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345

Experimentalphysik II (Kip SS 2009)

Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik II

Teil 1: Elektrizitätslehre, Elektrodynamik

1. Elektrische Ladung und elektrische Felder2. Kapazität3. Elektrischer Strom4. Magnetostatik5. Elektrodynamik6. Schwingkreise und Wechselstrom

Teil 2: Optik

7. Elektromagnetische Wellen8. Optik

346


7 Elektromagnetische Wellen

7.1 Wiederholung: MechanischeSchwingungen

Der harmonische Os-zillator ist die ein-fachste Form einer Schwingung. Beim Fe-derpendel ist die rück-treibende Kraft:

( )F A D A= −

D

FT

F(A)

m

A(t)

2 2

2 2

( ) ( )( ) ( ) 0d A t d A t Dm DA t A tdt dt m

= − ⇔ + =

0DA Am

+ =&&

Das zweite Newton-sche Gesetz liefert dann die Bewegungs-gleichung:

oder in Kurzschreibweise

347


0

0

(0)

(0) 0

A A

A A

=

= =& &

Spezielle Anfangsbedingungen:

00( ) cos( ) sin( )AA t A t tω ω

ω= +

&

( ), ( )A t A t&

0A

0 0A =& t

( )A t

( )A t&

Eine Schwingung ist ein zeitlich perio-discher Vorgang.

Allgemeine Lösung der Schwingungs-(differential-) gleichung (DGL) sind harmonische Funktionen

t

A(x,t)

A(t)

x

T

Startamplitude:

Startgeschwindigkeit:

348


7.2 Wellen - 1D Betrachtung

Eine Welle beschreibt einen zeitlich und räumlich periodischen Vorgang. Die Auslenkung A einer Welle hängt also von zwei Variablen ab:

( , )A A x t=

Für einen festen Ort x soll A eine Schwingungs-DGL erfüllen, also:

22

2 0A At

ω∂+ =

∂

2Tπω =

Dabei ist

die (Kreis-) Frequenz und T die Schwingungsdauer.

( , )A x t

1t

T

t

x = const.

A(x,t1)

Für eine feste Zeit t soll A einen räum-lich periodischen Vorgang beschreiben. Für die Variable x muss also die folgen-de DGL gelten:

22

2 0A k Ax

∂+ =

∂

349


1x

λ

x

t = const.A(x1,t)

( , )A x t

Dabei ist 2k πλ

=

die Wellenzahl mit der Wellenlänge λ, die die räumliche Periodenlänge beschreibt.

22

2 0A k Ax

∂+ =

∂

22

2 0A At

ω∂+ =

∂

Die beiden DGL's für A(x,t) lauten

und lassen sich zusammenfassen als

2

2 2

2 2 2

2 2 2

1

0

AAt

A k Ax t

ω

ω

∂= −

∂∂ ∂

⇒ − =∂ ∂

350


Wir werden später sehen, dass der Quotient v = ω/k die (Phasen-) Geschwindigkeit der Welle beschreibt. Damit ergibt sich für die Auslenkung A die folgende Gleichung:

2 2

2 2 2

( , ) 1 ( , ) 0A x t A x tx v t

∂ ∂− =

∂ ∂

Bemerkungen:Dies ist die eindimensionale Wellengleichung. Jede Lösung A(x,t) der obigen DGL wird als Welle bezeichnet. Die Wellengleichung ist eine lineare, partielle DGL 2. Ordnung mitkonstanten Koeffizienten. Die Größe v ist hierbei die sog. „Phasengeschwindigkeit“ der Welle.Anschaulich gibt sie an, mit welcher Geschwindigkeit sich eineAuslenkung bewegt. Dies ist zu unterscheiden von der sog.„Gruppengeschwindigkeit“ einer Welle, die die Geschwindigkeit derräumlichen Ausbreitung beschreibt.In einer Welle findet kein Materie- sondern Energietransport statt.

