Introduction à la logique
2
Introduction aux fonctions logiques
Systèmes binaires¤ Deux états fondamentaux et distincts;¤ Vrai/Faux, Marche/Arrêt, Oui/Non.
Par convention:¤ Un état est représenté par « 0 »;¤ L’autre est représenté par « 1 ».
3
La logique Booléenne
En 1847, George Boole invente une algèbre pour traiter les variables binaires.¤ Il écrira « The Mathematical
Analysis of Logic », Cambridge,
Il définit 3 opérateurs de base, ainsi qu’une foule de règles et de postulats.
4
Types de représentation
Les fonctions logiques peuvent être représentées de plusieurs façons:¤ Équations logiques¤ Tables de vérités¤ Logigrammes¤ Diagrammes échelle (Ladder)
Ces représentations seront introduites avec les fonctions de base...
Fonctions logiques de base :
- NON- ET- OU
6
Fonction logique NON
En anglais: NOTReprésentation:
¤ F = A ou F = /A
Entrée Sortie
A F
0 1
1 0
Table de vérité
A F
Symbole graphique
7
Fonction logique ET
En anglais: ANDReprésentation:
¤ F = A * B
Entrée Sortie
F
1
Table de vérité
AB
0 0
1
1
11
0
0
0
0
0
AF
Symbole graphique
B
8
Fonction logique OU
En anglais: ORReprésentation:
¤ F = A + B
Entrée Sortie
F
1
Table de vérité
AB
0 0
1
1
11
0
1
1
0
0
AF
Symbole graphique
B
Autres fonctions logiques :
- NAND- NOR- EXOR- ID (EXNOR)- ...
Portes universelles
10
Fonction logique NON-ETEn anglais: NANDReprésentation:
¤ F = A * B
Entrée Sortie
F
0
Table de vérité
AB
0 0
1
1
11
0
1
1
1
0
AF
Symbole graphique
B
11
Fonction logique NON-OUEn anglais: NORReprésentation:
¤ F = A + B
Entrée Sortie
F
0
Table de vérité
AB
0 0
1
1
11
0
0
0
1
0
AF
Symbole graphique
B
12
Portes universelles
Grâce aux fonctions NAND et NOR, il est possible de générer toutes les fonctions booléennes.
Ex. Avec NORNON /(A+A) = /A
ET /(/A +/B) = //A * //B = A*B
OU /(/(A +B)) = A +B
A
B
A + B
13
Portes universellesGrâce aux fonctions NAND et NOR, il est possible
de générer toutes les fonctions booléennes.
AB
14
Fonction OU-EXCLUSIFEn anglais: EXORReprésentation:
¤ F = A B
Entrée Sortie
F
0
Table de vérité
AB
0 0
1
1
11
0
1
1
0
0
AF
Symbole graphique
B
/B*A
B*/A
/B*A+B*/A
15
Fonction NON OU-EXCLUSIFEn anglais: EXNORReprésentation:
¤ F = A B
Entrée Sortie
F
1
Table de vérité
AB
0 0
1
1
11
0
0
0
1
0
AF
Symbole graphique
B
/B*/A
B*A
/B*/A+B*A
16
Fonctions de 2 variablesIl existe 16 fonctions logiques possibles
ayant 2 variables.A F0
0 0
0 0
B
0
1
1
1
0
1
0
0
F1
1
0
0
0
F2
0
1
0
0
F3
1
1
0
0
F4
0
0
1
0
F5
1
0
1
0
F6
0
1
1
0
F7
1
1
1
0
A F8
0 0
0 0
B
0
1
1
1
0
1
0
1
F9
1
0
0
1
F10
0
1
0
1
F11
1
1
0
1
F12
0
0
1
1
F13
1
0
1
1
F14
0
1
1
1
F15
1
1
1
1
17
A F0
0 0
0 0
B
0
1
1
1
0
1
0
0
F1
1
0
0
0
F2
0
1
0
0
F3
1
1
0
0
F4
0
0
1
0
F5
1
0
1
0
F6
0
1
1
0
F7
1
1
1
0
A F8
0 0
0 0
B
0
1
1
1
0
1
0
1
F9
1
0
0
1
F10
0
1
0
1
F11
1
1
0
1
F12
0
0
1
1
F13
1
0
1
1
F14
0
1
1
1
F15
1
1
1
1
Fonctions de 2 variablesF0 = 0 F1 = /A./B
F2 = /A.B
F3 = /A
F4 = A./B
F5= /B
F6=AB
F7=/(AB)
Réalisations des fonctions logiques :
- circuit électrique- relais (automatisme)- logigramme (carte de contrôle, circuit intégré,...)
19
Fonction logique NON
Interrupteur normalement fermé
V
A
Lampe
Lampe A
20
Fonction logique ET
Utilise deux interrupteurs normalement ouvert en séries.
V
A
Lampe
B
Lampe A B
21
Fonction logique OU
Utilise deux interrupteurs normalement ouvert en parallèles.
