INTRODUCERE ÎN METODA ELEMENTELOR FINITE
1 Metoda Elementelor Finite
1.1 Introducere
Metoda elementelor finite este o tehnică de analiză numerică pentru obţinerea unor soluţii
aproximative pentru o gamă largă de probleme inginereşti.
În practică, fiecare structură este un continuum. În general definim continuumul ca fiind un
corp material (solid, lichid) sau pur şi simplu o regiune din spaţiu în care apare un anumit fenomen.
Într-o problemă de continuum de orice dimensiune (grindă, placă, solid) variabila câmp (fie
că este presiune, temperatură, deplasare, efort sau o cantitate de altă natură) are infinit de multe
valori, pentru că este o funcţie de fiecare punct generic al corpului sau regiunii soluţie. Prin urmare
problema este una cu un număr infinit de necunoscute. Procedurile de discretizare cu element finit
reduc problema la una cu un număr finit de necunoscute prin împărţirea continuumului real în
elemente şi prin exprimarea variabilei câmp necunoscute în termenii funcţiilor de aproximare
admise în interiorul fiecărui element. Numărul finit de puncte în care sunt legate elementele se
numesc puncte nodale sau pur şi simplu noduri. Funcţiile de aproximare sunt definite în funcţie de
valorile variabilelor câmp în punctele nodale. Nodurile de obicei, se află pe marginile elementelor,
acolo unde elementele adiacente sunt considerate a fi legate. În plus faţă de nodurile marginale,
un element poate avea şi câteva noduri interioare. Valorile nodale ale variabilei câmp şi funcţiile de
aproximare pentru elemente definesc complet comportarea modelului. Elementele, nodurile,
funcţiile de aproximare, variabilele câmp formează toate modelul matematic. Modelul matematic
înlocuieşte în calcule continuumul real. Pentru a genera modelul matematic al unui continuum
elastic se fac aproximări în felul următor:
- Continuumul este împărţit de linii sau de suprafeţe imaginare într-un număr de
elemente finite.
- Elementele se presupun a fi interconectate într-un număr discret de puncte nodale
situate pe marginile lor. Deplasările acestor puncte nodale vor fi parametrii de bază
necunoscuţi ai problemei.
- Se alege un set de funcţii pentru a defini în mod unic starea de deplasări în interiorul
fiecărui element finit în funcţie de deplasările sale nodale.
- Funcţiile de deplasare vor defini în mod unic starea de deformaţii în interiorul fiecărui
element finit în funcţie de deplasările sale nodale. Aceste deformaţii împreună cu orice
alte deformaţii iniţiale şi proprietăţile constitutive ale materialului vor defini starea de
eforturi pe întreg elementul şi ca urmare şi pe marginile sale.
- Se determină un sistem de forţe concentrate în noduri, care echilibrează eforturile
marginale şi orice încărcări distribuite rezultând o relaţie de rigiditate.
Modul de aproximare este foarte important deoarece
a) În primul rând, nu este întotdeauna uşor să se asigure că funcţiile de deplasare alese vor
satisface condiţia de continuitate a deplasării între elementele adiacente. De aceea condiţia
de compatibilitate pe astfel de linii poate fi încălcată.
b) În al doilea rând, prin concentrarea forţelor echivalente în noduri, condiţiile de echilibru sunt
satisfăcute numai în sens global. De obicei vor apare încălcări locale ale condiţiilor de
echilibru în cadrul fiecărui element şi pe marginile acestuia.
Alegerea formei elementului finit şi a formei funcţiei de deplasare pentru diverse cazuri
particulare depinde mult de ingeniozitate.
Am discutat pe scurt despre metoda elementului finit, dar încă nu am menţionat
despre o caracteristică foarte importantă a acestei metode, care o diferenţiază de alte
metode numerice aproximative. Această caracteristică este capacitatea de a formula soluţii
pentru elemente individuale înainte de a le asambla împreună pentru a reprezenta întreaga
problemă. Aceasta înseamnă că, de exemplu, dacă avem o problemă de analiză de
eforturi, putem determina caracteristicile forţă-deplasare sau cele de rigiditate ale fiecărui
element şi apoi să asamblăm elementele pentru a găsi rigiditatea întregii structuri. În
esenţă, o problemă complexă se reduce la a considera o serie de probleme foarte mult
simplificate.
