Indice
1. Regimi di capitalizzazione dei tassi di interesse e attualizzazione
2. Cosa sono i derivati
3. Esempio di futures e opzioni
4. Equazioni di Black, Scholes e Merton
5. Alcune complicazioni dei derivati reali: es. regole di day count
6. Panoramica sulle procedure realizzate da SiGrade
Regimi di capitalizzazione
N : capitale nozionale (es. 10.000€)
r : tasso di interesse annuo (es. 2%)
)1( rNrNN montante
TrN montante )1(
nT
n
rN montante
1
rTNe montante
CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE
CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA n VOLTE
CAPITALIZZAZIONE CONTINUA
Dopo 1 anno:
Dopo T anni:
Ricapitalizzando n volte all’anno:
Facendo tendere n all’infinito:
Ogni importo è dipendente dal tempo:
Se oggi ho una quantità X di denaro, tra T anni essa varrà
Attualizzazione
rTXe
rTXe
Se di un contratto si conosce con esattezza l’importo pagato alla scadenza allora per valutarlo è sufficiente attualizzare l’importo.
Il tasso r da utilizzare dipende principalmente da:
• Andamento economico globale
• Durata T del contratto
• Rischio di insolvenza della controparte
Se un contratto scade tra T anni e mi fa incassare X, allora oggi esso vale
Contratti Derivati
Un derivato è un contratto finanziario il cui valore X al momento della scadenza t dipende dal valore in t di una certa attività finanziaria S, detta sottostante:
)( tt SfX
Derivati su tassi di interesse: il sottostante S è un tasso di interesse (Es. Euribor 3 mesi)
Derivati azionari: il sottostante S è un’azione (Es. azioni FIAT) o un’indice azionario (Es. indice SPMIB)
Derivati su commodity: il sottostante S è una materia prima (Es. acciaio, petrolio, oro, energia elettrica, ecc)
Derivati atmosferici: il sottostante S è rappresentato da una variabile atmosferica (Es. gradi di riscaldamento giorno, gradi di raffreddamento, ecc)
Le tipologie di derivati più note e diffuse sono:
Esempio 1: Future
KSSf tt )(
.tS
I Futures sono stati uno dei primi derivati ad essere stipulati (~1860).
• eseguire lo scambio ad una data t futura.
• fissare oggi il prezzo K a cui verrà acquistato il prodotto.
• sostituire il prodotto con il suo prezzo corrente
Il valore del future alla scadenza sarà:
Invece di acquistare oggi un certo prodotto (es. 10 tonnellate di grano) ci si accorda per:
: l’opzione sarà esercitata, comprando il sottostante al prezzo K ed eventualmente rivendendolo sul mercato al prezzo St.
: l’opzione sarà lasciata decadere, conviene acquistare il sottostante al prezzo di mercato St.
Esempio 2: Opzioni europee
KSt
KSt
Un’opzione è un contratto finanziario che dà il diritto - ma NON l’obbligo - al portatore
di comprare (opzione call) o vendere (opzione put) una certa quantità dell’attività
finanziaria sottostante ad un determinato prezzo K, in una precisa data futura t.
Il valore della call alla scadenza sarà:
Alla scadenza di un’opzione call, due casi possibili:
)0,max()( KSSf tt
Assunzione di Lognormalità
Ipotesi largamente diffusa nell’ambito del pricing di derivati è l’assunzione di
lognormalità per l’attività sottostante S:
SdzSdtdS
= tasso di rendimento atteso di S
= volatilità.
= processo di Wiener.
z E’ un processo stocastico a tempo continuo
e con incrementi indipendenti usato per
modellizzare il moto browniano e diversi
fenomeni casuali osservati nell’ambito della
fisica e della finanza.
Lemma di Itô
dztxbdttxadx ),(),(
Se x segue un processo di Itô, cioè vale
ed f è una funzione di x e t, allora
bdzx
fdtb
x
f
t
fa
x
fdf
22
2
2
1
dove z è sempre lo stesso processo di Wiener.
Applicando il lemma con si ottiene che la variazione di
ha legge normale.
)ln(),( StSf )ln(S
Equazione di Black, Scholes e Merton
rfS
fS
S
frS
t
f
2
222
2
1
Per l’ipotesi di lognormalità, S segue un processo di Itô.
Applicando il lemma con f generica, con alcuni passaggi, si ottiene
la famosa equazione di Black, Scholes e Merton:
è il valore al tempo t di un derivato è soluzione dell’equazione di B-S-M. ),( tSf Le condizioni al contorno sono date dal valore pagato dal derivato alla scadenza tfin
e stabilito dal contratto: .)),(( finfin ttSf
Storia dell’equazione B-S-M
L’equazione di Black, Scholes e Merton fu:
Pubblicata nel 1973 da F.Black e M.Sholes.
Risolta grazie ad una trasformazione che la riporta alla “heat equation” (equazione
di diffusione del calore, già risolta dalla Fisica).
R.Merton il primo ad espanderne i risultati.
Nel 1997 Merton e Scholes vincono il premio Nobel per l’economia (Black
deceduto nel 1995).
Il modello originale è stato successivamente espanso per coprire una vastissima
gamma di opzioni.
Valore atteso di un’opzione
)()( 210 dNKedNSFV rTcall
)()( 102 dNSdNKeFV rTput
T
TrKSd
)2/()/ln( 2
01
La soluzione dell’equazione (valore atteso o Fair Value), nel caso delle opzioni è
TdT
TrKSd
1
20
2
)2/()/ln(
dove:
N(x) è la distribuzione normale con media 0 e deviazione standard 1
Regole di day count
T è il tempo tra la data di valutazione t0 e la data di scadenza tfin misurato in anni.
365
),(. 0 finttggnumT
Quindi:
• Attenzione al numero di giorni di ogni mese. E se un anno è bisestile il denominatore è 365 o 366?
• Alcuni contratti invece adottano la convenzione per cui tutti i mesi hanno 30 giorni e l’anno 360.
• Altre volte vanno considerati solo i giorni lavorativi, dunque
annuilavggnum
ttlavggnumT fin
...
),(.. 0
• Ma giorni lavorativi secondo il calendario civile o commerciale? Inoltre ogni nazione considera festività diverse.
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Bibliografia
John C. Hull, Opzioni, futures e altri derivati, ed. Il Sole 24 Ore, 2003 M. Di Franco, Francesco Polimeni, Massimo Proietti, Opzioni e titoli strutturati, ed.
Il Sole 24 Ore, 2002 KPMG, Guida agli strumenti derivati, ed. Edibank Bancaria Editrice, 2001 Riccardo Cesari, Elisa Susini, Introduzione alla finanza matematica, ed. McGraw-
Hill, 2005 Alexander Lipton, Mathematical methods for foreign exchange, ed. World Scientific
Publishing, 2001 Damiano Brigo, Fabio Mercurio, Interest rate models - Theory and practice,
ed.Springer-Verlag, 2001 Espen Gaarder Haug, The complete guide to option pricing formulas, ed. McGraw-
Hill,1998 Mark Joshi, The concepts and practice of mathematical finance, ed. Cambridge
University Press, 2003
Grazie per l’attenzione !