351


7.3 Wellen - 3D Betrachtung

Die Auslenkung A einer Welle hängt jetzt von den drei räumlichen Koordinaten und der Zeit ab:

( , , , ) ( , )A A x y z t A r t= =r

Wenn die gleiche Überlegung wie im 1D Fall in allen drei Raumrichtungen durchgeführt wird, dann ergibt sich als Wellengleichung für eine sich zeitlich und räumlich periodisch ausbreitende Auslenkung:

2 2 2 2

2 2 2 2 2

( , ) ( , ) ( , ) 1 ( , ) 0A r t A r t A r t A r tx y z v t

∂ ∂ ∂ ∂+ + − =

∂ ∂ ∂ ∂

r r r r

Dies lässt sich mit dem Laplace-Operator zusammenfassen zu:

2

2 2

1 ( , )( , ) 0A r tA r tv t

∂Δ − =

∂

rr

Dabei ist v der Betrag der Phasengeschwindigkeit in 3D.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

∂∂

∂∂

=Δ 2

2

2

2

2

2

,,zyx

352


Beispiel: 1D-Wellen auf Wasseroberflächen

353


Beispiel: 2D-Wellen auf Membranen

354


Beispiel: 1D-Wellen auf einem Seil

355


Beispiel: Schallwellen

p(x,t)

⇒ Schallwellen sind longitudinale Druckschwankungen der Luft:

Luft 0 Schall( , ) cos( ),p x t p p kx t c kω ω= + − =

356


Schallgeschwindigkeit in Luft: cSchall = 340 m/sLichtgeschwindigkeit: cLicht = 300000000 m/s

⇒ cLicht >> cSchallEntfernung x eines Gewitters:

x ≈ cSchall Δt = cSchall 3s ≈ 1 km/sx [km] ≈ Δt [s] / 3

Dabei ist Δt die Zeit zwischen dem Sehen des Blitzesund dem Hören des Donners.

x = ? Δt

357


Schallgeschwindigkeit in unterschiedlichen Medien

358


Versuch: Klingel unter Vakuum

Wenn die Luft aus der Glocke gepumpt wird, dann ist die Klingel nicht mehr zu hören.

Bei einer mechanischen Welle wird immer ein Medium zur Übertragung benötigt.

359


Die „Schallmauer“

360


Versuch: Wanne zur Erzeugung von Wasserwellen

Wanne mit WasserMotor Halterung

An die Halterung werden verschiedene Wellenerreger befestigt, mit denen sich z.B. Kreiswellen und ebene Wellen erzeugen lassen.

361


7.4 Lösungen der Wellengleichung

2 2

2 2 2

( , ) 1 ( , ) 0A x t A x tx v t

∂ ∂− =

∂ ∂

Die einfachste Lösung der 1D-Wellen-gleichung

ist eine monochromatische harmonische ebene Welle:

( )0( , ) cos2 2mit ,

A x t A k x t

kT

ω

π πωλ

= −

= =

Einsetzen in die Wellengleichung ergibt:

( )2

202

22

2

cos 0

0

k A k x tv

k vv k

ω ω

ω ω

⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ − + = ⇒ =

Hier ist v ist die Phasengeschwindigkeit.Dabei wird der Ausdruck (kx – ωt) als die „Phase“ der Welle bezeichnet.

Durch Einsetzen zeigt man leicht, dass dies eine Lösung ist:

( )

( )

22

02

22

02

( , ) cos

( , ) cos

A x t k A k x tx

A x t A k x tt

ω

ω ω

∂= − −

∂∂

= − −∂

362


Für Werte konstanter Phase gilt:.k x t constω− =

1 1

2 2

1 2 1 2

1 2

1 2

.

.( ) ( ) 0

k x t constk x t const

k x x t tx x xvt t t k

ωω

ωω

− =− =

⇒ − − − =− Δ

⇒ = = =− Δ

An zwei Punkten (x1,t1) und (x2,t2) mit gleicher Phase ist dann:

Dies ist nicht die einzige Lösung der Wellengleichung in 1D. Beispielsweise wäre auch

( )0( , ) sinA x t A k x tω= −

eine Lösung. Die Wellengleichung hat viele Lösungen.

Hier soll auch gleich wieder an die komplexe Schreibweise erinnert wer-den. Deswegen wird auch die Funktion

( )0( , ) exp ( )2 2mit ,

A x t A i k x t

kT

ω

π πωλ

= −

= =

als Welle bezeichnet. Physikalisch sinn-voll ist natürlich wieder nur der Realteil:

( )( )( )

0

0

( , ) Re exp ( )

cos

A x t A i k x t

A k x t

ω

ω

= −

= −

363


Der Zusammenhang der Phasengeschwindigkeit v einer Welle und ihrer Wellenlänge und Frequenz ergibt sich einfach aus der Darstellung mit der Wellenzahl k und der Kreisfrequenz ω zu:

2 2 mit , 2v k f v fk Tω π πω π λ

λ= = = = ⇒ =

x

A(x,t)

vTλ

=T

A(t)

364


Orte konstanter Phase breiten sich in der Zeit t = T um die Strecke x = λ aus.