Soluţia unei probleme de continuum cu metoda elementului finit urmează
întotdeauna un proces sistematic pas cu pas. Mai jos este prezentată o listă a acestor paşi:
1. Discretizarea continuumului. Primul pas constă în împărţirea
continuumului în elemente. Poate fi folosită o varietate mare de forme de
elemente şi, cu grijă, elemente cu forme diferite pot fi utilizate în aceeaşi
regiune a soluţiei. Într-adevăr, atunci când se analizează o structură elastică,
care are diferite tipuri de componente, cum ar fi plăci şi grinzi, nu este numai
de dorit ci chiar este necesar să folosim diferite tipuri de elemente în aceeaşi
soluţie. Deşi numărul şi tipul de elemente care urmează să fie utilizate într-o
anumită problemă sunt chestiuni de judecată inginerească, analistul se
poate baza pe experienţa altora pentru ghidare.
2. Selectarea funcţiilor de aproximare (funcţii de interpolare). Următorul
pas constă în atribuirea de noduri fiecărui element şi apoi alegerea tipului de
funcţie de interpolare pentru a reprezenta variaţia variabilei câmp pe
element. Variabila câmp poate fi un scalar, un vector sau un tensor de ordin
superior. Deseori, deşi nu întotdeauna, sunt selectate polinoame ca funcţii
de interpolare pentru variabila câmp, deoarece acestea sunt uşor de integrat
şi de diferenţiat. Gradul de polinomului ales depinde de numărul de noduri
atribuite elementului, de natura şi numărul de necunoscute din fiecare nod,
şi de anumite cerinţe de continuitate impuse în noduri şi de-a lungul
marginilor elementului. Mărimea variabilei câmp, precum şi mărimea
derivatelor sale pot fi necunoscutele din noduri.
3. Determinarea proprietăţilor elementului. Odată ce a fost stabilit modelul
cu elemente finite (adică, odată ce au fost selectate elementele şi funcţiile
lor de interpolare), suntem pregătiţi să determinăm ecuaţiile matriceale care
exprimă proprietăţile elementelor individuale. Pentru aceasta putem folosi
una din următoarele metode: metoda directă, metoda variaţională, metoda
reziduală ponderată sau metoda echilibrului energetic.
4. Asamblarea proprietăţilor elementului pentru a obţine sistemul de
ecuaţii. Pentru a găsi proprietăţile sistemului global modelat de reţeaua de
elemente, trebuie să "asamblăm" toate proprietăţile elementelor. Cu alte
cuvinte, noi trebuie să combinăm ecuaţiile matriceale exprimă comportarea
întregului sistem. Ecuaţiile matriceale pentru sistem au aceeaşi formă ca şi
ecuaţiile pentru un element individual, cu excepţia faptului că acestea conţin
mult mai mulţi termeni, pentru că ele includ toate nodurile. Baza procedeelor
de asamblare rezultă din faptul că într-un un nod în care elementele sunt
interconectate valoarea variabilei câmp este aceeaşi pentru fiecare element
legat în nodul respectiv. Asamblarea ecuaţiilor elementare este o chestiune
de rutina in analiza cu element finit şi de obicei se face automat de
calculatorul electronic. Înainte ca sistemul de ecuaţii să fie gata pentru
rezolvare, acestea trebuie să fie modificate pentru a lua în considerare
condiţiile de margine ale problemei.
5. Rezolvarea sistemului de ecuaţii. Din procedeul de asamblare din pasul
precedent rezultă un set de ecuaţii simultane, pe care le putem rezolva
pentru a obţine valorile nodale necunoscute ale variabilei câmp. Aceste
ecuaţii pot fi liniare sau neliniare.
6. Efectuarea de calcule suplimentare (dacă se doreşte). Uneori, am putea
dori să folosim soluţia sistemului de ecuaţii pentru a calcula alţi parametri
importanţi. De exemplu, pentru o anumită structură în domeniul elastic
soluţia sistemului de ecuaţii reprezintă distribuţia de deplasări din cadrul
sistemului. Din valorile nodale ale deplasărilor putem apoi calcula distribuţia
tensiunilor tangenţiale, dacă dorim.
