Ejercicios: Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 1
INTEGRACIÓN “POR INTEGRACIÓN “POR INTEGRACIÓN “POR INTEGRACIÓN “POR PARTES”PARTES”PARTES”PARTES”
1) x senxdx∫∫∫∫
Si derivamos x se simplifica y al integrar sen x no se complica la integral. Por tanto, tomamos:
u x du dx
dv sen xdx v senxdx cosx
= → =
= → = = −∫
xsen xdx xcosx cosx dx xcosx senx C= − + = − + +∫ ∫
2) x arctgxdx∫∫∫∫
Tomamos:
2
dxu arctgx du
1 x
dv dx v dx x
= → =+
= → = =∫
( )22 2
x 1 2x 1arc tgx dx xarctgx dx xarctgx dx xarctgx ln 1 x C
2 21 x 1 x= − = − = − + +
+ +∫ ∫ ∫
3) 4 xx e dx∫∫∫∫
Si derivamos x4 se simplifica y al integrar ex no se complica la integral. Por tanto, tomamos:
4 3u x du 4x dx= → = x x xdv e dx v e dx e= → = =∫
= −∫ ∫4 x 4 x 3 xx e dx x e 4 x e dx
Volvemos a aplicar el mismo procedimiento:
3 2u x du 3x dx= → = x x xdv e dx v e dx e= → = =∫
= −∫ ∫3 x 3 x 2 xx e dx x e 3 x e dx
Siguiendo el mismo razonamiento obtenemos:
= −∫ ∫2 x 2 x xx e dx x e 2 xe dx
= − = − +∫ ∫x x x x xxe dx xe e dx xe e C
Por tanto, la integral quedaría:
= − +∫ 2 x 2 x x xx e dx x e 2xe 2e → = − + −∫ 3 x 3 x 2 x xx e dx x e 3x e 6x 6e
= − + − + +∫ 4 x 4 x 3 x 2 x x xx e dx x e 4x e 12x e 24xe 24e C
Ejercicios: Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 2
4) 2sen xdx∫∫∫∫
= → =
= → = = −∫
u senx du cos xdx
dv sen xdx v senxdx cosx
= − + = − + − = − + −∫ ∫ ∫ ∫2 2 2 2sen xdx senxcosx cos xdx senxcosx (1 sen x)dx senxcosx x sen xdx
= − +∫ 22 sen x dx senxcos x x → = − +∫ 2 1 1sen xdx senxcosx x
2 2
5) xlnxdx∫∫∫∫
Tomamos:
1u lnx du dx
x= → = 21
dv xdx v x dx x2
= → = =∫
2 22 2 2 2 21 1 x 1 1 1 1 x 1 1
xlnxdx x lnx dx x lnx x dx x lnx C x lnx x C2 2 x 2 2 2 2 2 2 4
= − = − = − + = − +∫ ∫ ∫
6) 2xx e dx∫∫∫∫
Tomamos:
u x du dx= → = 2x 2x1dv e dx v e
2= → =
2x 2x 2x 2x 2x 2x 2xx 1 x 1 x 1xe dx e e dx e 2e dx e e
2 2 2 4 2 4= − = − = −∫ ∫ ∫
7) 3x cos xdx∫∫∫∫
Si derivamos x se simplifica y al integrar cos x no se complica la integral. Por tanto, tomamos:
= → =
= → = =∫
u x du dx
dv cosx dx v cos xdx senx
= = − = + +∫ ∫ ∫3xcosx dx 3 xcosx dx 3xsenx 3 senx dx 3xsenx 3cosx C
8) ln(2x 1)dx−−−−∫∫∫∫
Tomamos:
= − → =−
= → = =∫
2u ln(2x 1) du dx
2x 1
dv dx v dx x
− = − − = − − + = − − − − + − − ∫ ∫ ∫2x 1 1
ln(2x 1)dx xln(2x 1) dx xln(2x 1) 1 dx x ln(2x 1) x ln(2x 1) C2x 1 2x 1 2
Ejercicios: Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 3
9) x
xdx
e∫∫∫∫
Tomamos:
− −
= → =
= → = = − = −∫x x
x x
u x du dx
1 1dv dx v e dx e
e e
= − − = − + = − − +∫ ∫ ∫xx x x x x x
x x x 1 x 1dx e dx dx C
e e e e e e
10) arc tgxdx∫∫∫∫
Tomamos:
2
dxu arctgx du
1 x
dv dx v dx x
= → =+
= → = =∫
( )22 2
x 1 2x 1arc tgx dx xarctgx dx xarctgx dx xarctgx ln 1 x C
2 21 x 1 x= − = − = − + +
+ +∫ ∫ ∫
11) arccos xdx∫∫∫∫
Tomamos:
= → = −−
= → = =∫
2
dxu arccosx du
1 x
dv dx v dx x
−= + = − = − − +− −∫ ∫ ∫ 2
2 2
x 1 2xarccosx dx xarccos x dx xarccosx dx xarccosx 1 x C
21 x 1 x
12) 2x lnx dx∫∫∫∫
Tomamos:
= → =
= → = =∫2 2 3
1u lnx du dx
x1
dv x dx v x dx x3
= − = − = − + = − +∫ ∫ ∫3 3
2 3 3 2 3 3 31 1 x 1 1 1 1 x 1 1x lnx dx x lnx dx x lnx x dx x lnx C x lnx x C
3 3 x 3 3 3 3 3 3 9
Ejercicios: Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 4
13) 2x senxdx∫∫∫∫
Si derivamos x se simplifica y al integrar sen x no se complica la integral. Por tanto, tomamos:
= → =
= → = = −∫
2u x du 2xdx
dv sen xdx v senxdx cosx
= − +∫ ∫2 2x senx dx x cos x 2 xcosx dx
Resolvemos la integral ∫ xcos xdx por partes.