V
A
Lampe
B
Lampe A B
22
Fonction logique NON-ET
Utilise deux interrupteurs normalement fermés en parallèles.
V
A
Lampe
B
Lampe AB A B
23
Fonction logique NON-OU
Utilise deux interrupteurs normalement fermés en série.
V
A
Lampe
B
Lampe A B A B
24
Fonction OU-EXCLUSIF
Utilise deux interrupteurs à deux contacts
V
A
Lampe
A B
B
LampeABABAB
25
Fonction NON OU-EXCLUSIFUtilise deux interrupteurs à deux contacts
V
A
Lampe
A B
B
Lampe A B A B AB
26
Il est possible de représenter une fonction logique en utilisant cette approche.
Ex. F = AB + /C
Exercice (1)
V
C
F
A B
27
F = (AB + /A./B)(BC+/CD)
Exercice (2)
V
A
F
A B
BD
B C
C
Réalisations des fonctions logiques :
- circuit électrique- relais (automatisme)- logigramme (carte de contrôle, circuit intégré,...)
29
Fonctions logiques utilisant des relaisEn automatisation, on utilise les relais
pour réaliser des fonctions logiques.Le relais est une composante
électromécanique.
AA A
Contactnormalement
ouvert
Bobine Contactnormalement
ferméA AA A
A
30
Fonction logique NON
Relais avec un contact normalement fermé
V
b
B
V++
LampeB
Bobine d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
31
Fonction logique ET
Utilise 2 relais avec des contacts N.O. en séries.
V
c
C
V++
LampeC
Bobines d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
V
d
D
D
32
Fonction logique OU
Utilise 2 relais avec des contacts N.O. en parallèles.
V
e
E
V++
Lampe
E
Bobines d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
V
f
F
F
33
Fonction logique NON-ET
Utilise 2 relais avec des contacts N.F. en séries.
i
I
V++
Lampe
I
Bobines d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
j
J
J
V
V
34
Fonction logique NON-OU
Utilise 2 relais avec des contacts N.F. en parallèles.
V
g
G
V++
LampeG
Bobines d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
V
h
H
H
35
Fonction OU-EXCLUSIF
Lampe = K L = /K.L + K./L
V
k
K
V++
Lampe
K
Bobines d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
V
l
L
K
L
L
36
Fonction NON OU-EXCLUSIF
Lampe = M N = M.N + /M./N
V
m
M
V++
Lampe
M
Bobines d'entrée Diagramme en échelle (Ladder)
V
n
N
M
N
N
37
Réalisation : exercice
Réaliser (avec des circuits électriques et relais) :
- F = ab + c
- F = (ab + /a/b)(bc + /cd)
- F = (a + b +c)(/a + b/c + c)
38
L ’ALGEBRE DE BOOLEUn ensemble E possède une structure
d'algèbre de Boole s'il est muni de deux lois de composition interne associatives et commutatives notées + et * :
les lois + et * sont distributives l'une par rapport à l'autre et admettent un élément neutre (0 et 1 respectivement);
tout élément de E est idempotent pour chaque loi : x + x = x et x • x = x
Tout élément x de E possède un unique élément, dit complémenté de x, généralement noté généralement /x , vérifiant la loi du tiers exclu : x + /x = 1 et le principe de contradiction x * /x = 0.Dans cette algèbre, on peut écrire : /x = 1 - x.
39
L’algèbre Booléenne : lois fond.
Fermeture:¤ Si A et B sont des variables Booléennes,
alors A+B, A*B sont aussi des variables Booléennes.
Commutativité¤ A + B = B + A¤ A * B = B * A
+ et * sont deux lois de composition interne :
40
Associativité¤ A + (B + C) = (A + B) + C¤ A * (B * C) = (A * B) * C
Distributivité¤ ET sur OU: A(B + C) = AB + AC¤ OU sur ET: A+(B*C) = (A+B)*(A+C)
L’algèbre Booléenne : lois fond.
2+(3*2) (2*3) + (2*2)
41
L’algèbre Booléenne
Idempotence¤ A + A = A¤ A * A = A
Complémentarité¤ A + A = 1¤ A * A = 0¤ A = A
42
L’algèbre Booléenne
Identités remarquables¤ 1 + A = 1 et 1 * A = A¤ 0 + A = A et 0 * A = 0
Distributivité interne (très utile pour la simplification algébrique des fonctions booléennes). ¤ A + (B + C) = (A + B) + (A + C)¤ A * (B * C) = (A * B) * (A * C)
43
L’algèbre Booléenne
Théorème de De Morgan
(A + B) = A * B
et
A * B = A + B
44
L’algèbre Booléenne : théorèmes
# 1 0 0 A # 2 1 1 A# 3 1 A A # 4 0 A A# 5 A A A # 6 A A A # 7 A B B A # 8 A B B A # 9 A B C A B C # 1 0 A B C A B C
# 1 1 A A 0 # 1 2 A A 1# 1 3 A B C A B A C # 1 4 A B C A B A C # 1 5 A B C Z A B C Z # 1 6 A B C Z A B C Z # 1 7 A AB A # 1 8 A A B A # 1 9 A A B A B # 2 0 A A B AB # 2 1 A B B C A C A B A C # 2 2 AB BC A C AB A C
Le complément d’une expression quelconque s’obtient en complémentant les variables et en permutant les opérateurs ET et OU.
