Dimensión Fractal:Dimensión Fractal:
Hacia una medida de la RealidadHacia una medida de la Realidad
FractalesFractales
Primera PartePrimera Parte
Aspectos Teóricos de la Aspectos Teóricos de la Geometría FractalGeometría Fractal
Definición de Fractal
Autosimilitud
Dimensión Fractal
Diferentes Tipos de Fractales
Hacia una definiciónHacia una definición
Frases sueltas sobre FractalesFrases sueltas sobre Fractales
** La Geometría Fractal es también conocida como la “Geometría de la Naturaleza. **
** La palabra Fractal, enunciada por Mandelbrot, proviene del latín y significa roto, quebrado. (Se asocia con las discontinuidades de funciones matemáticas). **
** La Geometría Fractal es un nuevo lenguaje; ya que los puntos, rectas, esferas, elipses y demás objetos de la geometría tradicional son reemplazados por algoritmos iterativos computacionales que permiten describir sistemas naturales, caóticos y dinámicos. **
** Un fractal es un objeto en el cual sus partes tienen “alguna” relación con el todo. (esto está íntimamente ligado a la Autosimilitud) **
** Los Fractales son objetos cuya dimensión es no entera o fraccionaria. **
** Un objeto fractal es aquél que posee las siguientes dos características:
a) Autosimilitud,
b) Dimensión Fractal
**
¿Qué es un Fractal?¿Qué es un Fractal?
Son objetos geométricos que poseen dos características fundamentales:
1) Autosimilitud
2) Dimensión Fraccionaria
¿Cuántos tipos de Fractales existen?¿Cuántos tipos de Fractales existen?
Los objetos Fractales se pueden clasificar de la siguiente manera:
Lineales
Complejos
Caóticos
AutosimilitudAutosimilitud
1) Perfecta1) Perfecta: Cada porción de un objeto tiene exactamente las mismas características del objeto compelto.
2) Estadística: 2) Estadística: cada región de un objeto conserva, de manera estadísticamente similar, sus características globales.
AutosimilitudAutosimilitud
Dimensión FractalDimensión Fractal
1) Dimensión Topológica:
Dimensión 0 -- Un punto
Dimensión 1 -- Una línea recta
Dimensión 2 -- Un plano
Dimensión 3 -- El espacio
2) Dimensión de Dimensión de Hausdorff-Besicovitch
S = S = LLDD
Donde S es la cantidad de segmentos o su longitud; L es la escala de medición; D es justamente la Dimensión.
Luego obtengo:
Log S = Log LD
Por propiedades de los logaritmos puedo decir que:
Log S = D* Log L
Por último divido ambos miembros por Log L y obtengo:
D = Log S / Log LD = Log S / Log L
Dimensión FractalDimensión Fractal
Mediante la siguiente FórmulaMediante la siguiente Fórmula
S = S = LLDD
Donde :
S es la cantidad de veces que se repite la imágen generadora L es igual a (1/e) donde “e” es la escala de medición
D es justamente la Dimensión buscada.
Aplicando logaritmos se obtiene:
Log S = Log LD
Por propiedades de los logaritmos escribimos:
Log S = D* Log L
Por último divido ambos miembros por Log L y obtengo:
D = Log S / Log LD = Log S / Log L
Fractales Lineales Fractales Complejos y Caóticos
Su Dimensión Fractal se CALCULACALCULA
Su Dimensión Fractal se ESTIMAESTIMA
Mediante las siguientes técnicas o Mediante las siguientes técnicas o algoritmosalgoritmos
WaveletsExponente de HurstDimensión de AutocorrelaciónBoxcounting MethodExponentes de Lyapunov
Ejemplo DM de un Fractal Lineal
e = (1/3)
L= 1/(1/3)=3
S=4
D = log(4)/log(3)D = 1,261859
¿Cómo se genera un Fractal?¿Cómo se genera un Fractal?
Paso 1, se elige una imagen generadora (puede ser cualquiera, desde una recta hasta la cara de Mickey Mouse).
Paso 2, se elige un algoritmo de transformación de la imagen generadora.
Paso 3, se itera el algoritmo infinitas veces, o con un límite determinado como variable en un software.
