Teoria da Relatividade
Os corpos ou meios poderão estar em repouso ou em movimento. Daí seguem as outras separações: estática, cinemática, dinâmica
Mecânica
M. dos corpos rígidos M. dos corpos deformáveisou meios contínuos ou sólidosM. dos fluídos
M. dos materiais (resistência dos materiais)
Isaac Newton (1642-1727)
Corpo rígido: não muda a sua formaFluído: não resiste ao corteCorpos deformáveis: mudam de forma e resistem ao corte
Albert Einstein (1879-1955)
1. Hierarquia da Mecânica Clássica ou Newtoniana
Introdução
2. Conceito do meio contínuo, objectivos e restrições de MMC
Objectivos de MMC:
Formular equações que servem para determinar a resposta do MC ao carregamento
Solicitações às quais os MC estão sujeitos do exteriorCarregamento:
Pelo contacto (por exemplo com outros corpos):forças exteriores de superfície [N/m2]
À distância:forças exteriores de volume: peso = acção de campo de gravidade,forças de inércia [N/m3]... campo eléctrico, campo magnético ... variações de temperatura (campo térmico)
Nota:Quando a área de contacto é muito inferior à área total, as forças distribuídas poderão ser substituídas pelas forças concentradas [N] ou forças de linha [N/m], o que representa uma simplificação da carga real
Homogeneidade Comportamento igual em cada ponto
Isotropia Comportamento igual em cada direcção
A resposta do MC exprime-se em termos de TENSÕES, DEFORMAÇÕES E DESLOCAMENTOS,
que são desconhecidos em cada ponto do MC e cada instante
incógnitas básicas do problema
A resposta do MC depende das propriedades (comportamento) do MC
Objectivo (além de determinar a resposta):Avaliar
DimensionarOptimizar
Forças diferentes
Corposrígidos ou
deformáveis1Fr
2Fr
Forças terão um conceito diferente do que na estática
1Fr
2Fr
Corpos rígidosForças = vectores deslizantesForças iguais ou equivalentes:quando têm a mesma linha de acção (direcção), intensidadee sentido
1Fr
2Fr Corpos deformáveis
Forças: vectores fixos, o ponto de aplicação da força é importante(corresponde ao ponto na superfície do corpo)
2Fr
1Fr
3. Tensores cartesianos, cálculo tensorial
Quantidades físicas:
EscalaresVectoresTensores de segunda ordem...
Tensores de ordem zeroTensores de primeira ordemTensores de segunda ordem...
Campos físicos:
Quantidades físicas como “funções” de posição e/ou de tempo
Relacionadas a uma dada posição e um dado tempo
Campo escalarCampo vectorialCampo tensorial de segunda ordem...
Escalares
direcção
1 valor é suficiente para descrição completa
Exemplos: temperatura, massa, densidade, tempo
É preciso 3 valores para descrição completa de um vector livre
Representação geométrica
Vectores
intensidade
sentido
O vector é plenamentedeterminado no ponto P
quando sabemos:
Sentido
Ponto de aplicação
Direcção
Intensidade
Fr
4. Descrição matemática dos tensores
Componentes num dado referencial
3n em 3D2n em 2D
Número de componentes necessárias:
Definição
A quantidade física chama-se tensor quando as suas componentes obedecema lei de transformação
Tensores de segunda ordem
O tensor de segunda ordem é plenamente determinado no ponto Pquando sabemos 3 vectores de pontos de aplicação P, relacionadosà 3 planos diferentes, não paralelos, que se intersectam no P
É preciso 9 valores para descrição completa
Representação geométrica dos tensores ... mais tarde de acordo com o significado físico
onde n corresponde à ordem do tensor
Nota:Quantidades físicas:
Componentes são númerosCampos físicos:
Componentes são funções
Sistema de coordenadas ou referencial cartesiano
Três eixos rectos mutuamente perpendiculares
Vectores base com a norma igual
Habitualmente direito
Regra de mão direita
x
y z
Dedos de x para y Polegar mostra orientação positiva de z
Dedos de y para z Polegar mostra orientação positiva de x
Dedos de z para x Polegar mostra orientação positiva de y
Tensores cartesianos
A lei de transformação é válida apenas no sistema cartesiano
René Descartes (1596-1650)irx y
z
kr
jr
kjirrr
==
x
z
yFr
ir j
r
kr
∑=
=++=++=++=3
1iii332211zyxzyx eFeFeFeFkFjFiFFFFFrrrrrrrrrrr
{ } ( )Tzyx
z
y
x
F,F,FFFF
F =⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
)F,F,F(F zyx=r
vectorial
matricial
Representação geométricano referencial
3z2y1x eekeejeeirrrrrrrrr
≡≡≡≡≡≡
Vectores
Representação matemática
Rotação do sistema de coordenadasy
x
x’
y’
Fx
Fy
Fx’Fy’ α
Frα
α
α
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡αα−αα
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧′′
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
′
′
y
x
y
x
y
x
FF
cossinsincos
FF
FF
R é matriz ortogonal
Componentes de vectores base do sistema rodado,ou seja os cosenos directores dos versores dos eixos rodados,
formam as colunas de matriz de transformação de base do referencial [B]
[ ] [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ααα−α
==cossinsincos
RB T [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡αα−αα
=cossinsincos
R
Derivação da lei de transformação
[ ] [ ]T1 RR =−
2D
α+α=′ sinFcosFF yxx
α−α=′ sinFcosFF xyy
[ ] 1Rdet ±=Para referencial direito
Tensores de segunda ordem
[ ] [ ] [ ] [ ]TRTRT ⋅⋅=′
Representação das componentes na forma matricial
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211
yyx
xyx
yyyx
xyxx
TTTT
TTTT
TTTT
T
[ ] [ ] [ ] [ ]RTRT T ⋅′⋅=
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
333231
232221
131211
zzyzx
yzyyx
xzxyx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
TTTTTTTTT
TTTTTTTTT
TTTTTTTTT
T
1-x, 2-y, 3-z
Tensores de ordem maior ...