365


2

2 2

1 ( , )( , ) 0A r tA r tv t

∂Δ − =

∂

rr

Dies lässt sich einfach für 3D-Wellen verallgemeinern. So erhält man als Lösung der 3D-Wellengleichung

eine ebene, monochromatische, harmo-nische Welle der Form:

( )0( , ) cos

2mit ,x

y

z

A r t A k r t

kk k k

k

ω

πλ

= ⋅ −

⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

rr r

r r

Einsetzen in die Wellengleichung ergibt:

( )2

202

22

2

2 2 2

cos 0

0

x y z

k A k r tv

kv

vk k k k

ω ω

ω

ω ω

⎛ ⎞− + ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ − + =

⇒ = =+ +

r r

Dabei ist der Ausdruck wieder die Phase der Welle.

k r tω⋅ −r r

( )

( )

20

2 2 2 2

22

02

( , ) cos

mit

( , ) cos

x y z

A r t k A k r t

k k k k

A r t A k r tt

ω

ω ω

Δ = − ⋅ −

= + +

∂= − ⋅ −

∂

rr r

r r r

Jetzt ist:

366


( )0( , ) cosA r t A k r tω= ⋅ −rr r

Eine ebene Welle der Form

kann durch das Bild rechts veran-schaulicht werden. Die Ausbreitungs-richtung der Welle ist durch den Vektor gegeben. Dieser Vektor steht senkrecht auf den Wellenfronten.

kr

00

x

x

k xk r y k x

z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

r r

( )0( , ) exp ( )A r t A i k r tω= ⋅ −rr r

Komplexe Schreibweise:

x

y

00

x x

y

z

k kk k

k

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

r

367


x

y

z

krk k kr

k

⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

rr( )0( , ) cosA r t A kr tω= −r

Eine Kugelwelle ist beispielsweise durch

gegeben. Mit

2 2 2r x y z= + +

kann man leicht zeigen, dass diese Funktion die Wellengleichung erfüllt.

Die Ausbreitungsrichtung ist nun radial nach Außen, also:

( )k k r r k r k r r r kr= ⇒ ⋅ = ⋅ =r rr r r r

( )0( , ) exp ( )A r t A i kr tω= −r

Die komplexe Schreibweise lautet hier

368


7.5 Überlagerung von Wellen: Schwebungen

Wir betrachten nun zwei 1D-Wellen mit gleicher Amplitude A0 aber unterschiedlicher Wellenlänge und Frequenz:

1 0 1 1

2 0 2 2

( , ) cos( )( , ) cos( )

A x t A k x tA x t A k x t

ωω

= −= −

Dann gilt für die Überlagerung beider Wellen:

12 1 2

0 1 1 0 2 2

( , ) ( , ) ( , )cos( ) cos( )

A x t A x t A x tA k x t A k x tω ω

= += − + −

Ganz allgemein gilt der folgende Zusammenhang:

cos( ) cos( ) 2cos cos2 2

a b a ba b + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Da die Wellengleichung linear ist, ist die Superposition zweier Wellen wieder eine Lösung der Wellengleichung.

369


12 0 1 1 0 2 2

1 2 1 2 1 2 1 20

( , ) cos( ) cos( )( ) ( ) ( ) ( )2cos cos

2 2

A x t A k x t A k x tk k x t k k x tA

ω ωω ω ω ω

= − + −

+ − + − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Damit folgt für die Überlagerung der beiden Wellen:

Dies lässt sich mit den Definitionen

1 2 1 2 1 2 1 2, , ,2 2 2 2

k k k kk kω ω ω ωω ω+ + − −= = Δ = Δ =

folgendermaßen schreiben:

( ) ( )( )

12 0

0

( , ) 2 cos cos

( , )cos

A x t A k x t k x t

A x t k x t

ω ω

ω

= Δ − Δ −

= −%

Dies ist eine Welle mit der mittleren Frequenz und der mittleren Wellenzahl und einer orts- und zeitabhängigen Amplitude .