45
Simplification
Méthode algébrique : Appliquer les principes de l’algèbre de Boole.
Méthodes graphiques : KarnaughMahoney
Méthodes programmables : Utilisation des algorithmes de simplification
algébrique.
46
Règles de simplificationRègle 1 : On peut simplifier une fonction logique en regroupant des termes à l’aide des théorèmes.
ABC + AB/C + A/BCD =
= AB(C + /C) + A/BCD
= AB + A/BCD
= A(B + /BCD)
= A[(B +/B) (B+CD)]
= A[(B+CD)]
Distributivité + / *
Règle 2 : On peut ajouter un terme déjà existant à une expression logique.
ABC + /ABC + A/BC + AB/C =
= [ABC + /ABC] + [ABC + A/BC] + [ABC + AB/C]
= BC + AC + AB
47
L’algèbre Booléenne : simplification
X = X/Y + XY = (X+ Y)(X + /Y)
X = X + XY = X(X+Y)
X + /XY= X + Y
XY + /XZ + YZ = XY + /XZ
(X+Y)(/X+Z)(Y+Z) = (X+Y)(/X+Z)
X(/X +Y) = XY
XY + X/YZ = XY +XZ
(X + Y)(X + /Y + Z) = (X+Y)(X+Z)
…/...
48
L’algèbre Booléenne : expression avec
des fonctions NAND et NORRe-écrire l ’expression de la fonction Z en n ’utilisant :
- que des portes NOR, et puis- que des portes NAND (après simplification).
Z = (x + /y + z)(x + /z) (/x + /y)
49
Représentations d’une fonction logique
Table de vérité
Equation logique
50
Table de vérité vs logigrammes
Pour une table de vérité donnée, nous pouvons trouver l’équation logique et le logigramme (ou diagramme échelle) correspondant
Il faut utiliser l’algèbre de Boole pour simplifier.
51
Table de vérité vs logigrammes
Construction d’une table de vérité¤ N variables¤ N+1 colonnes¤ 2^N lignes¤ Chaque ligne est représentative d’une
combinaison des variables parmi les 2^N possibles (N colonnes).
52
Table de vérité vs logigrammesExercice.
Soit un local ayant trois portes identifiées a, b et c. À proximité de chacune de ces portes nous trouvons un interrupteur à bascule que les gens manipuleront lorsqu’ils entreront ou sortiront. Ces interrupteurs commandent une ampoule qui éclaire le local. Ainsi, une personne qui entre par la porte “ a ” manipulera l’interrupteur “ a ” pour allumer l’ampoule et cette même personne sortant par la porte “ b ” manipulera l’interrupteur “ b ” pour éteindre l’ampoule. Lors de l’inauguration du local, a = 0, b = 0, c = 0, et l’ampoule L est éteinte (L = 0).
53
Formes canoniques des équations booléennes
1° forme : Somme de produits.F=ABC + B
2° forme : Produit des sommes.F = (A+B)(A+C)
3° forme : n’utilise que des NANDF = ABC * ABC * ABC * ABC
4° forme : n’utilise que des NOR¤ F = (A+B+C)+(A+B+C)
Ex. Mettre sous la forme 3 l’expression F=ABC+ ABC + ABC + ABC
Ex. Mettre sous la forme 4 l’expression F=(A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C)
54
Table de vérité Eq. logiqueTrouver l’équation de S. ()
0
C
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
B A S
Entrées Sortie
0
0
1
1
1
1
0
0
55
Exemple
Solution:¤ On construit l’équation de
S en écrivant tous les termes donnant S=1.
¤ Ainsi, S = 1: si C=0 et B=1 et A=0; ou si C=0 et B=1 et A=1; ou si C=1 et B=0 et A=1; ou si C=1 et B=1 et A=0.
0
C
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
B A S
Entrées Sortie
0
0
1
1
1
1
0
0
56
Exemple
On peut donc écrire:¤ S = /C.B./A + /C.B.A +
C./B.A + C.B./A
On peut simplifier:¤ S = /C.B + B./A + C./B.A
Autre solution possible:¤ S = /C.B + C.(AB)
0
C
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
B A S
Entrées Sortie
0
0
1
1
1
1
0
0
57
Si nous utilisions des relais...
C
B A
C BS
A
V++
S = /C.B + B./A + C./B.A = B.(/C + /A) + C./B.A
58
La simplification des équations
La simplification est essentielle.¤ Il faut avoir le circuit le plus simple que
possible...
La simplification peut être un processus long si le système est complexe.
Heureusement, il existe des techniques simples pour simplifier.
59
Méthodes de simplification
Il est possible d ’obtenir directement une équation sous sa forme simplifiée en utilisant une méthode de simplification graphique.