Lei de transformação
5. Álgebra tensorial
Cálculo matricial e vectorial até tensores de segunda ordem
Cada tensor de segunda ordem pode ser escrito como somada sua parte simétrica e antissimétrica
[ ] [ ] [ ]AST += ( ) 2/TTS jiijij += ( ) 2/TTA jiijij −=
jiij TT = 0TTT iijiij =⇒−=
Tensor simétrico Tensor antisimétrico
Tensores cartesianos de segunda ordem
A propriedade mantém-se, qualquer que seja o referencial
Cada tensor de segunda ordem simétrico pode ser escrito como somaa sua parte esférica (isotrópica, volúmica) e desviatórica (tangencial)
[ ] [ ] [ ]DITT m +=3
TTTT 332211m
++=
jiTD ijij ≠∀=
miiii TTD −=
0DDD 332211 =++Valores e vectores próprios (principais)
Existe solução não trivial para {v} quando [ ] [ ]( ) 0ITdet =λ−
Os números λ que asseguram a nulidade do determinantechamam-se valores próprios, pode-se provar que são reaisno caso dos tensores simétricos
Assim as equações (Eq. 1) são linearmente dependentes, por isso o númerodas soluções para {v} relacionado a cada λ é infinito
[ ] [ ]( ) { } { }0vIT =⋅λ− (Eq. 1) corresponde a n equaçõesalgébricas lineares homogéneas
Em 2D a resolução pode ser facilmente exprimida analiticamenteO problema pode ser definido de três maneiras equivalentes:1. Resolver a equação característica ->valores próprios ->vectores próprios2. Encontrar o máximo e o mínimo dos valores diagonais3. Encontrar a rotação para a qual Txy=0
2D 0II 212 =+λ−λ[ ] [ ]( ) ( ) 0IIITdet 21
2 =+λ−λ−=λ−
[ ]( )TtraçoT2I m1 ==
[ ]( )TdetI2 = 2TT
T yxm
+=
θθ+θ+θ=′ cossinT2sinTcosTT xy2
y2
xx
θθ−θ+θ=′ cossinT2cosTsinTT xy2
y2
xy
( ) ( )θ−θ+θθ−−=′ 22xyyxxy sincosTcossinTTT
Lei detransformação
Invariantes Escalares que não alteram o seu valor com a rotação do referencialI1, I2 são invariantes fundamentais Nota:
Invariante dos vectores: norma
θ+θ−
++
=′ 2sinT2cos2
TT2
TTT xy
yxyxx
θ−θ−
−+
=′ 2sinT2cos2
TT2
TTT xy
yxyxy
θ+θ−
−=′ 2cosT2sin2
TTT xy
yxxy
2xy
2yx T
2TT
R +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
( )yx
xyp TT
T22tg
−=θ
RTT mmax += RTT mmin −=
de x até x’ou de y até y’
0Tpara xy >
( )max( )minx
y
0Txy =′
Cristian Otto Mohr(1835-1918)
( ) 22xy
2mx RTTT =′+−′
θ+=′ 2cosRTT mx
Justificação da circunferência
Começandodo estado principal θ−=′ 2cosRTT my
θ−=′ 2sinRTxy
( ) 22xy
2my RTTT =′+−′ou
Circunferência de Mohr [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
yxy
xyx
TTTT
T
Valores diagonais
x -> positivos para baixoy -> positivos para cima
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡′′′′
=′yxy
xyx
TTTT
T
x′
θ
x
xyT
( ) 2/TT yx −
R
p2θ
2xy
2yx T
2TT
R +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
θ2
mTminT
( )x
maxT
p2θ
0Txy >
yT
( )y
Valores fora de diagonal
( )x′
( )y′
θ
xT
xT′
yT′
0Txy <′
( )yx
xyp TT
T22tg
−=θ
[ ]( )Tdet
[ ]( )Ttraço
Referencial alindado com dir. principaisReferencial originalInvariantes
yx TT + minmax TT +
minmax TT ⋅2xyyx TTT −⋅
Depois da resolução dos valores e direcções principais convém verificaros invariantes (fundamentais)
R = máximo da componente fora de diagonal,neste caso as componentes diagonais não se anulam, ambas têm o valor Tm
2TTRT minmax
max,xy−
==
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
min
max
T00T
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
mmax,xy
max,xym
TTTT
T
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
mmax,xy
max,xym
TTTT
T
( )max
( )min x′
x ′′
Pólo irradiante de facetas
( )xfaceta
x
y( )yfaceta
Os eixos de coordenadas correspondem às normais das facetas
x′
θ
x( )xfaceta ′
mT
( )x
p2θ
pólo ( )( )maxdirecção
minfaceta≡
( )( )mindirecção
maxfaceta≡
( )y