ω k0 ( , )A x t%

370


( ) ( )( )

12 0

0

( , ) 2 cos cos

( , )cos

A x t A k x t k x t

A x t k x t

ω ω

ω

= Δ −Δ −

= −%

( )0 0( , ) 2 cosA x t A k x tω= Δ −Δ%

Die Amplitude

hüllt die Welle ein, da Δk und Δω kleine Frequenzen und Wellenzahlen sind.

371


7.6 Stehende Wellen

Wir betrachten jetzt die Überlagerung zweier 1D Wellen mit gleicher Amplitude aber entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung:

()

1 0 2 0

1 2

0 0

0

( , ) cos( ), ( , ) cos( )( , ) ( , ) ( , )

cos( ) cos( )( , ) cos( ) cos( ) sin( )sin( )

cos( ) cos( ) sin( )sin( )

A x t A kx t A x t A kx tA x t A x t A x t

A kx t A kx tA x t A kx t kx t

kx t kx t

ω ω

ω ωω ω

ω ω

= + − = − −⇒ = +

= + − + − −

⇒ = +

+ −

0( , ) 2 cos( )cos( )A x t A kx tω⇒ =

Das ist eine sog. „stehende Welle“, bei der an jedem festen Ort x eine harmonische Schwingung mit der Amplitude 2A0cos(kx) stattfindet.

372


Die Überlagerung einer hin- und rück-laufenden Welle ergibt also eine ste-hende Welle mit raumfesten Knoten-punkten:

Knotenpunkte beikx = nπ + π/2⇒ x = nλ/2 + λ/4

Wellenbäuche kx = nπ ⇒ x = nλ/2

reflektierendeWand

Beispiel: Schwingung einer Saite

hinlaufend rücklaufend

373


700 600 500 400nm

sichtbaresLicht

105104 106 107 108 109 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019 1020 1021 1022 1023

Hz][vFrequenz

104 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-1010-1110-1210-1310-14

m][λ

Mittel-& Kurz-

welle

Lich

tLang-welle

UKWund

Fernsehen

Rad

ar Mikro-wellen

Infrarot-strahlung

Ultra-violett-

strahlung

Röntgen-strahlung

Gamma-strahlung

Wellenlängesm10997925.2mit 8⋅==λ c

vc

7.7 Elektromagnetisches Spektrum

374


Glühdraht

Die hohe Spannung baut ein entspre-chend hohes E-Feld auf. Schlägt der Funken über, bricht innerhalb von Nanosekunden das Feld zusammen. Dabei werden die Ladungen stark beschleunigt und strahlen. Heute wird der primitive Funken durch aktive Bau-elemente (Transistoren) ersetzt.

Historische Erzeugung von Radiowellen durch Hochspannungsfunken

Durch hohe Tempera-turen werden die La-dungen in den Mole-külen so stark zu ther-mischen Bewegungen (Beschleunigung) an-geregt, dass sie elek-tromagnetische Wellen aussenden.

Erzeugung von Licht durch eine Glühbirne

Prisma

Weißes Licht enthält Wellen verschie-dener Frequenzen = „Farben“

375


Die Elektronen werden im Kristall stark abgebremst (d.h. negativ beschleunigt) und strahlen dabei kurzwellige Strahlung ab („Bremsstrahlung“).

einige 10 - 100 kV

Kristall

Elektron

Atomkern

Erzeugung von Röntgenstrahlung

376


Typisches Röntgenspektrum aus Brems- und charakteristischer Strahlung

377


Im Prinzip wie bei der Röntgenröhre durch Bremsstrahlung. Die Elektronenenergie ist allerdings wesentlich höher. Sie wird durch Teilchenbeschleuniger (z.B. „LINAC“) erzeugt.

DELTA-LINAC

MeV75Elektron =E

6.4 m

SLAC in Kalifornien, USA

3 km

GeV50Elektron =E

Erzeugung von Gammastrahlung

378


Experimenteller Nachweis elektromagnetischer Wellen

Heinrich Rudolf Hertz(1857-1894)

Nachweis elektro-magnetischer Wellen

in den Jahren 1885 bis1889 an der Universität

in Karlsruhe.

