Teori Bilangan
INF-104 Matematika DiskritTeori Bilangan
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah
March 27, 2014
[email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilanganbulat adalah induksi matematik. Induksi matematikmerupakan teknik pembuktian yang baku di dalammatematika.
Contoh, misalkan pernyataan terbuka:p(n): ”Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai nadalah n(n + 1)/2”.Buktikan p(n) benar.
Melalui induksi matematik kita dapat mengurangilangkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulattermasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran denganhanya sejumlah langkah terbatas
[email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Prinsip terurut dengan baik (well-ordering principle)
Misalkan Z+ = {x ∈ Z|x > 0} = {x ∈ Z|x ≥ 1}. Setiapsubhimpunan tak kosong dari Z+ memuat sebuah elementerkecil. Kita katakan bahwa Z+ terurut dengan baik.
Prinsip induksi matematik ( principle)
Misalkan S(n) menyatakan pernyataan matematika terbukayang melibatkan satu atau lebih variabel n yang manamenyatakan bilangan bulat positif.a) Jika S(1) benar; danb) Jika bilamana S(k) benar (untuk suatu k tertentu, tetapipemilihannya sebarang, k ∈ Z+),maka S(k + 1) benar;maka S(n) benar untuk semua n ∈ Z+.
[email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
1 Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2dinamakan langkah induksi.
2 Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakanbahwa p(k) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesisinduksi.
3 Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benarmaka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuksemua bilangan bulat positif n.
4 Induksi matematik berlaku seperti efek domino.
[email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Contoh 1.
Untuk semua n ∈ Z,∑n
i=1 i = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n + 1)
2.
Bukti:Untuk n = 1, pernyataan tebuka
S(n) :n∑
i=1
i = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n + 1)
2
akan menjadi S(1) :∑1
i=1 i = 1 =1(1 + 1)
2. Jadi S(1) benar
dan kita telah menunjukkan langkah basis.
[email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Contoh 1.
Selanjutnya, asumsikan hasilnya benar untuk n = k, kita akanmembangun langkah induksi dengan menunjukkan bahwakebenaran untuk S(k) ”memaksa” kita untuk menerimakebenaran untuk S(k + 1). Untuk menunjukkan kebenaranuntuk S(k + 1), kita harus menunjukkan bahwa∑k+1
i=1 i =(k + 1)(k + 2)
2Kita lakukan sebagai berikut:∑k+1
i=1 i = 1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)
= (∑k
i=1 i) + (k + 1)
=k(k + 1)
2+ (k + 1)
=k(k + 1)
2+
2(k + 1)
2
=n(n + 1)
[email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Contoh 2.
Buktikan bahwa untuk n ∈ Z+,∑n
i=1 i2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6Bukti:Di sini kita tuliskan
S(n) :
n∑i=1
i2 =n(n + 1)(2n + 1)
6
Langkah basis:Untuk S(1), kita peroleh:
1∑i=1
i2 = 12 = 1 =1(1 + 1)(2(1) + 1)
6
Jadi S(1) benar.
[email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Contoh 2.
Langkah induksi:Asumsikan bahwa S(k) benar untuk suatu k ∈ Z+, yaitu
k∑i=1
i2 =k(k + 1)(2k + 1)
6
Dari asumsi ini, akan ditunjukkan bahwa
S(k + 1) :
k+1∑i=1
i2 =(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)
6
[email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Contoh 2.
Langkah induksi:∑k+1i=1 i2 = 12 + 22 + 32 + · · ·+ k2 + (k + 1)2
=∑k
i=1 i2 + (k + 1)2
= [k(k + 1)(2k + 1)
6] + (k + 1)2
= (k + 1)[k(2k + 1)
6+ (k + 1)]
= (k + 1)[2k2 + 7k + 6
6]
= (k + 1)[(k + 2)(2k + 3)
6]
=(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)
6
[email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Contoh 3.
Buktikan bahwa untuk n ∈ Z+,∑n
i=1(2i− 1) = n2
Bukti:Di sini kita tuliskan
S(n) :
n∑i=1
(2i− 1) = n2
Langkah basis:Untuk S(1), kita peroleh:
1∑i=1
(2i− 1) = 2(1)− 1 = 2− 1 = 1 = 12
Jadi S(1) benar.