Tomamos:
= → =
= → = =∫
u x du dx
dv cosx dx v cos xdx senx
= − = + +∫ ∫xcos xdx xsenx senx dx xsenx cosx C
Por tanto:
= − + + +∫ 2 2x senx dx x cos x 2xsenx 2cosx C
14) 2 2xx e dx∫∫∫∫
Tomamos:
= → =
= → =
2
2x 2x
u x du 2xdx
1dv e dx v e
2
= − = −∫ ∫ ∫2 2
2 2x 2x 2x 2x 2xx 1 xx e dx e 2xe dx e xe dx
2 2 2
Resolvemos la integral ∫ 2xxe dx por partes.
Para ello, tomamos:
u x du dx= → = 2x 2x1dv e dx v e
2= → =
2x 2x 2x 2x 2x 2x 2xx 1 x 1 x 1xe dx e e dx e 2e dx e e
2 2 2 4 2 4= − = − = −∫ ∫ ∫
Por tanto:
= − + + = − + +
∫2 2
2 2x 2x 2x 2x 2xx x 1 x x 1x e dx e e e C e C
2 2 4 2 2 4
Ejercicios: Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 5
15) xe senxdx∫∫∫∫
Tomamos:
= → =
= → = = −∫
x xu e du e dx
dv sen xdx v senxdx cosx
= − +∫ ∫x x xe senxdx e cos x e cosxdx
Resolvemos la integral ∫ xe cosx dx por partes.
Tomamos:
= → =
= → = =∫
x xu e du e dx
dv cosx dx v cos xdx senx
= −∫ ∫x x xe cos xdx e senx e senxdx
Por tanto:
= − + −∫ ∫x x x xe sen xdx e cosx e sen x e senxdx → = − +∫ x x x2 e senx dx e cos x e senx
( )= − + + = − +∫ x x x x1 1 1e senxdx e cos x e sen x C e sen x cosx C
2 2 2
16) 2 x(x 1) e dx++++∫∫∫∫
Tomamos:
= + → = +
= → = =∫
2
x x x
u (x 1) du 2(x 1)dx
dv e dx v e dx e
+ = + − +∫ ∫2 x 2 x x(x 1) e dx (x 1) e 2 (x 1)e dx
Resolvemos la integral +∫ x(x 1)e dx por partes.
Tomamos:
= + → =
= → = =∫x x x
u (x 1) du dx
dv e dx v e dx e
+ = + − = + − =∫ ∫x x x x x x(x 1)e dx (x 1)e e dx (x 1)e e xe
Por tanto:
+ = + − + = + +∫ 2 x 2 x x 2 x(x 1) e dx (x 1) e 2xe C (x 1)e C
Ejercicios: Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 6
17) xx·2 dx−−−−∫∫∫∫
Tomamos:
x x x
u x du dx
1dv 2 dx v 2 dx 2
ln2− − −
= → =
= → = = −∫
( )x
x x x x2
x 1 x 2x·2 dx 2 2 dx 2 C
ln2 ln2 ln2 ln2
−− − − −= − + = − − +∫ ∫
18) 3x senxdx∫∫∫∫
3 2u x du 3x dx
dv sen xdx v senxdx cosx
= → =
= → = = −∫
3 3 2x senx dx x cosx 3 x cosx dx= − +∫ ∫
Resolvemos la integral 2x cosxdx∫ por partes.
Tomamos:
2u x du 2xdx
dv cosx dx v cos xdx senx
= → =
= → = =∫
2 2x cosx dx x senx 2 xsenxdx= −∫ ∫
Tomamos:
u x du dx
dv sen xdx v senxdx cosx
= → =
= → = = −∫
xsen xdx xcosx cosxdx xcos x senx= − + = − +∫ ∫
Por tanto:
2 2x cosxdx x senx 2xcosx 2senx= + −∫
3 3 2x senx dx x cosx 3x senx 6xcos x 6senx C= − + + − +∫
Ejercicios: Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 7
19) xe cosx dx∫∫∫∫
Tomamos:
x xu e du e dx
dv cosx dx v cos xdx senx
= → =
= → = =∫
x x xe cos xdx e senx e senxdx= −∫ ∫
Resolvemos la integral xe senxdx∫ por partes.