379


Versuch: Erzeugung elektromagnetischer Wellen mittels Funkeninduktor

380


Durch den Funkeninduktor werden in der Antenne hochfrequente Wechsel-spannungen erzeugt

AntenneSende-station

FunkeninduktorAntennen

Empfänger

Verstärker

empfangenesSignal

hochfrequentesSignal

381


7.8 Elektromagnet. Wellengleichung

0

0 0

0

E

B

BEt

EB jt

ρε

μ ε

∇ ⋅ =

∇ ⋅ =

∂∇× = −

∂⎛ ⎞∂

∇× = +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

r r

r r

rr r

rr r r

Die vier Maxwell-Gleichungen lauten

Aus diesen Gleichungen folgt direkt eine Wellengleichung, wie man folgen-dermaßen sieht:

Im materiefreien Raum verschwinden sowohl die Ladungs- als auch die Strom-dichte, also:

( , ) 0, ( , ) 0j r t r tρ= =rr r r

Dann lautet die vierte Maxwell-Glei-chung:

0 0EBt

μ ε ∂∇× =

∂

rr r

Diese Gleichung wird nun nach der Zeit abgeleitet:

2

0 0 2

B Et t

μ ε∂ ∂∇× =

∂ ∂

r rr

382


Die 3. Maxwell-Gleichung besagt aber:

B Et

∂= −∇×

∂

rr r

2

0 0 2

B Et t

μ ε∂ ∂∇× =

∂ ∂

r rr

Einsetzen in die linke Seite ergibt:

( )2

0 0 2

EEt

μ ε ∂−∇× ∇× =

∂

rr r r

Nun gilt für ein beliebiges Vektorfeld:

( ) ( )E E E∇× ∇× = ∇ ∇⋅ − Δr r r r r r r

Im materiefreien Raum gilt wegen der 1. Maxwell-Gleichung:

0

0E ρε

∇ ⋅ = =r r

Damit folgt:

( )E E∇× ∇× = −Δr r r r

Dies eingesetzt in die linke Seite der Gleichung vorher ergibt:

2

0 0 2

EEt

μ ε ∂Δ =

∂

rr

383


Es ergibt sich also die folgende Gleichung für das elektrische Feld im materiefreien Raum:

2

2 20 0

1 10 mitEE cc t μ ε

∂Δ − = =

∂

rr

Bemerkungen:• Dies ist eine Wellengleichung. Neben der trivialen Lösung E = 0 für das Feld im

Vakuum gibt es also noch „wellenförmige“ Lösungen der Maxwell-Gleichungen.• Diese Gleichung gilt für jede Komponente des elektrischen Feldes. Es sind also

genau genommen drei (3D) Wellengleichungen.• Die Phasengeschwindigkeit c dieser Wellen ist durch die Feldkonstanten

gegeben. Sie ist damit eine universelle Naturkonstante. • Es ist zu beachten, dass das elektrische Feld allein aber nicht ausreicht, um eine

solche Welle zu generieren. Bei der Herleitung wurde das Induktionsgesetz verwendet.

James Clerk Maxwell(1831-1879)

384


Versuch: Hertzscher Dipol als Sender und Empfänger

Senderdipol

Empfangs-dipol

HF-Generator mit Röhrenverstärker

Verstärkerröhre

Auskoppel-schleife

Die von hochfrequentem Wechsel-strom durchflossene Auskoppel-schleife erzeugt ein magnetisches Wechselfeld, das in dem Dipol eine HF-Spannung induziert. Der Strom in dem Empfangsdipol bringt die Glühbirne zum Leuchten.

385


SpannungStrom

2λ

Dipol

starkesSignal

2λ

=L

L

Den besten Wirkungsgrad hat ein Dipol, wenn seine Länge L = λ/2 beträgt. Dann kann sich eine stehende Welle optimal ausbilden.

Ein optimal abgestimmter Dipol ist gleichermaßen gut zum Senden wie zum Empfangen von elektromagne-tischen Wellen geeignet.

386


x

y

z Br

Er

kr

λ

,

B E

B k E k

⊥

⊥ ⊥

r r

r rr r

Ausbreitung elektromagnetischer Wellen

In einer elektromagnetischen Welle stehen elektrisches und magnetisches Feld senkrecht aufeinander. Beide Felder sind senkrecht zur Ausbreitungs-richtung der Welle orientiert. Die Welle ist damit transversal.