Méthodes de simplification graphique:¤ Tables de Karnaugh¤ Table de Mahoney
60
Principes de baseReprésentation de la table de vérité sous forme
graphique.Nombre de cases = nombre de lignes de la table de
vérité.¤ Multiple de 2n (1, 2, 4, 8, 16, ...), n = Nombre d ’entrées
Principe de simplification : Deux termes se simplifient s’ils ne diffèrent que par le fait qu’une variable est présente dans un terme et son inverse dans l’autre terme.
A/B + AB = AOn cherche à mettre en évidence les simplifications
possibles (les termes adjacents).
61
Deux termes adjacents par définition et adjacents sur la table de vérité.
Deux termes adjacents par définition mais non adjacents
sur la table de vérité.
Exemple (Karnaugh)
0
C
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
B A S
Entrées Sortie
0
0
1
1
1
1
0
1
BA00 01 11 10
0
1
C
0
0
0
1
1
1
1
1
TABLE DE VÉRITÉ
TABLE DE KARNAUGH
62
Principes de base (suite)
À partir de la table, on simplifie en groupant des 1 adjacents.
La taille d’un groupe est un multiple de 2k (1, 2, 4, 8, ...).
Le groupe est soit rectangulaire ou carré.
Former les plus gands groupes possibles (Termes plus simples).
Un 1 peut faire partie de plusieurs groupes.
63
Exemples de table de Karnaugh
Avec n = 2:¤ Entrées B et A¤ 4 cases
00 01
10 11
AB 0 1
0
1
64
Exemples de table de Karnaugh
Avec n = 3:¤ Entrées C, B et A¤ 8 cases
BA00 01 11 10
0
1
C
000 001 011 010
100 101 111 110
65
Exemples de table de Karnaugh
Avec n = 4:¤ Entrées D, C, B et A¤ 16 cases
BA00 01 11 10
00
01
11
10
DC
Codage !
0000 0001 0011 0010
0100 0101 0111 0110
1100 1101 1111 1110
1000 1001 1011 1010
66
Rappel : Codes binairesCode binaire naturel Code binaire réfléchi
0 0 0 0 00 0 0 1 10 0 1 0 20 0 1 1 30 1 0 0 40 1 0 1 50 1 1 0 60 1 1 1 71 0 0 0 81 0 0 1 91 0 1 0 101 0 1 1 111 1 0 0 121 1 0 1 131 1 1 0 141 1 1 1 15
0 0 0 0 00 0 0 1 10 0 1 1 20 0 1 0 30 1 1 0 40 1 1 1 50 1 0 1 60 1 0 0 71 1 0 0 81 1 0 1 91 1 1 1 101 1 1 0 111 0 1 0 121 0 1 1 131 0 0 1 141 0 0 0 15
Changer valeur
Symétrie
67
BA00 01 11 10
0
1
C
0
0
0
1
1
0
1
1
Exemple (Karnaugh)
Rappel: S = /C.B + B./A + C./B.A
/C.B.A+/C.B./A = /C.B
/C.B./A+C.B./A=B./AC./B.A
68
BA00 01 11 10
00
01
11
10
DC
Principes de base (suite)Les 1 des bords extrêmes sont adjacents.
¤ La table se referme sur elle même.
1 10 1/C./A
/C.B
/D.C./B.A 0 01 0
0 00 0
1 10 1
69
C
0 1 5 4
2 3 7 6
C
B
B
AA AA
Exemple (Mahoney)
0 1
2 3B
B
AA
70
Exemples de table de Mahoney
Avec n = 3:¤ Entrées C, B et A¤ 8 cases
C
0 1 5 4
2 3 7 6
C
B
B
AA AA
71
Exemples de table de Mahoney
Avec n = 4:¤ Entrées D, C, B et A¤ 16 cases
C
10 11 15 14
8 9 13 12
C
B
B
AA AA
0 1 5 4
2 3 7 6
B
BD
D
72
Exemples de table de Mahoney
Avec n = 5:¤ Entrées E, D, C, B et A¤ 32 cases
E
10 11 15 14
8 9 13 12
C
B
B
AA AA
0 1 5 4
2 3 7 6
B
B
C
30 31 27 26
28 29 25 24
C
20 21 17 16
22 23 19 18
D
D
AA AA
E
C
73
Exemples de table de Mahoney
Avec n = 6:
10 11 15 14
8 9 13 12
B
B
AA AA
0 1 5 4
2 3 7 6
B
B
30 31 27 26
28 29 25 24
20 21 17 16
22 23 19 18
D
D
AA AA
E
34 35 39 38
32 33 37 36
C
B
B
40 41 45 44
42 43 47 46
B
B
C
54 55 51 50
52 53 49 48
C
60 61 57 56
62 63 59 58
E
D
D
F
F
C
74
C C
B
B
AA AA
0
1
0
1
1
0
0
1
Exemple (Mahoney)
0
C
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
B A S
Entrées Sortie
0
0
1
1
1
1
0
0
TABLE DE VÉRITÉTABLE DE MAHONEY
75C C
B
B
AA AA
0
1
0
1
1
0
0
1
Exemple (Mahoney)
Rappel: S = /C.B + B./A + C./B.A
/C.B.A+/C.B./A = /C.B /C.B./A+C.B./A=B./A
C./B.A
76
Exercices1 : Passer de la table de vérité au tableau de Karnaugh. Simplifier.