2 Discretizarea structurii (sau definirea elementelor)
După cum am văzut, în orice analiză cu element finit, primul pas constă în a înlocui un
sistem complex cu un sistem echivalent idealizat alcătuit din elemente individuale conectate între
ele în puncte sau noduri specificate. Gradul până la care asamblarea elementelor reprezintă
întregul de obicei depinde de numărul, mărimea şi tipul de elemente alese pentru reprezentare.
Uneori este posibil să se aleagă elementele într-un mod care conduce la o reprezentare exactă,
dar acest lucru se întâmplă doar în cazuri speciale. Cel mai adesea alegerea elementelor este o
chestiune de judecată inginerească bazată pe experienţa acumulată.
Împărţirea unui continuum în elemente finite Ve trebuie să îndeplinească următoarele două
cerinţe principale:
a) Două elemente distincte pot avea puncte comune, numai pe marginile lor comune. În cazul
în care există astfel de margini nu este permisă nici un fel de suprapunere a lor. Marginile
comune pot fi puncte, linii sau suprafeţe.
v1 v2
margine
o dimensiune
v1
v2
margine
2 dimensiuni
v1 v2
margine
3 dimensiuni
v1 v2
Suprapunere
b) Elementele asamblate trebuie să nu lase nici un gol în interiorul continuumului (domeniului)
şi să aproximeze geometria reală a domeniului cât mai exact posibil.
v1 v2
gol
Atunci când marginea unui continuum (domeniu) nu poate fi exact reprezentată de
elementele selectate, o eroare nu poate fi evitată. O astfel de eroare se numeşte eroare de
discretizare geometrică şi poate fi micşorată prin reducerea mărimii elementelor sau prin utilizarea
de elemente care permit marginilor să devină curbe.
Eroare de discretizare
cresterea numarului
de elemente
folosirea marginilor
curbe
Cele două condiţii sunt îndeplinite dacă elementele sunt construite astfel:
- Fiecare element este unic definit de nodurile geometrice situate pe acest
element. De cele mai multe ori nodurile sunt pe marginea elementului şi pot fi
comune altor elemente adiacente.
- Fiecare porţiune de margine trebuie să fie unic definită de coordonatele
nodurilor geometrice aparţinând porţiunii respective. Astfel, o porţiune a marginii
comune a două elemente diferite este definită identic într-unul sau altul din
elementele care împart acea margine comună.
1
2
3margine
marginea 1-2-3 trebuie definitã în
mod unic de nodurile 1, 2 si 3
DM FM
3 Tipuri de elemente finite
3.1 Element de bară dublu articulată – Element de grindă cu zăbrele (truss)
Elementul de bară dublu articulată este cel mai simplu element structural. El necesită două
forţe elementare în metoda deplasărilor (DM) şi doar de o singură forţă elementară în metoda
forţelor (FM). Acest element nu are nici o rigiditate la încovoiere şi preia doar o distibuţie de eforturi
unidimensională. În fig. 1 şi în toate figurile ulterioare din acest capitol forţele corespunzătoare
elementului în FM sunt indicate cu săgeţi cu linii continue, în timp ce reacţiunile corespunzătoare
sunt prezentate cu săgeţi cu linii punctate.
Fig. 3.1 Bară dublu articulată
3.2 Element de grindă (Beam)
În DM sunt necesare patru forţe tăietoare, două forţe axiale, patru momente încovoietoare
şi două momente de răsucire pentru acest tip de element. Toate forţele acţionează la capetele
grinzii. În FM pentru acest element sunt necesare două forţe tăietoare, o forţă axială, două
momente încovoietoare şi un momente de răsucire.
DM FM
Fig. 3.2 Element de grindă
3.3 Element de placă triunghiular (forţe în plan)
Deformaţiile în plan şi cele din încovoiere sunt necuplate pentru valori mici ale deplasărilor
şi ca urmare proprietăţile elastice pot fi evaluate separat în plan şi în afara planului. În DM vom
folosi două forţe în fiecare vârf al triunghiului, în timp ce în FM este de preferat să fie selectate trei
seturi de forţe marginale, aşa cum se prezintă în fig. 3.3. În FM sunt posibile şi alte opţiuni pentru
alegerea forţelor elementului.