Das elektrische und magnetische Feld schwingt jeweils nur in einer Ebene. Eine solche Welle wird als „linear polarisiert“ bezeichnet.

( )( )( )( )

1 0

2 0

ges 1 2

ˆ exp

ˆ exp

E x E i k r t

E z E i k r t

E E E

ω

ω

= ⋅ −

= ⋅ −

⇒ = +

rr r

rr r

r r r

Beide Wellen sind in Phase, d.h. es ist Δϕ = 0. Es ergibt sich wieder eine linear polarisierte Welle, aber mit gedrehter Polarisationsebene.

Die Überlagerung zweier linear pola-risierter Wellen ergibt:

387


0=Δϕ

x

z

y

Welle E1

Welle E2

x

z

yges 1 2E E E= +r r r x

y

z Welle E1

Welle E2

ges 1 2E E E= +r r r

( )( )( )( )

1 0

2 0

ges 1 2

ˆ exp

ˆ exp

E x E i k r t

E z E i k r t

E E E

ω

ω ϕ

= ⋅ −

= ⋅ − + Δ

⇒ = +

rr r

rr r

r r r

Bei einer Phasenverschiebung der beiden sich überlagernden Wellen um Δϕ = π/2 erhält man eine zirkular polarisierte Welle, d.h. der elektrische Feldvektor läuft auf einem Kreis.

2πϕΔ =

Δϕ = 0

388


r

r

r

r

7.9 Rotierender Dipol: Retardierung

Das Entstehen einer elektromagne-tischen Welle kann qualitativ mit dem Beispiel eines schnell rotierenden Dipols erläutert werden.

Beim ruhenden Dipol sieht ein Beobach-ter in der Entfernung r eine feste Feld-richtung. Führt der Dipol schnell eine volle Umdrehung aus, so merkt der Beo-bachter zunächst nichts. Die Information kommt verzögert (retardiert) nach der Zeit

cvvrt ==

im Abstand r an.

Durch die endliche Laufzeit entsteht also eine „Wellenbewegung“ im Feld.

389


Rotation 0 Hz Rotation 200 Hz

Rotation 2000 Hz Rotation 10000 Hz

Auch das Magnetfeld breitet sich mit caus. Bei schneller Rotation des Magneten „hinkt“ das weiter entfernt gemessene Feld hinterher; es entsteht in größerem Abstand eine Kugelwelle. Das ist das Prinzip der extrem starken Abstrahlung eines Neutronensterns.

Bereich 800×800 km2

r

ω

m

Frage: Kann man einen Stabmagneten mit der Frequenz f = 10 kHz rotieren lassen?

( )

2Z

242

7

kgm0.05 0.05 2 10s

10 Nentspricht 1000 Tonnen (!)

F m rω

π

=

= ⋅ ⋅ ⋅

≈⇒

Sei r = 5 cm und der Polbereich habe die Masse m = 50 g, dann ist die Zentrifugalkraft:

390


7.10 Hertzscher Dipol

EL EC

EL EC

EL EC EL EC

EL EC

EL ECEL ECEL EC

In einem elektrischen Schwingkreis oszilliert die Energie periodisch zwischen elektrischem und magnetischem Feld.

Der Hertzsche Dipol als einfacher Schwingkreis ist das Standardbei-spiel, an dem die Abstrahlung elektro-magnetischer Wellen diskutiert wird.

Oszillierende Ladungen und Ströme erzeugen entsprechende elektrische und magnetische Felder:

391


pr

Wenn Abstand d = d(t) zeitlich verän-derlich ist, so gilt auch p = p(t). Dann verändert sich auch das E-Feld zeitlich, d.h. nach der 4. Maxwell-Gleichung wird ein Magnetfeld induziert: der Dipol strahlt elektromagnetische Wellen ab.

