Universidad de Costa Rica Instituto Tecnológico de Costa Rica
PRIMER EXAMEN PARCIAL CÁLCULO I
Valor: 56 puntos. Tiempo máximo: 3 horas. Sábado 18 de abril de 2015
INSTRUCCIONES GENERALES
• Antes de contestar lea cuidadosamente las instrucciones y los enunciados de las preguntas.
• Este examen consta de dos partes. La primera de ellas es de selección única (5 puntos) y la segunda es de desarrollo (51 puntos).Utilice únicamente bolígrafo de tinta indeleble azul o negra para resolver este examen. No se aceptan apelaciones sobre aquellos ejercicios que deje resueltos con lápiz o presenten algún tipo de alteración.
• Trabaje con el mayor orden y aseo posible. Si alguna respuesta o procedimiento está desordenado, éste no se calificará.
• ESTE EXAMEN DEBERÁ SER RESUELTO EN EL CUADERNO DE EXAMEN. ESCRIBA LAS RESPUESTAS DE LA PARTE DE SELECCIÓN. EN LA PARTE DE DESARROLLO DEBE APARECER TODO EL PROCEDIMIENTO Q UE JUSTIFIQUE CORRECTAMENTE LA SOLUCIÓN Y LA RESPUESTA DE CADA ÍTEM.
• Recuerde que sólo puede utilizar calculadora que únicamente efectúe las operaciones básicas. No se permite el uso de calculadora científica de ningún tipo.
• La prueba debe resolverse individualmente.
I PARTE. SELECCIÓN ÚNICA. Valor: 5 puntos (un punto cada respuesta correcta). Instrucciones: A continuación se le presentan 5 enunciados con cuatro opciones de respuesta de las cuales solamente una es correcta. Marque una equis sobre la letra que antecede a la opción que completa correctamente cada enunciado. Recuerde trasladar su respuesta al cuaderno de examen escribiendo el número de enunciado y la opción seleccionada.
1. Sabiendo que 1001
1lim
100
1=
−−
→ x
xx
, entonces considere las siguientes afirmaciones:
De ellas, con certeza, ¿cuál o cuáles son verdaderas? (A) Solamente I y III (B) Solamente I y II (C) Solamente II (D) Solamente I
2. Analice las siguientes afirmaciones, referidas a dos funciones � y ℎ tales que ( ) +∞=
→xf
x 0lim y ( ) 0lim
0=
→xh
x:
De ellas, con certeza, ¿cuál o cuáles son verdaderas? (A) Solamente II y III (B) Solamente I y II (C) Solamente III (D) Solamente I
3. El valor de c para el cual el 65
lim22 ++
+−−−→ xx
cxcx
existe, corresponde a
(A) 3− (B) 2− (C) 1− (D) 2
I. 501
1lim
2
100
1=
−−
→ x
xx
.
II. 3
100
1
1lim
3
100
1=
−−
→ x
xx
.
III. 251
1lim
4
100
1=
−−
→ x
xx
.
I. 0=x es la ecuación de una asíntota asíntota vertical de la gráfica de f.
II. ( )[ ])(lim0
xhxfx
⋅→
no existe.
III. )0(f no existe.
4. Sea � una función definida en su máximo dominio, tal que 16
672)(
4
2
−++=
x
xxxf .
Considere las siguientes afirmaciones:
De ellas, con certeza, ¿cuál o cuáles son verdaderas? (A) Solamente II y III (B) Solamente I y III (C) Solamente III (D) Solamente I 5. Sea � una función tal que ( )221)( −≤− xxf , ] [5,5−∈∀x , entonces )(lim
2xf
x→
corresponde a (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 5
I. � posee una discontinuidad evitable en 2−=x .
II. � posee una discontinuidad inevitable en 4−=x .
III. 0=y es la ecuación de la asíntota horizontal de la gráfica de �.
II PARTE: DESARROLLO. Valor: 51 puntos. 1) Construya la gráfica de una función � que satisfaga, simultáneamente, cada una de las
siguientes condiciones: (8 puntos)
{ }4,3−−= RID f 4)(lim
3−=
−−→xf
x
f es continua en todo su dominio )1(' −f no existe
6)(lim =+∞→
xfx
( ) 02' =f
+∞=−→
)(lim4
xfx
( ) ] [3,,2' −∞−∈∀−= xxf
2) Calcule, si existen, los siguientes límites:
a) x
xxx −
−+−+∞→ 1
2422lim
2
(5 puntos)
Note que como +∞→x , entonces 1)1(1 −=−−=− xxx , luego
=−
−
+−
+∞→ 1
242
2
lim2
2
x
xxx
x
=−
−
+−
+∞→ 1
242
2
lim2
x
xxx
x
=−
−
+−
+∞→ 1
242
2
lim2
x
xxx
x
=
−
−
+−
+∞→
xx
xxxx
x 11
2422
lim2
21
1
2422
lim2
=
−
−
+−
+∞→
x
xxx
x
b) 3
6
0 1212
112lim
+−+−+
→ xx
xx
(Sugerencia: Realice un cambio de variable) (5 puntos)
0
0
1212
112lim
3
6
0=
+−+−+
→ xx
xx
forma indeterminada
Si intentáramos racionalizar, el procedimiento sería bastante largo, por lo tanto un cambio de variable nos permitiría trabajar con expresiones polinomiales, como se muestra a continuación:
Sea 126 += xy , entonces 6 12 += xy y 32 12 += xy (proponer el cambio de variable de tal manera que las otras expresiones queden en términos de “y ”). Además note que cuando 10 →⇒→ yx .