Ejemplos:
Curva de Von Koch Curva de Peano Modelo Neuronal
Los Fractales complejos se generan con la misma lógica, solo que en lugar de iterar una imagen, se itera una ecuación en el plano de los números complejos. Por ejemplo, el Conjunto de Mandelbrot se genera mediante la iteración de: Zn+1 = Zn^2 + C
Los Fractales Caóticos, son los elementos geométricos de la Teoría del Cáos. Se los denomina Atractores. Se generan a través de mediciones provenientes del mundo real, como Ecuaciones Direnciales o Series de tiempo. Cuando uno modela un sistema natural caótico, tiene como finalidad encontrar un Atractor.
Mejorando nuestra definiciónMejorando nuestra definición
La Geometría Fractal, llamada también "Geometría de la Naturaleza", es un conjunto de estructuras irregulares y complejas descriptas a través de algoritmos matemáticos y
computacionales; los cuales reemplazan a los puntos, rectas, circunferencias y demás figuras provenientes de la matemática tradicional. Estos objetos tienen como características fundamental las propiedades de Autosimilitud y la de convivir en extraños paisajes formados
por dimensiones fraccionarias.
Ahora si … La definición de MANDELBROTAhora si … La definición de MANDELBROT
Un fractal es un objeto matemático cuya dimensión de Hausdorff es siempre mayor a su dimensión topológica.
El Conjunto de CantorEl Conjunto de Cantor
D = Log 2 / Log 3 - D = 0.6309.............
S = 2
L = 3
Dimensión Topológica = 1 ya que parte de una recta.
Dimensión Fractal = 0.6309…..
Se presenta el problema de excepción a la definición de Mandelbrot
Tiene dimensión fraccionaria, pero su dimensión Topológica es mayor que su dimensión fractal.
Matemática FractalMatemática Fractal
Generando el Conjunto de Mandelbrot (M-Set)
Conjuto Números Complejos Iteración zz11 = z = z0022 + c + c
IteracionesIteraciones
zz22 = z = z1122 + c + c
zz33 = z = z2222 + c + c
zz44 = z = z3322 + c + c
zz55 = z = z4422 + c + c
Todos los Z y C son números complejos Z0 es el inicializador
La sucesión formada por Z0,Z1, Z2, Z3………ZnSe denomina la ORBITA de Z0 bajo la iteración zz22 + c + c
Las órbitas pueden converger o diverger.
Definición del Conjunto de Mandelbrot
El conjunto Mandelbrot M, consiste de todos aquellos valores (complejos) de c cuyas órbitas de 0 bajo z2 + c correspondientes no escapan al infinito
M-Set= {c / órbita de 0 en ZM-Set= {c / órbita de 0 en Z22 + c converge} + c converge}
Importante: En M-Set siempre interesa estudiar la órbita de Z0 = 0
Matemática FractalMatemática Fractal
Generando el Conjunto de Mandelbrot
Fractales y ColoresLos colores representados en un Fractal no tienen un carácter artístico, sino puramente Matemático.
Defino un algoritmo de Colores:
- Si c PERTENECE a M-SET que pinte de color NEGRO- Si c NO PERTENECE a M-SET que pinte de color BLANCO
- Si c PERTENECE a M-SET que pinte de color NEGRO- Si c NO PERTENECE a M-SET que pinte con alguna gama de AZUL.- Defino azul CLARO para los valores de C que tardan MUCHO en DIVERGER.- Defino azul OSCURO para los valores de C que DIVERGEN rápidamente.
Los colores dan una Los colores dan una muestramuestra de la velocidad de la velocidad con la que diverge la sucesión:con la que diverge la sucesión:
Fractales Caóticos - Atractores Extraños Fractales Caóticos - Atractores Extraños
Diferentes Tipos de FractalesDiferentes Tipos de Fractales
FractalesFractales
LinealesLineales
Autosimilitud Perfecta
Dimensión Fractal fácil decalcular con: S = S = LLDD
Se crean a partir de:-Un generador -Un algoritmo de repetición
Ejemplo: Triángulo de Cantor y
Triágulo de Sierpinski
ComplejosComplejos
Autosimilitud Estadística
Dimensión Fractal difícil de calcular. Se requiere software. Método: Box Couting
Se crean a partir de:-Un Z0 -Iteraciones en el Plano Complejo
Ejemplo: Conjunto de Mandelbrot, Conjunto de Julia
CaóticosCaóticos
Poseen estructura Fractal.Autosimilitud Estadística
Se requieren métodos de medición más complejos que la Dimensión Fractal.