( )3

0

31( )4

mit und

r r

r

p e e pE r

rre p qdr

πε⋅ −

=

= =

r r r rr r

r rr r

Das Feld eines statischen elektrischen Dipols war (siehe Abschnitt 1.5):

Eine etwas längere Rechnung ergibt für das Fernfeld (r >> d) eines Dipols mit dem zeitlich veränderlichen Dipolmoment :( )p tr

0

0

( , )4

( , )4

rB r t pc r r

p r rE r t pr r r

μπ

μπ

= ×

⎛ ⎞⋅= ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

rr r r&&

r r r&&r r r&&

Dabei ist im Argument des Dipolmomentes wegen der endlichen Lichtgeschwindigkeitc nicht die Zeit t selbst, sondern der sog. „retardierte Zeitpunkt“ t – r/c einzusetzen:

( )r rp p t p t p t krc c

ω ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

r r r r

392


Es gilt offensichtlich:

( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

B r t E r t B r t E r t r rrB r t E r t E r t c B r tcr

⇒ ⋅ = ⇒ ⊥ ⊥

⇒ = × ⇒ =

r r r rr r r r r

rr r r rr r r r

( )p p t krω= −r r

Wegen strahlt der Dipol elektromagnetische Wellen in radialer Richtung ab („Kugelwellen“) mit den Beträgen der Felder:

( )( , ) ( , )

p t krE r t B r t

r

ω −∝ ∝

r&&r rr r

Wegen

folgt: ( ) ( )p t qd t=rr &&&&

( ) ( )p t qd t=rr

Nur eine beschleunigte Ladung in einem Dipol strahlt elektromagnetische Wellen ab.

Teilchen-bahn

q( )r tr

Auch eine einzelne Ladung hat bzgl. eines festen Raumpunktes immer ein Dipolmoment:

( ) ( )

( ) ( )

p t qr t

p t qr t

=

=

r r

r r&& &&

Dann gilt für die abgestrahlten Felder:

( , ) ( , )E r t B r t r∝ ∝r rr r r&&

d.h. beschleunigte Ladungen strahlen immer elektromagnetische Wellen ab.

393


Wir hatten für die Energiedichte im elektromagnetischen Feld gefunden:

2 20

0

1 12 2

dWw E BdV

εμ

= = +

Es gilt für elektromagnetische Wellen:

rE cBr

= ×rr r

Einsetzen in den Ausdruck für die Energiedichte führt auf:

2 2

2 2 202

0

1 12 2

r B

cw B r Brε

μ=

= × +r r

123

7.11 Abgestrahlte Leistung

2 20

0

1w B Eεμ

⇒ = =

Die abgestrahlte Energie pro Volumen steckt also zur Hälfte im elektrischen und zur anderen Hälfte im magnetischenFeld. Wir berechnen nun die abge-strahlte Leistung pro Fläche.

{0

2 2 20

01

2 2

0 0

1 12 2

1 12 2

w c B B

B B

μ

εμ

μ μ

=

= +

= +

394


Der Vektor ist der sog. Poynting-Vek-tor. Sein Betrag gibt die Strahlungs-leistung an, die durch die Fläche dA tritt; seine Richtung ist die Richtung des Energieflusses.

Sr

Sr

dAr

Dipol: ( )p tr

rrFür die Energie W, die durch die FlächedA tritt, gilt:

dW dW dWw wdrdV drdA dA

= = ⇒ =

Damit folgt für die abgestrahlte Energie pro Fläche und Zeit, also für die Leistung pro Fläche:

{{2

0

2 2

0 02B

c

dW dr c c rS w B S BdtdA dt r

μ

μ μ= =

= = = ⇒ =rr

John Henry Poynting(1852-1914)

395


Wir betrachten den Ausdruck

( )

( ) ( ){

0 0

00

2

0

1 1

E

cE B B r Br

c B B r B r Br

c rBr

μ μ

μ

μ

=

=

× = × ×

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ − ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

=

r

r r r rr

14243

r r r rr r

r

Der Poynting-Vektor kann also auch folgendermaßen ausgedrückt werden:

0

1S E Bμ

= ×r r r

Dieses Resultat gilt allgemein für jede e.m. Welle. Der Poynting-Vektor ist das Vektorprodukt aus E und B und zeigt in Ausbreitungsrichtung.

Abstrahlung des Hertzschen Dipols

Er

Er

Br

Sr

Br

S = 0, da hier das elektrische Feld in Richtung der Ausbrei-tung verläuft: ϑ = 0

S = Smax, da hier das elektrische Feld senkrecht zur Ausbreitung ist: ϑ = 90°

396


Wir definieren zunächst den Begriff der Intensität einer elektromagnetischen Welle. Die Intensität I ist die mittlere übertragene Leistung pro Fläche, also:

ttI S w c= =

r

Hierbei ist S der schon eingeführte Poynting-Vektor und ⟨w⟩t die über die Zeit gemittelte Energiedichte des elektro-magnetischen Feldes.

