
1
-10
1-0.2
1-0.0207
1
x(n)
• Las respuestas del filtro al simularlo en MatLAb, tanto en amplitud como en fase es:
0 pi/5 2pi/5 3pi/5 4pi/50
0.5
1
1.5
0 pi/5 2pi/5 3pi/5 4pi/5-4
-2
0
2
4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Normalized Frequency ( rad/sample)
Mag
nitu
de (
dB)
Magnitude Response (dB)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
Normalized Frequency ( rad/sample)
Pha
se (
radi
ans)
Phase Response
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.99.5
9.6
9.7
9.8
9.9
10
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
Normalized Frequency ( rad/sample)
Pha
se D
elay
(sa
mpl
es)
Phase Delay
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Samples
Impulse Response
Am
plitu
de
• La respuesta del filtro al utilizar la herramienta “fvtool” de MatLAb, es:
Ejemplos de representación de una función en términos de
polos y ceros
• CONSIDERE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA
Relacion entre una transformada de laplace y una transformada continua.
ejemplo
12
SS
SG
Si la entrada a este sistema se hace pasar a través de un muestreador, sera el equivalente a multiplicar en el dominio S por:
12
1
1
1
SSS
SG
SGeSGSM ST
• AL MULTIPLICAR Y SEPARAR TERMINOS OBTENEMOS:
Se
SMST1
SEPARANDO G1(S) EN FRACCIONES PARCIALES TENEMOS:
112
12
1
SSSSS
SG
APLICANDO TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE:
ktt ektgetg 22 11
APLICANDO TRANSFORMADA Z
Tezz
zz
zG
12
1
HACIENDO T=0.5s
607.01213.0
607.012 2
1
zzzz
zz
zz
zG
TRANSFORMANDO EN Z LA EXPRESION DE LA EXPONENCIAL TENEMOS
z
zeZ ST 1
1
DE ESTA FORMA
607.0213.0
zz
zG
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