Tomamos:
x xu e du e dx
dv sen xdx v senxdx cosx
= → =
= → = = −∫
x x xe senxdx e cos x e cosxdx= − +∫ ∫
Por tanto:
x x x xe cos xdx e senx e cos x e cosx dx= + −∫ ∫ → x x x2 e cosx dx e senx e cosx= +∫
( )x x1e cos xdx e senx cosx C
2= + +∫
20) 35 xx e dx−−−−∫∫∫∫
Tomamos:
3 3 3
3 2
2 x 2 x x
u x du 3x dx
1dv x e dx v x e dx e
3− − −
= → =
= → = = −∫
( )3 3 3 3 3 35 x 3 x 2 x x x x 31 1 1 1x e dx x e x e dx e e C e x 1 C
3 3 3 3− − − − − −= − + = − − + = − + +∫ ∫
21) ln(x 3)dx−−−−∫∫∫∫
Tomamos:
( ) 1u ln x 3 du dx
x 3dv dx v x
= − → =−
= → =
Ejercicios: Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 8
x
ln(x 3)dx x ln x 3 dxx 3
− = − −−∫ ∫
Efectuando la división:
x 3dx 1 dx x 3ln x 3
x 3 x 3 = + = + − − − ∫ ∫
Por tanto:
ln(x 3)dx x ln x 3 x 3ln x 3 C (x 3)ln x 3 x C− = − − − − + = − − − +∫
22) ln x
dxx∫∫∫∫
Tomamos:
1 1 1u ln x du dx dx
2xx 2 x
1dv dx v 2 x
x
= → = =
= → =
ln x 2 x 1dx 2 x ln x dx 2 x ln x dx 2 x ln x 2 x C
2xx x= − = − = − +∫ ∫ ∫
23) 2(lnx) dx∫∫∫∫
Tomamos:
2 1u (ln x) du 2ln x· dx
x
dv dx v x
= → =
= → =
2 2 2lnx(lnx) dx x(lnx) 2 x dx x(lnx) 2 lnxdx
x= − = −∫ ∫ ∫
Tomamos: 1
u lnx du dxx
dv dx v x
= → =
= → =
xlnxdx x ln x dx x ln x x
x= − = −∫ ∫
Por tanto:
2 2 2lnx(lnx) dx x(lnx) 2 x dx x(lnx) 2x lnx 2x C
x= − = − + +∫ ∫
Ejercicios: Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 9
24) Encuentra una primitiva de la función f (x) = x 2 sen x cuyo valor para x = π sea 4.
La función que buscamos es F(x) = 2x senx dx∫ tal que F(π) = 4.
Integramos por partes:
= → =
= → = = −∫
2u x du 2xdx
dv sen xdx v senxdx cosx
= − +∫ ∫2 2x senx dx x cos x 2 xcosx dx
Resolvemos la integral ∫ xcos xdx por partes.
Tomamos:
= → =
= → = =∫
u x du dx
dv cosx dx v cos xdx senx
= − = + +∫ ∫xcos xdx xsenx senx dx xsenx cosx C
Por tanto:
= − + + +∫ 2 2x senx dx x cos x 2xsenx 2cosx C
Como F(π) = 4, se verifica:
F(π) = – π2 cos π + 2πsen π + 2cos π + C = 4 → π2 – 2 + C = 4 → C = 6 – π2
Luego la función es:
2 2F(x) x cosx 2xsenx 2cos x 6= − + + + − π
25) Determina la función f (x) sabiendo que f´´(x) = x ln x, f´(1) = 0 y f(e) =e4
.
f´(x) = f´´(x)dx∫ → f´(x) = x ln xdx∫
Tomamos:
2
1u lnx du dx
x1
dv xdx v x dx x2
= → =
= → = =∫
2 22 2 2 2 21 1 x 1 1 1 1 x 1 1
xlnxdx x lnx dx x lnx x dx x lnx C x lnx x C2 2 x 2 2 2 2 2 2 4
= − = − = − + = − +∫ ∫ ∫
Como f´(1) = 0 → f´(1) = 1 1 1
ln1 C C2 4 4
− + = − + = 0 → C = 14
Ejercicios: Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 10
Por tanto: f´(x) = 2 2 21 1 1 1 1 1x lnx x x lnx
2 4 4 2 2 4 − + = − +
f(x) = f´(x)dx∫ → f(x) = 2 21 1 1 1 1 1x lnx dx x lnx dx x
2 2 4 2 2 4
− + = − + ∫ ∫
Integramos por partes:
Tomamos:
2 3
1 1u lnx du dx
2 x1
dv x dx v x3
= − → =
= → =
3 3 3 3 32 21 1 1 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x
x lnx dx ln x dx ln x x dx ln x C2 2 2 2 3 2 3 x 6 2 6 6 2 18
− = − − = − − = − − + ∫ ∫ ∫
Por tanto:
f(x) = 3 3x 1 x x
lnx C6 2 18 4 − − + +
Como f(e) = e/4 → f(e) = 3 3e 1 e e e
lne C6 2 18 4 4 − − + + =
→ 3 3e e
C 012 18
− + = → C = 3e
36−
f(x) = 3 3 3x 1 x x e
lnx6 2 18 4 36 − − + −
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