P Q F0 0 10 1 11 0 01 1 1
2 : Passer du tableau de Karnaugh à la table de vérité. Simplifier.
0 1"00" 0 1"01" 1 111 0 110 1 0
BC
A
3 : Donner l’expression. Minimiser l’expression.
0 1
"00" 1
"01" 1
11 1
10
BC
A
4 : Donner l’expression. Minimiser l’expression.
0 1
"00" 1 0
"01" 1 0
11 1 1
10 1 1
BC
A
77
Exercices5 : Simplifier.
"00" "01" 11 10
"00" 1
"01" 1
11 1 1 1
10 1 1 1
cd
ab
"00" "01" 11 10
"00" x
"01" 1 1 x 1
11 1 1
10 x
cd
ab
"00" "01" 11 10
"00" 1 1
"01" 1
11 1 1 1 1
10 1 1 1 1
cd
ab
"00" "01" 11 10
"00" 1 1
"01" 1 x 1
11 x 1 x 1
10 x
cd
ab
78
Exercices5 : Simplifier.
"00" "01" 11 10
"00" 1
"01" 1
11 1 1 1
10 1 1 1
cd
ab
"00" "01" 11 10
"00" x
"01" 1 1 x 1
11 1 1
10 x
cd
ab
"00" "01" 11 10
"00" 1 1
"01" 1
11 1 1 1 1
10 1 1 1 1
cd
ab
"00" "01" 11 10
"00" 1 1
"01" 1 x 1
11 x 1 x 1
10 x
cd
ab
/a . b
/b . c
S = /a . b + /b . c
/a . b . d
/b . /d
c
S = /a . b . d + /b . /d + c
/a . d
/c . d
S = /a . d + /c . d = d . (/a . /c)
a . /b . /c
/a . b
/b . d
S = a . /b . /c + /a . b + /b . d = /a . b + /b . (a . /b + d )
79
Exercices6 : Simplifier.
"000" "001" "011" "010" 110 111 101 100
"00" x 1 1 1 x
"01" 1 x 1 x x
11 x x x x x x x x
10 x x x x x x x x
ef
abc
"000" "001" "011" "010" 110 111 101 100
"00" x x x x x x x x
"01" x x x x x x x x
11 1 x x 1 x
10 1 1 x x x 1
ef
abc
ab
c
ab
c
80
Exercices1 : Concevoir un circuit capable d’additionner deux bits, capable de générer leur somme S et leur report R.
2 : Concevoir un circuit de commande d’un afficheur 7 segments pour l’affichage des nombres 0, 1, 2, …, 9. (des états indifférents)e3 : le poids le plus importante0 : le poids le plus faible
81
Les états indifférents (don’t care)
Ils sont représentés par des X
En sortie, ils correspondent à des combinaisons d’entrées pour lesquelles la sortie n’a pas été définie.¤ Ex.: Un réservoir ne peut être à la fois vide
et plein.
82
Contrôle de niveau d’un réservoir
M
Pompe 1
M
Pompe 2
h
b
s
Capteur de niveau hauth = 1 : plein
Capteur de niveau basb = 0 : vide Sélecteur de pompe
s = 0 : Pompe 1s = 1 : Pompe 2
83
Contrôle de niveau ...
Si réservoir plein: Aucune pompe en marche;
Si réservoir vide: Les 2 pompes en marche;
Si réservoir ni vide, ni plein: Faire fonctionner la pompe sélectionnée par le sélecteur « s ».
84
Contrôle de niveau ...
Table de vérité:
P 20
h
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
b s P 1
Entrées Sorties
Réservoir vide1 11 1
Réservoir à 1/21 00 1
Réservoir pleinet vide ?!?
X XX X
Réservoir plein0 00 0
M
Pompe 1
M
Pompe 2
h
b
s
85
bs00 01 11 10
0
1
h
0 1 3 2
4 5 7 6
bs00 01 11 10
0
1
h
0 1 3 2
4 5 7 6
Contrôle de niveau ...
Tables de Karnaugh:
1 1
X X
1 0
0 0
1 1
X X
0 1
0 0
P2 = /b + /h.s
P1 = /b + /h./s
P 20
h
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
b s P 1
Entrées Sorties
1 11 1
1 00 1
X XX X
0 00 0
86
Contrôle de niveau ...
Diagramme échelle:
bV++
h s
b
h s
P 2
P 1
Seul risque:- si le capteur b est enpanne (b=0) alors quele réservoir est plein...
Les deux pompesseront en marche !!!
87
bs00 01 11 10
0
1
h
0 1 3 2
4 5 7 6
bs00 01 11 10
0
1
h
0 1 3 2
4 5 7 6
Contrôle de niveau ...
Si on considère les X comme des 0.