Ahora se reescribe el límite en términos de la nueva variable: 0
01lim
261=
−−
→ yy
yy
forma indeterminada. Al factorizar el denominador se tiene: ( )( )( )111 2226 ++−=− yyyyyy
Luego ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
1
11111
1
11
1lim
111
)1(lim
221221=
++⋅=
++=
++−−
→→ yyyyyyy
yyy
c)
⋅−⋅→ 20
)cos()2cos()2cos()3cos(lim
x
xxxxx
(5 puntos)
Al evaluar se tiene 0
0)cos()2cos()2cos()3cos(lim
20=
⋅−⋅→ x
xxxxx
forma indeterminada, por
lo tanto se sigue que [ ] =−
→ 20
)cos()3cos()2cos(lim
x
xxxx
[ ] =−+
→ 20
)cos()2cos()2cos(lim
x
xxxxx
[ ] =−⋅−→ 20
)cos()2(sen)(sen)2cos()cos()2cos(lim
x
xxxxxxx
[ ][ ] =⋅−−
→ 20
)2(sen)(sen1)2cos()cos()2cos(lim
x
xxxxxx
[ ] =⋅−−−
→ 220
)2(sen)(sen)2cos()2cos(1)cos()2cos(lim
x
xxx
x
xxxx
[ ] =⋅−−−
→ 220
)2(sen)(sen)2cos()2cos(1)cos()2cos(lim
x
xxx
x
xxxx
[ ] [ ]
[ ] =⋅⋅⋅−++⋅−−
→ x
x
x
xx
x
x
x
xxxx 2
)2(sen2
)(sen)2cos(
)2cos(1
)2cos(1)2cos(1)cos()2cos(lim
20
[ ] =⋅⋅⋅−+
⋅⋅⋅⋅⋅−→ x
x
x
xx
xx
xsen
x
xsenxx
x 2
)2(sen2
)(sen)2cos(
)2cos(1
1
2
)2(2
2
)2(2)cos()2cos(lim
0
42112
11212111 −=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−
3) Determine los valores de m y b de tal forma que la función [ [ RIh →+∞,0: , tal que
>+≤≤+=8si
80si25)(
xbmx
xxxh , sea derivable en 8=x . Utilice la definición de derivada
en un punto. (8 puntos)
Para que h sea derivable en 8=x debemos verificar que: a) h es continua en 8=x :
• bmbmxx
+=++→
8lim8
y 925lim8
=+−→
xx
, para que )(lim8
xhx→
exista entonces
mbbm 8998 −=⇒=+ (**). • Luego 9)8( =h .
b) )8(')8(' +− = hh :
• ( )( ) 4
1
428
162lim
8
42lim
8
925lim
8
)8()(lim)8('
8888=
+−−=
−−=
−−+=
−−=
−−−− →→→→−
xx
x
x
x
x
x
x
hxhh
xxxx
• ( ) mx
xm
x
mmx
x
bmx
x
hxhh
xxxx=
−−=
−−−+=
−−+=
−−=
−−++ →→→→+ 8
)8(lim
8
989lim
8
9lim
8
)8()(lim)8('
88
(**)
88
Por lo tanto 4
1=m , luego .74
189 =⋅−=b
4) En cada uno de los siguientes casos determine dx
dy. No es necesario simplificar:
a) ( )
1
sen2
24 3
+=
x
ey
x
(6 puntos)
( )( )22
24222223
1
2)(sen16)()cos()(sen4́'
3333
+
⋅−+⋅⋅⋅⋅=x
xexxeeey
xxxx
b) ( )[ ]35 32 2sec xxxxy −+= (7 puntos)
( )[ ]( )
( ) ( ) ( ) ( )
+⋅++⋅−++⋅−⋅
−⋅+−= )22(2tan2sec2sec13
5
12sec3' 225 322
5 43
225 3 xxxxxxxxxx
xxxxxxy
5) Sea RIRIf →: tal que 24)( xxf −= . Determine las ecuaciones de las rectas que pasan
por el punto de coordenadas ( )4,1 y que son tangentes a la gráfica de f . (7 puntos) Note que ( ) fG∉4,1 .
Consideremos ( ) fGba ∈, , tal que las rectas que pasan por ( )ba, y por ( )4,1 son tangentes
a la gráfica de f . Como ( ) fGba ∈, , entonces baaaf =−⇒−= 22 44)( . (1)
Además aaf 2)(' −= es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en ( )ba, . (2)
Por otro lado, como la recta (rectas) pasan por ( )ba, y ( )4,1 , entonces su pendiente
también está dado por a
b
−−
1
4.(3)
De (2) y (3) se tiene que aa
b2
1
4 −=−−
, luego de (1) sustituimos y se tiene que
2021
44 2
=∨=⇒−=−
+−aaa
a
a.
Si 0=a , entonces 4=b y 0)0(' =f , por lo tanto la ecuación de la recta tangente es
4=y .
Si 2=a , entonces 0=b y 40)2(' −=f , por lo tanto la ecuación de la recta tangente es 84 +−= xy .