Fig. 3.3. Element de placă triunghiular
3.4 Element de placă dreptunghiular (forţe în plan)
DM FM
Fig. 3.4. Element de placă dreptunghiular
Numărul de forţe elementare este DM = 8, FM = 5
3.5 Tetraedru
Numărul de forţe elementare este în DM = 12
Numărul de forţe elementare este în FM = 6
DM FM
DM FM
Fig. 3.5. Tetraedru solid
3.6 Element de placă triunghiular (eforturi din încovoiere)
Considerând doar efectele din încovoiere (forţe ce acţionează în afara planului) avem
Numărul de forţe elementare este în DM = 9
Numărul de forţe elementare este în FM = 6
Fig. 3.6 Element de placă triunghiular (eforturi din încovoiere)
3.7 Element de placă dreptunghiular
Considerând doar eforturile din încovoiere avem
Numărul de forţe elementare este în DM = 12
Numărul de forţe elementare este în FM = 9
DM FM
DM FM
Fig. 3.7 Element de placă dreptunghiular (eforturi din încovoiere)
3.8 Panou pentru fluxuri constante de forfecare
Idealizarea fixării continue (panoul pentru fluxuri constante de forfecare) a fost utilizată pe
scară largă în analiza eforturilor din învelişul structurilor de aeronave. În general, dă rezultate
excelente cu condiţia ca efectele coeficientului lui Poisson să poată fi neglijate.
Numărul de forţe elementare este în DM = 4
Numărul de forţe elementare este în FM = 1
DM FM
Fig. 3.8 Panou pentru fluxuri constante de forfecare
3.9 Panou cu noduri centrate
Fluxurile constante de forfecare pot fi înlocuite cu forţe tăietoare aplicate în mijlocul laturilor
panoului. Această idealizare se poate utiliza apoi în combinaţie cu elementele de bară dublu
articulată pentru a reprezenta capacitatea portantă a panoului la tensiuni normale.
Numărul de forţe elementare este în DM = 4
Numărul de forţe elementare este în FM = 1
DM FM
Fig. 3.9 Panou pentru fluxuri constante de forfecare cu noduri centrate
DM FM
3.10 Element pentru forţe axiale
Acest element este folosit în combinaţie cu panoul pentru fluxuri constante de forfecare
pentru a reprezenta capacitatea portantă a panoului la tensiuni normale.
Numărul de forţe elementare este în DM = 3
Numărul de forţe elementare este în FM = 2
Fig. 3.10 Element pentru forţe axiale
3.11 Element de placă curbă axial simetrică
Elementul constă dintr-un trunchi de con cu forţe şi momente distribuite pe margini ca forţe
elementare. Forţele tangenţiale sunt, de asemenea, incluse între forţele elementare.
Numărul de forţe elementare este în DM = 8
Numărul de forţe elementare este în FM = 6
DM FM
Fig. 3.11 Element de placă curbă axial simetrică
3.12 Element de inel triunghiular axial simetric
Acest element este folosit în analiza inelelor solide axial simetrice. Forţele tangenţiale însă
nu sunt considerate.
Numărul de forţe elementare este în DM = 6
Numărul de forţe elementare este în FM = 5
DM FM
Fig. 3.12 Element de inel triunghiular axial simetric
4 Construirea matricei de rigiditate a elementului finit
4.1 Metoda analitică (recapitulare)
Conceptul de matrice de rigiditate a elementului finit
Matricea de rigiditate a unui element se defineşte ca relaţia între deplasările independente
de la capetele elementului şi eforturile corespunzătoare, care nu trebuie să fie neapărat
independente.
De exemplu, să considerăm elementul prismatic 1-2 capabil să preia doar forţe axiale,
prezentat în figura 1. Deplasările axiale vor fi iar eforturile corespunzătoare în capătul
1, respectiv 2.
u1
F1
u2
F21 2
Fig. 4.1
Trebuie remarcat faptul că datorită condiţiilor de echilibru trebuie ca . Cu alte
cuvinte, în timp ce şi sunt independente, depinde de sau vice-versa. Pentru acest
element relaţia forţă – deformaţie se obţine astfel:
alungirea netă
deformaţia axială unde = lungimea elementului
tensiunea axială , unde E = modulul lui Young
forţa axială , unde A = aria secţiunii transversale
şi
Relaţia forţă-deplasare de mai sus poate fi exprimată sub formă matriceală astfel
Aceasta este matricea de rigiditate a unui element capabil să preia doar forţe axiale având
deplasările orientate numai după direcţia axială.