[email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Contoh 3.
Langkah induksi:Asumsikan bahwa S(k) benar untuk suatu k ∈ Z+, yaitu
k∑i=1
(2i− 1) = k2
Dari asumsi ini, akan ditunjukkan bahwaS(k + 1) :
∑k+1i=1 (2i− 1) = (k + 1)2
∑k+1i=1 (2i− 1) = 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1]
=∑k
i=1(2i− 1) + [2(k + 1)− 1]= k2 + [(2(k + 1)− 1]= k2 + 2k + 1= (k + 1)2
Jadi S(n) benar untuk semua n ≥ [email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
[email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
[email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Perhatikan barisan bilangan bulat b1, b2, b3, · · · , dimana bn = 2nuntuk semua n ∈ N. Disini kita peroleh bahwab1 = 2 · 1 = 2, b2 = 2 · 2 = 4 dan b3 = 2 · 3 = 6. Jika kita inginmengetahui b10, kita dapat menghitungnya secara langsungyaitu b10 = 2 · 10 = 20. Kita dapat menghitung secara langsungkarena kita punya formula eksplisit yaitu bn = 2n.
Selanjutnya perhatikan barisan bilangan a1, a2, a3, · · · dimanaa1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, danan = an−1 + an−2 + an−3, untuk semua n ∈ Z+ dimana n ≥ 3.Disini kita tidak dapat menemukan formula eksplisit untukmendefinisikan suku-suku ke-n untuk semua n ∈ N. Jadi untukmengetahui suku ke-n, sebagai contoh suku a6, kita perlumengetahui nilai untuk suku-suku a5, a4 dan a3. Metodemendapatkan nilai suatu suku dari barisan denganmenggunakan suku-suku sebelumnya disebut rekursi.
[email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Perhatikan barisan bilangan a1, a2, a3, · · · dimanaa0 = 1, a1 = 2, a3 = 3, danan = an−1 + an−2 + an−3, untuk semua n ∈ Z+ dimana n ≤ 3.
Pada barisan ini, a0 = 1, a1 = 2, a3 = 3, disebut basis rekursisedangkan persamaan an = an−1 + an−2 + an−3, untuk semuan ∈ Z+ dimana n ≤ 3 disebut proses rekursi. Proses rekursimengindikasikan bagaimana memperoleh entri baru dalambarisan dari hasil sebelumnya yang telah diketahui ataudihitung.
[email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Contoh.
Bilangan Fibonacci dapat didefinisikan secara rekursif oleh
1 F0 = 0, F1 = 1; dan
2 Fn = Fn−1 + Fn−2, untuk n ∈ Z+ dengan n > 2.
Jadi, menurut bagian rekursif dari definisi maka dapatdiperoleh bahwa
F2 = F1 + F0 = 1 + 0 = 1 F4 = F3 + F2 = 2 + 1 = 3F3 = F2 + F1 = 1 + 1 = 2 F5 = F4 + F3 = 3 + 2 = 5
Kita juga dapatkan bahwaF6 = 8, F7 = 13, F8 = 21, F9 = 34, F10 = 55, F11 = 89 danF12 = 144.
[email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Contoh.
Yang berkaitan dengan bilangan Fibonacci adalah barisan yangdikenal sebagai bilangan Lucas. Barisan ini didefinisikan oleh
1 L0 = 2, L1 = 1; dan
2 Ln = Ln−1 + Ln−2, untuk n ∈ Z+ dengan n > 2.
The first eight Lucas numbers an; given in Table
n 0 1 2 3 4 5 6 7
Ln 2 1 3 4 7 11 16 27
Hubungan antara bilangan Fibonacci dan Lucas dapatdinyatakan sebagai berikut
∀n ∈ Z+Ln = Fn−1 + Fn+1
[email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Contoh.
Barisan bilangan bulat a1, a2, a3, · · · , didefinisikan secaraeksplisit oleh formula an = 5n untuk n ∈ Z+, dapat jugadidefinisikan secara rekursif oleh
1 a1 = 5; dan
2 an+1 = an + 5, untuk n ≥ 1.