Se generan a partir de sistemas de Ecuaciones Diferenciales
Ejemplo: Atractor de LorentzModela el Clima Meteorológico
Son los objetos geométricosde la Teoría del Caos
Segunda ParteSegunda Parte
Aplicaciones FractalesAplicaciones Fractales
Medicina
Economía
Otras Ciencias
Arte
Fractales en Medicina - NeurocienciasFractales en Medicina - Neurociencias
Simulación de una imágen del Cerebro Humano
Iteración de la fórmula: Zn+1 = Z0 + CDiferencia con el Conjunto de Mandelbrot, se colorean TODOS los puntos y no solo los convergentes.
Modelo de Neurona con el que trabaja la Modelo de Neurona con el que trabaja la Medicina ActualMedicina Actual
Primeros pasos para desarrollar un Primeros pasos para desarrollar un modelo Neuronal Fractal. modelo Neuronal Fractal.
Se elige un generador (A), se propone un algoritmo (B) se comienza a desarrollar el fractal (C y D).
Se puede llegar a diferentes modelos dependiendo el generador y algoritmo elegido.
Mas Fractales en MedicinaMas Fractales en Medicina
Imagen de un Pulmón humanocon características fractales
Imagen de un Pulmón animalcon las mismas características
Fractales, Estadística y Fractales, Estadística y MedicinaMedicina
El análisis de autosimilitud y patrones, no necesariamente tiene que estudiarse desde imagenes, puede hacerse tambien desde ecuaciones o curvas como en este caso de EEG o Series de Tiempo
Imagen de aumentada con detallesde un pulmón humano
Cardiología FractalCardiología FractalECG visto como una serie de tiempo.
Se realiza un análisis Fractal para determinar la DF de ECG de pacientes sanos y de pacientes con determinadas patologías.
Problema:Diversos estudios de ECG mostraban una inconsistencia entre el tamaño de la arteria izquierda en relación con la fibrilación arterial.
Hipótesis:Mediante un Análisis de la Dimensión Fractal de una fibrilación arterial proveniente de un ECG se puede predecir el tamaño de la arteria izquierda.
Método: Se estudian 53 pacientes con fibrilación arterial.
Resultados:
Si la DF es mayor a 1.14, el tamaño de la arteria izquierda en TODOS los pacientes, es de 4,6 cm. o mayor.
Si la DF es menor que 1.09 , el tamaño de la arteria izquierda en TODOS los pacientes, es menor a 4,6 cm.
Si la DF se encuentra entre 1.09 y 1.14, no presenta una correlación con el tamaño de la arteria izquierda.
Series de Tiempo como Fractales CaóticosSeries de Tiempo como Fractales Caóticos
Con el mismo procedimiento descripto anteriormente se genera un fractal lineal, con autosimilitud perfecta, que representa el gráfico de una serie de tiempo.
La evolución y dinámica de diferentes sistemas biológicos, sociales, económicos o médicos pueden ser vistos y representados como series de tiempo.
Gráfico de la evolución de precios en la Bolsa de Comercio de Canadá, la cual puede ser tratada y estudiada como una serie de tiempo.
Un ElectroEncefalograma también puede ser visto y tratado como una serie de tiempo
En ambos casos se realiza un Análisis Fractal para determinar el grado de autosimilitud que poseen estas series, y en base a eso se puede conocer más acerca de su dinámica, lo cual permite realizar inferencias sobre el sistema.
Fractales en Economía y FinanzasFractales en Economía y Finanzas
Teoría Multifractal en elAnálisis de la Bolsa de
Comercio
A la izquierda modelos tradiconales en elAnálisis de charts. A la derecha el mismoAnálisis pero utilizando técnicas Fractales
Notar la diferencia en el detalle.
Enconomía FractalEnconomía FractalMercados Financieros vistos como series de tiempo.
Se realiza un Análisis para determinar la DF de la serie de tiempo con el objeto de conocer la dinámica del movimiento de precios dentro de la Bolsa de Comercio y poder inferir sobre valores futuros.