P2
P1
1 1
0 0
1 0
0 0
1 1
0 0
0 1
0 0
= /b./h + /h.s
= /b./h + /h./s
88
Contrôle de niveau ...
Diagramme échelle (sécuritaire):
bV++
h s
b
h s
P 2
P 1
89
Conclusion de l’exemple
Les « X » peuvent êtres utilisés dans des groupes de 1 pour en augmenter la taille.¤ Cela implique des équations plus simples;
Du point de vue sécurité, il peut s ’avérer nécessaire de considérer les « X » comme des « 0 ».
90
Les états indifférents (don’t care)
En entrée, ils permettent d’écrire les tables de vérité sous forme plus compacte.
1
P 210
h
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
b s P 1
Entrées Sorties
1
1
0
X
0
X
0
1
0
1
X
0
X
0
1
P 210
h
0
0
1
1
0
1
1
0
1
X
0
1
X
X
b s P 1
Entrées Sorties
1
0
X
0
0
1
X
0
91
Logique combinatoire
v.s.
Logique séquentielle
Les premières méthodes d’automatisation pour les systèmes séquentiels.
92
La logique combinatoire et les automatismes
La logique combinatoire peut être utilisée pour étudier les automatismes simples.
L’exemple qui suit montre la marche à suivre...
93
Etapes de la démarche
Dénombrer tous les états possibles.Établir un diagramme des phases.Établir un diagramme des transitions.
Construire la table de vérité du système.
Trouver les équations logiques des actionneurs.
1
2
3
94
Plateau tournant
Cycle de fonctionnement:¤ poussée sur bouton m;¤ déverrouillage de W;¤ avance du vérin V, avec
rotation du plateau;¤ verrouillage de W;¤ retrait de V, le plateau
restant immobile.
95
Plateau tournant
La méthode utilisée repose sur le fait qu'en logique combinatoire, une combinaison d'entrées donne une seule combinaison de sorties.
96
Plateau tournant
Au départ, aucun capteur n'est actionné, et les deux vérins sont au repos.
Donc:¤ m = 0 et a = 0 et b =
0:¤ W = V = 0.
m a b W V
0 0 0 0 0
97
Plateau tournantPuis, en appuyant sur
m, le vérin W est déplacé.
Donc:
m = 1 et a = 0 et b = 0
W = 1 et V = 0
m a b W V
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
98
Plateau tournantDès que le capteur a est
actionné, le vérin V provoque la rotation du plateau.
?a = 1 et b = 0 et ce pour m = 1 ou m=0 (m=X)
W = 1 et V = 1.
m a b W V
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
X 1 0 1 1
99
Plateau tournantSi le capteur b = 1, le vérin
W verrouille le plateau.
b = 1 et a = 1 , m = X
W = 0 et V = 1.
m a b W V
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
X 1 0 1 1
X 1 1 0 1
100
Plateau tournantLorsque le capteur a n'est
plus actionné, le vérin V reprend sa position initiale.
V = 0 et W = 0
a = 0 et b = 1 , m = X
m a b W V
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
X 1 0 1 1
X 1 1 0 1
X 0 1 0 0
101
Plateau tournant
Table de vérité
01
01
01
5 lignes représentant 8 états.
m a b W V
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
X 1 0 1 1
X 1 1 0 1
X 0 1 0 0
102
Diagramme des phases
m
bW
1 2 3 4
a
V
m appuyéjusqu'à avoir a
5 6 1
m a b W V
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
X 1 0 1 1
X 1 1 0 1
X 0 1 0 0
La méthode utilisée repose sur le fait qu'en logique combinatoire, une combinaison d'entrées donne une seule combinaison de sorties.
103
Diagramme des transitions
000
1
m
6001
2100
W3110
W,V
4010
W,V5011
V
8101
7111
V
a b
m
bW
1 2 3 4
a
V
m appuyéjusqu'à avoir a
5 6 1
3110
W,V
m a b
Démarche :-chemin principal-assurer combinatoire-chemins supp. (var. en X)
104
Diagramme des transitions
m a b
000
1 2100
3110
4010
5011
6001
W W,V W,V V
7111
8101
V
2 lignes confondues de la table de érité
Tjrs 1 combinaison de sorties pour 1 combinaison d’entrées.
105
Plateau tournant
Tables de Mahoney
m
0 1 5 4
2 3 7 6
m
a
a
bb bb
0
1
0
0
0
0
1
1
W
W = m./b + a./b = /b.(m+a)
000
1 2
100
3
110
4
010
5
011
6001
W W,V W,V V
7111
8101
V
106
Plateau tournant
Tables de Mahoney
m
0 1 5 4
2 3 7 6
m
a
a
bb bb
0
1
0
1
0
1
0
1
V
V = a
000
1 2
100
3
110
4
010
5
011
6001
W W,V W,V V
7111
8101
V
107
Plateau tournant - Réalisation
24V 0V
Schéma de commandeélectromécaniquee
W (Verrouillage) V (Rotation)
VW
A B
M
AB W
VA
108
Méthode de HuffmanExemple où la résolution combinatoire devient impossible.