Barisan bilangan bulat b1, b2, b3, · · · , didefinisikan secaraeksplisit oleh formula bn = n(n + 2) untuk n ∈ Z+, dapat jugadidefinisikan secara rekursif oleh
1 b1 = 3; dan
2 bn+1 = bn + 2n + 3, untuk n ≥ 1.
[email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Soal 1.
Dengan menggunakan prinsip induksi matematik, buktikanbahwa
12 + 32 + 52 + · · ·+ (2n− 1)2 =n(2n− 1)(2n + 1)
3untuk n ≥ 1
Jawab 1.
Di sini kita tuliskan
S(n) : 12 + 32 + 52 + · · ·+ (2n− 1)2 =n(2n− 1)(2n + 1)
3
Langkah basis:Untuk S(1), kita peroleh: 12 = 1 = (1)(1)(3)
(3) . Jadi S(1) benar.
[email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Jawab 1.
Asumsikan bahwa formula benar untuk k yaitu S(k) dipenuhi.Perhatikan bahwa S(k + 1) yaitu
12 + 32 + 52 + · · ·+ (2k − 1)2 + (2k + 1)2 =
k(2k − 1)(2k + 1)
3+ (2k + 1)2 =
(2k + 1)
3[k(2k − 1) + 3(2k + 1)] =
(2k + 1)
3[2k2 + 5k + 3] =
(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)
3=
(k + 1)(2(k + 1)− 1)(2(k + 1) + 1)
3
[email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Soal 2.
Dengan menggunakan prinsip induksi matematik, buktikanbahwa
n∑i=1
1
i(i + 1)=
n
n + 1untuk n ≥ 1
Jawab 2.
Di sini kita tuliskan S(n) :
n∑i=1
1
i(i + 1)=
n
n + 1
Langkah basis:Untuk S(1), kita peroleh:
1∑i=1
1
1(1 + 1)=
1
2=
1
1 + 1
Jadi S(1) [email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Contoh 2.
Langkah induksi:Asumsikan bahwa S(k) benar untuk suatu k ∈ Z+, yaitu
k∑i=1
1
i(i + 1)=
k
k + 1
Dari asumsi ini, akan ditunjukkan bahwa
S(k + 1) :
k+1∑i=1
1
i(i + 1)=
(k + 1)
(k + 1) + 1
k+1∑i=1
1
i(i + 1)=
k∑i=1
1
i(i + 1)+
1
(k + 1)[(k + 1) + 1]
=k
k + 1+
1
(k + 1)[(k + 1) + 1]
=[k(k + 2) + 1]
[(k + 1)(k + 2)]
Jadi S(n) benar untuk semua n ≥ [email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Contoh 2.
=[k2 + 2k + 1]
(k + 1)(k + 2)
=(k + 1)k + 1)
(k + 1)(k + 2)
=k + 1
k + 2
=k + 1
(k + 1) + 1
Jadi S(n) benar untuk semua n ≥ 1.
[email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Soal 3.
Dengan menggunakan prinsip induksi matematik, buktikanbahwa
n∑i=1
2i−1 = 2n − 1 untuk n ≥ 1
Jawab 3.
Di sini kita tuliskan S(n) :
n∑i=1
2i−1 = 2n − 1
Langkah basis:Untuk S(1), kita peroleh:
1∑i=1
21−1 = 20 = 1 = 21 − 1
Jadi S(1) [email protected] INF-104 Matematika Diskrit
Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan
Contoh 3.
Langkah induksi:Asumsikan bahwa S(k) benar untuk suatu k ∈ Z+, yaitu
k∑i=1
2i−1 = 2k − 1
Dari asumsi ini, akan ditunjukkan bahwa
S(k + 1) :
k+1∑i=1
2i−1 = 2k+1 − 1
k+1∑i=1
1
i(i + 1)=
k∑i=1
1
i(i + 1)+
1
(k + 1)[(k + 1) + 1]
=k
k + 1+
1
(k + 1)[(k + 1) + 1]
=[k(k + 2) + 1]
[(k + 1)(k + 2)]
Jadi S(n) benar untuk semua n ≥ [email protected] INF-104 Matematika Diskrit