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INDICI DI TENDENZA CENTRALE
MODA
MEDIA
MEDIANA
A cura di Monica Terenghi
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Per semplificare la lettura e l’interpretazione di un fenomeno statistico, i dati possono essere:
organizzati in una tabella
tabellaunità stat./modalità
tabellamodalità/frequenze
insiemedi dati
statistici
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Per semplificare la lettura e l’interpretazione di un fenomeno statistico, i dati possono essere:
rappresentati mediante un grafico
tabelladati
statistici
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Per semplificare la lettura e l’interpretazione di un fenomeno statistico, i dati possono essere:
elaborati e sintetizzati in un unico dato
tabelladati
statistici
indicecentrale
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L’indice centrale fornisceun’unica informazione
La sintesi dei dati deve conservare l’informazione più significativa
tabelladati
statistici(tante
informazioni)
indicecentrale
(un’unicaricca
informazione)
informazioneda conservare
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L’indice centrale deve descriverecome si è manifestato il fenomeno
L’informazione da conservare è quindi legata alle modalità del carattere indagato
tabelladati
statistici(tante
modalità)
indicecentralesintesi delle
modalità
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INDICI CENTRALI PERCARATTERI QUALITATIVI
1° CASO
il carattere si manifesta con modalità sempre diverse
(o con ripetizioni non significative)
NON ESISTE UN MODO PER STABILIRE
UN INDICE DI TENDENZA
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Esempio 1: quattro amici alla domanda “quale sport preferisci?” hanno dato quattro risposte diverse.
u.s. modalità
Andrea
Barbara
Carlo Diego
informazioneda conservare
???
NON ESISTEun indicecentrale
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INDICI CENTRALI PERCARATTERI QUALITATIVI
2° CASO
il carattere si manifesta con modalità
che a volte si ripetono
Si può descrivere il fenomeno conservando solo l’informazione relativa alla modalità più frequente, la MODA
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Esempio 2: tra i 4 corsi offerti da un centro sportivo, 25 ragazzi hanno optato per uno di essi secondo la seguente tabella:
modalità frequenza
7
4
12
2
modalità confrequenza max
MODA
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INDICI CENTRALI PERCARATTERI QUALITATIVI
3° CASO
il carattere, pur se qualitativo, si manifesta con modalità ordinabili
Si può descrivere il fenomeno conservando solo l’informazione relativa alla modalità che occupa la posizione centrale, la MEDIANA
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Esempio 3: tra i 25 dipendenti di una ditta, il titolo di studio risulta così distribuito:
modalità frequenzaordinate
Lic. elemen. 1
Lic. media 10
Diploma 8
Laurea 6
modalità conposizione centrale
(la 13a)
MEDIANA
Diploma
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Si perdono le informazioni relative ai singoli titoli di studio; si conserva solo il titolo di studio centrale
modalità frequenzaordinate
Lic. elemen. 1
Lic. media 10
Diploma 8
Laurea 6
modalità frequenza
Max ildiploma 12
Sicuramenteil diploma 1
Almeno il
diploma 12
mediana:diploma
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INDICI CENTRALI PERCARATTERI QUANTITATIVI
E’ evidente che anche in questo caso è possibile calcolare:
a volte la MODA (se il carattere si manifesta con modalità che si ripetono)
sempre la MEDIANA (un carattere quantitativo ha modalità ordinabili)
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Esempio 1: in un condominio con 25 appartamenti, il numero di occupanti ogni singolo appartamento è così distribuito:
modalità frequenzaordinate 7
4
12
2
modalità confrequenza max
MODA
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Esempio 2: dopo una gara tra 5 concorrenti viene compilata la classifica
u.s. mod.giocat. punti
Barbara 8Enza 8
Andrea 7Carlo 6Diego 2
MEDIANA
7 informazione da
conservare: punteggio centrale
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ALTRI INDICI CENTRALI PER CARATTERI QUANTITATIVI: LE MEDIE
Le modalità
sono espresse da numeri.
E’ possibile allora eseguire un’operazione
opportunamente scelta e ottenere
una grandezza che dipenda dalle modalità.
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Calcolare una MEDIA significa:
Sintetizzare le modalità di un carattere quantitativo in modo da conservare una grandezza che da esse dipenda.
tabelladati
statistici
MEDIAgrandezzada conservare
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Esempio 1: si vuole valutare il profitto medio in matematica di uno studente che in 5 prove abbiariportato i seguenti voti:
u.s. mod.PROVA VOTO
prima 7
seconda 8
terza 6
quarta 2
quinta 8
voto mediom ?
grandezza daconservare?