minT ( )x′
( )xfaceta
( )yfaceta ( )xfaceta ′
θ2maxT
maxmin
( )maxfaceta
( )minfaceta
max
min maxTP ≡minT
( )x
( )y ( )xP ′≡x
y
x′
Casos específicos
xy
x′
?Tx =′
?Ty =′
?Txy =′
Ponto (x’) está acimado eixo horizontal,por isso T’xy<0
mT
( )x
( )yP
( )x′
xyT′( )xfaceta ′
xT′
yT′
aTbT
cT xθ
αβ
xDevido ao referencial introduzido:
xa TT =
( ) ( ) ( ) ( )αα+α+α= cossinT2sinTcosTT xy2
y2
ab
( ) ( ) ( ) ( )β+αβ+α+β+α+β+α= cossinT2sinTcosTT xy2
y2
xc
Sabemos: incógnitas:cba T,T,T xyyx T,T,T
Determinação das componentes sabendo três valores diagonais
Resolver xyy T,T
Solução gráfica
aTbT
cT
α
β
Desenho auxiliar
( )a
[ ]a
α
β
α2
β2
( )b
( )c
arbitrário
( )β−α−π2
[ ]b[ ]c
maxTminT
α
α2
α
Desenho original
aTbT
cT
αβ
Invariantes fundamentais
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
zxz
xzx
zyz
yzy
yxy
xyx2 TT
TTdet
TTTT
detTTTT
detI
[ ]( )TtraçoT3I m1 ==
Existem pelo menos três vectores principais normalizados (ex. do sentido)Quando os valores próprios são diferentes, os vectores principais normalizadossão 3 (unicamente definidos excepto do sentido) mutuamente ortogonais
Os valores principais são 3, contudo podem ser múltiplos
Calculam-se como raízes da equação característica
0III 322
13 =−λ+λ−λ[ ] [ ]( ) ( ) 0IIIITdet 32
21
3 =−λ+λ−λ−=λ−
[ ]( )TdetI3 =
I1, I2 e I3 são também chamados invariante linear, quadrático, cúbicoOutros invariantes: combinação de I1, I2 e I3, e também por exemplo valores próprios
3D
Os vectores próprios (ortogonais) definem um referencial, relativamente a quala matriz de coeficientes é diagonal
Valores na diagonal são os valores próprios (forma canónica)O máximo dos valores próprios é o máximo de todas as componentes normais,
qualquer que seja o referencialO mínimo dos valores próprios é o mínimo de todas as componentes normais,
qualquer que seja o referencialA matriz de transformação de base [B] tem colunas formadas pelos
vectores próprios normalizados
Valores próprios
A solução é única, por isso encontrando a matriz de coeficientes diagonal, pode-se concluir que o referencial é formado pelos vectores próprios e que
os valores na diagonal são principais, um deles o máximo e um deles o mínimo
Cálculo das raízes da equação característica (valores próprios):
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+−
=θ 2/3
221
32131
I3I2I27II9I2arccos
31 2,1,0j,
32jcosI3I
32
3I
221
11j =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+θ−+=λ +
Depois de calcular valores próprios, usa-se o sistema de equações (Eq. 1) com o valor próprio substituído, para calcular os vectores próprios normalizados
Casos particulares
321 λ=λ≠λ(1)
(3)(2)
No caso particular da figura ao lado, vectores (2) e (3) não são unicamente definidos. Todos os vectores que satisfazem a equação com o valor λ2= λ3 substituído, formam um plano, cuja normal coincide com a direcção (1)
⇒λ=λ=λ 321 qualquer direcção é principal
Simplificação para o caso 2D
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
CDDA
T[ ]
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
C0D0B0D0A
T
Já é valor principal
Vector principal correspondente: ( ){ } ( )T2 0,1,0v =
Valores máximos fora de diagonal
2TTT 31
max,xz−
=
( )1
( )2
( )3
3211 TTTI ++= 3132212 TTTTTTI ⋅+⋅+⋅= 3213 TTTI ⋅⋅=
3D
Invariantes no referencial principal
Usando as conclusões de 2D
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−±
−±
+
2TT0
2TT
0T02
TT02
TT
3131
2
3131
Círculo de Mohr
1T2T3T
Círculos fundamentais
Depois da resolução dos valores e direcções principais convém verificaros invariantes e a ortogonalidade de vectores próprios