Se calcula la DF mediante el algoritmo denominado Exponente de Hurst.
Propiedades del exponente de Hurst (H):
Varía entre 0 y 1
Si H = 0,5 del exponente indica que la serie de tiempo es TOTALMENTE aleatoria por lo cual no se puede inferir en el futuro.
Si 0 < H < 0,5 existe una correlación inversa. Si la tendencia de la serie era decreciente, en intervalos posteriores será creciente, y por el contrario, si su tendencia era creciente, en el futuro será decreciente.
Si 0,5 < H < 1 existe una correlación directa. Si en un intervalo de tiempo la serie es creciente, lo seguirá siendo en el futuro, y viceversa.
Aplicación al Mercado Financiero.
Si se estudia la evolución en el tiempo del precio de determinada acción mediante esta técnica se puede inferir:
Si el valor de H de la serie de tiempo es 0,5 no puedo decidir que hacer con mis acciones.
Si 0 < H < 0,5 && previamente creciente => VENDO (infiero que luego el valor disminuyendo) Si 0 < H < 0,5 && previamente decreciente => COMPRO (infiero que luego el valor aumentará)
Si 0,5 < H < 1 && previamente creciente => COMPRO (infiero que el valor seguirá aumentando) Si 0,5 < H < 1 && previemante decreciente = > VENDO (infiero que el valor seguirá disminuyendo)
Análisis Fractal de índices bursátilesAnálisis Fractal de índices bursátiles
Análisis del índice de valores de las acciones de la empresa Google, perteneciente al indicador de acciones tecnológicas de EEUU NASDAQ.
Período: Desde el primer día de cotización hasta Setiembre de 2008 donde se produce el crash financiero.
El índice tiene un piso de 100 U$S y llegó a cotizar 780 U$S.
El índice fractal calculado de esta serie de tiempo (el Exponente de Hurst), tiene un valor de 0,58.
Lo cual indica que el movimiento de precios tuvo una dinámica cercana a la aleatoriedad.
Análisis del índice de valores de las acciones de la Bolsa de Comercio de Buenos Aires, MERVAL, del día 22 de Octubre de 2008.
Este día las acciones han tenido una caída del 10%.
El índice fractal calculado ha sido de 0.75%.
El mismo es significativamente superior a 0,5,. Lo cual indica una dinámica alejada de la aleatoriedad, esto significa que hubo coordinación en la compra y venta de acciones a lo largo de ese mismo día. Miles de mentes pensaron lo mismo al mismo tiempo.
Mediante este tipo de análisis es posible sacar patrones de comportamiento y comprender con mayor eficacia la dinámica de un sistema hiper-complejo como la Bolsa de Comercio
Fractales y ArquitecturaFractales y Arquitectura
Arte FractalArte Fractal
Estas tres imagenes de ArteFractal muestran Fractalesmatemáticos perfectamentereconocibles, el Conjunto de Mandelbro y el Conjunto deJulia
Fractales manipuladosmediante un softwarepara generar paisajesFractales, utilizados en el cine o videos para suplantarmaquetas.
ConclusionesConclusiones
Los objetos fractales, más allá de ser elementos matemáticos que requieren un alto grado de abstracción, permiten modelar de manera visualmente interesante gran cantidad de sistemas naturales.
La dimensión fractal, que también parece ser una medida totalmente abstracta, ya que no es tan fácil generarse la idea de una dimensión fraccionaria teniendo como base nuestros conceptos tradiciones de dimensión euclidea, puede representar y darnos un parámetro de determinados sistemas con mucha más precisión y realidad de lo que lo hacen técnicas de análisis tradicionales.
El Análisis Fractal se ha convertido en una potente herramienta de investigación para diferentes áreas de la Ciencia Aplicada, que van desde la Medicina, Biología, Sociología, Física, Economía hasta el Arte o la Arquitectura.
Se han publicado cientos de trabajos en los últimos 10 años en el campo de la Medicina que abarcan análisis de ECG, EEG, dinámica de la desintegración sináptica en la enfermedad del Alzheimer o el crecimiento de un tumor. Como así también en Economía, todos los software de análisis bursátil contemplan los índices fractales vistos en las diapositivas anteriores o en Sociología se estudia el crecimiento y densidad de las poblaciones o emigraciones.
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