Ca un alt exemplu, să considerăm elementul prismatic din figura 4.2 supus încovoierii
drepte pure. Deplasările independente sunt translaţiile şi rotirile la capătul 1, respectiv
2. Eforturile corespunzătoare sunt forţele tăietoare şi momentele încovoietoare at
din capătul 1, respectiv 2.
Ca şi în cazul elementului solicitat doar axial din condiţiile de echilibru trebuie ca
şi = 0. Cu alte cuvinte din cele patru eforturi doar două sunt
independente, de exemplu sau sau etc.
v1v2
1 2 1 2
T1 T2
M1
M2
Fig. 4.2
Relaţia dintre eforturi şi deplasări poate fi obţinută utilizând binecunoscutele expresii ale
deformatei unei structuri (de exemplu din metoda deplasărilor) care sunt date de
Din condiţiile de echilibru
EI = modulul de rigiditate la încovoiere şi l = lungimea elementului. Relaţiile de mai sus pot fi scrise
sub formă matriceală astfel
Trebuie subliniat faptul că matricea de rigiditate este pătrată şi simetrică. Simetria este o
proprietate generală a matricei de rigiditate şi este o consecinţă a reciprocei teoremei lui Maxwell-
Betti.
4.2 Determinarea matricei de rigiditate a elementului folosind soluţia exactă
a ecuaţiilor diferenţiale de echilibru
În acest capitol vom determina matricea de rigiditate pentru elementul supus la încovoiere
pură dreaptă din fig. 4.2. Ecuaţia diferenţială relevantă este dată de
Ecuaţia de mai sus este o ecuaţie diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi. Ea este şi
omogenă pentru că membrul drept este egal cu zero. De aceea soluţia particulară este egală cu
zero şi soluţia generală (sau funcţia complementară), care este şi soluţia completă, este dată de
, la constante arbitrare
Condiţiile de margine sunt
Trebuie remarcat că şi
În figura următoare sunt prezentate funcţiile de formă şi
N
0
0.5
1
0.5 1
N1
N2
Fig. 4.3
Funcţiile de formă şi sunt polinoame Hermite. Un alt mod de calcul pentru este, de
exemplu, următorul.
Gradul maxim al lui poate fi trei în cazul nostru. Presupunând că este un polinom el
poate fi exprimat ca
cu constante arbitrare. Constantele vor fi determinate
cu ajutorul condiţiilor de margine
pentru
care este identic cu cel obţinut cu metoda precedentă.
În acelaşi mod pot fi calculate . De exemplu
Obţinem
Presupunând că cu constante arbitrare, avem
Condiţiile de margine pentru sunt
şi pentru
Eforturile la capetele elementului sunt date de
După efectuarea diferenţierilor şi simplificărilor, matricea de rigiditate pentru elementul
solicitat la încovoiere este dată de (4.2).
F
[N] M ( F
u]O
A
B
d
Fig.4.4 Fig. 4.5
Fig. 4.4 arată o curbă generală efort (F) – deformaţie (δ) pentru un element alcătuit dintr-un
material caracterizat de o curbă tensiune – deformaţie specifică neliniară elastică. Acesta este
cazul cel mai general dar în exemplele noastre viitoare vom considera doar materiale cu
comportare liniar elastică (cu relaţii liniare între eforturi şi deformaţii) ca în fig. 4.5.
Aria AOB de sub curba (linia) OA se numeşte energie de deformaţie W şi aria AOD
deasupra curbei OA este numită energie complementară W*.
sau
Efort (F) Deformaţie (δ) Energia de deformaţie pentru grinzi (W)
F
T
M
4.3 Calculul automat al matricei de rigiditate a unui element cu ajutorul
metodei echilibrului energetic
4.3.1 Obiectivul metodei
Energia de deformaţie şi energia complementară sunt ambele energii potenţiale. Expresia
matricei de rigiditate în metoda elementelor finite poate fi obţinută după minimizarea energiei
potenţiale totale a sistemului.
Energia potenţială totală este o funcţională (notată π), care este o funcţie de un ansamblu
de funcţii şi derivatele lor.