Marche (m) et Arrêt (a) d ’un Moteur (C) :
Mise en Marche : Si (a = 0 ET m = 1 ) Alors (C = 1)
Moteur en marche : Si (a = 0 ET m = 0 ) Alors (C = 1)
Mise à l’arrêt : Si (a = 1 ET m = 0) Alors (C = 0)
Arret : Si (a = 0 ET m = 0 ) Alors (C = 0)
Huffman
109
Etapes de la démarche
Dénombrer tous les états possibles.Établir un diagramme des phases.Établir un diagramme des transitions.
Construire la table primitive des états.
Construire la table réduite des états. Définir des variables secondaires.
Trouver les équations logiques des actionneurs et des variables
secondaires.
1
2
3
4
110
Dénombrer tous les états possibles. Établir un diagramme des phases.
m
a
C
1 2 3 4 1
111
Dénombrer tous les états possibles. Établir un diagramme de transitions.
1
ma 2
3
4
500
10
00
01
11
C
C
112
Construire la table primitive des états
0C
ma
1
1
13
04
05
2
Etat stable (1 par ligne)
Etat transitoire (montre l ’évolution possible d ’un état stable vers un autre)
1
ma
2
3
4
500
10
00
01
11
C
C
Code binaire réfléchi
Etat indiff.
24
53
1
4
5
2
4 2
X
X
X
X
X
113
Construire la table réduite des états
Le regroupement de lignes de la matrice primitive doit obéir aux règles suivantes :
·Les niveaux logiques de la ou des sorties doivent être les mêmes sur les lignes à regrouper.
·Les états sur chacune des lignes à regrouper doivent être les mêmes ou correspondre à un X.
.Les états sont fusionnés selon la règle : > 3 > X
114
Construire la table réduite des états
X 2 0C
ma
1
3 5 1
4 5
24
4 X 2 0C
ma
1
3 X 5 1
4 X 2 13
1 5 X 04
X 4 2 05
2
Deux sorties différentes pour les mêmes entrées.
Introduction d ’une variable secondaire.
115
Construire la table réduite des états
Introduction d ’une variable secondaire.
X 2 0C
ma
1
3 5 1
4 5
24
x
116
Trouver les équations : pour C
max
0 0 0
001 1
1
Pour remplir la table d'une sortie, il faut mettre dans chaque case la valeur de la sortie pour l'état stable correspondant au numéro d'état de la case correspondante de la matrice contractée.
C = (m+x)a
X 2 0C
ma
1
3 5 1
4 5
24
x
117
Trouver les équations : pour x
max
0 0 0
001 1
1
Pour remplir la table d’une variable secondaire, il faut mettre dans chaque case la valeur de la variable secondaire pour l’état stable correspondant au numéro d’état de la case correspondante de la matrice contractée.
x = (m+x) a
X 2 0C
ma
1
3 5 1
4 5
24
x
118
Exercice : Plateau tournant (huffmann)
Aucune contrainte pour l’opérateur.
119
Méthodes intuitives(fondées sur la méthode de Huffman)
Dans certains automatismes les variables secondaires sont les sorties du système.
120
Exemple
•Un moteur qui peut tourner vers la gauche (contacteur « G ») ou vers la droite (contacteur « D »). Ce moteur est commandé par trois boutons :
•« m » et « n » qui sont verrouillés mécaniquement (donc impossibles à actionner en même temps) et qui correspondent respectivement à une rotation à gauche et une rotation à droite;
•« a » qui est le bouton d’arrêt (prioritaire si appuyé en même temps que « m » et « n »).
121
Exemplem
a
G
1 2 3 4 1
n
D
5 6 4 1
1
mna
2 3
7
000
100
GG
000
001
5 6010
DD
000
101
8011
4
Gauche et droite en même temps (arrêt prioritaire)
États ayant les mêmes entréesÉtats ayant les mêmes entréesÉtats ayant les mêmes entrées
122
ExempleIl faut deux variables intermédiaires pour distinguer ces trois états.
Ils se différencient grâce à leur sortie.
Les Sorties seront les variables intermédiaires.
Choisissons : x = G et y = D
123
Matrice réduite des états
5 0G
na
1
4 8 0
X
4 5 1
5
m
2
2
X X X X
X
X X
X X X
X X X X
X X 7
4yx 8 7
6
23
0D
1
X
0
1
mna
2 3
7
000
100
GG
000
001
5 6010
DD
000
101
8011
4
124
Equations de x
0 0 0 0
na
0 0 0 0
X X X X
1 0 X 0
m
X X 0 1
X X X 1
X X X X
X X 0 1
yx
5 0G
na
1
4 8 0
X X X X X
4 X 5 1
5
m
X X 2
X X X 2
X X X X
X X 7
4yx 8 7
6
23
0D
1
X
0
x = x/n/a
x = m/a
x = (m/a + x/n/a) /y
Sécurité (pas de demande de rotation G et D)
125
Equations de y 5 0G
na
1
4 8 0
X X X X X
4 X 5 1
5
m
X X 2
X X X 2
X X X X
X X 7
4yx 8 7
6
23
0D
1
X
0
y = y/m/a
y = n/a
0 0 0 1
na
1 0 0 1
X X X X
0 0 X 1
m
X X 0 0
X X X 0
X X X X
X X 0 0
yx
y = (n/a + y/m/a) /x
Sécurité (pas de demande de rotation G et D)
126
Étude simplifiée des
automatismes à cycles
géométriques
127
Distributeur de caissettes
Suite à l’appui sur le poussoir « m »:
¤ Extension du vérin H pour pousser la caissette sur le tapis
¤ Extension du vérin V pour soulever la caissette 2 pendant la rétraction du vérin H.