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Il voto medio può essere calcolato in modo che, sostituito ai singoli voti, esso non alteri il punteggio totale raggiunto dallo studente
u.s. mod.PROVA VOTO
prima 7
seconda 8
terza 6
quarta 2
quinta 8
voto mediom ?
grandezza daconservare7+8+6+2+8
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La media che conserva la SOMMA è laMEDIA ARITMETICA
u.s. mod.PROVA VOTO
prima 7
seconda 8
terza 6
quarta 2
quinta 8
7+8+6+2+8 =m+m+m+m+m
voto medio
6,2
m
7 8 6 2 8
5
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Si perdono le informazioni portate dai singoli voti; si conserva il punteggio totale
u.s. mod.PROVA VOTO
prima 7
seconda 8
terza 6
quarta 2
quinta 8
totale 31
media aritmetica:6,2
u.s. mod.PROVA VOTO
prima 6,2
seconda 6,2
terza 6,2
quarta 6,2
quinta 6,2
totale 31
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Esempio 2: si vuole valutare lo spigolo del cubo avente la stessa capacità di un parallelepipedo delle seguenti dimensioni:
grandezza daconservare?
u.s. mod.
spigolo cm
a 12
b 9
c 2
a
b
c m
m
m
m sarà una media delle dimensioni del parallelepipedo
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Lo spigolo del cubo deve essere calcolato in modo da conservare il volume del parallelepipedo
u.s. mod.
spigolo cm
a 12
b 9
c 2
a
b
c m
m
m
spigolo mediom ?
grandezza daconservare12 x 9 x 2
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La media che conserva il PRODOTTO è la MEDIA GEOMETRICA
u.s. mod.
spigolo cm
a 12
b 9
c 2
a
b
c m
m
m
spigolo mediom = 3(12x9x2)=6
12 x 9 x 2 =m x m x m
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Si perdono le informazioni relative ai singoli spigoli; si conserva il volume
u.s. mod.
spigolo cm
a 12
b 9
c 2
volume 216 cm3
a
b
c c
a
b
media geometrica:6
u.s. mod.
spigolo cm
a 6
b 6
c 6
volume 216 cm3
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PRINCIPALI TIPI DI MEDIA
t i p o d i M E D I A g r a n d e z z a d a c o n s e r v a r e f o r m u l a m = . . . . .
A R I T M E T I C A x x x m m mn1 2 . . . . . . . . . .m
x x x
nn
1 2 . . . . .
G E O M E T R I C A x x x m m mn1 2 . . . . . . . . . . m x x x nn 1 2 . . . . .
A R M O N I C A 1 1 1 1 1 1
1 2x x x m m mn
. . . . . . . . . . mn x x x n
1 1 1 1
1 2
1
. . . . .
Q U A D R A T I C A x x x m m mn12
22 2 2 2 2 . . . . . . . . . .
mx x x
nn
12
22 2. . . . .
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Confronto traMODA, MEDIA e MEDIANA
In una ditta dove lavorano 50 persone, gli stipendi mensili sono ripartiti secondo la tabella a fianco
euro/mese frequenza
23.000 1
9.400 1
6.500 2
2.600 3
2.200 19
1.700 22
1.300 2
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Il proprietario, un operaio e il commercialista della ditta fanno le seguenti affermazioni:
La paga media è di 1.700 euro
La paga media è di 2.200 euro
La paga media è di 2.700 euro
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Chi di loro sta affermando il falso?
La paga media è di 1.700 euro
La paga media è di 2.200 euro
La paga media è di 2.700 euro
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Nessuno! In realtà tutti hanno una “ragione”
La paga media è di 1.700 euro
La paga media è di 2.200 euro
La paga media è di 2.700 euro
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Cosa intende il proprietario dicendo che la paga media è di 2.700 euro?
Se sommo gli stipendi di
tutti e divido per 50
ottengo 2.700
euro/mese frequenza
23.000 1
9.400 1
6.500 2
2.600 3
2.200 19
1.700 22
1.300 2
135.000 50
Media aritmetica =
135.000 : 50 =
2.700
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Cosa intende l’operaio dicendo che la paga media è di 1.700 euro?
euro/mese frequenza
23.000 1
9.400 1
6.500 2
2.600 3
2.200 19
1.700 22
1.300 2
moda = 1.700
La maggior parte dei
dipendenti guadagna 1.700 euro
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Cosa intende il commercialista dicendo che la paga media è di 2.200 euro?
mediana =
Stipendio in 25-26ma posizione=
2.200
Chi guadagna 2.200 euro è a metà classifica
rispetto agli altri stipendi
euro/mese fr. pos.
23.000 1 1°
9.400 1 2°
6.500 2 3°-4°
2.600 3 5°-7°
2.200 19 8°-26°
1.700 22 27°-48°
1.300 2 49°-50°