(4.3)
unde - este energia potenţială interioară
şi - este energia potenţială exterioară
În cazul în care deplasările nodale sunt notate cu şi încărcările aplicate (în noduri) cu
atunci
(4.6)
Deformaţiile specifice pot fi scrise ca
(4.8)
unde este un operator diferenţial.
De exemplu, pentru un element în plan
;
(4.9)
În metoda elementelor finite domeniul V este împărţit într-un număr discret de elemente. În
aceste condiţii toate relaţiile (4.3)-(4.9) trebuie scrise în funcţie de valori discrete în loc de valorile
continue. Acesta este motivul pentru care deplasările u şi v trebuie exprimate ca funcţii de
deplasările de la capetele fiecărui element .
(4.10)
unde sunt funcţii de formă care depind de tipul elementului finit.
Considerând aceste aproximări ecuaţia (4.8) devine
(4.11)
unde (4.12)
Folosind ecuaţia (4.11) în relaţia (4.7) avem
În metoda elementelor finite această funcţională este o sumă de valori corespunzătoare fiecărui
element
unde este numărul de elemente finite.
Structura este în echilibru în prezenţa condiţiilor de margine numai dacă funcţionala este minimă.
Acest lucru este echivalent cu
Unde m este numărul tuturor deplasărilor elementului i.
Întregul domeniu (structura) poate fi discretizat (împărţit) la limită într-un singur element. De aceea
condiţia (4.15) este aceeaşi cu
(4.17)
Dar
conduce la condiţia
care poate fi scrisă ca
Matricea este matricea de rigiditate a elementului i şi este vectorul
forţelor nodale echivalente.
4.3.2 Aproximarea nodală
4.3.2.1 Soluţia analitică
Prima aproximare făcută în metoda elementelor finite a fost cea dată de relaţia (4.10).
Trebuie să exprimăm un câmp continuu de deplasări ca o funcţie de un număr finit de deplasări
cunoscute. Dacă un element are deplasările verticale prezentate în fig. 4.6. este necesară o
expresie pentru a aproxima .
x1
ve(x)v1 v2
x x2 x
Fig. 4.6.
(4.21)
Cel mai des se aleg polinoame ca funcţii de aproximare .
Funcţia satisface condiţiile
(4.22)
În cazul nostru considerând un polinom de gradul întâi pentru
Similar pentru
Condiţiile pentru rezultă din
sunt coordonatele nodale
sunt numite variabile nodale
sunt numite funcţii de interpolare.
x1
v(x)v1 v2
x x2 x
Fig. 4.7.
Fig. 4.7. arată aproximarea pentru obţinută utilizând funcţiile de interpolare , .
Un mare dezavantaj al funcţiilor este că ele sunt diferite pentru fiecare element. De aceea în
practică, pentru simplitate, un element real este definit într-un spaţiu abstract adimensional cu o
formă geometrică foarte simplă. Geometria elementului de referinţă este apoi transpusă în
geometria elementului real folosind expresii geometrice de transformare. De exemplu pentru o
grindă
-1 0 1
Vr
Element de referinta
xi xj x
e
Element real
Ve
Fig. 4.8.
Transformarea defineşte coordonatele punctului elementului real în funcţie de
coordonatele abstracte ale punctului corespunzător al elementului de referinţă.
Transformarea depinde de forma şi poziţia elementului real. Astfel, există o transformare
diferită pentru fiecare element real.
-1 0 1
Vr
1
x1 x2 x3V1
V2
2
Fig. 4.9
Elementul 1:
Elementul 2:
Vom utiliza o transformare liniară în funcţie de coordonatele geometrice ale unui element
real
(4.24)
(4.25)
Funcţiile , în mod normal, alese ca polinoame în ξ se numesc funcţii de transformare
geometrică. Cu transformarea geometrică este posibil acum să se înlocuiască definiţia analitică a
fiecărui element real în funcţie de coordonatele reale x cu definiţia analitică mai simplă a
elementului său de referinţă în funcţie de coordonatele adimensionale . Astfel avem
(4.26)
Care, pentru simplitate va fi notată
Funcţiile şi sunt diferite, dar iau aceeaşi valoare în punctele corespondente.
Considerând and
-1 0 1 x1 x2x
cu şi
4.3.2.2 Calculul automat al funcţiilor and
Pentru aproape fiecare tip de element finit funcţiile şi pot fi construite cu polinoame
Lagrange sau Hermite.