¤ Rétraction du vérin H¤ Rétraction du vérin V
128
Au départ, capteurs b et d actionnés et deux vérins sont au repos.
m a b c d V H0 0 1 0 1 0 0
129
En appuyant sur “m”, extension du vérin H.
m a b c d V H0 0 1 0 1 0 01 0 1 0 1 0 1
130
- b = 0.- Arrivée de H en fin de
course, extension de V
m a b c d V H0 0 1 0 1 0 01 0 1 0 1 0 1x 0 0 0 1 0 1x 1 0 0 1 1 1
131
- d = 0.- Arrivée de V en fin de course, rentrée de H
m a b c d V H0 0 1 0 1 0 01 0 1 0 1 0 1x 0 0 0 1 0 1x 1 0 0 1 1 1x 1 0 0 0 1 1x 1 0 1 0 1 0
132
- a = 0.- Arrivée de H en fin de
course, rentrée de V
m a b c d V H0 0 1 0 1 0 01 0 1 0 1 0 1x 0 0 0 1 0 1x 1 0 0 1 1 1x 1 0 0 0 1 1x 1 0 1 0 1 0x 0 0 1 0 1 0x 0 1 1 0 0 0
133
- c = 0.- Fin du cycleAutres cas impossibles
car Vérins entrés et sortis en même temps.
m a b c d V H0 0 1 0 1 0 01 0 1 0 1 0 1x 0 0 0 1 0 1x 1 0 0 1 1 1x 1 0 0 0 1 1x 1 0 1 0 1 0x 0 0 1 0 1 0x 0 1 1 0 0 0x 0 1 0 0 0 0
134
Distributeur de caissettes
0
/D
1
D
/C
0 XC
0
D
0
/D
X 0
0
/D
1
D
0 X
1
D
0
/D
X 0
0 X
1 1
X X
X X
X X
X X
X 0
1 1
C
/C
/A
A
/B /BB
/M MH
H = m.d + /b.d+/ca = d(m+/b)+/ca
m a b c d V H0 0 1 0 1 0 01 0 1 0 1 0 1x 0 0 0 1 0 1x 1 0 0 1 1 1x 1 0 0 0 1 1x 1 0 1 0 1 0x 0 0 1 0 1 0x 0 1 1 0 0 0x 0 1 0 0 0 0
135
Distributeur de caissettes
0
/D
0
D
/C
1 XC
0
D
0
/D
X 0
0
/D
0
D
0 X
0
D
0
/D
X 1
1 X
1 1
X X
X X
X X
X X
X 1
1 1
C
/C
/A
A
/B /BB
/M MV
V = a + /b.c
136
Cycle géométriqueCycle carré.
d
ab
c
H
H,V
V
m
d
a,cb
Deux capteurs
actifs
a
c
d
b
Un capteur actif (associé au vérin qui
ne bouge pas)
Sortie actionnée
137
Cycle géométrique
H = (m+/b).d + a./c
V = a+c./b
Mise en équation directement du graphique ci-contre.
M N
O
d
ab
c
H
H,V
P V
138
Système de perçage
Cycle en L.
M N
H
O
h
c
a
b
H,V H
139
Système de perçage
Variable x:¤ X=1 sur M-N-O;¤ X=0 sur O-N-M.
X = a + X./b
H = X + /h
V = X.c
M N
H
O
h
c
a
b
H,V H
140
Système de transfert
Cycle complexe:
d e
b
a
cM
N
O
PW
VV
141
Système de transfert
Variables X,Y,Z:¤ X = 1 et Y = 0 et Z = 0
Sur M-N¤ X = 1 et Y = 1 et Z = 0
Sur N-M¤ X = 1 et Y = 1 et Z = 1
Sur M-O¤ X = 0 et Y = 1 et Z = 1
Sur O-M¤ X = 0 et Y = 0 et Z = 1
Sur M-P¤ X = 0 et Y = 0 et Z = 0
Sur P-M
d e
b
a
cM
N
O
PW
VV
142
Système de transfert
X = c./Z + X.(/c + Y)Y = a + Y./bZ = b + Z./e
W = Z.cV = V.X.(/Y./Z+Y.Z)
d e
b
a
cM
N
O
PW
VV
143
Machine à remplir et à boucher
Identifier des cycles géométriques