Beispiel: Intensität einer ebenen Welle

0 0

1 1 20 0 0 0

ˆ ˆcos( ) cos( )

ˆ cos ( )

E yE t kx B zB t kx

S E B x E B t kx

ω ω

μ μ ω− −

= − = −

= × = −

r r

r r r

7.12 Intensität und Strahlungsdruck Nun muss der Betrag des Poynting-Vektors gebildet und über die Zeit gemittelt werden:

1 20 0 0

1 20 0 0

1 20 0 0

1 2

0 00 0 eff eff

0 0 0

ˆ cos ( )

cos ( )

cos ( )

1 1 1 2 2 2

tt

S x E B t kx

S E B t kx

I S E B t kx

E BE B E B

μ ω

μ ω

μ ω

μ μ μ

−

−

−

=

= −

⇒ = −

⇒ = = −

= = =

r

r

r

1442443

220 0 0 0 0

0 0 0 0

12 2 2t

B B E c E BB Iwc cμ μ μ μ

= = = = =r

Die zeitlich gemittelte Energiedichte ist:

397


y

x

z Br

Er

kr

q

EF qE=

Wir betrachten nun eine Ladung q mit der Masse m, die vom elektrischen Feld der Welle in y-Richtung be-schleunigt wird. Die Geschwindigkeit vy und die kinetische Energie W der Ladung nach der Zeit Δt ist:

Da sich die Ladung im Magnetfeld der Welle in y-Richtung bewegt, wird sie durch die Lorentz-Kraft in x-Richtung abgelenkt. Für einen beliebigen Zeit-punkt t gilt:

2

,L x yq EBF qv B t

m= =

Die Welle hat die Energie W auf das Teilchen übertragen.

222

2 )(21

21 t

mEqmvW

tmqEtav

y

y

Δ==

Δ=Δ=

398


Der auf das Teilchen wirkende Kraftstoßist gleich dem Impuls px, der von der Welle auf das Teilchen übertragen wird:

2 22

,0 0

( )2

t t

x L xq EB q EBp F dt t dt t

m m

Δ Δ

= = = Δ∫ ∫

Wegen B = E/c ergibt sich:

2 2 22 21 1( ) ( )

2 2xq EB q E Wp t t

m c m c= Δ = Δ =

Der von der elektromagnetischen Welle übertragene Impuls ist also gleich der übertragenen Energie W dividiert durch die Ausbreitungsgeschwindigkeit c.

Die Intensität I einer Welle ist die übertragene Energie pro Zeit und Fläche. Wegen p = W/c ist I/c also ein Impuls pro Zeit und Fläche, also eine Kraft pro Fläche, d.h. ein Druck. Somit erhält man den Strahlungs-druck PS einer elektromagnetischen Welle:

1S tt

IP S wc c

= = =r

)2/()2/()cos(ˆ

)cos(ˆ

000

000

0

0

μμ

ω

ω

cBEPBEI

kxtBzB

kxtEyE

S =⇒=

−=

−=r

rBeispiel: Strahlungsdruck ebene Welle

399


Beispiel: Radiometer

Lichtwellen, die auf die reflektierende Seite treffen übertragen den dop-pelten Impuls im Vergleich zu Licht-wellen, die auf die absorbierende Seite treffen.

In der Praxis dreht sich das Radio-meter aber genau anders herum. Warum?

Beispiel: Strahlungsdruck Sonne-Erde

Mittlere Intensität der Sonnenstrahlung:

62 8 2 2

Watt 1400 Watt N1400 5 10m 3 10 m sm mSI P −≈ ⇒ ≈ = ⋅

⋅

(vgl. Luftdruck PL ≈ 1000 hPa = 105 N/m2) Auf die ganze Erde wirkt dann die Kraft:

2 6 2Erde 2

8

N5 10 3.14 (6400km)m

6.4 10 N 65000 Tonnen !!!

SF P R

g

π −= ≈ ⋅ ⋅ ⋅

≈ ⋅ ≈ ×