Se poate demonstra că
(4.28)
unde sunt variabilele generalizate. Ele sunt distincte de . Numărul de variabile
generalizate trebuie să fie egal cu numărul de grade de libertate ale elementului .
Pentru a construi transformarea geometrică , vom selecta expresii de aceeaşi formă
pentru x, y şi z.
(4.29)
Numărul funcţiilor şi al coeficienţilor şi este egal cu numărul nodurilor
geometrice ale elementului. Dar şi relaţia (4.28) poate fi scrisă de ori.
(4.30)
(4.31)
Inversând matricea nodală de ordinul
(4.32)
Pentru a defini în mod unic matricea în funcţie de în (4.30) aceasta nu trebuie să
fie singulară. Cum este independentă de geometria elementului real, odată ce am stabilit că
matricea nu este singulară aceasta va fi aşa pentru toate elementele reale care au acelaşi
element de referinţă.
În mod similar, vom scrie ecuaţia (4.29) pentru coordonatele nodurilor geometrice şi
obţinem
(4.33)
astfel, după inversarea matricei
(4.34)
Înlocuind (4.32) în (4.28)
(4.35)
(4.36)
În mod similar, obţinem
(*)
unde (4.37)
Diferenţiind (4.35) se obţine
Trebuie remarcat faptul că nu s-a găsit nici o metodă sistematică pentru construirea
funcțiilor şi . Dar pentru elementele clasice s-au determinat câteva formule bine cunoscute. În
aceste formule termenii sunt de obicei monoame ca şi aşa mai departe.
a. Aplicaţie pentru un element solicitat axial
-1 1
1 2u1 u2
1 2u1 u2
xx1 x2
Elementul de referinţă Elementul real
Fig. 4.10
- numărul de noduri
- numărul de coordonate geometrice de acelaşi tip
– numărul de grade de libertate
Prin convenţie nodurile se numerotează de la stânga la dreapta. Nodurile geometrice şi
nodurile de interpolare sunt identice, iar elementul este isoparametric. Datorită acestei ultime
proprietăţi funcţiile şi sunt identice.
(Elementul este isoparametric deoarece 2 parametri
2 parametri)
Vectorul din (4.30) conţine doar doi termeni .
Relaţia (4.30) devine
(4.40)
Doar două condiţii de margine pot fi scrise pe element, de aceea gradul maxim al monoamelor
utilizate pentru şi este unu. Rezultă că unica posibilitate de a construi este de a alege
şi .
Din (4.40) rezultă
(4.41)
şi sunt coordonatele nodurilor de interpolare 1 şi 2 din elementul de referinţă.
În conformitate cu (4.28)
(4.42)
Din (4.36)
dar
deci
şi (4.44)
b. Aplicaţie pentru un element supus la încovoiere pură dreaptă
-1 1
1 2 1 2
xx1 x2
Element de referinţă Element real
Fig. 4.11.
Numărul maxim de condiţii de margine este astfel încât gradul maxim al monoamelor
care formează sau poate fi trei.
Funcţiile sunt identice cu cele ale elementului solicitat axial.
Ca urmare (4.45)
Determinarea funcţiilor N trebuie să ia în considerare faptul că există două variabile în
fiecare nod (o deplasare şi o rotire). Alegând format din următoarele monoame
( (4.46)
rezultă
Astfel
(4.50)
c. Aplicaţie pentru un element de placă plană triunghiular
(0,0) (1,0)
Element de referinta
(0,1))
) )
Element real
x
y
(x3,y3)
(x1,y1) (x2,y2)
Fig. 4.12.
- numărul de noduri
- numărul de coordonate geometrice de acelaşi tip
(4.51a)
(4.51b)
Din (4.37)
Vom considera următoarele monoame astfel încât
(4.52)
Inversa lui este
(4.53)
(4.54)
(0,0) (1,0)
(0,1)
x
yv3
u3
v2
u2
v1
u1
v1
u1
v3
u3
v2
u2
Fig. 4.13.
Numărul de grade de libertate pe nod este de două (u şi v). Variabilele nodale sunt însă
independente.
În conformitate cu (4.35)
(4.55a)
(4.55b)
Urmând aceiaşi paşi ca în cazul coordonatelor geometrice rezultă că
(4.56)